七年级数学圆柱体积公式

上个视频，狗蛋和小锤因为该用谁的圆柱产生了争执，要想方设法求出圆柱的体积， 在借鉴圆的面积的切割重组之后，它们终于得到了一个体积和圆柱体积相同的长方体。接下来，只要找到长方体的底面积和高，算出它的体积，就知道圆柱的体积啦。 那么我们要怎么知道长方体的底面积和高呢？你得考察一下它的出身， 他可不是路边一个普通的长方体，他是由圆柱变化来的。所以要找出这个长方体的底面积和高，就要回到圆柱里去。你看看在切割重组的过程中，他俩的底面积和高发生了什么变化呢？ 答案是 c。 先看底面积，长方形的底面是由圆柱底面的圆经过切割重组得到的吧，它们的面积自然是相等的， 那长方形的底面积就是 s。 再看高，圆柱是这样竖着切开的吧，变成长方形后，高没变吧，所以长方形的高也是 h。 现在底面积和高都找着了，这下简单了吧，体积等于底面积乘高，也就是 s 乘 h， 那 圆柱的体积也就呼之欲出了，也等于 s 乘 h。 你 看这个 s 也是圆柱的底面积， h 也是圆柱的高，所以圆柱的体积也等于底面积乘高。 这就是我们要找的圆柱体积公式，可以把体积用字母 v 来表示，这个公式用字母表示就是 v 等于 s、 h。 怎么用呢？举个例子，比如圆柱的底面积是二十五平方厘米，高是四厘米，那体积等于底面积乘高就是二十五乘四，结果就是一百立方厘米。 下面该帮狗蛋他们解决难题了，狗蛋的圆柱底面积是三十八派平方厘米，高是十厘米，体积是多少呢？ 选 b， 圆柱的体积等于底面积乘高，这里底面积是三十八派平方厘米，高是十厘米，体积就是三十八派乘十等于三百八十派立方厘米。 如果派取近四值三点一四，那结果就是一千一百九十三点二立方厘米。 再看小锤的圆柱，底面半径是五厘米，高是十六厘米，可体积是底面积成高啊！ 现在只知道底面半径，看来要先用底面半径把底面圆的面积求出来才行。那你思考一下，应该用哪个公式计算体积呢？ 选 c， 先用 pi r 的 平方求底面积，底面半径是五厘米，底面积就是 pi 乘五的平方， 要求体积还得乘高，使 pi 乘五的平方乘十六，算一下，结果是四百 pi 立方厘米。如果 pi 取近四十三点一四，结果就是一千二百五十六立方厘米。 比较一下，虽然小锤的圆柱只比狗蛋的圆柱大一点点，但毕竟还是大嘛，最终当然是用小锤的啦！ 最后，我们来总结一下圆柱的体积，可以用底面积乘高，也就是 v 等于 s h。 不过当我们只知道圆柱的底面半径 r 和高 h 的 时候，要先求出底面积是 pi r 的 平方，再乘高 h。 所以 圆柱的体积公式也可以写成 v 等于 pi r 的 平方 h。 你 都学会了吗？

今天在我老师做了一个关于圆柱体体积推导的动态课架，给大家分享一下。之前给小朋友讲相关内容的时候就发现呢，如果让孩子直接记结论，他总记错， 但是由于这个小朋友的空间想象能力和咱们大人的发展程度是不一致的，你让他把平面的东西让他在脑袋里动起来，嗯，是非常非常难的，所以死记硬背是一个很无奈的选择。 那么给孩子们展示一下它的形成过程，我觉得还是挺有必要的。我们可以将圆柱分成八份，十六份，三十二份， 可以拆开可以组合之后我们一目了然的就可以看出他的对应关系，自然而然的推导出圆柱体的公式。记得关注，下期见！

狗蛋小队在机器人足球赛中表现优异，又来到了灭火赛，狗蛋和小锤分别为机器人做了灭火水桶，用哪个去参加比赛呢？ 自然是选择援助比较大的那个。狗蛋的底面积比较大，而小锤的比较高， 两人都觉得自己的圆柱比较大。朵花提了个建议，谁的大得用数据说话，比一比他们的体积吧。可是圆柱的体积要怎么求呢？ 圆柱的体积就是圆柱所占空间的大小， 狗蛋只知道它的圆柱底面积是 s， 高是 h， 要怎么求体积呢？他想起了比达哥斯拉常说的，遇到不会的问题，转化成会的问题。 我们会的是求长方体和正方体的体积吧。如果圆柱要转化成他们就要把圆柱转化成方的吧。你想想看，我们有没有见过类似的转化呢？ 选 a， 学圆的面积时，我们是这样把圆平均分成了很多份，再重新拼起来， 就能得到一个长方形，圆的就转化成了方的，求出长方形的面积，也就求出了圆的面积。 这怎么用在圆柱上呢？你看圆这样一直长，就会形成圆柱吧。如果我们按照分圆的方法，把圆柱切开，再跟拼圆一样重新拼起来， 你觉得拼起来的图形会跟下面哪个比较相像呢？答案选 b。 我们来试试，先把底面的圆平均分成十六份，这样一切交叉拼起来， 得到的图形是这样的，哎，有点像长方体，再分小一些，平均分成三十二份吧。 那再接再厉，平均分成六十四份， 是不是越来越像了？平均分成一百二十八分呢？你看，基本上接近长方体了，当然还可以继续分，继续拼， 分的份数越多，重新拼接后就越接近长方体。 现在来看看它们的体积。这个长方体是由圆柱切割重组得来的吧，那它的体积就等于圆柱的体积，这下开心了吧，只要知道长方体的体积，就知道圆柱的体积了。 那你回想一下，长方体的体积要怎么求呢？长乘宽乘高吧，也就是底面积乘高。那下一步我们只要找到长方体的底面积和高就行了。 不过我们现在知道的只有圆柱的底面积是 s， 高是 h。 好 像对长方体一无所知啊。其实啊，只是看似一无所知，答案远在天边，近在眼前， 下个视频我们就来找找答案，该用谁的圆柱参加比赛就交由你来判断了。

这天是手工课，小美老师教同学们用铁皮制作各种形状的收纳盒子。狗蛋用的是一张宽八厘米的长方形铁皮， 他把铁皮按照图上的样子剪出了两个圆形和一个长方形，它们恰好可以围成一个圆柱。狗蛋好奇了， 这个圆柱形盒子能装多少东西呀？换句话说，就是这个圆柱的体积有多大呢？一起来看看吧！ 这回的问题有点特别了，要算一个圆柱的体积， 但这个圆柱还躺在铁皮上等着我们拼呢。所以我们得先弄明白圆柱该怎么拼起来才能进行计算。说来也简单，我们知道圆柱的上下两个底面是圆， 而侧面可以由一个长方形围成，所以在这块铁皮上，显然这两个圆就要作为圆柱的底面。而中间这个长方形呢，就可以用来围成侧面了。 不过到这就有个问题了，长方形该横着这样围起来，还是竖过来这样围呢？哎，这就要在图上找找线索了。 提示一下，仔细观察这个长方形两组边的长度，想想和底面圆直径的长度关系，请你自己先来想一想，哪种违法得到的侧面能和底面正好拼成一个圆柱呢？ 答案选 a。 其实选项 b 看起来就不太靠谱吧，我们先看看它，想象一下，这样细的一个圈和底面圆放在一起，怎么看也拼不到一块。 不过光凭这个说服力可能不够，关键的原因还是长方形和圆之间的关系。 我们看回到平面图上，两侧的圆紧紧的挨着铁皮上下的两条边，所以圆的直径就应该等于整个大长方形的宽， 也就是等于里面这个长方形的宽吧。那如果按照选项 b 的 围法，长方形的这条宽就要对应圆柱的底面周长， 也就是说圆的周长就也等于这条宽。哎，出问题了，按照这个围法，底面圆的直径和周长都等于长方形的宽，可同一个圆的直径和周长不可能相等呀， 所以这样围侧面和底面肯定对不上，没办法拼成圆柱，所以只能横过来围，让长方形的长围成圆的周长，这样才可能和底面圆拼在一起， 而宽只能作为圆柱的高，也就是说圆柱的高是八厘米。知道了该怎么围，心里就踏实多了。现在想要算圆柱的体积，就差个半径了， 这也很简单吧，刚才我们已经知道了，直径是八厘米，那半径就是四厘米，所以就能直接得到体积了，结果就等于四百零一点九二立方厘米。 小结一下，在这个用平面图形拼圆柱的问题里，我们得先把圆柱拼出来才能计算体积。其中的关键就是要确定长方形应该怎么围成侧面。 可以根据长方形和底面圆周长的长度关系，看看哪条边能和底面圆的周长相等， 把不可能的违法排除掉。接着，只要根据图上的条件，找出半径和高，算体积就是小意思了。 我们再来看一道更难的题，小锤拿到一块长是十六点五六厘米的长方形铁皮，像这样剪出两个圆，还剩下一块长方形，他们正好也能做成一个圆柱。 那这个圆柱的体积又会是多少呢？和刚才的问题很相似，首先还是要想一想，圆柱该怎么拼出来底面呢？依然简单，就是这两个圆， 那这个长方形又该怎么围成侧面呢？我们还是要找一找，哪条边能和底面圆周长相等。如果把长方形竖过来围， 就是长方形的宽，对应底面周长，这行不行呢？哎，注意看了，在图上，如果把这两个圆的直径连起来，就正好等于长方形的宽， 也就是说宽的长度是直径的两倍，那你说它能不能同时也等于底面圆的周长呢？ 答案，选 b， 不 能。一个圆，它的周长等于直径的派倍， 那直径的两倍就肯定不等于周长，也就是长方形的宽没法等于底面圆的周长， 所以竖着围肯定拼不成圆柱。其实，如果把底面的圆和它放在一块，就会发现，底面圆比围成的这一圈要大一些， 那就只能把长方形这样横着围了。此时长方形的宽就是圆柱的高，长就是圆柱的底面周长了。 把底面圆也拼上，圆柱就该长这样，那下一个任务就是要找出它的半径和高的长度了。 关于长度，我们似乎只知道这个大长方形的长是十六点五六厘米，它能派上什么用场呢？ 看好了，他其实可以看成是这两段长度之合，一段等于底面圆的直径，一段正好就是圆柱的底面周长。那你觉得可以得到什么样的数量关系呢？ 选 a， 两段之合等于十六点五六厘米，用字母表示数量关系。就是这样， 终于看到曙光了。 pi 取三点一四就是 d， 加三点一四， d 等于十六点五六厘米，算一下， d 就 等于四厘米， 半径呢，就是他的一半二厘米，至于高呢，也有了吧，别忘了他是直径的两倍，所以就是八厘米。 你看，憋了好半天，这下一口气把半径和高都搞定了，超爽有没有！好了，最后算一下，体积等于一百点四八立方厘米，这就是问题的答案了。 回看一下，在这个问题里，也需要我们先确定圆柱的拼法，再计算体积， 只不过这里的长度关系隐藏的比较深，要多绕几个弯才能确定拼法，并找出半径和高用来计算。所以遇到这样的题目可要多点耐心，瞪大眼睛仔细观察。 最后总结一下，在这个视频里，我们研究了用平面图形拼成圆柱的问题，其中最关键的就是要确定长方形该怎么围成圆柱的侧面， 这就需要通过观察图形，找一找长方形边长和底面圆之间的长度关系来确定围法。 确定了圆柱后，就要根据图形的长度关系找出它的半径和高，最后体积就能轻松计算啦！

好，同学们，大家好，今天我们讲一下圆柱和圆锥一的课堂练习。我们看第一题， 一个圆柱体的体积是五十点二四立方厘米，那么底面积，呃，底面半径是 两厘米，底面半径是两厘米啊，两厘米，然后呢将它切成若干个扇形，然后拼起来一个等高的长方形，那增加的面积等于多少平方厘米？ 这里面呢我给他讲一个概念，这这种指数体的体积呢，就是 v 啊，圆柱体，它属于指数体的体积呢，等于什么呢？ s 底啊，都等于等于底乘以高， s 底乘以高，这个呢跟长方底、立方体和正方体都是一样的， 那么底面积是多少呢？底面积是二乘以二乘以三点一四，是吧？等于 十二点五六，十二点五六平方厘米，他的体积的话是等于五十点二四除以什么十二点五六等于四等于四， 嗯，四厘米啊，也就是说这个高是四厘米。 那做了这一步的时候，接下来的话，我们要看一下怎么去拼成一个长方形的，怎么去拼成一个长方形的。我们知道高是四厘米啊，这个是一个拼成长方形的模型，也就是说这个是圆柱体拼成一个长方形。你看多大的面，是哪个面呢？是这个面 啊，到这来看比较好看一点，这个是半径对吧？这个是高了，对吧？这是高就多了这两个面了。大家看清楚了，这边的面的话，刚好是等于这这一半的这一半的面，这边的面呢刚好等于那一半的面。 上面这个面呢和下面这个面呢，刚好是上底和下底无非就多了这两个结面，那这两个面的话，也就是说一个那个半径是 r， 高是 h， 那 就是 r 乘以什么 h， 那 就 r 乘以多少乘以。刚才算的是四，是吧？ 四，那就等于八零八平方厘米了，那两个的话就是八乘以二等于多少？十六平方厘米，大家看清楚了啊， 它是十六平方厘米啊，它这个直接是成了啊，把这两个面合在一起，也就是这样子合在一起啊，等于四乘四啊，等于十六平方厘米。重点是掌握这张图，这张图要掌握好啊，大家看一下怎么去做啊？那第二题 有一个长方形的铁铁皮，剪下了图中两个圆的及一块长方形，正好可以拼成一个圆柱体， 那么这个圆柱体的底面半径为十厘米， 那么这个圆就是原来铁皮长的面积为多少？这个十厘米，那这个就很好求了，因为他拼成一拼成一个长方形圆柱体的，说明这一圈的话，就等于这个长度， 对不对？那这个等于多少呢？十乘以二乘以什么？三点一四等于六十二点八厘米，也就这个是六十二点八厘米， 对吧？这个是，这个是十，这个也是十，这个也是十，这也是，那就是六十二点八，加上十乘以什么四十乘以四啊，乘以四，它就等于四，是一百零二点八，一百零二 点八，这个等于十，这个等于十，那那就是二十十乘以二，那 等于二十厘米，对吧？这个没有平方二十厘米，对吧？那这个长方形的面积就是长乘宽了，那就是得一百零二点八乘以二十等于 二零五六平方厘米。平方厘米，二零五六平方厘米。看不清楚的话，我们现在整个的体积或者 这个就是算到了这个长度，嗯，对吧？这个呢是算到了这个高度，当然是长乘宽，这个宽度当然是二零五六，二零五六平方厘米， 这比较简单，看第三题，已知直角三角形边长为三四五啊，三厘米，四厘米，那么分别以这三角边旋转一周，得到了立方体最小的面积是多少平方厘米？那是三四五了。 我先第一个来好不好？第一个来，这个是三，这个，呃，不行，这个是四，是三，这个是五，我们得到的面积应该是里面的话，应该是三的平方啊， 是三的平方，三乘以三，一样的啊，乘以什么？乘以 pi， 正面的话应该是他乘，他乘以 pi， 对 吧？三乘以五，乘以 pi。 九加十五还是四派啊？这个呢，就是这样子的，以这个四为轴的啊，接下来的话我们可以看一下，如果是这样的为轴呢？这个画的不好， 这个是三，这个四，这个五以这个为轴，这个为轴，那旋转的话，那底面的话也是四乘以四派，对吧？ 加四乘以五派。哦，这个比较大。十六啊，三十六派，这个比较大啊，还有一种呢，就是有一种，这种有点难，是这样子的， 这样子，就这样子，一个，这三，这四，这是五，这样子旋转，这样子旋转，这样子旋转呢？分为上下两个都是圆锥体，上下两个都是圆锥体，这个圆锥体呢？注意好了， 他没有这个这个小圆了，只是这个侧面加上这个侧面中间没有了，那这个侧面的话，这个等于这个等于多少呢？这个我们根据面积法来求啊，因为这个是面积的话，三乘四， 三乘以四除以二，对吧？这个是整个的面积等于三乘四，除以二。这个直角三角形又可以写成什么？五乘以这个高，那就除以五，就是高了， 对吧？除以五，哎，不对，这个等于多少？等于六，这个整个面积等于六平方厘米， 那要求这个高的话，应该是六乘以二除以五，对吧？是不是面积乘以二除以五，那等于什么？二点四平方厘米，大家再熟悉一下已知三角形的面积，然后又起到底，那高的话，就马上用面积乘以二除以五，除以底， 那就这个是二点四了。好，它的面积怎么求呢？这面积。这个是四乘以二点四，乘以什么？ pi， 对 吧？这个呢？是三乘以二点四，乘以什么？ pi， 哎，这个等于 七乘以二点四了，这三四个四嘛，那就七乘以二点四，七乘以二点四，二十八， 嗯，十四一，十六点八，十六点八。派，这个是最小嘛？一个是二十四，一个三十六，一个二十四，一个十六点八嘛，那就这个最小了，那这个面积最小了。你把十六点八求出来。 十六点八乘以三点一四，比较难算啊， 小数先不看，二十五一二 十八，八四三幺四，那个二五这边等于九加八点七减一，二加个减一，那就是五五十二点 五，十二点七，五二七五二平方厘米，这个大家看好了，怎么去做的啊？五十二点七，五二平方厘米，算起来说直接乘以三点一四都还好。好， 我们看第四题，如图，直角梯形 b、 c 等于 十五， ab 等于八， a、 d 和 c、 d 等于十，那以 ab 为边旋转一周得到几何图形啊？这个呢，我们要把它怎么得到？一个图形是一个圆台一样的，我们要把它怎么把它拼起来啊？拼成一个什么圆锥， 这样子的话，我们用大圆锥剪去小圆锥的图形啊，侧面积因为不好求嘛，对吧？所以说呢，我们把这个图形的话，要把它这样子。怎么拉？画不写不直呢？画直一点还是不直？ 这样直一点。这个等于这个等于十五，这个等于十，这个也等于十，对吧？这个等于八。好了，这个的话， 我们要求到这一段的长度，对吧？这一段我们设为 a 好 不好？我们知道三个这个三角形和这个大的三角形是，呃，属于相似模型。那就十比上什么十五，那就等于 a 比上什么 a 加上十啊？ 也就这个三角形和这个大三角形，它就是形状是一样的，只不过比例不一样，大小不一样。完了，这个乘起来的十五， a 等于内向，乘内向等于外向，乘外向。十 a 加上什么？一百，那就五。 a 等于 一百， a 等于二十， a 等于二十，也就这个地方等于二十了。好，这样子的话，我们把这个侧面就先把它算出来，这个侧面的话应该等于十乘以二十乘以二，这个大的侧面呢，应该是二十加上十，对吧？ 前面的下面应该是十五，十五乘以乘以 pi 啊，那就减一下等于四百五十，减去两百零二百二十五 pi。 接下来这边呢，要算这个了啊，这个旋转一周呢，它也是一个什么？嗯？圆，对吧？十乘以十乘以什么 pi？ 这个呢？是十五，十五乘以十五乘以什么 pi 等于 这是两，一百二百二十五，三百二十五块，三百二十五块， 这是，这个是不是二百五十，这个四百五十九，二百五十块啊，对吧？那就是二百五十块，加上 三百二十五派，等于五百七十五派，五百七十五派，那就是三点一四，乘以五百七十五五的话，那就十五点七十五七，这个呢？七值二十一九八， 二十一九八二一九八，然后呢零七幺五，答案是等于零，这个是八啊，五，别加错了，五，进位 五，再进位零，再进位八，然后这个等于一，等于一百零一百八十点 五点五。一，一千八百零五点五啊，有两位小数嘛，对吧？啊，这题目的话，稍微有点点难度啊，一千零一千八百零五点五啊， ok， 接下来我们看第五题， 有一个圆柱体的菱，呃，图形啊，零件高是十厘米，直径为六厘米，直径为六厘米， 高于十，直径为六，那这个零件有一段开了一个圆锥的小孔，圆锥直径为四厘米，四厘米，这个为四， 高为五。如果将这个零件就是空气涂，就是空气的部分都涂上油漆，那么一共多少多少平方厘米？ 这个呢，我们可以看一下这个整个用整个圆柱体的外面来看的话，这个面的话和下面这个面可以补上去，所以说整个的可以看到。杰哥，就是说整个圆柱体的 表面积没有变，只不过加了这一圈内部一圈，那圆锥的表面积应该是六除以二等于什么？三厘米，这是半径三乘以三乘以什么？ pi 乘以二，这个是上下底面的，再加上六乘以 pi 乘以什么？十，这个是侧面的， 然后再加上什么？加这个，这个的话，这里面的一个侧面，那就四乘以 派，嗯，乘以五，那总共等于多少？十八派，最后再加上六十派，加上是二十派，那等于九十八派，九十八派， 九十八派，等于一百派，减去两派了，对吧？那就等于三百一十四，减去 六点二八，这算起来也比较简单了。等于三零八七点七二，三零七点七二平方厘米啊，这没任何复杂计算嘛。答案等于三零七点七二平方厘米，算起来比较简单啊。 好，接下来我们看一下第六题。下图是一个菱形的直观图啊，下部分菱长为四十厘米的长方体， 上面是圆柱体的一半，圆柱的一半，那求这个菱形的表面积。我们先用长方体啊，这正方体先求一下四十厘米，那就四十乘以四十，对吧？ 四十乘以四十，是吧？这是四十乘四十一个面，那总共几个面？五个面，你们上回一个面没有了。乘以五等于两百八千八千平方厘米，然后我们再算这个面，这个面，这个，这是四十，那就 四十除以二等于多少？二十厘米，对吧？这个是二十厘米，二十乘以二十 乘以 pi， 对 吧？然后除以二，对吧？一半，然后那边还有一个，那要乘以二了，相当于就是没有吗？对吧？相当于就是这两个合在一个圆，那就等于四百 pi， 对 吧？ 这个没问题，四百 pi 平方厘米，然后这个外面，这个这个圆，这个侧面呢？侧面的话，就这个 四十四十派，对吧？这是四十派，整个圆，四十派，那是一半，一半，再除以二，然后再乘以什么？乘以四十，那就等于多少呢？嗯，二十二十乘四十等于八百派， 那把整个加起来就是八千，加上四百派，加上八十派，八百派，八百派。写错了， 等于八千，直接算了。加上一二五六，加上二五一二，等于八千，加上 八六三二六七三七六八，那等于一 一七六八啊，平方厘米啊，一一七六八平方厘米，算起来还是用加法上面啊，大家如果没有，如果没有算对的话，用列个数式啊，列个数式，当然是一一七六八平方厘米。 接下来我们看第七题，如图。呃，下图是一个半径为三的，高为十二的圆柱。蚂蚁呢，从 a 点爬到 c 点，它的最短距离是多少？也就是外面去爬，你不能从里面去爬，对吧？ 这是 part 三，大家注意好了，那这个这个爬开来的话，就相当于这个嘛，就求这个侧面了呢，这个侧面展开了，应该是这样子的， 这个是 a 啊，这个是 b 啊，这个是 c， 这个是 d， 展开了，不是展开直面了，那要想爬到那个 d 最短的话，是不是直线最短了，对吧？线段之间是最短的，所以说啊，那么这个这个高是十二，没有问题的。那这段长度有多少呢？ 我们算一下，那就这一段的长度了，那就半径三三乘以二啊，是直径再乘以什么？ pi， pi 是 三， pi 是 三， 这个是 pi 再除以二，因为半个长度嘛，那就等于九了啊，等于九啊，等于九，这样，这个等于十啊，那求这一段的长度。这里面用到一个勾股定律啊，勾股定律呢，我们直接简单的可以讲一下啊， 勾股定律就是两条直角边的平方，然后就等于它的平方，明白吗？就两条直角边的平方和，我说错了，直角平方和也就九乘以九加上十二乘以十二 啊，算出来就等于差的平方，那就等于八十一，加上一百四十四乘以二百二十五，也就这两个和的平方等于二百二十五，那这个等于多少呢？这用分解这些数的话，一定要十五乘以十五 等于二百二十五乘十五乘以十五，那说明这条边就等于十五了，那最短距离就是十五，十五最短距离就是十五。这里用了一个勾股定力，勾股定力的话，我把这个勾股定力写在这了，这是 a， 这是 b， 这是 c， 那 么就是 这是直角，那就是 a 乘以 a 加上 b 乘以 b 等于 c 乘以 c， 这是勾股定，这是勾股定。这个呢，到初中也就经常会学啊，小学里呢，能掌握一点就掌握一点啊。 答案是等于十五等于十五啊。接下来我们看一下第八题， 圆柱体报停呢，有个高和底之间都相同的， 指高和底之间都相同的。开一个边长等于半径的正方体的圆柱圆。呃，窗口，请问窗口挖去的圆柱体的面积占了整个圆侧面积是几分之几， 也就这个的面积占整个的面积几分之几啊？那我们先看一下到底什么关系，这个是二，对吧？我们这个因为这个是横过来，是一个正方形吗？对吧？是正方形，所以这道也是，这个也是二了，对，这个也是二 啊，也就是这个连成一个直线，这个是二。咱们知道这个是因为是等于二，都是等于二，对吧？这是二二吗？这个也是二了， 那这个是啊，那三个都等于二，说明这个角等于六十度了，那如果他不给你切的话，你自己也能算得出是六十度啊， 也就这个是六分之一啊，整个是六分之一，大家可以看一下啊，也就这个弧长吧，是六分之一啊，好，那我们这样子，我们把这个图展开看一下，把这个侧面展开看一下啊，高是二没有问题，那这个里面呢？这个高是二没问题， 那这个是 a， 对 吧？这个是 a， 那 这段就是什么六 a 了，你看六个，对，我们看求面积，这个面积的话应该等于整个面积应该等于六 a 乘以什么二二，这主要一个这个六 a 要算出来啊，等于什么十二 a 啊？这个没问题，我已经我已经算了，这个是六分之一了啊， 这个是整个面积，中间那个面积呢？应该是 a 乘二等于什么 a 二。哦，挖去的面积占整个面积的什么 a 二除以什么十二 a 二等于什么？十二分之一，占了整个侧面积的十二分之一。这题目还是比较简单的， 你不需要去计算，不需要去计算，只要把它四个四个字母就可以了啊，答案是十二分之一。今天的作业呢就讲到这个地方，希望。

今天狗蛋老爸又在鼓捣木材了，只见他把一块圆柱形的木材斜着切了一刀，只留下下面这一小块， 剩下的这段高是十厘米，而底面是个半径五厘米的圆，这样的形状可是头一回见呀。于是老爸又给狗蛋出题了， 这回能不能想办法算一算，剩下这块木材体积应该是多少呢？ 狗蛋看着这块木材有些头疼，老爸原来都是拦腰横着切，这回斜着切形状都不规则了，该怎么算体积啊？ 哎，确实有点难，但办法肯定还是有的，我们可以这样想，这块木材的形状上，最让人头疼的其实就是斜着切出来的这个斜着的面， 是他阻止了我们计算体积，那要是能想办法让他消失，把木材变成某种我们会算的形状，那就好了。不过该怎么变呢？ 狗蛋仔细观察了一会，突然发现，哎，如果从正面看，这个形状正好是个三角形，哎！说到三角形，狗蛋想起来，最初在研究三角形面积的时候，我们用过拼的方法， 想像一个一模一样的三角形，然后把它们头对头，这样拼在一起，就能拼成一个平行四边形，这样不会算的图形就变成了会算的图形。 那回到这块木材里，既然他长得和三角形如此有缘分，同样的思路能不能用呢？来试试看， 如果把它复制一个一模一样的摆在旁边，然后来试着拼一拼，比如这样这样这样，你觉得怎么拼能得到我们熟悉的会算的图形呢？ 答案选 b 很 容易看出来吧，它们只要这样头对头拼起来，就能让斜着的面完美的消失，拼成一个平平整整，规规矩矩的圆柱， 而圆柱的体积我们会算，那其中一块的体积呢，就是圆柱的一半了，问题居然就这样解决了，那就赶紧来算算圆柱的体积， 他的半径是五厘米，而高呢，正好是其中一块的高十厘米，所以圆柱的体积就等于三点一四乘五的平方，再乘高十，等于七百八十五立方厘米。 不过还不能着急放下笔，别忘了，七百八十五立方厘米是两个物体的总体积， 所以其中一个的体积还得用它除以二才对，应该等于三百九十二点五立方厘米。这就是我们想要的答案了。 你看，这个物体的体积还是有办法计算的，解决问题的关键是要把形状不规则的物体变得规则起来， 所以我们可以借鉴求三角形面积的经验，想象另一个一模一样的物体，把它们的斜面拼在一起，让不规则的部分消失，就能拼成一个我们熟悉的圆柱， 那其中一个的体积就是圆柱体积的一半。接着计算就很简单了， 带着这个方法，再来看看下面这个问题，还是斜着切一个圆柱，但切的位置变高一些，留下了这样一块 最高的地方，高度是二十五厘米，最矮的地方呢，是十五厘米，里面半径还是五厘米，那它的体积是多少，又该怎么算呢？ 这回的形状又不一样了，不过有了刚才的经验，我们可以把图形先变个样子，用切割大法给他横着来，一刀 切成一个圆柱，加上面这部分，现在这两块你都很眼熟了吧，接着只要分别计算它们的体积，再加起来就能搞定了。 不过其实不切也可以，因为他也能直接拼。你看，如果我们再想象一个一模一样的图形出来，然后用同样的办法，斜面对着斜面拼在一起，哎， 同样也能让斜面消失。拼出一个圆柱来，同样其中一块的体积就是圆柱的一半，这可比切成两部分再计算省事多了。我们就直接来算算它的体积， 圆柱的底面半径是五厘米，要求体积还得知道高，那高是多少呢？ 哎，这就要注意看了，在原来这个物体里，最高的地方是二十五厘米，最矮的地方是十五厘米， 那现在两个这样的物体，最高和最矮的两段拼在一起，你觉得圆柱的高应该是多少呢？ 答案选 c。 从图上也能看出来，圆柱的高应该是二十五厘米的这段，加上十五厘米的这段，所以一共就是四十厘米。 现在高也有了，圆柱的体积就可以根据半径和高列式计算，等于 pi r 方 h 等于三点一，四乘五的平方乘四十， 结果等于三千一百四十立方厘米。当然最后也别忘了，除以二才是一块的体积等于一千五百七十立方厘米。最后写上答，题目就做完了。 好了，最后总结一下这两个问题，都是要计算不规则物体的体积。以前在研究平面图形面积的时候，我们就用过把两个一模一样的图形拼在一起的办法， 把不会算的图形变成会算的图形。那在研究体积的时候，也可以利用这种思路， 比如这个视频里我们遇到的问题，就可以通过把两个一模一样的物体相拼得到圆柱，接着再算体积就很简单了。 总之关键就是要把不规则的物体变得规则才能计算。

高中数学五十个必备公式全部吃透！逆袭班级前三二次方程求根公式对数运算均值不等式二三角函数基本横等式二倍角公式下斜弧长与面积圆柱体积表面积 直线斜率公式点到直线距离自然数列求和排列数公式条件概率公式完整版分享！

同学们好，我是小狐狸老师。今天我们来对北师大版的七年级上册数学基础知识做一个全解。 我们先来看第一张丰富的图形世界。第一个考点是立体图形，我们先来看什么叫做立体图形，图形的各部分都不在同一个平面，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥球、棱柱、棱锥，这些都是我们常见的立体图形。 立体图形就是形容我们见过的这种样子，它都叫立体图形。而平面图形就是我们常见的长方形、正方形、圆三角形、梯形，这些都是平面图形。 那常见的立体图形呢？有两种分类方法。第一种就是按它的形状进行分类，分为球体、柱体、锥体以及台体。球只有一个，就是一个球，他没有任何的分类。而柱体我们把它分为圆柱和棱锥， 台体分为圆台和棱台。很多同学不知道台体是什么样子的，圆台就是这个样子， 这就是我们的圆台，而棱台就是这样子的一个， 这就是我们的棱台。那按照结构分类的话，我们把立体图形分为多面体和旋转体。多面体是指由平面围成的立体图形，比如说我们这种， 而旋转体是指绕某一轴旋转一周，比如说我这里有一个轴，这里有一个三角形，我这个三角形绕这个轴，这样旋转一周就会形成一个圆锥，那么它就是一个旋转体。 好，下面我们来看第二个棱柱的相关概念。在棱柱中相邻的两个面的交线叫做棱，就是这里我们看得到的这种线都是棱，相邻的两个侧面的交线叫做侧棱，这里我们的棱与棱也有区别，这里这三条线都叫做侧棱， 这些都叫侧棱，而上面这些面上面的棱不叫侧棱。根据底面图形的边数，我们将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱。数一数，我们底面有几条边，一二三，所以它就叫三棱柱，一二三四、四棱柱、一二三四五、五棱柱。大家发现这个四棱柱它是不是很特殊？ 四棱柱，这是我们看到的一个不规则的一个，就是底面是一个不规则图形。如果说我们的底面是一个长方形， 底面是一个长方形的四棱柱，大家看他熟悉不？他是不是就是我们的长方体啊？那同样的我们的底面是一个正方形的话，那这个四棱柱就是我们的正方体，就是四棱柱。是长方体和正方体以及我们嗯不规则的这种四边形组成的棱柱， 那他们的底面的形状分别就是三角形、四边形、五边形、六边形。你看我们的长方形和正方形是不是归到我们的四边形里边啊？下面我们来看一个， 下面我们来看一些注意事项，棱柱所有的侧棱长都相等，棱柱的上下底面形状都相同，侧面的形状都是平行四边形。 第二个就是长方体，正方体都是四棱柱。棱柱可以分为直棱柱和斜棱柱，就看你的侧面和你的底面是否是垂直的关系，而直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形。 下面我们来看点线面体、长方体、正方体、圆柱、圆锥、求棱柱、棱锥，这些都是几何体，几何体我们也把它简称为体， 那包裹着体的就是面，面有平的面和曲的面，面和面的交线我们就叫线，线也分为直线和曲线两种，线和线相交的地方就形成了点。从上面的描述中我们就可以看出点线、面体之间的关系就是点动成线，线动成面，面动成体。 一个点一直走，他就形成了一条线，而一个线一直转，他就形成了一个面，而面绕着一个轴去旋转，他就成了一个体。 下面我们来看展开、折叠所有的立体图形，它都是有很多的平面图行为成，那么我们把这个立体图形给它展开，就可以形成平面图形这样的图形，我们把它称为立体图形的展开图。我们大家一定要注意一个正方体的 几种展开图形，一定要牢记正方体的展开图形只会出现四一一四一一三二以及二二二和三三的这种形式。如果说一个正方体的展开图给你画成了一个这种形式，一 二三的这种形式，那么你要注意这根本就不是正方体的展开图。正方体的展开图是咱们在展开与折的里面考察比较多，而且比较难的一个点。 好，下面我们来看截一个几何体，用一个平面去截一个几何体，截出的面就叫做截面。比如说我们的一个正方体， 我拿一个面去把它截开，也就是说我拿一个刀把它从这里切开，是不是就会出现一个新的截面，就是新的漏出来的那个面，我们就把它叫做截面。截面的形状可能是三角形、四边形、五边形或者是圆，就是看我们是怎样去截这个图形的，具体问题具体去分析。 下面第四个考点就是从三个方向看物体的形状。一般情况下我们都是从正面、左面和上面来看， 如下图所示，从正面看就是这个图，这个图，这个图，我们就成了这样一个图形，而从左面看，只能看到这个黄色的和下面看不到的那个图形，以及这个小正方体的这个面。然后从上面看，就是这个面，这个面、这个面以及这个面就是这样的一个图形，而这三个方向我们又把它叫做三是图。 好，下面我们来看第二张有理数及其计算。第一个考点就是我们的正数和负数。 首先是我们正数和负数的概念，大于零的数，把它叫做正数，在正数前面加上一个符号的数，我们把它称之为负数。大家一定要注意，零既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界线，是整数，是自然数，是有理数。 不是所有带负号的数都是负数，而是在正数前面加负号的数才叫负数。比如说这是什么意思啊？就比如说负的括号负二这样的一个数，它是不是表示一个正数啊？ 对不对？而负零我们在零前面加一个负二，它也不叫负数，它仍然是零，所以它也不叫正数，它也不叫负数。而这个负二的相反数，它是一个正数正二。所以说我们只有在正数前面加上这种符号，它才叫负数 啊。那在这里的话，我就跟大家强调一个字母，如果说给你一个字母前面加一个符号负 a， 它就不一定表示负数，明白没有？我们一定要看 a 到底是大于零等于零还是小于零的情况，只有当 a 大 于零的时候，负 a 才表示负数。如果是 a 小 于零的话，负 a 它就表示一个正数， 那在同一个问题上，用正数和负数来表示具有相反意义的量。下面我们来看有理数的概念。 我们的有理数分为整数和分数，整数和分数统称为有理数，我们的整数又是正整数、零和负整数， 分数就是正分数和负分数。大家一定要注意，有限小数和无限循环小数都是有理数，因为我们的有限小数和无限循环小数都是可以转化成分数来写的，因此我们的有理数就可以表示为只要能够写成 m 分 之 n m 不 等于零的这种形，这种形式的话它都叫做有理数。 注意，正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 那我们有理数的分类有两种，第一种就是按照定义进行分类，有理数分为整数和分数，整数包括正整数、零和负整数，分数包括正分数和负分数。还有一种就是按照它的性质进行分类，有理数分为正有理数、零和负有理数，这也叫按照它的符号进行分类。 正有理数分为正整数、正分数，负有理数分为负整数和负分数。大家一定不要把零给忘记了，下面我们学习了数轴。数轴的概念，就是规定了圆点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。数轴的三要素是圆点、正方向和单位长度， 数轴上的点和有理数的关系就是数轴上的点和有理数是一一对应的。也就是说在一个数轴上，我们能够找到所有的有理数， 所有的有理数在这个数轴上都能找到。但大家一定要注意一个点，数轴上的点不是全部都是有理数，明白吗？有理数全部在数轴上，但数轴上的点不是全都在，全都是有理数。我们到七年级下册会学习一个无理数的概念， 五里数，五里数也在数轴上，比如说我们现在认识的五里数派派是三点一四一五九、二六，他在三和四中间，是不是再从三三到四的这个过程当中，一定有一个位置是派，只是说以我们目前的这种这种精度，没有办法把它准确的给描述出来，但他一定存在这一个点，因为三到四是一个连续的数。 好，下面我们学习相反数。相反数的定义就是只有符号不同的两个数互为相反数，特别的零的相反数是零。所以如果问你谁的相反数是它本身，那么就是零。 第二就是相反数的性质， ab 互为相反数，那么就 a 加 b 等于零。反之，若 a 加 b 等于零，我们就可以得到 ab 互为相反数。 一个有理数有且只有一个相反数，正数的相反数是正数，零的相反数是零。 下面我们来看相反数的几何意义。一般的在数轴上互为相反数的两个数对应的点在原点的两侧，并且到原点的距离相等，也就是说在数轴上这是零。如果 a 在 这里，那么它的相反数负 a 就 在这里，这个负 a 和这个 a 到原点的距离是相等的， 然后在相反数里，我们经常会遇到一种多重符号的化简，在两个符号的时候，符号如果是相同的，则是正数， 符号如果是不同的，那么就是负数。而涉及到多个符号的时候，三个或三个以上符号的化简，我们就去看符号的个数。如果说符号的个数是偶数个，那么结果就取正号。比如说负的负的负的负的正的 负的正的负的三，他的结果是正还是负，我们就看他负号的个数，一二三四五六六个符号，那么他的结果就等于正三。那如果说他负号的个数是基数个，结果就去负号，比如说前面我再加一个符号，那么他就等于负三。 下面我们来看，下面我们来看绝对值。绝对值是咱们七年级上册的一大难点，我们先来看它的定义，数轴上表示数的 a 的 点与圆点的距离叫做数 a 的 绝对值记作绝对值 a， 这个是绝对值的符号是这个样子的，读作 a 的 绝对值。 它的几何意义就是一个数的绝对值就表示这个数的点到圆点的距离，离圆点越远，绝对值越大。那么从这句话我们就能发现 数轴上一个点 a 到圆点的距离。所以说无论这个 a， 它无论这个 a， 它在负半轴，它还是在正半轴，它的距离是不是都是一个大于零的数啊？这就是它的几何 e， 那 它的代数意义就是一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。从这句话我们也能看得出来， 正数的绝对值是它本身，是一个大于零的数，负数的绝对值是它的相反数，负数的绝对值是一个正数，也是大于零的数，零的绝对值是零，是等于零的数。因此我们也能发现，绝对值具有非负性，是一个大于等于零的数， 那非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 a 大 于零时，绝对值 a， a 等于零时，绝对值 a 等于零。小于零时，绝对值 a 等于负 a。 或者我们可以写成两种情况，当 a 大 于等于零时，绝对值 a 也等于 a。 当 a 小 于等于零时，绝对值 a 就 等于负 a， 那 反过来，如果说告诉你绝对值 a 等于零等于等于号，一定不能忘了。当绝对值 a 等于小于等于零， 下面我们来看绝对值的性质。绝对值是 a， a 大 于零的数有两个，他们是互为相反数的，即为正负 a。 也就是说，如果题目上问一个数的绝对值等于五，那这个数是几？这个数就是正负五有两个， 我们看第二个，就是绝对值的非负性。刚才我们已经强调过了，任何一个有理数的绝对值都大于等于零及绝对值 a 大 于等于零，几个非负数之合等于零，那么每一个非负数都等于零。比如说，若 a 的 绝对值加上 b 的 绝对值等于零，那么我们就能得到 a 等于零， b 也等于零。 我们比较大小有两种方法，第一种是竖轴比较法，在竖轴上，右边的数总比左边的数大，如果说你能把这两个数在竖轴上给表示出来，那么左边的这个 a 一定就小于右边的 b。 第二种就是代数比较法，正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。这就是我们判断大小比较的一个依据。那如果是两个正数比较大小，我们就看谁的绝对值更大，那么他本身就更大，那两个负数比较大小，就绝对值大的反而就更小。 比较两个负数大小的步骤就是先求出两个负数的绝对值，比较两个绝对值的大小，然后根据两个负数绝对值大的反而小做出判断。比如说负三和负五，我们先求出它的绝对值，负三的绝对值等于三，五的绝负五的绝对值等于五，而三的绝对值要小一些，那他就反而更大一些，也就是负三大于负五。 下面我们学习了有理数的加法。我们先来看有理数的加法法则，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加， 绝对值不相等的一号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加，仍得零。比如说负三加上负二，这是同号相加，我们就取相同的符号负的，再把两个绝对值相加，等于负五。 那如果说是一号两数相加，负三加上二，那就取绝对值较大的这个符号。负三的绝对值较大，取负号，再用两个绝对值相减负一，或者我们用五加上负二，那这里的话，我们就取绝对值较大的这个符号。五的符号是正的，再用五减去二，就等于三， 那一个数同零相加，仍得这个数。下面我们来看有理数的加法运算率，加法交换率，两个数相加，交换加数的位置和不变， a 加 b 等于 b 加 a。 加法结合率是三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加和不变， a 加 b 括起来，加 c 等于 a 加上 b 加 c 括起来。 下面我们来看有理数的减法。有理数的减法法则是减去一个数等于加上这个数的相反数，也就是说 a 减去负 b 就 等于 a 加 b， 负 b 的 相反数是 b。 我 们把减法换成加法，把后面的减数换成它的相反数。比如说五减去负三，我们就写成五加上三， 五减去三就等于五加上负三，我们都可以这么去写。好，下面是我们有理数的乘法。我们先来看乘法法则，两数相乘，同号得正，一号得负，并把绝对值相乘，负三乘以负二，结果同号得正等于六。负三乘以二，一号等于负负六。 任何数同零相乘，结果都等于零。有理数的乘法法则推广就是几个不等于零的数相乘。积的符号由负因子的个数决定，当负因子有负数个时，积为负，当负因子的个数有偶数个时，积为正。 几个数相乘，如果有一个因子为零，那么积就等于零。就比如说负三乘以负，二乘以负，五乘以负八，这里负因子的个数是四个，那么它最终的结果就是正八，那么它最终的结果就是负的。 好，下面我们来看有理数的乘法运率，它有三个运率，分别是交换率、结合率和分配率。交换率很简单，就是 a 乘 b 等于 b 乘 a， 结合率就是 a 乘 b 乘 c， 就 等于先乘 ab 再乘 c， 或者先乘 bc 再乘 a 都可以， 而分配率就是 a 倍的括号， b 加 c 等于 ab 加 ac， 这是我们特别常考的一个类型。在我们进行乘法分配率的时候，一定要注意带符号进行计算，比如说负三乘以负二减去三，那这里的话就等于负三 乘一个二，减去负三乘一个三，这就是我们的乘法分配率。大家一定还要注意一个数，我们的分配率是对乘法来说的，除法不能用乘分配率。下面我们来看有理数的除法。在学习有理数除法之前，我们要先要了解一个倒数的概念。 倒数的定义就是乘积为一的两个数互为倒数，也就是说二的倒数是三分之一，五分之二的倒数是二分之五， 那它的性质就是负数的倒数还是负数，正数的倒数还是正数。负二，负五分之二的倒数就是负二分之五。 注意就是一个零没有倒数，因为我们的零不能做分数，不能做分母，而倒数等于它本身的数有两个是正负 一。下面我们来看除法法则，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数。比如说二除一个二分之一就等于二，而乘以个二，把后面的这个除数换成我们的倒数。 两数相除，同号得正，一号得负，跟我们乘分的符号判断法则是一样的，并把绝对值删除，零除以任何一个不等于零的数，结果都等于零。 下面我们来看第十一个考点。乘方运算求 n 个相同因素的积的运算就叫做乘方，乘方的结果叫做密，即有 n 个 a 相乘，我们就把它写成 a 的 n 次方，在 a 的 n 次方中， a 叫做底数， n 叫做指数。 那乘方的运算符号法则就是正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。因为我们的乘方其实就是从乘法演变而来的，因此它的这个符号判断法则也符合咱们乘法符号的判断法则。 第三个就是零的任何次密都是零，任何一个数的偶次密都是非负数。那在这里呢，我给大家强调一个，就是负一的 n 次方。负一的 n 次方是咱们在找规律的问题里面特别喜欢考的一个点，就是正负号交替出现，大家一定要注意，当我们的 n 为偶数的时候， 他就等于正一，当 n 为基数的时候，他就是负一。在我们的找规律里面，一旦出现了正号、负号、正号、负号，这样符号交替出现的规律，一定要往负一的 n 次方或者是负一的 n 加一次方上面去考虑。 下面我们来看有理数的混合运算。我们有理数的混合运算顺序是先乘方再乘除，最后加减。同级运算的话，都是从左到右按顺序进行计算。如果说有括号，就先算括号内的计算，按照小括号、中括号、大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走，先确定符号，再去求值。 下面我们来看科学计数法。什么叫做科学计数法？就是把一个大于十的数表示成 a 乘以十的 n 次方的形式，其中是整数，数位的只有一位的数 a， a 是 整数，数位只有一位的数 a 的 绝对值要大于等于一小于十， a 是 正整数，这种计数方法叫做科学计数法。比如说 四十二后面这么多零，就可以把它写成四点二，乘以个十的七次方。我们这个七是从哪来的？就看小数点的位数后面有几位小数点表示在了这里，就数一位、两位、三位、四位、五位、六位、七位，这样后面就是十的七次方。 下面我们学习的是近似数，接近准确数而不等于准确数的数，就叫做这个精确数的近似数或者是近似值。比如说长江的长约为四千三百千米，那这里的四千三百千米就是一个近似数，因为我们没有办法准确的获得这个数值。 既然有近似数，那么肯定就有精确度。一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到了哪一位，精确到的这一位，也叫做这个近似数的精确度。比如说我们这个六千三百千米，这里这一位就是我们最终的这一位。就比如说我们的派 派的话，我把它写成三点一四，那这里我们这个四就是我们最后的一个准确位数，他叫哪一位？这是十分位，这是百分位。所以说这个三点一四，他就是我们的精确度，是零点零一或者精确到了百分位。 那有效数字就是从一个数的左边第一个非零数字起，到末尾数字为止，所有的数字都是这个数的有效数。那就比如说我们这个四千两百万这个东西，那在前面的这里， 它就叫做我们的有效数字。有一位、两位、三位、四位、五位、六位、七位、八位。有八位数字，八位有效数字，因为它是从左边第一个非零数字起，到末尾数字为止。那我们的这个地方，它的有效数字就只有两个，是四点二，后面的就不再是我们的有效数字。 看我们的科学计数法，表示金字数的有效数时，只看乘号前面的数字，后面这里写错了，应该是十的四次方， 带有计数单位的进次数的有效数字。看计数单位前面的数字，比如说二点六零五万的有效数字就是二六零五，后面的这些单位就不再算数。有效数字里面 下面是我们第三章的内容。整式的加减，我们看第一个考点是代数式。代数式的定义就是用运算符号加减、乘、除、乘、方、开方等等把数或者表示数的字母连接而成的式子就叫做代数式。单独的一个数或者字母也叫做代数式。 我们一定要注意，代数式中除了含有数和字母以及计算符号之外，还可以有括号，但是代数式中是不含有等号大于小于不等于等，这些符号的 等式和不等式都不是代数式，但是等号和不等号两边的式子一般都是代数式。就比如说二加 a 等于三加 b， 那 这个东西它不叫代数式，但是这里和这里叫做代数式。 代数式中的字母所表示的数，必须要使这个代数式有意义，是实际问题的，要符合实际问题的意义。比如说我们出现了一个代数式，里面是一个 a， 分 之 b 这样的一个代数式，你就必须要保证 a 是 不等于零的，因为我们的分母不能为零。 那下面我们来看一下代数式的数学规则，代数式中出现的乘号通常可以省略，不写成 v、 t， 数字应该写在字母的前面，比如说四 a， 我 们一般不写成 a 四的形式， 代分数与字母相乘时，应该先把代分数化成假分数，像这样二又三分之一， a 就 要写成三分之七， a 这种书写方法是错误的，因为二又三分之一中间是一个加号，但是后面我们与 a 这里是一个乘号，是一个乘号，这里应该是这样加个括号才对， 那数字与数字相乘，仍然用乘号，即乘号不能省略。在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，比如说四除以 a 减四，就会写成 a 减四分之四。 注意一下，就是我们的分数线是具有除号和括号的双重作用，就 a 减四，在在整式的这里写在就是这种形式去写的话，就一定要加上括号，那如果说写成分数的这种形式，我们就不用再加括号， 那在表示和或者是叉的代数是后面有单位名称的，必须把代数是括起来，再将单位名称写在数字的后面，比如说 a 的 平方减去 b 的 平方的平方米，这里就是一个单位，有单位的话前面一定要加括号， 这里应该是打这，大家注意一下，这里这个二，这里二，就是因为打字的时候可能是不兼容的问题。好，下面我们来看列代数式，用含有数字母和运算符号的式子，把问题中的数量表示出来，就是列代数式，这里就是我们学一元一次方程列方程的一个基础。 第二点下面就是我们求代数式的方法，一般的用数值代替代数式中的字母，按照代数式中指明的运算，计算的结果叫做代数式求值。我们代数式求值一般有三种方法，直接代入、化简代入或者整体代入。我们常考的类型就是整体代入，是最难的一种。 下面就是我们的单项式。什么叫做单项式？数字与字母的乘积，这样的式子就叫做单项式。单独的一个数或者字母也叫单项式。我们的单项式包括三种类型，第一个就是数字与字母相乘，或者字母与字母相乘的式子，比如说三 a， 比如说 ab， 比如说 x， 平方 y， 单独的一个，单独的一个数， 单独的一个数字，单独的一个数字也叫单项式。比如说五，比如说八，比如说 pi， 单独的一个字母也叫单项式，比如说 a， 比如说 b， 比如说 x， 比如说 y。 pi 大家注意它是一个数字，不是字母。 我们单项式中是不能含有加减运算的，但是可以含有除法运算。但如果分母中含有字母就不 行了。比如说 a 分 之 b， 因为他没有办法去写成我们数字与字母的乘积。但是像三分之 a 这种形式就可以，他可以写成三分之一乘以 a， 但是 a 分 之三，他就没有办法去写成数字与字母的乘积，他就不是。 然后是我们单项式的系数，单项式中的数字因素叫做这个单项式的系数，比如说五 a， 他的系数就是五，所有的数字部分都是我们的系数。单项式的系数可以是整数，也可以是分数或者是小数，比如说三乘以，这里写错了，应该是三乘以 a， 三乘以 a 的 系数是三，三分之 a， b， 他的系数就是三分之一。这里省略了一个系数是一四点八， a 的 系数就是四点八，所以说可以是整数、分数和小数。 单项式的系数就有正有负。确定一个单项式的系数，一定要注意包含它前面的符号。比如说负四 x、 y 的 平方，它的系数就是负四而负二而负的括号。二 x 平方 y， 它的系数就是负二，这个括号是没有影响的。 第三个，对于只含有字母因素的单项式，其系数是一或者是负一。比如说 a 或者是负 a， 它们的系数，它的系数是一，它的系数是负一，不能认为是零。比如说负的 ab 方，它的系数就是负一， ab 方的系数就是一。 表示圆周率的 pi 在 数学中是一个固定的常数，你看它是一个数字，当它出现在单项式中时，应该把它作为系数的一部分，不能当做字母。比如说二 pi 的 系数就是二 pi， 这里写错了。 我们单项式的次数是一个单项式中所有字母的指数的和，就叫做这个单项式的次数。我们在求单项式次数的时候，一定要注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是一的情况。比如说这个单项式，它的次数就是字母 x、 y、 z 的 指数和，也就是是四加二加一等于七。我们注意 z， 这里是有个指数是一的， 而不是六次，注意的就是字母 z 的 指数。下面就是我们单项式的指数，只和字母的指数有关，与系数的指数无关。像这种单项式，它的系数是负二，得四次方，而这个四是不参与我们指数的计算的，我们只看字母的次数，二加三加四等于九，而不是十三。 单项式是一个单独的字母的时候，它的指数就是一，比如单项式 m， 它的指数就是一。单项式是一个单独的常数时，一般不讨论它的次数，如果非要说它的次数，我们就把它的次数当做零。 第四个就是在含有字母的式子中，如果出现括号、乘号省写作这张点，或者是省略不写， 我们在书写单项式的时候，数字因素写在字母因素的前面，数字因素是代分数的时候转化成假分数，跟我们代数代数式的书写规则是差不多的。 下面是我们的多项式，我们多项式的概念就是几个单项式的盒，就叫做多项式，每一个单项式都叫做多项式的项，多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，而不含字母的项，我们把它叫做常数项。 多项式的次数就是多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。比如说三 x 平方 y 加上 x， y 加上一，这就是一个三 x y 平方 y 是 两次，这里单项式是是两次，这里单项式是一次， 而这个单项式就叫做三次。三项式取最高次的这个项，那在这个单项式里面，我们的这一项就叫做三次项，这一项叫做二次项，这一项叫做常数项。 下面我们来看什么是整式。单项式和多项式统称为整式。单项式和多项式都是整式， 而整式不一定是单项式，整式也不一定是多项式，分母中含有字母的代数式也不是都是整式，因为还有一种情况就是我们刚才举的例子，分母上面出现了字母，那这种就是我们以后要学习的分式。 下面我们来看同类项。什么叫做同类项？就是单项式中所含的字母相同，相同字母的指数也分别相同。比如说 x 平方 y 和五 x 平方 y， 这两个式子里面含有相同的字母 x y， 而且 x 的 指数都是二， y 的 指数都是一，这种我们叫做同类项。而同类项是可以进行合并的，我们就是把所得项的系数是合并向 前各同类项的系数的和。比如这两个相加，我们就等于这里的系数一加上这里的系数五，一加五，然后后面字母及字母的指数保持不变，结果就等于六 x 平方 y。 我们要想做整数的加减，还要先掌握一个去括号法则。如果括号外的因素是正数，去括号后圆括号内各项的符号与原来相同。如果括号外的因素是负号，是负数， 那么去括号后圆括号内各项的符号与原来的符号相反。这里简单概括成一句话，就是如果括号前面是符号，那么我们去括号就要变号。比如说负三的 a 减 b， 它就等于负三， a 加上三 b， 因为这里的 a 是 正的，前面的负三是一个负的。括号前面是负号，去掉括号之后，它要变成一个负的。而 b 的 符号本身是一个负的，去掉括号之后就变成一个正的。那我们的填括号法则和去括号法则是一样的，就看括号前面是不是符号。如果括号前面是符号的话，我们里面的各项都要改变符号。 最后是我们整式加减的运算法则，几个整式相加减，如果有括号，先去括号，然后再合并同类项就可以了。 下面我们来看第四张内容，是我们的基本平面图形。第一个考点就是直线，射线与线段，我们先来看它的基本概念，直线的话，我们一般用两个大写字母或者是一个小写字母。直线 a、 b， 直线 l 来表示，而直线上面是没有端点的，零个端点， 我们的大写字母的顺序是没有关系的。而我们的射线，这里是有一个端点的，它可以称之为射线 o、 v， 它是有方向的，只能称作。比如说这里它就只能称作射线 ab， 而不能称作射线 b a， 因为它有方向，或者我们直接把它叫做一个小写字母。射线 l， 它有一个端点，两个大写字母中第一个表示的数就是端点，而线段它是有两个端点，叫做线段 a b 或者线段 b a， 它没有方向或者线段 l， 它有两个端点，两个大写字母是没有顺序的。 大家一定要注意，我们的直线是可以向两边无限延伸，而射线受端点的限制，只能向一边无限延伸。线段有两个端点，所以说它不能延伸，因此我们的直线与射线都是不可测量的长度，只有线段可以测量。下面我们来看它的基本事实， 经过两点，有一条直线，并且仅有一条直线。经过两点，有且仅有一条直线。两点确定一条直线，这是我们的直线公里， 两点之间的线中，两点之间所有的连线之中，线段是最短的，简称为两点间线段最短。我们怎样去画一条线段等于已知线段呢？第一种方法就是我们的度量法，用直尺先量出线段的长度，再画一条等于这个长度的线段就可以了。第二种就是我们的尺规作图，用圆规在射线 a c 上截取 ab 等于 a， 就画出了另外一条线段。下面我们来看线段的性质，就是两点之间的线段中线段是最短的，简称为两点间。线段最短我们刚才已经强调过了，下面就是我们的基本概念，两点间的距离就是两个端点之间的长度，我们就把它叫做两点间的距离，我们两点间的距离就用 ab 大 写字母这样来表示。 而线段的等分点就是把一个线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点。如果说是我们把一条线段平均分成四份，那么这些点就叫做这些线段的四等分点。 然后就是我们的一个考然，然后就是我们考试常考察的一个双中点模型， c 为 ab 上一点，这里是 ab 是 线段， m、 n 分 别为 a、 c 和 bc 的 中点， c 是 任意点， c， m 是 a， c 的 中点， m 在 这， n 是 bc 的 中点， n 在 这，那么就这一段等这一段，这一段等这一段，那么我们就可以列出一个式子，就是 ab 等于二倍的 m n。 下面我们来学习角角的第一个定义，就是由公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点， 而这条两条射线是角的两条边，如图一所示，这里这个 o 就是 这个角的顶点，而这 o a 和 o b 这两条射线就是这个角的边。如图一所示，角的顶点是点 o， 边是射线 o a 和 o b。 第二种定义方法就是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。 射线旋转时经过的平面部分是角的内部，如图二所示。这样我们沿着这个边，沿着这个点，绕着这个点去进行这样旋转，射线 o a 绕它的端点 o 旋转到 ob 的 位置时，形成的图形就叫做角，即使位置 o a 是 角的矢边，中指位置 ob 是 角的中边。 我们一定要注意，两条射线是有公共端点，即为角的顶点，角的边是射线，角的大小与角的两边的长短没有关系。比如说我们这样，它这个角的度数是这么大，我们再延长一点，它角的度数仍然是这么大。 第二就是我们的平角与周角，如图一所示。如果说射线 o a 绕 o 旋转，当中指位置 o b 和起始位置 o a 形成一条直线时，所形成的角就是平角，我们的平角等于一百八十度， 如图二所示。如果说继续旋转，如果 ob 和 oa 重合的时候，所形成的角就叫做周角，周角等于三百六十度。 我们角的表示方法有四种，第一个就是用三个大写英文字母来表示，比如说这个这个角，我们就把它叫做角 aob。 那 第二种就是用角的一个顶点的一个大写字母来表示这个顶点写的一个 o， 我 们也可以把它表示为角 o。 第三个就是用一个小写的希腊字母，我可以用阿尔法贝塔伽玛这么去表示角，阿尔法自己去标注一下。第四个就是一个阿拉伯数字表示，我可以写成角一，或者是标成角二，或者标成角三，这里就是我们阿拉伯数字来表示， 一定要注意在用数字或者小写希腊字母表示的角时，要在靠近顶点，要在靠近角的顶点处加上弧线，就是我们这里表示的，这里这个红色的线，大家看到没有红色的线，而且备注上阿拉伯数字或者小写的希腊字母。 我们角度值以及角度的换算是，一周角等于三百六十度，一平角等于一百八十度，一度等于六十分，一分等于六十秒。以度分秒为单位角的度量值，我们如果说要从这种分去转化到度的话， 就是除以六十，从秒转化到分的话，也是除以六十，而从度到分是乘以六十，从分到秒也是乘以六十。 我们来看角的分类有五种，锐角、直角、钝角、平角和周角。锐角的范围是大于零度，小于九十度。直角的范围是等于九十度，钝角是大于九十度，小于一百八十度。平角是等于一百八十度，周角等于三百六十度。 下面我们来看角的比较有运算。角的比较有两种方法，第一种是度量法，第二种是叠合法。角的运算主要涉及到的就是一个角平分线，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，就叫做这个角的角平分线。比如说一个角里面，我从这里出发一个点，这里 a o b， 那 oc oc。 如果能够把角 a o b 平分，分的角一和角二是相等的，那么 oc 就 叫做我们这个角的角平分线。 我们角的画法是有三种，第一种就是用三角板画出三十度、四十五度、六十度、九十度这些特殊的角。 第二种就是用我们的两角器画出任意给定度数的角。第三个就是利用尺规作图，可以画出一个角等于已知角。 下面第三个考点就是我们的多边形，多边形的概念就是在平面内有一些线段，首尾顺次相连组成的图形，就叫做多边形，它是一个封闭图形，像这样如果说是不封闭的，它就不叫多边形。 正多边形的概念就是各个角都相等，各条边都相等的多边形，就把它叫做正多边形。 n 边形的一个对角线的条数是 n 减三条， n 边形的对角线的总数是二分之 n 倍的 n 减三，这些结论记住就可以了。 那还有截角问题， n 边形如果说截去一个角之后得到的就是一个 n 边形，或者是 n 减一边形，或者是 n 加一边形，就看你这个截的图形是哪一种图形。 我们拿这个长方形来举例，我们把它截去，我可以这样去截，这样去截的话就是由原来的四边形变成了一个五边形，是不是有 n 边形变成了 n 加一边形啊？或者我也可以这么去截，这么去截的话，是不是变成了一个这样的图形？成了一个三角形，是不是就得到了一个 n 减一边形，或者是我可以这么去截， 这样去解，把这块扔掉，是不是就仍然是他本身的这个多边形的条数啊？是不是？好？下面我们第四个考点是圆圆的一些概念比较多，大家先来看一看我们圆的定义。 在一个平面内，线段 o a 绕他固定的一个长短点 o 旋转一周，另一个端点 a 所形成图形就叫做圆，那固定这个端点的 o 叫做圆心，线段 o a 就 叫做半径。也就是说这里 这里是 o， 这里是 a， a 拿着 a 这一点绕着这样旋转一周所形成的这个图形就叫做圆。圆的表示方法就是以圆点为圆心的圆记作圆心， o 读作圆，读作圆。 o 圆的特点就是在一个平面内所有到一个定点的距离等于定长的点所组成的图形，也就是这个线上面所有的点到这个 o 点的距离都相等。我们确定圆的条件有两个，一个就是圆心，一个就是半径。给了这两个东西之后，我们就能确定唯一的一个圆。 下面我们来看圆是具有对称性的，圆是一个轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆是以圆心为对称中心的对称图形。 我们补充一下就是如果说是圆心相同而且半径相等的这种圆，我们把它叫做同圆。圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。比如说这种， 我们就把它叫做同心圆，半径相等的圆叫做等圆。如果说与半径相等，但是不同心这两个圆就叫做等圆。 我们下面来看圆的有关概念。弧，圆上任意两点之间的部分就叫做圆弧，简称弧。以 ab 为端点的弧记作弧， ab 读作圆弧 ab 或者弧 ab 上面还有一个这个我没有打出来。 等弧的概念就是在同圆或等圆中能够互相重合的弧就叫做等弧。半圆的概念是圆的任意一条半圆的任意一条直径的两个端点，把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆， 这样这这这是这是圆心，这个叫做半圆，这个也叫做半圆。 u 弧的概念就是在一个圆中大于半圆的弧叫做 u 弧。在这个圆里面，假如说我这样分的两个点，那这两个弧就叫做 u 弧。而对应的这一部分弧，我们就把它叫做列弧。 我们下面看圆心角的概念，顶点在圆心的角就叫做圆心角。然后我们来看第五张一元一次方程的一些考点。第一个考点就是方程， 方程的解就是使方程左右两边的值相等的，未知数的值就叫做方程的解。所谓解方程，就是求方程的解的过程，就把它叫做解方程。方程的两个特征就是第一个是等式，第二个方程中必须含有字母，也就是未知数。 下面就引入我们一元一次方程的概念，就是只有一个未知数，这里没有规定必须有几个未知数，而这里一元一次方程就规定必须一个未知数，而且未知数的次数都是一，这样的方程我们才把它叫做一元一次方程。 我们在学方程之前，就要掌握等式的两个性质，第一个性质就是等式两边同时加上或减去同一个数或者式子，结果仍然相等。第二个式子。 第二个性质就是等式两边同时乘以同一个数，或者除以同一个不为零的数，结果仍然相等。我们一定要注意，乘同一个数的时候，我们没有规定不能为零，两边可以同时乘以零。 下面我们来看解方程的步骤，什么叫解方程，就是求方程解的过程，就把它叫做解方程。我们解方程的步骤，第一步就是去分母，在方程两边同时乘以各个分母的最小公倍数。第二步是去括号，先去大括号，先去小括号，再去中括号，最后去大括号，按照我们的乘法分配率和去括号的法则。 第三步是移项，把含有未知数的项移到方程的另一边，移项一定要记得编号。第四个就是合并同类项，第五个就是系数化为一。 第六个一定要检验。把方程的解带入圆方程的过程中，就是使方程左右两边的值相等，这就是方程的解一，如果说我们检验出两边的值不相等，那它就不是方程的解。我们在做解方程步骤的时候，一定要注意一点，当方程中含有小数或者代分数时，一定要先将方程进行整理。 下面就是我们一元一次方程的应用，也就是应用题。应用题里面我们列一元一次方程，应用题的一般步骤就是先审题，找等量关系，设未知数，列方程，最后就是解方程，然后一定要检验。我们来看一元一次方程应用题里面常见的几种类型的公式，第一个就是行程问题里面常见的， 第一个就是行程问题里面常用的公式是路程等于速度乘以时间，特殊的特殊的行程问题就是航行问题，就是要掌握顺流速度等于净水速加水速，逆流速度等于净水速减水速。在我们飞机航行里面和行程问题里面都是一样的公式。 第二个题型就是和差辈分的关系，一定要保证增长量等于原有量乘以增长率。第三个就是我们的工程问题，掌握工程， 掌握工作总量等于工作效率乘以工作时间，列方程一般会根据各部分劳动量之合等于总量。第四个题型就是数字问题，团考多位数的表示方法，比如说 abc 这样一个三位数，它就等于一百乘以 a 加上十乘以 b 加上 c。 第五个题型就是我们的利润问题，掌握利润等于售价，减去成本，或者是进价也等于成本乘以利润。要想做好销售利润类的问题，一定要先理解关于销售里面的各个概念。 第六个就是方案问题，我们一般用特殊值去试探方案的选择，比较两种方案的优劣。还有一种就是一个分段计费方法，关于我们那关于我们应用题里面所有的题型，大家可以看之前的一些视频，我已经发布过了。 那最后一张我们学习的是数据的收集与整理，这一张的内容比较简单，咱们简单过一下，那考点依旧是咱们数据的收集，他数据收集的方式一般有问卷调查、访谈、查阅资料、实地调查、实验、网上等等，我们一般根据具体情况去合理的选择数据收集的方式就可以，没有规定必须要用哪一种。 第二个就是我们数据收集的步骤，明确调查的问题和目的，确定调查对象，选择方式，设计问题，展开调查，收集并整理数据，分析数据，得出结论。 第二个考点就是我们的普查和车辆调查。普查就是对所有的考察对象进行全面调查，进行一个普查，我们最大，我们最大的一种普查就是我们的人口统计，全国第几次人口普查。他的优点就是可以直接获得总体情况。缺点就是总体中个体数目比较多，普查的工作量比较大， 而总体就是我们所要考察，而总体就是我们所要考察对象的全体就叫做总体。个体就是组成总体的，每一个考察对象就到 个体，就是组成总体的每一个考察对象都叫做个体。抽样调查就是从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查叫做抽样调查。他的优点就是调查范围小结，省时间、人力、物力以及财力。缺点就是没有普查得到的结果要更准确一些。 我给大家举个例子，大家就能听懂普查和抽样调查了。比如说咱们学校里面有一千名学生，这一千名学生里面 所有人的数学成绩考的是多少？我们可把所有人的数学成绩全部收集起来，这就是一个普查。那我什么叫抽样调查？就是我抽取其中三十个人的成绩， 作为我们整个学校的一个代表，这种就叫抽样调查。那很明显就能发现第一种普查的方式是更准确的，后面这个只抽取三十个人来代表全校的学生，这种方式就是会快，但是范围小，但是他的结果不准确。 样本的话就是从总体中抽取的部分个体叫做总体的一个样本，那在这里我们这个三十就叫样本。为了获得较为准确的调查结果，抽样时一定要注意样本的代表性和广泛性。 我们数据的表示有三种方法，第一种就是扇形统计图，用圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映了部分占总体百分比的大小。 我们扇形图的特点就是能够反映具体问题中的部分与总体的数量关系，能得到各部分的百分比，但是得不到具体的数量。在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分与对应的扇形圆心角的度数与三百六十度的比值。比如说这里 我们分成了这三份，如果说这里说是七十五度，那么这里这一部分，这个样本占我们整体样本的就是七十五除以三百六十的这样一个百分比。最后就是我们在绘制扇形统计图时，要先计算各部分占总体的百分比， 计算各部分对应的扇形的圆心角的度数，然后画出扇形图表上百分比，这个百分比一定要标上这里，这个错别字标上打错了，写出扇形统计图的名称。 第二种方法就是我们的条形统计图，一般是由两条互相垂直的竖轴和若干长方形组成，两条竖轴分别表示两个不同的项目，长方形的高表示其中一个项目的数据，它的特点就是能够清楚的表示出每个项目的具体数据。 第三个就是我们的折线统计图，用折线的起伏表示数据的增减变化。最后一个就是我们的平数值方图，我们平数值方图里面一个考点就是在数据统计中每个度， 在数据统计中每个对象出现的次数，我们就把它叫做频数。注意，频数是能够反映每个对象出现的频繁程度，所有对象的频数之合一定等于数据总数。 会制频数值方图的步骤就是计算所给数据的最大值与最小值的差，决定组距和组数，确定分点列频数分布表，会制频数值方图。 平数值方图是一种特殊的条形统计图，他将统计对象的数据进行了分组，画在横轴上，纵轴上，也就是说长方形的高，他就表示各个数，他就表示各组数据的一个。 平数值方图的优点就是说能够更清晰、更直观的反映数据的整体状况。而且我们考试的时候，平数值方图是我们考察最多的一个图。 那最后我们这几种统计图是怎样去选择？我们的条形统计图是能够清楚的表示每个项目的具体数目。折线统计图能够清楚的反映事物的变化情况，扇形统计图能够清楚的表示出各部分在总体中所占的百分比， 平数值方图能够更清晰、更直观的反映数据的整体状况。所以说具体选择哪一种统计图，我们一定要根据题目上的要求去进行选择。好了，这就是咱们北师大版七年级上册所有知识点的整体，如果说你还有什么不懂的，欢迎打在咱们评论区。

大家好，我是英文徐老师，今天是十二月十八日，周四啊，心灵提高版，我们来看一下这个题型五的欧拉公式，欧拉公式就是把一个立体图形的顶点面棱数他们的关系给他研究一下。 那我们在研究之前我们数一下，呃，这上面显示的图形啊，说四面体，四面体这个题，这个题在高中会大量的有预算题，就在高中里面，这个题可能大家跟打交道的似乎特别多， 然后面数呢？四面体呢？顾名思义，四个面，那楞数呢？我们这个图我们可以数一下，侧边是三个，底边是三个，所以是六条了，然后六面体呢？六面体就是我们讲的长方体或者是正方体， 那今天都是八个，然后呢面数是六个，那楞数呢？楞数我发现上面 四个，侧边四个，下边四个啊，所以总共是十二个，然后下面是八面体， 八面体，我们看这个八面体只有六个顶点啊，这地方有个顶点，侧面四个，下面还有个顶点，所以只有六个顶点。十二面体，十二面体的面所呢？肯定是十二面， 今天说这张给了二十，然后三十，然后呢？这个满的什么关系呢？那这就是他们三个，就是这么，这个，这，这组数满的什么关系？那我发现， 呃，四加四减六，那应该等于二，然后八加六减十二，然后等于二，六加八减十二也等于二十加十，二减三十也等于十二， 所以我想了，他们的满的关系呢，就是顶点数加面数减去内数等于二，顶点数加面数减去内数等于二。 那有有同学就问我了，那你是怎么分析出来了？不是我分析出来的，而是这是找规律的。题目给了四组数据，那这地方是四组数据，那我就通过这四组数据来找到一个规律， 因为一个一组数据不具有普遍性，那四组数据都满足同样的规律，那我们就寻找了普遍规律，这个普遍规律经经过总结，那就形成我们能总结的数量关系 好，所以这个顶点数是 v， 面数是 f， 减去内数，内数是一等于多少等于二，所以这一题就这样填 啊。已知一个楞柱有七个面，楞柱有七个面，那他是几楞柱？那我想楞柱，哪个是楞柱？我一看这个六面体，他是楞柱，楞柱，楞柱。什么是楞柱？就是底面和顶面就有一个底面，还有个顶面， 他俩的，他俩的形状就是这个楞柱的形状。然后呢，除了顶面和底面，那旁边还有几个面，我们就称为几楞柱， 那现在有七个面，那七个面减去底面，减去底面，那他应该是五楞柱，所以这应该是五楞柱。以这一个多面体只有八个定点，并且过每一个定点有三条了， 每个顶点有三条了，那总共有多少条了？那我这样想，每个顶点有三条了，现在有多少顶点？八个顶点，所以八乘三。 但是呢，一个楞有两个定点，一个楞有两个定点，就一个楞需要消耗两个定点。那现在呢，八乘三，就是每个顶点含有多个楞， 那现在呢，两个顶点含有一条楞，所以这个八乘三要除二才等于它的楞数。 其实呢，这地方很好理解，为什么来呢？一个顶点三条楞，然后每两个顶点共用一条楞， 那一个顶点三条楞，这个顶点乘以三，那这地方是这个顶点含有的楞数， 但是呢，总的论数不一样，总的论重合了，因为什么呢？因为你这个顶点，还有他论在另外一个顶点也被算上了啊，所以就成合了一倍啊，所以这是要除以二啊。所以这三八二十四，二十四，除以二应该等于十二，所以论数是十二。那问这个多面体的面数， 那我们利用刚才总结的公式就可以求出了面数，面是 f， 然后顶点是八，所以八加 f， f 是 面，减去 e， e 是 棱数。棱数十等于多少等于二，那所以很容易算出这个 f 是 六，那所以是六面，所以这个多面体的面数是多少？六面体或是六面。 好，这个欧拉公式大家一定要有个印象啊。 好，接着我们再往下看。好，第二题比较简单，是一个立体图形，他说棱长为二的正方体毛坯挖去一个棱长为一的小正方形，得到如图的零件，那问这个零件的表表面， 你看这个面是不是缺一块啊？那缺一块，正好这个面补上了， 然后呢，从左边看也是缺一块，那缺一块呢？在这后面这条面补上了，从上面看也是缺一块， 从上面看这个形缺一块，那也是这个面补上了啊，所以我说呢，缺的都被补上了，那还是六个面，那每个面的面积呢？还是一样的啊，所以这个表面积 s 很好做啊，每个面嫩长是二，二乘二是一个面， 多少个面？六个面，所以乘以六啊，所以得到他的面是二十四啊。做到这个还不行 啊？不是做到，做到这个就行了，因为这道题没有给单位。没有给单位呢？我就不需要写单位。我以为这道题有单位写到这还不行，那这道题没给单位。他叫嫩长为一，那直接是二十四。他说这个零件体积，那体积我想了，那就是大的 正方体减去一个小的正方。挖走一块吗？挖去一块，把这个挖的减掉，所以体积就等于总的，总的那就是二乘二，再乘二 正。呃，正方体的体积嫩长乘嫩长，再乘嫩长，减去一个小的，小的是一乘一，再乘一好，所以算出来是七好。这道题还是比较简单的。