八下数学冀教版2026和25区别

好，我们继续来学习。第二十八页还是关于特殊角度的直角三角形的勾股计算。首先第八题告诉的是三角形 a、 b、 c 和 b、 c、 d 都是直角三角形，并且满足的是角 b、 a、 c 是 等于九十度的角， b、 c、 d 是 九十度。 接着给的是 ab 和 ac 是 相等的等腰直角三角形，三边有一个一比一比根号二的关系。好。接着 ac 和我们的 bd 的 交点为 o 点，并且满足的是 dbc， 这个角度是等于三十度的，所以形成的 dbc 是 一个三六九的直角三角形。 接着让我们找的是 oc 和我们的 ac 的 一个比值， oc 找型， ac 找型的话就是 abc 一 比一比根号二，那 oc 找型可以找 ocd， 也可以找 ocb， 都是可行的。那这个地方 ocd 里面有三十，有一个四十五度，两个特殊角边之间是有数量关系的， 包括 ocd， 那 就有三。呃，有这个四十五度和六十度也是两个特殊角，三边也是能够确定相关的比例关系。 但因为后面一条线段是 a、 c， a、 c 跟我们的 bc 是 有直接联系的，所以我们优先考虑的是用我们的 obc 这个三角形。好，那接下来就是它本质上就是一个减三角形 obc 的 这样一个过程啊。 obc 里面有一个三十，有一个四十五度，所以是构造特殊角度的直角三角形。过 o 点去做垂线， 那因为这个题没有给出具体的线段长度，那我们就可以设参数。好，那这个时候就假设交短的有等量线等量关系的 o e 和 e c 的 长度，那就假设 o e 长为 a， 那 么 c e 应该也是等于 a 的， 那 o c 的 长度，目标的 o， c 就 等于根号二倍的 a。 接着在我们的 bo e 这样一个直角三角形中，长直角边是短直角边的根号三倍的 a， 因为我们需要的是 a c， a c 找 a c b 这样一个等腰直角三角形里面，那就找 bc， 好， 那此时我们就可以得到啊，在 r t 三角形 abc 中， 那 bc 的 长度我们现在是可以表示的，应该是根号三加上一倍的 a， 那 接下来我们的 a、 c 的 长度，利用一比一比根号二，那 a c 的 话，就是 b c 除以根号二，斜边是直角边的根号二倍， 那就应该是等于根号二分之根号三，然后加上一倍的 a， 好， 那这个时候二次根式是要进行化简的。分母里面的根号是要去掉上下同乘根号二，结果就应该是二分之根号六加上根号二倍的 a， 从而就可以得到目标带球的 oc， 比上这个 ac， 那 oc 是 二分之根号六加上根号二倍的 a， 好，对这个数字进行化减，那就应该是二倍的根号二除以根号六加上根号二，上下同乘根号六减根号二进行化减，好，从而得到结果啊，应该是根号三加一 啊，根号三减一啊。当然这个地方也可以稍微注意一下技巧啊，就是可以上下先同时除以根号二的话，也就是二除以根号三减一 啊，加一，然后呢，在上下同时乘以根号三减一，上面的分母就是平方差公式，结果是二，得到结果根号三减一也是可行的啊，最后得到比值是根号三减一， 好，当然这个地方如果不想在计算过程中出现这种分数，那一开始说参数的时候可以扩倍。假设 o e 和这个 c、 e 的 长度，比如说都等于二 a 或者是根号二 a， 那 oc 就是 二 a， 那 b、 e 就是 呃，根号六 a， 然后呢，再进行运算也是可行的。 好，接着我们来看第九题，第九题告诉的是 b、 a、 c 是 九十度， ab 和 ac 是 相等的，等腰直角三角形。好，那这个地方的边等提供的是两个底角，特殊角度是四十五度， 接着给的是 a、 d、 c 这个角度是等于三十度的，三十度是向三六、九，目前是没有的啊。接着给的是 ab 是 等于二的，那么 ac 也是二，求 cd 的 长度，那 cd 目前找型的话是 cd a 好， c d a 这个图形里面的话，已知的是有三十度，有一个一百三十五度延长得四十五度，加上有一条边是已知的，两呃，两个特殊角加一条边。当然钝角我们在用的时候还是要转换成锐角，所以我们角这个地方可以直接找 a、 b、 d， a、 b、 d 里面是有四十五度和三十度，并且有一条边是已知的，所以这里面就是两个特殊角度勾股计算，那就过 a 点去做垂线，把四十五度和三十度都放在直角三角形里面。首先是在 r、 t 三角形 a、 b、 h 中等腰直角一比一比根号二， ab 是 二，所以得到 b、 h 和 a、 h 的 长度应该都是等于根号二， c、 h 也是根号二。 好，接着就是我们的三十度， a、 d、 h 三六九的直角三角形，得到长直角边是短直角边的根号三倍，也就得到 d、 h 是 根号二的根号三倍，结果是根号六， 公弦运算就得到 cd 的 长度应该是等于 d h 减去 c h 也就等于根号六，减去根号二，好，目标带球的线段啊。根号六，减去根号二， 哪怕说 c、 d 角形是 c， d， a 也是三十和这个地方的四十五度，然后过 a 点做垂，形成两个特殊角度的直角三角形 好。接着第十题告诉的是角 c 等于九十度， a、 c 和 bc 相等都等于二，那等腰直角三角形一比一比根号二， ab 的 长度是二倍的根号二 好。接着是将三角形 a、 b、 c 绕着 a 点进行顺时针旋转六十度， a， b 转六十度到 a， b 一 撇， a， c 转六十度到 a， c 一 撇， 让我们求的是 c 一 撇 b 的 长度， c 一 撇 b， 找型的话，目前就是 c 呢？ c 一 撇 b a 这个三角形里面目前的话已知的是 a， b 是 二倍的根号二，已知 a， c 一 撇等于 a， c 也就等于二， 要求的是 bc 一 撇，所以还需要找一个特殊角度，那目前就是第一个两边的夹角夹角就是 c， a， c 一 撇是六十度，而这个 c、 a、 b 是 四十五度，所以这个地方的 bc 一 撇是 十五度，但是十五度的这个角度我们是不能直接用的，我们能直接用的是三十、四十五、六十这样的一些特殊角，包括钝角的一百二、一百五，一百三十五。好，那继续往后分析。还有就是 b 点或 c 一 撇的位置也是有特殊角的 好，这个地方在分析的方法是不为一的啊。第一个的话就是呃， a、 b 和 a、 b 一 撇是相等且夹角六十度，所以连接 b b 一 撇是形成有一个等边三角形，那得到等边之后，那 b a 一 撇和我们的 b a 相等， 然后另外一个就是 c 撇 a 和 c 撇 b 是 相等的，以及 bc 一 撇公共边实际上是有全等，而 c 一 撇的位置本身有呃旋转提供的这个呃角 c 一 撇啊， a c 一 撇， b 一 撇是等于角 c 等于九十度的， 所以接下来就是两边的角度是相等的，实际上是有一个全等的这种想法啊，所以就可以得到啊，这个地方的 bc 撇 a 应该是全等三角形， b b 撇 c 撇的，那这样的话，就是判定 s s s 全等，可以得到的是这个地方的角 b c 撇 a 应该是等于角 b b 撇 c 等于三百六减九十除以二，也就是一百三十五度。好，所以这个地方的啊，目标的边所在的形里面，在 c 撇的位置是有一个一百三十五度的角。 好，当然这个呃内角和匀算的话，那我们的 b 点处啊， a b c 一 撇的度数应该是三十度，那另外一个啊，这个题目也可以选择连 c c 一 撇，连 c c 一 撇的话，那么 a c c 一 撇是一个等边三角形，提供的 c 一 撇的位置有 a c 一 撇， c 是 六十度， 另外一个就是 c c 撇 b 是 一个等腰三角形啊，是一个等腰三角形啊。并且 c 点的位置是有九十减六十，有一个三十度， 那三十度的话，带来的是顶角三十，底角是七十五，六十加七十五，也是一百三十五度，也可以得到这个位置是七十五减四十，是一个三十度， 所以这个地方十五度是不能直接用的，三十度是三六九，然后呢，另外一个一百三十五度是延长得四十五度啊。因为 c 一 撇的位置本身就有九十度，所以优先考虑延长此时的 b、 c 一 撇，那一旦延长就会有四十五度。 那 a 点的位置本身有 b 一 撇， a、 c 一 撇是等于四十五度的，所以跟我们的 a、 b 一 撇相交于点 h， 那 么在 h 点的位置是有直角，所以这个时候形成的四十五度的等腰直角，以及三十度的三六九的直角三角形 好，那这两个三角形都有边是已知的。首先对于三六九， ab 是 二倍的根号二 好，那这样的话，在我们的 r、 t 三角形 a、 b、 h 这个三角形中，那 ab 的 长度二倍根号二， a、 h 是 ab 的 一半，等于根号二，长直角边是短直角边的根号三倍， b、 h 就是 根号六， 好。得到 b、 h 啊，应该是等于根号六的 好。这个地方条件标的有问题啊， a、 c 和 bc 相等，都是等于根号二的，那这样的话就是 ab 的 长度是等于二的，然后呢，那这里面的 a、 h 就 应该是一， b、 h 应该是根号， b、 h 应该是根号三，好，然后呢，另外这个地方 好。接下来就是我们的 r、 t 三角形 a、 c 撇 h 中，那 a、 c 撇是根号二，所以得到的是 a、 h 和我们的这个 c、 h、 c 撇 h 相等，都是等于一的， 从而得到目标带球的 c 撇 b 的 长度，它应该是等于 b、 h 的 长度减去 c 撇 h 的 长度，也就等于根号三减一好，目标带球的线段长度是根号三减一， 好。接着我们来看十一题，好，十一题的话告诉的是 c、 d 是 三角形 abc 的 一条高 啊，提供的是有两个直角三角形， a、 d 是 等于四的， b、 d 是 等于一的， c、 d 是 等于二的。那让我们判断三角形 abc 的 形状， 已知的都是边长，要判断的是角度。直角三角形啊，那实际上用到的是勾股定律的逆定律。首先由已知的直角带来的两个直角三角形，一个是 r、 t 三角形 a、 c、 d 中 那满足的勾股定律，那斜边 a、 c 它就应该是等于 a、 d 的 平方，加上 c、 d 的 平方开根号，结果应该是等于呃 二倍的根号五。当然这个地方因为我们要判定的是平方关系，我们在写的时候也可以直接写平方，可以不用开放开出来啊。好。另外第二个的话，就是 r、 t 三角形 b、 c、 d 中一样的满足的是勾股的平方关系，那么 bc 的 平方他就应该是等于 b、 d 的 平方， 加上 c、 d 的 平方是等于二十五的，而刚好这个地方的 ab 的 平方是等于五的平方，也就是二十五。所以满足的是 a、 c 的 平方加上 b、 c 的 平方是等于 ab 的 平方的啊，也就得到的是三角形 a、 b、 c 为直角三角形。 好，三边是满足二次的一个平方关系啊，借助勾股定律的逆定律判定它是一个直角三角形 好。接着第十二题告诉的是长方形 abcd 中满足的是 ad 的 长度是等于八的，那么 bc 的 长度也是八， ab 是 等于四的，那么 cd 的 长度也是等于四的。沿着 ef 进行折叠，使得 d 点落在这个 b 点的位置，跟 b 点重合，所以借助这个翻折，我们的 e、 d 和我们的 e、 b 是 有对称相等的关系，包括 f c 和 f c 一 撇有对称相等的关系。 第一个要求 d e 的 长度 d e 对 称转移到我们的 b e 的 位置，而 b e 所在的形是 b e a 这样一个直角三角形， b a 是 已知的，有一条边是已知的，另外两边都是未知的，但是另外两边注意是有关系的， e b 和 e d 相等，所以 a e 和我们的 e b 有 一个和为八的这种关系，所以接下来实际上就是一个方程的思想，求线段长度，那我们不妨假设 a e 长为 x， 嗯，这个地方要求的是 d e 啊，那我们就直接念 d e 乘为 x 吧，免得再进行预算啊。好，那这个时候直接是念 d e 等于 x， 那 这样的话 a e 的 长度它就应该是八减 x， 那 接下来就是在 r t 三角形 a b e 中 利用勾股建立等量关系，也就是四的平方加上八减 x 的 平方，应该是等于 x 的 平方。去括号运算啊，得到一个关于 x 的 一元一次方程，也就得到 x 是 等于五的三四五的勾股数，也就得到目标带球的第一的长度就应该是等于五的。 好，那得到第一长为五啊。接下来就是，呃， e d 和我们的 e、 b 长都为五啊，包括这地方的 f c 和 f c 撇边的这两个关系啊啊，另外一个就是角度 ef 作为折折痕的话， ef 引含是有角平分线的信息的，也就是这个地方的角 d ef 和我们的角 b ef 角一和角二是有相等的关系， 而本身长方形，它是有平行，平行可以倒角，那平行倒角的话，这个地方的角二是可以内错角到我们的 e、 f、 b 的 位置角三，进而得到角一和角三是相等的。 角一一旦和角三相等，那么 b e 和我们的 b、 f 是 有相等的关系，也是等于五的好，所以这个地方啊，就是分析你们的角度啊，角一等于角二等于角三， 好，进而也就得到 b e 应该是等于 b f 是 等于五的。我们要求的是 ef 啊，求 ef 的 话，当然这个地方 b f 等于五，也可以选择对称的啊，也可以选择对称的啊，因为 ab 和我们的这个地方的 bc 一 撇是相等的，等于四。然后呢，两个直角共顶点的话，得到角相等，以及有直角全等，也可以得 b e 等于 b f。 但是角平分线加平行得等腰是更方便的啊，平行倒角得等腰，所以这里面啊，就是一个基本的翻折里面经常会用到的啊，就是平行，因为折痕他一定是充当是角平分线啊， 平行加角平分线往往引含带来的是有等腰三角形啊。好，那接下来让我们求的是 e f 的 长度，求线段长度还是勾股？目前 e f 它并不在直角三角形里面，所以选择做垂。 好，那这个时候要跟已知的这些直角产生联系，那就过 e 点或者是 f 点做垂都是可以的啊， 比如说过 f 点去做垂线，那这个垂直跟我们的已知的直角，比如说 c 点 d 点处的直角形成的右侧也是一个长方形，包括左侧也是长方形，所以 b f 和我们的 a、 h 是 相等的，等于五， a e 的 长度刚刚求呢八减 x 也就是三。 好，那这样的话，得到我们的 e h 的 长度是等于二的，那 e h 等于二， f h 和我们的 ab 是 相等的，等于四。那接下来勾股定力求线段长度即可。好，所以这样的话就是我们的这个 b e 等于 b f， 进而也就等于 a h。 好， 交代一下，辅助线啊，过 f 点做垂线啊，垂直于 a， d 于 h。 好，那这样的话，公弦运算得到 e h 的 长度是等于 a h， 减去 a， e 是 等于二的，那接下来就是目标带球的 e f 所在的 e f h 中， 两者角边长是二和四，从而得到 e f 的 长度。好，直接勾股定律 e h 的 平方加上 f h 的 平方开根号，从而计算得到结果应该是等于二倍的根号五。 当然也可以选择过一点去做这个 b c 的 垂线也是可行的啊，本质是一样的。

好，我们继续来学习第二十六页关于等线段双勾股的问题。首先第一题，在比值的铁路上啊， a b 两点间的距离是二十千米， 接着给的是 c， d 是 两个村庄的位置， d a 的 长度是等于八千米， c b 的 长度是等于十四千米， 且满足 d a 和我们的 ab 是 垂直的， c b 和我们的 ab 也是垂直的，提供的是两个直角三角形。 接着现在需要在 ab 上找一点 e 点建一个中转站，使得他到我们的 c 和 d 两个村庄的距离是相等的，也就是满足 d e 和我们的 c e 是 有相等的关系。但是需要注意一下啊，这个地方并不是全等的， 因为他只说的 d e 和我们的 c e 是 相等，并没有说垂直啊，所以这个地方要稍微注意一下。好，接着让我们求的是 a e 的 长度， a e 目前角形是 a e d 直角三角形勾股定律，但是目前只有一条边是已知的，另外 d e 和我们的 c e 是 有等量关系的， 所以这两个直角三角形都是有一条边已知，并且有一组边相等。另外的 a e 和 b e 共线和为二十，所以这里面体现的还是一个方程的思想，假设 a e 长为 x， 那 b e 的 长度就应该是二十减 x。 那接下来在我们的 r t 三角形 a d e 以及 r t 三角形 b c e 中，里面是有相等的线段的，也就是 d e 和我们的 c e 是 有相等的关系，那么 d e 的 平方和 c e 的 平方应该也是相等的。 进而得到啊，斜边的平方等于两直角边的平方之合，也就是八的平方，加上 x 的 平方是等于十四的平方，加上二十减 x 的 平方 好。括号去掉之后得到的是关于 x 的 一元一次方程，解方程得到 x 的 值应该是十三点三好，从而得到 a、 e 的 长度应该是十三点三好。注意是有单位的啊，千米， 也就是利用相等的边建立等量关系，建立勾股的方程。接着我们来看第二题，高速三角形 a、 b、 c 中角 a 是 等于九十度的，提供的是直角三角形， d 点是 bc 边的一个中点，并且满足 d， e 是 垂直于 bc 的 中点加垂直提供的 e， d 垂直平分 bc 垂直平分线的性质是垂直平分线上的点到线段，两个端点的距离是相等的，所以这里面会有 e， b 和我们的 e、 c 是 有相等的关系。 好，那接着给的是 d， e 的 长度是等于三的， b， d 的 长度是等于四的勾股定律，得到 e， b 的 长度是等于五的，那借助垂直平分线的性质，那么 e、 c 的 长度应该也是等于五的。 接着让求的是 a、 e 的 长度，求线段长度优先考虑的还是勾股。 a、 e 找形是 a、 e、 c 直角三角形，那目前 ec 是 已知的，但是 ac 暂时是未知的， ac 找形的话是 abc， abc 里面的话 bc 是 已知的，是等于嗯，八的 八的啊，那是目前的话， b、 a 也是未知的，那这个时候注意来看啊，目标带求的三角形，也就是 r、 t 三角形 a、 c、 e 好，以及我们有已知条件的，也就是 a、 c 所在的 a、 c、 b 这两个三角形目前有一条公共边是 c a， 另外各有一条边是已知的。 c， a 和 c， e 和 c， b 是 已知的 另外两条边， a、 e 和我们的 ab 是 共线，并且相差五，所以接下来也是借助公共的 a、 c 这条边来建立等量关系，建立方程。那就假设 a、 e 乘为 x， 那接下来的话就是分别表示 a、 c 的 平方。在 a、 c、 e 这样一个直角三角形里面，直角边 a、 c 的 平方，它是等于斜边五的平方，减去直角边 a、 e， x 的 平方， 那接下来在 a、 c、 b 这样一个直角三角形里面，是等于斜边，也就是八的平方，减去直角边 x 加五的平方。 好，从而去括号解方程得到的啊，应该是一个关于 x 的 一元一次方程，得到 x 的 值是等于五分之七的，也就得到目标的 a、 e 的 长度是五分之七，写一点四也是可以的啊。 好，接着我们来看第三题，他说的是折叠长方形的一个纸片，使得 d 点落在呃 ab 的 一个 m 点处， 那在这个翻折的这个过程中，提供的是翻折前后的两个四边形，应该是有全等的关系，提供的是有一些对称的边角等量关系，比如说边 ed 和 em， c， d 和 mn， 包括 cf 和 fn。 另外角的话， ef 充当是由角平分线。等角关系，包括有 m 点和 n 点处的直角。好，具体要用哪一些啊？结合后面来分析。接着给的是 ab 的 长度是等于一的，那么 cd 包括这个地方的 m， n 的 长度也是一， 另外 a、 d 的 长度是等于二的，所以 bc 的 长度也是等于二的长方形对边是相等的。好，接着他说的是假设 am 的 长度为 t， a m 如果为 t 的 话，那么 b m 的 长度就应该是一减 t 啊， a m 找型的话是 a m e a m e 这个粘三角形是一个直角三角形， 除了这个地方的直角 a m 是 t， 另外两条边 a e 和 e m 有 一个和为二，因为 e m 是 等于一 d 翻折过来的，所以另外两边之合是二，所以体现的是一种方程的想法， a e 和 e m 都是可以表示的。 好，那接下来他让我们用含有 t 的 式子表示 c d e f 的 面积。 c d e f 它是一个直角梯形， 我们要表示直角梯形的面积，上底加下底乘以高除以二，那就需要知道 c f 和 d e 的 长度。那目前 d e 和我们的 e m 是 有等量关系的，那我们假设 d e 长为 x， 那 么 e m 长为 x， a e 就 应该是二减 x。 那接下来就是在我们的 r t 三角形 a e m 中，利用勾股建立等量关系，也就是得到的是直角边 t 的 平方加上另外一条直角边二减 x 的 平方等于 x 的 平方。 好把括号去掉，和边同内项啊，二次项是消掉了，从而可以得到我们对应的 x 的 值，它是等于四分之一 t 的 平方加一 x 可以 用 t 的 式子来表示， 那同理的话，我们的另外一条边 c f 也可以用含有 t 的 式子来表示。那我们不妨假设 c f 的 长如果为 y 的 话，那么 f n 的 长度就应该是 y， 目前 c f 它不在直角三角形里面啊，所以这个时候的 f n， 那 f n 的 话，就是直接找寻的话，应该是 f n m f n m 啊。当然这个地方也可以选择连 d f， 但是 d f 目前只有 d f c 连接，此时的 f m 会发现啊，除了有 f m n 这样一个直角三角形， 但是这个直角三角形里面目前只有 m n e 是 已知的 f m 还是未知的 f m。 在 找形的话，可以找 f m b。 所以为什么把不是连 d f， 是 连 f m 啊？是因为它所在的是 m f b 这个直角三角形，那它的两条直角边 b m 是 一减 t， 另外一个 b f b f， 就 用整个 b c 的 二减去 c f 的 y， 也就可以得到 b f 的 长度，应该是等于二减 y 的。 所以接下来的话，就是在我们的 r t 三角形，一个是 f m n 这个，另外一个就是 r t 三角形 f m b 这两个三角形的公共边是 f m， 那 就是公共边。建立等量关系，它应该是 y 的 平方加上我们的 m n 一 的平方，同时在 f m b 这个直角三角形中，它应该是等于二减 y 的 平方， 然后呢，再加上一减 t 的 平方，那接下来去括号整理结果啊，两边的 y 的 平方向是可以消掉的啊，从而得到一个关于 y 的 一元一次方程啊，求出来得到表示出这个地方的 y 的 值。得到结果啊，应该是等于四分之一 t 的 平方， 然后呢，减去二分之一 t， 再加上一好 x， y 都表示出来之后，那接下来就可以去表示我们目标所需要的四边形的面积 啊， c d e f 的 面积是等于二分之一的，上底是呃， y， 下底是 x， 高是 c d 的 一啊，代入数据啊，就是二分之一倍的四分之一 t 的 平方，减去二分之一 t 加一 x 的 话，是四分之一 t 的 平方，加一再乘以一 好，从而运算得到结果应该是等于四分之一 t 的 平方，然后减去四分之一 t， 再加上一好目标带球的面积啊，用我们含有 t 的 式子来表示，所以这里面啊，他用到了两次翻折提供的两次勾股定律的等量关系， 然后下面这个在用的时候用到了 f m 公共边建立等量关系啊。好，接着我们来看第四题。 第四题时也是一个折叠的问题，折叠这个啊，长方形 a b c d 的 一条边 a d， 然后呢，使得它落在啊 d 点落在我们的 b c 上的一个 f 点的位置，折痕是 a e。 翻折带来的是翻折前后的两个图形，应该是全等的，全等能够提供对应的啊，边相等以及角度的等量关系。好，首先第一个告诉的是 a b 长是等于四的，那么这里面的 c、 d 的 长度应该也是等于四的。 另外 a、 d 是 等于五的，那么 bc 的 长度是等于五的，以及翻折的 a、 f 的 长度也是五，那四和五往斜面放。首先是在 r t 三角形 abf 中， 利用直角三角形勾股定律可以得到 bf 的 长度直角边的。呃，这个长度啊，是等于 a f 的 平方，减去 ab 的 平方 开根号，结果应该是等于三的。那一旦 b f 等于三共线运算，我们可以得到 c， f 的 长度应该是等于二的。 最后要求的是 a e 的 长度， a e 找型可以找 a e d 或者是 a e f， 因为是全等的，任意找一个，如果找 a e d 的 话，那这个时候要求 a e 勾股定律还需要知道 d e 的 长度， d， e 和我们的 e f 是 有等量关系的，相等，并且 d e 和我们的 e c 和为四，所以也是体现的一个方程的想法。假设第一场为 x， 那 么 e f 就是 x， e c， 它就是四减 x， 那 测参数的过程，未知数的过程我们就不写了啊。接下来在 e、 c、 f 这样一个直角三角形中啊，那就满足的是勾股定律，也就是四减 x 的 平方加上二的平方等于 x 的 平方。 好，从而去括号啊，运算得到对应的 x 的 值。好，这里面 x 它是等于二分之五的， 也就得到 d， e 的 长度是等于二分之五。那接下来要求 a e 的 话，在我们的 r t 三角形 a， d， e 中， 利用直角三角形勾股定律，斜边 a， e 的， 它就应该是等于呃，两直角边 a， d 的 平方加上 d， e 的 平方开根号啊， 从而计算出来结果应该是二分之五倍的根号五啊，这里面稍微注意一下技巧计算啊， 二分之五 c， d， e 的 话是二分之五乘一， a， d 是 二分之五乘二， a， e 就是 二分之五乘以根号五，以 e 二为直角边对应的斜边长根号五。注意这种扩背呃，或者是缩小这种方式啊，进行技巧计算啊。 好，接着我们来看第二题，第二题告诉 a e 长是等于根号五的，也就把刚刚的过程反着来进行啊。 已知 a e 长为根号五，并且 ec 和我们的 cf 的 比值是三比四，那这个三比四的话，我们就设参数啊， ec 长为三， a， cf 就 应该是四 a。 首先勾股定律得到 e， f 就 应该是等于五 a 的， 所以首先使 r t 三角形 e， c， f 中勾股定律得到 e、 f 的 长度。好，它应该是根号下啊， e c 的 平方加上 e f c 的 平方， 从而得到结果啊，是等于五 a 的 好，进而也就得到 d e 啊。翻折之前的 d e 的 长度是五 a， 那 也就可以得到 cd 的 长度，就应该是等于八 a ab 也是等于八 a 的。 接着让我们求的是这个四边形 abcd 的 周长，那要求周长的话，还需要表示 ad 和 bc， 以及得到对应的 a 的 值 好，那这个时候的 a d 呃，所在的弦就是 a d e a e 是 已知的，所以 a d 如果表示了之后，就可以去求 a 的 值，进而解绝对应的周长 好，那这个数的 a d 是 未知的，我们还是体现的方程的想法， a d 长为 x， 那 么 af 的 长度应该也是 x， bc 的 长度就应该也是 x， 那 么 bf 就 应该等于 x 减去四 a。 所以 接下来的话，就是在我们的 r t 三角形 abf 中 建立勾股的方程啊，也就是 x 减去四 a 的 平方，然后呢，加上八 a 的 平方，再等于 x 的 平方， 从而解这样一个关于 x 的 一个呃方程。两边平方之后，二次项消掉了啊，从而得到 x 是 等于十 a 的 好， x 一 旦等于十 a， 那 我们已知的 a e 就 可以用了。好，那这个时候的 a e 找型的话，应该是 r t 三角形 a d e 在这个直角三角形里面，我们可以得到 a e 的 啊平方，它应该是等于 a d 的 平方，加上 d e 的 平方好，也就得到根号五的平方，应该是等于 a d 十 a 的 平方加上 d e 五 a 的 平方 好，从而就可以得到 a 的 平方是等于二十五分之一的，而 a 又是表示的是线段长度啊， a 是 大于零的，从而得到 a 是 等于五分之一的。好，那接下来我们要求的是长方形的一个周长， 那周长的话是零边之和的两倍，也就是两倍的 a b 加上 a d。 好， 代入数据的话，那就应该是两倍的 a d。 是 啊， a， b 是 八 a， a， d 是 十 a， 从而得到结果，它应该是等于三十六 a 的， 而 a 的 值是已知的，是等刚刚已经求过了啊，是五分之一，从而得到对应的周长应该是五分之三十六。 好，所以这个地方啊，第一个是比例线段设参数，设完参数之后，后面要表示目标的 a、 d 是 一个方程的思想， 直接目前 a d e 里面是没有办法直接用勾股的，所以它是在翻折之后得到的 a b f 这个直角三角形里面去建立勾股的方程，从而求出了 x， 再借助 a、 e 的 长度求出参数 a 的 值，进而得周长。

好，我们来学习第一页关于二次根式啊，以及相关的性质。首先，第一题以下的式子中一定是二次根式的，那二次根式的定义啊，提供的信息是形容根号 a 的 形式 好，并且这里面的被开方数 a 是 必须要大于零的，那四个选项的形式都是成立的，那 需要满足的是被开放数必须要大于等于零，所以这里面能够符合要求的就是我们的 d 选项平方是具有非负性的， a 的 平方加一一定是大于等于一的，那么他一定也是大于等于零的，所以 d 选项是成立的。 好，第二个二次根是有意义的条件，那他有意义的条件就是他的被开放数 a a 必须要大于等于零 啊，被开放数必须是具有非负性的啊，那这里面的第二题以下的啊，代数式根号 a 有 意义的条件，那就是被开放数 a 是 要大于等于零的，对应的是我们的 b 选项。 好，下面的第三题以下的二次根式根号下三减 a 要有意义，那他的被开方数也就是三减 a， 这样的一个式子的值应该要满足大于等于零的，从而解这样一个不等式，得到 a 的 范围应该是 a 小 于等于三，对应的是我们的 c 选项。 好，第四题，如果 a 是 一个任意的实数，以下的各式中一定有意义的。好，那这个四个选项里面都是带根号的二次根式 啊，被开放数必须要满足大于等于零，所以符合要求的应该是我们的 c 选项平方，它本身是具有非负性的，也就是被开放数 a 的 平方大于等于零，符合要求啊，另外的，这里面的都是不确定的啊啊。 接着是二次根式的一个双重非负性，那双重非负性的话，包含两层含义啊，第一个就是它的内部被开放数 a 是 必须要大于等于零的， 另外一个根号 a， 它可以看作是非负数 a 的 一个算数平方根，那算数平方根本身是有范围的，应该也是这个根号 a 式子整体它也是大一点零的， 所以这样的话，二次根式它是具有双重非负性的。那我们在做题的时候要注意区分用的是它的一个内部非负性还是外部非负性啊？ 那第一个非负我们称之为是根号内部的一个式子的一个非负被开放数的非负。另外第二个非负我们称之为是外部非负，也就是根号 a 这个式子整体是具有非负性的。 好，我们来看一下对应的题目。首先第五题的话告诉的 y 等于根号下 x 减五，加上根号下五减 x 减六， 这里出现了两个二次根式，那二次根式要满足有意义的条件，那就是内部的被开放式，也就是首先 x 减五，他必须要大一点零。 第二个五减 x， 这样的一个被开放数也要大一点零结这样一个不等式组，第一个不等式得到 x 要大一点五，第二个不等式组得到 x 是 要小一点五，所以要同时成立，那么 x 它就只能是取五的， 当 x 取五的时候，我们把它代入前两个二次根式的值就都是零，得到 y 的 值就是零加零减六，也就是负六，从而得到目标带求的 x 加 y 的 值，那就应该是等于负一负一的九十九次方，结果应该是等于负一的 好。接着第六题告诉的 y 是 等于根号下二， x 减六，加上根号下六减二， x 加四， 一样的出现了两个二次根式，那么这两个二次根式的内部都是具有恢复性的啊，用到的是它的一个内部恢复啊。那这样的话，我们就可以得到的是第一个二次根式内部的被开放数二， x 减六，要大一点零。 第二个二次根式的内部六减二， x 也要大于等于零。第一个不等式得到 x 大 于等于三，第二个不等式得到 x 小 于等于三，要满足同时成立，那么不等式组的解集就应该是 x 等于三， 把 x 等于三，代入可以得到 y 应该是等于零加零加四，也就是 y 是 等于四的，从而得到 x 乘以 y， 三乘四，结果应该是等于十二的 好，这两题用到的是它的内部式子整体恢复，从而确定 x 的 范围，同时成立得到 x 的 值，进而得 y 的 值。 好，接着第七题，第七题告诉的是根号 a 减二，然后加上根号下 b 加三，等于零。根号 a 减二，这个式子整体是具有恢复性的。根号 b 加三，这个式子整体也是具有恢复性的， 两个非负数的和为零，则每一个非负数为零。所以这里用到的是整个式子整体也就第一个啊，就是我们的根号 a 减二，这个式子整体是大于等于零的。然后呢， b 加三，根号下 b 加三，这个式子整体是大于等于零的。 两个非负数的和为零，则每一个非负数为零，进而也就得到根号 a 减二，这个式子的值是等于零的，以及我们的根号下 b 加三这个式子的值也是等于零的。 而算数平方根二次根式的值为零，那么被开方数的值应该也是零，所以就可以得到这里的 a 减二是等于零的 好，同时 b 加三也是等于零的。进而也就可以得到 a 的 值是等于二的， b 的 值是等于负三的， ab 的 值出来之后，从而得到目标带求的 a 加 b， 二加负三，结果应该是负一 好。接着我们来看第八题，好，第八题的话告诉的是， a 加六的平方加上根号下 b 的 平方减去两倍的 b 减三是等于零的 好。那这个地方啊，出现的就是，嗯，平方加上根号二次根式等于零，平方本身具有非负性，大于等于零算，呃，二次根式也是具有非负性的，所以这个地方的题目条件也是两个非负数的和为零。注意，在写的时候要写式子整体大于等于零 好。从而得到啊， a 加六的平方减两倍的 b 减三也是等于零的， 而我们的平方等于零的数只有零，那进而也就可以得到的是 a 加六是等于零的好，以及我们的算二次根式内部的被开方式 b 的 平方减去两倍的 b 减三也是等于零的 好。那根据这样的两个式子啊，理论上来讲是关于 ab 的 二元二次方程，呃，是可以求的啊，比如说这个地方，我们实际上后面啊，虽然它是一个二次的式子，但实际上是可求的， 那因为目前我们目标带求的它也是一个式子的值，所以我们就没有必要具体的求出来这个所有的字母的值， a 是 可以求的啊， a 是 等于负六的。 好，那这里面的 b 我 们就可以不用求了，因为目标带求的式子里面出现了两倍的 b 的 平方减去四倍的 b， 所以 根据我们的这个信息啊，可以得到已知的这个等式，那就是 b 的 平方减去两倍的 b 是 等于三的，所以这里的话，我们就直接考虑一个整体求值 好，代数式的一个整体求值就可以了，那目标代求的式子，它可以表示为两倍的 b 的 平方减去两倍的 b， 然后呢，再减 a， 那 b 的 平方减两倍的 b 是 等于三的，那结果就应该是等于二乘三，然后减去 a 是 负六， 也就是六减负六，结果是六加六，也就是十二好。当然这个地方实际上也可以把这个 b 给求出来啊，就是对左边的式子可以因式分解啊，这个简单提一下啊，不太建议这样去用啊。呃，因式分解的话，就是十字相乘，也就可以把它分成 b 减三， 然后呢，乘以 b 加一是等于零的，两个式子的乘积是等于零的，那么要么第一个式子等于零，也有可能是第二个式子等于零，从而得到 b 减三等于零。 好，或者是 b 加一是等于零的，从而得到 b 是 等于三的，或者是 b 等于负一。 那这个方法的话，就是后面还需要分类讨论，也就是分 b 等于三， a 等于负六，以及 b 等于负一，然后呢， a 等于负六，两种情况进行求减。目标的代数式的值，大家最后的结果是一样的，所以这里面啊，更建议去用整体求值的这样一种想法。 好，接着第九题告诉 abc， 满足根号下八减 a， 加上根号下 a 减八， 那观察到我们的前面的这样的两个二次根式，它的内部的被开放数，一个是八减 a， 一个是 a 减八，互为相反数。所以这个时候考察的第一个内容的话，就是，呃，他的一个 内部恢复啊。首先左边的两个二次根式啊，考察的是一个内部恢复性啊，也就可以得到是八减 a， 它要大， a 等于零，同时 a 减八也要大 a 等于零， 第一个得到 a 小 于等于八，第二个得到 a 大 于等于八，那要同时成立，那么此时能够得到 a， 它就只能是等于八。 一旦 a 等于八，第一个二次根式的值为零，第二个二次根式的值为零，所以等号左边就是零。好，那等号左边等于零的话，零等于根号下 c 减十，然后加上后面 b 的 平方，减去四倍的 b 加四。 好，后面一部分刚好是一个完全平方式，也就是 b 减二的平方。好，那接下来的话就是， 嗯，二次根式加上一个平方等于零，那就是借助我们的二次根式以及平方的一个呃，恢复性，那这个时候用到的是我们的二次根式的一个外部恢复啊。 好，那就得到的是这个式子整体它是大于等于零的。然后呢，平方整体是大于等于零的，从而得到，呃，我们的这个 c 减根号下 c 减十是等于零的，以及 b 减二的平方也是等于零的， 那都等于零之后，进而也就得到被开方数 c 减十是等于零的。好，另外一个就是 b 减二也是等于零的，进而也就可以得到 c 的 值， 这是零啊。好， c 的 值是等于十的， b 的 值是等于二的，以及我们前面求得的 a 的 值是等于八的， 那带入到我们目标带球的式子，那目标带球的式子根号下，那就是 b 是 二，那就是二乘以十减八。好，然后计算一下，结果等于根号四，也就是化简之后的结果应该是等于二的。 好，这是我们的第九题。好，接着我们来看第十题。好，第十题的话啊，就是 二减 a 的 绝对值加上根号下， a 减五是等于 a 的。 那可能第一个有同学想到的是，绝对值和我们的二次根式是具有非负性的，两个非负数的和相加，结果他是一个。首先 a 肯定是一个大于等于零的数，因为左边是具有非负性的， 但是我们常规的是两个非负数的和为零，我们是能够得到这两个数都为零，但是这个地方的 a 并不一定为零，而且也能够发现 a 是 不可能为零的。好，所以这个地方不能直接用非负性来做题。 那这个地方啊，首先有绝对值，有根号，我们最后要求 a 肯定是要想办法把绝对值和根号都给去掉。 这里面首先出现了二次根式，二次根式的意义就是他的内部被开放数必须是大于等于零的啊，从而就可以得到这个地方的 a 减五，他应该是大于等于零的，从而得到 a 应该是大于等于五的。 a 一 旦大于等于五，那么前面的二减 a 的 绝对值二减 a， 他 就应该是一个负数， a 是 大于等于五的，所以二减 a 是 一个负数，负数的绝对值是 好。内部的这个数字啊，它应该是一个负数，负数的绝对值是等于它的相反数好，从而可以得到等号左边啊，把绝对值去掉，取它的相反数，那就是 a 减二，然后呢，加上根号加 a 减五，结果是等于 a 的 左等号，左右两边都有 a， 我 们可以把 a 消掉，好，把 a 消掉之后，然后呢，接着我们就可以进一步得到根号加 a 减五，应该是等于二的，把二移到右边， 接下来我们要求 a 的 值，那就把根号给去掉，那根号去掉的方法就是两边同时平方，左边平方的结果是 a 减五，右边平方的结果是等于四的，从而可以得到 a 的 值，就应该是等于九的目标在求的 a 的 值为九， 所以他首先是借助二次根式的内部恢复性确定 a 的 范围，根据 a 的 范围来确定绝对值，内部式子的正负，根据内部式子的正负来去绝对值，去完绝对值之后，找这个等式之间的联系，然后再去去根号，得到 a 的 值。 好，那十一体的话是跟它有类似的处理方式，它里面有绝对值，有平方，有二次根式，左边的三个式子都是具有非负性的，但是目前的右边的二 m 减七，他不一定为零。好，所以这个时候啊，就是首先还是借助我们的二次根式的一个 非负性好，用到的是它的一个内部非负性，那内部非负的话，得到的是这里的 m 减四，应该是大于等于零的，从而也就可以得到 m 应该是大于等于四的， 那 m 一 旦大于等于四，我们可以得到七减二 m， 也就是 m 大 于等于四，二， m 是 大于等于八的， 所以七减二 m 一定是一个负数，那既然它是一个负数，负数的绝对值等于它的相反数，所以去掉绝对值之后，那就应该是二 m 减七。好，然后呢，加上 n 减三的平方，再加上根号下 m 减四，结果是等于二 m 减七的， 那这个时候会发现左右两边都有二 m 减七，合并掉了，合并完了之后，那得到的就是 n 减三的平方， 加上根号下 m 减四的，呃，根号下 m 减四，结果等于零。好，那接下来就是我们的平方和二次根式的一个双重，呃，一个恢复性 好，那这个时候用到的是一个外部整体恢复，也就是 n 减三的平方要大一点零，然后呢，根号下 m 减四是大一点零的， 进而得到 n， n 减三的平方等于零。根号 m 减四是等于零的，那进一步也就可以得到是 m 的 值是等于四的好， n 的 值是等于三的好，当然也可以先写 n 等于三， m 等于四啊，那就可以得到 m 减 n， 三减四是负一 负一的一百次方，结果就应该是等于一的好，得到目标的结果应该是一。好，接着我们来看十二题，好，这个十二题的话，他的做法实际上也是类似的。 好，我们写在下面啊。好，首先这个地方出现的有根号，有平方。好，根号和平方同时出现的时候，这个根号我们实际上是可以把它去掉的。好，那去掉根号之后啊，首先注意就是，呃，这个平方它是在内部的， 在内部的啊，所以这个地方的二零三六减 m 的 值是正的还是负的，暂时是不确定的。所以这个时候去掉这个根号之后，首先是要加一个绝对值好，也就是二零三六减去 m 的 绝对值，然后呢，加上根号下 m 减去二零三八， 结果是等于 m 的 好，那这个时候的绝对值和我们的二次根式是具有非复性的，但是等号右边他是 m， 并不是零，我们不能直接用零来做题， 所以这个时候有根号有绝对值，还是要想办法去根号以及去绝对值，从而去求目标带求的不带根号这样的一个式子的值。 那首先还是讲的是先去绝对值，根据这个地方二次根式存在的意义，根据二次根式存在的意义啊，内部的被开放数，也就是 m 减去二零三八，它应该是要大于等于零的 好，从而我们可以得到 m 应该是大于等于二零三八。 m 一 旦大于等于二零三八，那么二零三六减去二零三八的值应该是一个负数，负数的绝对值等于它的相反数，所以得到的是 m 减去二零三六， 然后加上根号下 m 减去二零三八，结果等于 m 好， 等号左右两边的 m 是 可以合并掉的，那接下来把这个常数移到等号右边，也就可以得到 m 减去二零三八，他应该是等于二零三六的。接下来是去根号， 去根号的方法就是两边同时平方， m 减去二零三八好，应该是等于二零三六的平方。当然这个地方不需要具体的把 m 的 值给具体求出来， 因为目标待求的也是一个式子 m 的 平方减啊， m 减去二零三六的平方，所以我们只需要移项啊，把二零三六的平方移到等号的左边， 然后把我们的二零三八是移到等号的右边，从而得到目标带球的式子的值应该是二零三八。好，这里面他稍微用到那一点，就是我们下一个章节里面的一个内容啊，就是根号下 a 的 平方应该是等于 a 的 绝对值啊， 因为这个地方的 a， 它有可能是一个负数， a 的 平方是一个非负数，但是 a 有 可能是一个负数，那些比如说根号下负二整体的平方， 它结果应该是等于二，而不是负二，所以这里面要稍微注意一下啊。好，接着我们来看十三题。 好，首先告诉的 m， 呃，有时数 x y m 满足的是这样的一个等式，这个等式里面包含三个二次根式以及一个平方 啊，二次根式加平方，它都是具有非负性的，先利用的是我们的等号右边的两个式子啊，注意观察等号右边两个式子的特点， x 加 y 加 y 减二，以及根号下二减 x 减 y， 那两个内部的被开放数之间实际上是有联系的，互为相反数，那互为相反数的两个数如果要同时大于等于零，那么它就只能是等于零。所以这个地方首先利用的是它的一个内恢复 内部的一个恢复性，得到的是 x 加 y 减二，应该要大于等于零好，同时二减 x 减 y 应该也要大于等于零。 由第一个式子得到 x 加 y 大 于等于二，由第二个式子得到 x 加 y 小 于等于二好，从而就可以得到 x 加 y， 它应该是等于二的，一旦 x 加 y 等于二，那就可以得到的是我们的根号下，三 x 加上五 y 好， 三 x 加上五 y 减三减 m， 然后加上二 x 加上三 y 减去 m 的 平方应该是等于零，减零，结果应该是等于零的，那接下来就是一个，嗯，二次根式加上一个平方等于零， 那二次根式和我们的平方都是具有非负性的，那这个时候用到的就是外部式子整体非负性好。所以接下来就是因为我们的三 x 好，加上五 y 减三减 m 是 大于等于零的，同时平方二 x 加上三 y 减 m 也是大于等于零的，两个非负数的和为零，则每一个非负数为零。所以接下来的话，就是得到这两个式子的值应该都是等于零的。 而我们知道二次根式啊的值等于零的话，那么它的内部的被开放数就应该是，呃，等于零的，平方为零的数也是只有零的，所以接下来的话，就得到的对应的两个式子的值为零 啊，两个式子的值分别为零。好，那这样的话就结合我们前面的啊，就是 x， y 等于二，那得到的就是关于 x， y 和 m 的 一个三元一次方程组。 好，这样的三个方程啊，构成的是关于 x， y 和 m 的 一个三元一次方程组，那解这个方程组的话，可以得到 x 的 值是等于一的， y 的 值等于一， m 的 值是等于五的 啊。当然这个地方因为目标带球的式子里面只有 m， 所以 这个地方的 x 和 y 也可以不用把它算出来，可以当做一个整体，比如说这个地方啊，就是，嗯，有一个稍微技巧一点的算法的话，就是把我们的这个第二最后一个方程 两边同时乘以二，也就得到四 x， 然后呢加上六 y 减去二 m 应该是等于零的。用这个方程和我们前面的一个方程做减法， 那就得到的是 x 加 y， 然后呢是，呃，减 m 加三等于零，把 x 加 y 等于二代入，然后直接得到 m 的 值等于五也是可行的啊。方法不为一， 那接下来目标带球的式子是 m 加四，根号下 m 加四，代入数据就是根号下五加四也就等于根号九， 根号九是根号下三的。平方化简之后啊，实际上结果就等于三，也就得到目标带求的式子的值应该是等于三的。

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好，我们继续来学习第二十页关于勾股定律与三角形的高度问题。首先第一题告诉三角形 a、 b、 c 中 ab 的 长度是等于二十的， ac 是 等于十五的，接着给的是 bc 边上的高是等于十二的。那这里面是有图的，所以这个地方直接按照如图所示来进行计算即可。 好，这个地方让求的是 a、 b、 c 的 周长，也就是要求 b、 c 的 长度直接 b、 c 是 求不了的。那目前因为这个暂时是不能确定它是一个直角三角形， 所以接下来的话就是我们的这个 b、 d 和 c、 d 两段。首先 b、 d 角形是 b、 d， a 已知斜边和直角边。勾股定律求 b、 d 的 长度，所以首先是在 r、 t 三角形 abd 中 好，利用勾股定律可以求得 b、 d 的 长度是直角边，所以等于根号加 ab 的 平方，减去 ad 的 平方 好，从而得到结果应该是等于十六的。好，这个地方在计算的时候注意稍微技巧一点计算啊，我们常见的一些勾股数三四五好，还是再写一遍啊？三四五，然后呢是五十二十三，然后是六八十 以及七二十四二十五。勾股数同时扩大，相同的倍数仍然是勾股数缩小的时候，它也能够构成直角三角形，但是勾股数指的是能够构成直角三角形的整数啊，真整数。 所以这个地方的二十和十二都是四的倍数，二十是四乘五，十二是四乘三，所以剩下的就是四乘四，三四、五分别是四倍啊，所以得到的是十六。那接下来的话就是在我们的 r、 t 三角形 a、 c、 d 中， 同样的，利用勾股定律也可以得到 c、 d 的 长度， c、 d 是 直角边，所以它等于 ac 的 平方，减去 ad 的 平方，结果应该是等于九的。一样的，借助我们的常见的勾股数啊， 十二和十五都是三的倍数啊，十二十五的话是三乘五，十二是三乘四，那剩下的就是三乘三，也就是九。那接下来就得到我们的 bc 的 长度是等于 b、 d 加上 c、 d 的， 也就等于二十五 啊。那接下来就得到我们目标带球的三角形 abc 的 周长，那就应该是三边之合 ab 加上 abc， 从而得到结果应该是等于六十的 好。接着第二题，第二题告诉的是在三角形 a、 b、 c 中，过 a 点做 b、 c 的 垂线，交 b、 c 的 延长线与点 d 点 a、 b、 c 是 一个钝角，三角形高是在形外的，所以这个地方一样的，有图直接分析即可。 ac 的 长度是等于十三的，接着给的是 bc 的 长度是等于十一的， ad 的 长度等于十二。那首先是在我们的 r、 t 三角形 a、 c、 d 中，已知两边五十二十三的勾股数啊。所以首先来分析的是我们的 r、 t。 三角形 a、 c、 d 好。利用勾股定律得到 c、 d， 它应该是等于根号下 a、 c 的 平方，减去 a、 d 的 平方，结果应该是等于五的好。一旦 a、 c、 d 等于五，那公弦运算就可以得到 b、 d 的 长度就应该是等于十六的 好，它等于 b、 c 加上 c、 d 是 等于十六的。那接下来要求 ab、 ab 找型的话，找特殊的直角三角形 abd 好。 a、 b、 d 这个直角三角形里面，两者角边长是十二和十六，所以直接用我们的勾股定律可以得到对应的目标带球的 a、 d 的 长度，它等于根号下 a、 d 的 平方，加上 b、 d 的 平方 好，一样的，注意勾股数的一个应用，十二和十六都是四的倍数，四乘三，四乘四，那剩下的就是四乘五，斜边是四乘五，得到结果是等于二十的好，从而得到啊。这个地方是 ab 啊， 好。接下来看第三题。第三题告诉的是三角形 a、 b、 c 中 ab 和我们的 ac 相等，都是等于十的。 接着是 c、 d 和我们的 ab 是 垂直的，提供的是直角直角三角形，两个直角三角形啊。接着给的是 c、 d 的 长度是等于六的 c、 d 角形。先找 c、 d， a 有 斜边十，直角边是六。所以首先先分析有已知条件的直角三角形 r、 t 三角形 a、 c、 d。 好。利用勾股定律得到 a、 d 的 成 a、 d 的 长度， a、 d 是 直角边，所以它等于斜边 a、 c 的 平方减去直角边 c、 d 的 平方开根号，结果应该是八、六八十的勾股数 好，那接下来得到 a、 d 等于八，之后共线运算可以得到 b、 d 的 长度，它是等于 a、 b。 然后呢，减去 a、 d， 结果是等于二的，那 b、 d 一 旦等于二，目标待求的 b、 c 找型 b、 c、 d， 那 b、 c、 d 中有两直角边都是一致的。勾股定律求斜边的长度， 所以目标带球的 bc 是 斜边，所以等于根号下 cd 的 平方加上 b、 d 的 平方。好，那六的平方加二的平方，根号四十。运算化简之后，结果是二倍的根号十 好。接着第四题首先告诉的是 ab 和我们的 ac 是 相等的好，并且 cd 是 垂直的，带来的也是有两个直角三角形， 接着给的是 ab 的 长等于五，那么 a、 c 的 长度也是等于五的， cd 是 等于三的，那五和三所在的 a、 c、 d 里面已知两边勾股定律，求第三边 a、 d 的 长度。所以还是先分析有已知条件的 r、 t 三角形 a、 c、 d 利用勾股定律得到直角边 a、 d 的 长度应该是等于根号下 a、 c 的 平方，减去 c、 d 的 平方，结果是等于四的三、四、五的勾股数。 那一旦 a、 d 等于四的话，公弦运算可以得到对应的 b、 d 的 长度应该是等于 a、 b 减去 a、 d， 也就是一。 那接下来的话，要求的是 bc， bc 所在的弦就是 r、 t 三角形 b、 c、 d 一 样的勾股定律，求 bc 的 长度， bc 为斜边，所以它等于 c、 d 的 平方减去 b、 d 的 平方好，也就是根号下十 得到目标带球的啊。 b、 d 长是等于根号十的啊， bc 长根号十好。接着第五题，第五题告诉的是 ab 和我们的 ac 相等，都是等于十的 好。接着给的是 bc 的 长度是等于十六的，三边都是一致的。接着 d 点是 bc 的 中点， bc 角形是等腰三角形底边的中点， 等腰三角形的底边中点。如果要用的话，优先考虑的应该是三线合一，如果有需要添加辅助线的话，可以连 a、 d。 另外中点提供的是 b、 d 和我们的 c、 d 相等，都是等于八的，那有八有十六八十的勾股数啊。所以这个地方呢啊，连 a、 d， 那 是将可以得到 a、 d 是 等于六的啊。接着是过地点做的 d、 e 垂直于 ab， 垂足为 e， 求 d e 的 长度。 d、 e 目前找型的话是 d、 e、 b， 但是目前这个型里面只有一条边是已知的，另外两边都是未知的，现有的图形没有办法直接求 d、 e 的 长度，所以要添加辅助线，就是刚刚有提到的地点是终点，三线合一。所以这个地方啊，先来交代对应的辅助线，也就是连 a、 d。 好，连完之后，因为 ab 是 等于 a、 c 的， 另外就是 b、 d 是 等于 c、 d 的 等腰三角形三线合一得到 a、 d 是 垂直于 bc 的。 那这样的话，首先在 r t 三角形 abd 中， 那利用勾股定律就可以得到我们的这个 a、 d 的 长度啊。 a、 d 是 直角边，那就应该是等于斜边 ab 的 平方减去直角边 b、 d 的 平方，那结果是六六八十的勾股数， 那得到它等于六之后，目标待求的 d、 e 的 长度，那 d、 e 在 我们的三角形 a、 b、 d 这个直角三角形中，它可以充当高， 所以这个地方求 d、 e 的 长度以 d e 为高，选择以已知的 ab 为底啊。因为 b、 e 和 a、 e 暂时是未知的啊，所以找已知的 ab 为底，表示的是 abd 这个图形的面积， 而 abd 是 一个直角三角形，又等于两直角边乘积的一半。好，那这个时候接下来的话，就是啊，这个三角形 abd 的 面积，它等于二分之一的 ab 乘以 d e， 同时也等于二分之一的 b， d 乘以 a、 d， 从而得到目标带球的 d、 e 的 长度应该是等于 b， d 乘以 a、 d。 然后呢，除以 ab 代入数据的话，就是 b、 d 是 八八乘六除以十，结果是五分之二十四啊，四点八。 好，这是一种想法啊，当然这个地方的方法是不为一的。另外一种想法的话，求 d e d e 找寻找 d e a 的 话，那就是求 a e d e 找寻找 d e b 的 话，那就是求 b e， 而 a e 和 b e 之间是有关系的，和为十。所以另外一种就是一种方程的想法， 那方程的想法，我们可以假设 a e 长为 x， 那 么 b e 长就是十减 x， 那 这个时候在我们的两个直角三角形中，利用 d e 的 平方来建立等量关系，它等于呃 a d 的 平方，六的平方减 x 的 平方。 另外在 b d e 里面，它应该是等于斜边八的平方减去直角边十减 x 的 平方好，从而可以求出来对应的 x 的 值是等于呃五分之 啊，十分之三十六，也就是五分之十八的，那得到五分之十八之后再来求第一的长度也是可行的啊。当然这个地方在计算的时候也要稍微注意一下技巧，十八和六都是六的倍数， 那这个是六乘五分之三，这是六乘五分之六啊也，这个六乘五分之四啊，六乘五分之四，也就是五分之二十四也是可行的啊。

每天三分钟，初中四年通，今天我们来到新教材八下二十三点二、平行四边形定义，有一组对边平行的四边形叫做梯形，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。有上述定义，我们可以知道平行四边形是梯形的一种特殊情形。来看图， 在左边的图中，在梯形中把一组平行的边称作梯形的底，而两边不平行的叫做梯形的腰。 而右边这张图平行四边形可以用这个小符号表示，如图就可以表示为平行四边形 a、 b、 c、 d。 好， 平行四边形是两组对边分别平行的图形，然后我们来看平行四边形的性质。理一、平行四边形的对边相等，也就说对边不光平行，它还相等，怎么正呢？那就是可以取平行四边形的一条对角线画出来，然后把两个三角形对称等，我们就能够得到对应边相等了。 同样的，在这个证明过程中，证出来三角形全等后，他的角也相等，所以平行四边形的对角相等，角 a 等于角 c， 角 b 等于角 d， 差不一条。 我们知道两条直线在同一平面上，他们之间要么是相交，要么是平行相交的，没有直线之间的距离了。而平行的话，两条平行线之间是有距离的，他们之间的距离其实和我们之前讲的直线外一点到直线的距离， 他的方法是差不多的。直线外点到直线的距离是多少呢？那就是过点做直线的垂线段，这条垂线段的长度就是点到直线的距离，而现在我们有的是两条平行线，求两条平行线之间的距离，那么就是在一条平行线上任取一点过这点做另一条直线的垂直线段， 水线段的长度，也就是两条平行线之间的距离。平行四边形它其实是一个不稳定的图形，我们平时中见过那种拉伸门，如果你观察的话，会发现它的每一个可动的小格子其实都是平行四边形，不稳定也有不稳定的用处。在这里面，四边形的不稳定性指的是四边形的 边长一定是不能确定的，是首先边长一定它的周长肯定是一致的。那么外角和，我们之前学过任何 多边形的外角和都是三百六十度，而内角和四边形的内角和，那就是二乘一百八十度，等于三百六十度，所以变的就是其中的内角大小，它的角度会发生变化。 好，我们研究完了平行四边形的边和角，那么是不是还有对角线，那么我们连接对角线，发现定里三平行四边形的对角线互相平分，也就是说 o 点是 a c 和 b o， b o 等于 d o， 所以这个能直接得出线段相等的，就很容易在正全等三角形当中起到非常重要的条件。好讲完了平行四边形的性质，然后再来看平行四边形的判定，即如何证明一个四边形是平行四边形呢？这完完全全是由我们刚才平行四边形的性质得来的。 我们之前说平行四边形的性质有平行四边形两组对边分别相等，那么他的逆定律，两组对边分别相等的平行四边形是平行四边形，这就是判定定律一，而定律二，我们知道平行四边形，它的对边 平行且相等，那么可不可以位置关系和 长度关系各取一个呢？那么我们有定律二，一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形，然后判定定律三就是我们刚才说到的平行四边形的性质。三、对角线互相平分的四边形是平行四边形， 所以平行四边形最重要的就是两组对边平行且相等，对角线互相平分。

小学和初中家长呢，都看一下这个巴夏英语二零二六新版的教材，电子版和纸质版呢，都有了。这个新版的英语教材难度呢是指数型的跳级，已经是高中难度了，巴完了整本教材，对比之前的教材呢，有一个结论就是英语分流提前了，这一个学期呢，可能无法培养孩子多强的英语能力， 但是他会筛选掉一部分基础不行的孩子。有三个方面啊，首先是词汇量增加，难度升级。新版的八下的词汇呢，比上册增加了百分之五十，这一本书里面多达六百多个单词，就这种量级的话，初中呢，咱得掌握三千多个单词了，而且单词的难度也升级，好多单词都是高中词汇。 第二呢是阅读量增加了，他的文章体裁也增加了，你看他的课文的篇幅啊，难度呢，已经直逼高中水平了，而且没有简单句，全都是复杂的单词和复杂的语法结构。而且他的图表啊，思维导图也增加了，要求学生们有信息整合的能力以及逻辑分析的能力。 第三个呢，就是听力呀，对话呢，都增加了，说白了呢，英语是个语言，现在更注重的是英语的运用。新版的听力呢，比老版也翻倍了，难度也跳级了，而且让孩子听完整段的对话之后呢，提炼主旨， 梳理逻辑，你自己品啊，有三个建议啊，一、提前的背单词，这个我不解释了啊。第二个就是大量的阅读，其实我们伴学陪跑的家庭啊，八年级基础好的孩子呢，我们直接建议读的是三千五百次难度的阅读材料了。第三个呢，就是尽量的提前学。真的啊？提前学。

二零二六年春季计较版英语课堂笔记都已经到货了， 勾勾代表计较的意思，省书赠送课文跟读 有重点句型，红色字体是全书的翻译，黑色字体是课本原文，重点单词都有批注式讲解， 内容做的非常详细，预习复习的好帮手。 单词表也给大家赠送了音频，单词的音频，还有单词的音标都有家人们喜欢 apple， 苹果 orange 到货了啊，到货了啊，家人们，刚刚卸货啊！三四年级技巧版英语他们两个的下册到货了啊，给大家马上拆包 这个版本的新版下册啊，给大家看一下 最新目录，六个单元看，还带着这个传输的这个音频。新版内容啊， 抢先版啊，家人们，抢先版，因为现在定稿版还没有出来，课本还没有印刷，课本印刷之前，呃，笔记都没有保，没办法保证这个定稿，但是咱家能同步百分之九十到九十五左右看一下。单词表 做的很好啊，家人们！单词读写音频带有音标，都带有音标，预习的话，寒假没有问题啊，家人们！