圆锥曲线公式大全

什么？马上二零二六年了，竟然还有人不会圆锥曲线连力速算，今天主包让你只用两分钟就能记住，对于基础不好的同学可以快速入门圆锥曲线，要是考试时间不够，还可以拿去骗分哦。 好，我们先看椭圆根直线的连立，首先，不管你直线是正射还是反射，我们第一步都先把它变成直线的一般式，也就是让另一边等于零。其次，我们连立速算所有的结论都是通过 a 方 b 方大 a、 大 b 大 c 这五个字母构成，比如说我们连立之后， x 方 b 方大 b 方 a 方 a 方加 b 方 b 方减 c 方，如果我们是 x， 那 我们这里就变成四 a 方 b 方大 a 方 a 方 a 方加 b 方 b 方减 c 方。跟它的区别唯一不一样的就是这个大 a 方跟大 b 方的位置 好，但是呢，如果我们单纯的只想判断交点，或者是单调等于零，对吧？单调大于零，单调小于零的情况，我们直接就令单调等于括号内的内容，也就是 a 方 a 方加 b 方 b 方减 c 方，因为我前面的系数它都是很大于零的，对吧？我们直接让单调等于括号内就行了。 好，那我们接着再看伟大定律这五个，首先它们的分母都是 a 方 a 方加 b 方 b 方，也就是你这个 d 叉不要这个 c 方前面的，它就是作为我们伟大定律的分母使用。那我们再看先看和的形式，如果是这种 x c 加 x 二， y 加 y 二这种和的形式，首先它们外面都有一个负二， 其次我们求 x 一 加 x 二的时候就把 y 折叠遮住，这五个参数剩下什么我们就写什么。比如说这里就剩下 a 方大 a 大 c， 我 们就把它写下来，那 y 一 加 y 二，我们就把 x 折叠遮住这五个参数，剩下就是 b 方大 b 大 c， 那 写下来就是 b 方大 b 大 c， 它这两个我们就搞定了，对吧？非常快。那我们再看。如果是这种积的形式， 首先他们都有个括号，里面是 c 方减，括号 d 方减。其次，括号外的参数是由你求的这个 x 还是 y 决定的。如果你求的是 x 的 g， 那 我们的参数就是椭圆下面 x 平方的系数， a 方红利，那你就是 y 方下面的 b 方。 其次，我们刚刚求 x 一 加 x 二的时候，是遮住 y 这列，我们是剩下什么，我们就写什么，对吧？ a 方 a c， 现在我们求 g 的 形式，我们是消去什么，我们就写什么。比如说这里消去字母就是 b 方跟大 b， 那 就写下 b 方大 b， 那 你就是 a 方大 a。 到这里还没有结束，我们要给 b 加一个平方， a 也加一个平方， 你可以理解为 x 一 x 二 y 二都是两次的，那我们上面分子所有的参数，所有的字母都要变成两次。那最后一个这个麻花结构， x 一 y 二加 x 二 y 一， 它的分子就是两倍。除了 c 以外，其他全部写下来，那是 a 方 b 方大 a 大 b， 对 吧？ 那双曲线能不能用呢？双曲线也是可以用的，我们就把这个符号给到这个 b 方里面去，我们让我们连累速算的 b 方，全部都等于替换成这个负的 b 方。这两个 b 方不是一个东西，一个公式中表示的 b 方，一个是我们椭圆方程下面的这个参数啊，也就是系数。比如说我们举个例子， x 平方除以三减 y 方除以二，等于一，跟 x 加 y 加一连立。首先第一步 它的 delta 是 等于 a 方， a 方加 b 方， b 方减 c 方，那就应该等于三一加。注意我们这里是把这个符号给放进来，对吧？我们把它当椭圆使用， 把它当椭圆用，那这里的 b 方就变成了负二，对吧？其他我们还是一样的， b 方一减一，那得它就应该等于零，对吧？ 那比如说我们再写一个 x 一 x 二，它应该是等于 a 方 a 方加 b 方 b 方分子是，首先是有一个括号， c 方减，其次我们数 x x 二，那前面的系数就应该是 x 方下面的系数也就是 a 方， 我们就 x 一 x 二，把 y 这类遮住，我们是消去什么就写什么，那就应该是 b 方大 b， 最后要在这个大 b 上也加一个平方，那我们代入就应该是三一加负二一三， c 方是一减 b 方，也就是负二。大平方还是一， 就应该等于下面是一，上面是三，一加二，那就是三，那答案就是九。那除此之外，我们连立速算，既然涉及到尾数，那我们的弦长，尤其是当我们计算面积的时候，我们这个弦长 a b， 它的表示本来是这种， 我们以椭圆为例，我们把它变形啊，椭圆跟直线连线的时候，是不是我们以 x y 为例啊？只有 a x 平方， b 倍 x 加 c， 我 们可以把它画成关于 x 的 一元二次方程。那右边这里用尾的定义表示出来，就应该是负的 a 分 之 b 的 平方减去四倍的 a 分 之 c， 然后再开根号 化解，就变成 b 方减四 a c 五与 a 方抬高，那就等于根号下等下除以 a 的 绝对值，其中这个 a 的 绝对值，这个 a 就是 我连立之后消去 y 的 二次项的系数， 那它其实就等于 a 方 a 方加 b 方， b 方大， a 是 等于这个的，这个 a 是 指，呃，我们用 a 撇来表示吧， 它是连累之后二次项的系数。好，那我们刚刚不是写了 delta 吗？对吧？这个 delta 连累之后 x y 的 delta 应该是等于这一强转的，这个时候 delta 不 能只写括号里的，那还要把这个系数带上，那就把它变成 一加 k 方，括号加 delta 赋 y， 那 就等于一加 k 方 四 a 方 b 方大 b 方 a 方 a 方加 b 方 b 方减 c 方， 再除以 a 方 a 方加 b 方 b 方，那也就是说我们直接把椭圆方程跟减方程一列，我们就可以直接把弦长给算出来， 那这个时候我们在假装写过程，对吧？这里推出来，如果在这里推出来 x 一 加 x 二， x 一 x 二，我们就用前面的这个速算，对吧？三十秒我们就能把它算出来。算出来之后我们假装往这里面带， 然后最后我们直接通过这个公式读出来它确切的值就可以了，对吧？然后我们再后续再算面积，对吧？二分之一 d 乘以这个弦长，这样子就可以简化很多的计算量。

交半径比例公式很多同学都知道，但是你确定你真的会用吗？可不仅仅是套运公司哦！ a f 二销量等于十三倍的 f 二 b 销量。所以 f 二跟弦所成的比 拉不打就等于 a f 二比上 b f 二就等于十三。假设直线倾斜掉 c 塔，则角 a f 二比一，也是 c 塔。带入大招公式就有。一扩散于 c 塔等于十三，加一分之十三减一等于七分之六。 r f 一 a 下量减 f 二一下量就是 f 一。 f 二项量数量即为零，所以两项量垂直。因此 a f 一和 f 一 f 二垂直。 a 点坐标负 c。 a 分之 b 的平方有椭圆，第一就有 a。 f 二等于二， a 减 a， f 一等于二， a 减 a 分之 b 的平方。所以扩散 c 塔 等于 f。 一。 f 二比上 a， f 二等于二， c 比上二 a 减 a 分之 b 的平方等于二。 a。 c 比上二 a 的平方，减 b 的平方也就等于二。 a。 c 比上 二 a 的平方，减去 a 的平方，减 c 的平方等于二。 ac 比上 a 的平方加 c 的平方。上下同时除以 a 平方等于二。一 比上一的平方加一。带入大招公式就有。一乘以二。一比上一的平方加一等于七分之六。因此一的平方等于四分之三。明信率一二分之根号上搞定。怎么样，你搞懂了吗？

已知，直线 y 等于 x 加一于椭圆四分之 x 方加三分之 y 方等于一。相交于 a、 b 两点，则弦长 a、 b 的长度等于多少？首先我们来复习一下弦长公式的具体内容。 若直线 l 方程为 y 等于 k， x 加 m 与曲线 c 相交于 a、 b 两点， a、 b 两点的横坐标分别为 x 一 x 二，则弦 a、 b 的长度就等于根号下 一加 k 的平方乘以根号下 x 一加 x 二，括起来平方减去四倍的 x 一 x 二，这个公式就叫做弦长公式。那么我们如何利用弦 延长公式来求解这道题目呢？我们来看一下过程。首先，我们连力直线方程 y 等于 x 加一和椭圆的方程四分之 x 方 加上三分之外方等于一。对于椭圆的方程。等式两边我们同时乘以分母的最减公分母十二，我们可以得到三倍的 x 方，加上四倍的小括号 x 加一括起来平方就等于十二。 我们去括号一项，合并同类项，可以得到七倍的 x 方，加上八 x 再减八就等于零。该一元二次方程的两个实数根就是点 a 和点 b 的横坐标 x 一 x 二。由伟达定理 可知， x 一加 x 二等于负的 a 分之 b， 就等于负的七分之八。 x 一乘以 x 二，就等于 a 分之 c， 就等于负的七分之八。有题意可知，该直线的斜率 k 是等于一的。接下来我们可以代入弦长公式。 线段 ab 的长度就等于根号下一加上一的平方，乘以根号下小括号负七分之八括起来平方再加上七分之三十二， 就等于根号二。乘以根号下四十九分之六十四，加上七分之三十二，就等于根号二乘以根 根号下三十二，乘以小括号四十九分之二，加上七分之一，就等于根号六十四， 乘以根号下四十九分之二，加上七分之一。而根号六十四，就等于八乘以根号下四十九分之二，再加七， 就等于八乘以根号下四十九分之九，就等于八乘以七分之三，等于七分之二十四。所以最终的弦长 a、 b， 就等于七分之二十四。

同学们大家好，距离我们二零二零年广东高职高考剩下不到两个月的时间，那现在大部分同学已经进入了全面复习阶段，在复习过程当中，相信很多同学都会遇到一种题型，那就是 直线被椭圆或者是双曲线或者是抛物线锁结的这个弦的长度。比如说 一个椭圆和一条直线 l 交于 ab 两点，那么 ab 这条线段我们就叫做直线 l 被椭圆所结的弦，这个弦的长度怎么求呢？如果我们知道 到了一个嫌长公式，我们再解决这一类题，我们就可以直接套公式把它套进去。今天的话跟同学们来讲一讲这个公式是怎么推倒出来的，我们在做题过程当中怎么样去用，我会结合立体跟同学们去讲解。 我们首先来看一下这一个公式的一个推导过程，直线要我们假设它的方程是 y 等于 k， x 加 b， 然后这两个点点 a 的坐标我们设为 x 一， y e 点 b 的坐标呢？我们设为 x 二， 根据两点之间的距离公式，我们可以得到 ab 两点之间的这个距离，可以用 x 一减去 x 二的平方， 加上 y 一减 y 二的平方来表示。那如何把这一个公式进行一个化解呢？在这里我们就结合这一个直线方程，把 y 一和 y 二，用这一个 x 一和 x 二替换掉 x 一减去 x 二差的平方加上 y 一是 k， x 一加上 b 减去减去这一个 y 二， y 二呢是 k， x 二加上 b。 那么我们这里要注意一个地方是什么呢？就是我们在这里减的是 y 一和 y 二的叉，所以呢，在减这一个 y 二的时候， y 二是整一个 凯格斯二，嘉宾应该要带上一个括号，接着我们就要进行一个去括号，去括号前半部分我们先不变，他 当然是 x 一减去 x 二的差，再加上这时候 我们去过后，我们就会发现里面就只剩下 kx 一减去 kx 二，然后进行平方，因为 b 减 b 已经不见了，我们会发现这里啊这个 第二项，这里面呢，这里有个 k， 这里有个 k， 也就是说他们有一个供应室，因此的话呢，我们可以把这个供应室给提取出来 x 一减去 x 二的平方，再将 这里同学们要注意了，如果我要把 k 从这个括号里面把它提出来的话呢，不要忘记他这里还有一个二二次方，所以我们在提出去的时候呢，应该是把它写成 k 的平方，乘以 x 一减 x 二差的平方。 然后我们再观察一下，可以发现这里两个式子当中两个两项式，两项当中都有一个供应式，就是这个 x 一减去 x 二的平方，因此我们接下来这个 根号里面的式子，我们就可以把它变成 x 一减去 x 二的平方，然后乘以一加上 k 的平方，我们可以把这一个 这个二次根式进行一个分开，分开成怎么样呢？把一加 k 平方分开来写，然后呢后面呢一个就变成了 x 一减去 x 二的平方， 那我们看一下，对照一下公式，公式里面他这里是 x 一加 x 二和的平方，减去四 x 一 x 二，那么这里的话呢，就是两个完全平方公式的一个互相转换了。好， 我们来回忆一下两个完全迷茫公式，首先的话呢，如果是加的这一个 x 一加 x 二的平方，那他应该是等于 x 一的平方加上 x 二的平方，再加上二 x 一 x 二， 然后呢， x 一减 x 二差的平方，它是等于什么呢？等于 x 一的平方加上 x 二的平方减去二 x 一 x 二。 这两个公式它的区别在哪里呢？它区别就是一个是加二 x 一 x 二，一个呢是减二 x 一 x 二，那现在我需要把这里的减换成加，那我就必须是在这一个 加的基础上减去减去四 x x， 我就可以变成这个减了。为什么要把减，非要把减变成加呢？等一下我们结合例题大家就比较清楚， 那根据这个两个完全平凡公式的一个关系，我们就可以得到一加根号，一加 k 乘以， 那么这一个就变成了 x 一加上 x 二的平方减去四 x 一乘以 x 二，那么这个闲长公式我们就可以把它推倒出来了。 同学们知道他的一个推导过程的话呢，我们在公在考试的时候，如果公式记不住，我们也可以把他自己推导出来，看起来好像很长，其实呢，他的思路还是蛮简单的。那这个公式在实际 题型当中我们怎么样去运用呢？我们来看一下，也就是说你们一会去观察一下，为什么我一定要把刚刚的这一个完全平方差相差，就是说 x 一加 x 二的平方一定要转换成 x 一加 x 二呢？我们来结合立体来看一下， 我们来看一下这一道立体 过双曲线 s 平方减去三分之 y 平方等于一，他的右交点为 f 一的做倾斜角为四十五的直线 l， 这句话很长，我们一个一个来理解。首先他给出了这一个 双曲线的标准方程，由双曲线的标准方程，我们可以知道什么呢？我们可以知道，首先 a 呢平方是等于一档， b 的平方呢是等于三的，而且我们还可以知道他的焦点是在 x 轴上，不过呢，他这里已经写了右焦点，只有焦点才 从上才有，有有左焦点右焦点的一个说法，所以这里我们也要清楚。然后 c 平方对于双曲线来说，它是等于 a 平方加上 比平方，那就是一加上三是等于四，因此我们就可以知道这个 c， 他的这个值呢是等于二， 我们看一下下面一个条件，过这个双曲线的右脚点，那么这个 f 一他的坐标能不能表示出来呢？是可以的，右脚点，那说明他是在 x 者的右伴奏，由这个我们就可以知道 f 一的坐标呢就是二 零。好，然后去做做什么呢？做倾斜角为四十五度的直线 l， 其实在这里我们就已经可以把直线 l 的方程给求出来了，就一条直线方程，关键就是首先你要知道它的斜率， 你还要知道他的其中一个点的坐标，那在这里我们都满足，因为这条直线 l 是过点 fe， f 一的坐标已经知道了，然后呢斜率又知道了，斜率虽然没有直接告诉我们，但是他已经告诉我们这个倾斜角为四十五度 k 怎么求呢？已知倾斜角求这个斜率的话，是等于倾斜角的正确值，也是说天者四十五度求出来是等于一的，由这个我们就可以知道这个 l 它的直线方程，根据点斜式，那就是 y 减去零等于一， 乘于 x 减二，把它化解一下，我们就会有 y 等于 x 减二，那么这条直线方程我们就可以求出来了。接下来我们看一下他说这一个 l 交双曲线于 ab 两点双曲线，比如说 双曲线，我们大概了了解一下，一条直线跟这个双曲线 相加于 ab 两点，那实际上就是我们刚刚所说的那个问题，直线被圆锥曲线所结的这个线，这个线长，那根据刚刚给大家推倒来的公式，我们可以怎么样去用呢？ 既然是跟焦点有关，两个图像的焦点，一般我们都要去连立这一个方程组，所以接着 接着我们去连力方程组，连力 s 平方减去三分之 y 平方等于一。还有这条直线方程 我们连理，他的作用是什么呢？我们的目的就是把它转换成关于 x 的一元二次方程，然后再根据他的这一个 公式去把它求出来。我们来看一下这两个方程连理起来之后呢，可以怎么样去把它整合成一个关于 x 一元二次方程，我们可以把这个二是 带入仪式当中，带进去我们就会有 s 的平方减去三分之一，乘以 x 减二的平方等于一，然后我们有分母，我们可以先进行 去分母，去分母的话，这里就变成三， x 的平方减去 x 减去二的平方，大家这里要注意，一也要去乘以三， 每一项都要乘以三，然后我们进行去过号，在去过号之前，先把这个完全平方公式进行展开， s 平方减去四， x 加上 四，把这个三移过来，就是减去三是等于零的，然后再进行去括号四， s 平方减去 x 的平方加上四 x， 因为你括号前面是一个减号，所以去过号要进行一个变号。 好，然后我们化解之后就有二 x 的平方加上四， x 减去七等于零。那我们想 下，既然你这一个 a 点和 b 点是双曲线，是双曲线跟这一个直线的焦点，那换句话说，放到这一个方程当中，你这一个 x 一 好， y 一 x 二， y 二就是这一个方程组的两对公共节。那由这个我就可以知道，既然你这个整合之后，可以把它画成关于 x e 二次方程，那么根据伟大定理，我们就会有 x 一 加上 x 二是等于负 a 分之 b， 在这里 a 呢是等于二， b 呢是为四，求出来是等于负二，然后 x 一乘以 x 二呢是等于 a 一分之 c， 那就是等于负二分之七。刚才呢给同学们推出了这一个闲长公式，我们先把这个闲长公式先把它写出来， 这一个延长公式在做题过程当中是可以直接拿来用的，是根号一加 k 的平方乘以根号 s 一加上 x 二的平方 减去四 x 一 x 二，那这时候我们可以看一下怎么样把它带进去。 k 在这里指的是这一个 直线方程的斜率，直线的斜率，那么直线的斜率刚刚我们已经求出来了，是等于一，所以呢，这里我们带进去之后，我们看一下就变成了根号一 加上一的平方，那就是一了。刚刚我们根据伟大定理，我们可以知道 x 一加下 x 二呢是等于负二的，所以在这里就是负二的平方减去四乘于 x 一乘 x 二呢是等于负二分之七。 好，我们把它整理一下，那这里是根号二里面的话呢，就是四加上十四，求出来是等于这一个根号二乘以根号十八，那么最后我们可以知道 根号三十六，那就是等于六了，那我就可以知道这一个 ab ab， 它的长度就是为六， 所以的话，我们如果能记住这一个现场公式，我们在求这个现场的时候的一个步骤大概就是首先连立连立直线方程跟这一个 圆锥曲线方程，如果是椭圆，那我们就连立这一个直线方程跟椭圆的方程，然后把它整合整合成一个关于 x 的一元二次方程，然后再根据这一个伟大定理，这里是用到了这个伟大定理 回答定理去求出 x 一加 x 二和 x 一乘以 x 二的值，然后再根据这一个 弦长公式，弦长公式可以直接拿来用，根据弦长公式把这个直线的斜率带进去，把刚刚求出来的 x 一加 x 二和四 x 一乘以 x 二的值，把它带进去，那我们就可以很 快把这一个现场给求出来了。然后还有一个就是还要求这一个三角形三角形 aob 的面积，那么我们清楚的知道三角形 aob， 首先比如说举个例子， ab 他本来就是在这条直线 l 上欧点的坐标也知道了，那我们根据三角形的这一个面积公式，我们拿 ab 作为底，那他的高就应该是 o， 点到这条直线 l 的这个距离就是他的高了，所以他这个面积三角形 abo 的面积怎么求呢？我们可以直接套公式。 首先的话， ab 的长度我们已经知道了， ab 作为底，我们先有一个思路，这个三角形 a、 b o， 他的面积的话呢，应该是二分之一去乘于 a b 这条底的长度，再乘于那个高，那么这一点 a b 的长度已经知道了，我们关键就是要把这个 h 给求出来， 这个 h 怎么求呢？刚刚也跟大家说了，你这个 o 点，它的坐标呢？是零，零坐标已经知道了。然后 ab 是在直线 l 上，这个直线 l 是 k x 往回看，它是等于 k x， 呃，它是等于 y， 它是 y 等于 x 减二，因为一开始已经算出来了， y 等于 x 减二，那 a b 上的高实际上就是 o 点过 o 点去做这条直线 l 的这个 垂线 o 点到直线 l 的距离就是所要求的高了点。 o 到直线 l 的距离， 我们很快可以把它求出来，这里就要利用利用到这一个点到直线的这一个距离公式去把它求出来了。 根据点到直线的距离公式，我们首先要把这条直线换成一般式，那就是 y x 减 y 减去二等于零。好，那么这个 h 也就是这个等于这个 d 了，或者我这里不写这个 d 吧， 这个 h 呢，就是等于把这个点带进去，那我们就是有零减去零减去二的绝对值，根号一平方加上负一的平方，求出来就是 是二，下面是根号二，那求出来的话，上下同时乘以根号二，那最终是等于根号二的，因此这个高就出来了。那我们再把这个高 带进刚刚所列的这一个方程，当那个式子当中，那么这一个高就是等于根号二，他这里就是二分之一乘以六，再乘于根号二，最后求出来这个面积呢是等于 三根号二的三右根号二的，那这个面积就出来了。那么这个分析过程就是这样子，整一个书写过程的话呢，那就要同学们自己去整理了。 好，那下一个视频的话呢，将会再呃针对这一个题型跟同学们再去讲解一下。

圆锥曲线二级技能又来了！交半金公式，越用越喜欢，越喜欢越好用！根据交半金公式， a、 f 就等于 b 的平方比上 a 减 c 乘以扩散于 c 塔， b， f 就等于 b 的平方比上 a 加 c 乘以扩散于 c 塔， b 的平方等于三， a 等于二， c 等于 c 塔等于六十度带入就等于三。比上二减去一乘以二分之一，也就等于二。 三比上二加上一乘以二分之一，也就等于五分之六。所以答案二分之一加上六分之五，也就等于六分之八，三分之四。交半句公式证明过程复后大家截图保存。

这是什么定律？这是圆锥曲线应解定律。这是什么公式？这是外接球万能公式。这是什么函数？ 这是对勾函数。这是什么公式？这是椭圆的交半径公式。这是什么函数？这是飘带函数。这是什么结论？ 这是点差法的经典结论。这是什么公式？这是全概率公式！关注险哥，学习更多提分技巧！

一天一道题，带你通关圆的曲线。今天我们看到的是第三十题，那么第三十题我们看到的是我们二五年八省联考 t 八联考的十八题， 这十八题考察的是我们的一个四点共圆的问题，那对于四点共圆的问题，我们应该如何处理呢？我们拿这个题目当做一个例子。首先呢，我们读题可以发现，已知椭圆 c， 它的左右焦点分别是 f 一、 f 二，并且告诉我们它是负二斗零，二斗零。所以呢，我们知道 c 等于二 解椭圆 c 过点，根二根三点，椭圆的下顶点为 e， 让我们算第一问椭圆的方程。椭圆的方程比较简单，直接带进去算，算出来直接是八分之 x 平方，加上一个四分之 y 方，等于一就可以了，这是椭圆的方程。椭圆的方程知道之后，关键是我们的第二问。第一个小问，他说了 过交点做一个 l， a b 分 别交于 y 轴于点， p， q 是 p 关于 s 轴对称的点，并且 q b 交 s 轴于点二，他说了这个三角形 p b， q q f 二 b 还有 q a、 f 二分别是 s 一、 s 二、 s 三。第二，让我们做直线 l， 斜率为二，斜率为二的 s 一 加 s 三， 比上一个 s 二加 s 三的值等于多少？那这个呢，比较简单，我们把面积之比转换成它的边长之比是不就可以了？ 是否存在直线 l， 使得它们四点共圆，若存在，请判断 l 的 条数，若不存在，请说明理由。那么先看第二问的第一个小问。第二问的第一个小问呢，比较简单，因为斜率知道了，我们是不是直接可以去设这个方程，所以呢，我们设 直线 l 的 方程， ab 的 等于 y 等于二倍的 x 减二，那就是二 x 减四， 我们要去连立 y 等于二， x 减四，与我们的椭圆团方程的话，两边同乘以八呢，变成了 x 平方加上二， y 方等于一个八，再连立得到一个关于 y 的 二次方程，那就是九， y 的 平方加上八， y 减去十六等于零，这时我们知道我们的 y p 就 等于负四，我们的 y a 加上 y b 等于负的九分之八， y a 乘以 y b 等于负的九分之十六，这样我们就可以得到 y a 减 y b， y a 减 y b， 就 等于。 我们拿我们正常的做法一算是不就可以了，你就等于根号下 y a 加 y b 的 平方减去四倍的 y a 乘以 y b， 把它展开进行一个化简，那我们会得到的是九分之八倍的根式，九分之八倍根式。接下来我们要去看题目中让他算的，所以呢，我们会得到 s 一 加 s 三，比上一个 s 二加 s 三 等于 s 一， 那 s 一 加 s 三的话呢，我们可以把它转换成边长，它的边长怎么转换？我们知道点 q 到这之间距离是一定的，所以他们的面积之比就等于他们的底边之比了。那所以呢， s 一 加 s 三，我们可以看作是 b p 加上 af 二， b p 加上 af 二， 然后再比上 s 二呢，就是 b f 二加上 s 三， af 二就等于 af 二加上一个 b p 比上 ab， 那 他们呢，怎么如何转换成这个坐标之比呢？它的坐标之比呢，就是 y a 加上 y b 减去 y p， y b 减 y p， 再比上一个 ab 呢，就是 y a 减 y b， 转换成它们的纵坐标之比不就可以了？ 二人做了位置比之后，我们再代入我们刚才的式子是不就可以了？那就是负的九分之八，再加上一个四，比上 y 减 y b 是 九分之八倍的根式，所以约一下我们会得到的是二十分之七倍的根式。 这个第二问还是比较简单的。当然这个第二问我们也可以用第二定义。我们用第二定义的话呢，我们需要把 a f 二和 b f 二还有这个长度全都给他算出来，对吧？具体的值给他算出来。 算出来之后呢，我们直接进行一个比例关系，直接带直去比是可以的。那要算这个公式的话，我们会得到 a f 二，是不是就等于一个 b 方比上一个 a 加上 c 乘 cosine， 它利用这个 d 二定义的公式， a f 二 b f， 它就等于 b 方比上 a 加减 c 位 cosine， 你 发现这个式子里面的所有值是一致的，带进去直接求出来具体的值，然后转换这个坐标坐标的比例进行求解就可以了。这个题我们至少得做到第二问， 第二小问的第一个小问啊，第二小问也比较简单，比较常规。怎么说它是一个简单的四点共圆问题啊，没有什么其他的一个做法，还是比较常规的。第二个，那就是说因为我们的四点共圆 q r， 还有我们 f 二 a 四点共圆，则我们会得到的是角 a q b 加上角 a f 二 r， 等于一个一百八， 就是说你要互补，那你要互补这两角互补的意思就是说我们知道了，所以呢，我们把它转换成斜率之间关系，那就是说摊着呢角 a q b 等于一个负的摊着呢角 a f 二 r， 那 我们知道了，摊着呢负的 a f 二 r 实际上就是 ab 的 斜率了，所以我们只需要去设直线 ab 的 方程是不就可以了？ 那么设 ab 的 方程，它过二度零点，我们的焦点是二度零点，所以我们设横解是吧？设方程是一个 s 等于 m y 加上一个二，并且呢，我们设出点 a 坐标是 x 一 逗 y 一 点 b 坐标 x 二逗 y 二， 那此时我们设 ab 的 倾斜角是 c 塔，所以呢，我们得到的是贪婪的 c 塔等于二分之一，并且贪婪的 c 塔他一定是大于一的，大于一的，因为我们他说的 p 在 e 的 下侧， p 在 e 的 下侧的意思就是说这块是一个二，我们的 ab 的 斜率他一定大于这个 f 二， e 的 斜率大于一，所以呢，我们会得到我 m 的 取值范围，就是从这我们可以推出来我们的 m 是 不是大于零，小于一的。 ok， 那 接下来呢，我们只需要去进行一个连利就可以了，我们连利， 那我们现在只需要去算到我们的 a q r 的 这个斜率是不就可以了？所以呢，我们要进行一个连利，用倒角公式进行计算。连利之后，我们会得到 m x x m y 加二， 用我们 x 平方加上二 y 方等于八极行点列。我们根据我们的这个得到了一个关于 y 的 二次方程， a 方加二加上四 m y 减去四等于零，所以呢，我们要算它的 dha， 它的 dha 呢，我们算出来是一个三十二倍的平方加一， 发现它肯定是大于零的，此时我们要去找到 p 点坐标，比如说假设我们的 p 点坐标 p 点，那就是说与 y 轴的交点，当 s 等于零的时候，与 y 轴的交点 m y 等于负的 m 分 之二，那就是零到负的 m 分 之二与 s 的 交点 q 点坐标呢，我们知道就是零到 m 分 之二， 所以呢，此时我们可以表示出来我们的 a q 和 b q 的 斜率。我们都知道了， p 点坐标是零到负的 m 分 之二， q 点坐标，我们知道的是零到 m 分 之二。关于 y 轴 x 轴对称 a 点坐标，我们刚已经说了是 x 一 到 y 一， b 点坐标是 x 二到 y 二。那此时我们直接利用一个斜率关系，是不是可以写出来我们的 k q a 和 k q b。 所以 k q a 就 等于 y 一 减去 m 分 之二，比上一个 x 一， 直接去带，那就是 y 一 比上 m 分 之二 x 一， 拿 y 去换，那就是 m y 一 加二。 同理的话呢，你的 k q b 是 不是也可以写出来 k q b 呢？那就是 y 二减去一个 m 分 之二，比上一个 m y 二加二。所以呢，我们此时用倒角公式，倒角公式推出来我们的 tangent 角 a q r 就 等于我们 k q a 减去 k q b， 比上一个我们一，加上 k q a 乘以 k q b。 这样我们再把我们刚才的这个式子往进一带是不就可以了？那也就是说，我们的 y 一 减去它比上一个 m y 一 加上二，然后再减去我们的 y 二，减去 m 分 之二，比上我们 m 二， m y 二加二， 再比上一个一，加上他们两个相乘 y 一 减去 m 分 之二，比上 m y 二， m y 一 加二，再乘以我们的 y 二，减去 m 分 之二，比上 m， y 二加二。接着呢，我们进行一步化简，那会得到的是四倍的 y 一 减 y 二，比上 r 平方加一倍的 y 一， 乘以 y 二， 再加上一个二 m 减去 m 分 之二，乘以 y 一 加 y 二，然后再加上一个四，加上 m 平方分之四，这是我们最终化简到的结果。 换到结果之后，我们只需要把我们的伟大定律往进带是不就可以了？那所以我们继续带刚才的伟大定律，我们会得到 y 一 加 y 二跟 y 一 乘 y 而止。那此时的话，我们推出来 y 一 加 y 二，等于 m 平方加二分之负四 m， 那 y 一 乘以 y 二，是不就可以写成 m 平方加二分之负四， 这样把它带入到我们刚才的这个式子中，是不是就可以得到一个平方加二分之负四，这样把它带入到一个关于 m 的 方程， 那要是这个直线，判断这个直线的条数，我们要去判断这个方程的解有几个 m， 是 不是就有几条直线了？所以呢，我们继续化解，带入 y 一 加二和 y 乘二，会得到四乘以 r 平方加二分之 四倍的根二，乘以根号下 r 平方加一，这是你的 y 一 减 y 二， y 减二，也给他带进去，那就是 r 平方加一，乘一个 y 加 y 二， r 平方加二分之 负四，再加上一个二 m 减去 m 分 之二倍的 y 乘以 y 二， y y 一 加上 y 二，那就是平方加二分之 负三，再加上四，加上 m 平方分之四。进行一步化简，约掉它的分母，并且进行相乘，我们会得到四倍的根二，乘以根号下 m 平方加一，比上一个 m 平方分之二，再减去二， m 平方加四，我们真知道了这个它的角 a、 q、 r 是 不等于 m 分 之一啊。所以呢，我们会得到一个关于 m 的 方程，我们只需要解这个 m 的 方程是不就可以了？ 所以呢，我们解这个方程，那也就是说四倍的根二乘以根号下 m 平方加一，比上一个 m 平方分之二减去二， m 平方加四等于 m 分 之一，我们交叉相乘， 把它变成一个整式，那会得到的是二倍的根二乘以根号下 m 平方加一，然后再减去 m 平方分之一，减去 m 立方分之一， 减去 m 分 之二，加 m 等于零，那此时我们直接去，因它的这个式子比较复杂，所以我们直接领 f x 等于这个函数是不就可以了啊？二倍的根号下 x 平方加一，减去 x 的 立方分之一，减去 x 分 之二，加上 x， m 是 零到一的，所以呢，我们的 x 要除以零到一才可以，那么要判断这个 f x 在 零到一上有几个零点是不就可以了？所以呢，我们判断出来 f x 的 导数是大于零的，在零到一上横成一，所以我们知道了 f x 在 这个零一上是单调递增的， 他在零到一上单调递增，发现我们的 x， 当 x 趋近于零的时候，我们可以发现 f x 趋近于负无穷，当 x 趋近于零的时候，把它往进带，大家去零的时候，他趋于二为根二，大家去零的时候，他是趋近于 富无穷，趋近于富无穷，所以 f x 趋近于富无穷，我们只需要按下 f 一 就行了。 f 一 往进带的话，那么会得到四减一，减二加一等于二大于零，那也就是说我们的 f x 的 图像，它在零到一上的剪图，我们是不是就可以画出来了？ 它的零数趋于正无穷，并且呢它在一处的值，我们知道了它是一个二大于零的，所以肯定存在一个 x， 零属属于零一之间，使得我们的 f x 是 不是要等于零？所以我们就可以说了， 存在一个为一的 x， 零除以零一，使得 f x 等于零乘以， 所以呢，是不是只有一条直线满足题，如果我们解出来这个方程，如果有很多根呢？就是说有几个根就有几条直线。 ok， 这个就是我们四点共圆，他实际上用了一个倒角公式，找到了他们协理之间的关系，找到了协理之间的关系之后，我们会得到一个关于 m 的 方程，不 过这个方程它比较特殊，我们需要去设函数进行求导化减，研究出这个 f x 的 一个变化的一个减图，从而我们知道了他在零一上只有一个零点， 判断出来它只有一条直线。 ok， 这个就是我们八省联考的十八题，这个题考的还是中规中矩，希望下去大家把这道题认真的进行复习，有问题的同学欢迎在评论区里进行交流。 ok， 那 么我们下个视频再见。

高考圆锥曲线无非就是这十二大体型，为什么你刷了无数题，还是在相同题型上反复失分？别慌，我已经把圆锥曲线全部核心题型，从基础的直线设法到高效的二级结论，每一类都为你配好了经典例题和解析要点， 就连奇思化、定比分点这些容易忽略的技巧手册里也做了详细拆解。这份圆锥曲线十二大题型通关手册，现在下载打印，吃透它就能拿高分！

本节我们继续学习圆锥曲线当中直线和曲线综合第五讲当中关于定值的第二个类型，点到线的距离问题。对于这个类型的方法，首先也是要将直线先设出来，然后跟曲线我们进行连力，连力之后我们会得到 一元二次方程，这个一元二次方程当中，我们需要写出对应的判别式和表达定律，然后将需要的点以及线表示出来，之后 应用点到线的距离公式，也就是 a 乘以 a， 零加上 b 乘以 y， 零加 c 的 绝对值除以根号 a 平方加 b 平方进行代入。 最后我们又将伟大定律的这部分带到式子当中去，就可以确定出对应的定值问题。根据这一点我们来看这几道题目，第一道前面方程，我们确定出来是这样的形式，过 m 的 直线 l 至 y 等于 x 加一，与椭圆 c 的 另一个交点为 n， 那这句话它对你的意思也就是一条 y 等于 k， x 加一的直线跟椭圆交于 m 和 n 两个点。那这边我们就需要将直线 y 等于 k， x 加一和这个椭圆进行连立，得到的方程是三加上四倍的 k 平方乘以 x 平方加上八倍的 k， x 减八等于零是判别式，是明显大于零的。然后 a 一 加上 a 二就等于了是三加上四倍的 k 平方乘以负八， k 和 a 一 乘以二是等于 负的三加四倍的 k 平方分子八，这个他说 p 是 线段 m n 的 中点，那我们就要求出 p 点对应的坐标，那其实横坐标也就是 a 一 加 a 二除以二，那重度标也就是 y 一 加 y 二除以二，所以这边我们还需要去确定出 y 一 加 y 二的值，它就等于是 k 倍的 a 一 加一，再加上 k 倍的 a 二加一，那这边我们就可以代入对应的尾端， 得到结果，也就是三加上四倍的 k 平方分之六。所以最终我们就可以确定出只是 p 点它对应的坐标是横坐标，负的三加四倍 k 平方分之四 k 重坐标三加四倍 k 平方分之三。所以我们就可以确定出 o p 这条直线，它的方程也就是 y 等于负的四 k 分 之三乘以 x， 那射线 o p 与椭圆交于 d 点，所以还需要将这条直线跟椭圆同样的进行连立，而射线点的坐标是 x d 和 y d， 那 连立完之后，我们可以得到 x d 的 平方就等于了三加上四倍的 k 平方分之十六倍的 k 平方以及 y d 的 平方就等于三加上四倍的 k， 平方分之九点。 q 是 在 o p 上一个动点， o p 和 o q 两相相乘，等于 o d 的 平方。 最后我们要求的是 q 点到 x 轴的距离为定值，那其实也就是去确定 q 点的重作的问题。所以此时我们先把 q 点它的坐标设成重作标是 y， 那 横坐标代入的时候，就得到是 负的三分之四倍 k 乘以 y 这样的形式，那 o q 向量和 o b 向量我们就可以分别表示出来，那带到四角上角去，也就是得到的是负的三加上四倍的 k 平方分之四 k 乘以 y， 再加上 三加四倍的 k 平方分之三乘以这边的 y 就 等于二，是这边 a、 s、 d 的 平方和 y d 的 平方相加，也就是三加上四倍的 k 平方分之十六倍的 k 平方，加上九，最终整理完就是这样一个式子，那得到的也就是 y 是 等于三的， 所以此时他到 a 轴的距离也就是等于三为定值。另外这边我们还需要注意到的是，在这样一个表达当中， k 实际上是不为零的情况的，当 k 等于零的时候， l 这条直线就是 y 等于一，那 p 点对应的坐标也就是零一，那此时的 d 点，它的坐标也就是零根号三，那代入的时候， q 点它的重坐标也是 y 等于三的，所以此时也是符合的。最终我们就可以确定出 q 点到 l 轴距离为三是一个定值。