四面体的体积公式

大家好，现在讲一个傻瓜法球四面题的体积，以及他的外界球和嫩切球的半径和二棉角的简便方法，具有初中水平的学生都可以学会。 现在看市民体，他的三条愣分别是 a、 b、 c， a 的对愣是 m， b 的对愣是 n， c 的对愣是 p， 那么他的体积就等于十二分之一。根号下 fs 加 gs 减 hs。 我们写的第一步是把对楞写在一起， a 写成 a 的平方，他的对楞写成负的 m 方， b 写成 b 方， n 写成负的 n 方， c 写成 c 方， p 写成负的 c 方，负的屁方就是写成坐标，并对重坐标添势。 fx 是四倍的横乘，四倍的横坐标乘横坐标，我们简单说四倍的横乘， 这是 fs， 那么 gs 就是一中加两横，三相乘相乘一中，这是中坐标加两横 负 m 的平方加 b 方加 c 方负 n 的平方加两横加 a 方， c 方负 p 的 平方加两个横坐标，一中加两横，三个相乘。我们得到了 gs， 这一步一定要好好记住，我们把这个算出来，这个算出来具体数字的时候， a 的平方乘他的平方，横坐标乘以他的平方， b 的平方乘以一中加两横他的平方负 p， c 的平方乘以一中加两横他的平方。然后代表这里求的就是失眠题的体积， 如果不适用这个公司，很多人是算不出来的。这是我们的老祖先秦九勺 在很早的时候就算出来，中国的工匠们， 比如鲁班 他们都会用这种方法来进行计算。下面我就讲一个立体， 如图所示及数据求体集。这个市面体二二二右侧面是一个等边三角形，后侧面也是一个等边三角形，他们的边长都是二， 这个右侧面他是二二跟六，底面是二二跟六，求他的体积。首先我们找一个 点 fs 就是 s 为顶点，二和他的对愣，二写成四，对愣根号六写成负六， 然后红色的二写成二的平方，二写成二的平方天号，这个蓝色的他是二，二得四， 那么他也得是写成富豪。这一点我想每一个人都可以写出来。先上 fx， 四倍的横城，四倍的横的相城是城市，城市就这个市走到这里，这个市走到这里，这个市走到这里， 这是 fs 有了，下面说 gs， gs 叫做一横加两横， 一重加两横，负六加四加四，负六加四加四，然后是负四加四，再加负四， 然后是负四，一重加两横加四加四。那么算出来之后，我们不要算出具体的结果，是二乘四乘四， 下面我们来算，这是 g s， 下面来说 h s h x 是四乘以二的平方， 写到这里。第二个是四乘以四的平方，写到这里是加的四乘以四的平方，写到这里，那么 fsgshx 都有了。到最后的时候我们把它带到这里十二分之一根号下，第一个是的是脂肪， 第二个二乘四的是指方减四乘二的平方加四乘四的平方，加四乘四的平方 走到这里，然后我们都提出一个四的平方，那这个提出四的平方变成四的平方，这个提出来之后剩二了， 这个提出来省一，他提出来四的平方省四四，所以四十六加二十十八，这个是九，那么得到他的体积就是一，这 那我们就算出了这个体积，如果不用老祖先的清酒勺工式，那么我们算出他的体积 不是太容易，尤其是这个题，我把它变成了等边三角形。如果这些问题在实际问题中， 数字波不是简单的整数，你算起来就非常的麻烦，几乎是算不出来的。下边我们再来算一下他的外接球的半径。 外接球的外接球的半径相对冷成机，我们把相对冷 a 和他的相对冷 m 的成机 b 乘以他的相对愣 mnbncp 相 对了的成绩作为一个三角形，虚拟的三角形的三条边，然后求他的面积，他的面积我们仍然使用的是秦酒勺公司 秦酒勺面积公式，这在我们教材中是选读内容，教材中有选读内容， 那么它的面积系数是四分之一。 am 加 bm 的平方减 cp 的平方， 整个用中国号扣住，然后是对 o 写法 cp 的平方减 vm 减 bn 的平方。有了 这个虚拟三角形，三边长是 ambn 三角形的面积，那么外接球的半径就是 s 除以六 v 六倍的体积， 这就是外接球的半径，他是一个傻瓜型的方法，所有的人都可以学会，对任意的外接球，我们都可以用这种方法来算，下面我们举一个例子， 求外接球的半径，如图这个图我们已经上过，他的体积是一，求他的外接球的半径， 下面我们求他的虚拟三角形。我们首先来看一看，二乘二 等于十，红色的二相乘也等于十，然后黑色的相乘二和跟六相乘二倍的根号六，这相当于虚拟的三角形的山边， 那么他的面积面积系数是十分之一，四加四的平方减二百跟六的平方，然后用对偶， 外国人称之为共恶的，我们叫做队友，我们主先说他是队友，等于二百的跟六的平方，减四减四，四减四的平方，因为这里可以保持是零， 那么这里八八六十四，这个减上二十四，四十， 这个是四二十四。最后中算出来的结果是二倍的根号五，这就是虚拟三角形的面积是二倍的根号五，那么外接球的半径就等于 s 二倍的根号五，除以六 v 就是六乘一，因为体积是一二倍的根号，五月份之后，他的外界球的半径是三分之根号五。 下面再讲一这个问题，就是球嫩嫩切球，不是借嫩切球的板筋 嫩气球的弯径如图微等于一，还是把它 的体积算出来，九嫩接九的半径二小二嫩使用等体积变换。在这里，这个面和后边的那个面是等边三角形，所以 s 一等于 s 二都等于二分之根三 二分之三。因为等边三角形的面积公式是十分之三乘以边长，这是等边三角形， 这是他的面积。然后还有两个等幺三角形，全等的就是他的右侧面和底面三角形，两边都是二二二，这边长是跟六，所以 s 三等于 s 四 就等于四分之二加二，然后指使跟六的平方再乘以跟六的平方减二 二乘二。这个摆布是有讲究的，如果我们这里写成二加跟六，算起来是比较复杂的，但结果都是一样的，所以说他的面积是二分之根号五，二分之根号五，那么有了这两个车面的面积， 我们这套的内切球的球星到三四个面的距离相等，他就是内切球的半径，所以微就等于三分之一的二。内切球的半径成一个底面，两个地面，三个底面，四个底面， 因为我们假设了这个球的体积是一三分之一零点九的半径，这两个相加就是二分之二倍的根，三加二分之二倍的根号十五，我们把二 那些球的半径解出来，在分一亩油里画结，结果就是四分之一根乘以根号是三，减根号五，这就是球嫩切球的半径。下面我们来讲一下球二面角的平面角， 如图给出数据，体积为一，求二面角 a、 b、 s 是 b、 c， s 的正选址， 使用空间正弦定理，空间正弦定理或者是空间正弦定理的类比。因为我们原来的 面积是二分之一 a b 三一 c， 那么他要变成体积，那他就变成三分之二， a， b 就变成两个面积 s 一 s 二，那么这个三 ec 就变成了三 ec， 他二面角的平面角除以他所在的愣， 这一点你要记住他的体积等于三分之二这条愣了，那就是 a、 b、 c 这个平面和这个平面同一愣，引出两个半平面所在的两个三角形的面积， 他代替了这里的 a 和 b， 这是类比的三 c， 他就是以 bc 为愣的二名角的平面角，这时候我们不能 直接的写个三 c 他，因为他类比了以后，他变成空间图形了，还需要除以楞长 bc， 那么现在三角形这个底面和这个底面三角形是相等的的，四分之一前面已经算过是二分之根和十五， 那么他的体积就等于三分之二乘一个面加这一个面，二面角的这两个面二分之根五，二分之根五三一 c， 他就是二面角平面角的正选子，再除以愣长，这样我们就解得了 他的二明角的平面角的正悬直是五分之根号六，五分之根号六，究竟他是锐角还是钝角，你 根据图形来加以判断。这就是当我们知道了体积如何求外接球的半径和内切球的半径以及二棉角的平面角， 这些傻瓜的算法就是算到这个时候，大家需要用到了体积公式，那么前边的算法当中初中学生都可以解出来。 那么在高考中这些问题就是求外接球的半径，另切球的半径以及求二棉角的平面角都是比较难的题。 好，今天我就用傻瓜方法讲到这里，当然对你有所帮助，请关注和点赞！

大家好，今天讲中国科学家琴九勺的四面体体积公式的算法，他比海伦公式的四面体体积的算法要简单的多。 这是一个四面体，找一个顶点 t 表示体积的 t， 从这个顶点的三条愣长是根二，根时根二，底面的三条愣长是四根时根二，那么如何求它的体积？ 先找准一个侧面 t 点的这个侧面根二的平方等二，根十的平方等十，那么四的平方是十六 减十六， 再把四平方等于十六， 然后这个面对的愣，它的平方等于二，再把十六乘二等于三十二。 如法抛制根式的平方加根二的平方 再减根式的平方等于二，二的平方等于四，那么这个面对的愣长 是根二，根二的平方等于二，四乘二等于八。 这边算后边的那个面，根二的平方等于二，根二的平方等于二，根二的平方等于二，二加二减二等于二二的平方等于四， 那么后边的那个车面对的愣长是十根十，根十的平方等于十四乘以十等于四十。 下一步把这三个数字相乘，负四乘以二乘以二等于负十六， 再把这一行的数字相乘，二乘二乘二，然 然后多成了一个是。再把 g 行的三、四、二、八和四十把它们相加等于八十， 它的体积是十二分之一。负十六加一百六减八十，这两个是相加的，这个是相减的， 这两一个一减是八十，再减十六是六十四，开出来是八十二分之八等于四分之三，这就是一个立体。我们老祖先比海伦公式的方法要简单的多。 那么任意失眠体体积外接球半径的算法，你可以 展开一面盯住梯点逆时针 v， a 方加 b 方减 c 方，然后把它平方 这个面对的楞 c 的平方，再把这两个相乘放在这里，剩下的如法抛制 b 方加 c 方减 a 方，然后平方，那么这个车轮对的愣长是 a， 把 a 方写在这里， a 方乘以上下相乘， 还是如法炮制， 然后把 这一项这三项横乘记着 t 一，把这三项横乘再加四倍，乘以四倍，记着 t 二， 再把这三项横加加起来，记着 t 三， 那么它的体积就是 t 一加 t 二减 t 三，这就是秦九韶公式的数学表达式。好，就讲到这里。

看一个立体几何的题目吧，其实立体几何我很少带大家去求体积和表面机，对不对？因为我觉得这种这种套公式的大家一般都套的 还行，对不对？然后但是我也得出一些基础的题目，后边我的整个视频的走向的话，会更注重基础，然后更注重易错的题目哈，更注重易错的题目。然后我现在我的 ev 一和达一克正在报名中，而且还有易错题一百道， 初中高中都有哈。初中数学，高中数学易作题一百道的课程。嗯，正在报名中，大家可以咨询。对，我们一起来看一下四龙追求体积的题目吧。嗯，棱锥的公式啊，主要是用了一个棱锥的公式的话，等于三分之一乘点 成膏，这个木有问题吧？这个木有问题吧，三分之一成底成膏，然后找高， 找高。不一定所有的题目上来给你一个垂直的哈，所以有时候需要找高，有时候需要找高，然后我们一起来看一下这个题目吧。嗯，说这样的一个生追 pabcd 底面呢，是一个平行四边形，然后现在给了几个边长。 pa 等于六， pd 等于 ad 等于六， pd 等于八， ab 等于八， pb 等于十，你看六八十， 多么吉利的数字啊，对不对？多么吉利的数字啊，六八十就一定知道这个 apab 这个三角形是一个直角三角形。角 a 是直角啊，角 a 是直角，先给他画一下，不是咱们分析出来的吗？对吧？对，他是直角了，然后让 我们呃。平面 pad 垂直，平面 abcdpad 平行于底面， abcd 两个面垂直，然后平面 pab 交 pcd 与 l， 这个非常有意思哈，但是第一问是用不到的， pab 和 pcd， 他俩交于 l， 但我们只知道他的焦点是 pl， 根本就没画出来，不知道 l 在哪呢。第二问会用的到。其实这个题目如果大家 l 找不到，第二个题目是一定拿不下来的，一定拿不下来的。嗯，我在下一个视频会出第二问啊，咱们先看第一问说，求四六 jpabc 的体积。说实话啊， baby 们 球态体积不就是底乘高乘以三分之一吗？底好球这一个平行四边形吗？一个平行四边形，呃，高整球 ad 的终点 p 往下做，垂线是 ad 的终点。并不是。如果 pd 和 pa 是相等的，那就太好了是不是？ pd 和 pa 要是相等的，那就太好了，那等幺三角形三线合一就很好修了。但是往往是不与愿 事，不与事与愿违。哎，事与愿违，事不遂人心。哎，他是 pa 和 ad 是相等的，那这个时候你求他的高怎么办？来，单拎出来，宝贝， 弄不明白了，咱在草稿纸上给他单拎出来就啊，别在老在那个原图中哗啦哗啦哗啦哗的跟黑煤球似的，你后来条件都看不清了对不对？然后这是六，这是六，这是八。你要找的是屁往下坐的一个垂线，比如说是 m， 要找的是 pm 的长， pm 的长。最简单的球法啊，其实我知道大家肯定知道很多种球法，比如说，老师，我可以找找出他的余弦，嗯，根据余弦定理，算出他的余弦直来，算出 一线直来，再算正线值，然后让六六乘以他的正线值。可以，但是在这个三角形，他不是等腰像型吗？ baby 们等腰三角形是有他自己的一些小结论在里面的。等腰三角形，你可以算出这个高啊，这个高， 这个是四，因为等幺三角形三线合一，这个高。呃，就是六的平方减四平方开根号，不就有了这个高了吗？有了这个高的话你就有了太面积了，有了面积的话用等面积法去去去求就可以了。然后这个高的话是四，呃，六的平方减四平方开根号，这个高， 六的平方减四的平方开根号，然后这个高他得乘以他自己的点是八，然后再乘以二分之一。啊，是这个三角形 spad 啊，然后 pm 呢？不知道 乘以他自己的点是谁呢？六再乘以二分之一，然后消一消，快速计算二分之一，二分之一能消掉， 六消掉十三，八消二十四，然后根号下六方减四方，六方是三十六，根号三十六减十六百啊，然后就根号二十二倍，根号五啊，所以四乘以二倍，根号五等于 pm 乘以三倍 啊，然后 pm 就等于三分之八倍，根号五百，这不有高了吗？有高了，哎。然后咱们是不是要求他底底面，底面是个平行四边形，面积怎么求啊？平行四边形，面积 这是六，这是八，这是八，这是六，面积怎么求？ 有很多种球法对不对？有很多种球法。那你能不能找到比较简便的球法呢？呃 呃。我觉得你可以连接他，连接他，再连接他对角线， 还是把这一块给他补到这来，对不对？把这一块给他补到这来，这不就是一个举行了吗？ 啊？这不就是一个举行了吗？啊？咱们之前求平行四边形是不是就这么求？然后如果有了平行四边形的面积，又有高了，再乘以三分之一，就是咱们整个四棱锥的体积了。整个四棱锥的体积了，好，有没有听懂啊？我就不带大家算了吧，我特别讨厌做这种小计算，哈 哈哈，然后我就不带大家算了，大家自己算一下吧，把方法给大家给到位了就好了。 ok， 这个视频就到这里了，第二问的话很易错哦，所以一定要看下一个视频哦。

同学们大家好，今天地球老师呢，给大家带来的神奇秒杀公式，万能的体积公式啊。好，这个公式呢是辛普森公式， 同学们这期视频一定要点赞转发保存，不一定什么时候就会被举报下架啊。我们来看一下什么叫做辛普森公式，这个公式这么说的，体积等于六分之一的高，乘以四倍的中间加上上底的面积。好，那我们来看一道例题啊，这是一个万能公式，咱们可以背下来， 只要是球体积都可以用，用于你柱体啊。好，咱们来看一下底面是一个长四米，宽三米的长方形上棱，长两米，平行于底面球体积。好，那用我们公式吧。我们先先写 v 等于六分之一高，给了一 乘以一乘以四倍的 s 中。好，我们在这边来算一下 s 中，那这个 s 中怎么去算？首先把它画一下， 哎，这就是中间面了。好，中间的这个小长方形的长就是上底，上棱加下棱长除以二，二分之二加四除以二 乘上它的宽呢？上加下除以二，哎，等于的是三乘二分之三等于二分之九，哎，这个中间面就二分之九，四乘二分之九， 再乘以上底，上底什么零没有？加上底再加上下底的十二三四一十二。好，计算一下， 六分之一就乘以括号，二分之三十六加二分之二十四， 所以是二分之六加二分之四五。哎，我的天呐！

你说你教四面积学不会？没关系，这个视频曹师傅来教你背公式多到上头，别怕，先来看内切球，他的半径等于十二分之根号六 a。 这个条件最为珍贵，三个球的半径才能比数连依次排队，他们之间的大小关系 差了根号三倍，而这时显然等于二位，加上二位，他的地位在这里最为高贵。现在 别忘，三位比 s 医院等于二类，所以 v 和 s 只被一个足以应对，利用笔直记忆是否符合你的口味，提高翻倍！掌声送给正风的 一个 c 位。暗内暗内，拿到试卷，告别心碎。暗内暗内十二分之根号六 a。 暗内暗内五分，到手不再流泪。暗内暗内十二分之根号六 a。 暗内暗内点赞收藏提高 段位。按内按内十二分之根号六 a。 按内按内十二分之根号六 a。 按内按内按内按内十二分之根号六 a。