重庆八中初二上数学卷子加过程

数学课堂激情飞扬，跟着宋老师一起进入思维的殿堂。各位同学大家好，我是火光课堂初中数学的宋老师，我们这周呢给大家分享一下巴蜀初二半期最后一个题的最后一个小问。 好，这个小问呢，同学们在考试的时候可能看这个题目的描述啊，就不想看了。好，那我们今天呢就给大家详细的去分析一下这个题目。好，第三个，它说如图三啊，点 d 呢？在射线 ca 上啊，这句话很重要啊，它是在射线 ca 上， 那也就说 d 呢，它有两种状态，它可以在线段 c a 上，也可以在 c a 的 延长线上。 ok， 它有两种啊，位置情况， 然后点 l i 是 线段 b c 上的两个定点啊，不与 b c 重合，然后去连接啊。呃， a l a i l 加上角 al i， 再加上二分之一的角 b a c 是 等于一百八十度的。好，那我们根据三角形的内角和，我们可以知道啊，这个角 a i l 加上角 a l i， 再加上角 i a l， 它是等于一百八的。那也就是说我们就可以知道自己的呃，角 i a l 呢，它就等于我们这里的二分之一的角 b a c。 而题目告诉我们啊，这个三角形 a b c 呢，它是一个等边三角形，所以说 b a c 呢，它就是六十度。那所以我们就可以知道 i a l 这个角呢，它是三十度啊，它是等于三十度的。 好，接着往下看，他说啊， m r s 分 别是线段呃 l i， a i 和 a l 上的一点，然后去连接 m r r s m s。 当 m r s 这个三角形的周长最小的时候。好，来第一个问题，我们先解决 这个三角形啊， m r s， 它的周长什么是最小？好，来，我们看，我们要去算这个周长的最小值啊，我写在哪？呃， 好，我写这吧。好，来算周长的最小值。三角形啊， m r s 啊，它就等于我们的 m r 再加上 r s， 再加上我们的 ms， 好， 来，要求三条线段和的最小值，哎，那这里我们就，呃，会想到我们可以去利用将军一马模型去做，对不对？好，但是这里问题来了，哎，我们将军一马问题呢，它至少会有 一个定点啊，但是这里呢， m r s 它三个点都是动的，哎，有人说老师它都是动的，我就处理不了。好，那你看，那既然我们哎要用将军密码模型去解决，然后这里呢，又要这三个点其中有一个点是定点，那你就去 确定一个呗，你就假设一个点固定不动呗。好，那么这里假设哪个点不动呢？哎，对，我们就假设这个 m 点不动啊，假设 m 点不动，因为为什么呢？因为 m 它的位置比较特殊嘛，对吧？它在 b c 这条线段上啊。 ok， 好， 那我就假设这个 m 不 动， 好，那你看，就变成什么，哎， m 不 动，我就要去求 ms 啊， rs 要求 mr 这三条线段合得最小值来， rs 是 动的， m 不 动。哎，那这里，哎，我们就 用我们将军印码模型最基础的呃，解决问题的逻辑，对吧？就是去做定点关于动点所在直线的对称点，哎，打 我们要求和的啊线段啊，给它连成一条折线，就是把要求和的两条线段，比如说，哎，求 rs， 求 ms 和的 最小值，哎，要把求这两条线段和最小值，我就把这两条线段放到动点所在直线的 e 测去，哎，这样子我才能，哎给它形成折线，然后我才能够给它连成，呃，线段，根据两点之间线段最短，去求我们的最值，对不对？好，那这里来，我就去做 m 点，关于这个 a l 的 对称点， 我把它记作 m 一， 然后呢？再去做 m 点，关于这个 ai 的 对称点，我把它记作 m 二， 好，然后呢，我再把这里的 m 二 r 和这里的 s m 一 给它连起来， 好，那这里我们就可以知道来，呃，这个 ms 是 等于 m 一 s 的 mr 是 等于 m 二 r 的。 好，那这里 这是 r s。 好 了，你看，这里，我们要求这三条线段回到，回到最小就变成了 mr， 它是等于 m 二 r 的， 然后 r s 不 变，然后 m s， 它是等于 m e s 的。 好了，你看，我要求一撇加两撇加三撇，哎，这三条线的合角值就变成了，哎，求这个一撇加两撇加三撇，哎，求这三条折线合的最小值。什么时候最小呢？ 哎，那就是把我们的 m 一 m 二连起来，它就最小了， 啊， 它就小于等于 a， 哦，不对，不是小于等于啊，它这里我用最值嘛， 啊，它的最小值啊，就是它的最小值。 好，就是这三条线段和的最小值，哎，就是我们这里的 m 一 m 二。好，那么这个问题来了， m 一 m 二什么时候最小呢？哎，因为这里你看 m 点它，其实， 哎，它是不是也是动的？只是我们假定它不动，对不对？好，那这里 m 一 m 二什么最小呢？好，来这里，我们再去把 这里的 a m 二连起来，把这里的 a m 一 连起来，然后再把这里的 a m 连起来。好，把这三条线段连起来之后，我们可以知道，哎，这个 a m 二， 它是等于 a m， 哎，它是等于我们这个 a m 一 的。你说这三条线段呢？都是相等的。好，这里注意哦，然后，啊， 啊，然后我们来看这里，相等的话，你看这个角，哎，这两个粉色的角，啊，这两个粉色的弧角是相等的，然后呢，还有这两个， 还有这两个粉色的圈角也是相等的，也就是说呢，哎，根据我们对称的性质，这个角 m 二 a i 和 m a i 它是相等的，然后这个角 m a l 和这个 m e a l 这两个角相等的。好，然后你看这里啊，一个粉色的弧角加上圈角，它是等于我们的 i a l 是 等于三十度的。好，那这里我们就可以知道，这个角 m e a m 二，它就是等于 i a l 的 两倍，它是等于六十度的。 好，那它等于六十度，那这里 a m 二又等于 a m 一， 那所以说 a m m 二，它就是一个等边三角形，哎，有一个角是六十度的等腰，它就等边嘛。好，那这里我们就可以知道， m 一 m 二，它其实呢就是等于谁的呢？就是等于我们的 am 一 等于 am 二，而 am 一 am 二是等于 am 的。 好，那你看这里，我们要去求啊，这 m 一 m 二和的作用值， 那我们其实就是去求 am 和的最小值。来，这个时候，哎，那这个就转化成我们，哎比较熟悉的一个最值问题了，哎，就是定点到动点距离，什么是最小？哎，那肯定就是过这个定点 a 去做这个动点 轨迹的垂线不就好了吗？所以说来，那 a m 尺寸最小，那就是去过 a 点去做这个 b c 这个垂线，那这个呢，就是我 a m 最小的位置，那就是 m 一 m 二最小的位置，那也就是我这个三角形周长最小的位置。那所以说这个时候我们可以知道，此时啊， a m， 它应该是垂直于 b c 的。 好，那这里我们就找到了 m 点的位置。 ok， 这是第一个锥子模型，将军一马问题去解决好，这个解决之后，我们接着往下看。 好，然后做 m 点关于 a c 的 对称点 n。 好，那这儿啊，在这儿他给你做了啊，然后连接 a n 啊，点 p q 呢？分别在射线 a n 和 b d 上一点好，然后连接 c p， a q， 然后既 a， b d 呢？等 r 法，哎，若 a p 又是等于 b q 的， 哎，则当 a q 加 c p 最小的时候，用 r 法去表示 p a q 的 角度。好，来，这里，哎，呃， p o q 都是动点，然后还有一组位首尾相连的等线段，哎，这就是我们的逆等线模型， 对吧？好，这是第二个对折模型。好，那这里呢，这个一等式模型怎么去做啊？这个图呢？啊，太复杂了，我们把它分离出来啊，这里我只需要这个图的作用，我只需要去找到 m 的 位置就可以了。好吧，来， m 在 哪？就是在这垂的时候。 好，这 m， 然后呢，我再去做 m 点关于 a c 的 对称点啊， 啊，大概在这个位置。假设呢，这个是我的 n 点啊，这是 n 点好，然后把它连起来。 好，他要说的是射线 a n 嘛，那我就画长一点。好啊，他说啊，连接 a n 点， p q 呢？分别是射线 a n 和 b d 上的一点啊。呃，那假设在这儿，这是 p 点的位置 啊， q 呢？是 b d 上一点好，然后 a q 等于啊， a p 等于 b q， 那 这就是 q 好， 那这里呢？它是等于它的好，然后我们去连接 c p， 连接 a q， 好，然后这里呢？ a b d 啊，它是等于 r 法的好，然后他要问，我们去叫我们去问啊，这个 a q 啊，加上这个 c p 值最小的时候，好来 a p 和 c q 啊，什么时候值最小？ 那这里呢？哎，我们说了逆的一些模型呢，我们还是要把它转化成我们的，哎，将军一马模型去做，那我们说将军一马模型去求两条线段合的最小值呢？哎，那他们一定会有一个公共的端点，并且呢这个公共的端点呢？哎，还得是那个动点。 好，那这里你看，这里 p 和 q 是 动的，那所以说，哎，我就得让 p 和 q 重合，那这里怎么重合呢？哎，那我就去呃构造啊，一个三角形 呃和。哎，题目中包含 a q 和 c p， 以及包含这一组等线段的其中一个三角形全等就可以了，哎，这就是我们一等线的呃 啊，解析模式啊，或者说解析套路都可以。好，那这里呢？你看，哎，我要去求和的，或者说我要去转移的线段呢，要么是 a q， 要么是 c p 啊，就看你转移谁好，那这里呢，我们就我就统一去转移 a q， 对 不对？好，我去转移 a q 啊，然后呢， 你看，呃与 q 点相连的等线段呢？是谁？是 b q， 那 你看 b q 和 a q， 你 就只能放在 a b q 中去，那所以说我就需要去在哎这个 a p 这里去构造一个三角形，和这里的 a b q 全等，从而把这个线段 a q 呢给它转移到呃这个 c p 的 位置去，就是让 q 点和 p 点这两个动点呢？去重合。 好，那这里你看，那这里我们就去构造全等三角形。好，那首先啊， b q 和 a p 有 一组边相等了。好，那然后呢，我是在 a p 的 上方还是下方去构造一个三角形和 a b q 全等呢？ 哎，那这里我们说了嘛，我们要去用将军印码问题去解决，那将军印码问题最基础的解决方案就是，哎，把两条求和的线段放到动点所在直线的 e 侧去。好了。你看，屁是动点，动点所在直线呢？是 a n， 那 就要放到 e 侧，你看 c n 已经在 a n 的 下方了，那我就把这个 a q 给它放到上面去。 所以说我就是以 a p 为边，在啊这个 a p 的 上边去勾搭一个三角形和 a b q， 它是全等的。好，那有边了，那接下来我就勾搭一个角相等，那你看以 b q 为边的角，哎， 有两个 a q b 和这里的 a b d， 你 看一下哪个角是固定的？哎，很明显的， a b d 是 固定的吗？它告诉你等于 r 法。哎，那所以说，哎，我就去做这个角。 好，我就去做一个这个角啊， p a 假设 a b c 是 对 d 嘛？ 啊？有 d 了，那就 e。 好， 我就去做这个角啊， e a p 是 等于 a， b q 是 等于啊，阿尔法的啊，这个是阿尔法。 好，那你看，我要去构造旋转三角形，已经有两种条件了，来， b q 呢？ b q 等于 a q 一 组边，然后阿尔法角一组角，那所以说我就只需要再去构造一组条件，哎，怎么呢？就去看，哎， 呃，这个以阿尔法角这个阿尔法角的两边，对吧？呃，这个 b q 已经相等了，我再使这个阿尔法角另一边相等不就好了吗？哎，那就是这个阿尔法另一边 a d 和这个阿尔法角另一边 a e 大 小相等就可以了，所以这里我就去使得并截取啊，这个 a e 呢，是等于我们这里的 a b 的。 好，然后呢，怎么办？再把这里的 p e 连起来啊，连起来之后呢，那我马上就可以知道。哎，有两个三角形是全等的。 好，那我们马上就可以知道啊，三角形这里的 a p e， 它就是全等于我们的三角形 b q a 用边角边去乘全等。好，根据这组全等之后，我们就可以知道，来这里 p e 呢，就等于我们这里的 a q。 好， 所以说我就把这里的 a q 呢就转移到 p e 这去了。那我们再看一下 p 和 q 它是否重合了，来看一下 p e 的 对应点是 q 点没有问题。好，那所以说这个题目要让我们去求的啊， a q 加上 c p 和的最小值，那其实就是去求 我们这里的 p e 再加上 c p 和的最小值。 好，然后你来看来要求我们这里的 p e 加上 c p 这两条折线和的最小值。而那就是只需要干嘛？哎，根据我们两点之间线的最短，把它拉直就可以了，所以说我就只需要去把这里的哎 c e 给连起来就可以了 啊，那其实就是我们这里的 c e 的 长度。好，那这时候啊，它不是让我们去求这个直径小多少？它让我们去啊，用 r 法表示 p a q 的 这个度数来， p a q 是 这个角。好，来，这个角怎么去表示呢？ 好，刚才我们说了啊， m 点在什么位置呢？ m 点就是在这里啊，刚好垂直于 bc 的 时候。好，这个 abc 呢，它是一个 等边三角形啊，根据等边三角形啊，三线合一的性质嘛，那我们可以知道 a m， 它是顶边上的高线，还是顶角的角平分线，所以说这两个角呢，哎，它都是三十度。好，然后呢？呃， 这个 a n 怎么来的呢？是做了 m 点，关于这个 a c 的 对称点，得到了 n 点，那说这个角呢，也是三十度。好，那我们这里就可以知道 b a n 呢，这个角啊，或者说 b a p， 这个角呢，它就是九十度。 好，那这里，呃，要算这个 p a q， 哎，那就是九十度，再加上这个角叉角就是这个 b a q 就 可以了。好，那然后你看一下这里的 b a q 是 等于谁的？ 好，那这里我们就可以知道。来，根据我们这里刚才的这个全等啊，这里的角啊， b a q 啊， b a q， 它就是等于我们的 a e p 的。 好，那所以我就只需要去把这个 a e p 算上就可以了。 a e p 怎么算呢？好，那你看，这连起来之后啊，其实这个点呢，就是我的这个 p 点。 好，这里注意哈， p 和 n 啊，它们不一定是重合的啊，只是这里图画的比较像，它们像重合的啊，那这里其实就是我 p 点，那其实呢，这个角，欸，这个角就是我的这个角啊。 a p。 好， 那这个角怎么去表示呢？来，这里， a e 是 等于 a b 的 a b 呢，是等于我们的 a c 的， 所以说 a c e 呢，它是一个等腰三角形，这个等腰三角形的顶角呢，是在这儿。哎，它是三十度啊，换个颜色，这个颜色 看不太清楚啊，那这个它的顶角呢，是三十度，再加上 r 法好，那所以说它的每一个底角呢？这个角，哎，就是我们的七十五度，再减去二分之一的 r， 法好，那所以说这里我们就可以知道 这里的角， 这里的角 p a q 啊，它就等于我们的这里的角 p a 啊， b a p， 再加上这里的角 b a q， 那 其实也就是等于 b a p 呢，是九十度，再加上 b a q 呢，它等于 a p e 是 等于七十五度，再减去二分之一。而法 好，那就九十度，再加上七十五度，减二分之二法就等于多少呢？哎，一百六十五度，再减去二分之二，法 好，那这里呢？有同学可能啊，做的出来一个答案，哎，他就沾沾自喜了，但是下来考试下来一会发现，哎，老师，这个题为什么会有两个答案呢？好，这就是我在一开始读题的时候就跟你说了这个问题 来，他说了点 d 是 在射线 ca 上，那他既，那他就有两种情况，一种情况就是在 ca 的 延长线上，还有一种情况就是在线段 ca 上，所以说这道题目应该有两种情况来，这是第一种情况， d 在 ca 延长线上， 好，第二种情况， d， d 在 线段啊， c a 上， 好，那时候来，我们重新画一个图，我感觉我把可以把这个图我给它放那边去一点，放个颜色啊，这个白的里边黑的吧。好，把它换过来， 这也换过来， 好，那这里还是一样的，我就还是去做 m 啊，这是垂的。好，然后我还是做这个对伸点啊，我就直接随口画啊，好，这个 n 应该是在这个位置的。 好，然后这个时候呢来 d 呢，就在 c 上， 好，那这是 d， 然后这个呢是 f 好，然后 p 呢？在这儿还是取个 p q 呢？在这儿 好，然后我把它连起来，把 a q 和这个 c p 连起来。好，这里还是啊 q 的 啊， b q 啊，等于 ap 好，还是要去求这两条蓝色线段和的，这样子还是一样的啊，我这里还是去转移 a q 嘛，还是以 a p 为边啊，在它的上方呃，去构造，呃，一个三角形和 a b q 全等，那还是一样的， 那这里构造一个角， 往下放一下， 好，假设这个是 f， 那 去构造一个角啊， p a f 呢，它等于我们这里的 a b q 啊，是等于 r 的 好，然后呢再去在 a f 上面截一段啊，这个 a f 呢，它是等于 ab 的 好，然后呢我再去把 p f 连起来啊啊，这个构造的方式呢，就跟我们这种情况是一样的。好，那这里啊要去求我们这里的 呃， a q 加 c p 和最小值，那其实还是一样的，这里呢就是三角形。谁啊？三角形 a b q 嘛，三角形 a b q 啊，它就全等于三角形 a b， 那 就是 f a p 啊，边角边正的全短。那这里我们就把这里的 a q 呢给它转移到这里的 f p 这里去了啊，那所以还是一样的 a q 再加上 c p 和的最小值啊，就变成了我们的 f p 加上 c p 和的最小 啊，还是把这里的 c f 连起来就最小啊，那时候这个把它连起来 啊，还是一样的啊，这连起来之后，这里的 p 和 n 啊，不一定同和啊。啊，那这个呢就是我的这个 p 点的位置啊，点的位置 啊，还是一样的，他要求什么？他要去求这个角啊， p a q。 好 了，这个时候你会发现啊， p a q， 他 在这个角 b a p 的 里边了，这个角 p a p 呢？还是多少度呢？还是九十度没有变？那说这个时候你发现啊，这个角 p a q， 它就应该是等于我们这里的角。呃， b a p 啊，再减去我们这里的角， 这里的角 b a q。 好， 那这个角 b a p 呢？还是九十度，那 b a q 呢？还是一样的来，这里的角 b a q， 它是等于什么的呢？角 a f p， 那 也就是还是一个角，那你看这个 a c f， 它还是一个顶角，为多少度呢啊？这儿是三十啊，还是顶角为 三十度加 r 法的一个等腰三角形，那这个顶角啊，这个这个底角 a f p 呢？还是七十五度，减去二分之一 r 法好，那这里呢，就变成了我们的九十度减去七十五度，减去二分之 r 法，那就等于十五度在 加上我们的二分之 r。 好， 那所以说这就是这个题目啊，它有我们的两个答案好，为什么会有两个答案呢？就是各位同学在读题的时候啊，一定要仔细啊，一定要仔细，就是在色写 c a 上，好吧， 好，这就是我们这个啊，八数初二半期啊，最后一个题目的最后一个小问啊，其实就考察了，呃，两类对子模型啊，一个是将军印马模型，然后呢？一个是我们的逆等线模型，好吧，然后呢，还考察了一个，对吧？大家这个审题的仔细程度， 好吧，这就是这个题目，给大家简单分析到这，好，我们下期再见！点赞加关注，金刚校考不迷路！

各位同学大家好，我们这周继续给大家分享八中初二上周周考必卷的第二十三题，也是必卷填空题的倒数第二个题目。好，这个几何计算非常考察我们孩子们几何的一个基本功， 什么基本功？看见怎样的题目条件，我可以去做怎样的尝试，或者说我可以去尝试构建怎样的辅助线。 好，还有一点，几何计算也好，还说几何证明题目也好，还说几何大体也好，往往你解决不了的那个条件，或者说你处理不了的那个条件，往往就是你破题的一个关键。好吧，那这个填空题其实说要是想得到答案，或者说同学们想去猜测答案，其实是我觉得是比较容易的。 好，但是这个答案究竟为什么是这样的，怎么来的？它的构建其实是十分巧妙的。好，那我们现在就来看一下。好，如图，在 r t 三角形 abc 呢，它是等于九十度的， e 呢？在 b c 上， f 呢？也在 b c 上点 e， 在 a b 上。好，并且告诉了你来角 e， d， b， 它是等于角 a， d， c 的。 好嘞，看到题目给了你一组等角，那你就要去想两个问题， 什么哪两个问题呢？就是他给你这个角，这组等角用来干嘛的，对吧？那就有两种可能，一种可能，对吧，用来挣钱的。第二种可能呢？用来倒角，好吧， 来，然后第二条线， a e， f， 就 这个角不对，是 a f e 这个角，它是等于二倍 f a c 的 这个角。好，那我这里有二倍关系，我就假设这里是阿尔法，这里是二倍阿尔法。 好，那这里呢，就是我刚才说的非常考察孩子们的一个几何基本功。好了，你看见这里有二倍角，那你就要去尝试，那我怎么办呢？要么我去把那个 f a c 给它加倍去构造二倍，那么要么呢，我就去把这个 a f e 给它减半，也去给它构造 alpha， 那 是这个就是两种尝试好，那这里很明显呢，我的第一想法就是，干嘛呢？我就去把这个 a f e 二 alpha 嘛，我去给它 减半，所以说呢，我这里辅助线我就可以去尝试，我去做这个 a f e 的 角平面线，假设交这个 a e 呢与点 g， 好， 那做了角平面线之后呢，那我这里就可以得到什么样的结论呢？所以说这里这个角呢就是阿尔法好，下面这个角呢还是阿尔法 好了，你看 af g 是 阿尔法， f a c 是 阿尔法，那这是一组内错角，内错角相等呢，两直线就是平行的，那我就可以知道这里 f g 是 垂直于 a e 的， 那 f g 垂直于 a e， 而 a f g 等于 e， f g 都等于 r 法，那所以我就可以知道这两个角，这个角 a e f 和这里的 e a f 是 相等的，那根据等角对等边，那我就可以知道这里的 e f 和 a f 就 相等的。 好，那这就是根据这个题目条件，我可以去考虑的辅助线的情况，对吧？或者说做法好，然后由这个辅助线我就可以得到这样的一些结论好，到底这个辅助线能不能这样去用，有没有用？我先尝试到这里，先放到这里，好吧，往后面看，然后他说了角 d a f， 他 是等于六十度的，这个角是六十度， 好，那这里有六十度，那同学们脑子里面就一定要闪过一个念头，那能不能去构造等边呢？或者说我去构造一个三角形，然后证明他是一个等边。 同学们看到这些条件一定要有这样的一个意思，这个几何的思路不是说凭空就想象出来的，而是根据题干条件，一步一步去分析，一步一步去尝试之类的，好不好？这就是我们去做几何题目的一个思路好，然后告诉我们， a、 f 它是等于四的 好， a d 是 等于三的好，要我们去求 e、 d 的 长度。好，这里很多同学呢，拿这个题目没有思路，但是我刚才说了，这个题目要得答案其实应该还是比较容易的，因为就两个数，然后要看要算这个 e d， 那 很明显，那三和四要么一加，要么一减， 是吧？那很明显加，不可能吗？那就只可能是减吧，那减的话，那这个答案就一吗？好，这答案就猜出来了。好，其实说你要去和这个答案是比较容易的，对吧？好，那这个答案呢？最后确实是一。好，那这个一怎么来的？好，那我们接着往后面看。 好，那这里呢，处理的，该处理的条件我们都处理了，对吧？那唯有一个条件我们是处理不了的，哪条件呢？这一组等角是处理不了的。好，那我们说了这组等角，那给你呢，就两种可能，第一个去证券的 好，来挣全等的话，你看把这两个角放到题目中一个三角形中去，你会发现这两三角形根本不全等呀， 连这个东西，连这两三角形的大小都不一样。好，那这里很明显直接挣全等可能挣不到，那就需要去通过倒角，然后呢去挣到某两个三角形，就说明要干嘛？就说明要去构造。那怎么构造呢？那就回到我们这里的六十度了， 我们说到想到六十度，你要想到我是否可以直接去构造一个等边，或者说我去构造一个三角形，然后去证明他是等边。好，那这是哪种情况呢？好了，这你看就从我们的问题出发，他要去求异地来，求异地的话，我的第一个想法就是放到一个特殊的三角形中去嘛。 好了，你看，把 e d 放到题目一个三角形中去，你会发现没有特殊的呀，你算不出来呀。好，那直接算，它算不出来，那我就可拿，我就间接的也把 e d 放到某一个特殊的三角形中去。但是呢，这里 肯定不是 e d 作为边了吗？它一定一定是 e d 作为边的一部分，或者说把一条线段的一部分。好，那这里你看，刚才我们不说了吗？这一个叉角我就去干嘛去构造。好，那怎么构造嘞？ 那我不是要去算 e d 吗？那我就去把干嘛把 e d 给它，可以给它延长出来。 好，延长出来，延长出来怎么办呢？你看延长出来之后，那这不就是一组对顶角了吗？好， 那这个不也就差角吗？好了，你看这两个差角都相等了，而且这两个差角有一组公共边 df， 那 我要去 构造全等的话，我就只需要一组边就可以了呀。那所以说，你看，那就是看这两个叉角的另一边，这个 a d f 的 另一边，那不就 ad 吗？所以说，那我就去延长 e d， 在 这个延长下面去截取一段这个 dh dh， 它就等于我们的这个 ad， dh 等于我们的 ad。 好，好，然后呢，我再去把这里的来，再去把这里的 h、 f 连起来。好，连起来之后，那你这里马上不就有一组全等三角形出现了吗？就是这里的三角形来，三角形 a、 d、 f， 它就全等于我们的三角形 d、 f 用什么大的圈的呢？ a， d 等于 d、 h， 你 截的嘛？然后 a， d， f 等于 f， d h 好， 然后还有一组公共边 d、 f， 所以 说用边角边我们就可以挣到这一组三角圈的。 好，那它俩全等之后，我就可以知道来对应边相等，这里的 a、 f， 它就等于我们这里的 h、 f， 它就是等于。然后 h f 等于谁呢？又是等于 e、 f 的， 它就是等于四的。好，然后对应角相等角 h 来把它写下来，那写不了了， 角 h 就 等于这里的角 d， a、 f， 它就等于六十度。好了，你这里你会发现 e、 h、 f， 它就是有一个角是六十度的等腰，那我们就可以知道这个三角形 e、 h、 f， 它是一个等边三角形。 好，它是等边三角形之后，那这里我不就可以知道这里的它不就等于我们的 e、 f， 它不就等于四了吗？ 而 d h 等于 a， d 等于三，那这里我们要算 e、 d 不 就是这里的减去这里的 d、 h 不 就等于三，减等于四，减三等于一吗？好，那这个题目这就出来了。 好吧，好，那说说这个题目呢？其实你说你要去把答案猜出来，其实还是比较容易的，但是你要把这个思路去想出来，其实还是非常考察孩子们的一个基本功的。好吧，那我这里呢，把这个辅助线给大家补充完整，好吧，来这里去做角 a f e 的 角平分线， 角 a e 于 g。 好， 然后呢再延长 e d 至 h， 使得 d h 等于 a d， 然后再连接我们这里的 f。 好， 那做完之后，我们刚才就给大家证明了，我们就可以正到这里，什么正到这里的 e f 等于 a f， 它就是等于四的。 好，这个刚才怎么挣？这个 e f 等于 f， 刚才我给大家讲了，所以说这里我过程就不再给大家赘述了。好吧，好，这就是这一个二十三题，点赞加关注，金刚校考不迷路！

同学与同学之间不会互帮互助的。你记住这句话，不可能互帮互助的。为什么？第一没有能力，第二他不会白给你互帮互助的。有人说什么雷军的什么上下铺怎么互帮互助呢？啊？这个企业家的上下铺怎么互帮互助呢？你是武汉大学，你是清华大学？

这是重庆八中数学考的最后一道题，看起来有点复杂，但只要没有蔚蓝进去，呃，会发现它其实挺简单的。别人看到题目，这个题目有点难看，把它翻译成人话，就是 在定义域里面， p x 的 每一个值带到 q x 里面，就能找到 p x 值和它对应。 这么说就很好懂的了啊。看来第一题第一题是帮助我们理解这个定义的，看看 q x 是 否为 p x 的 二种组合。简单来说就是 p x， 它的每一个值要在 q x 上找到两个结和它对应， 然后发现 q x 是 一条抛物线， x 是 一个直线，那么在这个下面的地方，在下面的地方，呃，显然这个 q x 是 不能找到几何 p x 对 应的，就是在这下面的地方， q x 不 能覆盖到 p， 那 么怎么来写呢？这个就是 q x 的 值域是负三到中五， 而 p x 的 值域是 r， 那么在这个负三下面的地方呢？这个 q x 是 覆盖不了 p x 的， 最显然 q x 不是 p x 的 二重 f。 好， 第一题看到第二道题，他给了两个函数，这个 p x 是 p x 二重再看。对，先观察一下这两个函数，这个 p x， 呃，他长得有点丑，是吧，给他把弄好看一点。 这里面的真数可以把这个分子换成分母的形式，三，三的一个方，加三就可以把它换成三的一个方，加一加二，所以这个真数就是一加三的一个方，加一分之二，然后所以把它写出来，就是 x 等于零， 那个三里面的真数是一加三的一个方，加一分之二， 这个很好懂的。分子换成字母的形式，分子就是三位数，加一加二，然后把它分开，就是一加三位数加一位数， 嗯，这个是 p x 二从不开来说。也就是说在 p x 的 值域内的每一个值都能把它带到 q x 里面，能有两个结。 所以首先这个求 p x 的 值域， p x 的 值域也是求这一坨的值域根三的根次方直算。首先是大于零的三的根次方加一大于一，然后用二来除以二，除以一，三的根次方加一， 因为它的分母的值域是一的重数，所以这一坨的值域显然就是零到二， 然后外面加一个一，所以里面这个真数的值域就是一到三，外面有一个 log 三，那么 log 三，它的定域在一到三的时候， 但它的值域就是零零到一， 所以现在就可以知道 p x 的 值域是零到一， 也就是说在 q x 在 零到一，嗯，那 q x 的 值等于零到一里面的每一个值的时候，能找到两个几。然后现在就简单到零到一。 你发现，当 x 大 于二的时候， x 等于 x 减二，这 x 减二，它在零零到一里面，但无论如何它都是能有一个几的， 这个很好懂嘛。所以，那么三的平方减 m， 也就是 x 在 负一到二的时候，它的值等于零到一的时候，这个只能有一个几 啊，因为这个有一个绝对值，所以，呃，要分那一头，那个在哪个地方点名呢？ 那么首先呢，嗯，我们最简单的，当 m 小 于零的，对小于等于零的时候，小于等于零的时候，显然就是三 x 方，这个指数函数把它向上平。三 x 方指数函数长什么样知道吧？这个啊， 当 m 小 于等于零的时候，显然就是把它往上往上平， 并且它的值一直都是大于零的绝对值，这个去掉就等于三点 x 方点，嗯， 呃，要让它在零到一上能有一个，所以它的这个值域，这个的值域是包 含零到一。这个 好，那么三 x 方减 m， 显然它是单调递增的，所以它的值域就是对 x 方，哦，不，对， x 是 负一到二的，对，它的值域就是 三分之一点了，到九点两边都是取得到的， 然后要让这个的值域包含零到一就是三，三分之一减 m 要小于，然后九减 m 要大于， 减大减 t， 是 m 小 于 t， 然后看一下这个取不取得到的， 呃，显然他是取得到的，当他取到的时候，这个也是很方便的，所以这个解出来就是 m n 大 于等于八， 这一口解出来就是 m n 小 于等于八， 然后还有，呃，大前提是 m 小 于等于零这一题算 m 大 于等于三分之一，所以这个是无解的。这题是什么？ 无解？这 m 小 于等于零是没没办法的。然后接下来继续讨论，当 m 大 于等于零，是 点们大于零的时候，这指数函数点就会往往下平移，它无论如何都会往下平移一点，它都会与 x 的 轴会有交点的，但所以它绝对值，因为它会加零绝对值，所以它会被翻过来。 那么我们可以先找出它与 x 的 轴交点的就是三 x 方减 m 等等于零的时候， x 方等于 m， 那 x 就 等于洛克三零， 这很好懂，所以它与 x 的 交点就是洛克三 好，那么 就这个 x 是 属于负一到二的。首先从最简最简单的看，要是负一在这个地方，负一在这个地方的话，也就是 log 三 m 小 于 b， 既然这个就是没右翻的，它还是等于三的一个方点，那么 那么这个 也就是当洛克三 m 小 于等于负一的 这个 case 还是等于三的一个方点， m， 这个很好读， 然后先把这个解出来，负一显然是做个三三分之一，然后把这个解出来做个三， 这个三是单调递增的，所以显然这个增数它是不等号不变的。小于等于三分之一， 然后还是跟上个一样的，它这个等于三点四方减 m， 三点四方减 m 三点四的，所以它的值域就是三分之一减 m 到九减 还是跟上次一样的，这个要包含你到一就是三分之一减。 m 小 于等于，然后它仅仅是 m 小 于等于 阳仔，这个解出来 m 大 于等于，这解出来 m 等于小于等 于 m 等于， 然后这个不用管， m 小 于等于三分之一，又 m 大 于等于三分之一，所以你判断 m 等于三分之一 好，那么已经有一个结了， m 等于三分之一，好，记起头了， 刚说它与 x 轴的交点是洛克三 m 啊， 那么当洛克三 m 在 负一到二之间的时候，那么它就是长这样的。 目前你这个做个三爷呢，无论是在哪， 呃，在负一到二之间呢？无论是在哪，他都是在零到一之间，零到一之间他肯定是会有两两个根的，嗯，他就算在这，在这下面的地方也有两个根，他要是在， ok， 哎，但是在这儿的话，可以，反正他就是无论如何都有两个，所以洛克三爷们不可能在你负一到二之间， 然后接下来下一个洛克三爷们 大于它，洛克三， m 在 二的右边的时候，你看这个大形叠是 m 啊。 洛克三 m 大 于等于二的时候，那么显然这个它是直接已经翻过来的，那 q 个四就等于 m 减三，这个方，把这个叠出来，洛克三 m 等于二，二等于洛克 比 m 大 于零。九， q x 等于 m 减三点八，然后它就是，原来是这样的嘛，然后它现在就是这样一翻过来的，全部都是这样翻过来的。 所以，嗯， q x， 它的值域就是，它是三角形，它的值域就是 m 减九到 m 减三 还是一样的。听到一杯包含在这里面，那么就是 m 减九小于等于 m 减三分之一大于等 于。然后大乘积是 m 大 于等于九， 一个解出来 m 小 于等于九，二个解出来 m 大 于等 于等于九， m 小 于等于九，所以 m 就 等于。 好了，现在就讨论完了，所以 m 是 有两个值的，第一个 m 等于三分之一，第二个 m 等于九， 就说 m 的 值就等于三分之一。或者这道题也是非常简单。 接下来看到最后一道题，最后一道题是高斯函数，呃，其实还是挺简单的， 给了 h x 和 p x， h x 是 p x 的 二零二五，重复给函数，还是跟上道题一样，先求出 p x 的 值域，显然它给了这个解析是 p 零就等于。当 x 大 于零的时候， 上下可以同出二， x 就 等于二，二分之一分之一。 那下面是均值不等式，下面是大于等于二的，那么这一这一坨就是小于等于二分之一。所以，呃，综上所述， x 等于零到二分之一。 好，那这道题就是，嗯，当 x 等于零到二分之一，这样的每一个值的时候，能有二零二五个底。 嗯，把它用代数的形式表示出来的话，就是这一个 d 属于零到二分之一， 也就是 h x 等于 e， 能有二零二五个几，这样很好懂的。 接下来看到 h x， h x 等于等于 x， 等于 x 减，嗯，这个高三数的 x， 所以 直接把 h x 化解成 x 等于， 它是，呃，一个大括号里面是 e x 点括号的点， 显然这个高斯函数看起来还是有点兴奋，因为这个外面加一个中括号，表示不超过它的最大整数， 它显然这个 h x 就 可以化，就可以把它再次化解 x x 的。 等 你可以发现，当 x 属于，呃，这个他给的 x 是 属于零到二，当 x 它属于零到 t 分 之一的时候，嗯，属于零到 t 分 之一的这一坨，这一坨呢，它显然是 小于一的，就不超过它的最大整数就是零，那么所以当 x 属于零到 t 分 之一的时候， h x 就 等于几？ x 属于到 这 t 分 之一取不到，要是 x 等于 t 分 之一的话，那这一头就等于一了，等于一，那就是 t x 点，所以这个是下一个里面值。 呃，再说一个 g， 啊，不对， x 属于 t 分 之一到 t 分 之二的时候，然这一坨就是一点几，一点几的话，不超过它的最大整数就是一，那么它就是 t， x 减一， x 属于 t 分 之一到这， 然后以此类推，加一个 t x， 二，你这小于等于 a 几， 然后一直当它等于二的时候，我想一下，它是 当 h x 等于 t， x 减二零二四， x 是 属于 t 分 之二零二四到 t 分 之二零二五， 然后我们要看这个它右边的二在哪，它这个底息是有点不太好看的话，直接画， 然而 x 再零到 t 分 之， 那对于 t x 就是 这样，这上面它等于 t 分 之一的，这个是等于 这上面取不到空虚元，然后接下来它又是， 嗯，把这个当它到当，当 x 属于 t 分 之一，到 t 分 之二的时候，它是 t x 减一，你发现 t 分 之一的时候，再进去是零到 t 分 之二的时候也是也是到一，这里知不知道的， 所以，哎，我们就能发现 h x 的 规律就一直是这样， 然后发到最右边的，这也也是 二二 分之二零二五， 然后我们看到先数的，呃，先是怎么说呢？ b 属于零到二分之一，然后让 h x 等于 b， 这个有二零二五的解，呃，那是二分， 可以随便找一个， 那这个就是第一个结，嗯，把它写成 x， 这是第二个结 x 三， 然后以此类推，当这里的时候，这个就是第二零二五的结 x， 二零二五 就好的一样， 所以让他有二零二五个解，就知道他的对他的 x 的 定义是零到二，所以要判断这个二的范围。看到了二二，要是 这个，把这个当做就是这这一条，这一条线和 y 等于二分之一的交点， 就是这个。 你，呃，当二在这个左边的时候， 人这里，当，要是 b 在 这上面的话，这里就是取不到的，他就没有二零二五根底了，他就不是二零二五中覆盖蓝。 那么当地在这这里的时候呢？原来是有二，刚好有二零二五个 g， 对， 是二零二五，从后面来说这里也是可以的。接下来再看，我们把下一个画出来， 再一个呢，就是在这里 我可以发现，当二二在这边来的话，这里 要是在下面的话，这里还会有一个结，就有二零二六个结了，二零二六个结，那他就不是二零二五，从覆盖函数，哎，这下面这一坨的地方，他会有二零二六个结，他不是在零到二分之一的每一个二零二五的， 所以这样也是不行， 最后就可以得出二是在这两个之间的，这里就是他两个的终点，呃，就是二 t 分 之 好，所以二大于二， 小于 t 分 之二点五。 接下来来看这两边取不取得到二，要是等于这个中间的话，对，这个， 嗯是开区间，它是 x， 是 取不到二的，所以在这里的话就会漏掉一个根，所以二是要严格大于二 t 分 之四零四九的，所以是取不到的。然后当二在这里的话， 那要是二在 p 分 之二零二五这里的话，因为 x 它是取不到二的，所以它就刚好在这个前面，对，刚好有二零二五个耶， 所以，嗯，二是合一，等于一分之二零二五的。好，接下来就容易了，直接解这个不等式能解出来。首先四大于四， 然后二 t 小 于等于二零二五 点 t， t 就是 大于四分之四零四九，小于等于二分之二零二五， 哦，那么哦，换一个颜色，所以最后答案就是 t 大 于四分之四零四九，小于等于二分之二零二五，所以写出来 e 属于四分之二零二五，所以写出来 e 属于四零四九 到二分之二点二五， 这是正数数 t 的 取值范围。这道题整体看下来还是没那么有难度的。好，谢谢大家抽奖。

好，同学们，我们来看近期一道这个重庆八中的周考题目啊，考的是一道等比速列，对吧？啊？等比速列呢，在我们高中整个 中知识点当中呢，还是一个比较重要的知识点，对吧？特别是这在高二这一学期啊，来我们来看这样的一道题，他说在这个等比数学当中啊，我们看到了他的前四项的总和是不等于八分之一十五，然后呢，第二项和第三项的成绩是等于负的八分之九啊，条件只给了这两个， 那我们要求，呃，第一项的导数加第二项的导数加第四项的导数， 那这种题怎么做呢？啊？那我们在等比数列当中是不是有一个非常重要的公式啊？当然等比数列当中重要的公式是不是特别多啊？比如求和呀，求通项啊，还有求等比中项啊，对吧？那这样的一个常规的公式是什么呢？ a 的 m 乘以 a 的 n 项，对吧？它等于 d q 项乘以 啊， d q 项乘以 d p 项，那这个式子成立的前提是什么啊？ m 加 n 的 总和是不是要等于 q 加 p 的 总和？当然这是两个乘两个，那当我们等号左右两边 像素如果是一样，他们比如说你三项乘三项，那就是左边等式，左边三项 啊，像素之合等于等式，右边三项像素之合的话，对吧？那左边三项的成绩是不是就等于右边啊？比如说可以以此类推， 那么我们用到这个公式，那我们这里的 a 二 a 三是不是就派上用场了？那 a 二 a 三他们的像素总和等于几呢？是不是二加三等于五，对吧？二 a 二乘 a 三，那他是不是应该等于我们这里的 a 一 与 a 四的成绩？ 那 a 一 与 a 四的成绩，我们是不是就马上就给他算出来了？就等于八分之一十五？ 找准了 a 一 a 四的成绩，有的同学就发现了，我们要求的这个目标是指， a 一 分之一加 a 二分之一加 a 三分之一， a 四分之一。那有的同学尝试性把这四个分数拿来通分，那通分显然是 做不出来的啊，为什么呢？然后我们通风过后，确实他们的分母是 a 一、 a 二、 a 三、 a 四的乘积，这个分母我们是能求出来的，那比如说我们通风后的第一项，第一项分子分母需要同乘 a 二、 a 三 s， 对 吧？ 那这连续三个数的成绩，我们是不是也没办法做？那这样一来呢？显然我们的目标算是是不可能把这四项直接通分的，对吧？那我们可不可以两两分组呢？我们要想构造出 a 一 a 四的成绩和 a 二、 a 三的成绩，我们是把这两个式子拿来一起加起来， 再把上面两个式子都加起来啊，我们分组计算啊， a 一 分之一加 a 四分之一啊，我们通一下分分母是不是 a 一 a 四的乘积 啊？分子出现了 a 一 加 s 啊，那同理，我们的 a 二分之一加 a 三分之一，那就等于 a 二分之 a 二 a 三的乘积分之 a 二，是不是加 a 三？朋友们，那么我们现在要求这四项的总和是不是就在？ 那么他们是不是等于这右边相加？哎，同学们，右边相加，你看 a 一、 a 四、 a 二、 a 三，分母是不相同，那变成了同分母相加，对吧？那同分母相加的话，我们把一个 a e、 s 啊给它替换成 a 二 a 三， 那就下一步就可以转换为了 a e a 四的乘积分子是不是就是我们的 a 一 加 a 四， 再加上 a r 加 a 三，对吧？那么这个分子熟不熟悉啊？是我们题目条件的第一个条件，总和是不是八分之一十五？ 那我们的分母呢？ a e、 s 又是我们求已经求出来了，所以这个式子呢，最终答案是不就等于八分之一十五？它去除以多少呢？是不是除以负的八分之九啊？除以它等于乘以它的导数，对吧？我们再约一下，分 等于八分之一十五，乘以负的负的九分之八啊，除以负的八分之九是不是等于乘以负的九分之八？我们约个分啊，约个分，这里还可以约个三， 所以我们最终答案算出来等于多少？是不是负的三分之五啊？那么这道题呢，等比数呢？主要考察我们这个核心公式啊。考察了核心公式是什么呢？ a 的 m 乘以 a 的 n 是 不等于 a 的 p 乘以 a 的 的 q 项，那它这个条件要成立的前提是什么呢？ m 与 n 的 总和是不等于 p 和 q 的 总和。