安徽八年级上册数学基础训练轴对称

八年级呢，是初中阶段的分水岭，八年级上学期呢，又是两级风华的关键期，一定要掌握好下面这四道难点。八年级上学期的数学的难点主要分为几何和代数两个板块， 那几何里面的是？首先呢，咱们学的是三角形，这里面三角形的概念，三角形与之相关的线段，这里都比较简单。那接下来的全等三角形，它的性质和判定，其核心部分当然是它的五大判定，但是真正在做题的时候，你要理解如何指天价或注线，一定要注意它的三大全等变换， 平移、旋转、轴对称，它就是按照这三大变换来添加辅助线的，其中的很多模型一定要掌握，比如手拉手模型、半角模型，一些三垂直模型，这些一定要掌握。那后面的轴对称图形，首先咱们学的是角平分线， 角平分线呢，它本身就是一个轴对称，所以也一定要掌握它的三到全等变换。那垂直平分线呢？垂直平分线上的点到两端点的距离相等，就应生出了等腰和等边三角形，这里重要的就是三线合一，但然后面的这个最端路径也是一个难点。 那之后我们进入袋鼠部分，袋鼠部分，这里的整式乘法，它其实就是一个分配律的应用，这里并不难，但接下来的英式分解难到了很多孩子，这里一定要掌握两大公式，平方差和完全平方公式，那英式分解的这四种方法一定要掌握。提供英式法、公式法、十字相乘法、分组分解法。 最后的这个公式，一个重中之重就是一定要记住检验，检验的就是分母不等于零。 那最后呢？就是用公式方程来解决实际的应用题了。把这四个重难点捋透了，每个重难点怎么考，哪些地方容易踩坑？把这些搞清楚之后，助你轻松度过关键期。关注郝老师，学习不迷路！

八年级轴对称这一张，想要学好，解题快，抓准核心就行。首先概念基础 要记牢，那线段的垂直平分线，角平分线等要三角形的性质是这一张的三个法宝必须要牢记，活学活用。然后解题技巧要记牢。第一个就是遇到对称， 先找对称轴，不管是作图还是求角度，线段长度，对称轴就是突破口， 对应点连线被对称轴垂直平分这个性质直接用第二个等腰三角形，三线合一，那肯定优先使用，看到等腰三角形角平分线中线高，知道一个就能推到另外两个， 求角和边非常好使。第三个做辅助线的绝招，证明线段相等，角相等，没思路，就做这一个对称轴的垂线， 那么连接对应点辅助线一天，思路基本上就来了。最后，刷题要有讲究，先做基础，做图题，熟练以后找对应点画对称轴，再做几何证明题，用上刚才所讲的三个法宝来答题， 在你错题整理的基础上，巧解这些题目，那轴对称不难，抓住核心，用技巧肯定就能学会。

中线背一扫法是巴尼奇上策解轴对称图形里面很重要的一种解题方法， 所以经常在这个期末压轴题里面会考察这种类型的题目。所以我今天我们有必要再讲一道例题，来加深一下对中线背长法的理解。 好，看一下已知条件。在三角形 a、 b、 c 里面的 a、 d 是 中线，然后呢？ a、 e 又等于 e、 f， 那 根据被长法 a、 d 是 中线，那就是什么？我们就把 a、 d 延伸于被， 然后连接 c、 h， 我 们这这一点叫 h 吧。好，这一点是 h， 因为这个是中线，所以很显然这里等于 b、 d 是 等于 c、 d 的， 然后 a、 d 又等于 dh， 然后这里又有一个对顶角， 所以很显然 a、 b、 d 三角 a、 b、 d 和三角形 c、 d、 h 这两个三角形是全等的。全等就可以推出 ab 是 等于 c、 h 的， 然后又可以知道 h 和 b、 a、 d 是 相等的， 相等就知道 ab 是 平行于 c、 h 的。 另外又知道 e、 a 等于 ef， 所以 这个角和这个角是相等的，又因为这个角有一个对角在这里，所以这个角 和这个角相等。角 h 因为平行，又和这个角是相等的，所以呢，这个角和这个角相等，那就可以推出 c、 f 是 等于 c、 h 的， 又因为 ab 等于 c、 h， 最后可以推出 ab 是 等于 c、 f 的。 好，这道题整个证明过程就是这样子，具体的证明过程 看下面这个图。

初二期末的压轴题一定会考轴对称将军印马模型，我们一起来看下这道题。已知三角形 a、 b、 c 的 面积是十二， b、 c 等于六， c， d 是 角平分线， e 和 f 分 别是边上面的动点，求 a、 e 加上 e、 f 的 最小值 是多少，求线段和最短。答题的实质一定是做对称。这个视频韩老师彻底教会你将军印码的通解方法，再配合这套将军印码十二大模型必刷题，里面包含了各种模型的作图方法，做完后期末多拿二十分。我们一起来看下这道题。为什么做对称呢？一般情况下， 我们求的都是两条折线段的和最短的情况，那如果我们可以通过轴对称改 变线段的方向，假设我通过轴对称将小 a 这条线段变到这里，那我就可以用两点之间线段最短来解决问题。因为 a 和 b 可以 在同一直线的方向上，从而找到动点的位置，那所以这个时候我们要么转化 a 的 位置，要么转化 b 的 位置，所以咱们的第一步 就是做对称。那这个时候到底是做 a 的 对称还是小 b 的 对称呢？这个地方要结合条件，条件有一个关键点叫做角平分线，那么说角平分线其实一定会出对称， 所以这里我应该选择的是左 a 点。关于角平分线的对称点，那由于轴对称，这个 a 一 一定会落在 b、 c 上，这个地方会构造出一个等腰三角形，那在这个时候我们找到了 a 一， 那也就意味着 此时小 a 和这里的小 a 应该是相等的，那我想要求小 a 加小 b 的 值最短，而 f 点是一个动点，也就是求一个点到一条直线上的任意一个点之间的最短距离，那这里一定是第二步，做垂 界垂线段最短，所以我过 a e 做 a c 的 垂线，那么此时这个交点就是真正的 f 点，而这个交点是咱们真正的 e 点。那现在 a e 加上 e f 的 值，其实 就应该是等于 a e e 加上 e f 就 等于 a e f， 而此时的 a e、 f 是 垂直于 a c 的， 那现在我想要求 a e、 f 是 多少？题目中给了面积，咱们知道 a， e、 f 是 垂直于 a c 的， 可以将 a， e、 f 看成 a c 边上的高，那所以我们就可以用二分之一的 a c 去乘 a， e， f 是 等于 s 三角形的面积，那现在面积已知， a c 却不知道，但是给了 bc 等于六。这里又由于轴对称，我们会发现 a e、 f 这条高的长度 和过点 a 做 b c 的 垂线， a h 的 长度是相等的。因为轴对称，这两个垂线段相等，那所以这里的面积又可以变成二分之一的 b c 去乘 a h 等于三角形啊。面积不难求出 a h 的 长度等于四，那所以说咱们的最小值等于四，你听懂了吗？

一节课趁早加上数学第三次月考球对称对决问题二，掌握所有必考点和难点，学完轻松秒题。一，整个题十分，所有笔记已经给大家整理好了，话，接上一个视频，这节课我们继续精讲轴对称模型例题，大家有什么问题可以发在评论区里面啊。 好，那我们这题就先过了，那我们看，接着看第二个例题， 来，我们一起读下题吧。他说，如图，角 a， o， b 等于三十度点 p 位于角 a， o b 里面， o， p 等于三点 m， n， 分别是射线 o， a， o， b 上的动点。要我们求什么？要我们求这个三角形 p， m， n 的最小值，那我们看一下， 我们要求这个三角形的最小最小周长吧，周长的最小值吧，哎，那是不是我们这个模型啊，类似于我们的这个这个模型吧，对吧？那我们看我们这个模型怎么处理的，是不是分别做对称点， 分别关于这个 l 一和 l 二做对称吧。好，那我们这题让我们也就和那个模型，那样我们就倒着我们那个模型做， 那么怎么做呢？ 那我们就是先分别做点， 我们我们要求出他的最小周长，我们 首先得把最小的周长的这种情况给画出来吧，对吧？那所以说我们先把这个最小的周长这种情况画出来，等下我们分别分别做 点 p， 关于 o a， 关于 o b 的 对称点 cd， 然后我们连接 cd， 连接 cd， 分别交 o， a， o， b， 迷恋 m n 吧。好，然后我们连接， 然后我们连接我们的这个 o， p， o， c， o， d， p， m， p， n。 好了，我们看， 那我们先连接一下吧。首先我们要做点 p 关于 o b 的对视点， 点 p 关于点 p 关于这个 o b 的对线点，那这个撇一撇吧， 大概是就是在这个位置吧。而我们这个，呃，点 p 关于 o b 的对线点是这个 c 吧，我们就取为点 p 关于 o a 的对线点，我们这个点就取为点 a 吧， 啊？点 c 啊，然后上面这个点我们就取为点 d 吧。 好，那我们到这一步，我们看，那我们看怎么，那什么时候他是这个最小的呢？是不？ 这是我们直接连接 cd 的时候，对吧？ 对吧？好， 那然后我们继续看，然后因为我们这个点 p 关于 o a 的对称点， 因为点 p 关于 o a 的对线点为 c 吧，关于 o b 的对线点 为例吧，那所以说我们的这个 pm 就等于 c m 吧， o p 就等于 o c 吧，我们这个角 c o a 就等于角 p o a 吧，对吧？对吧？ 那是，那然后又因为什么呢？然后又因为我们这个点 p 关于 o b 的对线点 为 d 吧？是不是为 d？ 好了，为 d 的话呢？它们中间有关于这个 o b 的中心点为 d 的话，那我们所以说我们这个 p n 就等于 dn 吧，然后 o p 就等于 o d 吧，然后我们的这个角 d o b 就等于角 p o b 吧。好，那所以说我们的这个 o c 就等于 o d， 等于 o p， 等于三百，对吧？ 好，那所以说我们是不是就可以求出，所以说我们这个角 c o d 就等于 角 c o d 的话，是不是就等于角 c o a 加角 p o a， 加角 p o b， 然后加角 d o b 就等于什么呢？就等于二倍的角 p o a 加二倍的角 p o b 吧，那是不是就等于二倍的角 等于六十度吧？哎，那它等于六十度，那所以说，那所以说我们这个三角形 c o d 啊， c o d 啊，我们这里连接一下，所以说我们这个三角形 c o d 的话， 所以说我们这个三角形 c o d 的话，它是就是等边上， 为什么， 对吧？好，那所以说我们是不是就可以得到 c d 等于 o， c 等于 o d 等于三吧？ 好了，所以我们这个三角形 p m n 的周长最小值， 周长最小值，是不是就是应该是等于 p m 加 p n， 然后加 m n 吧， 然后就是等于我们的这个 c m 加 m n 加 d n 的吧，那应该是大于等于 大于等于 c d 吧，那也就等于三吧。那所以说这个周长最小的周长就是多少呢？最小的周长的话，那就是我们的这个三吧。啊，那这个三就是我们的最小周长了。 好，那同学们可以截个图啊，如果说还有什么没弄明白的问题，欢迎发在评论区讨论啊。 好，那我们来看。接着来看第三条第三题，他说如图，等腰三角形底边的边长为六，面积 是二十四幺 a b 的垂直平分线， e f 交 a c 于点， f 点 d 为这个 b c 上的终点， m 为线段， e f 上的一个动点。好，那这个题要我们求什么呢？他说折三角形 b， d， m 的周长最短为多少？我们看一下三角形 b， d m 哎，三角形 b， d m 的周长最短，那是不是这个三角形啊？对吧？ 那么看这个题，我们先明确一个问题啊，它要我们求这个三角形 b， d， m 的最长最短吧，那我们看一下，是这个红色的，这才三条，三条线段吧。好，那这三条线呢？我们发现一个什么问题呢？是不是这个 b d 的话是定值吧，对吧？ 那我们是不是可以就把这个求三角形 b d m 的周长最短转化，为什么呢？转化为求 b m 加 d m 的 最小值吧，可不可以转化为，可不可以转化为这个， 对吧？因为我们 b d 是固，因为 b d 是定值吧，那所以说我们就可以把这个求三角形 b d m 的周长最短转化为求 b m 加 d m 的最小值吧。 那我们把 b m 加 d m 这最小值求出来之后，我们是不是这个周长最短已经能求出来了？好，那，那求 b m 加 d m 的最小值，那我们怎么办呢？是不 做对称就行了，做对称 然后利用什么呢？利用两点之间线段， 现代最短的 求最小值吧，对吧？好，那我们看怎么做对称？ 我们观察一下，那我们是做点 b 的对视点还是做点 d 的对视点啊？哎，我们发现这里，我们看发现一个什么问题啊？ 他说这个幺 a b 的垂直平分线吧， e f 吧。哎，那就说明我们这个 e f 是幺 a b 的垂直平分线吧。哎，那垂直平分线有什么特点？垂直平分线有一个重要的特点啊， 垂直平分线上垂直平分线上的点到脚两到脚两边的距离相等吧，就说垂直平分线上的点到到线段两端的距离相等吧， 对吧？垂直平分线上的点到线段两段的距离相等吧。那这又意味着我们这个， 那我们是不是就可以根据垂直屏幕线的这条性质推出什么了？那所以说我们这个 b m 是等于 a m 的吧，对吧？那 b m 等于 a m， 那我们垂直平分线我们之前有说过吧？垂直平分线是天然的轴对称模型吧？那我们因为，因为我们这个 b m 始终等于 a m， 那我们是不是就可以 把点 b 对称过去？那点 b 的对称点点 b 关于 e f 的对称点，是不是就点 a 了？对吧？那所以说我们这里的话，那就怎么了？那就是做点 b 关于 e f 的 b 撇，那这个 b 撇的位置是不是就是在点 a 这里，对吧？ 好，那什么时候他们就选了，那是不是我们直接，直接连接，直接连接 b， 一撇 d 就行了，对吧？ 那所以，所以，那我们的这个，所以我们这个 b e p m 就是等于 b m 的吧？ 那这个 b e 撇 m 加 d m 的 它的最小值就为什么呢？是不是就为 b 一撇 d， 那也就是等于 a d 的吧，对吧？好，那所以， 所以我们三角形 b d m 的周长 最短，为什么呢？最短的话就是不相当于等于 a d 加 b d 吧，因为 a d 的话，这个我们这里求的是最短的情况吧， 对吧？那最短的情况下，是不是相当于就是为 a d 加 b d 啊？对吧？好，那么那我们现在是不是只要求出 a d 就行了？现在只要求出 a d 就行了吧？好了，我们看怎么求出 a d 啊？ 哎，他这里是不是说底边长为六，面积是二十四吧，那我们这个 a d 就相当于就是高吧， 对吧？那就因为二分之一 e c 乘以个 a d 是等于 二十四吧，然后 b c 是等于六的，那所以我们可以解得 a d， 可以解的 a d 就等于八吧，对吧？所以解的 a、 d 等于八，然后 b、 d， 然后这个我这里再加一个，然后我们 d 为， 那所以说我们 a、 d 等于八，然后我们 b、 c、 b、 d 的话， b、 d 的话就等于二分之一乘六吧，就等于三吧，哎，那所以说我们这个 a、 d 加 b、 d 的话就等于八，加三等于十一吧，对吧？好，那所以说，那所以说我们 这个题的结果就是什么呢？哎，那所以说我们这题结果就是十一吧，对吧？那我们是不是就间接的求出我们这个三角形 b、 d、 m 周长的最小值了吧？ 好，大家看还有什么疑问没有？有疑问的话大家可以发在评论区里面， 大家一定要把这个思路理清楚啊。其实这个求周长最短问题本质上就是求这个线段线段和最短的问题啊， 求周长最短的问题就是求，其实你，你好好看一下，本质上其实也就是求我们线段和最短的问题啊，也就是我们一开始学的那个， 就是我们一开始学的那几个模型啊。好，那我们这节课就先到这里了。

八年级的复习方向首先我们有三张的几何，分别是三角形，全等三角形轴对称，所以几何占了三张，代数 占了三张，平分秋色。那么在几何的这三张里面，分别要重视的是教材的新增内容，新增了三角形的概念，如果他作为考题出现，大多数的同学不会因为他扣分，但是综合与实践里面非常重要的 确定重心的位置，有的同学要注意，因为在教材的讲解的时候，呃，由于传授的问题，所以他不在正课里面，是在综合与实践。 可是我们给的建议是新增必考，逢新必考，所以大家一定要翻开教材看一看。本专题重心位置先看教材，然后第十四章全等三角形里面主要看它，同理轴对称里面主要看它， 所以先复习教材。后三章是代数。代数里面的新增是洋灰三角，它通常与选择或填空的形式出现，除填空的时候多一点，概率比较大。重心的这个问题有可能考选择， 他有可能考填空，所以这是三到三大章的几何。三大章的代数里面除了刚才老师说的洋灰三角，后两章因式分解和分式。因式分解，选择或填空必考。 分式有两道题必考，一道是二十一，一道是二十五，二十一题考化简求值，二十五题分式方程的应用题， 所以分式考的这两张还是比较重要。而音式分解以选择和填空为主，但是要注意音式分解可能考阅读理解类问题， 所以要注意因式分解可能考给阅读理解。比如本次南杠区的二十六，有可能放的不是一道大几何， 而是放一道阅读理解。而放阅读理解主要的参考知识点是因式分解，所以这是八年级本次期末复习的主要的建议和参考指南。 先看教材，然后三章几何，要重视新增的知识点，三章代数要注意新增的知识点，同时要注意新题型。好，这是八年级的复习建议。

那轴对称这一章节呢，老师会分为七个部分去讲解，这四个呢，属于是这一章必备的一个基础知识，那稍微进阶一些的就是应用轴对称思想的将军印码最值模型以及 构造等腰三角形或等边三角形进行解析的一些技巧，那同学们也可以跳转到相应位置进行查漏补缺。 如果说一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的话，那么这个图形就是轴对称图形，我们管这条直线叫做它的对称轴，我们也说，哎，这个图形关于这条直线是对称的，那 那我们可以看到这些呢，是常见的轴对称图形。首先第一个是等腰三角形，很显然，如果我们沿着这条直线把它进行翻折的话，那么左右两个部分就可以完全重合，所以说等腰三角形，它就是一个轴对称图形， 这条直线就是它的对称轴，所以它有一条对称轴。好，我们再看等边三角形，它既可以沿着这条直线翻折重叠，也可以沿着这条直线翻折重叠， 也可以沿着这条直线翻折重叠，对吧？所以说等边三角形，它也是一个轴对称图形，而且它有三条对称轴。再看长方形，它可以沿着这条直线折叠，左右两边重合，也可以沿着这条直线折叠，上下重合。 最长方形也是一个轴对称图形，它有两条对称轴，那正方形呢，也可以有这两条对称轴，那同时呢，正方形沿着对角线折叠也能够重合，所以说正方形也是轴对称图形，有四条对称轴， 那菱形呢，很明显也是轴对称图形，可以有这样或这样两条对称轴啊，对吧？那同学们注意看这个平行四边形，它是不是一个轴对称图形呢？ 你能不能找到一条直线沿着这条直线折叠，那么直线两旁的部分能够完全重合的能不能找到？ 你会发现找不到的，比如你这样子去换，哎，你会发现左右两部分不是完全重合的，那再比如你也可以这样去换，是完全重合的吗？不是吧，一个往这，一个往这不完全重合，所以你会发现平行四边形，它压根就不是一个轴对称图形。那圆呢？ 哎，圆他肯定是一个轴对称图形吧，而且他有无数条对称轴，因为啊，只要经过这个圆的圆心的直线， 都可以把这个圆分成相等的两个部分，所以说圆可以有无数条对角线。那如果说像这样有两个图形把其中一个图形沿着某一条直线折叠，如果说他能够与另一个图形完全重合， 那么像这样的情况就叫做两个图形。关于这条直线成轴对称，那这条直线就叫做对称轴。把图形进行折叠之后，能够重合的对应点叫做对称点。比如在这里我们可以说三角形 abc 和三角形 a 片 b 片 c 是 关于直线 l 对 称的， 其中点 a 和 a 撇，点 b 和点 b 撇，点 c 和点 c 撇是三组对称点。好，那我们看一下这两个概念，轴对称图形和关于某直线成轴对称，它俩的区别和关联。首先区别在于轴对称图形，它本身就是一个图形， 是针对一个图形而言的，它的对称轴呢，不一定只有一条，像刚才我们看到了，正方形有四条对称轴，圆呢，更是有无数条对称轴，对吧？但是如果说关于某直线成轴对称，那就是指两个图形的位置关系，是对称的关系， 而且肯定是只有一条对称轴的。那么共同点呢，就是他俩都是轴对称的，沿着这个对称轴折叠的话，左右两部分都是可以重合的，而且呢，其实他俩之间可以互相转化的。 比如说，你把一个轴对称图形啊，沿着对称轴分成两个图形，那我们就可以说这两个小三角形是关于这条直线 l 成轴对称的。再比如，你把两个成轴对称的图形看成一个整体， 这个图形就是一个轴对称图形。好了，那么我们就着眼于共同点，来探究一下轴对称有什么样的性质。哎，我们刚才说了，轴对称其实就是沿对称轴折叠的话，左右两部分可以完全重合， 那么可以重合意味着什么？是不是说明两个图形它的形状还有大小都是相同的呀？哎，这个说法是不是很熟悉？两个图形形状大小都相同，那么这两个图形就是全等的吗？所以说轴对称的第一条性质就出来了， 关于对称轴对称的两个图形，它是全等的。比如在这里，三角形 a、 b、 c 和三角形 a 片 b 片 c， 关于直线 l 是 对称的，那么这两个三角形就是全等的。那全等之后呢，就有对应边，对应角都相等， 也就是 ab 等于 a 撇 b 撇 a， c 等于 a 撇 c 撇 b， c 也等于 b 撇 c 撇，那角 a 呢，也等于角 a 撇，角 b 也等于角 b 撇，角 c 也等于角 c 撇。好，接着看。如果我们在一个图形上任取一点，比如点 a， 那么我们都可以在与它对称的另一个图形当中找到它的对应点，也就是 a 撇。那么连接上 a、 a 撇交这个对称轴于点 p， 那 你会看到啊，这个 pa 和 pa 撇应该是相等的， 而且呢， a、 a 撇应该是垂直于这个直线 l 的， 那换句话说，其实就是这个直线 l， 它垂直于 a a 撇，并且平分 a、 a 撇。 那么像这样的直线，我们就叫做垂直平分线好了。同理呢，你可以把点 b 和它的对称点 b 片给它连起来， 也可以把点 c 和它的对称点 c 片给它连起来。你也能够发现，这个直线 l， 它垂直于 b b 片和 c c 片，并且呢，又平 平分 b、 b 片儿和 c c 片儿，也就是这个直线摇它同时也是 b、 b 片儿和 c、 c 片儿的垂直平分线。那么由此我们就可以得到轴对称的第二条性质，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。好，那么记住，轴对称的两条性质 如图呢，四边形，它是左右成轴对称的，而且其中角 b、 a、 d 是 一百五十度，角 b 是 四十度，让我们去求的呢，是角 b、 c、 d 的 度数。那这道题啊，很多同学眼疾手快就选择了 b 选项一百五十度，这是错的， 为什么呢？你看这个四边形，它确实是轴对称图形没错，但它是左右成轴对称， 这个角 b 和角 d 是 对应角，所以角 d 它也是四十度没错，但是角 a 和角 c 它不是对应角啊，我们求角 c 应该怎么求？ 应该是四边形内角和三百六十度减去这个角 a 一 百五十度，再减去这个角 b 四十度再减去这个角 d 四十度得多少度？应该是一百三十度，选择的是一个 a 选项。 这道题掉坑里的同学下次一定要注意看是关于哪一条直线成轴对称。 咱们前面学过什么叫做垂直平分线呀，哎，其实就是垂直于这条线段，并且 平分这条线段的直线，就叫做这条线段的垂直平分线。比如在这里，这个直线 l， 它经过线段 a、 b 的 中点点 c， 也就是 a c， 它等于 b c， 并且呢，它又垂直于线段 a、 b， 所以说直线摇，它就是线段 a、 b 的 垂直平分线。用几何语言可以这样描述，由垂直和中点可得垂直平分线。那垂直平分线有一个性质，就是垂直平分线上的点到它所垂直平分的这条线段的两端的距离是 相等的。比如你在这个直线 l 上面取一个点 d， 连接上这个线段的两个端点点 a 和点 b， 那 么所得到的这两条线段 a、 d 和 b d 应该是相等的。那这个性质是怎么来的呢？非常简单啊，用两个三角形全等就可以轻松证明。 你看，首先点 c， 它是 ab 的 中点，所以说 a、 c 和 bc 是 相等的一组边等。而且由于垂直， 这两个角呢，都是九十度角，是相等的一组角等。再有呢，有一个公共边，所以呢，根据边角边边角边可得两个三角形全等， 那全等之后，对应边相等，就有 a、 d 等于 b d 了。那不管你在这个垂直平分线上取的是哪个点，你随便取点连接这个线段的两段 都可得，这个距离是相等的。那么在解析的时候，这个性质也是非常好用，像这道题就可以用刚才垂直平分线的性质迅速秒杀来。题目中说这个 d e， 它是 ab 的 垂直平分线， 而 g f 是 a c 的 垂直平分线，那又告诉我们呢， bc 它等于十，而 g e 它等于二，要么求的是三角形 a g e 的 周长。哎，那也就是 a g 啊，加上 g e， 再加上这个 a e， 三条边长的和了。那我们看一下啊，我们知道这个点 e， 它在 a b 的 垂直平分线上， 所以说根据垂直平分线上一点到线段，两段距离相等，我们可得这个 a e， 它是等于 b e 的， 所以我们可以用 b e 来替代这个 a e。 那 再看 这个点 g， 它又在 a c 的 垂直平分线上。所以说点 g 到 a c 两段的距离是相等的，也就是 ag 等于 c g， 那 我们用 c g 来替代 ag， 那 现在就是 c g 加 g e 加上 b e 了。好，那我们看一下， c g 呢，是这一段， g e 呢是这一段，而 b e 呢，是这一段。 这三段相加，相当于是一段 b g 和三段 g e 以及一段 c e， 那 也就是一整段 b c 和两段重复的 g e。 好， 所以就是 b c 加上二倍的 g e， 也就是十，加上 四，也就等于十四了。这道题答案应该是十四了。这道题答案呢，包括两个方面， 一个是去证明一个点它在垂直平分线上，另一方面呢，就是证明一条直线或线段是某一条线段的垂直平分线，那这两个呢，是不一样的。好，我们先看这个点在垂直平分线上怎么证明， 这个其实很简单，就是我们垂直平分线的性质定律的逆定律，也就是说呀，到线段的两个端点的距离相等的这个点它就在这条线段的垂直平分线上，由这个 a、 c， 它等于 bc， 我 们可以直接得到这个点 c， 它就在 ab 的 垂直平分线上。好，那怎么证明这个东西它是成立的呢？来，我们看一下，也是通过全等去证明， 咱们可以在 a、 b 上面取它的中点点 d， 那 么就有 a、 d 是 等于 b、 d 的。 哎，这是我们取的啊，这是我们设定的条件。那么现在你看就有 a、 c 等于 b、 c， a、 d 等于 b、 d 和一个公共边，那就有边边边全等，那全等之后，你就有对应角相等，也就是这两个角它是相等的，那么这个平角里边两个角相等， 那一个角就是九十度，所以这个 c、 d 就是 垂直于 a、 b 的。 那么现在根据垂直平分线的定义，哎，经过这个线段 a、 b 的 中点，并且垂直于这条线段 a、 b 的 这条直线就是线段 a、 b 的 垂直平分线，所以说点 c 就 在 a、 b 的 垂直平分线上。好，那么证明了这个判定之后，哎，咱们就可以直接用了啊， 直接看到这个 a、 c 等于 b、 c， 那 么就可以得知这个点 c， 它就在线段 a、 b 的 垂直平分线上。好，那怎么证明一条直线或线段是某一线段的垂直平分线呢？有两个方法啊，来，我们分别用一道例题来感受一下这两种不同的证明方法。 好，首先这道题啊告诉你， ab 等于 ac， 而且 mb 等于 mc， 让你证明直线 am 是 线段 bc 的 垂直平分线，那这道题很显然应该用第一个方法，对吧？也就证明两个点都在线段的垂直平分线上来。首先我们根据 a、 b 等于 a c 可以 直接得到这个点 a 在 bc 的 垂直平分线上，那再根据这个 mb， 它也等于 mc， 那 我们就得到这个点 m， 它也在 bc 的 垂直平分线上。所以现在就有两个点，点 a 和点 m 都在 bc 的 垂直平分线上。所以说，哎，直线 am 就是 线段 bc 的 垂直平分线，那我们再看一下这道题，点 d 是 bc 的 终点，就有 b， d 等于 c d， 而且 d、 e 垂直平分 ac， 还有呢，就是点 f 是 ab 的 终点，那么 af 又等于 bf， 让我们证明的是 df 是 ab 的 垂直平分线， 那这道题就要用到第二个证明方法了，也就直接证明这个 d、 f 所在直线是线段 a、 b 的 垂直平分线。那怎么证明呢？ 来我们看啊，首先根据这个 d、 f 垂直平分 a、 c， 我 们可以直接连接这个 d a， 那 么根据垂直平分线的性质，点 d 到线段两段的距离应该是相等的，也就是 a、 d 等于 c d， 那 么又由于 cd 等于 b d， a d 就 又等于 b d 了。那现在我们看一下，哎，这两个三角形当中， a、 d 和 b、 d 相等，又由于点 f 是 ab， 中点 a， f 和 b f 也相等，再有一个公共边 d、 f， 所以 这两个三角形有边边边全等， 那全等之后，对应角相等，就有这两个角，它都是九十度平分一百八十度嘛。那么就有 d， f， 它垂直于 ab， 那 么根据啊，点 f， 它是 b a 的 中点，而且 d、 f 它又垂直于 ab， 所以呢，根据我们垂直平分线的定义，哎，经过这个线段的中点，并且垂直于这个线段的直线， 就是这个线段的垂直平分线，可得 d、 f， 它就是线段 a、 b 的 垂直平分线。那同学们，这两种方法你都清楚了吗？那么咱们复习一下。像这样性质定律和判定定律互为逆定律的还有一条线，就是角平分线，对吧？ 那如果说点 p 在 线段 a、 b 的 角平分线上的这个角平分线上的这个点 p 到角两边的距离相等， 也就是哎，过点 p 往角两边做垂线的话，这个 d、 p 和 p e 应该是相等的。那反过来说，如果我们已知哎有一个点 p， 它到角两边的距离相等，那么就可以判定这个点，它就在线段 a、 b 的 角平分线上。再补充一个小知识， 如果说三角形三条边的垂直平分线相交于一点的话，那么这个点就叫做三角形的外心。那复习一下，哎，前面我们学过三角形的重心是三角形三条边的 中线的焦点，那三角形的内心呢，就是三角形三个角的角平分线的焦点，回心呢，就是三角形三条高线的焦点。 首先什么叫等腰三角形？我们都知道有两边相等的三角形，就是等腰三角形，那这两个相等的边就叫做 腰，而另一条边 b、 c 就 叫做底边，那等腰三角形的三个角也有名字，两个腰的夹角叫做底角。那么等腰三角形呢，它有两个性质， 第一个呢，就是等腰三角形的两个底角是相等的，简称呢，叫做等边对等角， 也就是两个相等边的对边，也是相等的角。那第二个性质呢，就是等腰三角形，底边上的中线，还有高，还有顶角的角平分线，都是同一条线，是重合的，简称三线合一。比如说你在 b、 c 上面取它的中点点 d， 那 么连接上 a、 d， 它就是三角形 a、 b、 c 的 中线。那由于三角形 a、 b、 c， 它是等腰三角形， 那么这个 a、 d 它就同时也是高线，也是角平分线。那我们来证明一下这两个性质。首先第一条性质，底角相等，那角相等当然就是由全等来证明了。哎，我们可以先取一下这个三角形 a、 b、 c 的 中点点 d， 再做它的高线 a、 d。 那么现在啊，你看这两个小三角形，由于点、 d 我 们取得是 b、 c 的 中点，所以呢， b、 d 和 c、 d 是 相等的，而且它本身是一个等腰三角形，它的腰长应该是相等的，也就是 ab 等于 ac， 并且它俩有一个公共边 a、 d， 所以 说这两个小三角形是边、 边边全等的，那全等之后，对应角相等，这个角 b 和角 c 两个 d 角就是相等的了。那不仅是如此，这两个角也是对应相等的，这两个角呢，也是对应相等的。那么这两个角相等的话，就意味着这个 a、 d 同时也是角 b、 a、 c 顶角的角平分线，而这两个角相等的话，那么它俩平分一个一百八十度，每个角都是九十度，所以就有 a、 d 垂直于 b、 c， 那 么这个 a、 d， 它就是三角形 a、 b、 c 的 高线了。所以第二个性质，三线合一也得正了。那其实呢，这个中线和高线还有角平分线，它们仨呢，是 之二推一的，我们刚才是先设置了中线哎，从而又推出了顶角角平分线和高线。那如果我们一开始啊，先过点 a 做 b、 c 的 垂线，那么你也可以证明这两个三角形全等， 从而得到对应角，对应边相等得到角平分线以及中线。哎，你做这个角 b、 a、 c 的 角平分线，你也可以判定这两个三角形全等，从而得到对应角相等，并且对应边相等，得到高线和中线。同学们明白了吗？ 所以说这两个性质啊，用数学语言我们可以这样去描述。那我们来看一下怎么去判定一个三角形是等腰三角形呢？首先根据等腰三角形的定义，我们知道 只要有两边相等，那么这个三角形就是等腰三角形。那再根据等腰三角形两个底角相等的性质，我们可以推出只要有两个角相等，那么这个三角形它就是等腰三角形，简称等角对等， 也就是有两个角相等，我们得等腰，从而得到腰长相等。那我们再看，根据三线合一的性质，我们也可以推出一个等腰三角形的判定方法哎，只要知道这三线当中的两个，那我们就可以间接的得到这个三角形是等腰三角形。 那这个之其二得等腰是怎么得的呢？来我们看一下，比如说我们知道这个 a、 d 是 角平分线和垂线， 那么我们怎么知道这个三角形 a、 b、 c， 它一定是等腰三角形呢？当然是根据两边三角形全等了，来你看一下，角一等于角二，并且 a、 d 是 公共边， 并且呢由于垂直，这两个角都是九十度，是相等的，所以就根据角边角角边角可得它俩全等了，那全等之后肯定有对应边相等， a、 b 等于 a、 c 了，所以它就是一个等腰三角形。那你再看这， 如果你知道这个 a、 d 是 垂线和中线，那也是一样啊， a、 d 是 一个公共边，有一组边的 b、 d 和 c、 d 相等两组边的，并且之间的 甲角相等都是九十度，所以边角边边角边全等全等，对应边相等 ab 等于 ac， 所以 它就是一个等腰三角形。那第三个呢？同学们可以自己试着去推理一下怎么得到这个三角形，它是等腰三角形。那总结一下等腰三角形的三个判定方法， 其中前两个啊，两边相等或者两个角相等，这个都可以直接判定等腰三角形。那第三个 知道角平分线和垂线和中线这三个之中的两个得等腰，这个呢，就需要去证明一下是间接得到等腰三角形的。好，那我们来看一下这道题能不能用等腰三角形的相关知识点来解析来。题目中说三角形 a、 b、 c 里边 a、 a、 b 和 a、 c 是 相等的。哎，这是一个等腰三角形，又告诉你 a、 e 是 垂直于 bc 的， 那这就想象到等腰三角形的三线合一了，这个 a、 e 它既是高线，也是角平分线，同时也是中线。好，接着再看 以 a、 c 为腰，向右作等腰直角三角形，那么连接 b、 d 交 a、 e 于点 f， 让我们证明 角 a、 d、 b， 哎，这个角我们标为角一，等于角 a、 c、 f 这个角标为角二，要证明角一等于角二。好，那我们看，首先根据等边对等角，我们可以得到什么呀？来，你看 这个 a b 等于 a、 c 是 吧？而且呢，这个 a c 又等于谁？ a c 又等于 a d， 因为这是一个等腰直角三角形，所以说这三条边呢，都是相等的，那其中根据 ab 等于 ad， 首先我们可以得到 这个角一和这个角是相等的，我们令它为角三，那角一和角三相等，那么要想证明角一和角二相等，我们只要证明角二和角三相等就可以了。 你看它俩看着很像，而根据这个 a、 b 等于 a、 c 这对等边，我们又得到这个大角和这个大角应该是相等的。那么其实你看 这个角三，它就相当于我们刚才的这个大角 a、 b、 c 里边儿减去这个角 f、 b、 e， 对 吧？好，那么这个角二呢，它就相当于大角 a、 c、 b 里边儿减去这个角 f、 c、 e， 那 这里边它俩是相等的， 我们找代证明这两个角相等，也就这两个角相等就可以了。那你看一下，根据等腰三角形三线合一，由于这个 a、 e， 它是 b、 c 边上的高，它同时也是 b、 c 的 中线，那么 中点加垂值得什么？垂直平分线嘛？所以说这条直线就是 b、 c 的 垂直平分线。那么根据垂直平分线的性质， 垂直平分线上的点 f， 它到线段两端的距离相等，所以说这个 b、 f 和 c f 也是一对等 边，那么又有等边对等角，这两个角呢？它也是相等的啦。那现在一组相等角分别减去另一组相等角，得到的这组角也是相等的， 也就是角三等于角二，那么我们就证明了角一又等于角二了，所以这道题呢就 ok 了。 我们知道三条边都相等的三角形就是等边三角形，那其实等边三角形它是特殊的等腰三角形，比如给出一个等腰三角形，我们就知道腰长是相等的，那 如果底边也相等的话，就得到这个三角形，它就是三条边都相等的等边三角形了。所以说等腰三角形它具有的性质等边三角形它都有，那我们来看一下等边三角形的性质。第一个是三条边都相等，这个我们知道。第二个就是 三个内角都相等，我们可以联想到等腰三角形的第一个性质，也就是等边对等角。那你看等边三角形当中，这组等边所对的这组角应该是等角， 这组等边所对的这组角应该是相等的，这组等边所对的这组角也是等角，所以三个角都相等啊，那么三角形内角和是一百八十度， 三个角都相等的话，每个角都是六十度了。那么第三个性质就是三线合一，也就是高线、中线、角、平分线全部都是重合的，那等腰三角形里边只有一条这样的线，但是等边三角形里边你可以找到三条，也就是这样一条， 这样一条以及这样一条。哎，所以说等边三角形里边有三组的三线合一，那么如果分别沿着这三条线进行翻折的话，那你会发现这条线的两旁是可以完全重合的，所以说等边三角形它是一个轴对称图形，这三条线都是它的对称轴。 那接着看我们如何去判定一个三角形是等边三角形呢？首先根据定义，三条边相等的三角形，它就是等边三角形，用几何语言我们可以直接这样表示，哎，三条边相等，就是等边三角形。 那再就是根据我们的第二条性质，等边三角形的三个角都相等，我们看到三个角都相等的三角形，它就是等边三角形。哎，我们可以这样表示，三个角等得等边。好，那么这是利用边去判定，这是利用角去判定。还有一种判定方法是结合了边和角去判定的方法， 让我们看一下，根据我们等边三角形，它是特殊的等腰三角形，它就是 等边三角形。比如这个三角形，它是等腰三角形，也就是 a b 等于 a c。 等腰三角形，它有两种角，一个是顶角，还有一个是底角， 对吧？那么有两种情况，要么是顶角等于六十度，要么就是底角等于六十度。那分别来看一下。首先如果顶角这个角是六十度的话，那三角形里边剩下这俩角是不是一百八十度减六十度，也就是一百二十度啊， 合起来是一百二十度。而等腰三角形等边对等角，角 b 和角 c 相等，所以平分一百二十度，每个角都是六十度，从而可得这个三角形，它就是等边三角形了。 好，那么如果底角是六十度呢？比如这个角 b 是 六十度，那么更是有等腰三角形，等边对等角，这个角 c 也是六十度， 那么剩下一个角，也就是一百八十度，减去六十度，再减去六十度，为六十度了，三个角都相等，它就是一个等边三角形了。好，那么总结一下等边三角形的三种判定方法， 第一种，三条边都相等，第二种，三个角都相等，那第三种，两条边相等，也就是等腰，并且再加上一个角是六十度，就可以得到等边三角形了。来，同学们，我们再来看一个在直角三角形里边特别好用的一个性质定律。在 直角三角形里边，你一旦看到有一个锐角，它是三十度，那么你就要知道这个三十度角所对的直角边一定是斜边的一半。比如说告诉你啊，这个三角形 a、 b、 c 里边角 a 是 三十度，并且斜边 ab 等于四，那你知不知道这个 bc 等于多少？ 等于二嘛？斜边的一半。好，咱们可以证明一下这个定力啊，你把这个三角形 a、 b、 c 给它翻折过去，那么你会发现这整个三角形 a、 b、 d， 它是一个等边三角形， 因为你翻折过来嘛，这三十度，这也是三十度，而 a、 b 又等于 a、 d， 是 吧？翻折对应边对应角都相等，那 那么根据有一个角是六十度的等腰三角形是等边三角形，我们可得这个三角形 a、 b、 d 就是 等边三角形。那又由于 a、 c、 b， 它是一个直角，也就是 a、 c 垂直于 b、 d， 那 么根据等边三角形三线合一，这个 a、 c 同时也是中线，所以说 b、 c 和 c、 d 是 相等的，也就是 b、 c， 它等于二分之一的 b、 d， 又由于这个三角形是一个等边三角形，三条边都相等，那么二分之一 b、 d 也就相当于二分之一的 a、 b， 你 看是不是正比完成了？哎，这个三十度所对的直角边等于斜边的一半吗？其实就是利用了等边三角形的性质和判定 好，那我们看一下这道题能不能综合运用刚才的等边三角形的一些知识点来解决好。题目中说三角形 a、 b、 c， 它是一个等边三角形，而 b、 d 垂直于 a、 c， a、 e 垂直于 b、 c。 那 么两个问题，一个是要我们证明三角形 c、 d、 e 是 等边三角形，第二个是告诉我们 a、 u 等于十二，让我们去求这个 o、 e 的 长度。好，一个一个来先证明这是等边，怎么证明呢？ 首先，通过这个大三角形是等边三角形，我们可以轻松得到这个角 c， 它是一个六十度，那么根据我们第三个判定方法，有一个角是六十度的等腰三角形，它是一个 等边三角形，那我们只要再证明这个三角形里边的有两边相等就可以了。那怎么证明呢？这有两个垂直啊。那么根据等边三角形有三组三线合一， 这个 b、 d 和 a、 e 是 高线的，同时也是中线，所以说，哎，这个 a、 d 和 c、 d 相等， c、 e 和 b、 e 相等，而且由于这是等边三角形，三条边都应该是相等的，那么 a、 c 等于 b、 c， 而且 c、 d 等于二分之一的 a， c、 c、 e 等于二分之一的 bc， 所以 c、 d 和 c、 e 应该是相等的，那么两条边相等，这就是一个等腰，再加上一个角是六十度，这就是一个等边三角形。得正啦。 好，再看第二题，我们可以把这个 o、 c 给它连接起来，那么你看这个 b、 d， 它又垂直于 a、 c 又平分 a、 c， 所以 它是一个 a、 c 的 垂直平分线，那么点 o 在 垂直平分线上，所以它到 a、 c 两段的距离是相等的，也就是这个 a o 等于十二， c o 也等于十二。而同理 这个 a e 也是垂直于 bc， 并且平分 bc 的， 所以它是 bc 的 垂直平分线，点 o 它又在这条垂直平分线上，所以说点 o 到 bc 两段的距离又相等， b o 也等于 oc 等于十二。 那现在你看我们已经知道的线段长和我们要求的线段 o e 在 同一个三角形里边了，而且这是一个直角三角形，而且这个角它还是三十度，为什么等腰三角形三线合一，这个同时也是角平分线嘛，平分六十度不就是 三十度嘛。那现在就可以利用直角三角形三十度锐角对边的长度应该是斜边长度的一半，得到 o e 应该等于二分之一的 o b 为六了。 接下来就是我们轴对称这一章节非常重要，考频非常高的将军印码模型，它的核心思想就是轴对称。这里边常考的几种题型我已经全部给你整理好了，我们一个一个来看。那么首先咱们先了解一下什么题目当中考察你的是将军印码模型呢？来看题干， 当你看到这道题让你求的是多条线段之合的最值啊，最大值，最小值，那么这道题八九不离十，肯定是将军印码问题了。那比如说啊，让你求出 p a 加上 p b 的 最小值，其中这个点 p 它是个动点，点 a 和点 b 它是个定点， 那么这个问题它肯定就是将军印码问题，而且这是其中最基本的两定一动模型。还有更多的，比如说一定两动啊，两定两动啊，还 有什么造桥选址，将军六马线段叉最值问题等等。不用慌，这条视频呢，都会讲到，那么将军嘛，这么多类型啊，它其实核心原理就是这两条，一个呢是两点之间线段最短，比如说呀，有几条线段首尾相连，那么我们就看两个端点， 如果两个端点都是定点，那么我们根据两个定点之间应该是什么最短线段最短，直接连接上两端，哎，这个距离应该是最短的。第二个呢，就是垂线段最短，什么意思？ 假如说，哎，有几条线段首尾相接，我们看两端点是一个洞点一个定点，比如说这里是一个定点，而这里是一个洞点，那这个洞点在这条直线上面移动，那此时这几条线段的和如何才能取最小呢？哎，应该是 直线外一个定点到这条直线的最短距离问题，也就是过这个定点往这个直线上面做垂线，这个垂线段它一定是最短的。那 到底应该怎么去做？将军马问题，咱们其实就是三步走，第一步就是找出其中的定点，那第二步就是做对称， 第三步就是看两端点判断应该怎么去找最小值。那咱们结合具体问题来体会一下来。首先我们来看第一个最简单的两定点动模型，也就是有一个动点 p 和两个定点 a 和 b， 那 此时你看啊，这个动点 p 在 直线上面运动，而两个定点呢，在这条直线的两侧， 那么现在要你求的是 p a 加 p b 这两条动线段的最小值，那你看啊，随着这个动点 p 移动，这两条线段也会跟着变，对吧？比如点 p 在 这，那么两条线段就是这样，比如点 p 在 这，那就是这样。 哎，什么时候两条线段之合最小呢？你看它俩都是定点，对吧？所以根据两点之间线段最短，我们直接连接两端点，当 a a、 p b 三点共线的时候，这个 p a 加 p b 应该是最短的，那如果点 p， 它还是在这条直线上移动，但是 a b 两个定点都在直线的同一侧，那这种情况，这两条线段的最小值该怎么去找啊？那还是把这个两个端点连起来吗？ 肯定不是吧，你要是这样连的话，关 p 啥事啊？ p 它只能在这个直线上移动嘛？那怎么办？这时候呢，就得用到一个方法，叫做做对称。 还记得吗？刚才我们的三步走，首先先找定点，那它俩都是定点，随便选一个，比如点 b， 那 第二步就是做对称，也就是做定点 b。 关于动点 p 所在直线的对称点，也就是 b 撇，那做完对称之后呢，我们可以把这个对称点和动点 p 给它连起来， 那么根据轴对称的性质，它俩应该是相等的， p b 和 p b 撇应该是相等的。 那么我们原本求 p a 加 p b 这两条线段最小值的问题呢，就转化成了求 p a 加上 p b 片这两条线段求最小值的问题了。那求它俩相加之和最小，不就是这个情况吗？直接两点之间线段最短，连接上两段点，当 a p 和 b 片三点共线的时候，此时 p a 加 p b 片是最短的，也就是 p a 加 p b 最短。总结一下，在两定一动形的将军马模型里边，如果说两个定点在不同侧， 在异侧，那这个时候只要连接两端点就是最小值，根据两点之间线段最短，那如果两个定点在同一侧的时候，我们就要先做对称，然后再连接两端点，得最小值。 第二个我们再看一定两动模型，那这个模型我们直接结合具体的题目来看来，一定两动啊，这里的点 p， 它是一个定点，点 m 和点 n 是 两个动点。 好看一下题目条件说角 a o b， 这个角是三十度，然后呢， o p 等于三啊，这条线段它等于三，要我们求的是三角形 p m n 周长的最小值， 那么也就是求这三条线段之合的最小值，也就是 p m 啊，加上 m n， 再加上 p n 这三条线段之合的最小值。那怎么解题呢？还是一样三步走。首先第一步先找定点， 也就是我们的点 p， 那 第二步就是做对称，做这个定点，关于动点所在直线的对称点，那我们看到这道题里边有 m n 两个动点，那怎么办？哎，就做两次对称就可以了。首先先做定点 p， 关于动点 m 所在的 o a 的 对称点为 p 片儿啊，再做这个定点 p， 关于动点 n 所在的 o b 的 对称点为 p 两片儿。 再连接上这个 p 撇 m 和 p 两撇 n， 那 根据轴对称，这个 p m 和 p 撇 m 应该是相等的，而 p n 和 p 两撇 n 也应该是相等的。那现在你看我们原本要求的这三条线段值和最小，是不是转移了？ 哎，这条线段转移到这儿，这条线段它转移到这儿，那就变成了求这三条线段之合最小了，对吧？也就是求 p 撇儿 m 啊，加上 m n， 你 看 m n 没变是吧？还是这个 m n 再加上 p 两撇儿 n 这三条线段之合最小值的问题了。那么现在这三条线段是不是首尾相接了？我们就直接进行第三步，看两个端点，我们看到点屁撇和点屁两撇是定点还是动点啊？ 哎，点屁是定点，那么它的对称点也都是定点，所以说呢，两端点为定点，我们直接两点之间线段最短，连接两端点，这就是最小值，那么最小值也就是屁撇 p 两片。那么这道题只要求出这个 p 片 p 两片，这个线段长就可以了，但是我们可以找一下三角形 p m n 周长最小的位置在哪？ 哎，咱们是 p 片点 m 点 n 还有 p 两片，那么四点共线的时候取得最小值，所以说，哎，最小的时候 m n 在 这两点， 那么此时三角形 p m n 应该是长这样的。那接下来呢？我们结合题目条件来求一下这个最小值。 p 片 p 两片，那首先我们可以连接一下 o p 片和 o p 两片这两条线段，那么根据轴对称的性质，这个 o p 片和 o p 两片都等于中间，这个 o p 没错吧，而且这两条线段也相等，这两条线段也相等，那么这两个三角形应该是全等的，这两个三角形也是全等的，而且都是对称型的，全等。那么你看，哎，这个角它是三十度吧， 那么我们可以把它分为 alpha 角和 beta 角，现在就是 alpha 加 beta 为三十度。而你看，既然它俩全等，对应角相等，这个也是个 alpha， 它俩全等，对应角相等，这也是个 beta。 那 现在你看，这整个角 是由两个阿尔法和两个贝塔构成的，我们知道一个阿尔法一个贝塔是三十度，那两个阿尔法两个贝塔不就是六十度了吗？好，那么这个角是六十度，而且呢，这个 o p 片和 o p 两片是不都等于 o p， 所以 你看两边相等，并且中间夹角是六十度，这整个三角形它是一个等边三角形，所以说我们要求的这个 p 片 p 两片也和这三条线段都相等，那题目告诉我们 o p 等于三，所以说屁片屁两片也等于三，最小值呢，就为三了。这道题你明白了吗？接下来我们来看两定两动模型，也是结合具体的例题来看，那么两定两动应该是两个定点，两个动点，是吧？那我们来找一下。 哎，题目说在矩形 a、 b、 c、 d 当中， c d 它等于八， a d 等于四，那么点 e 呢？是 c、 d 的 中点哎， a、 f 呢，等于一 p、 q 分 别是在 a、 b 和 b、 c 边上移动的，所以说它俩就是那两个动点了。要我们求的是这个四边形 e、 f、 p、 q 的 周长的最小值，那周长的最小值也就是这四条边长之和的最小值了呗， 也就是 e f， 哎，加上这个 f q， 再加上 p q， 再加上 e p 这四条线段之隔的最小值。好，那么其中我们看一下啊，点 p 和点 q 是 两个动点，那么两个定点在哪呢？肯定是 e f 了吧？ 那为啥呢？你看啊， c、 d 它是一个定长，对吧？等于八，那其中这个点 e 是 这个定长的中点，所以呢，点 e 它是一个定点， 而点 f 呢，这个 a、 d 它又是一个定长，为四，其中 a f 等于一，所以说点 f 的 位置也是定的好，那么既然它俩都是定点，以这两条定点为端点的这个线段 e f， 它肯定是一个 定线段了，它的长度应该是固定不变的，我们可以求出来，你看点 e 是 c d 中点，所以 d e 它就等于四，而 d f 呢，应该是四，减去一为三， 那么在这个直角三角形当中，斜边 e f 根据勾股定律，三四五，对吧？所以说 e f 它等于一个定长为五，那现在我们就只需要求出剩下三条边长之和的最小值就可以了，也就是 这三条线段，那么这三条线段之和最小怎么求？还是三步走啊？首先去找定点，也就是我们的点 e 和点 f， 那 第二步就是做对称，那么咱们可以先把这个定点 e 关于动点 p 所在直线去做对称，是不是特别好做？ 因为这本身就是一个直角，对吧？那么延长出去，使得这个 c e 撇等于 c， e 等于四，这就是对称点 e 撇， 那么再连接上 p e 撇的话，这个 p e 撇，它就等于 p e， 再做这个定点 f， 关于动点 q 所在直线 a b 的 对称点也很好做。 延长 fa， 这是一个直角，所以延长 fa 到 f 撇的位置，使得 a f 撇和 a f 相等，那么此时这个 f 撇就是对称点了。再连接上 f 撇 q， 那 此时根据轴对称的性质，这两条线段又是相等的，那么我们原本要求的是 这三条线段之合的最小值，那么通过轴对称，我们进行了线段的转移之后，哎，这条线段转移到了这儿，这条线段转移到了这儿，那么现在我们要求的是 它加它，再加它这三条线段之合的最小值了，也就是变成了，哎，这个 f 撇 q 啊，加上 p q 不 动啊，然后再加上这个 e 撇 p 这三条线段之合的最小值， 这三条线段现在是首尾相接的。那么第三步，我们看两个端点， e 撇和 f 撇都是定点的对称点，所以也是定点，那么两个定点之间应该是 线段最短，所以我们直接连接两端点，这个 e 撇 f 撇啊，就是最小值了。那么要求它呢，也很简单，你看它是一个直角三角形的斜边，那么两个直角边知不知道啊？哎，这个是等于 五的对吧？整体等于五，这块呢，整体等于十二，那么根据勾股定律，斜边等于十三。 好，那么最后别忘了最小值啊，还要包括这个原来的定长五，所以呢，应该是五，加上十三，最终最小值应该等于 十八了。两定两动模型你学会了吗？接下来我们继续看一定两动加上垂线段最短的类型来看。题目说在直角三角形 a、 b、 c 当中， bc 等于四，而 角 c a b 这个角是三十度，那么点 d 和点 p 分 别在 a b 和 a c 边上面移动，所以它俩呢，是两个动点。那么让我们求的是 p b 加上 p、 d 这两条线段之合的最小值，那还是三步走。首先第一步干嘛找定点，那这三个字母里边 p、 b、 d 啊，这三点当中哪个是定点，对吧？那只能是点 b 了啊，为什么它是定点呢？ 你看这个 b、 c 是 一个定长为四，那么点 b 它肯定是一个确定的定点了。那第二步就是做定点，关于动点所在直线的对称点，那咱们有两个动点怎么做对称呢？来，你看啊，这个点 b 它和动点 d 是 在同一条直线上的， 那这个时候你怎么做点 b 关于它所在直线的对称点呀？做不了，对吧？那我们就只能做点 b 关于动点 p 所在的 a c 的 对称点了啊，这个能做， 那么现在我们把这个对称点 b 片和点 p 给它连起来的话，根据轴对称的性质就有 p b 片等于 p b， 那 么这条线段转移到这儿，我们要求的它俩线段之和最小，就转化为了 它俩线段之合求最小的问题。那接下来第三步就是去看两个端点定最小值。那么很多同学呢，一般会习惯直接把两个端点给他连起来就是最小值，那这道题里边这样的做法是对的吗？ 哎，草率了啊，我们一定要先看两端点是定点还是动点，那咱们看一下 b 撇它作为定点 b 的 对称点，它是一个定点没错，但是你看点 d， 我 们说了它是一个 动点，哎，它在这个 a b 边上移动，所以说你看当两个端点是一个定点，一个动点的时候，应该怎么办？应该做垂线得最小，而不是连两端。因为现在这个问题啊，是 重点所在直线外的一点 b 撇到这条直线的最短距离问题，所以说应该根据垂线段最短，我们过定点 b 撇往这个直线上做垂线，哎，此时啊，这个线段才是最短距离， 那我们来求一下这个最小值。首先在直角三角形当中，我们知道这个角是三十度，所以呢，它就是一个三十、六十、九十的一个特殊直角三角形，三边之比为一比二比根号三，那么这个 bc 等于四的话， ab 就 等于四，乘上根号三，也就是四倍的根号三，那根据轴对称的性质，这个 ab 片和 ab 应该是相等的，所以它也等于四倍根号三啊。又由于 这个角啊跟这个角应该是对称的，所以说它也是三十度，那么两个三十度拼起来，这整个角它就是一个六十度，所以你看这个直角三角形啊，它是不是也是一个 三十、六十、九十的特殊角三角形，那三边之笔也是一笔二笔根号三，那么根据比例关系就可以求出它的长度了。哎，我们给四倍的根号三除以二，然后再乘上根号三，也就是得六好，那么这道题最小值就得六 好。那么到这里我相信你已经掌握了将军驿马模型的基本解析步骤了，都是三步走，首先先找出定点，那第二步就是做定点，关于动点所在直线的对称点，那做对称的意义其实就是根据轴对称的性质进行线段的 转化，从而使得所求线段首尾相接。那首尾相接之后，第三步就是看端点，如果两个端点都是 点的话，根据两点之间线段最短，我们之间连接两端就是最小值，那么如果两个端点是一动一定的话，根据垂线段最短，我们做垂线就可以得到最小值。所以一定要搞清楚情况到底是什么样的， 绝对不要一刀切全部都连两段。那么前四个模型呢，都可以用这个方法去解决，但是后两个模型造桥选址和将军六毛模型这两种类型就有一点不一样了，咱们一起来看。 我们先看造桥选址模型，什么叫做造桥选址呢？就是说 a b 两个村庄在河的两边， 那么两个村庄的位置应该是固定不动的吧，所以说点 a 和点 b 它俩是定点，河的两岸呢，它是平行的，这个 l 一 和 l 二是平行的。那我们要探讨的呢，就是如何在 a b 这两个村庄之间修出一条 最短的路啊？他说包括桥，桥的长度是固定不变的，也就是求这个 a 到河岸 m， 然后再过桥，然后呢，再从河岸 n 到 b 村庄， 哎，这三条线段之合求最小，那其中我们要格外注意桥的长度固定不变。这个条件什么意思呢？ 就说你这个桥修在哪，现在还不确定，我们要看修在哪使得这个路径最短。但是你不管修在哪，这个桥的长度啊，是固定不变的。哎，你比如说 m 在 这， 那么这个 n 他 也得在这个位置， m n 他 是不变的，而且都是和河的两岸去垂直的。那如果 n 点在这，那么此时 m 点啊，他也得在这个位置，此时 m n 还是不变，而且都垂直于河的两岸。 那么此时啊，像这样的动点啊，我们就叫做连动点，也就是点 n 和点 m 是 同时一起去移动的，这就叫连动点。 好，那么既然这个 m n 的 长度是固定不变的，咱们就不需要把它考虑进去了。我们在求最小值的时候，只要求出 a m 和 b n 的 这两条线段之合的最小值就好了，然后再加上 m n 的 值，哎，就可以了啊。 那我们看要求这两条线段之隔到最小值，你会发现一个特点，就是他俩不是首尾相接的，是隔开的。 哎，咱们前面都必须要达到首尾相接的状态，才能去看两个端点，决定如何确定最小值，对吧？所以咱们得先想办法把这两条线段呀给接到一块去。那怎么弄呢？ 哎，就要用到一个平移的思想，也就是将其中一个定点进行平移，去构造出平行四边形来。你看啊，比如说先取一个定点 b 进行平移， 那么我们这个 m n 的 长度它不是固定不变的吗？那我们就把这个 b 点啊，也向这个 m n 的 方向，也就是向上去平移 m n 这么长的位置，那么现在这个 b b 片和 m n 它俩是不是 平行且相等的呀？所以现在如果把这个 b 片 m 也给它连起来，那么这个四边形它就是一个平行四边形。 因为一组对边平行且相等嘛，那既然它是一个平行四边形，这个 b n 和 b 片 m 是 不是应该相等啊？对边相等，所以说它俩是相等的，这条线段就转移到这去了。哎，现在你看，哎，两条线段是不是首尾相接了，这 这个最小值啊，它就变成了求 am 加上 b 撇 m 这两条线段之合的最小值的问题了。那它俩的最小值能不能找啊？这不就是两定一动模型吗？咱们的第一个模型，那两个定点在动点的 e 侧，所以我们可以直接根据两点之间线段最短，我们直接连接上两端点，这就是最小值。好，那么求出了这个部分的最小值为 a b 条，再加上我们的定长 m n， 就 可以求出我们这个最短的路的长度了，那么最短路径具体在哪呢？我们可以找一下啊，我们是 a 和 m 啊，以及 b 这三点共线的时候取最小，对吧？所以说取最小值的时候，点 m 它得在这儿的话，点 n 它也得在这儿，所以说，哎， a m， 然后到 m n， 然后再到 b n， 这就是最短路径了。好，咱们再看将军六马模型，也是差不多的思路哎，说将军从 a 处出发， 带马儿去河边喝水，那么他沿着河岸去走一段距离 m n， 最后喝饱之后回到军营 b 处。那么问我们将军如何走的话，这个路径是最短的， 那也就是让我们求出 a 到 m， m 到 n， n 到 b 这三段距离之和的最小值了。那同样我们要抓住一个关键，就是沿着河岸走一段的这个距离， m n 它是固定不变的，因为我们规定啊，这个码 它每走这么一段距离，它就喝饱了。你假如说它从这开始喝，那么它走到这之后，从这开始喝，喝了这么一段 啊，也就合饱了，所以它就回去了。所以啊，这个 m n 这个距离它是不变的。所以说此时 m n 这两个动点也是连动点， m n 是 定长，那还是一样，咱们先不考虑这个定长 m n， 先求出这个 a m 以及 b n 这两条线段之和的最小值，再把这个固定的定长加上就可以了。好，那么求这两条线段之和的最小值，能不能求？ 你看他俩还是隔开的，还是得想办法把它们凑一块去。那还是什么呀？还是平移，我们找出一个定点，比如说我们选定点 a 去进行平移，怎么平移呢？还是一样的方法啊， 沿着这个 m n 的 这个方向，沿着这个方向向右啊，平移 m n 这么一段长，那么到这个 a 撇点的位置， 此时呢，这个 a a 撇和 m n 它俩应该是平行且相等的，那么把 a 撇 n 给它连起来，这个四边形也是一个平行四边形，所以说 am 和 a 撇 n 是 相等的，它转移到这儿， 所以说求它俩线段之和最小，就变成了求它俩线段之和最小之。那这回你看一下现在是什么情况，两个定点在动点所在直线的同一侧， 哎，第一个模型里边的同侧形，那先怎么办？先做对称，然后再连两段，是吧？那么我们先做定点 a 撇，关于动点所在直线的对称，点 a 两撇，然后呢，把这个 a 两撇 n 给它连起来，根据轴对称， 这个线段，它又转移到这来了，所以现在我们要求的是这两条线段之和的最小值，这回就能直接连两端得最小了。我们要求的最短路径的长度就是 a 两撇 b 啊，再加上这个定长 m n 就 可以了。那么这个最短路径具体是怎么走的呢？来我们看，当点 b 和点 n 以及点 a 两撇三点共线的时候，这两条线段取得最小值， 所以说，哎，最短路径的时候，点 n 它得在这儿，那么根据这个 m n 它是个定长，我们就可以确定 m 的 位置了，对吧？大概取这么一段长，点 m 大 概在这儿，哎，所以说呀，现在最短路径就是 从 a 出发到点 m， 然后从 m 到 n， 然后再到 n 到 b， 这就是最短路径了。 那总结一下，其实呢，这两个类型就是比前面的要多出来一个步骤，就是什么呀？就是平移，我们利用平移把所求线段接到一块之后，哎，就跟前面的模型一样了，那我们来练习一道题目，具体看一下这个模型该怎么使用。来，题目告诉我们 正方形 a、 b、 c、 d 的 边长等于四，还告诉我们点 e 和点 f 在 对角线上面移动，它俩是动点，而且 e f 它等于二，是一个定长。 那么要我们求的是三角形 b， e、 f 周长的最小值，也就是求这三条线段之合的最小值。那我们先判断一下应该使用哪个模型，哎，首先呢，从这个定点 b 出发，哎，这是个正方形，长度是定的，所以点 b 它肯定是一个定点 啊。那么从定点 b 出发到这个动点 e 的 位置，然后呢，走一段固定的距离到动点 e 的 位置，然后呢走一段固定的距离到定点 b， 这是一个将军六马模型，对吧？哎，从这出发到河岸喝水喝了一段之后回去。那将军六马模型里边，我们要抓住一个关键，就是这个 e、 f， 它是一个定长，所以点 e 和点 f 是 联动点，那么我们要求的 b b， e 加上 e f 加上 b f 这三条线段之和的最小值，我们只要先研究 b e 和 b f 这两条线段之和最小值，再把这个定长 e、 f 加上就可以了。好，那么求这两条线段之和的最小值怎么求？先进行什么 平移，我们把这个定点 b 沿着这个 e、 f 的 方向去平移，而且呢，这个平移的长度应该是 e f 的 长，也就是二。 好，那么到这里是 b 撇点，此时这两条线段是平行且相等的，那么连接上 b 撇 f 这个四边形是一个平行四边形，那么 b e 和 b 撇 f 是 相等的，它转移到这儿，所以说现在我们要求的就是 b f 加上 b 撇 f 这两条线段之和的最小值，那么求这两条线段之和的最小值。现在这是个什么问题啊？ 两个定点 b 和 b 撇在动点所在直线的同一侧，这就是一动两定模型的同侧。行了，那怎么解啊？找定点做对称，看两段是吧？首先找定点，它俩是定点，那我们选一个去做对称，哎，那你看点 b， 关于这个 a、 c 的 对称点是不是很好找？ 不就是点 d 吗？对，正方形的两条对角线是互相垂直并且互相平分的，所以说这个点 d 的 对称点就是点 d， 那 么连接上这个 d、 f 啊，现在根据轴对称，这个 d f 和 e f 就是 相等的，那么问题就又转化了，就变成了 b 撇 f 加上 d f 这两条线段之合到最小值的问题了。那第三步就是看两个端点啊，点 d 和点 b 撇都是定点，那么直接连接两端点为最小值。所以说现在要想求出这个 d、 b 撇，怎么求啊？ 来，同学们，这个三角形 b、 b 撇 d， 它其实呢是一个直角三角形，为什么呢？你看啊，首先这个 b、 b 撇和 e、 f 是 不是平行的？ 哎，我们平移过来的嘛，沿着这个方向平移过来的，所以它俩平行，而这是对角线，它和这个对角线 b、 d 是 互相垂直的，所以说 e、 f 也是垂直于 这个 b、 d 的， 那它俩平行，它垂直于它的同时也会垂直于它，对吧？所以说这个 b d 同时也垂直于 b b 撇儿， 那么这就是一个直角了。好了，那么在直角三角形当中，这个直角边等于二，而这个直角边呢，它作为正方形的对角线，边长等于四的情况下，这个对角线应该是四倍的根号二， 所以呢，根据勾股定律就可以求出斜边 b 盘 d 了，也就是等于根号下这个二的平方加上四倍根号二的平方，然后呢，再加上后边这个 e f， 这个 e f 等于多少啊？等于二，这个别忘了加上计算一下这个式子，就可以得出最小值了。那么最后呢，我们来看一下将军密码模型当中的线段差的最值问题。比如像这道例题，题目告诉我们 ab 等于 ac 等于十 ac 的 垂直平分线分别交 abac 于 m n 两点， 那点 p 呢？就在这个垂直平分线上面移动，是一个动点，还告诉我们三角形 b m c 这个三角形的周长是十八，让我们求的是 p a 减去 p b 的 绝对值的最大值。那我们来解读一下，首先为什么要套绝对值呢？ 哎，同学们，绝对值它有一个性质，就是非负性，对吧？那 p a 和 p b 这两条线段我们不知道谁大谁小，那假如说 p a 比 p b 小 的话，小减大它是不是变成负数了呀？ 但是套上绝对值就没有这个烦恼了，套上绝对值之后，你不管谁大谁小，得的是正还是负，最终结果都是他俩的差值是个正的， 对吧？那线段差的最大值怎么去求呀？咱们前面做的都是线段和的最小值的问题，那咱们先学习一下，来，我们看线段差最值问题里边的四种类型，分别是线段差的最大值问题，同侧行、异侧行 以及线段差的最小值问题。同侧形和异侧形，那咱们先按顺序看啊，先看一下，如果两个定点 a 和 b 在 动点 p 所在直线的同一侧， 那我们求两条动线段之差的最大值，应该怎么去求呢？来我们思考一下，关于两条线段之差，能不能想到一些不等关系原理呀？来，咱们比如说可以把这个 a b 给它连起来， 那么我们就得到了一个三角形 p a b， 那 么在这个三角形里边 p a 减 p b， 它就是什么意思啊？就是两边之差， 那么想到了吗？三角形两边之差应该小于第三边，所以说 p a 减去 p b 就是 小于 ab 的， 那能不能等于 ab 呢？来，我们如果把这个 b a 给它延长啊，当点 p 在 这儿的时候，你看一下 p b 减 pa 是 不是刚好就是等于 a b 的 呀？所以说是可以取等号的。那现在你看一下这个式子， 它要不就是小于 a b， 要不就是等于 a b， 那 要想求最大值，不就是取等号的时候了吗？所以说啊，当点 b、 点 a、 点 p， 三点共线的时候，这个线段差取到最大值，而且最大值为多少等于 a b， 也就是这两个定点之间的距离了。 那么如果两个定点在这条直线的不同侧，那这个时候呢，就要比同侧的情况要多一个步骤了，就是做对称，我们选一个定点去做对称，比如选这个点 a 做点 a， 关于动点所在直线的对称点 a 片连接上 p， a 片根据轴对称，哎，它俩是相等的，那现在求它俩线段之差最大的问题，就转移成了求它俩线段之差最大的问题。那么就和这个同侧的情况一样了，也是在点 b、 点 a 片 和点 p 三点共线的时候，此时取得线段差最大，原理也是一样的，那么这个时候最大值就是 a 撇 b 了。好，那么如果要求这个线段差的最小值，应该是怎么去求呢？那你看啊，我们说这个绝对值，它有一个什么性质，叫做非负性， 所以说它要么是正数，要么是零，所以最小最小就是零了，对吧？那什么时候取零啊？当 pa 等于 pb 的 时候取零呗。那什么时候可以使得 pa 等于 pb， 就 需要利用到垂直平分线的性质了，我们可以连接上 ab， 然后呢做这个 ab 的 垂直平分线，垂直平分线，也就是把这个 ab 的 垂直于 ab 的 这样一条直线，那垂直平分线有一个性质就是， 哎， a b 的 垂直平分线上，一点到线段 a b 的 两个端点的距离应该是相等的，所以说当点 p 在 a b 的 垂直平分线上的时候， 这个 p 到 a 的 距离， p 到 b 的 距离是相等的，所以此时 p a p b 相等的话啊，相差等于零，所以此时，哎，线段差取最小。 如果两个定点在异侧的话呢，也是一样，咱们连接上 ab， 做这个线段 ab 的 垂直平分线，那么当点 p 在 垂直平分线上的时候啊，它到点 a 到点 b 的 距离都相等， 那么 pa 等于 pa， 线段差为零最小。那我们可以用一句话来总结线段差最值问题，就是共线时最大，中垂线上时最小。首先共线时最大，也就是说当两个定点和一个动点在同一条直线上的时候， 此时两条线段之差取最大值，最大值就是两个定点之间的距离 a b， 那 中垂线呢，就是垂直平分线，是一个东西，那我们只要找出两个定点，然后呢，画出以这两个定点为端点的线段的 垂直平分线。那么当这个动点 p 在 垂直平分线上的时候，此时啊，这个线段差取得最小值 为零啊，因为此时 p a 和 p b 它俩是相等的，所以相减得零。那么再复习一下，线段差呢，是共线时最大，中垂线上时最小。好，回到题目来看一下，现在你能做出来吗？来看一下，我们求的是 线段差的最大值，所以说呢，应该是共线时最大。好，那咱们再看一下啊，这个动点在这两个定点呢，在动点的一侧，所以咱们还得走一步叫什么叫做对称啊？那做完对称之后，找共线的情况 好，那么咱们做谁的对称点呢？两个定点谁的对称点比较好做呢？应该是点 a 吧，为啥呢？因为题目中说呀，这个点 p， 他 在 a a c 的 垂直平分线上，这条直线是 a c 的 垂直平分线，那也就是它垂直于 a c， 并且平分 a c， 所以 我们一下就能够确定点 a 的 对称点，就是点 c 连接上 pc， 根据轴对称或者是垂直平分线的性质， pa 和 pc 应该是相等的，那么我们要求到 pa 和 pb 这两条线段之差的最大值，就变成了求 pc 和 pb 这两条线段之差的最大值的问题了， 两个定点都在动点所在直线的同一侧，要想让他们仨贡献，咱们得延长一下了，对吧？咱们把 c b 延长，那当点 p 在 这里的时候， p b c 三点就是贡献的，此时取得最大值为这个 b c 了，对吧？ 那 b c 怎么求呢？来咱们看一下题目条件说，三角形 b m c， 这个三角形周长等于十八， 那么也就是 c m 加上 b m 再加上 bc， 它等于十八。好，那么还知道什么呢？就是 ab 等于 ac 等于十，哎，它俩等于十。那咱们观察一下，根据垂直平分线上一点到线段两端的距离相等， 这个 a m 和 c m 也是相等的，对吧？那么 ab 它等于十，它是由 a m 和 b m 组成的， 而 a m 和 c m 又相等，所以呢， b m 和 c m 相加，是不是也等于 a b 等于十啊？所以说现在，哎，它俩相加等于十，那么十加上 b c 等于十八，所以就可以求出 b c， 它等于八了。 接下来我们来看一下怎么去构造一个等腰三角形，从而利用等腰三角形的一些性质来帮助解题。那么构造等腰三角形常见方法有这四种。首先，当题目当中有角平分线， 并且呢，你还看到这个被平分的角的其中一边和角平分线之间有一条线段，它平行于这个另一条边， 也就是这个 d e， 它平行于 o b， 那 么你就可以得到这个三角形 o d e， 它就是一个等腰三角形，为什么呀？根据平行，我们可以得到内错角相等，所以这两个角是相等的，而 o c 又平分角 a o b， 所以 说这两个角它也是相等的， 那么转移一下，这两个角也是相等的，那么一个三角形，两个角相等，它就是一个等腰三角形，就有 o d 等于 d、 e 了。那我们来用一下这个技巧。这道题告诉你， b f 平分角 abc， c f 平分角 a， c b 两个角平分线， 还告诉你了这个 d e 平行于 bc， 并且过点 f， 那 这个时候你要马上反应过来， 这两个三角形它都是等腰三角形，所以有 b d 等于 d f， 而且 e f 等于 c e。 好， 那这道题还告诉我们， b d 加 c e 等于九，也就是这两条线段相加之和等于九，让我们去求的呢？是 d e 的 长，这不就直接出来了吗？ 他俩相加等于九，他等于他，他等于他，那么替换一下，就是他俩相加也等于九，也就是整个第一，他等于九了，那继续看第二种构造方法也是跟角平分线有关。 哎，我们看到有角平分线，并且我们看到由角的其中一边向这个中间的角平分线上做了垂线，那么这个时候你就要想到把这个 e、 d 给它延长啊，与这个 o b 相交于点 f， 那 这个时候由于它是延长过来的，这也是垂直， 那现在就是由被平分的这个角的两边往这个中间的角平分线做了垂线，那这个时候这个三角形 o e、 f， 它也是一个等腰， 你看这是角平分线，所以这两个角相等，而这里是垂直，所以两个角都是九十度是相等的。 而且这两个三角形还有一个公共边 o d， 所以 这两个三角形角边角全等， 那全等之后，对应边 o e 和 o f 就 相等了，那么两个边相等的三角形，它就是等边三角形。同时这个 o、 d 啊，它是高线、中线、角平分线，三线合一。 好，那么看一道题目，角 a、 c、 b， 这是九十度，而且 a、 c 等于 bc， 这是一个等腰直角三角形， 而 a、 d 呢，是这个角 b、 a、 c 的 角平分线，那么就有这两个角相等。那过点 b 做这个 a、 d 的 垂线，交 a、 d 的 延长线与点 e， 这是一个垂直，那么 b、 e 等于四的情况下，要我们去求出这个线段 a、 d 的 长是多少？那这道题我们看到有角平分线，而且还有往角平分线上做垂线，那么我们就要想到把这个 b、 e 给它延长，并与这个 a、 c 的 延长线交于点 f 吧。 那么这个时候角平分线加上垂中间，我们可得这个三角形 a、 b、 f 是 一个等腰三角形，那么构造出等腰三角形之后，就可以利用等腰三角形的三线合一。这个 a、 e， 它既是角平分线，也是高线，同时也是中线， 所以呢， e、 f 等于 b， e 应该等于四。那接下来再看，已经知道的是 b、 f 要求的是 a、 d， 但是它俩看起来好像没有什么特殊的关系哎，那么像这样，要想把看起来没有什么特殊的位置关系的两条线段联系起来，最好的方法应该是 找出全等关系，从而推出对应边相等。那么要想让它俩相等，你看一下哪两个三角形全等啊？应该是三角形 a、 c、 d 和三角形 b、 c、 f 吧。那怎么证明它俩全等？首先我们已经知道的是 a、 c 和 b、 c 这两条边相等，题目中告诉我们了， 还有就是这是九十度，这也是九十度，因为延长出来的嘛。那么现在其实我们已经知道了一组边等和一组角等，只要再得到这组角等，哎，或者是这组边等就行了， 但是你看 c d 等于 c f， 好 像没法证明，那我们看一下这两个角怎么相等来，你会看到有一个八字模型，看见了吗？就是这样一个八字模型， 这两个三角形里边有对顶角相等，而且这两个角都是九十度，那么剩下的这个角一定也是相等的，所以说加上最后一个角等，也就是角 d a c 等于角 f b c， 这样就可以根据角边角判定全等了。好，那么它俩全等之后就有对应边， a d 等于 b f， 那 么 a d 就 等于八了。 来第三种构造方法，就是利用垂直平分线的性质，我们照垂直平分线上的点到线段，两段的距离相等，也就是这里是 a c 等于 b c， 那 么这个三角形 c a b， 它就是一个等腰三角形了。那看一下这道题，告诉你，角 a 是 一百零五度， 这条线呢是 a c 的 垂直平分线，而且 a b 加上 b e， 它等于 bc， 那 么要我们求的是角 b 的 度数。 哎，那这道题既然要我们去求角，那我们就要得根据已知条件，尽量的去推和角相关的条件，那我们先看，哎，根据垂直平分线我们可以做什么？ 我们直接把这个 a e 连接起来，就有 a e 等于 c e， 那 么这个三角形 a c e 就是 一个等腰三角形，那么就可以利用等腰三角形的性质，等边对等角，这两个角就是相等的，那么我们可以令这两个角分别为 r 法角。好，再看 a b 加 b e 等于 bc， 而这个 bc 你 看它相当于是 b e 加 c e， 那我们用 b e 加 c e 把这个 b c 替换一下的话，你看这个等式就可以把 b e 同时消去，那就是 a b 和 c e 相等，也就是这两条线段相等， 而这条线段又和这条线段相等，那么它俩呢，也是相等的，所以这里也是一个等腰。利用等边对等角，这两个角呢，也是相等的，而你还会发现，这个角啊，它还和这两个角有点关系， 什么关系啊？哎，这个角它刚好是三角形 a、 c、 e 的 一个外角，那外角度数应该是与它不相邻的两个内角之合，所以这个角它就是二倍的二法， 那角 b 它也是二倍的阿尔法。好，那现在你看整个三角形里边角 a 是 一百零五度角， b 是 二阿尔法。 哎，这里角 c 是 阿尔法，那么相加内角和应该是一百八十度，所以说，哎，三倍的阿尔法，它应该等于七十五度，一个阿尔法就等于二十五度了， 那么我们要求的角 b 是 两个二法，也就是五十度。好，那么最后一种构造等腰三角形的方法，就是利用二倍角， 也就是当我们看到一个三角形里边一个内角是另一个内角的二倍的这样的关系，那我们就可以用这样四种思路去构造等腰三角形， 也就是分大角、背小角，内做双等腰和外做双等腰，我们一个个看，首先分大角，就是把这个大的二倍角给它拆成两个相等的小角，也就是做这个角臂的角平分线，那么这个时候这两个角都是二法， 所以现在这个三角形 b、 c、 d 里边两个角都是 alpha 是 相等的，那么它就是一个等腰三角形，那背小角就是把这个 alpha 角在旁边再给它复制一份，那整个不就是二 alpha 了吗？ 那么延长 b、 a 和这条边交于点 d 所形成的这个三角形 b、 c、 d， 这个时候就是两个角相等的等腰三角形，所以就有 b、 d 等于 cd 啦。 那内做双等腰是怎么做的呢？就直接在这个 b、 c 上面取一点 d， 使得 a、 d 等于 ab。 那 么首先三角形 a、 b、 d， 它就是一个等腰，那么等边对等角，它也是阿尔法，而这个角 哎，它又是三角形 a、 c、 d 的 外角，那么根据外角定律，它的度数应该等于这俩角之和，而这是阿尔法，这是阿尔法，那这就是阿尔法了。所以俩角相等，这个三角形 a、 c、 d， 它也是一个等腰三角形， 那么整个三角形 a、 b、 c 内部就有两个等腰三角形，这就是内坐双等腰。那什么叫外坐双等腰呢？来我们把这个 c、 b 给它延长，延长到哪呢？就使得这个延长出来的 b、 d 它等于 a、 b， 那 么连接上 a、 d 的 话，这个 a、 b、 d 它就是一个等腰三角形。那么再根据等边对等角，这两个角呢，就是相等的， 而这个二阿尔法角啊，是这个三角形的一个外角，那外角等于与它不相邻的两个内角之合，而这两个内角又相等，所以它俩分别是阿尔法。 那现在你看，不仅这个三角形是等腰三角形，而且这个角和这个角也相等，所以大三角形 a、 d、 c， 它也是一个等腰三角形，叫做外作双等腰。 那么怎么去构造等边三角形解析呢？有三种思路，一个是做平行线去得到等边三角形，一种呢，就是见到三十度或六十度的时候，我们根据截长补短的辅助线思路构造等边三角形。 那第三种就是利用一个等边三角形构造出另一个共顶点的等边三角形，从而得到手拉手全等。解题好，那么一个一个看，那第一个呢？其实就是如果你已经知道有一个等边三角形， 那么你只要做一条与这个三角形任意一边平行的线段交另外两边于两点，那么你得到一个新的三角形，它肯定也是等边三角形。为什么呢？你看它俩平行嘛，那么就有同位角相等，它俩也相等， 那这个三角形是等边，所以每个角都是六十度，它俩是六十度角， a 也是六十度，而它等于它是六十度，它等于它也是六十度，所以你看这个 a、 d、 e， 它也是每个内角都是相等的，所以它也是一个等边三角形。 那你不管做平行于等边三角形哪条边的线段，都可以得到这个等边三角形来。比如这道题告诉你三角形 abc 它是一个等边，还告诉你 e、 f 和 f、 d 相等，让你证明 a、 d 和 c、 e 相等。 哎，那么这道题你怎么做？你可以直接过等边三角形 a、 b 边上的点 d 做与 b、 c 平行的线段交 a、 c 与点 g， 那 么现在这个三角形 a、 d、 g， 它也是一个等边，那现在你看 这两个三角形全等，不就可以随便正了吗？你看啊，首先 d f 和 e f 是 相等的，而且呢，这有一组对顶角，而且你还可以再找到根据平行这个内错角相等，所以三角形 d、 f、 g 和三角形 efc 它俩是全等的，那么就有对应边 c、 e 和 d g 是 相等的，而我们要证明的是 a d 和 c e 相等，那这是一个等边啊， d g 和 a d 肯定相等，所以呢，就是 a、 d 和 c e 相等。 那如果我们在题目中看到六十度角，也要想办法构造等边三角形来解题，怎么构造呢？哎，我们知道等边三角形的第三种判定方法是有一个角是六十度角的，等腰三角形是等边三角形，所以我们可以找出两边相等就可以了。那怎么找呢？ 就是根据截长补短的方法。首先截长，就是在这个六十度角的两边当中取较长的一边，在这个长边当中取一段长啊，使得这段长等于短边，那不就有两边相等，就是一个等腰了吗？再加上六十度角， 这个三角形 c、 d、 e 就是 一个等边三角形了。那补短呢，就是把两边当中较短的这个边延长出去，使它和长边一样长，也就是 d e 等于 a d， 那 么连接上 a e 的 话，这个三角形 a， d， e 就是 等边三角形。 那比如这道题里边，我们碰到角 a， d， e 和角 abc 这俩角都是六十度，那我们就要想到截长补短，构造等边三角形，那么往哪构造呢？来我们继续看这道题啊。 说 d e 呢，它交 a、 b、 c 的 外角平分线于点 e， 也就是这个 b e， 它平分角 a、 b、 f， 要我们证明的是三角形 a、 d、 e 是 等边三角形， 哎，那我们可以知道这个三角形 a、 d、 e 也就是这个六十度所在的这个三角形，它本来就是等边三角形，只是代证明， 所以我们可以试着根据这个六十度角来截长补短，构造等边三角形。好，那么这个六十度角的两边 b、 d 是 短边， ab 是 长边，那如果使用截长的思路，我们可以在这个 ab 上面取出这么一段 b、 g， 哎，使得这个 b、 g 和 b、 d 相等，那么连接上 d、 g 的 话，哎，这就是一个等边三角形，那么 b、 d 和 d、 e 也是相等的。那如果我们能够证明这两条线段所在的两个三角形全等，也就是三角形 a、 d、 e 和三角形 e、 d、 b 全等， 那么我们就可以得到对应边相等， a、 d 和 d、 e 相等，那两条边相等和这个角是六十度，这个三角形不就是等边三角形了吗？同学们可以自己去证明一下。好，那么最后咱们回顾一下手拉手模型，咱们学过了，只要满足等线段共顶点和等 顶角，那么就可以进行手拉手，从而得到全等以及拉手线相等。举例来说，如果两个三角形它都是等边三角形，那么就由 a、 b 和 a、 c 相等， a、 d 和 a、 e 也相等，那它俩这样拼在一块就有共顶点点 a， 而这个角是六十度，这个角也是六十度，就有等顶角，那么就满足了手拉手模型的条件。我一般管这组较短的等线段叫做小手，管这组较长的等线段叫做大手，那么左手和左手拉起来，右手和右手拉起来， 手拉手模型就构造完成了，那现在就有这两个三角形是全等的，因为这是一组等线段，这也是一组等线段，所以这两个三角形里边已经有两组边等了，再加上啊，这是六十度，这也是六十度。所以你把这个中间的角再加上的话， 这整个角和这整个角也是相等的，那么就有边角边，边角边全等， 全等之后呢，就有对应边相等，那么这个拉手线 b、 d 和 c、 e 也是相等的。那如果两个三角形是这样相接的，有重合部分，那也是一样的，连接上左手和右手，可得这两个三角形全等，从而对应边相等，拉手线也相等。 那么如果两个等边三角形相接，并且有 a、 c、 e 三点共线，那就更加特殊一点了。这个时候除了一些基本的结论之外，还会有一些更多的结论。那我们先来看一下， 首先三角形 a、 c、 d 和三角形 b、 c、 e 全等还是有的，因为这个线段相等，这个线段也相等，还有这是六十度，这也是六十度，加上中间这个角的话，这个大角也是相等的，所以边角边它俩全等， 全等之后，拉手线相等。前两个结论我们已经非常熟悉了，那我们再看一下第三个结论，角 a、 o、 b， 哎，也就是这个两个拉手线之间的夹角，他说是六十度， 那怎么来的呢？来我们看这里呢，有一个八字模型，那这两个三角形里边有对顶角相等，而且根据我们的第一个全等，这个角和这个角属于是对应角，应该是相等的， 那么剩下的这个角和这个角也应该是相等的，而这个角呢，它又是等边三角形的一个内角，为六十度，所以它也是六十度。 所以说拉手线之间的夹角，它就是等顶角的度数为六十度。那如果现在是两个等腰直角三角形拼接的话，那么这两个拉手线的夹角就是 九十度，因为等顶角是九十度。那接着看第四个结论，三角形 a、 c、 p 和三角形 b、 c、 q 全等，那证明一下。首先我们根据这个第一个全等，刚才说了，这两个角是对应角，是相等的， 而且呢，这两个三角形还有一个蓝边是等线段也是相等的。那我们再看，哎，这是六十度，这是不是也是六十度啊？ 所以现在你看这个三角形 a、 c、 p 里面角边角，这里边角、边角得它俩是全等的。 那全等之后就有第五条结论， a、 p 和 b、 q 相等，也就是这条线段和这条线段是 相等的。来继续第六条结论，说三角形 c、 d、 p 和三角形 c、 e、 q 是 全等的，那怎么证明呢？和刚才是类似的证明思路。首先你会看到这两个三角形里边的这一组角是什么角呢？ 哎，就是第一个全等里边的对应角应该是相等的。那还有就是这个红边 c、 d 和 c、 e 属于是小手等线段，所以它俩是相等的。 那再有就是这是六十度，这也是六十度，所以根据角边角角边角可得全等，那全等之后就有 p、 d 等于 q、 e， 也就是这组对应边是相等的。好，那我们再看第八条，说三角形 p、 q、 c， 也就是这个三角形，它是一个等边三角形，那这个结论它就又和第六条结论有关系了。由于这个三角形和这个三角形是全等的， 那么就有这组对应边，它也是相等的。那么这个三角形当中有两条边是相等的，是一个等腰，而且这个角它又是六十度， 所以这个三角形它就是一个等边三角形啦。好，那继续第九条说 p q 和这个 a、 e 是 平行的，那我们看这是一个等边吧，所以这个角它就是六十度吧，而这个角呢，它也是六十度吧，因为它是一个等边三角形的内角， 而它俩属于是什么角内错角相等，所以 p q 平行于 a、 e 得正好。那最后一个结论就是 c o 平分角 a o、 e。 好， 那我们看一下怎么证明这个 c o 是 角 a、 o、 e 的 角平分线呢？ 回想一下角平分线的判定，也就是到这个角的两边的距离相等的，这个点就在这个角的角平分线上， 那就要画辅助线了，过这个点 c 往这条边上做垂线，再往这条边上做垂线，垂足分别为 m 和 n， 那 么只要这个距离相等，这个点 c 就 在角平分线上了。 那么怎么证明呢？那你看这两条线段，你会发现它俩分别是三角形 a、 c、 d 和三角形 b、 c、 e 为底边的两条高， 而这两个三角形我们已经证明了它俩是全等的。那么根据全等三角形对应边上的高相等，我们可得这两条线段就是相等的，那么点 c 就 在角 a、 o、 e 的 角平分线上了， 所以说连接上点 o 和点 c， c o 就是 角平分线，那这十个结论就都证明完成了，同学们可以自己去再去理一理， 那最后我们再练一下这道题，那么像这道题一样，只给你一个等边三角形，没有给出你完整的手拉手模型结构，这个时候你也要能够构造出和这个等边共顶点的等边三角形，从而得到手拉手全等来解题。那我们看一下 这道题，说三角形 a、 b、 c， 它是等边三角形，而角 a、 b、 p， 这是六十度，要证明 pa， 它等于 pa 加 pc。 好， 那怎么构造另一个等边？哎，看到六十度角了，那么就可以截长补短构造等边了。那截长的话，就是在这个长边 a、 p 上面 截取一段，使得这一段等于短边 p、 b， 那 么再连接上 b、 d 这个三角形 p、 b、 d 就是 等边三角形。 那么现在这个 p、 b 和 b、 d， 它是一组小手等线段，而 b、 c 和 ab 是 一组大手等线段，它们有公共的顶点点 b， 那 这个角是六十度，这个角也是六十度，是一组等顶角，符合手拉手模型，那么就有三角形 a、 b、 d 和三角形 c、 b、 p， 它俩是全等的。 好，全等之后就由 a、 d 和 c、 p 相等，那现在其实就已经证明完成了 pa， 它是由 a、 d 和 p d 组成的，那这里边 a、 d 和 p c 相等，而且这个 p、 d 和 p b 它俩也相等，所以可不就相等了吗？ 好，同学们，以上就是我们第三章轴对称的全部内容，内容很多，题也很多，一定要自己再去整理一下，那最后别忘了关注小七老师，带你一起学数学！

初二期末必考的压轴题一定有轴对称将军印马题型，我们一起来看下这道题。三角形 abc 的 面积是九角， a 等于三十度， bc 等于三， d、 e、 f 三个点分别是三边上的动点。求三角形 d、 e、 f 周长最小。这道题难度非常的大，韩老师带你用两个步骤彻底学会通解方法， 配合我整理的将军印码十二大模型，包含了作图方法以及解析思路，给孩子练习，轻松搞定压轴题。我们一起来看下这道题求周长 最小，就是求小 a 加小 b 加小 c 三条线段和最短问题。而现在三条线段构成的是一个三角形， 首尾相连，那假设这是 a， 这是 b， 这是 c， 那 这个时候我们一定要想到的是通过轴对称来改变线段的位置，使得这三条线段放在同一直线方向上，那假设我通过轴对称把该 a 对 称到这个地方，我通过轴对称把 c 对 称到这个地方，那小 a 加小 b 加小 c， 其实就是两点之间线段最短，那这里就是将军印马模型的两个核心解体步骤。第一步我们去做对称，但是我们又会发现 e、 f、 d 都为动点， 到底去做哪个点的对称点呢？这里你可以假设其中一个点为定点，那我这里如果假设一点为一个定点，那我就应该是做的一点的对称点，那做一点关于 a、 c 的 对称点为 e 一， 做一点关于 a、 b 的 对称点为 e 二， 连接 e 一 和 f。 小 a 由于对称到上方，连接 e 二和 d， 小 c 由于对称到下方，那么 a、 b、 c 三条线段和最短就被转化到了这样的方向上，由于 f 和 d 都未动点，那 什么时候它最短呢？那就是咱们的第二步，两点之间线段最短，连接一一二，真正的 f 在 这，真正的 d 是 在这个位置的，那现在我们的周长和最短其实也就改变了咱们的位置。那么此时小 a 对称小 c 对 称小 b a b c 就是 两点之间线段最短，那这个地方我们相当于把一点先假设它固定在这，找到了它周长最小值 e 一 e 二这样一条线段，那我们怎么样去求这个最小值呢？发现题目给了三十度还没有用，那我依然用对称的性质来去求解。这个时候我将 a e 二、 a e 和 a e 一 都连起来， 会发现由于对称 a e 是 等于 a e 二的，由于对称 a e 是 等于 a e 一 的，而这个角是 r 法角，对称上去 r 法这个角是贝塔角，对称下来贝塔角， 那整个大角，发现其实就是两个 r 法加两个贝塔，其中一个 r 法加一个贝塔是三十度，那大角就是六十度。而我就会发现三角形 a e 一、 e 二其实是一个等边三角形。 那对于求 e 一 e 二的长度，那不妨就是求 a e 一 或者 a e 二的长度，因为它们等边三角形的三边是相等的，那我要求它最小，就是求腰最短， 那等边三角形的顶角固定腰什么时候最短呢？来我们再来观察一下，当一个等边三角形的顶角固定为六十度，那你会发现腰越短 底越短，那腰什么时候越短呢？发现腰长又等于中间的这条 a e a 点是一个定点， e 点在 b c 上动， 那这里我们只需要过点做 b c 的 垂线，用垂线段最短即可解决问题。 那所以我们真正的 e 点就找到了，那接下来我再通过这个 e 点去做对称，就可以找到 d 点和 f 点，那现在我们要计算 e 这条垂线段的值啊。 题目中给了面积，给了底边是三，那我就可以用面积 s 三角形等于二分之一的 b c 去乘 a e 这条边那九就等于二分之一乘三乘 a e， 所以 a e 就 等于六。那么咱们的 e 一 e 二的值也为六，所以周长的最小值即为六，你听懂了吗？

八年级数学上册数学作业本八十七页纸数学作业本八十七页纸上的第三题如图，角 a、 b、 c。 等于角 a、 c、 b。 啊，这两个角相等。角 a、 b、 c。 角 a、 c、 b、 d。 平分角 a、 b、 c。 角 a、 b、 c。 就是 角 a、 b、 c、 c。 角 a、 c、 b。 就是 角 a、 c、 c。 角 b、 c。 相等啊， 还有角 d、 b、 f。 等于角 f。 角 d、 b、 f。 等于角 f。 求证 c、 e。 平分 d、 f。 好， 这里的证明呢，我们现在就学着模仿着写好这题目呢，他已经帮我们去正好了的，那我们就只填写理由就可以了。 好，那么这里的题目呢？刚才在这啊，因为 b、 d、 e。 平分角 a、 b、 c， e、 b、 d、 p。 所以 这两个角相等。这两个角相等呢，我们通常有五种写法 啊，第一种，角 a、 b、 d。 等于角 d、 b、 c。 第二种，角 a、 b、 d。 等于二分之一角 a、 b、 c。 第三种，角 d、 b、 c。 等于二分之一角 a、 b、 c。 第四种，角 a、 b、 c。 等于二角 a、 b、 d。 第五种，角 a、 b、 c。 等于二角 d、 b、 c。 所以在这五种写法当中，你到底该写哪一种呢？所以我们平时要多练习了。因为 b、 d。 平分角 a、 b、 c、 c、 e。 平分角 a、 c、 b。 所以 题目上说角 d、 b、 c。 那 就等于二分之一角 abc， 二分之一角 abc 啊啊，这里题目它我们班消耗了角 e、 c、 b。 这个角就等于二分之一角 a、 c、 b。 用三个字母来写，那么这个呢，我们叫角平分线定义角平分线定义 角平分线呢？根据它的定义，我刚才说了有五种写法啊，但是到底有哪一种？我们要根据题目的前后连贯起来说好。因为角 a、 b、 c。 等于角 a、 c、 b。 这个大角等于这大角，刚才呢，这个角， 这个角啊，等于整个角的一半，这个角呢，等于这个整个角的一半。下面因为这两个角相等，所以那么他的一半也就相等了，所以这样呢，我们就刚才的这个角叫做 d、 b、 c 等角 d， b、 c 等于角 e、 c、 b。 啊，刚才上面的这个角 d、 b、 c 等于角 e、 c、 b。 那 么这里我们是先怎么呢？呃，因为角 a、 b、 c 等于角 a、 c、 b， 所以 根据等式的性质，二分之一角 a、 b、 c 等于二分之一角 a、 c、 b。 然后呢，再等量再换啊，当然有的步骤它省略了一些。好，现在我们说哪里来了呢？我们现在说的是 那个这两个角相等。来了。好，现在已知里面有一个角的角 d、 b、 f 等于角 f， 角 d、 b、 f 等于角。要已知里面说这两个角相等，所以我们把它抄一遍。已知 好，刚才说这两个角相等，现在这个角等于它，所以这两个角相等，所以角 e、 c、 b 等于角 f， 所以角 e、 c、 b 等于角 f。 好， 角 f。 这地方写一个字母就可以了，角 e、 c、 b。 必须写三个字母，你写角 b、 c、 e 也没关系啊，那么这个呢，是相等的量呢？咱们代换。 呃，就是代数里面的，如果 a 等于 b， b 等于 c， 那 么 a 等于 c。 等式的传递性在几何里，角等量。代换 好，这两个角相等的话，那么这两直线就平行。角同位角相等，同位角相等， 两直线平行啊，有，这里手写的不一定那么好。好，这些啊，要慢慢的模仿，包括他的每一个符号都要学会写清楚。好，我们看到第四题 第四，如图， a、 b、 c、 d 被直线 e、 f 所截， a， b、 c、 d 被 e、 f 所截， h 呢为 c、 d 如 e、 f 的 这个焦点。呃， g h 垂直于 c、 d， 然后呢，垂直是 h 加二，这个是三十度加一，这是六十度。求这两直线平行。 当每个人的做法呢，是各式各样的啊。呃，大家也不一定非得照我的去做，但是呢，嗯，可以多模仿。我写的好，咱们差一个已知， 因为 g h 垂直于 c、 d， 所以 角 g h、 d 等于九十度，这个呢，我们叫垂直的定义 啊，两条直线垂直有所构成的四个角的呢，有一角是九十度，那我们就称为是两条直线是垂直的啊，垂直关系，两条直线相交，有一个角是九十度，我们就称为它们垂直关系啊，这个角九十度，嗯，现在我们看到这里， 因为角一等于六十度，角二等于三十度，嗯，现在我们看到这里，因为角一也抄出来了，角一不抄也可以， 对吧？那如果我就差角二等于六十度，三十度，所以这个角，所以角 d、 h、 e 就 等于一百八十度。减去角 g h、 d 减去角二等于一百八十度。减九十度，减三十度，等于一百八十，减九十，减三等于六十度， 那么这个呢，我们叫做一平角等于一百八十度， 就是这里整个的 e、 h、 f 啊，在一条直线上，所以角 e、 h、 f 等于一百八十度，是一个平角，那么平角一百八，这个是三十，这九十，这就是六十。好，角一等于六十， 所以刚才我说这里可以不愁啊，所以角 d、 h、 e 就 等于角一，当然你等于六十度，连起来写这个，你不写也没关系啊，写出来也行，不写也可以。 那么这样呢？呃，这一步理由我们称为叫做等量代换。哎，它们都是六十度嘛。 啊，所以我们就让他说它们相等。好，这两个角相等呢，那我们就可以得到这个 a b 平行于 c d， 我 们说叫同位角相等，两直线平行。 呃，这里的证明呢，都是比较容易的证明啊。后面呢，我们还有非常复杂的，你必须从简单的开始，一定要一步一步的慢慢的去学，模仿练熟。记得点赞关注哦。

刷到我，那就说明你的数学期末成绩要走上坡路了。本期视频汇总了全国八上期末考卷的高频考点，多学一道，多长五分。 好，首先我们来看第一题，那么下列长度的三条线段，能够组成三角形的是哪个？我们知道，三角形需要满足三边关系，也就是任意两边之隔加起来要大于第三边，对吧？哎，不行，二加二呢？等于第三边也不行， 三加四呢？他索性小于第三边也不行，唯独你发现 c 选项，你把最小的两条边加起来，他大于第三条边，所以这个题能够组成三角形，选 c。 好， 接下来我们再来看一下第二题，那么给出的交通标志中是轴对称图形的是哪个？也是他会关于某一条对称轴，某一条直线，对吧？嗯，来进行对称。很明显啊，我们满足题的也就是 a 了， a 是 一个轴对称图形，所以简单我们就过得稍微快一点点，好吧。嗯，好，下来。图形中具有稳定性的，我们知道啊，具有稳定性的图形也就是我们的三角形了，所以你在里面找三角形，你别管直角、锐角、钝角， 只要你是个三角形，咱们都具有稳定性。好，我们再看第四题啊，如果一个三角形的三个内角的度数比是二比三，那么它是一个什么三角形？那么其实很简单， 我们就大胆引入未知数，你这三个角分别是二 x、 三 x 和四 x 度，可以吧，我们知道三角形内角和一百八十度，所以你把这三个角加起来呢，它一定是一百八 二十度，那所以最终你会发现，二加三加四，也就是九哦，九 x 等于一百八十度，对吧？所以我们知道每一个 x 呢。嗯，因此我们知道，那每个角分别是多少？二 x， x 是 二十吗？那二 x 就是 四十度了， 三倍，也就是六十度了，四乘以二十八十度了，所以你会发现它是一个锐角三角形，因此我们选 b。 搞定 好，我们再看第五题，他说在我们下列四个式子里面是分式的，是哪一个？什么是分式呢？ 就是当我的分母含有字母，对吧？像这样含有字母的，含有字母的，你别管含有几个，以什么样的形式，只要我含有字母。哦，他就是分式了，对吧？那像你这种含有数字的呀，你分母是数派，也是个数啊， 对吧？只不过我用一个，不是我们这种常见呃，这个数字的形式呈现出来，所以你看，满足分式的只有两个。因此，这个题呢，我们选 b。 好， 我们再来看第六题啊。第六题，这个题考察我们分式的性质，如果给出一个分式，我把里面的 x， y 都扩大二倍，那么分式的值怎么样？你不要觉得像这种题永远是不变，有些题目是扩大，有些题目它会缩小的啊。 比方说 x， y 都扩大二倍，那你就把这里面的每个 x 变成二 x， 你 把每个 y 变成二 y 就 可以了。所以整个式子二 x， 那 x 变成二 x 嘛，所以你上面就是多少呢？二乘以二 x， 对 吧？好，下面呢， x 变成二 x， 对吧？ y 变成二 y， 所以 就等于这么多，因此它等于多少？等于四倍的 x 除以下面二倍的 x 加上 y 吗？上下同时除以二，二 x 比上 x 加 y。 所以 你有个观点呢，这个式子跟我们最终结果呢，完全一样，所以我们知道分式的值，它是不变的。好，就这么简单。 好，接下来我们看第七题。嗯，你看前面都比较简单啊，那屁点是角平分线啊，上的一个点，我们知道角平分线的性质就是角平分线上点到角，两段距离相等，好过屁点呢？已经做垂线啊，垂足是我们的 d 点。 好，我告诉你，屁的是二的，那请问屁到 o a 的 距离，屁到 o a 的 距离，你肯定过屁点做垂线，对吧？你是二， 所以我们知道这个边呢，一定也是二，所以这个题选 b。 嗯，过了。好，我们再看第。嗯，第八个题啊， 第八个题呢，也就告诉你 m 点关于 x 轴对称点的坐标，考察我们的轴对称了。其实关于 x 轴对称，他是有一个口诀的，但如果你说这样的，我不记得，没关系，我们直接去画草图就可以了。 嗯，就像这个样子，对吧？这就是我们的 x 轴。三，二大概在哪？三，二大概在这里，是吧？横坐标三，纵坐标二嘛，它关于 x 轴对称，关于 x 轴对称的， 那比方 a、 b、 c、 d 啊，放个屁吧，看到没有？两个放个红色的屁，臭死，那听一半就逃跑了。各位同学，横坐标依然是三纵坐标呢，你这两个单位，所以这也是两个单位对称吧， 对吧？往下走两个单位，那不就负二吗？所以坐标是三负二，大家不需要去背啊。什么关于 x 轴对称， y 轴对称，圆点对称，横纵坐标怎么变？嗯，你能记住当然更好，如果记不住，就像那样这样画图。好，我们再来看一下立九。 好，现在我告诉你啊，给出一个等腰三角形，他两边长分别是四和七，请问周长是多少？这个题我觉得考的比较友好啊，如果是我，我肯定不会这么考，是吧？好，等腰三角形，那请问谁是底边？谁是腰，你知道吗？你不知道，那么在不知道的情况下，在你说的不明不白的情况下， 咱们首先需要做的就是分类讨论，你忽略我们这个图形线段的长短啊，就是你四和七，我可以四是幺，七是底边，我也可以是七是幺，四是底边，没有问题吧？ 那因为你是等腰三角形，这两个边相等，所以这个是四。因为你是等腰三角形，两腰相等，所以我是七， 所以你会发现，那等腰三角形有两种情况啊，但是你要注意啊，你需要考虑这两种情况能不能组成三角形，也就是他是否满足我们的三边关系。你把最短的两个边加起来，他大于第三边吗？哦，大于， 所以这个三角形满足题啊，四加四等于八，再加七呢，所以我们知道有一个周长是十五的，对吧？还有没有？有，那，那这个就不用说了，那你把这最小的两个边加起来，一定大于第三边，对吧？ 嗯，他也满足七加七等于十四，再加四呢，十八，所以我们的周长呢，是十五或者十八厘米，因此选 d 很多题目可能会需要你分类讨论，但是讨论完毕之后，需要你舍弃掉其中的某一种情况啊，来最终写出我们最终的正确答案啊。 好，这是我们的例九，我们再看例十，这个题就不用说了，考的叫做手拉手摸型。好，首先我给出两个三角形，它们都是等腰的啊，告诉你， o a 等于 o b o， 也就是红边呢？等于红边， 红边等于红边。嗯，好。然后我还告诉你，怎么样的 o c 等于 o d， 也就是我们这个子边呢？等于我们的子边。 好，两条子边相等，嗯，并且我告诉你还有什么？还有顶角 o， 也就是我们角 a o b 等于 c o d， 三十六度，就是我们这个角，对吧？ 等于这个角，那每个小角等于多少度呢？它都等于三十六度，也是三十六度，也是三十六度，量写的小一点，各位同学能看到吗？ 好，我告诉你啊，如果你给出两个等腰三角形，这两个等腰三角形，如果顶角相等，并且它的顶点是公共的，就像两个人手拉着手一样，那么像这种图形，我们就把它叫做手拉手模型。 接下来我们直接来证明这道题。好，那么现在有一二三四四个结论，请问正确的个数有几个？好？比方我把这个角标做 a 二角，可不可以 这个角我把它标做 a 二八角。好，那么此时你会发现在我们这个三角形中能看到吗？我们有红边，有紫边，加角是三十六度，加上 a 二八。 与此同时你会发现哦，在这个三角形中，我们有红边，有紫边，加角是三十六九，三十六度，加上 a 二八，对吧？所以我们知道这个三角形，它一定全等于这个三角形， 大家都有红边，都有紫边，我们加角都是 ar， 加上三十六度，所以我们写出来啊，我们可以正出的第一个结论，三角形 oac， 也就是这个三角形 oac， 对 吗？全等于谁呢？全等于三角形 obd， 就是 全等于三角形 obd 的，是这样的吧。 好，那你想想，那我们正中全等之后，那然后干嘛全等三角形正出来？好玩的？不是咱们正全等是为了进行边呐角啊条件的转换。那我想问一下，那请问这个三角形它的长长边，比方我把它标成一条蓝边吧，好不好？请问这个三角形的蓝边， 你告诉我和这个三角形的蓝边相等吗？肯定就相等了，对吧？所以我们知道那 a c 等于 b d， 嗯，我们可以挣出来，这也是我们手拉手模型的第一个结论。好，然后第二个结论是什么呢？就是由手拉手， 嗯，所产生的全等三角形对应边的夹角怎么样呢？一定是固定的，就是你蓝边与蓝边的这个夹角呢？一定等于等腰三角形的顶角三十六度，这个怎么挣的？ 也就是这个结论，对吧？好，证明其实非常简单，首先你只需要去找到我们全等的对应角就可以了，比方说这个三角形扣黑，我把这个角标做黑黑角 啊，就这个角是黑色的角。好，那么他一定跟这个三角形中他黑色的角一定是对应相等的，没问题吧？ 好，那接下来你会发现你再找一组什么呢？对，顶角，比方说你会发现喽，这个角能看到不喽？跟我们这个角 他也是对应相等的吗？接下来啊，就简单了，你会发现，那各位同学们，在这个三角形和这个三角形中，我们的黑角等于黑角，我们的对角等于对角，是吧？三角形内角和一百八十度吗？我有两种内角对应相等，你说第三种内角相不相等， 也就是我这个角和你这个角相等吗？百分百相等是吧？你是三十六度，因此我们可以推出来，剩下的我们这个角呢，一定也等于三十六度搞定。所以呢个方我们的第一个结论，对吧？ a m b 三十六度，它是正确的。好，接下来就是手拉手模型的第二个结论啊。 好，接下来我们看看第三个结论，就是一定会产生我们所谓的角平分线。嗯，到底 o m 是 角平分线还是 m o 是 角平分线呢？其实我告诉你啊，他的结论是什么呢？就是连接我们手拉手模型 第三边的焦点，就这两条蓝边的焦点，然后连接我们的公共顶点并延长，他一定是条角平分线。 m o 它是角平分线吗？角平分线是一条射线，对吧？所以它平分哪个角一定是平分这个角的，明白没有？也就是 m o， 它是角平分线四是对的。好，那问题来了，就是你这个角一定等于这个角，对吧？啊？它把整个角平分了，平什么呢？接下来我们怎么正呢？好，其实正的时候 非常简单，我们只需要用到什么，只需要用到全等三角形简单的性质就可以了。我们知道全等三角形，它的对应边相等，对应角相等，对吧？但与此同时，我想问大家一个问题啊，请问全等三角形 对应边上的高相不相等，什么意思呢？比方说，你看在这个三角形中好不好？我把这个蓝色的 a c 当做底边，我过 o 点直接做垂线，大家告诉请问， 哎，这个线我就把它标成虚线吧，可不可以比方说来，放个屁，可以吧。呃，亮，有机会放屁一般都不会错过啊，放个乌漆嘛黑的屁。 好，那接下来你会发现呢，那这个 o p 是 这个三角形的高，对吧？好，接下来我们再看这个三角形，我把蓝色的 b d 当做底边啊，一样的，我过 o 点直接做垂线。 哎呦，你这个垂线差不多也就是长，我怎么感觉这个图形好像不是极其特别的标准呢？好，管不了那么多啊，就像这个样子啊，好，就像这样做垂线吧。啊，就来个 q 点歪就歪一点点，没事。 你想讲啊，你这个边是我们这个三角形的高吗？而你这个边呢，是我们这个三角形的高，对吧？啊，那我们知道 全等三角形对边上的高相等，也就是 o p 一定等于 o q， 是 不是？好，那现在我想问一下，喏，我们给出一个大大大大的角，给出一个大大大大的角，对吧？ o 点是角里面一点过一个点向角两端做垂线，你会发现到角两端距离相等， 所以我们一定就是角平分线，理解了吧，因此 m o 呢，平分整个角 a m d， 把整个角平分了，所以我们这里面四是正确的。嗯，三就不对了，对吧？ o m 平分角 a o d， 呃，不对不对啊，丰满就不强行，没有任何道理，所以正确的也就是有三个，我们选 b 过了。好，这是我们目前为止我个人觉得唯一一道有难度的题目了。好，这是我们目前为止我个人觉得唯一一道有难度的题目了。好，接下来再来看一下我们填空题啊， 第十一题，好，给出一个直角三角形，那我就画出来啊，一个直角三角形，咱们尝试把它画一下，就像这个样子，嗯，长一点点吧，哎，你也不用这么长。 好，就像这样，对吧？哎，这样，直角三角形，我告诉你，角 c 等于九十度，直角顶点就是 c 点角 a 等于三十度啊，那我们知道这个角是三十度，对吧？好， ab 等于四，问什么？问 bc， 我们知道三十度数对直角边一定是斜边的一半，是吧？ bc 等于二。搞定啊，简单，我们就过得稍微快一点点。我们再来看第十二题， 这里考的是什么呢？脑筋急转弯，谁的零次方等于一啊？我们知道 a 的 零次方等于，但是有个前提条件就是这里面底数 a 一定不能为零，是这样的吧，只要你不为零就可以了，也就是当 x 不 等于四的时候，整个底数不为零，那么他就一定等一了。 好，我们看第十三题，让我们英式分解啊，英式分解就是我们能提供音式的，尽量提供音式这个东西，我们提个二吧，你提个二之后呢，就会变成 x 的 平方减一嘛， 减一你就会写成减一的平方，那 x 方减一的平方，平方减平方，这个是我们常见的用平方差公式，对吧？所以二倍的 x 加上一乘以怎么样？ x 减一，好，我们就分解完毕了。 好，那么第十四题考的就是我们。嗯，多边形的内角和公式了啊，我告诉你，多边形内角和等于九百度，那么请问他是几边形？那我们知道一个 n 边形，他的内角和是 n 减二乘一百八十度吗？ 是这样的吧，我们令他直接等于你这个九百度，所以我们知道 n 减二等于几等于五，对吧？五乘一百八等于九百八。 嗯，那 n 减二等于五，所以 n 等于几，我们最终解出来 n 等于七，嗯，所以我们知道它是一个七边形。搞定啊，大家需要。呃，熟悉的知道我们这个多边形的内角和呀，对角线呀，哎，公式，好，接下来我们继续往后再来看第十五题。 那么其实这个题考的是我们等腰三角形的某一个性质啊。首先我们给出一个三角形角 b 等于二十度。好，那我把它标出来。嗯，你只要给出角，我们都把它标出来，就这个角呢？尖尖的角多少度？二十度啊，我写字可不可以里面太拥挤了。 好，而且我告诉你它是个啥，它是个等腰三角形，说白了，咱们白说了，也就是我们这条边啊，就这两个边是相等的。 那你说我可不可以把每个底角求出来，一定可以，是吧？好，咱们求下内角和一百八十度嘛，一百八减二十，再除以二，说，每个底角我们求出来都是八十度，是不是？哎，每个角都是八十度。 好，接下来我们干嘛呢？我们开始延长构造了，延长 a a 一 到 a 二啊，把 a 延长到我们 a 二干嘛呢？使得 a 一 a 二等于 a c a 一 a 二等于 a c， 说白了就是咱们要构造一个等腰三角形，对吧？嗯，好，然后再干嘛呢？再延长，使得这个边等于这个边又是一个等腰三角形，再延长，使得这个边等于这个边又是一个等，说白了就是不断的构造躺着的等腰三角形。请问 第 n 个等腰三角形底角的度数是多少？这题顾名思义肯定是让我们去怎么样呢？去找规律了，对吧？你不找规律，你真的一个一个去求解， 那晚上不用睡觉了？好，那问题呢，规律是什么呢？也是你这么想啊，只要你不知道怎么找规律，你通通这么想。第一个好不好？第一个等腰三角形，他的底角多少度？八十度没问题吧？ 好，那我想问一下，那请问第二个呢？第二个等腰三角形，底角多少度？可不可以求？可以，为什么呢？你换等腰三角形，这个角一定等于这个角吗？是吧？ 嗯，两角相等，而我们这个八十度呢，是整个三角形的外角，所以等于这两个角的度数之和嘛。你两个相等的角加起来等于八十度，所每个角呢，一定是四十度，是这样的吧？哦，也就是我们第二个等腰三角形，他的底角是四十度， 还有没有？有第三个，第三个，大家可以告诉我吗？一样的吗？就这个角，你想想两个相等的角，两个等角加起来等于你，所以你靠着这个角，你就构造等于三角形，直接取一半就好了，是吧？二十度，对吧？哎，你又取一半，所以我们知道第三个呢， 也就是二十度。好，第四个呢，是不一定是十度，第五个呢？ 是不就是五度？二点五度再除以二，对吧？所以你有办法反复的除以二，除以二，除以二是不就可以了？没问题吧？好，那问题来，我们除多少个二呢？你发现从这里，哎，你就直接这么写吧，这个四十度，他其实就是 八十度除以二得到的，没问题吧？可以写成二分之八十。好，你这个二十度呢，是除以二，再除以二，你除了两个二，对吧？也就是八十度，你除了两个二，也就是二的平方。 好，从八十度除以二，除以二，除以二，你不是连续除了三个二，也就是除以二的三次方 啊，现在大家看出来没有？如果你没看出来，这里面呢？我把它写成二的一次方。好，大家仔细观察一下，你会发现，喏，第二个是二的一次方，第三个是二的二次方，第四个是二的三次方。那请问第 n 个呢？ 哎，你会发现我们这个次数比个数小于，对吧？你是三，我就是二，你是二，我就是一，你是四，我就是三，那第 n 个呢？你是 n， 那 我就是 二的 n， 减一次方，分之八十度，对吧？哎，这个就是我们最终的答。搞定好，接下来我们再看后面的解答题啊。解答题，首先我们看第十七题，好不好？这个属于我们密的运算了。 好，首先这个东西呢，就是我们在进行基的运算的时候，你要把这个负一，也得三次方，对吧？所以我们算出来是 负的 a 的 二次方，在三次方呢，底数不变，把这两个指数相乘，二乘以三，也就是六，我们再加上那负 a 的 三次方，平方，首先你前面这个负一呢，平方就是正的啊，正的我们就不用管它这个东西平方呢，把我们的指数相乘，就是加上 a 的 六次方就可以了，我们再加上，那这个 i 不 用加了，减，对吧？那同底数密相称，底数不变，指数相加，所以减去 a 的 六次方。好，我们再加上。喏，那这个东西二次方，首先你把它进二次方，也就是四了 a 的 三次方，再平方呢？也就是 a 的 六次方，对吧？好，减去那同底数密的除法，那这个还不止是同底数密啊。首先我前面这个二除以你前面的一，也就是二倍的 a 的 九次方，除以 a 的 三次方，等于 a 的 九减三码， 底数不变，指数相减，所以是六次方。这么多，那最终我们求出来等于多少呢？哎，这个减呢，减一半，全都是 a 的 六次方，咔嚓没了，然后四倍的减去两个，再减一个，剩下一个，对吧？也就刚好等于 a 的 六次方。搞定。 好，这是我们今天第十六题，我们再来看第十七题。啊，第十七题其实就是把我们的轴对称跟我们这个坐标系简单结合一下，仅此而已。好，他这么描述的。嗯， 他说在我们这个平面直角坐标系里面啊，这个三个顶点的坐标呢，分别是 a 点， b 点， c 点。呃，好，我们把它标出来吧，也就是 a 点的坐标呢，是负三二，其实你不告诉我们，我们自己也可以找出来，对吧？ b 点坐标呢是负四负三， c 点坐标呢是多少？ 负一负一啊，负一负一，在这里面。好，画出这个三角形，关于外周的对称后的三角形， a 一 b 一 三一。好，我们对称一下，首先你把这个点关于外周对称过去，是吧？那不就在这里吗？好，这是我们的 a 一 了，你把这个点关于外周对称一下，所以我们知道。嗯，大概在哪？你距离四个单位吗？ 我们也距离四个单位，所以呢？啊， b 在 这里。好，这个 c 点呢？你对称过去大概在哪？大概在这个位置，对吧？这是我们的 c， 是 不是？好，这是我们对称后的三角形，我们就把它给画出来了。你说你这个第二位是真的有点 瞧不起我们了，干嘛让我们求坐标，哼，这是不是有点过于简单了？我们还需要去看吗？横坐标三，纵坐标二吗？ 横坐标是纵坐标几？一二三，对吧？哎，负三，你的横坐标是 c， 横坐标是一，纵坐标呢？纵坐标往下走一个单位一吗？ 对吧？哎，所以纵坐标是负一。好，这个就是我们所表示的 abc 三个点的坐标。好，我们接下来继续往后啦。嗯，再来看一下我们今天的第十八题， 其实我们前面这些题，我个人觉得难度都不大啊，比方说，现在我告诉你啊， a d b c 交于 o 点， a d 呢？ b c 呢？交于 o 点 好，告诉你， o a 等于 o d， 就是 这个边等于这个边的好。还有 ab 平行 c 里，其实在我们整个平面几何图形里面，平行线往往告诉你什么呢？告诉你等角对吧？两直线平行内错角相等吧， 所以相对告诉你，角又等于角地，那还有没有其他条件有，对，平角相等，是不是这个角一定等于这个角？所以你说我可不可以正出剩下两个三角形全等，一定可以吗？你会发现，那在我们 这个三角形中，对吧？咱们有紫边、绿边加角是红边，同样的，在这个三角形中有紫边、绿边加角是红边，所以这两个三角形一定全等角，边角 全等，三角形对边向呢，所以你的 ab 自然等于 c、 d， 过程量就不再说了啊，我们就要以思路为主。好，再来看下我们今天第十九题 好，干嘛呢？让我们先化简再求式，那我们就化解一下啊，我就不再写解，我直接在原式上面进行化解。 首先 a 加 b， a 减 b， 那 用平方差公式我们可以得到，也就是怎么样呢？是 a 方减去 b 方的。好，我们再加上这个朋友，我们展开多少，有了 a 方加上二 a b， 对 吧？我们再加上 b 的 平方，好，我们再怎么样？后面有一个减去二 a 的 平方的， 所以最终我们求出来， a 方加 a 方减二， a 方咔嚓没了，对吧？哎，刚好没了，好，减 b 方加 b 方又咔嚓没了，剩下一个什么？剩下一个二 a b。 哦，其他全部都被抵消掉了。二 a b。 好， 现在我告诉你， a 等于三， b 等于负三分之一，所以你代入计算等于多少？等于二乘以三乘以负的三分之一，答案等于多少？负二，是吧？ 好，这是我们求出来的十九题，我们再看第二十题。啊。好，第二十题他是这么描述的，首先我告诉你， ab 等于 ac， 也就是我们给出一个等腰三角形，嗯，两条红边相等。 好，接下来。然后干嘛呢？ ac 的 垂直平分线啊，做谁？做你的垂直平分线？说白了就是这条边等于这条边，对吧？然后这个角呢？是一个直角垂直平分线， 那我们知道垂直平分线上的点到线段两段距离相等吗？所以你这个边一定等这个边，对吧？好，我们索性把它标出来，也就是绿边等于绿边啊，咱们这条绿边 一定等于什么？一定等于这条绿边，是吧？两个绿边相等。好，那问题来了，现在我告诉你，整个顶角角 a 等于多少度呢？整个顶角这个角 a 等于四十度， 那我们知道可以求什么呢？求 b、 c、 d， 求哪个角？求这个角，对吧？好，怎么求呢？首先你得知道啊，因为你是一个等腰三角形，为什么？这个边等于这个边吗？垂直平分线的性质， 所以我们知道这个角一定是四十度，没问题吧？好，然后接下来怎么办？接下来大家不要忘了，我们整个三角形还是一个大大大大的等腰三角形，这个边等于这个边，大家记不记得， 只不过被绿边盖住了一个等腰三角形，顶角四十度，那大家告诉底角呢，一百八减四十度，你再除以二，你给求出每个底角是七十度，是吧？也就咱们这个角多少度，一定是 七十度，是吧？七十度拿走四十度，所以我们知道剩下这个角多少度呢？也就三十度了，对不对？这个角，嗯，也就是 三十度，所以我们第一问， b、 c、 d， 我 们求出来三十度，搞定。好，那问题呢？第二问呢，涉及到周长，那我就把这些角呢，我全部把它清掉了，啊，这七十度啊，四十度我都不要了， ok， 这角都不要了，嗯，哎， 呃，这个红线我们要好，大概长这个样子。好，现在我告诉你，如果 a、 e 是 五， a、 e 是 五，那我这个边不也是五吗？那我们知道你是十，所以我这个边呢，长度也是十啊，整个边的长度也等于十。 好，告诉你， b、 c、 d 的 周长时期， b、 c、 d， 就 这个三角形的周长。好标一条线啊，比方说，我们把这个边呢蓝边，我把它标做小 a， 你 这个绿边呢，我把它标做小 b， 那你也是小 b， 对 吧？剩下这个边呢？哎，我把它标做，嗯，还有没有颜色？有这个边，我把它标成紫色的小 c， 可以 吧？所以这个题也就相当于告诉你周长是十七，你的周长是十七，也就是相当于告诉你怎么样呢？我们的 a 加 b 加上 c 等于十七，是这样的吧， 而你有 one b 等于他吗？所以你发现 a 加 b 不 就是这条线段不就是十吗？哦，也就你这个边等于几，这个边等于十，所以我们求出 c 等于几， c 等于七啊，也是，我们整个底边是等于七的，对吧？整个底边是七，那大家告诉我，请问整个大三角形周长出来没有？ 你这个边是十，这个边是十，底边是七，所以加起来我们求出来高的一段二十七。 好，这是我们今天所讲到的例，二十。好，接下来我们再继续往后了，再来看一下我们的第二十一题。哎，这个题我觉得就稍微的麻烦那么一点点啊，但不多。好。首先我告诉你给出一个角， a、 o、 b 三十度， 就哪个角就这个角它是三十度的，嗯，这个三十度我先不放在这里面啊，因为这里面有一条边挺麻烦的，我先把它框起来，就表明这个条件我们还没有在题干中使用，可不可以？哎，先把它框起来，待会用啊， 哎，就像这个样子，框起来好，屁，是里面一点，我告诉你 o p 等于三， o p 就是 这个边的长度呢，等于三， 我也把它框起来，因为我告诉你，这个题他可能需要我们待会去作图，所以我们尽可能把条件先不放在题干处啊。一个角三十度，一个边三。好，现在 m、 n 分 别是两边上的点， m 呢？在这里对吧？ n 点呢？在这里？在哪你不知道？ 那不就相当于是动点？ m 可以 在这在这在这在这， n 点可以在这在这在这，它就相当于是动点吧。好，现在问题来了，注意，我要舍得 pm 周长最小， 这个属于将军一马的变形，也就是周长最值。问题很多朋友可能就不知道怎么处理啊，那么亮，在这里面索性给你讲明白。好，我们的周长最小啊，也就是要舍得什么呢？舍得这三边这个最小，对吧？哎，我标一下吧，比方这个边我把它标做小 a， 可不可以 这个绿边我把它标做小 b， 以及这个红边我把它标做小 c， 是 吧？那我怎么样才能使得周长这个最小呢？我告诉你啊，你先不要看后面什么什么找位置，后面的先不要看好不好？你首先搞清楚什么时候它的周长最小，注意， 我们去做定点，关于动点所在线的对称点，把 p 点对称过去，可不可以 做 p 点对称点，那么这个就是我们的 p 一 撇啊，我们就把它叫 p 一 吧，可不可以？好，然后我们再连一下。哎，那你想我们做对称是为了干嘛？为了好玩？不是，我们做对称是为了进行等边转换的， 根据对称去嘛， p 点跟 p 关于这条直线对称，那你说这两条子线段像不像的？一定像的，你是 a， 所以 我们这个边也是 a， 对 吧？哎，大家不要忘了，我们本来要使的 a 加 b 加 c， 这个最小，对吧？ 我三边这个最小，要不就周长最小。好，那 a 一 呢？就转化到这里了，与此同时我们再做对正点，做 p 点，关于 n 点所在线 o b 的 对，正点，这个叫 p 二。好，我们做完对证之后呢，我们连一下， 是吧？就像这样连一下，你这个是 c， 所以 我这个边一定也是 c 了，对不对？嗯，所以你会发现剩下我把它清掉啊。 嗯，你这个 a 跑到上面去了，你这个 c 跑到下面去了，是吧？所以因此我们只需要使得那这个边加这个边加这个边，三边这个最小就可以了。 这不就相当于从一个点出发，走啊，走啊，走啊，回到另外一个点。那我想问一下，两点之间怎么走线啊？最短两点之间线段最短嘛？是不是？所以很明显也就是这样，怎么样呢？ 连接 p 一 跟 p 二，所以大家有没有发现，我们直接连接这两个对称点，对吧？当你 m 点在哪？当你 m 点在这里， n 点在哪？ n 点在这里，是吧？此时路径最小，紫边它就在这，对吧？绿边呢就在这里， 红边呢就在这，是不是三边这个最小嘛？嗯，好，也就是以后你只要遇到相中题，把 p 点对成过去，把 p 点对成过去。好，连一下，你会发现我们的最小值等于什么？就等于 p 一 p 二，对吧？这两条线啊，这两点之间的距离， p 一 p 二， 是不是像这样的？哎，只要把线段劈片这个边求出来，他就我们要求的最小值，是吧？好，那问题来了，嗯，这个题让我们去用尺规作图，我们先不作图好不好？你不就是做对称点吗？有什么大不了？我们先来求它周长的最小值。 最小值我们已经说了，就是这条线段长度吗？可是这个线段怎么求呢？我把剩下的这边都清掉啊，把这边都清掉，可以吧？甚至你这个 m 点 n 点我都不要了， 行不行？你无非就是求这条边吗？可是这个边怎么求呢？大家听清楚啊，首先你要知道，比方说我把这个边标成一条红边，我们知道这个边的长度是几，长度是三吗？对吧？你 p 点啊，跟 p 是 关于这条线对称的，根据对称性，你是三，所以我连接 o p 这个边是不是也是三， 没问题吧？啊，就这个边的长度，这里也是，哎，你这个稍等一下，我把它往外挪一点点啊， 好不好？哎，等一下，我把它往外挪一点点，这样大家看起来可能会更加标准一下，这个边也是三， 是吧？同样的，你会发现，喏，我连接它呢， p 二，因为你 p 点跟 p 二是关于这条线对称的，所以你是三，因此我们这个边呢，也等于三，没问题吧？ 好，也就你会发现我是个什么？我是个等腰三角形，两腰相等。好，还有什么大家不要忘了啊，整个顶角是三十度，那举个例子啊，因为 aob 是 三十度，就这个角，对吧？这个大角是三十度，对不对？好，请问如果把这个角标做 ar 法， 与此同时呢，我再把这个角标做 beta， 请告诉 alpha 加 beta 等于多少度？很明显吧，我们能够知道，就是 alpha 加上 beta， 一定等于整个顶点，也就三十度，没问题吧？ 好，你现在根据对称性，那我想问一下，对吧？ p 点跟 p 一， 关于这条线对称的，你这个角是 alpha， 那 我们这个角呢？是不是也是 alpha？ 哦，这个角 它也是 a r 法，对吧？与此同时呢，我们知道你这个角是 beta， 那 我对称这个角呢，是不是也是 beta， 所以 也是我们这个角怎么样？ 他就是贝塔了，是这样的吧。那最终我想问一下，他是个什么三角形，各位同学看得出来吗？那我的两腰相等等腰加角是两个 a r f 加两个贝塔，一个 a r f 加一个贝塔三十度。那两个 a r f 加两个贝塔呢？顾名思义，六十度是吧？整个大角一定是六十度， 所以它是个等边三角形，因此你是三，你是三，我连接一下呢，我也等于三，对吧？哎，所以整个我们周长的最小值也就 p 片呢。 嗯，周长最小值就等于 o p 的 长度，也就是三，搞定啊。好，那问题来了，这个题他有额外的要求，让我们用尺直角和圆规，这个直角有没有刻度呢？没说，我们就当做没有刻度的直尺吧。 好吧，此归作图。嗯，把 m 的 位置找出来，接下来我就全部清掉了。啊，全部不要了，我们说怎么找呢？其实你只要找，找什么呢？找 p 点关于 o a 的 对正点，对吧？ 再找 p 点关于 o b 的 对正点，是不是你再连一下，这个点就是 m 点，这个点就是 n 点，没问题吧？ 好，问题来，就是需要我们尺规作图找两个对称点是不是好？对称点怎么找？其实首先你只需要怎么样呢？比方说我们以屁为圆心画一个弧好不好？ 我就索性懒得画弧了啊，就是屁为圆心。然后呢？哎，任意线的为长度，但是你要大于这个啊，大于我的 o 的 距离，你要是小于他，你画个弧，他跟这个线没有交点，你只要大于这段距离就可以了，随便拿出圆规这样一个长度，我们画一段弧，就像这个样子，对吧？ 他一定会产生两个交点吗？就是这会产生第一个交点，这会产生两个交点，是不是？但是我索性怎么样呢？ 我要不行吧，我就分开讲吧。好吧，分开讲。因为我直接画个圆，很多同学可能就不太理解啊，我们分开讲，以屁为圆心，对吧？哎。任意长度为半径去画一，画一段弧，交 o 于这个点跟这个点，然后接下来怎么办？他会产生两个交点，对不对？会产生两个交点。好，现在你以 这个点到 p 的 距离，对吧？你这段距离跟这段距离一定相等吗？接下来你以这个长度为半径再去画圆，你用圆规丈量一下，你可不可以把这段距离丈量出来？一定可以，对吧？以它为圆心， 它到 p 的 距离为半径，你再怎么样呢？以它为圆心，往这边画一段弧，对不对？再以它为圆心，往这边画一段弧，懂了，不？画一段弧， 以它为圆心，往这边画一段弧，对吧？这两个弧一定会产生交点，这个点就是 p 点。关于 o a 的 对称点，我跟你解释一下，为什么？ 首先你要知道这个边等不等于这个边相等，对吧？ p 为圆心画了弧，半径相。其次，你会发现我们以它为半径，我们画一段弧，我跟你是不是相等呢？对吧？那一样的，以你为半径画弧，所以其实你会发现我们上下两个三角形什么关系？ 你不要觉得正方形啊，特殊而已，是吧？在这个三角形跟这个三角形中，红边等于红边，红边等于红边公共边，所以两个三角形全等了吗？全等可不可以看作把这个三角形翻过去的，完全可以，对吧？所以你会发现 p 点关于 o a 的 对称点呢？就是我们的 p 一 了，没问题吧？ 你用相同的方法在下面再去找到 p 二吗？以它为圆心画弧，对不对？话弧，明白了没有？所以这两个长度一定相等的。 你再以这个点为圆心，它到 p 点的距离为半径，以及以它为圆心，它到 p 点的距离为半径，你再去画弧吗？画弧，画弧，对吧？这个焦点就是我们的 p 二，理解了没？好，那么到这里之后，那剩下就简单了，你这个证明过程我清掉了，哎嘿， 我这个弧什么时候没了，就像这样，对吧？好，所以最后你会发现，当你找出 p 一 p 二之后呢？你用知识把它们连接起来，连接 p 一 p 二，对吧？那剩下我们的焦点就是我们想要的了。 嗯，这个就是我们的 n， 这个呢，就是我们的 n 点，就这么简单，好吧，求最值。我们刚才已经处理完毕了，这个就是我们的第二十一题。好，接下来我们马不停蹄，赶紧来看一下我们的第二十二题啊，这个题考的是什么呢？ 是我们的啊，公式啊，他的一个实际应用啊。好，现在如果 x 满足这么一个条件，让我们求它的值，怎么办？其实这个题是一个材料阅读探求题，他有很多很多的文字，只不过把这个文字呢全部删掉了，那该怎么办， 对吧？那你有半，这有五减 x， 我 有五减 x， 你 这里 x 加，我有 x 加。这里面我们会用到换元的思想，比方说我令你这个括号呢？我令你是 a， 我 再令你这个括号呢？我令你是 b， 可以 吧？好，此时你有半，我们可以得到的结论是什么呢？也就是 a 乘以 b 等于二，对不对？让我们求什么？这个就是 a 方吗？对吧？让我们求，哎，求 a 方 求怎么样？ a 方加上 b 方的值，这咋求呀？那根本没法处理，对吧？你光这一个式子怎么求它求不出来，还有没有其他条件呢？有，大家仔细观察一下，五减 x 和 x 减二， 五减 x 和 x 加，如果你把这两个式子加起来，咔嚓一消，五加二等于等于三，哦，就这两个式子相加是等于三的，对吧？因此我们知道，也就是那 a 加 b 等于三。好，现在我想问一下， 通过二者之和，二者之间可以求吗？可以，对吧？这个问题其实是非常常见的， a 加 b， 对 吧？ 括起来的平方减去怎么样？减去 r a b 吗？是不是？哎，这个大家能不能理解，所以 a 加 b 三，一直三的平方减去二倍的 ab 等于二，是不是这么多，所以等于几啊？等于五，所以我们第一个求出来也是几呢？也就是等于五。搞定 好，接下来我们马不停蹄，赶紧来看一下第二个啊。第二个我们该怎么处理呢？首先我告诉你，有这么一个正方形啊， 正方形的边长是 x， 就 这个正方形边长是 x 啊，在这里。嗯， e、 f 分 别是两边上点， e 点在这， f 在 这。好，告诉你， a， e 是 一啊，这个是三啊，都出来了。 好，现在整个长方形的面积是四十八，哪个就是这个长方形，那这个长方形面积你说可不可以表述出来，觉得可以，对吧？比方说这个边等于多少呢？ 这个边等于多少呢？这个边 肯定是脑，你会发现我们整个正方形的边上是 x 吗？对吧？你拿走三个单位，所以这个边呢，一定是 x 减去三，有没有问题？你这个面积四十八，也就是相当于告诉你同学们，嗯， x 减一乘以 x 减三，对吧？等于多少？等于四十八。 好，现在干嘛？我们啊，分别以 m f 和 d f。 m f 在 哪啊？以 m f 为边，对吧？做一个正方形啊，这是个大大大的正方形，边长是 m f。 好， 然后呢，以 d f， d f 在 这，对吧？我们也做一个正方形， 两个正方形重叠之后呢？多余的是阴影部分，让我们求阴影部分的面积，怎么办呀？这该怎么处理？那其实你会发现阴影部分面积好求吗？好求，嗯，你想想整个这个边上多少？这个边上我们求出来已经是 x 减一嘛，对不对？ x 减一啊，我再用大正方形的面积，也就是 x 减一的平方，我再减去什么？我减去这个小正方形的面积吗？你变成 x 减三，对吧？ 所以你的面积 x 减三平方，用整个大正方形减去小正方形，不就我们剩下阴影部分吗？也就告诉你这个东西求它，这咋处理它，对吧？哎，根本就没办法搞定。好，仔细观察一下，你会发现我们依然换元，比方说我们令这个式子呢是 a， 这个式子呢是 b， 对 吧？哎，那么也就是这个式子就是 a， 这个式子呢就是 b 啊，就 a 一 方， b 方有没有问题？也就相当于告诉你， a 乘以 b 呢，等于四十八。让我们求什么？让我们求啊？ a 一 方减 b 方，是不是像这样的？这咋求呀？ 仔细观察一下，有发现上面这两个式子，它是相加还是相减才能把 x 给抵消掉？很明显， 我是 x 减一，你是 x 减三吧，你比我多减了两个单位，对吧？所以我是不是比你大二，大家看不看得出来？我说你看不出来没关系，对吧？用前面 x 减去 x 减三 等于多少？等于 x 减一，我们减 x 加上三吧， x 减 x， 咔嚓没了，所以我们知道 a 减 b 等于二，是吧？好，现在求它非常简单，那么它等于多少呢？等于 a 加上 b 乘以 a 减 b 嘛，对吧？我们知道 a 减 b 等于二，所以它就等于二倍的 a 加 b 了，是不是？所以接下来我只要把 a 加 b 求出来就可以了。 如果你求，嗯，一个式子无法直接处理，你可以尝试求它的平方，也就是怎么样呢？ a 加 b 的 平方等于谁呢？等于 a 一 方加上 b 方，再加上二 a b， 没问题吧？好，那接下来你会发现，我把它整体往左边挪一点点啊，你给我过来。 好，那么等于多少呢？你看前面这个东西呢？这个东西大家一定要熟悉啊，它等于 a 加上 b 的 平方怎么样呢？ 这个是啥？这，这个是。哎，我们写是 a 减 b 吧，它是 a 减 b 的 平方，加上二 ab， 能不能理解？好，我们再加上后面呢？我们再加上二 ab， 对 吧？ 所以最终你会发现，喏，那么它就等于 a 减 b 的 平方，我们后面加几个？加四 a b 是 不是加上四倍的 ab 就 可以了？那最终求出来等于多少？ a 减 b 等于二嘛？所以你的平方呢，也就等于四了，加上 ab 呢，等于四十八，所以加上四乘以四十八等于多少？ 嗯，哎，我们直接提个四吧，好不好？你是一个四就是四十八个四，说等于四十九个四可不可以啊？你想想，我的平方等于四乘以四十九开方吧，对吧？你把它开方二，你把它开方七，二乘以七呢？ 十四哈，所以我们瞧这个东西呢，等于十四啊，二乘以十四呢？二十八搞定好，这是我们今天所讲到的第二十二题，那么接下来我们继续往后啊，再来看一下我们今天的第二十三题，也就是我们的几何压轴 跑起来看看这里，我个人觉得啊，他没有我们今天的历时难，这是我的真实感受啊。那么首先给出一个三角形，我告诉你，角 b 六十度，就这个角呢，六十度好， m 从 b 出发，沿着射线啊，沿着 bc 方向运动，对吧？嗯， m 点在整个 bc 射线上面跑，有时候他会跑出去啊， 好在整个运动过程里面，我们连接 am 啊，就把 a 和 m 连接起来干嘛呢？去构造一个等边三角形。哦，你是个等边三角形 好，然后呢，把这个 n 和 c 点啊把把，这个怎么样呢？就是构造等边三角形之后，再把这个你的顶点和原来三角形的顶点 c 连接起来。好，第一个，当 b a m， 也就是当我们这个角等于多少度的时候， ab 等于二倍的 b， m 呢？就是我这个边等于这个边二倍。我们知道什么情况下，我们的这个边等于它的二倍呢？ 三十度和九十度的时候，对吧？是不是三十度所对的直角边等于斜边的一半吧。所以你把当我是三十度，三十加六十，他刚好是不是九十？哎，所以他是，嗯，三十度的时候， 我们知道会产生二倍关系。好，接下来让我们添加一个条件。干嘛？添加一个条件使得 a、 b， c 是 等边三角形？ a、 b， c， 那 太多了。比方说你拎它是六十度，或者你拎它是六十度，或者你说 ab 等于 bc， 对 吧？两边相等，加角六十度都可以了，那我们就 ab 等于 bc 吧，那么此时他就一定是一个等边三角形。好，如图一，当你真的成为一个等边三角形的时候，哦，让我们求成这个结论，对吧？我觉得很简单啊，如果你是个等边三角形，咱们知道就是这个边， 对吧？一定等这个边有没有问题？两条红边相等啊，我就不再标三条边了。同样的，你也是个等边三角形，所以我们知道的是你这个子边呢？一定等这个子边没问题吧？好，那接下来，然后你会发现呐，各位同学们，告诉我等边三角形，我的一个内角这个角是不六十度， 你是等边三角形，所以我这个内角是不是也是六十度？那这次你会发现两角相等都等于六十度吗？并且这两个相等的角他还公共重叠了一部分，对吧？那请问我多出来这两个小角，你告诉我相等吗？ 一定相等，也就是这个角，对吧？一定等于我们这个小角，这两个角百分百是相等的。好，当我们正中这两个角相等之后，剩下的呢？它就比较简单了， 对吧？那大家告诉我，你会发现在我们这个三角形中，对吧？有红边，有紫边，加角是个绿角，那同样的，在我们这个三角形中，有红边，有紫边，加角是个绿角。做一定对正数怎么样？这个三角形 全等于这个三角形，对吧？两个三角形百分百全等，全等三角形对边相等，因此我们知道，也就是你这个蓝边 怎么样呢？他一定是等于这个蓝边的两条蓝边相等。好，接下来我们要的求证的这个线段数量关系，就非常简单的，比方说我把这个边呢标成一条绿边吧，可不可以咱们把这个边标成一条绿边，可以吧？这个绿边我令他是 x， 这个蓝边呢？我令他是 y， 行不行？我们看他到底想干嘛？求证， c m 加 c n 等 ac 的， 你这个是 y 吗？对吧？所以我们这个边也是 y 了，你看清楚啊，这个 c n 是 什么呢？ c n 就是 y， 是 吧？ c m 呢，就是我们绿色的 x， 而你把 ac 是 什么？这是一个等边三角形嘛？边长相等，你这个边呢，是不是也是 x 加 y？ 其实你会发现，当然你们自己平常证明的时候，你是不需要引入未知数的。亮亮在这里，为了方便大家更加直观的看出我们数量关系，所谓引入未知数就像这个样子。 好，接下来我们继续往后啊，好，如图二。注意啊，就是当 m 运动到线段 bc 的 外面，跑到外面去了，其他条件不变，那就是他仍然是个等边三角形，我还是个等边，也就是我们的红边呢，依然是等于红边的，对吧？ 但是我们还是怎么样呢？以 a m 相外构造一个等边三角形，那也就是你呢，也等于他我们会构造一个等边吧， 是吧？就是你也是个等边三角形。好，接下来我就把中间这个角，我把它标出来。嗯，比方说，我先标这个角吧，因为你发现此时我们这个他就不再是公共角了啊，这个角我把它标做一个六十度，行不行？这个角六十度嘛，以及同样的，你是等边三角形，所以我们知道这个角呢， 他也是六十度吗？对吧？好，中间这个角，我把它标成什么呢？中间这个角我把它标成 e r f 角，这个角非常小啊，把它标成 e r f， 能看到吗？好，此时你会发现呐，各位同学们，在我们这个三角形中能看到吗？有红边，有紫边，加角六十度加 e r f， 同样的，在这个三角，哎，看清楚，在这个三角形，对吧？有红边，有紫边，加角是六十度加上 ar 法，所以两个三角形是不全的，也就是咱们这个三角形，对吧？一定全等于这个三角形嘛？大家都有红边，都有紫边， 加角，都是六十度加 ar 法，加角都是六十度加 ar 法，所以一定全能。全能完毕之后，我们知道我们正全能是为了干嘛？为了好玩吗？不是啊，我们正全能永远是为了进行边呐角啊，条件的转换。 好，那么此时大家看清楚喏，比方说，你让我去探讨什么呢？探讨 c n， c m 和 a c 之间的数量关系，对吗？好，那么此时看清楚啊，我就把 c n， 嗯， c n 这个边，我就把它标成一条绿边，可不可以 c n 把它标成一条绿边。嗯，然后 c m 呢？我们把它标成一条。呃，蓝边吧。 c m 蓝边，这个蓝边我用 x 来表示， c m 是 小小的 x， 可以 吗？好， a c 呢？这个边我就把它标作 y， 行不行？所以我们知道这个边呢， 也是 y， 等边三角形变成相等了。哎，就你 a c 是 y， 你 说我只要找出它与 x y 之间关系就可以了。那你要知道我们刚才正出全等了吗？ 是吧？也就是咱们这个三角形，它一定全等于这个三角形，对吧？所以你的底边呢，一定等于我这个三角形的底边也是怎么样？ x 加 y 是 不是？所以我们知道 c n， 咱们求出来绿边，它一定是 x 加上 y， 因此我们最终求出来，也就是我们的数量关系是什么呢？数量关系就是 c n 这个边，它等于 c m 加 ac。 搞定。跟着亮亮无脑学习。

初二期末必考的押注题一定有轴对称将军印马题型，我们一起来看下这道题。已知等边三角形 a、 b、 c， b、 d 垂直于 a、 c， a、 d 是 三点五， a， q 和 b p 都等于二， p 和 q 为定点， 在线段 b、 d 上找一个点 e， 使得 p， e 加 q， e 的 值最小。读完题目，画出草图，发现它求的是折线段 最小的问题，所以这里也是非常经典的将军印马模型。这个视频韩老师带你用两个步骤学会所有解析方法，再配合我整理的将军印马十二大模型， 包含了作图方法以及解析思路，给孩子练习，轻松搞定压轴题。我们一起来看下这道题。想求这样的线段和最小，我们一定要用到轴对称思想，将线段的位置做出改变，使得它变到 同一直线方向上，从而我们用两点之间线段最短来解决问题。那我们解题的两个步骤也就出来了，第一步，做对称，第二步，用两点之间线段最短来解决问题。回到题目，三角形 abc 是 等边三角形 b、 d 垂直于 a、 c， 说明三角形 a、 b、 c。 关于 b、 d 对 称，那这里我可以给 q 做 b、 d 的 对称点，会发现我们的小 a 这条线段被转移到了下方来，那我也可以做 p 关于 b、 d 的 对称点， 对称下来，会发现小 b 的 线段转移到下方来了，那这个时候两种方法都可以，我选择做 q 的 对称点，因为做完以后，咱们的对称点依然落在了直线 a、 c 上， 比较好操作。那接下来做完对称点以后，我要求小 a 加小 b 的 最小值，其实就是连接两点，然后那真正的点 e 应该是在这个位置，那所以说我们 p e 加上 q e 的 最小值，就应该是等于 p e 加上 q e， e 的 最小值。两点之间线段最短，是它的最小的情况。那现在我要求的就是 p q e 有 多长？ 已知 a d 等于三点五，由于等边三角形，由于垂线，由于三线合一，所以 d c 也等于三点五。因为 a q 等于二，所以 q d 是 一点五，那对称下来，这也是一点五，那所以底下的 q e、 c 就是 等于二的。等边三角形的边长就可以知道是等于 其，那所以 a p 的 长度就为五，而右边 a q 一 的长度也为五，那底边应该也为五，因为里面的 a p、 q 一 也是一个等边三角形，那所以它的最小值既为五，你听懂了吗？