数学八下平面直角坐标系的题有意思

好了，我们来分享这一道初二数学培优题平面直角坐标系当中找规律的问题。很多同学做这种题比较懵，其实啊，要找到解变方法，否则你做这道题会花很长时间。 如图，所有正方形中心都在圆点，且个边都与 x、 y 轴平行，从内向外，他们的边长依次为二、四、六、八，顶点依次是 a 一、 a 二、 a 三、 a 四、 a 五、 a 六、 a 七、 a 八。问顶点 a a 二零二三的坐标为多少？ 那这要从哪入手？首先找规律。我们注意看这道题，其实很简单，可以四个点看成一循环，对不对？正方形四个顶点一循环，所以四个一循环。那我们看 a 二零二三，先确定它，它在哪个象限呢？ 那二零二三很明显可以写成五零五乘以四，再加上三，所以它余三，对不对？好，余一是 a 一， 余二是 a a 二，余三是 a 三，整除是 a 四，所以它一定在第几项线？一定在第一项线，所以确定 a 二零二三 在第一象限。好，下面我们就在找第一象限的规律就行了。 a 三的坐标，那很明显是一一 a 七，这是 a 七，这 a 是 一，那 a 三就是 a， 这个四乘零加三， a 七就是 a， 四乘一加三，这个就是四乘二加三，对不对？这个坐标是一一，这个坐标是二二，这个坐标是三三。好了，看，没有。 那么四乘 n 加三，他的坐标应该是多少？你看四乘一，坐标是二二四乘二，坐标三三四乘，是不是应该是 n 加一， n 加一，因为低线线横轴轴都为正吗？ 所以四乘二、五零五加三，那四乘五、零五加三，他的坐标一下就出来了，就是五零六五零六，所以答案是五零六五零六，这样做就比较快捷一点， 如果把四个象限坐标都写都去写出来，再找规律，那就比较麻烦了。好了，这道题我们分享，这同学们再见。

各位朋友，这个视频分享一道几何探讨题，如图，直线 y 等于负 x 加四，与坐标轴分别相交于点 a 和点 b。 直线 y 等于二， x 加四，与坐标轴相交于点 b 和点 c。 点 p 是 线段 b、 c 上的一个动点，以线段 b、 p 为斜边作等腰直角三角形 b、 p、 d。 连接线段 ap， 点 e 是 线段 ap 的 中点，要探求角 o、 d、 e 的 度数。 通过审题之后，我们可以发现，一开始并不知道如何求解角 o、 d、 e 的 度数，那么只有先探求图形，通过发掘更多的隐藏信息，才能找到解题的路径。 根据提议可以求得点 a 的 坐标是四斗零，点 b 的 坐标是零斗四，点 c 的 坐标是负二斗零，那么可以推导出 o、 a 的 长度等于四， o、 b 的 长度等于四， o、 c 的 长度等于二。 可以判定三角形 a、 o、 b 是 一个等腰直角三角形， 因为点 e 是 线段 a、 p 的 中点，可以联想到通过倍长中线来构造全等三角形，那么接下来可以延长线段 d、 e 到点 f， 使得线段 d、 e 等于线段 ef。 连接线段 af， 那么容易判定三角形 p、 e、 d。 全等于三角形 a、 e、 f。 判定的依据是 s、 a、 s。 再由全等三角形的性质，对应边相等，对应角相等，可以推导出现短 p、 d 等于线段 af， 角 dpe 等于角 eaf。 又因为这一对等角是内错角的关系，那么内错角相等。两直线平行，可以推导出线段 p、 d。 平行于线段 af， 因为线段 p、 d 垂直于线段 b、 d， 而线段 p、 d 又平行于线段 af， 这样可以推导出线段 af 也垂直于线段 b、 d。 那么接下来如果延长线段 b、 d。 延长线段 a、 f 相交于点 g， 就 可以推导出角 d、 g、 a 是 一个九十度角。 接下来进行导角，把角 obd 设为 r 法，因为角 oba 等于四十五度，这样可以解得角 dba 等于四十五度。减 r 法， 三角形 b、 g、 a 是 一个直角三角形，内角和等于一百八十度，那么可以解得角 b、 a、 g 等于四十五度。加 r 法， 因为角 bo 是 等于四十五度，这样可以推导出角 o、 a、 g 等于 r 法。 那么通过观察可以发现，因为线段 p d 等于 b、 d， 而线段 p d 又等于线段 af。 通过等量代换，线段 b、 d 等于线段 af。 接下来连接线段 o、 f， 又因为线段 o、 a 等于线段 o、 b。 那 么显然在图形当中可以找到一对全等三角形。 三角形 obd 全等于三角形 oaf 判定的依据是 s、 a、 s 有 全等三角形的性质，可以推导出线段 o、 d 等于线段 o、 f。 角 b、 o、 d 等于角 a， o、 f 又因为角 b、 o、 d 加上角 d o、 a 等于九十度。那么通过等量代换就可以证明角 d、 o、 f 是 一个九十度角，这样就可以判定三角形 d、 o、 f 是 一个等腰直角三角形， 因此就可以解得角 o、 d、 e 的 度数等于四十五度。好，这个视频分享到这里，感谢观看，再见！

来，全子表爹问你个事。来，你爹，你说说，咱家在这隔了三条马路五条大街的，你韩姨家在这怎么表示？你韩姨家的位置隔了三条马路五条大街？ 不是，你是复读机啊老周啊，他韩姨家在哪你怎么知道的那么清楚呢？那你不废话吗？他买的咱原来住的房子。哼， 你继续说。用坐标表示，先以咱家为原点，门口马路为 x 轴，门口大街为 y 轴，建立平面直角坐标系。哎，对，隔了五条大街，那横坐标就是五，隔 了三条马路，那重坐标就是三，所以韩一家的位置在五三。哎呀，这傻儿子可算说对一次了。木马。

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今天我们把这一张给大家做一个小结， 本章的学习的主题是什么？平面直角是吧？坐标系， 平面直角坐标线。 首先回顾一下它的概念对不对？它的概念是怎么说的？ 相关的概念，比如说什么叫平面直角坐标系？什么叫 x 轴，什么叫 y 轴，什么叫坐标轴，什么叫象限？ 明白什么叫象限？ 平面直角坐标系。将这个坐标平面分成了四个部分， 从右上角开始，按照逆时针方向分别定义，第一项线、第二项线、第三项线、第四项线。注意， 注标轴上的点不在任意项线内，对不对？注标轴上的点不在任任何项线内， 是不是请坐？我们还学了一个重要的概念，就是叫坐标 点的坐标。平面内点的坐标 用什么表示？刘瑶琴 平面注标平面对点的位置，他说，用横坐标、纵坐标表示 是吧？这张就叫点的坐标表示，对不对？坐标表示好，这一个坐标是用一对有序实数，对不对？是吧？我们称之为叫有序实数。对， 所谓有序，前面是横坐标，后面是纵坐标，对吧？ 有序实数对，表示点的坐标。通过秒点我们发现， 坐标平面内不同的点对应着不同的坐标，不同的坐标对应着不同的点，因此我们把它们两者的关系用四个字来概括，你说， 嗯，怎么说？对，一一对应， 就犹如数轴上的点跟一个数十数一一对应，一个道理都清楚。好 啊，这是本章学习的一个重要的内容，点的位置与点的坐标，点的位置可以用坐标来表示，对吧？我们才学了一块重要的内容，就是 动起来的，这个是静止的，这是静态的，他的点不动，对不对？下面我们讲图形的运动，图形变换 与坐标变化， 是不是这个明显就动了？动图形变化动起来了嘛？点变了是吧？那么坐标有什么变化呢？主要研究了 讲一个好的讲课，那个是我具备的用的核心。在这块， 一种特殊的变化是平移，一种是轴对称， 对不对？他有其他的变换，对不对？比如说在竖线上动，比如说在横线上动，比如说在象限的角平分线上动，甚至绕着一个点在动，我就不交作业吗？ 对不对？还有其他 主要的探索，你的平行的变化与注标特征，他是怎么变的？注标他是怎么变化，和注标之间有什么样的关系，对吧？那我就探索内在的规律。好的， 那么下面我们现在看黑板上第一个问题，来一起读一遍。 来，小朋友们，我们来看看王和汉同学对这类问题的解法怎么写出来的。 u t 的 y 等于正负三， x 等于正负一，所以可出来了。 黄河还是脑子里面有乾坤？是老乎脑子里有，你看得懂吗？只看懂了哈。到 x 轴的距离是三， 怎么描述到 x 轴的距离是三，说明满足条件的点在横线上，对吧？ 在 x 轴上方还是下方呢？可能在上方 到 x 轴就是三，也可能在 x 轴下方到 x 轴就是三，对不对？那假如我把它的那个想法把它描出来，用个图来展示给大家看看，你看这样可不可以？ 这个是三，这个是负三，经过零三，一条直线 经过负零，负三一条直线，是不是屁点在这两条直线上， 对不对？这是满足了第一句话，第二句话是跟到我爱的距离，对吧？ 那么说明知道平行于 y 轴的一条直线了，是过哪个点呢？过 e 和负 e， 过 e 零画一条平行于 y 轴的直线， 过负 e， 零画一条平行于 y 轴的直线，是不是王凯？那王和凯的脑子里面就是这个四个点，哪四个点 描出来哪四个点， 然后同时满足这两个条件的就是这四个点，对吧？那么这个四个点的坐标，这个 a 点坐标 b， c 的 a 点坐标 e 三 e 三低相线，对吧？倒点坐标 一负三，第四项信，对吧？这个是第二项信，这个是第三项信，各位写啊，好的，这是一种方法，用图来展示正确的位置， 是不是好？行，我们再看有没有其他的方法呢？ 有没有其他的方法呢？我们还可以这样干，怎么干？请看第一条 点， p x 不是 x a b 的 几何意义？ 我看到坐标，我就看到了它到坐标轴的距离，嗯？是不是？嗯，哎，那这个点到 x 轴的距离， 有这个坐标怎么去算？到外走的距离怎么算？到远点的距离怎么算？ 不能忙着说啊，不能忙着做。那题目你得认真的看，认真的听，认真的消化和吸收， 写得多漂亮啊！到 x 的 距离，到横轴的距离是纵坐标的绝对值，到纵轴的距离是横坐标的绝对值，到圆的的距离是横坐标纵坐标平方和的 算出平方根，是不是？那么因此小朋友，这个题目的法二就来了，是不是我们就直接立方程？好哦，二手距离立 y 的 绝对值等于三，到 y 的 距离是一，就 x 的 绝对值等于一，是不是可以出来绝对值的方程数？ 所以解这个方程组得到。 x 等于 y 等于三， x 等于 y 等于负，三 x 等于负一， y 等于三， x 等于负一， y 等于负三，是不是？所以变了，是不是，对吧？ 这种解释是通过点的运动 对不对？点的运动其实就点屁在这条直线上运动，点屁在这条直线上运动，点屁又在这条直线上运动，又在这条直线上运动。满足两个条件的，那就是它的焦点的位置，对不对，是吧？好的， 没问题了啊，我们再来看，再看在这个图形当中，点 a 和点 b 的 位置关系是 关于哪一种位置，对吧？那他们坐标之间的关系是？ 与乖娃子跟他坐标之间的关系是众同同德满，对不对？众同同满，那也就是要正规纳一下坐标特征， 向向上的点的坐标特征，这个是 正正，对不对？你来写完象限点的坐标特征过来， 写完 写完速度好了吗？ 看你 对吧？对，不是？横坐标在 x 上比他的点不在正。横坐标 x 都用负的吧？ x 轴负半轴呀， 负正，这个 y 轴 x 轴正半轴上读出来的横坐标正负， 然后注标轴上的点的注标特写， x 轴上 重注标为零， y 轴上横注标为零， x 轴的正半轴上 x 轴的正半轴上正，对吗？ 这个是正负零，这个是负零，这上面的点，这个上面的点是零，是正零，没错吧？这个上面的点是什么？零正，这个上面的点是吧？零负都认识哈， 要零 停一变换的时候，坐标特征 对了，平移变化的坐标特征是什么特征？左右平移。 坐标特征什么特征啊？左右平移啊， 左右平就是横线上的，横线上是什么？纵统横变对不对？横怎么变？ 哎。横是左减右加，就这么个说法，对不？说完是吧？走对称对吧？我不说，后来后文就说他中间对称是吧？对称， 关于 x 找对称。刚才说了传统纵板对不对？差不多还有 象限角平分线上运动。象限角平分线上 一三相切。对，一三相切角平分一道运动寒变重也变，但是关系不变，哎，很 振动，对不对？哎，他在他们运动很多个动作都在变化，但是他们的关系不好了，那也比较特殊，对吧？来，小朋友，我们来到这里，到这来，到这来，快速完成这个题目， 会给你时间，到急了会给你时间。 嗯， 好，然后我们上来把 p 点坐标第一个 p 点坐标写出来，写这里， 嗯。零负三，此时 m 等于多少？ 去去去，拿过来，此时 m 等于多少？ m 等于负二，是吧？嗯，走这个啊，幺零零，过来。上来 来，上来，写点。 p 坐标 负二负四，此时 m 等于多少？ m 等于负三啊，嗯，对不对啊？好，小朋友。 m 等于负三的时候，这时候 p 点坐标负二负四，对不对啊？嗯，对的哈。嗯，坐下，后面一三 写在这里。写作业 f 等于多少？ 写在后面。对一个电话好，再写， 对不对啊？对不对啊？ 呃，对不对啊？来看一遍。当 m 等于负二的时候写出了负三负二，对吗？ 对不对？不对啊，算出来吧，没有对不对啊。当 m 等于负二时，算出来 到 x 轴距离三立方正四 算，当然数出来方程 m 减一的是重度标的绝对值等于什么？三，从我算出来一个 m 等于四，还有一个 m 等于八，负二，这没错吧？但是注标算出来对吧？ m 等于负二的时候，这个算出来就是几啊零，对吧？还是零啊零？逗号， 这是几啊？负三对不对？ m 等于四的时候， m 等于四的时候，算出来是十二。逗号加三。 你好好去打打假了来后面上外面先把方格出来对不对？ 方格写对， 你们数学老师咋不教的？开玩笑的是吧？ 我，你们据说你们对我从来没教过这个东西，中间是吧？错，你那括号是铁的关系，对，解出来是吧，你们解出来这个 m 解出来是 负五，对吧？负五，那么这时候 p 点坐标是负六负六，如果 m 这个时候呢？ m 等于负一，此时 p 点坐标二 二啊，是二啊， m 等于一的时候负一啊。哦， m 等于负一， m 等于负一的时候，这个坐标是几的？二二负二是不二负二，这不成了吗？ 这个题目告诉我们点运动的 规律，点在 y 轴上运动，那说明重注标什么为零？就 m 减一等于零，对不对？ m 减一等于零，算作 m 的 时候点注标， 这个你会告诉我们，过 a 点平行于 x 轴在直线上，说明重注标都是几啊？ 耶啊，平行于 x 轴嘛，让 x 轴平行，说明重数标都是几啊负四，所以 m 减也等于什么？负四先算成 m 对 不对？到 x 轴距离是三， 说明是过零三的子。平行于 x 轴的子线，或者是过零负三平行于 x 的 子线，或者用啥个 点的坐标的几何意义？两种方式走，走到右尾。好，那这里说完了，下面我们开始。 同学们，你们知道三角形具有稳定性对吗？ 这个正长方形还有稳定性吗？没有，不稳定，所以小朋友，我现在长方形 abc， 这个 o 呢，是 ab 的 终点， 我这个推这个，他就变形了，这个活动推这个变形了，哎，使得的点落在我手上的一处， 这时候求的一是一的坐标，第二种我继续推，哎，推推推，我推多少呢？其实我推了个三十度，这个就六度吧的 r a p 是 六度，此时的二十多的坐标。 小朋友，在你没有说之前，你首先要看在这个变化在变，对吧？图形的变化，在变的过程当中有没有不变的？刘宪飞，许宪飞， 多 a 等于多一， a 等于多二。 a， 哦，就是横着的三根都相等，对吧？都是十，对不对？嗯，还有呢？ 还有呢，横的也相等那个，那那个 a 得 a 得一， a 得二呢？也是相等，都是十三，说的很好，还有什么不变的关系吗？ 上下是不平行的，左右平行关系不变，对吧？挺重。那么你能口说得意的目标吗？还是都目标？ 零逗号十二，说的很好，对吧？那么你能说出 c 一 的坐标吗？ 这个长，这个刻度是十二，因为这是十三，这是五嘛？哥，我听你说的十二，这个长度是十二，这个是零，逗号十二，那么这个是多少？ 嘿，就用平移的观点来写，他是平的吗？这个长度多少？销量是十，所以应该是十个号十二 不是我来。小朋友，当这个是六十度的时候，你们会算了吗？那首先得干一些什么事？构造直角是吧？ 那么这个是十三，这个多少啊？少啊，是多少？ 五分二分之十三，一比根号三比二，请问这是多少？ 一比根号三比二嘛？这个多少？以后的这么多人我怎么做的？答案，二分之十三倍根号三， 对不对？用这个比例来算吗？不然哥会被人算死你是吧？一比高，他是特殊角，哎。三十度的二的三角形吗？一比高，三比二，对吧？那么因此这个，这地方多少？这地方 凹一度长，这个二分之十就二分之三，对吧？因此得二，对不对？哦，你说 二分之三逗号二分之十三倍根号三，然后说 c 二坐标，直接来个平移法， 把它加多少？加十，加十的话就是二分之二十 三逗号二分之十三被根号三，是不是玩转了？清楚，玩转了是吧？那要规范一下的。求注标就是求距离啊，就是说你要知道这个距离，对吧？ 你要知道这个距离对不对，然后好，这个球都不要就根据平移法的平移变化来求了，理解了吗？因为我们这种关系上下平行的吗？他是横线上的。好， 会做了啊。这一边小朋友，你看我是正方形改的，来个特殊的正方形，我这么一摆，这个是三零，这个是零四， 这个助标会求吗？这个助友会求吗？刚才说的求助标就是求什么？求助标是什么？求助标 就是求距离。求什么距离呢？请看黑板要求这个是一点坐标，就是我向他这根垂线 来个一。小朋友，你要求是一点坐标，你是不是要把这个球的距离求出来，然后你要这样做也可以，你求这个球不也一样吗？求这两个距离可以吧？哎，就是求到坐标轴的距离，到坐标轴， 知道不？那孩子，你能求得这个距离吗？啊，不知道啊，嘿， 这什么这什么？这个一线三直角，这不就这两个什么关系啊？全等，全等。这个是三，对吧？这个是四，对吧？这个是四，这个是三，这个是七，这个是四，所以 c 点坐标是读出来 四四七。哦，那读注标还要特别注意关注特别所在的象限，对不对？哎？读注标，读注标，关注象限，关注关注象限 或者是关注位置，那 汪汤泽在吗？汪汤泽直接跟大家说一说他的坐标， 这个是几？这个这个，所以 会的这类题目就秒杀了，请坐，来，孩子们，现在我变了，你看我的位置变了吧，不在我那桌上了。坐标二零，这个是负一四， 这是坐标， 治注标就治距离，这个距离多少？这个距离。二，画一根线到注标头距离，这个是几啊？ 四，记个这个标一点，这个长是几啊？一，因此 a 一 多少啊？ 三，哪怕你求 c 点坐标，孩子也不会吗？你怎么，你怎么玩？你得先做，打到 x y 头先做，对吧？但是这样做怎么求不出来啊？对呀，聪明了，你看现在 会求了吧。

哈喽，小伙伴们大家好，这里是和同学们一起轻松学数学的曾哥。今天是二零二五年的十二月十二号，我们一起来看一下今天这道题。 在平面直角坐标系 x、 o、 y 当中，已知 ab 两点的坐标， a 坐标为一一， b 坐标为五三，它们的横纵坐标都是大于零的，所以 ab 两点在平面直角坐标系的第一项线。 在坐标轴上面，现在有一点点 c， 能够使得三角形 a， b， c 为直角三角形， 请求出 c 的 坐标。那么题目读完之后，我们晓得这是一个直角三角形存在性问题， 已知两个顶点坐标，要求第三一个点的坐标。好了，下面我们具体的从条件出发来进行初步的分析。 已知 ab 两点坐标，我们能够计算什么呢？我们能够计算直角三角形的一条边，已知的边 ab， 它的长两点之间距离公式本质是勾股定律。我们再帮大家回顾一下。 过点 a 做 am， 垂直于 bm， 垂直呢？垂直弯是 m 点， 那么 am 这条直角边就是 m 和 a 两点的横坐标作差。由于这是一条铅垂线，与外轴是平行，与 x 轴是垂直的，所以他俩的纵坐标横坐标。抱歉，横坐标是相等的，所以 m 点的横坐标减 a 点的横坐标就是 b 点的横坐标。解决 a 点的坐标横坐标。 再来看另外一条直角边 b m 要求这一条线段的长，只要将 b 和 m 这两点的纵坐标做差就可以了。那么由于 am 是 一条水平线，与横轴平行，与纵轴相互垂直，所以 这两点的重坐标相等，我们用 b 点的重坐标减去 a 点的重坐标，即可算出 b m 这条线段的长度，那么两条直角边 已知，那么斜边勾股定律即可啊，具体的我们一会再算好，那现在呢？我们通过刚刚的计算就明确了，已知 ab 是 直角三角形的一条边，并且知道它的长度到底 是什么边呢？那直角三角形有两种边，一是直角边，二是斜边。 好，所以我们现在就是先判定几何，就是基于判定去分析有关的性质，从而记一步记。计算好了， 那 ab 它可以作为直角边，也可以作为斜边。那如果 ab 是 直角边， 谁是直角顶点呢？ a 和 b 都有可能，我们分，我们先讨论第一种可能性， 当 a 点是直角的顶点的时候，那么 ac 就是 与 ab 同为直角三角形的 直角边，所以 a c 就是 与 ab 相互垂直的，我们过点 a 做 ab 的 垂线就可以了。 那么 c 就是 在这样的一条线上面，除了 a 以外的一切的点，比如说 c 点在这 abc 直角三角形，比如说 c 在 这 abc 直角三角形。 当然题目说了 c 在 哪？在坐标轴上面，我们找直线与假设，它是 m 与 横轴纵轴的两个点，先横后纵，分别标 c 一 和 c 二，这就是所要求的坐标。好了，下面具体怎么求呢？我们把斜边给他连出来，放在直角三角形当中 去计算就可以了。直角三角形当中怎么计算呢？这很明显就是用勾股定律，我们刚才回忆的勾股定律这样的代数计算的方法，方程的方法即可。 比如说 c e， 我 们设出它的坐标，假设假设横坐标为 x， 纵坐标为零，因为它在横轴上面， 那由此我们就可以根据 a、 c、 e 两点的坐标算出这条直角边的长。 同理，根据 b 和 c、 e 两点坐标，我们能算出直角三角形斜边的长，仍然是 两点之间距离公式，而 a、 b 我 们刚已经算过了，放在这里面勾股定律解方程即可。同样的道理，我们连接 b、 c 二， 设出它的坐标，放在这样的一个直角三角形当中，用勾股定律计算即可。由于时间关系，我已经把必要的计算 需要的过程做了一个梳理。我们首先根据条件呢，算出 o， a， b 是 等于二倍根号五的，那么 ab 就是 根号五， ab 的 平方就是二十 两种可能性。当这里这个三角形角 b， a、 c、 e 是 直角的时候，我们设 c、 e 的 横坐标，用一个字母去表示，当然呢，我就用的 x、 c、 e 符号去表示，也就是一目了然 c、 e 的 横坐标，然后将它它 表示出来，算出平方，把不需要改根号，因为我们勾股定律本质就是平方，平方求和，再平方 放入，带入这个等式当中，得到一个关于 x、 c、 e 的 一元一次方程。解一元一次方程就可以了， 它的根或者它的解是二分之三，就意味着 c、 e 的 横坐标为二分之三。那么 第二种情况是一样的计算，我就不一个一个去读了，不对数思路，还是勾股定律这样的 代数计算的方法解方程好了，我们再来看 ab 作为直角边存在的第二种可能性，那就是直角顶点不是 a 了，而是 b， 那 么此时此刻 也是一样的，我们把另外一条直角边给他找到，给他画出来即可。那么另外一条直角边是谁呢？就是 bc， 因此我们过点 b 做 ab 的 垂线，这样的一条直线啊，这个坐标轴呢，我们再给他延长一下，这是纵轴，外轴， 这是 ctrl。 那 么 c 点就是在这样的一条直线上，为了方便迅速呢，我们标一个小 n， 除了 b 点以外，这个直线上一切的点都是能够使三角形 a、 b、 c 为直角三角形的。但题目说了 c 点在坐标轴上面，因此我们要去找蓝色的直线 n， 它与横轴 与纵轴的交点，先横后纵，我们发现有两个交点，那进一步的去标注这个呢？就用 c 三表示，这个是 c 四 连接对应的斜边 a c 三。那么进一步，我们在这样一个直角三角形当中，同样的，用勾股定律可以计算出对应的 c 点的横坐标，还是用方程设它的横坐标，然后呢， a、 c 两点坐标求出 这条斜边的长度，在平方用 a 用 b 和 c 三这两点的坐标求出两点之间距离公式， 平方求出或者表示出直角边的平方，那 ab 呢？在这里它的平方是二十勾股定律计算，那连接 a、 c 四直角三角形的斜边下面还是一样的，在直角三角形当中，不怕麻烦，去利用勾股定律构造方程，设出未知数构造方程去解方程 时间关系，我已经写出来了，那么这种情况下，也是有两个点是符合条件的，那么对这个题目而言，就又多了两种 情况，进一步的去表示，从而用勾股定律解两个关于 它的横坐标，它的纵坐标的一元一次方程对应的结， 那么 c 站的坐标是二分之十三，零 c 四的坐标呢？应该我这个地方写错了，应该是零十三，因为它是在纵轴上的。好了， 这两种情况呢，就是 a、 b 为直角边，我们做了两条垂线，做了两条线， 那还有第二种可能性，第二大类，那这个 a b 已知的边，它并不是直角三角形的 直角边，而是斜边。那么如果 ab 是 斜边，我们怎么去找两个直角边，或者怎么去确定一下 直角顶点呢？很简单，我们以 ab 为直径，画一个圆就可以了，也就是 以 ab 的 中点，假设是 p 为圆心，二分之一 ab 长 pa 或 pb 长为半径，画一个圆， 那么 c 点就是这个圆圆周上除了 ab 两点以外的所有的点。比如说这个是 c 点， 此时此刻 abc 就是 一个直角三角形。为什么？下面开始解释， 因为我们是初二，还没有学过原有关的性质，这个初三才会学。 他首先说结论，就是圆当中直径所对的这样一个角，他等于九十度，是一个直角，那这个角的顶点在哪呢？一定要在圆周上面，那这个角呢？叫做圆 周角，了解一下即可。那下面开始解释为什么 c 点在以 ab 为直径的圆周上的时候，那么角 a c b 或者角 c 就是 九十度，我们连接，我换一个颜色， 我们连接这个圆心，我们用的 p 表示，我们连接 p c， 这是一个什么三角形？这是一个等腰三角形。为什么？因为圆的性质，我们五年级学过半径相等，等 腰三角形就有等边对等角，假设这个角是 r， 那 么这个角呢？他也一定是 r 法。再请看在这一边，同样的也有等腰三角形，因为半径相等， 等腰三角形就有等边对等角。假设这个角是北塔，那么这个角呢，肯定也是北塔。那么放在整个三角形 abc 当中，我们利用 角的性质，角三角形内角和定力内角和，等于一百八十度，那么就有阿尔法加北塔，再加上这样一个角，也就是阿尔法与北塔的和， 也就是两个阿尔法加上两个北塔两倍的阿尔法与北塔的和，那么孩子他是一百八十度，所以阿尔法与北塔的和就是 九十度，一百八十度的一半，从而他一定是直角。 ok， 所以 请大家先理解，在理解的基础上，记住刚刚这个结论。什么结论呢？那就是圆周上 这圆的直径所对的这样一个圆周角是九十度，所谓圆周角就是他的 顶点，要在圆周上。 ok， 好， 这个说完之后，下面呢，我们就是计算了怎么去计算符合题目要求或者满足题目条件的坐标轴上的 c。 我 们刚刚说了，圆周上除了 ab 以外， 所有的 c 所有的点都可以使得三角形为直角三角形，但是 题目说了 c 在 坐标轴上，因此只能是这样的两点。那接着刚刚的标注应该是 c 五和 c 六，那么具体怎么计算呢？我们还是 画出它对应的直角三角形的边，也就是连接 a c， 连接 b c。 我 们先放在这个 abc 五这个直角三角形当中考虑， 那么这是直角边，这是直角边，这是斜边，我们还是根据勾股定律来计算吗？同学，你可以暂停或者现在来写一写， 看一看能不能计算出答案。如果初三我们是可以计算出来的，但目前咱们是初二计算不出来，因为你用勾股定力的话， 你会得到一个一元二次方程，我们还没有系统的学过一元二次方程的解， 那怎么办呢？这个地方有一个非常巧妙的处理，请看我们利用的还是我们刚刚讲的圆的性质，半径相等， pa 和 p 五以及 p 就是 pc 五以及 pc 六，还有 p b 都是这个圆的半径， 那么他们的长度是相等的，那平方肯定也是相等的。我们已经在一开始算出 ab 的 长，那么 ab 一 半也就是 pa， 这个长我们就可以表示是二倍。根号五的一半是根号五，那么 pa 以及 pb， 它的平方就是根号五的平方，也就是五。 那么 p 的 坐标怎么表示呢？这叫中点坐标，横坐标为端点横坐标 的平均值，重坐标为。我说重点的重坐标为端点两重坐标的平均值。这我们课上讲过，对应着 p 点的横种坐标就是 三二，那么我们下面设 c 点的坐标当然是横坐标，因为它是在横轴上面，那就可以把 pc 表示出来，那其实对应的我们图就是 pc 五和 pc 六， pc 用勾股定律两点就是本质是勾股定律，两点之间距离公式， 横坐标左叉平方，纵坐标左叉平方再开根号，那算的是两点之间距离或线段长，那现在我要求平方根号就去掉，对应着得到带入数据以及我们所设的未知数，就得到这样一个 结果， p c 的 平方是它，而 p a 的 平方是五，我们说了半径相等，那半径的平方也必然相等，所以就能得到一个方程。 同学说，老师，这也是一元二次方程，你看看要去括号吗？五等于几加四，很显然是一加四。那么谁的平方是一？这完全是我们八年级学习的， 谁的平方是一？正负一的平方是一，他什么时候等于正一 横坐标为二的时候，他什么时候等于负一横坐标 c 的 横坐标为四的时候。所以我们得到 c 五和 c 六的横坐标，分别是二和四。 这就是我们 ab 作为直角三角形斜边计算的方式，对应着是一个圆，这个圆的圆心是线段 ab 的 中 心点，中点也就是 ab 为直径的一个圆。好了，最后来总结一下我们直角三角形存在性问题，他是两线 一元，跟我们等腰三角形的结论既类似又相反。等腰三角形存在性问题是两元一线，直角三角形是两线一元。那么最后呢，再做一个提醒，做一个总结。具体涉及到的计算， 当已知的线段或者已知的边 ab 是 直角边的时候，我们就是用勾股定律，用方程，用代数，用计算的方法 去求解对应的坐标，那放在哪里？用勾股定律就是直角三角形 abc a b c a b c。 那 么最后呢？当已知的边 ab， 它作为一个斜边的时候，我们画出圆，最后用的是 半径相等来计算。当然也可以用勾股定律，用直角三角形勾股定律，只不过目前我们初二呢，算不出来。 ok， 那 最后呢，算出的就是这六个答案。 这个蓝色的第四个情况应该是零十三。