江西赣州九年级几何证明题

几何证明是期末考试中必考的一种题型，这种题型呢，他能很全面的考察我们对于几何定律的理解，以及画辅助线的能力， 所以在各种考试中，几何证明题都有预习之弊。那今天这道题呢，我们一起来试一试，看你有没有思路。这道题说如图，已知在三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于二倍的角 b， 角一等于角二，让我们求证 ab 等于 ac 加 cd。 那 今天呢，给大家介绍一种新的方法，叫截长法。这道题让我们求证 ab 等于 ac 加 cd， 那 我们就可以在 ab 中截取出一段 a e， 让 a， e 等于 ac， 这样的话，我们是不是只需要求证 e， b 等于 c、 d， 那 是不是就成功了？所以说呢，我们第一步呢，就是在 a、 b 上截取出 a， e 等于 a、 c， 接下来呢，我们看一下题目中给出来的条件， 说角 c 等于二倍的角 b， 这个条件呢，现在好像用不上，我们接着往下看，角一等于角二，那这个条件要怎么用呢？嗯，我们结合一下目前的线索，我们知道 a， c 等于 a、 e， 然后呢这两个角相等，并且呢这两个角有一个公共边 a， d， 那 这些线索呢，共同指向了一个什么方向呢？嗯，相信很多同学已经猜到了三角形全等的判定对不对？如果说我们现在连接 d， e 的 话， 那这两个三角形是不是一个全等的关系呢？这个全等的判定呢，也非常简单，因为 a、 c 等于 a e， 然后呢角一等于角二，并且呢公共边 a、 d 等于 a d， 所以呢，我们能得到三角形 a、 c、 d 全等于三角形 a、 e、 d， 判断的依据呢就是边角边好，我们正得这两个三角形全等之后呢，我们能得到什么呢？是不是能得到 c， d 等于 d， e 呢？同时呢，我们能得到角 c 等于这个角，对不对？那这个角呢，我们标注为角三，所以说呢，我们能得到角 c 等于角三。好，因为角 c 等于二倍的角 b， 所以说呢，角三是不是也等于二倍的角 b 呢？然后呢，我们看角三是谁呢？角三是不是三角形 e、 d、 b 的 一个外角呢？所以说呢，角三就等于角 b 加这个角，对不对？那这个角呢，我们标注为角四，那就是角 b 加角四， 根据二倍的角 b 等于角 b 加角四呢？所以说，三角形 e、 d、 b 是 一个等腰三角形，我们能得到 eb 呢，就等于 d、 e， 那 前面呢，我们根据三角形全等得到了 c， d 等于 d， e， 所以 说呢， e、 b 是 不是也等于 c、 d 啊？ 那这样的话，我们这个目的是不是已经达成了？所以说呢，现在我们只需要替换就行了，因为 ab 呢，等于 a， e 加 e， b， 那我们现在就替换 a， e 等于谁呢？ a， e 等于 a， c， 然后 e， b 呢？ e， b 等于 c， d， 所以 说 a， b 等于 a， c 加 c， d， 这样的话，我们这个求证过程就顺利完成了，你学会了吗？

各位同学大家好啊，我们今天来看一道几何证明题啊，那么几何证明题呢，比较注重的就是这个过程，也就是说步骤啊，所以呢，大家在做这类题的时候，一定要注意把步骤给写完整， 那么几何证明题呢，它是比较注重这个前后的逻辑关系的，所以我们在写的时候呢，一定要提前的给分析好思路啊，那我们先来看一看这道题，一起跟老师捋一下思路啊， 说已知，如图呢，角一等于角二，我们这里呢，可以用一个简单的小叉来表示，角一和角二呢是相等的，角三等于角 b， 我 们用一个小圆圈来表示，角三呢，它是等于角 b 的 ac 呢，平行于 d e， 那 么这里的话，我们知道 a c 它和 d e 是 平行的啊，那么这里有平行，所以我们要想到平行线的一个性质啊，那么且 b、 c、 d 共线，也就是说 b、 c、 d 这三点呢，是在同一条直线上的啊， 那么现在呢，让你去说明一下， a e 平行于啊，这个上边的 a e 平行于这个 b、 d 啊，那么实际上 a e 平行于 b、 d 呢，它是正什么呢？平行线啊，也就是说正平行，那我们正平行的方法有什么呢？我们需要去思考一下，是不是我们需要用什么来证明呀？ 啊，就是如果说这里边有内错角相等，或者说是这个同位角相等，要么就是啥呢，同旁内角互补，咱们就可以去证明这个平行了，是不是 好，那么所以的话，我们的方向呢，就是从结论去出发，你要证明这个 a e 呢，它是平行于 b、 d 的， 也就是说我们在这里边呢，我们可以去找啊，这个内错角或者同旁内角或者说是什么呢？同位角来解决啊， 那么在这里我们想要去正 a、 e 平行于 b、 d， 那 么其实我们看一看，这里有一个角啊，我们给这个角呢 e、 c、 d 呢？给它标为这个角五。 好，如果说这里我们能够正角三等于角五的话，角三和角五是内错角啊，那么就可以证明这个平行了，对不对？所以我们首先肯定考虑到的是什么呢？就是正这个相等的角啊。 好，当然如果你有其他的这个方法呢，同旁内角也是可以的啊，当然我们尽量的去选一个比较简单的啊，好，这里是说明啊，我们就去写解就可以了啊，如果说他这里要的是证明，那我们就写证明啊。 好，那么我们对于几何证明题呢，我们比较呃，要求呢，比较严谨，就是这个过程写的要前后逻辑连贯性啊，要比较强啊，那么我们分析了啊，知道了以后呢，我们再去看一看啊， 好，就是这里的话，我们知道角一等于角二啊，那么角三等于角 b， 那 么这俩是平行的，那么根据平行线的话，其实我们是可以得到啥，就是角一 和角二的话，呃，这两个角是相等的，那我们其实我们说我们的目标是为了证角三等于角五，对吧？那么现在我们知道这个角三是等于角 b 的 啊，角三等于角 b， 那 么如果说角 b 等于角五，是不是这道题就可以了啊？那么角 b 如何等于角五呢？所以角 b 和角五它是属于什么呢？同位角能看出来吧？好，所以角 b 和角五它是同位角， 那么也就是说，呃，如果说我们能够证角 b 等于角五就可，呃，就是如果说 a b 等于 c e， a b 平行于 c e 的 话，我们就可以去证明角 b 等于角五了，是不是？ 好，所以说如何证明 a b 平行于 c e， 这是一个问题啊，要证明它的话，我们可以用角一和角四这两个角，如果说角一和角四这两个内错角如果相等的话，它是不是就平行了？ 好，现在呢，我们知道的是角一等于角二，然后还有一个条件，也就是说这边的 a c 呢，是平行于 d e 的 a c 平行于 d e， 那 么这里的话，是不是就角二等于角四啊？角二等于角四，那么角二又等于角 e， 所以 角一等于角四，这俩就平行，对吧？ 平行以后呢，角 b 等于角五，那么角三又等于角 b， 所以呢，可以推出来角三等于角五，这样的话，我们就可以证明平行了，是不是？好，那么这里呢，我们具体的来写一下这个步骤啊。 好，那么我们这里是说明呢，写解，首先呢，咱们分析的时候，可能是从后往前去推的，那我们写这个过程的时候呢，是从前往后写的啊， 那么我们说我们先得到的是什么呢？根据这个平行啊，也就是 a c 平行于 d e， 那 么我们说因为这个 a c 呢，它是平行于 d e 的。 好，这个是已知条件啊，那么所以的话呢，根据这个平行，那么咱们就可以得到，咱们可以再写一下啊，就是这个角一等于角二啊。 好，然后根据这个平行的话，我们可以得到这个角二是不是等于角四的呀？角二等于角四， 好，那么角二等于角四的话，这是根据平行得到的，然后又因为角一等于角二，所以是不是就等于角一啊？ 那么也就是说角二它等于角四等于角一，那么这里呢，我们得到的是角四等于角一了，角四等于角一以后，所以咱们就可以得到平行了，那就是 ab 的 话，它是平行于 ec 的 啊， 好，这个就有平行了，那么 ab 平行于 ec 以后啊，咱们就可以得到什么了，是不是就这个角 b 和角五的关系啊？ 所以说角 b 的 话，它就等于这个角五啊，那么角 b 等于角五了，等于角五以后呢？那么因为角三它是等于角 b 的， 所以这里条件我们可以写一下，因为角三等于角 b 啊，角三等于角 b， 这个相等，对吧？然后又根据角 b 等于角五，所以我们由这个等量代换啊，所以我们就可以得到这个角三，它是不是就等于角五呀？啊？ 角三就等于角五，那么角三等于角五以后，我们就可以得到平行了，所以说啊， a e 它是平行于什么的？ b d 啊， 那么这里的话，实际上就是什么呢？ a e 平行于 b d， 那 他其实用的是这个内错角相等，两直线平行这样的一个条件，对吧？ 好，那么这道题呢，相对来说啊，还是比较基础的，但是呢，我们过程前后一定要写清楚啊，就是知道我们去正平行线怎么去正就可以了。

孩子几何本很多是会写，但写不出来，考试就丢。步骤，我给你一个答题的模板结构，每题写出两个关系，加上一句理由，你就能拿到分数。你看这里，第一平行 b 撇 c 撇，平行线一出角就送你了。因为平行，所以这一对角相等， 两角一相等相似它就成立了。你现在最怕的是相似圆还是证明？写出来告诉我我爱你这个问题，给你发一套模板。

很多孩子一拿到几何证明题就发呆，从头到尾没有思路。我教你一个高手都在用的逆向分析法，具体操作是从要证明的结论出发，一步步推倒。比如要证明两条边相等，就先要想需要什么条件才能得出相等 全等三角形、等腰三角形，再去看题目给的条件能不能推倒这些所需要的条件，这样从问题和条件两头出发， 很快就能够在中间混吃打通。解析思路这个方法能彻底改变孩子面对难题的思维方式，记得点赞关注哦！

看一下今天的题目，首先先看第一题，第一题它说有两条平行的线， l 一 和 l 二， a 是 定点，然后呢， a b 垂直于 l 二与 b， 所以 b 也是定点， c 的是动点， 然后 a c 等于 b 的， a c 等于 b 的。 读到这个地方应该想到啥？应该想到是不是这俩三已经全等，这俩三已经全等，所以说这个 a e 是 不是就等于 b e 啊？对吧？ a e 等于 b e， 那 就说明 e 也是固定不动的啊。那然后他说 b h 垂直于 c 的， 哎， b h 垂直于 c 的， 然后呢，当叫 b a h 最大的时候，求 c h 叫 b a h， 那么这个时候呢？你看这个 b a h 现在 h 是 个动点，那我们要做的是不就是看看这个 h 怎么动啊？那现在他说 b h 得是个九十度，所以出现了九十度，那么我们说过九十度是不一定要定弦定角，看看定不定。首先先看这个 b 不 动，但是得在动，是不是？这个不可以啊？但是我们说过这个是直角，旁边不是也是直角吗？那 b 和 e 是 不是就不动了？那么所以说我们找到了 h 是 在 b e 为直径的圆上，一定要注意不动才可以啊。哎，就是定弦才可以的圆上，那我们呢，就可以把这个圆大体一画， 画出这个圆以后， h 呢，就在这个圆上动，然后他问我们的是这个肾角 b a h b a 不 动，那什什么时候这个角张开的最大，是不是肯定就是相切的时候了， 对吧？哎，相切的时候，假设这个位置就是相切的时候，圆心，找到我把它一连，是不？这里就是一个直角了，对不？所以这是假设，这是那个圆心 o， 好 了，那么求出这个四值，对边比斜边，也就是 o h 比上 a o 是 不就可以了？那我们假设这个是一， 这个也是一，这个也是一，是不是都是半径啊？而刚才看到了，一是中点啊，这是二，所以这里也是二，那所以我们就可以看出来了， o a 等于二，然后 o h 等于一，那么所以四角 b a h 就 等于几啊？一比上三是不就可以了？哎， o h 这个是三啊三，那么这就是这个题目答案，所以要找到动点，如果能找到轨迹，那么这个题就会变得比较简单。好了，看第二题， 那么第二题呢？是一个综合题啊，那我们先来看一下题目，他说角 b a c 是 角平分线， b a c 的 角平分线与圆 o 交于点的 b a c， 所以 说这俩角是相等的，角相等互相等，对吧？还有垂直，对吧？别忘这个东西啊，他 说设就 abc 的 平分线， abc 的 平分线是这个与 a 的 交于点 i， 那 么也就是这俩角也是相等的。好了，那让我们求证 b 的 等于的 i， 那 么这个题应该是比较熟悉了。 假设这是角一角二，这是角三，这是角四，那么我们可以看到，用首先用外角角 b i 的是不等于角一加角二，然后呢，这个角呃 b， 呃，这个的 得 b i 角，得 b i 是 不是等于角三加角四？那我们知道角二等于角三，那看看角一等不等于角四，角一对的是 b 的 弧，角四对的是 c 的 弧，所以角一等于角四，那么所以这样两个角就相等了，是吧？ b 的 就等于的 i， 注意，这种方法啊， 等于得二。好，那看第这个第二本，第二本让我们证明得 e 是 切线，加了个条件，得 e 平行于 b c， 那 这个时候就会用上啥了，是不？刚才提到的垂直啊，对吧？哎，垂直角相等，互相等，然后连接以后， 假设这个是 h 吧，用这个 p 吧。嗯，那么所以连接以后呢？现在是 o 的是垂直于 b c 的 前面，把它写完整啊。第二小问啊，然后呢， 又因为这个得 e 平行于 b c， 那 么所以说 o 的 就垂直于得 e 是 不就可以了？这也非常简单啊。那么这个题的难点在第三问，那我们来看第三问，他做了什么？他说过点 f 做 a 的 平行线， 这是一个平行线，这是一个条件。然后呢，过 j 做圆 o 的 切线， j h h 是 切点，让我们求证 f g 等于 h g， f g 等于 h g， 那 所以说现在你如果说来正这个东西的话，正两条边相等，你正全等正角相等，放三角形里去啊，都不行，这个题的思路都做不下去。但是这里有一个非常重要的东西啊，然后切线，所以我们想到了啥？ 我们想到了这个 g h 是 不是恰好是看一下这个 g h 是 不是恰好是我们的切线？那 g c b 是 不是就割线？是不咱们有个关系嘞？ g h 的 平方等于 g c 乘以 g b， 一定要记住这个东西啊。那然后呢？现在我想要证明的是这个 f g 等于 g b， 一定要记住这个东西啊。那然后呢？现在我想要证明 f g 也满足这个关系就行了， f g 的 平方 如果能等于 g c 乘 g b 是 不就可以了？所以从这个地方来看的话说我们想要找到一个相似，那这里是不是有一个这个五角形相似 平方嘛？那么也就是左角这个三角形 g f c 相似于三角形 g b f， 那 只要这俩三角形相似就可以了，我们来看看相似的条件够不够啊？首先公共角第二个条件， 那平行线要起作用啊，所以这个角是不是就会等于这个角啊？对吧？然后呢，这个角我要正的是等于这个角啊，那同弧，这不就结束了，对吧？所以这个题是一个非常重要的一个思路啊，就是我们的切割线定律。首先呢，先得出来 g h 的 平方等于 g c 乘以 g b， 然后呢，嗯，再先证出这个三角形 g f c 相似于三角形 g b f， 当然这个切割线的这个这个结论也要证一下啊。嗯，然后呢，这个所以说 f g 的 平方也等于 g c 乘以 g b， 那 么所以 f g 等于 h g， 那 么这就是这个题目的思路啊，所以说对于一些基本的关系，基本的结论要把它记清楚。

初中数学几何证明特训，这是一套练习册，里面都是几何题，上篇是七八年级的内容，下篇是九年级的第一张相交线和平线，这是七年级下册，开学就要学的，后面都是八年级的， 里面的内容就都是练习题，没有例题，没有知识点，就是给你刷题用的，刷熟练度，练准确率， 这是九年级的。

同学们好，数学天天见，中考无极限，欢迎来到学子数学。 今天我们分享的是不等式的特点与几何证明与计算。首先请看典题一，请审题。 关于 x 的 不等式组恰有三个整数解， 要我们确定 a 的 取值范围。好，请看已知不等式组。首先编号一，二有一，我们可以得到 它的解集是 x 小 于等于二， 有不等式二，我们可以得到它的解集是 x 大 于二 a， 于是我们既可以得到不等式组的解集，大小小大中间找，所以就是 x 大 于二， a 小 于等于二。 继续，因为此不等式组恰有三个 整数解，恰有三个整数解，你看一看，它是小于等于二，大于等于二 a， 那 就是二一零 负一。所以说二 a 就是 在负一和零之间，能不能等于零呢？不能，能不能等于负一呢？是可以的。记 a 就是 大于等于负二分之一小于零， a 的 起始范围即可。确定了，请反思一下。 首先分别求出两个不等式的解集，然后初步确定不等式组的解集，因为恰有三个整数解，所以二 a 就 在 负一和零之间，大于等于负一小于零。 其实我们在确定的时候，也可以借助不等，借助数轴来确定，零一二三，负一负二， 因为二 a 是 因为 x 是 大于二， a 小 于等于二的小于等于二，所以一二三。那么二 a 呢？就在是就在负一和零之间， 能不能等于二 a 呢？是可以的，能不能等于负一是可以的， x 要大于负一，所以说我们确定了。 ok， 参考答案如下，请过一遍。 好，我们继续来看点题二，请审题。 好，如图所示，第一分别是 a、 b、 a、 c 的 中点， df 垂直于 bc， d、 七是等于 f、 c 的。 审题，确定题型，联想调动相关的知识和方法，求证四边形是矩形， 要证明它是矩形。矩形的常用的判定方法，一、三个角是直角。二、一个角是直角的平行四边形。 首先它有一个角是直角， d、 f、 c 等于九十度，所以我们只需要证明 d、 f、 c 积为平行四边形即可。 怎样证明它会平行四边形呢？因为 d、 e 均为 a、 b、 a、 c 的 中点，所以 d、 e 是 三角形 a、 b、 c 的 中位线，那么它一定平行于 b、 c， 平行于 f、 c。 又因为一组对边相等，所以它是平行四边形。一组对边平行且相等的线是平行四边形。一个角是直角的平行四边形，当然是矩形。 ok， 好， 下面我们来看第二小题。 如果角 b 等于四十五度，角 b 等于四十五度， d、 f 等于三， d、 七等于五， d、 七等于五。因为自恋型 d、 f、 c、 d 是 矩形，所以 f、 c 也等于五，那么要求 b、 c 很 显然等于半， 非常简单。好，下面来看第二位怎样求 a、 c 的 场， 这样求 a、 c 的 长呢？定位中点，有同学可能想到了老师，如果我过地点做 a、 c 的 平行线 d、 h， 那 么很显然 a、 c 就 等于二倍的 d、 h。 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，那么要求 a、 c 就 要求 d、 h， 这样求 d、 h 呢？ 因为 b、 h 等于二分之一 b、 c， 所以 它就等于四。 b、 h 减去 b、 f， 所以 就得到 f、 h 等于一。 在 r、 g 三角形 d、 f、 h 中，所以我们就有 d、 h 等于根号下 d、 f 的 平方就是三，加上 f、 h 的 平方，一的平方等于根号十， d、 h 等于根号十，所以 a、 c 就 等于二倍的根号十，它等于二倍的 d、 h， 所以 等于二倍根号十。 ok， 请同学们强化一下思路。 要求 a、 c 直接求很困难，或者说不可能，怎么办呢？因为 d 是 终点，所以我们联想过 d 做 d h， 平行于 a c， 交 b c h， 于是就可以求出 d h， d、 h 求出来了， a、 c 就 等于它的二倍， ok！ 当然还有同学说，老师我能不能这样来计算呢？ 要求 a、 c。 很 显然，我们要想到构建直角三角形， 在 r 三角形中，那么 a、 c 就 等于根号下 am 的 平方，加上 m， c 的 平方也是可行的。 我们先求出 b m， b m， 求出来了就等于 a m， 因为它是四十五度，然后再求出 f c， 用 b c 减去 b m 就是 m c， 于是即可求出 a、 c 的 长， ok， 好， 下面请看参考答案。 b、 c 的 长是很容易求出来的，关键就是要求 a、 c 的 长，它是用的第二种思路做 a、 h 垂直于 b c、 h， 然后 先求出 b h， b h 就 等于 a、 h， 再求出 h、 c， 最后求出 a、 c， ok， 今天的分享到此结束，每日两题，中考无敌，再见！

四步搞定几何解题就是这么简单！来看这道题，蒙了没？别急，我来教大家四步搞定。第一步，看条件，三个直角顶点都在 c 一 上。第二步呢？误识别模型， 一线三垂直全等模型。第三步，一线三垂直的模型是什么？结论来着，三角形 a， c、 d 全等于三角形 c， e， c， e 等于 a， d 等于八。第四步上答案， b， e 等于 c、 d。 三角形 c， b， a 的 面积 就等于二分之一，底乘高等于二分之九，这就是会模型的魔力，像这样子能够帮孩子秒提的模型，这本书都给孩子快速学起来吧！

父主您好，您已进入以学习为副本的平行世界，您此次的任务为完成数学学习并获得数学技能，完成度百分之一百，如果任务失败，会导致副本世界崩塌，务必完成任务，请父主做好准备，即将为您开启副本通道。同学们好， 欢迎来到鼎城中考。现在我们来讲数学第二十三题，在三角形 a、 b、 c 中， a、 d 等于 a、 c。 将三角形 a、 b、 c 沿 a、 c 翻折，得到三角形 a、 b 撇 c。 初步观察 一、如图一，当 a、 b 撇平行于 bc 时，判断四边形 a、 b、 c、 d 撇的形状为，我们通过图一，现在来看， a、 b 等于 a、 c， 所以呀，角 b 就 等于角 a、 c、 b。 并且呢，经过翻折之后，我们会注意到翻折的性质，那所涉及的就是对应边相等，对应角相等。如此啊，我们就可以确定出 a、 b 等于 a、 b 撇，并且角 b、 a、 c 是 等于角 b 撇 a、 c 的。 那现在新增条件 a、 b 撇平行于 bc， 我 们就可以看到两直线平行内错角相等。 所以啊，现在呢，角 b 撇 a、 c、 b 了， 而原本就有角 a、 c、 b 等于角 b， 那 我们会看到，此时在三角形 a、 b、 c 当中就形成了， 它是一个等边三角形。如此啊，我们即可确定出 a、 b 等于 bc 等于 cb 撇，并且等于 ab 撇。 这样呢，第一小问，我们要写的四边形 a、 b、 c、 d 撇的形状就应该是菱形，因为他已经形成了四条边，都是相等的。 这样呢，我们就把他的第一问进行了解决。继续我们再来看第二问，深入思考。二、 如图二，图三，当 a、 b 撇与 b、 c 不 平形时，过点 a 做 b、 c 的 平行线交射线 c、 b 撇与点 d 过点 d 做 a、 b 的 平行线，交射线 b、 c 与点 e。 猜想线段 b 撇 d 与线段 c、 e 的 数量关系，并选择图二或图三进行证明。 现在呢，我们重点需要把握第二问当中涉及的过点 a 做了 bc 的 平行线，那这时 a、 d 就 平行于 b， e 同时过点 d， e 做了 ab 的 平行线 d、 e 就 平行于 ab 了。如此呢， 两组对边分别平行四边形 a、 b、 e、 d。 不 难看到，它是一个平行四边形，两直线平行，内错角相等， 角 a、 d、 b 撇是等于角 d、 c、 e 的。 同时我们通过题干当中的 a、 b 等于 a、 c， 那 并且呢，是等于 a、 b 撇的，而且平行四边形的对边相等 a、 b 是 等于 d、 e 的， 那我们就会看到啊， b 撇 d 这条线段所处的三角形就是三角形 a、 b 撇 d， 而 c、 e 所处的三角形呢， 则是三角形 d、 c、 e。 那 这两个三角形如果要能全等了的话， b 撇 d 当然就会等于 c、 e。 而我们在分析条件的过程当中，不知不觉已经确定出了 两个分别的相等角 a、 d、 b 撇等于角 d、 c、 e。 并且呢， a、 b 撇则等于 d、 e。 那 我们还需要确定全等的第三个条件，沿着角 b 等于角 a、 b 撇 c 的 同时，既然是延长 c、 b 撇取得的点 d， 那 么我们可以看到角 a、 b 撇 d， 他 就与角 a、 b 撇 c 是 互补的，那两直线平行，同旁内角互补，角 b 和角 e 本身也是互补的关系，这时我们会发现，等角的补角相等， 则角 e 是 等于角 a、 b 撇 d 的。 如此啊，我们的确确定出了这两个三角形当中是存在着全等的条件的， 依据是角角边。好了，那全等之后，当然 b 撇 d 的 确等于 c、 e。 这就是我们在确定 b 撇 d 和 c、 e 的 数量关系时， 先要书写出他们的数量关系这个结论。现在呀，我们就选择图二， 把这个思路落实下来，书写它详细的证明过程。先来确定四边形 a、 b、 e、 d， 它是平行四边形，所以呢， a、 b 等于 d、 e。 角 b 加角 e 等于一百八十度。接着我们由翻折的性质，然后呢，继续来取得信息。可以看到， a、 b 等于 a、 b 撇，角 b 呢，则等于 角 a、 b 撇 c， 所以 我们确定出来 a、 b 撇等于 d、 e。 同时我们还要看到啊，角 a、 b 撇 c 加上角 e 等于一百八十度。因为 角 a、 b 撇 c 加上角 a、 b 撇 d 是 等于一百八十度的，所以确定角 e 是 等于角 a、 b 撇 d 的。 接着再看，因为 a、 d 平行于 b、 e， 所以 角 a、 d、 c、 e 则等于角 d、 c、 e。 这样呢，两个三角形全等的条件就完废了， 所以三角形 a、 b 撇 d 就 会全等于三角形 d、 e、 c、 七全等的理由是角角边，所以 b 撇 d 等于 c、 e。 如果呢，我们要是选择凸三来进行证明的话，我们再来看一下它相应的思路。首先呢， 通过翻折， a、 b 等于 a、 b 撇，角 b 是 等于角 b 撇的。另外， a、 d 平行于 b， e， a、 b 平行于 d、 e， 此时四边形 a、 b、 e、 d 仍然是平行四边形，那么 其对边相等 a、 b 则等于 d、 e。 这样啊，我们会注意到， a、 b 撇就等于 d、 e 了。通过平行四边形 a、 b 平行于 d、 e， 我 们不难看到角 b 是 等于角 d、 e、 c 的， 这样呢，我们就确定出了角 b 撇等于角 e、 e、 c。 再次通过 a、 d 平行于 bc， 我 们不难确定出两直线平行同位角相等 角 e、 c、 d 是 等于角 a、 d、 b 的。 那你看，在此时的这两个三角形当中，我们仍然进一步可以确定出它们是全等的， 所以呢， b 撇、 d 仍然会等于 e、 c。 好， 我们把这个证明过程接着书写一下，容易得到 四边形 a、 b、 e、 d 是 平行四边形，所以通过平行四边形的性质取得 a、 b 等于 b、 e、 c， 并且角 b 等于角 d、 e、 c。 再看，由翻折 相应的性质呢，可以得到 a、 b 等于 a、 b 撇，角 b 等于角 b 撇。这样啊，我们等量代换 a、 b 撇就等于 b、 e。 而且角 b 撇是等于角 b、 e、 c 的。 再通过 a、 d 平行于 bc， 我 们可以看到两直线平行 同位角相等角 a、 d、 b 撇等于角 d、 c、 e。 所以 三角形 a、 b 撇 d 全等于三角形 b、 e、 c。 其全等的理由仍然是角角边，所以呢， b 撇、 d 是 仍然会等于 c、 e 的。 第二个我们就完成了。 继续来看第三问拓展应用。三，在二的条件下，若 a、 b 等于 a、 c 等于二， d、 e 等于二倍 c、 e。 请直接写出此时线段 a、 d 的 长。虽然呀，这一问是要直接写出 a、 d 它的长度， 但是我们还需要从解析的角度能准确的弄明白为什么。那可以看到这一问呢，是要在二的条件下，那么所谓二的条件下呢？在第二问当中，我们更多的确定出来的是 d、 b 撇等于 c、 e， 这是第二问的结论。而此时啊，我们还需要注意， a、 b、 a、 c 等于二，但是 d、 e 等于二倍的 c、 e 的 时候，那么我们会发现，由于三角形 abc 形状的不同，沿 a、 c 将三角形 abc 翻折时，那么在做了 a、 d 平行于 bc 之后，点 b 撇的位置是有所变化的，这样呢，就会引起了 a、 d 长度上的一个不同， 所以我们要根据图二和图三这两种情形分别来计算 a、 d 的 长度，所以在这一问当中，我们会发现要会做 分类讨论。先来到图二当中，我们看如何求 a、 d 的 长度。 a、 b， a、 c 等于二，四边形 a、 b、 e、 d 是 平行四边形， 所以 d、 e 会等于 a， b 等于二。既然 d、 e 等于二倍的 c、 e， 所以 c、 e 等于一，也就等于 d b 撇由翻折我们可以得到 b、 c 等于 c b 撇，那么如果要求 a、 d 的 长，我们就可以求 b、 e 的 长，那 c、 e 等于一。我们若把 b、 c 设为 x， 则 c、 b 撇也就等于 x， c、 d 就 等于 x 加一，那还是不能建立起关于 x 的 一个方程， 所以就求不出 x。 那 么我们要注意 ab 等于 ac 等于二。 因为呢，通过这个等腰三角形，在等腰三角形当中是非常容易非常重要的一个点呀，就是三线合一。如果此时我们做 a、 m 垂直于 b、 c 于点 m 的 话，可以看到 b m 二分之一 x， c m 二分之一 x。 在 直角三角形 abm 当中，我们就可以把 a、 m 的 平方进行表示出来， 等于二方减二分之一 x 扩起来的平方继续过点 d 做 b、 c 的 垂线交 b、 c 的 延长线于点 n 时，我们不难看到 am 一定是等于 d n 的， 而且 b、 m 是 等于 e， n 等于二分之一 x 的， 那在直角三角形 c， d， n 当中， 我们再次可以把 d， n 的 平方进行表示， a， m 方等于 d n 的 平方，而 d， n 的 平方又等于 x 加一括起来的平方，减去 c， n， 也就是减去一加二分之一 x 括起来的平方。那你看，现在我们就可以给它进行表达出一个方程，这样我们再解这个方程， 就能取得 x 的 值，进一步求出 b， e 的 长，也就是 a、 d 的 长。我们先把第一种情况它的解答过程书写一下。首先呢，我们先来得出基本的信息， d， e 等于 a， b 等于二，因为 d， e 等于二倍的 c， e， 所以 c， e 则等于 一。那么通过第二问，我们已经能够知道 b 撇 d 等于 c， e， 所以 b 撇 d 也等于一。由提议呢，我们就分两种情况进行讨论。先来看图二的这种情况，如图二所示，当点 b 撇是在 a、 d 下方式，那么我们就先过 a 做 a， m 垂直于 b， c 于点 m 过点 d， 所 d， n 垂直于 b， c 交 b， c 的 延长线于点 n， 那 么我们不难确定出 b， m 是 等于 c m 的， 这是等腰三角形的三线合一，而且呢，三角形 abm 一定是全等于三角形 d， e， n 的。 这样呢，确定出 b， m 则等于 e， n。 然后啊，我们就直接进行解设， b， c 等于 x， 当然也就等于 b 撇 c 了，则对于 c、 d 而言，就等于 x 加一 b， m 等于 e， n 的 同时，也就等于二分之一 x 了。这样继续表达出 c， n 等于一加二分之一 x。 由勾股定律，我们可以相应的来得到 a、 m 的 平方以及 d， n 的 平方的表示，也就是说对 c、 d 的 平方减 c， n 的 平方就等于 d、 e 的 平方。然后呢，减去 e、 n 的 平方，即 x 加一括起来的平方减去一，加二分之一 x 括起来的平方 等于二的平方，减去二分之一 x 的 平方。这样呢，我们再解方程，解得 x 的 值等于二分之 根号十七减一，当然我们就把负的值给它舍去，所以我们会看到 b、 e 呢，应该是等于 a、 d 的， 而 b、 e 等于 x 加一， 也就等于二分之根号十七减一，然后再加一继续计算整理之后则是二分之根号十七加一。这样我们就出了第一种情形之下 a、 d 它的长度。接下来我们再看它的第二种情形， 也就是如图三所示呢，当点 b 撇是落在 a、 d 上方的时候，总的整体的解析思路是类似的，那么我们可以快速的看一下它的思路。 a、 b 等于 a， c 等于二， 四边形 a、 b、 e、 d 是 平行四边形，所以对边相等， a、 b 等于 d， e， d， e 也等于二， d， e 等于二倍的 c、 e， 所以呢，此时 c、 e 等于一。通过三角形 a、 b 撇 d 和三角形 d、 c、 e 的 全等， 确定出 b 撇 d 就 等于 c， e 等于一。现在要求 a、 b， 也就是只需要求出 b、 e 的 长度，那在等腰三角形 a、 b、 c 当中，如果结合等腰三角形的三线合一来做处理的话， 那么我们就把 b、 c 仍然解设为 x， 那 么 b、 m 就是 二分之一 x cm 二分之一 x 减一。类似于第一种情形呢，我们继续过点 d 做 d， n 垂直于 bc 的 延长线于点 n， 那 这时候 e、 n 就是 二分之一 x， 而 e、 c 等于一， 则 c， n 便是二分之一 x 减一。由翻折呢，我们不难看到 c， b 的 x 是 等于 c， b 撇的。这样啊，我们就 把 c， d 表示为了 x 减 b 撇 d 的 一。随后在直角三角形 c， b， n 和直角三角形 d， e， n 当中，我们就可以看到 d， n 的 平方既等于 d， e 的 平方减 n， e 的平方，并且 d， n 的 平方又等于 c， d 的 平方减 c， n 的 平方。这样呢，我们把数据进行代入，就可以求出 x 的 值，而 a， d 等于 b， e 就 等于 x 减一，那当然，我们也就确定出了这种情形之下 a， d 它的长度。好了，沿着这个思路，我们把过程详细的进行书写，当点 b 撇在 a、 d 上方时， 还把辅助线进行描述过 a 做 am 垂直于 bc 于点 m， 过点 d 做 d， n 垂直于 bc， 并且交 bc 的 延长线于点 n， 则我们不难看到 b， m 是 等于 c m 的， 而且三角形 abm 全等于三角形 b， e， n， 所以 b， m 等于 e， n。 现在我们类似第一种情形， 直接解设 bc 等于 b 撇 c 等于 x， 那 么则 cd 就 等于 x 减一，而 b m 是 等于 e， n 等于二分之一 x 的， 所以对 c， n 来说就等于二分之一 x 减一。然后呢，我们通过两个不同的直角三角形当中涉及的勾股定律，就可以取得 c， d 的 平方减去 c， n 的 平方就等于 d， e 的 平方减去 e， n 的 平方。代入相关的数据，我们就可以取得 x 减一，括起来的方， 减去二分之一， x 减一，括起来的平方等于二的平方减去二分之一 x 括起来的方。这样呢，我们再解这个方程，即可解得 x 等于二分之根号十七 加一。当然对于另一个负值，我们仍然将之舍去。所以呀，我们会现在能够看到，在 x、 b、 c 长度之上减去 e， c 就是 be， be 通过平行四边形可以取得等于 a、 d， 也就是我们书写为，所以 a， d 等于 b， e 等于 b， c 减 c， e 也就等于 x 减一。当然我们把数据二分之根号十七加一代入，再减去一， 经过计算，那么就等于二分之根号十七减一了。这样呢，我们两种情形讨论完就可以看到。 所以综上所述，此时线段 a、 d， 它的长就应该为， 一个是二分之根号十七加一，另一个则是二分之根号十七减一。当然要我们直接写出 a、 d 的 长的话，我们就书写为二分之根号十七加一或二分之根号十七减一。好， 完整的解决了这道题目之后，我们对它做一下总结。本题考察菱形的判定、翻折的性质、平行四边形的判定与性质 全等、三角形的判定与性质、勾股定律、分类讨论思想等，综合性强，难度大，熟练掌握相关的知识点是解题的关键。好，这道题就讲到这里，再见！