九上数学反比例函数思维导图对称性

上个视频我讲了啥叫反比例函数，这个视频我来讲讲反比例函数的图像。先看 k 大 于零时，以 y 等于 s 分 之六为例，当 s 等于一时， y 等于六，除以一得六。 当 x 等于二时， y 等于六，除以二得三。用同样的方法，依次将 x 等于三、四、五、六时的 y 值求出，在坐标系上将这些点描出来，再用光滑的线将它们连接起来，就得到了函数在 x 大 于零时的图像， 它在第一象限，当然， x 还可以小于零，在这些 x 值的前面加个符号，那 y 的 值自然就也得加个符号。 把这些点在坐标系上描出来，再用光滑的线连起来，就得到了函数在 x 小 于零时的图像，它在第三象限。由此，咱就得到了反比例函数完整的图像。而这两条曲线也有一个专门的名字，就叫做双曲线。 不难看出，双曲线是关于二四象限的角平分线对称的，所以直线 y 等于负 x 就是 它的一条对称轴。另外，双曲线还关于另一条直线对称，即一三象限的角平分线 y 等于 x。 所以，反比例函数的图像是有两条对称轴的轴对称图形。事实上，双曲线也是中心对称图形，你如果把它们以原点为中心，旋转一百八十度，就会和原来的图形重合，所以原点就是它的对称中心。 看来，反比例函数的图像既是中心对称图形，也是轴对称图形。函数图像的对称性说完了，再说说函数的增减性。 不难看出，在第一项线里， y 随 x 的 增大而减小。在第三项线里， y 也随 x 的 增大而减小。所以你可以说在第一项线和第三项线里，函数分别随 x 的 增大而减小。 如果我把 k 变大一点，由六变成十二，用同样的秒点连线的方法，就可以得到 y 等于 x 分 之十二的函数图像。不难发现，这两条曲线与坐标轴的距离要比原来远一些。可见， k 越大时，函数图像与坐标轴的距离越远。 现在 k 大 于零的情况搞清楚了，接着来看看 k 小 于零的情况。以外等于负 x 分 之六为例，还是先把 x 等于一、二、三、四、五、六时的外值求出来，然后上坐标轴秒点连线，发现他在第四项线 在 s 值前面都加个符号，外值自然也得变成原来的相反数。然后上坐标轴秒点连线，发现他在第二项线。 不难看出， y 等于负 x 分 之六的函数图像也是有两条对称轴，并且关于原点对称的双曲线，但它是在二四象限，而且在每个象限里， y 随 x 增大而增大。 如果我把负六变成负十二，用同样的方法做出它的函数图像，不难发现这两条曲线与坐标轴的距离要比这两条曲线远一些。 那这时你能说 k 越大，函数图像与坐标轴的距离越远吗？显然这么说是不对的，因为负十二比负六小。不过，如果你说 k 的 绝对值越大，函数图像与坐标轴的距离越远，那就没问题了。现在反比例函数的图像已经比较清楚了，一起来总结一下。 首先，反比例函数的图像是双曲线，它既关于两条直线对称，又关于原点对称，而且 k 的 绝对值越大，函数图像离坐标轴的距离就越远。其次，当 k 大 于零时，图像在一、三象限，在每个象限里 y 随 x 增大而减小。 当 k 小 于零时，函数图像在二、四象限，在每个象限里， y 随 x 增大而增大。好了，内容就讲到这，速速刷题去吧！

关于反比例函数，你要了解的基本知识点，再次介绍一下这个工具，全科资料都有，可以高清下载打印，有需要的可以拿去。 反比例函数的定义为， y 等于 x， 分 之 k， 其中 k 不 等于零， x 不 等于零。 凸向有以下性质，第一， k 大 于零时，凸向位于一、三象限，在每个象限内外随着 x 增大而减少。第二， k 小 于零时，凸向位于二、四象限，在每个象限内外随着 x 增大而增大。 第三， x 的 绝对值越大，图像越接近 x 轴。 x 绝对值越小，图像就越接近 y 轴。因此，反比例函数的渐近线为 x 轴和 y 轴。第四， k 的 绝对值越大，图像离坐标轴越远，反之越近。 第五，图像的对称轴是直线， y 等于 x 和 y 等于负 x。 第七，正比例函数与反比例函数相交于 ab 两点，则这两点关于原点对称。其中后面三点是图像的对称性质。 下面我们来看 k 的 一些特性，也是最常考的。在图像上，任取一点 p 过点 p， 分 别作 x 轴和 y 轴的平行线与坐标轴围成的面积为 k 的 绝对值。 无论点 p 如何运动，面积都是保持不变的。标上点 a、 点 b 和点 c a、 c 沿着外轴运动，面积也是不变的，等于 k 的 绝对值。 同样， ab 沿着 x 轴运动，面积也保持不变。把矩形改成三角形，则三角形的面积就等于 k 的 绝对值的一半。 点 a 沿着外轴运动，三角形面积也是保持不变的。同样，把点 b 改成点 c 组成的三角形，其面积也是等于 k 的 绝对值的一半。点 a 沿着 x 轴运动，三角形面积保持不变。

同学你好，很高兴为你讲解这道题目关于反比例函数 y 等于 x 分 之五的图像。下列说法不正确的是，本道题目主要考察反比例函数图像的基本性质， 所以我们可以结合题目上给出的反比例函数解析式 y 等于 x 分 之五来绘制成它的函数图像。 首先，我们结合反比例函数解析式的基本形式， y 等于 x 分 之 k， 其中 k 不 等于零。 当 k 大 于零时，图像是经过一三象限的。当 k 小 于零时，图像是经过二、四象限的。而本道题给出的反比例系数 k 是 一个五，它是大于零的，所以该反比例函数的图像就要经过一三象限。 这样一来，我们就在平面直角坐标系中绘制成了反比例函数 y 等于 x 分 之五的函数图像。那么接下来我们就可以根据反比例函数图像的一个基本性质来解答题目。 首先我们来解答 a 选项，当 x 大 于一时， y 小 于五，我们可以由反比例函数的图像得到，当 x 等于一时， y 是 恰好等于五的。由于该反比例函数的图像是经过第一项线和第三项线的， 那么当 x 大 于一时，也就是在第一象限内，我们可以观察到 y 是 随着 x 的 增大而减小的，并且函数的图像始终是位于 x 轴上方的。 所以我们就可以得到，当 x 大 于一时， y 是 应该大于零小于五的，而 a 选项描述的是 y 小 于五，所以这里 a 选项的描述就是错误的。 紧接着我们再来看 b 选项，当 x 大 于零时， y 随 x 的 增大而减小。刚刚我们已经分析过了， x 大 于零时指的是该反比例函数图像位于第一象限内图像的一个性质。此时此刻 y 是 随着 x 的 增大而减小的，所以 b 选项它是正确的。 接下来我们来判定 c 选项图像。关于直线 y 等于 x 对 称，我们都知道反比例函数的图像是双曲线， 其是一个中心对称图形，又是轴对称图形，并且它的对称轴为直线 y 等于 x 或直线 y 等于负 x。 所以 在我们绘制成了直线 y 等于 x 之后，我们可以观察到 反比例函数 y 等于 x 分 之五的图像是关于直线 y 等于 x 对 称的，所以 c 选项也是正确的。 最后我们再来看 d 选项图像经过点负一负五，那么在判定某个点是否在函数图像上时，我们可以将点的其中一个坐标给代入到函数解析式当中 去求出函数的值与另一个点的坐标值是否相对应，从而进行判定。 例如，这道题目当中，我们可以将 x 等于负一代入到反比例函数解析式， y 等于 x 分 之五当中，解得函数值 y 是 等于负五的，此时此刻与这个点的纵坐标是相对应的，所以这个点就在这个函数的图像上， 因此 d 选项也是正确的。那么这道题目结合最后的一个提议，要选择不正确的选项，答案应该选择 a 选项。 下面我们来对这道题目进行一个总结。本题考察了反比例函数的性质，当反比例系数 k 大 于零时，图像是过一、三象限的。当反比例系数 k 小 于零时，图像是过二、四象限的，同时，我们结合会制出的反比例函数图像可判断其增减性。 例如，本道题目当中，反比例系数是一个五，它是大于零的，是过一三象限的。那么在一三象限内，反比例函数它的函数值 y 是 随着 x 的 增大而减小的。同时，在考察反比例函数对称性时，我们要先了解反比例函数图像是双曲线， 其是一个中心对称图形，也是轴对称图形，它是关于直线 y 等于 x 或者直线 y 等于负 x 所对称的。 最后，在求解图像是否经过某个定点时，我们可以先将该点的横坐标代入到反比例函数解析式当中，从而求得函数的 值，然后再将该值与该点的纵坐标进行比对，如果得到的结果一致，那么函数图像就经过这个点，也就意味着这个点在函数的图像上。以上就是本道题目的全部内容，同学们，路虽远行则将至，加油哦！

同学们，前面我们学了关于反比例函数，对不对？反比例函数的性质你都已经了解了吧？ ok， 那 我们今天再来学习一下关于反比例函数的图像，看这个图像会颠覆你的想象，好像和前面都不一样。 ok， 那 我们现在先看一下啊， 反比例函数就是 y 等于 x 等于 k， 对 吧？ k 等于零，它吧？好，那我们先以 y 等于 x 等于一，我们来呃画一下它的图啊， x y 对 吧？它 x 为一的时候， y 为一，对不对？它 x 为二的时候， y 就 等于二分之一了，对吧？它 x 为三的时候， y 就 为三分之一了，那 x 为四的时候，为四分之一，对不对？ x 为五的时候， a 为五分之一，对不对？哎，这个，那我们来看一下这个图像是怎样的， 对吧？一二三四五六一二三四五，对不对？ x 为一的时候，它为一，对不对？对不对？ x 为二的时候呢？它为二分之一，对吧？一半， 对吧？ x 为三的时候呢？它为三分之一，后又一又一半，对吧？ 第一点，二为四的时候，它又减极了，是吧？二为五的时候呢？又要减极了。当 x 为二分之一的时候呢？它为多少？ y 为的 y 为二个点， x 为三个三分之一的时候呢？ y 为等于多少？ y 为等于三？当 y 为等于四分之一的时候呢？ 它又会等于四，对不对？它又为五的时候，五分之一的时候， y 又等于五，对不对？哎，那我们看一下 y 为二分之一的时候对不对？二分之一的时候， y 为 r， 这里是 r， 对 不对？它这个地方对不对？ y 为三分之一的时候三分之一，那大概在这个位置对不对？为三， 它又在变上，它又为四分之一的时候，它又变成了变四了，是吧？它又为五分之一的时候，它又变高了，是吧？然后我们把这些点把它连成线，好不好？你看连起来 对吧？哎，它是条这样的线哦，哈哈。哎，它是这样的线，这边它无。呃，你看 x 能不能等于零？ x 不 能等于零，对不对？所以它无限的接近于 y 轴，对不对？ 无限的接近于 y 轴，但它永远不能等于 y， 对 不对？它是个这样的线，哎，它会无限接近于 x 轴，对不对？它能不能等于 x 啊？你知不知道？哎？它 x， 它 y 能不能等于零啊？ y 也不难等于零，对不对？哎，这就有意思了，他的图像他无限接近于 y， 他 又无限接近于 s， 但他永远不会 s 不 会等于零点， y 也不能等于零，对不对？他就是永远不会跟这个轴，这个坐标轴相交，对不对？而且你看当天大于零的时候，他是在这个上面，他必减的，对不对？ 就是当 k 大 于零的时候，它是。呃， x 大 于零这个这个阶段对不对？它是递减的 来，我们基本上就知道了。 ok， 那 我们看知道 x 大 于零这一段，那 x 小 于零这边会怎么样呢？来，我们来，再来，再来试一下。 然后 x 为负一的时候，它为负一，对不对？它要是为负二的时候，它就负二分之一，它要是为负三的时候，它就负三分之一，对不对？它要为负四的时候，哎，它就为负四分之一，对吧？ 它为负五的时候，它就等于负二。它要是为负三分之一的时候， y 为负三，对吧？但是为负四的时候，哎，就 负四分之一的时候，它为负四，它为负五分之一的时候，它等于五负五，对不对？哎？你看它全部都是负的，那它肯定就在这边，对不对？肯定就在这边，那我们也来画一下， 二三四五六六。 当 s 为。你看 a 为负一的时候，他也在这里。负一负二负三，对不对？负四负五，对不对？为负一的时候， a 在 这里，对吧？ 过来一点，对吧？他要是为负二的时候，他是他成为负二的一，就在这里了，对吧？他要是为负三的 a， 他 就更低一点，对不对？ 他为负四的时候，他又可以低一点，那负五的时候，他能负五分之一，对不对？但是呢？他又为负二分之一的时候，他又负二，他就对到这里了，对不对？他负三的时候，要为负三的时候，他等于三负三，负三又在这里了，当他为负四分之一的时候，他又在这里了。 如果认为负五的时候，它跟负五分界的时候， y， y 跟负五，对吧？你说这，哎，那我们再来把这些线连一下，看它们怎么样？ 哎，它曲线变成这样，这样长，对吧？它也是永远都不会跟左跟坐标左相交，对吧？因为 s 不 能等于零， y 也不能等于零呀，对吧？ 对，当 k 小 于零的时候，对吧？那 x 它小，它小于零的时候，对吧？ x 小 于零的时候，它也是递减的，对不对？它也是递减的，对吧？ 哎，但是我们有没有发现哦，这两个图形它是不是关于这个轴对称了，对不对？ 关于这个轴呢？ y 等于 x， 哎，关于这个轴对称了嘞？啊？是吧？哎，它不仅关于这个轴对称，哦，它还关于这个轴也对称， 它还关于了这个是 y 等于负 x， 它这个是 y 等于 x， 它就关于这两个轴也都对称了。 y 等于负 x， 轴对称， y 等于这个轴，哎，这个关于这两个也对称？嗨，当一个， 当一个图形，它关于这两个角多对称的时候，哎，我们知道，哎，它还关于了中心对称，它关于这个圆点中心对称了，对不对？所以它关于 y 等于 x， 还有 y 等于负 x， 还关于圆点 对称，对吧？对不对？关于这两个轴对称，还关于它的原点作为中心对称，对不对？那它具体的答案是什么？它这两个轴对称， 还关于 x 轴， x 关于原点中心对称， 它，它 y 与圆的中心对称，对不对？所以我们看一下。那如果我这里为二的话会怎么样？就是 y 等于 x 乘以二，对不对？如果如果我偏变大，它会怎么样？我们来试一下。 我们把这个把这个变大一下，当 x 等于，那我就把这边去掉，去掉怎么办？ a 等于负一的时候， a 等于负一的时候， y 等于负二，对不对？当 a 等于负二的时候，它等于负三的时候，哦？当 a 等于负三的时候，看看它等于几？能负三分之二，对不对？ 当 a 等于负四的时候， a 能负二分之一，对不对？ a 等于负五的时候，等于负五分之二，对不对？当 a 等于负二， 对不对？好？他等于负二分之一的时候，他等于负四，对吧？ 等于负三分之一的时候，他负六，是吧？等于负四，负四分之一的时候，他负八负二，负五分之一等于负十，对不对？那我们再来聊一下，就聊了，等于负一的时候，他等于负二等于负一， 他又等于负三的时候，他连三分之二，他又他又，对吧？他连负四的时候，他等于负二分之一，那负五的时候，哎。他在这里。当又等于负三的时候，你当又等于负二分之一的时候，他等于负四，他他他在追着他。 x 等于负三分之一的时候，哎，它等于负六，还说乱倒进呢？你负六，哎，我们再来把这些点连一下起来啊， 哎，这，这方发现了什么？什么规律？哎，这个图像它远离了，现在远离中心，对不对？对吧？那我们当它为负为正的时候，你看大家为正的时候，变化的时候， a 为正的时候，对吧？啊？一二三四五，对不对？ a 为一的时候， a 一 能为二，二能为一，当三三分之二，对不对？当为四的时候，二分之一，当五， 五分之二，对不对？当然负一等于二分之一的时候，它等于四，对不对？当三分之一的时候，它等于六，对不对？四分之一的时候就等于十，对不对？那我们来看一下点等于一的时候，它不等于二，它等于二的这个点在这里对不对？它等于等于二的时候， 它等于三的时候，它等于三分之二，对不对？等于二分之一， 他是五的四加五分之二，对吧？他就等于二分之一的时候，你看他连二分之三等于八，连四连，这样这么大，然后呢？等于三分之一的六还越来越高了，那我们就不画了，然后把这些点沉下去了啊， 哎，这个也是哦，当这个大于零的时候，也是它，它 k 值越大，对不对？当 k 大 于零的时候， k 越大，图像 远离中间， 哎，这个可以，这个是吧？哎，那我们现在都是讨讨论的 k 大 于零的情况，对不对？那如果 k 小 于零的时候会怎么样呢？好，那我们来再看一下， k 小 于零的时候会怎么样 啊？如果 k 小 于零，对， k 小 于零，假如我 k 等于， 那我 k 等于负一， k 等于负一，好吧？那 k 等于负一，我就 y 等于负的， x 等于一，好吧，这，这个，那我们看，我们来看一下啊。 x 对 吧？ y 等于负一，它等于负一，对不对？然后负一的时候，它会正一，它会负正一，它正好有个负二啊，然后为负二负三， 负二就是二分之一，对不对？正二分之一就是正三分之一，负四的时候是四分之一，对不对？当一个负二分之一的时候，那就等于二。当一个人负三分之一的时候，就等于三。没负四分之一的时候，就四，对不对？来，那我们来画下图哈， 负一负二，负三负四， 这个图像对吧？来， a 等于负一的时候，它等于一，等于一，对一， 对吧？等于一，对不对？然后 a 等于负二的时候，等于正二，也等于它一半。好，那我把那个数字把它写在写到上面去。 a 等于负一的时候， a 它等于正一，对不对？等于负二的时候，等于二等于一半，对不对？等于负三的时候， a 等于三分之一，负四的时候，等于四，等于一，等于 负五，这个对不对？ a 等于负二分之一的时候， a 二分之一，它等于，它等于二，对不对？等于四？负三的时候， a 它等于三，对不对？等于四分之一的时候， a 它等于四。咱们把它把这一点点一下起来哈。 哎 哎，他手机是这样子的喽，是不是？好，那我们来再再来看一下它 a 为正的时候，它是这样的啊， 一二三四五一，我们也跟他们几个， 那么你看呢？ a 为一的时候，它为一，为负一，对不对？那它是也等于负二的，对吧？ k 为负一嘛，那你能负二分之一，对不对？负三分之一能负四分之一，那二分之一的时候，它能负二， 能负三，能负四负五，对不对？是不是？来，我们再来描一下底啊？它是为一的时候，你看这是为一的时候啊， 三四五，对吧？等于负一负二负三负四， 哎，当你为一的时候，他等于负一，对不对？当一为二的时候，他等于负二 分之一，然后他就在这里等于负四分之一的时候，等于负四的时候，等于负四的时候，他就等于负四分之一在这里了，他等于等于等于负二的时候。负二分之一的时候， 那 y 等于负二，等于负二分之一，等于二分之一的时候，对吧？等于负二，对吧？它又等于三分之一的时候，对吧？然后 y 等于负三， 它又等于负四。等于四分之一的时候，四分之一的时候，它就等于负四，对不对？那负等于五分之一的时候，它又更小，它等于五分之一，那我们再来把它连一条线，好吧？对， 嘿嘿，它也是这样子的，对不对？但是呢，它其实它的图像它变成了在第二项线和第四项线，对不对？当 k 大 于零的时候，图像 它当 a k 大 于零的时候，它的图像是在图像在底一和底三项线，对不对？ 但是当 k 小 于的时候，图像看第二还有第四小些，对不对？ 但是这个呢？它是当 k， 当 a、 b、 c 大 于零的时候，它是递增的，对不对？ 当一个小渔民的时候，他也地震，对不对？一个小渔民的时候，他也是地震，还是也是地震，对不对？他都是，他都是地震的，对不对？他都是地震越来越大，对不对？哎？他的头像也依然是 y， 关于这两条直线，对，这左右对称，对不对？它依然是等于 y 等于 x 和 y 等于负 x， 这两条直线先凑对称，对不对？它也依然是关于圆点对称，对不对？所以说它图像也依然是关于 y 等于 x 和 y 等于负 x 左右对称， 关于圆点中心对称，对吧？哎，它一本是这样的，对不对？哎，那它也一样，按照我们刚才这种方法，它也是刀切 k 等于负二等于 y， 假如这个 k 等于 y 等于负的， a 乘以二的时候，那我们可以，我们你们下去之后，你们自己画一下这个图哈，那我不要告诉你们，当 k 等于负二的时候 a， 它也是这样子， 好，他也是往这两边走，他也就是说当 k 的 绝对值，因为 k 这个时候其实是 k 等于负二耶，对不对？负二就是他越小呢， k 越小呢？他越远离中心， 对吧？但是这个时候我们就不能够说，当 k 越大的时候，它越远离中心，因为我们当当 k 大 于零的时候，它 k 越大，它越远离中心，对不对？那我们可以这样子讲，当 k 的 绝对值，对不对？ k 的 绝对值越大， 图像越远离中心， 这句话是对的，对不对？我们要记住这句话，当 k 的 绝对值越大时，图像越远离中心，好吧？嗯，关于反比例函数的图像，那我们就讲讲到这里啊。

我们来学习一下关于反比例函数图像的性质。我们发现反比例函数 y 等于 x 分 之 k， 不 管 k 是 大于零还是小于零的，它既是中心对称图形，它的对称中心为圆点，它又是轴对称图形，它一共有两条对称轴，分别是 y 等于 x 和 y 等于负 x。 好，下面让我们接着来学习。我们在同一直角坐标系当中，分别画出 k， 取一、二、三、四、五、六、十的反比例函数图像，我们能得到。如图，我们看 y 等于 x 分 之一，图形为黑色的。当 y 等于 x 分 之二的时候，凸向为红色部分，我们再画出 y 等于 x 分 之三，凸向为黄色的。我们接着画出 k 等于四、 五、六。我们发现当 k 大 于零时，随着 k 的 增大，反比例函数离坐标原点是越来越远的。 那么我们再想一下，当 k 小 于零时，我们还能发现什么规律呢？我们看右图，我们画出，当 k 等于负一时，图像为黑色的部分，当 k 等于负二时呢？图像为红色的部分， 当 k 等于负三时呢，弧线为绿色的部分，依次呢画出 k 等于负四、负五和负六。我们发现随着 k 的 减小，反比函数图像离坐标原点越来越远，那么我们就能得到 随着 k 的 绝对值的增大，反比例函数图像离坐标原点是越来越远的。 好，我们来学习一下题型二，由反比例函数图像的对称性求点的坐标。我们来看第八题，他说让我们求出图中阴影部分的面积，那我们先观察图像发现， 因为反比例函数图像呢，是关于原点中心对称的，那么我们发现灰色的部分其实是等于白色的这个部分，那么 图中两个阴影面积的和就是四分之一圆的面积，那么现在我们就要求出 圆的半径是多少。我们还知道一个已知条件，这个反比的函数与圆的一个焦点为二一，那么我们知道 p 点坐标为二，一，它就是它的横坐标 为二，它的纵坐标呢为一。那么我们呢？根据勾五定理求出这个直角三角形的斜边为根号五， 那么此时根号五就是圆的半径，所以说我们得出圆的半径 r 等于根号，那么图中两个阴影面积的和就等于 四分之一圆的面积 pi， r 的 平方等于四分之五 pi。 那 这道题呢？选择 c 选项， 他说正比例函数与反比例函数都经过点负一三分之五，那我们知道他还关于坐标原点对称， 那么就是说点负一三分之五，也关于原点对称，那么我们能得到对称点为 横，纵坐标互为相反数，他们能得到一负的三分之五。那么这道题 b 经过的另外一个点的坐标就是一到负的三分之五。

九年级数学要点总结反比例函数的概念，建立反比例函数的模型， 确定反比例函数的解析式。易错点分析反比例函数的图像、 反比例函数图像的画法、反比例函数图像 的性质。

家人们，这节我们来复习一下反比例函数的图像与性质。第一化反比例函数的基本步骤， 列表、描点、连线。其实我们做一般函数的图像都是这几步啊，第一步列表，第二步描点，第三步连线。但是反比例函数重要的一点就是在连线的时候，我们一定要用平滑的曲线顺次连接各点， 像一次函数的话，我们可能两个点就能确定了，一条直线就是他的图像，但是反比例函数就比较复杂一点， 对吧？好，我们来看第二，反比例函数 y 等于 x， 分 之 k 的 图像是由两只曲线组成的，当 k 大 于零时，两只曲线分别位于第一、三象限内。 当 k 小 于零时，两只曲线分别位于第二次象限内。好。第三，反比例函数 y 等于 x， 分 之 k 的 图像。当 k 大 于零时，在每一个象限内外的值随 x 值的增大而减小。 当 k 小 于零时，在每一个象限内外的值随 x 值的增大而增大。 就当 k 画个草图。当 k 大 于零时，在 e 三象限， x 越大， a y 越小， x 越大， a y 越小。 当 k 小 于零时，在二、四象限，那它 s 越大，哎， y 也就越大， x 越大，哎， y 就 越大。 好，接下来我们来看题型一下列函数中图像位于第一、三象限的有哪些？第一、三象限的说明什么？说明 k 值它是大于零的。 那我们来看，第一，问图像位于一、三象限的有哪些？ k 是 大于零的有哪些？第一个、第二个、第三个， 它的 k 都是大于零，对吧？第一，它的 k 是 三分之二，第二个，它的 k 是 零点一。第三个，它的 k 是 五，它都大于零，所以它是位于一三象限。好，第四个，它是负的，对吧？所以它是二十四象限的。 y 的 值随 x 的 增大而增大，增大而增大，所以它是二十四象限，所以这个就刚刚好。是 y 的 值随 x 的 增大而增大的，对吧？就是四。 好，我们接下来看第二个题。已知点二， y 一 一 y 二负一 y 三负二， y 四都在反比例函数 y 等于 x 分 之一的图像上， y 等于 x 分 之一一，说明 k 大 于零。 k 大 于零的话，说明什么？ 在一三相线，对吧？在一三相线之后，他问的是比较 y 一 y 二 y 三 y 四的大小。好，我们现在看这四个点，四个点， 第一个点与第二个点二 y 一 一 y 二，很明显在什么？第一项线？在第一项线，随着 x 越大， y 越怎么样越小，因为二比一大， 二比一大，所以什么？所以 y 一 却小于 y 越小， 对吧？好，我们把第一个音判断出来，所以是 y 一 是小，有 y 二的。我们接下来看 y 三跟 y 四，那么 负一，对吧？负二一样的。 在第三象限， x 越大，它反而越小，所以负一对应的是 y 三，对吧？却是小于 y 四的。但是它第三项弦，它不论多大，它都是怎么样小于零的，这第一项弦，它不论多小都怎么样都大于零的，所以我们整个连起来就是什么 y 二大于 y 一 大于 y 四大于 y 三，对吧？好，我们来看第三题。 已知点 p 三二点 q， 负二 a 都在反比例函数 y 等于 s 分 之 k 的 图像上过。点 p， 分 别做两坐标轴的垂线、 垂线与两坐标轴围成的矩形面积是 s。 一 过点 q， 分 别做两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积是 s 二，求 a s 一 s 二的值。 好，我们先不做图，我们先求 k 的 值，对吧？因为屁点、 q 点都是反比例函数， y 等于 s 分 之 k 上的点，所以我们能够算出 k， k 是 x， y 等于 等于三，乘二等于六，对吧？那么 a 就 等于 a， 就 等于 k， x 负二就等于六，除以负二就等于负三，所以问 a 的 值， a 就是 负三，就已经完了。然后我们看刚刚好，我们用一下第二题的这个图，因为 k， k 是 六，所以 k 六大于零，所以它在一三象限。在一三象限的时候，我们看 做 s 轴垂线，做 y 轴的垂线，这个矩形 s 一， 这个矩形。假设啊 s 二，我们不要在意它的横坐标、纵坐标，我们就画两个图， s 一 跟 s 二， 它有什么特点？ s 一， 它的面积是横坐标乘以作坐标， s 二，它的面积也是横坐标乘以作坐标，而横坐标乘以作坐标乘出来是什么？ 是 k 对 不对？所以 s 一 与 s 二是怎么样的相等的？都等于什么？都等于 k， k 是 几啊？ k 是 六 好，他问的是求 a s 一 s 二的值， a 是 多少？ a 是 负三， s 一 等于 s 二等于什么六？好，这节我们就复习到这里，谢谢大家，再见！

今天我们继续来讲天星教育的一遍过啊，初中数学九年级下册人教版，对应好自己的版本啊。现在我们讲第二十六章反比例函数，第二节啊，我们讲第二节， 第二个课时来我们来看题啊，过基础，过能力，两框课。十二、反比例函数图像和性质，我们研究任何一个函数就要知道它的图像和性质 啊，知道这个的话，哎，我们去做题的时候，用性质去做题，有时候是非常方便，非常快。先看过基础 好，他让你画出来这个图像，我们画一个函数图像，其实最基本的方法就是描点法，哎，你找几个点啊，然后他描上去，那我们找谁啊？啊？ 就找你看，就找一个负四对称吗？负三， 负二，负一，一二三四，是不是？我找这个点，那我分别把这个函数值算出来吗？是负四的话，他俩一除是等于一，这是等于三分之四， 这等于二，这等于负四，这等于负二，这等于负三分之四，这等于负一。好，那我们把这个值然后在上面描出来就行了。 画个表格，然后直接一描 好，下面有专门有个表格，哎，教我们描图，你看怎么描啊？所以说，哎，人家 i， 哎，我们描一下，我们用这个蓝笔描一下啊， 然后一嘞，哎，负一嘞，它是四， 对吧？我们就描三点啊，中间的点也可以描啊，三分之四嘛，这个在这有一点点，是不是啊？就在这一点点啊，然后这边是 x 等于一等于负四， x 等于二，应该是负二 等于三，让它负三分之四，就比这个负一多一点点，等于四是负一。好，所以我们就把它函数图像描出来了，就这样， 嗯，这个画了，有点，有点，有点。这个啥啊？你这个没有描的点，你把它趋势也可以画出来， 就这样就行了。那这个呢？就这样，两边要无限靠近着 x 轴，但是我们切记啊，切记，你这底下不要画的勾头。看啊，就这样，不要画，勾过来 啊，来，我给你画的。有的同学画到这了以后就这样，他画完这个图以后，他画成这样， 哎，这就错了，它不能勾过来，它要无限贴近它 啊。这边是无限贴近它，为什么不要勾过来？如果勾过来，这就不是函数了啊，无限贴近它，你看这个，你画成这都错了啊，你看这同学画成这样 就错了，他想把它延伸一下啊，但是延伸，你记着无限按照这个趋势不断靠近两个坐标轴是对的，你勾过来就错了啊，所以说，哎，要注意这个，这个， 这个这个点啊，所以要注意这个点，你看他这个贴画了，他可要抄出来这些点，对不对？但是这个点一定不能勾 啊，不能勾过来就行了，勾过来这个题都画错了啊，有时候在考试中间给你打错，你还不知道为什么啊，就行了，瞄点就行了啊，反比例函数图像，哎，你看光滑曲线啊，哎，多瞄两点，刚才我们瞄了三个点，四个点就行了啊， 所以说，哎，所以说，哎，你那边他与 x y 轴没有交点，并且他不，你看延伸性啊，他不能怎么样了，他要无限接近于 x y 轴，他不能翘起来 啊。然后最后你要把它解析式的这个写上去，你看，比如说这个解析是啥，是不是 y 等于负的 x 分 之四就 ok 了。 好，这是我们画一个图来，这个，这个要求啊，最容易错的是这个啊，所以，哎，他问你，这个图像大致是什么啊？我们说，你看这个图像不就相当于 x 乘以 y 等于二吗？ x 乘 y 等于正的，那是不是在一三象限呀？所以就选 d， 所以说我们说 y 等于 x 分 之 k 啊， x 分 之 k， 得到一个结论啊， k 要是大于零，人家就在以三相减， k 要是小于零，哎，人家就在二四相线，并且这个在这个相线内，它是 y 随 x 增大而增大的啊，这个是减小的啊，这是减小的， 在这个范围内，它是 y， 虽然是增大了，增大。好，所以记住这，这就好选了，所以这个选 d。 说反比例函数的图像一定经过它点。首先你要保证这两，你看是不是 x y 一 乘 对 x， y 乘是不是等于负十二呀？所以这是错的，对吧？啊，这是错的，对吧？啊，这是错的。哎，这不用看嘛，它必须等于负十二，对不对？ 它乘以乘以负十二，说这个图像位于一三象限，我们刚才说过了啊，一三象限是不是 k 减一要大于零啊？所以 k 是 不是大于一啊， 对不对？开到大于一，你看这是开大于一，那他在第几象限啊？大于一了，竖横坐标是大于一， 横坐标大于一，横坐标大于一，是不是在这边，这边是个负了吧？负三对吧？一二三在这一开大于一，对吧？是不是在这，所以在第四象限。 嗯，当然，你这个四不能这样写啊，要写这个四。 好，再下一个说这个图像，他问你 k 一 k 二到底谁大谁小？你这样啊，你画一个竖线，画一个竖线， 你看竖线对应着这俩值，比如说对应这个值角 x 一， 你说对应了这个值，是不是角 y 一 啊？那对应了这个值，是不是角 y 二呀？ 啊？那你看，他问，你看一看二， k 一 是几？ k 一 是不是就等于 x 一 乘以 y 一， k 二是不等于 x 二乘以 y 二呀？那显然 y 二比 y 一 大呀， x 相等呀。所以是不是 k 二大于 k 一 啊？所以填这个号，哎，所以这个记住，越往外面越大，越远越大。记住这个就行了， 越远越大。总结个口诀，越远画的图像在一个地方去比的时候，哎，离他离这个圆点越远就越大啊。好，这就完了，这就结束了。 嗯，好，下一个。 好。他说这个，他说下面结论正确的是，好。图像位于二四象限，不对。咱说前面说过 k 大 于零，是以三象限，这是错误的。图像与坐标轴有公共点没有？因为 x 不 能等于零，对不对？ 对，图像所在的每个象限外随 x 增大而减小，对不对？哎，这是对的。为什么？因为这个图像不就是这个样吗？ 对不对？是不是 y 是 增大减小，所以这是对的。说图像经过 a 三，所以 a 就 等于三分之一， a 要等于三分之一，那这俩一乘不就等于一了吗？你看人家这这俩坐标一乘是等于三的， 是不是 x y 等于三？你这俩一乘等于一是错的啊。所以你知道这个性质，做这题都非常好做。 好。他说具有下列性质啊，这个题，当 x 大 于零， y 随 x 增大而减小，这不就是我们说了这种情况吗？ 对不对？所以 y 等于 x 分 之 k 这种图，那你 k 啥？ k 是 不是大于零啊？大于零随便写个数写个二行吗？ 他写个一，一可以，写几都行啊。好，下一个画图啊，他们都在反比例函数图像上。 好，他问你外一跟外二谁大谁小？好，那我们在哪啊？把这个图像一画就行了啊，或者不画图。你这样来看啊，你看我把 a 写上去， a 负三，逗号外移， b 减负一，逗号 y 二，你看它在这条图像，咱们是说过外旋增大的见效，你看这个，你看这个，负一，负三到负一是不是增大？ 既然负三到负一是增大的，你看这个增大肯定是反向，这是增大的，所以那是不是，那这就得减小，就得反过来，对不对？就是 y 一 大于 y， 对吧？或者你把这个图画出来，在点上找也行啊，反二就直接找啊，找 a 等于负三啊。负三在哪？在这 负三，它在这图像上。图像不是这样吗？对，负三对应的值是几？是不是就叫 y 一 啊？啊？那解负一对应的值是几？负一对应的值是不是 y 二呀？ 显然 y 一 比 y 二大，对不对啊？用图像也行啊，用我刚才那个也行。好了， 下一个啊，说这个图像上有两点它，它说 x 一 小于零，小于 x 二，有它，它为你开的取值范围。你看这个图像，那我们只有两种情况呀，只有两种情况，你哪两种情况？第一种情况 是这样的，对不对？第二种情况是这样的，对不对？ 哎？你去把它点往上面放嘛，对不对？哎？他说啥？他说，哎，是这两点， x 一 小于零，小于 x， 那 就是 x 大 于零，一个大于零，一个小于零啊。那我们来把这个点模拟模拟啊，模拟模拟，说啥？ x 一 小于零， x 一 小于零，在这，对吧？都小于零，那 x r 大 于零， x r 大 于零，在这随便找一点，那它对应的值谁？ y， 那 它对应的值 是 y 一， 他说 y 二大于 y 一， 哎，正好符合了呀。符合不就是四减 k 要大于零吗？所以 k 是 不是小于四啊？你看，我画两个图，准备了，这个不行，我就用上另外一个，就两种情况，谁选谁， 对吧？好，下一个。 他说这三点都在这上面，若它大于它，这三点都在反比例函数图像上， k 不知道大，不知道小呀？好，我们把这个点算出来，画出来 啊，用图像啊，能用图像去解决了问题就是，好啊，负一对应的点在外一，负一在这， 万一在哪呢？不知道，等会再说。这是二，这是三。 好，他说 y 大 于 y 二，你看负一对等点，要么在上面， 要么在下面，对不对？好，假如我在上面，那好，他要在上面，那这个图一定是在下面， 二对应的点叫 y 二，一定在下面，满足不？满足？满足吧。啊？换句话说，你说我不这样，我就想他对应的点在下面， 那，那点对应的一定在上面，你看那 y 一 能大于 y 二吗？大不了吧，所以说，哎，这，我们假设一下，这就出来了，所以说这个点， 哎，这个点就是 y 一 对，那这个点呢？因为它要么是一三，要么是二四嘛，那这个点对应了谁啊？就是 y 二，是不是满足 y 一 大于 y 二，所以人家的图像应该是这样的，对吧， 对不对？所以你看你三对应的知识点是不是 y 三呀？那显然是啥，是不是 y 三大于 y 二呀， 对不对就行了。所以这个画图啊，这道题画图去解的话，哎，相对的比较好啊。好，下面他说啥？如果这个图像经过这两点， 他问你 y 一 加 y 二等于几？那我们知道啊，经过这两点，这个 k 不 管是谁 k， 不 管是谁，在大于零还是小于零，我们这个图像的点，你看横坐标怎么样了？是不相反啊？ 那纵坐标一定是啥也是相反，所以 y 一 加 y 二就等于零啊。你说这个，如果你说我不理解，这样吗？那你看是不是三 y 一 是不是等于 k 啊？ 是吧？负三 y 二是不是也等于 k 啊？ 它们都等于一个 k， 那 是不是三个 y 一 就等于负三个 y 二呀？那你把它移过来，是不是三 y 一 加上三 y 二就等于零，那是不是 y 一 加 y 二就等于零啊？ 因为它们每俩横坐标相乘是都是，都是同样一个 k， 对 不对？哎，所以这就等于零。 好，下一个北京中考题啊，都不难，都不难啊，反比例函数其实没有难题，咱们中考卷子都不难。嗯，好，他说 x 分 之六，这个函数中间，他说 x 大 于等于二是啥？我们还是画图，你看啊。哎，图形控，你只要喜欢画图，做反比例函数的题非常快。你看 x 取值范围。啥叫 x 取值范围？ x？ 比如说这是啊，啊，人家这啊，在这边啊，来这边，对吧？ 这。你看 x 这个图，它对应的函数图像是不是这一段看 y 的 范围？咋看嘞？就是把这一段图像投影到 y 轴上， 看 y 轴这个范围是不是从零，它是二的时候，它是六，它是应该是个三，对不对？ 对，你看 y 的 范围， x 范围是这，因为它无限延伸吗？无限延伸对不对？哎，因为无限延伸它不会相交呀。它不会相交会啥？那就最多它是零，但是不能等于零，对不对？哎，所以它的范围是 y 大 于 零，小于等于三。好，如果 x 是 这个范围，他问你 y 的 最大值 x 哪个范围？那内另外一只图，另外一只图它是，你看是不是在第三项线划，不算划， 对不对？你看好负三对应的值是这啊，因为它们以乘是这，所以负三对应的值一定是几。负二八对那个负一对应的值 啊，负一对应的值是几？是不是应该是负六啊？他说最大值是几，是不是就是谁高谁大嘛？是不是负二呀？所以是负二 是负二就行了。好，所以。哎，这些题，哎，这是基础题，我们都讲完了啊，所以说过基础其实都不难，大家把这个快速的去过一遍就行了啊。好，今天我们就讲到这里。

我主要从以下四个方面做一个简单的反馈，第一个就是内容和内容的解析， 第二个是目标和目标分析，第三个教学问题的诊断，第四个板块教学过程的设计。 呃，本节课第一个是选自北师大九年级上册的章奇史课， 那么这节课为什么起的课题是反比例函数的图像与性质呢？因为它不仅是这一章的一个起始课，而且是在后面的过程中也探究了函数的图像性质，那么所以这节课我主要探讨的是张起始课的上法。 那么现在看教学内容的解析，我主要从两个方面，第一个上下位知识的这段关系。第二个，数学的思想方法。 首先第一个我们上下位的关系是我们在八年级上册北师大教材啊，在八年级的上册已经学习了平面直角坐标系，还有一次函数， 那么现在我们现在这个阶段的话，学习的主要学今天要研究的就是反比例函数的概念与反比例函数图像的画法及反比例函数图像的性质。 那么第三个的话，通过以上的话，我们对后面研究函数与方程的之间的关系，也为后期学习新的内容二次函数作为铺垫。 在思想方法这一块，主要一个属性，结合我们本节课的学习知识的形成过程，由表达式或者解析式到作图，再由作图到性质，充分体现数与形的关系， 由形到形，由数到形的转化的过程。第二个在这过程中体现转化的属于思想。第三个主要体现特殊与一般的关系。 我们首先言从特例抽象出反比函数的概念，有反比例函数概念，我们具体研究具体的实力，再到特殊，然后有特殊的研究反比函数，再再到一般研究一般的反比例函数的性质。 那么作为章奇课的话，那么这一课按每十道课本的话，第一课时是完成反比例函数的概念， 那么今天我设计这节课的话，是作为一个单元在建构，是以单元教学的角度来思考这个问题， 那么第一课时主要完成反比例函数整张的知识课程的体系的建构， 那么从这个角度来说的话，我们是先认识一棵树，还是我们先了解整片森林？基于我我所在班级的学情的考虑，我选择的是我们一起来了解这片森林 好。第二个板块目标的分析目标的分析这一课的教学目标总共有四点，第一点知道反比例函数的图像是双曲线，第二个会用描点法 画反比例函数的图像与性质。第四个会令反比例函数图像的性质解决相关的问题。 比如在这一块的话，我这节课所涉及内容的话，比如说研究 y 等于 x 分 之六的图像，那么后续再研究 y 等于负的 x 分 之六图像，它也是一个运用反比例函数图像的性质来相对应的迁移的解决问题的方式。 那么目标解析的话，主要有四个内容的一体现。第一个的话就是理解反比例函数自变量的取值范围， 那么不包括原点或逼近于坐标轴，他的正负性对自变量的正负性对函数的趋势或性质的影响。第二个主要的过程就是经历作图比较，讨论，最后归纳， 通过图像画图来研究反比例函数的图像。第三个就是从研究的数学思想方法，刚才前面谈到了。第四个就是在探讨反比例函数图像的过程中，加深孩子们互相的合作，交流 好。第三个板块问题的诊断，这一块的话主要有三部分内容，第一个认真难点的分析， 第二个教学支持的条件，第三个教学重难点及突破。首先我们一起来看第一个认知重难点的分析，这块主要有两个内容，第一个就是这两只曲线非连续的 怎么突破，第二个就是画图像，那么画图像的话，本节课我设计的孩子的总共 分几组的话，画的是两个图像，待会我再去详细的说。第二个就是教学支持的条件， 根据本节课教材内容的特点，为了更好的、直观的、形象的突出教学的重点、难点与突破，我采取的是网络画本，由张锦中院是他及他团队开发的超级画板。后续的现在 以网络来做图，网络以通过来网页来做做网络画板为平台绘制反比例函数的图像，同时辅以点跟踪的手段，通过动态的演示观察相应的数值的变化，研究图像变化的趋势。 第二个就是为孩子们准备了这个坐标纸。本节课的教学的重点，第有总共有三个，第一个构建反比例函数的概念，第二块的话，反比例函数的图像与 反比例函数的图像的特征的归纳，以及反比例函数的图像性质。最后一个简单引入反比例函数 k 的 几何意义，这是教学的重点，那么教学的难点的话，第一个由使类归到反比例函数的本质属性深层概念，那么在这一块的话，以本十道教材为主， 那么是以生活中的实力来引入，那么我们到底引入是以生活中的实力引入，还是以从数学的角度来引入的话，根据学情来判断，如果学生的能力能达到抽象的话，尽可能的以 数学的角度来引入反比函数概念，因为孩子已经在初三，这是我个人的思考啊。第二个反比例函数，同样的画法去探究反比例函数的性质的归纳于总结。