逆线参公式法讲解

超级好的一道题，这题会给那些不思考，只知道套用模型的同学好好上一课。不可否认，这题用逆等线确实能解， 但却非常考验你对模型的理解和运用，相当难，我是没想到啊，上个视频评论区有同学通过逆等线悬心解决了此题，爱有兴趣的可以去看一下。不过话又说回来，如果你能从本质去理解，而不是看到了逆等线就生搬硬套， 其实这题也没想象的那么难，毕竟模型只是我们解析的工具，不要把它变成禁锢我们思维的枷锁，抓住本质才是王道。好，咱们先来看题 说在直角三角形 a、 b、 c 中，结边 ab 等于二，这两段的比例为二比一，让我们求这个红色三角形的最大面积。熟悉逆等线模型的同学肯定一眼就看到了这组逆等线，但如果你这就盲目的去利用所学的逆等线结论尝试解析， 你就掉入了出题人设计好的陷阱，你会发现问题会变得很复杂。想要挣脱这思维的枷锁，我们先暂时地忘记逆等线模型，从问题入手，从本质入手。 问题是让我们求这个三角形的最大面积，那我们就将它表示出来，看看它到底是个啥。由上市我们可知，其实所求就是线段 a、 c 与 c、 d 的 最大值。由提议我们容易知道 a、 c 和 c、 d 是 两条动线段， 对于双动线段问题，我们基本思想一定是转化为一定一动才好解决。而本题这两条动线段的乘积又表示着三角形的面积，那么我们会不会想到去构造这样一个三角形，使它的面积等于这个红色三角形， 并且它有一条定边，这样的话我们只要求出这个定边上的高的最大值就可以了。本题只有 ab 式定长， 那么我们就理所应当想到用 a b 去构造这样的三角形，所以我们在 b c 上取一点 e， 使得 b e 等于 c d， 那 么这个红色三角形和这个绿色三角形就有相等的底，和同一条高，自然面积也就相等了，而这个三角形的面积又可以表示为这样。 所以现在问题就转化成了求三角形高 h 的 最大值，也就是求一点轨迹，那就围绕着一点找找条件呗。很容易我们就发现了 c e 是 等于 b d 的， 那么在这个红色直角三角形中，两条直角边的比横为一比二， 即 alpha 的 正切为定值，那么 alpha 就是 定角，所以他的补角贝塔也是定角，那么在这个红色三角形中就出现了定角定长，可这一点诡计为这样的一个圆弧 找圆心都会吧，不会的自学一下吧。剩下的就是计算问题了，就交给你们了。

为什么我都学了几百个几何模型了，可考试的时候还是做不好题呢？难道是模型没有用吗？那当然不是了，不是模型没有用，而是你不会用。就比如今天这道题，你能在一分钟之内看出它里面藏的几何模型吗？ 题目给了我们一个等腰三角形 abc， 他的顶角是一百二十度的，然后 p 点是平面内的一个洞点，并且角 a p b 等于六十度。题目问，若 a p 加 b p 等于六，让我们求 c p 的 最小值。 好题目已经读完了，时间也差不多了，不知道你看出里面藏的几何模型了吗？其实这道题的解法是很多的，那接下来我将分别用手拉手刮豆还有逆等线来跟大家讲这道题。 由于三角形 abc， 它的三边关系我们是知道的，再加上角 a p、 b 等于六十度，如果我们以 b 点为旋转中心，以 b p 为腰，再做一个顶角是一百二十度的等腰三角形的话，然后再连接 c、 d， 那么是很容易证明三角形 cbd 和三角形 abp 相似的相似比，也就是角三。如果我们令 ap 的 长度等于 a 的 话，那 c、 d 的 长度就是角三 a 了。 然后还有角 cdb 等于角 a p b 等于六十度，所以这个时候三角形 c、 d p 刚好是一个直角三角形， 因为 a p 加 b p 等于六，所以 b p 就 等于六减 a， 那 d p 也等于六减 a 了。 接着我们就可以用勾股定律列出一个用 a 来表示 c p 的 式子配方，之后是不是一眼就能看出来，当 a 等于二分之九的时候， c p 会有最小值啊，它是等于三倍刚好三的，你想到了吗？ 好，题目说了， a p 加 b p 是 一个定值，由于角 a、 p、 b 又是定六十度， 所以我们可以考虑去延长 b p， 并且令 d p 等于 a p， 然后再连接 a、 d， 那这个时候 b、 d 的 长度就等于六，它就是一个定长了。而且角 a、 d、 p 是 等于三十度的，也就是说 a 点，它在这样一条直线上运动，你们看这是不是就变成瓜豆了吧？ a 点是主动点， c 点是从动点， b 点是旋转中心，所以我们可以把它看作是将 b、 a 绕着 b 点顺时针旋转了三十度，并且又放大到了它的高三倍，从而得到了 b、 c。 由于三角形 a、 b、 d 里既有定边 b、 d 又有定角三十度，所以我们可以把它当做参照三角形，也就是以 b、 d 为腰，在右边做一个顶角，是一百二十度的等腰三角形，然后再连接 c、 e。 接下来很容易证明，三角形 c、 b、 e 和三角形 a、 b、 d 相似，相似比就是杠三。然后还有角 c、 e、 b 等于角 a、 d、 b 等于三十度。 由于角 d、 b、 e， 它也等于三十度，所以 c、 e 和 b、 d 是 平行的。那现在要求 c、 e 和 b、 d 之间的距离吗？ 所以我们过 d 点向 c 一 做一个垂线就行了。 d、 f 的 长度就是 c、 p 的 最小值了，算出来它是等于三倍根三的，你想到了吗？ 好，以上两种方法都是用相似做的，我知道肯定有同学会问有没有八年级的方法，那现在它来了， 题目说了， a p 加 b p 是 一个定值，而且角 a、 p、 b 又是一个定六十度。所以呢，我想到了把图形补成一个大的等边三角形， 这里 b、 d 是 等于 a p 的， 那这个等边三角形的边长就是六了，不知道大家有没有感觉眼熟了很多呢？三角形 p d、 e 是 一个等边三角形，其中 b、 d 又等于 a p， 这是不是又变成了等边逆等线问题啊？ 相信反应快的同学应该都知道，角 p c 其实是等于六十度的。证明起来也很简单的， 我们过 a 点做一个平行线，再过 c 点做一个平行线，然后就能证明三角形 c g 和三角形 b a、 f 全等了。接下来再去导边，就能得到 e g 等于 c g 了。 所以说三角形 c g 它是一个等边三角形，那角 c g 就是 六十度了，所以 c 点它在这样一条固定的直线上运动。 现在要求 c p 的 最小值，那自然是点到直线垂线段最短啦，算出来 h p 是 等于三倍根三的，你想到了吗？

这道题我必须要再跟你们分享一个解法，虽然之前讲的那个方法很无脑，因为直接套模型就行了，但是 如果真要把具体过程写下来的话，是要用到三次全等的，所以说还是很繁琐的。不过呢，我今天又研究出来了一个只需要用一次全等的方法，真的非常的简单。 首先这一组等边逆等线全等还是逃不掉的，因为接下来要用到这个六十度来做等边三角形，这样角 d， g、 f 就是 六十度了。然后简单打个角可以得到角 a， d g 等于 r 法。 如果我们连接 b 极的话，那这两个小角就都等于二分之二法了。之后你就会发现，角移 b 极等于六十度减二分之二法，而这个角移极 b， 它也等于六十度减二分之二法， 所以这个时候移积是等于 b 一 的。题目说 a d 减 e f 等于六，那也就是移积减 e f 等于六了，所以 g f 就 等于六了，所以 b、 d 就 等于六了。怎么样，是不是非常的 easy 呀？

最值问题一直是咱们同学们非常头疼的一个内容，而这个逆等线求最值就是最值问题中必须要掌握的一种。而这种题型它其实很简单，只要搞明白一道，那所有题目咱们就都会了。咱来看一下， 首先给了一个角， a、 b、 c 等于六十度，然后 bc 等于八， ac 等于十，又给了一个关键的 a、 d 等于 c、 e， 要求的是 c、 d 加 b、 e 的 最小值。 那首先所有求线段相差最小值，那有一个条件，咱们必须得把它们转化成首尾相连的线段啊，咱们把它们连到一起，我们可以把它们分成一条线段，从而转化成两点间线段最短或者说垂线段最短的问题。 所以首先这道题第一步就很明确，这两个线段首尾不相连，那咱们要把它转移到首尾相连的位置，怎么转移呢？那这两个线段很明显没有什么特殊性，所以不管平移也好，旋转也好，包括对称也好，都不太行。 而这道题给了一个很关键的条件，给了一个 a、 d 和 c、 e 是 相等的。 那聪明的你们肯定可以想到，给了线段相等，咱们可以构造全等来转移这两个线段。那怎么构造全等呢？ a、 d 在 这， c、 e 在 这，要转移的 c、 d 和 b、 e 分 别在这， 那咱们发现 a、 d、 c、 d 在 这个三角形 a、 d、 c 里，所以首先咱们可以构造三角形 a、 d、 c 的 全等。构造在哪呢？这个很关键， 我们想让 c、 d 出现在和 b、 e 首尾相连的位置，那你就可以在这个位置， 所以说咱们可以在这构造一个三角形 a、 d、 c 的 全等三角形，那或者说 c、 e、 b、 e 在 三角形 b、 c、 e 里，那咱们也可以构造三角形 b、 c、 e 的 全等三角形构造在哪呢？ 我想让 b、 e 出现在 c、 d 手尾相连的位置，那可以出现在这，所以说咱们可以在 a、 d 的 下面构造一个 b、 c、 e 的 全等三角形，都可以，那咱来试试我构造一个三角形 a、 d、 c 的 全等三角形怎么构造？ 首先 a、 d、 c、 e 相等一个条件了，那剩下好像也没有什么别的条件了，那只能咱们自己做了。所以首先我可以在这做一个这个角等于角 a 啊，或者说咱们过点 c 做一个 ab 的 平行线，也可以得到这俩角相等，那一组边相等，一组角相等了，俩条件还差一个，那题目也没有，咱们还得自己做。 所以我做了角相等之后，我再使这个边啊，写一个 c、 f， 我 使 c、 f 等于 ac， 也就是我做一个角 f， c、 a 等于角 a， 并且使角 f、 c 等于 ac， 那咱们看这俩边相等，这俩角相等， c、 e、 a、 d 也相等，那我连接 ef 这个三角形 ef 和这个 acd 是 不全等 s、 a、 s， 那 可以得到什么呢？全等的话， c、 d 和 ef 是 不是就相等？ 那我想求 c、 d 加 b、 e 的 最小值，我只需要求 ef 加 b、 e 的 最小值， 那他俩是不是首尾相连了？那怎么求他俩最小值？ b 点很明显是固定的， f 点方向固定，长度固定，所以 f 点很明显也是固定的。那 b 加 e、 f 什么时候最小？ 两点间线段最短？我连接 b、 f， 这个 b、 f 的 长度就是 b、 e 加 e f 的 最小值，那同时也就是 c、 d 加 b、 e 的 最小值。 所以这道题答案咱们只需要求出 b、 f 的 长，那怎么求 b、 f 的 长呢？这也是个难点，那往往咱们求最值，最后都是利用勾股定律求这个线段的，所以咱们看一下题目，还给了一个角， a、 b、 c 六十度。 六十度怎么用呢？这俩角相等， cf 和 ab 是 不是平行？平行的话，这儿六十度，那这个角就是一百二十度，那一百二十度的话，延长一下 f、 c 找它的补角六十度， 这儿六十度。有了 bc 等于八，怎么办啊？过 b 点做一个垂直， 那这儿三十度，咱们可以得到 c、 g 等于斜边 bc 的 一半，也就等于一个四，这儿是四，这儿是八。勾股定律， b、 g 等于四倍，根号三。 然后 a、 c 等于十，全等的话， c、 f、 a、 c 相等也等于一个十， 那 f、 g 不 就有了，是一个十四。 b、 g 是 一个四倍，根号三。所以勾股定律， b、 f 的 平方等于十四的平方。加 b、 g 的 平方，也就是四倍根号三的平方， 所以 b、 f 的 平方等于十四的平方。加四倍根号三的平方， 也就等于一个二百四十四。所以 b、 f 就 求出来等于一个二倍的根号六十一。 所以这道题 b、 e 加 e、 f 最小值二倍，根号六十一。那 c、 d 加 b 最小值，也就是二倍的根号六十一。

逆等线模型辅助线你知道怎么去做吗？先从索求逆向思维分析，索求为 c、 e 与 c、 f 合的最小值，而不论是点 e 还是点 f 都为动点。 而在求解两条线段最小值的时候，我们考虑的方向是将其中一条线段进行转化，使得两条线段首尾相连，利用两点之间线段最短或点到直线距离最小为求解。 那么我们不仅要转化线段，更期望在转化线段的过程中使得两动点重合，不仅达到了转化线段的目的， 也将双动点转化为单动点，降低难度就考虑如何转化线段。对于线段的转化有两种方式， 一、对线段进行平移、旋转、轴对称等图形变换。二、构造全等三角形，找到与转化线段等长的线段，那么此时由于 e、 f 两点的位置不确定，那么 e、 f 的 长也就未知。 利用平移转化 c、 e 或者 c、 f 并不知道平移距离，也就无法利用平移进行转化了。若利用旋转转化 c、 e 或者 c、 f， 也不确定旋转角设多少，旋转的方式也不合适。 若利用轴对称，又很难使得 e、 f 两点重合，轴对称的方式也不合理，因此只能考虑构造全等三角形来转化 c、 e 或者 c f。 那 么若要转化 c、 e， 就 考虑构造与三角形 a、 c、 e 全等的三角形。 若要转化 c、 f， 就 考虑构造与三角形 b、 c、 f 全等的三角形的时，我选择转化 c、 e， 那 么就构造与三角形 a、 c、 e 全等的三角形。 已知条件给出 a、 e 等于 b、 f， 那 么就将 b、 f 看作三角形 a、 c、 e 全等三角形的堆阴边，若过点 b 作 a c 的 平行线，借线段长等于 a c， 即可构造出与三角形 a c、 e 全等的三角形了。 此时构造了全等三角形，也就转化为 c f 加 f m 的 最小值了。 由于点 c 为定点，那么对应点 m 必然也为定点。当点 f、 点 c、 点 m 三点攻线时， c f 加 f m 最小，也就是 c m 的 长， 因此求出 c m 的 长即可。而想要求解线段的长度，多数以直角三角形利用勾股定律来求解， 就考虑利用已知条件中的九十度将 c m 放到直角三角形中。逆等线模型辅助线的思路你学会了吗？