五六年级奥数30种题型

一个挂中的分针长六厘米，时针长四厘米，经过三小时后，两根针的尖端分别走了多少厘米？首先看蓝色的分针，一小时他会转一整圈，经过三小时分针，转了三圈， 路程就等于周长乘以三。再来看红色的时针，三小时内他会从十二点走到三点，就是圆的四分之一。那答案又被我们算出来了。

这道题如果你想直接处理，非常的麻烦，但是各位，如果你知道什么叫做蝴蝶模型，那这个题将变得无比的简单。好，各位，什么叫蝴蝶模型呢？比如说我们先给大家取一组平行线，在平行线之间呢？各位老师给大家找一个三角形，那现在注意看，我使这个三角形的底边不动， 顶点左右的移，比如说在这找到一个蓝色的三角形，那么很明显，各位，红色三角形和蓝色三角形，它们的面积是一个同底等高的关系，面积相等，对吧？好，那同学们，在同底等高的基础之上，我把左边我描成绿色， 把右边的各位我描成红色。来，那你再想一下，各位，你说这两个阴影部分，他们的面积是不是一样的？哎，当然是利用什么，利用等式的性质就可以证明啊。比如说各位，这是 a， 这是 b， 这是 c， 两个大的相等，那就有 a 加 b 等于 b 加 c 等式，左右两边同时去掉一个 b， 所以 说各位 a 的 面积 不就等于 c 吗？那两个相等的地方，各位是不是特别像蝴蝶的两个翅膀呀？所以说我们起个名就叫做蝴蝶模型，对吧？有平行就可以找翅膀，那这个时候大家注意观察，你看这个三角形，它是不是在平行线之间啊？ 那如果我想找到他的另外一个翅膀，我只需要连接谁呢？哎，非常好，同学们，我只要把这两个点一连，这个翅膀不就出来了是不是？你看左边的翅膀和右边的翅膀完全一样，刚好在平行线之间，所以说右边如果是六的话，同学们，那左边呢？左边当然也得是六吧， 可以吧，那你注意观察这个三角形啊，这个三角形它是一个钝角三角形，它的外高是多少呢？各位，它的外高是三，那你觉得它的底边是多少？那一个三角形，各位，有了面积，有了高，底边能不能算？当然可以啊，代入面积公式，解个小方程嘛。所以说各位，它的底边 就是四，没问题吧？三四一十二，底乘高除以二，刚好等于六。那最后呢？各位，你说这个三角形能不能算？当然可以啊，你看，那这一段是八长方形的对边相等，这一段不也是八吗？那直角三角形，两条直角边都知道了，那面积好不好算？来，各位把答案给老师打在评论区吧。

甲、乙、丙三人，甲从 a 地出发，乙、丙两人从 b 地，三人同时出发，相向而行，甲每分钟走一百米，乙每分钟走八十米，丙每分钟走七十米。甲和乙相遇后，过了五分钟又与丙相遇，求 a、 b 两地的距离。首先看甲和 乙相遇，这意味着这五分钟甲和丙共同走完这段红色的距离， 这段距离等于甲和丙两人的速度乘以五分钟等于八百五十米。这八百五十米是怎么产生的呢？是因为从出发开始，你跑的比丙快，拉开了距离， 以一分钟比丙多跑了十米。拉开八百五十米的距离需要多长时间呢？时间等于路程差，除以速度差，所以他们已经走了八十五分钟，所以这八十五分钟就是甲和乙相遇时所用的时间。总距离 ab 就 等于甲和乙的速度和乘以八十五分钟，答案就出来了。

小学奥数五百道必学题型注水问题，一个水箱单开注水口四小时能注满，单开排水口六小时能排空，同时打开注水口和排水口，问多久能注满空水箱？首先我们将水箱的总容量看作是单位，一单开注水口四小时能注满， 所以每小时注水四小时能排空，说明每小时排水六分之一。如果同时打开两个口子，就是要算效率的问题。 进效率等于注水效率，减去排水效率四分之一，减去六分之一，通分一下，在这十二份里进去三份，又排出两份，每一小时的注水量就等于十二分之一，那么注满空水箱就是要十二小时。

利润问题，一个水杯卖八十元可以赚成本的百分之二十五，如果卖九十六元，可以赚百分之几。首先我们要算出售价八十的水杯的进货成本是多少， 把成本看作一份利润是零点二五份，那么售价就是一点二五份，所以一份的成本等于售价八十除以一点二五，这样我们就算出了成本是六十四元。现在 如果售价提高到了九十六元，注意进货成本依然是六十四元不变。用九十六元减去成本六十四元，就等于涨价后的利润，净利润等于利润除以成本，所以卖九十六元可以赚百分之五十。

算式中，四百八十除以八等于六十。如果除数增加十六，要使商不变，被除数应该增加多少？除数增加十六，就变成了二十四。要保持商不变，我们需要观察除数发生了什么变化。 从八变成二十四，扩大了三倍。不要以为除数加十六，被除数就照样加十六，这里要按照增加的倍数来算。 根据商不变性质，除数扩大三倍，倍除数也要扩大三倍。原来倍除数是四百八十，扩大三倍就是一千四百四十。但问题问的是倍除数增加了多少，所以还需要把两个倍除数相减，得到的就是增加的量。

各位组合图形集锦来了，我们五年级上的组合图形一共就这八大类，这八大类学会了，期末考试不再丢分。 首先我们看一下基础公式，直接计算，这类题型是属于基础题型，需要注意点的就是对应的底和高要统一，单位要统一，我们在后续的合集视频里面一一表述。第二个面筋逆求类， 这个要已知公式的一些个变形，我们再来看下一个。第三个，等底等高的面积关系，还有组合图形的面积，这个在我们的图形的第一级和第二级里面也有已经表述过阴影部分的面积。 那下面第五个和第六个、第六个呢？是实际应用，关于铺篱笆，铺小路、铺砖这一类的，我们后续都会有详细讲解，我们看下面的图形的变化与面积的变化，比如说长方形拉成平行四边形，周长不变，面积变小，这一类的如何操作呢？ 下一个画图与操作题，所有的八大题型全部在此，各位如果需要的话，可以看一下我们的合集里面的视频，或者是需求有电子版关注我，我是红妈说数学后续的合集陆续上映。

大家好，我是默默老师，欢迎来到默默讲题。先来读题，甲乙两人原有的前数之比为三比二，后来甲又得到一百二十元，乙又得到三十元，这时甲乙前数之比为二比一，求原来两人的前数各为多少？ 好，这道题呢，其实就是五六年级的题，因为出现了笔了，在之前是没有学过笔的，对吧？但是咱们在计算笔的时候，其实咱们在之前也讲过了， 对吧？像这种变笔的问题，通常咱们以前学过，是要利用和，或者是差， 或者利用某一个不变的量就可以求，对吧？但是呢，大家来观察一下，今天他好像没有对不对？因为甲乙两两个人原来是三比二，后来他增加了，他也增加了，最后变成了二比一，对吧？都变了，好像 没有和，也没有差，也没有不变的量，对不对？那这种题怎么办呢？这种题其实咱们叫它什么变比问题。好，在没有和差某一个不变量的情况下，那咱们就要用咱们今天的办法列方程。 好，那列方程那列谁呢？刘璇老师，那我是列甲呢？还是列乙呢？大家来想想，在咱们之前，只要遇到笔，老师一直跟大家说过一句话，要干什么？见笔对了，身份， 只要我求出一份，求出一份的，那我是不是就可以利用笔，就可以找他们等量关系，对不对？假如我列了原来的一份，那甲是不是就是 三乘一份的量，那也就是二乘一份的量，然后再加上他们互相增加的，是不就可以列出现在的笔了，对不对啊？对了，所以来咱们一起来列一下啊。那在这块列的时候怎么样？先解舍， 舍什么舍？原来必须是原来啊，原来的一份为 x， 对了，原来的一份，因为是原来咱们要利用原来，那原来的假呢？是三份，那他就是三 x， 对 吧？那后来呢？他又加了一百二十元，这是假，对不对？那乙呢？原来是两份，那他就是二 x， 他呢又得到了三十，是加上三十，对不对？好，你发现了吗？由原来变成现在以后，就等于了二比一好了，那看看咱们的方程是不是就列出来了，原来的，因为他加上一百二十元， 比上甲，比上 e， 变成了现在的二比一，是不是成立？好，接下来咱们来解一下，解下来的话，就利用咱们的内向级等于外向级，对吧？好，好， 最后边老师不解了啊，最后边 x 就 等于六十，那这个六十呢？就是原来一份的量，那看看他问的是什么？ 原来两人的钱数各为多少，对吧？那原来甲是有三份，三乘六十，那乙呢？两份啊，记住答，要把它的单位写上。左边要答， 甲原有一百八十人，乙原有 一百二十元。好，那咱们的这道题就解完了。那大家在做这种笔的过程中哈，首先可以先观察一下有没有咱们之前学过的和呀叉呀，对不对？某一个不变的量， 那利用，如果有，只要有一个，那咱们就利用以前学过的就可以，但是当没有的话，那就可以利用咱们的 列，方程也是很好求的，对吧？好了，记住，任何时候要鉴别身份，那列的时候要注意了，列必须要列设原来的以分量为 x， 可不以不可以列现在的， 记住了吗？好了，那咱们今天的题就分享在这里，谢谢大家记得点赞关注哦。

一座桥第一周修了四分之一，第二周修了剩下的五分之二，还剩三十六米没修。这座桥全长是多少米？这道题的难点在于单位一变来变去，第一周修了四分之一， 这个四分之一是以全长为单位一的，是修了这条路全长的四分之一。第二周修了剩下的五分之二，也就是把第一天修完剩下的当做单位一，用一条线段表示这座桥的全长。第一周修了四分之一，就把这条线段平均分成四份， 其中这一份就是修的四分之一，这一部分就是剩下的。第二周修了剩下的五分之二，咱们把剩下的平移下来，给他平均分成五份， 其中的两份就是第二周修的剩下的五分之二，还剩三十六米没有修，那剩下的这一部分就是剩的三十六米。观察第二个线段图，他是以第一次修完剩下的为单位移，所以前半部分修了的是五分之二， 那三十六米对应的分率就是单位一减去五分之二，这时我们就可以求单位一了，具体的量是三十六米，他对应的分率是一减五分之二，用具体的量除以对应的分率，就可以求出单位一，也就是第一次修完，剩下的是六十米，也就是这部分是六十米。 这次我们再来看第一个线段图，这个线段图的单位一是这条路的全长，具体的量是六十米，他对应的分率就是单位一减去四分之一， 所以还是用具体的量除以对应的分率，就可以求出单位一，也就是这条路的全长是八十米。这道题你要学会把两幅图分开看，都是用量律对应求出不同的单位。

好，我们来看一道六年级的必考题，如图，正方形的边长是四，我们要求的是阴影部分的面积之差，也就是说啊，比如说各位啊，这个地方叫一，这个地方叫二，现在我要求的是一号 减去二号，这两个的面积之差是多少？哎，那老师，那一号也不好算，二号也不好算，怎么办呢？这个地方我们需要知道一个非常简单的原理，叫做同增同减差不变，什么意思呢？各位给大家举个例子啊，比如说我们说五减三等于多少？ 五减三等于二，那这个时候我们使减数和被减数同时增加相同的数字，比如说我让五加上六， 减去三加上六，哎，这个时候，各位你看同时增加之后，他们的差值会发生改变吗？并不会，他们的差值依然是二。那根据这样的原理，看好各位，现在这的面积我记为三。那现在我使一号和二号同时增加一个三，所以说左边就变成了一号加上三号， 减去二号，也加上三号，那右边呢？各位，右边这个叉值是不是同样不会发生改变，对吧？那这个时候我们只要观察同学们，你看啊，一号加三号能不能算？可以啊，是不是就是这个扇形， 它的半径为四圆，心角为九十度，减去谁减去这个半径为二的半圆就可以了，对吧？那老师，二号加三号这个地方可以算吗？是不也可以，我只需要用正方形的面积减去这个半径为四厘米的扇形 就可以了，对吧？那这个地方各位有数据了，说明这两项的数字我们是一定可以算出来的，如果有兴趣的话，各位可以把你认为的正确答案给老师打在评论区。

首先来看这道题，是我们课前测的一道题，沈阳某小学组织组织四年级学生去棋盘山研学，租了若干辆大客车，如果每辆车坐四十人的话，会有十人没有座位， 如果每辆车坐四十五人，会空出一辆大客车。问你四年级一共有多少名学生，他是一道盈亏问题，这个问题我们后续会陆续的一个系统的讲解。首先我们先来感受一下这个问题，如果每辆车坐四十人，会有十人没有座位，就说明我们针对这辆车多了，十人多的这个地方叫做盈。 如果每辆车坐四十五人，会空出一辆大客车，针对于这辆大客车，我们相当于这些学生其实是少四十五人，少四十五人叫做亏，四十五啊叫做亏。那么我们先要算的是总盈亏差，也就是总的座位差，总的座位差， 那就是十，加上四十五等于的是五十五人啊，我总的盈亏是五十五人，那么每辆车的人数差， 我一辆车坐了四十五人，一辆车坐了四十人，我每辆车的人数差是四十五，比四十多坐了五人好，那我现在要算的是车辆数，车辆数等于的是总盈亏差， 除每车的人数差，那就是我刚才算出来这两个数。五十五除五等于十一单位量，这算的是我现在一共有十一辆车，那么问你一共有多少名学生，根据我上面的两句话，分别都能算出来一个相同的数，就说明这个数算对了。首先我们按第一句话来算， 如果每辆车坐四十人，那我一共有十一辆车，就是四十乘十一，会有十人没有座位，但是我得把这个十人加上，因为他是我们的同学，我们学生我得给他加上，所以现在我有四百五十名学生。 好，那用第二句话再算一遍，验证一下我们的数对不对？如果每车坐四十五人，会空出一辆大客车，说明我只坐了几辆车。只坐了十辆车，那就是四十五乘上括号十一减一，等于的是四百五十名。两句话所得的结果是一样的，所以我这道题一共有四百五十名学生。

好，所有六年级的同学注意了，这个题如果你想直接去找底和高，根本找不到，但是如果你知道如何利用终点去求面积，那这个题就完全不一样。首先各位，整个梯形的面积我能不能算？当然可以啊，但是我们要知道一个东西叫做三角形的终点模型。看好各位， 比如说这里我找一个三角形，然后呢，我连接顶点和三角形底边的中点，那不难看出，左右两个三角形，它们的面积是完全一样的，等底同高，那接下来我要在梯形里面去构造这样的中点模型。哎，很好，我只要连接 c、 e， 是 不就出来了？两个三角形， c， d， e 被中点分开，那这里的面积是三，就说明这里的面积也是三， 对吧？这叫什么呢？中点模型，那还有一个呢，各位看，这个三角形是不是也是被中点分开，那这里的面积是八，那左边的面积呢？各位，当然也得是八， 可以吧，那么整个梯形的面积就是三加三，加上八加八，整个梯形的面积就是二十二。那接下来各位，我们把它擦掉啊， 我们现在还需要求谁呢？各位，现在还需要求这一块的面积，比如说我们叫做 s 一， 那老师求这个 s 一， 我需要利用到其他的模型吗？不需要，只要会找关系就可以了。来看好，接下来我们需要观察两个三角形，一个三角形是它， 比如说各位，就是我们要求的老师用绿色的笔给大家描出来，另一个三角形呢？是它，老师用蓝色的笔 给大家描出来。那同学们，你仔细观察一下，你说这两个三角形，它们之间有什么样的面积关系呢？来我们来分析一下。首先各位，这两个三角形因为 b 点是中点，所以说他们的底是一样的， 对吧？他们的底边的长度是一样的， b e 等于 b f。 哎，那老师他们的高呢？来我们来做一下。各位啊，这个八，他的高就是过 c 点向下去做的一条垂线， 可以吧？那这个 s 一 呢？各位，他的高是过 a 点向下做垂线没问题吧？那同学们能不能看出他们的高是什么关系？哎，老师，他们的高不是二倍的关系吗？你看这一段和这一段，他们的长度刚好就是二倍，为什么？因为 a 点它是中点，这个能理解，可以吧？那老师，底相同的话，如果他们的高 是二倍的关系，那你想一想，他们的面积应该是几倍，哎，他们的面积是不是也是二倍的关系啊？所以说各位，那这个大的三角形，它的面积是八，那小的三角形呢？它的面积不就是四， 是不是刚好就是二倍的关系？那各位，整体的面积你也知道了，三个空白你也有了，那接下来你能不能把阴影部分的面积给老师打在评论区了？

一筐苹果有九十个，吃掉的个数比剩下的多四分之一，这筐苹果剩下了多少个没吃？首先我们把剩下的苹果看做单位，一平均分成四份，那吃掉的有多少呢？它和剩下的同样多，有四份，但是还要多四分之一，也就是多一份， 所以吃掉的一共有五份。这筐苹果的数量一共等于剩下的四份，加上吃掉的五份，一共是九份。题目告诉我们，苹果总数是九十个，所以我们把九十个苹果平均分成九份，每份就是十个，剩下的有四份，所以剩下的就是四十个。

甲、乙两车同时从 a、 b 两地相向而行，经过五小时后相遇，相遇后两车又行驶了三小时，这时甲撤离 b、 d 还有两百千米，乙撤离 a、 d 还有一百六十千米，求 a、 b 两地距离多少千米？ 两车五小时相遇，说明两车五小时就走完全程，那么每小时一共行驶全程的五分之三，那就还剩下五分之二没有走。 两侧离 a、 b 两地的距离一共是三百六十千米，对应的正是全程的五分之二，所以答案又被我们算出来了。视频，同款小学计算方法大盘点七百五十节视频讲解！

乌龟和兔子从同一地点出发，沿通一条笔直的小路同向而行，乌龟的速度是两米每分钟。兔子先让乌龟爬行十分钟后再出发追赶。兔子的速度是十二米每分钟。兔子出发后多少分钟能追上乌龟？追上时，乌龟一共爬行了多少米？ 首先不难看出，乌龟已经跑了二十米，这时兔子才开始追赶，速度是十二米每分钟每分钟。兔子比乌龟多跑十米，路程差是二十米，速度差是十米，说明一分钟就能追十米，两分钟就能追二十米。 再算一下乌龟一共爬行了多少米？乌龟先爬行十分钟，又被追了两分钟，一共爬了十二分钟，答案就被我们算出来了。