解析几何和向量

今天给大家带来一期元旦特级数学视频讲解，首先祝大家元旦快乐，接下来我们来看题，一道融合了向量数列几何最值的题目。首先我们来看第一小问，已知数列 c n 的 通向公式形式，让我们求它的前一千九百七十项的和 依据题目意思，发现其具有周期性，求出周期以一个周期内的具体数据即可求出， 最终答案为九八五。接着我们来看第二题，计算向量 a 减去向量 b 的 模的平方，利用投影模长公式与向量模长平方计算公式即可， 最终答案为两百一十一。最后我们来看第三题，让我们求某三角形面积的最大值，利用维达定律和数形结合等一步一步推导最终解得答案， 最终解得答案为七百五十。相信大家已经发现设计这三个答案的意义了，那就祝大家在新的一年或者是不远的未来上九八五，保底二幺幺，总分七五零。同时再次祝愿大家元旦快乐！感谢收看本期视频！

接上节课的话题，今天跟大家说一下三角形内外重垂四心里面的内心。先看下定义，三角形三个内角角平分线的交点啊，交出这个点呢，叫三角形的内心。 看这个三角形在这里面呢，我画出来了角 a 角 b， 角 c， 三个角平分线出现的情况是，这个和这个相等，这个和这个相等， 这个和这个相等，那这三个小红星呢，会交于一个点，这个点 o 呢，就是三角形 abc 的 内心啊，好看一下它的性质，在初中学段，你们学过的三角形内心的性质呢，主要有下面几个啊，第一个， 内心和三个顶点的连线，这个这个和这个会平分三个内角，这个很明显啊。第二个，内心到三角形三边距离相等，都等于内切圆的半径啊， 这里边我就从三角形里边呢画了一个圆，然后这个圆呢，和这三条边都相切，所以叫做三角形的内切圆出现了相切，那么圆心和切点的连线就一定会垂直于切线。 好，连完了以后，这句话又解释完了啊，因为这三条边呢，这三个线段它都是内切圆的半径，所以长度一律相等啊，都是 r 好。 第三个 角 b、 o、 c 等于九十度，加二分之一角 a 啊， a o， b 等于九十度加二分之一角 c， a、 o， c 等于二分之一角 b 加上九十度啊！这个结论是我们的课本后面一个证明题，非常简单，它是用三角形内角和两次啊，然后算出来的 啊，还有第四个，第四个忘写了啊，第四个是这样的， 这个 o 呢，是三角形 a、 b、 c 的 内心，我把这个 a、 o 连起来并且延长啊，交 b、 c 于点 d， 那 么它就会有一个结论，这个结论是 a、 b 比上 a、 c 等于 b， d 比上 b、 c。 这个是出现在你八年级学的三角形相似里边的内容啊，它也非常重要，角平分线的性质，三 好看。最后一个，这个他说的是三角形的周长，内切圆的半径，三角形的面积这样的关系，这个他是通过面积切割来进行证明的。我给大家切一下， 内心呢，和三个零点连好，连好了以后，你会发现这个三角形 a、 b、 c 被分成了三个三角形 a、 o、 b、 d、 o、 c， 还有 a、 o、 c 啊，所以 三角形 a、 o、 b 加上 b、 o、 c 加上 a、 o、 c 啊。 假设这三条边的长度分别是 a、 b、 c 的， 那么三角形面积 a、 o、 b 就是 二分之一乘以这个边长，然后再乘以高，这个高横面是 o、 d， 也就是说半径 b、 o、 c 是 二分之一乘以 b， c 就是 小 a， 再乘以 r， a、 o、 c 呢，是二分之一，乘以小 b， 这样的话它就等于二分之一 a 加 b 加上 c， 再乘以这个 r， 也就是二分之一乘以周长乘以 内切圆的半径啊。这个它的用法也比较多，比方说已知条件人也告诉你三角形的面积，又告诉你三角形的周长，那么通过它瞬间可以推出来三角形内切圆的半径来啊。 这是初中学段你们所接触的五种不同的性质，好看一下，到了高中你们会遇到什么 在高中学历呢？我们主要研究的是内心的向量式表示，你看一下啊，第一个，它到后边延伸出了什么东西， 它说如果向量 a、 p 等于小于向量 ab 除以 ab 的 膜，加上向量 a c 除以 a c 的 膜，向量 a c 除以零的正无穷。它问你动点屁的轨迹是不是一定会经过内心 啊？这个答案是肯定的，我给大家证一下，但是在证之前的时候你要注意啊，这里边就是经常有同学啊， 在这个地方和这个地方犯一些什么叫做向量 a b 除以向量 a b 的 模。什么叫 a c 除以 a c 的 模？你要知道，向量这个东西，它是既有大小又有方向 这么一个量，他和你物理里边的失量是完全一样。那么现在呢，膜只是表示长度，也就是只是表示大小，所以在一个既有大小又有方向的东西除以大小之后，是不是剩下的就只有方向了？ 而这个大小他自身的大小除以他的大小，约完了以后，是不是就是一啊？所以说向量 ab 除以向量 ab 的 模呢，指的是沿 ab 方向的一个单位向量 啊。同理，向量 a c 除以向量 a c 的 膜，它指的是沿 a c 方向的一个单位向量。那么我们来画一下， 既然说到单位向量这个名词了，那么单位指的长度说的是一好，也就说这个长和这个长呢，都是一。 那现在我们对这个和这个进行合成，进行合成了以后，还是做平行四边形， 比方说它会交于一个点 d， 然后连接 a d， 那么这个加上这个，它就等于向量 a d， 那 么 a d 它到底是一个什么性质的向量？那你看啊，现在既然是这个平行四边形，它的长和它的长一样，所以那 a b d c， 它又构成了菱形， 而菱形有一个非常大的性质，就是对角线会平分对角，那你看 这个其实说的就是 b、 a、 c 这个角的角平分线啊，然后呢，咱们呢，再乘一个长度，那很明显这个点 p 他 就一定会在这个角平分线上，只要在角平分线上，那么他的轨迹就会经过三角形的内心。啊，好看，第二个， 这个，第二个呢，是这边内心到三角形三边距离相等，都等于内切圆半径的一个延伸， 这个延伸呢，在我们高中学呢，是这样做的，他说如果向量 a o a 乘以啊， ab 除以 ab 的 模，减去 a c 除以 a c 的 模，然后等于 o b 乘以什么？ b a 除以 b 的 模，减去 b c 乘 b c 等于零，他说点 o 一定是内心， 这里边我挑一个给你正一下啊，比方说我还是去正一个，这个东西等于零。如果向量 o a 乘以 向量 a b 除以 ab 的 膜，减去向量 a c 除以向量 a c， 它的膜等于零的话，那么向量 o a 就 乘以向量 a b 除以 a、 b 的 膜，它就会等于向量 o a 乘以向量 a、 c 的 膜。 在刚才这个问题上，我已经说了，这个表示沿 a、 b 方向的一个单位向量，这个表示沿 a、 c 方向的一个单位向量啊。那么走到这一步以后，它们两个是个什么意思呢？ 很明显，它指的是向量 o a 再沿 a、 b 方向和 a c 方向的一个投影。好，它的意思呢？是这样的， 然后这是 o o a， 它在沿这个方向的投影也做个垂线出来，那么这个长度它很明显就是这么长。 好，那么同样过这个点做这边的垂线，那 o a 呢？在这个方向，它的投影呢？就是这么长，人家说了，这个投影 和这个图也是相等的，这俩长度一样，而这个 a、 o 呢，它的长度又是个定值。所以根据勾股定律，我们能够得到的是向量 o、 b 的 模等于像啊， o m、 o n， 向量 o m 的 模等于向量 o、 n 的 模啊，就这个长等于这个长。那它非常符合的一个特点就是角平分线上一点到角的两边的距离相等啊， 它就是这个二，它的一个延伸啊。好，再看一下应用，这个应用呢，是这么说的常考问题哈， 如果三角形 a、 b、 c 的 三边长分别为小 a、 小 b、 小 c， 那 么小 a 乘以 o， a 加上小 b 乘以 o， b 加上小 c 乘以 o c， 等于零向量啊。 然后这个东西怎么去处理呢？还是你要伸到我们的奔驰定律非常好用啊？那个奔驰定律， 它这么说哈，三角形 a、 o、 c 乘以 o， a 加上 a， o、 c 乘以 o， b 加上 o b， 这是本生定律。那我要是要证明这个它成立的话，那么它和下边怎么配合起来？是不是你只需要证 这个三角形 b、 o、 c 比上三角形 a、 o、 c， 再比上三角形 a、 o、 b 等于 a 比 b 比上 c， 是 不就可以了？那这个它是非常显而易见的，因为三角形 b、 o、 c， 它这个就是二分之一 b、 o、 c 啊，乘以 b、 c、 b、 c 就是 小 a， 再乘以 r 啊，这个是二分之一 a、 o、 c。 角 b 乘以 r， 再比上二分之一 角 c， 再乘以 r 啊，你看，把二分之二约掉以后，它就是 a、 b、 b、 c。

高一同学们注意了项链这个拦路虎，今天帮你彻底拿下它，千万可不要被它吓到，核心呢就三点。第一点，项链是什么？首先你得明白项链的一个定义，它是有大小有方向的量， 他和标量呢，是完全不同的，这一点咱们得分得清。第二呢，是向量的加减法，关键在理解平行四边形法则，千万不要死记硬背。咱们首先呢，要想象两个力共同作用的一个效果， 平移向量，它呢是起点，从和画平行四边形对角线就是和向量减法呢，看成加负向量，负向量方向相反，这就对了，一个实数成像量，结果是什么？ 长度伸缩方向呢？可能改变正数乘方向，不变负数乘方向相反，这个是基础，必须得熟练起来。中难点来了，咱们数量级也叫点乘公式呢，是有两个 魔长夹角板，坐标分量板。嗯，很多同学只记坐标公式，忽略了夹角定义，这个是一个呃，忌讳的点啊，两个公式咱们都得学会， 坐标计算的时候，对应分量相乘再相加，结果是个数，不是相等记错点。提醒大家一下， 向量平行坐标要满足什么？对应分量成比例，向量垂直呢？布量即为零，这个条件肯定是常考经常考的。坐标代入 立即解方程。还有向量魔长公式，靠下 x 方加外方求魔长求距离， 咱们靠的就上面说的这个。最后，向量真正的威力在于坐标化，咱们要把几何问题转化为代数计算，借力坐标系标，出点坐标， 写出向量坐标，剩下的就是靠公式计算。现在是不是清晰多了，感觉能不能感觉到有所收获呢？咱们快找出自己的练习册，找出两道题，咱们先来试试手。好，下期我们讲向量在物理中的一个应用。

一道题带你学会立体几何和空间向量。哈喽，大家好，我是祝老师，我们今天继续看高考数学真题。这道题是二零二二年高考数学全国一卷的解答题第十九题，我们一起看一下， 他说如图，直三棱柱 abc， 杠 abc 的 体积为四，三角形 a、 e、 b、 c 的 面积为二。 b 杠二， 第一问，让我们求点 a 到平面 a、 e、 b、 c 的 距离，那我们看下应该怎么求它？求点到平面的距离，大家一般想到的思路就是用法向量做数量积，求夹角，然后再求距离嘛。但这道题只给了一个三棱柱的体积，还给了一个三角形的面积， 给的条件非常的有限，那我们用什么方法可以解决？在立体几何当中，我们一般有三种方法，第一种的话就是直接用立体几何的性质，第二种方法是向量，第三种方法是空间直角坐标系。那我们看下这道题我们可以用什么？在条件这么有限的情况下，我们是不是直接用几何的基本性质啊？ 那我们看一下，你看他给了你三角形 a、 e、 b、 c 的 面积是二倍杠二，他让你求的是点 a 到这个三角形 a、 e、 b、 c 的 距离，题里还给了值三棱柱的体积， 那我们可以连线到什么？是不是可以连线到体积？它让求点 a 到平面 a、 e、 b、 c 的 距离，其实也就是求点 a 到这个平面 a、 e、 b、 c 的 高嘛，对吧？那我们看在这个三棱锥 a、 杠 a、 e、 b、 c 中， 它的体积应该是什么？我们写下来，我们设点 a 到平面 abc 的 距离，也就是这条高为 h， 那 么它的体积就是三分之一乘以三角形 a、 e、 b、 c 的 面积，再乘以 h， 是 吧？也就是三分之二倍。根号二 h。 这个三棱锥我们是不是还可以看成是什么？看成是以点 a 一 为顶点，以三角形 a、 b、 c 为底面的一个三棱锥啊。那么这个三棱锥还可以写成 a 一 杠 abc 的 形式，它的体积等于三分之一底，面积是什么？底面是这个三角形 abc 高呢？因为这是个值三棱柱，所以它的高是 a 一， 这就是三分之一乘以 s， 三角形 abc 再乘以 a 一。 那你看这个三角形 a、 b、 c 乘以这个高 a、 a 一， 它的体积什么？它是不是正好就是这个三棱柱的体积啊？所以它等于什么？它就等于三分之一，乘以四就是三分之四，那么也就是三分之二倍。根号二的 h 等于三分之四 h 是 等于根号二的，也就是说点 a 到平面 a、 e、 b、 c 的 距离是根号二。那我们再来看下第二问呢？他说设点 d 为 a、 e、 c 的 中点， a、 a、 e 等于 ab， 平面 a、 e、 b、 c 垂直于平面 a、 b、 b、 e、 a、 e。 让我们求二面角 a、 b、 d、 c 的 正弦值，那一般涉及到求这种正弦值啊，余弦值的这种问题，是不是一定就要用到数量机了？那我们怎么用数量机？是不是一般用空间向量来做数量机是最方便的？ 他说 a a 一 等于 ab 是 一个值三棱柱，所以说 a a 一 和 b b 一 都是垂直于底面的嘛？垂直于 ab 的， 所以说这个四边形 a a 一 b 一 b， 它肯定是个矩形，又因为 a、 a 一 等于 ab， 所以 其实它就是个正方形，对不对？他还说了，平面 a、 e、 b、 c 垂直于平面 a、 b、 b 一， a 一， 这两个平面相交于直线 a、 b， 对 不对？那我们来把 a、 b 一 连起来看一下。我们刚刚说了这个四边形 a、 b、 b 一， a 一， 它是个矩形，所以说 a、 b 一 肯定是垂直于 a、 b 的， 对不对？那么根据平面与平面的垂直性质，我们可以知道， 当两个平面互相垂直的时候，如果其中一个平面内的一条直线垂直于它们的相交直线，那么这条直线垂直于另一个平面，也就是说 a、 b、 e， 它是垂直于平面 a、 e、 b、 c 的， 那又因为 b、 c 属于这个平面 a、 e、 b、 c 中，所以说我们可以得到什么？我们可以得到 a、 b 一， 它是垂直于 b、 c 的， 那我们还知道这是一个直角楞柱，也就是 b、 b 一 是肯定是垂直于底面 a、 b、 c 的， 那因为 b、 c 又属于这个底面 a、 b、 c 中，所以我们可以得到什么？我们可以得到 b、 b 一 是垂直于 b、 c 的， 对吧？我们现在有这两个条件， bc， 它既垂直于 a、 b 一， 它又垂直于 bb 一。 让我们看一下 a、 b 一 和 bb 一 是不是相交于点 b 一 啊？而且它们俩都在平面 a、 b、 b、 a 一 中， 那我们可以得到什么？我们是不是就可以得到 bc 是 垂直于平面 a、 b、 b、 a 一 的，那我们就可以得出 bc 是 垂直于 ab 的， 那你看 abbc 和 bb 是 不是三者两两垂直，那是不是我们就可以建立空间直角坐标系了？ 那我们就以点 b 为圆点， bc 为 x 轴， b、 a 为 y 轴， b、 b 一 为 z 轴，建立空间直角坐标系。那我们看一下第一问，求出了点 a 到平面 a 一 bc 的 距离是根号二。我们刚刚说了 a 一 b 一， 它是垂直于平面 a 一 bc 的， 也就是说这一段 就是点 a 到平面 a 一 bc 的 距离，对不对？那也就是说这块是等于二的， 那这是一个矩形，所以说 a 一 这里是二，那 ab 就 等于二，那 a 一 b 就是 二倍杠二。我们还知道三角形 a 一 bc 的 面积是二倍杠二， bc 是 垂直于平面 a、 b、 b、 a 的， 也就是说 bc 是 垂直于 ab 的， 那我们就可以得到 bc 是 等于二的， 那他让我们求二面角 a、 b、 d 和 c 的 正弦值，那我们是不是就要把点 a、 b、 d 还有 c 他 们几个点的坐标表出来啊？点 a 的 坐标是什么？零逗号二逗号零。点 b 是 圆点，就是零逗号零逗号零， 点 c 就是 二逗号零逗号零，那点 d 是 什么？题里说了 d 是 a、 e、 c 的 中点，那我们看下 a、 e 的 坐标是什么？ a 一 是零逗号二逗号二，那点 d 是 a 一 和 c 的 中点，所以点 d 的 坐标就是一逗号一逗号一。 想求这个二面角的正弦值，我们是不是分别求出这两个平面的法向量，然后让他们做数量积啊？那我们先来求一下平面 abd 和平面 bcd 的 法向量吧。我们设平面 abd 的 法向量 m， 它的坐标为 x， 逗号 y， 逗号 z， 那 么是不是就可以得到 m 与 b a 的 数量积等于零， m 与 b、 d 的 数量积等于零。 那我们看下向量 b、 a 的 坐标是什么？向量 b、 a 的 坐标就是零多少二多少零嘛？二 y 等于零，那这个向量 b、 d 的 坐标向量向量 b、 d 的 坐标是一多少一多少一 x 加 y 加 z 等于零， 那我们让 x 等于一，那我们就可以求出发现了。 m， 它的坐标是什么？是一逗号零，逗号负一。那我们再来求一下平面 b、 c、 d 的 发向量。我们设面 b、 c、 d 的 发向量 n， 它的坐标是 x， 逗号 y 多少 z。 那 么一样的连立方程组， n 与 b、 d 的 发向量等于零， n 与 b、 c 的 发向量作数量积等于零。所以第一个就是向量 b、 d 的 坐标是一多少一多少一，也就是 x 加 y 加 z 等于零， b、 c 呢？向量 b、 c 的 坐标是二多少零多少零，也就是二 x 等于零，那么设 y 等于的话，向量 n 的 坐标就是零，多号一，多号负一。 那两个法向量的坐标我们都求出来了，那我们来求一下两个法向量的夹角吧。 cosine 等于 m 和 n 的 数量积比上 m 的 长度乘以 n 的 长度，也就是负一乘以负一，比上根号二，乘以根号二，等于二分之一。那最后他让我们求的是正弦值。所以我们可以得出 cosine 等于根号下一减 q 三 c 的 平方，也就是一减去四分之一，最后求出来等于二分之根号三。

我们来看标价和坐标，这个也很好理解啊，其实大家在高中都已经学过了，嗯，这里如果是空间内不共面的三个项链，一一二一三，我们是把它叫做基地，对吧？我们连同定点 o， 把它就称之为一个标价。好，当然更进一步，如果一一二一三还都是单位向量，我们就称之为是迪卡尔标价，如果还两两垂直，那么就是迪卡尔直角标价。直角标价，哎，其实就是我们的 直角坐标系嘛，平面直角坐标系，空间直角坐标系。好，这样的标价取名有两种啊，第一种是右手螺旋，第二种是左手螺旋， 我们来看一下有什么区别啊？右手螺旋，这里是一一，这里是一二，这里是一三。左手螺旋，这里是一一，这里是一二，这里是一三。从高中开始，其实我们选择的都是右手螺旋标价啊，我们选的都是它 横轴 x， 纵轴 y， 竖轴是 z， 这是我们高中所学的空间直角坐标系，也符合我们的右手系啊。 那么我们的 x o y 平面， y o z 平面和 z o x 平面会把我们的整个空间分成八个板块。 好，那么这八个板块就叫做八个挂线啊，其实以前我们是平面啊，我们来回忆一下，以前我们是在平面里把这里叫做第一项线，这里叫做第二项线，这里叫做第三项线，这里叫做第四项线，对吧？ x y 的 正轴，第一项线 x 负 y 正，叫做第二项线， x y 都负，第三项线 x y 负叫做第四项线。好，现在这个空间被分成八八个板块了，一样的啊，一二三四还是一样的，只是在一的下面，我们称之为第五 挂线，第六、第七、第八啊，顺时针，逆时针旋转都是好。那么这个点 m， 它会和一个有序数组 x， y、 z 一 一对应，这个我们称之为是 m 点的坐标，同时它还会和向量 r 一 一对应。 好，所以我们向量的坐标也可以看作是点的坐标啊。比如说一些特殊的点，坐标原点零到零到零，坐标上的点 p q， r， p 点是 x， 零零 q 点是零， y 零 z 点是零，零 z 啊，这些都很简单。然后平面上的点 a 点是 x， y 零 b 点是零， y z， c 点是 x， 零 z 点是 x， 零 z， 好。 换句话说，如果它在 x o y 平面内，它的 z 坐标为零， y o， z 平面 x 为零， x o z 平面 y 为零。如果是在轴上，那么就是 x 轴上 y， z 为零， z 轴上 x y 为零。 你画一个图，点一下就看得出来了啊，好，那么它的坐标该如何来写呢？比如说 我们要写这个 m、 o， m 向量的坐标好，那么这个时候我们就取 i、 j、 k 分 别是沿 x、 y、 z 坐标轴上的正向单位向量好，将 o m 向量进行分解好，那么 o m 向量可以看作 o， p 加 p， n 再加 n， m 更进一步， p， n 向量会和 o q 向量相等， n m 向量会和 o r 向量相等，所以它还等于 o p 加 o， q 加 o， r 好， 更进一步， o， p 向量是 x 倍的 i， o q 向量是 y 倍的 j， o r 向量是 z 倍的 k， 所以 r 可以 看作 x， i 加 y， j 加 z， k， 好，这个称之为是向量的坐标。分解是 m 所对应的向量 o m， x， i， y， z， j 加 z k， 它就可以和 x y， z 这个数组一对应， 反过来这个数组也可以和这个向量一对应，自然也和我的点一对应好。所以 x y， z 这个有序数对，我们就称之为向量的坐标，即为 r 等于 x y， z。 嗯，好，所以现在这个坐标不止表示点，还可以表示向量好。那么现在向量的向量的向量计算啊，加减数成，都可以用坐标来运算了。我们举个例子， a 向量分解成 a x a y a z b 向量分解成 b x b y b z， 那 么它的加法 啊，就是横坐标加横坐标斗纵坐标加纵坐标斗竖坐标加竖坐标好，减法类似，好。那么如果是竖乘朗姆打倍的 a， 就是 朗姆打 ax， 横坐标纵坐标朗姆打 ay， 竖坐标朗姆打 a c， 好，那么这里有个比较重要的东西啊，叫做定比分点坐标。这个其实高中也讲过啊，什么意思呢？如果给你一个项链，上面有个点 m， 满足 a m 的 长度等于 m b 的 朗姆答贝， 让你求这个 m 点的坐标，当然， a 点坐标 x y 一 z 一 b 点坐标 x 二 y 二 z 二。好，这个要怎么来做呢？既然我们现在要用向量这个工具来写对不对？那么这个线段得 b， 就 应该分别解成像量得 b 往下用向下去做就行了。我要求的这个分点坐标 m， 不 妨就设成 x y z， 那 么 am x 减 x 一 到 y 减 y 一 到 z 减 z 一。 好， 这个应该没问题啊，它要等于朗大倍的 b m b 点坐标 x， 二减 x 到 y， 二减 y 到 z， 二减 z 二。这里的坐标运算都是用中点坐标减起点坐标来做 好。那么现在我要求的 x y z， 您只要把等式列出来就可以啦。 x 减 x 一， 两个向量相等，意味着对应的坐标也得相等。这里涉及到一个数乘朗姆达乘进去啊，所以 x 减 x 一 就应该等于朗姆的背的 x 二减 x。 好， 那么这里我把 x 的 放在一边，所以一加 x 背的一加朗姆的背的 x 就 应该等于 x， 一 加上朗姆的背的 x 二， x 就 应该等于一加朗姆大分之 x， 一 加朗姆大倍的 x 二。好，同理 y 等于一加 x 分 之 y， 一 加朗姆大倍的 y 二，同理 z 就 等于一加朗姆大分之 z， 一 加朗姆大倍的 z 二。 好，这个应该没问题啊，这叫定比分点。这里特别的是，假设我的 m 取的是个中点，朗姆打为一，二，这段和这段的比是一，那么这个时候代进来二分之 x， 一 加 x 二，二分之 y， 一 加 y 二，二分之 z， 一 加 z， 二。好，终点坐标公式。 好，我们来看其他相关定律啊。好，这里有两个比较重要的定律，一个是如果是两个非零向量 a b， 它们的共线的重要条件。好，之前我们讲了一个之前要回忆啊，共面，我们之前有的两个结论啊， a b 共线， 共线等价于存在为一实数朗姆达，使得 a 可以 表示成朗姆达被的 b。 好， 另外移项之后 a 就 等减掉朗姆达， b 为零，所以也可以说 a b 线性相关。 好，那么来到坐标运算里，我们来尝试推一下啊。好，那么 a 既然可以表示成朗姆打倍的 b， 那 么 x 一 逗 y 一 逗 z 一 就应该等于朗姆打倍的 x 二逗 y 二逗 z 二。 好，数量级啊，这个数乘运算在坐标里就是把这个系数乘进去，朗姆打 x 二逗，朗姆打 y 二，逗，朗姆打 z 二。 所以两个向量又相等，对应就应该相等， x 一 就应该等于朗姆大倍的 x 二， y 一 就应该等于朗姆大倍的 z 二。 所以朗姆大可以用 x 一 比 x 二表示，也可以用 y 一 比 y 二表示，也可以用 z 一 比 z 二表示。所以在坐标计算当中，它还等价于坐标量啊， x 分 量、 y 分 量 和 z 分 量对应成比例啊，它们的比值都是相等的好，所以这里有三个重要条件啊，以前我们学的平面向量、共向量、定力向量以及坐标匀算啊，大家等一下。好，那么同理，来到共面 三个项链要共面重要条件啊，之前我们讲了啊，第一个，这个 a b c 共面啊，那么就是我可以任意选两个作为平面的基底。第三个，用它限行表示，朗姆达 a 加缪 b， 好， 这个朗姆达缪是存在且唯一的 好，这是第一个好。当然我一移向朗大， a 加缪 b 减 c 为零， c 前系数不为零，所以 abc 线形相关， 这是第二个等价条件。好。那么来到坐标计算当中，它还等价于这样一个行列式为零啊。注意，这个行列式好， abc 三个坐标分量， x 一 y 一 z 一。 第二行 x 二 y 二 z 二。第三行 x 三 y 三 z 三为零，当然也可以表示成是它的转制， x 一 x 二 x 三， y 一 y 二 y 三 z 一 z 二 z 三，这个行列是为零。 如果我要算这个行列式，他就应该是等于先看第一行啊，假设我取了 x 一， 那么取出这个数，他的这一行和他的这一列就被消掉，所以还剩下 y 二、 y 三、 z 二、 z 三这个行列式，那么这个二节的行列式你肯定就会算哪个是交叉相乘相减。 好，那么再来看，假设我要算中间这个量 x 二，那把 x 二提出来，它的这个行和它的这列划掉，那么剩下的注意啊，还是顺着摆啊，把 y 三的先放啊，先放 y 三，再放 y 一， 我把它消掉了，从它往后看啊，先看这列 y 三， y 一 比上 z 三 z 一 好。然后最后我把这一项，这一项提出来， x 三提出来，把它印象从它往后看，又是第一列，第二列，所以是 y 一 y 二， x 一 x 二。

平面向量的最值问题，那朱老师呢，用两种方法给大家解析一下啊，这就是利用什么向量的几何意义。哎，直接可以秒掉这道题。好，咱们看这道平面向量的最值问题，那朱老师呢，用两种方法给大家解析一下啊。 咱们看题说，已知平面向量 a 和单位向量 e 满足他俩的夹角是三分之派， 且 a 减去 t 倍的 e 的 模大于等于 a 减去 e 的 模，对于任意的实数 t 横成立。看，好了，这句话告诉我们，变量是 t 得 a 的 模的值为多少？ 好，咱们看这个题怎么做啊？这个题的核心要抓住它的变量是对任意的 t 的 吧，任意 t， 哈，那如果抓住这个核心条件的话，可以达到减少用算量。好，那你看一下，是 a 减去 t 倍的 e 大 于等于 a 减 e 什么意思？ 是不是说 a 减 t 倍的 e 的 最小值是 t 取到几呢？ t 取到一，也就说 这个不等式，它的取等条件是 t 等 e ok 了，那抓住这个条件呢？无论用哪种方法做，都非常简单。好，咱们看法 一，直接去做它。那由于这个式子出现什么和差的模，所以怎么办呢？哎，把它两边同平方，那平方的话，咱们看一下，第一项是 a 模的方，再减去二 a 乘以 e 倍的 t， 再加上 t 方一方，一方等于一，所以加上 t 方大于等于 a 模的方， 再减去二倍的 a 乘以一。好，再加上一方就等于一。 ok， a 模方消掉。一定要记好了，变量是啥？变量是 t， 所以呢，把它整体是关于 t 的 一个式子， t 方减去二， a 乘以 e， 背的 t 好， 再加上二 a 乘以 e， 再减去一 大于等于零， ok， 这个式子要横乘以，那只需要它的最小值大等零。好，那么什么需要最小值呢？ a， t 等于它对称轴等于负的二也等于 b， 就 等于 a 乘以一时取到最小值， ok， 好， 那么这边呢，你可以把它最小值算出来， 让它恒大的零没有问题。好，也可以直接利用咱们刚刚分析的 a 取等条件，那么当 t 取到 a 乘以 e 的 时候，这个取到最小值，最小值大等零，好，而取等条件恰好是一，对吧。好，所以呢，立马可以得到 a 乘以一等于一， ok， a 乘一等于一，来，再利用两个向量相乘，它对应一个 i 模乘以 e 的 模等于一，再乘它的夹角余弦是 cosine 三派等于二分之一等于一，那我就可以解出 a 模就等于二， ok， 所以呢，哎，这个题选的是二 b。 好， 咱们看反二如何利用几何 e 去秒这个题。那咱看一下，说 a 减 t， b 的 e 大 于等于 a 减 e， 很 成立，刚刚讲过，那就说明 a 减 t， b 的 e 的 最角值是 a 减 e。 好， 咱们画下图，那咱们把这个记为向量， a， a 和 e 的 夹角是三分之派， ok， 好， 那么咱们把这个记为 t 倍的 e， t 倍 e 哈， a 减 t 倍的 e， 那 就是 这个向量。 ok， 那 你看一下这个向量什么时候取到最小值，那要注意的是，这个点不变，这个点是变，因 t 的 变化。好，这个什么时候取到最小值呢？哎，非常明显，那就是当过 这点做这边垂直的时候取到最小值， ok， 那 么并且此时什么时候取到最小值呢？这看了，当 t 等一的时候取到最小值。好，所以呢，这边就是多少呢？哎， t 等一了，所以这边长就是长， 就是 e， ok， 这个还是六十度好，这边是 a， 那 么 e 的 魔长等于 e 的 魔长等于一，对吧？那立马，这是六十度，这三十度立马知道 m 等于几呢？ a 模就等于二， ok， 好， 直接也出出来了，这就是利用什么向量的几何 e， 哎，直接可以秒掉这道题。好，这是关于这道题的两种方法，那法一呢，就是利用什么向量和差的模给平方了，那对于法二而言呢，咱们直接利用几何 e 就 ok 了。好，正观这道题。

十七题，如图四棱锥 p 杠 a、 b、 c、 d 中 pa 垂直于底面 a、 b、 c、 d， 然后他说 pa 等于 ac 等于二， bc 等于一， ab 等于根号三。然后第一问，说 ad 垂直于 p、 b、 c 的， 那我们看一下怎么证明。我们要证明一个直线平行，一个平面是不是可以通过直线与直线平行来证明啊？你看 a、 d 和这个平面 p、 b、 c， 它看上去 a、 d 和这个平面 p、 b、 c 中哪条直线平行呢？是不是和 b、 c 看上去是平行的？那我们看一下它俩平不平行。 我们知道这里面四能追踪 pa 是 垂直于底面 a、 b、 c、 d 的， pa 垂直于底面 a、 b、 c、 d。 所以 我们是不是就可以得出 pa 是 垂直于 ad 的？ 狄文还说 ad 是 垂直于 pb 的， 也就是说我们写下来， 也就是说 pa 垂直于 ad， ad 又垂直于 pb， 那我们看 pa 和 p、 b 是 相交于点 p 的， 并且都存在于平面 p、 a、 b 内，是不是我们就可以得出 ad 是 垂直于平面 p、 a、 b 的， 对吧？ ad 垂直于平面 p、 a、 b， 那 我们就可以得到 ad 是 垂直于 ab 的， 也就是角 d， a、 b 是 等于九十度的。 那我们再看一下题里还有什么条件。题里说 ab 等于根号三， bc 等于一， ac 等于二，这是什么？这是不是一个勾股定律啊？根号三的平方加一的平方等于二的平方，对不对？所以角 abc 也是九十度， 那角 d、 a、 b 等于九十度，角 abc 等于九十度，它俩相加等一百八十度，是不是说明 a、 d 是 平行于 bc 的？ 又因为 b、 c 属于这个平面 p、 b、 c 内，所以我们就可以得出 ad 是 平行平面 p、 b、 c 的？ 第一问证明结束，那我们再来看一下第二问，第二问说 ad 垂直于 d、 c， 我 们标出来 a， d 垂直于 d、 c， 且二面角 a c， p d 的 正弦值为七分之，根号四十二，让我们求 a、 d 的 长度。 那一遇到正弦值这种问题，我们是不是直接联想到要用数量机啊？那要用向量的数量机的话，是不是我们就要建立空间直角坐标系啊？那我们建议知道了 a、 d 是 垂直于 dc 的， 那我们是不是就可以以点 d 为圆点 d， a 为 x 轴， dc 为 y 轴，然后以垂直于这个底面 abcd 的 直线为 z 轴建立空间直角坐标系是最好的， 那我们来把图像画一下先，坐标系建好了，那我们想求数量积，是不是要先把这几个点的坐标表示出来呀？分别是点 a， 点 p， 点 c， 还有点 d。 那 么知道点 d 是 什么？点 d 的 坐标是圆点零，逗号零。 那点 a 的 坐标呢？这道题让我们求 a、 d 的 长度，那我们可以设设 a、 d 的 长度等于 a 是 吧？那么点 a 的 坐标什么？点 a 的 坐标就是 a， 逗号零，逗号零。 那点 c 的 坐标是什么呢？我们知道 a、 d 是 垂直于 d， c 的， a， c 等于二，所以我们可以根据勾股定律求出 d、 c 的 长度，那么 d， c 等于什么？ d， c 就 等于根号下四减去 a 的 平方， 所以点 c 的 坐标是什么？所以点 c 的 坐标就是零，逗号根号下四减 a 方，逗号零。那我们再来看一下点 p， 我 们知道 pa 是 垂直于底面 abcd 的， 也就是说 pa 这条直线是平行于这轴的，所以我们就可以得到点 p 的 坐标是什么？点 p 的 坐标就是 a 逗号零，逗号二。 那现在四个点的坐标都求出来了，那是不是我们可以通过求这几个平面，平面 a， p、 c， 还有平面 d、 p、 c 它们的法向量，通过它们的法向量做数量积来求得正弦值啊？那我们先来看一下这个在这个平面 a、 p、 c 中吧。在平面 a、 p、 c 中的向量表示出来，我们看一下向量 a、 c 等于什么？向量 a、 c 等于 负 a， 逗号根号下四减 a 的 平方逗号零，向量 a、 p 呢？用 p 的 坐标减去 a 是 等于什么？等于零逗号零逗号二。那我们设平面 a、 p、 c， 它的法向量 n 一 的坐标为 x 一， 逗号 y 一， 逗号 z 一。 那我们知道平面的法向量与它在平面内的向量的数量积应该为零，那我们就来算一下吧。我们算一下向量 n 一 和向量 a、 c， 它的数量积等于什么？等于负 a 一 乘以 x 一， 加上根号下四减 a 方乘以 y 一， 它的数量积为零。那法向量 n 一 和 ap 的 数量积呢？就等于二倍的 z 一 等于零，那么就可以连立方程组， 对吧？连立方程组，那么得到 z 一 是等于零的。我们设这个 y 一 等于一，那我们最后就可以求出发向量 n 的 坐标是什么？ n 应该等于，那 x 一 就是 a 分 之根号下四减 a 的 平方多少一，多少零， 这是平面 a、 p、 c 的 法向量。那我们再看一下平面 d、 p、 c， 那 我们看一下 d、 c 的 向量是什么？向量 d、 c 等于零，逗号根号下四减 a 的 平方逗号零 dp 的 向量坐标是 a， 逗号零逗号二。那我们设平面 d、 p、 c， 它的法向量 n 二的坐标是 x 二，逗号 y 二，逗号 z 二，所以向量 n 二与 d、 c 的 数量积等于根号下四减 a 方倍的 y 二等于零。 法向量和 d、 p 的 数量积是什么？就是 a 倍的 x 二加上二倍的 z 二等于零，那么连立方程组就可以得到法向量 n 二的坐标，它等于什么？ y 二等于零。我们设 x 二等于一的话，就可以得到法向量的坐标是一逗号零，逗号负的二分之一。 那现在两个平面的法向量我们已经求出来了，我们是不是可以通过这两个法向量的数量积，再除以它们各自的模长，是不是就可以得到这两个平面的夹角的余弦值啊？ 那我们写在上面，我们知道两个平面的夹角 cosine c， 它应该等于 n 一 和 n 二的数量积比上 n 一 的长度乘以 n 二的长度。 由于题里给的它是正弦值啊，所以我们画成余弦值的时候，我们要加一个绝对值， 那我们来看一下吧。 n 一 在这里， n 二在这里，它们俩数量积等于什么？它们俩数量积等于 a 分 之根号下四减 a 的 平方 的绝对值比上它们各自的魔长。 a 一 的 n 一 的长度是什么？ n 一 是 a 方分之四减 a 方，加一乘以 n 二的长度是什么？ n 二是一加上四分之 a 方， 最后化简出来，等的是根号下四加 a 方分之四减 a 方， 那么知道正弦值是七分之。根号四十二，也就是等于根号下 e 减去七分之四十二的平方，就是四十九分之四十二，等于的是根号下七分之一， 那我们来化解一下，最后求出来 a 是 等于根号三的，也就说最终 a、 d 的 长度等于根号三，这就是这道题最后的结果。