5上北师大版数学图形与几何思维导图

典型的问题啊，第七题呢，是我们一个非常非常典型的问题啊，这个题目呢，我们就又遇到了这种类型的结论，大家看 我们又遇到这种类型的结论，我们其实前面学的好多好多的知识点啊，比方说全等啊，角平分线呀，等腰啊，等边啊，其实我们正的结论，最后结结果比倒边的话，都是哪条边等于哪条边， 对吧？他是一个相等的关系，很少会出来这种这种他俩的和等于他，那么我们以后经常会挣这种他俩的和等于某个东西，甚至于我们会挣一些什么呀？挣一些 他的根号几倍，比方说根号二倍，加上他等于他也会证这种问题，那么这种问题呢，他有一个做辅助线的基本想法，叫做截长补短。 二中学校那向那可能说过这几个字，是吧？截长补短，什么叫截长补短？是这样的，就是比方说我们正三条线段长度一样，我们在后边有这个图，大家不用翻，我给大家看一看， 下一页就是截长补短。就现在呢，假如说他想让我们证明这个 a， a 是 最长的， a 等于是 b 加 c， 那 么我们就会有几种想法，最常见的想法呢，我们就在这个 a 上截出一个 b 来， 他是不是还剩下一小段，因为他比较长吗？然后呢，我们如果通过一系列的手段能证明 c 和 f 相等，那你问题是不就解决了，对吧？这种想法呢，叫做截长，把长的截下一段来， 对啊，当然呢，根据题目有也可能截一个 c 出来，证明剩下一段和 b 相等，是吧？这这是根据具体题目具体分析，具体具体分析啊，然后也可能是补短，补短的话呢，会有两种想法，一种想法呢，就是我们在这个短子上面补一段 b， 补一段 c 出来，那你就构造了一个 b 加 d， 是 吧？然后呢我们再证明这个长度和这个长度相等， 对不对？再证明这两个长度相等，或者呢我们还有一种想法是什么呀？我们在这个上面补一段，使得这段长度和这段长度相等，然后呢正这一小段和这一段小段相等 也是可以的，就是补短的话会有这两种想法，根据具体题目的具体分析，有可能这个都能用，都可以啊，比方说我们刚才给大家讲的这个第七题呢，就是就典型的用，用谁都行。 我们来给大家说一下这个第七题啊，就用谁都可以啊，无所谓， 我们来看一下第七题，现在呢这个第七题啊，他告诉我们说这两个角是一样的，角一和角二相等， 然后呢还有一个二倍的关系，假如说这个是阿尔法，这个就是两个阿尔法，就只有这个关系有这个关系。以后呢让我们来证明这个东西，那怎么去考虑呢？这个都得写住，写上，写在书上，那可习呢？ 怎么去考虑呢？我的想法呢，一般都是我向这边，因为他有角平分线啊，这个地方结合着我们的角平分线，所以说我们向这边做个垂，做个相等出来，是不可以在这边做个相等出来，对称过来， 对吧？如果你对称过来以后，对称过来以后，那现在这段长度是不是已经成和这段长度相等了？我们是不是只需要证明这段长度和这段长度相等就可以了？那因为你是做的对称过来的，所以说他和这段长度是不是一样的， 是意思吧？哎，和这段长度一样的，那我们只需要证明这是一个等腰是不就可以了，是吧？所以说我们就把一个问题转化成一个正等腰的了，那我们来看一下这个应该怎么去做？给大家写一下，假如说这是我们的 e， 这两个长度一样， 证明第一种啊，写个一，这种情况呢，叫做解场啊，解场在 a c 上截取 a e， 等于是 ab 就 截一个长度长相等出来，然后呢再连接 d e， 哎，这么一连，那么这个时候呢，我们是不是构造出来一个对称型的全等， 对吧？哎，所以呢，我们会知道，三角形 a， d， b 全等于三角形 a， d， e 用的是 s， a， s， 是吧？我们会得到这两个长度是一样，这两个三角形全等，这两个三角形全等得到以后呢？我们有什么作用呢？我们是不是相当于把这条边就给他搬到了这里， 是吧？然后呢，我们再想办法，正，他是等腰就行了，正等腰的话呢，我们会发现啊，你回过来看我们已知条件，我们的已知条件里边这个是不是还没有使用， 对吧？这个怎么用呢？我们会发现把这个角是不是也可以反过来，你要说他也等于两个 r 法，他等于两个 r 法，他等于一个 r 法，那说明什么呀？ 哎，两倍，是不是说旁边那个是不是也是个 r 法，对吧？旁边也是个 r 法，旁边是个 r 法，是不是就说明他是等腰了，是这意思吧，所以就这么做就可以了。然后呢，这个全等以后呢，我们就会知道，所以呢，我们的这个 b d 等于是 e d， 角 b 等于是。假设这叫角三啊，等于是角三， 角 b 等于是角三，但因为角 b 等于是二倍的角 c， 然后呢，角三等于是角 c 加上角四，这个角三，角 c 加角四，所以我们就会得到角 c 等于角四，这没有问题吧， 对不对？所以角 c 就 等于是角四，把那角一二三四也标在对应的图上，哎，所以呢，我们就会知道， e d 等于是 e c， e d 等于是 e c， 然后因为我们的 a c 等于是 a e 加上 e c， a e 加 e c， 所以 我们的 a c 就 等于是 ab 加 b d 就 可以了。 这第一种想法，我们去截长，截长，我们为什么截一个 a e 等于 a d 出来啊？因为它这个地方是个等腰，是吧？呃，这个地方是个角平分线， 它其实是个对称，你不能截一个和 b、 d 相等出来，你截个和 b、 d 相等出来，很难处理，你很难利用上这个角形的线。大能力啊，一定是结合着我们题去截啊，并不是任意的这截长。然后呢，我们也可以用补短的方式去做， 补短的方式呢，我们在这个里边，我们可以把它延伸一下，假如说到 f 点啊，使得我们使得什么呀？使得这两个长度是一样的， 对吧？使得这两个长度一样，这两个长度一样了。以后呢，那我们现在是不是就正一下，这个长度和这个长度相等问题就解决了， 对吧？你先做一个，这两个长度一样，那么你就正一个，这个长度和这个长度相等问题就解决了，是这意思吧？哎，那么这个时候呢，你补个出来，然后呢把它连起来，连起来，也就说它这个里边是这样的，叫延长，换个颜色 延长 a b 至 f 十，我们的 b f 等于是 d f 就 可以了， 然后呢管这个角呢，叫角五，角五，则我们的角四，角 c， 角 f 等于是我们的角五，就它做了个等腰出来，它底角就一样了，是吧？ 比较就一样了。那么现在我们会发现角 f 和角五的大小是一样的，而我们的角 b 那 个位置啊，角 b 就 上面 abc 这个位置，是不是两个 r 啊？对吧？两个 r， 那 它现在角 f 等于多少啊？ 角 f 等于多少啊？是不是 r 发了，就是和角 c 是 不是就一样了？在这个时候，在因为角 a、 b、 c 等于是两个角 c， 然后呢角 a、 b、 c 等于是角 f 加角五，所以会得到什么呀？角 f 等于是角 c， 是 吧？ 角 f 等于是角 c， 哎，所以我们会得到三角形 a、 d、 f 全等于三角形 a、 d、 c， 它用的是这个 a a、 s， 是 吧？ 哎， a s， 所以 我们的这个 a、 f 等于是 a c， 所以 我们的 a、 c 等于是 ab 加上 b、 d， 是 这种想法， 我说清楚了，孩子们所，所以它是这样的。 这第二，呃，第二种叫补短，第一种是截长，这个补短，我们这种补短呢，就是给它截上一小段，然后再反过来证明长的相等，是吧？我们还有一种补短的方式。第三种，我们延长 ab 至 f 十，我们的这个 a f 等于是 ac， 你 看它和刚才这个不一样啊， 刚才这个不一样，刚才的话呢，我们是使 b f 和 b、 d 相等，我们在相当于在下面够了一个小的等腰，现在我们直接使得这个长度一样，我们再想办法证明这一小段和它相等， 可以吧？哎，你做了这个以后，然后呢，还是在连接， 连接 d， f 还是连上它？这么连上以后，那么我们很容易就能得出女生，我们能得出哪两个三角形？全等啊， 哈哈哈，按照刚才做辅助线的话，我们能得哪两个三角形？全等啊？ 希若我们能得哪两个三角形的呢？哎， a， f， d 和 a、 c、 d 是 吧？哎，我们会得到三角形 a， f、 d 全等于三角形 a、 c、 d， 它用的是什么呀？ s， a， s 是 吧？ 得到这个以后呢，我们就能得到什么呀？角 f 等于是角 c， 就 这样了。得到角 f 等于角 c 了以后，那么是不是就可以得到二都同时二倍的关系，是不是会得到这个也是 r 法， 就会得到这两个是不是都是 r 法？哎，进而就得到等腰了，就解决问题了，是这意思吧。哎，在这个角 f 等于角 c， 再因为角 abc 等于二倍的角 c， 然后呢，角 abc 等于是角 f 加角五，所以角 f 等于角五， 哎，所以我们的这个 ab 加 b、 d 等于是 ac 就 可以了。 大家明白我刚才做这三种方式了吧？这三种呢，就是一总结长，两，一个结长，两个补短，补短的话呢？呃，一种就两种方式都给大家介绍了。好吧，这个题整理一下，整理好了以后呢，大家先。

要注意的就是在画图这里，因为我们要求张角，其实就是画完图之后，求出这里的角和这里的假角就可以了，他们两个相加。而在画图这里我们要注意了，来看一下题目，甲乙两船同时相向并出发 北偏西二十度的方向，那这是西，声音大一点，这是南，那也就是北，这里偏了西二十度的方向，以四十海里的速度航行。以船呢是沿南偏西 八十度的方向，以三十海里的速度航，每时的速度航行半小时后，两船分别到达 b、 c 两处， 以一厘米表示十海里，在图中画出 b、 c 的 位置，这里我们要注意了，这是半小时，而他们的速度是以每时来计算，所以呢，我们要乘上一个二分之一，那这个假船它就行驶了 四十除除乘上二分之一的二十，而乙船呢，就是三十，乘上二分之一等于。 好，然后他说了，甲船是沿北偏 c 二十度的方向，那这时候我们就要遇到我们的量角器， 它是二十米，而一厘米表示十米，所以二十除以十等于二，所以要画二厘米， 那么大小关系，我们这里画两厘米表示一下，然后这里要斜上，它的角度是， 但是这里我们要注意，这里标出的它是 b、 d， 但它是沿这个方向行走，所以呢，它并不是画线段，而是我们要画射线，而在射线中的其中一点 b 是 在这个位置，而三十乘二分之一是十五，还以十五除以十等于一点五，就是说还有一个线段要画这一个线段的一半， 那我们来看一下它的信息，是以船沿南偏西八十度的方向， 而这是 c 点， 这里要注意了，它是画射线，然后这里要标上它是八十度。再来看第二小问，它求的是 a 处，看 b 处 b、 c 两处的正角角 b、 a、 c 的 角度是多少，那也就是 b、 a、 c 这个角度是多少？这里很好求，因为我们知道这里的夹角是二十度，而这里夹角是八十度，那这两者之间我们知道 它们四个角，这里这里、这里都是九十度，但九十度加九十度等于一百八十度。再用一百八十度减去这两个夹角，就可以得出角 b、 a、 c， 它会等于多少 度。关注我，和我一起进步。

结构决定性质，性质决定功能，不能上来就看数量规律，这样很浪费时间的，那图最好三十秒或者六十秒就做出来。各位小伙伴们大家好，今天这期视频的主要内容呢，是对判断推理四大板块之一的图形推理，他的知识点进行一个讲解， 同时呢以思维导图的形式进行一个串讲，能够使大家更加清晰的了解图形推理它整个一个考点和知识点的框架。 那话不多说，直接开始。图形推理呢，主要分为两个部分啊，按照题干图形的这个形式来区分，分为平面图形推理和立体图形推理。立体图形推理呢，它是三维的图形，具有长宽、高像，长方形，正方形或者说是球。然后平面图形推理呢，它是二维的，就去掉了高度，只有长宽，没有高 像长方形，正方形，然后还有圆线段等等之类的一些。然后具体的平面图形推理呢，包括五类具体的规律，数量规律、属性规律、位置规律、运算规律和特殊规律。这五大规律也不是我自己乱作出来的，而是我在我观看了市面上大部分的教徒的老师教学视频， 然后结合我自己的备考经验和考试经验得出来的这五大规律。那第一个数量规律呢，是包含这么几个点，线、面角数 和一些复合规律。复合规律主要是指前面五个结合起来的规律啊，这里呢点呢，主要是考察直直焦点，取取焦点和切点，这里重要的是一个这个切点啊，切点呢，一定是要有曲线，比方说我画一个圆，然后再画一个圆，这两个是两条曲线嘛？然后中间这个焦点是指取取切点， 然后我再画一个圆，再画一条直线，那这个就叫取直切点，切点的话一定是要有曲线在场的，那么我们在什么时候去观察，去识别这个点的数量规律呢？ 当题干，图形出现多条直线或曲线相交，你看这里是不是出现了很多直线或曲线相交，那么这个时候可以考虑去计算点的数量规律。好，这是数量规律点。 再讲一下线的考察方式，主要是考察这么三种啊，直线数、曲线数和笔画数。直线数是图形线条，比方说我画一个正方形，那这个正方形它是不是就是一个简单的图形线条，它包含四条， 四条边嘛？就四条图形，然后呢就是汉字线条，这个汉字线条在图形推理呢，主要有两种方式，一个是没有加粗的，像这个填就没有加粗的，然后还有个加粗的，就是大家就能够非常的看出来，他是那种黑体字写出来的加粗的啊。 像这种就是看汉字的线条，比方说这个天字吧，有两条横线，两条横线，这个叫汉字线条。然后第三个是平行线组数，像这个正方形，它是不是就是两组平行线了？平行线组数，然后曲线数，这个比较简单，就是算曲线的数量，像圆里面这个只有一条吗？然后最后一个是计算笔画数， 主要是区分某个图形，它到底是一笔画图形或者是多笔画图形。那怎么去区分呢？主要是按照基点数来啊。什么是基点数？ 就是从某个点出发，如果他出发之一条线一是不是基数？所以这个叫基点，这个设为点一吧，点一他就是基点，像这条线里面他就有两个基点嘛，所以他的基点数是二，那么他就是一笔画，那多笔画是一样的，多笔画就是基点数除以二，随便写一个哈 三角形，然后再多一条，这样一二再写一条啊，三四，他是不是四个基点，四除以二，所以这个图形呢？他就是两笔画图形， 这就是线的考察规律。那怎么去判别计算线的数量规律呢？第一题干图形出现了很多直线或者曲线，和前面的点的数量规律是一致的啊， 都是出现多条曲线或者直线相交。那么第二个是在指怎么去计算笔画数？什么时候去计算笔画数呢？ 出现多端点图形，像这里这个图形是不是多端点的？或者是日字填字的变形，这个日字是作为一个图形的，整体来看 不能作为汉字线条。像这个字，正常来看，一、二三、四，他是不是四笔画？但是按照图形来算，他只能算一笔画，因为他只有两个积点，只能算一笔画，那填字他就是两笔画图形，这个是线的数量规律。 我们再来看面的啊，面的考察方式主要也有四种啊，面的数量和最大最小面。黑白块面，面的形状属性与外孔之间的关系。我随便画一个面啊， 看这里，假设这里全部都是涂黑了，这个叫黑块面，这里一共有加上黑块面是一、二、三，是不是一共有三个面，然后最大面是这个黑块面？黑块面它也有自己的性质啊，这里是个直角，它是个直角， 而且是个等腰直角，三角形黑块面啊，最大面就是这个黑块面，面的形状就是那个等腰直角。还有这里它是不是也有个四边形 与外框之间的关系呢？你看这个最大面，它与外观是相交了两条边，这个叫与外框之间的关系。 那什么时候去计算面的数量规律呢？当题干，图形的封闭面明显像这里，这个图形封闭面是非常明显的，这个时候呢，可以考虑去计算面的数量规律。 然后第四个是角的考察方式，主要是考察直角的数量，当然其他像什么锐角、钝角也可能考察， 只不过这个题目是偶尔会见到，非常少，像是某年的江速体，还是哪里会出现这种算其他角的，像锐角或者所有角的，那大部分只算这个直角，那在什么情况去算角的数量呢？第一个出现直角元素，像直角三角形啊，直角梯形等等，或者说 存在明显的垂直关系。像我画一个图形啊，这种就典型的，你看是不是分隔成了四个这个矩形， 然后这个直角数就需要去算了啊，当然一般不会出这么多直角数，应该一般是出一到两个，两到三个这种，这个是要计算角数量规律时候面临的识别的图形特征。 然后就是数的考察方式，主要包含元素的数量、元素的种类、元素的换算方法和部分数。比如说我再随便画一个哈， 你看在这里出现了一个圆，有一个球嘛，然后出现了一个三角形，那么这个元素呢？就是两个，然后元素种类一个是圆，一个三角形，它是两种啊，算换算主要是针对他可能出现一系列的图形，比如在第二个图形出现两个圆，加一个这个， 那第三个图形出现两个三角形，这样一种情况就是出题呢，想让你去计算一个三角形等于几个圆，或者是一个圆等于几个三角形，这个就叫元素换算方法。那么部分数指的就是它们相交在一起的时候，看成一个图形整理，它就叫一个部分，就叫部分数。 那我怎么在什么时候去数这个数的数量规律呢？当提纲中心由多个独立的元素组成，比方说像这里，你看是不是很独立，然后有多个这样不同的元素，这个时候就考虑计算数的数量规律。 那最后一个是复合规律，复合规律呢，指的就是前面点、线、面、角数所有的综合起来考察，比如说这里点与点、点与线，或点与面、线与面等等等等，这是复合规律。当然万变不离其中啊，它还是和前面的数量规律是归在一起的。 我们再来看第二大类的规律，是属性规律，主要包含三种啊，三种对称性、曲直性和开闭性。 对称器主要是考察轴对称、中心对称，那轴对称，这就比较简单啊，比如说我随便画一个三角形，那这个就是它的对称轴了，它是不是对称轴图形，它的方向和数量这个方向呢？主要是也是给出一列图形， 比如说第一个是数值吗？第二个就是向顺时针转四十五度，第三个就可能是平的，再转四十五度，那数量呢？第一个是一条，那第二个两条，第三个可能就是三条，这个是对称轴的数量。 那第三种就是考察对称轴和图形点、线面之间的关系。比方说这个对称轴将这个图形是不是过了点啊？是过一个点，然后过一个面和线呢？它是和线有交点，这就叫对称轴和图形点线面之间的关系。 那第四个多个对称图形拼和对称轴之间的关系，这什么意思？比方说我画两个三角形啊，你看这也是一个对称轴，这是个对称轴，说明他们两个对称轴，它是平行的，这个就叫对称轴之间的关系，当然也有可能垂直。那什么时候看出对称的属性规律呢？ 当多个图形明显对称，可通过一条轴线折叠中刻或者旋转一百八十度，就可以考虑看到他的对称的属性规律， 这个是对称的属性规律。然后第二个是取值，取值的考察方式就是纯直线、纯曲线或者曲线混合图形和前面的这个曲线交点和直线交点是差不多的。这个图形识别特征啊，都是出现了明显的圆弧或者全曲线图等等啊。 然后第三个，第三个图形规律是指开闭考察方式主要是考察全封闭、全开放或是半开放、半封闭。我举个例子啊，像这个三角形，他就是没有开放的，这里面和这里面是完全隔绝的，这个叫全封闭。那什么是全开放呢？比方我这三角形是不是隔了一个，他就要全开放图形， 那什么是半开半闭呢？这也是个缺口嘛。那我在这里加条线，你看这里它既有这个什么封闭图形，然后又有开放图形，这个就叫半开放半封闭图形，那怎么去识别它呢？当出现生活化线条或者出现条时候，且没有明显其他个规律， 就是说这个开闭的属性规律是要在其他规律全部试完之后，我们再去试这个规律，这个叫属性规律的开闭规律。 我们再来看位置规律。位置规律主要有四个啊，第一个是平移，第二个旋转，第三个翻转，第四个是图形间的关系。那平移呢？就包括移动方向、移动步数，移动步数到底是恒定的，就都是移动一步，或是递增的一二，或是递减的三二一。这种和前面的对称轴的 旋转移动规律，它是相类似的啊，相类似的。然后图形特征呢，主要是当图形的组成元素基本相同，可以通过元素的平移，上下左右平移找到下一个图形，也是给一组嘛，然后在这个问号在下面 a、 b、 c、 d 四个里面选一个，就是平移的位置规律。 然后第二个是旋转的位置规律。考场方式呢？旋转角度四十度、九十度、一百三十五度，旋转方向是顺时针、逆时针。 那怎么去识别呢？也是组成相同，然后通过旋转可以得到下一个图形。然后第三个规律是翻转规律，主要包括左右翻转和上下翻转。左右翻转就是在中间画一个对称轴嘛，然后上下翻转是上下翻过来对称的图形的呢，也是元素相同，明显镜像通过元素的翻转可以得到下一个图形。 再来看图形间的关系，它是怎么一个考察方式，主要是考察图形的相邻相切和相交相邻呢？大概画一下这两个圆，它就是相邻的 相切呢，就这两个圆，有个切点，有个相切的相交呢？这个比较简单了哈，算交点了，两个交点它是相交的，然后相交它有两个比较明显的区分方式啊， 相交于边或者相交于面，相交于边主要是指相切哈，相切，这里再画一个，你看相交于边，这个边是不是大家的公共边，这个边是不是相交在一条边？只有相交一条边可能在某个图形里面呢？像在这种图形里面， 它和它相交，相交到两条边了，但图形画的可能比较丑啊，大家只要知道这个香蕉边的数量和样式，知道这个规律就行了。然后第二个就是相交于面，比如这里相交于面，这个相交于两个面，然后这个面积呢， 主要是在一些方块里面可能会出现这个面积的计算，这里可能会出现面积的计算，这个叫图形间关系。相交的关系，那么怎么去识别呢？当出现圆或者直线存在切点的时候，可以考虑图形间的关系。 那我们接着来讲运算规律，什么叫运算规律？当我们看到出现九宫格的时候，当出现这种呢，一般就是考运算规律，加减同异或者是黑白运算。那么加减同异呢？主要有这么几个 方向，主要是考察去同存异就去掉相同元素，或是去异存同去掉不同元素，保留相同元素，或者直接叠加在一起。那图形特征呢？是元素组成基本相似啊，相似，然后有相同的线条同步出现， 然后接下来一个是黑白运算，黑白运算呢，大体和价钱同意，他是同归属在一个运算规律里面，只不过黑白运算他更可能是偏向于那种颜色，就是黑白怪的考察。 图形识别特征呢，是当图形出现，图形分割、颜色填充、轮廓相同或者变化无序的时候，可以考虑黑白运算。当黑白运算需要注意一个点哈，就是我们得出来的规律一定要经过计算，比方说在某一个题里面黑加黑，他得到的是黑，但在另外一个图形里面，他可能得到就是白。 所以我们一定要进行运算，一般是先横行计算啊，在那个九宫格里面先横行接着横行，不行我们再竖行，一定要经过验证 才能证明我们这个黑白运算的规律是在这一幅图里面是成立的，这个是运算规律，我们再看特殊规律，当然这个特殊规律是我自己随便弄的啊，便利和功能元素，因为我们可以看到这个特殊规律其实就是前面四种规律的一个结合体。 我们看便利啊，便利是不是元素的增减，那这个元素是不是前面的数量规律数？同样的啊，我们看到功能元素，它也是这样子， 它是包含这个小点、小圈和小箭头，同样的和前面的算数是类似的，只不过这里可能它空元素更趋向于这个标记，比如说标记位置，我画一个三角形，画一个直角，三角形， 这是直角哈，然后我这里标记一个黑点，说明这个点一定是跟随这个直角，说明我们这个角呢，在后面的图形也要去关注到。然后第二个是标记移动轨迹，什么叫标记移动轨迹？然后在第一个图形， 这个小白球是在左上角，然后第二个图形呢，是在右上角，这个就标记移动轨迹，他是在顺时针走吗？而且是走一步。然后第三个是标记点，连线和图形之间的关系，这呢是出现两个标记点，我们那个图形中啊，他自己里面有很多这个线条啊， 然后这里标记一个点，这个标记点，这个在连线，是不是和图形之中的这个虚线或者实线，它是平行的，这个叫标记点，连线和图形之间的关系。然后第四个这个考点是比较新奇的，好像是在二五年的天津卷应该是出现过， 比方说我这里画一个三角形嘛，这里标记个点，这个点发出的直线数是两条，有点像算那个记点数是一致的，他是发出的直线数是两条，当然他有可能发出那个曲线，具体是要按照题目的图形来安排的。 好的，这就是所有的平面图形涉及到的规律。但有的同学可能会问，老师，你这规律这么多，你看你看这么多，我怎么去记？大家不要着急，我教给大家一个好用的比较直观的方法来记哈。 那么记忆的原则主要是按照这么一句话，结构决定性质，性质决定功能。那怎么去解释呢？我就按照拿我们的平面图形这五大类的规律来解释一下啊。 首先这个数量规律是不是指图形的基本构成点心面角数嘛？对不对？点心面角数是组成元素，是组成图形的最基本结构，特别是点啊，点是最小的，然后不同的点连起来就是构成了线， 然后不同的这个线围成的那个封闭空间是不是就叫做面？然后角也是一样的，角就是从一个点发出两条射线，那这个就叫做角。那数就更简单，它就是点心、面角它构成的这么一部分元素。所以说点心面角数它的数量规律呢，是构成图形的最最基本规律， 这个就是叫做结构，然后结构决定性质呢？性质就指属性嘛，就指图形的属性，像这个属性是包括对称、取值、开闭，然后性质决定功能。功能是不是某个事物要对其他的事物产生作用，这功能就是作用嘛，比如说我用手机是用来上网的，那上网就是手机的功能。 那在发挥功能之前，单个图形它的位置是不是要发生改变，发生移动，或者是各种交换等等之类的一些位置上的规律， 然后再和其他的图形进行一个计算。前面这三个呢，是单个的图形自己内部之间的这个规律，然后计算呢，是至少两个及两个以上的图形之间的规律，那这个就比较容易记了，结构决定性质，性质决定它这个计算的功能。 然后除此之外还有一些特殊规律。当然这个特殊规律我刚刚已经讲了，我这里是便利还有一个功能元素，但其实变量、功能元素都是前面四种规律的一个变形题。因为我们知道在国考的十道这个图形推理题中呢，每年总会有那么一两道是创新题，就是一眼咱们大家看不出来的。 那么这个时候呢，他就可以被归为到这个特殊规律里面，我教大家怎么去对付这种题目哈？怎么去对付？我们首先是要按照我们这个规则来，结构决定性质，性质决定功能，但是我们不能直接去看它的结构啊，那个太麻烦了。你看我们的数量规律，这里有直接四十九个点， 但是看我们这个预算规律，是不是只有十九个点，几乎是最少的？那我们就需要从事物的外部去看到事物的内部。什么叫从事物的外部看事物内容？因为我们知道事物的本质啊， 他是很难去认知的，他是不容易去认知的。所以我们看东西，比如说看一个人是不是先从他的外貌，从他的穿搭开始看，然后再去看到他的这个心灵或是本质呢？ 做图形，做平面图形推理，他是一样的道理，通通的去看外表就行了。先看外表，比如说从第四个开始看啊，从计算规律，再看到位置规律，再看到属性规律，最后再去看点心面角数的数量规律。这个就是咱们做题的一个逻辑，做题的时候一定要按照这个逻辑来， 而不是按照其他逻辑。你不能上来就看数量规律，这样很浪费时间的，因为我们时间压力是比较大的嘛，那图子就要三十秒或者六十秒就做出来，如果在图子里面一道题目你花了两三分钟，你花在其他板块的时间就会变得非常紧张了，所以那是不建议的，就是按照这个从下往上去做题。 虽然我们认识规律是从上往下，从本质开始吗？但是做题还是从外表开始，这个是平面图形推理的这样一种记忆和理解的规律。还有这个规则，结构决定性质，决定功能。 那同样的立体图形推理呢？也是按照这么一个规律，结构决定性质，性质决定功能。分为多面形构，是不是结构了，是不是结构。因为立体拼合它是由一组一组这个立体图形搞在一起，它就是呃，图形和图形之间的关系， 拼起来重构嘛，就类似于立体的重构。然后接下来就是洁面图，是一个完整的立体，然后给他砍一刀去识别他这个洁面。然后是图类呢，就是看整个立体的它一个外表的轮廓是什么样子。那具体来讲一下多面重构呢？特征主要是这么两个哈， 要么题目会给出一个多媒体平面展开图，要求从四个选项选出这个立体图形，或者呢给出一个立体图形，要求选出对应的展开图。常见多面体包含这个两种，一个是六面体，一个是四面体或者八面体。还有其他什么不规则多媒体，乱七八糟的一些， 我们只要核心掌握六面体就行了，因为掌握这个六面体，顺带就会学会了四面体和八面体，这是很容易去迁移的。那么六面的解决方法呢？最常考的有这么几种啊，相对面的排除，整个相对面。比方说我画一个六面体的这个视域图啊，大家画的不怎么好啊， 你看这个面和这个面，这 z 字面它就是相对面，然后隔音面，这个面和这个面它是相对面，这个是相对面，这个是我们的核心排除法，我们根据选项来排除嘛，就是核心排除，然后 第二个是公共编法，比如说这个面和这个面这两条编的特征有没有对应啊？这个也是核心的排除法，那么这个箭头法就是做一个介绍，限于时间关系啊，我这里不做一个详细的介绍，就简单介绍的，就找一个特殊面，比如说这个面这里画个箭头，然后根据这个箭头的这几个相对面相对编吗？相邻编 就可以到脑海中给他拼一下，还是比较考验考生的这个空间重组能力的。这个箭头法是需要去简单的掌握一下的。 那同样的四面体和八面体，还有其他不规则多面体，通通都是六面体重构的变形形式。解题方法基本上是按照前面三个，只不过这里多了一个画编法，当然画编法和箭头法是类似的一个比较简单的易懂的这个判别法，这是多面体重构考点。 我们再来看立体拼合，主要题目呢，会给出一组立体图形的分解图，然后判断是不是两个凹凸互补吗？ 凹进去的和凸的，他必须要两个要补在一起，这叫凹凸互补。然后数量守恒，主要是一些这样什么出现了很多正方小方块的， 那么这个数量拼前和拼后，他们数量要保持一致，这个叫数量守恒原则。那第三个考点是洁面图题目，给出一个例子图形，然后找出哪个是他可能的洁面主要是用刀去砍他，那核心原则呢？洁面一定是一个平面图形，这个不用多说嘛，因为刀他不可能是弯曲的， 他有可能有曲线，但是他一定不会是那种三维图形，他一定是个二维图形，平面图形嘛，然后前面是封闭的嘛？ 对，还是比较容易理解。然后刀面延伸原则就是我们砍了这一块，不能只看这一块，因为他会延伸到其他部分，这个叫刀面延伸原则。要解决思路呢，主要是进行一个排除，反向排除， 然后要掌握基础几何体的洁面，比方说正方体有六个面嘛，我在这里面砍一刀，他最多只能砍到六边形，因为他只有六个面，最多只能砍到六边形。这是比较一个基础的几何体洁面的一个形式吧，大家要去熟练掌握。 然后最后一个就是仕途类，这个仕途类在我们之前的这个小学或者初中还有高中这个学阶段已经掌握了。三式图嘛，正式图、左式图，这三式图当然在公考的题目中呢， 其他几个式图像仰视图、右视图和后视图都会考到。题型特征主要有两个，已知立体图形，选择式或者是已知三式图呢，去判断立体图形或者是其他的组成方块数。 那解决技巧也主要有两个哈，也是轮廓法。轮廓法说白了就是硬看，因为我们的基础知识在这里啊，你硬看大部分题目是可以看出来他不会出的，很难。第二个原则是虚实线原则，这里的虚实线原则和我们之前接触到的可能会不太一样，因为在我们之前学习，是不是在没看到的这个线，是不是要标虚线， 但是在公考题目中，这个虚线就行了，标出实线来说明这个题目他没有这个太多的错误， 如果他没有标虚线，我们不能认为他是错的，因为在空号题目他不标虚线，他也是对的啊，所以在这组要注意到这一点，那这里呢就是所有的图形推理的整个考点，整个知识点框架，希望这期视频能给大家一个更好的帮助，谢谢。

好，这里是同步小学数学五年级下册的学习课程，我是李春燕老师，这一讲，我们来复习一下我们这一册所学到的图形与几何的部分。 在这里我们主要讲到了正方体和长方体，那关于长方体都有哪些特征？关于正方体都有哪些特征呢？我们一一来看。 首先说到正长方体，长方体它是由八个顶点，六个面，十二条棱组成的，六个面是相对的面，形状和大小相等， 十二条棱是相对的，棱是长度相同。那么我们知道哈，交于同一顶点的三条棱，那一个是长，一个是宽，一个是高，所以呢，那十二条棱就分成了四个长，四个宽，四个高。 那再来说正方体，正方体也是有八个顶点，六个面组成，他的六个面是完全一样的，还有十二条完全相等的棱， 而正方体它其实是特殊的长方体，那正方体可以看成是长宽高都相等的特殊长方体，哎，其实它俩的形状是一致的，只是长宽高都相等。 那么接下来我们又讲到了如何求长方体正方体的棱长总和呢？ 哎，棱长，对于长方体呢，它有三组，四个长，四个宽，四个高，所以我们要长加宽加高再乘以四。 而正方体呢，十二条棱都相等，所以它用棱长乘十二就可以了。那如何求它们的表面积呢？ 哎，对于长方体和正方体来说，它都是六个面，所以它的表面积就是把这六个面都加在一起就可以了。那 这个面六个面展开，它的展开图，是不是你发现都是长方形，那就相当于我加上六个长方形的面积， 而正方体的我们展开是六个正方形，所以我们就要加六个正方形的面积， 而正方体的展开图是不是有十一种，大家可以去自己拓展一下，把它记下来。好吧， 来我们看看表面积如何求呢？长方体的表面积我们两两相等，前后左右上下，所以我求一个最后乘以二，所以是长乘宽是底面， 那长乘高是前面，宽乘高是侧面，最后再乘以二。正方体的表面积我们怎么求？ 正方体的表面积是六个一样，所以是棱长乘棱长，再乘以六，当然我们也可以用字母表示， ok 吗？那接下来我们再问一下体积。首先先说什么是体积，体积单位又有哪些？什么是体积呢？体积是指物体所占空间的大小，就是指这个物体的体积， 而体积的常用单位有立方米、立方分米、立方厘米，用字母怎么表示？大家也要知道，那容积什么是容积？容积单位又是什么呢？ 容积是指容器所能容纳物体的体积，而常用的单位是升和毫升，用字母 l 和 m l 表示。体积单位之间的进率是多少呢？ 哎，这个进率大家一定要会哈，很多题里边会设这样一个小坑，会让你转化一下单位，不要搞错了，来咱们看哈，一立方米等于一千立方分米，一立方分米等于一千立方厘米， 所以单位之间进率体积就变成了千了啊，一定要搞清楚来，五立方米等于多少立方分米？ 五千对不对？那九千立方厘米等于多少立方分米呢？哎，等于九。好，那么再来说一下，容积单位之间的净率又是多少呢？ 容积单位两个，一个是升，一个是毫升，一升等于一立方分米，一毫升等于一立方厘米，所以它们之间净率也是一千。好了， ok， 在这里哈，需要特别注意这两个的关系相等，但是呢，一个是表示体积的，一个是表示容积的，虽然相等不可以乱用。接下来呢，我们来复习一下长方和正方的体积， 体积怎么计算呢？对于长方，它的体积等于长乘宽乘以高，用字母 a 乘 b 乘 h 表示。 那正方体的体积等于棱长乘棱长乘棱长，它在用公式啊，用字母表示，那就是 a 的 三次方， ok 吗？好了，那么对于长方体和正方体，它都有一个统一的公式，那就是用底面积乘以高，用字母用 s 乘以 h 表示。所有的一切柱体都可以用底面积乘以高来表示， ok， 好， 那么再来说一下，对于一些不规则物体，我们物体体积的测量，我们可以采取排水法 啊，我们把物体放入到水中，如果说哎，没有水溢出，那么上升部分的那部分水的体积就等于物体的体积。 如果是一个满的水，你把它放进去，溢出的那部分水的体积就等于物体的体积，这叫排水法，我们可以用它来测量不规则物体的体积。 ok， 好 了，孩子们，那么这部分内容咱们就知识点复习到这里，接下来那么我们来练习一下吧，这些填空题，孩子们自己填一下， ok， 好， 我们一起来看啊，一起来看。首先我们来看第一题，纯考我们的基本公式的 一个正方体棱长为八分米，它的棱长总和是哎，九十六来，它的表面积是 三百八十四，它的体积是五百一十二，做对了吗？ 来，这个我不需要讲的对不对？第二题，一个正方题，它的底面积，看清楚哈，底面积是二十五，那么它的表面积和体积都是多少呢？ 底面积是指一个面的面积，表面积那就是六个面，所以六乘二十五，那它的体积呢？体积可以等于底面积乘高，那也说我们必须知道它的高高实际上就是它的棱长喽。 面积二十五，也就是五五二十五，所以它的棱长为五，那就用二十五乘以五，等于一百二十五。 ok， 来看第三题，一个正方体的每条棱长都扩大到原来的两倍是什么？是棱长扩大到原来的两倍，那么请问它的体积会扩大到原来的几倍呢？ 这道题如果你不记得，或者是你不知道，你可以怎么办？对了，设一个具体值，那我比如说设成原来的棱长为一，那一乘一乘一是它的体积，那么现在扩大到原来的两倍就变成二乘二乘二， 哎，体积扩大了多少倍？八倍对不对？那表面积扩大到原来的几倍呢？ 一乘一乘以六，面积是六，二乘二乘以六是二十四，扩大到原来的四倍，哎，所以要注意哈，体积、 面积、棱长，如果它们扩大是怎样的一个关系，一定要清楚。好，我们再来看第二题。 第二题呢，要做一对无盖的长方体水箱，说水箱的底面是一个边长为三点五分米的正方形， 高呢是四分米，请问做这对水箱至少要多少平方分米的铁皮？你看，我特别去注意了一下单位对不对，因为我很怕单位有坑啊，怕单位有坑啊，这里还是除了单位以外，这道题还有坑，你看出来了吗？ 这里做一对还有个坑，五盖， 哎，所以要注意哈，来，我们一起看。要做一对，所以我先求一个，再乘二就可以了。要做无盖，那我就是求四面的面积，再加一个底面， 上面没有是不是？所以这些心里要有数啊？来，那么接下来求要求四面，咱们看看哈，它的底面是边长为三点五分米的一个正方形，既然底面是正方形，那就说明 前后左右四个面都相等，是三点五乘以四的一个面，再乘以四是不就四个面，然后再加底面，底面是三点五乘三点五， 哎，正方形，那我就求出来了，一个水箱的最后还要干嘛？再乘以二就可以了， ok， 好， 最后算的三点五乘以四是一个面的，再乘以四是四个面的， 再加上三点五乘三点五是底面的，这是一个水箱，再乘以二两个水箱， ok 吗？好，最后算的结果为，一百三十六点五叫平方分米，单位不要写错，最后答一下， ok， 好了哈。那么接下来我们再来看第三题。第三题说，哎，张阿姨家有一个长方体形状的水箱，又是水箱啊，说厚度忽略不计，忽略不计厚度情况下，说明它的体积可以仅此看成是容积。 那说这个里边可以装二百四十升的水，这句话想要告诉你什么， 哎，非常好，有同学看出来了哈，告诉二百四十升的水，说明它的体积可以看成是二百四十。 对了，我说的是体积叫立方分米，因为这是升，读到这马上想到这，说，这个水箱长一点二米，宽零点四米，求，这个水箱的高是多少 啊？这道题里边注意单位问题了是不是？所以说呢，二百四十升，它实际上是等于二百四十立方分米，后面都是米作单位，所以我们需要把它转化为立方米， 净率是一千，由低单位化，高单位除以一千小数点向左移动 三位， ok， 所以 等于零点二四，体积有了，体积除以长除以宽，就是这个水箱的高。 ok， 最后算的结果为零点五米， ok 了吗？ 好了哈，那这道题书要注意哈，单位错了，这道题你所有的都白做了。 ok， 那 么这条内容呢，咱们就复习到这里了，我们下节再见，位置的确定对吧？那么我们还记不记得如何来确定物体的位置，如何来描述我们的行走路线呢？ ok， 在 描述物体位置的时候，我们要注意，第一，观测点在哪，方向是在哪个方向上，角度是多少，距离又是多少，这几个点抓住了，那我们来确定一个位置就比较能够准确了。 好，所以呢，第一个，我们要读懂方向标，哎，是朝哪个方向走的，另外要明确观测点也是站在哪里去看的。 第二呢，要测出描述方向所需要的角度啊，不能光说东北方向，那角度不准确，那这个方向上的 地方有很多，是不是？哎，就不能够准确的确定了。那么第三个，要确定观测点到观测目标之间的距离，也就是这个长度，我们把它确定出来， ok 吗？好啊， 那我们在描述物体路线，描述某条路线的时候也要注意什么呢？在这里哈，第一，我们要清楚路线图中所经过的场所和顺序， 哎，是先到哪再到哪，都到了哪些地方要清楚那，而且要确定好观测点，也是要你是从哪里看的那。第二，弄清楚每个场所之间的方向和距离是朝哪个方向， 哎，距离又是多少米或者多少千米，这样才能够准确的找到我们所要的目标位置， ok。 第三，要说清楚是从哪里出发，向什么方向，走多远，到达哪里， 如果路人有人跟你问路，你按到这样的说，别人会觉得，哇，跟你问路真清楚， 如果你不是按这样方式，会把别人搞混的，还不如不问呢，是不是？ ok， 好 了，那么接下来我们来看一道小问题，我们帮他解决一下吧。某文化宫广场周围环境如下图所示，来，咱们先来看看这个图啊，这个图里面呢？ 哎，首先看看方向标在这里是不是上北下南，左西右东，然后这里有一个交叉点，这个点在哪？这里叫文化宫，这条线呢是人民路， 这里有一个体育馆，这里有一所学校，然后告诉你这个角度是四十五度，嗯，还有一句话说，一厘米表示一百米， 哎，这就是告诉我们，如果测量出一厘米，那就是一百米。好图，我们基本上上面的信息都看完了，接下来咱们看问题说文化宫东面三百五十米处有一条商业街， 商业街与人民路是相互垂直的，在途中画出直线，表示出这条街，并来写上商业街三个字。那商业街在哪？我们开始找啊， 正东，在文化宫正东方向，那就是从这往过走三百五十米在哪里呢？ 一厘米表示一百米，所以我们的三百五十米是 三点五厘米，所以咱从这往过划。假如，哎，我用尺子测出到这个位置是三点五厘米，咱们把它标注出来，然后 画一条街，用直线来表示这条街，对不对？所以我们就画一条直线下来，哎呦，稍微偏了一点点哈来，就在这个位置哈，来，这条直线就代表商业街，但是还要写三个字，就是商， 哎业街写在这条线上。 ok， 好 了，那这里一定要用尺子哈，因为老师在这上边没有尺子，不方便画哈，所以孩子们一定要用尺子把它直直的画好，这个位置一定是垂直的。 ok， 好 了，这是第一问就完成了。那么再看第二问，说体育馆在文化宫的哪个方向， 多少米处呢？首先确定方向，体育馆在这，在谁的？在文化宫，所以文化宫是观测点，站在这来看，是北偏东四十五度的方向上。 然后多少米呢？多少米？我们需要从这个点到这个点测量出它的长度。 你用直尺来测量啊，因为你用的看的器材不一样，你用手机看，这个距离可能就短一点，如果你要是用平板看，可能长一点，如果你要用电脑看，他会更长一点。所以取决于孩子们看视频用的设备。 所以这里呢，我们一定要根据你的设备来测出它的长度，好吗？那我测了一下，这个长度为二点四厘米，一厘米是一百米，所以是二百四十米， 好了吗？来，接下来再看哈，说，李晓明啊，这位同学，哈，以六十米每分的速度从哪？ 从学校出发，沿着人民路向东走，说三分钟后他在文化宫的哪面，然后呢？哎，多少米处？ 哎？在哪面呢？首先我们需要测出学校到文化宫的距离， 你用尺子来测啊，那测完之后呢？你看看这个李明是从这走到往这个方向走 六十米是每分钟走的，他走了三分钟，一共走了一百八十米，那我们需要知道这一百八十米是在这一段上，还是已经超了这一段。 哎，我测量的呢，从学校到文化宫距离是一点六厘米， 所以呢，是一百六十米，而他走了一百八十米，所以他从这到这一百六又走了二十，所以他现在在文化宫的东面二十米处，你用你的尺子去测，好吗？ 好了，那么接下来再看下一个问题，说王洪要从家经过学校去小明家来王洪家在这经过学校到达小明家，请你描述出他的行走路线， 还是告诉你了，一厘米表示一百米，这告诉我们了方向啊，上北下南，左西右东。 好，首先我们描述呢，很好描述的是从王洪家到学校的距离，从王洪家到学校是沿着正东方向走的， 正东方向走多少米呢？用尺子来测量长度。好吧，所以我们知道啊，从王洪家出发，先向东走，我测的距离是二点五厘米，所以走了二百五十米到达学校。 那么接下来呢？他叫偏了，对不对？哎，这里你可以用尺子画一个十字标，找到他的正 南方向，对不对？画出十字标来哈，从这画出来，那么你看他现在是南偏东，或者有同学写东偏南，其实也是可以的啊，通常我们都是南北偏西东 好测出这个角度呦，我们需要测出这个角度哈，发现这里是四十五度，所以呢，那么他就是再向东偏南或者是南偏东四十五度方向走， 走多少米呢？那就从这个点到这个点的距离，你测出他的长度，我测出是一点五厘米，所以他是一百五十米，那么即可到达小明家， ok 吗？哎，所以几步要做啊？第一步，从王洪家到学校正东方向测出长度。第二步，从学校到小明家是需要测出角度、 方向和长度，三个缺一不可， ok 吗？好了，孩子们，那么这讲内容呢，咱们就复习到这里了，我们。

上一次我们复盘了，有一样的图案中完全一样部分，今天我们一块来复盘一下第二部分部分，一样部分一样分为两种情况，第一个是样式预算， 包括黑白预算 和加减同义。对于黑白运算而言，我们的解析技巧在于相同区域 或者对比选项。 我们来看一道相同区域的，从第三行我们不难发现啊，第三行的第一幅图和第二幅图相加的话，这个白色块加白色块加白色块，它们色块都是相同的，所以它们最后得到的结果也应该是相同的。那加减同意的话，我们需要先看 图一图二相同线条， 如果有相同的话，先运算， 可能涂三栋， 无相同的话，先旋转，一三一样涂二栋， 二三一样。图一动来看一道例题，这一题的话，它就是我们发现图一和图三没有完全一样的地方，而图二和图三下半部分一样， 所以图二和图三一样，那就让图一动。第二种情况，标记标记的位置 上下左右、内外。如果标记的是图形， 有这么几种情况，如果标记的是点的话，那考察的可能是曲直性引发的线条数。 看一道例题，这一题，它标记了点，那么刚才说标记点的话，可能考察的是曲直性和引发的线条数，那在本题中，很明显它是考察引发的线条数，这一点引发了三条，这个点引发了三条，这一点引发了三条，这一点引发了两条。 有可能标记的是线，那他考察的就是直线或者曲线，最长线或者最短线 以及线的位置。 标记只取最长线、最短线还比较好理解，线的位置的话，可能有一些难理解，我们来看一道例题，比如说这一题，这个小球所在的位置，它就标记了线的位置，刚开始小球在第一条线上， 第二幅图小球在第二条线上，第三幅图小球在第三条线上，依次往下内推。不过标记的是角呢？他的考察点就是他标记的是直角还是锐角还是钝角呢？ 是最大角还是最小角呢？ 如果他标记的是面的话，是单独面还是香蕉面？ 是相同区域还是不同区域， 也有可能是形状、属性或者面积，当然也可能存在多个标记，那考察的就是标记物之间的比较， 或者是连线后与原图关系。 比如说这一题， 这两个小黑球分别标记了两个面的位置关系是相邻呢？还是相交于一点？这一题的话就是连线后与原图之间的关系，这是两个标记点，它连线后和原图中的阴影部分是相平行的。

大家好，今天我讲的题型是几何图形的表面积。先看题，如图所示，一个长方体在顶点处被挖去一个小长方体，求这个几何体的表面积单位厘米。 首先我们将这个图补全，可以发现这个图本来是一个长为五，宽为二、高为三的长方体。 我们知道长方体的表面积等于长乘宽，加长乘高的和乘二， 因此这个长方体原来的面积就是六十二平方厘米。但是他被挖去这个小长方体后，它的表面积减少了 这三块，所以他就减少了二乘一点五，加二乘一，再加一点五乘一，等于六点五平方厘米。 但是把这个擦掉就可以发现，他在减少的同时又增加了这三块面积，这三块的面积也是六点五平方厘米， 所以这个几何体的表面积就是六十二，减六点五就等于六十二平方厘米。

学习了一周的图形推理，今天来总结一下做图推题的逻辑思维，主要有十一点。第一点是元素组成是否相同，相同就要考虑平移、旋转和翻转。 平移主要看步数和方向，步数是横定的还是递增的，如果都不是，可以考虑一下方向，方向有直线的方向，也有绕圈形的方向， 当是回字形、绕圈形方向时，可分内外环来看。 当这些都找不到规律的时候，可以试试是否存在特殊路径。 特殊路径即变换方向且步数规律不同。例如从第一个图推到第二个图时，是向左下平移两格，而从第二个图推到第三个图时， 却向左上平移一格。这种情况一般出现在三个一组形的题型中。 旋转和翻转，呃，相对简单一些，主要就是从方向和角度两个方面考虑。 第二点是圆柱组成是否相似，如果相似的话，呃优先考虑叠加，其次是去异求同或者去同求异， 随着考试难度的提高，可能会存。呃，同时存在一些旋转。 当我们很难去寻找规律的时候，可以换个思路，即整体求同所有的图形间是否具有相同的元素来入手。 呃，第三个要点是共同小元素，观察这些共同的小元素附近的点 及交点，直线相交明显的那些点，线及线的长短呢？以及方向面的形状大小以及角的这些特征。 一般考虑种类和个数。那还有的就是第四点，元素群以元素的个数、种类数、位置 是否存在一定的规律。第五点是元素组成不同时的考虑。 当所有图形都存在对称性时，就要去考虑这个对称的类型，即是中心对称还是轴对称，亦或是既是中心对称又是轴对称图形以及对称轴的数量。 对正轴的位置是全部穿过图形的边或者是角以及焦点，还是图形间的对正轴是存在移动的角度的变化。 当图形不存在对称性时，就要去考虑取实性、封闭性以及部分数。当 所有的图形都有取实性时，就要去数取线数或者切点数以及取值交点数。 当没有取实性值，就去数一下焦点，使直线数。 现在有一些题在慢慢的提高这些难度，它会存在取直线数的一些运算及取直线数之间的差可能是递增或者是递减的规律， 同时考虑封闭性。封闭性是否存在，不存在时跟取值性的规律是一样的。而存在时我们就要去数面数， 去看他的最大面的形状啊以及属性。例如一些图的最大面都是三角形、四边形，或者说最大面跟整体图形是一致的。 当这些都不存在时，很容易忽略的一点就是多胞胎与每一组图中相同的图形存在多个。 一般封闭性和部分数会存在于一些生活化或者是说出现调化的一个案中。 第六点是黑白块，黑白块，呃，这里主要以十六个格子为界点，当格子数大于十六时，按元素不同的逻辑去找对称部分数，比划数， 数笔画数时，主要数积点数，积点数除以二就是最终。这个图的笔画数。 一般存在于日字形的图形变形或者是田字形的变形的图形中，以及多边形被分割时，可以优先考虑数笔画数， 当格子数小于等于十六时看。如果是一条形的图形的话，就要去看位置。如果是三个一组形的图形的话，就要去判断是否是黑白运算， 黑加黑等于白，黑加白等于白，还是不存在这些，再去考虑元素组成相同 去判断位置的规律。第七点是图形间的关系。图形间是相连的，就要去判断点连点线连线的一些特征。图形将交的话， 要考虑香蕉区域的形状，点边特征。图形相离的时候，就要看位置排摆放的特征，上下左右是全封闭呀还是半封闭？ 第八点，六面体。做六面体这些图形时，首先要运用的就是排除法。我们先去寻找一些好面。何为好面？就是既不中心对称，也不重复出现。 呃，如果存在这些好面，就优先去判断这些好面是否成立， 如果不成立，没有这些好面的话，再去寻找一些做题的规律。例如面对相对面的图，一定不会同时存在于图形中， 你不可能同时看到相对面，你这是形的两端是相对面，所以当图形中相对面同时出现的时候，一定是错误的。竖的面排成一行的话， 两端是共边的，其两端如果很难判断的话，是可以平移的，因为两端是共边的嘛，他平移也不影响去判断这个图。 再考虑公共点法。公共点法主要存在于三个面中，公共点引出对小键，然后再顺顺时针转，然后根据这个顺时针的转，再去 题干中判断这个对角线顶住的线的方向跟题干是否一致。而公共边法主要是在两个面中考虑，即凹形 三加一的一些情况，同方向的两条边是重合的， 我们可以画个图来看一下 题，这是一个直角，而这一边跟这一边是公共边， 一般我们先去找直角，而直角旁边的这两个边就是公共边。有时候在做一些题的时候，可以直接去找直角，然后来看，因为公共边一定是一致的， 如果公共边不一致的话，就可以直接排除掉。 大家下过象棋吗？而马走日字在六面体的图形判断中也非常的实用。 第九点，截面截面我们一般就记得哪些图形不会存在于哪些图形中就可以了。例如正方体中一定截不出直角三角形，正角三角形、正五边形 圆柱截不出半圆三角形，梯形圆锥截不出 半圆中心椭圆三棱锥截不出矩形，正字棱锥截不出长方形。那有时候呃空间想象力差一点的同学很难想象出那个截面的话， 我们可以考虑过点，就是过点做平行线再分割， 这样子的话会更利于我们空空间想象。第十点是试图， 原图中有实线就有实线，镂空无实线的地方截出来的也是镂空无实线的，这点考试经常考，但是掌握了就可以一眼就排除。最后一点是立体拼合， 你考的是以下几个图中能拼成皮干的那个图，我们尽量的不去调动方向，找好拼的方向， 这样一般这种题型比较难，也不会太变动那个方向，如果实在找不出，那可能再去考虑调动方向来拼组图形。 以上就是做徒推时的十一个点，我们一般都是从易到难，从第一点慢慢往下考虑，基本难破了。这十一个考点不会超过这个范围。 但是无论怎么说，做图推题做的顺的话可能就能秒杀，做的不顺的话也会相当耗时。人容易卡在自己的逻辑思维里而忽略了时间， 所以还是建议几分钟内做得出就是做得出，做不出直接蒙走人。

各位同学们，你们真的是太不容易了，刚过了这道关，又过那道关，像黑板上这道五年级的求第一的长度的这种题目，你们有思路吗？ 好多同学直接就蒙圈了，说王老师，这是哪个天使大姐出了这样的题来，难为我们呢？如图，正方形 a、 b、 c、 d， 它的边长是四厘米， 长方形 e、 d、 g、 f 的 边 ef 呢？过 a 点点 g 在 b、 c 上，若 d、 g 这条边为五厘米，这条边是五厘米啊， 让我们求第一的长度，你开什么玩笑啊，这个第一的长度怎么求啊？各位，其实这道题他考察的是等级变换，比如说这个长方形的面积和这个正方形的面积相等。 那还有的同学说，老师，这个面积相等我，我怎么看不出来呢？大家仔细观察，接下来不要眨眼睛，因为这道题它涉及的内容比较多，我现在连接 ag 这两个点， 连接完以后，同学们会发现，三角形 agd 是长方形面积的一半，因为涉及到一半模型，看到没有，这两个加在一起是长方形面积的一半。那这个 a、 g、 d 是 不是 长方形面积的一半？同时三角形 a、 g、 d 是 不是也是正方形面积的一半？正方形的面积是不是边长成边长，而这个三角形的面积是底乘高除以。二。 老师，这个三角形 a、 g、 d 既是长方形面积的一半，同时也是正方形面积的一半，所以这个长方形的面积我写一下啊，长方形 s、 e、 d、 g、 f 就 等于 s， 正方形 a、 b、 c、 d， 它们俩的面积相等。中间王老师用了一半模型， 那他俩的面积相等，正方形的面积我能求出来是边长乘边长，长方形的面积这条长有了是不求的是宽啊，所以长方形的这条宽就应该等于正方形的面积，同时也是长方形的面积除以长方形的长， 所以那么第一的这条边的长度也就等于四乘四，然后再除以五，求出来是三点二厘米， 轻松的拿下。各位，关键的就是等级变换的问题，你学会了吗？关注王老师，让数学变得 so easy！

这是一个非常有趣的问题， d 不 动， e f 动当三角形 d e f 等周长最小时， e f 在 什么地方？

很多同学反映，图推课看了，也练了，但是遇到题就是不会做，使劲都想不到规律，那这个时候该怎么办？那我推荐大家每个人都要做一个属于自己的思维导图课，看了你不等于你能想到，因为这种规律太多了，那我们怎么快速去锁定规律呢？那这里推荐一个软件 xmind， 它是专门做思维导图的一个软件。那我们看一下我们该怎么用它呢？我这里就用几道题做示范怎么做自己的思维导图。 好，我这底要比如图形推底，那我们可以分为黑白球，说完还图形这个归类啊，一定要自己去归，因为别人归好的，你可能根本想不到，所以我推荐一定要自己做，那剩下的分支我还没有写，那我们比如看这道题，那 这道题有个什么特征啊？我们会发现它是九宫格，对不对？九宫格带黑黑球，那我们这里就写一个九宫格， 好，它属于九宫格里，然后我们再右键它是什么？它是黑黑球，它是单黑球。 好，那我们再去看这道题，它是什么规律啊？那通过这种每一行我们去看它，我这里是直接，我就不说做题过程了，它呢是逆时针旋转了一个，这是九十度到这个图形，然后接着再顺时针 旋转了大概四十五度吧，应该是这个，那我们去归分，也是发现，那它是一个旋转度数的变化，那同样第第二行我们去验证，发现是这个规律，那我们就可以在这里黑球，我们就去写一个 时针运动，它的规律是什么呀？我们这个总结一定要去自己总结时针运动， 好，这就是我们把一类题算归类。明白了，接着我们看第二题，好，第二题这个找规律，那这种题我们发现有很多，乍一看有很多重复的部分数嘛，那这种就是 我们可以把它弄成，我是认为它是属于生化图形，就是它没有任何规律可以生化图形里我们去怎么再去建立呢？发现有重复的部分，它有重复部分的这种图形，因为，哎，都有这个，都有这个，它都有一个土，都有土，那我们会发现每一行 它都是固定的，有三角，有叉，有这个，那这个很明显就缺一个心心，那这个就是我们发现直接就是重复部分，你就归纳到这就可以了。下一题。 ok， 又是个九宫格题，那我们就在这一块写，那它不是黑球了，对吧？那加一个黑白块，好，它有黑白块。那接着我们就看到这种黑白块大部分真的都是黑白运算，你们自己看一下，你会发现它就是黑白运算，这里我就不讲了，我们就写上黑白 运算。好，这就继续看这一题， 那这题进行一个分类，我们看这种图形，它同样是不是这种不规则的这种图形啊？那我还是认为它属于生活画图形。那我们刚刚列了这个部分数，我们去观察，发现没有，那可能就是新的了， 新的，那我们看这道题会发现有很多，最多的是什么？就是线条，它是由大量的线条组成的，那我们就得去看这种直线，直线数或者角直角这种规律去看。那我们发现，呃，一三 四全部都是只有直线组成，但这些图形二五六他都有曲直，那我们就在这一块再去加一个升华图形，他能考什么？ 那这里我们不要直接去写规定，我们还是要总结一下我是怎么推导出来的。那我是先看到了直线多，那我们的思维下面的应该是写直线多，因为有直线多这个指引，我去再推导了。下一步是什么呀？直线个数 啊，直线曲线区别。好，这里也不是曲线啊，他本质是个斜线，但我就这么标了。好，我们就是通过这样去做一个图推的思维导图。记住，这个导图一定得自己做，你不要去找别人要，别人要的，你看了你根本记不住。 你把你所有遇到的题不断延伸这个导图，终有一天你所有图推题都能做对，并且能快速的想到，这就是我做图推的技巧，包括怎么做思维导图。今天做的一个教程，大家可以看一下，谢谢大家。