5年级上册梯形的推导过程画画

如何在方格纸上画出题目要求的图形？这道题要求画出面积是六平方厘米的平行四边形和梯形。首先平行四边形的面积是底，乘高 那六等于一乘六或者是三乘二，我们选三乘二，那这个三是底，那么首先画三格， 那上面那一块呢？我们可以往上数两格，并且呢这里往右边移动一格，为什么不是在这呢？如果在这的话，你是画出来的是长方形了， 那平行四边形的话呢，我们上面这个位置呢，我们就往右移动一格，好，接下来的话呢，三格，好，我们画上这个线段连接一下，那这样的话呢，我们就画出这个平行四边形，那你可以把这个虚线给它擦掉。接下来呢就是梯形， 上底加下底的和乘高除以二，那面积是六，那说明上底加下底的和乘高等于十二，那几乘几等于十二呢？我们可以选择 三乘四等于十二，那我们上底是一，下底是二，高是四， 这样的话呢，我们的上底就是一画一个直角梯形，那我们这个高是四，下底是二，连接一下，这样我们就画出来面积是六平方厘米的梯形。

同学们好，我是北京市西城区力学小学的赵老师， 很高兴能和大家一起学习人教版五年级上册第六单元多边形的面积中梯形的面积。第一课是 在正式开始。上课前，请同学们准备好如下的学句， 直尺梯形纸片剪刀，提醒大家使用剪刀时要注意安全。 准备好了吗？让我们开始今天的学习吧！在前面 我们学习了平行四边形和三角形的面积计算方法，大家还记得他们都是怎么推导出来的吗？我们先来一起回顾一下， 我们是分几步完成的，首先我们是将平行四边形和三角形利用胳膊拼合的方法转化成我们学过的图形， 然后找到新图形与旧图形之间的联系，再根据旧图形的面积公式推导出平行四边形和三角形的面积公式。 文文说的真清楚，看来将新图形转化成旧图形这种转化的方法 在我们研究平面图形的面积时很重要。今天我们继续来研究一个新的平面图形，梯形。 先来看这幅图，你能从图中找到梯形吗？我发现车窗玻璃的形状可以看作是近似梯形。小刚马上想到了一个问题， 怎样求出梯形的面积呢？如果想要知道梯形面积的计算方法，你们打算怎样研究呢？ 受到前面学习的启发，我们也可以想办法将梯形转化成我们学过的图形，然后找到他们之间的联系， 在尝试推倒梯形面积的计算方法。小丁还有补充，我同意小亮的说法，就和我们之前研究平行四边形和三角形面积时的过程一样， 看来同学们都有自己的想法了，下面就把时间教给大家， 请同学们拿出课前你们准备好的梯形纸片，自己动手画一画，拼一拼，并把推倒过程写下来， 开始你的研究吧。 时间到了，我们一起看看同学们是怎么做的。同学们，你们能看懂他们是怎么做的吗？你和谁的方法一样呢？我们来听听同学们的想法吧！ 我记得在研究三角形面积的时候，可以用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，我就像两个完全一样的梯形，是不是也能拼成一个平行四边形呢？ 于是我试了一下，我用两个完全相同的梯形，一个正着放，一个倒着放，拼成了一个平行四 边形。大家看，这是我写的思考过程。平行四边形的面积是底乘高，再看它和梯形的关系。平行四边形的底相当于梯形的上底加下底， 而平行四边形的高就等于梯形的高，所以用上底加下底的和乘高，得到的是这个平行四边形的面积，也就是两个一样的梯形的面积， 那么一个梯形的面积就等于平行四边形面积的一半，所以梯形的面积等于上底加下底 的和乘高除以二。大家对小童的方法有什么想说的吗？ 小童的这个方法真好，他是把梯形转化成了我们学过的平行四边形，发现了梯形各部分与拼完后的平行四边形各部分之间的联系，借助平行四边形的面积公式，推导出了梯形的面积公式。 我们再来看看小勇的做法，我就用了一个梯形进行研究的我把一个梯形分割成了两个三角形， 梯形的面积就等于这两个三角形面积的和。同学们，他这样分割图形可以吗？ 接下来该怎么办呢？我们继续听小勇的分析。 接下来我们就可以找一下梯形和两个三角形各部分之间的联系了。 我们知道三角形的面积等于底乘高除以二。我发现此时一号三角形的底是梯形的下底高就是梯形的高，所以一号三角形的面积等于下底乘高除以二。 二号三角形的底就是梯形的上底，它的高也是梯形的高， 所以二号三角形的面积是上底乘高除以二，然后把两部分 合在一起，就得到了梯形的面积。可是我得到了这个梯形面积公式，怎么和刚才小韩的不一样呢？这是怎么回事呢？ 文文回答了小勇的问题，我发现你的公式还没推倒完，其实还可以把这的式子继续合并。 你们看，计算这两个三角形的面积时都有乘高除以二，我们可以根据乘法分配率把这部分提出来，梯形的面积就等于上底加下底的和乘高除以二了。看，现在就和小韩推倒的公式一样了， 稳稳补充的特别好。在推倒攻势的过程中，还可以 借助之前学习的运算定律，让最终的结论变得更简洁。其实像小勇这种分割图形的方法，很多同学也想到了，但是他们在推倒的过程中遇到了问题， 我们一起来听听。我也是用分割的方法将梯形分成了两个图形，这时候大梯形的面积就等于三角形的面积加上小梯形的面积。 我知道三角形的面积是底乘高除以二，可小梯形的面积我不知道怎么求啊！是啊，我也遇到了这样的问题。你们看，我把 梯形分割成了左右两个梯形，这样大梯形面积就等于两个小梯形面积之和。但是小梯形面积我也不会求，所以后面我就不会推倒了。 我又进行上下分割，也出现了这样的问题，没法推导出梯形面积啊！ 同学们，你们遇到这样的问题了吗？哪出问题了呢？ 我来帮他们吧。你们看，他俩虽然把梯形分割成了两个图形，但其中都有一个图形或者两个图形还是梯形。我们不知道梯形的面积计算方法，所以这样分 的两个图形并不能帮我们解决问题。我明白了，我们要把梯形分割成学过的图形，再利用他们之间的联系，就能帮助我们解决问题。 同学们可真会学习，不仅能积极思考如何解决问题，还能解读其他同学的方法，为他人提建议，想办法。 这时，小丁又提出了不同的想法，我们一起来听听吧。 我想起了前面在学习三角形面积的时候用到的方法，于是我也把梯形沿着他两腰的中点连线，分割成上下两个小梯形，解开 开，然后把上半部分绕中点旋转补到右边，就与下半部分拼成了一个平行四边形。这个梯形的面积就等于平行四边形面积。 同学们，你看明白了吗？我们再来看一遍。这回边看边思考，这个平行四边形的底和高与原梯形之间有什么关系？ 我看出来了，平行四边形的底就相当于梯形的上底加下底的和。又因为是沿着终点分割的，所以平行四边形的高等于梯形的高除以二， 所以梯形的面积等于上底加下底的和乘高除以二的。商小丁借助割补的方法将梯形转化成了平行四边形，大家对他的方法有什么想说的？ 小韩提出了疑问，小丁的这个方法是不是和第一种小同的方法一样呢？都是将梯形转化成了平行四边形呀？ 小童回答道，虽然都是将梯形转化成平行四边形，但第一种拼法是把两个完全相同的梯形拼合成一个平行四边形，求出平行四边形的面积后， 再除以二，才是一个梯形的面积。而这种方法是用割补的方法 将一个梯形转化成平行四边形，所拼成的平行四边形的面积就是梯形本身的面积。我明白了，也就是说，这种方法只要求出平行四边形的面积就行了。 这时，小亮又有了想法。收到小丁的启发，我又想到了一种割补的方法。 我是过梯形两腰的终点向下底做垂线剪开，得到两个小三角形，再把这两个三角形分别绕终点旋转，补到上面，这样就拼成了一个长方， 这个梯形的面积就等于长方形的面积。我看懂了，长方形的面积等于长乘宽，拼完之后，长方形的宽就相当于梯形的高，但长方形的长相当于梯形的什么呢？ 同学们，你们能看出长方形的长与梯形的关系吗？ 小刚说，我知道，你们看，这是梯形的上地，这是梯形的下地， 当这两个小三角形旋转到上面后，下底中这两条线段就分别移到了上底这两边。所以长方形的这两条长的河就是梯形上底 底加下底的和。那么长方形的一条长就是梯形的上底加下底的和除以二。 我明白了，长方形的长相当于梯形，上底加下底的和除以二，宽相当于梯形的高。长方形面积是长乘宽，也就是梯形的面积，所以梯形面积就等于上底加下底的和除以二乘高。 同学们，你们看懂这个方法了吗？其实同学们想到的这种方法在我国古代就出现了， 数学家刘晖就是用出入相补的原理，把一个图形进行分割，弥补面积 保持不变，然后就能计算这个图形的面积了。刚才你们就是把梯形转化成以前学过的平行四边形和三角形，然后再找到他们之间的联系， 从而推导出梯形的面积计算公式，这就是数学中重要的转化思想。 回顾一下刚才同学们推导梯形面积计算方法的过程， 有的是用拼合的方法，有的是用分割的方法，还有的是用割补的方法。 无论用什么方法，都是将梯形转化成学过的图形，再找到新旧图形之间的联系，从而推导出梯形的面积计算公式。 在自主探究的过程中，同学们不仅能对比各种方法的相同点和不同点，还能大胆提出自己的质疑，你们真棒！ 研究到这里，你们能说说梯形的面积到底应该怎样计算吗？ 梯形的面积等于上底加下底的和乘高除以二，如果用 a 表示上底， b 表示下底， h 表示高。 梯形的面积公式用字母怎么表示呢？可以把字母分别带入到公式中，就能得到 s 等于 a 加 b 的和乘 h 除以二。 同学们经过讨论，相互补充，最终得到了梯形的面积计算方法。 回到我们一开始提出的问题，怎样计算这个梯形的面积呢？ 你需要什么条件？我需要知道梯形的上底、下底和高就可以计算面积了。这是同学们 测量出的汽车车窗数据，同学们快动手算一算吧！ 这是小刚的作品，把数据带入梯形的面积公式，得到车窗面积是三千一百五十平方厘米，同学们，你们算对了吗？ 我们通过解决汽车车窗玻璃面积的问题，推导出了梯形的面积公式， 并运用公式正确计算出了面积。你们真会学习！下面 我们再来看一道有关梯形面积的实际问题。 这是三峡大坝横截面的一部分，是梯形，你能求出它的面积吗？试着解决这个问题吧！ 完成了吗？这是小静的作品，请同学们帮他检查一下吧！ 已知这个梯形的上底是三十六米，高是一百三十五米，下底 是一百二十米。将数据带入公式，得到三十六加一百二十的和乘一百三十五除以二，计算后，结果是一万零五百三十平方米，他做对了。 同学们，你们是不是也做对了呢？通过今天的学习，你有什么收获？我知道了梯形的面积的计算方法， 我还知道了可以通过割补、拼合等方法将梯形转化成我们学过的图形，然后再研究梯形的面积计算方法。我发现在研究新图形时，只要想办法 把它转化成我们学过的图形，再找到他们之间的联系，就能解决问题了。转化在数学学习中是非常重要的学习方法，希望同学们能够应用这种方法，继续解决更多的问题。 这节课学习的内容在数学书第九十三、九十四页，课下同学们可以自主阅读，进行复习， 最后完成课后练习数学书第九十五页第一题和第二题。这节课我们就上到这里，同学们再见！

刚才已经给它复制出了一个一模一样的梯形，那么你们想象一下这个梯形我怎么利用起来？转过来一下， 转过来，我们利用旋转的帮忙。好，是这样，是，然后我们给它挪过来的。拼接在一起。好，同学们，现在旋转拼接在一起之后，我们形成了本来是两个散的分散的梯形，对不对？现在拼在一起之后，它形成了一个平行平行四边形，形成了一个平行四边形。 好，老师在复制的时候呢，这老师复制的梯形它大小、形状是一样的，所以我们这里原来图形短的这条是上笔，那同样的，他复制出来旋转了一下之后，他变到哪里来了？上笔变到哪里来了？下笔这里是不是变的到？哎，他原来是上笔，他在这里他还是短的，所以还是上笔。对，他在这里还是上笔。 那同样的，这条长边是转到上面去，是，它是长的，我们都转到下底，所以它即使到上面去了，它也还是下底，还是下底好。所以通过拼接我们看出左边一号 梯形和右边二号梯形，它们两个的面积同样有，它是什么？左边梯形的面积是一号，右边梯形的面积是二号，颜色一样不一样。好， 左翻是我们发现一号图形和二号图形填满之后，刚好填满了我们的平行四边形，所以我们就可以得出平行四边形的面积，其实就是几个梯形，两个梯形，对，就是两个梯形的面积。好，我们来写 得出平行外面，外面是倒四边形，对，外面倒的平行四边形的面积，那它不是等于两个梯形的面积，是不是？是。好，我们一起平行四边形的面积等于什么？底的成高，它是等于底的高的。好， 那他现在一个平行四边形不是等于我们两个梯形的，两个梯形的面积。 好，那我们现在来进行细写，来看一下平行四边形的底在哪里？ 平行四边的底在哪里？三三三，走吧。哎，太矮了。平行四边的底边是不是下面这条边？是，这条边是由一号图形的， 由一号图形的下底和二号图形的下底组成的，所以我们这里就可以写 平行四边形的底是由下，是由下底和上底组成的，但是呢，我们习惯性的把上底写在前面，那我们就说底，它是由上底加下底加下底。好，上底加下底， 它是上底跟下底加在一起，对不对？对，这个底应该是上底和下底的。哦，怎么记的？用括号做起来。好，继续。 然后成高呢？我们的高在哪里？高，是不是原来梯形的高？对，他们是等高的，因为上底下底是一条平行线，平行线之间他们的垂线线段距离最短，垂线线段就是这个梯形的高，同时他也是平行四边形的高，所以我就继续写成高。 好，这个上底加下底乘高是几个梯形的面积？等于两个梯形的面积。 那我们看哟，梯形的面积是要算面积的面积吗？不是，我们只需要求一个梯形的面积，所以这两个一模一样的。那我求一个的话，我还要怎么做？求你干嘛？求二，求二， 也就是说要把我们这个公式要给它进行平均分，把这个进行平均分，那就给他们直接把上顶加下顶的和再乘高拿来，我的第二，好， 也就看出来这就是几个梯形的面积。两，你可以说啊，是几个梯形的面积，一个对就可以得出就是一个梯形的面积，一个梯形的面积， 所以我们得出这个公式，梯形的面积等于什么？上底加下底，横叉带。好，我们再来看这一个， 同样呢，这个直角三角形也是一模一样的，形成了什么长方形？对，他拼接在起形成了一个长方形。行， 好，那么我们再来把它的名称往上调，原来的梯形短边是上底，现在我们算到下面，这里就是他原来的上底， 原来的下底会从左上面，对对对，就是他下下底，这是他的下底。好，我们来看第一个图形，好，我们左边我们给它叫为一号图形，一号梯形，好，右边给它叫做二号梯形， 我们紫色的这部分是我们紫色的这部分是我们白色的这一部分刚好。一号 面积和二号图形的面积填充满之后就是谁的面积。长方形的面积。对，也就可以得出一句话，在这里长方形的面积就是两个梯形的面积。对，好， 长，本来长方形外面是长方形，对不对？长方形的面积等于什么？长方形？长方形的面积等于长成宽。好，那 现在我们来测量长成宽究竟几个平行的面积，两个平行的面积，两个平行的面积，我们测量当然是只需要一个平行的面积，对不对？对，好的来转化， 对，转换长方形的长来，长方形的长在哪里？上，在下面这条，对，也可以是上面这条，下面这条他有第一个原来的梯形的下底和第二个图形的上底加在一起，是不是这个长的就换长了？对，就是说把长的换成了 上笔加下笔。好，我们加是我们的长是下笔跟上笔的和组合起来才是长。对，对，我们这里要用一个画表示的是上笔加下笔的和， 然后呢？他的宽的宽的宽怎么转换原来的宽？我们现在的宽是不是左边这条和右边这条是刚好，又是原来矩形的高？对，所以把长方形的宽转换成了高。 哎，这是几个面积的面积？两个面积的面积上我们只需要一个面积，等于两个面积的面积。 咦，好，我只用一个平行的面中，那变成什么样啊？除以二，那就变成预备停上底三下底的和，这怎么样？和，好，哎，这是两个平行的面，我要的是一个除以二，最后一个 这个三角形，这个梯形我们又如何来创造？如何来选择吧。好，进行分割三角形。哎，停停停，这个梯形被我给它。同样啊，分割分割成了几个图形？两个角形，两个图形都是三角形。好，左边 是一号，左边一号，右边二号，二号，换个颜色当然不一样。好，左边。我们来看，还是那句话， 把我们的梯形分割成两个三角形之后，我们来观察第一号图形的面积是不是紫色最快？是，二号图形是蓝色最快，紫色最快。 一号同学和二号同学填，给他填充之后刚好得到，我们刚好可以得到我们一个什么梯形面积。知道得到梯形面积。是，所以我们又可以得出一个结论，什么 梯形形的面，面形等于。哎，梯形面积等于什么？是等于两个三角形来相加，等于两个三角形，形 等于两个三角形的的面积。好，那么我们现在来进行转换， 第一个三角形它的面积是不是等于底乘高？是第一个三角形的面积等于底乘高。那怎么样 再除以二，再怎么样除以二。好，这是第一个小三角形，一号三角形。那二号三角形呢？二号三角形等于底，再加上二号三角形，底乘高也要除以二。好，朋友们，这里大家会区分一下，我们左边呢是 左边的这个是一号三角形，右边的这个是二号三角形。好，现在继续往下， 继续往下，现在来看我们谁和谁是共有的底？底和高，到底的底在哪里？一号三角形的底在哪里？上底是不是上底？对，记住一号的底就是上底成高，再除以二，加上。好， 二号的底在哪里？下底，三号的底在这，所以就是下底，这个底是下底， 也是要乘高再除以二。好，那我们现在可以得出，我们之前学过了，有乘，有他又有乘，其实就是什么乘法分配律。那把共同的因素给他提出来，谁是共同的？ 高和除以二，高和除以二，共同的因素，我们就把它提出来，放到括号中，后面 写成勾除以二。二。好，那前面呢？还是谁前面是谁？上笔尖尖加谁下笔？第二个图形的下笔乘二，然后再乘勾除以二，出完了去 通过我们三个图形的转化，我们都可以得出同一个结论。什么结论？ 梯形的面积等于上底加下底的合成，高半除以二，再看梯形的面积，哪边梯形的面积等于上底加下底的合成都不一样，再看这里是不是 梯形的面积，是两个三角形的面积，所以可以搞出来了，它就是一个梯形的面积，用字母表示，上底用 a， 下底用 a， b 高还是圆的那个用什么 a？ 所以我们给它写出来就是 a 加 b 的 和乘再除以二。但是这里用不用写？不用这个，这个乘就像不用 就直接写成 a 型的面积，等于括号 a 加 b 的 和 s 除以二可以了，有问题吗？没有， 用字母表示为一个电瓶用 a 和 s。

前面两个视频我们学习了有关平行四边形和三角形面积公式的推导，今天呢我们来学习有关梯形面积的推导过程。那首先我们来看一下这个图， 那么这是一个梯形，我们如何从这个梯形当中做出它的这个平行四边形呢？我们可以采用分割法和合并法。你先第一个，我们在第一个梯形里边，我们可以做一个两条高，做两条高， 把它分成了一个什么呢？分成了一个正方形和两个三角形。那么第二个同样我们也是采用分割法，在它一边做一个什么呢？平行线啊，把它分成了一个平行四边形和一个什么和一个三角形。 那么第三个我们采用合拼法，也就是我们补一个完全一样的什么呢？完全一样的梯形，哎，把它拼成了一个什么？拼成了一个平行四边形。我们从这个图当中我们有没有发现梯形和平行四边形它们有什么样的联系呢？ 也就是说平行四边形的底和梯形的底他们有什么样的关系？那么他们的高又有什么样的关系呢？哎，我们会发现平行四边形的底， 平行四边形的底就是什么呢？就是梯形的什么呢？梯形的上底和 下底之合，而平行四边形的高呢？我们观察一下图形，哎，平行四边形的高就是梯形的什么呢？就是梯形的高， 好，我们找出了他们的底和高之间的关系，那我们再进一步思考一下，平行四边形的面积与梯形这个面积，他们又是什么样的关系呢？也就是说在同底等高的情况下，他们两个之间是什么关系呢？ 我们通过观察这个图形平行四边，我们发现在同底等高情况下，那么平行四边形的面积是梯形面积的二倍， 我们前面学了平行四边形的面积公式是什么呢？它的面积公式是底乘高。好，那么我们梯形的面积呢？ 我们刚才知道梯形的平行四边形的底，也就是梯形的什么呢？梯形的上底和下底 下底之合，而平行四边形的高也就是梯形的高。我们刚才说了，在同底等高的情况下，平行四边形的面积是梯形面积的二倍，是不是？所以反过来，也就是说梯形面积的一半是 除以二好。通过这个我们就推导出了平行梯形的面积公式是 上底加下底之合成，以高除以二好。有关梯形的面积公式推导过程，大家明白了吗？

五年级的同学们，你们知道吗？在我国古代，数学家刘辉啊，就曾经利用出入相补的原理来计算出图形的面积。 出入相补的原理是指把一个图形分割移补，而面积保持不变，如图所示，你能运用这一原理推导出三角形和梯形的面积公式吗？那么同学们发现 第一个图呢，它是把这个三角形啊，通过出入相补的原理，把它啊转化成了我们以前学的一个长方形。 那这个三角形的底和长方形的这个长是不是相等的关系是一样的啊？假设是用字母 a 来表示啊，那么三角形的高，我们用字母 h 来表示， 那么我把这个三角形从中点啊，这个地方都是中点啊，从中点给他，给他割下来以后，把这个三角形给他补到这里来，把这个小三角形给他补到这里来，那这样我就把三角形给他转化成了一个长方形， 那长方形的宽刚好是这个三角形是不是高了一半，所以这个宽啊，就是 h 除以二， 那么三角形的面积和长方形的面积相等，长方形的面积是长乘宽，所以三角形的面积也就等于 a 乘 h 除以二，因为转化前后，他们的面积不变啊，那这样我是不是就能推导出了长方形的面积啊，也就是三角形的面积，他们面积相等，也就等于啊， a 乘 h 除以二啊， 所以三角形的面积不就等于底层高除以二吗？这一下子就推导出来了，非常的简单，是吧？ 那同样的道理，我依然也可以把一个梯形利用初入相补的原理， 把它转化成我们以前学的平行四边形，看到了没有？也是沿着它的终点，各位啊，沿终点啊，把它给它割下来以后啊，把它给它补过来，把它转化成一个平行四边形。 那么同学们来观察这个梯形，这个是上底，上底用 a 表示，下底呢用 b 表示，那梯形的高呢？我们用 字母 h 来表示，因为我是沿终点把它割下来以后，那么同学们发现我们把它梯形啊转化成这个平行四边形，那这个平行四边形的高是不是刚好是这个梯形高的一半，所以这个高呢就是 h 除以二，这个平行四边形的高啊，那这个是 a， 那 这个是不是也是 a 啊？ 那平行四边形的底是不是就是原来这个梯形的上底加上下底啊？那平行四边的面积是底层高，所以那么我们是不是就能推导出这个 梯形的面积？因为转化前后他们的面积是不变的，是相等的，所以平行四边的面积是 a 加 b 啊，括起来啊，这是它的底乘高，高是 h 除以二，那这就是这个平四面形的面积，平四面面积和梯形的面积相等， 所以我这样就推出了梯形的面积计算公式啊，那就是上底加下底括起来乘高除以二。 那对王老师所讲的这个道出入相补原理来去推导三角形的面积和梯形的面积的公式，你们学会了吗？关注王老师，让数学变得更简单。

同学们晚上好，现在我要讲的题目是五年级上册 人教版数学基础训练第六十四页的第六题，这也是一个核心素养题，也就是培优题。首先让我们来读题， 一个直角梯形，下底长度是上底长度的两倍，如果上底增加八厘米，就变成了一个正方形，这个直角梯形的面积是多少平方厘米？ 刚才段老师读完了，如果你是这样子读一遍题，是效果不大的，应该怎么读题呢？ 应该是一边读题一边画图的啊，一边读题是一边画图的，他说有一个直角梯形， 那你在草稿本上画一个直角梯形，梯形 要学会画图，要学会画图啊，尤其是几何题，一定要学会画图，画图更加清晰明了， 让你更快的解决问题。下底长度是上底长度的两倍，上底长度是 a 的 话，那么下底是 b， b 是 上底的两倍，也就是二 a， 如果上底增加八厘米，好，我上底增加，增加就变成了一个正方形， 增加了八厘米，这个线段增加了八，就变成了一个正方形。这时候我们要想到正方形的特征是有四个直角 正方形的，四条边相等，四条边相等，那他也是二 a， 这里是二 a， 那 这里也是二 a， 那我们就可以得到 a 加八等于二 a， a 是 不是能求出来？这里就是解方程了。哦， 是吧，怎么解呢？来解一解啊，两边同时减去 a 等于二 a 减 a， 这里剩下八等于 a， 那 我们习惯的将 a 写在左边啊， 那我们得出 a 是 八，那么二 a 就是 二八十六啊，二 a 十六， 他求的是什么呢？求的是这个直角梯形的面积是多少？上底是八，下底是十六，高是十六，那这个直角梯形的面积就很容易算出来啦。那怎么写呢？ 首先我们还是来画图啊，画图，画个图， 这样子 a， 二 a 增加了， 然后变成了一个长方正方形，这是二 a， 这个是八，我们是可以得到他的上底是八的啊。 a 加八等于二 a， 我 们得到 a 是 等于八厘米的， b 呢是等于 二 a， 也就是二八十六厘米， h 呢也是十六厘米，那我们就选这个面积公式， 梯形的面积公式等于上底加下底乘高除以二，他的上底是八，下底是十六，他的高呢是十六除以 乘十六除以二等于二十四，乘 八等于四八三十二进三，二八十六，一百九十二平方厘米。答， 这个梯形，这个直角梯的面积是一百九十二平方厘米。这个这个，这个，这个，这道题的解决关键是要根据所给的文字信息 学会画图，把图画准了啊，把图画准了，然后找到等量关系，就能够求出具体的 成具体梯形的上底下底的长度来，同学们听懂了吧？

这道题啊，把我们梯形面积公式的推导啊概括的非常的详细，不仅仅有课本上的推导方法，还有我们啊拓展的几种方法，我们一起来看一下这四位同学啊，分别用了不同的方法来推导，我们来看看哪位同学的推导方法是正确的啊。 老师呢，先给大家啊讲解比较简单的方法，我们先去看一下小温的方法，小温是这样去做的啊，二加六的和乘四等于三十二，然后用三十二，哎，除以二等于十六，我们来看看他为什么要这样去做啊？二加六在这里指的是这个平行四边形的底，对不对？你看这里是六，这里是二， 然后他乘以这里的高，那就说明啊，这个算式他求出来的是这个平行四边形的面积，他这里又用面积除以二等于十六，那为什么面积要除以二呢？我们就需要看中间所画的这条斜线， 通过看图我们会发现呀，他这条斜线把这个平行四边形分成了两个梯形，那这两个梯形是什么关系呢？看他的数据，这里的上底是二，这里的下底是六， 而这个梯形你看这里是二，上面是六，他们的高是共同的高，所以我们可以得出这个梯形和这个梯形它是完全一样的梯形既然是完全一样的，那就说明呀，这两个梯形的面积也是一样的， 所以我们求出了平行四边形的面积，除以二就可以得出其中一个梯形的面积，那么它就是符合咱们梯形的面积公式， 上底加上下底的和乘以高除以二，这里的 a， 你 看就是这里的二， 就是这里的下底啊的一部分，那么这里的 b 就是 这里的六，你看就是平行四边形的底，对吧？ h 就是 平行四边形的高，然后再除以二，把面积平均分成两份，就是这里梯形的面积了，所以我们小问的做法呀，是正确的，那这种推导方式呢？大部分的孩子呀，都是会的啊。 好，接下来我们再来看一下他其他的一个推导方式，我们来看一下这里啊，小晴的做法，小晴是怎么做的呢？小晴，用六乘四除以二等于十二，那么来看一下六指的是这个梯形的 底，对不对？好，四指的是这里的高，那我们会发现，他用六乘四除以二，其实他算的并不是梯形的面积，而是这个三角形的面积，哎， 底乘高，哎，除以二，因为我们啊，已经学习过了三角形的面积公式。好，接下来再看第二个算式，二乘四除以二等于四，你看二是指的是这个边的长度 高是不是指的这个，你看这个高是不是也是这个三角形的高呀？你看我们这样啊，去给他去画一下，你看在这个平行线间，他的垂线啊，是相等的关系，对吧？因此我们可以看出这个算式啊，他求的其实是这个三角形的哎，面积对吧？底乘高，哎，除以二， 然后把这两部分的面积相加，就可以得到这个梯形的面积。那么小情的推导方式就是把一个梯形把它分割成了两个三角形， 分别算出两个三角形的面积，再相加，哎，我们也可以得出这个梯形的面积，那么我们怎么推导出它的公式呢？来，老师在这里啊，给同学们去推导一下啊， 首先第一个是六乘四除以二，这是第一个三角形的面积，第二个三角形的面积是二乘四除以二，然后把这两个面积相加。好，我们接下来来看一下， 左边除以个二，这里的右边啊也除以了二，所以这个二呀，我们就可以把它看成是一个公共的，对吧？六乘四加上二乘四的和，哎，咱去除以二，因为我们在学这个第二单元小数除法的时候，咱们有遇到过这种减变计算啊，其实它的核心就是咱们的分配率啊。 好，接下来我们再来单独去看括号里面的，这里成了个四，这里也成了一个四，所以我们可以给它变成六加二的和乘四， 然后再除以二。好，来，我们来看一下，你看这个六加二是不是就指的是这个梯形的上底和下底啊，对吧？好，那后乘四是不是就乘的是它的高，那么这里除以二就是梯形的推导出来了，咱们的哎，梯形的面积公式，好，因此我们这里就可以得出呀，梯形的面积公式就是上底 加上下底的和乘以高，再除以二。好，这是我们小情的啊，推导方式，好， 接下来我们再去看一下啊，小飞的一个啊，推导方式好，来看一下小飞是怎么推的啊？小飞是先用四除以二等于二，你看这里的四呀，指的是这个梯形的高， 那么他除以二就代表的是把这个梯形的高平均分成了两份，所以你看这里写了一个中点，意思就是啊，我们把这个高的中点找出来，对吧？然后从这横切过去，然后他紧接着后面写了六加二，又指的是什么呢？来，同学们看过来，看到这个箭头， 他把这个梯形啊沿着他高的终点从这哎给他横切过去了，然后就得到了两个梯形，这两个梯形的高是一样的， 然后他把呀这个梯形哎旋转一下，哎倒过来，哎，和我们下面的这个梯形拼凑成了一个平行四边形，那拼凑成一个平行四边形以后，我们就可以得出呀，这个平行四边形的面积是不是就等于这个大的这个梯形的面积，对不对？好， 那我们来看这个平行四边形的底此时是多少呢？你看通过这个数据啊，我们可以得出这个地方是二，对吧？你看平行四边形的底就是六加上二， 那平行四边形的高是不就是这里，哎，原来梯形高的一半，所以它就是二。那么小飞的做法就是六加二的和就是底乘以二，二就是高等于十六，哎，就可以求出这个平行四边形的面积，而平行四边形的面积啊，就等于的是咱们原来这个梯形的面积。 好，我们来看一下它公式是怎么得到的啊？六加二，这个六就是原来梯形的下底，这个二就指的是原来这个梯形的上底 啊，所以你看上底与上底与下底的和乘以二，那这个二是怎么得到的呢？那这个二呀，就是，你看是不是就是原来这个梯形爱的高除以二，所以我们就是四除以二。代换一下，是不就可以得到上底加下底的和乘以高除以二。 所以我们小飞的做法呀，也是正确的，因为咱们梯形的面积公式就是上底加下底的和 a 乘高，对吧？ a 除以二，这个高就是这里的啊，一半。 好，这是我们小飞的一个推导方式。好，接下来咱们再去看一下小雨啊，小雨的这个推导方式就相对来说要难一些，我们来看看啊， 六加二的和去除以二等于四，我们要找一下六加二啊，六指的是这个底，对吧？哎，二指的是这个地方，那就相当于是他的上底与下底的和。哎，上底与下底的和为什么要除以二呢？我们来看一下他是怎么进行变形的啊？来，看到咱们这个地方的箭头， 他呀仍然是从中点这个地方，也就是高的中点的这个地方横切过去，然后把上面这一半的这个梯形呀给他哎盖过来，对吧？折叠过来， 折叠过来完了以后呢，你看这里有一个箭头，他把这一部分呢也是折叠过来，那说明了这部分的长是不是跟这一部分的长是相等的，那么右边部分也是一样的啊，他也是把这个角给他折叠过来，这一部分的长和这一部分的长是完全一样的啊，然后上面这个二其实就是这一部分的 二，所以你看，我们会发现，当这样进行对折以后呀，他这里所得出这个长方形的面积 是不是就是梯形面积的一半，我们也可以把它理解成呀，这里长方形的面积乘以二，因为他是这样对折，对折，你看都覆盖在了这个长方形的身上，所以我们可以得出长方形面积的二倍等于梯形的面积， 那么此时我们可以得出这里的底啊，对吧？这个长方形的底，你看长方形的这个长是不是就是用二 把上底加上这里的底六，然后再除以二，因为他这个地方呀，哎，有重合的一半，对不对？所以这个六加二的和，哎，去除以二等于四，这个四他就指的是这个长方形的长， 四乘二，再乘二等于十六，求的是什么呢？你看四指的是这个长方形的长， 那么长方形的宽，你看是不是就是原来这个高的一半，对不对？所以我们这里高的一半呢，就是二。 好，那么再乘二是为什么呢？因为我们求出了长方形的面积了以后，哎，长方形的面积要乘以二才能等于梯形的面积啊， 因此我们小雨的做法也是正确的。好，这就是四种啊，推导梯形面积公式的方法啊，总结的还是比较全面的啊，其中这种方法啊，是相对比较难一点的啊。那么第二种，第二问 任选一位同学的方法，说明思路啊，那你选择的方法是什么呢？哎，你任意选择一种啊，建议大家去选择一种你认为比较啊好理解的方法去做，你比如说咱们书本上这种方法比较好理解，对吧？或者是这个三角形的方法比较好理解，那么同学们可以任选一种方法啊，进行说明就可以了。 好，今天呢，老师给大家去分享的啊，就是咱们梯形面积的一个推导的一个过程啊，有咱们课本上的方法啊，也有咱们拓展的方法，哎，同学们啊，可以作为一个了解和学习。