五年级上册数学第六单元图形推导过程

大家好，学习第六单元第五节不规则图形的面积。我们已经会计算组合图形的面积了，那么生活中遇到不规则图形，我们如何来计算它的面积呢？ 你能把这片叶子的面积估算出来吗？学习例五，右图中每个小方格的面积是一平方厘米，请你估计这片叶子的面积， 一格是一平方厘米。知道了小方格的面积要求这片叶子的面积，这片叶子的形状不规则，怎么估计它的面积呢？ 先在方格纸上描出叶子的轮廓图，数一下整格， 再数一下半格， 数一数发现方格纸上满格的一共有十八格，不是满格的也有十八格。 这片叶子的面积在十八平方厘米至三十六平方厘米之间。如果把不满一格的按半格计算， 有十八半格，十八除以二等于九，也就是有九整格，再加十八整格， 十八加九等于二十七，这片叶子的面积大约是二十七平方厘米。 还有别的计算方法吗？ 可以将叶子的图形看作近似的平行四边形计算。根据平行四边形的面积公式， 面积等于底乘高，字母公式是 s 等于 a， h 等于五乘六，底是五厘米，高是六厘米，等于三十平方厘米。 答，叶子面积约是三十平方厘米。 还可以将叶子的图形看作近似的长方形计算。根据长方形的面积公式，长乘宽 s 等于 a， b 等于五乘六等于三十平方厘米。答，叶子面积约是三十平方厘米。 来总结一下这节课的收获，我们学习的是不规则图形的面积 计算不规则图形的面积可以通过数方格方法确定出不规则图形面积的范围，再计算出其面积的大小。 也可以将不规则图形的面积转化为与它形状相近的，以学过的图形来估算。

刚才已经给它复制出了一个一模一样的梯形，那么你们想象一下这个梯形我怎么利用起来？转过来一下， 转过来，我们利用旋转的帮忙。好，是这样，是，然后我们给它挪过来的。拼接在一起。好，同学们，现在旋转拼接在一起之后，我们形成了本来是两个散的分散的梯形，对不对？现在拼在一起之后，它形成了一个平行平行四边形，形成了一个平行四边形。 好，老师在复制的时候呢，这老师复制的梯形它大小、形状是一样的，所以我们这里原来图形短的这条是上笔，那同样的，他复制出来旋转了一下之后，他变到哪里来了？上笔变到哪里来了？下笔这里是不是变的到？哎，他原来是上笔，他在这里他还是短的，所以还是上笔。对，他在这里还是上笔。 那同样的，这条长边是转到上面去，是，它是长的，我们都转到下底，所以它即使到上面去了，它也还是下底，还是下底好。所以通过拼接我们看出左边一号 梯形和右边二号梯形，它们两个的面积同样有，它是什么？左边梯形的面积是一号，右边梯形的面积是二号，颜色一样不一样。好， 左翻是我们发现一号图形和二号图形填满之后，刚好填满了我们的平行四边形，所以我们就可以得出平行四边形的面积，其实就是几个梯形，两个梯形，对，就是两个梯形的面积。好，我们来写 得出平行外面，外面是倒四边形，对，外面倒的平行四边形的面积，那它不是等于两个梯形的面积，是不是？是。好，我们一起平行四边形的面积等于什么？底的成高，它是等于底的高的。好， 那他现在一个平行四边形不是等于我们两个梯形的，两个梯形的面积。 好，那我们现在来进行细写，来看一下平行四边形的底在哪里？ 平行四边的底在哪里？三三三，走吧。哎，太矮了。平行四边的底边是不是下面这条边？是，这条边是由一号图形的， 由一号图形的下底和二号图形的下底组成的，所以我们这里就可以写 平行四边形的底是由下，是由下底和上底组成的，但是呢，我们习惯性的把上底写在前面，那我们就说底，它是由上底加下底加下底。好，上底加下底， 它是上底跟下底加在一起，对不对？对，这个底应该是上底和下底的。哦，怎么记的？用括号做起来。好，继续。 然后成高呢？我们的高在哪里？高，是不是原来梯形的高？对，他们是等高的，因为上底下底是一条平行线，平行线之间他们的垂线线段距离最短，垂线线段就是这个梯形的高，同时他也是平行四边形的高，所以我就继续写成高。 好，这个上底加下底乘高是几个梯形的面积？等于两个梯形的面积。 那我们看哟，梯形的面积是要算面积的面积吗？不是，我们只需要求一个梯形的面积，所以这两个一模一样的。那我求一个的话，我还要怎么做？求你干嘛？求二，求二， 也就是说要把我们这个公式要给它进行平均分，把这个进行平均分，那就给他们直接把上顶加下顶的和再乘高拿来，我的第二，好， 也就看出来这就是几个梯形的面积。两，你可以说啊，是几个梯形的面积，一个对就可以得出就是一个梯形的面积，一个梯形的面积， 所以我们得出这个公式，梯形的面积等于什么？上底加下底，横叉带。好，我们再来看这一个， 同样呢，这个直角三角形也是一模一样的，形成了什么长方形？对，他拼接在起形成了一个长方形。行， 好，那么我们再来把它的名称往上调，原来的梯形短边是上底，现在我们算到下面，这里就是他原来的上底， 原来的下底会从左上面，对对对，就是他下下底，这是他的下底。好，我们来看第一个图形，好，我们左边我们给它叫为一号图形，一号梯形，好，右边给它叫做二号梯形， 我们紫色的这部分是我们紫色的这部分是我们白色的这一部分刚好。一号 面积和二号图形的面积填充满之后就是谁的面积。长方形的面积。对，也就可以得出一句话，在这里长方形的面积就是两个梯形的面积。对，好， 长，本来长方形外面是长方形，对不对？长方形的面积等于什么？长方形？长方形的面积等于长成宽。好，那 现在我们来测量长成宽究竟几个平行的面积，两个平行的面积，两个平行的面积，我们测量当然是只需要一个平行的面积，对不对？对，好的来转化， 对，转换长方形的长来，长方形的长在哪里？上，在下面这条，对，也可以是上面这条，下面这条他有第一个原来的梯形的下底和第二个图形的上底加在一起，是不是这个长的就换长了？对，就是说把长的换成了 上笔加下笔。好，我们加是我们的长是下笔跟上笔的和组合起来才是长。对，对，我们这里要用一个画表示的是上笔加下笔的和， 然后呢？他的宽的宽的宽怎么转换原来的宽？我们现在的宽是不是左边这条和右边这条是刚好，又是原来矩形的高？对，所以把长方形的宽转换成了高。 哎，这是几个面积的面积？两个面积的面积上我们只需要一个面积，等于两个面积的面积。 咦，好，我只用一个平行的面中，那变成什么样啊？除以二，那就变成预备停上底三下底的和，这怎么样？和，好，哎，这是两个平行的面，我要的是一个除以二，最后一个 这个三角形，这个梯形我们又如何来创造？如何来选择吧。好，进行分割三角形。哎，停停停，这个梯形被我给它。同样啊，分割分割成了几个图形？两个角形，两个图形都是三角形。好，左边 是一号，左边一号，右边二号，二号，换个颜色当然不一样。好，左边。我们来看，还是那句话， 把我们的梯形分割成两个三角形之后，我们来观察第一号图形的面积是不是紫色最快？是，二号图形是蓝色最快，紫色最快。 一号同学和二号同学填，给他填充之后刚好得到，我们刚好可以得到我们一个什么梯形面积。知道得到梯形面积。是，所以我们又可以得出一个结论，什么 梯形形的面，面形等于。哎，梯形面积等于什么？是等于两个三角形来相加，等于两个三角形，形 等于两个三角形的的面积。好，那么我们现在来进行转换， 第一个三角形它的面积是不是等于底乘高？是第一个三角形的面积等于底乘高。那怎么样 再除以二，再怎么样除以二。好，这是第一个小三角形，一号三角形。那二号三角形呢？二号三角形等于底，再加上二号三角形，底乘高也要除以二。好，朋友们，这里大家会区分一下，我们左边呢是 左边的这个是一号三角形，右边的这个是二号三角形。好，现在继续往下， 继续往下，现在来看我们谁和谁是共有的底？底和高，到底的底在哪里？一号三角形的底在哪里？上底是不是上底？对，记住一号的底就是上底成高，再除以二，加上。好， 二号的底在哪里？下底，三号的底在这，所以就是下底，这个底是下底， 也是要乘高再除以二。好，那我们现在可以得出，我们之前学过了，有乘，有他又有乘，其实就是什么乘法分配律。那把共同的因素给他提出来，谁是共同的？ 高和除以二，高和除以二，共同的因素，我们就把它提出来，放到括号中，后面 写成勾除以二。二。好，那前面呢？还是谁前面是谁？上笔尖尖加谁下笔？第二个图形的下笔乘二，然后再乘勾除以二，出完了去 通过我们三个图形的转化，我们都可以得出同一个结论。什么结论？ 梯形的面积等于上底加下底的合成，高半除以二，再看梯形的面积，哪边梯形的面积等于上底加下底的合成都不一样，再看这里是不是 梯形的面积，是两个三角形的面积，所以可以搞出来了，它就是一个梯形的面积，用字母表示，上底用 a， 下底用 a， b 高还是圆的那个用什么 a？ 所以我们给它写出来就是 a 加 b 的 和乘再除以二。但是这里用不用写？不用这个，这个乘就像不用 就直接写成 a 型的面积，等于括号 a 加 b 的 和 s 除以二可以了，有问题吗？没有， 用字母表示为一个电瓶用 a 和 s。

我的地是平行四边形，比你的大。胡说，我的地是长方形，比你的大。嗯，吵架是解决不了问题的。我给你们带来一个法宝， 长方形的面积是长乘宽，平行四边形的面积为什么不能抵成零边呢？ 吾乃刘辉，三国十人，曾铸九章算术推演初入相补之理，精观而等学。平行四边形之面积，其法甚合。无所谓初入相补，便是将徒行切割移补，行变而继不变此法之妙，再以营补虚化位之为一智。

同学们好，这节课为大家带来知识与能力训练。小学数学五年级上册第六单元第二课成长的脚印第七十五到七十六页的题型讲解。 一、估算下列图形的面积。三个图形我们可以看到，要么是不会计算的圆，要么是两个啊，不规则的图形，如何找出这种图形的面积呢？我们一般啊是把它们放在方格纸上，然后数格子， 大于半格的记一格，不够半格的直接给它舍掉，记为零。第一个圆形，我们可以先数中间满格的一二三四四格，上面两格五六， 左边两格七八，右边两格九十，下边两格十一、十二，它总共就是大约十二平方厘米。 第二个小企鹅，我们先数中间的身体部分，从上往下，头顶是一二两格。眼睛这里是三四五六。嘴巴这里啊是七八、九十。 往下身体这里是十一、十二，十三、十四。肚子这里呢是十五、十六、十七、十八。 两只脚特别的不规则，我们分别给他记一格吧，十九、二十。最后呢，看看两边的两只手，差不多也是占了一格，那就是二十一、二十二，总共啊大约是二十二平方厘米。 第三个树叶我们一行行来数吧，第一行一二三，第二行四五六七，第三行八九，十十一，十二，第四行十三，十四，十五、十六， 第五行十七、十八。这里特别注意啊，还有一个格子是这个第十九格，他好像刚好卡在一半，那同学们呢，可以把它算作一格，也可以自行舍掉。老师，这里呢是把这个第十九格啊算作一格，总共是大约十九平方厘米。 那有一有一点些许的误差是很正常的。 二理，能判断下面哪个图形面积大吗？ 我们可以看到，这次的图形跟第一题不同，它都是由直线勾勒组成的。像这样的图形啊，老师不建议大家用刚才数格子的方法，因为数格子的方法是有误差的，他们刚才最后一个图形啊，就很难确认到底是几格。 那既然这里的图形是直线构成的，我们其实啊，可以用第一课组合图形的面积方法，把它们分割成几个学过的图形，就可以准确计算出它的大小。 比如 a 图形，我们分割成长方形梯形和下面一个大点的梯形。那所有数据啊，都一目了然。可以直接计算，长方形是三平方厘米，中间的小梯形是二平方厘米，下面的大梯形啊，算出来是六平方厘米，合起来呢就是十一平方厘米。 右边的 b 图形也是一样的，我们把它分割成上中下三个梯形，分别计算它们的面积啊，分别是三三六平方厘米，合起来呢是十二平方厘米。这样的话，显然 b 图形要比 a 图形啊大一点。 这样通过计算的方法得出的两个图形大小啊，都是非常精确，没有误差的。所以呢，能用计算方法解决的时候啊，我们尽量计算，不能够准确计算的时候啊，我们再去数格子 三，你有办法计算右边这个图形的面积吗？看到右边这个图形，哎，也没有格子，也没有固定的形状，怎么办呢？ 其实我们可以先画一个框，把它大概的框起来，这时候同学们会发现啊，其实这个图形呢，它有点，嗯，接近一个长方形， 我们再拿尺子量出这个长方形的长和宽，分别是一和三，这样的话就能够轻松算出它的面积大约是三平方厘米。 拓展作业，顾一顾每个图形的面积，这里一个心形，一个小汽车，放在格子纸中，那我们就直接用数格子的方法好了。左边图形很明显是四格，大约四平方厘米。 右边的小汽车图形较为复杂，我们一行行来数，上面的车顶部分一二三三格，下面呢，中间车身部分四五六七八九十十一， 车轮部分十二十三。哎，这里呢也注意，右下角还有一格，第十四格，这个第十四格也是比较特殊，好像刚好占了一半，同样的可以取一格，也可以舍掉， 老师在这里呢是把这一格舍掉了，取的是十三平方厘米。再次强调，数格子的方法肯定是有一点误差的啊，这个不用担心。 二，如图，一个梯形的下底是上底的两倍，如果把上底延长十十二厘米厚，它就变成了一个面积是一百九十二平方厘米的平行四边形。 上底延长后，此图形面积增加了多少平方厘米？信息还是非常多的，我们结合图形重新的消化一遍。他说这个题里有两个图形，一个是原来的梯形，老师这里把原来的梯形涂成了红色， 后边啊，又把上底延长了一点，整个图形变成了一个平行四边形，也就是延长啊，也就是右边的部分，老师用蓝色的线把它圈出来了。那右边这里延长得到的图形啊，其实呢，是一个三角形， 三角形和原来梯形合起来是一个大的平行四边形，接下来我们来标数据，题目说梯形的下底是上底的两倍， 这个暂时不知道怎么用，我们先给他标上去吧，上底就记作一倍，下底是一个两倍的长度，然后呢他说上底延长十二厘米，也就是蓝色的部分延长了十二厘米。 最后呢告诉我们，这合起来的平行四边形面积是一百九十二，这里我们来分析一下，特别注意的就是这个平行四边形，要知道平行四边形的上底和下底是一样长的， 所以呢，我们把平行四边形的下底这个两倍的长度挪上来之后，他是等于上边的这个一倍加十二厘米的， 那也就是说啊，上边的这个一倍的长度啊，就等于十二厘米， 那这样呢，我们就得到了梯形的上底是十二厘米， 梯形的下底呢是它的两倍，那么十二乘二就得到梯形下底呢是二十四厘米。 接下来进一步来进行观察，梯形的下底啊，其实和平行四边形的底是完全重合，是相等的，那么平行四边形的底呢，也是二十四厘米。 同时注意题中条件，我们还知道平行四边形的面积是一百九十二平方厘米，在这里呢，我们就可以计算平行四边形的高了，用面积除以底等于高得到平行四边形的高是八厘米， 这里呢我们描出平行四边形的高，同时我们可以把这个高呢往右边挪动一下，你会发现这个平行四边形的高啊，其实和三角形的高是相等的， 那么三角形的高也是八厘米，而且我们知道三角形的底是十二厘米，这样的话，咱们就能计算三角形的面积了。底乘以高除以二等于四十八平方厘米， 那三角形呢，也就是我们延长之后增加的部分，所以啊，这个图形呢，面积增加的步伐就是四十八平方厘米。 三、实践活动，在校园中寻找几片大小形状不相同的树叶，估计一下这些树叶的面积，并写出你的实践过程。 那同学们呢，需要自己啊，去学校中找一些树叶，把找到的树叶呢放在方格纸中固定好。 接下来呢，按照它的轮廓啊，用数格子的方法数出叶片的面积就可以了。数格子的时候注意还是呢，大于半格的记一格，不够半格的记零就可以了。因为是实践作业啊，需要同学们自己动手试一试了。

我们再来回忆一下，昨天我们是如何来推导梯形的面积公式的。好，来，这儿有个梯形， 我们是怎么把它变成我们熟悉的梯形呢？先用一个一模一样的梯形来，老师，把它复制出来，好，看，这儿啊， 来，先用一个一模一样的梯形，然后给它旋转一百八十度。给它旋转一百八十度。什么叫一百八十度？同学们，上边到下边来了，左边到右边来了一百八十度。 旋转一百八十度之后，他就能和原来的啊好，往上面一点啊，他就能和原来的这个梯形拼成一个平行四边形。那平行四边形的面积公式我们学过呀，是不是？那我们来看看哈。这里的平行四边形，请看， 这是平行四边形的底。来，把它高做出来。这是平行四边啊，换个颜色， 这个是平行四边形的高。好，那在这里就涉及到梯形的几条边的名称。我们说一个梯形短的这条边叫做 上底，上底，长的这条边叫做下底，那高呢？它的高的做法实际上和平行四边形是一样的，这上底和下底是一对平行线，一组平行线，我们从上底出发，向下底做垂直线段。好，那请看这个题型， 它叫做上底，到底是上底还是下底？它不是在下边吗？ 对的，这条边无论在上下左右，它都叫作上底。好，这个知道之后，我们来看这个平行四边形的底，它是由什么组成的呀？同学们， 这段是梯形的下底，那这段是梯形的上底，所以它是由梯形的上， 所以它是由梯形的下底和梯形的上底组成的平行四边形的底，因此平行四边形的底就是梯形的上底加下底， 能明白吧？好，那这是平行四边形的高，那这里的高同时也是这个梯形的高，他们共用同一条高， 那平行四边形的面积等于底乘高，这里的底就是梯形的上底加下底的和，这个表示平行四边形的底 底乘高，这个是平行四边形的面积，是不是？那用梯形的上底和下底来表示，就用上底的加下底的和 成高，那这个上底加下底的合成高是平行四边形的面积啊，还要怎么样？矩形，因为这个梯四边形的面积是由两个同样的梯形组成的，因此一个梯形的面积还要怎么样？ 矩形，因此这就得出来了我们梯形的面积推导公式说一遍，梯形的面积等于几？ 梯形的面积等于下底加上底的和乘高除以二。通常情况下，我把上底写在前面哈，上底加下底的和乘高除以二，这个是梯形的面积。提问，我再来提问哈， 请听清楚哟，一起告诉老师，这里上底加下底的和表示什么呀？ 平行四边形的底，这里的除以二，为啥呀？因为这里的底乘高除以底，乘高是平行四边形的面积，我平行四边形面积是由两个梯形组成的，我还要怎么样 除以二？好，推导过程要知道哈，你不仅要知道推导结果，你还要知道推导过程来。接着我们用公式来表示 梯形的面积等于，通常情况下，上底用 a， 下底用 b， 上底加下底的和乘高除以二， 这个是公式是不是？好，那我们逆推呢？逆推呢？已知面积分别求高，上底和下底。怎么求呢？来，我们来先求高， 高等于说面积乘二除以上底加下底的和。这个是高 来再来上底，咋求啊同学们。面积乘二除以高减下底，老师用字母表示来写，要看的懂哈。再来下底怎么求呀？ 面对我们二出一收卷上礼。好，这是梯形的几个公式，要知道 听明白没有？这些公式哈，在上课之前，我随时来抽问，要非常非常熟悉的 说出来。好，我们再来回一下三角形的哈，三角形来，三角形的面积等于一个高除以二。好，那这里很容易错，已知面积，三角形的底呢？等于面积乘二除以二。注意哈，面积要乘二。 三角形的高等于面积乘二除以底。好。

五年级的同学们，你们知道吗？在我国古代，数学家刘辉啊，就曾经利用出入相补的原理来计算出图形的面积。 出入相补的原理是指把一个图形分割移补，而面积保持不变，如图所示，你能运用这一原理推导出三角形和梯形的面积公式吗？那么同学们发现 第一个图呢，它是把这个三角形啊，通过出入相补的原理，把它啊转化成了我们以前学的一个长方形。 那这个三角形的底和长方形的这个长是不是相等的关系是一样的啊？假设是用字母 a 来表示啊，那么三角形的高，我们用字母 h 来表示， 那么我把这个三角形从中点啊，这个地方都是中点啊，从中点给他，给他割下来以后，把这个三角形给他补到这里来，把这个小三角形给他补到这里来，那这样我就把三角形给他转化成了一个长方形， 那长方形的宽刚好是这个三角形是不是高了一半，所以这个宽啊，就是 h 除以二， 那么三角形的面积和长方形的面积相等，长方形的面积是长乘宽，所以三角形的面积也就等于 a 乘 h 除以二，因为转化前后，他们的面积不变啊，那这样我是不是就能推导出了长方形的面积啊，也就是三角形的面积，他们面积相等，也就等于啊， a 乘 h 除以二啊， 所以三角形的面积不就等于底层高除以二吗？这一下子就推导出来了，非常的简单，是吧？ 那同样的道理，我依然也可以把一个梯形利用初入相补的原理， 把它转化成我们以前学的平行四边形，看到了没有？也是沿着它的终点，各位啊，沿终点啊，把它给它割下来以后啊，把它给它补过来，把它转化成一个平行四边形。 那么同学们来观察这个梯形，这个是上底，上底用 a 表示，下底呢用 b 表示，那梯形的高呢？我们用 字母 h 来表示，因为我是沿终点把它割下来以后，那么同学们发现我们把它梯形啊转化成这个平行四边形，那这个平行四边形的高是不是刚好是这个梯形高的一半，所以这个高呢就是 h 除以二，这个平行四边形的高啊，那这个是 a， 那 这个是不是也是 a 啊？ 那平行四边形的底是不是就是原来这个梯形的上底加上下底啊？那平行四边的面积是底层高，所以那么我们是不是就能推导出这个 梯形的面积？因为转化前后他们的面积是不变的，是相等的，所以平行四边的面积是 a 加 b 啊，括起来啊，这是它的底乘高，高是 h 除以二，那这就是这个平四面形的面积，平四面面积和梯形的面积相等， 所以我这样就推出了梯形的面积计算公式啊，那就是上底加下底括起来乘高除以二。 那对王老师所讲的这个道出入相补原理来去推导三角形的面积和梯形的面积的公式，你们学会了吗？关注王老师，让数学变得更简单。

哈喽，大家好，这里是杨老师，今天来给大家讲一讲上一期视频的原理，也就是狗牙模型。这里我们看到题目上的这三个图形，其实都非常像狗狗的牙齿，比如第一个图形他有两颗牙， 第二个图形有一、二、三、四、四颗牙。第三个图形呢，他的牙齿分成了两排，第一排有三颗， 第二排有四颗。那么我们先从简单的第一个图形来看起，为什么图色部分的面积是整个平行四边形的一半呢？在这里我们可以转化一下，先标一个点 e， 然后我们将三角形 e、 d、 c 转化为三角形 a、 e、 c。 那 为什么这两个三角形的面积相等呢？首先我们知道三角形的面积等于底乘高除以二，那如果两个三角形等底等高，它们的面积也就是相等的。三角形 e、 c、 d 和三角形 a、 e、 c 的 底都是 e、 c， 而它们俩的高相等。因为两条平行线之间的垂直距离处处相等， 所以 a 到 b、 c 的 距离是相等的，所以三角形 a、 e、 c 的 高是相等的。因此我们就可以把图色部分的面积转化为三角形 abc 的 面积， 而 abc 的 面积就是平行四边形的一半。而同样的图二，我们也可以把这些小牙齿都合并到一起，也是将图色部分的面积转化为三角形 abc 的 面积。同样的，即使是像图三两排牙齿，也是一样的转化方式。大家以后看到这类图形就可以想到狗牙模型。狗牙模型有两个前提，第一个就是必须在平行四边形里 下个条件就是牙根必须占满底部，比如像这个图形牙根就没有占满底部，这里是缺一块的，那么涂色部分的面积就不是整个平行四边形的一半了，它不是一个完整的狗牙模型。

同学们晚上好，今天我所给大家讲的题目是五年级上册人教版数学的基础训练第六十二页第五题。这是一道核心素养题，也就是培优题。 首先让我们来审题，审题包括读题和观察图形，结合文字、图形、数字 进行思考，从而解决问题。如图，甲的面积比乙的面积小多少平方厘米？甲的面积，甲是一个三角形，它的面积， 乙也是一个三角形，它的面积。这里求的是甲的面积比乙的面积小多少平方厘米，也就是求二者的面积差。 已知甲的底是三厘米高，暂时不知道。乙的 底是五厘米高，暂时不知道，因为我要想求甲的面积，乙的面积， 三角形的面积是底乘高除以二高，不知道我怎么去计算它的面积呢？而这里只给告诉我们一个两厘米的数据，是线段 a、 b 和线段 d、 c 的 距离。 如何去求甲的面积和乙的面积呢？似乎不容易算出这二者的面积。 那我们能不能通过转化的思想，将不容易计算出面积的图形转化为容易计算出面积的图形呢？ 我们仔细观察，在这个图形当中，哪些图形是可以计算出面积来的。已知 a、 b 三厘米， a、 b 和 d、 c 的 距离是两厘米。那我们看到三角形 a、 b、 c， 三角形 a、 b、 c 的 底是三厘米，高是两厘米。三角形 a、 b、 c 的 面积是非常容容易算出来的。 三角形 a、 b、 c， 它是由角和三角形 b、 o、 c 构成的。 哎，那和乙有没有关系呢？哎，我们发现乙和三角形 b、 o、 c 是 能够构成三角形 b、 d、 c 的， 而三角形 b、 d、 c 的 面积好不好算呢？哎，好像也很容易哦！三角形 b、 d、 c 的 面积底是五厘米，高是两厘米。三角形底 b、 b、 d、 c 的 面积很容易算，那我们就可以将甲、乙的面积差转化为三角形 abc 和三角形 b、 d、 c 的 面积差了。因为甲加上三角形 b、 o、 c 构成了三角形 a、 b、 c、 e 加上三角形 b、 o、 c 构成了三角形 b、 d、 c。 那 么我只要算出三角形 a、 b、 c 这二折的真不错，真不错，这二折的面积差就等于假的面积。妈妈 是不是觉得有点像，乙的面积就等于乙的面积减去甲的面积，而三角形 b、 d、 c 就 等于底，乘高除以二等于底是五，高是二，除以二等于五 平方厘米。三角形 abc 等于底，乘高除以二，他的底是三，高是二，除以二等于三平方厘米。 这二者的面积差就是甲、乙的面积差，乙的面积减去甲的面积就等于五，减三等于二平方厘米。 答，甲的面积 比乙的面积小两平方厘米。 那这里呢，就是要利用转化的思想，将难计算的图形、图形， 将难计算面积的图形转化为容易计算面积的图形。转化思想，甲和乙同时加上相同的部分，同学们，这道题听懂了吗？

同学们晚上好，今天我给大家讲题目是五年级上册人教版数学 基础训练第五十九页的第一题的第三小题。首先让我们来读读题，如图是一张平行四边形纸经过翻折后的情况。 根据图中的信息，我们能知道圆平行四边形指的面积是多少平方厘米， 这里求的是圆平行四边形的面积是多少。我们可以写出平行四边形的面积公式是底乘高。 这里我们已知平行四边形的妈妈在录视频，待会回答你，真不错， 漂不漂亮？漂亮，这里的平行四边形的底是二十厘米， 二十厘米这里的高没有直接告诉我们高是多少。那我们来看一看题目中还有哪些信息能够帮助我们求出这个平行四边形的高呢？ 通过读题我们知道已知这个角是四十五度，这条边是六厘米。 那我们看这个虚线三角形通过翻折之后，通过翻折之后是能够得到这个 实线的三角形的。也就是说这两个三角形通过翻折之后是能够完全重合的， 也就是这两个角相等， 通过翻折之后是能够重合，而这两个角呢，又构成了一个平角，一百八十度，这两个角又相等，从而得出这个角是一个直角。 那我们一起来看一看，在这个虚线三角形当中，已知这个角是四十五度，刚才我们得出这也是一个直角。那么在虚线三角形当中， 三角形的内角之和是一百八十度，从而我们可以求出这另外这个角的度数是一百八十度，减去九十度，减去四十五度， 那我们也可以算出这个角是四十五度，四十五度写上去 这个角是四十五度，这个角四十五度，这个角是个直角，也从而判断出 这个虚线三角形是一个等腰直角三角形。等腰直角三角形，这个直角边是六厘米，从而得出 这个直角边也是六厘米。那我们再仔细观察这个六厘米的线段，它也是平行四边形的高， 最终根据平行四边形的面积公式，可以求出它的面积来。已知底是二十高，我们通过推算 是六厘米，那么它的面积就是一百二十平方厘米， 答案就是一百二十平方厘米。那这道题的解决关键是根据题目中所给的信息，推断出 这个等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质，两条腰是两条直角，边是相等的， 从而得出平行四边形的高，再利用平行四边形的面积公式求出它的面积来。你听懂了吗？同学们？

我们今天来挑战一下五星学霸多边形面积的专项提优训练。我们先看一下第一题，组合图形中不规则图形的面积该怎么样求 我们看这道题，这是一个组合图形，求的是图色部分这个不规则四边形的面积。我们一起读一下题。在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于三倍的 b、 e、 a、 d 等于三倍的 af。 平行四边形 b、 o、 c、 d 的 面积是九十平方厘米，求四边形 a、 e、 o、 f 的 面积。 我们先分析一下这道题，他最终求的是这个不规则的图色部分的面积，那么已知的只是这个平行四边形的面积九十平方厘米，那么我们就要把已知图形的面积跟图色部分的面积产生联系。 那么我们首先呢要做一条辅助线连接 b、 d， 就是 做一下这个平行四边形的对角线。那我们做了对角线之后，发现 b、 d 是 把这个平行四边形平均分成了两个三角形的面积，就是这个九十平方厘米的一半 啊，我们写一下，也就是三角形 b、 o、 d 等于三角形 b、 c、 d 等于九十平方厘米。除以二等于四十五平方厘米，我们已知了这个 b、 o、 d 是 四十五平方厘米。看看怎么跟这个图色部分产生联系。我们接着看条件，因为呢， a、 b 等于三倍的 b、 e 有 倍数关系。我们立刻联想到我们之前学过三角形的等高模型，看看谁是以 a、 b 和 b、 e 为底边的等高三角形。我们看一下三角形 a、 b、 d， 它以 a、 b 为底边，还有三角形 b、 e、 d 这两个三角形呢，他们的高都是这一段，都是相等的，根据三角形 a、 b、 d 的 面积等于三倍的三角形 b、 e、 d 的 面积， 那么同理它还告诉了 a、 d 等于三倍的 a、 f， 我 们根据这个底边的倍数关系，看能不能找到同样的等高模型。 我们还是看一下三角形 a、 b、 d， 它以 a、 d 为底边，再看一下三角形 a、 b、 f 这个窄三角形，它们的高呢？都是这一段，那么它们的高相等，底边是倍数关系，说明它们的面积也有倍数关系，就证明三角形 a、 b、 d， 它等于三倍的三角形 a、 b、 f， 那我们比较一下上下两个等式， a、 b、 d 是 同一个三角形，它都等于三倍的，这个他们有这个倍数关系，那就证明这两部分是相等的，所以我们推导出来三角形 b、 e、 d 的 面积就等于三角形 a、 b、 f 的 面积。 好，我们接下来看一下三角形 b、 e、 d， 它正好是包括的我们已知的这个三角形四十五平方厘米，我们就给它标个号，它包括的是这个最小的三角形一号，我们已知的二号和 我们把这个呃图色部分标为三号，我们看一下它们有什么样的关系。那三角形 b、 e、 d， 它正好就等于一号加二号，我们看一下三角形 a、 b、 f， 它等于一号加三号， 一号是它们的公共部分，我们同时把一号去掉，就可以推导出二号就等于三号。那三号是不是就是我们所求的四边形 a、 e、 o、 f 的 面积，它等于二号，二号我们得知了是四十五平方厘米，所以 他们都是四十五平方厘米，我们就求得了涂色部分的面积是四十五平方厘米，记得点赞关注哦！

同学们好，这节课为大家带来知识与能力训练。小学数学五年级上册第六单元第一课组合图形的面积第七十三到七十四页的习题讲解 下面哪些下面图形可以分割成哪些已经学过的图形。我们知道组合图形啊，是没有固定的公式可以计算的，我们的常用方法是把它们分割成以前我们学过的有公式计算的，例如长方形、正方形、三角形这样的能计算的图形。 以下几个图形，第一个比较直接，我们中间分割一下那一个长方形，一个三角形。第二个图形可以横着也可以竖着切割一下，变成一个长方形和一个梯形。 第三个图形我把它详细的切割了一下，变成了多个长方形。 最后一个图形竖着切割一下，变成左右两个平行四边形。当然，同学们切割的方式啊，跟老师可能是不一样的，都没关系，只要把它切割成我们以前学过的会计算的图形都是可以的。 二、计算下面图形左边啊，已经切割好了，上边是三角形，下边是平行四边形，直接计算即可， 三角形底乘以高除以二。注意啊，这个三角形的底呢，和平行四边形的底是一样的，可以平移上来，所以啊，也是十五 平行四边形面积，底乘以高，十五乘以八。最后两个合起来就是组合图形的面积一百五十平方厘米。 右边的图形需要我们自己画一条辅助线，岳老师，这里呢，是横着画一条辅助线，把它分割成上边的三角形和下边的长方形。 三角形虚线的这条边直角边我们是不知道的，那我们这样做，把下面这条十二的边挪上来，用十二减去六，就得到虚线的直角边啊，是六厘米 三角形的另外一条直角边，怎么办呢？我们把右边的八挪过来，用十四减去八，另外一条直角边啊，就是六，这样的话，我们就能计算三角形的面积了。六乘以六除以二， 再往后我们计算下面的长方形面积十四，嗯，十二乘以八长方形面积算出来之后呢，把两个呀合起来就是组合图形，面积一百一十四平方厘米。 三，计算下图中蓝色部分的面积。图中整个图形啊，是由两个一大一小的正方形组成的。蓝色图形呢，左边是一个三角形，右边啊是一个梯形，能不能直接计算它们的面积呢？ 我们注意一下，蓝色图形有些边是知道的，但是啊，中间这条边是被切割出来的，而且具体从哪个地方切割也没有说清楚，咱们好像没有办法找出中间这一段小编的长短， 所以啊，蓝色图形啊，有些边找不到，它的长度是没法计算的。那怎么办呢？我们不妨转化一下思路，用整个图形的面积减去空白大三角形的面积，就等于剩余的蓝色部分面积了。 大三角形我们看到一条边是十，另外一条直角边啊是十加五等于十五，那么计算出这个大三角形的面积是七十五平方厘米。 整个图形面积呢，是由一大一小两个正方形组成的，分别计算合起来，那么整个图形面积是一百二十五平方厘米，最后用整个的减去空白三角形的，就等于剩余的蓝色部分是五十平方厘米。 拓展作业，计算下面组合图形的面积。左边箭头状的图形，我们可以横着分割一下，上边是长方形，下面是三角形。先计算三角形面积，三角形的两条直角边，我们看到这条黑色的直角边， 它是用十二加上十合起来这条黑色直角边啊是二十二，当然这个十啊是从上面挪过来的 另外一条直角边呢，在这里这条直角边我们使用二十八减去左边挪过来的十四，那这样两条直角边都有了底，乘以高除以二，就得到三角形的面积是一百五十四平方分米。 剩余上面的长方形面积啊就很好算了，是一百四十平方分米，两者合起来就是整个组合图形的面积二百九十四平方平方分米。 右边图形已经分割好了，挺简单的，上面的三角形和下面的长方形分别计算就行了。三角形是三点七五平方分米，长方形是十五平方分分米，合起来是十八点七五平方分米。 二、求出下面七巧板中各个图形的面积。 我们观察一下右边的图形，只给了一个条件，其中一条边是八，那么多边都不知道怎么求啊啊，没关系，不要着急，有些同学啊，因为之前没有玩过七巧板，所以对七巧板的一些规律啊，和其中的一些相等关系可能不太知道，那老师这里为大家详细解读一下。 在七角板中，一号和二号图形啊合起来的一个大图形，其实是一个正方形，所以呢，左边这个正方形四条边啊，都是八， 右边三四五六七这几个图形组合起来的一个大图形啊，也是一个正方形，所以右边这个正方形啊，各条边也是八。 接下来我们看到三号和四号四号是一个小正方形啊，四条边是一样的，三号呢是一个等腰直角三角形，两条腰是一样的。 并且啊，注意，三号的直角三角形的腰和四号正方形的一条边是相等的，所以啊，他们的边都是八除以二等于四，其中很多条边都可以求出来，都是四。 再看到六号图形，它是一个平行四边形，把上面的四摞下来，那下面这条边也是四。再看到七号图形，它是一个等腰直角三角形，它的两条直角边啊，都是八减四等于四。 最后再看到五号图形，五号图形呢，我们只知道它的底边是八，我们画一条辅助线做出它的高，这条高啊，就是用八减四等于四也能够求出来。 这样的话所有的图形的所有边啊都找到了，我们只要一起公式分别的算一算就可以了，一号二号是相同的，它们算出来是底乘高除以二是三十二平方厘米。 三号七号虽然样子有点不一样，其实旋转一下大小也是一样的，它们是四乘四除以二等于八平方厘米， 四号正方形是四，四十六平方厘米。五号三角形，四四乘以八除以二十六平方厘米。 六号平行四边形，底是四，高呢，是从旁边挪过来的四，所以是四四十六平方厘米，七号独行 七号图形呢，是四乘以四除以二。嗯，但是我们在前面说了，他跟三号图形啊是一样的，所以这里就不再单独计算。 三、将一个边长为十厘米的正方形纸对折后减去一个，上底是二点五厘米，下底是五厘米，高是两厘米的梯形，然后打开，如图所示，求剩下部分的面积。 注意下，这个正方形纸啊，是被是对折之后剪掉了一个梯形，那么打开之后，它是有两个梯形的，也就是上下两个梯形中间的空白部分梯形呢？嗯，它的上底下底高啊，都告诉我们了，是很方便计算的。 但是题中让我们求的是剩余部分，也就是蓝色部分的面积，我们可以看到整个蓝色部分啊，是一个很不规则的图形，特别难求。那我们的方法呢，依旧是用整个图形面积减去中间的空白图形面积， 整个图形正方形十乘十等于一百，中间的空白图形是梯形，直接套公式，上底加下底乘以高除以二。特别注意，中间的梯形呢，是两个，最后啊，再乘一个二，算出来是十五平方厘米， 最后相减就得到剩余的蓝色部分面积啊，是八十五平方厘米。