高新一中八年级数学刷啥题

同学们大家好，咱们今天来看一下这道题目，已知 o b 和 o x 垂直， o a 和 o c 垂直。 哎，像这样的结构图我们大家都不陌生，这两个九十度中间有一个 b， o c 属于共用的，对吧？那么 b o c 的 余角，哎，就是这个 a o b， o c 的 余角也有这个 c o x， 所以 这两个角它肯定是相等的，对吧？ 啊？相等的九十度，同时减掉公共的这个部分，所以余下的两个相等。然后题目说 c o x 是 四十度，所以我们也就能够推出来角 a o b 是 四十度， 然后再往下，他说，射线 o a 绕点 o， 速度是三十度每秒顺时针，我们把这个标在图上啊，顺时针每秒三十度，然后 o c 绕点 o 十度每秒，逆时针，好标在这里。 两条射线同时旋转，当一条射线与射线 o x 重合时，停止运动，那很显然肯定是 o a 弦和 ox 重合吧。 o a 和 ox 重合转过的这个角，它是小于一个平角的，而 o c 要转这么大一圈，而且 o a 转的比较快，所以肯定是 o a 弦和 ox 重合， 所以这个呃， o a 就 决定了此题的一个运动时间。那么第一小问说，开始旋转前， a， o b 开始旋转前 a、 o b 是 多少度？那 a o b 的 度数就是四十度。然后第二小问说，当 o a 与 o c 的 夹角是十度时，求旋转的时间。 那么大家看一下啊，就这个图当中，我们也能求出来这个 b， o c 是 一个五十度，对吧？哎，题目说了， o a 和 o c 是 垂直的，所以一开始 o a 和 o c 哎，中间是一个九十度，那么现在要让 o a 与 o c 的 夹角是十度，那么大家想想这里面是不是会牵扯到两种答案吧， o a 和 o c 重合前，哎， 然后夹角是十度， o a 和 o c 重合后，夹角是十度。这个第二问比较简单，所以我在这里给大家，哎简单写一下啊， 你看 o a 每秒转三十度，那 t 秒就是三十 t 度吧，而 o c 呢？哎每秒十度，那 t 秒就是十 t 度， 那么他们转过的这个角度和哎就是九十减十度，哎，这是一种答案。当然还有第二种就是或 三十 t 加上十 t 度等于九十加上十度，是吧？哎， 你们转过的角度和就是四十 t， 四十 t 等于八十度，求出来 t 等于二，或者四十 t 等于一，百度求出 t 等于二点五。这一问比较简单，所以我在这里简单给大家备注一下就可以了，你们能听懂我说的意思就行。 像这样的两条射线旋转夹角，最后是十度，这个问题，其实我们也可以把它呃类比成我们的行程问题，对吧？甲乙两个人面对面相向而行， 你这里面说的是夹角，哎，行程里面说的是路程，对吧？夹夹角是十度跟相距十米解决办法是不一样的吧。相遇前 相距十米，相遇后哎，相距十米那块讲的是路程和哎这个地方我们说的是角度和其实道理是一样的。 好，咱们往下看。第三小问说，若射线 o b 也绕点 o， 以每秒二十度的速度顺时针旋转来， o b 也转，速度是二十 二十度，每秒三条射线同时旋转，当一条射线与射线 o x 重合时，停止运动。 好在这里后，哎，他又说到了当一条射线与射线 o x 重合时，停止运动， 那么在这里我们可以简单分析一下，就是，呃，谁先与 o x 重合？ 首先这个 oc 不 可能，对吧？因为 oc 如果要想和 o x 重合，它转过的角度会比较多一些，而且它的转速是最慢的， 那么要么就是 o a， 要么就是 o b， 对 吧？ o a 快， 但是你 o a 要重合的话，它转过的角度是要比 o b 多的。哎，我们大概分析一下啊，你看，如果是 o a， 哎，当 o a 与 ox 重合十，那需要的时间 t 就 等于大家看着图， 这个角合起来是不就是一个九十加四十，是一百三十度吧，哎，一百三十度，然后除上三十度每秒，也就是三分之十三秒。好，这是 o a 和 o x 重合所需要的时间， 那么当 o b 与 o x 重合时， 所需要的时间就应该是九十度，哎，除以二十度每秒，这个下来是二分之九秒。 呃，二分之九和三分之十三谁大？哎，大家可以做一个估算，对吧？或者你把它化成小数，这个是四点多一点点，哎，这个地方是四点五，是吧？或者我们也可以交叉相乘，他俩一乘，这是二十六， 这俩一乘，这是二十七，所以二分之九是大一些的，那就说明三分之十三，哎，三分之十三比较小，对吧？ 十三除以三，我们拿小数再减一下，三四十二，四点三几，这个是四点五，所以 o a 先重合， o a 先重合的话，说明我们这一问需要考虑的时间就是三分之十三秒以内，三分之十三秒以内。 然后他说，当三条射线中，其中一条射线是另外两条射线夹角的角，平分线时求旋转的时间，哎，求旋转的时间，呃，这个题目大家可以按照 这个时间顺序，哎，大概思考一下，比如说，你看，刚开始是这样子，对吧？ o b 是 不是加在了 o a 和 o c 之间，哎，你可以想象一下，比如说， o b 有 没有可能去平分这个 a o c 呢？ 好，大家稍微想一下，是应该不可能吧，哎，因为目前的话，这个角是四十度，这个角是五十度，那， 哎，这个是不还不好说，因为一转起来之后的话，你看，嗯，他俩之间的夹角 在缩小，对吧？哎，他俩其实可以看成是一个角度的追击问题啊，然后他俩是一个相向，对吧？他俩角度也在减小，所以这个还得算一下 啊，还得算一下。就是，呃，如果有的同学脑子比较快的话，可能大概一想是能想清楚了，但是，呃，我相信还有同学可能并不是一下子能想的那么的清楚，对吧？就是 第一种情况， o b 虽然位于 o a 和 o c 之间，但是在这里面 o b 有 没有可能平分角 a o c 呢？哎，这个是有带， 是不是得算一下？哈哈，那这样吧，我们算一下好不好？哎，我们算一下，我们算的话，就是，反正就是三条射线啊，反正就是三条射线。我们应该 刚才分析完之后，知道 o a 是 能追上 o b 的 吧，因为 o a 要先 o b 一 步和 o x 重合， 然后这个 o c 和 o a 和 o b 它都是相向而行，所以 oc 也可以和 o b 重合，哎，也可以和 o a 重合， 所以这三条射线之间的顺序他是会发生错位的，所以，嗯，要不然就是我先把这几个时间点给咱找到，哎，这一点在我们讲这个动讲题目的这个方法论当中是讲过的啊。 好，那我再接着这写了啊。来，三条射线之间，当 o a 与 o b 重合时， 那 o a 与 o b 重合的话， o a 转过的角度是三十 t， o b 转过的角度是二十 t 重合了，说明 o a 把 o b 追上了，那 o a 比 o b 就 得多转 四十度，所以他们的角度差是四十，于是求下来， t 等于四。好，这是第一个时间点。再来，当 o b 与 o c 重合时， 好，这个时候我们看一下他们两条射线的角度和吧，二十 t 加上十 t， 哎，就应该等于他们一开始的这个五十，所以 t 等于三分之五啊，三分之五一点几秒，不到两秒。 然后当 o a 与 o c 重合时，那么三十 t 加上十 t 等于九十度， 四十 t 等于四分之九。好，我写在这里啊，来，这三个时间点前后， 我们要想去表示这里面角的话，他的表示方法是要发生变化的，然后总时间是三分之十三秒，所以大家可以 在零到十三秒这个范围内，我们先对这几个数据做一个排序，然后大家直接就像我们前面所讲的，哎，分段考虑是不就可以了吧？哎，分段考虑，我们一段一段考虑，这样的话，呃，你思考起来他也比较轻松一些哦。 嗯，我们看一下，就是三分之五大还是四分之九大， 四分之九是二点几，哎，三分之五是不到二的，所以这个时间点是排第一位的，接下来这个是排第二位吧，然后这个是排第三位，到这第四个。 好，所以我们接下来写的话，大家分段考虑啊，一定要把这个方法学会好吧，因为这已经不是第一次讲了啊，这已经不是第一次讲了。嗯，我们先来看一下，当 时间 t 大 于等于零，小于等于三分之五的时候， 我们先看一下三分之五会发生什么事情。三分之五的话，是会发生 o b 与 o c 重合，对吧？你看刚才三条射线之间重合的那个时间点，我们都已经算出来了，说明你看 o a 和 o b 重合前，对吧？ b 和 c 是 会先重合吧，哎， b 和 c 会先重合， b 和 c 会先重合。你看，目前它俩的夹角是四十，它俩的夹角是五十，人家俩要先重合的。 所以在这种情况以后，我们大概画一下草图，零到三分之五的时候，应该是有个答案的，觉得这个图标简单，我没必要画啊。来，当 t 在 零到三分之五的时候， 哎，一定会有， 我们要，我们要的是角分线啊，我们要的是角分线。来，当 o b 平分角 a、 o c 时， 这样吧，来，第一个啊，第一段时间 t 在 零到三分之五秒之间，当 o b 平分角 a o c 时， 那么我们把关系先列出来啊，如果 o b 要是平分角 a o c 的 话，那就应该满足角 a o b 等于角 c o b， 然后这个角 a o b 的 表示应该是， 嗯，我们看一下啊，就是你们一开始是一个四十度，对吧？然后他们两个之间的角度会缩小。缩小。缩小多少？缩小的其实是一个角度差，所以是四十度减去缩小的这个角度， 呃，来缩小的角度应该是三十 t 减去二十 t。 好，这是 a o b 的 表示方法，也就是四十度减去十 t 度， 那么角 c o b 呢？ c o b 一 开始是五十，这次缩小到应该是它俩的角度和吧，所以是二十 t 加上十 t 等于五十，减去一个 三十 t。 好， 所以四十度减十 t 度等于五十度减三十 t 度 解得 t 等于。呃，我们一个项二十 t 等于十，所以 t 应该等于二分之一吧。 好，这是第一个答案，大家看懂没？呃，你们具体在写的时候也不一定像我这样，对吧？因为我这是现场发挥的啊，我这是现场发挥的，或者你直接这样去写也行。当 ob 平分角 a o c 时， 对吧？我刚才判断的那一步，其实思路是比较严谨的，因为我担心。什么情况啊？就我担心。嗯，本来你这个夹角就比这边小，结果一转之后，你这个夹角缩小了，比它快，比它快的话，那这种情况下 o b 是 没有办法平分 a o c 的。 但是我们刚才验证了， ob 和 oc 是 要先重合的，说明这边缩小了，没有这边快啊，没有这边快，那就说明这里面有答案，这里面有答案， 或者大家，呃，不写这个，对吧？你写这个，然后直接写它等于它，我觉得也是可以的。 嗯，你看一下啊，就是我，我觉得这样写可能会更好一些吧。就先把角度表示出来啊，你先把角度表示出来，然后你说当 他等于他时，然后满足这个式子解得 t 等于二分之一，这样也行啊，把要点体现出来就可以。 呃，我在这给大家讲，所以我可能会写的稍微详细一些啊，你们关键是听懂来，这是第一种情况，来第二种情况，那我们接下来是跟大家分析三分之五到到多少呀？来，下一个时间点，是不是就四分之九吧， 小于等于四分之九，嗯，那越过了三分之五，说明 ob 和 oc 已经重合了，然后四分之九之前说明 o a 和 oc 还没有重合呢，所以这个时候的话，大概是 oc 是 会被夹在中间吧。 就是在这一段啊，在这一段时间范围内， o c 和 ob 已经重合了， o c 和 o a 还没重合呢。所以这里面如果要产生答案的话，就是当 o c 平分角 a o b 时，那角 a o c 等于角 b o c， 可以不？你看做熟练之后基本上不用打草稿，对吧？拿来就讲啊，拿来就讲，你们也一样拿来就做啊，只要你的思路足够的清楚，那这个图是不也可以不用画吧，是不是？ 好，我们还是跟刚才一样来表示一下角啊，我把这个就擦掉，我觉得我不需要这个图，因为太简单了，来角 aoc， aoc。 嗯， a o c 的 话，我们来看它，而且这个范围内的话， o a 和 o c 还没重合呢。你们一开始加角是一个九十，所以九十度减去它们的角度和三十 t 加上十 t， 所以 等于九十度减去 四十 t 度啊，九十 t 减去四十 t 度，然后这个角 b、 o c， boc、 boc 是 不是已经重合，而且交错了吧，说明这个时候的角度和是不是已经大于刚才的五十度了。所以这次我们应该反过来用二十 t 加上十 t 减五十度，也就等于三十 t 减五十度。好，所以要满足九十减去四十 t 等于三十， t 减五十 好，解得 t 等于我们一个项，一百四十等于七十 t， 所以 t 等于二， t 等于二。你看一下我解出来的这几个值是不是都在这个范围内吧？都在这个范围内，所以像这肯定是符合要求的。来第三种情况，那就是比四分之九大啊，比四分之九大， 然后呢？哎，然后要比四小吧，那就小于等于四。 好，我们先想一下，就这里面如果满足提议的话，应该是谁平分谁啊？ 四的话是 o a 和 o b 重合了，而四分之九是 o a 和 oc 重合了，说明 o a 和 oc 已经重合了， o a 和 o b 还没重合呢，所以这个时候肯定是 o a 被夹在中间了吧。 那就是当 o a 平分角 c o b 的 时候，角 c o a 等于角 b o a， 那么这个角 c o a 等于多少呢？来四分之九的时候， o a 和 o c 已经重合了，所以超过四分之九，说明 o a 和 o c 转过的角度和已经大于一开始的这个九十了，所以这次我们把它反过来，那就三十 t 加上十 t 减九十度，所以是四十 t 减九十度， 然后这个角 b o a 等于。我们看一下，四的时候， o a 和 o b 会重合，那么现在四之前， o a 和 o b 还没重合，还没重合，你这个 a o b 是 不就还是用上面这种表示方法吧，对不对？ 因为你们一开始相距四十度吗？啊？然后你们角度差逐渐在缩小，在缩小，缩小了就这么多，还没超过四十呢，所以跟上面一样， 四十减去括号二十题，减十题等于四十题， 等于四十度啊，四十 t 了，等于四十度减十 t 度，所以这个时候四十 t 减九十等于四十度减十 t 度来解得 t 等于。 呃，咱们一个项，五十 t 等于一百三，是吧？所以 t 等于五分之十三。好，这是第三种情况， 然后第四种情况的话，就是比四大，然后小于等于小于等于这个停下来的三分之十三，小于等于停下来的这个三分之十三。 那么四秒的时候， o a 和 o b 重合了。呃，四秒之后，四秒之后，说明 o a 转到 o b 的 右侧了， o a 转到 o b 的 右侧了，大概就变成这样子了， o a 跑到 o b 的 右侧，然后 c 是 不在这边吧。 呃，我图是虚化的，你只要知道这个时候 o b 在 中间就可以，所以看样子应该是没有答案，对吧？因为这个三分之十三是个四点三几吗？ 但是我们写上写上也可以，咱们把这个式子列出来，如果他不符合题的话，那那个解肯定是不满足要求吧。我来给大家写一下 来来，这个范围内当 o b 平分。哎，因为这个时候 o b 在 中间啊，要想平分是不也只能 o b 去平分了吧。当 o b 平分角 c o a 的 时候，角 c o b 等于角 a o b， 那么这个角 c o b。 哎， c o b c o b 的 话，因为它是重合后的表示，所以和上面的这个表示方法是一致的。我减小三十 t， 减五十 t， 减五十度， 减五十度，然后还有这个角 a o b， 这个时候 o a 和 o b 的 角度差是已经大于四十了，所以应该用三十 减去二十，三十 t 减二十 t， 三十 t 减二十 t 是 o a 和 o b 的 角度差，也就是 o a 比 o b 多，转过的角度多，转过的角度已经超过四十了，减去这个四十度， 所以等于十 t 减四十度。你看，这个时候要想有答案的话，那就应该满足，三十 t 减五十度等于十 t 减四十度。 咱们一个项的话就是二十 t 等于十，所以 t 等于二分之一 解得啊， t 等于二分之一，但是这个 t 等于二分之一，压根就不属于这个范围内，对吧？所以这个答案是要舍掉的。那么此题综合以上讨论，答案就这三种 好。呃，我觉得我应该是给大家分析清楚了啊，你看一下我们用到的方法跟呃，我前面给大家讲的做这种动脚题的底层逻辑是完全一样的。哎，我考虑了整个运动所持续的时间， 然后再就是因为我要表示这里面的角，所以我把这三条射线什么时候重合的时间点找到，对吧？啊？零到十三分之十三，这个范围内三个点，把它分成四段四段，我一段一段一段一段的去考虑，我定位好每一段谁在 两侧啊？哪条射线在外面，哪条射线在里面，很清楚，对吧？这个范围内 o b 在 中间，这个范围内 o c 在 中间，这个范围内 o a 在 中间，哎，这个范围内 o b 在 中间。然后结合题目的要求，我们把动角 这个角度给他用时间 t 表示出来建立方程，解得就可以了。好了，那么写到这里的话，大家最后再写一个综上所述给人家回答一下就可以了，这就是这道题目的思路。

大家好，我们再来看这道题，若关于 x 的 方程，它得解为整数，则满足条件的所有整数 k 的 和为多少？那这里面提到的是方程的解，所以我们需要先来解方程。 呃，这个 k 它是一个常数啊，参数，所以像这个东西呢，就是 k 减三倍的 x 啊，系数为 k 减三，所以你就没有必要把它打开啊，不要写成 k， x 减三 x， 呃，我们把它当成一项来对待。 k 减三倍的 x 等于六减二， x 减二，把负二先分进括号里面去， 然后再一个像这个负二 x 搬到左边来，那就是加二 x 来， k 减三个 x， 再加二个 x， 所以 是 k 减一倍的 x 等于来右边。六减二等于四， 所以 x 等于四。除上 k 减一，这个解为整数，说明这个四减一能够， 这个 k 减一能够被四整除， k 减一能够被四整除，那 k 减一就可以取正负一。注意符号啊，不要光考虑正的 来，正负一，正负二，正负四是不都可以吧？好，所以如果 k 减一是正一，那 k 就是 二。如果 k 减一是负一，那 k 就是 零。 如果 k 减一是二，那 k 就是 个三。如果 k 减一是负二，那 k 就是 负一。如果 k 减一是四，那 k 就是 五。如果 k 减一是负四，那 k 就是 负三。所以满足条件的所有整数 k 一、二、三、四、五、六。哎，这六个，我们把这六个加起来就行了，这个三和负三可以消掉。二加负一是正一，正一再加五是个六。所以此题答案选的是 d。

各位同学，大家好啊，我是僵尸，今天给大家讲讲这个高新区二零二四年一月份八年级数学上学期的数学期末二、整题，今天给大家讲讲压轴，最后一个二六 t 集合压轴啊！ 好了，开始在学习全等三角形知识数学新小组发型模型，它是由两个共顶点的共顶点且顶角相等构成的啊，手拉手嘛，手拉手，上课已经数了无数遍了啊！ 来，第一个，如图一，两个等角三角形， a b c 和 a d c a d c a 得等 e 是 吧？这两个顶角还是相等的， 相等的是吧？然后呢？如，如果把小等腰的两个腰长看作手大等腰大手，是吧？这不小手拉大手啊！手拉手啊，这，这个 a b 的 划一下啊，这个 a b 的 这个三角形，这个三角形很明显它是和这个三角形， 这不全能吗？这不小手二法加公共角，这不大手，这不小手公共角加二法，这不大手， s a s s a s 全能的啊！所以这个三角形 a 写对应了啊， a e c 写对应了啊！此时这个彼得和 c c 一 数量关系，全能吗？下等 第一位处理完毕啊！来，第二位，入团，两个等腰直角三角形，两个等腰直啊，这个等腰直。 然后 ab 等于 ac， a e 等于 a， 得，这九十度啊！九十度连接一下，比得和这个 a e 判断一下，比得和 a e 的 数量关系和这个位置关系啊。然后，你这不那个小手， 这不拉大手，这不那个等下，这不这个三角形了吗？对不对？这不小手公共电，这不大手， 这不小手九十度拱角大手，小手拱角九十大手， s a s s a s， 这不全等了吗？全等之后，这个彼得和 c、 e 它们的数量关系不是相等了吗？对不对？未知关系啊，未知关系， 位置关系的话，这个比特，这不黑二是吧？ c 一， 这不是黑二啊，黑二。因为刚才的那个两个全等，所以这个角不等这个角了吗？对不对？然后看这个 两个三角形，我上课说过，手拉手完了立刻跟八到角这两个角相等，对顶相等，所以这个角跟这个角，这是个等角值。题目告诉你的，这是个九十，所以这是个九十，所以垂直关系前两问处理完毕啊， 来吧。第三题，如图三 abc 完成。以 abac 为边往外做等边啊。以 abac 为边往外做这个等边啊，做等边， 这是个得，这是个等边啊，这等边。然后再以这个 a、 c 往外做，等边啊，做等边。 a、 c、 e 也是个等边啊。然后连接这个 b、 e， 连接这个 b、 e 和这个 c 得 它们相交于这个 p 点来，并直接写出这个 b、 e 和 c 的 数量关系，这个数量关系相等不？刚才不 s、 a、 s、 s 不 说多少遍了，不说了啊，以及这个 p、 b、 p、 b、 c 这个角啊， pvc 这个角和这个 pcb 这个角啊，这个角，它俩的夹合是多少，是吧？对吧？因为刚才那个 s、 a、 s 的 全等啊，刚才那个全等，所以这个这个角， 这个角不等于这个角了吗？对不对？我说过，整完全等之后，立刻要玩八字倒角，玩八字倒角 这两三行啊，这有个对顶，这个像你这个，所以这个角等于这个角，这是个等边六十，所以这角也是个六十，这不外角吗？二号的北塔，这不外角六十，你看了吗？所以他俩加起来这不外角六十吗？处理完毕啊？

八年级呢，是初中阶段的分水岭，八年级上学期呢，又是两级风华的关键期，一定要掌握好下面这四道难点。八年级上学期的数学的难点主要分为几何和代数两个板块， 那几何里面的是？首先呢，咱们学的是三角形，这里面三角形的概念，三角形与之相关的线段，这里都比较简单。那接下来的全等三角形，它的性质和判定，其核心部分当然是它的五大判定，但是真正在做题的时候，你要理解如何指天价或注线，一定要注意它的三大全等变换， 平移、旋转、轴对称，它就是按照这三大变换来添加辅助线的，其中的很多模型一定要掌握，比如手拉手模型、半角模型，一些三垂直模型，这些一定要掌握。那后面的轴对称图形，首先咱们学的是角平分线， 角平分线呢，它本身就是一个轴对称，所以也一定要掌握它的三到全等变换。那垂直平分线呢？垂直平分线上的点到两端点的距离相等，就应生出了等腰和等边三角形，这里重要的就是三线合一，但然后面的这个最端路径也是一个难点。 那之后我们进入袋鼠部分，袋鼠部分，这里的整式乘法，它其实就是一个分配律的应用，这里并不难，但接下来的英式分解难到了很多孩子，这里一定要掌握两大公式，平方差和完全平方公式，那英式分解的这四种方法一定要掌握。提供英式法、公式法、十字相乘法、分组分解法。 最后的这个公式，一个重中之重就是一定要记住检验，检验的就是分母不等于零。 那最后呢？就是用公式方程来解决实际的应用题了。把这四个重难点捋透了，每个重难点怎么考，哪些地方容易踩坑？把这些搞清楚之后，助你轻松度过关键期。关注郝老师，学习不迷路！