初中动点几何模型大全

三、动点的将军印码是动点问题的重难点。暂停看题， 做点儿屁。关于 a、 c 的 对称点连接，对称性质得到两红色线段横相等。再做点儿屁。关于 a、 b 的 对称点 连接，又得到两绿色线段横相等。由轴对称的性质还得到 a m 等于 a p， a p 又等于 a n。 三条蓝色线段相等，还得到这个角等于这个角，这里也等于这里， 这里两角之和为九十度，从而推的这里加上这里等于一百八十度，即 m、 a n 三点共线，两点之间线段最短，粉色、黄色、绿色之和大于等于 m n， 而 m n 又等于二倍的 a p 长度 转化为求 a p 的 最小值点到直线垂线段最短， a p 垂直 b c 时有最小值，此时 e 点位置、 f 点位置都与 a 点重合。 勾股定律得到 b c 长度时，等级关系得到 a p。 四点八，也就得到了 m n 最小值。九点六下课。

如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 a 等于三十度， b、 c 等于三。 三角形 a、 b、 c 的 面积为九点， d、 e、 f 分 别是三边 a、 b、 b、 c、 a 上的动点，则三角形 d、 e、 f 周长的最小值为， 这是将军印马三动点模型的一道几何体。 d、 e、 f 为 a、 b、 b、 c、 a、 c 上的动点，要求 三角形 d、 e、 f 周长的最小值。那我们就想到做对称点，这是一道很典型的将军印马三动点模型的几何体。好进， 已知条件告诉我们，角 a 等于三十度， b、 c 等于三。还知道三角形 a、 b、 c 的 面积为九，那我们很容易想到，故点 a 做 b、 c 边上的高。好， 这个就确定了点一的位置。好过点一，分别做 a、 b、 a、 c 的 对称点好 两撇， 再连接 a 一 撇， a 一 两撇，再连接一撇一两撇，那么一撇一两撇分别与 a、 b、 a、 c 各有一个交点，那么这两个点分别就是我们要求的 d 点、 f 点，然后再连接 d、 e、 d、 e、 f。 好，那我们来说一说，此时三角形 d、 e、 f 它的周长为什么是最短的呢？好，那我们来看啊，因为一撇一， 关于直线 ab 对 称，所以 d 一 等于一撇 d， 同样一一两撇，关于直线 a、 c 对 称，所以 e、 f 等于 e 两撇。 那么也就是说，三角形 d、 e、 f 三边的 长度转化为一条线段，也就是一撇 d、 e、 f 一 两撇 f， 而此时这三条线段在一条直线上， 所以此时呢，三角形 e、 e、 f 周长最小，它就等于一撇一两撇的长度。而我们知道 a、 e 垂直 bc a 一 关于和 a 一 撇，关于 a、 b 对 称， a 一 a 一 两撇，关于直线 a、 c 对 称，所以 a 一 撇等于 a 一 等于 a 两撇。 而根据对称的性质，因为角 a， 也就是说角 b、 a、 c 等于三十度。那么我们就可以知道，一撇 a 一 两撇，这个角，它是等于两倍的三十度，也就是六十度。 也就是说，三角形 a 一 撇一两撇，它是一个等边三角形。比如说 a 一 撇等于一撇，一两撇等于 a 一 两撇。 好，如果我们把 a 求出来了，就可以求出等边三角形 a 一 撇一两撇，它的边长，也就可以求出三角形 d、 e、 f 周长的最小值。好， 因为角 a 等于三十度。 根据对称的性质 可知，角一撇 a 一 两撇，它就等于六十度。三角形一撇 a 一 两撇是等边三角形。 又因为 bc 等于三 s， 三角形 a、 b、 c， 它等于二分之一，乘以三，乘以 a 一 等于九， 所以 a 一， 它是等于六的，所以 三角形 d、 e、 f， 它周长最小值为 六。

三秒搞定将军一马单动点，只需做对称连接就是最小值。双动点找到定点分别做对称连接就是最小值。三动点先做对称连接就是最小值。 再求红色线段最小值，做垂线最小。初衷，几何再难也就这四十二个模型！这四十二个模型，这本书都帮你整理好了！ 从几何初步到几何证明，再到经典模型，全都总结的清清楚楚。比如这个长得像铅笔头的，就是铅笔头模型，把它吃透，考试的时候再遇见这类题，就能快速写出证明过程。每个模型都从真题讲解、模型提炼、习题巩固、思维导图等多个角度带孩子吃透几何模型 基础差，看不懂也没关系，扫码就有名师一对一讲解！左下角还有应用题和函数，一套书用三年，赶紧带回家吧！

同学们好，今天我们来看一个今年成都八年级月考的题目，这个题目难度不算很高，但是用常规的方法预算量太大，所以要在有限时间内完成并不容易。 这是一个一次函数综合题，涉及到了动点的坐标范围求解，如果用常规方法，需要求解多个函数解析式，运算量太大，如果在解析过程中巧妙利用几何知识，可以大大减小运算量，提高解析速度。 在平面直角坐标系中，有一条直线 l 一， 就是这条线，它的解析式是 y 等于 x， 减三和 x， y 轴分别交于 a 点和 b 点，那么 a 点和 b 点的坐标我们很容易算出来，然后点 c 呢？是在线段 ab 上面， 并且有 a， c 等于二分之一 bc， 那 么所以 c 点的坐标我们也很容易算出来。然后动点 d 在 三角形 a、 o、 b 内，那就是这个三角形， 并且呢不包含边界， d 点在这个三角形的运动过， c 点做 c， e 是 垂直于 a、 d 的， 并且呢， e 点是在直线 l 二、它的解析式为 y 等于二 x， 如果 a、 d 的 长度就这条线的长度和 c、 e 的 长度相等，让我们求 e 点它的纵坐标，纵坐标为 m。 取值范围。 这个问题，我们如果按照常规的做法，那我们应该设出这个 d 点它的横坐标和纵坐标，然后求出 a、 d 的 解析式， 然后再通过 c， e 是 垂直于 a、 d， 而且 c 点的坐标已知，我们再求出 c、 e 的 解析式， 然后由于 a、 d 的 长度和 c、 e 的 长度相等，那么我们算出 e 点它的坐标，然后 e 点的这个坐标呢，它同时又要保持在 l 二这条直线上， 然后第一点的坐标是保持在这个三角形的范围内，通过这两个约束条件，我们去找到一点他的坐标的取值范围。但是如果我们用上述的这种常规的解析方法，我们需要求解一条 两条这样的依次函数的解析式，并且我们还需要求解一个三角形内这两个约束条件， 这样的话运算量就太大，所以我们可以思考一下这个问题，看能否用其他更为简变的方法去解答。那我们仔细观察一下题目给出的条件，首先 a 点和 c 点它都是一个定点， 但是 d 点和 e 点都是动点，而且题目先给出了 a d 这个条件，在通过 a d 存在的前提下，再给出了 c e 这个条件，那么也就是说如果我们能够去找到 d 点它的一个运动的范围，那么我们相对来说去找到 e 点它的一个运动范围，那么就是比较容易的。 那我们如何通过这个 d 点去得到 e 点呢？我们可以看成我们先过 a 点做一个 a d 一 撇垂直于 a d， 并且 a d 一 撇的长度和 a d 是 相等的，那么如果我们能够找到这个 d 一 撇它的一个运动的范围，那么我们只需要平移一下，是不是就能够找到 e 点它的一个运动范围？这个时候我们再仔细观察一下 a 点、 d 点和 d 一 撇点， a 点是一个定点， d 点是一个动点， d 一 撇是一个重动点，那么 d 点是主动点， 第一撇是虫洞点，那这就正好符合我们之前讲过的刮豆原理，也就是说第一点它的运动的轨迹是能够决定第一撇点它的运动轨迹， 那我们假设地点正好在三角形 a、 o、 b 的 这三条边上运动的话，那么第一撇点它也应该是在一个相似的这样一个三角形三条边上运动。 但是呢，我们地点如果在不包含边界这样的三角形运动的话，那么地点在这个三角形的内部运动，第一撇点也应该是在一个相似的三角形的内部运动。那接下来我们把这个三角形 a、 o、 b 这个三角形的运动，那第一撇点我们可以看出来，他应该就是在 a o 一 撇 b 一 撇这个三角形内部运动， 那接下来 c、 e 相当于把 a、 d 一 撇进行了一个平移，那 d 一 撇点的它的一个运动范围是一个三角形的内部， e 点的运动范围，那就相当于把这个三角形的范围也进行一个平移， 这就是 e 点它的一个运动范围，那我们接下来把 e 点这个运动范围也划出来， e 点的运动范围就来到了 a 一 撇、 o 两撇、 b 两撇这个三角形的范围内，其中这个 a 一 撇和 c 是 重合的。 现在的问题就是一点在 a 一 撇、 o 两撇、 b 两撇这个三角形的范围内运动，同时一点还要保持在直线 l 二 l 二的解析式是 y 等于二 x 这条线上运动，所以我们把 l 二也画出来， 同时把我们之前所做的无关的辅助线我们把它去掉，所以一点它的运动范围，它只能够在这个三角形的范围内， 并且它在 l 二这条直线上，所以 e 点它的运动范围就只可能在一个线段上， 那就是 l 二和 a 一 撇 b 两撇这条线段的一个焦点，以及 l 二和 o 两撇 b 两撇这一条线段的一个焦点。 所以我们只需要把这两个焦点的坐标求出来，那么他就是 e 点，他的运动范围就在这条线段上面。那我们如何来求这两个焦点的坐标呢？那么首先我们根据题目 a 点的坐标，我们很容易算出来是三 零 b 点呢？它的坐标是零负三， c 点的坐标，那就应该是二负一，而且 l 一， 它的解析式我们知道它是 y 等于 x 减三， 所以 a 一 撇 b 两撇这条线，它是过 c 点，并且和 l 一 垂直的这么一条直线上，所以我们把 a 一 撇 b 两撇，它的解析式我们很容易就得出来， 那就是 y 等于负 x 加一。然后同时我们再来看这个 o 一 撇点和 b 一 撇点，它的坐标应该是多少呢？ 因为 o 一 撇 a 一 撇，它和 o a 是 相等的，它们都为三，所以 o 两撇的坐标，它的横坐标和 a 一 撇应该是一样的，是二 纵坐标比负一大三，那么它也是二，所以 b 两撇，它的纵坐标和 o 两撇是相同的，也为二，并且它在 a 一 撇 b 两撇这条直线上，所以 b 一 撇，它的横坐标就应该是负一。 那现在我们把 e 点它运动的这个范围下面这个点，我们假设把它设成 m 点，那 m 点就应该是 a 一 撇 b 两撇这条线和 l 二，它的交点，那么 a 一 撇 b 两撇的这个解析式是 y 等于负 x 加一， l 二的解析式是 y 等于二 x， 那 我们把它连立，我们就可以求出来， x 是 等于三分之一的， y 是 等于三分之二的， 那这个点就是 m 点的坐标，那就是三分之一三分之二。我们如果把 e 点运动的上方这个点，我们把它假设为 n 点， 那么它也在 l 二这条直线上，同时它在 b 两撇 o 两撇这条直线上，那 b 两撇， o 两撇，它的解析式应该是 y 等于二， 并且它在 l 二这条直线上，那 y 等于二 x， 同样这个我们也能够把它求解出来，就是 x 等于一， y 等于二，那它就是 n 点的坐标，就是一 二。我们题目需要求的是点一的纵坐标 m 的 取值范围，那么它就只能够是在 m n 之间，那么所以这个 m 小 m， 那 么它的取值范围我们根据 m n 的 坐标很容易就得出来，就是三分之二小于 m 小于二，因为一点，它的活动范围在这个三角形内，并且呢不包括边界，所以这个地方不能取等，只能是三分之二小于 m 小 于二，这个地方不能取，小于等于， 所以这样的话，我们通过刮斗原理就把这个 m 的 取值范围把它给求出来了。这个题目我们利用刮斗原理的知识得到了 e 点它的运动范围，那么是这样的一个等腰直角三角形，再利用 e 点在 l 二这条直线上的这个约束条件， 可以看到这个 e 点，它就只能够在这样的一个线段的范围内进行运动。然后我们求得了这个线段的两个端点， m 和 n 它的坐标，那么 e 点它的纵坐标的取值范围我们就很容易就得出来了，那就是三分之二小于 m 小 于二。形有界似无界。这里是无界数学。我是彭老师，我们下期再见。

每天一道必考题，期末稳题二十分。今天我们要讲的是将军印马，那么普通的将军印马模型大家一定非常熟悉了，两个定点加上一个动点，而且这个动点的运动轨迹一定是一条直线。如果题目直接告诉你他到底在哪条直线上动的话，那我们利用轴对称，很快就能把答案算出来了。 大家看这道题啊，这个正方形是边长为四，然后 e 是 a b 上的一个动点，把 d e 旋转九十度，得到 e f， 自然这就存在一个等腰直角三角形 d e f。 那 么我们遇到歪着放的等腰直角三角形，要立刻想到全等里面的 k 字模型。所以我现在过 f 往下做一个垂直，我们标一个点 p， 这形成了一个 e p f 和 d a e 这两个造型是全等的，这是我们非常熟悉的 k 字模型啊。那么题目告诉你了， d a 等于四，所以 e p 也就等于四， a e 长度不确定，那我先标一个 m a， e 的 长度是 m， 既然全等 f p 就是 m， 那 么 e b 长度应该是多少呢？正方形的边长四减去 m， 四减 m， 那 我们就能算出来 p b 这一段的长度也是 m 了。通过刚才的计算，我们就能推出 b f p 这个三角形，无论如何都是一个等腰直角三角形。因为 f p 始终是垂直且等于 b p 的， 所以我就知道这个 f 点动点，它的运动轨迹是 斜四十五度的，这条直线我们连接 bff， 就 在这条线上面运动。只要你找到动点运动的这条直线，那么我们接下来的步骤就非常简单了，我们把这个点 d 关于对称轴去对称一下，得到 d 撇，然后我们要求的三角形 dcf 的 周长其实就是 d c 四，再加上 b f 加 c f 的 最小值了，那 d f 加 c f 最小值就是 c d 撇。 c d 撇的计算也非常简单啊，我们把这个延长 b c b 延长， 然后连接这个点 d 撇，把 c、 d 撇画在一个直角三角形 c m d 里面，那这段也是四，这段也是四，一比二比根号五，所以 c d 撇就等于四倍根号五。 道题的答案就是四加四倍根号五啦！搞定学校数学没吃饱，来找范范开小灶，记得关注哦！

哈喽，小伙伴们大家好，今天我们来讲将军野马模型啊，将军模野马模型是我们进入初中以来学几何的 第一个这个阶段的坠子问题，也是动点的坠子问题啊，我们还是要把这一类掌握透的，因为这种是必考的 啊。那什么叫将军引马模型？这个名称是咋来的？他稍微有一个小小的典故啊，就是我们假设这有个 a 点啊，这个 a 点将军呢和他的马在这个 a 点，然后呢要来到这个河边喝水，这是一个河啊， 然后这里面有个 b 点吧，啊，有个 b 点是营地啊，他喝完水之后要牵着马来到这个营地， 那这里面就存在一个问题，由这个典故我们就会出现一个数学模型，就是他现在在河边喝水，那到底是在哪个地方喝水，才能使得我们走的这两段路 比较少啊？也就我们先设一下吧，设为他喝水的地点为屁点，比如说这屁点，那如何才能使 pa 加上 pb 最小啊？ pa 加 pb 加 p b 最小，这就是求线段和的最小值。那我们这个啊，典故讲完了，它这个名字就由着来的啊，将军牵着他马来饮水，然后再回到营地走的这两段路，如何才能使得最小 啊？那我们这里面就可以在数学模型里面去解决它的问题。那我们知道我们最近不是学了这个走对称吗？所以我们就利用走对称的性质来解决这一题目啊。首先呢， p 是 一个动点，因为我们不确定在哪里喝水的，这是第一点。 第二点呢，这两个是动点啊， a 和 b 都是定点啊， a 和 b 是 定点， 那接下来就要考虑怎么解决这个问题。还有一个就是我们这个将军与马啊，有时候是叫将军与马，有的是叫多折叠线段的坠子问题 啊，所以叫法不一，这个不需要去纠结于他，主要就是我们要掌握这个基础模型以及基础模型里面带来的问题里的解法啊，所以那这个问题我们要怎么解啊？正常情况下，基本步骤是我给的方法是第一步就是先找定点啊，找定点， 找到定点以后，我们就做定点的对称点啊，定点的对称点， 做定点的对称点。好，那我们既然做对称点，就会有对称轴，那我们以谁为对称轴呢？是以动点所在的直线为对称轴，以动点 所在直线，以动点所在直线为对称轴。 当这些你都把控住了，那基本上这将军与马的题目也就出来了啊，也就能做出来。首先，那你这里面我已经说了， a 点和 b 点是对称点，对不对？那是定点，那我们要么做 b 点对称点，要么做 a 点对称点，都可以的 啊，那我们就先挑一个吧，做 b 点对称点，那以谁为对称轴？就以这个和，因为屁，在这个和上嘛，我们设这个和为直线 l， 那 就以 l 为对称轴，对吧？我们对称过来啊，对称过来。 假如说这是 b b 一 撇，那这里面就涉及到一个知识点，我们根据轴对称的性质，对应点的连线被对称轴垂直平分，所以这个对称轴就相当于是一个垂直平分线，那垂直平分线上的点到线段两边的距离 是相等的，所以你要求 pa 加 pb 的 最小值就相当于 pa 加 pb 一 撇的最小值，所以这就转化成了 pa 加 p b、 e 撇的最小值啊，我用字母来写出来 money 就 最小值。那接下来这个最小值怎么求呢？我知道是要求他俩的最小值，怎么求呢？那这就涉及到我们十三张学斜的边角关系了，两边之合大于第三边，你看一下啊， 无论这个屁怎么动，我们换一个别的颜色啊，无论这个屁怎么动，你看，比如说屁动了，这里 pa 加 pb 一 撇，是不是两边之合，对吧？然后我们再来一个啊，再来一个来， 比如说 p 在 这里啊， p a 加 p b 一 撇啊，这也是两边之隔，那我们都涉及到两边之隔是大于第三边的，对不对？两边之隔是大于第三边的，所以它这里面的最小值就是 a 和 b 撇连成一条直线啊，就是这条直线 两边之隔始终大于第三边，大于等于 ab 一 撇的平方 啊， ab 一 撇啊，大于等于 ab 一 撇，所，所以我们这个最小值就是 ab 一 撇，那我们这个最小值就已经找出来了，你紧接着再把这个根据题目的要求，把 ab 一 撇求出来，或者把这个 p 点找出来，对吧？都可以啊。这就是求 线段和的最小值啊，也就是我们所说的最值问题。那我们将军一马除了求线段和的最小问题最小值，还有求线段差的最大值的一个问题啊，线段差的最大值一个问题。 我们来看一下这里面他们其实两者之间有什么区别？这个我已经讲过了，线段差的一个最大问题刚好是搁着反过来的，你看啊， 我们这里面两个定点是在一条线的一边，这个呢刚好是在一条线的两边，那我们的方法就是找其中一个定点啊，方法是一样的，找其中一个定点做他的对称点啊，那我们这里面还可以用啊，还可以接着去用 刚才的方法来，我仍然去做 b 点的对称点，这是 b 一 撇啊，这一点是 b 一 撇，对吧？对称完了之后呢啊，比如说这里有一点 p 啊，这里有一点 p， 你 刚才要求 pa 减 pb 的 最小值，因为根据轴对称性，我们都知道你的对称过来 垂直平分线上点这个对称轴相当于垂直平分线，垂直平分线点到线上两边的距离相等，你要求减 pa 减 pb 的 最小值是不相当于求 pa 减 pb 一 撇的最小值 啊，最大值啊，最大值。那我们这里面最大值怎么求呢？这又涉及到还是我刚才所说的，这是不叫两边之差对不对？两边之差我们就会小于 第三边，两边看这一边和这一边，两边之差就会小于第三边，所以呢，那我们这个最大值刚好就会等于这个水解边， 所以两点连成一条直线，并且顺次给它延长到直线 l 上面，那这个屁点就在这里啊，屁点就在这里，这利用的就是我们边角之边角关系来求出最大值或最小值，所以这里面就小于等于 ab 一 撇，所以最大值就是 ab 一 撇了 啊，那我们把这个基础模型啊以及它解析的方法掌握了，那你做题就变得会比较简单了啊。