九上数学北师大版几何压轴题

好，大家上午好。嗯，岳老师挺久没有分享过那个北京中考数学的内容了啊。然后今天因为昨天晚上正好有个学生问岳老师一个几何题，这是个挺经典的一个几何题，是北京初二、初三 期末考试，期中考试，甚至在中考里头都经常出现的一类题型。那岳老师觉得这个题挺典型的，然后他的解析方法呢，也非常重要，所以岳老师在这里挑两个题跟大家讲一下。 我们去看一下这个题啊，这二四年大清清末的一个题。好，他这个题呢，怎么说呢，他说三角 abc， 中角 a、 c， b 等九十度，是吧？我们先把这个图画一下， 大家一定要养成一个自己画图的习惯，注意啊，我们做几何题最重要，其实自己画图为什么要自己画图呢？题目里头啊，虽然给了图， 但是我们自己把它画一遍的时候啊，有很很多条件啊。我们才注意到，你单单读题的话，很多学生自己读题，很多条件都是漏的，会漏读的，我们自己把它画一遍，那你画一遍的话，这个条件肯定就不会漏了，是吧？好在这个上下， a， b， c， 中角 a， c， d 是 直角 b， a， c 呢，是 r 法，这个角是 r 法，然后点 b。 关于直线 a、 c 对 称，点为 d， 哎，这种对称啊， 这种对称的题，然后求角度的题，我们下趟看到这对称也要求角度，这是一个非常非常经常经常考的一个考点。好点， b。 关于 a、 c 对 称，点为 d， 然后连接 a， d， a， d， 然后说以 a、 d 为边做等边造型 a、 d， e， 哎，这是一个等边造型 h， 老师之前说过啊，只要跟等边造型有关，而且有对称的话，这个时候呢，我们可能考虑什么呢？我们考虑旋转，因为北京中考的几何，他特别喜欢考的一个题型。什么呢？他特别喜欢考的这个几何变换， 我们在初中里头啊，学过的几何变化有什么呢？最重要的是，最重要的就是三类，一类是平移， 一类是对称，一类就是旋转。这个题啊，它已经出现了什么呢？它已经出现了一个对称，是吧？而且出现了一个等边向量，我们说等边向量经常可以考虑旋转， 怎么用这个旋转呢？当然我们就可以看了啊。好，这个三角形 a、 e、 d 是 个等边四角形，然后以 a、 d 为边，做一个等边四角形，点 e 与点 b 都在直线 a、 d 的 同侧。好，我们读题的时候注意啊，他说这个点 e 是 和点 b 呢，是在同侧的，也就说在这个直线 a、 d 的 下方，好做射线 b、 e， 然后交直线 a、 c 与点 f。 这地方有点 f， 是 吧？好，连接 d、 f， 我 看一下。哎，北京中考这题啊，它都有一个什么特点呢？它的特点，它的设问呢？其实都是很有道理的，它一般会设三问， 然后第一问呢，基本是个送分题，那这个送分题它算送分，但它为什么设这么一问呢？它其实是为了循序渐进，启发我们去进行新一步的探索。我们看一下这第一问啊，好，他说这个 r 法等于五十度的时候，问这个角 b、 a、 e 等于多少度， 然后再问这个角 a、 f、 b 是 多少度，是吧？好，我们看一下，我们重新回顾一下刚才这个图我们是怎么做的？ 这个角如果是五十度，是吧？我们在作图的时候，这个角五十度，那我们知道这个角四十度，是吧？好，做对称过来，那这个角呢？这个角是不是也四十度啊？然后做一个等边四角形，等边四角形做下来的话， 因为它刚才对称过来了嘛，所以这个角也是五十度，是吧？然后这是一个等边，所以这个小的角应该是十度。我们在作图的时候，可以先把我们能够标注的角先给它标注一下，是吧？好，标出来以后呢？ 那第一问问这个角，那这个角十度，它这个角是多少度？这个角当然就四十度了，是吧？好，这学生这个这一问做的非常好，没问题啊。好。然后第二问，他问这个角 a、 f， 接下来他问这个叫 a、 f、 b， 是 吧？接下来他问这个 a、 f、 b， 他 要问这个 a、 f、 b 的 话，我们要求这个 a、 f、 b 是 不是先得知道这个 f 点是怎么做出来的呀？是吧？ 我们得知道这个 f 点是怎么做出来的？对初二的学生呢？对初二的学生，像这种题一般怎么处理呢？初二的学生一般利用这些作图的时候，找到这些相等的边， 这个是对称过来的，所以这个 a、 b 和 a、 d 是 相等的，是吧？然后呢，又因为这个 a、 d、 e 呢？是一个等边四角形，一个等边四角形的 a、 e 是 不是也是跟它相等的呀？好，这里有两个等幺四二型了，是吧？两个等幺四二型。现在我们知道这个这个角是四十度，这是一个顶角，是吧？这个等幺四二型，这个顶角四十度。那么这两个底角呢？我们是不是立刻可以知道 两个底角？这个底角七十度，是吧？这个底角七十度。好，这个底角七十度，这个顶角十度，那这个角应该多少度啊？ 这是一个很典型的一个外角和，是吧？一个外角和定力，那这个角应该就六十度吧？这个七十，然后这个十就六十，所以这个这一问也做出来了，是吧？哎，我们看一下啊，老师刚才在画这个图的时候啊，这个 f 老师随手画的，是吧？随手画的，然后题目给了这个角呢？是 给的这个角呢是五十度，那当这个角不是五十度的时候，他不是五十度的时候，这个角看起来还是多少度啊？跟刚才这个角怎么样呢？看起来是不是还是六十度啊？他事实上我们在求这种题的时候啊，如果我们求到一个特殊角，我们要想一下能不能从特殊到一般？ 就刚才我们这个步骤啊，能不能从特殊到一般？因为六十度是个很特殊的角，是吧？我们希望说，哎，这个角如果一直都是六十度，那就好了。比如说这个角它是不是跟 r r 法是无关的？那我们把刚才那个过程重新进行一遍，万一说这个角如果是五十度，那么这个角也是五十度，是吧？ 那现在这个角是 alpha， 那 这个角呢？这个角也是 alpha， 是 吧？好，这个角是 alpha， 然后五十度呢？这个小的角是多少啊？应该六十减五十十。那现在这个角呢？ 什么六十度减 alpha， 这个小的角是六十度减 alpha 是 吧？好，这个角是小六十度减 alpha， 然后刚才呢，我们求出这个角是四十度，是吧？那在这里这个角应该是多少啊？ 整个角是整个大角是 r 法，然后中间这个小是六减 r， 所以 这个应该是 r 减去六十减 r 法，是吧？这个也就等于二 r 减六十啊。刚才这个地方我们 r 把它五十带进去，得到这个角四十度，是吧？然后在这里呢，它是 r r 减六十。 好，这个地方，然后继续按照刚才那个思路往下走，刚才我们算出来这个顶角是四十度以后呢？下面这个底角是七十，那现在我们算出这个顶角是 r r 减六十以后呢？下面这个底角应该是多少啊？我们内角和顶点一算就出来了，是吧？应该是 一百八十减二， r 减六十，然后再除以二，也就等于多少？也就等于一百二十减 r 法，是吧？这个角是一百二十减 r， 这角一百二十减 r， 然后我们再在这个三角形里头用外角和定零，这角一百二十减 r， 这个角是六十减 r， 是 吧？哎，那么接下来这个角应该是多少啊？是不是应该是六十度啊？大家看啊，所以这第一问， 他给了一个算法等于五十的时候，他问你这两个啊，是非常简单的，我们去求就行，是吧？但是这个过程呢，事实上在启发我们，从特殊到一般，当这个算法它不是五十度的时候，我们还可以怎么求这个角呢？我们还是可以沿着刚才那个步骤，是吧？ 沿着刚才那个步骤，把刚才那个思路重新进行一遍，哎，我们就可以得到，这是算法，这是算法，这六减算法，然后这个是六十，是不是可以算出这个了呀？ 哎，这个呢，是我们初二的同学啊，在倒角的时候经常用到一个方法，就是如果有出现等边或者等腰的时候，我们先找一个特殊的角，先找那个特殊的角， 在这种特殊情形之下，给一个具体的数给它算出来，是吧？然后我们再从特殊到一般用一个 r 法来表示其中这个角，然后再把刚才那个过程重新进行一遍，就可以把它表出来了，是吧？ 好，那像这个题呢，这经其实啊，他初三的学生也经常考，在中考里都经常出现这样的题，我们在用这个方法在倒脚的时候会发现一个什么问题呢？他难吗？他其实不难，但是他中间倒的过程中，因为他涉及这个字母比较多，是吧？然后而且这个步骤也比较多，那么倒起来就会怎么样？ 而且有时候有些同学可能思路抓不住，可能有时候哎，他他就想不到，哎，我怎么要倒在这边，又从这边倒回来，怎么又找到这个等腰三行，他不知道这个这个逻辑路径是怎么样的，怎么建立这个逻辑路径是吧？那么这个题还有没有别的方法来来来做呢？其实是有的， 如果是我们学完圆以后，在初三学完圆以后，像这种题我们其实是可以秒杀的啊，秒杀的老师在在这里补充一下，对于初二的学生来说是一个补充，对于初三的学生来说是一个提升巩固啊。我们可以除了可以用这个 r 法来倒角，也可以怎么样呢？我们怎么用圆来倒呢？我们一起看一下。 首先我们要用圆来捣搅之前，我们先得搞清楚什么是圆了，哎，墨子曾经说过，说圆，异中同长也是吧，什么意思啊？异中同长，异中指的就是圆心，同长什么意思呢？ 同长指的就是有相同的半径，是吧？同长指的是有相同的半径，也就是到。用我们现在数学的语言来说呢，就是到定点的距离等于定长的 点的轨迹，这个就是圆，是吧？好，那这头呢有一个很关键的地方啊，第一是定点， 这样是定长，如果我们能找到一个固定的点，然后呢，找到到它那个到这个点的长度也是固定的。这些点啊，那么它们所它们就在同的一个圆上，它们的组成的图形就是个圆，就在同一个圆上。 我们看一下这里头有没有这个定点的定长啊？我们重新把图给做一遍啊，他说这个 b a、 c 这个角是阿尔法，是吧？然后把这个 b a 对 称过去，哎，对称是什么意思啊？ 对称左右两边这个长度就怎么样呢？相等是吧？哎，好，现在我们有没有找到定长啊？这两个有两个相等的长啊？那他们到谁的长度相等，他们到这个 a 点的长度相等，是吧？所以这个 a 就是 一个定点， 然后这个 a、 d 就是 一个定场，是吧？好，然后再看，然后他又说以这个 a、 d 为边做一个等边四角形， a d、 e， 哎，我们看一下啊，这个时候他做一个等边四角形，那这条边呢？跟它们也是怎么样的呀？ 也是相等的，是吧？那这条边跟 a b 跟 a d 也是相等的，哎，那这时我们又进一步又找到一个定定长了，是吧？好，那现在我们要找圆的话，我们如果要做一个幅度圆的话，应该怎么做呀？ 我们要做一个辅助圆的话应该怎么做呀？有同学说了，我们首先要找定点，找圆心。你要画圆肯定要先找圆心嘛，是吧？这定点是 a， 那 定长是谁啊？定长是 a、 b 嘛？因为这三条线段是相等长，是吧？好，那我们就以 a 为圆心，以 a、 b 为半径，好去画一个，画一个辅助圆， 画出一个这样的辅路圆来啊，画出这样的一个辅路圆来。然后刚才我们想说什么呢？我们想说，我们想说明这个角 a、 f、 b 是 个定角，是吧？从这个 a、 f、 b， 我 们想证明这 a、 f、 b 是 等于六十，等于六十度，没问题吧？等于六十度， 那这个 a、 f、 b 这个角，它跟这个圆有关系吗？这个点 f 啊，它不在这个圆内，是吧？它不在圆内，也不在圆上，它在圆外，它跟这个圆好像没什么关系，是吧？那没什么关系，我们就不要求它，我们求另外一个跟它有关系，跟这个圆有关系的点角。 这个角呢？因为是一个直角，是吧？这个角是一个直角，然后呢？这个角我们想求他，那我们是可以求这个角，你只要把这个角求出来，但这两个角是互余的，是吧？所以我们就求这个角就行了，是吧？求这个角的话，我们看这个角，它是不是在原上的一个角啊？ 它在圆上的一个角，是吧？在圆上的一个角，它是圆上的这样的一个角，是吧？这样角叫什么？这样的角由圆弧跟圆上一点 连起来角，这个角呢？叫做圆周角。 圆周角可以怎么求呢？其实这是我们在初三学圆的时候，一个很基本的一个定律，圆周角等于 它那段弧对应的圆心角的一半，就这个圆周角啊，如果这个地方是圆心， 圆周角啊，等于这个圆心角的一半，这个非常是一个非常基本的定理啊，如果初二的同学如果不知道的话，等会我们可以补充证明一下，然后对于初三的同学来说，这应该是一个很熟练的基本定理，是吧？好，那现在我们要求这个角 d d d， 那我们就找到这段弧对到的那个圆形角就可以了吗？是吧？好，我们看一下这段弧，这个圆周角，他对着这段弧，是不是这个弧？异地啊？异地是吧？他对着圆形角是多少度啊？哎，题目已经告诉我们，这个圆形角是多少度啊？ 六十度是吧？因为这是个等边扇形吗？那他既然是等圆形角一半，那这个角是多少度啊？是不是三十度啊？这个角三十度一出来，那下面这个角呢？是不是就六十度了？哎，大家看一下，我们如果用辅助圆来做这个题的话，有任何计算在里头吗？ 他跟 r 法有任何关系吗？其实跟 r 法是没有任何关系的，是吧？所以这个方法其实是可以秒杀这种导角题的。对，这种对称图形， 旋转图形，如果我们能够找到定点的定长的话，我们去构造辅助圆的话，可以直接秒杀这种题的啊。老师再总结一遍这个这个思路，可能刚才有同学没跟上来，我说，首先我们看到 我们在做这个图的时候，一定要自己做图啊，不要，不要看着题，你当他看题时候，你可能注意不到哪个点是定点，注意不到哪个长是定长，是吧？我们在做图的时候，我们知知道它这个 a、 b 跟 a、 d 是 相等的，呃，那我们立刻就知道这个 a 是 一个定点， a、 b 跟 a、 d 是 个定长，是吧？ 然后呢？ a、 e 这是一个等边三角形的， a、 e 跟他们是不是也相等的呀？所以这个时候这头是上面有三个定长的，这三个定长相当于什么呢？就相当于这个圆的半径，然后点 a 呢？相当于这个圆心，是吧？好，我们以这个 a 为圆心， 做一个圆，好做出这个圆。以后啊，我们再看，我们要求这个角，求这个角 a、 f、 b， 它在这个圆外，是吧？它在这个圆外， 它在圆外，那我们跟圆直接产生联系呢，比较麻烦，那我们就不要求它，我们求一个跟它有关的，但是在圆内的一个角，哎，我们要求的就是这个角，这个角是它的余角，是吧？这个角呢？这个顶点正好在圆周上，这样的角我们叫做圆周角，这个角叫做圆周角。 关于圆周角呢，我们有一个定律叫等弧，所对圆周角等于该 等于圆心角的一半，比如说同样的一条弧啊，它对的那个圆周角是等于圆心角的一半， 这其实是为什么呢？我们初二的同学可能没有学习过这个定力，我们要这个简单的证明一下啊，有这个地方，我们找一段弧，是吧？找一段弧，然后呢？这个地方是圆心，好有个角，这个角是圆心，圆心角啊，然后呢？圆周角。什么？我们说圆周角是指它那个顶点在圆周上的一个角， 我们说的是这个角是这个角的两倍，或者是这个角是这个角一半，这是为什么呢？我们把这个圆周上这个顶点啊，跟这个圆心连一下， 而圆心连一下的话，这条边和这条边是不相等的呀，因为这个是圆心嘛，这是半径嘛，是吧？它俩相等，然后这两条边呢，也是相等的，是吧？ 那么我们就把这个大角啊，给拆分成了两部分，是吧？这小角呢，也拆分成了两部分，我们看一下，那分别有什么关系啊？这一部分这个角啊，是不等于这个角的两倍啊？ 因为这是个等幺三型，这两个角是相等的，是吧？这是 r 法，这是 r 法，那这两个角相等，那这个角是二 r 法吧，是吧？ 然后如果这个角是 beta， 那 这个角也是 beta， 那 这个角什么二 beta？ 一 看，哎，这个小的角是 r 法加 beta， 这个大角是 r， r 加二 beta， 所以 这个角是不是就这个角的两倍啊？刚才我们在做这个图的时候， 它跟这个顶点的位置有关系吗？它是没有关系的，是吧？这个顶点如果移到这边或者移到这边，这个规律是不是还是成立的呀？所以这就是我们刚才讲的一个定律，就圆周角等于圆心角的一半， 如果我们利用这个定力啊，像这种倒角的题，我们可以直接秒杀啊。注意，这个是初三同学可以用的一个方法。对，初二同学呢，我们就规规矩矩地用刚才那个阿法去倒角。当然，如果你先把这个定力给证明了，然后你直接去使用它，那也是可以的啊，这是一个很重要的一个性质， 我们虽然说可能出来的同学不能直接用这个定力，但是我们在找思路的时候可以用它，是吧？哎，你可以先说，哎，我先先用这个方法导出这个角度，然后我再通过刚才那个方法去证明他，这也是可以的啊，非常好啊， 因为很多时候我们在做几何题的时候，难的并不是说怎么去证明他，难的是什么呢？难的是你怎么去找到这个思路，我要证明什么是吧？好，这是第一问导角， 导角呢？我们从特殊到一般给它导完，然后我们就看第二位了啊， 他说让让我们用等式表示这个线段， f， a， c， f 和 e、 f 的 关系是吧？哎，我们看到这三条线段，他们又不在同一个三角形里头，很多同学可能在这个时候就有点晕了，我们还是先自己把这个图给做一下啊， 他们不在一起怎么找到他们的关系呢？是吧？这种题啊，其实就是我们初二初三的几何的压轴题，经常考的题型，也就是区分一般的学生跟好学生的一个分水岭啊。如果像这种题我们能够熟练掌握的话，那中等学生呢，基本就可以提升一个档次， 上到八十五分甚至九十分稳定了是吧？甚至九十分稳定了。好，我们去看一下三角， a， b， c， 这个角是 r， 把这个 b 点对称过来，这个是 a， d， 是 吧？ a， d， 让我们做一个等边三角形， a， e， d 连接延长是吧？ f 在 这儿完了，求的什么呢？求的 e、 f， 然后 cf 和 af 的 关系是吧？和 af 的 关系。好，那我们在这个题里头啊，我们首先刚才知道呢，我们刚才证明了这个角是六十度，是吧？证明了这个角是六十度， 那因为这是一个对称图形的，这个角呢？是不是也是六十度啊？也是六十度吧？是六十度。然后我们知道这个三角形 a、 e、 d 是 一个等边三角形，是吗？ 这 a、 e、 d 是 个等边三角形。像这个题我们一般可以怎么处理呢？我们可以想办法呀，构造一个新的等边三角形，因为这头有很多六十度，是吧？有很多六十度，有很多六十度的话，如果能构造一个新的等边三角形出来， 那是不是会比较好一点啊？那就会比较好一点，是吧？那我怎么构造一个新的等边三角形出来呢？ 看啊，我们要找等边向量型，最关键什么？要找到一个顶角是六十度，而且要找到两个相等的边，是吧？然后呢，像这种我们一般构造，我们怎么构造呢？一般利用旋转的方法去构造，为什么要利用旋转的方法呢？ 因为旋转它有个特别好的地方。我们先举一个例子，比如说一个等边向量 a、 b、 c 是 吧？然后 a、 b、 c， 然后这个地方它比如说有个点 d， 是 吧？有个点 d， 我 随便画的啊，这个地方有个点 d， 这个点 d 是 怎么来的？我们也不知道，随便画的，那这个地方有个散点 a、 c、 d 是 吧？但设想一下，如果我们把这个散点 a、 c、 d， 啊， 往这边旋转六十度，如果 a、 c、 d 往这边旋转六十，那 a、 c 会跑到哪呀？ a、 c 是 不是跑到 a、 b 上？ a、 c 会跑到 a、 b 上是吧？那 a、 d 会跑到哪呢？ a、 d 会跑到 a d 撇， a d 会跑到 a d 撇，是吧？那旋转以后啊，旋转以后的这两个三角形是怎么样的呀？旋转以后的两个三角形是全等，是吧？旋转以后的两个三角形是全等的， 那我们构造这个全等的三角形有什么用呢？当，当然，构造出这个全等的三角形没什么用，我们在这个旋转的过程中，还构造了一个特殊的三角形。大家看这个 a、 d、 d 撇， 这 a、 d、 d 撇啊，它是一个什么三角形啊？刚才我们把它旋转过来的，是吧？那这 a、 d 和 a d 撇是怎么样的呀？相等的是吧？ a d 和 a d 撇是相等的。然后呢，你把这个三角形往这边旋转了六十度，那这个夹角， 这个夹角 a、 d 旋转到 a d 撇是不是也旋转了六十度啊？这个夹角也是六十度，是吧？所以这个大三角形 a、 d、 d 撇是个什么三角形啊？哎，是不是也是一个等边三角形？大家看啊，我本来有一个小的三角形，是吧？我们通过旋转啊，我们同时达到了两个目的， 同时构造了两个，完成了两个构造，第一，构造了一个全等三角形。 第二，构造了一个什么呢？第二，构造了一个等边三角形。 全等三角形好不好啊？当然好了，全等三角形跟这个已知的三角形是一样的，我们就知道它的很多性质，是吧？当然是个好的三角形啊，那等边三角形好不好啊？那等边三角形当然也好呀，等边三角形是我们初中学的三角形里头最特殊的一个三角形，是吧？它三条边都相等，它三个角也都相等，是吧？它性质非常好， 那我们通过一个构造啊，通过一个一个旋转，我们完成了两个构造，那所以这个幅度线好不好呢？这就是一个非常好的幅度线。你知道吗？很多同学都可能做幅度线的时候不知道该怎么做，他往这连一下，那连一下，你这个时候你连完以后没有任何特殊的东西在里头，是吧？那这就叫不好的幅度线 好。如果比如说我们做一个，做一个辅助线，比如说我们能得到两个很好的性质，这就叫好的好的构造面吗？好的辅助线。那所以这就是为什么旋转是一个好的方法的原因。 好，那么回到这里来，我们说旋转的话，你要完成旋转，要按一个什么思路去完成旋转呢？你旋转以后，你肯定需要是不是要找到相等的边才能旋转？你比如说你这样的一个三角线， 你给他往这边旋转，是吧？比如说这个地方有个小三角形，你沿着这个连着这个顶点去旋转，那你旋转过来有什么特别的意义吗？其实没什么特别的意义。为什么没什么特别的意义啊？ 因为你这条边跟这条边的不相等，那旋转以后就重合不了，是吧？重合不了，那你这个三角形就相当于生硬的做了一个三角形在外边，那就没什么特殊的意义，是吧？ 也就是我们在旋转，说要怎么样呢？我们最好是要找到相等的边去旋转，为什么？等边四角形就好旋转了？那等边四角形你旋转过去的话，这条边会旋到哪啊？会旋到这条边是吧？这条边会旋到这条边，你有重合的，这时候呢，就是一个比较好的构造。那我们在这里头呢，我们就找等边四角形，看能不能找到好的 相等的边去旋转。我们看这三条边是相等的，是吧？ 好，这三条边是相等的，然后我们要旋转旋转，你先要确定一个什么呀？是不是先要确定一个旋转中心啊？确定一个旋转中心，找到个相等的 旋转中心，是吧？好，那这里头旋转中心可以可以，以为谁为旋转中心啊？ 连着这个相等的边得三个顶点，是不是有 a 有 e 有 d， 是 吧？有 a 有 e 有 d， 我们应该按一个什么顺序去找旋转呢？我们应该按一个点找到旋转中心，然后带动一条边。因为你旋转的时候总是把一条边选到另一条边嘛？是吧，带到另一条边，然后你选一条边，有意义吗？并没有意义，那选的是把一个图形给它旋转过去，我们按点边形的顺序去旋转。 注意啊，这是一个非常重要的一个找旋转的一个出发点，我们就是按先找到旋转中心，再找到旋转中心，带动了这条边，然后再这样再让这条边带动一个三角形去完成这么一个旋转。好，那在这里头，我们看 我们是以 a 点为旋转中心好，还是以 d 点为旋转中心好，还是以 e 点为旋转中心好呢？哎，可能有同学已经看出来了，那么以 e 点为旋转中心会比较好， 为什么以 e 点为旋转中心会比较好呢？ 这是因为啊，首先第一，这个 e 点是这个等边向量的顶点，是吧？第二什么呢？第二一个很重要的就是它跟我们要求的这个目的啊，让我们找这个数量关系， 它是有关系的。这个点它是不是直接连着个 e f 啊？直接连着个 e f， 我 们要求的是个 e f 跟它们的关系，是吧？它直接连着 e f， 所以呢，这个时候我们找这个，找这个点会比较好， 找这个点也比较好。那好，我们说我们找这个点的话，我们就要把它旋转过去了，是吧？好像把它旋转过去是怎么旋转过去呢？我们把它旋转过去的话，是不是要带动一个图形啊？大家看，以这个顶点 e， 然后呢要旋转这个 e f 的 话，要带动哪个图形旋转会比较好啊？ 欸？是不是应该带动这个三角形 e f d 旋转？为什么带动了三角形 e f d 呢？因为你这个时候你旋转的话，这个 e d 正好可以跑到 e a 上边嘛，是吧？好，我们就把三角形 e f d 绕 e 点绕，这个 e 点绕 e 点怎么旋转？我们要把它给旋转过去的话，你要把 e d 这条边要旋到哪里啊？只能是旋到 e a 上边嘛，是吧？旋到 e a 上面就是往这边旋转，是吧？那这个是应该是逆时针旋转。 逆时针旋转多少度啊？逆时针旋转六十度嘛？好，我们看一下把它逆时针旋转六十度会旋转成什么样子啊？ 这 e d 是 不是就跑到 e a 了呀？那 ef 跑到哪了呀？ ef 应该就跑到了， 跑到这跑到 e g 是 吧？ ef 跑到 e g， 因为你给它旋六十度嘛，然后这个时候 f d 跑到哪了呀？ f f d 就 跑到了 a g 是 吧？哎，让我们看一下这个看起来好像非常巧合，是吧？看起来非常巧合。这个三角形，这个 e、 f 正好旋转到哪里了？正好旋转到了这个 a a、 f 这条边上的一个点 g， 这是一个巧合吗？我们想想这是不是巧合？ 其实这不是一个巧合啊，为什么不是一个巧合呢？因为首先我们看你这旋转过去以后，就 e g f， 你 旋转六十度， e g f 肯定是个什么三角形啊？肯定是个等边三角形，是吧？等边三角形，那这个角是不是六十度啊？ 对角是六十度， e g f 是 六十度。然后呢，你把这个三角形旋转过去以后， 这个 e g a， e g a 是 不是等于这个角的呀？角 e g a 是 不等于角 e f、 d 啊？是不等于一百二十度啊？然后这个角是一百二十度，这个角一百二十度，这个角六十度，那这加起来是不是正好是一百八十度啊？正好一百八十度，说明什么呢？说明你旋转以后啊，这个距点其实正好在这个 a f 这条线上的， 这个旋转又正好就在 e f 这条线上的。我把这个 e f、 d 啊旋转六十度，旋转到三角形 e g a， 然后呢，我们可以发现这个距点是正好在这个 e f 这条边上的，那这就非常舒服了，是吧？非常舒服了啊，非常舒服。我们看看到这里头 我们本来是要求什么？我就本来要求 a f 和 c f 和 e f 的 关系，是吧？ 那现在 ef 是 跑到哪了呀？ ef 跑到 e g， 而且它跟 f g 是 怎么样的？是不是相等的呀？它跟 f g 是 相等的，是吧？它跟 f g 是 相等的。所以啊，这个 af 啊，我们现在可以把 af 给拆解成什么呢？把拆拆解成 ag 加 g f， 这个 af 这个时候被分成两个线段，是吧？ ag 加 g f， ag 加 g f， 然后呢，这个 g f 又等于谁？ g f 又等于 e f， 是 吧？等于 a g 加 e f。 所以 现在我们本来要求 a f c f 哦， ef 的 关系，是吧？我们现在是不是求出来 af？ ef 已经有了是吧？那还还剩一个 ag， 我 们是不是求出来这个 ag 跟 cf 的 关系就行了呀？求出 ag 跟 cf 的 关系就行了，是吧？我们只要求出这个 ag 跟 cf 的 关系就行了。 ag 跟 cf 是 什么关系呢？ 我们一般啊，如果在做这种探索题的时候，你在导出这个结论以后啊，你想说明这个数量关系，我们可以怎么办呢？最简单的方法是什么？你想知道 a g 跟 c f 是 什么关系？ 直接拿个尺子量一下就行了嘛？直接拿个尺子量一下，我们拿尺子量一下这个 a g， 再量一下这个 c f， 哎，我们会发现 a g 其实是等于二倍的 c f 的， a g 是 等二倍的 c f 的。 对，直接就发现 a g 是 等二倍的 c f。 哎，那这个，这个其实是为什么呢？这其实也非常非常好说明。你看这个 a g 啊，我们是怎么来的呀？ a g 是 不是这个三角形旋转过来的？那 a g 是 等于谁啊？ a g 是 不是等于 df 啊？ a g 等于 df， 那 a g 等于 df， 那 df 和 c f 是 什么关系啊？这是个三十、六十、九十的三角形是吧？三十度、六十度、九十度的三角形，那 a g 是 不是等于 df 等于二 c f 啊？所以这个 df 就 等于二 c f， 也就 a g 等于二 c f， 那 我们这个整个题是不就完成了呀？大家看 这个构造是怎么来的啊？首先我们在这里头发现一个特殊的三角形，等边三角形，是吧？ 然后呢，我们想找的这些边呢？他们不在，不在一个线段上，而且他们不在一个三角形里头，是吧？那么可以怎么样把它们弄到一起呢？我们也通过一个几何变换旋转的方法啊，把这个三角形啊， 给它逆时针旋转六十度，把它旋转到这里来，旋转到这段，哎，这个时候我们就把这个 af 给它拆出来了，是不是拆成 a g 加 g f， 而 g f 呢，是等于 ef 的， 那 a g 呢？是等于 d f 的， 然后然后又等于两倍的 c f， 所以 我们是不是就完成这个证明了呀？这数量关系是不是导出来了呀？ 这个思路就非常的简单，如果你你不用旋转的思路去出发的话，你可能很难想想得到，我怎么为什么要构造这么一个全等呢？ 我，我为什么不往这边做？呃，做一个全等三线，为什么不往这连一个辅助线？就说你这思维就特别发散，你知道吗？就没办法完成这个辅助线的构造。而如果我们抓住这个旋转的关键，先找到旋转中心，再找到我们的 要旋转的这个边，然后带动我们旋转的图形，哎，你一完成这个旋转，这个辅助线事实上立刻就出来了，明白吗？这个思路就非常的自然，这个方法大家一定要掌握啊，这不但在初二里头经常考，他在初三甚至中考里头也是一个重要的一个考点，一个非常重要的一个方法啊。 好，当然可能有同学说，哎，老师，我们在做这个旋转的时候，其实这个点距为什么在这个 a f 上？可能有时候我不容易想得到，如果这个图画的不好的，我不容易想得到，是吧？或者说我即使画出来，我也不好，不好说明它，那这个时候怎么办呢？其实这个旋转它只是给你构造这个幅度线，是吧？ 给你提供一个构造辅助线的方法，那你真的如果要去完成证明的时候，如果你觉得你用旋转的方法不好写清楚的时候，你就不要用旋转去写就行了嘛。你怎么写啊？你可以这么写，在 a f 上截取 g f 的 e f， 你 这么截取以后，然后再连接 异句，那你这时候截取完，你在这上面截一点句，那这个句点是不是肯定就跟这个 a f 是 共线的了，肯定就共线了，是吧？然后你这个时候连接异句的话， 你构造的一个图形跟我们刚才通过旋转构造这个图形是怎么样的？是一模一样的吗？然后接下来你再证明这两个三是全等，证明这是一个等边三角形就行了嘛，最后的过程其实是基本一样的啊。 好，这就我们今天要讲的一个很重要的一个方法。那这个第二问讲完以后，这个第三问其实基本也是一样的嘛？我们看一下第三问啊。 好，他说如图二，如果这个六十度小啊，把小九十度，是吧？好，他给了一个图，我们，我们把这个图给完成啊，这个角这个时候把比六十度大，那这个时候 a d 应该跑到这，然后呢，做一个等边向量，先 a d e 好， 等边上去 a d e 这个点是 c 点， 然后呢做射线 b e 交 a c 的 延长线呢？与 f 是 吧？然后呢，它还是连接 d f 好，那跟他现在还是要找这个 f a c f f a c f 和 e f 的 关系，是吧？那还是跟刚才一样了，我们证明什么？先证明这个角是多少度啊？这个角是六十度，这还是可以证明的，是吧？先证明这个角是六十度，然后呢，那这个角是不是也是六十度啊？ 好，然后我们看啊，这个地方是有个等等边四角形，找到这个等边四角形是吧？找到等边四角形，然后找到我们要旋转的边，在这里有三个顶点，我们找哪条边呢？找跟我们要正的这个数学关系之间有关的边，那我们应该找这个 e f 是 吧？找这个 e f， 那这个地方有个顶点，然后 d e 是 一个等边三角形一个边，那我们应该选哪个三角形啊？是不就应该是三角形 d f 啊？ d f 好， 那绕哪个点选啊？绕这个圆中心就是 e 点，是吧？绕 e 点， 这四角形绕一点怎么旋呀？它要旋到哪呀？是不是还是要旋到 a a d 上？还是要旋到 a d 上，是吧？绕一绕一点，逆时针旋转 六十度，好，把这个四角形逆时针旋转六十度，看效果怎么样啊？ 逆时针旋转六十度的话， d e 就 跑到哪了呀？是不是跑到 e a 呀？ d e 跑到 e a 是 吧？那 ef 跑到哪呀？它逆时针绕这个 e 点，逆时针旋转六度，哎，它是不是跑到这了呀？ 跑到这是吧？这三角形 d 点跑到 a 点， e 点还是 e 点是吧？ f 点， f 点呢？跑到了 g 点，那就跑到这是吧？哎，那我们看一下这个 a f g 是 不是贡献了呢？是贡献了。为什么贡献？ 因为这个角是六十度，是吧？然后这个角也是六十度，然后你现在给它旋转了六十度到到这来，那这个整个角是不是平角一百八十度，所以还是贡献的啊？ a f g 是 贡献的啊？ 好， a f g 共线。好，那这个时候我们看 你这么移过这，这么旋转过来的话， a g 是 等于谁的呀？ a g 是 不是等于 d f？ a g 等于 d f， d f 和 c f 有 什么关系啊？我们要找这个跟 c f 的 关系吗？ c f 是 等于两倍的 c f 是 吧？两倍的 c f， a g 又等于什么啊？ a g 是 不等于 a f 加 f g 啊？ a f 加 f g， 然后 a f g 是 怎么来的？ f g 是 等于 f e， 所以这是不是就是我们要找的关系啊？ a f 加 f e 等于二倍的 c f， 哎，这是我们正出来的关系啊，是不直接一旋转，这个关系就出来了呀？这个关系其实跟刚才那个关系其实是类似的，就差了一个符号，刚才刚才那个是一个减号，现在是一个加号，正好给它移过来了啊。 大家看，只要掌握这个旋转的方法，像这种题我们可以直接秒杀的啊，这个图形一做出来，这结论就秒杀了。好，那我们看一下去年的那个各个学校那个中，那个期末考试的题里头还有没有类似的题，能不能用这个方法秒杀啊？ 我们看一下这个都是去年的一个期末题的一个汇总，哎，这个第一个题其实就是刚才那个同学问我的那个题， 看一下电话题，好像不是这个类型的题。好，第三题，哎，它有等边数啊？在 abc 中， d 是 线段 bc 上的一点，是吧？然后做射线 ad， 然后点 b， 关于射线 ad 的 对称点为 e， 给他给它对称到这，哎，这里头有个对称了，是吧？我们非常喜欢，因为刚才我们设上就是一个类似的图形，我们说有个等边三角形，还有个对称，是吧？这对称点为 e， 那 直线 c， e 呢？交射线 a、 d 与 f， 然后说一下 a， d， f， 哎，第一个它说补全图形，如果这个角 c， a， d 等于 f， 它要求这个 afc 的 度数，是吧？求这个 afc 的 度数。 我如果叫大人，大人盲猜的话，大家会猜这个角是多少度啊？也很多同学可能能看出来，说这个角应该是六十度，是吧？六十度，事实上这怎么正的？我们当然可以用该角的那个导角的方法，是吧？怎么导角啊？找到那个等幺三行，我们看下。找等幺三行啊，这三角 a、 b， c 是 个等幺三等边三行 啊。你对称过来的话，这个 a， c， a， e， a， b 是 不是也是相等的呀？也相等是吧？好，那这个角是 r f， 那 这个角呢？ 六十减 r 法，是吧？这个六减 r， 那 这个角是不是也六减 r 法？六减 r 法，然后这个小的角是 r 法，那是不是六十减二 r 法？这六减二 r 法。然后你在这个三角形里头啊，三角形 a， c， e 啊，三角形 a， c， e 里头， 你知道这个顶角是六十减 r 二 r 法，那这个底角是六十加 r r r r 法，是吧？你讲六十加 r r r 法，然后这个角呢？是 r r， 那这个角是不是六十度啊？哎，这是通过导角的方法来做，是吧？但有的同学说，哎，这个导的步骤有点太多，这个字母有点太多，是吧？那怎么办？我们说可以构造辅助圆， 怎么构造辅助圆呢？关键是要找定点和定长，是吧？有没有同学能看出来这里头应该找谁作为定点，谁作为定长啊？ 它把 ab 关于这个对称过来，得到这个 e， 是 吧？那显然 ab 等于 ac 的 a e， 那 这个 a 就是 定点了，是吧？谁是定长啊？ ab 就是 定长嘛，是吧？ ab 就是 定长啊。所以呢，你这个时候如果要做椭圆呢？应该写 a 为圆心， b a b a c a e 为半径去做圆，是吧？那做出来应该是这样的啊， 做一下这样的一个圆，然后呢，它要求哪个？求哪个角啊？它要求这个角 a f c， 是 吧？它求这个角 a f c， 它事实上跟刚才那个图是怎么样的？是完全一样的吗？是吧？它要求这个角 a f c， 这个 a f c， 它在， 它在这个圆里头，是不是在圆外，是吧？那怎么办呢？我们就要找找什么呀？ 对称的，先把这个对称的线给它连起来，我们就要找跟它有关的，然后在圆上的那个那个那个角，是吧？ 我们一连起来，这个 a b a e 关于 a a d 是 对称的，那这一连起来，这个地方一个直角，是吧？那你要求这个角，那是不只要求这个角就行了，因为这两个角互余的嘛，是吧？哎，这个角就非常好的一个角，这个角它在原上，是，它是这个圆的什么角？ 它是个圆的圆周角，是吧？圆周角，圆周角等于什么呀？它等于它这个弧对的圆心角的一半，是吧？这个角 b e c， 角 b e c， 它等于什么呢？它等于这个弧对的那个圆心角的一半。这个圆心角是谁啊？这圆心在 a 吗？是不得奥立一的角 b a c 啊，是不得三十度啊，这个角三十度，那个角是不六十度就直接就出来了呀？所以角 a f e 应该是等于 六十度直接就出来了啊，大家看，没有任何，没有任何计算在里头，是吧？没有任何计算啊。好，然后我们再看第二问， 那如图二，让我们用等式表示这个 a f c e 和二 c f 之间的数量关系。那这个其实跟刚才那个是怎么样呢？非常的像，是吧？非常的像，那这个留给大家自己做扣作业了啊。好，行，那我们今天的内容就讲了两个什么呢？主要讲了两个，一个就是 利用辅助圆导角。 怎么用辅助圆导角呢？关键是要找到什么关，关键是要找到定点跟定长相等的相等的长度，然后找到一个定点，然后以这定点为圆心去做这个辅助圆。然后第二，第二个讲的重要知识点是什么？第二个呢，就是利用旋转 构造全等三角形与等边三角形， 这个知识点我们在后面会反复地强调呢。啊？怎么利用旋转去构造呢？旋转构造的关键什么呢？首先要找到旋转的中心， 旋转中心，然后再找到这个旋转的那条边，然后再带动一个形，我们按这么一个顺序去找旋转，明白吗？按照这么一个顺序去旋转，好，希望同学们都能够掌握这个方法啊。那我们今天的分享就到这里结束，好，再见。

欢迎大家来到小张数学课堂，今天为大家分享的是二零二四至二零二五学年度第一学期期末监测评估 九年级数学试卷北师大版填空题的第十三题。 首先我们先看一下这个题目，如同在平面直角坐标系中边长为二的菱形 a、 b、 c、 d 的 顶点 ab 分 别在 x 轴、 y 轴的正半轴上移动， 就是这样， 而且将 abc 等于六十度连接 o c， 则 o c 的 最大值是什么？ 这个题目是一道动点问题，点 c 随着点 a 和 b 的 运动而运动。 我们学习几何画板课间的时候，我们可以追踪一下点系，看看点系运动的轨迹是什么。我们先追踪一下， 我们观察一下， 通过这样的追踪，我们发现点 c 好 像是在一个抛线上进行运动的。 好，如果我们把点 c 运动的轨迹 给他构造出来，我们观察一下，就是这样一个情况，哎，他是在这样一个抛物线上运动的。 我们平时的思维方法就是，如果能求出来点 c 的 坐标， 那么用它的横坐标和纵坐标以及 o、 c 这三个长度可以勾成一个直角三角形，可能建立一个函数问题， 但是如果这样去思考的话，这个问题就陷入了一个僵局。因为我们在中学阶段 学的，我们在中学阶段学的抛物线，要么开口朝下， 我们仔细观察一下，这一部分好像是一个抛物线，但是他的开口既不朝上也不朝下。 当然在高中阶段，我们学的抛物线开口有朝左朝右的，这个也不是， 所以我们进入这样一个思维的方法，也就进入了一个死胡同，为此我们可以 根据条件我们来寻找答案，因为在我们中学里面学习的内容还得用中学的内容去解决。 在这里面，我们先从体式出发，给出这是一个菱形 a、 b、 c、 d， 因为菱形它的四条边都像的， 边长是二，所以 abbccd 底 a 长度都是二。而且在这里面给出来角 abc 等于六十度， 就是图中散式的这个角是六十度，如何把这个角六十度， 我们利用上，看到六十度，又知道 a、 b 和 b c 是 相等的，这样我们如果把 a、 c 连接， 如果把 a、 c 连接，显然三角形 abc 是 一个等边三角形， 这样我们利用这个等边三角形能不能解决这个问题？ 如果点 c 的 轨迹是个圆的话啊，我们可以利用圆的问题进行解决，圆外一点 到某一个圆上一点，它的最大值或者最小值是可求的，但 c 点的轨迹不是圆。 这样我们根据三角形的一些性质，比如说等边三角形，在这里面，在等腰三角形里面有一个很重要的性质，三线合一。为此我们想到取 a、 b 的 中点点 e， 这个时候我们把 c、 e 连接起来， 显然 c、 e 是 等边三三角形 a， b， c e 边上的高，因为我们取的是中点， 这样我们就可以在直角三角形 b、 c、 e 当中求出来 c、 e 的 长，然后我们再把 o、 e 连结起来， 这个时候我们观察一下， o、 c、 e 就是 一个三角形，我们根据三角形三边之间的关系，两边之和大于第三边， 当然显然这个时候 o c 是 小于 o e 加 c e 的， 当 o c 等于 c e 加上 o e 的 时候，这个时候 o c 就是 有最大值， 那这个时候我们求的时候就很容易求了，因为 c e 刚才我们求出来了，而且点 e 又是 ab 的 中点 三角形 a o b 这个时候就是一个等腰直角三角形， 或者是我们用 直角三角形斜边上的中线等斜边的一半， 那因为 o e c 在 一条直线上的时候，又知道 c e 是 垂直于 ab 的， 当然这里面你用什么都可以的啊，都可以的，所以下面我们看一下这个问题的详细的解体步骤。 第一步，我们要连接 ac， 因为四边形 abc 的是菱形，边长是二，并且交 abc 是 六十度， 所以这个时候三角形 abc 就是 一个等边三角形。我们取 ab 的 中点 e 连接 c e， 这 c e 就 等于 根号下 bc 的 平方，减去 b e 的 平方，也就等于根号下二的平方，减一的平方等于根号三。这个时候我们再连点 o e， 因为 o c 是 小于等于 o e 加上 c e 的。 当 o c 等于 o e 加上 c e 的 时候，也就是 o e c 在 一条直线上的时候， o c 又最大值，这个时候 o e 应该等 ab 的 一半，也就等于一， 所以 o c 的 最大值就是 c e 加上 o e 等于根号三加一。这个问题就和大家分享到这里，不知道大家听明白没有， 如果喜欢可以点赞收藏，谢谢大家的观看，再见！

北京九年级的几何综合，往往百分之九十的学生都拿不到分，但是呢，考来考去哈，也就那几个几何模型，比如北京中学九年级十二月月考的这个几何综合哈，就是一个绊脚模型，像海淀区九年级月考的几何综合， 也是个绊脚模型。那有人可能要说了，那这三道题的图形完全不一样啊， 哎，这就是辅助线的底层逻辑啊，任何的辅助线都是对几何模型和几何性质的补充和完善， 想要搞定几何辅助线哈，必须要掌握各种几何模型。那么今天呢，马老师哈，就让你们彻底通透半角模型和半角模型的辅助线技巧。 那咱们先来看一下这个题哈，如图角 a c， b 是 个九十度 a， b， c 是 个阿尔法角， d， a， e 是 一百八减二阿尔法，并且呢， a d 等于 a e， 然后 e f 平行 a b， 那 这个半角模型哈，给的是相当明显啊。那什么是半角模型呢？那咱们看半角模型的构图特征哈，大角是小角的两倍， 且这两个角共顶点，大角的两条边是相等的。咱们来看啊， a c b 是 九十， a， b， c 是 阿尔法，那 c， a b 不 就是九十减阿尔法吗？那这个 d a e 是 一百八减二阿尔法，那你看，不正好是两倍吗？大角是小角两倍， 并且这两个角有共同的顶点 a， 并且呢，大角的两条边，你看 a， d 和 a e 是 不是相等的 哎，完全符合绊脚模型的构图特征，那只要符合了绊脚模型哈，剩下的辅助线全都是固定的啊。咱们来看绊脚模型的辅助线技巧，沿着小脚的一边，把小脚翻折，变成手拉手模型， 好，那这个小脚哈，就是角 c、 a、 b 吗？他的边是 a、 c 和 ab， 那 咱们就沿着 a、 c 或者沿着 ab 给它翻折，变成手拉手模型。那既然哎涉及到手拉手模型哈，咱们再来把手拉手模型来说一下啊。首先就是手拉手模型的构图特征，哎，就是两个等腰三角形，它们的顶角相等，且顶角共顶点。比如说，哎，三角形 b、 a、 c 是 个等腰三角形 d、 a、 e 也是个等腰三角形，它们的顶角 b、 a、 c 和 d、 a、 e 是 相等的，并且你看这条顶角呢，是共同的顶点 a， 那 这个图哈，就叫手拉手模型，那这个模型呢，就会产生三个固定的结论。那手拉手模型哈，首先咱们要弄明白一个问题， 手拉手这个手指的是什么？哎，拉，怎么拉？首先呢，这个手哈，指的是等腰三角形的腰，哎，这是一个比喻的修辞手法啊，咱们是把等腰三角形哈，它的顶角哈，比喻成是一个人的头，那你看这两个腰， 就好比人的两只手一样，那怎么拉呢？不是自己拉自己哈，哎，是两个等腰的手相互拉。比如说咱们把 b、 d 连起来，那就好像是哈，是把等腰 a、 b、 c 的 这个手 a、 b 和等腰三角形 a、 d、 e 的 这个手 a、 d 拉起来了，对不对？接下来咱们把另外一对手 a、 c 和 a、 e 也拉起来，就是连接 c、 e， 那 拉完之后呢，就会产生结论，一就是旋转全等，哎，就是三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 e 是 全等的，这个全等话也非常容易证明哈 啊，因为顶角 b、 a、 c 等于顶角 d、 a、 e 啊，它们都加上这个角 c、 a、 d， 所以 角 b， a， d 等于角 c、 a、 e， 然后两对腰分别相等，所以 s， a、 s 它俩就全等了， 这就是结论一，那咱们再来看回这道题哈，咱们刚才说了半角模型的辅助线技巧哈，就是沿着小角的一边，把小角翻折，变成手拉手模型。 那这里边咱们是沿着 a、 c 翻折还是沿着 a、 b 翻折呢？理论上哈，是都可以，有些题目哈，也确实是哎，两种都可以，但是有些题目哈，给的条件有限制，只能是沿着其中一条边翻折。这个题哈，就是沿着 a、 c 翻折啊，就沿着 a、 c 呢，咱们把这个角 c、 a、 b 哈给它翻折。 也就等于哈，是把三角形 c、 a、 b 给它翻折哈，翻折之后呢，咱们得到三角形 a、 c、 g， 那 翻折之后呢，你看这个 g， a、 b， 这个三角形是个等腰三角形，它的顶角呢，就是一百八减阿尔法。 然后呢，这个 d、 a、 e 哈，它是一个隐藏的等腰三角形，它的顶角也是一百八减阿尔法。两个等腰三角形，它们的顶角都是一百八减阿尔法，并且呢，顶角有共同的顶点 a， 那 这不就是手拉手模型吗？ 根据咱们刚才讲的手拉手模型的结论一，那三角形 a、 d、 g 哈，是全等三角形 a、 b、 e 的， 那所以呢，这个角 e， b， a 就 等于角 g 等于角 abc 等于 r、 f。 咱们再来看第二问，求 bc 和 df 的 关系， 那咱们分折之后呢？哎，这个 b、 g 是 等于二 bc 的， 咱看这个 df 呢，哎，他看着很像，等于 b g 对 不对？ 那咱们就来试一下，看能不能证明这个 b、 g 等于 df， 那 这俩线段哈，他们有共同的部分 b、 d， 对 不对？所以咱们只需要证明 b g 等于 b、 f， 就 可以得到线段 d f 等于 bg， 那 根据刚才手拉手那个全等哈，这个三角形 a， d、 g 是 全等 a、 b、 e 的， 所以这个 d、 g 哈，就等于 b、 e， 那 又因为这个 e、 f 平行 ab， 所以 这个角 f 呢，它等于角 abc 也是一个阿尔法， 这是同位角。然后呢，这个角 b、 e、 f， 它等于角 a， b、 e 也是阿尔法，这是一组内错角。那你看， b、 e、 f 等于角 f， 所以 b、 e 等于 b f 啊，那 b、 e 呢，它是等于 d、 g 的， 所以 d g 呢？就等于 b、 f， 它俩分别加上 b、 d， 所以呢，线段 b g 就 等于线段 d、 f， 那 b g 呢，是等于二 bc 的， 所以呢，这个 d、 f 就 等于二 bc， 这就搞定了。

直线 l 就是 这条直线，它是一个明确的解析式， y 等于负四分之四，四分之三， x 加三，它跟 x y 轴分别交于 ab 两点。现在 p 呢，是直线上不与 ab 重合的一个点，随便调个点啊，随便调个点啊，它是个动点， p 在 这里移动， 那么 y 轴上存在的多少个 q 点，使得 o p q 为顶点的三角形？来，我先随便标个 q 点出来， q 在 这里， o b q 是 谁啊？ 如果我标价是 o p k 在 这里，以它为顶点的三角形跟谁，跟 o m p 全等，这种题又该怎么办？刚刚我们前两道题，两个三角形全等其中一个，它是个不会变的三角形，那么在这里面我们看一下啊， 这个三角形有 p 点，这个三角形也有 p 点，而 p 是 个动点，意味着两个三角形其实都在变，这又该怎么办呀？同学们，当两个三角形都在变的时候，这种题应该怎么做？我们还能用之前的方法吗？可以吗？ 能不能用？同学们思考一下啊？觉得能不能用， 那我告诉大家啊，这种题怎么做？可能大家有点懵，活跃分子还没来是吧？就看今天讲函数，初二的还没学是吧？研究版的那群人， 没事啊，新朋友也可以继续听啊，我每天晚上都会直播讲那个期末的那个冲刺考来这种题，做法就是要分类讨论怎么分类，因为 它并没有说 o p q 哪个顶点是哪个角，没有说它不像刚才那两题那样，无非就钝角跟锐角没有这里面了。那么 o m p 呢？我们观察一下，就右边那个，它有什么特征？ o m p， 它肯定是个直角三角形，不要忘了啊，它肯定是个直角三角形 o m p。 来，我们让它全等，不妨先把它这样， o m p 写上， o m p 写上。那么既然全等，有几种可能？或者我这样说，假设这个 o m p， 它是不动的三角形。这几个顶点为啊，这几个点为顶点的三角形呢？我要跟它全等，我需要分多少种情况去讨论？ o n 是 垂直啊？对啊，角 n 等于九十度啊。但是 p 点是个动点啊，葫芦虫， p 点是个动点， p 点在动的时候，它就不是个确定。三种啊，淘气兔，不对啊，三种不对。 严格意义上我们要考虑六种。哪六种？把 p 放中间的时候 o p q， 还有 q p o， 把 o 放中间的时候 p o q q o p， 然后再把谁啊？把 q 放中间， p q o 跟 o p 三个点轮流排三角形有六种情况啊，不是三种啊啊，它是个固定的线段。 ok， 那 么我这个以三个点为顶点做三角形，是有这种六种情况， 我要跟他选党，我是不是轮着跟他选党？相当于，那么要么他，要么他，我就看有没有成立或者不成立的可能。我们先看第一个 o p q 如果全等于 o m p 会发生什么事情？嗯， 会发生 o m 等于 o p， 我 们看第一种啊，它会发生 o m 等于 o p 点是在这条直线运动的，它能等于 o m 吗？ 嗯，它显然是不能等于 o m 的。 为什么？一旦等于 o m 的 话，因为 o m 是 垂线段嘛。一旦等于 o m 的 话，它 p 就 跟 m 重合了。 p 跟 m 重合的话， o m p 还是个三角形吗？不是，所以交叉掉 来看，继续看下一个，下一个，如果第二个啊，如果成立的话，会什么 o p 等于 mp？ 这里的 mp 我 就不圈了啊， 这个交叉掉，它具有 o p 等于 m p， 我 们看这里 o p 有 没有可能等于 m p， 有 可能吗？显然是不可能的吧，你 o p 是 这个三角形的斜边，你永远都比 m p 大 呀。 o p， 所以 m p 跟 o p 相等又不可能。再看第三个，如果成立， o p 等于 o m， 同样的，刚才我们已经说了 o p 跟 o m 不 能够相等，这个犯了跟第一个同样的原理上的错误啊。再看这个 o p 等于 m p 是 不是跟这个又一样又交叉掉，你看对应边相等嘛。所以我们再看这里，这里有什么 p q 等于 o m， 还有 o p 等于 o p， q o 等于 mp， 来 看看这个跟这个有没有矛盾之处？跟刚才那些大家觉得有还是没有 没有矛盾之处吧。这个，那么这个呢，我们看一下 o q 跟 o m o q， 它能不能等于 o m 啊？显然是可以的， q p 等于 mp 也可以的，它没有说冲突，所以只有你看，写完之后你会发现只有这两个 可能啊，看起来复杂，就只有这两个可能，那怎么算呢？这种啊，他问的是啥？他问的是存在多少个 q 点，那么如果让它全等，就意味着什么？ p q 等于 o m 等于一个确定的数啊，这边是四斗零 b， 四零斗三， o n 等于多少？刚才有同学说了，糊涂虫五分之十二啊， 就是 p q 等于五分之十二，哎呀，还有什么 p o 等于 o p 肯定相等的，因为它们对应边 o q 等于 m p 来，他问的是我们，就现在说的是这种情况啊，它有 q， 有 几个点？同学们， q 有 几个点？嗯， q p 等于 o m 等于五分之十二。 它有几个点？有几种可能？想得出来吗？ 大家不要忘了一件事，它两个全等角 q 对 应的是角 m， 角 m 是 个直角，角 q 是 个直角，意味着意味着啥？我不管 p 在 这里 还是在任何地方， q 点必然是它做一个垂直于 y 轴的时候，那个交点， 它必然是这种情况。我说的是这个啊，一号情况，因为角 q 是 个直角，它对应的是角 m 啊， 因此我让 p q 等于五分之十二。这时候清楚了吧，它有几种可能啊？是不是两种可能？是不是两种可能？要么就是这样子，让它 p q 等于 o m 就是 p 点的横坐标就等于五分之十二。它的横坐标啊，是吧，要么就在这边，它的横坐标等于负五分之十二。 是不是有这么两种可能啊？一号情况，两种，两种可能，你是两种啊，这样写那么好，讨论完一号，讨论二号，二号是 o q， p 等全等于 o n p 同样是什么？ 同样是角， q 是 九十度，但是此时它换成什么？ p， q 等于 mp， 或者说 o q 等于 o m 啊，等于五分之十二。看这个可能，大家容易明白一点， o q 等于 o m 等于一个具体的数值。 q 有 几种可能？ 嗯， q 有 几种可能？ 这回呢？上下啊，没错，两种可能。那么因为 q 它是个直角，那么跟这里一样， p 怎么来啊？这往这边坐就好了呀，往这边坐就好了呀，是不是这意思？ 嗯，有没有疑惑？来，我随便标一个点啊，假设这个 q 就 在这里，因为等于 o m 啊，它的重坐标清楚了吧，起码重坐标是等于负五分之十二， 横坐标是零。 q 是 很清楚的，因为 o q 等于 o m 啊，在这里的时候， p 指是在哪里啊？ p 在 哪里怎么找？其实就是 m o q 的 角平分线啊， 一路过去跟这条直线的交点就是 p， 那 么此时 o m p 跟 o q p 它就是全档了，懂吗？这在下面是这样子，上面呢？是不是一个原理上面找个 q 在 这里，那么还是找平分线上来， 所以这两个跟这两个也全倒，因为直角嘛，直角嘛，这个好理解了吧，所以它也是两种加起来 y 轴总共有四个 q 点。

好，然后咱们来讲一下这个北师大实验初三的这个期末模拟题啊，这道题是有难度的，就是压轴题里面他都多加了一问，感觉是最后一问都是有难度的啊。好，咱们先从选填开始讲，选填压轴题的最后一个，对吧？ 第一个题的话，这个题有点和那个海淀九上其中的那个选的压轴题长的一样啊，后两位都是一样的， 咱们来看一下，他说的是把这个等边三角形 a、 b、 c 绕着中中心 o 呢，然后给它旋转，对吧？是逆时针旋转往这个地方啊，旋转二角得到一个三角形 d e、 f， 然后呢？ d f 呢？交 a b 于点， m d e 的 话交叉于点，给出四个结论。好，那么咱们对于这种题的话，呃，出发点在于哪里呢？就是你可以把它想成一个什么外接圆，而且这个这两个等边三角形，它六个顶点的话，刚好是在咱们这个外接圆上面， 对吧？先给它画出来，然后画出来之后，人家第一问的话，让你去证明 a m 等于 f m， 大家想一个问题，你要去找什么？你要去找圆心角，对吧？因为它在旋转的时候，哪个角是阿尔法的？是 f o b 是 阿尔法， a o d 呢？也是一个阿尔法， 对吧？你把这两个圆心角给它找出来，那么找出来之后，因为它俩是一个圆心角嘛，同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，所以你再连接一个什么，你再连接一个 a f， 对 吧？你会发现这个弧和这个弧它俩是一样的，那么这两个弧所对的圆周角，这个角一和这个角二也相同，是不是第一根就截了， 所以 a m 等于 f m， 但这个对学生来说在考场上不太好想啊。那么第二本大家说的是 c n e 等于个 alpha， 大家想想啊， 咱们说这个圆的话，它都是一个什么？它都是一个对称图形，对吧？ 你可以把这个 c e 撇到哪个地方呢？撇到这个地方，对吧？因为它们的弧都相等嘛，对吧？而且它们都是对称的，但你在这个地方画也行，对吧？你可以撇到这个地方啊，那么撇到这个这个地方，咱们刚刚说过，这个圆心角是 r， 角一等于角二等于什么呢？是等一个二分之二， 所以角 c n e 呢？利用三角形的外角，对吧？ c n e 跑到这个地方了，是等于什么呢？等于二分之 r 乘以二等于 r， 所以 说它也对，有前两个都对啊。那么第三个的话，人家说 am 的 一个范围，咱们可以利用一个临界性去分析， 怎么分析呢？你可以在这给它做一个垂，比如说咱们来一个什么呢？来一个 h， 对 吧？你会发现，因为这个角一等于角二是等于二分之二法，这个 am 的 话是等于个 a h 比上一个口心二分之二法， 对吧？你可以利用邻界情况啊， ar 刚开始等于零的时候， f 和 b 是 重合的，但但这个 h 始终是 af 的 一个中点，对吧？也就 ar 等于零的时候，这个 a h 呢？是等于个三，这是个什么？这是个邻界分析啊。 而咱们的 cosine 零是等于个一，就它俩相比的话，此时 am 等于个三，但它取不到，它取不到啊！此时因为人家说的是 ar 大 于零， 那如果要是当 alpha 等于一个一百二十度的时候， alpha 等于一百二十度，说明什么了？说明这个 f， 对 吧？从 b 转到什么？转到 a 了，那转到 a 的 话，也就说此时 a h 等于个零，所以 am 等于零，那么它在整个变化过程当中， 咱们说它的最大是一个三，最小是一个零，对吧？这个地方是对的啊，然后不能取端点。 最后一个说，如果 alpha 等于三十度，问的是 a n 等于多少？好，这个地方特殊角是一个三十度，对吧？你可以把这个图给它画起来啊，因为这地方是六十度，这个顶角是一百二，这地方十五度，你把这个三角形给它抽出来， 放到这个地方，所以说这个地方是有一个 f， 这张是有一个 a， 这张是有一个 b， 它是一个一百二十度，这张是有一个十五度，这个地方是个多少？四十五。那么这个题就可以出答案了， 对吧？因为这地方是有一个 m 嘛，人家问的是 a n， 其实 a n 的 话又等于谁？ a n 是 等于一个 b m， 对 吧？ a n 是 等于一个 b m， 你 假设这个长是 x， 这个长是 x， 这个长是三十度， 对吧？那么三十度的话，你可以做一个垂，这个地方是二分之 x， 这个地方是二分之根三 x， 那么这个长的话，等腰值它也是一个二分之 x， 所以 说你会发现 x 加二分之 x， 加上一个二分之根号三 x 等于 ab， 而 ab 的 长等于几？等于个六， 所以说可以把 x 给它解出来啊。两边同时乘以二，这段应该是二 x 二加根号三，对吧？哦，不对，二分之三 x， 这段应该三加根号三倍的 x 等于十二， 比上一个三加个三，九减三是等于个六，对吧？二倍的它这咱们求的什么？这咱们求的是一个 a m 的， 对吧？那么咱们刚刚说过 a n 呢？是等于个 b m， 而 b m 等于谁？ b m 等于二分之。根号三加一倍的 x 是 不等于二分之 x 加它 等于二分之。根号三加一，乘上一个 x 的 话是二倍的三减根号三，二号二消掉等于根号三加一，乘以根号三倍的根号三减一，三减一等于根二， 其实它也是对的。那么这个题的话，也就说四个都对选 d 啊。但考场上对学生来说。

今天我们来分享在初三期末的时候，经常会考察的一个几宗的内容，手拉手加终点，做过去年东西海潮期末考试的几宗题，大家一定能感受到我们考试的内容都在这两个方向啊，就是手拉手的构造 和终点的一个运用，包括咱们的近三年中考题，考的也是这个内容，所以这个板块对大家来说呢，是有一定的压力的。 两个点，第一个终点该怎么用，第二个手拉手该怎么构造。那当然了，我们在十二月的月考以及很多学校的一月的期末模拟考当中呢，也都涉及到了手拉手加终点问题，比如说德胜的中学考试的内容，十一学校考试的内容，以及期中三分考试内容，那这些题呢，大家在课后也都可以简单的去练练，然后看一看自己对于手拉手的构造和终点的运用，是否还有 什么其他的问题强化一下。今天呢，我们通过清华附十二月的月考呢，和大家来讲解一下这道题，也希望呢可以通过此题帮助到大家。 做完题目呢，我们会发现，第一问他是比较简单的，我们在这里呢可以快速的得到，就是这个角是六十度，然后这个角告诉我们也是六十度。好，这里边呢大家需要注意了啊，我们在倒角的时候，我们就快速的去说一下啊，这个呢是阿尔法，这个呢是阿尔法，这个呢是六十度减去一个阿尔法，所以根据三角形的外角， 嗯，我们可以得到这个角应该是六十度减去二倍的阿尔法，他的答案呢是一百二十度减去二倍的阿尔法，这里呢我们就不做过多的追述了。第二，本是我们要重点去讲解的，我们要注意题目当中给我们带来的一些条件上的思考，哪个呢？第一，我们来看一下这道题的大条件，他在这里边告诉我们 b a d 是 六十度， 第二个告诉我们 b d 到点， b 旋转六十度得到 b e， 所以 你在这里边呢，就会得到这样的一个等边三角形，然后这个角也是六十度。好了，各位，当你拿到了这样的两个条件，当你看到这样的一个六十度，你能想到什么？ 那一定是我们所说的特殊角度的特殊图形，例如度，我们能想到等边，然后你会发现在六度旁边还有一个等边， 这个时候你又能想到什么？这个思路要把它给串起来，对吧？我这里有一个额外的六十度，然后呢，我旁边这里还有一个等边，所以我就可以借助这个等边，然后和这个六度上面的一些线段呀，角度关系啊，构造第二个等边，那这个时候两个等边放在一块，就说手拉手， 这个是大家在读到这里边需要我们注意的那一个非常关键的信息，这是第二个，我们会发现他在题目里呢，又告诉我们一个东西，叫做 c f 等于 a f 加 a e， 我 们经常在做题的过程当中呀，会发现呢，你前面做完了，在最后一问，他会给一个额外的条件，这个额外的条件他一定是我们的这道题具有决定作用的条件， 我们可以根据它去思考如何去使用，转化一些有用的信息。在这里面呢，它告诉我们 c f 这条边等于 a f 加上一个 a e， 这个时候大家一看就知道了，就是这个是长的，这两个是短的。那我们在这边就有两个思路，一个呢是截长，一个呢是补短，对吧？所以我现在呢，如果说把 f a 给它给延长了，变成一个 三角形，讲 a m e， 这个时候你会发现 f m 就 等于 f c， 那 同理，如果呢，你在这边去截取一个短的啊，大概是这样我们就能得到 a f 就 等于这条边，然后让这条边等于这条边，这两个呢都可以帮助我们去解决问题， 对吧？这是这道题的关键。好，这是我们所说的第二个信息，这里我们也圈一下第二个信息，接下来第三个信息是什么呢？做几宗大家一定要注意，我们不仅要从条件出发，也要看看结论是否能给我们带来引导和思考方向。 这道题告诉我们的是 d f 和 e f 之间的一个数量关系，那两个边的数量关系对大家来说呢，是非常喜欢的，为什么？我们常见的就四类比较好做，也比较好猜，对吧？这一分拿着呢就会比较简单，那哪四类呢？第一类就是 a 等于 b， 第二类呢是 a 等于二 b， 第三类呢是 a 等于根二 b， 第四类呢是 a 等于根三 b， 我们只要去看一下它所在的位置， f 在 这，然后 e d 在 这。我们会这道题的结论一定选择的是 a 等于 b， 这个呢是毋庸置疑的，所以你配合着刚刚我们思考的一个模型思考的我们我们想到的一个结论，对吧？你会发现，哎，我在这个地方去往外构造，或者说在内部构造这样的一个状态，是不是就正好 是八字模型，然后来出这个全等的状态呢？这个呢就是我们所说的这道题的第三个非常关键的信息，那这样的话，咱们这道题的思路也就完整了。 好，那现在你要明确你要干嘛？你要证明这个三角形和这个三角形全等，我们就得到 f 是 d、 e 的 终点了。这个是什么？这个是我们的结论，那我们现在的己宗要进行转化，条件上的转化，你如果说直接能把这个结论种出来，那这道题就比较简单了，那也就是说这个呢，应该是作为我们的最后一步 就是三角形，假设这个点是 m f、 m e 全等于 f。 好， 关键是哪些条件能给我们带来这些最后一个全等的条件， 那这个时候你就要去想这题目当中还有哪些引导，还有哪些提示。哎，这个时候我们会发现，你在第一问的过程当中呢，会发现这里面有一个六十度，还有一个等边造型，那这些条件呢？它其实应该也有作用，我们在思考的时候应该要往这个方向去想一想， 去思考一下，这就是两者的结合，这里大家一定要注意。当然当你的思路足够清晰的时候，你可以在里面去反推，哪些条件是我知道的，哪些条件是我不太清楚了，我要在第一个权重当中给我提供哪些条件，这样的话呢？我在第一个权重当中给我不太清楚。好，我们现在来看一下啊这道题，因为这里面有一个六十， 大家要注意，我们在选择第一个等边三角形的一个顶点，我选择的是 b， 为什么？因为 b a 这个地方呢？有一个边，然后它的夹角是六十，对吧？我选择的是 b 顶点 b， 然后以 b a 为边，再做一个小等边，假设这一点是 n， 此时我们就能得到一个手拉手的全等三角形 b、 a、 e， 它就全等于三角形 b、 n、 d 这两个全等是非常清晰的，因为你这一个是等边三角形，另外一个也是等边三角形，那我们这两个全等了之后，我们来看看第二个全等我们需要什么条件啊？在第一问的导角的过程当中呢，我们知道这个角是一百二十度，减去一个二倍的阿尔法，这个角呢是不是一百二十度？这个大的是不是应该也是一百二十度？那你减去的二倍阿尔法是不是应该就是它，这个就是二倍的阿尔法。 还知道这个呢是阿尔法，这个呢也是阿尔法，这个是我们所知道的一些条件。所以你这里边 a、 e 是 等于这个 am， 你 要构造出来的话，那这个边和这个角和这个角是不就都是直接就等于阿尔法了？那此时你会发现这个边和这个边是不就平行了？这个角和这个角就相等，那这个角和这个角也相等，这个角和这个角它也相等， 我们得到的条件就会比较多。然后又因为我们的辅助线的描述，你这个 f、 a 加上这个 a、 e， 是 不是应该等于这个 f、 c 的 三个角加一个标，是不是一定是全等的？那这样的话呢？这道题咱们就做出来了， 这个就是我们所说的啊，我们再去做这个几何题的时候一定需要注意，在课上的时候呢，我们也反复的强调怎么去构造手拉手，怎么去定好终点，对吧？最后呢我们最后再简单的总结一下，第一个我们要是想去构造手拉手，怎么去构造呢？你根据题目中的条件，找到第一个等腰的顶角点，在顶角点处构造第二个等腰，你就能出手拉手了。第二个终点 我们看到了终点呢，我们的思考的方向，大家一定要弄清楚，我们现在最喜欢考的几个内容，第一个是中卫线，第二个呢是备长，第三个呢是斜边中线，然后第四个呢是三线合一，这是我们终点当中常用的一些思路和考法，做几何几中的题目，综合性的题目，大家一定要有自己的理解，这样的话呢，你在考试的时候才能更快更好的做出来。

来，初三的同学们大家好，期末考试考完了吧？嗯，我们今天进行第一次调研啊，前两天我给大家看了一下这个几何的一个压轴题的口诀，那么我们今天呢，就用呃，中山区这次的二十二题啊， 配合我这个口诀，看看对这道题的解析，呃，是否有帮助啊，有帮助呢咱就，呃，咱就用，没有帮助的话，咱可以把那口诀再改一改啊，就是咱们共同学习。好了，开始 我们先看这第一问啊，他说求证，一个角等于另一个角的二倍，嗯，角 a 是 角，这个角的二倍，嗯，给了你一个等腰，那明显就是倒角吧。 我们来看一下口诀啊，思考几何模型，别忘了倒角啊，那这道题就是没有几何模型。第一问，明显就是一个求角，需要倒角，好了，那直接倒就行了。嗯， 导完了还是比较简单的啊，这个很好导，我觉得绝大多数同学这道题做的都没有问题。 第二问，呃，猜想 d、 c 和 b、 f 之间的这个线段关系，给了你一个垂直，这个时候你别忘了，第一问导的这个角啊，这个角等于啊它的一半啊，再根据这个垂直，又能导出这个角和这个角相等啊，然后他说这条边和这条边 是旋转过来的，那这就立马想到一边一角模型啊，你看口诀的第二步，向第一问寻找线索啊，往往是第一问的几何模型的延伸。 第二问，做完了啊，这个角等于这个角啊，这是第一问给你的线索。第二个，这两条边相等啊，想几何模型一边一角啊，坐着垂，还有其他方法，这一问也比较简单。第二问出来了，那么口诀的这个好用，再看第三问，给了你一个三角函数， 这个是一求这个的面积啊，我们看口诀，大概率是小于 unk 大 于四，小于 unk 大 于四。 既然让求面积啊，然后还知道他，我首先想到的是做一条平行线啊，不相似，我们尝试一下， 完事做一条平行线，他俩相似啊，这条平行线还是比较好想的，他既是高，又做了这样平行，他是一啊，有一个八字的做平行，有一个八字相似啊，通过一顿复杂的倒啊 啊，布鲁定律局部解三角形，最终把这面积求出来了，底是多少，高是多少啊？看口诀，呃，三角函数，布鲁定律啊，全好用，完美的契合呀，这道题，这道题是完美的契合呀，每一问口诀全好用， 你做出来了吗？这个口诀你记住了吗？好，我们继续吧，我们再有其他的题，我们继续啊。

我们来讲一下第二十二题，他说在这个矩形 a、 b、 c、 d 中， ab 这个边是三， bc 是 五，然后 e 是 a、 d 上的一个动点， e 是 在这个线段 a、 d 上，它是一个动点啊，然后我们看第一个啊，他说连接 b、 d， 那么 b、 d 是 这个矩形的对角线，然后 o 是 对角线， b、 d 上的中点， o 是 对角线， b、 d 中点呢？那 o 就 把这个 b、 d， 它就是等分了，这个 b、 o 就 等于这个 o、 d， 然后连接 o、 e， 他 说当 o、 e 等于 d、 e 时，这个 o、 e 是 等于 d、 e 的， 让我们求 a、 e 的 长，如果我们想求这个 a、 e 的 长，那么 因为它是矩形哈，它这 a、 d 就 等于 bc， 就 等于五，那么想求这个 a、 e 的 长，我们就只需要把这个 e、 d 要是计算出来，这个 a、 e 就 知道了，对吧？然后这个 e、 d， 它等于这个 o、 e， 那 么像这种题我们都怎么做呀？我们过这个 o 点做这个 a、 d 的 垂线构造，这个 构造，这个，呃，直角三角形啊，我们过这个 o 点做这个 a、 d 的 垂线，我设这个为 k， 这个就是垂直的，那么在这个直角三角形 k、 o、 e 中， 我们要我们能知，我们要能计算出这个 e、 k， 我 我，我们设这个 e、 d 为 x 啊，那么我们就能把这个 e、 k 算出来，这个 e、 k 怎么算呢？就用这个 k、 d 减去这个 x， 然后 k、 d 等于什么？ k、 d 等于二分之一 a、 d， 我 们就把这个 e、 k 算出来了，然后这个 e、 o 它等于 x， 对 吧？ 好，我们再把这个 ko， 要是能算出来的话，那这个直角三角形，我们用勾五定理就可以把 x 解出来。然后我们这个思路啊，我们把这个第一题写一下， 第一个解， 我们做这个 ok， 是 垂直于 a、 d 于 k， 所以这个角 d、 k、 o， 它就应该等于九十度，是吧？哎，然后因为 o 是 b、 d 中点， 所以 o、 d 比上 b、 d， 它就是二分之一。然后我们再根据这个句型啊，因为这个 a、 b、 c、 d， 它是句型， 所以角 d、 a、 b， 它就等于九十度，这个四个角其实都是九十度啊，然后 a、 d 等于 b、 c 就 等于五，我们这些我们需要的啊， 然后我们证这个三角形 k、 d、 o 和三角形 a、 d、 b 是 相似的啊，因为角 k、 d、 o 等于角 a、 d、 b， 这个是公共角啊，然后角 d、 k、 o 等于角 d、 a、 b， 它俩都是九十度，所以三角形 k、 d、 o 就 和三角形 a、 d、 b 是 相似的， 所以我们就有这个 k、 d 比上 ad， 它就等于 ko， 比上 ab， 它就等于 o、 d 比上 b、 d， 那 么我们把知道的数 ad 是 五，然后 ab 是 三，然后 ko 比上 b、 d， 我 们前面求出来了，它是二分之一， 所以我们就解出来了，这个 k、 d， 它应该是二分之五，然后 ko 就是 二分之三。 好，然后我们设什么呀？设这个 e、 d， 这个边为 x， 那我们就知道了，这个 e、 o， 它就等于 x， 因为它俩是相等的，并且我们能知道这个 k、 e， 它应该是等于 k、 d 减去 e、 d， 那 就是二分之五减 x。 那 我们在这个直角三角形 k、 e、 o 中，我们使用勾股定律啊， 这个 k、 o 方加上 k、 e 方，它就等于 e、 o 的 平方，我们里面代数啊，就是， 所以就是二分之三的平方，加上二分之五减 x 的 平方等于 x 方， 这个两边都有 x 方啊，所以 x 方可以约掉，减到 x 等于一点七， 所以这个 e、 d 它就等于一点七， e、 d 等于一点七了。那个 a、 e 我 们要求的 a、 e 等于什么呀？ a、 e 就 等于 ad， 减去 e、 d， 那 就等于 五，减去一点七，他就等于三点三。好，这就是第一个啊，他这里没有单位，我们就不用写单位了啊，我们来看第二个，在下页写一下。 第二个呢，他说这个，这个 b、 e， 他 说连接 b 还是啊？ e 是 这个 a、 d 上的一个动点，然后连接 b、 e 和这个 ec 波点 e 呢？做 ef 是 垂直于 e、 c 的 ef 垂直于 e、 c 啊，这个 ef 要是垂直 e、 e、 c 的 话，我们就可以想到什么，想到我们之前说的那个一线三三垂直，是吗？这个里面它有什么呀？ 它有这个三垂直是有了啊，就差点。 然后他说连接什么 c、 f 与 b e 交于点 g， 这里面说了啊，说是 b、 e 是 平分于角 abc， 我 们来看看啊， b、 e 如果是平分角 a、 b、 c， 那 那这个角就应该是四十五度，对吧？这个角是四十五的话，那不是 ab 前面是三还是啊？ bc 是 五， 这个角是四十五度的话，那这个三角形 abe 就 应该是等幺直角三角形，那这个 ab 就 应该等于 ae， 那 说明 ae 就 等于三， 然后我们能推出这个 e、 d 是 等于二，对吧？哎，然后这个 c、 d 这个边也是三。刚才说了哈，一线三垂直，它这里面有三个是直角了， 我们看是不是 a、 e 等于 dc， a e 等于 dc 的 话，那这个三角形 a、 f、 e 和这个三角形 e、 d、 c 就 应该是全等的， 全等的话，这个 e、 f 就 应该等于 e c， 那 就说明这个三角形 e f、 c 应该也是等腰直角三角形，那这个角就是四十五度，对吧？哎，那我们也能推出这个 e f 是 等于多少啊？ 他让我们求这个 b g 的， 也就是这段，我们要求这个 b g， 我 们只需要把这个 e g 计算出来就可以啊。然后这里面我们怎么做呢？我们过 e 点做做这个 f、 c 的 一个垂线，我设这个点为 k。 好，刚才也说了啊，这个 e、 f、 k 这个角应该是四十五度，这角是四十五度的话，那这个 f、 e、 k 应该也是四十五度，对吧？哎， 然后这个角 a、 e、 b， 这个角也是四十五度，所以我们就能推出什么呀？我们就能推出点垂线啊，我们就能推出这个角是等于这个角的，就是角 a e、 f 应该等于角 g、 e、 k， 从而呢，这个三角形 a、 e、 f 就 和这个三角形 k e g 应该是相似的，相似的呢，我这个 e、 k 如果能计算出来的话， 那这个三角形我们只需要知道一个边，然后这个 a、 e、 f 这个三角形，这三边我们都能求出来，那根据这个相似对应边乘比例，我们就能把这个 e g 计算出来，从而就能把这个 b g 计算出来啊。 不知道我的思路大家能不能跟上啊？我们写一下 这个过这个 e 点啊，做这个 f、 c 的 这个垂线，我们设这个点为 k。 好， 先写啊，结过 e 做这个 e k 时，垂直于 f c 于 k 的， 然后我们先写这个正方形，由正方形得啊，由于这个 a、 b、 c d 啊，是啊的，不是正方形哈，是矩形，因为它是矩形， 所以这个角 a 等于角 d， 它应该等于角 abc 是 等于九十度的，然后 ab 等于 cd 是 等于三的， bc 等于 ad 是 等于五的。 然后再说这个 b、 e 平分啊，因为 b、 e 是 平分，角 a、 b、 c， 所以 角 a、 b、 e， 它就应该等于二分之一，角 a、 b、 c， 它就应等于四十五度， 对吧？哎。然后所以我们也能得到这个角 a、 e、 b 应该也等于四十五度。然后又因为角 a 是 等于九十度， 所以我们能得到什么呀？我们能得到这个 三角形 a、 b、 e， 它应该是一个什么呀？应该是一个等腰直角， 等腰直角三角形。然后 ab 是 等于 a、 e 的， 等于三。还能知道这个 b、 e， 它应该等于根号二倍的 a， e， 它就等于三倍的根号二， 这个 a， a、 e 啊， a， e 等于三，然后 cd 什么也等于三，对吧？所以我们就能。所以我们能得到这个 a、 e， 它应该是等于 cd 的 啊， 然后还能得到这个 e、 d， 它应该等于 a、 d 减去 a、 e， 它就等于。其实是五减三，应该是等于二。好，然后我们来去证这个三角形全等啊。 因为这个 角 f、 e、 c 是 等于九十度的，所以角 a、 e、 f 加上角 d、 e、 c， 它就是等于九十度，是吧？然后 又因为角 d、 e、 c 加上角 e、 c， d 是 等于九十度的，所以角 a、 e、 f 就 等于角 d、 c、 e， 然后得全等条件啊。因为角 a、 e、 f 等于角 d、 c、 e， 然后角 a 等于角 d， 它都是九十度的角，再加上 a、 e 等于 d、 c， 所以 三角形 a、 e、 f， 它就和三角形 d、 c、 e 是 全等的，所以 e、 f 就 等于 e、 c 对 应边相等，然后还能得到 a、 f 等于 e、 d， 它就等于二，然后 a、 f 是 等于二了， a、 e 是 等于三，对吧？那我们在这个直角三角形 a、 f、 e 中， 这个 e、 f， 它就等于根号下 a、 f 方加上 a、 e 方， 呃，那就是二的平方，加三的平方，那就是根号十三。 然后因为这个角 f、 e、 c 是 等于九十度的， 然后 e、 f 等于 e、 c， 所以 它是等腰直角三角形哈，那么我们就能推出这个角 e、 f、 k 等于角 f、 e、 k， 它就等于四十五度。 然后还能推出什么呀？还能推出这个 e、 k， 它应该等于二分之根号二倍的，这个 e、 f， 它就等于二分之根号二十六，这个 e、 f 前面算出它是根号十三啊。 然后我们再算，这个角等于这个角啊。 因为角 a、 e、 b 等于角 f、 e、 k， 它俩都是四十五度，所以它俩相等，所以这个角 a、 e、 f， 它就等于角 g、 e、 k， 然后有一组角相等了，然后又因为角 a 等于角 e、 k、 g， 它俩都是九十度。根据这个两组这个对应角相等，所以三角形 e、 a、 f， 它就和三角形 e、 k、 g 是 相似的。所以 e、 g 比上 e、 f， 它就等于 e、 k 比上 a、 e 往里面代数，那就是 e g 比上 e、 f 是 根号十三，它就等于二分之根号二十六，比上三。那么我们解得 e、 g， 它就等于六分之十三倍的根号二 e、 g 有 了，那这个 b、 g， 它就等于什么呀？它就等于这个 b e 减去 e、 g、 b、 e， 我 们前面算了，它是三倍根号二，那就三倍根号二，减去，呃，六分之十三倍的根号二，那算一下，它就是六分之五倍的根号二， 这就是第二个啊，我们来看第三个， 第三个呢？他说这个好，还是这个 e 是 动点啊？然后他说连接 e、 c， 然后点 h， 在 这个 c、 d 上将矩形 a、 b， c、 d 沿直线 e、 h， 它折叠， 折叠呢？那这个 d 点它就落在了这个 d 撇上， 就是 d 和 d 撇是一组对应点，然后这个 d 撇在这个 e、 c 上，呃过点 d 撇，它说做这个 d、 n 是 垂直于 a、 d 的， 然后交这个 e、 h 于点 m， 然后这里面他说了这个 a、 e 是 等于一的， a， e 等于一， a， e 等于一的话，那这个 bc 是 五，这个 ad 就是 五，那就这个 ed 就是 四，对吧？哎，然后这个 a， 这是三， 这个 e、 d 是 四，然后 d 和这个 d 撇，它是关于这个 e、 h， 它是翻折嘛？然后对称，那么这个 e、 d 撇，它就等于 e、 d， 它这段就是四，对吧？ 然后这个 c、 d 是， 这个是三，那么我们是不是就能求出这个，也能求出这个 c、 d 撇，是吧？哎， 这个 e、 d 是 四， c、 d 是 三，那这个 ec 就 应该是五，然后 e、 d， e、 d， e， d 撇是四，那这段就应该是一啊。我们先把能求出来，再求一下，然后我们来看，问什么啊？ 他说问这个三角形 e、 m， n， e， m， n， 这个三角形的这个面积和这个 e、 d 撇 m， 这个三角形的面积，它俩的一个比值。这两个三角形呢，它的特点是它俩这个 如果把这个 e、 n 当高的话，那它俩有相同的高，是吧？那么我们可以 把一个三角形它的底边认为是 m、 n， 另外一个三角形的底边就是 d 撇 m， 那 它俩面积之比在相同高的情况下，面际之比就是这个底边，底底边这个长度的比，对吧？然后我们来看这底边长度啊， 先擦一下啊，这个底边长度呢？一个是 m n， 一个是 m、 d 撇，它俩的比 可以等于什么呀？它俩的比就等于这个 d、 h 比上这个 h、 c 的 比， 那么如果我们把这个 d、 h 算出来，或者把这 h、 c 算出来，我们是不是就能得到这个比例关系了，对吧？然后我们怎么算啊？ 刚才说了 d 和 d 撇他俩是一组，对应边是是对应点，那这个 d、 h 就 应该等于这个 d 撇 h， 就是 这个边和他应该是相等的，他是翻折吗？所以 d、 h 应该等于 d 撇 h， 那这个地方，这个应该就是什么呀？这个地方也应该是个直角，那么我们在这个三角形里，我们用勾股定力，我们能把这个什么呀？能把这个 d 撇 h 或者这个 h、 c 就 算出来啊？这个是一个非常重要点啊。 好，我们把这个第三个过程写一下啊 解，因为这个四边形是 a、 b、 c、 d， 它是矩形啊，所以 c、 d 这个边就等于 a， b 等于三， a、 d 等于 bc 等于五，然后角 d 是 等于九十度的，我们就用这一个角就可以啊。 然后因为 a、 e 是 等于一，所以 e、 d， 它就等于 a、 d 减去 a， e 是 五，减去一呢，就是四。 我们把斜边在这个直角三角形 e、 d、 c 中， e、 c 等于根号下 e、 d 的 平方加上 d、 c 的 平方，那就是四的平方加上三的平方，那应该算完是五，然后说这翻折哈，因为 沿这个 e、 h 折后，他说的是 d 与 d 撇要是对应， 那就说明什么呀？说明这个对应的角 h， d 撇 e， 它应该是等于角 d 的， 所以它等于九十度。还有就是这个 h d 撇应该等于 d h， e， d 撇，它应该等于 e， d， 它就应该等于四。 所以 d 撇 c， 它就等于 e c 减去 e， d 撇就是五，减去四，它就应该等于一。 那么我们设这个 d h 等于 x， 那 h d 撇它也等于 s x， h c， 它就等于三减 x。 好使用勾股定律啊，在直角三角形 d 撇 h、 c 中，这是个直角啊， d 撇 h 的 平方加上 d 撇 c 的 平方应该等于 h c 方往里面代数，那就是 s 方加上一的平方是一，它就等于三减 x 的 平方。 解得 x 等于三分之四， x 等于三分之四，那么所以 d h， 它就等于三分之四。 h c， h c 等于三减三分之四，那就是三分之五。 所以它俩的比啊， d h 比上 h c， 它就应该是等于四比上五就是三分之四，比上三分之五啊，就是四，比上五。然后我们来用这个相似啊推那个两个底边比，它应该等于 d h 比上 h c 啊， 因为 d 撇 h 啊， d 撇 n， 因为这个 d 撇 n， 它是垂直于 a d 的， 然后这个角 d， 它是等于九十度的，九十度就垂直吗？是吧？所以这个 d 撇 n， 它应该和这个 d、 c 是 平行的，所以我们能得到这个三角形 e， n， m， 它应该和这个三角形 e， d， h 是 相似的。那这个 m n 比上 d h， 它就应该等于 e m 比上 e h， 是吧？哎！然后根据这个平行啊，我们还能得到这个三角形 e， m， d 撇，它应该和三角形 e、 h、 c 是 相似的。 所以 e m 比上 e h， 它又等于 d 撇 m 比上 h c， 所以我们就推出来了这个 m n 比上 d h， 它就应该等于 d 撇 m 比上 h c， 我 们把这个 d 撇 m 和这个 d h 位置换一下啊。所以 m n 比上 d 撇 m， 它就等于 d h， 比上 h c。 前面算出来 d h 比上 h c， 它是等于四比上五的，那就相当于 m n 比上 d 撇 m， 就是 四比上五。 然后我们写这个三角形的面积，三角形 e d 撇 m 的 面积，它应该等于二分之一 e n 乘上 m n 除以二分之 e n 乘以 d 撇 m m n 比比上 d p m， 它就等于什么呀？等于四比上五，那这个值就是五分之四，面积比就是五分之四。好，那这道题我们就算完了。

从今天开始，我们来学习武汉原调的二次函数压轴题。首先我们来看这道二一年的武汉原调题，题目说经过定点 a 的 直线 y 等于 k， 倍的 x 减二加一， k 小 于零，那么根据这条直线我们就可以知道它经过的定点。它经过的定点 a 为二一， 只有当 x 等于二的时候， y 的 曲值跟 k 没有关系，它将这条直线交抛物线 y 等于负， x 平方加四， x 于 b、 c 两点， c 点在 b 的 右侧， d 为抛物线的顶点，可以利用配方法可以得到抛物线 y 等于负的 x 减二的平方加上四，那么顶点的坐标为二四。接下来我们来看这道题目的第二问， 若三角形 a、 c、 d 的 面积是三角形 a、 b、 d 的 两倍，要求 k 的 值，根据这个面积的关系找 k 的 值。这两个三角形它有一个公共的边， a、 d 有 了这个公共的边之后，那我们是不是就可以将面积的关系转化为线段的关系？那我们就过 b 点和 c 点作 a、 d 的 垂线，垂足分别为 m 点 和 n 点。已知这两个三角形的面积是两倍的关系，那我们就可以求得 c、 n 等于两倍的 bm， c、 n 等于两倍的 b m。 那 么接下来我们是不是可以用点的坐标来表示了。如果我们设 b、 c 对 应的横坐标为 x 一 x 二的话，那么 x 二减二是等于两倍的括号二减 x 一 的， 因为对称轴 a d x 等于二，那我们就可以得到 x 一 和 x 二的关系。两倍的 x 一 加上 x 二等于六，那么接下来我们就要根据这个关系来求 k 的 值。 x 一 x 二是 bc 所对应的横坐标， bc 是 直线和抛物线的焦点，那么接下来我们就连立抛物线与直线可以求得一个一元二次方程， 它为 x 平方，加上括号， k 减四， x 减去二， k 加一等于零。对于关系式，对于关系式一的话，在这里我们是不是没有办法利用根与系数的关系啊？那我们就直接来解这个一元二次方程， 那我们就可以直接求出 x 一 等于二分之四，减 k 减去根号下 k 的 平方加上十二，那么 x 二就等于二分之四减 k 加上 根号下 k 的 平方加上十二，我们把三带到一并化简，我们可以得到根号下 k 的 平方加十二等于负三， k 又由于 k 是 小于零的，我们就可以求得 k 等于负的二倍的根号六。那么这道题我们就搞定了这道二次函数的压轴题，我们就是要根据题目中的面积关系推导出线段的关系， 然后再根据线段的关系，然后找到点坐标之间的关系，这就是这道题目的解析思路和解析的方向。各位同学，这道题目你们学会了吗？

一个视频带你解决几何动点之相似模型类的面积比问题。这是一道长春市朝阳区九年级期末的动点二十三题新鲜出炉，苗姐带你一起学习。首先我们读题干， r t 三角形角 c 等于九十度， a， c 等于二十口径 a 是 二分之根号二，那我们能得出角 a 是 四十五度， 那根据四十五度等腰直角三角形的三边比，一比一比根号二，能得出斜边是二十倍的根号二。往后读 a， e 等于三倍 b e 三比一的关系，所以 a e 是 十五倍，根号二， b， e 是 五倍，根号二， p 是 边 a c 上一点角 p e， q 等于四十五度。又来一个四十五度 q 落在折线 a、 c 或 c b 上，那我们看随着 p 再往上去走，那我们在做四十五度角的时候，就会发现 q 会落在 b c 上。当点 q 与点 c 在 一 p 的 同侧啊， q 和 c 在 一 p 这条线的同一侧同上， q 和 c 在 一 p 的 同一侧还是同上？看它求什么线段。 a b 二十倍根号二。刚才已经写过了三角形 a e q 与三角形 e p q 有 一个公共的角，再加上两个四十五度，所以角角得出相似。这个模型我之前的视频里有给大家讲过，它是公边共角模型。我们看第三，问什么 q 在 bc 上， 那也就是这个图的情况，连接 p q， 当三角形 p q， e 是 直角三角形时，求 a p 的 长，那我们来看一下 p q e 有 谁可能是直角呢？角 e 是 四十五度，它不可能是直角的。那我们来看 p 在 a c 上动的时候，它也不可能是直角。我们来看你画这个四十五度，它一直是处于一个锐角的形式， 那唯一有可能是直角的，那就是角 q 了。那因为角 e 是 四十五度的原因，所以它是一个等腰直角，求 a、 p 的 长，那我们来看一下怎么求。 现在知道的边是两个直角，边都是二十，斜边是二十倍。根号二以三比一的形式分布，十五倍根号二和五倍根号二，求的是 a、 p， 我 们来看这个角是四十五， 这个角也是四十五。在这条线上已经有两个等角了，对吗？因为三角形 abc 是 等腰直角的原因，所以角 b， 它其实也是四十五。这是一个一线三等角的模型。这道二三题出现了两个，先四行，第一个就是 q 落在 a、 c 上的时候，出现的是公边共角模型， q 落在 b、 c 上的时候，出现的是一线三等角的模型，分别得出一组相似。因为三角形 p、 q、 e 是 一个等腰直角三角形，所以能得到 p 一 边和 q、 e 边的比例，应该是根号比一，那同时它也是这个一线三等角相似的对应边之比，也就是相似比根号比一，那我们就得到 b、 e 和 a p 的 比值是一，比根号二，进而得到 a、 p 时，五倍根号二乘根号二，也就是十。接下来看第四问， e、 p、 e、 q 将三角形 abc 分 成了一个四边形，两个三角形时，若两个三角形的面积之比是十六比九，你看它正好是一个平方数啊，直接写出线段 a、 p 的 长。 我们来看第一个图，确实将三角形 a、 b、 c 分 成了一个三角形，一个三角形，还有一个四边形。那我们就得到其实这俩三角形的面积之比应该是十六比九，那是不是就是我们 q 落在 a c 上时的一个公边共角模型相似，那它是十六，它是九，那我们就可以得出 p、 q、 e 和 a、 q、 e 的 面积之比，应该是十六比上十六加九。这种情况，三角形 a、 e、 q 相似，三角形 e p、 q， 它的面积是十六比上十六加九，也就是十六比二十五，那进而能推出它的相似比 k 应该是四比五，那我们就设这个角对应边是四 x， 这个大角，他俩是对应角啊，他的对应边是五 x， 这是三个四十五度，那怎么求 a p 呢？因为这有一个四十五度可以做一个内接高，那他就是五 x 除根号二。那为了让我们的数更好算一些，我就直接设成五倍根号二和四倍根号二 x， 根据一比一比根号二，这个 q h 就是 五 x， a h 也是五 x h e。 根据勾股定律，四倍根号二，平方减五的平方三十二减五，根号七，所以它是根号七 x， 那 我们就可以列出五 x 加根号七 x 就是 a e 的 长，也就是十五倍的根号二。推出 x 等于五加根号七分之十五倍根号。那 ap 是 多少 x 呢？那我们需要把 q p 求出来， 那 q p 的 对应边，它是小三角形里四十五度的对应边，那大三角形里四十五度的对应边是 q e 啊，所以它是四倍根号二 x， 那 它五份是四倍根号二 x， 那 四份就是五分之四。乘上四倍根号二，也就是五分之十六倍根号二 x， 进而推出 a p 是 五倍根号二，减五分之十六倍根号二，也就是五分之七倍的五分之九倍的根号二 x， 那 a、 p 的 长度 就在 x 的 基础上乘上五分之九倍根号二。朝阳区的统考，它的亚洲体一般计算量都是比较大的，数也相对来说很难算，在计算上就已经卡掉一批学生了。这道题如果你不用相似的比例，你也可以直接选用。购物顶里这块是根号五 x， 这块是不是直接能反映出是十五倍根号二减五 x， 然后在这个三角形里列勾股定律也是可以的，直角边五 x 的 平方加直角边十五倍根号二减五 x 的 平方等于斜边四倍根号二 x 的 平方。这种也可以求出答案，这是第一种。我们再来看第二个。求落在 bc 上的时候是三角形 a、 p、 e 相似三角形 b、 e、 q， 也就是一线三根角的这种相似，它是比较好求的。十五倍根号二，五倍根号二，然后呢，将三角形也就是这两个，这是那四边角分成面积比是十六比九，那它的边值比是不是就是四比三呢？那我们可以推出它的对应边值比， ap 和 b、 e 是 四比三的关系， 那我们就可以顺利求出 ap 应该等于五倍根号二，除以四算完是三分之二十倍根号二，最终我们 ap 是 有两个结果。