arctan复合函数求导

立足学生认知，把握数学规律。本节课呢，我们来讲负二函数求导 当堂目标呢，首先第一个会判断负二函数，第二一个呢，会求负二函数导数。 那么学生在这一块呢？首先第一个就是什么叫负二函数？可能不太清楚，呃，我们知道，当我们学了这一个 基本出的函数求导以后，像简单的这个逆函数，三角函数，对数函数都可以求导，甚至于包括这个函数之间的加减乘除应算，比如说 x 加 c e x 减 c e x x 乘 c e x x 除以 c e x。 像这一些我们都可以有算法子来求它的导数 啊，但是如果把这个函数写成 y 等于 long， 二 x 减一，我们可以看到它就不再是某几个基本初等函数加减乘除运算得到的。 那么像这样的函数呢？我们怎么办呢？我们可以令 u 等于二 x 减一，然后 y 就 等于 long u， 而他本身呢，可以看作是这两个函数复合而成的，像这样的函数呢，我们就把它叫做复合函数。哎，让学生有这个意识， 那么学生的困难的地方呢？就是这个负函数的导数，他不太会求，那我们怎么解决呢？我们来看课本上的这一个一段话，他说如何求负函数的导数， 然后它采用的办法是研究 y 等于乘以二 x 的 导数。然后怎么研究的呢？是通过一个猜想，然后去发现一个特殊情况， 也就意味着在这里负函数求导法则呢，我们高中生是掌握不了的，可以告诉学，可以告诉我们这是哎， 通过一个特殊案例来得到了一个一般的结论，把结论记着就行了。那什么样的结论呢？那就是下面的这一句话了。 一般的对于由函数 y 等于 f， u 和 u 等于 g x 复合而成的函数 y 等于 f g x， 它的导数以函数 y 等于 f u u 等于 g x 之间的关系，它是应该是这个关系。那么怎么翻译呢？也就是 y 对 x 求导 的结果，它应该是等于呃，两个负两个函数分别求导以后，它的一个乘积算就行了。 好，那么到了这一步呢？可能还是比较懵，怎么办呢？我们通过立体让它规范化的来写这个过程，来感知一下这个结论怎么用 来看第一个题。 y 等于三， x 加五的三次方， 那么如果 t 括号算呢？是可以的，但是三次方他是比较大的，如果到有一天他不再是三次方，比如说是一百次方，你就没机会拆开括号了，所以我们可以把它看做一个否函数，怎么办呢？令 u 等于三， x 加五， 然后呢， y 就 等于 u 的 一百次方，它是由这两个函数复合而成的。然后下一步干嘛呢？我们对 u 进行求导， u 的 变量是 x， 所以 u 关于 x 求导，它应该就是三 x 加五求导，结果等于三。然后下面这个呢？ y 是 关于 u， 所以 y 关以 u 求导，它就等于 u 的 一百次方求导，就等于一百乘以 u 的 九十九次方。好，接下来呢，对 y 关以 x 求导，就是三 x 加五的一百次方求导，那等于什么呢？套公式就是把这两个函数上面求出来的两个函数的导数进行相乘就行了，也就等于三乘以一百，再乘以 u 的 九十九次方，也就是等于三百， 然后由于题目本身是没有 u 的， 所以我们最后的结果一定要把 u 换回这一个三 x 加五的九十九次方，哎，这样就走掉了。好，我们来看分为几步走呢？第一步，把这一个函数拆成两个函数的复合， 第二一步，分别求出导数来以后呢，我们按照这一个右侧的这个公式对 x 求导， 等于分别把两个函数求导的乘积你看乘在一块，但最后不要忘记换一下也就行了。总共分了两步，走好了，我们再拿第二个题再来感知一下，一样的，它叫负函数。 如果把 u 看作是负的零点零五， x 加一，那 y 就 会看作是一的 u 次方，你看拆成两个函数，然后分别对这两个函数求 导 u 一 撇等于负的零点零五， x 加一，再求导，结果等于负的零点五，然后 y 关于 u 求导 等于一的 u 次方，求导一的 u 次方。好了，分别求完导以后呢？最后的结果， y 关以 x 求导，也就是一的负零点零五， x 加一求导，结果就等于把两个乘到一块 负的零点零五乘以一的 u 次方。只是最后的结果一定是关于 x 的， 所以记得一点，把这个 x 再 u 再换回我们的负的零点零五， x 加一。哎，这就做掉了。 好了，我们再来看最后一个题。第三个题，拆零， u 等于二， x 减一， 那 y 就是 等于 long， u 分 别求到 u 关以 x 求到等于二， x 减一，求到等于二， y 关于 u 求导等于 long， u 求导等于 u 分 之一。嗨，拆成负函数，拆成两个函数的复合，然后分别求完导。最后套公式，所以 y 关于 x 求导，也就是这一个本身的导数， 它应该等于 y， u 关于 x 求导乘以 y 关于 u 求导，等于二乘 u 分 之一等于二除以二， x 减一。 那么当遇到这一种没办法证明在高中阶段证明的题呢？我们通过把格式规范化，利用结论照葫芦化票多列两个呢，也就熟悉了怎么去求导了。 好了，那么看看是否掌握呢？我们可以去做一下这个留刀小事的一二三题。然后面呢是答案，第一题的答案， 第二题的答案，第三题的答案，这就是本节课的一个内容。

hello， 大家好，上个视频我们打通了复合函数求导的第一关，分解复合函数。 具体操作就是先分析函数结构，然后像剥洋葱一样将复合函数由外向内逐层分解，直到分解后的函数都可以直接求导为止。那这个视频我们就来继续挑战第二关，分解后的求导， 还是利用上个视频的四道题，来看看后续的求导应该怎么做。先来看第一题， 求函数 y 等于 sin 三 x 的 导数。我们知道这个函数可以分解为 y 等于 sin， u 和 u 等于三 x， 下面开始求导。回顾一下复合函数的求导法则，先计算分解后每个函数的导数，这里就是 y 对 u 求导以及 u 对 x 求导，然后再把求出的导数相乘。那好，我们先计算 y 对 u 求导 三一， u 的 导数是 cos 一 u， 接下来计算 u 对 x 求到。很简单，三 x 的 导数是三，然后把得到的导数相乘，整理一下，就得到导数等于三倍的 cos 一 u。 现在你觉得这道题做完了吗？ 答案选 b， 当然没有完成，因为我们要求的是 y 对 x 的 导数，所以最终要化成关于 x 的 表达式，数字里的 u 是 不能留下的， 所以把这里的 u 替换成 x， u 等于三 x， 那 么最终结果就是导数等于三倍的 cos 以三 x。 回顾一下这道题，复合函数求导其实就两步，先分解函数，然后把分解后的函数逐个求导再相乘。 不过要注意求的是对谁的导数，最终的式子一定要替换成相应的字母 y 对 x 求到最终就是 x 的 表达式， y 对 t 求到最终就是 t 的 表达式，这点一定要注意。 好啦，下面我们再用一道题来巩固一下这个思路，求这个函数的导数。按照刚才的思路，首先分解函数，这里我们可以把函数分解为 y 等于根号 u 与 u 等于 x 平方加一。 这两个函数我们都可以直接求导，接下来逐层求导，再相乘，根号 u 可以 写成 u 的 二分之一次方，它的导数等于二分之一倍的 u 的 负二分之一次方，也就是二倍根号 u 分 之一。 后面 u 对 x 的 导数等于二 x， 然后把这两项相乘约掉二，整理一下就得到式子，等于根号 u 分 之 x。 注意，求的是 y 对 x 的 导数，一定别忘了要把 u 给替换回来，所以导数最终等于根号下 x 平方加一分之 x。 怎么样掌握了方法？复合函数求导还是挺简单的吧，那你自己也来练练手吧。思路还是一样的，我们就不细讲了，大家可以自己对照看看过程。 好啦，到这里，这些简单的复合函数求导我们已经滚瓜烂熟了，接下来要升级难度，还记得上个视频最后一道题吗？ y 等于二的 l n x 平方加一次方，求这个函数的导数， 它难就难在分解之后有三层，分别是 y 等于二的 u 次方 u 等于 lo and t 以及 t 等于 x 平方加一。那面对这种三层的复合函数，应该怎么办呢？ 哎，思路也是一样的，还是主层求道， y 对 u 求道， u 对 t 求道 t， 再对 x 求道，然后把各自的导数相乘， 首先二的 u 次方导数是二的 u 次方乘以捞岸二，接下来捞岸 t 的 导数是 t 分 之一，最后 x 平方加一的导数是二 x， 把求出的三个导数相乘，稍微整理一下，就可以得到导数等于这一大坨。 最后我们把式子中的 u 和 t 用 x t 换回来， t 很 明显是 x 平方加一，但 u 可要小心了，它等于 lo n， x 平方加一，不要搞错了，所以最终的导数应该等于这个式子。 回顾一下这道题，所有的复合函数，无论简单还是复杂，求导的思路都是一样的，都是逐层求导，再相乘。 那好，最后我们用一道 bose 题来检验一下今天的成果，求这个函数的导数。首先来分解函数，这个函数最后一步算的是这个式子的三次方，所以我们把最外层看成 y 等于 u 的 三次方， u 等于这一坨。 接下来把 u 看成三一 t， t 等于二， x 加一，这样我们就把函数分解成了三层， 然后逐层求导，再相乘。把这三个函数依次求导， u 的 三次方，导数是三倍 u 的 平方三一， t 导数是 cos， 二 x 加一，导数是二。 接着把得到的三个导数相乘，整理一下，得到导数等于六倍 u 的 平方，乘以 cosine t。 最后把 u 和 t 用 x 替换回来，你来做一下吧。 答案，选 b。 选 a 的 同学是不是把 u 给替换错了，一定要看清楚。 题目做完了，这里要说明一下，这类题在我们操作熟练后，也可以不设字母，直接计算。像这样先计算最外层，也就是这一坨三次方的导数。 因为是求最外层导数，所以这一坨不变导数应该等于三倍这一坨的平方。接着计算中间层，也就是三以二 x 加一的导数， 同样的二 x 加一不变导数应该是靠算，以二 x 加一，然后计算最内层二 x 加一的导数是二，最后整理一下就行了。但是如果你是一个粗心鬼，那就老老实实一步一步来吧，不要得不偿失。 好了，又到了总结时间，我们学习了如何求复合函数的导数，方法已经很熟练了，这就不多说了。 接下来的问题是，如果难度进一步升级，把复合函数和加减乘除混合起来，比如像这样的函数应该怎么求导呢？答案我们下个视频揭晓。好了，今天先到这里，拜拜。

学生学了倒数之后，告诉我觉得复合函数的求导比较困难，那么在这里我给大家分析两个例题啊，我们来看一下第一个例题， y 等于三减二的平方， 好去求导。那么首先看到这里，我们一眼就可以知道他是一个什么负二函数，对不对？那么首先把里面设为什么呢？ u， 那 u 就等于什么？三 x 减二，那么整体这个函数是不是就可以变成 fu 等于好，把这个三减二变成 u， 那不就变成 u 的平方了吗？对不对 啊？那么 y 的倒数，那是等于这个函数的倒数乘以他的倒数的，那也就是等于 fu 的倒数乘以 u 的倒数啊， 那么 fu 的倒数， fu 的倒数是不等于二优的啊， fu 的倒数等于二 u 啊， u 的倒数。去求一下啊，去求倒，自己去求啊，是不是等于三？那所以我们乘起来就等于什么二， u 乘以三等于六 u 啊，那把优带进去啊，优是不等于三减二了，那就是六乘以三， x 减二，所以等于什么？十八， x 减去十二，好， ok 啊， 好，接着我们来讲一下第二个例题啊， y 等于根号二， x 减一，我们去把它求倒 好， y 等于根号二减一，我们去把它抽到，那么首先我们射什么？射 u 等于什么？ x 减一好，把这个看成 x 减一好，那么 f u 是不就 等于根号 u 了？把这个二减一换成 u 吗？那也就是 u 的二分之一次，对不对？ 好，那么整个函数的倒数是不是就等于这两个的倒数相乘呢？啊？就是 f u 的倒数乘以 u 的倒数，那么我们来先把这个 u 的倒数求一下， u 的倒数是不等于二啊？ f u 的倒数， f u 的倒数 是不等于？首先把二分之一提到前面去，看成系数，好，二分之一 u 哈，指数要干嘛？减一对不对？二分之一减一就等于 二分之一的 u 的负的二分之一次好，那所以这里就等于 二乘以二分之一的优的负的二分之一次，好，这里约分了对不对？所以等于优的负的二分之一次啊。优的负的二分之一次是不是就可以写成 u 的二分之一？四分之一好，也就是根号 u 分之一。那么悠悠刚刚设为什么二 x 减一对不对？那所以把它带回去，那就是根号二 x 减一 好，接着我们来看一下第三个立体啊，第三个立体好， y 等于 科三引三 x 好，一样的，我们这种题一样的，我们首先去射 u 等于什么？三 x， 那我们的 f u 就变成了科赛 u 啊，同样的，把这两个干嘛倒数去求出来啊， u 的倒数等于三 f u 的倒数等于负的塞严 u 对不对？好，那么 y 的倒数等于他们俩的倒数相乘，对不对？那就是 u 的倒数乘以 fu 的倒数，也就是三乘以负的塞 u， 那就等于负的三倍塞人 u， 再把 u 带回去对不对？ u 是什么？三 x 对不对？所以等于负三倍塞人三 xok， 好。讲到这之后肯定有些学 嫌我太慢了啊，说，老师，那个这个步骤太麻烦了啊，能不能简便一下？那可以的，我们来看一下哈， y 等于什么？科三三 x 倒数啊，那么 他的倒数就等于什么呢？首先我们知道扣三应的倒数是等于什么？负的单眼对不对？所以你首先把扣的三眼变成负的三眼，当然里面的这个是不能变的啊，里面的这个函数得照抄啊，负的三应三是好，接着再把里面这个函数干嘛？求求一次倒，那是不是就是什么 三？他的倒数是三，那么把他把他们俩的什么结果乘起来，那就等于负的三眼。三 x 是不是和上面一样的？但是下面这个呢？我建议同学们是把上面这个操作熟练之后，我们再用下面这个啊。

二零二六届新高考数学复习第五十五期今天我们来说一下复合函数，求到。在说这件事之前，我们先来说一说什么叫复合函数。再说复合函数之前，我们先说一下什么叫基本函数吧。基本函数就是我们学过的最简单的函数啊， x 的 阿尔法四方密函数， e 的 x 四方指数函数，三 x 口算 x 三角函数。它们有个最大的特点，都是啥呢？这都是 x x x x x。 好， 那复合函数是什么意思呢？非常非常简单，就是在基本函数的基础上，只要你这不是 x， 我 把 x 给你换成别的。比如说这个吧， 负二， x 加一，它的简单函数是不是应该是 x 的 平方，它的简单函数是不是应该 e 的 x 方啊？这不是 x， 我 给你换成二 x long 这一堆，它的简单函数是不是该 long x 呀？我把 x 给你换成括号里头那一堆 sine 二分之 x， 它的简单函数是不是 sine x 呀？我把 x 给你换成括号里那一堆 cosine 这一堆它的简单函数是不是 cosine x 呀？我把 x 给你换成括号里的那一堆。 好吧，这就是复合函数。所以一句话概括，只要你把你基本函数的那些 x 给你换成别人，那就叫复合函数， ok 吧？好，但我在这老师要多强调一点， 二的 x 平方，大家判断一下，这叫不叫负函数，这不叫负函数啊，像这个 x 平方自己，它属于简单函数。简单函数我前面给它乘个倍数，这还是简单函数，它不叫负函数， ok 吧？嗯，好，那我们说负函数求导都怎么求导呢？非常非常简单。大家看清这几个例题， 首先第一步，我们把复合的部分设成是 u， 什么叫复合的部分啊？就是老师圈起来的这一部分，它的简单函数应该是 e 的 x 字方吧。现在把 x 替换成这一堆嘛，我们就把被替换的这一部分设成是 u 就 可以了。 好， u， 我 针对 x 求到，那 u 一 撇，就等于四 x， 非常简单。好，那原始的函数是不就变成了 e 的 u 次方了？ 好，我再把 e 的 u 次方，这回不针对 x， 我 针对 u 求道，针对 u 求道，那他还是 e 的 u 次方吗？ 紧接着，最后我把老师用紫色笔圈起来，这两个结果给它成在一起，就是最终的正确答案。结果等于四 x 倍的 e 的 u 次方，那结果不能带 u 啊，得把那个 u 给它还原回去，最终结果就是四 x 倍的 e 的 这么多次方。 ok， 非常简单。好，再看下例题二，还是那句话，把被复合的部分设成 u 啊。好，那原函数就变成了根号下 u， u 呢，等于这一对。 好，第一步，把这个 u 针对 x 求到变成了这个样子， 原函数是根号下 u 密函数，也就是 u 的 二分之一次方。这一堆我针对 u 求的变成二分之一倍的 u 的 负二分之一次方。然后把老师圈起来，这两个东西做乘法，就是最终的正确答案，也就是这个样子， 结果不能带 u 给它还原回去，最终结果就是这个样子。 ok， 好， 再看一下第三个， 把被复合的部分设成是 u， 在 这里 u 就 等于五 x 加一，和刚才一样，真 u 针对 x 求到，就是这个 原函数变成了 long u long u 我 针对 u 求导就变成了这个。好，紧接着把这两个东西做乘法，也就是无比 u， 就是 最终答案，最后别忘了把 u 还原回去，就是这个样子，这就是复合函数的求导。

我们还是先说一下今天的内容，然后再讲讲我们的每日测试，那今天的话，我们是导数章节的第二次课，然后今天的内容没有什么理论啊，全部都是计算 啊，求导的计算，所以今天主要是以刷题为主，前面的概念可能会很少，就一个公式，公式就死抄来，所以今天的内容，第一坨求导公式，还有就是一些求导的四则计算法则， 可以把它理解成求导计算的第一个，第一个小技巧吧，就是死死公式，死公式啊 啊，还有第二个求导的方法，所以求导公式也是求导的一个方法，方法之一，他是最简单的，也是最重要的啊，简单不代表他不重要。第二个就是复合函数求导，这也是最基础也是最重要的，他可能对于有些同学来说稍微的难的一点点。 那还有的话，今天我们说求导一共有九种啊，一共一共大概有九种类型的，我们如果非得去总结的话，所以我们可能会掌握九种，那常考的其实就三种啊， 那常考的第一种来了，就这个东西，我们说的是题型啊，所以把它可以当做是求导的一种方法，叫做引排扣分。求导这个东西是必考的啊，那前面两个玩意肯定是必会的啊，他是一个技能，那这个第三个方法可以当做是一个必考的题型。 还有这里的第四个就是参数方程求导，也是年年必考的，这两种题型都是必考的，我们说必考的有三种，我给大家我们会学到九种，还有一种的话，这里就提前直接说了。还有一种叫高阶导，这是我们近些年很喜欢考的求导的题型。 好，那这个不需要记啊，只是你有印象，回头抄的时候我肯定会跟你说哪种会必考，哪种会会干嘛，也就是一定会考的题型，所以今天的话就大概就这四，可以理解成是有四块内容。四块内容啊， 然后我们先讲一下我们的每日测试吧，每日测试瞅一瞅那概念的东西都在上节课了，上节课给大家讲了导数定律的四种题型， 然后题型就不回顾了。第一种题型就是咱们每日测试的第一题吧，有点像第一种题型，抽象函数求导，用导数定义给大家送的方法就叫补 f， 没问题吧，就是 a 秒杀公式，补 f 乘以题目当中的 f x 零。有印象吧，补 f 来自于问题，所以我就不写了，直接一口算是个三三倍的，那个 f 撇二三得六，所以选 c ok 吗？ 就不写了啊，对不对？这样就读 f 就 记住读 f 就 可以了。那第二题的话，这个东西你看他说给你一个分段函数，问他在某点处连续还是不可的，那这里的话他应该是像他这种题啊，优先去判断他是否连续。 呃，旁边虽然这个题比较简单，但是我希望你在旁边写一句话啊，你看到它可不可导选项当中又有连续的话，第一步先连续后可导先去判断它连续，也就是说先判断这个点的左右，先求左右极限，看左右极限是否相等，对吧。所以在第二题的旁边帮我简单记个笔记。 在你的每个测试旁边简单记个笔记啊，写写个东西。第一个就是先连续，看到这种题的话先连续，然后再去判断他是什么，再接着去啊，就是干嘛呢？可倒。 我就简单就这么写啊，先连续，连续的话就是求他的左右极限，是吧？去求他的左右极限，然后旁边再写一句话，写一个知识点啊。我们说如果我们说可倒必连续，那请问如果这个东西不连续呢？ 不，不一定了，不连续的话一定什么了不可倒了？因为我们说可倒必连续，是不是因为可倒是一定能退出连续的，那么他的逆否命题说不连续一定不可倒呀， 但是这个题他大概率的，我们的题目一般都是连续的啊，他可能是连续不可倒而已。你，你要有点感觉而已，蒙你，但是也有可能他直接就可倒了，连续而且可倒而已。 然后这个这个还我把这个讲了吧，已经讲到这里了，然后我们第一步先判断它连续这个点是零，所以 limit x 去零负，求它的左右极限，然后求它的左极限，我喜欢先左来，左极限，浪一减 x， 于是它就等于几啊零，然后再 limit x， 你 就用代入法去做啊。但是这个我是给你写出来了，考试就别写了，直接去看是不是求它的左右极限，左右极限是不是相等的，而且函数值是不是也是零啊？这三个是不是相等的？ 可以吗？快速复习一下。那你考试千万不要去写了，这里能口算就一个代入法，直接口算就算出来了。来这里想跟大家说的是叫先连续三个相等，所以它是连续的，那可导，可导的话就是左导，左导的话，这里还是通过第二题给大家复习一下公式啊。 s 区零错，我的语速可能会稍微快一点了，因为这个题本来没打算去讲的 啊。这是这个左导的公式，然后带带带带带。左导的公式和连续的公式，别混了啊，别像我昨天那样子给他搞混了。然后以减 x， 然后减去零除以 x 这里使用等量无穷小替换没问题吧。所以负 x 除以 x 是 减负一，那同理塞除以，你用你的脑子想想他的正导是不是塞除以他， 那就不写了。是不是三 e 除以 s， 最后答案还是几啊一啊。不不不不，他不是还是是一，这个我没写了。厘米乘 x 去零正是不是三 e x 比 x 没毛病吧。是它一，一个是负，一个是正一，所以这个东西叫不是吗？ 不可导。第二题哦，讲的有点快了，首先因为他的计算稍微的简单一点，他的计算没有什么难度啊，但整个框架不管是难还是简单，把整个框架大家看一看啊。看到这种，首先选择题，先去判断连续，求左右极限，再接着去判断左导和右导， ok 吗？ 如果是不连续，一定是不可导的好不好？好，这是第二题，我们讲下第三题吧，好吗？ 呀，你不讲不讲也讲了这么多，来第三题，第三题的话我换换第三题选的 a 选项，是不是来看一下这个题啊？我把题目通一下， x 去零， find x 抵上 e 的 f x 减一等于二，这是你说 哦，我没说他零哎，他可能是人工智能又开始了。然后这个玩意要是他一个已知条件在这里，还有一个已知条件叫 f x 在 x 等于零处什么 核导？一句话在这里，一句话在这里啊。我把题目给他拆解一下，已知条件是这两个问题，他问的是谁？ 问的是 f 漂零等于几？嗯，好，题目简单写成这样子啊，那求 f 漂零，我们就这个啥也没，啥也没，啥也没，干嘛了，我们就只有这么一个极限式子了，他如果在在 x 等于零处可导的话，说明这个脑那个存在的啊。但是你这里也没必要这个，这个 第一句话就处理成那个样子就够了啊。然后我们看一下第二个这个极限极限的话，他也是一个分式极限，对不对？所以你下面写几个字，他是不是一个分式极限存在呀？ 分式极限存在，其实他说他这个函数在某点处可导，我是不是说过函数在某点处可导，导可导的本质，你的描述有些零散，可能是在讨论。稍等一下，我把这个关了， 我不知道为什么他老叫他，我没有叫他，他的名字叫小易，我没有叫他，请你睡觉。然后我们说函数在某点处可导导数，它是不是本质也是一个分式极限呀？ 所以其实这句话也是告诉你个分式极限存在啊，所以他告诉你可导或告诉你个分式极限存在，你都要想到那个知识点。分式极限存在的反问题，有一句话叫做什么来着？ 分母极限为零，能推出什么来着？分子极限为零。所以想到只要有，你只要脑子里面有一个感觉分是极限存在，你都要想到这句话好不好？ 那这就是我们做题的一个突破口，那因此的话，那这个题的话，它不再是分母极限为零了，它是上面为零。 同意不，因为上面的话是具体的，其实我是 f 不， 下面肯定也为几啊 零，所以我能推出来 e 的 f x， 我 给你写一下啊，其实考试根本不需要写这些过程，那我给你写出来，因为 limit 三 x 极限为零，因为分子为零，分母也为零，他们两个之间 有一个为零，上面为零，下面为零，下面为零，下面为零好吗？然后我们就能推出下面这个分母极限为零。分母极限为零的话，那说明这个 e 的 这个分母极限为零的话，那说明这个 e 的 这个你代入法是不是它说明它等于零吧， 那也就是告诉我们说 f。 那 我这里再说一句啊，我们我们说它这个极限值为什么会等于这个函数值？因为 f x 在 s 等零处可导，所以它还有一句话，其实就是说它在该点处连续，该点处连续啊，所以它的极限值就等于这个函数值了， 因为这个 f x 是 在 s 零处可导，所以它一定是连续的，所以这个极限值呢？就会等于这个函数值，等于这个函数值，明白吗？ 那因为这个极限值等于零，所以这个函数值代入之后，这个函数值就等于零。我这里给你讲的很细了，其实你如果脑子不拎清，拎不清的话，你大概也能猜猜出来就是这一坨等于零，但是有个大前提，它必须是连续啊，连续好不好？ 你不懂，连续的话也没关系，你就记住按极限为零，所以代入的函数值它也等于零。如果这里这个式子等于零的话， f 零就能推出来，它等于几块 零吧，因为他减一等于零了，所以呢？退出 f 零等于零对不对？对的好了，就退出这么一个东西来 啊，这是一个结论，然后用这个结论重新再来处理一下，这个分是极限。重新处理一下，上面这个分是极限，如果我能知道代入之后啊，这里是三 x 除以 e 的 f x 减一， 结果上面是个零比零形，那我们正常求这个极限是不是可以等价？上面是不是可以等价无穷小替换成谁 x？ 而这个东西带入之后，极限又为零，同意不？因为 f 零的也是又为零啊，这是像是不是等价无穷小替换公式可以的，所以他等价成 f x o 了吗？ 然后就没有了。这个东西昨天有没有给大家总结过？只要你脑子里面出现 f 零等于零， 记不记得我昨天给大家总结过，只要 f 零除以等于零的话， f 撇零就等于多少 limit x 去零， f x 比谁 x 有 印象吗？所以如果我总结过这个，我对这个玩意就会非常之快，我会觉得它就是 f 撇零分之一，明白吗？ 听懂了没有，对吧？昨天这个这个总结给大家写过的啊，这个总结去再去巩固下。所以这里的话先不说这个题的事啊，这个题已经完了，他等于二，所以他等于二分之一。这个题给大家缕一缕啊。这里咱们强化一下，首先这个分式极限的这个，这个第一个绿色框框，还有第二个 第二个绿色泡泡，这两个东西建议大家去总结一下，等你后面做题可能会速度会稍微快一点，反应会快一点，快一点，那中间的计算再去搞一搞，再去搞一搞。 第四题，第四题我昨天没有给大家练切线和法线的原因是因为我没有讲计算，所以就不太好求导。今天讲完计算可能会留一些切法线的作业了。第四题，我只讲一点， 切线平行于 x 轴，那么这个切线的斜率是啥？对，写一个东西， k 切等于零啊，所以你要清楚一下， k 切等于零，那我是不是再把在在在第四题的旁边，请帮我记一个公式 叫什么呢？就是我，我昨天可能干嘛了？或者我写 k 切吧， k 切等于 f 撇几啊， x 零写它啊，就 k 切等于 f 撇 x 零， k 切切线的斜率就是求倒，倒的话，那个 x 零就是切点， x 零就是切点啊。 好，这个先补一下这个知识点，然后再说一下第四题该怎么做啊？我可以翻译了吧，好了吗？ 来第四题的话，首先我们写了个 k 切等于 f 撇 x 零，但是我想问大家一个问题，我已经知道 k 切等于几了？零，因为它平行 x， 所以 可以总结一下，平行于 x 就是 就是它的斜率等于零，那么平行于 y 的 话，平行 y 就是 斜率，不存在，是吧？ 嗯，也不能说。嗯，无穷也行吧，可以吧。无穷，那我们不考那个啊。然后这里我想说的是啥呢？那这个题的话，请问它属于切点已知还是切点未知？ 切法线的话，我还没给大家做一个专题去总结啊，我们切法线方程也是必考的，我们会总结为切点已知和未知。我问大家一个问题，第四题的切点是知道的还是不知道的？ 你是不知道斜率，但是你不知道谁切点，所以旁边再写几个字叫切点什么知位置。给他总结一下，没给大家超过这种题型总结，因为昨天还不够，我们没法练，但是现在碰到了，咱们就写一下他属于切点未知的题型。切点未知， 但是没给大家总结过，咱就先碰到就就先写一下这个题属于切点未知，因为没有点切点未知。给你个方法 就是你下面写个提前总结啊，就旁边写个提前总结。切点未知的题型方法就叫做设切点，跟高中是一样的，其实高中也有这种题的，叫设切点，你就设它为 x 零和 y 零就 ok 了。 y 零用它的解析式再去表示一下，是引入一个字母就行了。设切点过了吗？ 那我们来看一下吧。所以这个题是已知切线斜率为零，所以切线斜率就求到一上来，直接求到所以三 x 方减去三，然后设切点，所以 k 切就等于多少三， x 零的平方减去三，往这里跳快一点可以吗？于是他就等于零，所以 x 零就等于减正负一。你自己去找吧， 哪个对就哪个吧。一是有不对的，一应该是负二是吧，对，应该是负一吧，对应该是负二吧。 c 猫 c 猫 c 猫负一负一哦。 c 应该是 c 好 了吧。没有，求教练吧。他只是平局，他的点是谁？ 哎，这句话能读懂吗？曲线上的切线平行于 x 轴的点是谁？他求的那个，他求的是那个切点是谁，懂吗？ 你看，首先 x 三次的话可能是长这样，他说的是哪一个点？他的切线是平行于 x 轴的，平行于 x 轴的他可能有两个点，他有两个点，有两个点好吗？他不是所有的点好不好？这个题有问题吗？ 然后第五题的话是不是一样的？可不可以不说了，你读个 f 是 不是就出来了？嗯，但是这个导还没讲求导公式呢，也没讲复合函数求导，但第五题的话今天讲完，如果有问题的话，回头再说啊。那个求导先不说啊， 然后第六题，第六题是我昨天讲过的题，就不说了好吗？第七题是不是也可以不说？ 第八题要说吗？第八题是有一年的真题啊，看下第八题吧。第八题来，他说 f x 在 x 等于五处可倒。简单写一下啊，五处可倒 limit x 去五， f x 减去 f 五除以 s 减五的三次等于三次吗？是等于三，然后求 f 撇五等于几。这是有一年的一个真题啊。然后我们看一下这个题跟那个，跟，跟刚刚的那个第第第几题来着？第三题是不是很像呀？ 你可以旁边写几个字叫同三，对吧？同三就是就跟第三题来差不多，它是一类题。那第三题是咋做来着？还是一个分式极限？是不是一个分式极限呀？分式极限存在，那么分母为零，分子为几啊？ 分母为零，分子为什么零？那这个好像没什么用，因为我们得出来 f 五等于 f 五，好像没啥鸟用，对不对？ 来，再来看一下这个东西，他说 f x 去可以求导的，可以用洛必达去做的啊，这个，但但，但。我们现在不是还没讲那个东西吗？我们现在现在用一个公式去讲一下，他说 f x x 等于五处可导，那么这个东西的话，其实它背后可以翻译成什么呢？这么一个分是极限是存什么的？ 是不存在的呀？嗯，说这个分是极限存在的，而且他就等于 f 漂几啊五。所以想说一下，这句话也可以翻译翻译成这个的啊，如果你做题的时候突然突然翻，他不是每次都需要翻译的，如果实在没有思路的话，你要知道他背后想告诉你有这么一个式子。好了， 那我们就来他求了，是 f 漂五， f 漂五又长成这样，而已知的这个玩意跟这个已知的这玩意是不是很像？ 所以我们就变形或叫变形，给它变成这个凑成 f 撇五的这种形式，所以 f x 减去 f 五除以 x 减五，这里弄一个 x 减五的平方等于三，可以吗？ 所以再进一步等于一下这个几，这个东西是不是就是 f 撇五呀？所以能得出来 f 撇五乘以 limit x， 或者是我给你写里面去，我不给他提外面去啊。因为 f 撇五除以 x 减五的平方到这里可以吗？ 所以利用那个导数的定义，就把中这个极限红色部分极限当中的有一块变成了这里的 f 漂五，可以不？所以我们相当于是已知这么一个分式极限存在，去求 f 漂五，对不对？ 那么这是不是再去用你的那个分式极限反问题，是不是分母极限为零，所以分子极限为几啊？零，所以这个东西去弄一下零，所以它就是零。 f 漂五等于零，为什么这样做呢？ 等一下诺必达去吧，诺必达随便你行不行，但诺必达他有，他有点 bug， 能能能做出来就做出来，谁告你谁告你，他干嘛 谁告你？他连续了，他没告诉你可导，连续了。诺必达的话有一个 bug， 他 没告诉你，他说这个函数可导，但没告诉你可导。呃，这个函数可导，所以这个 f x 是 连续的， 能听就听懂就听懂啊，听不懂也拉倒，就当我说啥了。如果你用洛必达的同学，那谁告诉你 f 撇 x 是 连续的呢？所以就会有一点点问题， 所以正常的做法是这种做法，用这种做法去做啊，用这我刚刚讲的这种做法去做，但是考试你洛必达就落，反正就懵。什么叫洛必达？我自己演示一下啊。刚刚有有朋友说我求道去做可以啊，你过来， 他说这个极限是不存在，因为分五个他，我已经知道是个零比零型了。零比零的话我不是会洛必达吗？那我洛呀，我对这个极限求我不用促导出定义去去这样子去做了。我求我求导，我上下求导洛必达可不可以？洛必达就是 f 漂五， i 常说的五是零，不不，也不是 f 漂五。错了，是 f 漂几啊？ x 下面是不是三倍的减 x， 减五的减平方是不是？然后这个东西它等于几啊？三，那说明它为零的话是不是它为零啊？但是你只能说这个这个 f 撇这个导数在 x 在 五处的极限值为零，谁告诉你 f 它一定会等于 f 撇五呢？这里就会有一个问题了，听懂了我的意思吗？ 除非他跟你说这个导函数是什么的连续的，所以会有一点点的小 bug， 懂不懂？但是你可以不用去那么痛苦了，你就我能做出来，我能快速落地把它做出来我就蒙它不就行了吗？是不是？但是会有一点点 bug， 能理解这个 bug 吗？不理解就算了啊，不理解就算了，过了啊， 不理解就算了，太快了吗？ 第九题是我讲过的。第九题可不可以不讲了？第九题的话就写一个东西，他如果是就是他的原函数，如果是周期函数，他的导函数也是周期函数就好了好吗？嗯， 然后还是那个分式极限的问题对不对？分某极限为零，是不是分着干嘛的那个东西？哦，他跟那个啥很像，跟那个跟刚刚第八题也很像，把第九题也写个同发吧。在我眼里我感觉跟第八题很像。 第九题，我把这个分式极限再给你分析一下啊，其他的东西就不管了，就是关键核心就是处理这个分式极限。你看这个分式极限，这里的第五题，第八题，第九题啊，因为第八题是一个真题啊。不不，第三题，第八题，第九题，第八题是个真题，所以考过这种就是考过这种。 这种呢，他就很喜欢再次考的啊，所以再来帮你处理一下这个分式极限。第九题当中最核心的就这么个玩意，把这个东西搞清楚了，这个题目当中所有东西密码就都破解了，所以再来啰嗦一遍，请你告诉我，是不是这个分式极限存在？ 是不是分母极限带入之后是不是为零？一减一是不是为零？所以我大胆的猜测分子的极限是不等于零。他是不是说这个玩意是连什么来着？ 连续，我没有写任何过程啊，你跟上我的思路可以吗？所以这个极限为零，因为他连续，所以我能推出他的函数值就等于几啊，也为几零，因为他连续。 计算题一定要写这句话的哦，不能说极限为零，所以因为 x 去一极限为零，就说 f 一 等于零，中间一定要加一句话，因为他连续好不好？计算题一定要写这句话的啊。好了， f 一 只要一等于零，孩子们，立刻告诉我， f 小 于一。你， 我是不是昨天说过，我说 f 零等于零，你要立刻写出来 f 撇零等于啥？脑子里面一定要有这种意识啊，告诉你哪个点等于零，尤其涉及到求导，要用导数定义的，立刻把这个极。还涉及到极限式子的，请你把这个点的导数的极限定义给我写出来，我们说是 f x 比 x 对 不对？ 如果你后面这就是读题的套路，这种思维我给你深挖一下，如果你后面做题又出现一个 f 二等于零或 f 一 等于零，而且题目当中还涉及到极限，请你一定要把这个点已知哪个点，就把这个点的极限式子给我写一写。他是不等于 f x 除以 x 减一，有毛病吗？ 没有吧，好不好？听懂了？没有，就是你要学会有这么个意识啊，你先别管他有啥用，反正就是说只要推出来一个东西等于零的话，一定会考察的导数的这个极限设置的。好了， 我们刚刚只推出来，我们再回到前面啊，推出 f 一 等于零，所以我就把我这个极限，把左边这个等号，左边这个极限立刻变成这个函数值的导数的极限形式，懂了吗？所以 f x 除以 x 减一乘以 x 加一，懂了没有？ 这个是结果，也是一个下一步做题的一个信号，一个灯，一个灯，你要去把这个极限式子凑成他的导数的极限形式，欧了，不， 然后没了，没了。然后他等于几来着？二分之一，这一头是不是 f 撇几啊？一，所以这头是几来着二分之一，所以最后他乘他等于二分之一，于是得出来一个东西， f 撇一等于几？一。 我问你， f 一 等于零， f 漂一等于一，是不是 f 四也等于几了？零 f 漂四也等于几啊？一，是不是切线方程是不是就出来了呀？所以还是这个分是极限的问题好吗？分是极限会处理， ok 吧？ 落落落落，不建议你落落的话，他告诉你导函数连续吗？如果是个计算题的话，不建议你落啊。他说的是 f x 连续，导函数不一定连续啊，原函数连续，他的导数不一定连续的， ok， 然后第十题，第十题，第十题他的导数不一定连续的， ok。 然后第十题的话，是不是我们的题型几来着？是不是题型四啊？ 题型四的话，他说分段函数在分段点处可导，旁边写几个字，我们整个就三步走。第一步是啥来着？一去判断他连续，他在该点处连续。二去判断函数在该点处可导三，他整个步骤就是解方程组。 对，把这句话写把，把这个东西写在这个题的旁边，当我们会做了，把这种思路方法再去总结一下，不断的去强化，不断的去强化啊。 一连续二科到三，解方程组，没毛病吧？一会那个模板整个都是这么来的是不是？然后第一步我就这个东西好了我我不太想说这个题了可以吗放过我吧 好不好。好的，可以吗这个题要讲吗？不用这个题应该不用讲吧。不用讲你要讲啊。好， 那我就不讲了。好吧，然后今天晚上答疑如果第十题的话有问题单独来找我好了好吗。你肯定是计算会有点问题。这个按照昨天的那个那个模板去写下，因为可导或者按照答案写也可以。因为可导所以连续然后求左右极限然后这个好像都挺好求的 也不涉及到落必达什么的。也不是也不涉及到等价无穷小就是一个代入法有有问题再说啊。我说了啊。好了我们开始今天的新课吧。 嗯新课的话首先求到公式求到公式。哎，本来还想让你们背等价无穷小公式的。 反正一会课间休息吧。咱家无从小功课在背背啊就第一张的功课在反正光是一块背背。打开你的书四十六页我也找找。我的书四十六页。嗯 在家无从小公式大家也每天去背背每一组公式都背个十天十天之后休息个十天然后再重复再要接着背啊然后我们今天背的是求道公式啊。求道公式在你的一百五十分的四十六页四十六页 然后他一共有两列书上是不是有两列第一列的话是求导公式，第二列叫微分公式，所以这个这个标题叫做求导导数和微分公式啊。微分就是 d 开头的导数就是加个撇的符号先清楚一下就好了。然后 求道公式该咋说呢。没啥没啥说的死抄。打开你的小笔记本写个东西。我们是第几节课来着？第八次课吧，第八次课写个标题，标题叫做导数的计算吧。好吧，你写个导数的计算一，对吧？导数的计算一， 我我，我先带你去写个标题，然后咱们把这个求导公式抄一下来。第八第八次课是吧？第八节课，第八节，然后写个标题，导数的 我又写成定义了。我想说计算了，导数的计算，你动动手啊，尤其是想困的同学，你就动动手，你就清醒了。然后再写个小一吧，我写，写个小一，叫求导公。嗯，求导公式。 求导公式啊，求导公式大概是二十一个啊，二十一个给你写备注东西，二十一个啊，然后书上，可能书上抄也差不多，你就反正看看 ppt 也可以， 看书也可以。我和他说一下书上哪些是没有的啊？就是我平常没有的，他没有我这个，他没有我十八和十九，其他他都有了。然后把你抄吧，快抄好不好？这个我不太想说太多了，咱们今天主要是以算为主，所以你先先抄一遍，边背边抄， 我可能不太会去再去讲你怎么背了。那我也简单说一说一下吧，说一下他的一些规律，但是到了后期考试的时候，肯定不是说通过去想他有什么规律，再去想起他怎么去背，那个就太慢了。 上考场的时候，我希望你达到的是无意识的背，就是不用去想他为什么，或者是去推就直接背出来。 那明天开始的话，就是每天课前我们都要去默写一下求道公式啊。那今天一会课间休息十分钟的时候，大家先默写一下等间无从小公式啊。 就就就比较听话吧，反正你每天这样子来你总比你一次性背上去记。就是他必须要通过你反复反复反复的，也许你觉得你记会了你还是得天天记着 我应该很少人会让你记公式的。我抄公式的这个公式没办法。那不记就不能做题啊，你总不想用导师的定义去求导吧。 这里我给我给一些有需要的同学写一下啊。 second x 等于多少分之一来着？好三亿可 second x 等于谁来着。三亿分之一这一简单来说一下。 然后我们简单标几个啊。这个可能会比较喜欢考一点阿克萨伊还有谁？阿克斯坦。嗯那十八十九就毋庸置疑了。十八十九也很喜欢考的，所以我才单独又给他忘。 其实求导公式也许不止这几个，你自己也可以通过做题，你在真题当中如果刷题刷到的他有用到的有现场推出来的你觉得此记住会更好你也可以把它当做一个公式去记。什么样东西叫公式啊。 就是他很喜欢考经常会出现的我觉得没必要去记了所以却总结出一个公式出来。那按照这个逻辑来说是不是公式不仅限于此啊。你可以当然背的更多。你把所有考试真题的那个答案全都死记下来了， 但是可能只有答案。 你唱完了吗。你唱完了你给我个心。都唱完了。那我撤了啊。好，这里简单说一句啊。 呃，首先这个 x 分 之一我建议大家可以再补一下，因为我就老碰到他，我就嫌他很恶心。这个东西你帮我推一下这个公式没？没让你非常记啊，但是这个 x 分 之一，孩子们一定要给我死死的，牢牢死死死死 死死的记住，等于负的解， x 方分之一，还有这个根号 x， 请你给我记得，死死的，死死的，不要太死了。怎么推的话，回头我自己可以适当的去推一下，但是最好这个解我别死记。那现在帮我推一下它， s 方分之一的话，它应该写成 s 负几次，负二次的倒数，对不对？然后把我建议大家把这个结论也也记一下吧，可能有有助于提升你的速度。就等于负二的 s 几啊负三次，然后最好把它写成一个分式的形式，所以等于负二除以 s 几啊三分之一，负二除以 s 三分之一， 那记不住了，所以这个这个写旁边好了，写旁边好了， 然后然后简单说一下。啥呢？这个东西也说一句啊，把这个第二个公式也记一下，常说的导数为零，请你死记。一和二肯定是很重要又很简单的，但它真的很重要， 这个是 m 函数，所以我要啰嗦一句， x 的 a 次的导什么意思？它是个 m 函数，它的导数每求一次导，它的指数会少几 少个一，然后会多一个系数，多一个系数的啊，所以这里来，比如说 x 一 次的导，请你死记，它等于几啊？一 s 二次的导，请你快速死记，它等于几啊？二 x s 三次的导，请你快速死记，等于三几啊 s 方，所以这些很基础，也请你直到你下下，然后 哪个这个下面你说这个是吧？这个这个我是通过他推出来的呀，但我是 x 二次呀，我没说 f 二次呀， 是一样的，它就是一个类型的嘛，就是 mei 还说类型的是一样的。对，我只是说你这个结论可以记一下上面，可以不记上面，因为因为他能他能他能记住嘛，对不对？那这个的话可能啊，一样的，一样的。对，一样的。没事先不说了啊，一样的，你说的没毛病。 看一下三角函数，三角函数在这里是不是塞得倒等于几啊？靠，然后靠得倒等于几啊？塞他在他前面会有个什么号或塞来这里简单说一下这里的三角函数，三角函数似乎有一个规律，就是凡是带有 c 开头的，他最后的导数都是会多有多多会多一个什么号？ 括号，所以这里稍微注意一下，然后包括你这里的反三引，呃，就是反三角函数是不是 c 开头的最后答案也会多一个什么号说括号呀， 对吧，然后这里稍微注意一下啊，其他的话我没想说了，你就自己死记吧好不好，然后把我给你补的十八和十九也补上去。那十八十九也也是通过微函数推导出来的呀，是一样的呀，没毛病啊，只是说我这里的东西，请你把这个东西考的比较多，就死记一下就记一下就而已。过了啊， 所以求导公式放在这里，一会我们通过做题去把那些公式再去背一背，或者是反正今天就全部都在用公式了啊， 求导公式永远是基础当中的基础啊，再用求导公式，如果，如果记住之后咱们还需要用一个工具才能帮助你快速的去实现求导计算，那这个工具的话叫四则运算求导法则，就是书的第第第四十七页，四十七页这里有个小二看到没有 减二，然后这里的话自己也快速看一看啊，比如说我们的两个函数相加减求导，等于他们分别求导再相加减，他是不是跟我们的极限也很像呀？ 然后这里重点去看一下乘法，把乘法前面打颗星星，还有除法打颗星星。我们近些年的话很喜欢考除法，也叫做考分式函数的导数，通过分式函数去求它的极值，它其实本质还是求导，所以 分式函数分式求导是最恶心的啊，是很容易他，他不是说因为他难，是他也容易出错。那我们看一下第二个乘积求导计算法则啊，如果是两个函数相乘求导， 我这里会的同学就已经会了，所以就没必要讲了。但是我现在为什么还在讲呢？是给不会的同学讲，所以我的速度会放慢一点啊。 如果两个函数相乘求导，那么他就死记这个，这个这个运算法则，他会等于前面这个函数的导乘，以后面这个函数他是不求导的，再加上前面不导乘以后面干嘛 导就是死记。那么他背后还有一个规律，去抓一下，如果是两个函数相乘求导，他求完导之后的答案是由两个函数相加， 懂吗？那所以我们内比一下，如果是有三个函数连成求导，猜一猜，根据上面的规律，我就能推出他也会出出现几个函数相加呀，几个式的相加三个，可以理解成把这个玩意复制几次， 复制三次。但是这里的导的话，就跟你就跟你轮值不值班一样，一人轮一次，一人轮一次，轮完之后就结束了好吗？所以请你把这个三项乘积求导的公式写在你的这个二，这个两两个的旁边，稍微补一下补一下。 那如果讲完这个的话，昨天我们的题型二其实就又会出现另外一种方法。昨天讲这个讲了三种，两种方法，如果我没记错的话，一个叫导数的定义有印象吗？ 你们今天每个测试是不是也有的，对不对？那今天就又可以补第三种方法了，但是我没想带你写了，我只是想口述一下，能 get 到的就 get 到了， get 不 到的话你就放过你自己。昨天讲的话是不是讲了导数的定义？还有一个方法叫捆绑法，把它捆成两个函数相乘，有印象吗？ 等于零的单独给它具体化，这个非零的给它抽象成 g x， 这是捆绑法， ok 吧？但是我能不能不捆绑，也不用挡住第一，我能不能就用这个多项的乘积求导公式去求？ 那我们能听懂就听懂啊，听不懂也没关系的，你会一个就好了啊。所以根据自己能力来，那第一项先求个导是不就等于一了呀？所以它就是 x 加一乘以 x 加二啊，得得得得， x 加 n， 它其实一一一定会有 n， 因为这里有 n 加一项连成，所以它一定会展开，有，有 n， n 加一个数字相加吧。那第二坨相加第，再加第三坨，这里面都是啥呢？你想想，这里求完倒是一了，紧接着是不该这个括号求倒了呀？这个求倒是不是也会变成一的，就会来到这里？那后面这个求倒也会，但是 后面这些苹果吧，你可以把它看成圈圈，是不是里面永远会多会都有一个 x x 对 不对？ 所以你再把这个零带进去，涉及到有 x 的 这个设置，后面这里通通都变成几了零，所以只有第一项了，听懂了吗？所以这是我们昨天那个题的第三个方法就出来了好不好，是用脑子想的，那么二四年的一道证明题其实用的就是这个啊，你要想到这个那个题就很简单好吗？ 没事，刚刚讲的那些没听懂的话，没事，我等我们强化的时候再再再再再再啰嗦就好了，我们再回来，你再回来，回来，回到最基本的来。这个除法除法除法，预算法则的求导。这个东西我再啰嗦一下啊，两个丸要消除。求导这个东西是历年考试特别喜欢考的，一定会给你考到分式函数 极极限那一块喜欢考分段，还说求导这一块喜欢考分式好不好，记住啊，喜欢考分式，分式求导的话有分母先干嘛？平方，然后上导，下不导减去上不导干嘛下导，记住这里是个什么号？ 减号减号，我们是从上往下来的，上面先导再减去下面的那个导好吗？ 分式求导一定要会啊，那个真的很喜欢他的啊，就很喜欢考他的，尤其是那个计算不是特别低的人啊， 然后再来这个长这个不不不，不在你的书上吧，就是请你帮我把这两丸药也补一下，就是咱们这个东西也简单吧，就相当于又给你编了个公式。 这个是啥意思呢？如果是一个长数跟一个丸药相乘，求导长数可以往外提极限是不是也有这个运算法则来？再来，如果屁股后面加个长数，那么就相当于是他自己的导啊。 也就是说，如果后期你们碰到这种比如说 s 平方减二的导，你要快速口算出来，他就是 x 平方的导，懂吗？然后就直接等于几 s 二 x， 那 如果是， 就比如说 s 三次减去七，然后就是加七，或者干嘛你就直接看成三 s 方就好了好不好？就是要有这么一个，虽然你说这个东西也没有简单多少啊，但是他就会比你的思维是不是帮你稍微节省了一点点，对不对？这一点点时间就很够用了啊 啊。过了差不多了，然后我们开始简单的几个题，这些题都不用抄，这些题目的话，全都是为了给你去背求导公式的啊，因为刚刚没带你背求导公式，就简单说一下，然后通过这种简单的题目快速算， 快说算，你算完的同学，你就继续干你自己的活就好了。对，今天这节课的话，前面一个小时至少可能会对有些同学来说会有点无聊啊，因为他可能早就已经学的很嗨很好了。但但但但但你，你那个头脑，没学过的同学， 你慢慢来，拿着这几个题不用抄，请你在草稿纸上对着你的公式，对着你的公式，对着刚刚的计算法则，请你把这每一个题都做过去，练你的基本功。今天全是计算，所以今天我会给你们充分的时间让你们去算。我会讲，讲的稍微少一点，因为没啥可讲 方法，就一句话的事，没啥可讲，工具全在书上，所以今天主要今天的作业一定要去练，一定要去练，没有什么方法，全都是死算。那就是要练速度，练速度。那方法我能给你讲出花来呀。我讲不出啥花来。 你快。同学，你就把那个一百五十分你就开始刷题嘛。那个不是那个有一百分过关题。哎，一百分过关题做过了，你就去找点你能做的嘛，只要你能刷的快的这些其实第二个章节一般差不多没有什么东西是不能做的， 尤其是今天讲完，今天讲完其实整这个整个教学的内容差不多几乎都能做。你说你还说方程求导，这有啥呀，不是还本质还是个求导吗？或者是参数方程求导本身还是个求导，这都差不多都能做了，其实几乎都能做。 对，所以今天这堂课我不会照顾快乐同学。快乐同学的话，你就不是我今天的对象了，你就自己玩吧。啊，你自己想怎么玩就怎么玩。我今天主要照顾的是，就是可能不是很好的同学吧。 哦，因为他靠自己是靠，靠不上来的，把这个先体贴一下，然后做作业，然后他们再去靠自己。如果你已经很 ok 了，其实你不需要我指点了，这一步我没啥可指点，你就靠自己吧。 你自己吧，有十二点作业了，我做的快。那十二点作业回头一会我讲题型抄写的时候，你再跟着我抄下题型，做一些题型总结就好了。如果技术不好的同学，你就按照我的节奏来，我今天是把你们当主角了，我会慢慢的，我会慢慢的，我会控制我自己啊， 好了，第一题我不等了啊，第一个，第一个，这个玩意明显就是我瞎编的吗？这个考试怎么会出这样子的呀？然后说他求导，求导的话就是这一坨求导，一坨求导的话他加加加求导，我们按照加法的运算法则是不等于每一坨求导再相加呀。 好原理，简单介绍一下那三个导是谁来着？背三个导是谁说你们自己说啊，这个也不是考，我主要是背帮你们背公式啊。这三个导是几啊？ 这个考啊，尤其是第一次那个学的，昨天有同学来问我，那个洛必达不会的。那是明显就是你求导公式不会嘛。所以你就更得自己嘴巴张开了啊，别人早就会了啊，所以你要张开。所以这个 x 方的导是几啊？前面还有个四，所以它是几二四得几八，所以八几 x。 那 后面这个东西是考在以三吗？ 三以三它的本，它有 x 吗？没有吧，所以你要把它看成是什么常数，所以这里小心，不要掉坑。所以最后答案是，他这个零就不要写了，零就不要写了，懂吗？ 再来第二个，第二个是不是乘积形式？乘积形式我想考你的是乘积运算法则，所以他的岛能不能把它当成一个小悠悠，能把它当成一个小微微？因为，因为这一坨是没有求导公式的，所以只能把它看成乘积求导的那种形式去套用求导公式了，懂吗？ 乘积求导是怎么来着呢？是怎么说来着？前面导乘以，后面是不倒，再加上前面不导乘以，后面的导，后面导是不是就是自己呀？ 所以这里是不是一背的 ex 一 一我就不写了啊，这写的也太细了，所以就直接 ex 加上 s 背的 e s。 说一下啊， 这里如果是个填空题，请你帮我合并一下同类项，养成一个习惯，所以全部抬头一下。好的同学抬头一下，最后填空题的答案， 填空题一定会有求到题目的答案，请你答案进行一下。合并同类项合并同类项我们还是喜欢考察的。就是就是这种化简啊，喜欢让你合并同类项，有合并同类项的意识啊，把加加减减变成这种乘法的形式乘法的形式 好，再接下来第三坨是不是除法，是不是除法？所以我们想考察的是除法，预算法则除法，预算法则分母先什么 平方？那上面的导是几啊？靠，然后乘以几 x 再减去上面干嘛不导乘以下面的导，下面导是几口算是几 是不一，然后就没了，所以就变成它了啊。这里简单再啰嗦一点点啊，那你看，又有 m 又又又有三角函数，考三 x 乘 x 有 点不是特别舒服啊。建议大家永远把 m 函数放前面，三角函数放后面。 就是这个只是为了形式漂亮而已啊。就是写就是这个题，就是你不写他也没关系，但是看一下，咱们尽量让这个答案稍微干完一点点。就喜欢把我们说前面要轻一点，后面要重一点，后面那个东西要复杂一点，放后面去好不好，只是为了审美，为了审美啊。 第四题，第四题就不是我编的了，第四题是我从那个书上给他扣过来的啊，从一个本科书上扣过来的。我们看下第四题第四题的做法，我不知道有同学是怎么做的，我之前小班课讲的时候有同学我下去转了转，他把他音式分解然后全都拆开了，然后 全都变成。我看下第一项啊，第一项 s 三次，然后哒哒哒哒就写成那种多项式的形式可以的，然后再去调档是可以的，但是我的那就是这种形式也 ok， 听懂了吗？ 会吧，就是把它多项式展开吗？就是这里去展开之后再给他两相相乘再去展开变成这种多项式的形式，能听懂我的意思吗？但是我没想给大家去演示啊，这种去做求道也是 ok 的。 其实我在这里是想给大家去用哪个法则来着？用那个三项连成的那个法则， ok 吧。哎我先收一下是不是前面求道前面求道是几口，算一下 前面求道是几。关于 x 求道是几口算跟常数有关系吗？是不是只有什么？是不是系数几了？是不是二呀？对，二变了，一减 x 乘以几 s 加二，再加上前面这东西还是不是照抄，是不是中间这个东西？关于 x 求道 这个求道是几一看不看，常数不看，所以是几负几说负一，所以把这个这个东西改成什么号？说括号 好吗？来再来后面第三个是不前面照抄后面这里的导数几口算是几一，所以二 x 加三乘以几一减四，所以这是他的导数。但是这里我这里这里你自己下去去展开一下可以吗？ 我只给你演示一下第一头啊，第一就是第一头的话二减去二 x x 加它它它。那你帮我去展开一下啊，就是负二 x 的 平放在加 x 平方，再加上二 x 减去四 x 再加上四。反正你把它给我展开一下好不好？多项式去展开一下，自己下去去练习，如果课上跟不上的话不给你时间去练这个二项式展开，但是一定要自己去学会去把它展开展开展开。这个展开一定要对好吗？ 什么意思？最终的答案写成这个东西填空题给分吗？不给分不给分。不给分。最终的答案要求是什么呢？对一下答案啊，多项式的形式。什么叫多项式？多项式就是一坨相加，一坨的密函数相加一坨的密函数相加。就这个 就这个。就这个步的六 x 方变成这个样子懂吗？变成这个样子。嗯，很长，不会给你出很长的，不然的话他考察的就纯纯数纯高中的知识了是不是 那？但是我们的可能可能这篇题会用。嗯，不会出很长的啊，顶顶死了三个。 这里一定要化简一下啊。我课上不带你去练这种二项式展开了，因为我后面我准备的题目我担心我讲不完如果。那你不要偷懒，自己去慢慢去把它展开去啊。我担心我同学展开还是有问题的。嗯，不用吧，不用退，真觉得。 然后再去做一下。这里同样也不抄袭，也是为了背公式，巩固一下公式来，再接着来。快快快。咋了你有问题？ 呃，一会讲完这首之后讲啥呢？一会讲复合函数求导，所以我们休息之前先把基本求导公式背了，然后复合函数求导练了，然后下节课我们就可以开始去休息。回来之后说一下啊，你函数方程，他说方程求导，还有些复合函数求导 有下节课就就就属于就属于干就是有点体型练习了。现在还是基本功啊。现在是基本功。 所以第一个的导快速口算是几啊。二加 e x 加 x 分 之一加三 x 等于几三再加减和三 x 你 说考试会出现这种题吗。绝对不会的啊。这个就是明显我为了凑公式把它都凑到一起的。然后这个东西的导是几来着。 这个东西死背一下啊。这个摊着倒我发现有个人是不熟的他的倒是多少来着。 second x 什么平方这个请你记死一点。其实这个考的还比较多一点啊。三摊着倒是他然后第三个第三个来一下。首先这个东西可不可以不看 因为三以七分之派就是个什么数长数所以它就等于前面这个东西的导对吧。来根号 x 导死背那个公式等于多少来着。二倍根号 x 分 之一乘以三 x 再加上根号 x 乘以几。考三 x ok 吗。 好了啊那这里需不需要通分呢。不需要了，就这吧没啥可通。 不需要通风不需要通风。通风也可以。但是不需要通风啊。我们可以合并同类项但有的时候没有强调说必须通风。那我们看点正常的题目吧。那这些题就不是我编的了你就正常的去做做吧去求求吧，多好。嗯会的同学我要求你快还有对就是把每一次求到都练到快， 练到不快而且对而且还得对啊。求到又快又对。练吧这种东西只能通过大量的刷题去练出来了因为没什么可讲的。说实话我也不知道要讲啥我就死淘公式我也没啥什么方法去做的， 所以自己动手练。 导数计算是最简单的计算啊。我们三大计算嘛，导数是最简单的计算，极限的话还稍微有一点，就是可以去讲一讲，然后再解出公式，但是极限当中还有东西叫洛必达呀，所以你求到要不要回， 然后后面如果第一站的极限全都不会做的，全用诺贝尔去做，只要你去求导，所以求导一定要自己去练，一定要自己去练。答案我忘记了，我看一下啊，你看答案有调查， 这些都不需要抄啊，因为这些你书上好多求到的题目，它没有什么特点，就是死求的。它这种东西就是死求的对吧？就纯纯死求的，你就备注公式，备注法则就差不多了。 所以我觉得也没有什么可抄的，除非你做错的。做错的题你可以去抄抄，那肯定是有一定的原因的，可能能反映你的问题。 我记得我有哪个题的答案是错了，但是我没来得及改。这里应该没错的吧。好像没有错的。这里没有错的。后面那个题有一个题的答案是错了，我要提醒我一下，难敲错。 说一下答案的形式啊，这个答案上面全是符号，符号，然后我就是可以提一个符号，但是这两个其实都可以的，你可以不提，也可以像他这样子把这个符号提到前面上面都变加号也行，也可以选择不提。 我一会把它简单讲讲啊。简单讲讲做完的同学你就接着刷你的，刷你的，你就拿着你的题去刷刷其他题就行了，没什么问题的话真的就没什么问题了。 ok 有 问题的话可能现在还在很痛苦的挣扎当中。 需要草稿纸吗？我有写完了告诉我一下 好了吗？好了讲一下第一个啊。第一个它是个分式，分式求导的话分母平方。分母平方有两种，一种是这样子的书写，一种是这样的书写，把二写到浪和 s 中间它俩都叫整体的平方。 哦好了我我写哪种呢。我写这种吧，因为我的答案是那种我再换一种好了。分母平方那上岛的话请你快速口 算上导是几啊有常数可以根本忽略掉是一，所以一乘以零 x 再减去 x 加一这个东西的导再口算一下它等于减 x 对 x 分 之一乘分之一对然后这里说一下最终的答案不能出现两条横线，所以上下同乘以谁 x 所以 x 零 x 减去 x 加一。我这里要弄慢一点啊，就是这里的符号这个东西 不要错了，因为有同学会错的有同学会错的啊这里的符号其实去完之后应该是减 s 再减 e 如果你不能保证自己那个符号弄对请你先带上减去这个整个的括号好吗？肯定有同学错的。我这里每次说的都是废话啊。因为都是你们常见的问题 然后再来第三个第三个第三个他也是个分式，所以分式的话是我们近些年很喜欢考的啊。很喜欢考的，因为他求完一阶导之后可能紧接着让你对这个东西再进行二阶导。那是得求死你， 所以所以你这你这个每年呢就光这种求导也会死掉一半，十个人能死掉五个人这也是岔开就是会拉开差距。那我不会画了分母再平方。那上面的导是几啊， 是不是负几？负三 e 然后下面是不是它乘以它就就乘以它，对吧，再减去考三 e x 来分母的导帮我口算一下是几啊 二 x 吧。所以这里这里这里调整一下位置啊，这里稍微调快一点点减去几二 x 考三 x。 那 就写它吧，就是我也不太想把减了就它就行了好吗。过了啊， 然后然后做吧。刷这些应该都是作业上面的题，大家都能穿了。刷刷刷，刷完之后你就再接着玩自己的，没刷完的同学注意听讲，慢慢带你慢慢带你慢慢带你啊。导数咱不能扣分啊导数扣分的话 第二个章节其实我对你们的要求导数在专升本考试当中一分都不能扣啊一分都不能扣，不管你的程度是什么导数你但凡扣两分你想上一百分都很难，因为导数是最简单的啊。导数是最简单 我应该不快吧，我已经很努力的控制我自己了。 你写完你就看我一眼，我依你的标准。 第二个两个题都写一下啊两个题都写一下。 那个竖线是什么？竖线啊，竖线的话这个东西就是我昨天昨天简单它相当于就是就这个意思就是首先你是求的是 y 撇， y 撇本来是一个 x 的 函数嘛，但是这里是一相当于是某个点的导数值 一点出来的导数值 旁边提了一下，但旁边提的也有有点 导出章节的话灰的同学你就自己慢慢玩你的啊这个东西你就把它把它速度练到快就行了，但是导导出章节的话我必须照顾弱的宝宝了，因为这个章节我是不太允许扣分的。也不是我不允许，是这门考试不太允许你扣分啊，扣分就上不了岸了。 你好好，我讲了啊，那第一坨它首先加法加法这里是不是个常数，我脑子里面会自动忽略掉好吗？对，一定要练，感觉练速度这个东西只能通过题海战术去刷了啊。然后这个东西是不是看成 u 和 v 呀？ 那你再看传递求导前导是几啊，口算是几啊，一一乘以它再加上 x 来这个导这个导这个导的话复习一下公式。 这个东西的导我求导公式没给你讲，因为刚刚只是让你抄了，所以通过碰到这里我们讲一下它是 x 分 之一，但是因为这里的底是 a， 所以 还会多一个系数叫浪几啊浪 a， 最好把浪 a 写前面去。常常写前面去啊，我这里写的可能有点不是特别，但是我为了 x， 我 担心你把它变成后面 a 的 那个，我只可以把 long a 写后面去，所以因此这里它就是减 long 减二。不不，还是把这个 long 写后面去，不然很很很容易看成 long 二 x， 你 懂我意思吗？ 是不是很容易看到 no 二 x 呀？如果你把它写成 no 二 x 是 不是很容易看成 no 二 x 的？ 嗯，最好把这个 no 二写什么？写后面去啊？写后面去，然后没了，然后这里咔嚓是不是一约？最后答案 no 以二为例的 x 再加上 no 二分之一 好吗？来第五个。所以注意你的书写啊，书写这些东西就是很小的细节，很小的细节啊。然后第第第五题，第五题求导，再说一下这个东西是什么意思呀？这个东西是导数的意思，它是一个函数，导数它求完导之后还是一个函数， 然后这个是 s， 等于一，它是某一个值的导数，把里面的 s 统统变成一就好了。来看一下 y 条， y 条的话是不是乍眼一看还是个乘积形式？没毛病吧， 他是个 u， 他 当个 v。 那 前面的倒是不是口算那个公式再写一遍，根号 x 的 倒是不等于二倍根号 x 分 之一， ok 吗？没问题，同学再啰嗦一遍啊。就是就是，有问题同学就在反复的去巩固他每天重复个百八十遍，你就我就不相信你不会了啊。所以根号 x 等于它。然。

各位同学大家好，我们继续来讲复合函数的导数。复合函数的求导，我们首先需要进行一个分解的动作，也就说需要区分内外层函数。 内层函数我们记作 u 等于 g， x， 那 么外层函数 y 就 等于 f， u 是 针对 y 等于 f， g， x 这样的函数。然后大家注意，我们现在的求导都只针对 x， 所以 我对 y 求导 本质上就是对 x 求导，但是呢，我们又只学过对单一的这样的变量进行求导，所以就需要区分内外层。区分内外层之后，外层函数 的导是对 u 进行求导，然后内层函数仍然是针对 x 的 导， 所以记作 u 一 撇 x， 那 么给他各自求导子之后进行相乘。好，我们永远牢记最终的求导永远只针对 x 的 导， 所以我们还需要进行一个回代的动作，也就是把我们刚刚替换的 u 变成 x 刚才那样的解析式，那么这样就完成了复合函数的求导。 接下来我们来看立体，在初学的时候，建议大家严格按照四步进行，首先第一步，内层函数 是三 x 加五，外层函数那么就变成了 u 的 三次。好，接下来对内层和外层分别求导，内层求导是针对 x 的 求完导之后是三， 外层求导是对这个 u 进行求导，所以是三倍的 u 的 方， 那么整个函数针对 x 的 导就是外层函数的导，乘以内层函数的导， 组装三倍的 u 的 方，再乘以三，那就是九 u 的 方。好，还没完，因为最终我们所有都还是要还原到 x， 那 么把 u 再还回去，是三 x 加五的方， 所以大家永远牢记，我们需要初学阶段需要进行四步分解，各自求导， 然后相乘，最后回代。 好，我们再来看第二题。第二题首先区分内外层，内层又等于负的零点零五， x 加一 y， 从 y 等于 e 的 u 次各自求到 u 片 x 负的零点零五， y 层求到 y， u 片等于 e 的 u 次组装 y x 片就等于 y u 片，再乘以 u x 片， 那就是 e 的 u 次再乘以负的零点零五。好，最后一步整理，并且完成回代 e 的 负零点零五 x 再加上一。 第三题，内层 u 等于二 x 减一，外层 y 等于以 e 为底的 u， 内层对 x 求导等于二，外层对 u 求导 u 分 之一 组装 y 片， x 等于 y u 一 片，再乘以 u x 一 片， u 分 之二回代二 x 减一分之二。 好，那么同学在练完这几个题目之后，其实慢慢地就可以找到规律，加快速度，大家可以发现 歪撇最终就是我把这个三 x 加五作为一个整体，作为一个整体，对它的这个整体求完倒了之后，然后再对内层 进行一个求倒这样子组装，所以我们慢慢的可以加快速度。 怎么样子加快速度就是不再进行换元，把三 x 加五作为一个整体，虽然不换元，但是你要把它作为一个整体号，整体的这个东西不要动。 那么对于三 x 加五的三次这样一个整体去求导的话， 三倍的三 x 加五的方。好，整体求完倒了之后，内层求倒，内层是三 x 加五，所以是三倍的。最后组装 九倍的三 x 加五的方，也就说虽然不换元，但是你要做到有一个整体的思想。好，那么第二题加快速度， 这个外层就是 e 的 多少次，那么 e 的 多少次，它的导就是它本身，所以 e 的 负零点零五 x 加一。 好，外层求完倒了，内层求倒，内层是负的零点零五， x 加 e， 它求完倒之后是负的零点零五，所以最终是负的零点零五倍的 e 的 负零点零五 x， 再加上 e。 接下来第三题，整体，把二 x 减一看成一个整体，所以以 e 为底的 x， 它的导是 x 分 之一，那么就是二 x 减一分之一， 然后内层的导是二，所以最后组装完是二 x 减一分之二。 好，接下来我们来看便是训练。首先第一题，根号三 x 加一分之二，那么我们就知道，哎，这个函数，它的这个外层应该长的是根号 x 分 之二， 那根号 s 分 之二。这样的函数，我们给它去求导的时候，首先需要对它进行一个指数运算，所以是二倍的负 x， x 的 负二分之一次。所以我们首先先把原函数改写一下，改写成二倍的 三 x 加一的负二分之一次。好，接下来我们快速求到外层，把三 x 加一看成一个整体的话，外层函数是一个 逆函数，所以它的求导二乘以负二分之一，再乘以三 x 加一的负二分之三次。外层求导求完了，内层是三 x 加一，所以它的导是三。好，最终化解 负三倍的三 x 加一的负二分之三次。接下来第二题， y 撇等于 外层函数还是一个幂函数 x 三次，那么它求完倒之后是三倍的一减二 x 的 方，内层函数的倒负二，所以最终是负六倍的一减二 x 的 方。 接下来第三题，外层函数是以二为底的 x， 那 么它求完倒之后，应该是二 x 加一倍的以 e 为底的二分之一，然后内层函数求倒是二。 接下来第四题， y 一 撇，等于外层函数是 cosine x， cosine x， 导是负的散引 x 好， 然后还要乘内层函数的导是三分之一，那么最终我们再把三分之一给它乘在前面，所以是负的三分之一被的散引三分之 x。 第五题，大家注意，像第五题这样的函数，我们首先啊，要么就是先求导再画箭，要么就是先画箭再求导，那么我个人是喜欢先画箭再求导 好，我们化简的原因就是因为它里面出现了一个二分之三派，二分之三派呢？我们需要用老公式把它给化掉。那么首先散引二分之三派减三 x， 它出现了 二分之三 pi 的 话，我们知道它肯定要变名，但是变名之前还需要解决一个 pi 的 问题。好，三引 pi 加 r 法，那它就等于负的三引 r 法，所以是负的三引二分之 pi 减三 x。 再用次诱导公式，二分之派减而法，三引二分之派减而法就等于负的 cosine 而法，所以最终这个函数就是 y 等于负的 cosine 三 x。 接下来求导内层，按，外层函数是 cosine x， cosine x， 导就是负的三 x， 负负得正，所以是三以三 x。 然后呢，内层函数导是三，所以最终是 y 一 撇，等于三倍的三以三 x。 第六题， 外层函数是二得 x 次，二得 s 次，那么它的导就是二得 x 次，再乘以以一为底的二好，然后内层函数它的导是二， 那么咱们发现还可以进行指数运算，二得二 x 加二次，再乘以以一为底的二， 继续练习 e 的 负二 x， 它的导。好，那么大家注意，在这里我们遇见 e 的 负二 x 这样的以 e 为底的这样的函数的时候，我们通常 当然它进行指数运算的话，我们是可以理解成 e 的 负二次的 x 次， 当然我们也可以把它看成是 e 的 u y 等于 e 的 u 次，然后 u 又等于负二 x 这样的呃，一个复合函数，那么咱们对 e 的 负二 x 次有这样的双重理解的话，就会导致每个人对于求导 的方式是不同的。但是这里老师想要告诉大家，我们约定约定但凡看见以 e 为底的多少次这样的一个函数的话，我们统一把它认定为关于 e 的 x 次这样的复合， 我们统一把这样的函数看成是 e 的 x 次的一个复合函数的原因，就是因为我们已经研究清楚 e 的 x 次这样的基本初等函数， 呃，它的这样的函数性质，那么 e 的 负二的 x 次就是把 e 的 负二次作为一个底啊，作为一个指数函数的底， 这样的函数我们是没有研究过它的，所以以后约定我们统一把 e 的 u 次这样的函数就看成是 e 的 复合函数。那么好，这个题本质上就是对于复合函数的求导，一撇就等于外层函数还是它本身，然后内层函数的导负二，所以最后是负二倍的 e 的 负二 x 次。选择二 b。 第二题， x 分 之一， x 分 之 a 的 倒，它应该是负的 x 方分之 a， b 选项 x 乘以 a 的 x 次，这是一个乘法法则，前倒加后倒，那么一看见以十为底的 a， 它肯定是错的。 接下来第三个，第三个是一个复合函数求导，外层函数的导是 a 减 x 分 之一，内层函数的导是负一，那么最终把负一放在分母上，所以是 x 减 a 分 之一，那么 c 是 对的 d 选项大家要注意，它的迷惑性比较大。首先它是一个加法法则，所以 前面这个函数它的导是 a 倍的 cosine x， 后面这个 cosine a 是 它的这个常数，所以对于常数的这个求导是应该保持不变的。然后呢？ x 的 导是一。

奶茶老师解题小课堂啊，那比如说这样一个函数，各位可以看到它和 sin x 这个函数也有千丝万缕的关系，但是很可惜，它不是 sin x， 是 一个 sin t。 看，老师已经在做心里画圆的操作喽。 好，其中这是叫外层对不对？哎，三 e t 啊， y 等于三 e t， 这叫外层函数。好，那其中 t 等于什么呢？ t 是 一个一次函数哦， 这东西是不是要内层内层函数对不对？好，那我们要求 f p s 的 话，那你看，等于外导乘内导喽，来吧，外导三 e t 的 导，还记得吗？设就是扣三 e t。 好，各位别忘了，做导数题时， t 是 我们自己换的元，所以把 t 呃，在考试时一定要写回 x 模样， t 不 就是二 x 加三分之 pi 吗？好，这个东西就是 y 导哦， 看得懂吧？哎，好，然后乘以内层的导，那内层的导 ax 加 b 这种一次函数求导时就剩一个 a 就 行了， 结合前面的运算，是不是？好，所以呢，二 x 加三分之派，你对它求个倒，就剩一两，就剩剩了两倍数就行了。好，所以很简单，等于二倍的口塞， x 加三分之派。 好，那这里我们强调一下哈，出现了一个这个易错， 哎，就是有同学识别不输， 这是一个复合函数了啊， 好，怎么错的，我就不讲了。好，也就是各位现在，哎，怕错的做了精神污染。好吧，所以各位呢，一定要注意识别出复合函数啊。啥是复合函数？就是你看到 它这个函数形式和我们熟悉的函数形式非常相像，但是呢，又不太一样，能感受到吧。哎，那你换一个函数形式，和我们熟悉的函数形式非常相像了。 哎，这种样子其实是复合的样子啊。那你不能把外边这个内倒是吧？你不能把这个二给丢丢掉啊？好。

二十期考研请记忆常用等价无穷小基本求导公式，莱布尼兹公式 复合函数求导，反函数求导， 以函数求导，参数方程求导。常用麦克劳林公式。渐近线 曲线曲率半径公式。基本积分公式变现积分求导。

欢迎来到期末不挂科系列之六小时速成高等数学本课程覆盖高等数学上册所有考点，欢迎大家追更学习。哈喽，同学们大家好，那今天呢，我们来讲一下第二课导数 来，我们在讲导数之前，要先知道一些常用的求导公式，这个是我们做题的一个，基本一共有十六个，那需要值得注意的啊，比较重要的，高频出现的是前十个， 呃，第一个常数求导，不管这个常数是谁，求完导就变成零了。第二个和我们的第六个，这两个啊，记得要区分开。第二个呢，它是密函数。第六个呢，它是指数函数 啊，幂函数求导，我们要把这个次幂 u 往前提，并且相应的次幂要做一个减一的处理，所以求完导应该是 u 乘以 x u 减一次幂，比如说 x 三次方求导，三往前提，三再减一，三变 x 平方，完事了， 那这个指数函数求导特别容易混啊，底数是 a 啊，它求导应该是它本身再乘上一个 lo 二， 这两个特别容易混啊，你比如说 x 的 四次方和四的 x 次密，这两个求导的时候一定要分清哪个是密，哪个是值啊，这是二跟六啊。 然后这个 e 的 x 特别好记啊，一般来讲都没有人记错，它的求导就是它本身，包括我们后面讲积分，它的积分也是它本身。好。第八个啊， long x 求导是 x 分 之一，这个也比较简单啊，剩下的就是我们的三角函数了， 只要这个三角函数带正字，环岛都是正的，比如说正弦，比如说正七，比如说正歌啊，这三个都是正字的啊，全岛一定就是正号的， 那如果带余字就不带正字的，你看这个余弦，你看这个余期，你看这个余歌，全岛，你看，是不都会存在一个符号啊，对吧？这是我们的一个记忆方法啊， 包括我们的反三角函数记忆也是一样的，反正弦，对吧？反正切，只要带正字，它全倒都是正的，这就是我们的求导公式。好，求导公式讲完之后呢，我们来看一看啊，它的一个运算法则无非就是加减乘除。 我们来看第一个和第二个，这两个是加减合在一起看啊，两个函数相加或者相减进行求导，本质上就是各自求导，再去相加减一部分一部分算。比如说你举个例子啊，我们看这个加哪，三 x 加上三 x 求导，那就是三 x 求导展开啊， 就是三 x 去求导，然后三 x 再去求导，自己求自己的，来个加号就完事了。各自求导再相加啊，减号也是一样的啊，加减看完看乘除啊，看乘 乘呢？如果两个函数相乘去求导，这就是著名的什么前导后不导，再加上前不导乘以后导。比如说举个例子， 前倒还是它本身后步倒照抄，加上前步倒照抄乘以后倒，三点求完，倒是扣在是乘啊除呢。两个函数相除求倒就是著名的什么呢？分母的平方分之上倒，下步倒减去上步倒下倒， 这个式叫背下来啊，包括这个也是一样的，回去自己看一看啊，好。然后衍生出来的是一个常数啊，也是两个函数相乘求这个导。但你要注意啊，其中有一部分是一个常数， c 在 这里是常数啊，常数是不参与求导的，你只需要对后面的函数求导，前面的常数直接乘就可以了。 x 平方，求完导是二， x 乘以前面的二四 x 就 完事了。这就是我们的一个运算法则，不需要把它背下来。 好，那这些法则呀，公式讲完之后，我们就正式去运用它了。第一个类型题，就是直接求导的题目，就用公式，就用那些基本出等函数的公式去求导。第一题， 三部分相加，最后求导各自求导再相加呗。 x 三次方，这是啥？这是不是密函数呀？所以求完导是三倍 x 平方。好，第二项啊，第二项，首先常数不参与， 我只需要对 cos x 求导。 cos x 求完导是不是负的 sine x 来接着啊。第三项， sine 二分之 pi 等于一的呀。在图像上， sine 二分之 pi， 它是等于一的啊，所以它是什么？它是一个常数，常数不管这个常数多大多小，它求完导就没了，就是零，所以是减零 啊，所以整理一下，是三百平方，减去四倍的三， x 就 完事了。能听明白啊，那简单看一下我们的一个分析思路以及做题的格式啊，你最终需要写的其实就是这个式子，前面这一些都是我给你分析的，都不需要写。 来，我们看第二题。第二题呢，它是三个部分相乘进行求导。三 e x cos x 咱不参与，我们就把三提到前面去啊。所以外导等于我们是不是只需要对 e 的 x 和 cos x 这俩函数相乘之后进行求导？那就是著名的什么前导后不导，所以就是前导，它本身后不导照抄加上什么前不导照抄乘以后导后导是不是负的三也 没问题吧。好，所以求完了，整理完，我们把它打开，三倍 e 的 x 乘以 cos， 然后再减去三倍 e 的 x。 三 x， 那 就是三倍的 e 的 x， 然后括号里面写 cos 减去 cos。 这也一样啊，都是可以的， 能听明白啊，这是我们的第二题。好，第二题可以看一看啊，解析步骤啊，知识点，用到的就是前导后不导。练习一啊，练习一看好了，用的公式是啥？这是消除，所以是上导下不导，这是相乘，所以是前导后不导。回去自己做吧。好吧，这俩题没有什么难度啊，就当做练习题，自己练一下，看一下答案，回去自己对。 好，我们一阶导破球了，后面我们可能还会遇到求二阶导和高阶导的题，我们先来看二阶导，很简单，就是对一阶导得到的这个函数，我们再对 x 求一次导数，就得到二阶导了啊。 看这道题，我们先求一阶导，就是一加 x 方，分之二 x， 对 吧？再求一次导，就是分母的平方，然后上导下不导减去下导上不导，化简一下分子，就是二减二 x 方，我们记作 f x 两撇。 好，二阶导我们会了。有时候我们遇到难一点的题，会让我们求 n 阶导数，怎么办？比如说让我们求二十阶导，我不可能真的算二十遍吧，考试都结束了，所以对于求 n 阶导数的问题，我们的思路是先求前几节，然后寻找规律， 最后我们再写出通项公式。比如说我们这道题，求这个函数的 n 阶导数来，我们先按不就班求它的一阶二阶三阶导，看看能不能发现什么规律？一阶导前导后不导，加上前不导后导。 我们再提个公因式， e x 出来就等于 e x 乘以 e 加 x。 二阶导在 e x 乘以 e x 加 e x， 就是 e x 乘以二加 x。 哎，好像有点感觉了啊，我们再求一个看看。三阶导，在二阶的基础上求导同样 e x 二加 x 加上 e x。 整理一下， e x 乘以三加 x。 好 了好了，规律特别明显啊， e x 和括号里的 x 一 直没变，唯一在变呢，就是括号里的这个常数，几阶的它就是几，那我们就可以写出它的通项公式了。 n 接导数 f x， n 就 等于 e x 乘以 n 加 x。 那 要是求二十阶导，就是 e x 乘以二十加 x 嘛，是不是就很简单啦？ 再来做一道练习题，求这个三角函数的 n 阶导的通向公式，也是一阶一阶去求，然后发现规律。这个需要注意的点呢，就是正负号的确定，我们看求出来的前四阶的结果，符号就是正负负正，这样四个一组去循环。 这个我们用负一的 n 次方肯定不行，因为它不是简单的正负正负交替。我们需要在三角函数括号里去加一个二分之 n 派，这样我们根据奇变偶不变符号，看象限就能去规定它的符号了。啊， 好高阶导数。这里呢，还有一类题型题目，不让你去求高阶导数的通项表达式，而是让你去求高阶导数在 x 零处的取值。 哎，这种题我们可以用到一个非常好用的性质啊，就是导函数的奇偶交替性，就是说奇函数求导是偶函数，偶函数求导呢，是奇函数。我们看这道题， x 三是奇函数， q 三 x 是 偶函数，说明我们的原函数是一个奇函数， 那基函数求导，它的一阶导就是一个偶函数，再求导二阶导就是一个基函数，依次类推。第五十阶导是什么呀？我们看前面是不是二阶导，也就是偶数阶导都是基函数呀，那么五十阶导也是基函数，基函数在零处的取值我们就知道了是零， 这样我们这道题就做完了。考试通常会出一道填空题啊，我们接着往下看啊，用公式直接求导。讲完了，我们来看第二个复合函数求导以及求微分。复合函数求导应该怎么去求呢？ 我们给大家就是三个步骤，第一步是找 u， 第二步呢是换元，第三步呢是求导。在这里我们解释一下啊， 前两步合在一起啊，找 u 和换元，我们的目的是为了什么呢？是为了找到它的一个内外层， 你把它的内外层找到了，我们再进行求导，当然这个求导你注意啊，是各层求导再相乘， 有几层你就乘几层。第七题给了一个函数求外导，这个函数一看就是一个复合函数嘛，对吧？因为是二 x 加五的四次幂，又不是 x 的 四次幂，它要是 x 的 四次幂，那不就是逆函数了吗？好，复合函数会分辨啊， 找到 u， 找到内层换元就是找到它的外层呗，对吧？ u 在 这里是谁啊？ u 在 这里其实就是二 x 加五，所以整个函数换完元是不相当于 u 的 四次方啊，对吧？这不就是我们一个拆的过程吗？啊，你看，你就把它理解成为拆， 那完事各层求导再相乘 u 的 四次方，求导是不是四 u 三次方？那我们把它带入进去，四倍二 x 加五到三次方，因为 u 在 这里是我们自己设的，你不能写 u 啊，因为有同学还会设 t 呢， u 跟 t 题目当中是没有的啊。 然后是二 x 加五进行求导，二 x 求导是不是二啊，五求导是不是没了，那不就成二了，求完导之后的结果进行乘积啊，所以最后的外导 就是八倍二 x 加五三次幂。这是我们的第七题啊，第八题一样的啊，来找 u 啊， u 在 这里是内层 啊，所以 u 其实就是一加 x 平方，内层啊，那外层呢？外层不就是 long u 了吗？没问题，换元吧，换成了 long u 啊，好 long u 求导，它求完导是不是 u 分 之一啊，那就是一加 x 平方分之一， 那一加 x 平方这个式子我们要进行求导，一求完导是零 x 平方，求导是二 x， 那 就是谁，那就是二 x， 那 这两层结果进行乘积，所以最后外导是一加 x 平方，分之二 x 就 完事了。 所以这两个题并不难啊。来说一下啊，负函数求导，同学们，毕竟打五颗星，它是我们求导里面的万恶之源，所有函数一般都会涉及到负函数求导，所以很重要啊， 我们看一下他的一个解析思路啊，包括解析步骤以及他的一个解析方法啊，回去自己看一看，继续往下看第九题和第十题，然后这两个题我就同时给你了，我们看一下啊，函数不重要，我们看他求的是什么，求的是 d y。 我们在函数求导这一块啊，会涉及到三种问法。首先第一种问法就是很简单，像我们刚刚讲的求外导，问你外导等于什么，你就该怎么求，求完之后直接填就行。如果问你的是 d y 比上 d x， 它跟第一种问法是完全一样的， 因为我们的一阶导啊，如果写成微分的形式，它就是 d y 比上 d x， 那 第三种问法，如果问 d y 等于什么，你应该怎么求？根据这个式子，我们来推导一下啊， d y 是不是应该把 d x 乘过去， d y 应该等于 y 导乘以 d x， 所以 如果问你 d y， 它应该等于 y 导乘以 d x， 本质上还是求外导。但是最后的答案当中要带一个 d x， 你 如果不带这个 d x， 你 前面导求的再对这个分他也拿不到， 所以 d y 和 d x 是 不分家的，前面有 d y， 后面有 d x， 五六题明白了，本质还是求导后面要加个 d x 啊，找 u 换元，然后再求导 来 u。 在 这道题当中，是不是二 x 加一啊？所以整个函数是不是就 sum u 了呀？它求完导是 cosine u， 所以 是 cosine 二 x 加一， 然后二 x 加一，求完导是谁？是不是就只剩二了呀？所以最后答案啊，我这个 d y 导公式来， y 导 乘以 d x， 所以 最后答案是二倍 cosine 二 x 加一，没完事啊，你这么写没有用，老师我这答案写的多对啊！是对，但你最后没有加 d x 没有用，所以要把 d x 添上。你一定要眼睛睁大了看清楚考试的时候他问的是什么。这是我们第九题啊，第十题一样， 它是由两个函数将乘的形式构成，前面是个很基本的除等函数，就是一个三角函数，直接用公式就可以了。我只要讲前面啊，我们要求一下外导啊， 这个 e 的 一减三 x 求导 u 在 这里是不是相当于一减三 x 呀？整个函数还原元是不是 e 的 u 啊？ e 的 u 求完导是不是还是 e 的 u 是 e 的 一减三 x， 一 减三 x 求完导是不就只剩下负三了呀？所以前面求完导是负三倍的 e 的 一减三 x。 好， 这是前导啊，后不导就照抄，然后加上什么前不导，那也照抄 乘以后导后导。 cosine 求反导，它不带正字啊，所以求反导是负的啊，应该是负的三 x， 然后进行化简。你去提一个公式，提负的 e 的 e 减三 x 次密嘛，整理完负 e 的 e 减三 x 次密，括号里乘的是谁？是不是三倍的？嗯， cosine x 加上 cosine 就 完事了嘛。好，最后啊，套公式啊，我们的 d y 是 不等于 y 导乘以 d x 啊， 这一堆你再抄下来，后面来个 d x， 搞定了吗？明白了没？这就是我们第六题啊，看清楚问的是什么，问 d y 一定不要忘记 d x 求地外两步走，看见没？第一步求外导，第二步逃公式公式。在这刚刚我们讲的考试当中，就三种问法，看清楚问的是什么。这题啊，一共有四个，看清楚问的是什么，前两个问的是外导，后两个问的是地外。回去自己求一求啊，包括答案也在这里，求完之后自己定正。 第三个类型题呢，是引函数求导来这个词啊，有人可能会问老师，引函数是什么？我们之前所见到的函数啊，比如说像刚刚我们讲的什么三减二 x 加一啊，或者说 e 的 一减三 x 呀，我们之前所见到的那些函数啊， 都叫做显函数，是 y 等于什么，什么 x 的 形式，就是 x 跟 y， 它彻底的分开了。换句话来讲啊， y 可以 由 x， 它直接去表示， 这个叫我们的显函数啊， y 在 左侧， x 在 右侧，或者 x 在 左侧， y 在 右侧，它是彻底分开的。那隐函数是什么意思啊？就是这个 x 跟 y 啊，它没有分开，它可能会出现在等号的同一侧。你比如说啊，我给你举个例子啊， e 的 x， y 是 m， 加上二倍的 x， y 等于 y， x 跟 y 是 不是没有分开啊？它出现在等号的一侧呀，那像这种就是引函数了，所以在定义上就是 y 不 可由 x 直接去表示，它必须出现在等号的一侧。 好，所以我们看第十一题，我们要先去分辨他是不是一个引函数，这个是我们值得注意的啊， x 平方减外方等于一，他是不是没有分开，对吧？有的可能会说，老师我把这个外方移过去，或者把 x 平方移过去，那不就分开了吗？对吧？我再开个问号，没有问题。所以引函数啊，我们其实是分为 可以显化的，还有一个是不可以显化的，我们考的没有那么细，你看他给的这个式子，是不是他没有分开， 没有分开，你就按照引函数的求导方法去求就可以了。有的题目当中还会告诉你这三个字，引函数，就算他没有告诉你，你也要会分辨。引函数。求导的方法，我们叫做左右同导法， 就是两边要同时求导，我这边要求导，我一也要求导，那右边求很好求，那就是零。 左边球是个关键，来第一项球也简单，是不二 x， 关键是这个什么外方。嗯，我们的这个引函数啊，本质上它不还是函数吗？所以自变量是谁？自变量是不就是 x？ y 在 这里是函数， y 是 含有 x 的 一个函数， 它这个 y 呀，它减写了。你如果展开写呀， y 是 等于 y x 的， 那 y 方就相当于是 y x 整体的平方。那如果我想对它进行求导的话，你要把它看成复合函数啊，是不是相当于 u 方，然后 u 等于 y x u 方，求导是不是二 u？ 那 我们再把 u 反带回去二倍的 y x 吗？好，那 y x 进行求导，正好求，不就直接一个撇吗？因为它是抽象的，我不知道定义式啊，对吧，你就一个撇就搞定了呀。 所以减去谁，是不是减去二倍 y x 再乘以谁 y x。 导 来继续，我们要把这个 d y 比上 d x 解出来，我们要的是它，它是谁？它是不是 y 倒啊，那它应该怎么解？把这一项移过去啊？所以二 x 就 等于什么？等于二倍的 y x， 再乘上 y x 的 什么，倒 好，两边同时除以二啊，就消掉了嘛。所以 y x 的 导，把 y x 除过去，是不是 y x 分 之 x， y x 是 怎样？ y x 不 就是 y 吗？左边 y 导就是我要的 d y 比上 d x 呀， y 分 之 x 就 完事了。老师，那我们刚才所求的那些导数啊，最后答案中他是不含有 y 的， 都是 x。 嗯，第七题啊，就引函数求导当中怎么还还有 y 啊？注意一下啊，我们引函数求导最后的答案当中，他可以含有 y， 因为它是引函数，我解不出来， 来，我们看一下它的一个分析的思路啊，包括它的一个答题格式来看一下。好，这是我们的第十一题，我们继续往下看。第十二题完全是一模一样的。 x 和 y 是 不是没有分开？ 这一项是不是又有 x 又有 y 没分开吗？左边求导啊，就是 y 导，那右边第一项不就是零吗？对吧？减去 著名的前导后不导啊，前导是 e， 后不导呢？就把它照抄，再加上前不导照抄啊，乘上后导。注意啊， e 的 y 次密啊， y 在 这里可是函数，你把它写全，可是 e 的 y x 次密，所以 u 在 这里是 y x， 它是复合啊。 好，然后呢？是 e 的 由次幂，那求完导呢？ e 的 由次幂求导，是不还是 e 的 由次幂还是 e 的 y x 次幂 e 的 y x 次幂 y x 求导是谁？是不是就是 y 导 x？ 那 接下来应该怎么做？ 就是解了吗？那也就是 y 导 x， 来，把它展开吧，零就别写了，把符号把它开进去，对吧？ 负的 e 的 y 次幂，对吧？然后括号再打开，是不是减去 x 倍的 e 的 y x 次幂，再乘以 y 到 x， 把含有 y 到 x 项放在等号的一侧吗？这个含有，这个是不是也含有啊？来，放到一侧去啊， y 的 x 乘以 e 的 y x 再乘以 y 到 x 等于负的 e 的 y 次幂。 来，你看，做到这的时候把它解出来啊，把含有 y 的 x 向提出来，你看括号里乘的是它，再把它给我除过去，变成它了。把所有的 y x 都换成 y， 就 不用写 x 了啊，就直接写 y 了。所以最后答案这个是怎么？没问题吧？这就是我们的第十二题， 来，接着往下看啊，第十三题，我们是求几节导，看好了啊，求的是二节导这个式子啊，就 d 方 y 比上 d x 平方，这个表明的含义是二节导，一定是先求一节，在一节的基础上继续求，才会变成二节。 一节怎么求呢？左右通道方案我们来看一下。首先两边导，两边导的话，右边是好导的，对吧？右边导完不就是零吗？那左边导完 第一项，这是不是二 x 呀？那这一项呢？四是不参与求导的，各位啊，四不用参与求导，外方导完是不是二 y 再乘上外导啊，所以等于零啊，你把外导解出来，所以外导解完之后是它，这就是我们的一阶导吗？是在它的基础上是不要继续求导啊， 左右同导法，接着再用一遍，没问题啊，在外导 x 上两边导，那左边是二阶导，那右边呢？你看下右边啊，右边是对这个十字球导， 负四分之一，它是一个常数，你要把它提出来，你不然带着它算会很麻烦啊。负四分之一提出来，只需要对这个十字球可是有分数线啊，是两个函数相除的形式呀，所以肯定会用到分母的平方分之上导，下步导， 分母的平方直接平方上导，下不导照抄减去上不导照抄乘以下导。好，那经过我们的运算啊， x 角不是一吗？对吧？那就变成了这个式子， 有一项是 y 导 x， y 等于什么你是知道的，这是我们第一问当中的呀，对吧？所以我们要把 y 导 x 的 答案带入到我们的这个式当中去，就会变成它。这式子我们要化简一下很麻烦啊，你看分数线有很多，所以最后答案二阶导就是它了， 明白了没？二阶导它的方法完全一样，只不过就是麻烦一些，要先求一个一阶，再求一个二阶 来，接着往下看啊。练习四，那我们自己回头做一下啊， e 的 函数求导，左右通导法在这里就不多说了啊，容易错的地方啊，就这一块啊，比如说 e 的 x 加 y 次密，首先它是复合，复合里面带着一个什么的，带着一个 y x 次密，它不就相当于 e 的 x 加上 y x 次密吗？ 好，所以 u 在 这里是谁？是 x 加上 y x， 整个函数换完圆就是 e 的 u 了。那上面这一层啊，它是比较好求的，而它本身呢？下面这一层求完之后是谁呢？你注意啊，这个 y x 求完之后就是 y 导 x 不是 说是一，有很多人会认为它是一， x 求导，它是一，后面是个函数，你对函数求导，它是 y 整体去求导啊，不是说 x 去求，所以它求反导，应该是一加 y 导 x 能明白啊，所以这块是容易错的。包括第二题，对于 sin x 加 y 的 处理，同学们要注意一下。 答案在这里啊，回头求完之后，好好的定整一下，我们继续往下来，反函数求导。什么叫反函数求导呢？我们通常遇到的都是求外对 x 的 导数，是吧，也就是 dy 比 dy x， 但现在我们要求反函数的导数， dy x 比 dy， 这样很简单，我们一眼看过去也知道，反函数的导数就等于原函数导数的导数。比如我们这道题，原函数的导数是什么呀？哎，是二一二 x， 那 反函数的导数呢，就等于它的倒数，也就是二一二 x 分 之一。 那我们 y 对 x 的 导数等号右边是 x 吗？对不对？那 x 对 外的导数呢？等号右边应该是 y， 所以我们还要把这个式子里的 x 换回 y， 那 y 等于一二 x 呀，所以我们就得到 dx 比 dy 等于二 y 分 之一， 这实际上就是什么意思呀？就是这个 x 等于范围，等于，我们看带入这个原函数就等于二 y 啊，就是说这个反函数，它的导数是二 y 分 之一，这是不是也就是我们对数函数的求导公式啊？ 哎，反函数求导的思路就是这样啊，需要注意的是，最后我们一定要把 x 代换回 y。 好， 一阶反函数求导咱们会了。那如果题目再狠一点，让你求反函数的二阶导数怎么办呢？这里可不能像一阶导那样，直接把原函数的二阶导取个倒数了。我们看这个二阶导的公式等于什么呀？等于 d d x 比 dy， 再比一个 dy， 那 d x 比 dy， 我 们知道是 f x 导数的倒数。哎，这个式子对外求导，我们用列式法则把这个式子看作关于 x 的 函数，把 x 又看作关于 i 的 函数。那么这个式子对外求导，就等于 它先对 x 进行求导，再乘以 x 对 外的导数，也就是 f x 导数的倒数。 那前面这一项是不是就是负的 f x 导数的负二次方，再乘以一个 f x 的 二阶导啊？ 哎，那我们最后再化简一下，就得到了这个反函数二阶求导的公式。那这个公式你能背就背下来啊，考试的时候限推的话太费时间了。好，那现在我们题目就好做了，我们先分别求一阶导和二阶导，然后代入公式。 最后一步注意千万不要忘了，我们还是要把 y 等于一二 x 带回去，最后得到这个式子就是我们的答案了。 二阶导就是公式比较难记啊。对于这道题，我们其实也可以求出一阶导二万分之一，之后直接使用这个式子对外求导，也能得到我们的答案。只是我们遇到反函数表达式很难，或者根本解不出来的情况的时候， 比如说 y 等于 x 的 五次方加 x， 它的反函数就不太能写出来。但是一阶导和二阶导好求，我们就可以直接代入公式去求反函数的二阶导 来，我们继续下一个求导方法。到目前为止，我们已经学习了各种求导法则了，加减乘除、复合函数、引函数等。 但我们看屏幕上这道第一题，底数 x， 指数三 x， 这个函数既像指数函数，也像密函数，我们叫它密指函数，我们学过的所有基本公式都处理不了它。 或者像第二道这种函数，这倒是能用求导法的求，但是除法里面套乘法，乘法里面又是复合函数，光是想一想，这个计算过程就头大写，一整张草稿纸都不一定够，还特别容易出错。 那这两种函数的求导，我们就使用对数求导法去求。我们看第一题，我们两边取对数就得到绕映， y 等于绕 x 三 x， 那 这个三 x 我 们是不是可以拿到前面来啊，就变成了三 x 乘以 long x， 哎，这个式子我们是不是就好求了？用引函数的求导法去求对不对？看第二题，同样两边取对数，左边依然是绕跟 y， 右边 我们看。当我们一取对数，对数是不是有个很有趣的性质？对数括号里的除法可以变外面的减法，乘法可以变外面的加法，次方还可以变成细数，那我们就得到二倍的绕 x 加一，减二倍的绕 x 减二， 减二分之一绕 x 方加一，这个结果。哎，这个求导就简单太多了，是吧？对数求导是不是很强大？ 我们继续往下看来吧。参数函数求导啊，嗯，也叫做参数方程， 那这种题型是比较好辨认的。这个题型是什么呢？就是你的 x 跟 y 之间本没有关系，经过一个大括号啊，引入了第三个变量，比如 t 啊， u 啊，将 x 跟 y 之间的关系就连接在了一起。像这种呢，其实就是我们参数方程的一个求导了。那应该怎么去求呢？我们参数方程求导啊， 不仅要会求一阶，还要会求二阶。那这个一阶和二阶呀，其实是比较简单的。为什么这么说啊？你只需要背公式就可以了。 这个公式啊， d y 比 d x， 它表示的 y 对 x 求导呀，那 y 对 x， 现在你没法直接求 y 和 x， 它俩没有关系啊，它俩没有直接的关系啊， 这公式就会变成，你 y 跟 x 不是 没法直接求吗？那就变成了上下通除以 dt， 下面是 dy 比上 dt， 下面是 d x 比上 dt， d y 比上 dt， 你 得明白什么意思啊，是 y 对 t 求的， 下面啊是 x 对 t 求的。所以你的分子是要对谁求？是不是要找到一个函数是外观与 t 的， 这不的吗？外观与 t 的 呀，所以上面是五 t 的 三次方求， 这下面啊，分母啊，是不是要找到一个 x 关于 t 的 函数，那不就是 x 等于三立方吗？在这呢，所以上面是对五 t 三次方求，下面是对三立方求，就是一个简单的幂函数求导，求完之后啊，再做一个比值二分之五 t 就 完事了。所以参数函数还是求导啊，你只要把公式背下来，剩下的就跟刚才讲的是完全一样的了。 我们来看一下第二十一题，他要求的呀，不是，倒是在四分之派出的一个期限方程以及法线方程，你要知道期限方程怎么去写，法线方程怎么去写， 期限方程是什么呢？说外减外零等于 k 切倍的 x 减去 x 零。好，那这个 k 法呢？是外减外零等于 k 法倍的 x 减去 x 零，这个 x 零啊， y 零啊，其实是啥？不就是这个点，哪个点呢？在四分之派出的这个点点好求，你就把四分之派往里带不就可以了吗？算一，四分之派，二分之括号二 cosine 二分之八，那不就是零吗？二分之根号二勾号零。关键是 k 切怎么求？ k 法怎么求？不切啊？这里我们就要引入一下导数的几何意义了，在该点处的切线斜率等于在该点处的导数值， 这个式子尤为重要，你如果不知道这个式子，这个题是无法往上进行的。好在哪个点处呀？你不都算出来了吗？在这个点处呀，所以这个 k 切就相当于求一下在二分之根号二处的导数值。 好，那 k 法呢？ k 切和 k 法这两条直线是相互垂直的，它们的斜率是互为负倒数的关系，所以 k 法它应该等于负的 k 切分之一， 你只要把 k 七算出来， k 法很好，求明白啊。所以这个题的关键之处是，我要求出来 k 七再往里面。关键之处呢，是不要求导啊，是不要求一阶导啊，求完导之后是把二分之二带入进去啊。好，那这个题尽管说，没有明着告诉你去求导数，并且是一阶导， 是不是隐藏着告诉你求建方程和方程啊，那不就得求导吗？所以要分析清楚啊。这个提议让你问的是什么？ 好，现在思路明白了啊，所以我们来看一下它那个解题步骤啊。来，你看写公式嘛，这公式上面是 y 对 t 求导，所以是 q 三二 t 求，下面是 x 对 t 求，所以是三 t 求导。 上面求导是复合求，完导是，它下面就是一个 q 三 t， 经过我的化简处理，最后我们的 e 结导是负四倍的三 t。 然后呢？呃，你看 y 导等于 d， y 比上 t， x 就是 在这个点处的切线斜率，那这个点是不是二分之根号二，逗号零啊？ 一带曲线上的点就可以算出来了？好，所以切线斜率不就是要算一下这个一阶导， 将这个三分之派往里带就可以了呀。啊，把它往里带啊，所以就是负四乘上二分之二，所以我们的 k 切是负二倍根号二。算完了吗？算完之后来吧，第三步，写方程，来写一下啊，计算方程，刚才那个点是谁啊？二分之根号二，逗号零， 这就相当于是 x 零，所以我们直接代入 y 等于，呃，负二倍根号二倍的 x 减去二分之根号二， 再一整理，这是我们切线方程法线方程呢？都一样，就这不一样互为负倒数吗？所以经过整理，这就是我们的切线方程了，以及法线方程了。这两个啊，这是切，这是法。完事，明白了没？对，三步走啊。这题麻烦就麻烦在你最后要带一个方程，还要算个数，就不像刚才那种 直接写公式，直接带入算了。好，完事接着往下看。第二十二题让我们算的是二阶导，看见没？这是二阶导的一个符号啊。 二阶导，我们要求几阶？一阶永远是先求一阶，再求二阶。一阶导怎么求呀？ d y 比上 dx， 根据我们的公式，是不是 d y 比上 dt 再除以 d x 比上 dt 啊？上面是对谁求？是不对一减 t 进行求导，下面是不对二分之一 t 方进行求导， 所以上面求根导是负一，下面求根导是 t 啊，所以最后答案的 t 分 之一啊。二阶导的公式你要注意一下，地方 y 比上 d x 平方等于什么？ 二阶导是在一阶导的基础上继续求，所以是不是应该 d y 导比上 d x， 它表示的是 y 导对 x 继续求，但由于啊，你看一下这是 y 导 对吧？外导，它是关于 x 的 吗？不是，它是关于 t 的， 所以它没有办法对 x 求，处理方法是完全一模一样的。上面是 d y 导比上 d t， 下面是 d x 比上 d t， 上面是不对负的 t 分 之一进行求。那下面的下面是不是也是 d x 比上 d t？ 你看这俩数完全一样的呀，还是对二分之一提方求，下面求很好求啊，这是 t 啊，上面呢，这个负 t 分 之一求，最后我们把它背下来啊，负 t 的 负一次密进行，求的前面的符号相当于负一嘛，他不参与，你就把它提出来，这个负一往前提， 然后相应的什么负一，再减一个一。所以求完倒之后，前面两个符号不就没了吗？那就是 t 的 平方分之一， 把它背下来啊，负的 t 分 之一求导是 t 方分之一啊，最上面应该是 t 方分之一，经过化简，最后答案是 t 的 三次方分之一。 来看一下它的一个解题步骤，前面这两行啊，全部都是求一节，然后三四呢，就是我们那个公式的运用了啊，所以我们二阶导的公式在这里， 然后上面是我们一阶导的公式，一阶导和二阶导的分母是完全一样的分子不一样分子它不是一样的啊，一定要看清楚。所以这两个公式把它背熟来，接着往下看，练习五回，自己做吧。好吧，这俩题都不难啊，一个求的是一阶， 还有一个是求二阶，然后答案在这里，回头就自己对一对，这就是我们求导了。 好，我们来看一个参数方程的实际应用啊，我们刚刚已经知道了， t 是 联系 x 和 y 的 一个参数，那在实际应用中，这个 t 通常有一个非常具体的物理意义，就是时间， 当 x 和 y 都随时间 t 变化的时候，它们的导数 dx 比 dt 和 dy 比 dt， 就 分别代表了 x 和 y 的 变化率，或者说变化的速度。而我们要做的就是研究这些速度之间有什么内在的联系，所以我们把它叫做相关变化率问题。 听起来有点抽象，对吧？别急啊，我们来看一个非常经典也非常生活化的例子，就是这个梯子下滑的问题， 一个五米长的梯子靠在墙上，现在梯子底端以两米每秒的速度远离墙面滑动。问，当梯子角离墙三米远的那一瞬间，梯子顶端下滑的速度是多少？ 你看这个问题是不是有两个变化的量，梯子角到墙的距离，我们叫它 x， 梯子顶端到地面的距离，我们叫它 y。 这两个量 x 和 y 都在随着时间 t 的 流逝而变化，对吧？那题目给了我们 x 的 变化速度，两米每秒，也就是 d x 比 d t 等于二， 让我们求 y 的 变化速度，这就是一个典型的相关变化率问题。那解决这一类的问题，我们第一步要先建立 x 和 y 的 关系式。哎，大家看这个场景，梯子墙面、地面是不是构成了一个直角三角形啊？ 梯子的长度是斜边， x 和 y 是 两条直角边，那他们的关系就非常明显了， x 方加 y 方等于五的平方。 好，我们现在有了 x 和 y 之间的静态关系，为了得到它们速度之间的动态关系，我们就需要在等式的两边同时对时间 t 求导。 来，我们一起求 x 方对 t 求导。根据列式法则是二 x 再乘以一个 d， x 比 dt， 对 吧？同理，外方对 t 求导就是二， y 再乘以一个 d， y 比 dt， 右边的五的平方是个常数，常数求到就是零。我们把二约掉，就是 x 乘以 d， x 比 dt， 加上 y 乘以 dy 比 dt 等于零。大家看这个式子是不是就是把我们想求的 dy 比 dt 和已知的 d x 比 dt 给联系起来了？ 最后就是一个萝卜一个坑，我们把题目给的已知条件给带进去， d x 比 dt 是 多少？哎，题目说了等于二， 题目问的是哪一瞬间是当 x 等于三的那一瞬间。好， x 有 了， d， s 比 dt 有 了，我们还缺谁？是不是还缺一个 y 啊？我还怎么求？回到我们第一步的那个静态关系式， x 方加 y 方等于五的平方， 当 x 等于三时，我们口算就能知道了， y 等于四。好了，现在我们再来算， dy 比 dt 就 能解出来了，它就等于负的一点五米每秒。 哎，有同学问，为什么算出来是个负数啊？这个符号就表示 y 的 值是随着时间减小的，这在物理上就意味着梯子的顶端是在向下滑动的，对吧？这跟我们的常识是完全吻合的， 所以结论就是，顶端以一点五米每秒的速度下滑，不难吧？哎，三步走啊，先建立关系式，然后对梯球倒，最后带入已知条件就可以了，大家自己再消化一下。

同学们好，坐下，同学们，今天让我们一起来学习第五章第二单元的第三节简单符号函数的导数。 好，首先呢，请同学们来回顾一下，我们已经学过了哪些求导的方法。 嗯，求一念，那么在之前的学习当中，你已经学过了哪些求导的方法？第一种是根据导数的 定义来做。第一种方法呢，我们可以运用导数的定义来进行求导。嗯，第二种是根据导数的四则运算法则来求导。第二个呢，是运用导数的四则运算来进行求导，还有没有？第三种是根据粗等基本粗等函数的导数运算方法来求导。 好，坐下来啊，实际上呢，在前面呢，除了我们学习了运用导数的定义来进行求导，我们还学习了运用基本出的函数的求导公式来进行求导。同时呢，我们还学习了运用导数的思得运算来进行求导。 好，这是我们前面学习过的三个类型的求导的方法。那么接下来呢，请同学们来看这样一个问题，如何求函数 y 等于 ln 二 x 减一的导数？好，先请同学们来思考一下啊，并相互来交流一下 啊。 好，下面让我们一起来分析一下这个问题。首先请大家想一想，那这个函数我们能用之前的导数的定义来对它进行求导吗？ 不能，不能，对吧，我们不能用现有的知识来运用导数的定义来求极限，也就不能对这个函数来进行求导。那同学们再来想一想，那这个函数是我们前面学过的基本出等函数吗？ 并不是啊，他不是基本出等函数，也就没有求导公式。好，那同学们，他是基本出等函数的核差机商吗？ 也不是，他并不是基本出等函数的核差计算，所以呢，我们也就不能用前面学过的导数的思得运算来进行来解决这个问题。 好，那对于这一类函数，我们怎么样对它进行求导呢？那这就是这节课我们需要研究的问题。 好，为了解决这个问题，首先呢，我们来对这一类函数来加以分析。那同学们现在来想一想，那既然它不是基本出等函数，那它能够用我们前面学过的基本出等函数来进行表达吗？ 好，下面呢，请同学们来交流一下 啊。 哇， 好，我们找一位同学来谈谈你的看法啊。王俊瑞同学，哎，我觉得他可以用基本的函数哦，可以用基本的函数来进行表达。那怎么表达呢？我先令这个，呃， 我自行引入一个变量， u 等于二， x 减一。哦，先引入一个变量对吧？令什么呢？ u 等于二， x 减一，令 u 等于二， x 减一，那这个函数就可以表达 y 等于 y 等于 y， 实际上你就是把它拆成了这个内外层函数，对吧？它的外层实际上是一个什么函数啊？外层是 一个对数函数啊，是拆成了一个对数函数和一个 else 函数，这样两个基本出等函数 啊。好，坐下来。嗯，你回答的非常好啊，实际上大家来看这个函数呢，虽然不是基本数的函数，但是呢，我们可以把它拆分解成两个基本数的函数 啊。首先呢，我们令 u 等于 h， x 等于这样一个 e 函数，大家注意，定域 x 要大于幂， 同时呢，我们再令呢，这个 y 等于 g 等于 l e u 这样一个对数函数 啊，那这样的话呢，这个函数呢？ y 等于 f x 等于 long x， 我 们就可以看成是刚才这两个函数，也就是一个对数函数和一个整数数复合而成 啊，也就即 y 等于 f x， 也就等于 g u 等于 g h x。 好， 我们可以这样去理解这个函数。 好，通过以上的案例，你能总结一下什么叫做复合函数吗？好，下面请同学们就这个问题来进行一下交流， 哈哈。

好，今天我们来看一下这样一道题目啊，也挺有意思的啊， f f f x 的 x 平方减 x 加一，那其实它是一个复合函数，对吧？自己套自己的一个复合函数，让你求 f 零，就原函数 f 零等于多少 啊？那么如果我们想要把这个 f x 求出来啊，这显然是一个比较困难的一个事情啊，那肯定我们要通过其他的方式，那我们现在看一下啊，如果我们把 f f 零啊，直接把这个零带进去啊，就 f f 零 的话，我们很容易求出来，就等于什么？等于一是吧？等于一，好，那我们是不是要求 f 零啊？ 如果要求 f 零的话，我想，哎，我把这个 f 零看成个整体行不行？把这个 f 零看成一个整体，带到我这个式子里面去，那带到这个式子里，这个 f 零是什么？ f 零是不是就是这个 x 啊？不是这个 f 的 一个自变量啊，是这个 x 这个位置，那也就什么是 f f 是 吧？这个 x 的 位置是吧？ f 零啊， f 零它等于什么？等于我们把它写出来啊， f 零的平方减去 f 零，是吧？加一 啊，这个东西等于什么啊？因为我们知道这个 ff 零啊，这个 ff 零是不是等于一，所以它是不是就等于 f 一 啊？到这里大家能都能看懂啊，那么如果说我能知道 f 一 是多少， 或者 f 一， 它和 f 零之间有一个关系，那其实我就是用来解一个什么解一个 f 零的有两次方程就可以了，是吧？好，那么我们现在就来分析下这个 f 一 啊。好，我在网上啊，或者在别人讨论的过程中啊，有这样一种解法，大家可以看一下啊， 它要求这个 f 一 啊，那么如果啊，我们看啊，这个 f f 一 等于多少？ 那就把这一带进去是吧？哎，很巧是吧？加上一它也等于一是吧？那么它和 f f 零它的结果是一样的是吧？和 f f 零结果是一样的。那， 那那个一种说一种做法，就是说如果，哎，这两个一样的情况下，我就能推出来，什么推出来它的 f 一 等于 f 零 啊，然后呢？我们不就刚才说的，我们得到了 f 一 和 f 零之间的一个关系啊，然后把这个 f 一 用 f 零代替之后带进去，大家一看，哦，是个完全平方，直接算出来 f 零等于一，对不对？ 大家稍微思考一下啊，这肯定是不对的啊，这个推导其实是有问题的，什么问题呢？大家看一下啊，这是个函数是吧？是个函数， 如果我有一个函数 f x， 我 知道它 f x 一， 它等于一个数，等于一个是 c， 好 吧， f x 二我也等于 c 的 话，我能不能推出来 f x 一 等于 x 二， 最简单的例子是吧？我知道的二次函数啊，二次函数，我同样 同样啊， x 一 x 二，同样的一个 y 值啊， x 一 x 二可以肯定可以不一样，对吧？所以大家再回忆一下那个 函数的概念，函数的概念是什么？是我一个 x 能够唯一确定一个 y 啊，一个自变量唯一确定一个 y， 而没有说过一个应变量一个应变量 y 唯一只有一个 x 对 应啊，所以这里其实是有问题的，不能这么做， 不能这么做啊，那我们考虑一下，我们怎么做呢？好看一下啊，既然我们知道了 f 一， 其实也是要利用这个 f f 一 啊，它是什么？也是这个一，也是这个一啊，那我们还是一样的，我如果 把这个式子叫做一式啊，我们利用这个一式，我把这个一也带进去的话，你看啊， f f f 一 等于什么？等于 f 一 的平方减去 f 一 是吧？加上一它等于什么？ 因为大家知道 f f 一 是不是也是等于一是吧？ f f 一 也是等于，所以它也等于 f 一 是吧？所以这个 f 一 啊， 从 f 一 去研究的话，你就看出它其实就是解什么和 f 一 自身相关的一个约二次方程啊，这就比较简单了啊，它就是 f 一 的平方减两倍的 f 一 加一个完全平方啊，解出来什么？解出来 f 一 f 一 的嘛，等于一是吧？好，我知道 f 一 等于一了，我再带到这个一式里面去，把这个 f 一 带到这一式里面去，是不是一式就变成了 f 零的平方减去 f 零加一等于一 啊，其实也就是 f 零平方减 f 零等于零啊，那这个 f 零求出来是吗？ 两个解是吧？等于零或者等于一等于零或者零，所以这其实有两个解啊，啊，刚才如果说误走了这条路的话，它的结果其实只有一个解，等于 f 等于一。 大家再回味一下这道题目难不难啊？但是有一个小坑。好吧，大家可以注意一下，有什么问题的话，我们可以评论区见啊。

对数这块的话呢，三角函数咱们刚才讲的核心是这个核叉机换元是我们很多小伙伴的软肋啊，其实就是他没有普通的那种，就是你们经常看到三角函数中的换元是三引平方 x 减，二拷，三引 x 加，比如说三 a， 你只要把它写成一减 cosine 平方直接换 cosine x， 这是比较常见的换元，但是和差机换元这个考频没有上边这个高，但是它也会出现，所以这是为啥？我今天没讲这种换元，重点讲这个，这就是你知道与不知道是这个其最大的难度， 知道也就没有什么，不知道你就不知道怎么下手。所以三角函数这个就是一个知与不知道的问题，但是对数这块不存在知不知道，就看你计算的基本功扎不扎实，你换元的流程熟不熟练，熟练了你会嫌我讲的这些题太基础，来感受一下第一道题， 这些都是大家自己就是这些模考题啊， f x 等于 log 以二为底的二 x 乘以 log 以二为底的四分之 x， 当 x 属于一到四的时候，求它的值域。 第二个说，若 f x 小 于 m 倍的 log， 以二为底的 x 对 它都成立求 m 的 范围。这道题相对来说还好，就是很多小伙伴看到这个对数乘，对数啊，看到对数乘以 log 以 b 为底的 c， 这种底数和真数一样，这种乘法能够进行化解计算的话，其他的对数的乘法啊，你没办法去算，所以在这里的话，我们对整个式子还是要进行变形，咋变形呢？你看以二为底的又有二又有 x， 以二为底的又有 x 又有四，那么当真数这块是乘法 除法的时候，就可以用我们对数基本用算的这个逆用算了，对吧？我们说两个对数相加，就变成底数不变，对数相乘，那同样乘法就可以写成 log 以二，我把这个先写出来，对吧？那这个就可以写成 log 以二为底的二，加上 log 以二为底的 x。 所以就是你对于最基本的基本用算，能不能正反的去用算。而且第二个就再乘以一个 log 以二为底的 x 减 log 以二为底的四，然后在这种情况下， log 以二为底的二一， log 以二为底的四二。所以这个式子化解一下就会非常的简单， log 以二为底， x 加一，乘以 log 以二为底的 x 减二。所以这道题要说有一丢丢点，难点就是从第一步到第二步 写成，这一步让你要去求整个函数的什么最值或者值域，只要干什么就 ok 了。换元，对，结束了，对吧？所以你看到整体都是以 log 以二为底的，这个整体出现的长得丑陋的东西，而都是它， 你把它换掉就 ok 了。所以大家利用 t 等于 log 以二为底的 x 换元，记住写新的范围啊。第一问， x 属于一到四， 一带进去 t 等于零，四带进去 t 等于二，所以 t 是 属于零到二，整个式子就变成了谁啊？ t 加一乘以 t 减二， 一个开口朝上的二次函数对称轴，好像是个二分之一，对吧？然后接下来你要求它的值域，那么零在这二在这二分之一带进去会有最小值，然后把二带进去，应该是有最什么值啊？最大值是吧？算一下 啊，二带进去是零，没问题，二分之一带进去是二分之三乘以负二分之三，负四分之九，所以整个答案负四分之九到零，那这个第二问也就一样了，整个函数你都化解成这个样子了，然后说 f x 小 于它， 那整个写出来，你看里边的整体还是烙个以二为底的 x 出现的，所以划到这一步，这有啥，我还是把你换掉。只是这次给的 x 的 范围不一样了，变成二到八了。 变成二到八的话啊，那也简单， x 属于二到八， t 就 属于一到三，然后接下来整个式子就相当于是 t 加一乘以 t 减二小于 mt 横成立。对，还是分叉嘛？因为你看到 t 就 首先想着能不能把它除过去，看范围就行了，一到三没毛病。所以这边是 t 方减 t 减二，再除以个 t 小 于 m， 有 单项分开写， t 减 t 分 之二减一小于 m， 对 吧？所以整个式子写完 简单，就是它小于 m， 很 成立，任意的 t 属于这个范围都小于。求这个式的最什么值，那就求它的最大值就行了。这是个啥函数？飘带函数，它是增的，减的，它是增的，最大值就是把谁啊，把三带进去嘛， 三减三分之二，减一等于多少？三分之四，所以 m 大 于三分之四搞定。所以这些题里边，你对横乘立的基本处理思路在前边，你就清楚了，这没有问题。所以我觉得整道题只有一个点， 有些时候容易把人糊住，就是把解析式从他的样子化解到成他只考了什么对数的计算。所以有些时候我们只是对数的计算没有那么娴熟，没有那么通透，导致啊，看到这个啊，这个式子咋处理这么复杂， 这是个啥函数？那你画成这一步，一切都解决啊。好了，来这道题跟上一道题考察的第一问点，一切都解决啊，好了，来这道题跟上一道题都结合的全部是， 全部是分餐去处理横陈列，那这道题的话，最终是考察了一个分类，而且这是考察了一个常规分类，就是二次函数 最值分类，对吧？二次函数在一个就是不管区间是含餐的，还是说对称轴含餐的，还是说都含餐的，总之就是二次函数在一个一个区间上的最值分类。就这么点东西，我们过一下啊。首先第一个 m 等于一，那这里就是四，非常简单， 你看以二为底的四乘 x， 以二为底的四比 x， 这种题你对上一道题见过之后，你对它的关键点和解决它的关键问题 有一个什么非常熟练的思考或者复盘掌握的话，看到它你现在就不自觉的会把它写成 log 以二为底的四加上 log， 以二为底的 x， 比上 log 以二为底的四减去 log， 以二为底的谁啊？ x 就 一定会去这么写，然后这里是二，这里是二。好了，那么写出来就是二加 log 以二为底， x 乘以二减它，然后换元嘛， t 等于 log 以二为底， x 有 没有告诉我们定义域二到八，那么 t 的 范围就是多少？一到三，所以整个式子就是 啊，二加 t 乘以二减 t， 二减 t 方，这是整个谁啊？这是整个他的图像，那么他在一到三上啊，整个零到正无穷大都是减的，一到三也是减的， 那值域一带进去有最大值，四减一三，三带进去有最什么值啊？三带进去有最小值，是不是多少？他求啥？他求最大值啊，那都不用求值域了，最大值就是把一带进去有三就结束了。 ok 啊，第二问啊，这回参数还在，参数在不要紧，你就只是把这里，刚才写的是 log 以二为底的 四，现在写成四的 m 次方，这个 m 次方骑到前面去，这是二，所以把刚才的二变成二 m 就 行了， 所以其他的都不都一样，只是从什么完全已知的变成了含餐的，所以接下来令 t 等于 log 以二为底的 x 定义域不变的啊，还是一到三。写完之后就是一个含餐的关于 t 的 二次函数，在这个区间上要去求最大值， 那么接下来我们先判断整个函数开口是朝下的对称轴呢？是一减 m， 然后求这个区间上最大值，来几种，可能对，这个是三类，我们说两类函数，三类的关键看什么 要求的最大值和这个完整图像上的顶点所扮演的最值是不是一致的，那么他也刚好是最大值顶点，所以就有三种， 那么分别在哪里取呢？肯定可以在这里取，也可以在这取，也可以在这里取。如果我现在所说的这些东西你不太清楚的话，那说明对于不管是动轴定区间，定轴定区间，还是动轴动区间， 只要是二次函数的分类，你对它的这些掌握的不是非常熟练啊。好了，那么接下来对我们来说三类，我们就一类一类来分。首先第一类啊，从左到右，我就让一到三这个区间在这里， 那么此时的话最大值一定是多少？最大值一定是把三带进去，提取三的时候，那前提是什么呢？就区间要在对称轴的右侧，就是三小于一减 m m 啊，这个 m 就 小于多少负二。所以第一种情况， m 小 于负二的时候，最大值是三，你把三带进去我就不算了啊，负二 m 减三，然后第二种情况是什么呢？区间继续向右走啊， 啊，一走到这里，三走到这里，让对称轴在他们中间，也就是一减 m 小 于等于三大于等于一的时候， 减一下 m 的 范围是负二到零，此时最大值是谁啊？最大值就是对称轴吗？因为图像是这一段顶点的时候，最大 f 一 减 m， 然后你带进去算一下。这个计算也很简单， f 一 减 m 就是 负的 一减 m 的 平方，这里是二倍的，加上二倍的一减 m， 乘以一减 m， 就是 两个一减 m 平方加四 m， 然后前边两个一合并，这里没了，这剩一个 m 方，这里本来是减二， m 加它就加二， m 加一，所以写出来就是 m 方加二， m 加一或者 m 加一的平方，这是第二种情况，所以这就是你一步一步写完就行了。第三种情况就是一和三在这里的时候，一减 m， 一 在这吗？小于一的时候 m， 这是 m 大 于零的时候，对吧？写出 m 大 于零，对应的最大值就是 f 一， f 一 等于什么？带进去二 m 加一，结束了。 那么这些有些时候也是说整个式子在这个范围上大于等于什么？横成立，那你就让三种情况都大于就行了。这道题给大家给的简单，你只要把每种情况下的最值都表示出来，最终是关于 m 的 一个什么 分段函数， m 在 不同情况下产取最大值的时候，式子是不一样的，就 ok 了。再回顾一下咱们的主题，就是 啊，三角函数、指数、对数类在求最值的时候，这些函数看起来有点复杂，但是咱们通过换元，首先对换元的这个流程要特别的熟练， 对吧？啥时候换元？那么很多时候在换元的时候要做一些变形，你比如说对数，不是说你看到就直接能换元，还需要用对数的计算去变形，三角函数和 叉 g， 这个就在于你会不会知不知道，对吧？然后在这里边我们主要复习了，你不光对二的 x 次方要会换，而你对这种四的 x 次方加四的负 x 次方和二的 x 加二的负 x 次方同时出现，要配方去换，对吧？你说这些 这些难吗？这些是最常规的啊，就是这是你需要在学这些函数的时候掌握的基本功啊，千万不要觉得这个有什么啊，什么什么神奇之处。

好，呃，这个式子我就直接写出来了。直接写出来了啊，因为这个整理过程是你们高中必备的，就是自己如果是不太会的 可以。怎么可以？我们底下私聊私聊，共同去交流一下，看到底你哪一步是有问题的啊？有问题的，这应该是正常的，你初中都应该是到高中这块应该整理都差不多了。 下来，刚才我说了就是你的，你的答案只有这一步你答案只有这一步。这一步实际挺难想的。我刚才已经解释很清楚了啊，他实际的原理就来源于咱们这个式子啊，有不清楚的可以私聊我们私聊我们。翻到这个式子以后，这个是高中同学讲的内容。哎，怎么求这样的复合函数的 富含？这个问题千万不要干一件事情见这个求函数的范围就要求到，这是一个大的误区，这是大的误区。好，那么这对于这方这个式子实际就是我们高一需要重点掌握这个知识。就对这样的函数怎么求值呢？ 我们叫俗称叫复合函数，怎么求值域？只有一种方法啊，你没有太多方法，因为说再多没有用这种方法只有一种方法，就是你要求值域，求这个负函数域。这个 log 二根号都不要考虑，只看这里头这一堆啊，只看那头一堆，外面的都不用考虑 这堆都不要考虑，只算这堆范围啊，只算这堆范围，这个是重点。呃，为啥？ 呃，还是一样，这个东西需要个人的，每个人不一样，需要就私聊一下啊，这个方法这个很多学生就很很容易的。这个就是咱们经常说一个方法啊，就你首先第一步需要把，需要把它什么 需要，把该转化成就是分子，分母只能转化成只有一个位子数，什么意思呢？说你不能上面替代动，底下替代动，不行，你只能干一件事情，让上面替代不动，什么意思？像这样啊，我就直接写了 这个东西，把加一跟二 t 换下位置啊，跟底下约一下，我稍微第一次稍微写详细一点啊，就是这个东西，很多学生在这儿不太会变，看好好， 这时候我们会发现，你这个多是不是跟上面这个多一样了，是吧？这个相当于是不是就分母是不是可以分开写了，所以就变成这样。我们经常见到一个数字，就这样的结果， 一加上二 t 除以二的二 t 加二，加上一个二的 t 加二， 再加一。好，这步很重要啊，这步很重要，像大家一样，是，我说过了，分母，分子，分子不能有 t， 分 子不能有 t， 到这步怎么办？把二 t 除下来，把二 t 除下来。好，所以这个式就出来了， 我直接写了啊，这东西不清楚了，还是一样，可以私聊一下。 r k， 我 直接写了，因为有的很多学生都能直接写出来。 p r， 这个是二的平方，就是四， 这个一除就是二 t 分 之一，看见没？从这一步到这一步，看好了，跟他说了，现在是不是分子，只有分子是个一了，分子是个数，所以这时候你只需要考虑谁考虑这个就行了，考虑这就行了， 只需要考虑这堆儿，考虑它的范围，它的范围出来以后，你整个范围是不是出来了，进而 log 的 范围出来了， 所以在这块，在这块重点说一下啊，负额函数求值域只有一种方法，只有一种方法，什么方法 就是什么。首先第一点是要算什么？算你内层这个函数的什么值域，再一层层往外求，就把你的函数值域就求出来了。