二分之一阶导数是什么

我就直接告诉你了啊，我的想法是，如果你的计算跟不上怎么办呢？你跟不上是因为你的计算速度慢，你的计算速度慢，所以你要慢慢的把这个计算速度练上来。 再来一个。你看这个题目，他给了我一个函数，让我求二阶导数在这一点处的值，那这个东西实际上就是两阶导数在 x 等于零处的值，所以我先找到它就好说了。那么它怎么求呀？先求一阶导数。 这是我对这个题目的分析。那拿过来之后，先求一阶导数，他等于什么？就等于一的二 x 减一次方，他求导数，那这个显然是一个复合函数，两层复合，外层指数函数求导不变一的二 x 减一次方，再乘内层二 x 减一求导数， 那他两个求的，哎。这个括号一求导数二，那所以就是两倍的一的二 x 减一次方，这是一阶导。然后再看二阶导数， 二阶导数就是两倍的一的二 x 减一次方。扩起来的导数。注意，这个二叫长数，求导符号拦不住，所以它是两倍的一的二 x 减一次方。求导数。这个还需要算吗？不需要，上面刚算完超过来就好了。所以它是二乘二，变成四倍的一的二 x 减一次方。 嗯，对吧。哎，那拿过来往里套数呀。那故 f 的 两节导数在零这一点处的值，就是四倍的 e 的 二 x 减一次方，在 x 等于零处的值，所以它是四倍的 e 的 负一次方。写成它行不？非常好， 那你要不喜欢负指数，你可以写成什么？一分之四。这个好吧，也很好，两个结果都对，没有优劣之分。 那一分之四或者是四倍的一的负一次方都是可以的， ok， 是 吧？那么这个地方，哎，说你只是觉得这道题我算对了，但是我在做这道题的时候，我发现了那么一丢丢的东西。什么东西呢？说这个东西求导数，你看第一遍出来的是它， 然后求二阶导数的时候，这个东西依然没动，但是二变成四了，二变成四了，那么你想一想，哎，你看，坚持，坚持是不是跟不上？ 坚，坚持，我真心的问一句，是不是我算的太快了，你总是跟不上？哎，我们说了，这个东西还需要算吗？不需要，这上面有结果呀，所以二乘以这个结果，二乘二当然变成四了， 对吧，对吧？哎，那所以坚持，我的想法是，我这句话我就直接告诉你了啊，我的想法是，如果你的计算跟不上怎么办呢？你这个地方说二为什么变成四呀？ 你在，哎，你在这打个问号干嘛？下课自己去算一遍。你跟不上是因为你的计算速度慢，你的计算速度慢，所以你要慢慢的把这个计算速度练上来。

各位好多同学啊，对于逆算啊，学的稀里糊涂的啊，这一道题如果说你能搞明白，你就算学好了啊。我们来看一下，二分之九的负二分之九次方等于多少？各位， 这个负号代表什么意思？负号代表倒数的意思啊，他应该等于什么？二分之九的二分之九次方的倒数分之一，这一步能不能看明白？ 这个符号就是倒数的意思？好，那到了这一步怎么满？这个代表什么意思？二分之九代表什么意思？它代表的是什么？这还是倒数啊，它代表的是先进行九次方，然后再进行二分之一次方， 二分之一次方就是开开两次方，三分之一次方就是开三开三次方，这个是二分之一，那就是开开平方，带根号开平方，这一步能不能看明白啊？好，那下一步怎么办？ 那就是啊，这个导数还不变啊？那这个九次方，上面的九次方根号下啊，上面九的九次方 对不对？下面呢？是二的九次方对不对？然后呢？他又等于什么？又等于什么？导数是不是分子分母导一下，也就说原式等于根号下二的九次方比上九的九次方， 这一步能不能看明白？好，到这一步怎么办？他又等于什么？上下开根号就是上面开根号，下面开根号， 对不对？好，那后面怎么办？到后面怎么办？这二的九次方是多少？二的九次方是不是二的八次方乘上二啊？然后再开方， 然后呢？这个三的这九的九次方，九九的九次方是多少啊？九的九次方不就三的平方吗？三的平方就是三的十八次方吗？ 九十三的平方是不是三的十八次方？那他的应该应该等于多少给他开出来啊？二的八次方开出来，是不是剩下二的四次方了？二的四次方乘上根号二了， 对不对？二的八次方开方不是二的四次方吗？三的十八次方开方，不就三的九次方吗？ 对不对？好，到了这一步怎么办？下一步啊？二的四次方多少？二的四四十六是不是十六倍跟上二啊？上面下面呢？三的九次方，三的九次方是不是九个三相乘啊？三个三相乘是多少？二十七。那不就是二十七乘二十七乘二十七吗？ 九个九个三吗？什么等于这么一大坨啊？这个，这个成开啊，我不算了啊，这个，这个太复杂了，方法学会就行了，各位。

明白了不？哎，说高阶导数的求法，就是逐阶去求导，有一阶导，二阶导，再往后数，还有三阶导，四阶导，五阶导，一直往后数。那么，哎，我们把，我们把二阶以及二阶以上的导数， 哎，二阶及二阶以上的导数，通通称为高阶导数，通通称为高阶导数。 那你看，哎，说高阶导数的记号也有了这个记号，这个记号，或者是这个记号其实还有一串呀，是不是还有一串另外一串？我可以怎么写？可以写 d 哎， f 呀，把 y 通通换成 f 呀， 哎，但是这些常用吗？不常用，哎，就这个最常用，哎，这个次值，这两个用的多，写起来方便，写起来简单。这是记号的问题。然后看什么求法，高阶导数的求法， 高阶明。明白了，来高阶导数的求法。我刚才举过一个例子，说 y 的 一阶导，那就是 x 平方，它求导数应该等于二 x， 那如果让你求两节导数呢？实际上一节导继续求导呀，所以它就是二 x 这个函数再求导数变成二。那如果让你求三节导数呢？就是二，这个函数再求导数，它变成零呀。 那如果再让你求四节导数， y 的 四节导数实际上就是零，这个数再求导数依然是零，那往后再求，无论如何全部是零了。那通过这一个例子，我们就知道，高阶导数怎么求呀？就逐阶求。 哎，什么叫逐阶求呀？按照一、二、三、四、五的顺序，让你求二阶导，你得先求一阶，再求二阶。如果让你求四阶导，你得先把一阶、二阶、三阶求出来，找到三阶之后，在三阶的基础上再求导数，才会得到四阶。可以了，不 明白了不？哎，说高阶导数的求法就是逐阶去求导。

恋爱可以不谈，但高数必须每天都学。今天的每日一题是密指函数求导，这可是导数求导的高频坑点题，直接套公式必错，变形技巧才是关键，有想法的同学赶紧暂停算一算。接下来进入讲解环节。 同学们好，今天我们来做一道密指数求导题，很多同学第一眼看到这道题，想到的就是复合函数求导， 那复合函数怎么求导呢？先设 sine， x 等于 n， 然后套用基本公式， x 的 n 次方的导数等于 n 乘以 x 的 n 减一，所以 x 的 三 x 次方的导数就等于三 x 乘以 x 的 三 x 减一，这样做是完全不对的，为什么呢？因为这个公式是基本 初等函数的求导公式，而我们的 x 的 三 x 次方，它的底数和指数都是变量，属于密指数， 密指数是不等于初等函数的， 所以我们不可以通过基本出纳函数求导公式对它进行求解。那同学就会在想了，平常要么就直接用这个基本出纳函数接求导，要么就是变形，然后符合函数设 t， 设 n 啊什么什么的进行求导。 那现在这种情况，这些方法都不能用的，那我们该怎么办呢？我们可以用对数求导法进行求导。什么是对数求导法？ 首先对数有个性质，比如 line 的 a 的 x 可以 把这个 x 拉下来提到前面，我们同样也可以把这个三引 x 拉下来提到前面，然后帮助我们计算。 哎，我们首先对两边取 line， 左边是 line y， 右边是 line 的 x 的 三引 x， 然后将这个三引 x 提到前面 line x， 然后我们就得到这个公式的，然后我们两边对 x 求导，尝试一下，看能不能求出来，然后我们看左边左边的 line y 的 导数，首先 是这个 line y 导数对 x 求导，它不好求，对吧？所以我们通过列式法则进行求导， 设它对外求导 一个列式， 然后就可以算出来左边这一部分，它就是乱 y 对 外求导，然后利用出的函数求导公式算出等于 y 分 之一，然后右边那就是 y 的 导数，左边求出来了，我们看右边， 右边是三 x 的 无穷 x 求导，然后我们利用乘积法则前导后不导，再加上前不 导后导，然后我们成功对两边对 x 求了个导，然后我们可以得到这个求导后的公式， y 的 导数等于 cos sine x sine x 加上， 然后我们把这个 y 分 之一乘到右边去， 这样我们求出了 y 的 导数。啊。同学看到这里就会疑惑，这里不是还有个 y 没有求完吗？难道我们要把它当做常微分方程继续进行求解吗？ 大家想一想我们该怎么去掉这个 y？ 没错，看题目，题目给了 y 的 结果，我们直接把这个原式回代到我们的公式里面 就可以了，然后带回去是 y 撇儿，等于 三 e x 考三 e x， 洛恩 x， 再加上三三 e x。 好， 这样我们就求完了。 这一题就讲完了，今天的视频就到这里结束了，欢迎大家留言评论投稿，也可以加入粉丝群一起学习，我们明天再见！

好，同学们，接下来我们来看一下二阶导的应用哈，二阶导应用，那么二阶导的应用在我们考试当中是让我们求凹凸区间以及拐点的。凹凸区间以及拐点的。 好，我们来看一下它的一些概念。首先是凹凸性认识一下，设函数 y 等于 f x， 在 这个区间上连续，在开区间内具有一阶和二阶导数哈，在 d 区间上连续啊，在这个开区间内具有一阶和二阶导数，也就说它可以求两次导了，那么它这个函数叫做凹函数，也可以叫做上凹函数， 也可以叫做上凹函数。好，那这里面来区分一下哈，除了 f x 叫做上凹之外呢，它还可以叫做什么呢？还可以叫做下凸或下凸，或者叫做下凸函数， 或者叫做下凸函数。下凸函数啊，除了叫做上凹或者是凹，凹就是上凹的意思啊，它也可以叫做下凸函数。好，另外一种，如果当二阶导小于零的话，那么这个函数叫做上凸 上凸，或者叫做凸函数，那你可以把它上省略掉，也可以连着叫上凸函数，或者叫做下凹函数，或者叫做下凹函数或下凹函数。 下凹函数。好，把它写一下啊，同学们，或者叫做下凹函数。 好，写好了之后，我们来看一下它的特点哈，也就是二记到大于零的时候，它就是凹函数。二记到小于零的时候，它就是什么数啊？凸函数，凸函数，所以大于零，凹函数，小于零，凸函数，所以就是四个字，大凹小凸。哈，大凹小凸大于零，凹函数，小于零，凸函数。 好，整理好了之后我就翻译了哈，来，我数五秒钟没有整理好的，暂停一下视频啊，继续看哈，五四三二一。好，那我就翻译了哈，没有整理好的，暂停一下视频 啊。接下来看一下凹凸区间，也就是凹凸函数的啊，它们区间的一个图形特征。好，来看一下这一个，你看它的图像特征是什么呢？是不是整个往下凹进去的呀？对不对？它一直往里凹，一直往里凹，所以你看，如果从上往下看， 这是上面，从上往下看的话，它是不是凹进去的呀？对不对？从上往下看，它是凹进去的，所以它叫做什么函数？上凹函数啊，上凹函数。然后那如果说从下往上看呢？ 如果从下往上看，从下往上看，是不是凸出来了，所以叫做下凸，这就是下凸。所以上凹和下凸他们都指的什么函数？都指凹区间的意思哈， 都指凹区间的意思。那么什么情况下他才是凹区间呢？你看这里面呢，他的这个切线的斜率他应该怎么样呢？大于零还是小于零？这整个曲线在切线的上面啊，所以在这一点出的他的这个二阶导， f x 零的二阶导，他应该等于零啊， f x 零的二阶导，他应该大于零。 好，再来看另外一个图像，你还是这样的哈，这是上面，这是下面，从上往下看，从上往下看，他是不是凸出来的，所以是上凸，对不对？上凸，上凸看出，然后再来看，从下往上看，他是凹进去的， 你看从下面往上面看，他是凹进去的，所以他叫做上凹啊下凹啊下凹。说错了，下凹，从上往下看，是凸出来的，所以就是上凸。从下往上看，是凹进去，所以就叫做下凹。那么这两种情况他们都指什么区间？都指凸区间啊，凸区间，凸区间， 凸曲线。好，那你先来看它这个斜率是不是在这条切线在上面，而整个曲线的图像在切线的下面，说明它的二阶导 f x 零的二阶导，在这一点处。对，它求二阶导之后，它应该怎么样啊？它应该是小于零的，因为在整个切线的下面啊，因为在整个切线的下面。 好整理一下，整理好之后，哎，再给他举一个很形象的例子，怎么去理解凹曲线和凸曲线哈，凹曲线和凸曲线， 你就记住上凹从上往下看，凹进去的，下凸从下往上看，凸出来的啊，上凸从上往下看，凸出来的，下凹从下往上看，凹进去的。 好，五四三二一。我翻译了哈，大家没有整理好的，暂停一下视频哈。好，那现在来看一下这个东西是不是有两只猫啊？对不对？你看一下左边这只猫，他在伸懒腰啊，他睡了一天了，或者他早上第一件事要伸懒腰，那他伸懒腰，他是不是？你看他这里面要弯一下，对不对？那你看如果我从上往下看， 从上往下看，他是不是就是一个凹的一个形式，对不对？凹的形式。那如果说从下往上看呢？从下面往上看呢？他是不是凸出来的形式？所以你看他就是一个什么凹区间啊？凹区间。所以你记住，二阶导大于零的时候，他就是一个凹区间啊，二阶导大于零，他是一个凹区间。 凹函数来写的凹曲线或者叫做凹函数啊。好，再来看另外一只猫，你看这只猫是不是你惹它生气了，它发火了，毛都炸起来了，对不对？所以你看，从上往下看，它是凸出来一部分的，但是从下往上看呢，它就是凹进去的一部分，所以它的这个区间可以这样来表示哈，你看，从下往上看， 凹进去了，从上往下看，变凸出来了，所以它是一个什么区间啊？凸区间啊？凸区间。 那你备注一下，从上往下看，他是上凹嘛？从下往上看，他就是下凸嘛，对不对？下凸。然后这个呢？从上往下看， 上凸，从下往上看，下凹下凹哈，不是下凸了，下凹，从下面往上面看。哎，一直往上面看，俯看，他说凹进去一部分啊，所以他是下凹，所以就是下凹。那么二阶导小于零的时候，他就是 凸起尖啊，凸起尖，所以记住这四个字，大凹小凸就可以了哈，大凹小凸，大凹小凸啊，这四个字 好，记好之后我们来看一下哈，这个猫你就不用画了哈，接下来我们来看一下，求拐点哈，什么是拐点？拐点首先要知道它的定义就是凹凸性发生改变的点，要么是凹曲线变成了凸曲线，要么是凸曲线变成凹曲线，听到没有啊？然后存在的地方 拐点存在的地方是什么呢？就是二阶导等于零的点，或者是二阶导不存在的点。好，那这里面特别要说明一下，二阶导等于零的点是什么点呢？ 二阶导等于零的点，二阶导等于零的点是拐点的横坐标啊，或者是二阶导不存在点，他们都是指的什么呀？拐点的横坐标啊 啊，这里面写到旁边哈，存在的地方，二阶导等于零的点，或者是二阶导不存在点，他们这两个点都是指横坐标。谁的横坐标啊？都是指拐点的横坐标。 拐点的横坐标也都是 x 哈，不是 y 哈，它只是一个横坐标，跟 y 纵坐标没有关系。听到没有？不管是二阶导等于零的点，还是二阶导不存在点，指的都是 y 点的横坐标。好，第三句话表示第三个东西表示方法， 拐点是一个坐标点，那你看他的横坐标是谁啊？ x 零，对不对？ x 零，那这个 x 零就是刚刚求出来的二阶导等于零的点，二阶导等于零的点，或者是二阶导不存在的点，或二阶导不存在的点。二阶导不存在点不存在的， 也就是它的不可到点哈。不可到点，那么它是横坐标，带进圆函数里面，就算出最后纵坐标了哈。所以你只要知道横坐标，你把横坐标带进哪里面呢？带进圆式啊，带入圆式，带入圆式，就可以得到我们的这个拐点的纵坐标了哈。拐点的纵坐标， 也就是拐点的纵坐标，就是我们的什么呀？函数值哈，就是等于最后我们的函数值。都要清楚一下，拐点的纵坐标就是最后我们求出来的函数值。谁的函数值啊？把拐点横坐标带入圆式的函数值。听到没有？好，把这些记一下。记好之后我们来看一下下面的东西。 看错了啊，这边是二阶导哈，两撇哈，你别写成一撇了哈。好，十秒钟哈，十九八七六五四三二一。没有整理好的，暂停一下视频啊，我就翻译了哈。好吧， 把这个，把这些也记下来哈。把拐点的横坐标求出来之后啊，我们再求谁啊？带入圆式，然后带入圆式，就可以得到我们拐点的纵坐标，拐点的纵坐标就是最后我们求出来的函数值啊。 好，接下来我就翻译了哈，我们来看一下凹凸曲线以及拐点的求解步骤。第一步还是要确定出函数的定义，把函数定义求出来。第二步，求出二阶导，等于零的点和二阶导不存在点。这两个点都是什么点？这两个点都是拐点的什么很坐标啊？备注上拐点很坐标， 来，把拐点横坐标求出来。好，拐点横坐标求出来之后，下一步我们对定义域划分为若干个区间，所以第三步就是分区列表。第四步就是写结论，它的高区间是谁？凸区间是谁？拐点是谁啊？拐点怎么算？就是把横坐标带入圆式，算出纵坐标值，它的函数值就是我们的纵坐标哈。好，来把这页记一下吧！ 把这页记一下，记好之后我们继续哈。 记好之后我们继续啊，我们来做题了哈，做题了， 好，五四三二一应该都写好了吧？没有写好的暂停下视频哈，我就翻译了哈，三二一零。接下来看一下第一题，大家先把题目抄一下大家先把题目抄一下。 大家先把题目抄一下。好，抄好了之后，我们来看一下这道题怎么来做哈，按照刚刚那个求解步骤哦。出区间以及拐点的求解步骤，第一步先要看它的定义域。第一步，函数定义域。 函数定义域用大 d 来表示定义域，那么这里面 x 属于什么呢？ x， 它的定义域是全指数。 e 的 负的 x 方呢？ e 的 负的 x 方的这个图像之前我应该教过你们画过吧？我记得 它图像你看，因为 s 前面的系数为负了，所以它就变成了一个单调递递减的一个图像哈。单调递减的一个图像变成了原来单调递增图像，现在变成了单调递减。那么单调递减你看 s 的 范围是左边右边都是可以取到的呀，所以还是全体是负，所以还是负。无穷到正无穷还是全体是负 啊？这是 y 等于 e 的 负的 s 次等图像哈。嗯嗯，好，那么第二步，我们要对它求 导 f x 的 一阶导求出来 x 求导一，然后 e 的 负的 x 求导 e 的 负的 x， 它是一个复合函数，求导它求出来导应该等于什么呢？它等于 e 的 负的 x 啊。最外层求导，然后乘以负的 x 的 导， 乘以负的 x 的 乘以负的 x 的 啊，那个是负的 x 的 一撇，负的 x 求到等于多少负一，所以它就等于负的 e 的 负的 x 次方。这个角过很多遍了哈，不要写错了，这就是减去 e 的 负的 x 次方，然后我再给他求二阶导 f x 的 二阶导，再给他求导一减去来， 它求到负的 e 的 负的 x 次方。负负得正，所以就等于一加上 e 的 负的 x 次方，一加上 e 的 负的 x 次方，然后二阶导求出来之后，你令二阶导等于零啊，好，证明这个一没有了哈。不好意思，这个一是零了， 这个一在求导是零的哈。零呢？零减去一个负的就是正的嘛，对不对？负负的正，所以是 e 的 负的四次方，你可以把它写成 e 的 x 次方分之一啊，这样去写，然后你令二阶导等于零，令二阶导等于零，看看 x 可以 取什么。 那你看令它等于零， x 是 不是可以取任何的一个实数啊，对不对？有没有它二阶 x 是 不是可以取任何一个数？有没有二阶导等于零的点？有没有？ 是不是？没有啊，对不对？没有哎。没有二阶导等于零的点，那说明他的整个区间都是一个区间了，他就没有拐点了。听到没有？没有拐点了，然后也没有二阶导不存在点，对不对？所以你可以写一句话，没有 二阶导等于零的点，没有二阶导等于零的点的意思就是它无拐点的意思啊，它全部都是一个区间啊。无拐点是全都为，要么全部都为凹区间，要么全部都为凸区间。然后也没有什么啊，也没有， 也没有二阶导不存在的点，也没有二阶导不存在的点，二阶导不存在的点， 也没有二 g 的 不存在的点，它不可导点，对，不可导点也没有啊。那你看它既没有二 g 的 点，零的点，也没有二 g 的 不存在的点，那没有二 g 的 不存在点，是不是也是无拐点呢？也没有拐点的意思哈，也没有拐点。 那你看它都没有拐点了，是不是它只能有一个区间的意思哈？既区间既它的区间只有一个既凹凸区间只有一个的意思哈？ g 凹凸区间哈。 g 凹凸区间只能有一个啊只能有一个 只能有一个。嗯，要么只能有一个凹区间，要么只能有一个凸区间。那么现在也来看，我这个二技能已经求出来了，它是 e 的 x 四方乘一，它这个二等于零还是小于零？小于零，对不对？既然它是小于零，就说明它整个区间是怎么样的，大凹小凸，是凹的，是凹的，所以我把这段分析过程刚刚这个图像擦掉了呢，这只是我们 分析的思路。好，接着我们再来写啊，第二步可以得到这样一个形式啊，第三步，你可以写个结论。第三步，你可以写啊，又因为啊，又因为 f x 的 二阶导数，它算出来是 e 的 x 四方分之一，它是恒大于零的， 恒大于零的，那么既然它恒大于零，刚刚我们才说过二阶的大于零，它是什么区间？凹区间，它图像就是凹的啊，上凹下凸的啊，上凹下凸的啊，所以，所以这个函数 f x 的 图像， 它的图像在定义域内，它定义是什么？全体式数嘛，对不对？在负无穷到正无穷这个全体式数内， 在全体实数内怎么样啊？全是凹的啊，全是凹的，全是凹。函数啊，全是凹的。后面写个全是凹区间也可以啊，全是凹区间啊，凹区间啊，所以凹区间，为什么呀？啊？所以它的凹区间 就为全景实数，也就是它的这个定义。服务区的中求有没有凸区间呢？无凸区间，那备注一下，它是无凸区间的啊，没有凸区间。好，这是我们最后的这个结论。好，来看这道题有没有看懂啊？ 好，我们用蓝色的空框把它圈出来啊，这是我们第三组啊，再来整理一下吧，整理一下，整理好之后我们来看第二期啊，第二期记得点赞关注哦。