tet的积分怎么求

接着我们学习不定积分的第四课，分布积分法。当背记函数是两种不同类型的函数相乘时，我们通常使用这个方法，也就是套这个公式。 那么问题来了，如何快速记住这个公式呢？非常简单，俩函数乘积的倒数你会求吧，等于前倒后不倒加前不倒后倒。 我们对等式两边同时求不定积分，可以得到这个等式，其中这个 u v 先求到再积分，相当于先降级再升级，结果还是它本身， 这样我们就得到了分布积分法的公式。 好，我们来做一下这道题吧。对照一下公式，我们不难发现， x 方和 cosinex 肯定有一个是优，另一个是微偏，那我们选谁当优呢？ 江湖上有个口诀，反对密三指，因为密函数的优先级高于三角函数，所以选择 x 方当优，那么 cosine x 就是 微撇了， cne 就是 微了。 好，现在这个公式就可以用了， 其中 x 方的导数等于二 x， 且这个常数二可以提到前面，那么接下来的任务就是算它了。 很明显，这个背积函数也是两种不同类型的函数相乘，所以我们要再次使用分布积分法。 最后给大家留一道练习题吧，相信你已经会做了。

上节课我们学会了如何将这个振分式拆分成若干个含待定系数的简单分式，那么本节课我们就继续学习如何求出这些待定系数， 非常简单，通常做法就是先把等式两边变成一样的格式， 然后让等式两边的系数和常数相对应相等，最后解这个大括号，就可以求出待定系数 abc 了。 看到这里有的同学会说，主包主包，你的方法确实很强，但还是太吃操作了，有没有更加简单又强势的方法？ 有的兄弟有的。对于这种拆分后的分母都是一次性的情况，你想求谁，就在等式两边同时乘以谁的分母。 比如你想求 a， 就 在等式两边同时乘以 a 的 分母，然后再令 a 的 分母等于零，那么这个等式右边就只有 a 了，很容易可以求出 a 等于八。 同理。你想求 b， 就 在等式两边同时乘以 b 的 分母， 然后再令 b 的 分母等于零，那么这个等式右边就只有 b 了，很容易可以求出 b 等于负三。 同理。求此也是。这么做，这里就不多说了，直接把过程展示给大家吧。 好， a、 b、 c 都求出来了，那这个积分式就彻底拆分完成了。 回到这里，我们会发现，这个被积函数已经变成了便于积分的样子，那它的不定积分就很好求了。

一个视频带大家学完定积分。大家好，我是窜天猴，欢迎来到一周学完专升本高数。 上节课我们学习了不定积分，知道了求不定积分，就是求这个函数是谁的导数，并且积分后面要加一个 c， 比如二 x 是 x 方的导数，二 x 的 不定积分就是 x 方加 c。 这节课我们来学习定积分。啥叫定积分呢？就是给不定积分加上两个数字， 写在下面的这个叫下限，写在上面的这个叫上限，所以这个定积分下限是零，上限是一，读作二 x 从零到一的定积分。那这个定积分等于多少呢？ 我们先把二 x 的 不定积分写出来，也就是 x 方定积分，就是在不定积分后面加一道竖线，右上角写上上限一，右下角写上下限零。 计算的时候，把上限一带入 x 方，减去下限零带入 x 方，也就是一的平方减去零的平方，结果等于一。 从这个计算过程可以看出来，求定积分其实就是先求不定积分，然后把上下线带进去相减就行了。好，定积分的定义讲完了，下面就全都是怎么算定积分的问题了。 求定积分的常考题型主要有三种，第一种是讨论奇偶性的，利用偶备机灵的口诀来求定积分。第二种是通过第二类换元法来求定积分。 第三种是综合题，也是比较难的题目，多种方法混合使用来求定积分。 在正式开始学习怎样求定积分之前，我们需要先了解一下定积分的运算规则，主要有三条， 第一条定积分交换上下线，结果为负，比如二 x 从零到一的定积分等于负的二 x， 从一到零的定积分，上下线交换位置前面就要添一个符号。 第二条，积分变量用什么字母都不影响积分结果，比如把二 x d x 从零到一的定积分改成二 t d t 或者二 q d q 的 定积分结果都是一样的。 第三条，如果计算定积分的过程中涉及到换元，那么换元以后，定积分的上下线也要随之改变。 比如求根号下 x 减一，从一到二的定积分。上节课讲过，背记函数有根号，使用第二类换元法 令根号下 x 减一等于 t， 然后将 x 和 dx 用 t 表示出来， x 等于 t， 方加一， dx 等于二 t d t。 接下来就是关键的一步了。我们看原来的积分变量是 x， 积分上下线都是 x 等于多少的上下线。现在换元之后，积分变量变成 t 了，那么积分上下线也要随之改变，变成 t 等于多少的上下线。 具体咋改呢？原来的下限是 x 等于一， x 和 t 他 俩是啥关系？根号下 x 减一等于 t， 那 我们就把 x 等于一代入到根号下 x 减一等于 t 中解出 t 等于零， 这个 t 等于零，就是换元以后的新的下限。同理，原来的上限是 x 等于二，那就把 x 等于二也代入根号下 x 减一等于 t， 解出 t 等于一，这个 t 等于一，就是换元以后的新的上限。 最后我们用换元结果以及新的上下限替换掉元积分的各个位置，这样就可以把元积分转化成二 t 方从零到一的定积分。 我们看原积分上下线是二和一，新的积分上下线变成了一和零，可以看出，换元以后，定积分的上下线的确是随之改变了。 了解了一些运算规则以后，下面我们正式开始讲如何求定积分。首先来看偶备机零问题，这部分内容主要考选择题和填空题。 如果一个定积分的上下线是关于原点对称的，啥叫上下线？关于原点对称呢？就是上下线一个是 a， 一个是负 a， 它俩绝对值相同，而且一正一负。 比如上线是一下线是负，一上下线就是关于原点对称的。如果定积分上下线关于原点对称，我们继续看背记函数是偶函数还是奇函数。如果是偶函数，积分结果等于二倍的从零到上限 a 的 定积分 啥意思呢？比如 x 方是偶函数，那么 x 方从负五到五的定积分就等于二倍的从零到上限五的定积分。 如果被记函数是奇函数，积分结果直接等于零。比如 x 的 三次方是奇函数，那么 x 的 三次方从负二十七到二十七的定积分直接等于零。 总结一下，偶函数的定积分是二倍的，从零到上限积，函数的定积分是零，所以叫偶倍积零。需要注意的是，偶倍积零是有前提条件的，第一要求上下线关于原点对称， 第二要求背记函数有积偶性，这两个条件必须同时满足，才能用偶倍积零。 接下来带大家复习一下怎么判断函数的奇偶性。一句话，判断奇偶性，就看 f 负 x 等于谁。奇函数 f 负 x 等于负的 f x， 偶函数 f 负 x 等于 f x。 另外，三角函数的奇偶性需要特殊记忆，散隐 x 和弹性的 x 是 奇函数， cosine x 是 偶函数。 好，下面我们开始做两道题消化一下。先来看一道江西的真题，求这个定积分。 这道题定积分上下线是一和负一，关于原点对称，所以要先判断背记函数的奇偶性。由于背记函数有两项，那就分别判断每一项的奇偶性。 刚才说了，判断奇偶性就是看 f 负 x 等于谁。我们先看第一项，也就是三 x 方，这一项， 把负 x 带进去，三乘以负 x 块外的平方就等于三 x 方，所以 f 负 x 等于 f x， 第一项是偶函数。 再来看第二项，也就是二 x 这一项，把负 x 带进去，二乘以负 x 等于负的二 x， 跟原来的二 x 相比，多了一个符号，所以 f 负 x 等于负的 f x。 第二项是奇函数。 判断完奇偶性以后，根据口诀，偶倍积零，第一项是偶函数，那么积分结果就等于二倍的三 x 方，从零到上限一的积分。 根据积分公式， x 的 a 次方的不定积分等于 x 的 a 加一次方，比上 a 加一，可以算出来，第一项的不定积分是二乘以 x 的 三次方。 不会算的同学可以复习一下上节课不定积分的内容。把不定积分算出来以后，再把一和零带入不定积分，二乘以 x 的 三次方相减一带进去是二乘以一的三次方等于二，零带进去是零，相减是二减零结果等于二。 再来看第二项，第二项是积函数，所以积分直接等于零，最终结果是两项相加，也就是第一项的二加上第二项的零，结果等于二。 这道题的主要考点就是利用偶倍积零来简化计算。当定积分的上下线关于原点对称，且被积函数有奇偶性时，偶函数积分是二倍的，从零到上限积函数积分直接等于零。 再来看一道河北的真题，求这个定积分，这道题上下线也是正负一。关于原点对称，所以要先判断奇偶性。我们一项一项地来看，第一项 x 的 六次方， 把负 x 带进去，负 x 块外的六次方等于 x 的 六次方，所以 f 负 x 等于 f x。 第一项是偶函数， 第二项 x 方把负 x 带进去，负 x 块外的平方等于 x 方，所以 f 负 x 等于 f x。 第二项也是偶函数。 第三项，二乘以 x 的 三次方，乘以根号下一减 x 方，把负 x 带进去，负 x 块外的三次方负号要保留，负 x 块外的平方负号没了， 整理一下，发现多了一个符号，所以 f 负 x 等于负的 f x。 第三项是奇函数， 第四项是常数一，不管 x 等于几，函数值永远都是一，所以 f 负 x 天然的就等于 f x。 第四项是偶函数。 好判断完奇偶性以后，根据口诀，偶倍积零。第一项是偶函数，所以积分等于二倍的 x 的 六次方，从零到上限一的积分。 根据积分公式， x 的 a 次方的不定积分等于 x 的 a 加一次方，比上一加一，可以算出来，第一项的不定积分是二乘以七分之一乘以 x 的 七次方，把上下线一和零带进去相减，结果等于七分之二。 第二项也是偶函数，所以积分等于二倍的 x 方，从零到一的积分，先算出来，第二项的不定积分是二乘以三分之一乘以 x 的 三次方，再把一和零带进去相减，结果等于三分之二。 第三项是奇函数，所以积分等于零。第四项是偶函数，所以积分等于二倍的常数。一从零到一的积分。根据积分公式，一的积分是 x， 所以 可以算出来。第四项的不定积分是二， x 把一和零带进去相减，结果等于二。最后我们把四项积分结果相加减，也就是第一项的七分之二减去第二项的三分之二，加上第三项的零，再加上第四项的二，结果等于二十一分之三十四。 这道题和上一道题类似，也是用偶倍奇零来简化计算这类问题一定要记得偶倍奇零是有前提条件的，要求上下线。关于原点对称，且背记函数有奇偶性。 接下来我们来学习用第二类换元法求定积分。这部分内容主要考大题，有一定难度。 上节课讲过用第二类换元法求不定积分，带大家复习一下。 第二类换元法主要针对的是背记函数有根号的情况，如果含有根号下 ax 加 b， 就 令根号下 ax 加 b 等于 t， 然后把换元结果代入元积分，求出含有 t 的 不定积分，最后回代把 t 还原成 x。 这节课我们要用第二类换元法求定积分。那求定积分和求不定积分有啥区别呢？主要是两点区别， 一是求定积分，换元以后要改变上下限。二是求定积分，在求出含有 t 的 不定积分以后，把上下限带进去，直接算出来结果就行了，不需要回带，不需要把 t 还原成 x。 好，下面我们通过题目来理解怎样用第二类换元法求定积分。看一道江苏的真题，求这个定积分。 这道题背记函数有根号下 x 减一，可以使用第二类换元法。我们令 t 等于根号下 x 减一，把 x 和 d x 用 t 表示出来， x 等于 t 方加一， d x 等于二 t d t。 刚才说了，求定积分换元以后要改变上下限，原来的下限是 x 等于一，把 x 等于一，代入 t 等于根号下 x 减一，解出 t 等于零，所以新的下限是零。 原来的上限是 x 等于二，把 x 等于二，代入 t 等于根号下 x 减一，解出 t 等于一，所以新的上限是一。 接下来，我们把换元结果代入元积分整理一下，根据不定积分的性质，把二提到积分符号外面去。 现在背记函数分子是 t 方，分母是 t 方，加一这种形式可以给分子 t 方后面加一再减一，把积分拆成两项。 根据积分公式，一的不定积分是 x， 一 加 x 方分之一的不定积分是二个探进的 x， 可以 算出来括号里的两项，第一项不定积分是 t， 第二项不定积分是二个探进的 t。 刚才说了，求定积分用第二类换元法，不需要回代，也就是不需要把 t 还原成 x。 所以 我们直接把上下线一和零带进去相减，结果等于二，减去二分之派，这道题就做完了。 第二类换元法是求定积分的常考题型，大家需要熟悉这套解析流程，以及用它求定积分和求不定积分的区别。一是求定积分要改变上下限，二是把数带进去，直接算出来，结果，不需要回带。 再来看一道河南的真题，求这个分段函数的定积分。这道题比较难，背记函数是 f、 x 加二的形式，这种情况最好不要把 x 加二，直接往函数里带，容易出错。那咋办呢？ 我们最好是先给它化成 f、 x 的 形式，但是 x 这个字母已经被占用了，那就用 n 吧， 我们给他换元，令 n 等于 x 加二，然后把 x 和 d， x 用 n 表示出来， x 等于 n 减二， d， x 等于 d， n 换元以后要改变上下限，把元进分，下限负二和上限二分别代入， n 等于 x 加二，解出新的下限是 n 等于零，新的上限是 n 等于四。 接下来把还原结果带入原积分，可以整理成 f、 n、 d、 n 从零到四的积分。 刚才讲了积分变量用什么字母都不影响积分结果，那 f、 n、 d、 n 的 积分就等于 f、 x、 d、 x 的 积分。所以这道题其实让我们求的就是 f、 x 从零到四的定积分。 但是从零到四跨越了分段函数的两个区间，所以我们要对零到二和二到四这两段采用不同的背及函数分别积分。我们看 第一项背记函数带根号比较复杂，第二项只有一个 x 比较简单。那我们先把第二项积出来，可以算出来它的不定积分是二分之一 x 方，再把四和二带进去相减，结果等于六，所以第二项定积分就等于六。 然后再来看第一项，它虽然带根号下 a， x 加 b 的 形式， 这里给大家补充一下第二类换元法。背记函数除了根号下 a， x 加 b 的 形式以外，还有一种形式是根号下 a 方减 x 方。 这种情况我们一般是三角换元，令 x 等于 a 倍的三 a t， 其中 t 属于零到九十度的区间， 这样换圆有什么好处呢？我们把 x 等于 a 倍三一 t 带入根式，根据三一方加 q， 三一方等于一，可以把根式化成根号下 a 方 q 三一方 t。 由于我们刚才设的这个 t 是 零到九十度区间的，所以 q 三一 t 是 正的，去掉根号前面不用加符号。这样我们就把根号下 a 方减 x 方，通过三角换圆化成了 a 倍的 q 三一 t。 回到这道题，背记函数是根号下四减 x 方。我们利用第二类换元法的三角换元方法，利用 x 等于二倍的三 a t， 其中 t 属于零到九十度区间。 刚才讲了三角换元以后，背记函数等于 a 倍的 q 三 a t， 也就是二倍的 q 三 a t。 然后我们把 dx 用 t 表示出来，等于二倍的 q 三 a t d t。 换元以后要改变上下线，把原来的下限零和上限二带入 x 等于二倍的散移 t 解出，新的下限是 t 等于零，新的上限是 t 等于二分之派。 接下来把换元结果带入这个积分，整理一下，变成了四倍的 cos 一 方 t， 从零到二分之派的积分。根据不定积分的性质，把四提到积分符号外面去。 现在这个积分背记函数是 cosine 方 t， 下限是零，上限是二分之派，正常算的话不太好算。 这里再给大家补充一个知识点，叫做点火公式，也叫华里士公式。当背记函数是 sine n 次方 t 或者 cosine n 次方 t， 并且下限是零，上限是二分之派时， 它的定积分等于 n 分 之 n 减一，乘以 n 减二，分之 n 减三，依次往后乘。如果 n 是 偶数，倒数第二项是二分之一，最后一项是二分之派。如果 n 是 奇数，倒数第二项是三分之二，最后一项是一。 为啥叫点火公式呢？因为它有点像火箭发射之前的倒计时，所以叫点火公式。 好，我们回到这道题，背记函数是 cosine 方 t， 下限是零，上限是二分之 pi。 我 们使用点火公式， n 等于二，是偶数，所以这一项等于二分之一，乘以二分之 pi， 前面再乘个四，结果等于 pi。 现在第一项和第二项积分都算出来了，最终结果两项相加，等于 pi 加六。 这道题难度很高，体现在三个方面，一是要把 f x 加二，整理成 f x 的 形式。二是背记函数含有根号下 a 方减 x 方，用到了三角换圆的方法。三是用到了点火公式。大家需要记住点火公式长什么样？ 最后我们来讲定积分综合题。所谓的综合题，指的是通过多种方法混合使用来求定积分。这部分内容主要考大题，难度非常高，请大家做好心理准备。 先来看一道浙江的真题，求这个定积分。这道题的背记函数非常复杂，最好是能化简一下再积分。 我们看它的积分的上下线是正负二。关于原点对称，所以先判断一下奇偶性。 第一项把负 x 带进去分子这一项，由于 sin x 是 奇函数，那么 sin 负 x 的 七次方就等于负的 sin x， 括号 y 的 七次方。 再看分母负 x 括号外的六次方等于 x 的 六次方。整理一下，前面多了一个符号，所以第一项 f 负 x 等于负的 f， x 是 奇函数。 第二项把负 x 带进去，负 x 括号， y 的 平方等于 x 方， e 的 负 x 的 绝对值次方，等于 e 的 x 的 绝对值次方。所以第二项 f 负 x 等于 f， x 是 偶函数。 判断完奇偶性以后，根据口诀偶倍积零。第一项是奇函数，积分直接等于零。第二项是偶函数，积分，等于二倍的从零到上限二的积分。 由于第二项的积分区间是从零到二，整个积分区间都是大于等于零的，所以绝对值可以去掉。通过以上操作，我们就把圆积分化成了一个两项相乘的没那么复杂的积分。 接着我们看 x 方，这一项是幂函数 e 的 x 次方，这一项是指数函数，两种不同函数相乘，应该用分布积分法。 根据口诀反对幂三指，指数函数的优先级更高。所以我们把 e 的 x 次方提到后面去， 然后使用分布积分法的公式， u d v 的 积分等于 u， 乘以 v 减去 v， d u 的 积分，把这个积分展成两项。其中中括号里的第一项可以先算出来，把上下限二和零带进去相减，算出来等于四一方。 现在只要把括号里的第二项算出来，这道题就做完了，那看第二项，利用 dx 计算规则，把 dx 方变成二 x dx。 再整理一下， 可以看到，现在这个括号里的第二项也是两种不同函数相乘的形式，需要我们再次使用分布积分法把第二项算出来。第二项算出来以后，再用四异方减去它，外面乘个二就是最终结果。 那我们用分布积分法来算括号里的第二项，根据口诀反对密三指指数，函数的优先级更高。我们把 e 的 x 次方提到后面去， 然后利用分布积分法的公式，把积分展成两项，其中括号里的第一项可以先算出来， 把上下线二和零带进去相减，算出来结果等于二亿方。括号里的第二项， e 的 x 次方的积分等于它本身。把上下线二和零带进去相减，结果等于 e 的 平方减一。 两项相减，外面再乘个二，算出来是二亿方加二，也就是说原积分第二项结果等于二亿方加二。 最后我们再来算一下最终结果，最终结果等于原积分这两项相减，外面再乘个二，也就是四亿方减去二亿方加二，外面再乘个二，等于四亿方减四，这就是最终答案。 总结一下，这道题很难，背记函数很复杂，解析思路是先用偶倍奇零进行化简，然后连续使用了两次分布积分法。如果前面没用偶倍奇零化简的话，那这道题就太复杂了，很难算出来。 所以考试的时候遇到求定积分的题目，大家要先看看能不能用奥贝基尼化简，能化简一定要先化简，那如果不能化简呢？ 下面我们来看一道不能用奥贝基尼化简的题目，这是山东的真题，求这个定积分。这道题有多难，不用多说了。 首先看背记函数里有根号 x， 根号 x 属于根号下 a， x 加 b 的 形式，应该用第二类换元法， 所以我们令 t 等于根号 x， 由于根号 x 是 带根号的，所以 t 天然大于等于零，后面会用到。然后我们把 x 和 d x 用 t 表示出来， x 等于 t 方， d x 等于 d t 方。 还原以后要改变上下线，我们把下线 x 等于零和上限 x 等于四，分别代入 t 等于根号 x 解出新的下线是 t 等于零，新的上限是 t 等于二。 接下来把还原结果带入原积分观察一下，可以发现一个好消息和一个坏消息。先说坏消息，坏消息是它的上下线是二和零，不是关于原点对称的，不能用偶备机灵了。 那好消息是啥呢？好消息是它刚好满足分布积分法 u d v 的 积分的形式，可以用分布积分法。那我们使用分布积分法的公式，把积分展成两项， 第一项可以先算出来，把上下限二和零带进去相减，算出来结果等于四倍的 lo n 四。再看第二项，利用 dx 运算规则， d lo n 二加 t 可以 化成二加 t 分 之一 d t。 我 们看第一项，这个 lo n 四是等于二倍 lo n 二的，所以四倍 lo n 四可以写成八倍 lo n 二。 然后看第二项，它的背积函数是一个分式，没法直接积分。我们观察一下，它的分母是二加 t， 分 子是 t 方。这种形式能用凑微分法来做吗？不能， 因为本来分子 t 方次数就已经比分母高了，所以不能用凑微分法。那咋整呢？ 这种情况只能考虑拆项了。我们给分子 t 方后面加上一个二 t， 再减一个二 t， 这样分子的前两项 t 方加二， t 可以 提取共音式，变成 t 倍的 t 加二，其中 t 加二和分母的 t 加二可以约掉，就剩下 t， 所以 拆项这个思路是对的， 后面还剩下一个二 t， 所以 减二加 t 分 之二 t， 这样背记函数就拆成了两项。那拆成两项够用吗？ 我们看 t 这一项能直接积分，但是后面这个分式还是不能直接积分。那咋办呢？继续拆， 我们在分子二 t 后面加四再减四，前两项提取公式变成二倍的 t 加二，其中 t 加二又能跟分母的 t 加二约掉了，只剩下二，后面还剩下一个减四，所以是减二加二加 t 分 之四， 这样被其函数拆成了三项，并且每一项都能积分了。 我们看现在前两项可以直接积分，根据积分公式， x 的 a， 四方的不定积分等于 x 的 a 加一，次方比上 a 加一，一的不定积分是 x， 所以 第一项 t 的 不定积分是二分之一 t 方， 第二项二的不定积分是二 t。 再看第三项，根据不定积分的性质，可以把四提到积分符号外面去。 然后我们把前两项算出来，把上下线二和零带进去相减，可以算出来第一项等于二，第二项等于四。现在只要把第三项算出来，这道题就做完了。下面我们把前两项二减四算出来，等于负二。 再看第三项，它的记分变量是 t， 背记函数分母有个 t 加二， t 和 t 加二长得很像，可以考虑凑微分法。 根据 dx 运算规则，我们把 dt 凑成 dt 加二，这样的积分变量和背记函数里就都有 t 加二了。可以把 t 加二看成一个整体。根据积分公式， x 分 之一的不定积分是 long x 的 绝对值， 所以第三项的不定积分是四倍的 lo n t 加二的绝对值。前面提到了我们设的这个 t 是 天然大于等于零的，那么 t 加二就是大于零的，所以绝对值可以去掉。 接下来我们把上下线二和零带进去相减，四倍绕 n 四，减去四倍绕 n 二，这个绕 n 四可以化成二倍绕 n 二，所以四倍绕 n 二，再减去四倍绕 n 二，等于四倍绕 n 二， 前面加个负二，所以原积分的第二项等于负二，加上四倍绕 n 二。 最后我们再来算一下最终结果，最终结果等于原积分的两项相减，也就是八倍浪二减去负二加四倍浪二，等于四倍浪二加二，这就是最终答案。 这道题把三种求不定积分的方法，也就是凑微分法、分布积分法和第二类换元法全部砸揉进了一道题目里，所以显得特别难，预算量也特别大，做的时候很容易做到一半开始怀疑自己是不是算错了。 考试的时候如果真遇到这种难度的题目，大家要有信心，这种题并不需要什么识破天经，灵光乍现的答题思路，他无非就是把几种常见的答题方法砸揉进了一道题而已。 只要我们熟练掌握凑一分法、分布均分法和第二类换元法的解析流程，一步一步的往下操作，别算错了就完全可以做出来。以上就是定积分的综合题，希望大家课后多做一些题型加以巩固。 最后我们来总结一下本节课首先讲了什么是定积分，定积分，然后把上下线带进去相减， 然后讲了怎样求定积分。求定积分要先看看能不能用偶倍奇零化解偶倍奇零的前提条件是上下线关于原点对称，且背记函数有奇偶性， 如果满足前提条件，就利用奇偶性的定义来判断函数的奇偶性。如果是奇函数，定积分的结果直接得零。如果是偶函数，结果等于二倍的从零到上限的积分。 接下来求定积分还要用到第二类换元法、凑微分法以及分布积分法。其中第二类换元法不需要回带，直接把数带进去算出结果。 当被积函数含有根号下 a 方减 x 方时，需要用到三角换元的方法，利用 x 等于 a 倍的算一 t， t 属于零到九十度的区间。 此外还有一个点火公式，背记函数是 sine n 次方 t 或者 cosine n 次方 t， 并且下限是零，上限是二分之 pi 时，可以快速算出积分结果。 好，速成课第六讲到此结束，下节课我们讲定积分的压轴大题，旋转体问题，感谢大家的观看，再见！

今天这个视频给大家更新的是二零二五年全国专人本积分的汇总，包括不定积分和定分。有同学说积分比较难，实则在专题中考察是非常固定， 比如场景的啥凑分，根式还原等，其实是真的不难，对不对？老师，选举都是二五年的专题，而且都是什么题，是不是都是大题啊，你看一看是不是？ 然后呢，会大概录制一个小时，希望大家看完的时候能够有所收获，不会浪费大家一个小时。这文档也是老师辛苦手敲的，希望大家看完的时候能给老师点个小赞赞。 那废话不说了，那我们看一下二五年陕西的谁啊？第十二道题啊，计算这不定积分，对不对？遇到分式的不定积分，不会的话，可以写成 x 加上 cos 分 之一是不是乘一个一减 c x d x， 对不对？如果背一函数有明显的导数，可以使用谁啊？可以使用错位分呀，我们不妨对这个分母 x 加上口三 x， 对 它求导呀， 对不对？好了，那 x 等于几啊？一啊？口三角是不是负三 x 啊，对不对？你的背景函数是不是有明显导数啊？是不是可以将它凑进去啊，对不对？那一减三 x 是 不是可以凑我们的 x 再加口三 x 啊，对不对？可以凑我们的 x 加上口三 x 啊， 对不对？那有的人说，老师我没有背过这个错位分啊，当然咱们说了微分不是背的，是自己写的，对不对？那看前面是一样的，前面是一样的。咱们说错位分是从自己凑的地方开始写呀，是不是你从你凑的地方是不是你凑的，是不是 x 加 cos 啊？从你凑的地方开始写啊。 微分公式，微分公式一定用啥？利用我们的微分，你的微分是不是 d y 是 等于 y 撇乘 x 啊，对不对？这 d y 是 不是等于 y 撇乘 x 啊？ 那 x 小 等于假一啊？口减小是不是负 x 啊，对不对？那你告诉我，是不是一减四？ x 抵 x 是 不等于抵它呀？是不是一减四 x 抵 x 是 不等于抵它呀，对不对？那是不是横的变形啊， 对不对？不缺也不少，对不对？也不用添细说啥之类的，对不对？没有印吗？是横的变形。那你凑完之后这是啥？这是我们的分这是啥？这是我们的分式积分啊，对不对？是不是像我们的分式积分，我们分值想谁啊？是不是想这个 x 分 之一 d x 它记出来啥？是？记出来是我们的 l x 绝对值是不是再加 c 啊？ 根据积分位置的一致性啊， x x x 加上 cos x， x 加 cos x， 所以 大家记出来就是 l， 是 不是 x 加上 cos x 的 绝对值是不是再加 c 啊？这不积出来了吗？没有赢吧。这是二五年陕西的谁啊？第十二。 那咱们看一下二五年陕西的谁啊？是不是出现了根号，所以干啥？另一个根号等于啥？是不是等于 t 啊，对不对？另二 x 减三开根号等于啥等于 t 啊？咱说了换圆必换线啊， 你 x 从谁到谁变化， x 是 不是从二到六变化呀？对，那咱们看 t 的 范围啊。当 x 等于二的时候，你的 t 是 不是等于根号下二乘二再减三呀？那就等于讲一啊，当你 x 等于六的时候，你的 t 等于啥？是不是等于根号下二乘六再减三呀，是不是等于三呀？第一步叫换元必换新呀。 第二步干啥得把 x 写出来，是不是？你二 x 减三是不是开根号了？所以等式左右两边同时平方，所以是不是二 x 减三，是不是等于 t 的 平方呀？得把 x 写出来，那你二 x 是 不是等于我们的 t 的 平方？是不是再加三啊？得把 x 写出来，那 x 等于啥？ x 是 不是等于二分之一？是不是 t 的 平方？是不是再加三呀， 对不对？第三步表示啥？表示 d x 等于二分之一，是不是 t 的 平方，是不是再加三呀？是不是 x 等于二分之一 t 的 平方加三呀？ 怎么表示 d x 与 d t？ 这有关系啊？利用我们的微分， d y 等于 y 撇乘啥 d x 啊，对不对？ d y 是 不是等于 y 撇是不是乘一个 d x 啊？关于 t 的 积分，你的微元就是啥 d t 啊，它求到等于啥？ t 的 平方加三求到是不是二 t 前面有个二分之一，所以是啥就是 t 啊， 对不对？所以 d x 等于啥？ t d t 啊，对不对？将你做变量代换，通通代入原来变量上由二到六的定义分转成啥？是转成一到三的定义分啊。这个大根号等于啥？大根号等于 t 啊，你的 d x 等于啥？是不是 t d t 啊？所以是不是 t d t 啊， 对不对？ t 乘 t 等于啥？ t 乘 d 是 不是等于 t 的 平方呀，对不对？这是什么积分？这是不是四方加一？是不是四方加一整体分母分之一啊， 对不对？所以 t 的 平方记出来是啥，是不是三分之一 t 的 三次方呀？所以教你上线一到三带进去啊。那在这里老师不给你带了，只给你讲思路，对不对？所以这题是不是很好求出来了。遇到根式叫换元，换元必换姓呀， 对不对？然后第二步把 x 写出来，第三步表示 d x 与 d t 这关系啊，怎么表示 d x 与 d t 这关系啊？利用我们的微分， d y 是 不是等于 y 撇乘以 d x 啊？那关于 t 的 积分微圆就是啥 d t 啊，没有音吧，所以代入我们的原来的表示，对不对？那就转成面入积分，那 t 的 平方很好奇，那就三分之一 t 的 三次方啊。 那我们看一下二五年安徽的第二十道题，这是什么分式？这是有理真分式。我们说了有理真分式，能因式分解，我们就因式分解，对不对？因式分解之后干啥？叫快速列项对不对？快速列项我们知道一次项列啥，一次项列常数项，如果是平方向列啥？是不是列一次项呀， 对不对？这我们的列项规则啊，能一式分解就一式分解，一式分解之后就列相对不对？你实在不行干啥？凑分母的导数啊，对不对？第二个你再想凑分母的导数啊，那你实在不行干啥？是实在不行再配方呀， 对不对？这我们的三步走呀，对不对？那这啥是有理真分式啊？那有理真分式我们看能因式分解吗？当然啊，是不是分母，是不是可以提个 x 啊？那又想是不是 x 加上二零二五分之一 x 啊？ 已知分解就干啥就列项啊，是不是 x x 是 不是一次性列我们的常数项 a 啊，对不对？那 x 加上二零二五至啥至？一次性列啥？是不是列我们的常数项 b 啊，是不是点 x 啊， 对不对？好了，怎样快速列项？怎么把 a 和 b 解出来？叫求谁挡谁带谁？你要看啥？你要求 a？ a 是 谁？ a 是 谁的系数？ a 是 x， 我 把 x 挡住啊，叫求谁挡谁带谁带分母等零的电呀。所以是不是 x 等于零， 对不对？加 x 零代住啊，代进去啊。那有啥？是不是零加二零二五分之十啊？分之一啊，那 a 等于啥？是不是 a 等于我们的二零二五分之一啊， 对不对？是不是把你的啥 a 给它代定出来了，对不对？ a 就是 我们的二零二五分之一啊，对不对？那你的 b 呢？你的 b 是 谁的系数？该求 b 了， b 是 x 加二零二五的系数，求谁挡谁， 我把它挡住，对不对？然后带谁？是不是带分母等零的点啊，对不对？所以是不是 x 加二零二五干啥等于零啊，对不对？那 x 等于啥？是不是 x 等于我们的负的二零二五，将 x 等于负的二零二五带进去啊？那就啥？那就是，就是负二零二五分之一啊， 对不对？所以呢，你的 b 是 不是求出来，求我们的负的二零二五分之一啊，对不对？叫求谁挡谁带谁？快速类象是不是没有赢吧？好了，那都有啥？是不是都有二零二五分之一啊？所以将二零二五分之一提出来，那有啥？就是 x 分 之一， 是不是再减？是不是 x 加二零二五分之一 d x 啊，对不对？咱说了有加减项，是不是从这个加减项干啥列啊，对不对？那有啥？是不是 x 分 之一 d x 是 不是再减 x 加上二零二五分之一 d x 啊， 对不对？那前面是啥？是不是前面就是我们的分数的积分啊？前面接出来是不是 l x 的 绝对值啊， 对不对？咱们说分数积分是不是 x 零点 x， 他 记住了啥？他记住就是 l x 绝对值，是不是再加 c 啊？是不是前面就我们积分公式啊？那后面怎么记啊，对不对？后面像什么积分？后面是不是像分式积分？咱说积分位置的一致性啊， x x x 啊，他想记他是 x 加二零二五，他一定是谁啊？是不是 x 加二零二五啊？ 所以他记住啊，他记的就是我们的论，是不是 x 加二零二五的绝对值啊，对不对？积分位置的一致性啊， x x x 加零二五， x 加二零二五，所以他记的就 x 加二零二五啊， 对不对？咱说加减乘除，不改变微分啊，对不对？他就不改变，所以不用添数了，对不对？是不是再加 c 啊，对不对？是不是？对数相减是不是等于乘数相除呀， 对不对？那这题就干啥？是不是这题给它化简一下，那这题不就积出来了吗？是不是这二五年啥安徽的意思啊？安徽的第二十道题是不是非常简单利用我们的？求党代快速列项，你可以记得啊，你可以记是不是小减大，是不是小减大是不是 代成啥大减小？是不是想不起来了，对不对？你们老师是不是这样教的？或者可以利用啥？求党代快速列项。 那怎么看一下二五年的福建啊？计算这个不定积分又出现了根号怎么办？叫换元呀。所以是不是令 这个大根号等于啥？是不是另这个大根号是不是等于 t 啊？如果是定积分，换元必换线啊，这不定积分你不用换线了。这第一步，第二步干啥？得把 x 写出来啊？所以是不是二加三开根号了？所以等式左右两边同时平方，所以是不是二加三是不等于 t 的 平方呀？得把 x 写出来。那二 x 等于啥？是不是二 x 等于 t 的 平方，是不是再减三啊？ 那你 x 等于啥？ x 等于二分之一，是不是 t 的 平方是不是再减三呀？得把 x 写出来啊，对不对？第三步干啥？第三步表示 d x 与 d t 之间关系啊。 x 等于啥？ x 等于是不是二分之一？是不是 t 的 平方？是不是再减三呀，对不对？ 怎么表示 d x 与 d d 之关系啊？是不是刚讲了，是不是令我们的微分 d y 是 不是等于 y？ 撇成啥 d x 啊？是不是？ d y 是 不是等于 y？ 撇是不是乘以个 d x 啊？你关于 t 的 积分，你微元肯定是 d t 啊， 对不对？那 t 的 平方再减三求到是谁啊？是不是就是二 t 啊？前面有二分之一，那就是 t 啊，所以是不是 d x 等于 t？ d t 啊，对不对？所以将你做的变量代换，通通代入圆来表达式啊，是不是就是 cos。 这个大根号等于啥？ t 啊， 对不对？是不是那根号等于啥？根号等于 t？ d x 等于谁啊？是不是等于 t d t 啊？那就 t d t 啊？ 对， t 和 t 约掉了，那就啥？就是 cosine t d t 啊，那你告诉我 cosine 的 原式是啥？ cosine 原式就是 cosine t， 是 不是再加 c 啊？咱说了干啥，不要忘记回来呀，对不对？那你的 t 是 啥？你的 t 是 不是这个根号呀？ 那就将这个 t 等于啥？二 x 加三开根号回来呀。那这题不就积出来吗？是不是就是我们根式的还原吧，这是我们二五年福建的考察内容啊，对不？ 那咱们看一下二五年的甘肃啊，计算这个不定积分啊，对不对？我们知道啥？我们知道是不是口乘 x 的 元函数等于啥？是不是等于我们的四 x 啊，对不对？这几次密，这一次密，这几次密，二次密啊，是不是给它使用谁啊？你得要给它降密啊，对不对？我们得用降密公式，我们的降密公式得用我们的啥二倍角呀， 对不对？我们的 cos 二 x 是 不是等于我们的二倍的 cos 方？减一啊，是不是也等于啥？是不是也等于一减二倍的 cos 方呀，是不是也等于啥？是不是也等于 cos 方？是不是再减 cos 方呀，对不对？你对谁？你对 cos 方叫密，是不是只能选择第一个啊， 对不对？所以啥？所以是不是 cos 二 x 是 不是等于我们的二倍的 cos 方？是不是再减一啊，对不对？把它一代等啥？把它一代等式的左边呀，那你告诉我是不是二倍的 cos 方 x 是 不等于啥？是不等于一加上 cos 二 x 啊，对不对？ cos 方 x 是 不等于二分之一， 是不是一加 cosine 二 x 啊？是不是对它使用了降密啊？是不是由二次密降成一次密啊，对不对？那你对它降密带入原来表示啊，那你 cosine 方是不得二分之二分之零？长处给它踢到做外面，对不对？那就啥，是不是就是一加 cosine 二 x 点 x 啊， 对不对？有见效怎么办？就列啊，所以是不是从这个加法处列啊？那又想是不是一点 x 啊？是不是再加谁啊？是不是再加口 c 二 x 点 x 啊？没有赢吧没有赢吧！好了，那咱们看一下一的元素是啥？是不是一的元素就是我们的 x， 对不对？那前面是啥？是不是前面就积出来了？前面一的元素就是 x 啊，对不对？那 cosine 的 元素是啥啊，对不对？我们知道 cosine x dx 它去了是啥？它就是积出来就我们的 cx 啊，对不对？咱们说及其分位置的一致性啊， 对不对？积分位置一致下 x x x 啊，这是二 x， 他 要记他一定是二 x 啊，对不对？那多谁少谁，不知道怎么办？是不是从你凑的地方开始写啊？是不是前面一样的从你凑的开始写啊？ d 二 x 是 不是利用我们的微分？ d y 是 不是等于 y 撇成啥 d x 啊？ d y 是 不是等于 y 撇乘啥 d x 啊？二 x。 要问一下，二呀，你拿谁凑的？是不是拿 d x 凑的多了一下，是不是多了二？所以等式左右两边同时乘二分之一呀，对不对？所以等式左右两边同时乘二分之一呀，所以 d x 是 不是等于二分之一 d 它呀，对不对？咱们说 y 不是 背的，是自己写的，是不是？ d x 是 不是等于二分之一？ d x 是 不是等于二分之一 d 它呀， 对不对？好了，那就二分之一，是不是 x 再加二分之一，是不是根据积分位置一致性啊？ x x x 啊， 二 x 二 x 它记着用啥，是不是 c n 二 x 啊，是不是再加 c 啊？没有用吧，我把这个括号再给它打开一下。那有啥，那就是二分之一 x 是 不是再加四分之一，是不是再加 c 啊，对不对？如果你的三角函数是二十米， 你得干啥？对它使用二倍角进行降密处理啊？这是二五年的谁啊？甘肃。那咱们看下二五年甘肃的谁啊？第三十道题啊，对不对？计算这个定积分，这个定分是不是又有根号了？有根号怎么办？去啊，换元啊。所以是不是另这个根号等啥？另这个根号等 t 啊？ 换元必换线啊。 x 从谁到谁变化，是不是 x 从零到一变化呀？看你的 t 啊，当 x 零时候， t 领啥根号零啊，那就是啥零啊。 当 x 等于一的时候， t 等于啥？根号一就是一啊，换元币换线啊。第二步，干啥得把 x 写出来啊。所以是不是 x 开根号了？所以等是左右两边同时平方，所以是不是 x 等于 t 的 平方呀？第三步，表示啥？表示 d x 与 dt 之用关系啊，对不对？那 x 等于啥？ x 等于是不是 t 的 平方呀， 对不对？表示 d x 与 d t 之关系啊，所以是利用我们的微分是不是？ d y 是 不是等于 y 撇成啥 d x 啊，对不对？它求导等于啥？ t 的 平方是不是？求导是不是等于二 t 啊？关于谁啊？关于 t 的 积分微圆就是啥 d t 啊， 对不对？所以将你做变量代换的部分带入原来表示啊，对不对？好了，是不是由零到一的定义分转成零到一的定义分啊，对不对？ e 这个根号等于啥？根号等于 t 啊？ d x 等于啥？ d x 是 不是等于二 t d t 啊？所以说二 t d t 啊。二是啥？二是常数干啥丢出去啊？二是常数丢出去啊， 是不是？二是常数丢出去啊，对不对？咱说了，如果倍增函数如果有两个的话，是不是倍增函数？如果有两个的话，是不是根据我们的反对密三指 或反对密值三，是不是将靠后面的去凑啊？变成啥？变成 u、 d、 v 的 形式，是不是等他俩先相乘，是不是再减他俩交换位置的一个积分呀，对不对？好了，这出现啥？是不是出现了我们的啥 et？ et 是 不是我们的 指数函数啊？ t 是 啥面函数啊？是不是将靠后的指数函数去凑啊，对不对？我们知道 et 只能凑啥指数函数，只能凑指数函数啊， 对不对？那相等不相等啊？咱说自己减呀，是不是二二倍的零到一的定义分 t， 是 不是二倍零到一的定义分 t 啊？是不是从你错的地方开始写啊？是不是 d e t 对 不对？ d e t 是 不是等于 dy？ 是 不是等于 y 撇乘 x d x 啊，对不对？关于 t 的 基本谓语，肯定 d t 啊， e t 就 好，还是 e t 啊？所以说 e t 就是 d e t 啊，是不是就是横的变形啊， 对不对？所以就是横的面相，是不是将一个去凑了？变成 u d v 的 形式，是不是等于他俩先相乘啊？这不积出来吗？将你上线带进去啊，是不是再减？不要问这个系数是不是再减他俩交换位置的积分呀， 对不对？咱说了 e t 的 积分还是啥 e t 啊，那这不就积出来了吗？对，那他积出来就是啥，是不是二倍 e 的 t 啊？将你上线零到 e 带进去啊？那你自己带就行了吧。又到又遇到根号怎么办？是不是叫换元啊？换元必换新啊，如果， 如果按啥？如果被加数出现两个了，跟你反对密三指或反对密指三将靠后面去凑，变成 u d v 的 形式，先相乘再减它俩交换位置的一个积分呀。 那咱们看一下二五年山西的啊，对不对？那计算这不定积分怎么去计算呀，对不对？那是 learn 的 积分，不会算。咱们看一下这个积分会不。 x 分 之一点 x 它记出来是不是就是 learn x 的 绝对值，是不是再加 c 啊？但是啥？但是 learn 绝对值他接出来啥？他接出来不就是他不，不是 x 分 之一啊，这个就不对啊，对不对？那这个怎么办？那这就是我们啥分布减法，此时啥，他此时就是啥，就是 u， 这就 v 啊，对不对？那就等于啥？就等于他俩先相乘，是不是再减他俩交换位置的一个积分呀， 对不对？没有赢吧。但是咱们的不定积分是啥？咱们不定积分是不是以谁结尾？以 d x 结尾啊？这 d 它呀，丑不丑？丑呀，这要是丑怎么办？所以令我们的微分 d y 是 不等于 y 撇乘啥 d x 啊，对不对？你告诉我 d learn x 平方是不是？ d y 是 不等于 y 撇乘啥 d x 啊， 它求等于啥？ learn 求是不等于它分之一啊？全吗？没有，不让干啥？对，你的内层求到那 x 平方求到是啥？是不是二 x 啊， 对不对？所以抵他是不等于他 d x 啊，对不对？那就等于他俩先相乘是不是再减他俩交换位置积分？那抵勒 x 平方是不等于啥？就等于我们的 x 平方是不是二 x d x 啊？是转着我们的以 d x 为积分呀， 对不对？好了，那这个 x 把它放的下，把它放在分子的位置啊，对不对？是不是 x 平方？ x 平方干啥？直接约掉了， 对不对？那二的元素数啊，那二的元素数就是二 x 啊，它求的就是 x， 是 不是 l x 乘方是不是再减二？ x 是 不是再加 c 啊？那这题就积出来了，是不是？这二五年山西的这样第五道 如果就是遇到楞的话，他肯定就是 u、 d、 v 的 形式，你直接分布就可以了，对不对？那怎么看下二五年陕西的陕西的这样第十道题啊，计算这不定积分呀， 对不对？那这不定积分怎么去做呀？那咱们回想啊，这个不定积分你会做不？这是 x 加一，上面就是 x 平方，对不对？咱们说了，如果分母是一次项，分子是二次项，我们优先考虑啥？优先考虑平方差把你的啥分母给它干掉，那你平方呢？我可以减一再加一啊，从这个加法处裂开呀， 对不对？那就可以写啥？是不是可以写 x 平方减一比方啥比方？ x 加一，是不是再加上？是不是 x 加一分之一点 x 啊，是不是都很好记啊？是不是？前面是不是可以使用平方差？那就说 x 平方再减一，是不是可以写成 x 加一，是不是再乘啥？是不是再乘一个 x 减一啊， 对不对？你的分母是谁啊？分母是不是 x 加一啊？所以可以加 x 加一，干啥？给它干掉，那就啥，是不是就是 x 减一啊，是不是？那你就干啥？是不是分别拆开裂就可以了， 对不对？那这个思想，那就隐身到谁啊？二五年谁啊？山西的谁啊？第十道题啊，对不对？你的谁啊？你的分母是平方，你的分子是四次方，你的四方是不是平方的平方， 对不对？是不是也可以使啊？是不是也可以使我们的平方差把分母给它干掉？那四次方是不是写着平方的平方啊？看啥？是不是可以写个见一再加个一啊， 对不对？从这个加法处练啊，对不对？那前面是不是可以写着 x 平方的平方是不是再减一啊？是不是 x 平方再加一？是不是再加上？是不是 x 平方？是不是再加一分之一点 x 啊？ 对，前面是不是可以使用平方差？那 x 平方的平方是不是再减一？是不是可以写着 x 平方？是不是再加一？是不是再乘一个 x 平方？是不是再减一啊， 对不对？你的 x 平方的平方再减一，比上是不是比上 x 平方再加一啊？那我比上 x 平方再加一啊，是不是可以将你的分母给它干掉啊？所以只剩啥？是不是只剩 x 平方再减一啊， 对不对？没有音吧，对不对？如果分母是一次幺，分子是二次幺，优先考虑啥平方差把你啥是把你的分母给它干掉呀， 对不对？好了，遇到加减项怎么办？从这个加减项列啊，所以从这三项列啊。那第一项是啥？那第一个就是 x 平方点 x 是 不是再减一点 x 是 不是再加上啥？是不是再加 x 平方？是不是再加一分之一点 x 啊？ 那 x 平方的元素是啥？是不是三分之一 x 立方呀？那 e 的 元素是啥？就 x 啊，那 x 平方加 e 的 元素就是 ark 它的 x 啊，这不就记出来了吗？是不是再加任意常数 c 啊，没有音吧，对不对？这是我们的二五年山西的啥第十道题啊？ 那我们先把二五年广东给它跳过去，因为咱们视频讲过了，回来你翻一翻。那咱们看一下二五年广东省第十三道题，计算这个第几分呀，对不对？零到二幺 pi sin x cos x 啊，对不对？咱们说背景函数，如果有迷迭数，可以凑微分呀， 是不是？咱们可以干啥？是不是可以将我们的 c 凑进去啊，或者将 c 凑进去啊，对不对？我们知道是不是 c x 求等一下，是不是 c x 求的就是我们的 c x 啊，被人家说是不是有迷岛兽可以将它凑进去啊？是和我们的二五年谁啊？陕西的第一道题非常相似啊， 是不是可以将谁啊？是不是可以将我们的是不是 c c 凑起来？凑起来是不是凑 c 啊，对不对？那有人说，老师我不知道凑的对不对啊， 对不对？有人说，老师我不知道错的对不对啊？是不是可以自己写呀？咱说微分是自己写的啊，是不是前面都是一样的？前面一样的是不是从你错的地方开始写呀， 对不对？ d c x 凑分凑分一定用微分微分是不是 d y 是 不等于 y 撇乘 x d x d y 是 不等于 y 撇乘 x 啊？ d x 啊，那 c 求到谁呀？是不是 cos， 是 不是 cos x d x 是 不等于 d x 是 不等于 d x 呀？哎，那不就是恒能变形吗， 对不对？那此时是什么积分？此时是不是我们的 m 函数积分啊，对不对？我们正好是啥，我们知道 x d x 它出来是不是二分之一 x 平方，是不是再加 c 啊？ x x x 啊，积分位置的一致性啊， thanks thanks。 所以 它记出来就啥，就是二分之一是不是 c x 的 平方是不是再加 c 啊？但是定积分你不用加 c 了，是不是？教你上线零到二派带你去啊，对不对？这是二五年谁啊？广东的谁啊？第十三道题啊， 对不对？是不是非常简单呀，被人说如果有迷倒数干啥对它使用凑为分呀？那咱们看一下二五年的广西的第十八道题啊，计算这个不定积分啊，对不对？遇到加减项怎么办？就列啊，随时从这个加法处列。从这个减法处列啊，那有啥呢？就是 cosine x 点 x 是 不是再加啥？是不是 e x 点 x 啊，是不是再减五 d x 啊，对不对？那 q c 的 元素是啥？就是 c 啊，对不对？ e x 积分还是 e x 啊？那五的元素是啥？是不是五 x 啊？是不是再加 c 啊？这不积出来了吗， 对不对？那咱们看一下二五年广西的谁啊？第十九道题啊，计算这不定积分啊，这像什么积分？是不是大概像面函数积分啊？我们知道 x r 方点 x 它就来写，是不是次方加一，是不是次方加一？整体分母是不是作为分母分成一啊， 对不对？没有音吧，是不是？这是二加一？他想一定是二加一啊，对不对？那给他凑一个二加一啊， 对不对？咱说了凑的话你干啥？是不是？是横的面积吗？不一定啊，对不对？这样怎么办？是不是自己写呀？是不是前面就是不定积分号他不定积分符号他呀，是不是从你凑的开始写呀？那你告诉我，二加一 d y 是 不是等于 y 一 撇是不是乘以个点 s 啊？ 二加一求的是啥？是不是二呀？你拿谁凑的？拿 d x 凑的多了啥？是不是多了个二？所以等式左边同时乘一个二分之一啊， 对不对？二乘二分之一等于假，是不是等于一啊？所以 d x 是 不是等于二分之一？是不是抵他呀？是不是根据我们积分位置的一致性啊？ x x x 啊，二加一，二加一，所以他积了些啥？是不是就是二 x 加一啊？ 是面入积分，是不是四方加一三加一是四啊？四方加一整体做分母分离啊，是不是再加 c 啊？对，那一化减一下就是八分之一，是不是二 x 加一的四次方是不是再加 c 啊？ 没有音吗？所以这不积出来了吗？对不对？那总看一下二五年广西的谁啊？第二十道题啊，又遇到啥？又遇到 l 啊，对不对？此时他谁啊？他就分布积分的 u， 他 就 v 啊，是不是直接先相乘？ 这不记出来了吗？叫你上线带你去啊，是不是再减他俩交换位置的积分呀，对不对？把他俩交换位置啊，咱说了不定积分都是啥？咱说不定积分是啥？不定积分以谁结尾？是不是以 d x 结尾啊， 对不对？以 d x 结尾啊？他说啥 d 隆呀，丑不丑啊？怎么办？是不是令我的微分 d y 是 不是等于 y 撇乘以 x 啊？那你告诉我 d 隆 x 啊， d 它 d y 是 不是等于 y 撇乘以 x d x 啊？那 l 求是不是等于 x 分 n 啊，是不是 d x 啊？所以 d l x 等于 x 分 n d x 啊，对不对？ d l x 是 不是等于 x 分 n d x 啊？那 x 乘 x 分 n 等于角等于一啊， 对不对？那一的元素是啥？一的元素就是我们的 x 啊，所以它记出来就是 x 龙 x 是 不是教你上线一到三带你去啊？一的元素是 x 啊，教你上线一到三带你去啊。那这个题就有了吧，这二五年广西的所有的啥不定积分呀？ 那我们看一下二五年贵州的第二十二道题，计算这个不定积分啊。这什么分式？这是有理真分式啊。有理真分式是不是能因式分解就给他因式分解一下？因式分解之后就列向呀，对不对？分母是啥？分母是不是一减 x 四方，对不对？那四次方是不是给写成平方的平方呀， 对不对？可以使用平方差是不是可以写成一减 x 方？是不是再乘啥？是再乘一加 x 方呀？对，前面是啥？是不是前面是平方差？你没有列干净，再这样列是可以写成啥？是不可以写成一加 x， 是 不是再乘啥？再乘一减 x 啊？是不是再乘啥？再乘一加 x 平方呀， 对不对？是不是给他列干净了，对不对？咱们说能一分解就给他一分解呀，一分解之后干啥就列向，对不对？分母可以列成啥，是不是列成一加 x， 是 不是再乘啥？再乘一减 x 啊？是不是再乘啥？再乘一加 x 平方是不是分成 x 平方点 x 啊， 对不对？没有赢吧。那怎么看啊？给他列向啊。咱说一次性列啥？是不是一次性列常数项呀， 对不对？一次项列啥？一次项列常数项呀，对不对？那平方向列啥？平方向列列啥？是不是列一次项？那就是 c x 再加 d 啊， 对不对？那咱们看一下 a 和 b 怎么去求，那求 a 怎么求？是不是叫求挡带啊，对不对？叫求谁挡谁带谁？ a 是 谁的系数？ a 是 一加 x 系数哦，把一加 x 给它挡住啊，对不对？叫求谁挡谁带谁带分母等零的点呀， 对不对？对不对？将分母等于零带进去啊？所以是不是一加 x 减零，那 x 等于加 x 等于负压，所以加 x 等于负一带进去啊， 加 x 等于负一带进去啊。那有啥？就是负一的平方，比如让啥？比如让一减负一， 是不是再乘一下？是不是再乘一加负一的平方呀？负一的平方等于几？负一平方等于一啊，一减负一就是二呀，一加负一平方就是二呀，对不对？二二得几啊？四呀，所以是啥？是不是四分之一啊？所以 a 求出来了， a 求出来是啥？是不是四分之一啊， 对不对？叫求谁挡谁带谁啊？ a 是 啥？ a 是 四分的呀，对不对？那咱看 b， b 是 谁的？说， b 是 一减 x， 说我把一减 x 干啥，给它挡住啊？叫求谁挡谁带谁，是不是带分母等零的点啊？所以是不是一减 x 等于零啊？那 x 等于加 x 等于一啊， 所以加 x 等于一带进去啊，加 x 等于一带进去啊，是不是？那就啥？那就是一的平方比上谁啊？比上一加一是不是再乘上？是不是再乘个一加一的平方呀， 对不对？好了，那有啥？分子就是一呀，分母就是二乘以二呀，二乘二等于减四呀，对不对？所以 b 求出来了吧。 b 是 b 是 我们的四分力呀，对不对？ b 是 我们的啥四分力呀， 对不对？ b 给它列出来，是不是四分力呀，对不对？那咱们看一下 c 和 d 怎么求？要求 c 和 d 可以 使用啥？可以使用我们的啥？倒加求？对，但是你又你对他求的话非常麻烦呀。 那怎么办，对不对？可以取个特值呀，我们知道谁啊？我们知道是不是 x 平方比上谁啊？比上一加 x 是 不是再乘啥？再乘一减 x 是 不是再乘一加 x 平方是不是可以列成谁啊？是不是可以列列？列成是不是一加 x 分 之四分之一，是不是再加谁啊？是不是再加 一减 x 分 之四分之一是不是再加谁啊？是不是再加一加 x 平方是不是 c x 再加 d 啊， 对不对？给取个特值啊，对不对？我可以不妨令 x 点零啊。看。等是左边是零平方比上谁啊？一加零再乘一减零，再乘一加零平方，那就是零啊。等是右边，那又谁？是不是四分之一比上谁啊？比上一加零就是一啊， 对不对？好，将零带进去取取特值加 x， 零带进去，那就是啥？是不是一减零分之四分之一，那就是啥？那有一分之四分之一啊，对不对？将 x 零带进去啊，那一加零的平方，那就是啥？一啊，对不对？加 x 零带进去啊，那就没有了，那就是 d 啊，对不对？是不是零等于四分之一？加四分之一加 d， 那 d 等于啥？是不是 d 等于负二分之一啊？ 所以 d 是 不是给它解出来了？是不是？ d 就是 我们的加负二分之一啊？ d 是 不是负二分之一啊？给它列出来了，是不是取透支给它取出来了？ d 是 我们的加负二分之一啊，可以再取个透支啊。我另 x 加另 x 二呀，对不对？另 x 等于二呀， 对不对？另 x 等于二呀，对不对？带进去啊？等式左边是不是二的平方？比上啥？比上一加二是不是再乘一减二是不是再乘一加二的平方呀， 对不对？好了，等着左边带进去啊，那就是四分之一比上谁啊？比上一加二等于减三啊，是不是再加上谁啊？二带进去啊，是不是一减二那就是负一啊，对不对？四分之一比上负一，那就是负四分之一啊， 对不对？将谁啊？是不是加 x 等于二带进去啊，对不对？那就是二的平方等于减四，四加一等于减五呀，是不是加 x 等于二带进去，那就二 c 是 不是减 c 是 不是再减二分之一啊？所以你可以解出是不是可以解出 c 啊？这个 c 一 减，你看能看出来吧？这个 c 一 减是不是等于零啊， 对不对？ c 是 不给解出来， c 是 不是代入出来等于零啊？ c 就是 零啊， c 就是 零啊，就没有了吧，那是不是就裂开了，对不对？那不裂了吗？那把 c 个 d 解出来， abc 都解出来了吗？所以遇到加减相怎么办？再裂啊？ 对，给他列啊，那是啥？那就是啥？那就是四分之一是常数提出呀，那就是啥？是不是一加 x 分 之一点 x 啊？是不是再加啥？是不是再加我们的啥？是不是四分之一常数提出去啊？那用一减 x 分 之一点 x 啊，是不是这个负二分之一是常数提出去啊？当然是，那就是我们的一加 x 平方分之一点 x 啊， 对不对？那一加 x 平方它的元素是啥？那就是我们的 arc 它的 x 啊，这不就积出来了吗？那就是 arc 它的 x 啊， 对不对？那前面是什么积分？前面是分式积分啊？分式积分，是不是想这个 x 分 之一点 x， 它就是 x x x 绝对值啊？根据积分位置的一致性啊。 x x x 啊，这是 x 加一，它要一定是 x 加一啊，它记出来是它记出来就我们的 x x x 加一的绝对值啊， 对不对？根据积分位置的一致性， x x x x 加一， x 加一，它就 x 加一啊。加减乘除，不改变微分，那不就是对的吗？ 对不对？那怎么看这边怎么积分？是不是又想分成积分，对不对？他是啥一减 x， 他 要一定是啥，就是我们的啥一减 x 啊，对不对？你不是横的变形吧，对不对？怎么办？是不是凑个分从你凑的地方开始写呀？是不是前面是一样的前面一样的从你凑地方开始写啊？ d 一 减 x 是 不是根据我们的啥微分？ d y 是 不是等于 y 撇乘差 d x 啊？ d y 是 不是等于 y 撇乘差 d x 啊？一减 x 所得成啥？是不是负一啊？你拿谁凑的？拿 d x 凑的多了啥？多了个负一，等于左右两边同时乘以负一啊， 负变成啥？负变成正呀？所以 d x 是 不是等于负的底它呀？是不是？ d x 是 不是等于负的底它呀？ d x 是 不是等于负的底它呀？这个符号是不是可以啊？把这个正号是不是变成负的没有用吧？是不是根据积分位置的一致性啊， 对不对？ x x x 啊？ e x e x e x， 它记出来就是啥？就是 e 减 x 啊，它记出来就是 l e x 的 绝对值啊， 是不是再减二分之一？是不是 ark 它的 x 是 不是再加 c 啊？根据对数的性质，是不是对数相减是不是等于真数消除啊？我把这个四分之一是不是给提提出去啊，对不对？没有用吧？对数相减是不是等于真数消除啊，对不对？那楞 x 加一的绝对值比上谁呀？比上 l 是 不是一减 x 绝对值？对数相减是不是等于真数啊？相处呀，对不对？那就比上谁呀？是不是比上一减 x 啊？那这题不就积出来了吗？是不是有理？真分式能一式分解就给它一式分解，对不对？一式分解之后就给它列向啊， 对不对？前面的一次项怎么列？叫求等代。那后面怎么列向？后面叫取透值呀，对不对？没有疑问。这是二五年贵州的事啊，第二十二道题啊。 那咱们看一下二五年贵州的第二十三道题啊，计算这个地方是不是出现了根号？那你这个换元，那你就换不出来了，怎么办？那你根号里面是啥？根号里面是不是一个谁啊？是不是二次项， 对不对？二次项干啥？可以配方呀，对不对？我们对这个分母二 s 再减 x 平方，给他配方一下，对不对？是不是可以将这个符号提出去？那你用 x 平方是不是再减二 s 啊？ 你对待配方当然会配方了吧？叫一系折半，再平方一次要系数是二折半几啊？一啊，是不是再平方？所以是不是一的平方还是一啊？你加一是不是再减一啊？横变形啊，那就是负呢，是不是 x 平方是不是再减二？ x 是 不是再加一啊？我讲这个减一，提出去减，减变成啥？变成加呀， 前面是啥？是不是前面就是一个完全平方，是不是再加一啊？那你写好看一点，是不是 x 减一的完全平方呀， 对不对？没有音吧，所以遇到根号里面有二次式对不对？干给他配方呀，你当然换元换不出来呀，对不对？那好了，是不是？那有啥？就是一到二，那你根号底下就是啥，那就是啥，是不是一减是不是 x 减一的一个平方，是不是点 x 啊， 对不对？没有音吧，对不对？你给他配方之后，那配方之后分母有啥？是不是有 x 减一这个整体啊？是不是可以整体四样给他换元呀？所以是不是令 令 t 等于啥？令 t 是 不等于 x 减一啊？咱们说换元 b 换新啊，你 x 从谁到谁变化？你 x 是 不是从一到二变化呀？是不是？那怎么看 t 啊？当 x 等于一时候，你的 t 等于假，是不是 t 等于零啊？当 x 等于二时候，你就加 t， 是 不等于假一啊，对不对？换元 b 换新啊， 对不对？第二步，干啥得把 x 写出来啊，对不对？把 x 写出来对不对？那 x 等于啥？是不是？ x 是 不是等于我们的？是不是 t 加压？第三步，表示 d x 与 d t 之间关系啊？ x 等于 x 等于 t 加压，怎么表示 d x 与 d t 之间关系啊？是不是令我们的微分 d y 是 不是等于 y 一 撇乘以 x 啊？ 你观察关于 t 的 积分， y 肯定 d t 啊，对不对？ d y 是 不是等于 y 撇乘以 t 啊？它求到等于啥？ t 加一求到是不是等于一啊？哎， d x 就 等于 d t 啊。 所以将作变量代换，代入原来变量上由一到二的定义分，转成是转成零到一的定义分啊，对不对？那根号下一这整体等于啥？这个整体等于 t 啊，所以就是一减 t 的 平方。 d x 等于啥？ d x 等于 d t 啊， 对不对？那这很好记啊，这是表示一下，是不是表示四分之一的面积，是不是就是四分之一，是不是派 a 的 平方呀？那这个答案是不是四分之一派呀， 对不对？咱们讲定一分几个 e， 是 不是讲这个零到 a 根号下 a 方，是不是再减 x 方，它表示它表示四分之一的面积，是不是四分之一，是不是派 a 的 平方呀？那负 a 到 a 根号下 a 方再减 x 方，它表示它表示一半圆的面积，它表示二分之一，是不是派 a 的 平方呀， 对不对？没有音吧，如果根是底下有二次项怎么办？我们优先考虑下配方。 那咱们看一下二五年的将线啊，对不对？计算这个定积分啊，又有根号怎么办？叫换元啊。所以是不是令 x 开立方等于啥 t 啊？换元变换线啊， x 是 不是从零到一变化呀？ 对，那咱们看 t 的 范围，当 x 点零的时候， t 是 不等于零，开立方等于假零啊？当 x 点一的时候， t 点啥？一开立方等于假一啊，还原变换线啊。第二步，看啥？得把 x 写出来， x 是 不是开立方了，所以等于左右两边同时立方一下，所以是不是 x 等于一下 t 的 立方呀？ 第三，表示啥？表示 dx 与啥与 dt 之间的关系啊。 x 等于啥？ x 等于 t 的 立方呀，对不对？总表示 dx 与 dt 这关系啊，是不是利用微元微分是不是？ dy 是 不是等于 y 撇乘啥 d x 啊？ dy 是 不是等于 y 撇乘啥 d x 啊？关于 t 的 积分，你的微元肯定是 d t 啊。 t 的 立方，求导数是不是等于三 t 的 平方呀，对不对？所以将变量带出来部分带入变量值是不是等于三 t 的 平方呀，对不对？所以将变量带出来部分转化成零到一的平方呀，对不对？所以将变量带出来部分转化成零到一的平方呀？ 对，好了，这个例，这个 x 开立方等于啥？等于 t 啊，对不对？是不是再加一啊？那你 d s 等于啥？ d s 是 不是等于啥？你 d s 是 不是等于三 t 的 平方？对 t 啊，所以是不是三 t 的 平方对 t 啊， 对不对？没有赢吧。好了，三是常数丢出去啊。那有啥是零到一？那有啥？那就是我们的 t 的 平方是不是比上 t 加一啊？少抄一个是不是？ 是不是点 x 啊？啊？抵 t 啊，对不对？没有音吧。咱说了分母是几啊？分母是一次项，分子是二次项，怎么办？是不是优先考虑啥？是不是优先考虑我们的因式分解啊？对，把分母给它干掉。是不是 t 的 平方我减一再加一啊，比方谁啊？比方 t 加一抵 t 啊， 所以是不是从这个加一处列呀？那有啥？那有三倍的啥？是不是零到一？是不是 t 的 平方是不是再减一 t 加一分之一抵 t 啊？ 是不是从这个加法处列啊，对不对？那前面是不是一个平方？差 t 的 平方再减一，是不是可以写着 t 加一是不是再乘啥 t 减一啊， 对不对？你的 t 方你 t 平方减一比上啥？比上 t 加一啊？那我也比上个 t 加一啊，是不是可以约掉？那前面啥？是不是前面利用我们的平方差把你的分母干掉了？那就是就是 t 减一啊， 对不对？好了，那怎么办？是不是从加减项干啥接着列啊？是不是老两样，是不是三提出去？那有啥，是不是零到一？是不是 t d t 啊？是不是再减啥？是不是再减零到一一 d t 啊？是不是再加上？是不是零到一，是不是 t 加一 d t 啊， 对不对？那 t 的 元素是啥？ t 的 元素是不是二分之一 t 的 平方啊？所以前面积出来啊，是不是将你上下线是不是二分之一 t 的 平方啊？所以前面积出来啊，是不是将你的元素是啥？一的元素就是 t 啊， 这不积出来吗？将你上一个线零到一带进去啊。那后面是什么积分？后面是不是分式积分？我们想这个是不是 x 分 一 d x 它积出来啥？就是 l x 绝对值，是不是再加 c 啊？根据积分位置的一致性啊， x x x 啊， 它要积它是 t 加一它一定是啥？是不一定是 t 加一它积出来是不是 l t 加一的绝对值啊？咱说加减乘除不改变你的微分啊。所以大家积出来就是谁啊，积出来就是我们的谁啊，就是我们的 l， 是 不是 t 加一的绝对值啊？ 是不是教你上线零到一带进去啊？那这题就完成了吧，这二五年的啥？江西啊，是不是遇到分母是啥？一四氧分子是二四氧优先考啥平方差啊。 那咱们看一下二五年的辽宁的计算，这个不定积分啊，对不对？这叫啥？第一次去凑你的高斯啊，给他排个顺序啊，是不是平方是二次面啊？将二次面排在前面啊，叫高低个先排个顺序，将高个排在前面，第一个排在后面啊。 x 一 次幂不是第一个吗？叫第一次去凑你的高斯啊，对不对？你的高斯是啥？你高斯是平方，所以是不是叫 x 凑啥？是不是可以凑我们的 x， 可以 凑我们的 x 是 不是二分之一 d x 平方呀， 对不对？那有的人说我考场上我真忘了是二分之一啊，怎么办，对不对？那咱们自己写呀，博文是自己写的，是不是前面是一样的，前面一样的是不是从你凑的地方开始写啊，对不对？ d x 平方是不是给你我们微分？ dy 是 不是等于 y 撇乘啥 d x 啊？ dy 是 不是等于 y 撇乘啥 d x 啊？那 x 平方求到啥？是不是二 x 啊？你拿谁凑的？拿 x d x 凑的多了啥？多了个二，所以等式左两边同时乘二分之一啊，二乘二分之一是不是约掉啊？ 所以 x d x 是 不是等于二分之一抵它呀？ x d x 是 不是等于二分之一抵它呀？没有音吧。好了，我们知道 c 的 元素是啥， c 的 元素是不是我们的负 cos 呀， 对不对？根据积分位置的一致性啊。 x x x 啊， x 平方 x 平方，所以它记出来是啥就是负的二分之一是不是 cos x 平方是不是再加 c 啊？ x 平方 x 平方 x 平方啊， 是不是根据我们积分位置的一致性啊，对不对？这题是第一次去凑你高四一次密可以凑二次密当然要补加补个二分之一啊， 对不对？先将低个字写在后面，高个字写在前面啊，叫低次去凑你高四啊。那请问一下谁啊？二五年辽宁省第十一道题啊，计算这个定积分又有啥？又有根号，怎么办？叫换元啊。所以是不是令谁啊？令这个根号等于啥？令这个根号等于 t 啊，换元被换线啊， 对不对？ x 从谁到谁变化？ x 是 不是从零到三变化呀？那咱们看 t 的 范围，当 x 零的时候， t 等于啥？是不是 t 等于加零等于加一呀？当 x 等于三的时候，是不是 t 等于啥？加一加三等于加，是不是等于二呀？ 换元变换线第二步，干啥得把 x 写出来啊。所以是不是一加 x 开根号了，所以等式左两边同时平方。所以是不是一加 x 等于啥？一加 x 等于 t 的 平方呀， 对不对？把 x 写出来，那 x 等于啥？ x 是 不是等于 t 的 平方？是不是再减一啊？把它一个项一项是不要变号啊。把 x 写出来，第三步，表示 dx 与 dt 之间的关系啊。 x 等于啥？ x 等于 t 的 平方，再减一啊。 对，利用啥？利用我们的微分。 d y 是 不是等于 y 撇乘啥 d x 啊？ d y 是 不是等于 y 撇乘啥 d x 关于 t 的 积分，微元肯定是啥 d t 啊。他求的等于啥？他求的是不是二 t 啊。所以呢，是不是将我们做的变量代换，统统代入原来表上由零到三的积分转成啥？是转成一到二的积分呀， 对不对？ x 等于啥？ x 等于是不是 t 的 平方，再减一啊，对不对？根号等于啥？根号等于 t 啊，是不是再加一啊？ d x 等于啥？ d x 二 t d t 啊，所以就二 t d t 啊，没有赢吧。好了，那有啥，就是一到二，那二是常数丢出去啊？ 对，二是乘数丢出去啊，我将这个 t 干啥乘进去啊？给它乘到分子位置啊？那有啥？那就我们的啥？那就我们的 t 的 立方是不是再减 t？ 比方说，比方 t 是 不是再加一得 t 啊？ 没有音吧？是不是没有音吧？好了好了，那咱们来给它化简一下吧，好了。二，那有啥？是不是一的二，这个 t 还不如不提呢。将这个 t 再提出去啊， 那就啥？那就 t 的 平方是不是再减一啊？比方啥？比方 t 再加一啊，是不是抵 t 啊？ t 的 平方减一，是不是我一个啥？是不是我们的一个平方？差是不是可以写成啥？是不是写成个 t 加一是不是再乘啥？再乘个 t 减一啊？ 你发现分母和这个分子给它抵消掉了，所以就没有啥？所以就没有我们的啥？是不是没有我们的啥？没有我们的分母了，对不对？我把这个括号打开，那就没有我们的啥？是不是没有我们的啥？没有我们的分母了，对不对？我把这个括号打开，那就二倍的平方，是不是再减 t？ d d d t 啊， 对不对？好了，那二常数提出去啊，所以是不是从这个减法处裂开啊？那就是一到二是不是 t 的 平方对 t 啊？是不是再减一到二，是不是 t 对 t 啊，对不对？那 t 的 平方的元素是谁啊？ t 的 平方的元素是谁啊？ t 的 平方的语言函数是不是我们的三分之一 t 的 立方将你上线一到二带进去啊，对不对？那 t 的 元素下是不是二分之一 t 的 平方？这不积出来吗？将你上线带进去啊，那这底不就积出来了吗，对不对？遇到根号怎么办？叫换元。换元必换线啊， 对不对？得把 x 写出来，再把谁啊？表示 d x 与 d t 之间的关系啊？那咱们看一下二五年河南的第四十五道题啊，对不对？那怎么写啊？又出现了根号怎么办？叫换元啊。所以是不是令 根号加二一 x 加一是不是等于 t 啊，对不对？换元必换线，是不定积分，不用换线啊，干啥得把 x 写出来？那二一 x 加一是不是开根号了？所以等式走两边干啥？ 平方一下对不对？所以是不是二一 x 加一等于啥？是不等于 t 的 平方啊？得把 x 写出来啊。那二一 x 是 不等于啥？是不等于 t 的 平方？是不是再减一啊，对不对？那 e x 等于啥？ e x 是 不是等于二分之一？是不是 t 的 平方？是不是再减一啊，对不对？要减 x？ 等式走了，我们要看啥取对数 l 呀， 对不对？是不是 learn 和 e 可以 抵消了呀，对不对？所以你的啥？所以你的 x 是 不是等于我们的啥？是不是等于 learn？ 是 不是阿尔法尼？是不是 t 的 平方？是不是再减一啊？没有用吧。第三步，干啥得表示 d x 与谁啊？与 dt 之间的关系啊？ x 等于啥？ x 等于 learn？ 是 不是？阿尔法尼？是不是 t 的 平方？是不是再减 e 啊， 对不对？表示 d x 与 d t 之间的关系啊。利用我们的微分， d y 是 不等于 y 撇乘啥 d x 啊？ d y 是 不等于啥？ y 撇乘啥 d x 啊？关于 t 的 积分微微元是啥 d t 啊？那 l 求导等于啥？ l 求导是不等于它分之一啊， 对不对？全嘛，没有必要去干啥。对你的内函数求导，它是符合的 t 的 平方求导是啥？是二 t 前面有个啥？二分之一，那就是啥 t 啊， 对不对？没有音吧，对不对？咱们说了换元 b 换新啊，这不定题不用换新啊。第二步，把 x 写出来。第三步，看啥表示 d x 与 d t 之间关系啊，对不对？所以将我们做变量代换的部分带入原来表上。 e x 等于啥？ e x 是 不是等于我们的二分之一？它呀， 是不是？那 e x 是 等于是不是二分之一是不是？ t 的 平方是不是再减一啊，对不对？一加上根号等于啥？根号等于 t 的 平方是不是等于它 d t 啊， 对不对？ d s 是 不是他 d t 啊？那有 t 比上谁啊？比上二分之一是不是 t 的 平方是不是再减一 d t 啊，对不对？你发现了啥？分子分母干啥可以抵消掉了？那就啥，那就我们啥？那就我们的一加 t 分 之谁啊？ t d t 啊， 没有赢吧。好了，遇到这个积分当然会了，是不是叫加一再减一啊？分子分母长的要拿分子凑你的分母，你分母加一啊，我也要加一啊，是不是再减一啊？是不是从这个减一处裂开？那有啥呢？就是 t 加一比上啥？比上一加 t d t 啊，是不是再减啥？是不是再减一加 t 分 之一 d t 啊？ t 加一，比如说一加 t 等于加一啊，对不对？那一的元素是，那就 t 啊，后面像什么？积分是不是像分子积分，是不是有 x 分 的一点 x 啊，它记住啥啊？记住了，就是 x 绝对值啊， 对不对？根据积分位置的一致性 x x x 啊，这是 t 加一，它要记一定是 t 加一啊，它记住了啥，那就是我们的啥 t 加一的啥绝对值啊， 对不对？再说加减乘除不改变微分啊，他这不记出来吗？是不是 x x x 啊？ t 加一 t 加一， t 加一啊， 对不对？是不是再加 c 啊？是不是？教你啥？教你 t 再给他回答一下，那就行了吗？对不对？你自己回答行不行？这是换元必换线，对不对？不是不是定一分不用换线表不得把 x 写出来啊，对不对？第二步，把 x 写出来，第三步表示啊， d s 与 d t 之间的关系啊， 对不对？最后一步干啥得把这个 t 回来呀，是不是将这个 t 回来呀？你自己回来一下行不行，对不对？那咱们给你回来一下吧，那就根号下 t， 是 啊，是不是 t 二 e x 加一啊？给他回答一下吧， 是不是再减愣是谁啊？愣是不是根号下是不是二 e x 再加一，是不是再加一的绝对值？是不是再加 c 啊？没有赢吧，不要记再给它回带呀， 对不对？好了，那咱们看一下谁二十九道题啊，是不是？这个题是不是考察我们河南题目题啊，对不对？这啥？这高次啊，这几次一次啊，是不是第一次去凑高次啊？先排个顺序啊，那个论是不是一加 x 平方是不是将低个子 x 排在后面啊？是不是叫第一次去凑你的高斯呀，对不对？第一次去凑你的高斯啊，对不对？你的高斯是啥？你的高斯是不是平方再加一啊？你得平方再加呀，咱说了，凑为分，是不是从你错的地方开始写啊？是不是前面一样，是不是从你错的地方开始写啊？ d x 平方再加一给你们的微元， d y 是 等于 y 撇乘 x， d y 是 不等于 y 一 撇乘 x x 平方加一求幺是不是二 x 啊？你拿谁凑的？拿 x 凑的是不是拿 x d x 凑的多了啥？是不多了个二分之一干啥？补个二分之一啊？补个二分之一啊！二乘二分之一没有了吗？ 那 x d x 是 不等于二分之一抵它呀？ x d x 是 不等于二分之一抵它呀？没有音吧，对不对？那有一样的怎么办？有一样令它等于 t 啊，所以是不是令是不是？一加 x 平方是不等于 t 啊， 对不对？那此时转成啥时候转成 off 呢？是不是 l t d t 啊？这要含啥？这要含对数，对咱们讲了吗？这要含对数的话，此时就是分母积分，就是 u v 啊，是不是等于它俩先相乘 对不对？是不是再减它俩交换位置的一个积分呀，对不对？只要遇到啥 l 就 把它去啊？分母积分呀， 对不对？没有赢吧，一定不要忘记干啥？这个，这个系数对不对？一定不要用这个系数对不对？咱们说积分都是谁啊？积分都是谁啊？都是 d x 啊，或者 d t 啊，这 d learn t 丑不丑啊？丑呀，怎么办？利用我们的微分啊， d learn t 是 不是？ d y 是 等于啥？是不等于 y 撇乘啥 d t 啊？关于 t 积分归元肯定 d t 啊，那 learn t 求到是啥？是不等于 t 分 尼啊？好了，那就啥，那就二分尼是不是 t learn t 是 不是再减二分尼，对不对？ t 那 d 能 t 是 不等于 t 分 尼 d t 啊？是不是 t 分 尼 d t 乘 t 等于等于一啊， 对不对？那一的元素是啥？一的元素就是 t 啊，干啥不要把谁啊，不要忘记把 t 给它回答呀。 t 是 不是等于一加 x 平方，所以它记出来就啥？是不是二分之一？是不是？一加 x 平方？是不是？ l？ 是 不是一加 x 平方？是不是再减二分之一？是不是一加 x 平方？是不是再加 c 啊，对不对？是不是也是非常的简单呀，对不对？遇到第一次可以去凑你的高斯啊，是不？ 那咱们看一下二五年的浙江，求这个第一分是不是又是二次密？干啥？对了，降密啊，使用二倍角啊，是不是 cosine 二 x 是 不等于二倍的 cosine 方是不是再减一啊， 对不对？利用这个降密啊是不是？咱们前面不给你写了吗？把它移到的啥？是把它移到等式的啥左边啊？那又啥？那就二倍的 cosine 方是不是等于啥？是不等于 cosine 二 x 是 不是再加 e 啊， 对不对？那你告诉我 cos 方是不是等于啥？是不是等于二分之一？是不是 cos 二 x 是 不是再加一啊，对不对？好了，那 cos 方是不是等于二分之一？提出去 cos 方是不是等于二分之一？是不是 cos 二 x 是 不是再加一 x 啊， 对不对？没有用吗？对，它使用降密啊，对不对？对，它使用降密啊，有加一下怎么办？列啊， 那有啥时候零到派啊？给它列啊，那有啥？是不是 q c 二 x 啊，是不是再加啥？是不是再加零到一一点 x 啊，那一的元素，一的元素是谁啊？一的元素就是 x 啊，它不积出来吗？是不是将你上下线带进去啊，对不对？那前面是什么积分？前面是不是我们的三角函数的积分啊， 对不对？我们知道啥？我们知道 q c 的 元素是啥？ q c 的 元素是啥？是不是我们的是 c 啊， 对不对？根据积分位置的一致性啊？ x x x 啊，这是啥？这二 x 啊，对不对？他要积，他一定是，一定是二 x 啊， 对不对？咱说了加减乘除改变为分吗？不改变分为分，这是啥成绩的，对不对？那怎么办？是不是自己写啊？是不是前面一样？前面一样是从你错的地方开始写呀？ d x 是 不是？ d y 是 不是等于 y？ 撇成啥？ d x 二 x 到等于啥二呀？你拿谁错？拿 d x 的 多了啥？是不是多了个二分之一啊？补个二分之一啊？二乘二分之一是不是约掉？所以 d x 是 不是得二分之一？ d x 是 不是得二分之一 d 它呀？ 对，那就二分之一，是不是就二分之一？根据积分位置的一致性 x x x 啊？ x x， 所以 它接的就是 c x x 啊，是不是教你上下领导派带你去啊， 对不对？所以是不是再加 x， 是 不是将你上线零到派带进去啊？然后定义为是零到派，不是零到一啊，写错了，是不是零到派啊，对不对？那这就逼急出来了嘛，对不对？这二五年浙江的是啥第四道题啊，是不是给大家对它使用啥降密啊？ 那咱们看一下二五年浙江的啥第十五道题，是不是计算这个霞积分呀，对不对？怎么计算这个霞积分哎？是不是根号？根号里面是不是有二次项？干啥？是不是叫配方呀？是不是根号里面有二次项叫配方呀， 对不对？那咱们给它配个方呀，那是不是三减二？ x 是 不是再减 x 平方？给它配方一下是把这个符号提出去啊？那有啥？那你说 x 平方是不是再加二？ x 是 不是再减三呀？ 对不对？好了，那咱配方呀，叫一细折瓣再平方，一次性系数是几啊？是不是二呀？折瓣几啊？一啊？再平方呀？ 一的平方还是一啊？你加一是不是再减一啊？和面形是不是再减三啊，对不对？好了，那就啥？那就负的是不是 x 平方是不是再加二？ x 是 不是再加一啊？减一减三是减几啊？减四给它移到括号外面减减变成啥？加是不是再加四呀， 对不对？那前面是谁？是谁的玩具平方是不是 x 加一的一个玩具方，是不是再加四呀？是不是写好看的就是四减啥？四减 x 加一的一个玩具平方呀，对不对？叫被函数根号里面有二项，干啥去给他配方呀，对不对？那好，那就啥？那就我们的负二到一 是不是一比上根号下是不是给他配方？那就是啥？那就是四再减是不是 x 加一的一个平方是不是点 x 啊， 对不对？没有音吧。那像这个积分你想谁啊？是不是想我们的这个积分公式啊？是不是？我们知道有这个积分公式啊？是不是一比上根号下是不是 a 方，是不是再减 x 方？点 x 它积出来谁啊？它积出来就是我们的谁啊？就积出来就是二克三是不是 a 分 之 x 再加 c 啊， 对不对？那 a 方那四是不是给写着 x 再加 c 啊，对不对？那 a 方那四是不是给写着二的平方呀？四是不是给写着二的平方呀， 对不对？根据积分位置一直加 x， x x 啊，是 x 加一，他要记他一定是 x 加一啊，但是加减乘不可以变微分啊。对，所以他记出来就是啥，就是阿克森是不是就 a a 分 之 x， 对 不对？根据积分位置的一致性， x 加一 x 加一它就是啥？就是 x 加一啊，这不记出来吗？叫你上线是不是分二到一带进去啊？没有音吧，所以这是啥？这二五年是啥？第十五道题是不是给霞积分呀？遇到根号里面含二字样干啥叫配方呀，是不就是配方两个字啊， 对不对？看是不是都掌握了吧，对不对？由于时间的问题，那我们呢？剩余的部分，那我们下个视频会给他更新我们剩余的不定积分， 在这里真诚感谢大家的点赞，感谢大家，希望大家能够有所收获，但老师的嘴说的非常非常快，真的。

今天开始让我试着拯救一下你的考试，再讲一个求积分的方法，以后你再看到背记函数里有根号下一个数加 x 方，或者一个数减 x 方，这种积分就可以直接秒了。这就是什么方法呢？它就是第二类换元积分法里的三角代换。啥意思呢？它是分三种情况来换元，当积分中含有根号下 a 方减 x 方的时候， 那就让 x 等于 a 为 sin t， 或者 x 等于 a 为 cosine t。 你 看下这个这三角形就能更好理解了。当一条边是根号下 a 方减 s 方的时候，如果这个角是 t 的 话，那么 x 不 等于 a 乘 sin t， 如果这个角是 t 的 话，是不是就是 a 乘 cosine t？ 第二类就是积分里面含有根号下 a 方加 s 方的时候，那就令 x 等于 a 乘 tan 的 t。 然后第三类就是当积分中含有根号下 x 方减 a 方的时候，那就令 x 等于 a 乘 c 的 t。 那么好，这两道题咱就可以直接秒了啊，这个就对号入座呗。第一个出现了，刚下一加 x 方用的是这里边，是不是第二种情况啊？那你就令 x 等于弹进的 t 呗。那么 d x 数就是谁跟的方 t d t， 然后把它一换呗。原式就等于谁跟的方 t d t 除以弹进的 t 乘谁跟的 t， 然后这俩谁跟的 t 一 约，那就是谁跟的 t 比弹进的 t d t， 他俩一约，就变成了口舌根的 t d t。 口舌根的 t d t 等于啥呢？你就需要把我给你总结的这些不定积分的基本公式给背下来。口舌根的 x d x 是 不是在这呢？那我就直接可以写了，就等于 line 口舌根的 t 减口弹性的绝对值再加 c， 那么这俩你最后还要换回去怎么换呢？你就要理解这个直角三角形，这个角是 t 的 话， cosine 的 t 应该是谁呢？是 cosine 分 之一吧。那他就是刚才下一加 x 方比 x， cosine 的 t 呢？他应该是零比，对吧？那就是减个 x 分 之一，这绝对值再加 c。 ok， 第二题，看到积分里有这个根号，下一减 x 方是不是对应这个？第一种情况啊？那你用 x 等于等于三 t 呗。那就是令 x 等于三 t， 那 么 d s 就是 d， 三 t 就 等于口算 t d t 呗。然后给带进去原式就等于根号加一 x 方，那就是口算 t， 再乘口算 t d t， 那就是三一 t d t， 那 直接一积分就是负的 cosine t， 再加 c 就 把 cosine t 换回用 x 表示就可以了啊。这个角是 t 的 话，那 cosine t 是 不等于这个零边比斜边啊？那最后结果就是负的高，下一减 x 方加 c 呗。

兄弟们，今天再给你们讲一个非常好用的方法，它就是万能代换法求积分。啥意思呢？就是利用万能公式，如果我令弹性大分之 s 等于 t 的 话，那么三 x 是 不是等于一加 t 方分之二 t 口算 x 就是 一加 t 方分之一减 t 方弹性 x， 一 减 t 方分之二 t， 那 么 d s 就是 一加 t 方分之二 d c， 它是用来解决啥呢？就是当背记函数是一个关于三 x 口算 x 有 理式的时候，那你就可以把三口算都给它用弹性大分之 x 给它替换了。那好，咱秒一下这道题来试试吧。我就用三和口的万能公式给它换一下呗。那就是 变成这样，然后给他化简一下，就变成 t 方加二， t 加三分之二递梯，继续再给他配方变成 t 加一的平方加二分之二递梯。接下来我就给他凑一下呗。分母给他提个二出来，和分子这个二约掉，那就变成这样，然后把后边这个 t 给他变一下子，那个是 根号二倍的。变成这样，那是不可以直接用积分公式了，那就是根号二倍的 r 弹进他根号二分之 t 加一，再加 c， 最后你把 t 给换回去，那就是这个呗。