高一数学必修一图像加绝对值如何画

所有的逆袭都是有备而来，所有的光芒需要时间才能看到，扎实的过程必然结果。大家好，我是大壮，讲数学，那么今天老师给大家讲一个函数图像的一个应用题啊，我们先看一下后面这道题，我们说函数图像的应用题。首先我们对一些基本函数的函数图像一定要非常熟悉，比如说一次函数、反比例函数，二次函数 对吧？以及逆值对函数，尤其是指数函数和对数函数当中带绝对值的这种函数图像我们要非常熟悉，就像后面这道题一样啊，如果说我们把这个图像画出来的话，你半天在这求不出来呢啊，用代数的方法是求不出来，必须是什么数形结合来求这个函数开的范围。那我们先看一下这道题啊， 写个漂亮的记。好吧，那么先看一下这个题，它这个分段函数是吧？说图像与直线 y 等于 s 开，有几个交点，有三个交点是吧？对，则实数开的取得号。那么你能做，你能代数法也能做出来吗？对，做不出来，你咋做呀？是不是做图像是画吗？那所以说我们先非常熟练的要画出一个图像来啊。 首先我们看上面的二次函数是什么？是 f 是 吧？这个粉笔啊，有点滑哦， 好了，那我们看一下啊，这个 x 方加四， x 减一，对乘除是什么？负二是吧？它 x 要小一点零，然后我的图像换过负一点啊，过这个点是吧？但是我们必须把这个零点位给他求下。零点位怎么求呢？就是当这个对乘 x 零负二的时候，我们带进去负二的话，就是四四减八，负四负五，是吧？那我去 负二负三，负四负五在这，哎，必须把这个精确一下啊，也就这个顶点坐标在这，是吧？他还过这个点，是吧？他但是 x 还要小于为零，是吧？那么也就大概是这么一个图像，把这边延长一下啊， 好了，大概就这么一个图像，在 x 小 于零的图像，它就这样，这个点可以取上啊，用 x 小 于零点，然后二 x 二分之一， x 减二，它是个直线函数，直线函数的话，你直接用 x 零或者 y 来把它与 x 和 y 交点，坐标求出来之后，然后我们把图像一换，然后你确定一张直线是不是 ok 了，是吧？这是负二，对吧？这是负五， 那么你就他首先过这个点，对不对？还过哪个点了？对。另， y 零的话，他在横坐标上是什么？四二三四，他会过这个点啊？他的 x 是 大于零的，是吧？零呢？就是这么一个东西。 对，对，就这个啊，这个点学不上啊。圈圈是不是？那接下来我们看啊，说有一条直线， y 点开， y 的 一开的话，他就是平行于 x 中的一条直线，是吧？这个动直线要与 f x 有 三个交点， 哎，有三角，那你看假如说我这手是一条动直线，你看假如说在这的话，是不是两个，两个，两个，哎，在这是不是有分界点？ 假如说万一开的话，在这是不是分界点？是不是？那么再往上平移，平移，哎，再负一的是不是有三个？是不是？哎？我一划是不是，对不对？ 再往上呢？是不是变成两个了？对，那也就是说他开的范围是不是在上面和下面这个之间啊？上面这个是 y 等于一个负一，是吧？这个这个负一是能取到的，对吧？在下面这个负二能取到，取不到，是吧？所以说，所以说开的范围应该是什么？他是大于负二，是小于等于负一啊，所以在这个范围上面，他是不是可以有三个条件？ 对，那所以说这个题的本质他就是考你的什么画图像的方法，所以说我们图像一定要会画啊。那所以这个应该选什么？选德蒙，是吧？对，这个开，这个 y 的 一开啊，他是开不等于什么方？是不是这个圈举不上？ 好的，那么顺便我把这些把对数函数以及指数函数的一些带有绝对值的一个图像给大家画一下啊。就比如说啊，对数函数 y 等于二的 x 的 绝对值，那这个图像怎么画呀？对，他就是这么一个图像 啊，你可以把它分一下呢。这 s 什么大于等于零啊？那什么二的 s 方 x 小 于零呢？是不是？对，大于零的话就是这样呢？是不是？对，那如果说我再给他上面加一个绝对值呢？再加个负二呢？ 加个负二呢？这个怎么画呀？这个一样你还要给他分享，对吧？ x 大 于等于零的时候，是不是二的负 x 方 x 小 于零呢？是不是二的 s 方？那他画出来的图像是不是就成这样？ 对，大于等于零的话，是不是？在啊？你看他是二的负 x 就 成这样，这样是不是？对，那小于零呢？对，二的 s 方小于零的部分是不是只有这样？ 是不是？对，还有一些，比如说 y 的 一个 log， 以以二为底的 x 绝对值，还有 y 的 一个 log， 以二为底的，呃， 这个对绝对值，是吧？还有 y 的 一个负的 log， 以二为底的负 x， 是 不是对这些图像我们说都要会画啊？我就在这一一不画了，可以不对下去之后把大家把这些图像一画，因为这个图像画会了。然后在我们说在学函数的零点问题的时候， 函数零点问题的时候，有时候对一些复杂函数的零点的个数，我们都需要换头像来看它的交点个数，它的交点个数就代表它零点的个数。好了，那么这道题就给大家讲到这，拜拜。

今天是十月二十一号早上，那今天分享的是高一数学函数对称并发的画图。因为上一个例题已经讲了这个。 嗯，方程的姐的个数要利用到这个画图，而且含有绝对值啊，是不是？那我这边简单的梳理一下，含有绝对值的这样的函数对称并放啊， 都画图怎么画？那我们来先来看一下，这个是不是一个一次函数。那到现在了，高一了，这个一次函数要非常快哈，非常快，这是不二，然后趋势向上啊，这边二趋势向上是不是？然后呢，画这个图怎么画 哦，这边画图简单的这一手画哈。那这个加个绝对值，加二是什么？怎么画？ 就是说绝对值会知道吗？就是说我开始取证的，他还是证的，如果去付的呢？跟证的取的是不是一样的。所以他是一个偶航数吗？所以你只需要将这个干嘛， 副半轴的这部分跟正半轴的干嘛关于外轴对称就可以了，所以是不是二。原来是不是这样子的，然后要关于他对称，所以就这样子画出来就可以了，非常紧的。所以在 x 前面加个绝对值 是不是就是关于歪轴对称。那如果函数值，整个函数值加个决定值是什么意思啊？ 那就是说函数值取不到副职吗？是不是取不到副职那就那就是副办轴这个部分，副办轴的这个部 痛要干嘛？不能去吗？那吐的也要举例子。加个举例子是关于还是走对称？关于走对称，所以就是这样的图像啊，这样的图像原本是不是这样的图像负的。然后呢，加个举例子是不是要并证呢？是不是关于还是走对称。所以说 含住值，整个加个决定值就是什么？就是关于就是负小于零的那个部分。就歪子小于零的那个部分。关于 s 轴对称，所以就是说 在所有的 x 加个绝对值。是关于 y 轴对称是二十五。但是你们一定要记住，我跟你说的是所有的 x 前面加个绝对值哈。你如果是像这种的，虽然这边加个 加个，是不是虽然这边加绝对值了，但是这边没有绝对值，他就不是哦。横竖就不能这个画的，就要用分段横竖来画了，这比较麻烦一些。好， 那既然我们找到了这个规律，我们来试一题哈。你们发个十十几秒。 好，那我们来看一下，这是不是一个二次函数的啊。二次函数的我也。我觉得你们第一步呢，还是按照我刚才的把云来的这个图画出来。云来的这图是 呃，看一下，对称轴是负一，对称轴是负一，然后呢，顶顶是负三， 路上大概在这里，然后零的时候是负二啊，是这样的一个图形画的比较丑一些哈。然后呢，那 加个是不是所有的 x 都加的绝对子，所以是偶函数。那先把正半轴的找出来，是不是正半轴的是不是这个，那副半轴的就跟他干嘛。关于 y 轴对称，所以这个就是这个函数。图像就是长成这样子，正半轴一样放走。 那如果是这样呢？两个举例子就是新走出 副伴轴的是不是这个部分新找出，跟这一样能画出来。然后呢，副伴轴的是不是虚讯这个部分干嘛要关于 怎么对称啊。关于 x 轴对称，关于这个 a 字轴对称，所以是不是这样啊？图像是不是这样子？ 这就是画这个含有绝对纸的这个对称并放的画图。就是说所有的这个 as 前面加个绝对。呃， 加个绝对值，那就是偶函数。就新找出正半轴的字长怎么样，副半轴的。我不管你原来是怎么样，你就关于这个正半轴的。关于外轴对称就可以了。那如果是， 呃，整个函数值加个举例子，那就是嘛，那就是干嘛呢？就是新找出负小于零的这部分吗？函数值小于零的这个部分是不是这个部分？然后关于要是走对称就可以了，大于零的不要动他。 你学会了吗？请关注我，继续学习。那我这边再布置一个，你们去画一下这个，你们如果学到了这个指数函数，那 这个加热绝对值啊。还有这个加热绝对有意义吗？啊，这个加热的有意义吗？啊，希望下下次来讲解一下哈。

哈喽，同学们大家好，我是你的高中数学婷婷老师，这节课我们来学习一下分段函数。首先来看第一题，画出 y 等于 x 的绝对值加一的图像。我们要画含绝对值的图像，首先要去绝对值，那就是 y 等于， 当 x 大于等于零的时候，是 y 等于 x 加一，当 x 小于零的时候，是 y 等于负 x 加一 啊，这就是一个分段函数啊，分段函数呢，不管他分成多少段，他都是一个函数，每一段啊是这个分段函数的一部分。好的，我们来画一下他 先来画第一段外等 s 加一或者是一负一，我们要大一等人的部分，那就把 把小月亮这一部分图像给他去掉。好的，接下来我们画第二段， y 等于负 s 加一， 我们要的是小于零的部分，就把大于零这部分图像去掉。最后关于歪竹对称的这个微型，就是这个分段函数的图像。 接下来老师告诉大家一个给 x 加绝对值的简便画法，那就是不用转化成分段函数了，怎么画呢？先画不加绝对值的图像，也就是先画 y 等于 x 加一， 然后把歪轴的左侧图像给他去掉，右侧留下，再把右侧沿着歪轴翻折过来，完事。那我们看这个画完和之前右 分头还是我画的一不一样啊，是不是一样的呀？啊，那总结， 给 x 加绝对值的图像怎么画呢？那就是 y 轴的左侧去掉 左去，右侧留下，右留，再把右侧的图像翻折过来，也就是右翻折。 我们来练习画一个啊， w x 平方减二， x 绝对值加上一啊，这个 x 平方是不是也相当于是 x 绝对值的平方啊， 相当于把每个 x 都加绝对值了，是吧？好了，那要画他的话，我们按照我们刚才总结的这个方法啊，我们先画不加绝对值的函数的图像，也就是先画 y 等于 x 的平方减二 加上一，先画他的图像啊啊，这是一个完全平方，可以把它写成 x 减一或外的平方啊， 这个式子呢，相当于是 x 平方的图像，向右平一个单位，是吧？那 x 平方是这样画，然后向右平一个单位， 然后是弯轴左侧去掉，右侧留下，再把右侧翻折过去，那就是歪。从歪轴左侧的图像去掉，右侧留下，再把右侧翻折过去， 最终就是 w 这个图像，你学会了吗？今天我们最爱第二题，第二题说画出 y 等于 x 加一整体加绝对值的 图像，我们还是先去绝地值，那就是 y 等于 x 大于等于负一的时候，他是 x 加一， x 小于负一的时候，他是负 x 减一，对吧？我们画一下 好， y 等于 s 加一，还是这个过一负一，然后我们要的是大于等于负一那部分图像，把负一左边这部分图像去掉，我们接下来画第二段， y 等于负 s 减一， 我们要的是 x 小于负一这段，把大于负一这段图像去掉，最终这个图像就是关于 x 等于负一对称的这个微型。接下来老师还 是告诉大家一个简便画法，我们还是先画不加绝对值的图像，也就是先画 y 等 s 加一， 然后整体加绝对值，是把 x 轴下方的图像沿着 x 轴翻到上方 下方去掉。那么看画完之后，这个微型和这个微型是不是一样的呀？那我们总结出一句话， 整体家具对直 x 轴 下方的图像翻到上方，简称下翻上 下方不要了，这样总结完了是不是很简单？接下来我们还是练习道题，画出 y 等于 s 的平方加上二 x 整体加绝对值的图像。我们还是先画不加绝对值的图像，也就是先画 y 等于 s 平方加上二 x 的图像啊， 他呢，可以配方配成 x 加一的平方减一啊。这是一个开口向上的抛物线，对称轴是负一，最直也是负一啊，也就是这个是顶点。那我们画一下 对肾轴是负一，最小时呢，也是负一 过的是零零和负二零。好，这就 这个抛物线了，然后给他整体加绝对值是什么呀？下翻上对吧，就把下面的翻到上面去跟他对称， 下面的去掉。哎，我们这就画完了哟，也是类似一个 w 的一个图像， 这样画是不是很简单呀，就不用转换成分段函数了，直接用口诀就可以画出来了。我们接下来画下第三个图像，是 y 等 x 加一的绝对值减一。 这个呀，既不符合我们刚才学的给 x 单独加绝对值，也不符合给这个式子整体加绝对值。那就不能用我们刚才学习的口诀了。那我们还是得先画成分段函数再去画头像啊。那就是 y 等于，当 x 大于等于负一的 时候是 x， 当 x 小于负一的时候是负 x 减二。好的，我们画一下 y 等于 x 是一三将线角平分线，我们要的是大于等于负一的部分啊，那这个是负一，把小于负一这部分图像给它去掉。好的，画一下第二个 y 等于负 x 减二， 我们要的是 x 小于负一这部分图像，那就把 x 大于负一这部分图像给他去掉。 最终啊，这个图像是以负一为对称轴的这个微型。 这里呢，老师也要告诉大家一个简便画法，那就是 对称轴左去右流右翻折， 什么意思呢？就是先画不加绝对值的图像，那么他不加绝对值就是 y 等于 x， 对吧？好的，我们画一下啊， 然后把对称轴的左边去掉，那这里面谁是对称轴呢？我们就令绝对值里面这个式子得零，求出的那个 x 等于负一，就是对称轴啊， 那对称轴左边的图像去掉，那就是左边 去掉，右边留下啊，左去右留右翻折，再把右边的图像翻折到左边。那我们看按照这个口诀画出来的，是不是跟我们用分段函数画出来的是一样的呀？这里呢，老师再说一下对肾轴的求法，形如 三等于 x， 加上已经绝对值，再加 b 啊，这种形式，他的对称轴 就是六，绝对是里面这个式子等于零，然后求出来的这个 x 的值就是对称轴啊。我们来练习道题， 比如说，我们练习一下 y 等于二的 x 减一绝对值次密的图像，先画不加绝对值的图像，也就是先 先画 y 等于二的 x 减一次面图像啊，怎么画呢？先画二的 x 面的图像，然后向右凭一个单位， 然后给 x 减一整体加绝对值呢？他的对称轴就是 x 等于一啊， x 等于一是对称轴， 然后对称轴左侧的图像去掉，右侧，再沿着对称轴翻折过来啊， 所以最终的图像就是这个， 看明白了吗？

本视频时长三十七分钟，带你通透高一考试函数重难点绝对值函数与零点，从题目出发，掌握题目处理的思路和方向，考试从此不丢分！回复函数领取视频讲义， 我们先来看一下，就是绝对值函数，主要第一个就是你对绝对值函数的图像要画的比较熟练，那么在咱们整个高中阶段的话呢，绝对值函数分四大类， 前三类是属于什么特殊的就是他的图像在画的时候，你只要画什么，你看比如说他给这个解析式整体带了个绝对值，你只要 能够明白不带绝对值的这个和带绝对值的两个图像之间是什么关系，那你就算灵活掌握了，或者说熟练掌握了。第二个也是所有自变量都带个绝对值，那你就想一下啊，带绝对值的和直接直接去掉绝对值的图像之间什么关系？第三个也是 画，它们本质都是画直接没有绝对值的。那第四个呢？是咱们整个 所有绝对值最通用的处理方式，那就是哪里带绝对值，根据他的正负进行什么分类讨论。那么第一个我们统称为就是给整个解析式都带上绝对值，为了简单一点，我们把它的标志就是写为整个函数带绝对值，对吧？ 那么带绝对值的和不带绝对值的到底有什么关系呢？你想知道就按照绝对值最基本的定义把它去掉，要去掉它就得看 f x 的 正负， 那么我们说 f x 如果是这个整个整体是大于等于零，那去掉绝对值啊，带不带绝对值一模一样，对吧？但是如果 f x 是 小于零的， 那你去掉绝对值，就要加个符号，就是负 x。 所以 这样我们就从解析式的角度上明确了 f x 与 f x 整体带绝对值的关系。那在这里首先我们来看一幅图啊，假如我知道了 一个完全不带绝对值的函数，图像长成这个样子，我接下来就是要画给他带上绝对值的这个图像， 那我就得去看这个啥时候是大于零的。在这个图像上看 f x 大 于等于零和小于零，是看什么东西？对 x 轴上下，对吧？ 所以说你函数值看正负， f x 大 于零时，就看它的图像在不在 x 轴上方，这些图像就是 f x 大 于零的地方，所以带不带绝对值来带上绝对值，图像还是这个样子，没啥变化。那 x 轴下方的图像就是它小于零的部分， 所以这部分图像要变成负的 f x。 负的 f x 和 f x 又是什么关系呢？ 函数值互为相反数，就是关于 x 轴对称嘛，所以这一段是负的，负的 f x 就是 这样，这段是负的，负的 f x 就是 这个样子，所以把它翻上去啊，对称上去就行了。所以整个紫色部分就是谁啊？就是 f x 带上绝对值的图像。 所以通过这个从最本质的逻辑分析，我们就知道，以后一个函数只要整体带了绝对值，你画的时候是画谁的呢？你依然是画不带绝对值的，画好之后怎么办呢？或者说怎么得到它呢？留上边啊，把 x 轴上方的留着，然后把下边的翻上去就行了 啊。这不是说你要记记一个结论啊，就是你了解了这个原理，我想你好像也很难忘记掉它怎么画吧？ 所以说整个流程就是只要以后看到一个函数解析式，整体带了一个绝对值，画的时候管它绝对值，我只画不带绝对值的，画好之后 x 轴上方的保持不变，下方呢，翻上去 就可以了啊，然后接下来咱们就一起动手画几个。那这个的话，我们说每一个原则很简单啊，整体带了绝对值，画谁呢？就画 x 方加二， x 就 完了，咋画呢？一个二次函数开口朝上，与它的焦点是零，负二开口朝上， 然后画好之后呢， x 轴上边的留着，下边的翻上去，好了，这就是谁啊？带绝对值的图像第一个就结束了，第二个 画的时候也只画不带绝对值的 log 以二为底的 x 加一。但如果这个你不会画，那你就先画 log 以二为底的 x， 一 步一步来 log 以二为底的 x， 这对你来说是不是一次性到位？ 那 log 以二为底的 x 加一，相比于它是什么？向左平一一个单位，原来过一零，现在过零零原来是与外轴无限接近不相交，现在是与 x 等于负一无限接近不相交，对吧？来走，你把它的图像先画出来， 然后画好之后。老规矩，因为我们最终要的是带绝对值，整体带绝对值就是最后一个操作， x 轴上方的留下， 下方的翻上去，简简单单绿色的就是它的图像了，随便画，对吧？然后第三个二的 x 次方减一，先画一下，那这个你说你还不会画二的 x 次方吧，对吧？走你二的 x 次方， 然后呢，向下平移一个单位定点从零一变成零零，注意也有渐近线啊，原来它是与 x 轴无限接近但不相交，现在叫做与 y 等于负一， 无限接近但不相交。我在这里每次画渐近线你，你记得你画的时候也画上，因为在处理零点个数的时候，有些情况下就是因为你没画渐近线，导致你最后求解的结果是错的。 所以有渐近线，有平移，有翻折，渐近线一定要跟着走，画图该画啥心里要有数啊，不要看这里，我好像画没啥用啊，总有有用的时候好吧，然后画好之后留上边啊， x 轴上边下翻上 翻上去，渐近线也翻上去，这 y 等于一是他的渐近线，总之他虽然是这一段，但他始终在外等于一的下方，这就是他的图像啊。所以说你看，每一个始终就是整体带绝对值，我只画不带绝对值，画好之后呢，留上边下翻上就是带绝对值的 就 ok 了啊。好了，这第一个，那这个咱们就过了，好吧，非常简单，我也希望你们以后至少能够做到看到这种带绝对值的，不怂不怕，很自信就可以了。好吧，然后接下来第二类啊，刚才也有朋友已经问了，就是如如果所有自变量都带绝对值呢？举例子， 比如说我们看到的一个函数是 f x 等于啊 log 以二为底的 x 的 绝对值，你看自变量带了，比如说 f x 等于 x 绝对值的平方加 x， 绝对值加三， 那这个为了简写就是这些呢？就是你看所有自变量都带绝对值，我就简写成 f x 带绝对值。你看到这货之后，首先你 第一个看出的它的性质是什么？那么在这种情况下，我们首先看到它一定是偶函数，为啥呢？那你想 f 负 x 等于啥呀？经过个绝对值等于啥也没发生，所以它是个偶函数，偶函数的话，我们就知道它关于 y 轴对称， 那么关于 y 轴对称，我们就想看一下，那这个函数去掉绝对值的样子，我们说当 x 大 于等于零，带不带绝对值都是一样的，假设这就是 f x， 因为 x 大 于等于零的带绝对值和不带绝对值的一模一样，所以右侧就长成这个样子， 又因为这货是偶函数，来，我把右侧对称过去，所以红色的就是他的什么图像，所以说自变量带绝对值的也非常好，画画的时候也是一样的，先画什么啊？我，我总结一遍啊， 说你看到这个，你画的时候依然画完全不带绝对值的，画好之后呢，就是把右边留着，然后把它再对称到左边去，就是整个函数的图像， 然后接下来再画脸，好来第一个，首先你要看到它是自变量带绝对值，有些小伙伴说这不是自变量带绝对值，说一下啊，就是 x 的 偶数次方， 只要是 x 的 偶数次方和带上绝对值的偶数次方是一样的啊，你带不带绝对值这两个式子是恒等的，所以你在这加个绝对值依然不影响，所以接下来你看，哎，全部是自变量带了绝对值， 那么自变量带绝对值，我们知道，你画的时候假装这个绝对值我完全没看见，看不见看不见，看不见，就是这个二次函数，对吧？然后他开口朝下，与 x 轴的两个焦点呢？是多少？这个对称轴是一啊，一个是负一， 一个焦点是三啊，对称轴是一，我们就画出大致长成这个样子，然后我们说留右边啊，因为他是个偶函数，留右边翻左边，所以这里的话，你注意这是其实是 对称轴对称过来，这也有个顶点是 x， 等于负一，这个零点是三，这个零点就是负三，这就是他的图像。 好，来接下来第二个，那第二个的话，你看到的是什么？自变量带了绝对值，那我们就知道我要画的时候就画不带绝对值的，那么 e 的 负 x， 你 如果还不太清楚，那他就是一分之一的。谁啊？ x 次方是一个指数函数，底数怎么样？ 底数小于一，所以单调递减的长成这个样子。我们说过，当所有自变量带绝对值的时候，只画不带绝对值的，然后留右边啊，这右外周右侧的留着， 然后翻对称到左边去，所以蓝色的部分就是他的图像，所以这就是具体的我们去画的时候的过程，绝对直接去掉画出来，然后留右边翻左边就结束了啊。所以到这里呢，我们今天直播的棋会用到 整体带绝对值的，也会用到自变量带绝对值的。总之这两类只要你认出来，你画的时候，直接把绝对值去掉，画那个没有绝对值的解析式的图像画好之后，第一个是留上边，把下边翻上去，第二个是留右边把 啊，然后把右边再翻到左边去啊，就留右边，又翻左就 ok 了。那么在这看似起来好像要记个结论不是，其实你是把整个过程理解清楚之后，脑海中始终知道他俩之间的关系就行了。好了， 这是今天咱们要用到的基本功，或者画图的基本功，就带大家列在这里。那么我们说有了这些基本功，接下来我们经常会看到的是什么？比如说 告诉我们 f x 是 这个货啊，一个分段函数的有绝对值，然后说 g x 是 等于 f x 减 a， 有 四个零点，则实数 a 的 取值范围。 那么这道题的话，你首先定位问题是一个零点问题，零点，特别是零点个数问题。上午就说过，在高中遇到的零点问题，除了那种一元一次，一元二次方程基本上是要去解的，其他基本都是要去化的。 所以说它等于零，就是 f x 减 a 等于零，也就是 f x 等于 a 的 零点。 怎么画呢？画出 f x， 再画一个 y 等于 a 这样的横线，看一下它们有多少个什么交点，所以整个式子翻译完就是 y 等于 f x 与 y 等于 a， 总共有四个交点， 看一下常数 a 的 范围，那接下来这个焦点就得得在图上去看来我们画一下，首先它大于等于零的时候，是我们特别熟悉的密函数，根号 x 就 长成这个样子，你直接画出来就行了。然后它小于零的时候，是一个整体带绝对值的函数， 这个绝对值函数开口朝上，然后你你只看不带绝对值的，然后焦点是负二和谁啊？零开口朝上，这是它的图像， 但是现在呢，我们说留上边下翻上啊，而且只要小于零的，所以就这一段，所以画出来就是这个样子，那这就是整个谁啊 f x 的 图像。 然后接下来你就画一条横线来走，你要让他有四个焦点，你发现我画的真是刚刚好有四个焦点，对吧？那么有四个焦点，这是 x 一、 x 二， x 三、 x 四， 但是不是说任意一条横线都有四个，你会发现他往上走着走着就没有四个了，他往下走着走着一个都没有了，所以要有四个的临界状态是什么？你会发现最下边这个 y 等于 a， 不 能超过这，因为到这的时候这两相等，这两相等就剩两个了， 然后往上不能超过谁啊？这个顶点，因为到这的时候，这一个，这一个，这一个就剩三个了，所以你就看一下此时这个值是多少，这是 y 等于零嘛？那这是 y 等于几呢？那你就得知道这个点处的函数值，这个点咋来的呢？这个点是 说白了就是这里的是对称轴嘛，是 x 等于负一带到这个解析式中的值，你把 x 等于负一带进去啊，来 负一的平方加上啊，负二，那就是减二的绝对值，本来是负一一，绝对值就是一，所以这个点就是负一一，所以 a 的 范围，你只要能画出图，口算也口算出来了，大于零小于一就 ok 了啊，非常简单，这道题可以说没有任何的技术含量。 第一个就是零点问题，在个数的时候，你要知道去画图，画图把它变成两个函数去画，这是关键。第二个呢，就是看这种绝对值的函数呀，还有根号 x 啊，你能不能准确的画出来。第三个就是看焦点这件事情啊，接下来稍微再加一点点考点，我们看第二个。 第二个说有个分段函数 f， x 等于 x 减四，是 x 大 于等于四的时候，负 x 加四， x 小 于四的时候，问我们是否存在实数 k， 使得方程 f x 减 x 分 之 k 等于零，有三个互不相等的实根， 然后让我们求一下 x 一 加 x 二加 x 三的范围。那么在这道题我们先说第一个问题啊，就是我们说在咱们这里遇到这种零点个数问题，是去画图画两个函数，对吧？那这个是哪一个方程呢？是 f x 减 x 分 之 k， 也就是 f x 等于 x 分 之 k 有 三个焦点，那么接下来我们就得去画一下谁啊， f x 也得画一下谁啊， x 分 之 k， f x 是 个分段函数，要画也不难，因为你看 x 大 于等于四的时候是 x 减四，但是只要它大于的，就只要这一段小于四的时候是负 x 加四，所以它就是这样的一个 v 字图。 然后呢， x 分 之 k， 它的可能性很多，过一三，象限二四长成这个样子，但是不会有三个焦点， 那么过一三的话，是有可能有三个焦点的，因为只要这里有两个，这边一定会有一个，所以我们画一个满足其意的， 这样就会有三个。这样画其实要做这道题有点麻烦啊，这样画不是不行，但是对你的计算能力要求会比较高，而且对你识图的能力要求会比较高啊，虽然说这两点是对称的，你能求出他，但是这个点的范围其实是不太好求的。所以 这里通过画这个图，我想表达的是，大家在处理的时候，不是说我只要把它变成两个函数就行了，变成了 f x 等于 x 分 之 k， 确实这是第一原则。首先变成一个函数与一个函数相等的形式，保证两个函数我都会画， 那这样往往就能解决问题，但是最优解依然是最好。一边是含 x 的 啊，一边含 x 的 函数，一边是一个长函数，永远是最好解的。 所以这道题如果你直接画成这样与反比例函数的时候不是不行，但是从计算量上和你处理的这个难度就会大很多。所以大家记住，能分成一个含 x 的 式子和啊，只含常数的式子是最简单的， 那这个式子能不能变成这个形式？当然可以，因为我只要在两边同乘以一个谁啊， x 这边就变成了 k， 所以这个式子呢，也可以变成 x 乘 f x 这个整体看做一个函数，然后把 k 看做一个函数，那么解决起来这道题会简单很多。所以首先这是这个题第一个选择，你能不能选择出最优解， 但凡能分成这样，而且两个你都会画，这就是最优解。好，那接下来你就要看这个你会画不， 那这个给整个函数乘个 x， 给这里乘就行了，给这里乘也就行了。所以 x 乘以 f x 的 解析式一样的，你给这乘完是 x 方减四 x， 给下边乘完是负 x 方加四 x 啊。所以说整个函数解析式表示出来，它依然是个分段函数，只不过两段都是二次函数而已。 然后接下来你说这个二次函数不会画，还是这个不会画？都会画，都会画就行了，那这种表示就是最优的方式。然后接下来来画一下啊， 画的时候呢，首先 x 方见四， x 过零和四，开口朝上，但是只要它谁啊？大于等于四的部分，所以只要这一段画出来，就是这样大于四的， 然后这个函数过零，四开口朝下，对吧？但是只要小于四的部分就是这一段，所以这就是整个这个函数的图像。 y 等于 k 是 啥呀？一条横线随便画，所以这就是我们画出来的 x 一、 x 二、 x 三， 看一下这个其真正通过它。我想讲的就是如何选择函数，这个点我说明白了吗？ 第一原则是你分成两个函数去画，要保证两个都会画，这是第一原则。第二原则是最好，一个是常数，一个是你最画。呃，你会画的是最优解。好了，那接下来你要求去求它。 我们说零点求和的时候，首先想到的是什么？这在上上上一周专门讲过，零点求和一定会去想 对称，所以你看到啊，这不是个二次函数吗？刚才画的时候对称轴是 x 等于二，所以 x 一 加 x 二，这是个定值呀，对吧？ x 一 加 x 二是四，那么 x 一 加 x 二加 x 三，就是四加 x 三。 你现在要让我求这个整体的范围，就是求谁啊？ x 三的范围，那你们就看一下 x 三最小 接近多少。那你就把这个 k 找 k 的 零界，要有三个零界， k 最小无限接近于谁啊？零，那 x 三就无限接近于四， 所以首先 x 三的范围呢？是大于四的，对吧？啊？因为他在四的这一侧，然后他最大，啥时候最大呢？也就是上边临界状态啊。呃，下边的临界状态，我们已经想明白了，对吧？就是 k 无限接近这的时候， 啥时候 x 三，你到这的时候已经是三个交点的最高临界了，对吧？那此时 x 三就是无限接近于这个值，所以 x 三是这一段图像上的。那你就算一下这个点的坐标是多少呢？这个点坐标不就是它的顶点吗？它的顶点就是把二带进去， 负四加八等于四，所以这个顶点是四，这个顶点是四的话，那这里这个点的纵坐标也是四，你算一下此时横坐标是多少，带哪个解析式带这个 x 方减四， x 减四等于零， x 等于啊， 因为要用求根公式或者用配方都行啊，我写成 x 方减四， x 加四等于八的这个形式，就是 x 减二的平方等于八， x 等于二加减二倍根号二，那很显然这个是大于四的，所以这是二加二根号二，所以 x 三的范围是从四到二加 四，四到二加二倍根号二，那这个就很明显了，你看 x， x 一 加 x， 二加 x 三等于四加 x 三，所以它的范围就是四加四就是八，六加二倍根号二，所以八到六加二倍根号二就很清楚。 所以通过这道题，老赵想带大家感受什么？第一个，零点问题，要确定成一个函数 等于一个函数的这个形式，这不是说随便写的，你心中要有底的，怎么样最好处理啊？第一原则是两个都会画，你说你分了两个，你画都不会画，你画不出来，你分他两个有啥意义？一点意义没有， 在绘画的基础上。第二个就是最好有一边是什么长竖，这样的话整个你去观察零点之间，就是有一个是长竖的话，观察零点的关系会比较好观察。 第三个求零点的范围，本质上是在求这条横线，他满足三个焦点的临界，这是上边的临界状态， 这是下边的下面的临界状态。看一下这个 x 三最小在四，最大在这个点，然后这个点怎么算呢？你会发现你会知道它的函数值代入解析式求自变量就行了啊。好了，接下来看 接下来我们通过两个引力啊，又要讲一些大家必须达成共识的基本功，要不然再简单的题放你跟前也难，对吧？首先说捞引 x 等于 a， 有 两个不同的解，那画捞引 x 绝对值很简单， 先画不带绝对值的，留上边下翻上，所以图像是这一段，对吧？那这个我就不说了，今天咱画过了，然后说它等于 a， 有 两个焦点， 看到这两个焦点，你脑海中情不自禁的就想说什么相乘等于一，对吧？就是只要看到这个函数，但绝对之于一个横线，有两个焦点，他俩相乘一定等于一啊，不计结论， 为啥呢？也很简单，因为谁啊？捞引 x 一 和捞引 x 二本质上是什么关系？是相反数，为啥呢？因为捞引 x 一 真正在这里啊，这才是真的不带绝对值的。捞引 x 一， 捞引 x 二是真的在这，所以它俩相加是等于零，所以捞引 x 一 x 二等于零，所以 x 一 x 二等于一。那么这个式子呢？叫做你见一次，你知道了它的原理，再次见到的时候，这个隐含条件 不再叫隐含条件，相当于赤裸裸的怼在你脸上啊。所以说你第一次没见过的时候，你说啊，这个我没想到， 就是在高中数学是有很多地方会有一些要你去发现的条件，但这种东西你要做到自己见一次，再也不会让他藏起来 啊，就看到他首先想到的是这个，要做到这一点啊。好了，这是第一个，那么它的变形形式是什么呢？就比如说这回我们画的是谁啊？ log 以二为底， x 加一的绝对值。 在这货画的时候，首先 log 以啊，我们说 log 以二为底的 x 在 这啊， log 以二为底的 x 加一，刚才画过，对吧？向左平移一个单位加个绝对值呢？ 留上边下翻上渐近线是 x 等于负一，所以黄色的呢，就是他的图像啊，所以这就是谁啊？这个整体的图像来这个整体又让你求 x 一 加一乘以 x 二加一，这个乘积呢？还是等于一啊？ 就是不是，你记住，永远不要光记乘 x 一 乘 x 二等于一，在这道题你要说个他俩相乘就是错了，对吧？在这道题里边是这个整体相乘也等于一，为啥呢？其实本质也非常的简单来看，如果说他不带绝对值，我们看这是谁啊？ 这是 log 以二为底的 x 加一的图像，那么 x 一 对应的值在这里，对吧？ x 一， 这是谁啊？对应的值是 log 以二为底的 x 一 加一，这里对应的这个 a 呢？其实是 log 以二为底 的 x 二加一和 log 以二为底的 x 一 加一是互为相反数的，一个等于 a， 那这个就等于多少负 a， 所以 你还是得知道本质的原理是 x 一 带到这个不带绝对值的里边，和 x 二带到这个不带绝对值里边，它俩不是相等的，因为一个是翻上来的，所以它俩始终是互为相反数，所以它俩互为相反数的话，它俩一加 原理永远是他俩一加等于多少？零，所以这里的整体是 x 一 加一和 x 二加一，所以最终是 log 以二为底的 x 一 加一乘以 x 二加一等于零， log 以二为底的多少呢？当，当真数等于一的时候才会等于零，所以最终还是这两个整体相乘等于一。所以你要知道 这个引含条件，关键是你还得知道的是非常清楚啊，非常准确的，你千万不能说我最终在这记了个对数，函数带绝对值 x 一 乘 x 二等于一，那就走远了啊。好了，这个也就说到这里，大家想明白就行了， 这是接下来我们要解决很多问题都会遇到的一个点。那么接下来我们就看一下具体的题在考试考的时候怎么用啊？来继续向下走吧。 来看这道题，首先这道题我们看一下有一个函数，然后说它等于一个常数，有四个不同的实数根，我们说只要是根的个数问题思路或者方向就是画图。然后接下来我们认一下这个函数，嗯，整体带绝对值 我们会，下边这个叫什么？自变量带绝对值我们会。这两个函数是我们今天讲的主要的内容，对吧？那我们接下来就画一下它的图，首先它是以 x 等于一来分界的， 我们先画 x 大 于一的，我们说左加右减捞引 x， 我 讲慢一点啊，要画它，我们说你永远是画不带绝对值的，画好它之后留上边下翻上，如果说捞引 x 减一你也不会画，那你就先画捞引 x， 然后把它向右平移一个单位就行了，这是捞引 x 向右平移一个单位，那这就是捞引 x 减一，那原来是过一零，现在过二零， 然后要给它带上，带上绝对值。带上绝对值，我们说是留上边看 x 轴上方留着， 下边翻上边，所以黄色的部分就是这个函数的图像，然后接下来画这个，这个叫什么？我们说这里哎，负 x 方和负 x 绝对值的平方是一样的，这个叫做整体带绝自变量带。绝对值画的时候也是。 不不不，看绝对值，直接画没有绝对值的，先把它画上来，那他要画是一个开口朝下的二次函数，对称轴呢？是多少？对称轴的话，负二 a 分 之， b 是 负一，对吧？找到对称轴，然后零点呢？是一个是一，一个是负三，我们就把它整个的图像画出来了， 然后把这个整个的整个的图像画出来之后叫做什么啊？留右边啊，因为它是整体带字变量带绝对值，留右边，留啥？留外轴的右侧， 然后翻左边，所以这个红色的部分是这个式子在 r 上的图像，但是呢， 因为哪一段不要呀？因为咱们这个要小于等于谁啊？一，所以图像就只有这一段，所以这个红色的部分就是这一段图像，所以这边画出来，你看先，这边本来是这，但是他只要这一段啊，偶函数对称过去就长成这个样子，这边画出来就是这个样子， 然后说 f x 等于 m， 我 们说就相当 y 等于 f， x 和 y 等于 m 有 四个交点，你画一下，然后它这四个要求和来 x 一 加 x 二，这两个在同一个图像上看到了什么， 它俩的和等于什么？对零嘛，对吧？对称的，所以这两一加是零来 x 三减一乘以 x 四减一等于多少？刚刚说过是一嘛， 他俩相乘等于一，专门给大家说过原理，那所以最终的答案是多少一，就这么简单，图画出来就结束了。所以今天首先说的就是整体带绝对值的你会不会画？自变量带绝对值的你会不会画，对吧？如果在这两个你会画的基础上，那么对于绝对数函数带绝对值， 对数函数带绝对值，到底谁乘谁等于一，在这里认真给大家推导了。首先最简单的就是对数函数带绝对值 x 一 乘 x 二等于一，但是如果平移之后是平移之后的这两个整体相乘等于一，这都是在这给大家推过的啊。 好了，这个过了啊，来再变一下，那么接下来我们看这个啊，这叫做上一点点难度， 真正考的时候像这种呢，就算是考基本功了，这种的话还是需要大家可能去思考的多一些。这道题是我们考试普遍会出现的啊，就换句话，孩子在月考或者期末考，他出现了这种题，大概率是这个样子，不会像前边的 那那些考的非常的聚焦，那些题选出来，就每一道题他都会带着一个有价值的考点， 比如说要画图呀，要转化函数呀，要关注乘积呀，要关注和呀，都是这种细碎的一个点一个点，那真正考的时候他可能就会把这些全部考在一块。那第一个你看到了 f x 等于一个常数有多少个根已经分好了，我们先把图画出来，分两部分， 第一部分就是 log 以二为底的整体带绝对值，就是留着上边的往下边翻上来 蓝色部分，但是他只要零到二之间，零在这，二在哪里？二在这里，那我们就把二带进去看一下是多少，二的时候对应的值是一，所以他的图像呢？啊，简简单单就是这一段啊， 简简单单这一段有了，所以说这就是谁啊？这就是我们在画出的这一段图像，而且二的时候对应的点呢是一。 然后接下来在大于二的时候要画一个二次函数，这个二次函数对称轴是 x 等于四，接下来可能是这个样子，但是我们一定会看在这个临界处，二带进去是多少？四减十六， 二带进去是四减十六加十三啊，对应的值也是一，哎，刚好在这是重合的，所以你就大致画出来是这个样子，然后你最好把它最特殊的位置也标一下，它的顶点是四负三。那么这样的话，这个图像就画出来了，是说 有一个直线 y 等于 a 与他有四个交点，随便画一个跟他有四个交点的，那我们画出来就长成这个样子。 首先第一个说 a 的 范围，你看他向下的临界状态，就是 y 等于零的时候，刚刚好不合适，往上就四个，然后最上边的临界状态就是 y 等于一的时候，所以 a 在 零到一的时候没毛病，对吧？简简单单 a 就 送了一个分。 然后这个题里面，最先现在你看，就光看这个图，你可以把哪些判断出来？对，首先 d 选项很明显是错，他说 x 三在二到正无穷大， x 三在多少呢？最下边的时候在这嘛，最上边在这，所以它只在二和这个之间，怎么能是二到正无穷大？所以 d 选项已经排除了，然后接下来它要 x 一 加二 x 二的范围。那你就要双变量的啊，这叫双变量的 式子，求范围一定要找他俩关系，对吧？乘积等于一，所以看到他俩 x 一 x 二，这已经不叫隐含条件了，这叫做，哎呀，每次都这么考，你烦不烦呀，对吧？所以他等于一， 然后接下来我们要求 x 一 加二 x 二，我们就要去消元啊，然后， 哎，你这个，反正 x 一 能消掉， x 二能消掉，你消 x 一 还是消 x 二，这个的话，我的话我也会消谁啊？我也会消 x 一， 留 x 二，把 x 一 换成 x 二分之一，为啥？ 因为最终留下的是谁，肯定需要谁的范围。在这道题上，我一眼就能看出 x 二的范围，因为 x 二的范围特别好看， 你看，在这的时候 x 二无限接近于一，在这的时候 x 二无限接近于二，所以 x 二的范围简单，我留 x 二，求起来会简单。这样的话，我们要求这个式子，得知道 x 二的范围是属于一到二的， 然后这个或呢就是一个对勾函数，对吧？一个对勾函数，它的顶点是多少呢？让我们看一下啊。顶点就是他俩相等的时候二， x 二等于一， x 二等于二分之一开根号， 顶点是二分之根号二，顶点是二分之根号二。巧了，咱们的范围是一到二，所以这个函数在一到二上， x 二这个函数在一到二上是什么？增的， 所以在一到二上是增的，那我们把一带进去就无限接近它最小值三，把二带进去就是无限接近它最大值二分之一加四二分之九，所以它的范围三到二分之九。 哎，这个 b 选项也在胡说八道，对吧？好了，那 b 选项也是错的。好，那接下来这个 c 选项还有啥好说的？没啥好说的了，对吧？这个 c 选项 这么多求和，先想对称，谁和谁有对称呢？三和四始终是对称的， x 三加 x 四始终等于个对称轴，二倍等于八， 所以你求它的范围不就是在求 x 一 加 x 二的范围吗？ x 一 加 x 二的范围刚消过，消 x 一 写完就是 x 二加 x 二分之一。 来这个对勾函数更简单，这个对勾函数的顶点直接是一，这直接是二， x 二属于一到二单调递增嘛。一带进去最小值二，二带进去二分之五， 然后在前边再加个八十到二分之二十一都取不到，所以这个整体的范围就是多少，哎，就是个十到二分之二十一结束，所以 c 选项是对的，所以这道题最后选 a c， 然后最后还是梳理一下啊，梳理一下这道题相比于咱们前边几道题，第一个你看这类问题，首先第一个你要确定啊，你要去画图，你就要看一下图，你是不是会画，对吧？就是你要会画， 那么在这里的话，很多情况下就是带绝对值的啊。带绝对值的，第二个的话呢，就是零点出现之后，哪些之间有关系？就是对称就有和为定值是一种关系。对数带绝对值经常会有什么乘积为定值， 这个在最，就是目前你们学了只对数函数这个阶段特别爱考，所以你说这些题你看都会出现什么？虽然没有一道题里面出现 x 一 乘 x 二，但是他们都在考 x 一 乘以 x 二等于一，你说这个你都不是很清楚， 对吧？那肯定会出问题。第三个，范围问题特别易错。第一个，不尽尽量，范围问题，尽量不要用基本不等式啊，这这几天我强调了很多，因为基本不等式适合求它的最值，范围问题是你两边都要去考虑的，所以尽量用对勾函数。 第三个点呢，在处理对勾函数的时候，在图上一定要去看每一个根的范围，因为你最终转化完，比如说关于 x 二的，关于 x 一 的， x 一 x 二自身的这个有界性或者范围很重要，你不要光看一个对勾函数，也会导致你可能最终错了啊。 好，这是这道题，或者说我们解这一类题重点要去关注的点，那么今天的话，我们重点第一个，你下去要把图画熟练，先保证 啊，对数也好，分段也好，带绝对值也好，整体带，自变量带，你都要非常熟练的画出来。然后第二个的话呢，要会对每一个根 满足四个根，每一个根其实都有个范围，要快速汇求每一个零点的范围。第三个呢？哪些根两两之间有一些定量关系，要特别熟悉。

关于数学期末复习，我们把考试的题型分为了技巧题型和基础题型。第一类，我们先来说一下技巧题型，必考的呢是二次函数，含三含绝对值。 题型呢，是横成立和能成立，它的位置呢，会在十八题或者十九题这个位置。而在此之前，还有一些需要技巧的题型，有单调性和函数方程的结合，不等式串不等式的其次化和换元。分式方程能够快速画图，以求一眼能够看出来它的单调性和直域。 第二类呢，是基础题型，包括基础的知识点和熟练度，主要考察的是计算能力和画图能力。 高一上的基础知识点有二次函数参数的理解，基本初等函数的性质，基本不等式的变形，三角函数的运算能力，指数和对数衍生出的反函数和函数的不动点。 这些呢，只需要平时我们计算的时候练习总结即可。关于高一期末考大题呢，会有分式函数，只对计算 函数方程和三角函数，三角函数至少会有两道。建议今年各个学校的进度比去年要快，建议大家去刷这两年宁波的一些期末统考卷，包括宁波九校、宁波期末考等。

本视频四十四分钟带你通透高一考试函数重难点，绝对值、函数与零点，从题目出发，掌握题目处理的思路和方向，考试从此不丢分！回复函数领取视频讲义 接下来我们就看接，就是在我们高一这个月考，或者说下一次期末考试中喜欢考的这一类多选题。比如说长成这个样子，说 有个函数 f x 对 吧？若存在不相等的实数， a、 b、 c、 d， a 最小， d 最大，满足这样的一个式子等于 k。 下列说法正确的是。好了，那么用上咱们这些基本意识和基本能力，感受一下这道题啊，那一起看一下啊。 首先这道题跟我们平常看到的题还是有一点不一样，那就是它弯弯绕说的萌力朦胧的是吧，就是正常的给的这个函数都没带绝对值，哎，怎么一看这个题简单啊，给的都是个分段函数，没带绝对值。然后他说若存在不等的时数跟 abcd， 它们所对应的函数值的绝对值相等等于 k， 那 这句话咋翻译呢？啊？那其实就是相当于 f x 的 绝对值等于 k 怎么样？ 我们说存在 a、 b、 c， 使得这个等式成立，相当于是 f x 的 角值对值等于 k 怎么了？ a、 b a 带进去成立， b 带进去， c 带进 d 带进去成立，就等价于它有四个不等的什么实数根？对， 所以这道题翻译完就是还是最终给函数整体带上了绝对值，而且它等于一个常数有四个不同的零点，所以不不要被它这个描述方式啊给影响了，你要能够把它理解清楚。 好了，那 f x 带绝对值是啥呢？他带绝对值就是给他的解析式都带什么绝对值，所以这就是 f x 的 绝对值。好了，解析式整体带绝对值，解析式整体带绝对值，咱会画，对吧？怎么画呢？画不带绝对值的， 画好之后留上边下凡上，我们画一下二分之一 x 加一，斜率为二分之一啊，在这不能说斜率啊。首先它与 y 轴的交点是零一，对吧？然后与 x 轴交点是负二零，本来是这样一个直线， 然后呢，你画的时候留上边下翻上啊，就是这样的一个图像，然后它要小于等于零的部分，这一段就不要了，所以画出来就是这样一个图。好了，右边的话只画 log x， 找到一，这就是谁啊？ log x， 我们说留上边下翻上啊，很简单，就是红色的部分，这就把图画出来了，对吧？所以说你看前边，你只要对所有绝对值图像的画法足够熟，这不是问题。然后接下来说 它等于 k 是 啥意思？画一条 y 等于 k 的 长函数与它要有四个焦点， 那咱随便画一条，假如这就是 y 等于 k， 那 从小到大的四个焦点对应的就是 a、 b、 c、 d， 所以 它所描述的这些东西，咱们通过图像就直观的全部体现出来了，这是解决咱们零点问题的第一项技能了，对吧？ 好，然后接下来你就从图上去关注啊，那这每个选项是啥？他说这个 k 的 范围， k 的 范围，你就看一下， 始终要有四个焦点，那你就要找啥时候，你会发现向下的临界状态，就是他刚好在外轴的时候就没有四个了，一下就变成两个了，所以 k 首先得怎么样？大于零， 然后他一直往上，一直往上，走到啥时候就没有了，你会发现这边是无限延伸的，这边其实也是无限延伸，你找走到这个一的时候也就没有了小于一。然后接下来得验一下，那这个一能不能取， 那你就让它等于一的时候，这边也有两个，这边有两个，所以一是能取的，零是不能取的啊，这个细节要注意，所以它的范围是大于零，小于等于一，所以 a 明显是对的。 然后接下来第二个 a b 求和，求和的话，要想到对称，那么很明显这个下翻之上之后，它是一个轴，对称对称轴就是多少负二，所以 a 加 b 等于多少负四，那这个 b 就 错的特别的明显。 好，接下来再看 c， c 乘 d， 这我们说只要对数带了绝对值，这组成积关系是定值必考， 只要出现了他带绝对值，不管结果是怎么问的，他一定会考。那么对咱们来说，这个 c 乘 d 咱们在前面专门复习过，对吧？看到他没毛病，直接写了。 然后接下来 a 加 b 加 c 加 d， 先关注有没有哪些是定值，刚才说了 a 加 b 是 多少负四， 然后 c 加 d 呢？还是有两个变量，有两个变量你就得去想能不能消元啊？那我们说 c 乘 d 等于一的话，我 d 就 可以写成谁啊？ c 分 之一，所以整个式子就相当于是负四加 c 加 c 分 之一，它就是一个关于 c 的 函数去求值域。 所以这种式子就是首先找定量，然后再削圆化成只关于其中一个零点的函数，然后去求值域。然后接下来我们说，当你啊，当你看作一个函数了，你要求它的值域，首先 要去求的是什么？对，首先要去求的就是这个 c 的 范围，要求定义域啊，要求定义域。好了，那我们接下来来看一下 c 的 范围。 c 是 这个零点，我们说随着 k 的 变化， c 最大是无限接近于一的，这个非常 非常明显。那么最小的时候在哪里呢？我们说当这个 k 在 最上边，在这的时候， c 在 这，也就是 c 的 最小值，那此时 k 等于一，其实也就是 log x 的绝对值等于一的时候，你算一下这个值是多少就行了。那很简单，就是 log x 等于正负一， x 等于多少？十分之一或者 x 等于十，那 x 等于十分之一肯定是这里的解， x 等于十是后边的解，所以 c 的 范围就是十分之一到十，所以说算这个零点的时候，你就是十分之一 到十，所以说算这个零点的时候，你就是找到这个横线的临界状态。这个情况是 k 等于一的时候，这个状 态下是 k 等于什么？零的时候，那这一段就是 c 的 取值范围啊。接下来的每一道题咱们都会去求，哎，这个零点的取值范围，去看零点的取值范围，就要看这个横线的上下 临界状态啊。然后接下来你就是要去算这个值，这个值你想你解析式有，解析式就是它，然后等于的值有就是它等于一嘛。 那么 log x 的 绝对值等于一，就是 log x 等于一，或者 log x 等于多少。负一 log x 等于一， x 等于多少，这对数的基本概念吗？十，但算出的十是后边这个焦点，因为咱们这个值呢，是在零到一之间，肯定不是它，对吧？等于负一， x 就 等于十分之一， 所以这个值就是十分之一，所以 x 的 范围 c 的 范围就是十分之一到一，因为每一个后边的其，咱们都会去算其中这个零点的取值范围，那么这里没问题，接下来我们说这是一个对勾函数，然后你知道了它的自变量，画一下对勾函数， 这个对勾函数的顶点是多少一，在这里对应的是多少二，对吧？这个对勾函数大家要熟啊，不能今天在这再展开讲了。 然后自变量是多少？十分之一到一，所以在这个区间上相对来说是什么？单调递减了吗？因为顶点刚好是一十分之一，假如是它，所以这个对勾函数在这个区间上是单调递减的。十分之一带进去有最大值就是 十分之一，加十减四就是六，加上多少？减四是六加十分之一，十分之六十一，这是它的最大值。十分之六十一 一带进去有最小值，一加一减二减四等于负二，因为一是取不到的，所以负二取不到，所以它最后的值域呢，就是多少啊？最后的值域呢，就是负二到十分之六十一，所以 d 选项也是对的， 所以接下来很多企考察的时候都热衷于考 d 选项，因为 d 选项是一个相对来说综合一点的问题，他要干三件事情，第一个一般要处理，首先要找他们之间的关系，这个关系呢，一般会去找部分之间的和，因为里边往往有 轴对称，有核为定值，然后部分之间是有乘积为定值的，因为出现对数函数，就会出现零点的乘积为定值，所以找完这个关系之后，第二步就是要消元，把它变成什么？变成函数， 变成函数，接下来你想求函数的值域，就是它的取值范围，对吧？所以接下来就会有我刚才重复的这个点，你就得去求这个零点的范围啊，这个零点的范围不是说从图上一眼就能看出来它，好像你不能说它就是在零到一之间， 你得确定线的上限和下线，看他准确的范围，所以零点的范围。然后第四个呢，一般会跟我们学过的一些函数特别多的都是跟谁啊？对勾函数啊，最多的。当然有些时候是跟二次函数结合，再去求一个什么值域， 而前三项呢，都是基本功，比如说合，你就关注轴对称或者中心对称。乘积的话呢，有些时候是二次函数伟大定律，有些时候呢是对数函数上下翻折之后所产生的定值， 然后这个常数的范围，其实你从交点的个数从图上就可以直接观察出来，所以前三个是属于基本上画好图就会出答案的，而第四个一定要你有一定的什么数理和计算能力，所以接下来我们关于这个第四 个题型，我们再专门的去练两道，大家来感受一下啊。好了，这道题就把常考的这个形式说完了，接下来咱们看这一道，再把这个细节练一下 来走。你比如说这一道题告诉我们啊，这整体带绝对值这一段是个二次函数，说他也是 f， x 等于 t， 有 四个根，要求 x 一 加 x， 二加 x 三加 x 四的范围，那这道题的话就完完整整只考察了上一个多选题的 d 选项。 但是这道题要画图的时候要说一下，就是第一个图啊，我们说我要画这个整体带绝对值的，我先得画什么不带绝对值的，这个 log 负 x。 那 我们有些小伙伴说我的问题是带绝对值的吗？我的问题是我不会画它， 所以，那你就得知道 log 以二为底的负 x 和 log 以二为底的 x 是 什么关系啊？关于 y 轴对称啊，关于 y 轴对称，它两个是关于 y 轴对称的啊， y 轴对称的。 当然了，你实在不行，你就不去想它的关系，你就想啥呀，你就想这是个对数函数，按照符合函数去判断它的单调性， 求它的定义域负 x 大 于零， x 小 于零也可以，对吧？首先定义域是 x 小 于零，然后看单调性，外函数是什么？外函数增的，内函数减的，所以整个是减的，所以你也可以很快的画出它的大致图像啊。当然了，你知道它与外 等于 log 以二为底的 x 是 关于 y 轴对称的，你画出来对它的图像的准确程度会更坚定啊。好了，这里的话是谁啊？一零，那这边的话就过谁啊？负一零， 这就是我们这里。不要啊，这就是谁啊？ log 以二为底的负 x 的 图像有了，它没完，因为还要给他戴上绝对值，戴绝对值就是留上边下翻上长成这个样子， 对吧？好了，有了它之后，接下来画这个二次函数大于等于零的时候，是一个开口朝上的二次函数，对称轴是 x 等于三，与外轴的交点是零二啊，然后你把三带进去算一下，九减十八加上二， 我算的对不啊？应该在下边会算出的顶点，顶点是负的吧？啊，是负的，所以这就是整个这个函数的图像。然后说 f x 等于 t， 那 你就画一个 y 等于 t， 它有四个零点， x 一， x 二， x 三， x 四， 画好之后要求整体的取值范围，我们说求和的优先去看对称，那这里边哪两个有对称？ 你发现 x 三和 x 四之间是有轴对称的二次函数，那它两个的什么？它两个的和等于个六，对吧？那这里就知道了。然后 x 一 加 x 二，它俩有轴对称吗？没有，但是双变量的依然要找它俩的关系，它俩关系是啥？ 这也是咱们课前专门说过的，对吧？所以你看它不停地在变形，但是本质上还是在说它俩的成际关系。如果说你不知道，那你就看一下 x 一， 你把 log 以二为底的 x 一 带进去，对吧？因为 x 一 是小于多少负一的啊？那 x 一 小于负一，那么负 x 一 就是大于一的，所以它去掉绝对值之后呢？就等于谁啊？ log 以二为底的负 x 一， 原理是一样的啊，然后 log 以二为底的负 x 二呢？ 那你也要把它去掉绝对值，你把它去掉绝对值的话， x 二在负一到零之间，负的，它就是零到一之间，它整体是负的，去掉绝对值带符号， 所以他俩相等，也就是他俩相等，原理都是一样，也就是他俩相等，他俩相等就是他俩相加等于零嘛。所以烙哥以二为底的负 x 一 加上负 x 二，就乘以负 x 二是等于多少零的，所以 x 一 x 二还是等于多少？ 原理是一样的啊，原理是一模一样的，不自信了就可以快速的去推导一遍。好了，写完了啊，在这里我们就知道， x 一 乘 x 二等于一， x 三加 x 四等于六，来，这是六， 然后这两个相乘是一留一个，另外一个用它的倒数来表示，表示出来就是六加 x 一 加 x 一 分之一。然后接下来一样是这个对勾函数在求值域，那你就得看 x 一 的范围来，这个其中 x 一 的范围是多少？ 你这写的有点反，哎，你们还真给我求出了问题了，真的是五花八门呀。好，我选择的是 x 一 啊，那么选 x 二也是一样的。你看老规矩，我们说这个得看这条横线，要有四个根的话， 最上边是在哪里？你看最上边是在等于二的时候，这里一个，这里一个，这里是无限延伸，也会有一个，对吧？所以 x 一 最小在这里， 然后 x 一 最大的时候，就是当这条横线取它另外一个零界，就是 y 等于零的时候，所以 x 一 一定是小于负一的，而且负一取不到， 因为这个常数等于负一的时候只有一二三个零点，然后是大于等于这个最小。这个最小值是啥呀？就是整个函数等于多少二的时候。那 不会了，带进去算一下， log 以二为底的负 x 的 绝对值等于二，对吧？然后就是 log 以二为底的负 x 等于二，或者 log 以二为底的负 x 等于负二。 那么你就去想一下，咱们这个 x 一 对应的是等于二还是等于负二？咱们这个这个 x 一 啊，就是我们在这画的 x 一 对应的是第一个方程还是第二个方程？其实这个你都不用两个都去解，你看一眼就能看出来 对应的是哪个方程。因为咱们这个 x 一 是小于负一的，负 x 一 肯定是大于一的，它对应的值肯定是负的，所以那负 x 就 等于二的平方， x 就 等于多少负四啊，这里要算对，这是负四，所以算出来它的范围是谁啊？它的范围就是负四到负一，所以这就是上道题。为什么要重复去讲这个点？ 我们有些时候小伙伴算到这就是你去算这个零点范围的时候老算错，如果你算的是 x 二的范围，它是大于负一，小于等于四分之一， 这个解解出来的其实是 f x 二的，就是解出来其实是这个啊，这个 x 二的最大值这里是负四分之一，所以其实你解这个方程，两个都可以解出来，所以你选哪一个都行啊。 好，那这个我们就说到这里啊，所以说有些时候最后的成败在于一些细节，你这里细节错了，你说你表达达到这一步了，最后求个范围求错了。好，对勾函数不用说了啊，这是这个对勾函数，我们就看一下 他在负四到一，哎，负四到一还是这个啊？在这个的话这边是多少负一，那么他在负四到一上是一个负四到负一上是一个单调递增的，所以把负四带进去有最小值，负四带进去就是 啊，六减四，二减四分之一是多少啊？四分之七，对吧？四分之七，然后把负一带进去，有什么？无限接近于最大值？六减一减一等于多少四，所以这里是四， 所以他的答案就是四分之七到四，四是取不到的啊，这是最后的结果，所以这道题呢，最后也选 d， 所以你发现解决这些题，你需要的基本能力和基本功其实都是一样的。第一个啊，就是这种分段函数加上绝对值函数图像的画法。 第二个只要求多个零点之间的这种范围问题，你对于什么时候核有定值，什么时候基有定值的这种什么 基本意识、基本模型有，我们说了第一个就是和有定值，一般是轴对称嘛，对吧？比如二次函数乘积有定值两个，一个是对数某某某代绝对值就会出现乘积为定值。 第二个就是二次函数两个根。你比如说这道题，我们刚才在这说 x 三加 x 四是定值，那你说 x 三乘 x 四是不是定值？或者说能不能表示出来？我不能觉说是定值啊，能不能表示出来它不是定值， 因为是什么？他是他等于 t 的 几， x 三乘以 x 四，可以用谁啊？二减 t 表示出来，因为伟大定律，我说明白了吗？在这做了一点点拓展，因为他是这个二次方程，等于 t 的 两个根，两根的话就等于 a 分 之 c。 好 了，接下来看这道题， 对，多了系数，一个是多了系数。第二个他不像刚才的这种对勾函数，就是什么 x 一 分之一加 x 一 x 二啊，什么 c 分 之一加 c， 他 不这么简单了，他是要你去凑出一个什么对勾函数啊，他需要我们去凑出一个对勾函数。好了，我们就感受一下这道题的细节。首先对我们来说，画这个图的话没啥问题，一个二次函数，这是一个什么 啊？我们说对数函数，只是这个对数函数的话，他向右把 log 以二为底的 x 向左加右减吗？向右平移了多少？四个单位而已，所以你只要画出平移的，依然是留上边下翻上， 我们感受一下啊。二次函数我不用说了，开口朝下过零四，然后他刚好是小于等于四的部分，就是这个样子。然后这个的话，你本来 log 以二为底的 x 你 是过一零的，你把它向右平移四个单位，那它要去过多少？它要去过五零的。当然了，你要考虑它定义域，它得大于零， x 是 大于四的，所以这里还有个渐近线，是 x 大 于四，然后它过五零， 然后接下来的话啊，留上边下翻上它的图像也是比较好画的啊，画出来之后就是这个样子。 接下来的话，划横线嘛， f x 等于 t 与它有几个啊？有四个零点，标出来就是 x 一， x 二， x 三， x 四，但凡是一堆字在求它们的和差积，先找两两之间的关系， x 一 加 x 二，因为 x 一 跟 x 二之间有两个关系相加，关于它对称，一定是等于四， x 三 x 四一看是对数整体带绝对值想乘积，这个我不再推导了啊，就是把两个根带进去这两个整体，因为讲太多遍了， 这两个整体相乘等于多少？只要对数的整体带绝对值，两个零点关系就是 整个这个零点代入真数，两个真数的整体相乘等于多少？等于一啊，所以他俩的关系是 x 三减四乘以 x 四减四等于一。原理讲太多遍了，再讲就显得啰嗦了啊。好，接下来我们就看这个是已知的是四， 然后二 x 三加二分之一 x 四，那我们要去求解，这个这里已经写成四了，这里就还是得消元，比如说我不要谁啊？ 假如我不要，随便写一个吧，我看一下，我是不要谁啊？我不要 x 三了。 x 三减四，那就等于 x 四减四分之多少一 x 三就等于 x 四减四分之一，再加上多少 再加上四。你把它在一个项，然后你给他乘个二，对吧？它就是二倍的 x 四减四分之一，再加上四，再加上二分之一 x 四， 既把它用用长竖换了，又利用这两关系把它实现消元，让整个式子指示关与谁啊？ x 四的，这就是我们说一串在一起，要求和呀，这种关系的时候，消元消的只剩一个，通过定量这些。好了，接下来的话，整个式子化解一下，化解一下就是四，加上 x 四减四分之二，再加四八啊，这就是十二了，再加上二分之一 x 四。所以你写完之后，这个常数呢，我们一般不影响，关键是看这个变量部分。 x 四减四分之二，加上二分之一倍的 x 四，这个式子要求值域，你咋求呢？你看这是一个什么啊？ 反比例式子平移的，对吧？这里又是个一次式，所以在这种情况下，你就得凑成让这两个分。这个分母和这个式子相乘是什么定值？ 把它凑成一个整体，是什么？对勾函数的形式，所以说这就是咱们以前求函数的那个整体意识了。要凑这个 x 四，就必须变成 x 四减四，那你无形中相当于给他减了个二， 后边再加上二就行了，你看这里，二分之一倍的 x 四减四， x 四减四，你把它看做个整体，这就又变成了什么对勾函数，所以 十二加二就变成十四。 x 四减二分之二，二分之一倍的 x 四减四，所以这就相当于十四加上七分之二，再加上谁啊？ 啊？二分之 t， 这就是一个非常简单的什么对勾函数加上十四，那接下来关键是你得知道这个整体的范围，那又变到了我们求 x 四的范围，也很简单啊， x 四的范围，你看 当这个 t 最低的时候，它是无限接近于多少的， x 四的范围是无限接近于五的，所以 x 四肯定是大于五的，然后最高的时候是多少 啊？就是这个式子整体等于这个式子整体等于四的时候，代解稀式就行了。 log 以二为底的 x 减四的绝对值等于四，那也就是 log 以二为底的 x 减四等于正负四， 我们的这个 x 四是大于五的，所以他一定是正的，他不会是负的，你就按正四去解，那也就是 x 四减四等于多少二的四次方十六， x 四就等于多少二十，所以在这里的话，他是二十，那我们就让他的范围先小于二十来能取等不？ 写完绝对的范围，每次要去验一下等与不等啊，因为你这个是个前空题，有些时候就是因为这个范围 会导致啊，你可能错了，那你看，因为我们是按照这个 t 算出来的，此时有几个零点？一个、两个、三个，满足其吗？不满足，所以这不能取等，所以这样的话，我们就算出 x 四是五到十二，我要这个整体的范围就是一到多少，一到十六， 一到十六。然后这道棋的话，区别与前边的这些棋最大的区别，他不是求这个整个的取之范围， 他求的是最小值。求最小值的时候，我们优先考虑什么？其实就直接可以是基本不等式啊，就可以优先去考虑基本不等式，它相当于是十四加上谁啊？ t 分 之二加上二分之 t， t 属于谁啊？一到十六嘛， 他俩相加大于等于二倍，根号下他俩相乘是多少？一啥时候取得等呢？在 t 等于谁啊？他俩相等，也就是 t 等于二的时候， t 等于二的时候，你只要去验一下能不能取到就行了， 这样会比较快一些。就是如果只是求个最值，用基本不等式一般会快一些，所以你只要一验能不能取到 这个的话，就是它的整体等于二，也就是 x 四四等于六的时候，取的最小值十六就结束了。所以说最后求最值和求取值范围，我们一般采取的方式也会有一些区别啊。好了，这道题的整个过程我就说完了， 但是老规矩啊，今天因为讲这些综合题，还是想带大家多去感受几道题，就是任何一个综合题结束完之后，最重要的还是通过这道题，你要去拆解一道题，到底他需要的能力有哪些？第一个就是我们今天说了就是画图， 特别是谁啊，就是关于带绝对值函数，你要去先看你这些基本的去练啊，你不要想着通过这些题把啥都学会， 专项的吧，绝对值得练明白。第二个就是零点问题，通过画图去看，对吧？零点问题是通过画图去看的，然后还要去看他的零件啊，就是啥时候满足，啥时候开始不满足了，因为要去求参数的范围。 第三个意思就是多零点和差关系的话，你要找这个关系是通过对称去看谁啊？和对固定的乘积啊，就一个是对数代绝对值，对吧？这里也可以是一个整体，一个是什么二次， 当然有些还有一些中心对称或者轴对称的一些问题啊。然后第四个就是求范围的时候，要会去求零点的曲值范围，那这个细节给大家讲了几遍啊？零点的范围，所以你一定要去看一下 你的细节这些点，然后对比你比如说你横向的去对比每一道棋相比于前面的棋有啥差别，你像这道棋最大的不一样的点就是写出来之后不是不是直接的一个对勾函数， 那么你能不能看到有负一次式，有一次式能够把它怎么样凑成一个基本不等式形式，或者说一个换元之后是对勾形式，所以对函数的变形啊，它 这个棋和其他不同的一个就是变形，那你在这道棋里边看到的时候，这个式子应该是这个变形，应该是在你当初学基本不等式的时候见的最多的，你是不是一下反应出来了，对吧？ 那么第五个就是最后求最值了，没啥好说的，所以说做一些综合棋，一定要通过对整道棋的梳理，看该你具备的这些能力，你每一个是不是都熟练。第二个 这个棋真正有价值的地方，或者对你来说啊，值得你反思和消化的点在哪里？我觉得这是我们去学每一个知识，每一个棋都特别重要的意识好吧，也是经常给大家去讲理念的时候去传递的。但凡做综合棋，你都要有复盘去对这个棋重新构架和整 的能力啊。好了，这个就过了，然后接下来我们再看一个不一样的啊，走你啊，这会换成一个什么指数型的这这个棋呢？他给的还是一个整体带绝对值的，但是给这个你要画他的图，我们说还是要画 a 的 x 加一次方减二，不带绝对值的， 你要画它，你可能要画 a 的 x 次方加一，再向下平移两个单位，对吧？所以你画的时候呢，你会发现，不管怎么样我都我都得去看这个 a 到底是零到一还是大于一，所以你不分类，你不可能直接画出唯一确定的，所以在这就分为 a 大 于一和 a 在 零到一。 那么 a 大 于一的图像画一下啊，我就一步一步画 a 的 x 加一次方， a 大 于一，它是单调递增的，它本来过的是零一。啥？为什么过零一呢？是因为指数为零的时候，函数值等于一，那现在的话就是 x 等于负一的时候，函数值等于一，对吧？ 所以他画出来的图像应该是这个样子，然后你在后边再减个二，减个二的话就要把它向下去平移几个单位，平移两个单位，你负一的时候对应的可能就是多少了负一，但是你平移的时候注意啊，他有个渐近线 y 等于多少负二。因为原来的图像始终在 x 轴上方，所以这种以 x 轴 y 轴为渐近线的图像，在平移翻折的时候，渐近线要跟着他走， 所以这就是他的图像。画出来之后，接下来你要画带绝对值的来留上边下翻上，可能画出来就是这个样子，对吧？这就是我们画出来原来这里有个 y 等于 多少负二的渐近线，这里就有个 y 等于二的渐，所以说这里看似从这一直往这边往上走，但是他是不能超越 y 等于二这条线的。然后接下来说他与 y 等于三 a 有 两个公共的焦点， 因为我们的 a 是 大于一的，那三 a 就是 大于三的，二在这，三在这，所以我画的三 a 一定差不多在这里，所以三 a 与他一定最多就是一定只有一个焦点 啊，因为这里是无限向上的，他在哪里都会有一个，对吧？所以但是这种是不满足其意的好。然后第二种情况就没啥区别了，对吧？ 第二个我们要画图的话， a 的 x 加一次方，只不过变成减的了，你向下平移一下，也是 y 等于负二做它的渐近线，然后你比如说你向上去把它翻一下，最后的图就长成这个样子，渐近线是 y 等于二，然后那 y 等于三， a 呢？ y 等于三， a 的 范围呢？是 a 还是三？ a 还是大于零小于三，所以要有两个焦点啊，那你就画一个满足的，这可以是 y 等于三 a， 那要有两个焦点，你会发现三 a 一定要在二的下方，等于二都不行啊，你就让它等于二，你会发现只剩一个，所以这不能取二，然后能不能等于零呢？也不能等于零，所以三 a 大 于零小于二，所以 a 的 范围就是零到三分之二， 所以综上这道题的答案就是零到三分之二。这道题呢，相对来说比较基础。那么重点是在让大家在画有指数的时候，一定不管是平移了也好，翻折了也好，渐近线始终得跟着走， 要不然有些时候在处理零点个数或者范围的问题，容易出现问题。因为你画着画着不自觉的就没有渐近线约束的话就画上去了。画着画着没有渐近线约束的时候，可能就会以为他一直可以向上增， 但很多情况下他不是这样的啊。好了，这道题咱们就讲到这里了，没有问题，我们接下来再看一个啊，来看一个综合一点的，比如说这道题， 他说 f x 等于三的 x 次方减一，但绝对值，然后有 abc 三个量啊，是 a 小 于 b 小 于 c， 但是 fa 大 于 fc 大 于 f b， 则接下来正确的是单选择题啊 啊，那这个棋呢？上来之后还是当你没思路的时候，你得画图，对吧？又有自变量关系，又有函数值关系，来画图。画的时候画谁呢？三的 x 四方解一先走，你三的 x， 四方单调递增过零，一向下平移一个单位向下平也过零，零。 原来渐近线是 y 等于零啊，现在是 y 等于负一。哎呀，我感觉我在念什么咒语似的，是吧，画好之后留上边下翻上，渐近线是 y 等于一走，你有了啊，好魔幻，这就是他的图像。 然后接下来在图上要找到三个自变量 abc 啊， a 肯定在什么最左边， c 肯定在最右边对吧？ b 在 中间，但是要保证 fa 的 值最大，那你就先随便选一个，假如这是 a， 那么这是 a 的 话，假如我看谁再找一个 c， 我 在想，如果 c 在 这的话，你看你在图上能不能画出满足其意的 b？ 假如我标的 c， 随便标了一个就标这了， fa 也大于 f c 有 没有满足其意的 b？ 有 吗？ 对，你发现没有？因为什么 b 只能在他俩中间画，在这一段中间画 f b 绝对不会是最小的，一定比 c 大， 所以说明 c 是 不能画在什么， c 是 不能画在这一段上的， 那 c 只能在这一段，在这一段对应的值还要比他小。在这。那接下来大家看一下 b 我是 画在左侧呢，还是画在右侧呢？ b 现在的位置可以在哪里？在这里的话，你就画的时候就是先让他逐个满足定，让他逐个满足其意，然后看一下能确定的都确定下来来， b 画左侧还是右侧还是左右都行呢？ 对，你接下来你会发现 f b 对 应的值要比 f c 小， 那就要在它下方，那我画这行不行？画这很明显，行。你看 a 大 于 b 大 于 c， f b 最小，然后 f c f a 没毛病，对吧？那我画这行不行？也可以，你看 a 大 于 b 大 于 c， f a 最大， f c f b， 对 吧？这两两两个图都可以，然后这个图画完之后，那你看一下哪些选项的啊？哪些选项就可以确定它的 正确与否了，或者说哪些选项就排除了，图画好之后，顺手就把哪些对 ab 是 不是都 pass 掉了， 因为 a 小 于零，没毛病， c 大 于零，你说 b 小 于零，哎，那我能画出什么大于零的？你说 b 大 于等于零，哎，我能画出小于零的，所以 ab 肯定都错了，对吧？然后接下来我们再看 c， 他 俩底数是一样的，你要比较的是负 a 和 c 的 大小关系，如果三的负 a 次方小于三的 c 的， 你从我画的图上看，负 a 是 不是一定小于 c 呢？ 负 a 一定小于 c 吗？啊，对，那这个直接就怕死掉了，就我画这很明显， 负 a 在 哪里？负 a 对 称过来在这，这是负 a， 负 a 比 c 大 啊，胡说八道，所以这也错太明显了。然后这个咋判断呢？ 这个的话就是你得去代值了 f a 啊。题目知道的是 f a 大 于 f c， 那 我们就代一下 f a 是 啥呢？就是三的 a 次方减一的绝对值是大于三的 c 次方减一的绝对值。然后接下来我这两个肯定是要把绝对值去掉的， 那你看一下左边去掉绝对值，变不变号，变不变号就看 a 的 范围，或者说看三的 a 次方是不是大于一变不变。 对，这个肯定变，因为从图上来看， a 一定是小于零， c 一定是大于零，虽然 b 定不下来，但是他俩的证 a 小 于零，那三的 a 次方肯定小于一，所以就写成一减三的 a 次方， 右边去掉绝对值变不变号呢？ c 是 怎样的？从图上知道， c 是 大于零，三的 c 次方肯定大于一，所以三的 c 次方减一一项就行了。 三的 c 次方加三的 a 次方移过来小于一，加一等于二，所以三的 a 次方加三的 c 次方小于二。 d 选项没毛病啊。所以说很多时候，在比较这个值的时候，当你不能确定的时候， 你可以直接把它带进去啊，特别是 a 和 c 带进去，刚好在解析式的时候，就是通过带入去绝对值去比较他们之间的等量关系。好了，这道题就说完了， 这道题的核心呢，还是让大家画一下指数函数的图像，最重要的就是这个 d 选项，有些时候它比较的不是谁啊，这些自变量的关系， 它比较的是函数值的关系的时候，要有效的把解析式用起来。那么有效的用解析式图提供给我们的是什么？因为这些变量的正负是确定的，或者说范围相对是确定的，绝对值就可以去掉了， 绝对值去掉之后，两个式子就可以进行一些变形和化简了。好，这是这道棋里边比较有价值的东西。那么接下来我们再看一个更加综合一点的，又有指数又有对数，我们来试一下这道题，那一样的上来之后一个分段函数都带绝对值，然后说 啊， g x 等于 f x 减 m， 这说的 f x 减 m 啊，也就是 f x 等于 m 有 四个根，对吧？这就是 f x， 画它的图就行了，那这个我就不再说了啊。捞引 x 过一零留上边下翻上就长成这个样子，非常简单， 今天画了一天了，对吧？然后三的 x 加一次方，刚才也画过三的 x 四方减一，本来本来是过多少三的 x 加一，我们说它本来是过负一一，然后你向下平移一个单位，它就过谁啊，一零， 所以它的图像是这个样子，然后它的渐近线因为向下平移了，是 y 等于负一，然后接下来你把它什么 留上边下翻上就是这一段，要的是他小于等于零，算出零的时候，他对应的值带进去三减一的绝对值等于二， 所以这里对应的值是二。翻上来这里有个渐近线，是 y 等于一，所以左侧的图像要画准确一些啊。这里翻上来渐近线 y 等于一，这一段是到二，然后这边很简单，我们就直接画出来了，等于 m， 说他总共有四个零点，我画一条满足的，这是 x 一、 x 二， x 三 x 四，然后那接下来我们看 m， 他 说要满足有四个零点， m 的 范围是零到二，对吗？有点胡说八道吧。 因为这里有个电竞线，他绝对是不能超过什么不能超过这个一的，所以这个是错的，他的范围是零到一， 这里你看他就考的其实是这个渐近线，如果你没画这个渐近线，在这让他一飞冲天的话，你会发现啊，零到二没问题啊，因为只要大于零，你看只要不超过这个点都会四个，所以他本质就是在考渐近线啊。然后接下来看第二个，他说三到 x 一 加上三到 x 二等于三分之二。刚才有很多朋友就说，有朋友说到了 b 选项不太会处理， 我们说很多跟字就是跟零点有关的，这些我们基本上从图上去看，能看出它的关系， 对吧？而且也可以从图上去判断，但是呢，如果说它是自变量还是带入了这个解析式，我们要去判断，怎么判断呢？还是得通过解析式去判断。所以 x 一， 我们看一下它是谁啊？ 是带进去是这个方程等于 m， x 二带进去也是这个方程等于 m， 所以 三的 x 一 次方减加一减一的绝对值和 三的 x 二次方加一减一的绝对值是相等的，你把这个关系先写出来，然后接下来根据 x 一 x 二的取值范围，从图上看， x 一 在负一的左边， x 二在负一的右边，看哪边去掉绝对值变号，哪边不变号。来 一二，咱们说编号的是哪一边吧。对一，因为你知道 x 一 是小于负一的，那 x 一 加一是小于零的三小于零的次方减一肯定是负的，他就变成一减三的 x 一 次方加一。 当然了， x 二大于负一，它整体大于零，它减一也是大于零，这个就不变号，所以你只要这样一写就行了。写完之后呢，把负一移过去，二等于三的 x 一 次方加一，加上三的 x 二次方加一。 哎，这个题目要的是三的 x 一 加三的 x 二，那我得到的是这个式子，题目要的是这个式子 怎么变形呢？对，同除以三就行了，你让这里变成三到 x 一， x 二次方就两边同除以三， 同除以三就是三到 x 一 加三到 x 二，这边同除以三就是三分之二，所以本质上还是要把它带入什么，带入解析式。所以这个化解完之后，算出来 b 选项没有毛病就结束了啊。接下来我们再继续向下看看 c 选项， c 选项的话是，哎，要 x 三和 x 四这两个零点之间，我们说要消元，那 x 三和 x 四有啥关系呢？ 要消元，它俩之间首先要有个等量关系。等量关系是啥？ x 三乘 x 四等于一啊，不再说了，然后 x 三乘 x 四等于一的话，我就把 x 三换成 x 四分之一，整个就变成了它。然后接下来我要求的就是谁啊？ x 四的取值范围，因为我要求这个式子， 那我们就看一下，这个线无限接近于上边就在这里，所以 x 四无限接近于这个值， 这个值的话就是这个对数等于多少一的时候，捞引 x 的 绝对值等于一，捞引 x 等于一，或者捞引 x 等于负一，那么此时 x 算出来等于一，此时算出来等于一分之一，对吧？那么很明显这个值是大于一的，这个不考虑，对吧？舍去了。 所以 x 四的范围就是在一到一之间，我就知道了 x 四的范围是一到一之间，然后你要求的是他的最小值，那我们就按照谁啊基本不等式去求，因为他俩的乘积为定值来 大于等于二倍，根号下他俩相乘二倍，根号二啥时候取到了？就是 x 四分之二等于 x 四， x 四等于根号二的时候，取得最小值，能取到不？很显然能取到，所以 x 四等于根号二的时候最小值二倍，根号二没毛病， c 选项也就结束了。然后接下来这道题要求的还是 x 三加 x 四的值最大的，他说 m 越大他的值，那我们看一下 x 三和 x 四的变化，跟 m 有 什么关系呢？ 那么 x 三和 x 四的关系是乘积等于一，所以我要表示这个式子，我还是表示乘 x 四分之一加 x 四，然后 x 四的范围是一到一亿，这是我们刚才求过的，那我们说这个值越大，你得看一下它在这个区间上是怎样的， 那么这是一个对勾函数，顶点是一对吧？所以一到四 e 上啊，这是一，这是 e， e 到 e 上这个式子是单调递增的，也就是说 x 四越大， 这个式子的值越大，那么接下来我们知道的是 x 四越大，它的值越大，但题目问的是 m， 那 你就看一下 m 的 变化和 x 四的变化是不是一致的。 题目要的是 m， m 越大，你看一下 x 四是变大还是变小？对，一致的， 所以 x 四越大，他越大，而 m 越大， x 四越大，所以这个说法也没毛病啊，这是一种解法啊，这是一种解法，还有另外一种解法，其实可以把他们直接通过式子化成什么关于 m 的 式子， 那在这就不讲了，因为这个通过对勾函数直接能说明，我就讲一个方式就行了啊。然后这些题的话还是那句话，对大家的综合能力，就比如说第一个你绝对值函数的处理，第二个零点的关系，第三个 胶原，对吧？第四个球自变量的范围，第五个球最值，所以它还是一个综合性的问题，大家下去还是拿着这个假意，能够反复去检测一下自己这些能力是不是都练熟练透了，然后再去把这些棋好好消化一下啊。好了，那就讲到这吧。

好，各位同学好，我们来看一道南京一中。呃，去年就是期末考试的十九题啊，应该是期中考试十九题，然后的话，呃，这道题目的话是一个典型的含餐含绝对性的问题，我们把这道题解析一下，这道题整个来讲讨论，你要看标答的话，他讨论还是有点复杂的， 我们看下能不能从一些就是图像的性质啊去分析，会更好分析一些。让我们来看一下。第一个就是啊，第一问就不说了啊，就是判断奇偶性的话，就很明显是 m 等于零的时候是一个奇函数，对吧？在 m 不 等于零的时候非奇非偶。好吧， 这个问题就不再展开讲了。好，那我们来看一下这个，嗯，第二小问吧，重点看第二小这个题目的，它里面 x 乘 x 减 m 的 值，这个图像，呃，我们要熟悉一下， 第一个就对，这个图像我们应该是非常熟练的才对啊。第一种情况，当 m 小 于零的时候，当或这样从 m 小 于零的时候， 当 m 小 于零时，那这时我们来看一下。呃，你 x 如果大于等于 m 的 时候，那图像就是 y 等于 x 乘上一个 x 减 m 加上 m 平方，然后当 x 小 于 m 的 时候， 当 x 小 于 m 的 时候，就是 x 乘上 m 减 x， 对 吧？ 再加 m。 好 了，这时我们把它整个图像给大家画出来，那么画出来看一下，就是在 m 小 零的时候，你一个 根是零零点，我们先不考虑 m 方啊，先不考虑 m 方，就是最后是一个平移。好吧，我只画相当于是现在的话，我画的右边画的图啊，只画这两个图像， 好吧，最后的话， m 方你做个算的时候，只要算我绿颜色线画的最小值，加上 m 方，然后就等于七就可以了，就最小值。好吧，那么这时候当 x 大 点 m 的 时候，呃， 是这样的啊，当小于 m 的 时候呢，那就是本来应该是什么？是开口向下的一个函数，那只截取小点 m 的 部分。 好，那我们看一下啊，就是这样子。好，那我们来看一下。那这个时候这个图像的话，它在一到二上面的最小值是七的话，大家看一下，很明显 它最好是在一的时候取的吧，所以啊， f x 的 最小值就等于 f 一 就等于一乘上一个一减 m， 一 减 m 就 打开了，因为 m 小 零的时候，一减 m 是 正数，再加上 m 方就等于七。好吧，然后我们推出就是 m 方减 m 减六等于零，那所以呢，就 m 减三乘上一个 m 加二， m 减三， m 减三乘上 m 加二， 所以呢， m 就 等于 f 三，我直接舍掉了。好吧，我就没有写那么细了，你自己知道一下， m 等于 f。 好 的，是第一种情况， 那第二种情况，当 m 等于零的时候，我们看一下， m 等于零的时候呢？整个 f x 就 等于 x 乘绝对值 x， 好 吧，这个图像我就不再想实化了。好吧，就很明显是一个单调增，就是个奇函数，对吧？这里看一到二他最好，这是有可能是七吗？不可能，最好乘以几一吧， 这不等于七。好，那小零和等于零我们都讨论完了，那这个题它真的难点在于 m 大 点的时候来看一下， m 大 点的时候，我们把图，呃，一样的啊，就是这样画一下啊， x 乘 x 乘 x 加 m 加上 m 平方 x 大 点 m， 然后 x 小 a m 的 时候，就是 x 乘上一个 m 减 x。 好， 我们来看一下，这是我们大人的手，那这是我们一样的画图，先画出这个， 嗯，那我们先画出这个，这个图形啊，就是大于等于 m 的 部分一样的，我们画图的时候，我还是把这个标一下吧，我只画这两，这两部分啊，刚刚这边漏超了一个 m 缝啊， 好，我只画这两部分，那画一下那绿色的给它画一下。是这样的，开大 m 大 一点的时候，当 x 大 一点 m 的 时候，那本来我应该是这样画，对吧？但我只要大一点 m 的 这部分，那你看一下是哪一部分，就是我画粗一点，就这样子啊， m 点好，当开口向下的时候呢？ x l m 的 时候，正好是开口向下的一个三角形， 那这个时候他的问题就来了，整个题目中，你现在要研究的是一到二的最小值，那他整个的最小值你根本不清楚在什么地方取得啊，对吧？因为这个对称轴是二分之 m， 那 有同学说了一个讨论的方法，就讨论一到二都在二分之二之间，还有一到二都在二分之 m 和 m 之间，还有一到二在 m 的 右侧，还有 m 也有可能在一到二之间，如果这样去讨论它没有问题，但是这样讨论的话，会让整个题目变得非常复杂。 那我们来观察一下这个图像啊，有图像性质，我们看看有没有什么比较巧妙的突破口。我们会发现，不管你一二在什么位置啊，大家看一下，我一二随便标来一个蓝颜色的啊，给它放大一点。不管一二在什么位置，大家会发现啊， 他整个图像中的最小值只有可能在一二或者 m 出去的。好吧，那可以吧，那这句话大把，这句话再好好理解一下啊， 就它所有可能的最小值就是 f x， 它最小值只有可能 在呃 x 等于一，或 x 等于二，或 x 等于 m 除以的。 好，那这样子啊，我们就挨个去讨论。第一种情况，当 x 等于 m 取得最小值时， 那我们来试一下来，如果 x a m 的 时候取的最小值，我们就回代入这个原来的数字，就是 m 方等于七，所以推出来 m 等于几啊？ 因为 m 大 于零啊， m 等于根号七，大家想想，如果 m 是 根号七的时候，那你在一到二上有可能在根号七处取得吗？不可能吧，你一到二都碰不到根号七，根号七就不在一到二里面，所以这种情况直接舍掉。好，那我们来看第二种情况，当呃 x 等于一处去掉，这有知识。 好，那我们来开始。接下来是一减 m， 绝对值则等于啊，加上 m 方 等于七，那大家看一下。好，这这个式子我们给它解一下，我们解慢一点，就是一减 m 等于七减，不要平方啊，我们就上来，上来看到绝对值就平方，然后做的话，只会把这个题目做的更复杂，所以呢，我们就讨论一下，一减 m 等于七减 m 方，对吧？绝对值等于七 m 方之后，或者呢， 一减 m 等于负的七减 m 方，那 m 方我们知道都得是小等于七啊， m 方小等于七啊，因为七减 m 方得是一个什么正数才能等于减 m 的 位置，对吧？好，我们算算 这个题目，算算第一个式子啊，我们就我在旁边打草稿了， m 方减 m 加二等于零，然后这 m 减三，先拿给 m 加二等于零，第一个式子解出来多少？ m 等于三或 m 等于负二， 第一个的话，就是因为他 m 大 于零，所以负二要舍掉。 m 等于三，是否符合呢？这两个都要舍掉，因为 m 等于三，他不符合。底下 m 方小于七或者把三回代入来的式子，二加九不可能等于七，好吧，所以这两个什么 都得舍掉啊，都得舍好，我们再看底下这个啊，底下这个就是 m 方再加 m， 再减去几，看一下减去八， n 方加 m 减八等于零，对吧？我看一下，这是负一加减根号向呃 b 方减 c， c 看一下是根号三十三，再除以二，那我们根据这个 m 是 大于零的，那我们就去正的来分析一下，所以就退出来了。 m 等于二分之，根号三十三，再减一加一的话， 呃，负一减根号三三的话，你自己说一下，明显要舍掉，好吧？然后这个的话，到这一步之后，我们来看一下根号三三大概是多少？五到六之间，也就是说五到六再减掉一的话，也就四到五之间，四到五之间的话，那我们来看一下，这个时候 m 是二到二点五之间，对吧？这个式子大概就属于二到二点五这样子啊，因为我估一下，上面那个式子是在根号三三五到六吗？五到六减一的话，就是四到五到二到二点五。好了，我们来看它对正轴，那这时候对正轴二分之 m 就 属于一到一点二五。 在一到一点二五里面我们看一下啊，比如说他对称轴是一点一，那你告诉我在一点一这时候呢，他一到二长的最小值有可能在一的时候取得吗？很明显不符合吧，因为二距离对称轴更远。好吧，所以这种情况啊，最终啊，你要细细的讨论一下，也是要舍掉的。好吧，好。第三种情况， 当 x 等于二的时候，他取得最小值，那我们就是二乘二减 m 的 对值加上 m 方等于七。好吧，这个地方大家就自己讨论一下，我就不再写了，好吧，呃，讨论出来的话，我没记错的话，也是二倍根号三减一啊，好吧，所以的话，我看一下答案有没有记错啊？ 这个题目的话就是他啊，没有记错啊，对的。好吧，那这个题目的话就是我写的这个方法呢，大家好好理解一下。 标答给的方法呢，就是比较复杂，要讨论很多种情况，而且不适合他在考试里面去完成，所以最后的话还要在写上一个综上所述，就是 m 等于几啊？前面 m 等于 four 或 m 等于二倍根号三减一。好吧， ok， 那 这个题目我们就讲到这边了，这是一道比较难的含餐含绝对值的分类讨论。好吧， ok， 数学更得懂，学懂更轻松，拜拜了。