空间向量与立体几何板书设计比赛

第一次叫四个人啊，来桌子最邋遢那两个女生上来，今天擦黑板的知识生是谁？马萨特，上黑板， 马红利长那么帅上来，杨若言，一直看我干嘛？上来，第二排带星星发财那个女生叫什么名字？你，你上来，咱们班打球谁最厉害？ 罗杰，罗杰最厉害。罗杰上来还有谁打篮球厉害？马德龙，马德龙上来，小飞棍知道吗？

同学们好，我们看这个题。以这三棱锥 p， a、 b、 c 的 体积为五三角形 b、 c、 p 的 边长是以四的正三角形点 d 是 p， b 的 中点点 q。 满足这十字， 我们一步步来哈。我们看到这里之后， b、 c、 p 边长为四的正三角形之后，我们怎么先画图吧？画图啥？我们肯定一想，想到以 b、 c、 p 为底面吧， 这是写 a 了 b、 c、 p。 有 的人说，老师你为啥不用这写个 p， a， b、 c 啊？为什么？因为这边是一个正三角形嘛，所以我们把它相放一块。另外 d 是 p b 的 中 点 q 满足 a， q 等于谁？ a， q 等于 a d 二 x 倍的 a d 加 y 倍的 a， c 加上 z 减 s 倍的 a， q， 我 发现另外这是啥？知道。我们看这哈 知道 x 加 y 加 z 等于一，而这系数嘞，前面系数是二 x， y 和 z 减 x， 我 发现二 x 加上 y 加上 z 减 x， 对 不对？就等于 x 加 y 加 z 嘛，就等于一嘛。现在 a、 q 能用这三个向量表示，能用 a、 d， a、 c， a、 q 表示，并且并且系数和为一，是不是说明？说明 q， d、 c、 p 什么四点什么共面吧 啊？ q， c、 d、 p 是 不是说明 q 的 平面？是这样说明 q 在平面水平面 b、 c、 p 上嘛？因为，因为什么？因为点 d 为 c， b， c， b， p 中点嘛？ 所以现在是点 q 在 平面 b， c， p 上。现在求，现在求 a q 的 魔长最小值，现在求 a， 随便写就是求。那现在求 a， q 最小值等于啥？就等于等于 a 倒平面水平面 b、 c、 p 的 距离嘛。 那么，诶，求距离怎么求嘞？有体积嘛？体积，体积等于体积。三棱锥的体积等于三分之一的底面积 v 等于 这边 v 等于三分之一的 s， 乘以高吗？ s 的 底面积。那么这题就是啥代入进来，代入数据五得几，底边的谁？三分之一写下来，现在边乘是几？边乘是啊， 四，那么底边几来是该写成四分之根号三的 a 方吧，乘以 a 方水 a 方是四平方吧，再乘以谁？再乘以 h 吧。 当然三，三正三角形的底面积。面积公式哈，这边是 a 的 话面积嘞， s 等于四分之根号三的 a 方，这很容易证明的哈。 a， 这是谁啊？二分之一二分之根号三 a， 二分之根号三 a， 那 么再乘以二分之一吧。所以那么 h 嘞？换一下， h 等于 十五除以除以四倍根号三，十五除以四倍根号三等于四分之五倍的根号三，所以答案选 c。 好， 这个直接哈， 与十五除十五除以四倍根号三就等于四分之五倍的根号三。答案选 c。 好， 同学们整理一下。

好，我们继续讲空间向量与立体几何中的 向量的概念与向量性运算。向量的概念 与限性运算。我们继续讲向量的概念与限性运算， 那我们现在上在上面呢？前面我们讲的向量的相关概念，我们留了一个思考题 洛， 向量 a 与向量 b 是 相反向量， 则向量 a 加向量 b 等于零向量。 那么大家同学们在下面思考完了以后，我现在来给大家做一种解读。首先我们讲 向量的加减法，先看向量 的加法，那么这时大家注意向量加法，它有两种方式，第一种向量加法的三角形法则。 第一种向量加法的三角形法则。比如现在有两个向量 a， 向量 b， 那 么现在问的是向量 a 加向量 b， 它是怎样相加的？我这时大家注意，我们在平面上任取一点 o 过 o 点，把向量 a 的 起点平移到 o 点上来，这是向量 a 的 中点在 a 处，这就我们把向量 a 平移到这来。 然后呢，我们把向量 b 的 起点平移到 a 点上来，这时它的中点向量 b 就 在我们的 b， 那 么这就是我的向量 b， 这是我们说向量 o， b 就是我们的向量 a 加向量 b， 这就是两个向量相加的三角形法则。那么它有什么特点呢？ 这时我们发现它的特点是首先要首尾相连， 那向量 a 的 起点在这儿，终点在 a 处，向量 b 的 起点在 a 处，是首尾相连。然后是倍加速， 不就是向量 a 是 倍加速，它的起点 指向 加速的终点， 指向加速的终点，既为向量 a 加向量 b， 既为向量 a 加向量 b。 那 么这个时候呢，我们简称 同一起点，我们简称不是同一起点，是首尾相连 其止中，首尾相连其止中，这是向量加法的三角形法则。 那么第二 向量加法的平行四边形法则， 向量加法的平行四边形法则，仍然向上面两个向量 a， 这时我在空间任取一点 o， 把向量 a 的 起点平移到 o 点上来，它中点，我们把它记住 a， 这就是我的向量 a， 然后我把向量 b 的 起点呢也平移到中起点，把向量 b 的 起点也平移到中 o 点上来， 这时它的中点我把它记作 b， 然后我以向量 a 表示向量 a 和向量 b 所在的有象线段为邻边作平行四边形 o a、 c、 b。 这时我们说，我们把向量 o c， 向量 o c， 就 等于向量 a 加向量 b， 这个加法就叫平行四边形法则， 这个就是向量加法的两种法则，向量加法的两种法则二、我们要知道向量的减法 的减法法则。 向量的减法法则仍然像上面一样，我们把在平面内任取一点 o， 要在空间中任取一点 o， 把向量 a 的 起点平移到 o 点上来，这时我们就得到向量 a， 把向量 b 的 起点也平移到 o 点上来，我们就把它记作向量 b， 它中点为 b， 这是我们称向量 b a。 向量 b a 为向量 a， 减向量 b， 这就是向量 a 减向量 b， 这个呢，就是我们的向量的减法， 这就是我们向量的减法。那么它的特点，注意它的特点是什么呢？ 它的特点是同一起点 减速 的终点 指向被减速 的终点， 我们把它简称为 同一起点中指中，这就是向量的减法。 好，我们掌握了向量的加法和减法这个法则，现在我们就来解释这个问题，若 向量 a 与向量 b 为相反向量， 则向量 a 加向量 b 等于零向量。 为什么？那么一，这是我们因为向量 a 与向量 b 为相反向量， 所以向量 a 与向量 b 的 方向相反，但大小相等。 这时我们把，比如向量 a 在 这儿， 向量 b 在 这儿， 这是我们在空间任取一点 o， 把向量 a 的 起点平移到 o 点上来，它的中点是不是就在 a 处？然后我把向量 b 的 起点放在 a 点处，这时由于向量 a 与 b 的 方向相反长，大小是相等的，所以它的中点一定是在 o 处 b， 这时我们发现 o、 b 是 重合的， 那么也就是说，向量 a 加向量 b， 它是等于向量 o、 b 的 起子中， 那么 o、 b 重合，它的长度是不是就是零？所以它应该是个什么零向量，应该是个零向量。 那么这样我们就解释了，若 a、 b 为相反向量，则向量 a 加向量 b 等于向量。那么反之呢？ 向量 a 加向量 b 等于向量，且向量 a 与向量 b 均非向量 b 均非向量， 则向量 a 与向量 b 为相反向量。 那么这个呢？根据我们刚才的讲解，这个呢就是不难理解的 好，关于向量的加减法，我们这节课就讲到这，我们下一节课将继续讲向量的数成像量，也叫继续讲 向量计算。好，跟着关注谭老师，后面会有更多的惊喜！

从这节课呢，咱们来开始讲高二上学期的内容，选择性必修一，那我们可以看到这本书的封面，它非常的漂亮，这上面是一个卫星， 是非常漂亮的。我们选择的呢，是以人教 a 版的教材为一个基础基本，为什么呢？因为教材有很多种版本呢，我不可能每种版本都来讲， 但每个版本他上的内容啊，都是一样的，知识点、地理内容都是一样的， 唯一不一样的可能就是编排老师出的题啊，我以这个教材为基础，讲过之后呢，我会讲一些比较不错的题目，比较好的题目配套起来给大家讲。 那么我们发现第一张啊是空间向量与立体几何，第二张呢是直线和圆的方程，第三张呢是圆锥曲线方程。 那实际上是第二张直线和圆啊，以前我们都有所接触过，只是在高中咱们要放到直角坐标系当中去研究。第一张这一个呢，空间向量与立体几何，实际上他就是要利用到以前咱们学习的平面向量， 是吧？你在学习第一章之前呢，一定要去把平面向量理解清楚，好空间向量在立体几何当中的运用， 因为立体几何当中啊，有的问题解决起来非常的困难，但如果用利用好空间向量呢，就显得非常简单，很多问题啊，就迎刃而解。 第一张的一点一空间向量及其运算，那么像这些字最基本的内容啊，项链啊，空间项链啊，他都和平面向量是一模一样的， 只是由原来的平面图形变成了立体图形。原来是平面内讨论向量，现在是空间内讨论向量，很多计算都是一样的，你想把这张学好，那么一定要复习一下，前面咱们学过向量的内容一定是要复习好的， 那么下一节课咱们就把平面向量的内容给大家走一遍，给大家复习一遍，好吧？

好，上课起立，老师好， 同学们好，请坐在平面向量这一章的学习当中，请同学们先回顾一下我们学习了平面向量的哪些知识点呢？ 啊？向量的定义还有计算，其中他的运算当中包括加法、减法和数乘，其中这三种运算我们统一叫做向量的线性运算。 除了线形运算，还有什么运算呢？另外我们还学习了平面向量的基本定律是不是？那第六节平面向量的应用中，大家也知道了利用向量可以解决解三角形的余弦定义和正弦定义的推导。 本节课我们将继续探究向量在几何证明中的应用。请同学们先来阅读一个课前小资料， 做完了吗？嗯，这段资料在告诉我们什么项链的来源，总结了，很好项链的来源啊，原来项链就是在这样的几何背景下产生的， 所以项链用于解决几何问题，在我们生活当中学习当中处处可见。 其实向量的许多运算，像大家说过的向量计算和数量机运算都具有深刻的几何背景， 像全等相似平行共线都可以由向量及其运算表示出来。那么你能不能就向量平平面图形的几个性质来用向量及其运算表示出来呢？ 大家观察一下， 第一个向量怎么表示？向量 a b 等于向量 c b。 第二个 向量 a、 b 等于向量 a、 b。 等于向量 a c。 向量 a c。 向量或者是向量 a、 b 等于向量 a b 的 bc 向量是不是也可以啊？终点 向量 a、 b 等于向量 b c。 最后一个垂直。 所以在我们的平时的学习过程当中，我们要多于善于的反思一下几何向量他们之间到底存在着哪些联系。 这节课我们就带着几个具体的知识点，通过几个具体的例题，共同探讨向量在几何证明中的应用。请同学们先来看。第一， 我们要学会在题目读完之后把文字语言转化，为什么还有呢？ 这个题目少一个什么图像文字语言转化为图形语言，接着对着你的图形语言去书写符号语言。 大家想一想，平行四边形的证明可以从哪个角度出发呢？ 这是大家最常用的，是不是对一组对边平行且相等，它在项链里边体现的是最明显的。那么大家共同的来选一个，你想要证明什么呢？ 项链项链 a e 等于项链 f c f c， 那 怎么去说明这两个项链是相等项链， 这就用到了向量的什么啊？运算啊，向量的运算，那加法减法数乘我都可以用上去。 a e 向量写成 a e 向量的 a， b 加 b， e 相等，接着 f c 相等写成 f， d 加 d。 很好， f d 加上 d， c 相等， 那么我们现在直观的去看，他俩是并不相等的，但是这里面存在着相等关系，因为什么呀？ f d 等于 f d 就是 b e， 那 我就直接把它写成 b 向量， dc 向量呢？ ab 向量，这时候两者一观察是不是就相等了，所以可以得到结论， a e 向量等于等于 f c 向量。那么我们得到向量相等之后，最后再加一个本题的结论， a 对 a e， a， f c 既平行且相等，这是相等相等的定义，所以我们的四边形是不就是平行四边形了？对于证明题来说，讲究的是步骤的完整性， 那么我们开头是不是也要补充一些，这个开头我留着是想干什么？ 一只，因为啊，四边形 a、 b， c， d 为平行四边形， 所以你的平行四边形是为了说明 ab 等于 ab 等于 ab， d， c 项链。另外两个 a， d 和 b， c 我 如果用了我可以写上，如果没有用，是不是可以不用去说？ 所以这时候再看你整个步骤，我们来回顾一下关于本题的解析思路是，先由题目当中的平行四边形，把它的几何元素是不抽象出来，抽象成什么表示了 向量表示。接着重点的步骤都在你的向量运算上，然后根据向量运算得到了向量的相等，所以最后的几何结论又出来了，这是一个 典型的闭合原理，也就是说从几何又回到几何，但是中间的过程是不是在用向量解决？所以请大家把这个步骤分一分，我们把它的典型步骤分一分，从开头到哪呢？ a、 b 的 域， d， c 向量，这呢我称作第一步。接着你的第二步打算设定在什么位置上 啊？很好，这一步是不是就是第二步？ 最后一个，第三步，第三步，那你能不能用自己简单的语言表述一下这一二三总结，为什么呢？第一步， 它的作用是在把这个几何问题转化成向量问题，也就是说我要把题目当中的几何元素是不是用向量表示出来，所以该步骤简称为转化。 第二步，向量，向量运算，向量运算，利用向量的运算去研究这些关系，简称运算。 最后一步，哦，对，我这个题毕竟不是向量的题型，它是不是一个几何题， 所以最后把你得到的向量结果再还原为几何结论，简称还原 这三步，我们把它叫做运用向量解决几何证明问题的三部曲， 那么下面来看一看大家能不能灵活的用这个三步曲来解决更多的问题。接着来看第二，平行四边形的对角线互相平分， 这个图像非常简单，这里直接展示给大家。 想一想我这个题目，我想证明它是对角线互相平分，既只需正什么？ 哦，大家说的很好，我想要正 m 点平分于 a c 和 b d， 那 么只需要说明 m 分 别是两条线段的中点，那么在下量当中如何去说明中点这样一个问题呢？ a c 啊，还有一条 b 点和 b d 点， 但是现在这个二分之一的系数知不知道？不知道，所以怎么办？射，我给他射成 x， 把它射成 y， 那 么开头射出来之后，下面怎么去找他们之间的关系 转化了？把谁转化？你可以以这个射子作为出发点，是不是也可以以他作为出发点？我们的目的是要把你的涉及到的项链用什么表示出来？ 一只项链，一只项链，也就是我通常所说的金项链表示出来。所以我们以第一个为例，如果我想把第一组展开，那么 am 项链就可以写成 a b 加上 b m b m 就 在第二个式子，相当于第二个式子中往第一个式子当中去带路，后面的 a c， 这个很简单， ab 加上 ab， 漂亮。现在你对这个题目的思路应该有一个大致清晰的认识了，不管怎么说，动笔最重要。好，下面大家把这个题的解析快速的书写一下。 大家在下边这个自己完成的过程当中，我来找一个小帮手，有哪位同学能主动地去把这个过程给大家分享一下 有没有？ hahaha？ 你在完成的过程当中，如果遇到了一些难处难点不明白的地方，可以跟你的同学交流一下。ཨ ཅེ ཨ ཅེ དང谢谢！ 好，大家可以看一下大屏幕，这个我找了一位帮手来帮我完成一下你的体重啊，看看有没有问题。 他的第一步在这里 是接着我们的设定之后去完成后面步骤的， 如果想要它的步骤更规范一些，其实我们求出来之后要怎么样？ 是不是把这个结论再再下一下？嗯？怎么加结论？所以 am 等于二分之一倍的 a， c， a， c 向量，还有 b m 等于二分之一倍的 b， d， b， d 向量。 把这个结论加上，就进一步的说明 mg 是 a， c 的 终点，也是 b、 d 的 终点，就是所谓的互相平分，有没有问题呢？ 好，通过例二的解决，我们也会发现，其实它还是在重复，先转化转化成向量，接着运用向量的运算 解决几何元素之间的关系。最后是不是又还原回我们的几何结论了，还是在延续三部曲的这样一个战略方式好。接着来看第三， 三条高相交于一点。 你读完这个题目，你有什么想法吗？同学们说一说， 我想证明三条沟相交一点去分析题，站起来说一说 啊。首先我感觉应该先证明的是两条边相交于先，先说明两条边相交于一点，嗯，然后再证明第三，第三条边刚好，第三条边是刚好经过那一点， 对，但是这个边呢？应该是高，对不对？应该高啊，两条高相交于一点，然后再说明第三条高经过这一点即可。接着呢？还有没有接着往后？ 也就是说现在是已知 c f 垂直于 ab c， 哦，这样也可以， c h 垂直于 ab， 然后 a h， a h 垂直于 b c a h。 好， 现在还没有向量啊。 a h 垂直于 b c， 然后求证 b h 垂直于 b h 垂直于 a c， 大家看这个转化方式可以吗？可以吧，好，请坐啊，非常好，我们要证明三条高相交于一点，其实我只需要说明这两条高相交于一点，然后第三条是不是也是高就可以了。 那么这个节课我们的内容是平面向量的利用，所以我可以把这三种垂直关系都转化成向量，所以请大家再来说一说我下边一步转化成什么了呦， 站起来说，有想法就站起来说， 可以直接站，就是 c h 点点成那个 a b 项链， c h 项链点成 a b， a b 项链等于零，等于零。还有 a h 项链，然后是点成 bc 项链等于零。 求证，求证， b h 项链点成 i c 项链等于， 可以吧，很好啊，请做。那么下面的任务就交给什么了？计算了，利用项量的计算去完成这样一个已知跟求证。但是这里面的数量基，我们看到它有多个项量， 多个向量，但是我们的方式还是一样的，一般都是去寻找基向量，把里面的向量是不是分解出来。那么大家选举的基向量可以 学习哪几个项链作为 g 项链， ab 和 bc， 我 们在这个图形当中给它标示出来 ab 项链和 bc 项链作为平面内的一组 g， 那 么下面你需要做的就是把这里面涉及到的项链说都用 g 表示出来。 但是有些项链它是不能用 g 表示的，因为 h 点的位置不知道， 所以在预算的过程当中，我可以把 c h 跟 a h 怎么样，用谁来表示一下？哦，用 b h 表示，那所以你画出来的 c h 就是 看图， c b 加 b h。 好 的， c b 加 b h。 第二个式子， a b 向量加 b h 向量 点成 b， c 向量等于零。这就跑大家火眼金睛了，你来看一看这两个式子，我们怎么运算好一些呢？ 展开，因为项链的数量机是有预算法则的，我一式跟二式可以同时做一个展开，展开之后呢？ 相化减化减，越来越减的意思，那所以两式 啊，有奇异的原因是因为有的人看到这边是 c b， 这边是比谁加还是减一？考虑一下后面的这个计算，自己去完成，看看我们谁是一马当先者啊？ 有没有同学已经得到了结论了，可以表示一下，好了吗？ 给大家做个展示，这位同学，你可以说一下， 来，站起来说一说你刚刚你这个计算的思路是怎样的？就是有那个， 嗯， c h 向量可以化为 b， c b 加变向量，然后就是 c b 加变向量，然后是下面那个就是 嗯， a h 项链可以换成 a， b 加 b h 项链，然后去拆开就是 c b 项链， 拆拆开就是 c b 项链点成 a b 项链，加上 b h 项链，点成 a b 项链。嗯，然后下面可以换成就是 a b 项链点成 b， c 项链加 b h 项链，点成 b、 c 项链，因为 然后我们标个一是二是一是二是，然后是，然后是 b、 c 项链和 c、 d 项链是相反项链，然后就把那个 b、 c 项链换成负的 c、 b 项链，然后就是它，然后就是两式相加 啊，两式相加就可以把前前面那个消除，然后就剩一个 b、 h 项链变成 a， b 项链变成 b 项链，这个等于零， 然后是在那个提提取 bh 项链，也就可以是 bh 项链点成啊，括号 ab 加 bc 项链，然后是 ab 加 bc 项链，三加就 bc 项链会得到 bh 项链，点到 bc 项链，那也等于 bh 项链垂直于 bc 项链。嗯，好，所以 bh 项链垂直于 a、 c 向量很好，请坐。他对自己的思路应该是认识的，是非常深刻的，很清晰，就是我们根据刚刚的数量机，他的拆解的原理是什么？两式是相加还是相减？又用到了相反向量， 其实在这个题目当中用到的运算是最多的，有加法、减法、数乘、数、量积是不都在这一个题目当中体现出来了，所以它是一整个体系啊。 好，我们接着来看，刚刚我们已经完成了三道题型，那么对于这三个题目，我们这时候来简单的做个回顾， 以后你再遇到解决几何证明题型的时候，我们都可以借鉴于今天这节课学的内容。 三道题都是几何证明题型，我们统一用到的方法都是什么啊？项链法三步取，那么三步取它到底体现的思想是什么呢？ 转化思想就是转化与化归，是把什么转化成什么呀？把形式逻辑证明转化为数值计算。 我们的本章引言当中有一句话是这样说的，向量是沟通几何与代数的天然桥梁，所以通过数值，数值具有什么特性啊？ 准确对不对形又具有什么特性？直观，对，严谨直观。所以我们在这个过程当中转化的过程当中，其实就是用数的规范性去替代形的直观性， 恰恰好体现了平面向量这样一个沟通几何与代数之间工具性的作用。 回头大家可以翻一翻章，一言说的这些话，其实就是在体现向量的工具性。那么根据前面三个例题，我们也体会到了三步曲去解决几何证明的一种思想方法， 所以都可以用于你以后的学习当中。最后还有一个课堂练习，这个因为大家已经提前也去完成了这个题目，交给大家来做， 教给大家来做，有没有？已经完成好的，可以上台来展示一下你的证明步骤。 好，有哪位同学上去写一写吗？ 直接写到题下边就可以了 有没有？ 如果你完成了，可以看一看我们请上来的这位同学，他展示出来的证明步骤，如果大家要觉得在某个步骤上有问题，我们也可以提出来， 哎，有问题吗？有，有啊，谁来站起来说一说， 也是我们互相促进的一个过程。来来，站起来说，那第一步 o f 的 表示应该是向量 o a 加上向量 a f， 把这个 fa 写成 af 是 不是？然后那下面有没有问题？ 哦？就是他把 af 是 不是都写成了 fa， 也就是我们项链是处在方向的，所以这里面呢，是不是也是 af？ 整体的思路其实没有问题，但是在细节的把握上要注意一下，很好，请坐啊！ 其实我们值得借鉴的就是他这加了一个步骤，说两个项链有公共点，所以三点贡献，这个步骤是非常好的一个过渡点，我们不能说两项链平行就直接贡献了，这不得有公共点他才能贡献吗？哎，所以其他同学可以看一看， 如果你自己也存在这样的问题，我们就可以互相的去监督一下， 没有问题了吧。啊，本节课的几个题型 其实统一的都是在用平面向量去解决几何证明问题，那么请同学们现在简单的在脑海当中过一遍，我们本节课从知识上，方法上，思想上，你分别有什么样的收获呢？ 大胆的谈一谈。知识上， 我们知道了向量跟几何之间哎，它有一定的关系， 比如全等跟相似是不也可以用向量解决？我们这节课还有三点，共线终点是不都是用向量来解决的？所以在知识层面上，我们了解到了向量运算与平面几何图形性质的一种对应关系。那方法上呢？ 三步曲，三步曲，用向量解决几何证明的三步曲，简记为转化运算还原以后，你就可以把这种方法用到我们所有向量解决几何证明的题型当中。那么思想上呢？ 转化思想还有呢？其实你们说的还原转化都是转化与化规，还有一个最典型的 数形结合，这是数学中的第一大思想。但是我们在回顾本节课的内容的时候，你会发现 哦，原来向量的工具性，它体现在其中某一个方面上，就包括几何证明。实际上我们联系一下我们的生活， 如果说我们中国的科技上到太空，下到海洋，其实是不是都是在解决几何问题， 那么想要解决这类几何问题，向量这个工具性怎么去助力中国科技的发展，就需要我们不断的去探讨。这也是为什么计算机的产生其实也是沟通几何与代数的桥梁， 这就是我们这节课的主要内容，最后留给大家的作业，其中需要大家注意的是拓展性的作业，你对本节课的内容平面向量在几何证明中的应用，你有什么看法呢？ 其实大家还可以根据这个问题，你联系一下空间向量 是不是在空间几何中也有一定的应用关系？哎，可以写一个相关性的小论文，发展一下我们的什么文学素养 好不好？好，这节课就上到这里，下课起立，老师再见！同学们再见！