七年级上册数学几何图形翰林卷

七、上数学最难的十四种几何图形题全部吃透，期末稳进班级前三、一、 常见的几何体。二、组合几何体的构成。三、几何体中的点棱面。四、从不同方向看几何体。五、 平面图形形状的识别。六、几何体展开图的认识。七、正方体几种展开图的识别。八、有展开图计算几何体的表面之。九、有展开图计算几何体的体积。电子版可分享。

七年级上册期末考试有一个重点专题就是角的计算，那这个角的计算呢？它其实是有八大题型的啊，你比如说角的概念 中面角三角板中的角度计算，几何图形中的角度计算，还有角的四则运算，角平分线有关的计算，与角补角，还有同角和等角的与角合补角这八大题型，那么每一道题呢？都有详细的答案解析回复角的计算哪去练习？

来，各位家长啊，黑板上的这道角的计算看似非常简单，但是呢，好多同学呢，都不得分儿，这是为什么呢？你看， 已知角 a o b 等于七十度，以 o 为端点作射线 o c， 那 么使角 a o c 等于四十二度，则角 b o c 的 度数为多少？ 嗯，这道题呢，其实他是不难的，但是呢，他是牵涉到什么呢？有题无图，所以就非常容易出错啊。大家说，有题无图的情况下，我们一定要注意什么样的一个原则，那么就是分类讨论， 对吧？啊，如果它的图形给你了，那你确定呢？你照着它的图形去分析就可以了，但是呢，它没有图，那你画的时候，你就要特别小心，比如说角 aob， 那 么 等于多少呢？等于七十度，是吧？以 o 为端点做射线 oc， 使角 aoc 等于四十二度，大家你想一想啊，比如说我们这里面呢，有一个啊，这样的两个角吧，嗯，这一个角 也是 a o b 啊， a o b。 呃，那么我们在画这个 o c 的 时候，你要特别注意，因为我们这个角分角的内部和角的外部，你这个射线 o c 呢，到底在角的内部还是角的外部呢？是不是？所以我们要分两种情况讨论，那么第一个呢，如果它在角的内部， 嗯，比如说做射线 o c， 对 吧？嗯，这是这个呢，是四十二度，而这个呢，总的是七十度，七十减四十二，那所以这个 b o c 就是 多少呢？就是二十八度就可以了。 那如果说我们这个啊， o c 这个在这个三角形 a o b 的 外部的话呢，那我们也可以画一个，这是 o c， a o c 是 四十二度，那本身这个角呢，是七十度， 那很明显，这时候这个角 b、 o、 c 的 度数，那就是四十二度加七十度，等于一百一十二度。那所以我们这道题呢，应该有两个答案，那么一个答案呢？ b、 o、 c 是 二十八度，或 第二个答案呢？是一百一十二度。大家记住这个原则啊，有题无图，分类讨论，那你就不会出错了，有关这个角的计算呢，他有八大题型专题资料呢，已经给咱准备好了回复角的计算，拿去练习。

我们来看下这道题目啊，如图，长方形 a、 b、 c、 d 被分成五个大小不同的什么呀？小正方形和一个长方形 c e f g 有 这个 c e f g， 若小正方形 c e、 f g 的 两边之比是三比四，也就是说宽比上这个长是三比四。问大长方形的两边 a、 b 比 bc 的 比值， 也问这个 a、 b 比上这个 bc 有 宽比长的比值。好，那在处理这种问题时候怎么样？咱们要注意两点，第一，这个比的关系在这非常重要，也就是说它是我们解这道题的一个核心。好， 第二个点就是被分成五个不同的什么呀？小正方形，咱们要抓什么呀？正方形的边怎么样？相等，对吧？啊？只不过这五个正方形不同，但是对于每一个正方形来说，它的四条边是相等的。好， 那所以说咱看这道题咱们该怎么去处理啊？首先第一个，咱们解这道题第一点啊，第一点，遇到这种边的比啊，这道题当中因为没有给具体的数值，对吧？所以说求比值的话， 那么给了 ec 比上 e、 f 是 三比四，咱就可以怎么样？我们就可以设 e c 是 什么呀？ e c 是 三 x 好 了，那 e f 自然就是四 x， 这第一步啊，第一步好，另外这里面咱要注意什么呀？这有一个非常小的这个正方形，对吧？也就最小的这个正方形， 那最小的正方形怎么样？它其实也非常重要，因为怎么样咱们在这里要建立一个什么呀？等量关系， 因为这个小正方形的边长。不知道啊，那所以说这里面我们可以怎么样？可以尝试把这个小正方形的边长我们怎么样给它设成 y， 也就是说这里面啊，咱要注意这一段的长，小的长，咱们设成 y， 好， 那它的长是 y 的 话，咱们看啊， ec 是 三 x， 现在呢？ e f 是 四 x， 对 吧？然后呢，这个小正方形的四条边，咱们都给它表成 y， 之后 咱们看啊，接下来我们能表出来什么？上边 e e f 四 x， 下边 c g 是 不是也是四 x， 对 吧？然后 c e 是 三 x， 那 g f 也是三 x， 然后这一段呢，是不是也是三 x， 对 吧？那下边这一段，比如说我标个什么呀？我在这标个 m， 那 mg 是 不是也是三 x， 对 不对？三 s， 好 了，那这个时候咱要注意啊， 我在这标个什么呀？在这标个 n， 那 m n 这段等于多少？咱们看一下 m n 这段是不是就是三 x 加 y 啊？ 对不对？好，这段三 s 加 y， 好， 那在这我标个字母 q， 好， 那这时候 b q 是 不是也是三 s 加 y， 对 吧？哎， b q 也是三 s 加 y， 那 b q 三 s 加 y， 那 这个 q n 呢？是不是也是呀？哎， q n 也是，好， 那 q n 表示之后，那咱接着再看这个这个正方形，那这个正方形的话，咱看一下从 q 怎么样？我在这标个什么呀？标个 k， 好 吧？标个 k， 那 这时候 q k 的 长怎么表示？我们是不是要在 q n 的 基础上再加个 y， 对 吧？ q k 等于什么？相当于是三 x 加 二 y， 对 吧？哎，三 s 加二 y， 那 这时候这个 a q 是 不是也是三 s 加二 y， 对 吧？ a q 也是，好， 然后接着那 a q 是 三 s 加二 y， 那 从 a 到这一点，我们这点怎么样？也标个字母，好吧？我们标个 l， 好 吧？ l， 那 这个时候咱们看一下 a q 是 三 s 加 y， 那 al 是 不是也是三 s 加二 y， 对 吧？好了，那从 l 到 c k 的 下边这一点，这个长度怎么表示？ 是不是要拿三 s 加二 y 再加一个 y 了，对吧？那就三 s 加三 y， 也就是说这个，这边这个谁呀？这边这个 d e， 对 吧？这边这个 d e 或者说 ld， 哎， d e， 那此刻这个 d e 等于 ld， 因为它正方形啊，那就等于什么？那就等于三 x 加三 y， 对 不对？三 x 加三 y， 好 了，那这个时候咱要注意啊，这个 ld 它是不是等于下边这个边啊？对不对？ 好，这个边我再标个字母啊，好，这个我再标一个。什么呀？我再标一个点 p 吧，好吧，哎，我再标一个点 p， 好， 也就是说，那这个时候咱看一下这个 p e p 怎么表示？我们看一下，那这个 p e 它等于咱是不是等于上面的 ld 啊？对吧？ p e 等于上面的 ld， 也等于什么？也等于 d e， 好， 那咱看这个时候，这个 p e 是 不是还可以用谁？我是不是还可以拿这个 m c 减去一个上面这个 y 啊？对不对？也就是这个 m c， 它是等于这段的，对吧？所以说这个 p e 这段还可以等于 m c 这个减 y 好 了， 所以 p e， 它还等于 m c 减 y， 那 等于什么呀？ m c 现在等于什么？ m c 现在不是三 x 加四 x， 也就七 x， 对 吧？七 x 减 y， 对 吧？ 然后这个 pe 呢？还等于什么呢？还等于 d e， 而 d e 等于什么？ d e 是 不是等于三 s 加三 y， 对 吧？那也就是说现在 pe 七 s 减 y 等于什么呢？等于 d e 这个三 s 加三 y， 好， 那这样咱们就建立什么呀？哎，建立等量，也就是说咱们这里面必定得找到一个等量，比如说 p e 等于 d e， 那 就是七 x 减 y 等于 三 x 加三 y 好， 然后呢，我们来移向好吧？三 x 一 这边，然后呢，负外移这边呢？就是 四 x 等于四 y， 那 s 就 等于 y 好 了，因为这里面咱们必然得找到什么呀？ x 与 y 的 关系啊，为什么呢？因为接下来怎么样？咱要求 ab 比 bc， 你 看一下啊， ab 比 bc 好 了，那这个 ab， 咱们看 ab 是 等于什么？等于 a q 加 b q， 对 吧？ b q 咱们刚才表示过了啊， b q 是 这个 三 x 加 y， 而上边 a q 呢？ a q 在 这是不是三 x 加二 y， 所以 说现在怎么样？这个 ab 啊，它就是这部分，加这部分就是多少呢？六 x 加三 y， 对 吧？ 然后下边 bc bc 这一段，咱们看一下，是不是就要把它们几段加一块啊？对不对？可以把这个 b m 而 b m 是 不是等于 b q 也是三 x 加 y， 对 吧？三加 y 好， 然后再加什么啊？再加右边这个 m c 七 x， 好， 那就是 十 x 加 y 好 了。到这一点，其实咱们应该是能理解啊，为什么我们要找 x y 的 关系？因为你不找 x y 的 关系，那这个式子就没法往下怎么样？记得计算， 只有我们找到 x y 的 关系之后，咱能怎么样才能把 y 替换成 x， 或者把 x 替换成 y， 对 吧？那既然这面 x 等于 y 了，它就等于它就等于六 x， 我 们把 y 换成 x 啊，那就是加三 x 比上 十 x 加 x， 对 吧？那就是九 x 比上十一 x， 对 吧？那就是十一分之九， 好，所以说这道题的比应该多少呢？比应该是九比十一或者十一分之九啊。 所以说这道题咱关键要注意啊。第一个就是什么呀？设 x 这点。第二个就是什么呀？找等量啊。找等量是为了怎么样找到 x y 的 关系。哎，大家要注意什么？这边我们这个 y 指的是最小这个正方形的边长啊。 好，所以这道题是两个核心点啊，咱们要注意是关于这道题啊。

今天我们来学习七年级上册数学第六章第一节几何图形，千万别看这个三角形，老张怕烧坏你的 cpu！ 看起来像是个三角形成的夹角，却又变回了直角，这种视觉反差下，完全搞不懂它是平面或者立体， 也根本分辨不出三角形的具体方向与走向，它就是被誉为最不可能物体的彭罗斯三角。在破解它的奥秘前，我们要先从基础的几何图形说起。图上这些都是我们常见的立体图形，我们一个一个来看，这个就是由我们学过的三角形在空间中沿垂直方向向上延伸，就形成了这个立体 图形，它叫三棱柱，还有四棱柱、五棱柱、六棱柱。关于棱柱的特点，其实大家都能看出来，首先上下等宽，像这样的就不是棱柱。最后底面 面是几边形就是几棱柱，里面是三角形就是三棱柱，里面是四边形就是四棱柱。我们之前就接触过的长方形和正方就属于四棱柱。还有一种和棱柱很像的立体图形，最熟知的就是埃及的金字塔，这种立体图形叫做棱锥，我们可以看到棱锥的顶端是尖尖的，它和棱柱既有相同点也有不同 点。首先棱锥只有一个，底面，也是多边形，棱锥有一个尖，叫做棱锥的顶点和棱柱一样，底面是几边形，就叫做几棱锥。既然棱柱和棱锥的底面都是多边形，那么如果把它们的底面变成一个圆呢？我们还是会得到两种立体图形，一个叫圆柱，另一个叫圆锥。关于圆柱，我们既可以看作是圆向上延伸得到的， 也可以看作是一个长方形，绕一边旋转三百六十度得到的。至于圆锥怎么来的，大家试试脑补一下， 答案是 c， 来转一下，你答对了吗？好，关于柱体和椎体的特点，老张都给大家整理好了截图保存。总结一下上面几何图形，不同面的形状，靠转动就能明确分辨出。回到视频开始的问题，这种无法在三维空间实现的彭罗斯三角，换个角度看是什么样呢？你会发现这只是视觉误差，还没完。关于立体图， 弧形，还有一种叫做球，大家平时玩的乒乓球、足球、篮球都属于球，但是要注意，橄榄球不是我们数学中定义的球。我们说球是以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体也叫做球体，像圆一样，球也有一个球心，球面上每一点到球心的距离都是相等的。虽然上面提到的都是立体 图形。比如从正面看长方体，我们会看到一个长方形像这样从一个方向看过去形成的图像就是矢图。 立体图形的一个仕图就代表着它在一个方向上的形状，比如长方体，从正面看是一个长方形，这就是一个仕图。但从左边看是一个正方形，也是它的仕图。这说明我们要从不同的方向观察，才能更加全面的反映立体图形的形状。在实际应用中，我们一般画一个 图形，从三个方向看过去的样子，分别是从正面、左面和上面来看，这就是它的三仕图，也叫主仕图、左仕图和俯视图。通过三仕图 图，我们就能得到一个立体图形的形状，比如长方体，它的主视图和俯视图都是长方形，而左视图则是个正方形。再比如这个三棱柱，从正面看它是一个长方形，这条棱我们也能看见，所以也要加上中间留下这条竖线。从左面看，它是一个长方形，从上面看，它是个三角形，所以它的主视图、左视图和俯视图 就分别是这样。注意，题目中一般会把主式图画在左上角，它的右侧是左式图，下方是俯视图，基本位置都是固定的。还有圆柱的三式图，这是圆锥的三式图，注意，俯视图里千万别露了圆中间的点，这是四棱锥的三式图，同样要注意，它的俯视图最简单的就是球体的三式图 了，都是一个人。虽然现在看到的三式图好像很简单，但是考试我们遇到的往往是这样的。老张这里温馨提示，一定要注意遮挡关系。

这节课我们看一下动角问题，如图，角 aob 等于一百二十度，也就是这个角是一百二十度。射线 o c 从 o a 开始绕点 o， 以每秒二十度逆时针旋转， 也就是 o c。 从这里开始逆时针旋转，速度是二十度每秒。射线 o d 从 o b 开始绕点 o， 以每秒十度顺时针旋转，也就是 o d， 从这里开始顺时针旋转，速度是十度每秒。 o c、 o d 同时旋转，旋转时间为 t 秒，当 t 为和值时，射线 o c 垂直于 o d。 这种题我们可以直接在图上画一个曲线数轴，角度就是取线上的刻度，也就是这是零度，这是一百二十度。 o c 从 o a 开始，也就是从零度开始，以每秒二十度逆时针旋转，所以 o c 对 应的角度就是零度，加上二十度乘以 t， o d。 从 o b 开始，也就是从一百二十度开始， 以每秒十度顺时针旋转，所以 o d 的 位置就是一百二十度。减去十度乘以 t， o c 垂直于 o d， 也就是说 o c 与 o d 的 角度相差九十度，那 o c 和 o d 谁大谁小呢？由谁减谁呢？ 有可能 o c 大， 也有可能是 o d 大， 不知道谁大谁小，那就加个绝对值，所以就是绝对值里一百二十减去十， t 减二十， t 等于九十。 解这个方程就可以得到， t 等于一，或者是 t 等于七，也就是当 t 等于一或者是 t 等于七的时候， o c 垂直于 o d。 再来看一个题，如图，角 aob 等于二十度，这个角等于二十度。角 aoc 等于九十度，这是直角角。 a o d 等于一百二十度， 那这个角是三十度。射线 o b 绕点 o 以每秒十度逆时针旋转。 o b 逆时针旋转，每秒十度。射线 o c 绕点 o， 每秒五度。顺时针旋转。 o c 顺时针，每秒五度。 射线 o d 绕点 o 以每秒十五度顺时针旋转。 o d 顺时针，每秒十五度。 o b、 o c 和 o d 同时旋转，旋转时间为 t 秒。当一条射线与直线 o a 重合时，三条射线同时停止运动，当 t v 合值时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线。 同样的，我们可以在图上画一个以 o a 为零度，逆时针为正方向的曲线数轴，这是零度，这是二十度，这是九十度，这是一百二十度。这样，每条射线运动的角度轨迹就是起始位置加或减时间乘以速度。 那什么时候用加，什么时候用减呢？我们的竖轴是逆时针为正方向，所以逆时针旋转，那就用加，顺时针旋转就用减。 ob 的 起始角度是二十度，速度是每秒十度， 他是逆时针，所以他的运动角度轨迹就是二十度，加上十度乘以 t， oc 的 起始角度是九十度，速度是每秒五度， 它是顺时针，所以它的运动角度轨迹就是九十度。减去五度乘以 t o d 的 骑士，角度是一百二十度，速度是每秒十五度，它也是顺时针，所以它的运动角度轨迹就是一百二十度，减去十五度乘以 t。 这问的是，当 t 位和值时，其中一条射线是另外两条射线加角的角平分线。那角平分线跟它们的角度有什么关系呢？比如说这个图形里边，这个角是三十度，这个角是六十度射线， o c 是 角 b、 o d 的 角平分线， 那这就是十五度角 a、 o c 是 不是刚好等于二分之角？ a、 o d 加角 a、 o b。 所以 说，角平分线也就等于另外两条射线，它的角度之合再除以二。 如果 o b 是 角平分线，那 o b 就 应该等于二分之 o c 加上 o d， 也就是二十加十 t 等于二分之九十减五 t 加一百二减十五 t。 同样的，如果 o c 是 角平分线，就应该是九十减五 t 等于二分之二十加十 t 加一百二减十五 t。 如果 o d 是 角平分线，就应该是一百二减十五 t 等于二分之二十加十 t 加九十减五 t。 别忘了，这里还有一个条件，也就是当一条射线与直线 o a 重合时，三条射线同时停止运动， o b 逆时针旋转，离 o a 还远着呢，所以不用考虑。那我们就看一下 o c 和 o d 谁与 o a 重合的时候，需要的时间更短， o c 与 o a 重合，就需要这个式子等于零，也就是需要十八秒。 o d 与 o a 重合，那就这个式子等于零。解出来 t 等于八， 谁小用谁八更小，所以 t 的 取值范围就是大于零，小于等于八。我们解这三个方程，分别得到， t 等于四分之十七， t 等于八， t 等于七分之二十六，这三个值都在这个时间范围内。所以，当 t 等于四分之十七时， o b 是 o c 与 o d 加角的角平分线。当 t 等于八时， o c 是 o b 与 o d 加角的角平分线。 当 t 等于七分之二十六时， o d 是 o b 与 o c 加角的角平分线。好了，这节课就到这里了，我们下节课再见！

七年级的题，关于代数式配几何说明，考察两个知识点，第一个代数式，第二个看几何图形。我们面前的叫回字形，读题后发现阴影部分 种草。第一问表示阴影部分，所以阴影部分的面积。回字形就是大的长方形减去小的长方形。长方形的面积公式 a 乘 b， 小 的长方形 x 小 长方形的长就是 a 减二 x。 小长方形的宽就是 b 减二 x， 所以 回字形的阴影部分的面积就是 a 乘 b 减去括号， b 减二 x 乘以 a 减二 x。 化简之后出答案。第一问，大家一定要注意，刚才老师在说复习的过程当中，这是一个代数式，也是一个多项式，由于后面有单位，所以要添括号。第二问，当然后给了具体值，求面积 相当于代数式求值。因为 a 等于二， b 等于十六，所以 b 等于八。因为 b 题里没有给，所以先求 b， 当 a 等于十六， b 等于八， x 等于二十，圆是等于 二乘十六乘二，加上二乘八乘二减四乘二的平方，这一步一定要写，这是彩分点， 同理这一步也要写。然后就是六十四加上三十二，减去二的平方等于四十六，所以答案等于八十。 由于圆体里带单位，所以建议同学们写八十的平方。第二问，一定要注意老师的书写，写当然后圆是等于，然后出结果。 第三问，在二的条件下，花草求多少元，那就是在二的条件下，里面种花的位置是空白的部分，所以我们要求的就是空白的部分，需要的加上 阴影的部分，需要的阴影的部分是第二问的八十乘一百，加上 十六乘八减八十乘三百，算出答案就是最后的结果了。总结一下，首先，代数式要写括号， 其次，规范书写要写当原式，等于出答案。第三，代入求结果。所以本道题属于计算类问题。

同学们学习初中数学七年级数学上册的期末考试卷。第一选择题， 负五的相反数，负数的相反数是负数，负数零数的相反数是零。所以选择 a。 我 们看下第二题。第二题， 二分之 a 等于三， b 分 之三，这怎么计算呢？对角，对角线， a 乘以 b 等于二乘以三。对角线法则，所以选择 a。 第三题我们看一看。第三题，如图，是某几何题的展开图，该几何题是什么？扇形？圆长方形，是不是不是正方体呢？也不是。那圆锥呢？肯定是圆锥，看呢，圆锥啊！ 第四题，如图，已知 a、 b、 c、 d 的 一条挡板另一侧，现在在同一直线上，我们来判断判断。那你就连接连接这四这个点， a 点和 b、 c、 d、 e 这四个点我们连完以后看看，和 a、 b 点连这个在一条直线上， a、 c 和 b 是 不在一条直线上， ad 在 不条直线上，我们就能发现会选择什么呀？选择 a、 a 题啊！ 第五题，工人砌墙时，应先将两个墙角的位置过插一根木桩。 插一个木桩怎么漆呢？一层一层的漆一层啊。这画一条线，开始，线在这地方漆这一层，再在这线往上移，再漆一层，再上一位漆一层。为什么呀？这一点缺两点是怎么样？两点要确定一条直线，我看一看啊！ 六题这种题相对比较复杂，就看数字幺二六八零零，先把这个数蒙住，二六八，三位三，三个零，三个零，一共几个零几个数啊？九个数，所以是一点二六八乘以十的 九次方。 a、 d 是 大于等于 a， d 大 于等于一小于十， 一点二六八乘以十的九式方。我们看这道题，如图，将数轴上负六与六之间的线段跟六等分五个等分点对应的数依次为， a 一、 a 二、 a 三、 a 四、 a 五。我们看一看， 负六加六十二、十二多少呢？十二除以二。那 a 一、 a 二、 a 三、 a 四的数分别是什么？负四、负二、零二， a 三等于零，所以错误。 a 一 等于什么呀？ a 一 等于绝对值，等于四。 a 四的绝对值等于什么？等于二不相等。错误， a 一 加 a， 二加 a 三加 a 四加 a 五，复式 加负二加零加二加四，等于零，所以正确。 a 二等于什么呀？ a 二等于负二， a 五等于四，二负二加四等于二大于零，所以正确啊。我们看一看，可以选择 c。

七上数学最难的八大几何图形，年年压，年年重。七上数学几何图形八大题型，总结题型一，线段中的动点问题。题型二，利用线段的条数解决实际问题。梯形三，直线、射线线段的规律，探讨 梯形四，线段的和差的实际应用。梯形五，三角板中的角度探讨。完整可分享。

今天我们看一下正方体的对应问题。一个正方体有六个面，十二条棱，八个顶点，每条棱连接两个面，每个顶点连接三条棱和三个面。展开成平面图需要剪七刀。 那正方体中的面棱、顶点和展开图中的正方形边和顶点是怎么对应的呢？ 正方体中相邻的两个面，在展开图上要么是有一条公共边，要么是通过折叠才能够重合。第一种情况，平面中直接相邻的两个面， 比如说这两个面在展开图上有公共的边，那这条公共边折叠成正方体后，就是他们的公共棱。 第二种情况，平面中两个面不相邻，但有一个公共点。比如这两个面有一个公共的顶点，但是没有公共边，那么这个公共顶点与空气连接成 l 型的两条边，就是正方体的公共棱。这个图中类似的还有这三个， 他们也是正方体的公共棱。第三种情况，平面中两个面不相邻，也没有公共顶点。这种情况比较复杂，我们可以使用字母标点法来找展开图的公共棱和公共顶点。这种方法我们需要借助一个正方体， 用字母对每一个顶点进行标注。假如说这个面就是正方体前边的这个面， a、 b、 c、 d 按顺序标注上字母 a、 b、 c、 d。 刚才我们也说了，一条棱连接两个面来看 a、 d 这条棱，它连接的是前边这个面和上边这个面。 在展开图中， a、 d 连接的是这两个面，所以这个红色正方形对应的就是上边这个面。按着顺序， a、 d、 h、 e 对 应这里的 a、 d、 h、 e。 再看 c、 d 这条棱，它连接的另一个面是右边这个面 c d， h、 g 对 应这里的 c d， h g， 那 这条棱连接的另一个面就是 h g、 f e， 所以 这里是 h g f e， 这边的 a， b f e 对 应的就是这里的 a b f e， 这里的 b， c、 g、 f 就 对应这里的 b、 c、 g、 f。 这种方法就可以处理复杂展开图中的公共棱问题。 来看两个题。第一个题如图所示，正方体的展开图位。这个正方体中，我们可以看到三个面，前面、上面和右面，而且每一个面都有一个符号。 首先我们可以排除 b、 b， 图中他和他是同一行，并且相隔一个，应该是相对面，而这个正方体中他俩是邻面，所以 b 一定是先排除的。然后我们看一下 a 选项，在这个展开图中， 这两个面有一个公共顶点，并且有与空气连接成 l 型的两条边，所以这两条边就是这两个面的公共棱。 在这个正方体中，这个符号的开口方向是朝向这个公共棱的，那 a 选项中也是朝向这个公共棱的，所以 a 是 正确的。那同样的图形，在 c 选项中，开口方向是没有朝向这个公共棱的，所以 c 是 错误的。 d 选项中，这两个图形的公共棱是这个，他的开口方向是背对着这个公共棱的，所以也不对，所以这个题选择 a。 再来看一个题，若一个正方体的平面展开图如图，若要把它折叠成一个正方体，那么与点 a 重合的点是点什么？ 我们还是借助一个正方体，让这个正方形对应前边这个面，并使用对应的 a、 b、 c、 d 来标注另外的四个点，使用 a 撇 b 撇、 c 撇来标注那 c、 d、 d 撇 c 撇， 所以这块就是 c、 d、 d 撇儿， c 撇儿。再看 c、 c 撇儿，这条棱，它对应的另外一个面儿是上边儿，这个面儿 c、 c 撇儿， b 撇 b。 对 应到这边就是 c、 c 撇儿， b 撇儿 b。 再看 b 撇儿， c 撇儿。这条棱，它在正方题中对应的另外一个面儿就是 b 撇儿， c 撇儿， d 撇儿， a 撇儿。到了这儿，按顺序来，这个点儿就是 d 撇儿，这个点儿是 a 撇儿， 那 a 撇 b 撇。这条棱在正方体中对应的另外一个面就是， a 撇 b 撇 b。 a， 也就是对应这边的 a 撇 b 撇 b。 a。 再看 a 撇、 d 撇，这条棱，它在正方体中连接的另外一个面是 a 撇 d 撇 d。 a， 也就是对应这边的 a 撇 d 撇 d。 a 与 a 点重合，那就找也是 a 点的顶点，也就是这两个点 i 和 m。 好 了，这节课就到这里了，我们下节课再见。

七、上数学最难的几何图形二十八大易错母题全部吃透，考试没有丢分的二、五星。七、上几何图形初步二十八大易错题靶向突破，精选历年期末常见易错真题一、常见几何题二、组合几何题的构成。 三、几何体中的点棱面。四、三、四图五、几何体展开图问题六、展开图计算几何体的表面几何体积。 十、直线、射线、线段的联系与区别。十八角的四则运算。十九、方向角相关的计算。二十八、角度中的动角、定角角关系折叠等问题。这个是重难点，有完整版。

这节课我们看几个角的重叠问题。第一种是简单的两个角重合问题。比如图中这个角为角一，这个角为角二，重合部分为角三，求这个角的度数。因为角一包含了角三，角二也包含了角三， 所以这个角就等于角一。加上角二，减去角三，也就是两个角加起来减去重合部分，就等于大角的角度 来看。一个题，将一副直角三角尺，如图放置，若角 a、 o、 d 等于二十五度，则角 b、 o、 c 的 大小为多少？ 角 a、 o、 d 刚好是它们的重合部分。我们利用两角之合减重合，也就是角 c、 o、 d 加上角 a、 o、 b， 再减去角 a、 o、 d， 这是一个直角三角尺，所以这两个角都是九十度，也就是九十度加九十度减二十五度，最后等于一百五十五度，所以这个题选择 b。 第二种情况是折叠问题。比如一个长方形沿着这条线进行折叠，因为是折叠，所以这个角就是原来的这个角，或者说这个折痕就是折前角与折后角的角平分线。 如果说这个角是四十度，那这个角是多少度呢？我们可以把折前角叫角一，折后角叫角二。这个角角三，我们就可以得到，角一等于角二， 角一加角二加角三等于一百八十度，角三等于四十度，角一等于角二，我们把角一替换成角二，也就是二倍的角二加四十度等于一百八十度，求出角二等于七十度。 来看一个题，将一个长方形纸片沿折痕 a、 o、 d、 o 折叠，使其有一部分重合点 b 对 应点 b 撇，点细对应点细撇。 若角细撇 o、 b 撇等于二十度，则角 a、 o、 d 等于多少度？首先，角 a、 o d 是 这个角和这个角有一部分重合后形成的角。根据两角之合减重合可以得到 角 a、 o d 就 等于角 a、 o b 撇加角，细撇 o d 减去角，细撇 o b 撇。我们先假设两个折前角为角一和角二， 这个角是角一折叠后的角，也就是等于角一。这个角是角二折叠后的角，也就是等于角二。这个角题干中给了是二十度，也就是角 a、 o d 等于角一加角二减去二十度。 这是一个平角，所以角 b、 o、 c 等于角一加上角 a、 o d 加上角二就等于一百八十度。把这带进来，就可以得到二倍的角一加角二减去二十度，等于一百八十度，所以角一加角二就等于一百度。 角一加角二求出来了，那角一加角二减去二十度，是不是也可以求出来？所以这个题最后就是八十度。好了，这节课就到这里了，我们下节课再见。

这节课我们学从不同方向看立体图形。苏轼在提西林壁中有提到，横看成岭侧成峰，远近高低各不同。同一座山，从正面看是连绵的山岭，从侧面看却是陡峭的山峰。 我们看立体图形也是一样的，你从前面看，从左面看，从上面看，看到的往往都是不一样的。在建筑工程设计中，设计师们也常用这种方法，他们会画出从正面、左面上面看到的平面图， 来表示一个立体的建筑或零件，这样工人们就能够准确的理解它的样子。 我们一起来看一个具体的例子，如图所示，这是一个由九个大小相同的正方体组成的立体图形，请分别从前面、从左面、从上面观察这个图形，我们看到的平面图形分别是怎样的呢？ 先看从前面看，这时候我们只能看到正对着我们的面，也就是这几个面。我们先画出一号图形，然后看一下二号图形在一号图形的下面，那三号图形在二号图形的右面， 四号图形在三号图形的右面。再看一下五号图形，它和四号图形在同一层，在四号图形的右面， 六号图形紧挨着，五号图形在他的右面，所以从前面看，我们看到的是这样子的。我们再看一下从左面看能看到什么平面图形， 从左面看，我们可以看到这几个面。我们还是先画一号面，那二号面还是在一号面的下边，那三号面呢？他和二号在同一层，在二号的右边，四号在三号的右边，所以从左面看，就是这样一个图形。 我们再从上面看一下，看看能得到什么样的平面图形。此时我们看到的是这几个面，先是一号，然后二号在一号的右边，三号在二号的右边，四号在三号的右边，五号在四号的下边，六号在五号的右边， 七号在五号的下边，八号在七号的右边，所以从上面看就是这样一个图形。我们再练习一个如图，是由若干小正方体搭成的几何体，我们分别从前面看，从左面看，从上面看 得到的平面图形分别是怎么样的呢？我们先从前面看，看到的是这几个面。我们先看一下一号和二号的关系，一号在二号的上面，那三号跟二号的关系是他们俩在同一层，所以三号在二号的右边，四号在三号的右边， 所以从前面看整体图形是这样的，我们再从左边看一下，从左边看，我们能看到的是这几个面，二号还是在一号的下边，三号挨着，二号在二号的右边，所以从左边看就是这个图形。 我们再从上面往下看一下，此时我们看到的是这几面，此时一号和二号在同一个垂直线上，所以从上面看是这样一个图形。 从不同方向看立体图形的时候，他可以分为这几步。第一步，定方位，也就是我们需要明确观察的方向，是从上还是从下，从左还是从右，从前还是从后。 第二步，找平面，也就是要找到当视线垂直对准时能看到的面。第三部，数层列这块，我们可以分行或者分列，然后确定他的位置在哪一行，在哪一列。第四步，画轮廓，按照刚才找到的位置画出我们能看到的 这里，一定要记住，被遮挡的绝对不化。好了，这节课就到这里了，我们下节课再见。

这节课我们学习立体图形与平面图形，我们先来看几个图片，这些都是我们生活中经常会看到的或使用到的，好好观察一下，看看你能发现什么图形呢？ 我们先来看第一幅图，两个端点一条线，所以它是一个线段。除了这个擀面杖，比如说我们坐的凳子的腿，还有窗户的边，这些都是线段。再来看第二幅图， 想必大家都看出来了，这是一个三角形。第三幅图是不是也一眼就看出来了，这是一个圆。第四幅图，四条边，四个直角，所以它是一个长方形。再比如我们的书本窗户也都是长方形的形状。 再来观察这个纸盒，你能看到哪些熟悉的图形呢？先看上面，它是一个长方形，再看一下这个侧面，它也是一个长方形。那这个侧面呢？ 他好像是一个正方形，也可能是一个长方形。那这个顶点是什么？他是一个点。再看一下这个棱，他是一条线段。那从整体上来看，他的形状是一个长方体。 类似的，比如罐头，从上面看和下面看，他是一个圆，从整体来看，他是一个圆。从三维空间看，他就是一个球， 像长方体、圆柱球、长方形、正方形、圆线段点等等，以及我们小学学过的三角形、四边形，这些都是从物体外形中得出的，它们都是几何图形。 我们来看一下这几个几何图形，正方形的上面和侧面，球的这个圆和这个圆。长方体的上面和正面， 圆柱的上面和侧面，他们都有一个共同点，那就是各部分都不在同一个平面内，像这种几何图形的各部分不都在同一个平面内的，他们是立体图形。 我们再来认识一下立体图形中的棱柱和棱锥。先看棱柱，像上面两个图片一样，有两个全等且平行的多边形，底面，侧面都是平行四边形，这样的立体图形就是棱柱。三棱柱的底面是三角形，四棱柱的底面是四 边形。第一个图，底面是四边形，所以它是四棱柱。第二个图，底面是五边形，所以它是五棱柱。 再来看一下棱锥，像下面两个图片一样，底面是一个多边形，侧面都是三角形，而且所有的侧面都有一个共同的顶点， 这样的立体图形就是棱锥。底面是三角形的，棱锥就是四棱锥。底面是几边形的，棱锥就是几棱锥。第三个图片，底面是一个四棱锥。第四个图片，底面是一个五边形，所以他是一个五棱锥。 我们来看一下这几个食物的形状对应的立体图形是什么？第一个，地球仪，它是一个什么立体图形呢？ 这是一个典型的球体，表面是曲面，所以它对应球。第二个魔方，它的六个面都是大小相同的正方形，所以它对应的是正方体。第三个书本，它的六个面都是长方形，所以它对应的是长方体。 第四个，这是一个鼓堆，它的整体轮廓是，上面有一个尖点，下面是一个圆形的底面，侧面是光滑的一个曲面，这是圆锥的特点，所以它对应的是圆锥。第五个，铅笔，它的上下两个底面是六边形，侧面是六个巨型， 符合棱柱的特点，所以它是六棱柱。第六个，这是一个建筑物，它的底面是一个四边形，侧边是四个三角形，并且有一个共同的顶点，所以它对应的是四棱锥， 这是我们常见的一些立体图形。比如柱体，它有圆柱，也有棱柱。圆柱的特点是两个底面是圆形，侧面是一个光滑的曲面。 棱柱的特点是上下两个面是完全相等的，两个多边形，侧面全部都是平行四边形，然后是球体，这个大家都知道，就不多讲了。 再有就是锥体，锥体又分圆锥和棱锥，那圆锥的底面是一个圆，侧面是一个光滑的曲面，而棱锥的底面是一个多边形，侧面都是三角形，而且所有的侧面都有一个共同的顶点。 我们再来观察一下，这几个几何图形又有什么共同特点呢？他们的每一个顶点，每一个线段都在同一个平面内。我们管这些各个部分都在同一平面内的几何图形叫做平面图形，它和立体图形的一个区别就是立体图形的各部分不都在同一个平面内， 而他的各部分必须要在同一个平面内。我们来练习几个题。第一题，下列图形不是立体图形的事，这个题考察的是平面图形和立体图形的一个区别。立体图形布都在同一个平面内， 平面图形都在同一个平面内。 a 选项，求，他有很多个圆，而且所有的圆布都在同一个平面内，所以他是立体图形。 b 选项，圆柱，它的底面和侧面不在同一个平面内，所以它是立体图形。 c 选项，圆锥，圆锥的顶点与底面不在同一个平面内，所以它是立体图形。 d 选项，圆，它是一个平面图形，比如硬币的投影只有面积，没有厚度，所以这个题选 d。 第二题，月球、西瓜、易拉罐、篮球、热水瓶胆、书本等物体中，形状类似圆柱的有 a 一个、 b 两个、 c 三个、 d 四个。 首先，我们要知道圆柱的特征，它有两个完全相等且平行的圆形底面和一个光滑弯曲的侧面。我们先看月球，它的形状接近球体，所以它不是圆柱。 西瓜的形状也接近球体，所以它也不是圆柱。易拉罐有两个底面，还有一个弯曲的侧面，所以它是一个比较典型的圆柱。篮球的形状比较接近球体，所以它不是圆柱。 热水、平胆的形状跟暖壶差不多，它里面是一个细长的圆柱体。书本的六个面几乎都是长方形，所以它更接近于长方体，而不是圆柱体，所以这个题选择 b。 第三题，长方体属于什么？ a 选项，棱锥。 棱锥的特征，底面是一个圆，而长方形的各个面都不是圆形，所以它不属于棱锥。 b 选项，棱柱。棱柱的特点是有两个完全且平行的多边形底面， 侧面都是平行四边形，我们把这两个面作为底面，他们俩是完全相等的，而且是平行的。那侧面呢？也都是长方形或者是正方形。长方形和正方形又属于平行四边形，所以长方体符合棱柱的特征，所以它是棱柱。 c 选项，圆柱 圆柱的两个底面也要求是圆形，而长方体的各个面都不是圆形，所以它不是圆柱，所以这个题选择 b。 第四题， 下列几何题中，属于棱锥的是棱锥的特征是底面是一个多边形，侧面都是三角形，而且所有的侧面都有一个共同的顶点。第一个 底边是一个四边形，所有的侧面都是三角形，而且三角形都有一个共同的顶点，所以它是棱锥。第二个它是一个球，不是棱锥。第三个是一个棱柱，也不是棱锥。第五个是一个圆锥，所以它也不是棱锥。 第六个是一个三棱柱，所以它不是棱锥。只有第一个是对的，所以这个题选择 b。 好 了，这节课就到这里了，我们下节课再见。

结构提出问题，如何利用一张正多边形硬纸片制成一个无底的金字塔模型？在正多边形中，各点距离相等的点是正多边形的中心， 如图点 o 是 正 n 边形，纸片的中心沿虚线剪开，分割成多个三角形形状一样的大小， 组成一个无底金字塔，此时正 n 边形的中心变成了金字塔的顶点。来看这道题，第一道题补充， 三角形、正方形、正五边形面积均为一百八，就是这三个图形面积都是一百八。 我们来看这里，这个怎么填呢？ p o q 的 度数。 p o q 是 哪里？ p o q 是 这里， 就是我们可以发现这个，这个角加上这个角就是一个小三角形，加上一个平行四边形的两个角，我会发现这里同样有一组，所以这有，所以这这有三组，所以就是三百六十除以三， 三百六十除以三，一百二。那这边呢？这是四边形，就有四组，是一个三百六十除以四，等于九十度啊， 每个侧边的面积二十十五，这怎么出来的呢？ 这个的话， 前面三百六十 是 n 边形，我们主要是看这个二十，跟这个 n 有 什么关系？二十乘三，二十乘三 六十，六十再乘三八十，十五乘四，六十，是不是再乘四？对 试一下这个三，因为他是因为他这里，这里是三等分，那我们应该我们乘个三十，这个 三乘三九二九，一百八十度。四乘三，三四十二十二，又乘十五， 一百八十度，哦，那就是 n 乘三，再乘着下面这个度数， 那等于等于一百八十嘛，那就是这里面积面积它是一百八十，所以是一百八十，一百八十除以 五乘三十二，所以这应该填十二 面积为 s， p、 o， q 的 度数。 q 这个度数跟面积没有关系，所以这还是这个就是三百六十除以 n 码 面积。面积我们刚刚算出来，这是一百八，一百八除以三 n， 那 面积变成了 s， 那 就是三 n 分 之 s。 若想拼出每个侧面面积均为五十 cm 方的无底金字塔模型，要用正八边形纸片， 那每个侧面这上面我们已经求出了公式，每个侧面的面积为三分之 s， 那 我们知道三 n 分 之 s 就 等于这里的五十 cm， 那 五十 cm 有 什么不是？那这是一个正八边形，所以视频把它分成八分，所以要三百二十四。 二十四分之 s 等于五十，那么可以求得 s 等于一千二。

每天一道亚洲题，今天我们来看七年级上册几何关系的一个亚洲题。首先我们来读题，角 b o c 等于一百二十度 点 o 为直线， ab 上的一点过 o 点做射线 oc， 那 么 oc 是 射线， ab 是 直线。我们来看第一问，将图一的三角板绕点 o 逆时针旋转至图二， 使边 o m 在 角 b o c 的 内部，且恰好平分角 b o c。 那 么平分角 b o c。 所以 说角 c o m 等于角 b o m 等于六十度。那么此时要让我们来证明直线 o n 是 否平分角 a o c， 那 么角 b o c。 有 且可知是一百二十度。然后呢，角 c o m 等于角 b o m 等于六十度。由直角三角形角 o n m 等于九十度，所以角 o n o b 等于三十度。那么跟它是对顶角关系的是，角 c o d。 角 c o d 是 三十度，那么角 c o a 是 六十度。所以说直线 o n。 平分角 a o c。 由此中上可以得到证明。那么来看第二问， 三角板以绕 o 点，以每秒六度的速度逆时针旋转一周，那么在第 n 秒直线 o n。 那 么这个时候我们要来注意一下，题中所说是直线 o n 平分角 a o c。 那 么当它转到这个位置时候， 它是不是也能达到一个评分的效果？所以说我们分析得出有两个结果， 那么转到这的时候，这是三十度，这是九十度。所以说转这时候，角边 o n 转了两百四十度，那么转到这的时候，边 o n 转了六十度。所以说两个结果，我们由此可知。我们看第三问，若图一中三角板绕 o 点旋转至图三，使 o n 在 角 a o c 内部时，角 a o m 减角 n o c 的 度数。 那么角 a o m 加角 a o n 是 等于九十度的。角 n， o c 是 等于什么呢？角 n o c 是 等于角 a o c 减去角 a o n 的， 那么所以角 a o m 等于九十度。减去角 a o n， 所以 角 a o m 减角 n， o c 是 等于九十度。减角 a o n 减去六十度，加角 a o n， 那 么这个时候角 a o m 是 可以约去的，所以说角 a o m 减角 n o c 的 度数是三十度。

今天我们讲立体图形的展开图，来看一个例子，将一个正方体的表面沿某些棱剪开，能展成哪些平面图形呢？ 我们先沿着这三条线剪开，顶部的绿色面就可以展开了。再沿着这两条线剪开，右侧的绿色面和黄色面就可以平铺下来。 再剪这个棱，将前面的红色面平铺下来，最后剪这个棱，剩下的红色面和黄色面也可以平铺下来。 这样我们就把一个正方体平铺成了一个平面图形。当然正方体的展开不只有这一种，比如还可以这样剪，先把两个红色的面平铺下来， 再把剩下所有的面往一侧平铺。正方体的展开图一共有十一种，就不一一展开了，这里做一下汇总。这十一种平面图又可以分为四个类型。第一个类型，一四一型，一共有六种， 中间四个一连串，两边各一随便摆。这是什么意思呢？就是中间四个正方形连成一串，剩下两个正方形像两个小翅膀一样，一上一下，你可以靠左，也可以靠右随便摆放，这样灵活的摆放就摆出了六种花样。 第二个类型，二三一型，一共有三种，二三相连错一个三一紧靠一随便。这个的意思就是二的部分和三的部分要挨着， 而且要像楼梯拐角一样错开一个位置，一要紧挨着三，但是呢，它可以在三的下边任何一个位置。第三个类型，二二二型，一共有一种， 三组二二连步步台阶线，它是由三组两两相连的正方形组成，每一组是一个台阶，而且每一级台阶都要错开一个，就像楼梯一样。 第四个类型，三三行一共一种，两排各三格，日字型相连。这个的意思是上下两排，每一排都是三个相连的正方形，中间用一个日字进行连接， 最后六面七刀财，对面不相连，实图巧排凹和填。这句话的意思是，一个正方体，它有六个面， 我们要把它剪成一个平面图，需要剪七刀。正方体有三对相对的面，在任何一个正确的展开图中，这一对相对的面在图纸上是不可以有公共边的，也就是不可以挨着。另外，在所有的平面图中，不会出现田字格，也不会出现凹字形， 所以在做题的过程中，我们在排除错误时可以用到，只要平面图中出现填字或凹字，那他就一定是错误的。我们做两个题练习一下。第一题，下列图中不是正方体，表面展开图的是 a 图， 这是一个二三一型，二三相连，错一个，三一紧靠一，随便两个的部分和三个的部分是连在一起的，而且错开了一个，三一也紧挨着，所以这个展开图是正确的。地图这是一个一四一型的，只要中间是四个的，两边可以随便放，所以这个也对。 c 图第一行是一个，第二行是两个，第三行是三个，那他是二三一型吗？二三一型要求二和三挨着，三和一挨着要按着顺序挨着，显然这个顺序是不对的，所以 c 是 错误的。 地图第一行三个，第二行三个中间是用一个日字型连接，所以 d 也是对的，所以这个题选择 c。 第二题， 下面正方体展开图，折叠成正方体后，如果尖在下就在后，盛和力在哪里？这个展开图是一四一形的，我把所有一四一形都放在这里，那它就是这一种。我们把它竖过来， 那尖和盛对应的就是两个红色面，那这两个红色面在正方体中对应的是两个对立面，所以尖在下，那盛就在上， 同理就和力也是对立面，所以就在后，那力就在前。那像这种题，我总不能把十一种平面图的每个色块位置都记下来吧？我也记不住呀。不用担心，这里我给大家总结好了。 相间最端是对面，这句话的意思是，同一行或同一列相隔一个，那他俩一定是对面。如果两个方块能画出一个直角的 z 字形，那他俩也是对面，不管这个 z 是 横的、竖的、正的、反的都可以。 那尖二拐角邻面之是什么意思呢？邻面就是挨着的两个面，这句话的意思是同一行或同一列，要么挨着，要么中间相隔两个，那他俩在立方体中就是挨着的两个面，就是邻面。 然后我们再回到这个题，肩和肾在同一列，而且他俩中间相隔一个，那他俩就是对面，所以肩在下，肾就在上，同理就和力也是同一列，而且也是相隔一个，所以他俩也是对面，就在后，那力就应该在前。 我们再做一个题，将下列的展开图与能围成的立体图形相连接。我们先看这个圆锥，圆锥的底面是一个圆，侧面是一个光滑的曲面，将这个光滑的侧面展开之后，它是一个扇形，所以它展开后的一个平面图应该是这个。 然后看一下这个圆柱，圆柱的上下两个面都是圆，将侧面展开之后是一个长方形，所以它对应的是这个， 这是一个正方体，正方体的十一种展开平面图里边有一个三三形，刚好是这个，所以他应该连接这个。好了，这节课就到这里了，我们下节课再见。