两个三角板旋转图怎么画

上一讲，我们看了各种转啊转的东西，从而了解了旋转的性质。不过旋转这一张最有趣的莫过于自己动手去体会图形的旋转。所以接下来我们做这样一件事，画出旋转后的图形， 第一个任务就是画这个图形，逆时针旋转四十五度的样子。嘿嘿，开玩笑啦，杨从军这么善良，不会整你的。我们要画的模特是这货三角军。 画任何旋转图形之前，有两个关键点需要注意，一是旋转中心，也就是围着哪里转。二是旋转的角度，也就是转多少度。好，开始吧。第一个任务是画三角均绕欧点，顺时针旋转四十五度的图形， 也就是说旋转中心是欧点，三角军绕欧点转起来大概是这么个效果。但是我们要画的是旋转 四十五度后的，不能随便转。另外，包括三角形在内，一切几何图形都是由点构成的。所以画旋转后的图形这件事，可以转化为找 abc 三个顶点旋转后的对应点， a 撇、 b 撇、 c 撇的位置，再连接他们，就能得到旋转后的三角形了。 明确了这点后，下边的任务就是找 abc 三点顺时针旋转四十五度后的对应点， 先从 a 点开始，转完后的 a 撇点大概在这一块，但按顺时针旋转四十五度后，具体在哪呢？注意，我们要这样画， 先连接 ao， 也就是联二旋转中心，这样就有条线段了。然后我们要基于这条线段画一个角，哎，画多大呢？估计能猜到，就是四十五度的角， 用两脚气或者三角板就能找到和 ao 乘四十五度角的射线，这样就有四十五度角了，那么我们要找的 a 撇点，他就在这条线上，那具体在哪呢？ 旋转有这么条性质，对应点到旋转中心的距离相等，也就是旋转后得到的 a 撇点到欧点的距离和原来 a 点到欧点的距离是相等的。 那就好办了，直接用圆规取 ao 的长度，然后在这条射线上以欧为圆点结一下 a， 就有了 a 撇点了，因为 ao 等于 apo 对应点到旋转中心的距离相等。这样呢，我们就找到了 a 点顺时针旋转四十五度后的对应点 ap。

动点问题，特别是三角板旋转问题，确实是初一期末考的压轴热门，很多同学觉得难，其实只要抓住关键，一步步分析就能破解。今天我们就通过这道题把方法彻底搞懂。大家准备好，我们边读题边在图上做标记。 题目说， o 是 直线， m n 上一点做射线 o p， 使得角 m o p 等于一百二十度，那角 p o n 是 多少度？很简单，平角一百八，减去一百二就是六十度。 接着一个直角三角板，如图，摆放直角顶点在 o 一 条直角边， o a 与 o m 重合，三角板绕点 o， 以每秒五度的速度逆时针旋转。 问题来了，在旋转一周的过程中， b t 秒时， o b 所在的直线恰好平分角 p o n 求 t 的 值。大家注意两个关键词，一、直线。这意味着我们考虑的是 o b 所在的整条线可以向两边无限延伸。 二、研究对象是 ob 三角板整体每秒逆时针转五度，那 ob 这条边也同样每秒逆时针转五度。好，我们先来模拟一下运动过程。一开始 ob， 在 这里我们把它记做 ob 零， 它开始逆时针旋转，当 o b 转到这个位置时，它所在的直线平分了角 p o n。 这是第一种情况。但别着急，题目说的是 o b 所在的直线， 我们把这条平分线完整地画出来，它可以向两边延伸。那么当 o b 从这个位置再继续转半圈，是不是也落在这条直线上？ 这个时候，他所在的直线同样平分角 p o n， 所以 我们必须考虑到这两种不同的位置。好了，思路，理清了两种情况，我们分别来计算。 先看第一种情况，从 ob 零转到了 ob 的 位置，他转过的角度就是速度乘时间五 t 度。那这个五 t 的 角是多少度呢？我们可以把它拆成这两部分， 因为一开始角 a o b 零是九十度，那么角 b 零 o n 也一定是直角九十度，那角 b o n 呢？题目说 o b 平分角 p o n， 而 p o n 我 们一开始就推出是六十度，所以角 b o n 就是 它的一半三十度。这样我们的方程就出来了，五 t 等于九十加三十 五 t 等于一百二十， t 等于二十四，这是第一种答案， t 等于二十四秒。 我们再来看第二种情况，在第二种情况下， ob 转到了刚才那条直线的另一端，它从 ob 零转到这个新位置，所转过的角度仍然是五 t 度。 那这个五 t 度我们怎么求呢？它等于 o b 转到第一种情况位置，所转过的角度也就是九十加三十等于一百二十度，再加上一个平角一百八十度。所以第二个方程就是，五 t 等于九十加三十，再加一百八十五 t 等于三百 t 就 等于六十。综合两种情况， t 的 值是二十四秒或六十秒。 最后我们来总结一下，解决这类所在直线平分某角的动角问题。核心就两步，一、抓住直线这个关键词，要立刻想到有两种可能的位置，他们在同一直线上，但方向相反，相差一百八十度。 二、分解旋转角，把 o b 转过的角度五 t， 用题目中已知的固定角度，比如九十度、六十度、三十度、一百八十度组合表示出来，列出方程求解，希望这个讲解能帮你攻克这类难题，我们下期再见。

好，简单教学一下旋转的方法。首先旋转的话，我们要先找到旋转的中心， 这个题目是旋转中心是点后，那么我们知道点后要固定不动，接下来呢，我们要找关键点，关键点我们能看到的点是黑点和 b 点， 那么关键点所在的线段还有这条线以及 bu 这条线 你任意选择一条都可以，因为只要你画出 a o 或者 b o 的垂直线段，那么垂直线段我们可以用到三角板的直角边，例如 a， 哦，我要画他的垂直线段，那我们就找一个九十度， 这是逆时针方向，这是顺时针方向。本题是要寻求逆时针方向，所以我们把三角板摆到逆时针方向 后点不动，所以垂直方向在这边。 同样的也可以找 bo 的垂直线段，那么你看逆时针方向在左侧 垂直于 bo 画线，那么这里是 b 撇，这里是 a 撇。最后我们可以进行连接， 旋转图形就完成了。

新初一数学搞定这道题，期末多拿二十分！这类三角板旋转问题课本没有，一旦考到百分之九十五的孩子都会丢分。今天韩老师通过这道题，带孩子彻底学会旋转问题的解题方法。同时，韩老师已经把角度动态所有题型，包含角平分线问题、双射线运动问题、 旋转问题、新定义问题等全部整理到了这套角度动态七大培优题分专题中，给孩子练一练，期末考试拿满分！三角板 d、 o、 e 绕着点 o 开始逆时针旋转 r 法度问角 c、 o、 d 的 度数，用 r 法来进行表示，那么这是这道题的第一个易错点。咱们的这个度数应该有两种情况，因为在三角板旋转的时候，它是旋转了零到九十度，所以我们 o、 d 这条边可以在角 b、 o、 c 的 内部， 也可以在角 b、 o、 c 的 内部。我们先要找到这个旋转角 r 法在哪个位置， r 法其 是代表角 d、 o、 b 的 度数，那由于整个大小是等于四十八度，那所以上面的角 d、 o、 c 的 度数就应该是四十八减去阿尔法度。那么接下来第二种情况就是在外部，那么在外部的时候，我们假设咱们的 o、 d 旋转到了这个位置， 旋转到这个位置，咱们的旋转角依然是 r 发度，那么这个时候角 c、 o、 d 的 度数就等于 r 发减去四十八度。所以有两种情况是 r 发减四十八或者四十八 减 r 发度。那我们来看一下第二个问是否满足某个时刻使得角 a、 o、 d 等于四倍的角 c、 o、 d。 会发现这道题第一个问已经给你铺垫了角 c、 o、 d 的 度数的表示方法，那么接下来我只需要将角 a、 o、 d 的 度数 表示出来就可以了。由于咱们的 r 法是零到九十度之间，所以咱们的 o、 d 是 不是转九十度就应该停止了？那么我们的角 a、 o、 d 的 表示方法其实就只有一种情况，就是用整个大角一百八十度减去 咱们的 r 法度，就是咱们 a、 o、 d 的 表示方法。那接下来我们只需要将角 a、 o、 d 和角 c、 o、 d 列等量关系就可以了。那第一种情况就是一百八十度减去 r 法度等于四倍的四十八减 r 法度。那么第二种情况就是一百八十度减去 r 法度等于四倍的 r 法减去四十八度。那么这里我们可以解出来两个解，一个解为四，另外一个解是等于七十四点四， 所以咱们角 b、 o、 d 其实就是我们的这个旋转角 r 法的度数等于四度，或者等于七十四点四度，你听懂了吗？

家人们注意了哈，动脚问题一定是我们期上期末考试必考的亚洲王，其中啊，三角板的旋转问题更是难倒了一大片的孩子，像这道题啊，听说全班做出来的人没有几个，我们来看一下，一步三角板，如图，放置三角板 a， c， d 啊，绕着 a 点 以 m 度每秒，顺时针啊，顺时针方向旋转，同时三角板 a、 e、 d 绕着这个 a 点逆时针旋转，速度是矮盈度每秒。 当 a、 b 和 a d 啊首次重合时， a、 b 和 a d 旋转的时候，首次重合时就停止运动了，说当角 m m a d 等于六分之五倍的角 c， a， e 的 时候， 说求 m 与 m 的 关系。那拿到这样题，首先我们要把动角问题转化成数轴上的动点问题，那么我们的思路就会很清晰。好，那既然动点呢，我们要有什么圆点？我们假设 a n 为圆点，是吧，记作零度，那么 a m 的 话 就是个一百八十度。好，然后我再假设顺时针方向，为什么方向呢？正方向啊，当然喽，你也可以假设什么啊，顺时针为正方向，我们也可以假设逆时针，为什么正方向都是可以的？好，我们假设啊，逆时针方向为正方向， 那么 a n， a e 射线 a e a d a b a c 这些射线所对应的什么度数，是不是都可以表示出来了，对吧？所以第一步我们就要表射线， 我们把所有的射线表示一下，这里涉及到旋转问题，同时没有旋转时间，所以我假设啊，旋转时间为什么 t， 是 吧，旋转了 t 秒。刘 老师，那最后 t 的 话怎么办？我们可以有一种方式思想，叫做什么适而不求的思想啊，所以先不要怕我们把它表示出来啊，那么来看， a e 起初是在零这，然后它是绕着 a 点旋转，旋转的速度是 n 度为秒，所以 a e 啊， 一秒钟旋转 n 度 t， 一 秒就旋转了什么 n 度 t？ 是 不是？那么 ad 的 话， ad 初始位置是三十， 沿着正方向旋转加也旋转了 n 度 t， 所以 加上 n 度 t， 好， 这是射线 ad 的 位置，那我们再来看一下 am 出来了， ac 射线 ac 怎么表示？ ac 的 话，初矢位置是记在一百八，它沿着顺时针方向，逆时针记作正，那顺时针是不是就负了啊？那就向这边来的话，就要什么减，向负方向我们去什么减？好，一百八， 一秒钟旋转 m， 读 t 秒钟旋转 mt， 所以 说 ac 的 话应该是一百八减去 m 度 t， 那 我把 ab 也给表示一下啊， ab 的 话，呃，这是一百八，然后这是四十五，那这个位置的话是一百三十五度，对吧？然后向负的方向是不是旋转，也就是一百三十五度，要减去 m 六 t 是 不是它也旋转了 mt， 好， 那有了这些线的位置，第二步我们就去什么第一步表示线，第二步求夹角 啊，把我们要求的夹角给表示出来，也就角 m a d， 我 们来看一下角 m a d， 我们来看观察一下角 m a d 是 吧？已知大小大减小，位置大小差绝对 m a 和 a d 是 不是 a d 要比什么 m a m 要什么小，是不是啊，因为这边是正方向啊，然后它大的话，我们就拿大减小，然后一百八， 一百八十 am 一 百八，然后减去 a d， 减去括号三十度，加上 n o t， 也就等于一百五十度，减去 n o t， 是 不是好？这是角 m a d， 再来表示角 c a c a c a e。 好 明显的 c、 a 是 永远比 a、 e 大 的，因为当这两条线重合时，是不是停止运动了，也就 ac 始终是比要这个 a e 要什么大，所以我就拿 ac 的 位置减去什么 a， e 的 位置是不是好？ ac 的 话是一百八十度， 减去 m 度 t， 再来减去 a e a e 的 话就是 n 度 t。 好， 这是 c a e， 这是 m a d。 好， 这两个有什么关系呢？所以说叫第三步，列方程 好。第三步，我们来列方程，根据这个等量关系啊，我们把方程列出来解一下啊，也就是角 m a d， 也就是一百五十度减去 n 度 t， 要等于六分之五倍的，是不是它 啊？角 c e， 也就是一百八十度，减去 m 度 t， 再减去 n 度 t。 好， 我们来看一下，先去分母，两边同时乘以六，也就是这乘以六的话是九百 度，减去六倍的 n 度 t， 等于五倍的它，也就乘以它五倍的括号一百八十度，减去 m 度 t， 再减去 n 度 t。 好，我们去下括号九百度，减去六 n 度 t 等于九百，减去五倍的 m 度 t， 再减去五倍的 n 度 t。 同学们来看一下，两边都有九百， 是不是消掉了 n 度 t？ n 度 t 移过来来，也就是负移过来，是不是加，也就是负六，加上五，也就是负 n 度 t 等于负五倍的 m 度 t。 朋友来看一下，我们刚刚设了 t， 但是我们有没有参加我们最后的计算，是不是没有叫设，而不求 t 和 t 消掉了，符号和符号消掉了，那我们就得到 n 等于五倍的什么 m 是 不是好？也就是 m 与 n 的 关系。我们是不是找到了 n 等于什么？五倍的 m？ 这就是事而不求的思想来解决三角板的，是吧？旋转问题。好，你学会了吗？关注刘老师，学习路上不迷路。

这是一道初一期末考试真题，他考察了角度动态问题中的三角板旋转问题。这类题目常常让同学们觉得头疼，但只要掌握正确的方法，一步一步来就完全可以攻克他。我们一起来看看 题目描述的场景是这样的，我们有两块三角板，像图一这样摆在直线 m、 n 上，然后三角板 o、 a、 b 开始绕着点 o 顺时针旋转，速度是五度每秒， 直到 o b 和 o d 重合为止。运动时间是 t 秒。问，当 t 等于多少秒时，会出现角 a， o b 等于三倍角 b o c 这个数量关系 首先树立已知条件，三角形 o、 a、 b 是 等腰直角三角形，所以角 a 是 九十度，两个锐角都是四十五度 三角形 o、 c、 d 是 一个含有三十度角的直角三角形，所以角 c 是 九十度，角 c、 o、 d 就是 六十度直线 m、 n 是 一个平角，一百八十度。 第一步，定直角线和正方向。为了描述旋转后的角度，我们通常把图中一条固定的射线当做起点，也就是零度线。这里不妨把 o m 这条射线当做零度线。 因为三角板是顺时针旋转的，所以我们规定顺时针方向为正方向，这样后面表示角度会更方便。第二步，表示相关射线的位置角度。题目关心的是角 a o d 和角 b o c。 那角 a o d 是 o a 和 o d 这两条射线的夹角。角 b、 o c 呢？它是 ob 和 oc 这两条射线的夹角。所以我们要把这四条射线的位置角度先写出来。 先看两条固定的射线 o d， 它和 o m 在 同一条直线上，方向相反，所以 o d 的 位置是一百八十度。再看 o c， 它在 o d 的 逆时针一侧，夹角是六十度，所以 o c 的 位置就是一百八十度，减去六十度等于一百二十度。 再看随着三角板旋转的两条射线，三角板整体顺时针每秒转五度，所以 o a 和 o b 也一定以这个速度旋转。 那 o b 它的初始位置和 o m 重合就是零度，所以 t 秒以后，它的位置就是零加五 t 度等于五 t 度。 还有射线 o a， 它的初始位置和 o m 加角是四十五度，所以 t 秒以后，它的位置就是四十五，加上五 t 度。 第三步，用 t 表示目标角度，两条射线的夹角就是它们位置度数的差的绝对值。所以角 a、 o d 就 等于 o d 的 位置，减去 o a 的 位置 等于一百八十度，减去四十五加五 t 的 绝对值。整理一下就是一百三十五减五 t 的 绝对值。角 boc 就 等于 o c 的 位置，减去 o b 的 位置的绝对值等于一百二十，减去五 t 的 绝对值。 第四步，根据条件列方程并求解题目，给出角 a、 o d 等于三倍，角 b、 o c 代入表达式就是一百三十五减五 t 的 绝对值等于三倍，一百二十减五 t 的 绝对值。 解这个绝对值方程需要分情况讨论，两个数的绝对值相等，要么这两个数相等，要么互为相反数。所以去绝对值以后会有两种情况， 一百三十五减五 t 等于三倍，一百二十减五 t， 或者 一百三十五减五 t。 解这两个一元一次方程就简单了，过程留给大家自己完成。解第一个方程可以得到 t 等于二十二点五。解第二个方程 t 等于二十四点七五 六步检验取值范围。最后千万别忘了检验答案是否在运动时间范围内。 o b 是 从初时的 o m 位置转到与 o d 重合，需要旋转一百八十度，速度是每秒五度，所以总时间就是一百八十，除以五等于三十六秒， 所以 t 的 取值范围就是大于等于零，小于等于三十六。我们解出的 t 等于二十二点五和 t 等于二十四点七五，都在这个范围内，所以这两个答案都符合提议，那这道题我们就完成了。 最后回顾一下解析步骤，解决这类动角问题，我们可以按以下五个步骤一定，精准选择固定射线作为零度线，确定旋转正方向。 二表位置，用含 t 的 式子表示每条相关射线的位置角度。三表角度，用位置度数的差的绝对值表示目标角。四列方程，根据题目条件建立方程，注意绝对值要分类讨论。 五验范围，检查答案是否在运动时间或角度范围内。按照这个思路，再遇到类似的动点问题，你就能一步一步清清楚楚的解出来了。希望这个讲解能帮你掌握方法，我们下期见！

七上期末必考的压轴题一定有角度动态问题、三角板旋转角度动态问题中的三角板旋转问题，尤其是在压轴题中，百分之九十五的孩子都得不到满分。但是如果你学会把它转化为数轴动点问题的三个步骤，一分钟即可解决这种 压轴题。再把我整理的七上期末考试复习押题卷包含了全国十二大版本，给孩子练习期末考试冲高冲满。我们一起来看这道题。 已知角 a、 o c 等于一百二十度，将直角三角板，而 o、 d、 e 的 o 点放在直线 a b 上，然后让三角板 o d、 e 绕着点 o 逆时针去旋转一百八十度，设旋转角为 r 法。问，在旋转过程中， 当角 a、 o、 e 等于三倍的角 c、 o d 的 时候，求 r 法是多少，那这是一个非常典型的角度动态问题。 如果咱们用常规的解析步骤去表示这个角 a、 o e， 大家会发现就需要分类讨论了。因为我们 o e 在 转的过程中，它是要转到一百八十度才能结束，那么于是 o e 可以 在 a o 的 上方， o e 也可以在 a o 的 下方。所以说我们 会有两种情况，那不妨咱们直接把它转换为数轴动点问题的三个步骤，那对于数轴动点问题中，我们有圆点，有正方向，那所以对 于角度的动角问题中，我们就可以去确定一个零度的射线和一个正方向，那我不妨让 o b 为零度线，那逆时针我们设为正方向， 这个时候由于 o d 就是 逆时针旋转的，它的转的角度就是 r 法，那所以 o d 这条射线我们就可以给它表示出来，所以第二步就是表示每一条射线的 数，那么 o a 其实就是一百八十度线，那 o c 是 多少呢？因为角 a o c 是 一百二十度，那所以这边这个角是六十度，所以它应该是六十度线。 那么 o e 这条动射线又该怎么表示呢？大家注意，它原本是在九十度的这个位置啊，那么它逆时针，那也就意味着是从起始位置要加上它的旋转角度，现在它旋转了而发，那所以 o e 这条射线就是九十 加上而法。因为我们设逆时针旋转为正，那就是起始位置加上旋转角度，那我们说如果是反方向旋转，就是起始位置减 去旋转角度，那现在每一条射线的角度都表示出来了，那就进入到咱们的第三步，去把我们要的角度表示出来，从而去列咱们要的关系式。那在这里角 a o e 怎么表示呢？ 我们在数轴上表示两点之间的距离的时候，就是用两个点做差加绝对值。那么在这里我们不妨就用两条射线的度数做差加绝对值。那由于 o a 是 一百八十度， o e 是 九十度加 r 法， 所以我就可以用九十度加 r 法减去一百八十度的绝对值，那么此时我们算出来应该是等于 r 法减九十度的绝对值。那我们再来看下角 c o d， 那同样我们说 o c 这条射线是六十度， o d 是 r 法，那所以角 c o d 就是 r 法减六十度的绝对值，那么我们根据这个关系，就是 角 a o e 等于三倍的角 c o d， 那 也就意味着 r 减去九十度的绝对值是等于三倍的 r 法减去六十度的绝对值，那现在其实我们只需要解这个绝对值方程，就可以完成咱们刚才的分类讨论。那么第一种情况， r 减九十度是不是等于三倍的 r 法减去六十度？ 那么此时我们解的尔法是等于四十五度的。那第二种情况，去了绝对值以后，就是九十度减尔法等于三倍的尔法减去六十度，那这里我们解出来尔法是等于六十七点五 度的，那再来观察一下，这两个尔法都在它旋转的一百八十度范围内。所以综上所述，这道题应该有两个答案，你听懂了吗？

初一期末必考的压轴题一定有角度动态三角板旋转问题！这是一道期末考试真题，难度非常的大，百分之九十的孩子都丢了分。今天韩老师带你用一个公式，一分钟彻底解决这种压轴题。 再把我整理的七上期末复习押题卷，包含了全国所有版本，给孩子练习期末考试冲高冲满。我们一起来看这道题。直角三角板 a、 b、 c 和 b、 d 重合放置，现在 将咱们的直角三角板 b、 d、 e 绕着点 b 顺时针以两度每秒的速度开始进行旋转。在旋转的过程中， b、 m 始终是平分角 e、 b、 f 的， 而当我们的角 c、 b、 m 是 等于三倍的角 c、 b、 d 减去八十度时，问三角板 b、 d、 e 运动 时间为多少？这是一道非常典型的角度动态问题中的三角板旋转问题。要求解这类题型只需要知道一个公式，就是学会表示旋转的角度，那么每一条射线，它旋转的角度其实就等于它旋转的速度乘旋转的时间。 现在我们不妨就设运动时间为 t， 那 于是乎咱们三角板旋转的速度是两度每秒，那也就是三角板的每一条边，它旋转的速度都是两度每秒，那所以 b、 d 和 b、 e 都是以两度每秒的速度顺时针旋转， 那现在我们的旋转角度其实就是 b、 d 从 b、 c 开始出发，旋转到这个位置，那这个角度就应该是角 c、 b、 d 等于速度去乘时间为二 t 度，那所以 咱们这里的角 c、 b、 d 其实就表示出来了角 c、 b、 d 是 等于二 t 度，那我们接下来还是一样的去表示角 c、 b、 m。 角 c b m， 你 会发现其实是由二 t 度加上这里的三十度， 再加上这个阿尔法角构成呢？那我只需要把阿尔法用 t 表示出来，那我不妨先表示一下阿尔法，阿尔法其实是等于整个一百八十度减去四十五度减去二 t 度减去三十度，那一个阿尔法就应该是等于一百八十度减去二 t 度减去四十五度 去三十度去除以二。所以不难算出一个二法，就是五十二点五度减去 t 度，那于是我们的角 c、 b、 m 就 应该等于二 t 度加上三十度，再加上五十二点五度减去 t 度。那么现在 我们就可以通过这两个表示来列一个等量关系。那我先将角 c、 b、 m 进行一个化减，它化减下来应该是 t 度加上八十二点五度， 那所以是 t 度加八十二点五度，就等于三乘二 t 度再减去八十度，那这里不能算出来 t 是 等于三十二点五，所以选 b。 答案你听懂了吗？

七年级的同学和家长看过来，我们今天开始给大家分享旋转问题，旋转问题的话难度还是比较大的啊，好，我们一起来看一下这个题目。说如图一，这个图说 o 为直线， ab 上面的一点做射线 oc， 使得这个角呢是一百二十度，那他边边上这个就是 六十，对不对？补角，好，将一个直角三角板如图摆放，就如图一摆放，这条直角边呢刚好贴着这条线 ab， 现在说将图一当中的三角板绕着点， o 绕着这一点呢，说速度，以 五度每秒的速度逆时针方向，所以我们旋转问题一定要关注一下他的旋转方向啊，非常重要以及速度是什么，那 ok， 他 就是往这个方向 旋转的，并且刚刚前面说这个是一百二十度，那我我们就能算出来他的角 b o c 是 六十度。 好，现在说在旋转一周的过程当中，这个一周什么意思？其实就是说整个运动时间的范围给我们了，一周是不是多少？一周是三百六十度呀，对吧？速度是五，算出来其实是七十二秒，也就是说在一周过程当中七十二秒以内， 什么时候 o q 恰好平分这个六十度的 b o c， 那 让我们来求这个梯值。这里还有一个关键点，说的是 o q 所在直线，他没有说是 o q 这条射线， 或者说比如说其他的题目。哎， o q 到底是线段射线还是直线，这个都区别很大啊。这个就如果说像是直线的，那我们就要注意了， 有多种情况啊，所以这个就是我们的关键点。先来看一下说旋转过程当中这个三角板，三角板旋转的话，是不是相当于三边同时在转啊？转到图二的这个位置，说这个 o q 呢，要刚好所在线恰好平分它，那是不是 o q 是 不是可能 运到这里？刚好是在它内部的时候，是不是？那现在这三角板是不是大概是这个位置呀？我们待会画图啊，先把分类给分明白了。好， 在这种情况下，是不是在继续旋转啊？旋转过后，这个 o q 是 不是有可能在反向延长线上？哎，三角板转到哪里了？是不是转到这里了？这里是一个垂直 q， 跑到这里了，是不是？它的反向延长线，是不是同样的也是平分这个 b o c 的 呀？在这一周过程当中，只有这两种可能。好，我们把它图形给画出来。 这种题目的话非常重要啊，那个画图一定要结合着图形来，不然的话角度容易计算错误。好，现在我们三角板说，第一种情况， o q 是 不是跑到这里？ q 点在这里，这个在 o 点的地方是直角， 那这个三角板是不是转到了现在的这个位置啊？ p o q。 好， 这是我们第一个图，再来看一下第二个图，先把它图给画好了啊，然后再一起去计算。我之前说的，为了避免错误，我们是先把图画全了， 分类分明白了啊，然后再一个个往里面去填充，去计算就可以了。好，第二个图，刚刚说的是在它的反向延长线上，其实这个 o q 呢，是到了这里，直角是在这里。好， p o q 是 到了这个位置， 它的反向延长线是不是也是平分这个 b o c 的？ 因为说的是直线嘛，那 ok， 这两种情况下，我们分别把这个时间 t 给算出来，那这个时间 t 跟什么有关？ 直线梯就是三角板在旋转呀，也就是说是我们这个 o q 或者 o p 或者 p q 三条边同时在旋转，是不是？但是我们现在只要研究这个 o q， 所以 我只要看 o q 的 初始位置是不是在这个位置，在转的过程当中是不是转到这里了，所以它是不是 这个时候是存在着一个旋转角啊？所以我们的旋转角是什么？就是从初始的位置 o q 初始位置，比如说 q 一 撇吧， 从初十位置旋转到停下来的这个中边的位，开始的时啊和终点的中。好，这个角就是我们的旋转角，只要我把这个旋转角求出来，然后除以速度，是不是？就时间来看一下这个 这一边的话，他开始的这一边同样的也还是在这里，但是这个时候呢，他是从这里是转了一大圈过来的，所以我只要把这一大圈的角度算出来，除一个速度是不是就可以了？那这个计算的话就相对容易啊。好，先来看第一种情况，我们要分类一下啊，分类 第一个是当 o q 直接平分角 b o c 的 时候，好，第二个呢是当 o q 反向延长线，所以我们就是当 o q 延长线， 延长线平分或者所在直线啊，都行。平分角 b o c 的 时候， 反向嘛，加上两个字，好， ok， 这个时候我们来求绿色的这个旋转角，那现在刚刚前面说的是平分是不是？那我们平分是不是就得到了 这两个角是相等的？刚刚说 boc 是 六十嘛，那这个比如说角一和角二，那这个时候我们角一是等于角二是等于什么？二分之一角 boc， 那 boc 是 不是就等于前面的一百八？减去 aoc 这个一百二， 那我们算出来是等于三十的，那现在旋转角是什么？ o q， 旋转角把它角度算出来，旋转角为 q o q 一 撇 o q， 它呢是等于什么？刚好横跨了这个直角加上角二，所以它是等于九十。加上角二 等于九十加三十等于一百二十度，那时间 t 就 有嘞，是等于一百二十度，除以速度五等于二十四秒。好，这是第一个。再来看一下第二个，一样的啊， 这个角跟这个角，角一跟角二是不是还都是三十啊？所以我们直接写角一等于角二是 等于三十。那现在再来观察一下，看看我们的旋转角横跨哪些角，是不是横跨了这个九十，以及从这里到这边是不是刚好一百八，还缺了这一块？ a o q， 这一块是不是？其实我们可以用三个角来表示，这比如说是角三， 现在来看一下，这条线是延长线过去的，那角二跟角三是不是相等？是对顶角啊？对顶角是相等的，所以我们角三是等于角二的，等于角二，它也是等于三十。那这个时候 o q， 旋转角， 旋转角是等于什么？是不是九十加上角 a l b 平角一百八再加上角三啊？所以等于九十加一百八，再加上三十，给它算出来是三百度转了一大圈。 ok， 所以呢，我们的 t 是 等于多少 t 呢？是等于 三百度除以一个五，就算出来是六十秒，或者说你可以直接这样啊，你只要把这个角算出来，然后用周角三百六减去，它是不是也是可以的呀？因为这里看好了，这个是 这个是多少？这个是角平分线，对吧？这是角平分线，角二杠三十，那它就是六十呀，是不是？ 好？所以呢？直接用三百六减六十，然后除以五啊，也是一样的，所以这一题答案的话，就这两个二十四和六十，这两个二十四秒或六十秒，那么这题你学会了吗？

家长们注意了啊，冻脚问题一定是我们期上前末考试必考压轴题，而冻脚问题中三角板旋转问题更是考试丢分的重灾区。今天刘老师一个视频让你通透。如何来处理三角板旋转问题，我们来看如图， o 为直线 ab 上的一点， o 在 直线 ab 上做射线 oc， 是 吧？十角 aoc 等于一百二十度， aoc 也就这个角是一百二十度，那么我们顺手推这个角就是 六十度，因为这是一个平角。说将一个三直角三角尺啊，直角三角尺，如图摆放来，朋友们，遇到这种直角三角尺，我们一定要注意，我们手里面一共有两个三角尺，还有一个就是三六九。好，这个三角尺就是三十度、 六十度，以及这个叫多少度九十度，三六九的一个三角尺，还有一个叫等腰值九十四十五、四十五，对吧？这个两三角尺大家一定要熟记啊！这是题的题目中的一些什么隐藏条件啊，说了直角顶点呢，这个直角顶点 就放在这个点 o 处一条直角边 o p 在 这个射线 o a 上。 o p， 啊，在 o a 上将三角尺啊绕着 o 点，以每秒五度啊，速度有了，旋转的速度是每秒钟五度，按照逆时针的方向旋转，好，逆时针也就这个方向， 对吧？好，这个方向叫做逆时针，旋转一周过程中第七秒时啊。 o q， 同学们来注意，这里研究的是谁啊？ o q， 也就这条直角边说所在直线，同学一定要注意这些字眼，直线，它不是射线，也不是线段，我们是什么直线？我们要知道直线是可以什么无限延长的，两边都可以无限延长，恰好平分角 b o c 恰好平分这个角。 好，朋友们来注意，就是把 o q 啊，对吧？说到底不就是把 o q 绕着这个 o 点啊，逆时针来旋转，最后平分角 c o b b o c 啊， b o c 求 t 的 时间的值。那我们来看一下朋友们， 首先我绕着 o 点来旋转的话，第一个第一个状态不就是当 o q 旋转到这，朋友们一定要注意啊， 是不是当 q 点旋转到这的时候，是不是正好平分角 b o c 啊，也就意味着这个角是多少度？朋友们，既然是角平分线， b o c 是 六十度角平分线，那这个角就是三十度，那这个角也是三十度，是不是？朋友们来看，那不就是 o q 从这儿旋转到了这儿吗？ 我们只需要去求出这个角数就可以了。好，这里就要用到隐藏条件，这是一个什么角？直角，所以这儿也是直角，这儿是九十度，这儿是三十度，所以这个角呀，就是九十度加 三十度，等于一百二十度，也就是 o q 旋转了一百二十度，好，它的速度是五度每秒，除以它旋转的什么速度，等于它旋转的什么时间，好，也就等于一百二十度除以五度，好，最后等于二十四秒， 好，这是第一个答案。但是啊，同学们一定要注意，我说这里 o q 是 所在的什么线？直线，那同学们一定要注意这个情况，直线，直线到我们是不是 o q 有 可能达到它的什么反向的延长线上，也就是在这个位置， o q 是 不是有可能在这就它所在的直线是不是平分角 b o c 啊？刘亮在这个图上把它再画一下啊，它的第二种状态就是 o q 啊，绕着它啊旋转，对吧？旋转过来一直到哪呢？ 反向延长线， q 点在这了，对吧？我们没必要去考虑这个三角板成什么形状，其实到底归根结底不就是研究 o q 的 一个那种状态吗？是不是好，也就是 o q 啊，从这 对吧经过旋转一直到这，也就是我们现在要表示出它旋转的什么角度，因为它的速度，知道了它旋转的路程，如果知道，时间不就出来了吗？也就是这个 o q 啊，从这 跑到了这那这儿一圈的话，这儿如果补上一圈，是不是三百六十度？也就如果我搞定了这个角的度数， 拿三百六减去这个角，剩下的不就是他旋转的角度吗？是不是好，因为他所在直线是角，平分线好，同理上已经出来了啊，这个角是多少度？三十度，这个角是不是也三十度？那我们来观察一下啊，这个角是三十度， 这个角和这个角是不是对零角，所以这个角也是三十度，而这个角是直角，这是九十度。去掉三十度，所以这个角还有多少度？六十度，所以他旋转的度数应该是三百六十度，减去这儿，这个假角还有多少度？六十度， 这是他旋转的什么度数啊？去除以他的速度，五度每秒等于他旋转的时间啊，三百 除以五等于六十秒，所以最后的答案应该是二十四秒，或者是什么六十秒。 是不是？同学们啊，像这样的三角板旋转问题，尤其是提到这里某条边的所在什么直线问题一定要注意啊，这种情况我们要什么分类讨论，你学会了吗？关注刘老师，学习路上不迷路。

初一期末考试压轴题一定会考角度动态三角板旋转问题，韩老师带孩子用两个通用步骤彻底搞定这类压轴题。 这是一道期末考试压轴真题，难度非常的大，但是如果你学会动脚问题的两个核心步骤，这类压轴题一分钟即可轻松求解。今天韩 老师带你彻底学会这种方法，再把我整理的动脚问题七大赔油币刷题给孩子练习，包含了单射线、双射线旋转问题、三角板旋转问题以及其他动脚问题。做完后，期末考试冲高冲满，我们一起来看这道题。 已知角 b o c 等于六十五度。先将一个直角三角板的直角顶点放在 o 这个位置，那么将三角板 m o n 的 一边 o n 和射线 o b 重合的时候，问角 m o c 等于多少度。这道题非常简单，因为这里是九十度，那么这边是六十五度，所以上面这个角 就为二十五度。那么接下来第二个问就是三角板旋转问题了。如图二，将三角板 m o n 绕着 o 点逆时针旋转，当 o c 平分角 m o b 的 时候，求角 b o n 和 c o n 的 度数，那对于这种角度动态问题，咱们只需要用两个步骤即可轻松求解。那第一个步骤就是学会去表示角度，那咱们的 o n 从 o b 开始旋转，那 此时旋转的这个角度，我不妨就设为 r 法，那这个时候咱们的角 noc 就 应该等于六十五度。减 r 法，因为角 boc 是 等于六十五度的，那接下来我们就可以表示一下角 moc 的 度数， 这里就有两种方法进行表示。第一种方法，我们可以用这个九十度角减去六十五度减 r 法，那么第二种方法，我们可以用旋转的思路，我们的 o n 旋转到这里是旋转了 r 法，那此时 o m 应该也是逆时针旋转 r 法度，那本身 m o c 是 二十五度，那它逆时针再旋转 r 法度， 那不就是二十五度加上 r 法吗？那接下来第二步就是根据题目条件列等量关系，那这里的等量关系就是 o c 平分角 m o b， 而且是如图二所示，那这里就有一种情况，那就是角 m o c 是 等于角 b o c 的 b o c 已知是六十五度，角 m o c 我 们表示出来是二十五度加上而法，那么就等于六十五度，此时而法就等于四十度，而而法恰恰就是我们设的角 b o n 的 度 度数，那么接下来还问角 n o c 等于多少度，那么角 c o n 的 度数就等于六十五度减二法，所以等于二十五度，那接下来第三个问，将三角板继续逆时针旋转，那么此时转到如图三的位置的时候，此时位置也是固定的，那接下来问 四倍的角 n o c 等于角 a o m 的 时候，求角 n o b 的 度数是多少度，那这里我们不妨继续用旋转的思路， 我们就设角 n o b 依然是旋转了 r 发度，那么此时由于角 b o c 是 六十五度，那么角 n o c 表示出来应该就是 r 发减去六十五度， 那么接下来我就可以表示一下角 m o a 的 度数了，那角 m o a 的 度数就可以表示为整个一百八十度，减去中间这个九十度，再减去右边的 r 法度，那它就应该是等于九十度减去 r 法，那么现在四倍的角 n、 o、 c， 等于角 a、 o、 m， 那 就是列关系式， 那四倍的角 n、 o、 c， 就是 四倍的 r 法。减去六十五度等于角 a、 o、 m， 就是 等于九十度减去 r 法。所以不难解出 r 法是等于七十度的，那 r 等于七十度。我们设的角 b、 o、 n， 也就是 r 法的度数，那么它也等于七十度。两个步骤你学会了吗？

本期视频我们来讲解旋转三角板当中的动态角平分线问题。分析条件，已知角 a、 c、 b 三十度，角 d、 c、 e 等于四十五度，其中三角板 abc 不 动，另一个三角板 d、 c、 e 绕着点 c， 并且告诉了我们的速度是五度每秒， 设旋转时间为 t， 并且给了我们 t 的 范围。那也就意味着我们在看待三角板旋转过程中，只看 它旋转的边形成了角，对不对？那在途中我们是只要关心 c、 e、 c d、 c、 b 和 c a， 因为我们是绕着点一旋转，而 ab 和 d 是 跟我们没关系的，对不对？我们关注的是对我有用的，跟我没关系的通通不用看。好，所以限制了哪两个边啊？一个是 c、 e， 还有个是 c、 d， 他 们最终能旋转到哪里 啊？五度，每秒二十七秒，那二十七乘以五等于一百三十五度，也觉得他们最终能转一百三十五度，如图所示，在我们旋转过程中呢？哎，他还不安分干嘛呀？分别给我们做了角 bc 和角 a、 c、 d 的 角平分线分别是 c、 m 和 c n。 好 问，当 t 为和值时， 这个等式是成立的。哎，看到这里我们应该想到两个字，叫做方程思想对不对？既然一个未知数是 t， 并且给了我们一个等式好，现在的思路是什么？如果我能用 t 把角 a、 c、 e 把角 dc 把角 bcm 通通表示出来，这个 t 不 就解决了吗？所以一个一个来解决一个，我们的角 a、 c、 e 能不能用 t 去表示呢？我们来观察一下， a、 c 固定不动，但是 c、 e 它是从哪里啊？哦，它是从 b 对 吧？ b、 c 这条边上去旋转出去的是不是？那我们在旋转过程中，我们的 c、 e 最终能转到一百三十五度，所以 c e 有 两种可能，第一个 c e 在 ca 的 下方，还有个呢？ c e 在 ca 的 上方，那这就意味着我们在表示 a、 c、 e 的 时候，一会要对了，我们讲 e、 c、 b 大 角 对不对？去减去我们的 a、 c、 b， 又一会儿要用我们的哎， a、 c、 b 去减去这个旋转角， 那分类讨论的时候是不是有点麻烦？那不就是一个大的减一个小的，那我给他加一个绝对值，不就是。我们以前在讲讨论动点的问题的时候，你看 a 点和 b 点对不对？比如说这个是正方向，那比如说 b 点表示的是 b， a 点表示的是 a， 那 现在 ab 用什么表示啊？ b 减 a， 但是如果 a 点跑到它的 右边来，不就变成 a 减 b 了吗？那这种情况我是不是直接给他加个 a 减 b 的 绝对值，不就可以把 a、 b 这个线段表示出来了吗？同理，我现在要表示我们的 a、 c、 e 也是一样的， c、 e 一 会儿在下面，一会儿在上面，那表示的时候，我给他加个绝对值不就好了吗？ 是不是？好，所以等于绝对值？来，首先把我们的下面这个角表示一下是什么？哦？用我们的大角来先把 a、 c、 e 把它给描出来啊？是在这里我们用固定的角 a、 c、 b 对 不对？哎？去减去我们的旋转角 bc 不 就好了吗？那我们知道这个旋转角它 时间是不是 t， 速度是五，那这不就是五 t 吗？好，现在我们表示一下 来，用 a、 c、 b 等于多少度？等于三十度去减去我们的五 t 对 不对？那上方的时候是不是就五 t 减三十啊？那我直接给它加个六就对了， 这样的话 a、 c 不 用讨论了，直接就一种表达结束。我们来看第二个叫谁呀？叫 d， c、 n 呗，来看看 d， c， n 在 哪里呢啊？ d c n， d， c， n 在 这，那这时候要考虑一个 c， n 有 没有可能跑到 c、 d 的 右边去啊？啊，那是绝不可能的，为什么？因为 c、 n 是 a、 c、 d 的 角平分线对不对？永远在 c、 a 和 c、 d 的 中间 对吧？好，所以我们要表示的是 dc， 好， 先把它描出来来。 dc， n 啊，这个角，而我们知道这两个角平分线嘛，这两个角是不是相等的 对吧？好，所以我们这个角我只要把 dc， a 表示出来不就行了吗？那请问 dc 怎么表示呢？来，我们再 左边这幅图，把它原始情况，把它描述出来，它一开始的时候是没有动的，对不对？它是这样的，九十度，也就是地点本身就在就 c、 d 本身就在 c、 a 的 上方，是不是？所以它的出发点是哪里啊？对了，出发点是 四十五度，它并不是从 b、 c 这个地方出发的，它是从 c、 d 本身就有一个次数度开始出发的，对不对？那我们知道 d、 c、 b 就 可以表示成什么了哦，在原有的基础上又跑了五 t 个单位，所以我们的哎， b、 c、 d 整个这个大角就可以表示成四十五度，加上一个五 t， 那 我现在要表示的是谁啊？哦，先把 a、 c、 d 表出来，不就是这个大角，再怎么样啊， 减去我们的 a、 c、 b 吗？那你要知道 a、 c、 b 多少度？对， a、 c、 b 是 三十度。好，所以再减去一个三十度不就得到了。谁啊？ 哎，我们的 a、 c、 d 那 一半不就解决了吗？好，所以，哎，我们的 d、 c、 n 就 等于四十五度加五 t 减三十度，那就是十五度，加上五 t 再出幺， 对不对？好，这是第二个，搞定接下来最后一个，第三个，我们谁呀？哦，叫 b、 c、 m 找到在哪里来？ b c m a 这个好找，对不对？你要知道 b、 c、 m 来 c m 是 谁？ b、 c、 e 的 角平分线，那不就是 b、 c、 e 的 一半吗？ b c、 e 我 们表示过没有啊？ b、 c、 e 表示过，它就是嘛，就是五 t 嘛，所以一半就是二分之 五 t 是 不是就可以了？那这个时候只要把它通通带到方程里面去一比是不是就行了？来， a、 c、 e 绝对值三十度减去五 t 来比上下面呢？啊，我们先减一下呗，用 d、 c、 n 减去 b、 c、 m 减一下就得到了二分之十五度，加上五 t， 对 不对？然后再减去二分之五 t， 哎，一减它就是二分之十五度，哎， 对不对？好，除以二分之十五，那不就是乘十五分之二吗？对不对？等于二， 所以我们可以得到绝对值三十减去五 t 就 等于什么呀？ 同乘二分之十五是不就是十五？所以两种情况，第一个，三十减五 t 等于正的十五。第二个，三十减五 t 等于负的十五。好解出来，第一个，负 t 等于负十五， 对不对？第二个，欸，我们 t 漏了是不是好负？五 t 等于负的四数好接出来欸， t 等于三 t 等于九， ok， 那 我们加了绝对之后就不用啊，考虑这个 c e 在 下面还是 c e 在 上面了，对不对？因为我们要有时间的限制，那我们只要在最后求证的结果里面去验证一下，是不是在零到二十七以内，是不是就可以了？ ok， 好， 本期视频就到这里，大家拜拜。