六年级下册数学第1单元怎么画图？

同学们，大家好，我是来自北京市西城区奋斗小学的高老师，很高兴和大家一起上一节数学课。 同学们，你们知道生活中有相反意义的事情吗？先开动脑筋想一想，老师猜你们很快就能够想到一些生活中的现象， 比如每天的日出和日落，我们平时的上楼和下楼， 电灯的开和关，还有热与冷。像这样的例子有很多，相信你们一定举出了很多这样有相反义的事情。 同学们都认识生活中具有相反意义的事情了，你们会不会表示呢？我们一起来看几个例子吧！ 第一个例子，知识竞赛抢答题的评分规则是，答对一题得十分，答错一题扣五分。 第二个例子，二零二三年元旦，北京最高气温零上五摄氏度，最低气温零下七摄氏度。 第三个例子，李叔叔手机里的电子账单中，八月初收入八百元，八月底购物支出三百元。 最后一个例子，早晨围着公园绿地跑步，小明顺时针跑四圈，小华逆时针跑四圈。 屏幕前的同学们，请你选择自己喜欢的方式，把这些信息表示出来，记录在学习任务单上。注意，一定要让大家看明白你表达的意思。 你们有想法了吗？让我们一起来看看这几位同学是如何表示的，看看你能从中受到什么启发。 我们先来看看小智是怎么表示的，屏幕前的同学们，你们能看懂吗？让我们一起来听听小智是怎么想的吧！ 我把例子中的数据对应着填到相应的表格中，比如，答对一题得十分，我就写十，答错一题扣五分，我就写上五，以此类推。我把八个数据记录在了表格中。 屏幕前的同学们，你们认为小智的方法怎么样？小梅说， 我觉得小智的表示方法虽然把数据记录下来了，但是无法区分两种情况，比如得分还是扣分，看不出来。 剩下的三个例子也是这个问题，看不出温度是零上还是零下，前数是收入还是支出？跑步的方向是顺时针还是逆时针？ 大家觉得小梅说的有道理吗？确实是这样，十和五这两个数，一个表示得分，一个表示扣分，意思是相反的。可是我们从小智的记录中确实看不出来， 几个例子都是这样。让我们一起再来看看小丽同学是怎么表示的。 我是用文字加数据来记录的，答对一题得十分，我就写得十，打错一题扣五分，我就写扣五。 小明顺时针跑四圈，我就记作顺四。小华逆时针跑四圈，我就记作逆四，这样我觉得能看明白，但是这样表示需要写很多字，不够简便。 小丽用文字加数据的方式确实可以表示出相反义的关系了，比如零上温度和零下温度，收入和支出。 但是他也意识到自己的方法还不够简变，很善于反思。那有没有更简变的表示方法呢？我们再来看看小芳的方法。 屏幕前的同学们，你们能看懂吗？你认为小芳的方法怎么样？小婷说， 我看懂了小芳的方法，得分用勾表示，扣分用叉表示，收入用上箭头，支出用下箭头，顺时针和逆时针用方向不同的箭头表示，我觉得很形象。 而零上温度和零下温度，我们在科学课上也使用过这样的符号来表示。我觉得小方用不同的符号来区分具有相反意义的量，进行稍有简洁。 小东想补充，可是这样的话，每一件事都要用两个不同的符号来表示相反意义的量，有没有一种统一的方法，这样不就更简洁了吗？ 小东很善于思考。我们再来看看小红的方法能不能解决小东的疑问， 请你认真观察，小红的方法你们能看懂吗？你们认识这两个符号吗？有的同学可能会说，这是以前我们运算中的加号和减号啊， 其实他们在这里表示的是正号和负号，如果一方确定为正，那么和它相反的另一方就为负。 其实小红的表示方法和数学家的表达是一样的，这种表达的好处是既简明又清晰。同时他还用大家都认识的符号来表示意义相反的事情， 为了表示两种相反意义的量，如零上温度和零下温度，收入与支出等， 需要用到两种数，一种是我们以前学过的数，如十八、百、四点七、八分之三，这些数是正数。 另一种是在这些数的前面添上负号的数，如负五、负三百、负四点七、负八分之三等，这些数是负数。 同学们，刚才我们一起认识了负数，那负数怎么读呢？ 你能读出屏幕上的负数吗？负五、负三百、负四点七、负八分之三。 正数前面的正号可以省略不写，如果为了与负数对比，也可以加上正号，如这个数读作正五。 在刚才的学习中，我们初步认识了负数，其实负数在我们的生活中应用是非常广泛的， 想想你还在什么地方见过负数？有的同学说，我在电梯的按钮上见到过负一，负二就是负数。 那这里的负一、负二分别表示什么意思呢？对了，电梯按钮上的负一就表示地下一层，负二就表示地下二层。 也有的同学说，我在冰箱上见过负数，冰箱的控制面板上显示的冷冻室的温度，负十八摄氏度就是负数。那这里的负十八摄氏度表示什么意思呢？ 对了，它表示零下十八摄氏度。让我们一起来看看冰箱控制面板上的这几个数。四是正数，负十八是负数。有的同学有问题了， 那零是正数还是负数呢？屏幕前的同学们，你们一定也有这样的疑问。其实就像冰箱中的零摄氏度，它是零上温度和零下温度的分界点， 零是正数和负数的分界点，它既不是正数，也不是负数。 现在我们学过的数中又多了一种数，负数。我们认识的数家族更丰富了。到今天为止，我们把学过的所有的数可以分成三大类，正数、负数和零。 随着我们今后学习的不断深入，我们还会学习更多的数，也会更加充实。数家族，今天我们认识了一个新的数朋友，复数。你知道吗？其实我们中国人很早就开始使用复数了， 让我们一起穿越历史，了解复数的发展变化吧！ 中国是最早认识和使用附属的国家，据早在两千多年前的九章算术记载， 那时的人在商业活动中就有了粮食，入仓为正，出仓为负，收入的钱为正，付出的钱为负，以盈余为正，亏损为负的思想。 一千七百多年前，我国数学家刘辉在注解九章算术时，更明确地提出了正负数的概念， 并用不同颜色的算筹来表示它们，即正算赤，负算黑就是用红色算筹表示正数，黑色的表示负数。 由于记录时换色不方便，到了十三世纪，数学家还创造了在数字上画斜杠来表示复数的方法。 国外对复数的认识经历了一个曲折的过程，并且也出现了各种表示复数的形式， 直到二十世纪初才逐渐形成现在的形式。 你们看，人类历史上也创造出了很多不同的方法来表示相反意义的量。 同学们，刚才我们一起学习了生活中的复数，你都学会了吗？下面让我们一起应用今天的新知识来解决一些问题吧。 我们都知道我国的北方冬季比较寒冷，小红的家在北京，他说北京现在是零下三摄氏度。小明的家乡在哈尔滨，哈尔滨现在是零下十八摄氏度。 你们觉得这两个温度哪个温度低呢？先思考一下， 有想法了吗？我们来听听小雨是怎么想的。 大家都知道温度越低就越冷，我们可以想象一下，这两个温度如果出现在温度计上会是什么样子呢？我们来看这个温度计，一个大格是十摄氏度，一个小格是一摄氏度。 我先找到零摄氏度的位置，那零下三摄氏度应该是在零摄氏度下边三个小格的地方， 而零下十八摄氏度就应该在零摄氏度下面一个大格，再向下数八个小格的地方，显然零下十八摄氏度更低， 小雨借助温度计形象地比较出了零下十八摄氏度。温度低，和你想的一样吗？ 同学们，你们知道世界最高峰珠穆朗玛峰的高度是多少吗？相信你们一定都知道，对，是八千八百四十八点八六米， 这是二零二零珠峰高程测量的最终结果。此次我国对珠穆朗玛峰展开大规模测绘和科考，相关数据达到了历史最高测量精度， 这说明我们国家的大地测量技术水平已经达到了世界先进水平。 我国把青岛燕潮站多年平均海平面定为我国的海拔基本面，即海拔为零米，高于海平面的海拔为正，低于海平面的海拔为负。 同学们，你们能利用我们今天学习的知识来表示珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地的海拔高度吗？想一想， 这是文文填的，这是天天的答案，他们两个谁填的对呢？ 是的，他们两个人填的都是正确的正数，前面的正号可以省略不写，如果为了与负数进行对比，也可以加上正号。 我们再来看这几个问题，请你认真阅读，试着填一填， 你做完了吗？如果没做完也没关系，我们来看看这几位同学是怎么做的。 先来看第一题，小亮是怎么填的？如果规定向东为正，那么向东走五米记作正五米，向西走八米记作负八米。 屏幕前的同学们，你们一定做对了吧？那如果规定向西为正呢？小梅说，那么向西走八米即坐正八米，向东走五米即坐负五米。 有的同学一定有这样的疑问，都是向东走五米，为什么一个用正五表示，一个用负五表示呢？ 细心的同学一定发现了，因为他们规定不同，一个规定向东为正，一个规定向西为正。 看来，要想正确用正负数表示相反意义的量，先要明确和为正和为负。 再来看第二题小婷是怎么想的？如果河水的井界水位记为零米，正数表示水面高于井界水位，那么高于井界水位一点五米，就应该记为正一点五米 一以井径水位三米就记为负三米。最后一题，乐乐填的是负三，他是怎么想的呢？ 题目中说这种袋装食品，标准净重为二百克，把食品净重二百零五克记为正五克， 因为二百零五克比标准净重二百克多五克就记为正五克。我就知道比标准净重多就为正，比标准净重少就为负，而一百九十七克比二百克少三克，所以就记为负三克。 乐乐的思路真清楚，通过阅读理解题目中的信息，找到了和为正和为负，这道题就迎刃而解了，相信屏幕前的同学们也都做对了。 这节课，我们借助生活中的素材，对负数有了初步的认识，通过今天的学习，你有什么收获吗？ 我知道了正数和负数可以表示两种相反意义的量，用正号、负号表示正数和负数，很简洁。我还知道零既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界点。 我发现生活中很多地方都用到了负数，相信同学们都有自己的收获。 今天我们一起学习了生活中的复数，对复数有了初步的认识。今天的学习内容在数学书第二页和第三页， 课后请同学们完成数学书第六页的第一题，还有第七页的第六题。 下节课大家还要继续学习复述的相关知识，今天这节数学课就先上到这里吧，同学们再见！

六年级今天我们来学习百分数利率问题。第四，王奶奶把五千元按整存整取，存入银行，存两年，定期年利率为百分之二点一零，到期时连本带息取出， 王奶奶可以取出多少钱？首先我们要懂，存入银行的钱叫做本金，那取款时银行多支付的钱叫做利息。 所以到期的时候，王奶奶取的钱连本带息取出，那取出的钱包含存入的五千元本金和银行支付的利息。 那解决这道题有两种做法。第一种做法，我们可以先算出银行给的利息，你看 五千元存进去存两年，年利率是百分之二点一零，利息的计算方法就是用本金乘年利率，再乘存期，那现在 本金是五千乘，年利率百分之二点一零，再乘存期两年，求出来等于二百一十元，那这二百一十元就是银行给的利息。好，接下来我们要 计算王奶奶可以取出的钱，就是用本金加上利息 等于五千二百一十元。第二种做法，我们可以把本金五千元给他看作单位，一 两年所得的利息占本金的百分之二点一零乘二。因为是两年嘛，所以取出的钱 也就是本金加利息，就相当于本金五千元的一加百分之二点一零乘二， 五千元的一加百分之二点一零乘二的。和的话，我们是用乘法计算，所以就用五千来乘。这里我们来计算，五千乘一加百分之二点一乘二， 就是零点零二一乘二等于零点零四二，会等于五千乘一加零点零四二等于一点零四二， 五千乘一点零四二，等于五千二百一十元。答，王奶奶可以取出五千二百一十元。其实这种做法就转化成求比一个数多百分之几的数是多少的数学问题。

同学们好，这节课我们一起来学习义务教育人教版六年级下册数学第一单元复述第一课时复述的认识， 同学们请看！小红为了寒假出行，收集了中央气象台发布的气温预报， 请同学们仔细观察。上图说说你们多见什么？ 是的，我们发现在这六个城市当中，海口的气温最高，哈尔滨的气温最低。那我国首都北京的最高气温零摄氏度表示什么意思呢？ 在物理学中，把在标准大气压下，冰水混合物的温度定为零摄氏度， 拉萨的温度是负六到六摄氏度。那这里负六摄氏度和负摄氏度各表示什么意思呢？ 是的，以零摄氏度为分界点，把比零摄氏度低的温度叫做零下温度，通常在数值前加负号表示。 比如，负六摄氏度表示零下六摄氏度，读作负六摄氏度。 把比零摄氏度高的温度叫零上温度，在数字前加乘号表示。一般情况下，乘号可省略不写。 比如，正六摄氏度表示零上六摄氏度，读作正六摄氏度，也可以写成六摄氏度，读作六摄氏度。 那同学们能根据上图中的信息填写下表，嗯，说一说它们的含义吗？ 我们一起来看。北京的最高气温是零摄氏度，最低气温是负四摄氏度，负四摄氏度表示零下四摄氏度。 哈尔滨的最高气温是负十二摄氏度，最低气温是负二十六摄氏度。 哈尔滨的最高气温和最低气温都在零下。西安的最高气温是六摄氏度，最低气温是负四摄氏度， 六摄氏度表示零上六摄氏度，负四摄氏度表示零下四摄氏度，拉萨的最高气温是六摄氏度，最低气温是负六摄氏度。 六摄氏度表示零上六摄氏度，负六摄氏度表示零下六摄氏度。 武汉的最高气温是六摄氏度，最低气温是四摄氏度，武汉的最高气温和最低气温都在零上。 海口的最高气温是二十四摄氏度，最低气温是十八摄氏度，海口的最高气温和最低气温也都在零上。 我们接下来看下面是李叔叔手机里的一部分电子账单，你能看懂这份账单吗？这些数表示什么意思呢？我们来看。 负八十五表示支出五百元，正五百表示收入五百元， 负八表示支出八元，正七十八点四五表示收入七十八点四五，正负五百和正五百这两个数的意义相同吗？你有什么发现呢？ 负五百表示支出五百元，正五百表示收入五百元，它们的意义不相同，一个表示支出，一个表示收入。 收入与支出是相反意义的量，所以正号和负号表示相反的意义。那同学们能将上面这些数进行分类吗？我们一起来看 这里，我们可以把负四十摄氏度，负二十六到负十二摄氏度，负四十六摄氏度、负六十六摄氏度，还有 负八十五，负五百、负八这些数作为一类。 可以将一千八百二十四摄氏度、四十六摄氏度、 正五百，正七十八点四五这几个数作为一类。那同学们能说一说是怎样将它们进行分类的吗？ 是的，为了表示相反意义的量，如零上与零下、温度、收入与支出等，需要用到两种数， 一种是我们以前学过的数，如六、五百、四点七、八分之三，这些数都是正数。 另一种是在这些数的前面添上括号的数，如负六、负五百、负四点七、负八分之三等，这些数都是负数。那零分为哪一类呢？ 对，零是正数和负数的分界点，所以零既不是正数，也不是负数。 通过刚才的学习，同学们对负数有了一定的认识，那正负数如何读写呢？ 请同学们阅读教材第三页，说一说正负数如何读写？ 我们一起来看。在读负数的时候，先读负号，把负号读负再读数。 读数的时候是多少读多少读负六读作负六，负八分之三读作负八分之三。我们在读正数的时候，正数前面的正号可以省略不写， 省略不写的时候，我们直接读数。如果为了与负数形成对比，也可以加上正好如正六，读作正六。 那么同学们还在哪些地方见到过负数呢？是的，在家庭的收汁记录上面见过负数， 还在冰箱上面见过复数。那同学们对今天这节课的内容都掌握了吗？下面我们一起来做几道练习题， 同学们请看。一、负三摄氏度与负十八摄氏度，哪个温度低？我们知道温度越低，天气就越冷。从图中我们可以看出，第二个图呈现出来的 天气更冷，所以负十八摄氏度更低一些。二、读出下列个数，并指出哪些是正数，哪些是负数。 首先，我们先依次读出下列个数，分别读作，负七二点五、正五分之四、零，负五点二、 负三分之一、正四十一。那在这些数当中，哪些是正数，哪些是负数呢？ 正数有二点五，正五分之四，正四十一。负数有负七、负五点二，负三分之一。那零归为哪一类呢？ 零既不是正数，也不是负数。 三、月球表面白天的温度可达零上一百二十七摄氏度。 我们知道零上用正数来表示，所以记作正一百二十七摄氏度或一百二十七摄氏度。 夜间的温度可达零下一百八十三摄氏度。零下温度用负数来表示，所以记作负一百八十三摄氏度。 四、下面说法错误的有几个？这里我们在审题的时候要注意，题目描述的是下面说法错误的有几个？一、零摄氏度表示没有温度， 这个说法是错误的。零摄氏度不是表示没有温度。零摄氏度是指在标准大气压下，冰水混合物的温度是零摄氏度，并不是表示没有温度。 二、一、个数不是正数就是负数，这里我们要注意零这个特殊的数。零既不是正数，也不是负数， 所以这个说法也是错误的。三、九、正二、正七十二，零都是正数。在这里我们要注意零这个数。 零既不是正数，也不是负数，所以这个说法也是错误的。四、写负数时，符号不能省略，所以第四个是正确的。 因此下面说法错误的一共有三个，所以我们选 c 选项，大家都听懂了吗？ 通过刚才的练习，相信同学们对复述又有了更深的理解，那下面我们一起来总结一下今天这节课所学的知识。通过今天这节课的学习，大家都有什么收获呢？ 今天这节课我们认识了负数，知道零既不是正数也不是负数，零是正负数的分界点。 我们还知道正数和负数表示具有相反意义的两个量， 我们在表示具有相反意义的时候，可以用正数和负数来表示。同学们，那今天这节课我们就上到这里， 请同学们从课后习题当中挑选相应的习题练习，巩固今天所学的内容。下节课我们再见。

六年级今天我们来学习百分数折扣问题。第一题，爸爸要给小雨买一辆自行车，原价二百八十元，现在打八五折出售，买这辆自行车要用多少钱？首先 我们要理解折扣的含义，就是商店有时会采用打折扣销售的方式，降价出售商品，俗称打折。 几折表示十分之几，也就是百分之几十。例如打九折出售，就是按原价的百分之九十出售， 几几折表示百分之几十几，打八五折出售，表示按照原价的百分之八十五出售。 现在我们要求买这辆自行车要用多少钱？你看打八五折出售，就是把原价看作单位，一，按原价的百分之八十五出售，那自行车原价是二百八十元， 要求买这辆自行车要用多少钱？其实就是求二百八十元的百分之八十五是多少？二百八十元的百分之八十五是多少？我们是用乘法计算，二百八十乘百分之八十五 会等于二百三十八，所以买这辆自行车要用二百三十八元。第二题，一个电水壶原价一百六十元，现在打九折出售，与原价相比便宜多少钱？ 解决这道题的关键，我们要理解，现在打九折出售，就是现在是按原价的百分之九十出售， 与原价相比便宜多少钱，就是求现价比原价少多少钱。那解决这道题有两种做法。第一种做法，我们可以先求出现价多少钱，你看现在打九折， 那也就是现在是按原价的百分之九十出售。原价一百六十元， 求一百六十元的百分之九十是多少？我们是用乘法计算，一百六十乘百分之九十求出来是现价，那原价一百六十元减现价，求出来的就是便宜的钱数 会等于一百六十减一百六十乘百分之九十，就是一百六十乘零点九等于一百四十四，一百六十减一百四十四等于十六，这是第一种做法。接下来还有第二种做法， 打九折出售，那说明按照原价的百分之九十出售，把原价看作单位一， 我们先求出比原价便宜了百分之几，那就是比原价便宜的部分。一减百分之九十，其实也就是比原价便宜了百分之十，那原价是一百六十元。 一百六十的百分之十是多少，就是便宜的减数会等于一百六十乘一减百分之九十等于百分之十，也就是零点一。一百六十乘零点一等于十六，所以便宜十六元。

六年级今天我们来学习百分数乘数问题。第二，某工厂去年用电三百五十万千瓦时，今年比去年节电二乘五。今年用电多少万千瓦时？首先我们要理解乘数的含义， 乘数表示一个数是另一个数的十分之几，通常称为几乘 几。乘就是十分之几，也就是百分之几。十几乘几就是百分之几，十几，二乘五就是百分之二十五。 题目当中，今年比去年节电二成五，指的是今年的用电量比去年少百分之二十五，那就是把去年的用电量看作单位一， 那把去年的用电量看作单位一，今年比去年少百分之二十五，百分之二十五，也就四分之一，所以把去年的用电量给他平均分成四份。 今年比去年少四分之一，那今年比去年少百分之二十五，也就少四分之一。 现在知道的是去年的用电量是三百五十万千瓦时啊，这个是单位一的量，那要求今年的用电量是多少万千瓦时， 那这部分就是节电百分之二十五，就是今年比去年节电百分之二十五。 好，现在从图当中我们知道，要求今年的用电量，其实就是求比三百五十少百分之二十五的数是多少。第一种方法， 我们可以先求出少的部分是多少，那就是三百五十的百分之二十五。我们用三百五十乘百分之二十五 求出来是少的部分，那用去年的用电量三百五十减去少的部分求出来的就是今年的用电量会等于三百五十减三百五十乘百分之二十五等于八十七点五， 三百五十减八十七点五等于二百六十二点五。单位注意是万千瓦时， 这个是第一种方法，接下来我们还有第二种方法。我们把去年的用电量看作单位一，今年比去年少百分之二十五，那今年的用电量就是去年的一减百分之 二十五，其实也就是他的百分之七十五。那去年的用电量三百五十万千瓦时，那求三百五十的一减百分之二十五的差是多少？我们就用三百五十乘一减百分之二十五的差 会等于三百五十乘一减百分之二十五等于百分之七十五，百分之七十五也就等于零点七五。我们用三百五十乘零点七五求出来也是二百六十二点五万千瓦时。 答，今年用电二百六十二点五万千瓦时。解决这类乘数问题时，我们先把乘数转化成百分数后， 那解题方法就是与百分数问题相同，主要就是要抓住这个关键句来分析数量关系啊。去确定单位。一，你学会了吗？

好，现在我们继续来学习第四课，欣赏与设计 图形啊，是人类社认知社会最初的形态符号，那就让我们一起走进图形的世界，就看看小小的图形又将会给我们带来怎样的惊喜呢？ 大字眼中啊，有很多的数学高手，从向日葵的花旁中你读出了什么？ 你是不是解读出了旋转运动呢？勤劳的蜜蜂 精心制造的蜂巢，你是不是又能发现平移、旋转和轴对称的身影呢？ 小小的蜘蛛啊，他们知道八卦形网是一个非常美丽又复杂的 八角形几何图案，你是不是也能读出图形运动的身影？ 我们从大自然中受到启发，将其应用于数学。我们又将从数学的知识出发去服务于生活。 从大自然中我们获得了很多设计的灵感。请看，这是被评为新世界七大奇迹之一的北京大兴国际新机场。 如果用运动的视角来观察，你又能发现哪些图形运动的身影呢？让我们先来欣赏一段小视频， 你是不是被深深的吸引了？如果从图形运动的视角来观察，是不是发现了平移、旋转和轴对称的身影？ 相信通过今天的学习，掌握了设计的方法，有一天你也能设计出像新机场这么酷炫的作品。那就让我们从身边简单的几幅图开始研究吧！ 最美人间四月天，校园里的丁香花悄悄地绽放了，多想回到美丽又熟悉的校园啊！ 其实丁香花的花期并不长，我想留住这一抹芬芳，想让它绽放在方格纸上。那该怎样利用图形运动的方式呢？ 我发现丁香花是由四个一模一样的花瓣组合而成的，这是其中一个花瓣图形 a， 把它绕点 o 顺时针旋转九十度，得到了图形 b， 然后再绕点 o 顺时针旋转九十度，经过三次这样的旋转后，这个花瓣图案就得到了。 我有不同的想法，我觉得还可以利用轴对称得到。 我先画出一个花瓣 a， 再画出这个花瓣关于这条对称轴的图形，然后再以这条线作为对称轴，画出这两个花瓣关于它的轴对称图形就可以了。 我想综合你们的两种方法试试看。将 a 以大正方形对角线所在直线做对称轴，画出图形 b， 然后 a、 b 一 起再绕中心点，按逆时针旋转九十度，也画出来了。 受你们的启发，我觉得还可以试试平移花瓣图形 a， 先向右平移三格，再向下平移三格，然后一起绕中心点 o 逆时针旋转九十度，也得到了花瓣图案。 同学们可真了不起，运用了旋转、轴对称以及各种组合的方法，都设计出了丁香花瓣的图案。 虽然同学们的方法不一样，但都是先确定一个基本图形，再让基本图形经过平移旋转和轴对称运动得来的。 看如此的美丽夺目，是不是让你想到了促生的丁香花，它象征着一种团结互助的精神。 拂堤杨柳醉春烟，春风中欢快的风车为春色增添了一抹律动。那这幅风车图案又是如何得到的呢？它的基本图形又是什么呢？ 我发现它是由好多正方形和三角形组合而成，一个正方形和一个三角形组合成一个直角梯形，就像一扇风车叶，先标出右下角顶点 o， 把它向右平移一格，再绕点 o， 顺时针旋转九十度，接着向下平移一格，由这个图形继续绕点 o 顺时针旋转九十度，向左平移一格，再绕点 o， 按顺时针旋转九十度， 向上平行一格，这样就得到了一个完整的风车。嗯，有一个同学啊，选择的基本图形不一样，看他是如何设计出来的。 同样一幅图案，选择的基本图形不一样，那进行的运动也就不尽相同了。 老子在道德经中有句话，万物之始，大道至简，演化至繁。那简约的平面图形啊，其实并不简单，伟大的艺术创作中，可都是有他们的身影的。 熟练的利用平移旋转和轴对称，再加上一点想象力，相信你也可以设计出精美的作品。 笑笑迫不及待的分享他的创作，快看看我的三角形之旅，我先设计了两个对称的三角形做基本图形，像不像一个沙漏？ 我将它绕中心点 o， 顺时针旋转九十度，三次得到了一副图案。看这样的设计还不错吧！ 在笑笑的描述中，你是不是感觉到了设计带给他的快乐？在静止的图案中，我们也能读出图形的动态美。还有的同学进行了不一样的创作， 只是改变了一下三角形的旋转中心，就能创作出不一样的图案。淘气啊，也带来了它的最新设计， 请你先猜一猜，这幅图形的基本图形会是什么呢？其实啊，它还是由我们最熟悉的老朋友三角形得来的，不信你快看看， 动起来了，这样的作图对你有所启发吗？ 同样是一个小小的三角形，却能设计出这么精彩作品，相信你还有更多的创作。 那在今天的图案设计中，我们先分析了基本图形，接着找到基本图形运动的方式进行设计，最后呈现精彩的作品。 那就让我们用运动的视角来欣赏其他同学的精彩设计吧。 一个圆利用旋转、平移和轴对称，可以设计出这样的作品。 其实啊，图形的设计在心理学上也有很多运用，在心理学课上，李老师就利用这样的图形对人们的心理进行过测试。 数学之美啊，处处存在，希望你用心去发现。最后老师向大家推荐一本数学书籍，学帮你学几何。

全国中小学生 亲爱的同学们，大家好，我是江老师，今天很高兴和大家同上一堂课。 今天我们将要学习第三单元图形的运动，在这个单元中，我们将重点学习旋转这种运动方式。 其实关于旋转，在三年级下学期我们就已经接触过了。再次看到旋转这个课题，你能提出哪些想要进一步探讨的问题呢？ 图形的旋转定义、性质要素是什么？图形在旋转时要注意一下什么呢？旋转和第一单元学的平面图形旋转成立体图形有什么联系？ 立体图形能旋转吗？学习旋转有什么意义吗？ 真是善于思考的同学们！本单元我们只研究平面图形在同一平面内绕着某一个点的旋转现象， 还会探求什么是旋转？旋转的要素有哪些，以及旋转的注意事项， 所以和我们第一单元学习的旋转是不同的。当然，对于更复杂的立体图形的旋转同样也不涉及。 所以对于问题三和问题四，以后我们将会继续学习。 学贵有疑，问题能促使我们进行更加深入的思考和探讨，但是学习也不能一蹴而就，需要我们一步一个脚印地逐步向前， 这是我们本单元的学习内容。在图形的旋转一，我们将要学习线段的旋转，紧接着我们会过渡到稍微复杂一些的平面图形的旋转。 旋完旋转后，我们就可以运用平移、旋转、轴对称这三种运动方式来看图形的运动了。 最后我们会通过欣赏一些美丽的图案，以及在方格纸上设计出一些简单的图案来感受图形世界的神奇。现在就让我们开启图形运动的学习之旅吧！ 图形的旋转一， 请你做好以下的学具准备，除了常规准备以外，你还要准备一个特殊的学具方格纸。 钟表相信大家一定都不陌生，它是我们生活中非常常见的计时工具。同学们，那钟表的时针是在做什么运动啊？ 你说对了，时针是在做旋转运动，现在就请你认真观察钟表的时针、分针、秒针是怎样旋转的。 我发现时针、分针、秒针都在绕着中心点旋转，时针旋绕时所围绕的那个中心点，我们可以称为是旋转中心。 我还发现，虽然时针旋转的速度有快有慢，但它们都是朝同一个方向旋转的。同学们，现在请伸出你的手指和老师一起来比划一下吧！ 时针旋转的方向我们称为是顺时针方向，与时针旋转方向相反，我们则称为是逆时针方向。 分针和时针的转速不一样，秒针旋转一周，分针旋转一周，时针旋转一大格。 咦，同学们，刚才这位同学的回答，他所谓的时针旋转一大格是什么意思呀？ 哦，就是时针旋转了三十度，那分针旋转一圈是什么意思呢？ 你说对了，就是分针旋转了三百六十度。那其实这位同学想告诉我们的就是，时针、分针、秒针在相同的时间内，它们的旋转角度不一样。 其实啊，旋转中心、旋转方向、旋转角度正是我们要研究旋转的三要素，在描述图形运动时，这三要素可缺一不可啊。 其实呢，旋转现象在我们生活中非常的常见，比如停车场横杆的抬起和放下就是旋转的过程。 现在让我们一起看一看横杆的抬起和放下是怎样旋转的。你能用旋转三要素描述横杆的旋转过程吗？ 横杆抬起来的过程可以描述成，横杆绕中心点，逆时针旋转了九十度。 横杆抬起，小汽车通过了横杆放下。横杆放下来的过程可以描述成横杆绕中心点，顺时针旋转了九十度。 亲爱的同学们，你学会了吗？现在，请你拿起你手中的一支笔， 以笔尖为旋转中心来模拟横杆的旋转过程，并用旋转三要素来向你的家人说一说横杆是怎样旋转的？ 横杆抬起来，横杆绕着中心点逆时针旋转九十度。小汽车通过了 横杆放下来，横杆绕着中心点顺时针旋转九十度。你描述对了吗？ 同学们，刚才在我们描述的过程中，请你再认真观察横杆绕着中心点旋转，什么变了？什么没有发生变化呀？ 横杆在旋转的过程中没有发生变化，变的是横杆的位置。 的确，横杆在旋转的过程中，横杆的位置发生了变化，但是旋转中心点的位置不变，横杆本身也没有发生变化。 现在咱们既然已经学习了这么多和旋转相关的知识，下面让咱们画一画旋转后的线段吧。 不过同学们别着急，画画之前，请你先在头脑中想一想，线段旋转后的位置会是在哪里呢？ 想不出来也没关系，请你再次拿起你手中的笔，模拟线段的旋转，让你的笔转一转，看一看线段旋转后会在哪里。 这时你在方格纸上再画出旋转后的线段，同时再与你的家人说一说线段是如何旋转的， 我们一起看一看同学们是怎样画的吧！咦，老师有个疑问， 看到这四位同学的作品，他们明明画的都是线段 a、 b 旋转九十度后的图形呀，可是他们为什么画的不一样呢？咱们先来看看大家都是分别是怎么画的吧。 我画的是线段 a、 b 绕点 a， 逆时针旋转九十度。我是这样画的，以点 a 为旋转中心，笔尖与 a 重合，点 a 不 动用笔的位置代替。线段逆时针旋转九十度。 应该旋转到了这里，旋转后，线段长度没有发生变化，所以线段的长度还是三个格子 再画出来就可以了。 这位同学用笔代替了线段，帮助我们进行旋转，我很欣赏你的做法，还有不同的做法吗？咱们接着看。 我画的是线段 a、 b 绕点 a， 顺时针旋转九十度。 我是利用圆规画出来的线段 a、 b 绕着 a 点，顺时针旋转九十度，中心点为 a 点，我让圆规间放在 a 点上，按顺时针方向旋转，转到这里就可以了， 将它标记一下， 连线就完成了。 哦，原来圆规还能帮助我们画出旋转后的线段呢，你真是一个善于思考的同学，为你竖起赞美的大拇指，还有不同的想法吗？ 我画的线段 a、 b 绕点 b， 逆时针旋转九十度。我就直接利用旋转三要素来画的图。先找到旋转中心点 b， 再看旋转方向和旋转角度为逆时针旋转九十度， 那线段 a、 b 旋转后的位置就应该在这里，长度为三个格子。我画的是线段 a、 b 绕点 b， 顺时针旋转九十度。我和刚才那两位同学的想法都不一样， 画之前先在头脑中想一下线段 a、 b 绕着点 b 顺时针旋转九十度后的位置，想好了，这时再画出来就没问题了。 嗯，真是善于思考的同学们，想出了这么多种不同的方法来画出现段 a、 b 旋转后的图形。现在再请你观察这四幅图，它们有什么相同点和不同点吗？ 对比第一幅图和第二幅图，我发现他们的旋转中心相同，都十 a 点，旋转角度都是九十度。但是由于旋转的方向不同，第一幅图是逆时针旋转九十度，第二幅图是顺时针旋转九十度， 所以导致了旋转之后的线段 a、 b 位置不同。哦，原来中心点相同，角度相同，但是旋转的方向不一样，线段旋转后的位置也是不相同的。 我的想法和他们不一样，我是对比着第二幅图和第四幅图来看，他们的旋转方向相同，都是顺时针方向，旋转角度都是九十度， 但是旋转的中心点不同，第二幅图的中心点是 a 点，第四幅图的中心点是 b 点，所以他们旋转之后的线段位置不同。 哦，原来通过这位同学的回答，我们还能知道，旋转的角度相同，方向也相同，但是旋转的中心点不同，线段旋转后的位置还是不一样。 看来这旋转三要素可真重要呀！有一点，发生了变化，都会导致我们画出旋转后的线段的位置是不一样的。 同学们，那现在再请你大胆地想象一下，如果我的旋转中心点位置到这里了，你还能想象出现断 a、 b 旋转九十度后的样子吗？ 如果中心点到这里呢？中心点再变到这里，你还能在脑海中想象一下线段 a、 b 旋转后会到哪里吗？ 感兴趣的同学们，你可以课下去探究一下。当我们的旋转中心点不断变化，我们能够画出无数条线段 a、 b 旋转九十度后的位置。 同学们，通过今天这节课的学习，你有哪些收获呢？你能尝试着总结一下如何画线段的旋转吗？ 我们知道了旋转的三要素，旋转中心、旋转方向、旋转角度。 我还知道图形旋转后形状大小都不会改变，旋转中心点位置也不变，只是线段的位置发生了变化。画图时看准题目要求绕哪个点，什么方向旋转九十度， 还要注意画完的线段长度不变。最后一定要对着题目检查一下。 嗯，真是一个善于总结的同学们。以后同学们在学习每课知识，也都可以做一个思维导图，来帮助我们梳理本节课的知识内容。

好，亲爱的同学们，大家好，欢迎大家走进今天数学的学习。 大家啊，想一想，今天我们的数学该学什么了呢？大家请看图形的放大与缩小。 上课前啊，我们先做好学具的准备，需要准备哪些学具呢？ 大家请看课堂本笔、尺子、橡皮，当然还离不开我们的老朋友， 就是方格纸，大家还记得吧，对，方格纸，我们在学面积的时候，学计算的时候，甚至学体积的时候，经常要用到这个。老朋友，那好了，准备好了吗？我们走进今天这节数学课的学习。 在上课之前呀，同学们提出了几个感兴趣的问题，我们一起来看看。第一个问题，怎么把图形放大和缩小呢？第二个问题， 图形放大了，或者是缩小了，面积要么变大了，要么变小了，有什么规律啊？第三个问题，大家也特别感兴趣学习，图形的放大和缩小有什么用啊？ 好了，那我们就带着这三个问题走进今天数学课的学习。 在前两天啊，淘气的爸爸给淘气推荐了一部电影叫出发巨人谷。看完之后，淘气有个问题想跟大家交流一下，我们一起听听。 你们说，如果巨人王国的小孩也要在学校上课，那么他们的教室得有多大呢？哎，巨人谷的小孩要上课，他们的教室得有多大呀？你看看，快把赞美的大拇指送给淘气吧！ 他用数学的眼光看电影，提出了这么一个有意思的问题。来到学校，淘气就跟几个小伙伴一起聊了起来，我们一起听听他们聊什么呢？ 我猜得有四个，咱们的教室那么大吧，这么猜可不行，我觉得这得看巨人有多高，以及巨人班里边有多少人。 那咱们假定巨人身高六米，班里人数和咱班差不多吧。哎，有猜想，有假设，还得有依据，接着听。 如果是这样的话，我们可以根据咱们班教室来推断巨人的教室。哦，我明白了，巨人的身高差不多是咱们的四倍，那把咱们教室的长宽高都扩大四倍就成了， 那铅笔的长度也得扩大四倍，桌子也得扩大四倍，地板也得扩大四倍，通通都得放大四倍。哦，你听明白了吗？他说啊，巨人的身高大约是我们的四倍， 那么依据我们现在的教室，我们现在教室里的人数， 有的同学还说了，长四倍，宽四倍，高四倍，他还用了个词叫通通都是四倍。真是这样吗？那我们一起走进我们第一个活动，你能不能画出巨人教室的平面图， 图上呈现了现在淘气教室的图，仔细端详端详，你发现了哪些数学信息啊？ 如果我们把一个小格子的边长叫做一的话，那么淘气的教室长是对了，长是六，宽是三， 那你能不能想一想，再画一画，赶紧拿出你的方格纸试试吧。 好了，有想法了吧。王老师找了两个同学的作品，你一起来看一看，看明白他们是怎么画的了吗？ 你有什么问题要问他们吗？ 第一幅图画的肯定不对，我们是把淘气的教室放大来画巨人的教室的，两个教室的形状应该是一样 的，是个教室和淘气班一看就不像，所以肯定不对哦，他居然斩钉截铁的说这个教室画的肯定不对，他说形状不像。接着听， 我同意这个同学的观点，形状不像的肯定不对，但形状像的也不一定就对。所以还是得看长是不是扩大了四倍，宽是不是也扩大了四倍。 通过数格子，第二幅图长和宽都扩大了四倍，所以第二幅是对的。 哦，看来啊，光形状像还不行。刚才这个同学说了，得看看长是不是放大了四倍，宽是不是放大了四倍，大家请看。 如果我们把长放大两倍，宽放大两倍，画完之后形状相同，但大小不行。看来啊，光形状像还不行。 其实就像刚才同学说的，长放大四倍。原来教室的长看作一份的话，巨人的教室长就是四份。 原来淘气的教室宽是一份的话，放大之后宽是四份。这个时候 我们就叫把淘气的教室按照四比一进行了放大，仔细端详端详这个四，还有这个一， 四不就是放大后四份儿一呢？是，原来放大前是一份儿。哎。 接着看，端详端详这两幅图，一幅是淘气的教室的平面图，一幅是巨人教室的平面图，你有什么发现吗？ 哎，王老师隔着屏幕都仿佛听见。有的同学想发言了，那我们听听， 按四比一的比例把长方形放大，长和宽都会扩大四倍，长方形的周长也会扩大四倍。 原来的长方形长六个格，宽三个格，周长是十八个格。放大后的长方形长二十四个格，宽十二个格，周长是七十二个格，变成了原来的四倍。 哎，你听懂他说话了吗？他说长是六，宽是三，放大前的周长是十八，放大后变成七丈，扩大了四倍。 有的同学想给他纠正一下，你听的真仔细。长方形的长，我们可以称作六，不能叫六个格，宽是三，不能叫三个格。你要说格不成面积了吗？听的真仔细， 看来数学不但要善于思考，你还得严谨意思表达对了，还得说准确了。好了，这个同学发现了，周长扩大了四倍。接着聊， 你看看，长是六加三的和乘二，周长六加三的和乘二，长乘四 放大后就变成了这样，于是我们可以利用分配率把这个四请到括号外边来，你看看，是不是也说明了周长扩大了四倍呢？哎， 面积会扩大四倍吗？刚才有的同学可说了，长乘四，宽乘四，高乘四，铅笔的长也得乘四，通通是四倍，真是这样吗？ 有了猜想，得有验证啊！我们看看，面积是四倍吗？ 面积不会扩大四倍。原来长方形的面积是六乘三，等于十八个方格。放大后的长方形，面积是二十四乘十二，等于二百八十八个方格，面积扩大了十六倍。 哎，通过计算的办法，原来的面积是十八，现在的面积是二百八十八，扩大的可不是四倍，是几倍。对了，十六倍计算的办法接着聊。 我可以解释为什么扩大十六倍，因为长扩大到了原来的四倍，那么长从宽的基就会扩大到原来的十六倍， 你听明白了吗？他说啊，长乘四，宽乘四，不就相当于几乘十六了吗？真善于观察，把赞美的大拇指也送给自己吧！ 我们也可以把原来的长方形的长用字母 a 表示，宽用字母 b 表示。长方形的面积就是 a 乘 b。 如果我们把长扩大 n 倍，宽也扩大 n 倍，那么新长方形的面积就会变成原来的 n 方倍。这也就解释了为什么将长方形按四比一的比例放大，面积会扩大十六倍，而不是四倍了。哎，你觉得你向这个同学应该学习什么呀？ 他用字母来表示数，找到了一条规律，长扩大 n 倍，宽扩大 n 倍，最后面积是 n 的 平方倍。哎， 规律变得更一般了。把赞美的掌声也送给他们吧！好了，大家看图形的放大，我们稍微有点感觉了，放大是这样的缩小呢？ 别急，你能不能快速的判断一下图 a 最左边下边四幅图，哪幅图是按三比一放大的？ 第一幅图不是按照三比一的比放大的，长扩大了两倍，宽也扩大了两倍，所以是按二比一的比放大的。 第二幅图也不是按三比一的比放大的。长虽然扩大了三倍，但宽扩大的是二点五倍，所以这幅图根本就不是按比来放大的。 第三幅图是按三比一的比放大的，因为长和宽都扩大成了原来的三倍。 我觉得画这幅画的人可能理解错了，按三比一的比放大，面积的确是会变成原来的九倍，但面积扩大到原来的九倍，却不一定是按照三比一的比将图形放大的。嗯，比如这幅图， 面积虽然是原来的九倍，但是长扩大的是六倍，宽扩大的是一点五倍，这根本不是按比放的哦，形状不像不行， 扩大后的大小不行，也不行，但形状像大小，对， 你觉得行吗？刚才有同学说了，最重要的我们要看长宽是不是按四比一来放大？好了，带着放大的经验，我们一起走进缩小吧。 这是巨人们用的三角形卡片，如果我们要来用的话，有点大，你能不能画出我们用的三角形卡片呀？ 先看第一幅图，一比三应该也是我们绘图时要用的比例尺，它的意思就是我们画的图中一份的长度代表原来的三份长度，相当于把这两个三角形缩小，长度就变成原来的三分之一了。 你看看这个同学厉害不厉害？他画之前啊，他先弄懂一比三是什么意思， 可不就是这样吗？无论是放大还是缩小，我们先搞清这个笔是什么意思，然后看出对应边是多长，这个时候想好了，看清了再下笔，最后别忘做一个验证。好了，我们看第一幅图怎么画， 这是一个直角三角形，咱们可以把这个三角形的两条直角边都变成原来的三分之一就可以了， 你看明白了吗？原来三角形的底是几，高是几，画完之后变成了这样。再看， 我会和这位同学说，你画的三角形底和高都做了原来的三分之一，这一点非常的好，但三角形顶点的位置还需要改进，现在的三角形和原来相比变形了，我们要把这个顶点移到这个位置就行了， 这是怎么回事啊？我们一起看巨人用的三角形纸片。垂足到左边的端点是三个格子， 画完之后应该变成了对了一个格子，同样垂足到右边的顶点， 数数几个格子，六个格子画完之后应该变成了两个格子，于是垂足到左端点，右端点定好了之后，三角形的第三个顶点是不就确定了？哎， 大家请看，刚刚我们用放大和缩小研究了巨人的教室，研究了巨人的三角形纸片怎么变成我们能用的。解决了两个问题， 其实放大与缩小就像刚才同学说的，先弄懂笔，再确定出对应边的长度，然后再下笔，最后别忘了审审视一下自己画的这幅图，画的对了吗？ 好了，这节课呀，我们一起解决了图形的放大和缩小的问题。前两个问题 解决了，第三个问题，学习放大和缩小有什么用？其实这点我们应该向淘气学习，带着数学的眼光看生活。其实在生活中啊，放大和缩小的现象可不少呢，你看 照片，我们可以用鼠标进行放大和缩小，再看放大镜，可以把一个字进行放大，还有比如说放映机，放电影的时候可以把上面的画面进行放大，再有 复印机，不但能放大，还能缩小呢。好了，第三个问题解决完了，我们留一个研学的作业给大家，比一比谁能把这幅图按照 笔进行放大或缩小，看看谁画的像好吗？好了，最后临下课前啊，推荐给大家，这本书里边其中有一个小故事叫放大镜下，建议大家回去读一读。 好了，这节课我们上到这里，下一节课我们即将走进练习。二，你准备好了吗？还是笔？方格纸记录本准备好了，我们就开始吧！

来看折扣这一节的练习题，某商品降价百分之八十五销售，就是打几折销售，这道题非常容易掉坑，我们需要注意这里啊，是降价百分之八十五，那也就是按照原价的百分之十五来进行销售的， 所以呢，他打的是一五折。很多同学很容易看成按照原价的百分之八十五销售，选八五折，那就错了。 书店的书凭优惠卡购买可以打八折，乐乐用优惠卡买了一套书，省了九点六元。问原价是多少元，那打八折也就是按照原价的百分之八十来进行购买的。如果我们把原价看作单位一，那么它的售价也就是现价，会是原价的百分之八十， 也就是比原价少了百分之二十，那他节省的这一部分就占了原价的百分之二十。题目中已经知道了节省了九点六元，所以呢，这个九点六元这个分量对应的分率就是百分之二十。 知道分量，知道分率，去求单位一的量，用除法，用分量九点六去除以他对应的分率除以百分之二十，这个百分之二十是一减百分之八十得来的。所以呢，我们给他写成一减百分之八十，可以求得这套书的原价是四十八元。 同类型的题目啊，答案可以放在评论区。一件商品如果定价二百八十元，则能够获利百分之四十。如果定价打八折出售，是盈利还是亏损？赢获亏多少元？这道题的关键啊，是要抓住这句话， 获利百分之四十。我们把成本价化成单位一，那么获利百分之四十，就是在成本价的基础上，我们给他增加成本价的百分之四十，这就叫获利百分之四十， 按照获利百分之四十来定价，那么这个定价他对应的分率就是一加上百分之四十。这么多，那定价已经知道了是二百八十， 所以已经知道分量以及他对应的分率是一加百分之四十。我们去求单位，一去求成本，那么就用除法，用分量去除以他所对应的分率二百八十除以括号，一加百分之四十，这样我们就可以把单位一把成本价给他求出来，等于两百元， 成本价是两百元，那现在呢，按定价打八折出售，也就是按照二百八十元的八折出售， 二百八十元的八折就是二百八十乘上百分之八十，现在按二百二十四元出售，成本呢是两百元，所以仍然是可以获利的，获利呢就是二百二十四，减去成本价等于二十四元，现在仍然可以获利二十四元。

同学们大家好，今天我们继续进行北师版教材六年级下册第二单元比例的学习。 关于比例，同学们在单元之初提出了一些非常有价值的数学问题。 通过上一节课的学习，让我们知道了什么是比例，以及比例的各部分名称，并且能够运用求比值、化简比这样的方法来判断两个比能不能组成比例。 这就让我们对比利有了一些比较初步的认识。这节课我们就继续走进比利，看一看它还有哪些奥秘。 既然我们现在已经知道了什么是比例，现在就请你打开作业本，在本子上写出一个比例，并且在头脑当中梳理一下你是怎么确定出这个比例的。 我们来听一听同学们的想法。 我首先想到的是二比一，这个比只要等号的左右两边的比都等于二比一，就能形成一个比例了。二比一可以变成十二比六，二比一也可以变成八比四，这样就写出十二比六等于八比四这个比例了。 我是先随便写出一个偶数比六比四，因为偶数比一定是可以化简的，把六比四的前项和后项同时除以二，就变成了三比二，这就形成了一个比例。 我先写出来的比是三比二，它们的比值是一点五，只要再写一个比值为一点五的比就行了。我觉得比较好想的就是十五比十。 佛系的这个比例比较好想，只要两个比都做到前项是后项的五倍，那肯定就能组成比例。所以我想了两个比，一个是十比二，一个是十五比三。 这几位同学他们确定比例的思路虽然不一样，但是他们都很好地抓住了两个比相等这个关键点。 下面请你仔细观察一下这四个比例，相信你会有新的发现。 我发现第一个比的前项和后项同时乘一个相同的数，就会变成第二个比。比如第三个比例三和二同时乘五，就会变成十五比十，其他的比例也都类似。 这位同学的发现，让我们再一次的感受到了比和比例之间的密切联系。只不过这还不能称之为是新发现，因为这实际上就是我们学过的比的基本性质， 如果在表达的时候再加上零除外，就更严谨了。我们再来听一听其他同学的发现。 我发现每个比例中，两个内项的乘积都是等于两个外项的乘积的。比如六乘以八等于四十八，十二乘以四也是等于四十八的。四乘以三等于十二，六乘以二也是等于十二的。 二乘以十五等于三十，三乘以十也是等于三十的。 最后一个比例，内向肌和外向肌也都是等于三十的， 你写的比例也是这样的吗？如果也是这样的，两个内向的肌等于两个外向的肌，那咱们再写几个比例试一试，看看这个发现还成立吗？ 老师，我又写了两个比例，发现内相机和外相机都是相等的。第一个比例，内相机和外相机都是七十二。第二个比例，内相机和外相机都为一百二十。 我也写了两个例子，因为我们现在的例子都是整数的情况，所以我想看看小数和分数的情况成不成立。 零点二比零点八和零点四比一点六，化简后都是一比四，所以我写的比例是成立的。我们来算一下他的内向机和外向机，内向机是零点三二，外向机也是零点三二机是相等的。 把四分之一比五分之三化简，就会变成五比十二，所以这个肯定也是比例。内向机是五分之三乘五等于三，外向机是四分之一乘十二也等于三。内向机和外向机也是相等的， 因此我觉得在一个比例当中，内向机等于外向机应该是成立的。 老师必须要给这位同学一个大大的赞，因为通过他的举例，一下子让我们把目光由整数扩展到了更大的范围。 所以说举例不代表着举几个简单的例子，实际上好的例子，特别能说明问题的例子，同样是需要深入思考的，甚至有的时候我们还可以考虑举一举反例。 这位同学在举例之后得出这样的结论，说比例当中内向机等于外向机应该是成立的。 这里边用了应该一个词，我们细细的品一品。它其实有两层含义， 一方面表示这位同学对这个规律是认可的，另一方面也在说明对于这个规律是否真的成立，它还不是特别的确定， 有什么办法能够确定这个规律是必然存在的呢？ 我可以证明这个规律是成立的。把比例写成字母形式， a 比 b 等于 c 比 d， 让 a 和 b 同时乘 c， c 和 d 同时乘 a 等式还是成立的。这样我们就得到了 a， c 比 bc 等于 a， c 比 a、 d 两个比的前项都是 a、 c， 那 么它们的后项肯定也是相等的，感谢这位同学的精彩分享！ 用字母来说明问题是一个很棒的选择。这位同学运用比的基本性质， 让第一个比的前项和后项同时乘 c， 第二个比的前项和后项同时乘 a， 这样做并不会改变两个比的比值，所以等式仍然是成立的。 这么做的目的就是要把两个比的前项变成相同的 a、 c， 这样我们就可以说明两个比的后项 bc 和 ad 是 相等的了，而 bc 就是 两个内向的乘积， ad 就是 两个外向的乘积，这样就可以说明这个规律是存在的了。 同样的道理，如果我们把两个比的后项变成相同的，同样可以说明这个规律是存在的。 但是这个时候，第一个比的前项和后项要同时乘 d， 第二个比的前项和后项要同时乘 b， 这样的话，两个比的后项才能变成相同的 b、 d。 实际上，在比例里，两个内向的肌等于两个外向的肌。这个规律我们并不是完全陌生的， 在学习分数的时候，有的同学就曾经总结出了交叉相乘积相等这个规律， 现在我们用比例的视角回看这个规律，你有什么新的感悟吗？ 哦，我明白了。四分之三就是三比四，八分之六就是六比八， 三乘八就是外向的积，四乘六就是内向的积。交叉相乘积相等实际上就是外向积等于内向积。是的，这两种不同的表达表述的是同一个规律。 所以说学习有的时候就是要换一个视角，不同的视角来观察，会有不同的感悟，不同的收获。现在我们掌握了这个规律，它能帮助我们做些什么呢？ 通过内相机和外相机是否相等，我们同样可以判断两个比能不能组成比例。 下面就请你运用这样的规律判断一下，下面这几个组当中，哪几组的两个比是可以组成比例的。 一点五乘以八等于十二，十乘以一点二也等于十二，内向肌等于外向肌，所以是可以组成比例的。 这种判断方法你听懂了吗？下面就请你快速的判断一下后面的这三个组。 九乘十二等于一百零八，六乘十八也等于一百零八，内向积等于外向积，所以六比九和十二比十八是可以组成比例的。 九分之一乘三分之一等于二十七分之一，四分之一乘二分之一等于八分之一，这两个积不相等，所以组不成比例。 十二乘以六分之一等于二，九乘以十八分之一等于二分之一，两个乘积并不相等，所以九比十二和六分之一比十八分之一不能组成比例。 现在我们判断两个比能不能组成比例的方法就又多了一种。 我们除了可以用求比值化简比，运用笔的基本性质，我们还可以选择内相机和外相机是否相等来进行判断。 下面咱们来挑战一下更有难度的问题，能不能根据乘法算式来写出比例呢？ 我发现九除以三等于三，一点二除以零点四也等于三，所以我写的第一个比例就是九比三等于一点二比零点四， 把数交换一下位置，第二个比例三比九等于零点四比一点二就出来了。 我们来看一看这位同学所写的两个比例调换位置，这样话就会把原本处于外向位置的九和零点四调换到了内向的位置， 把原本处于内向位置的三和一点二调换到了外向的位置，这样调换内向肌和外向肌肯定还是相等的，因此调换得到的新比例仍然是成立的。 这位同学的这种方法其实是很考验大家的观察能力和计算能力的，有没有更简单一点的方法呢？ 我的方法是把九乘零点四看作内向机，九和零点四填在内向的位置，把一点二乘三看作外向机，一点二和三填在外向的位置，这样就行了。九和零点四可以换位置， 实际上一点二和三也可以换位置，只要保证内向机是九乘零点四，外向机是一点二乘三就行， 而且也可以九和零点四做外项，一点二和三做内项。但我写完发现这样写出来的四个比例和原来的都会重复。 这位同学写比例的方法是不是就简单多了？运用这样的方法，相信你也可以很轻松地依据第二个乘法算式写出比例。 这节课我们一起探索了在比例中，两个内向的肌等于两个外向的肌，这个规律我们可以称为是比例的基本性质， 大家要牢固的掌握这个性质。此外，我们在探索过程当中所运用的研究方法以及灵活的运用这个性质也是同等重要的。 通过这节课的学习，我们对比例应该有了更进一步的认识。下面我们重点来探索这个问题。 比例有什么用？我们怎么能够运用比例来解决实际问题？

今天给六年级下册，演示一下如何利用晚上时间速通六下数学斜修版。如果你从一月八日开始学习，教你用最野的路子拿到最满意的成绩。周一晚上 公式是数学的基础，掌握基础就奠定好了，白给的分才不会丢。周二晚上各单元知识要点牢记于心，卷面上是送分题，别错过。周三晚上拿下大题解题公式，专门针对大题做题困难，面会考试，下笔如有神。 周四晚上练习六年级应用题，母题练会数学学习稳拿高分。周五晚上接着攻克常考易错题，查缺补漏，数学一定能逆袭！完整版已经整理好了，可打印。

下面我们重点来探索这个问题，比例有什么用？我们怎么能够运用比例来解决实际问题。 在咱们的日常生活当中，人们要想获得自己所需要的一些物品，可以采用货币购买的方式。 有的时候啊，也可以用物物交换的方式，按一定的比例交换自己所需要的物品。比如青青有一些玩具小汽车，华华有很多的小人书，他俩就想彼此交换， 于是华华提出了这样的交换规则，四个玩具汽车换十本小人书，这个规则你理解吗？它是什么意思呢？ 这个规则的意思就是轻轻拿出四个玩具汽车换华华的十本小人书，再拿出四个玩具汽车，又可以换华华的十本小人书，也就是说每四个玩具汽车就可以换十本小人书。 这位同学很清楚的理解了，四个玩具汽车和十本小人书是等价关系，如果轻轻有十四个玩具汽车，那么它可以换到多少本小人书呢？ 面对这个问题，你能想到几种不同的解决方法呢？ 我们来听一听同学们的想法，我是用画图的方法来解决的，用三角形表示玩具车，用圆圈表示小人书，四个玩具车可以换十本小人书， 那再来四个玩具车就又可以换十本小人书，这样可以再来一组，那现在就剩下两个玩具车可以换五本小人书，所以十四个玩具车总共可以换三十五本小人书。 画图真的是一种非常棒的解决问题的策略，通过画图可以帮助我们分析问题，有的时候画图还可以直接得到问题的答案。 我们再来看看其他的方法，我是这样想的，已知四个玩具小汽车可以换几本小人书？十除以四等于二点五本， 所以十四个玩具小汽车就可以换十四乘以二点五等于三十五本小人书。 受这位同学的启发，我们也可以先求一本书能换几个玩具汽车， 四除以十等于零点四个，一本书能换零点四个小汽车，十四除以零点四等于三十五本。 这道题我们也可以这样解决，已知四个玩具车可以换十本小人书，十四个玩具车是四个玩具车的三点五倍，那么十四个玩具车能换的书也就是十本小人书的三点五倍。 同学们非常的棒，运用我们已有的知识方法，就可以很好的解决这个问题。下面咱们把这四种方法梳理一下， 请你用笔的视角来看车与书之间的关系。我们先来看画图的这种方法。 第二种方法，先求一个玩具汽车能换几本书，再求十四个玩具汽车能换多少本书？ 第三种方法，先求一本书能换几个玩具车，再求十四个玩具车能换多少本书？ 第四种方法，现在你发现了车与书之间的比了吗？ 这个问题用比例同样可以解决，我们可以设十四个玩具车可以换 x 本小人书，你能根据提议列出比例吗？ 我列的比例是四比十等于十四比 x， 因为四个车能换十本书，十四个车能换 x 本书，那么四比十就应该等于十四比 x， 我列的比例是十四分之四等于 x 分 之十，因为四个玩具车能换十本小人书，那十四个玩具车就能换 x 本小人书，那么车和车的比就应该等于书和书的比。 还有的同学列的比例是这样的，十四比四等于十比 x， 现在我们就有了这样的三个比例，究竟哪个比例列的对呢？在列比例的时候，正确建立两个比的相等关系是直观重要的。我们先来看第一个比例， 四个车可以换十本书，十四个车可以换 x 本书，所以这四比十和十四比 x 表达的都是车与书的兑换关系， 而这个兑换关系是固定不变的，所以四比十和十四比 x 肯定是相等的，因此说第一个比例列的是正确的。 当然，如果我们把比例列成了十比四等于 x 比十四也是可以的。我们再来看第二个比例， 既然这是一个比例，它表达的就是两个比相等，因此我们在读的时候也要把它读成四比十四等于十比 x， 四比十四表达的应该是四个车占十四个车的几分之几， 那么与之相对应的十就应该是 x 的 几分之几。因此刚才这位同学说的非常的好，车与车的比就应该等于书与书的比，因此第二个比例也是正确的。 我们再来看最后一个比例，十四个车是四个车的几倍，那么 x 本书就应该是十本书的几倍， 所以十四比四应该等于的是 x 比十，而不是十比 x， 所以 第三个比例列的是错误的。 正确的列出比例之后，下面我们要做的工作就是要解比例了， 面对这样一个比例，你会选择怎样的方法来求出比例当中的未知数呢？ 我是这样想的，比例中两个比的比值是相等，左边比的比值是零点四，那么右边的十四比， x 的 比值也应该是零点四，所以 x 等于十四，除以零点四， x 等于三十五。 我的做法是把左边的比和右边的比变成相同的，四变成十四，就和右边比的前项一样了，要乘三点五，所以十也要乘三点五，变成三十五。 两个比是相等的，它们的前项是相同的，那么它们的后项也一定是相同的，所以 x 等于三十五。 我是根据内向肌等于外肌解的，两个外向分别是四和 x， 两个内向分别是十和十四，所以四乘 x 等于十乘十四，那么 x 就 等于三十五。 面对同一个比例，咱们同学们采用了不同的方法，下面我们一起来看看这三种方法。 当面对一个比例的时候，我们可以运用比值相等，也可以采用比的基本性质，让两个比变成相同的， 还可以运用内相基等于外相基，这样都可以帮助我们解出比例，解的到底对不对呢？所以我们还有一项重要的工作要做，就是验算。 我们可以把解出来的 x 的 值带入原来的比例当中，看一看两个比的比值是否相等， 或者是看一看两个比能不能化简成相同的最简比，又或者是算一算内向机是否等于外向机，都可以帮助我们判断我们解出来的 x 是 否正确。 所以说，我们现在所看到的这样的三种方法，既是解比例的方法，也是验算的好方法。我们再来看看分数比例应该怎么解呢？ 我们仍然可以把左右两个比变成一样的四乘以二点五就会变成十，为了保证比值不变，十四也要乘二点五变成三十五。分子相同，那么它们的分母也得相同，两边才能相等，所以 x 等于三十五。 我用的方法还是内相积相等。我用的方法就是交叉相、乘积相等， 所以四 x 等于一百四十， x 等于三十五。我再多说一句啊，虽然解比例有很多方法，但我还是向大家推荐内像机等于外像机这种解法。首先，无论是普通的形式还是分数形式，这种方法都能用。其次，这种方法好想不用费脑筋， 特别喜欢这位同学多说的这一句，因为这代表着他对方法有着自己的思考。应该说方法本身没有优劣之分，合适的就是好方法。 在面对这个比例时，你会选择怎样的方法来解呢？这道题要是用求比着的方法来解呢？这道题要是用求比着的方法来解呢？这道题要是比较麻烦。 如果用内相积等于外相积的方法算计，算量也会比较大。所以我用的方法是通分，把九分之 x 变成二十七分之三 x， 这样三 x 就 等于十八，所以 x 等于六。 你的方法可能和他不一样，但也应该像他一样，先对方法有一个辨析，然后再选择合适的方法。 当然，这个比例在解的时候，我们也可以采用约分的思路来做，我们完全可以把二十七分之十八约成九分之六，这样就可以得到 x 的 值了。如果我们运用的是交叉相、乘积相等来解，其实也不复杂， 九和二十七是可约的，我们可以得到三， x 等于十八，这样我们就会得到 x 等于六了。 所以说合理灵活的运用方法可以让我们的预算变得轻松简单。这节课的。

经过短暂的调整，我们继续整理与复习，刚才啊，同学们纷纷提出了自己的问题，让我们来看看，除了已经提出的这些问题外，同学们又提出了哪些问题呢？ 立体图形是否也能分别绕点线旋转呢？会是什么样的呢？其他我们学过的平面图形经过旋转得到的立体图形是什么样的呢？ 圆锥的体积、高底面积之间有没有正反比例关系呢？ 圆柱体表面积或者体积还有没有其他的计算方法呢？电视机前的同学们，你们提出什么问题了吗？ 让我们来看看同学们提出的这些问题，有的是比较了知识之间的相同点和不同点提出的，有的是从知识拓展或者有联系的角度提出来的， 掌握了方法之后啊，提问题并不难呢。那么同学们提出的这些问题，哪些能引发你的思考呢？你能尝试着解决一下吗？下面啊，就来让我们听听同学们都对哪些问题感兴趣吧。 圆锥的表面积如何计算呢？我对这个问题很感兴趣，我把圆锥展开以后，发现是两部分， 底面是一个圆，侧面展开是一个扇形底面积，只要测量出半径是三厘米，就可以计算出面积了。 那这个扇形的面积又是怎样计算的呢？我觉得可能和圆心角有关，像我做的这个圆锥，扇形的圆心角是一百二十度，正好是周角的三分之一， 这个扇形的面积呢，就是圆面积的三分之一。我测量出半径是九厘米， 先算出圆的面积，再乘三分之一，就能计算出这个扇形的面积了，再把两部分加在一起，就是这个圆锥的表面积， 而且我还发现这个扇形的曲边长度和圆锥底面周长是相等的。 那扇形的这两条半径和圆锥又有什么关系呢？开始我想可能是圆锥的高，但是当我把侧面围起来看一看时， 发现半径在圆锥的侧面上并不是圆锥的高。这位同学呀，通过制作学具 操作观察，解决了圆锥表面积怎样计算的问题，而且他还发现了展开图中扇形的半径并不是圆锥的高。让我们一起来看看 圆锥的高是从圆锥的顶点到底面圆心的距离，而展开图中扇形的半径是从顶点到底面任意一点的线段， 确实不是圆锥的高，他叫母线。将来我们上了中学，会继续了解和认识他呢。 还有的同学呀，对学过的平面图形经过旋转得到的立体图形会是什么样的这个问题感兴趣，让我们来听听他想到了什么平面图形呢？ 我想看看等腰梯形经过旋转会是什么样的呢？我以等腰梯形上下底的中点连线为轴旋转，发现会形成这样的立体图形， 我还能计算它的体积呢。看这个图形的体积，就是用大圆锥的体积减去上面这个小圆锥的体积。 这位同学在研究问题的时候啊，用到了实验和画图的方法，有兴趣的同学也可以像他这样，再看看其他的平面图形经过旋转会是什么样的呢？ 最后我们再来看看这个小组同学对圆柱体表面积或者体积还有没有其他的计算方法这个问题感兴趣，听听看他们得到了怎样的结论呢？ 我们组在研究这个问题时，想到了上学期在研究圆面积计算时用到的方法。当时我们把圆等分拼成近似的长方形， 于是我们把圆柱的两个底面也等分拼成近似的长方形放在一起。我们发现拼成的长方形的长刚好也是底面周长，而长方形的宽就是底面半径。 这个大长方形的面积就是圆柱的表面积。大长方形的长是圆柱的底面周长宽是高加半径的和。所以我们认为圆柱表面积还可以用底面周长乘高加半径的和来计算。 这个小组在研究问题的时候用到了什么方法？对，是转化的方法。 他们把圆转化成近似的长方形，进而沟通了转化前后图形之间的联系，找到了圆柱体表面积的另一种计算方法呢。 当然，除了刚才同学们研究问题时用到的方法之外，像对比、分类、尝试推理这些呀，都是我们在研究和解决问题时常用的方法呢。相信大家掌握了这些方法之后， 下面的问题一定难不倒你。让我们来看一看上面一排图形旋转后会得到下面的哪个图形，想一想，连一连！ 我们知道，长方形以长或宽为轴旋转形成圆柱，直角三角形以直角边为轴旋转形成圆锥。 再看这些边，他们都是旋转后图形的底面半径。所以我的结果是这样的，同学们，你们的想法和这位同学的一样吗？让我们来再看看下一道题。 用铁皮制作一个有盖的圆柱形油桶，底面半径是三分米，高于底面半径的比是二比一，制作这个油桶至少需要多少平方米的铁皮？ 这个油桶的容积是多少升？让我们来听听同学们是怎么想的吧！ 我先根据高于底面半径的比是二比一，求出圆柱的高是六分米。先看第一问，制作这个油桶至少需要多少平方分米的铁皮，就是求圆柱的表面积，所以结果是这样的。 再看第二问油桶的容积，这是我计算的结果，同学们和你们的一样吗？ 同学们，请大家注意看这个同学的计算过程，他先算出了十八派加三十六派的和是五十四派，进而求结果。我们同学在计算的时候啊，也可以像他这样呢。 再看这道题，甲乙两个圆柱的高相等，甲的体积是一百点四八立方厘米，底面积是六点二八平方厘米， 乙的底面积是二十五点一二平方厘米，乙的体积是多少立方厘米？这个问题你能解决吗？ 我是这样想的，从题目中我们可以得知，甲和乙的高一样，所以用甲的体积除以它的底面积求出高，也就是十六厘米，这个高也是乙的高， 所以再用高乘乙的底面积，就是乙的体积，也就是四百零一点九二立方厘米。 我想到刚才在整理知识时，同学们找到的正比例关系，因为两个圆柱的高相等，所以圆柱的体积和底面积呈正比例， 于是我列出这样的比例，一百点四八比六点二八等于 x 比二十五点一二，然后解比例得到一体积为四百零一点九二立方厘米。同学们，你们听清楚了吗？ 最后这位同学呀，根据高一定的时候圆柱的体积和底面积成正比例关系，列出了比例式，解决了这个问题。看来同样的题目，我们可以从不同的角度去思考呢。 刚才有的同学想到了我们学过的平面图形经过旋转会得到什么样的立体图形这个问题， 而笑笑和淘气对这个问题啊，也很感兴趣呢，他们分别以直角梯形的上底和下底为轴，将直角梯形旋转一周，得到了这样的两个立体图形。 笑笑说，我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后，甲以两个立体图形的体积也相等。 可是淘气却不同意笑笑的看法。淘气认为甲乙两个立体图形的体积不相等。同学们，你同意谁的说法？请写出你的思考过程。 同学们，让我们来听听大家是怎么想的。 通过观察，我发现笑笑得到的立体图形可以分成两部分，下面是圆柱，高三厘米，底面半径三厘米。 上面的立体图形可以看作是和下面等底等高的圆柱，再挖掉一个最大的圆锥。 淘气得到的立体图形可以分成圆柱和圆锥两部分，它们等底等高高都是三厘米，底面半径也都是三厘米。于是我分别计算出两个图形的体积，这是我的计算结果。 因为两个图形的体积不相等，所以我同意淘气的说法。 同学们，你们发现了吗？这位同学呀，并没有计算甲乙两个立体图形的体积具体是多少，而是通过比较四十五派和三十六派的大小，就得出了自己的结论，是不是很巧妙呢？ 让我们再听听其他同学是怎么想的。我同意淘气的说法，但我的思考过程和你的不一样， 我发现圆柱和圆锥是等底等高的，我把圆锥的体积看作一份，那和他等底等高的圆柱的体积就是三份。 笑笑得到的立体图形，上半部分有三减一两份，下半部分有三份，一共五份。而淘气得到的立体图形的体积是一加三一共四份，所以它们的体积不相等。 你的想法启发了我，大家看，其实两个立体图形的下半部分是等底等高的圆柱，所以体积相等，我们只需要比较上半部分就可以了。 小小的上半部分是圆柱减圆锥，也就是三减一两份，淘气的就是圆锥一份，所以也可以比较出它们的体积不相等。 同学们，后两位同学呀，关注到了圆柱、圆锥在等底等高的时候，体积之间的倍数关系，也解决了这个问题。好了，同学们，经过今天的学习，你有什么收获吗？ 相信这一个学期的学习一定有很多让你印象深刻的地方吧！你最喜欢的一次数学活动是什么？ 印象深刻的一种解决问题的方法是什么？你最满意的一幅作品又是什么呢？同学们可以以数学日记的形式把它记录下来，分享给你周围的同学和家长们听一听吧！