初二上册数学第六章一次函数思维导图

大家好，今天我们来讲解一下这个初中数学的一个学习方法，也就是要建立这个思维导图。很多同学呢，在数学的一个学习过程当中， 只顾着刷题，没有进行过总结。所以说我们今天就重点说一下这个思维导图应该如何来建立。首先第一点，这个思维导图他应该包括两个方面， 第一个方面，也就是这个知识点的一个总结。然后第二个方面，也就是简题技巧，或者说简题方法的一个总结。特别是在初中阶段，这个几何题很多， 他涉及到的这些如何做辅助线，那你这些如果不进行总结的话，你在考场上你是想不出来他应该如何做辅助线的。比如说我们平时总结的时候这简题方法，比如说你看到这个终点，那应该想到有有些长的一些做辅助线的一些方法，比如说背长中线法呀，或者说这个呃 三线火呀这些。那我们平时在做题的时候就可以把它进行一个总结。好，我们今天呢就主要讲解一下这个知识点如何总结。我们以这个依次函数为例，因为这个依次函数呢是我们在初中阶段第一次接受这个函数，所以说可能很多同学呢对这一章的一个学习，他有一点模糊。 好，我们先来看一下。首先这个依次函数我们在课本上第一讲，他是首先介绍一下这个函数的概念，所以说我们先把这个函数先把它写在这里。 那我们学习这个函数的目的是什么呢？因为这个函数他研究的是一个变量，也就是说我们处在的是一个变化的世界，变化的世界，而我们要对这个世界进行研究，那就需要建立一个模型。好，这个模型呢，当然有很多，而我们现在初步 学的呢，就是以这个函数，这个模型。好。然后所以说我们可以先这样给他做出来。好，做出来以后，那首先这个函数我们学习一个知识点。首先第一步应该要了解他的是什么了，了解他的一个定义，或者说他的一个概念。 好，那你那你做思维导图的时候，做到这一步，也就是定义和概念的时候，那你就可以在头脑当中回想一下自己能不能够回忆起来，如果说不能回忆起来，那这个时候你就需要翻书来看一下了。 好，然后函数的定义和概念学完以后，那我们第二步就是说函数，从书本上来说，他给出了哪些表示方法， 写到这个表示方法的时候，也要自己回忆一下，看能不能回忆起来。好，我们查含 速长的一个表表示方法呢，他就是以下三种，第一个就是列表法，然后第二个是减息法， 第三个是图像法。也就是说通过这三种方式，他都可以来表示我们的一个函数。好，函数过了以后，那就是我们这一张的一个内容了，就是依次函数。 那同样的，我们在学习一个新的知识点的时候，首先还是要先了解一下他的一个定义和概念。 好，一字函数的定义，它是什么？也就是说一般形式为 y 等于这个 k， x 加 b， 然后 k 或 b 都是常速，并且 k 不等于零。好， 这个时候我们就称之为他为一次函数，当特别的时候，也就是当这个 b 等于零的时候，那他就是一个正比量函数，也就是正比量函数。他应该是一种特殊的一次函数，他也是属于这个一次函数里面的内容。 了解完这个定义以后，那第二步这个依次函数很重要的一点就是要了解他的一个图像。然后第三个还有就是这个他性质 好。那这个性质是怎么得来的呢？他是通过这个图像进行过推导出来的。也就是说，比如说这个，我们知道当 k 大于零的时候，他的一个图像的一个方向应该是在这样的一个方向。 那同理，那如果说这个 b 大于零的时候，我们知道 b， 它相当于是有歪轴的焦点，所以说 k 大于零， b 大于零，那 他的一个图像大致就应该是这样的。所以说他，我们就可以知道他经过了哪些象限，也就是一二三象限。那你通过这个图像可以推导出这个性质。反过来，那你通过这个性质，那你也可以大概推导出这个图像。所以说他们是一个互相推导的一个关系。 好，这个是第二点。然后我们通过这个函数会进一步干什么？进一步会再认识一下这个方程， 通过函数对方程的进一步认识，也就是再认识。而我们在书本上呢，这 这几张涉涉及到的内容主要就是什么呢？这个函数与一元一次方程，还有一元一次不等式或二元一次方程组。比如说这个二元一次方程组，我们在之前的学习当中，主要是通过消元来减这个二元一次方程组， 那我们学了函数以后，还可以通过函数的图像来找他们的焦点，把这一个二元一次方程组剪出来。好，这一个方程呢，那我们也可以通过这个图像来进行一个表示。好。然后这个方程和图像那就是涉及到我们的一些具体的应用呢， 那应用包括哪些方面呢？我们在平时做题的时候就可以进行一个总结。首先比如说我们平时在做题的时候，经常会遇到这个依次函数与这个几何问题进行一个结合， 比如说于我们的四边形，然后还有三角形这些结合。然后还有什么呢？一些应用题，这应用题相当于就是与我们的这个实际问题结合，实际问题相结合。那这样的话我们来看一下实际问题结合。那我们我们再通过函数对这个实 问题进行一个方案的一个选择，也就是选择一个最佳方案，最佳方案，那这个最佳方案实际上就是我们刚才提到的我们解释这个变化事件，或者说我们在这个方案当中选择最好的一点。好 好大概啦，这个就是我们依次函数这一章的一个思维导图。所以说我们在平时学习的时候呢，就是要通过建立思维导图来回忆这些知识点，比如说他的概念呀，还有定义呀，还有这些图像啊性质，我们在做的时候就要在头脑当中进行一个回忆， 如果说回忆不出来的时候，那那我就需要我们再一次翻书。同时我们在做的时候，我们不仅是回忆书本上的概念，比如说这个回忆概念的时候，那我们也要想一下这个概念他一般会涉及到哪些题型。比如说他有可能给你画出 图，一个图，问你这一个图形他是不是函数，那我们就要根据这个概念来进行理解。当然他也有些是写出的这种减息式，比如说他写一个 y 的绝对值等于 x， 那问你是不是这个函数，那我们同样要根据这个函数的一个概念进行一个判断。 所以说我们在回忆的时候，不仅是回忆这个书本上具体的这个概念或者定义，同时我们还要回忆他这个知识点涉及到的哪些题型。

一次函数是初二数学的重点，也是难点，很多同学刚开始都会觉得学起来比较费劲，原因是从数到形的思维跨越不适应，导致概念理解不透彻。本期视频我们会从一次函数的概念、一次函数的图像和性质、一、函数求解析式的方法、 一次函数的平移与对称、一次函数和一元一次方程、一元一次不等式的关系，以及一次函数和二元一次方程组的关系这七大模块来个通关大串讲，用一个视频带你彻底搞懂一次函数的底层逻辑。 ok， 开始上课，先来看依次函数的概念。在讲函数概念之前，我们先来看一个前置的知识点，什么是变量、常量、自变量和因变量变量在一个变化过程中，数值会发生改变的量。简单来说就是会变的量。 常量在一个变化过程中数值始终固定不变的量。自变量在变化过程中主动变化的量。 音变量在变化过程中随着自变量的变化而变化的量。举个例子来说明一下，朱迪兔和尼克湖成为动物城警局的正式警官后，要给新入职的伙伴们采购防咬手套来应对调皮的小行动。 已知每副防咬手套的定价是十八动物城币，朱迪采购的手套数量为 x， 需要支付的总费用为 y， 动物城币则 y 等于十八 x。 在这个式子里，每副手套十八洞成币，这个单价始终不变，这就是常量。而购买了多少副手套暂时不确定可以发生变化，所以 x 就是 变量， 而且这个 x 的 数值是朱迪和尼克根据动物警察局中新入职的小动物的数量来主动自主决定的，所以它又叫自变量，而他们需要支付的总费用。 y 是 随着 x 的 变化而变化的，所以 y 叫做因变量，然后这里的自变量和因变量就统称为变量。 把这几个概念搞懂了，我们再来看看什么是函数。先来看看函数的定义，一个变化过程中有两个变量， x 和 y。 如果对于 x 的 每一个确定的值， y 都有唯一的值与它对应，那么称 y 是 x 的 函数，其中 x 是 自变量， y 是 因变量。 比如上面举的这个动物城的例子，当 x 等于一， y 等于十八，当 x 等于二， y 等于三十六，只要 x 取一个数， y 都会有一个唯一的值与它对应，所以这里的 y 等于十八， x 中 y 就是 x 的 函数。 了解了什么是函数，我们再来看一下什么是函数的图像。你之前已经学过平面直角坐标系，肯定知道坐标系里的每个点都可以用一对有序实数对 x 都 y 来表示，比如 二斗三就表示横坐标为二，纵坐标为三的点。同时我们也明确了函数的核心规则，一个 x 对 应唯一的一个 y， 比如正方形的周长 y 和边长 x 的 关系是， y 等于四 x， 这就意味着当 x 等于一， y 等于四，当 x 等于二， y 等于八，每个 x 的 值都会唯一确定一个 y 值， 而这个 y 就 可以和对应的 x 组成一个有序实数对。那么函数图像又是什么呢？ 其实很简单，函数图像就是把满足函数关系的这些 x 和 y 所组成的有序实数对都转化为平面直角坐标系中的点，再把这些点连成线或曲线后所形成的一张图，比如这里正方形的周长和边长的函数关系， y 等于四 x。 选择满足这个函数关系的几个点，一斗四、二斗八、三斗十二、四斗十六，将它们都在坐标轴上表示出来， 然后连接这些点，就可以得到这个函数关系的大致图像。总结来说，会制函数图像的目的就是要把数变成形，让抽象的数学关系变成看得见的图形， 帮助我们更直观的理解函数的特点和性质。 ok， 讲完了函数以及函数图像的概念，来看两道例题，巩固一下。 第一题，下列关系当中属于函数关系的式，那根据前面的学习，我们已经知道了，在函数关系当中， 对于 x 的 每一个值，那 y 都有唯一的值与之对应，也就是说 x 和 y 之间是一一对应关系。 先看 a 选项，人的年龄与身高，那显然这个肯定不是函数关系，同一个年龄，他可以对应不同的身高，比如说十二岁的某一个同学，他可以是身高一点二米， 也可以身高一点三米，或者呢一点五米，都是可行的啊，所以他们之间不是一对的关系。 b 选项，正方形的边长和面积。哎，显然这个就是标准的函数关系吧，当我们知道了正方形的边长，也就唯一的确定了它的面积。 c 考试分数和学生的姓名，显然这个也不是函数关系，比如说某一次数学考试，那张三考了七十分，李四是不是也可以考七十分， 所以他们之间也不是一一对应的关系啊。 d 选项，某一温度对应天气的状况，当然这个也不是函数关系，比如说今天的天气是二十度，那么可以是晴天，也可以是阴天， 还可以是下雨天。所以这道题正确的答案就选 b。 再来看第二题，下列各图当中，变量 y 是 关于变量 x 的 函数是哪个？这里考察的是函数图像的问题， 还是同样的思路。要看是否满足函数关系，就需要去观察一下每一个 x 的 值， y 是 不是都有唯一的值与之对应。那这里我们只要画一条线，比如在第一幅图当中， 横坐标 x 确定了，那纵坐标 y 也就确定了啊，它就满足 x 和 y 一 一对应。再看第二幅图，显然这幅图当中就不是一一对应的关系了吧。这里的一个 x 对 应了两个 y 值，所以第二幅图它就不是函数关系。第三幅图同样的道理，还是 一个 x 对 应两个 y， 不是 函数关系。第四幅图当中同样的逻辑，一个 x 对 应两个 y， 也不是函数关系。到这里，我相信你大概已经知道了什么是函数。 下面我们来看一个最简单的函数关系，正比例函数叫做正比函数，比如 y 等于二 x， y 等于负三 x， 这些都是正比函数。 正比例函数的图像是一条经过圆点的直线，其中 k 叫做比例系数， k 的 值直接决定了正比例函数图像的走势。当 k 大 于零的时候，直线经过一三象限，比如当 k 等于二十， y 等于二 x， 显然零斗零和一斗二都满足这个式子，所以它的图像一定经过这两点，两点确定一条直线 连接这两点，就得到了 y 等于二 x 的 图像。图像经过一三象限，并且 y 的 值随着 x 的 增大而增大。而当 x 小 于零的时候，直线经过二四象限， 比如 k 等于负二十， y 等于负二 x。 显然零斗零一斗负二都满足这个式子，所以它的图像一定经过这两点，连接两点，就得到了 y 等于负二， x 的 图像。图像经过二四象限，并且 y 的 值随着 x 的 增大而减小。 总结一下，就可以得到下面这个关于正比例函数图像特点的表格，你可以截图保存理解后记忆。 ok， 当我们掌握了正比例函数的特征以后，就可以来学习本节课的重点了。依次函数。先来看依次函数的定义，一般形容 y 等于 k， x 加 b 的 函数叫做依次函数。 注意，这里的 k 和 b 都是常数，且 k 不 等于零。相比刚才说的正比例函数，在依次函数表达式当中多了一个字母 b， 当这个 b 等于零的时候，它就变成了正比例函数。 所以正比的函数其实就是特殊的一次函数，光知道定义还不够，接下来咱们就看看它的图像长什么样，以及图像背后有哪些关键性质。 一次函数 y 等于 k， x 加 b 中的 k 可以 和正比的函数中一样，被称为比例系数，而 b 则是一次函数图像与 y 轴的交点的纵坐标。这句话什么意思呢？我们来看这个式子，可以发现，无论 k 等于多少，只要 x 等于零，那么 y 一定等于 b， 所以零。逗， b 这个点一定在一次函数 y 等于 k， x 加 b 的 图像上，而且这个点就是图像和 y 轴的交点，因此 b 就是 这个交点的纵坐标。由此，我们可以知道，一次函数的图像是由 k 和 b 共同决定的。类比正比的函数可知，当 k 大 于零时，对应的图像是一条从左往右看起来上坡的直线， 而 k 小 于零时，对应的图像则是从左往右看起来下坡的直线，依次函数中的 k 也是如此。再结合 b 式依次函数的图像和外轴交点的纵坐标，我们就可以得到下面的结论，当 k 大 于零， b 大 于零时， 那一次函数的图像就是这样一条直线，它经过一、二、三象限， y 随着 x 的 增大而增大。当 k 大 于零， b 小 于零时，一次函数的图像是这样的一条直线，它经过一、三、四象限， y 同样随着 x 的 增大而增大。 而 k 小 于零， b 大 于零时，图像是这样的一条直线，它经过一、二、四象限，同时 y 随着 x 的 增大而减小。 而当 k 小 于零， b 也小于零时，图像是这样的一条直线，它经过二、三、四象限， y 同样随着 x 的 增大而减小。讲到这里，你可能会有疑问，如果 k 的 正负决定了直线是上坡还是下坡，那 k 的 大小又决定了什么呢？ 来看两个具体的例子你就知道。比如下面两条直线， y 等于二， x 加一和 y 等于三， x 加一，它们的 b 相同，都是一，而 k 分 别是二和三。通过描点法可以绘制成它们的图像如下，显而易见，后者的坡度要比前者的更懂 g。 当 k 大 于零时， k 越大，直线的倾斜程度越大，坡度越陡。再比如下面这两条直线， y 等于负二， x 加一和 y 等于负三， x 加一，他们的 b 也都是一 k， 分 别是负二和负三，对应的图像如下， 显然后者的坡度也比前者更陡，即当 k 小 于零时， k 越小，直线的倾斜程度反而越大，坡度越陡。因此我们可以得出结论， k 的 绝对值越大，对应直线的倾斜程度就越大，坡度越陡。 如果两条直线的配相同，那显然这两条直线的坡度一样大，他们也就互相平行。 ok， 以上就是依次函数图像的特点，总结起来就是下面的这张表格，你可以截图保存理解后记忆。还是来看两道例题，熟悉一下刚刚所学的内容。 第一题，直线 y 等于 a， x 加 b， 经过一、二、四象限问，直线 y 等于 b， x 加 a 的 函数图像可能是下列的哪一个选项？通过前面的学习，我们知道， 要想确定这个一次函数的图像，那么我们必须得确定 b 和 a 的 取值范围，那这里 b 和 a 的 取值范围通过这个条件我们就能确定啊。同学们看，这个一次函数图像，它是经过一二、四象限的吧， 所以它的函数图像大概就是长这个样子的。这里的一次函数是不是经过一、二、四象限啊？对应的就是 k 小 于零， b 大 于零，那对应到这个一次函数当中呢？就应该是 a 小 于零， b 大 于零。 已经知道了 b 大 于零，那么这个一次函数图像一定是上坡的吧，所以 c 和 d 排除在这个一次函数图像当中。这里的 a 其实就是函数图像与 y 轴的交点，那 a 小 于零，所以它应该交在负半轴啊，符合要求的选项呢，就应该是 a 选项， 所以这道题答案就选 a。 再来看第二题，已知一函数 y 等于 k， x 加 b， 经过 ab 两点，且 k 小 于零， b 小 于零。 问，当 x 一 小于零，小于 x 二的时候，下列选项正确的是哪些？同学们看，对于这样的一个一次函数，我们已经知道了它的 k 小 于零， b 小 于零，所以它的函数图像 就是这幅图，也就是说，这个一次函数它是经过二三、四象限。现在我们又知道这个 x 一 小于零，所以 x 一 大概在这个点就是 y 一， x 二大于零， 所以 x 二大概在这个位置对应的这里就是 y 二。所以 a 选项 y 一 大于 y 二大于零，这个是错的。 c 选项 y 一 小于 y 二，显然这个 y 一 是大于 y 二的，所以它也是错的。再来看 b， y 一 大于 b 大 于 y 大 于 y 二。前面我们说过，依次函数当中，这里的 b 就是 函数图像与 y 轴的交点，这个点它就是 b， 显然 y 一 大于 b 大 于 y 二，那么这道题的答案就是 b 选项。所以对于一次函数图像的特点，同学们一定要牢牢掌握，掌握了一次函数图像的特点，接下来我们再来看看一次函数的表达式该怎么 求。所谓求一次函数的表达式，其实就是把这个式子当中的 k 和 b 这两个系数的值给求出来。这两个值应该如何求呢？这里有一个通用的方法，叫做待定系数法。一般来说有四个基本步骤。 第一步，只要题目说了是一次函数，那就可以将它的表达式设为 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零。第二步，根据已知条件，把满足函数表达式的点坐标带入表达式当中，得到关于 k 和 b 的 方程或方程组。 第三步，解方程或方程组，求出 k 和 b 的 值。第四步，将所求的 k 和 b 带入到函数的一般形式中，从而得到了一次函数解析式。方法步骤很简单，我们做两道例题，看看具体是怎么应用的。 第一题，在平面直角坐标系当中，一次函数的图像与 x 轴、 y 轴分别交于 a、 b 点的坐标是零， b 点的坐标是零。一求 一次函数的解析式，那么根据待定系数法，设一次函数的表达式， y 等于 k， x 加 b。 第二步，带入 ab 两点的坐标，然后就能得到一个二元。一次方程组解出来， k 等于二分之一， b 等于一，所以这个一次函数的表达式，它就是 y 等于二分之一， x 加一。 这里提醒一下大家，在求一次函数表达式的时候一定要细心啊，当我们把这个表达式算出来以后呢，最好把给到的两个点坐标带进去验算一下啊，检验一下，确保求的这个表达式准确无比。如说这里我们把 a 点带进去，发现是符合要求的，把 b 点带进去也是符合要求的啊。 再来看第二题，在弹性线路内，弹簧的长度， y 是 所挂物体质量 x 的 意思函数 一根弹簧不挂物体的时候，长十二点五米，当所挂物体的质量是二千克的时候，弹簧长十二点五米。 问，当所挂物体的质量为五千克的时候，弹簧的长度是多少？那解决这个问题，首先我们需要把这个弹簧的长度 y 和所挂物体 x 之间这个一次函数的表达式给它算出来啊。那同样的方法，首先还是设出这个一次函数的一般式， 那第二步呢？我们需要根据题干当中给到的条件，稍微分析一下这个依次函数图像所经过的点坐标。先来看第一句话，他说弹簧不挂物体的时候，长是十二点五米， 不挂物体的时候，那不就意味着当 x 为零的时候吗？此时这个弹簧的长度十二点五米，那对应的就应该是这里的 b 吧，相当于这个依次函数图像， 他是经过零斗十二点五这个点坐标，同学们想想是不是这样子的？好，继续看。当所挂的物体质量为两千克的时候，弹簧的长度是十三点五，哎，那不就是说另外一个点的坐标就应该是二斗十三点五？有了这两个点坐标， 接下来我们只要把这两个点坐标分别代入一次函数的表达式当中，就能得到一个二元一次方程组。接下来解这个二元一次方程组，解出来， k 等于零点五， d 等于十二点五， 所以这个一次函数的表达式，它就是 y 等于零点五倍的 x， 再加十二点五代入一个点坐标。检验一下啊，发现当 x 等于二的时候， y 确实等于十三点五啊，所以这个一次函数表达式求的就是正确的。那接下来的问题， 当 x 等于五千克的时候，我们带入这个一次函数表达式当中，就能算出 y 等于十五，此时弹簧的长度就应该是十五厘米。通过这两道题，希望同学们能够熟练一下 这个待定系数法求一次函数表达式的方法。了解了表达式的求解，我们继续回到函数图像，来看看一次函数图像的平移和对称的问题。先来看看图像的平移， 关于平移，你一定要把下面的这个八字口诀记得滚瓜烂熟，上加下减，左加右减，那它到底是什么意思呢？ 我们来试着分析理解一下。假如这是一次函数， y 等于 k， x 加 b 的 图像，如果我把这条直线向上平移一个单位长度后，得到的函数图像的表达式是什么呢？为了解答这个问题，我们可以先在原来这条直线上任取两个点， a 和 b。 显然，当这条直线向上平移一个单位长度后，这两个点也同样向上平移了一个单位长度。而且从图上很容易就可以看出，在平移过程中，这些点的横坐标是没有发生变化的， 纵坐标则都是增加了一个单位长度。既然这样，那我们假设 a 和 b 的 坐标分别为 x 一 斗 y 一 和 x 二斗 y 二，那 a 撇和 b 撇的坐标显然就是 x 一 斗 y 一 加一和 x 二斗 y 二加一。 因为 a 和 b 的 坐标满足这个表达式，所以 y 一 就等于 k 倍的 x 一 加 b， y 二就等于 k 倍的 x 二加 b。 假设平移后得到的这条直线的表达式为 y 等于 k 撇， x 加 b 撇，因为它是由原来的直线平移得到的，所以 k 撇就等于 k。 又因为 a 撇和 b 撇的坐标满足这个表达式，所以 y 一 加一就等于 k 倍的 x 一 加 b 撇， y 二加一就等于 k 倍的 x 二加 b 撇。把这里的 y 一 和 y 二带入左边两个式子当中，整理后就可以得到 b 撇等于 b 加一， 因此 y 等于 k， x 加 b， 向上平移一个单位长度后，直线的表达式就变成了 y 等于 k， x 加 b 加一。口诀中的这个上加就体现在了这里， 如果是向下平移一个单位的话，就是下减，直线的表达式就变成了 y 等于 k， x 加 b 减一。利用类似的方法分析，我们还可以分析出左加右减，这个就留给你们自己去证明了。 我们直接给出整个口诀的结论， e 函数 y 等于 k， x 加 b， 向上平移 m 个单位，就能得到 y 等于 k， x 加 b 加 m， 向下平移 m 个单位，就能得到 y 等于 k 倍的括号 x 加 n 加 b， 向右平移 n 个单位，就能得到 y 等于 k 倍的括号。 x 减 n 加 b。 这个很重要，你一定要记住，不要搞混弄反。 接着来看依次函数的对称性，我们一般研究三种情况，关于 x 轴对称，关于 y 轴对称，关于圆点对称， 关于 x 轴对称。它的特点是，对称后的直线上的每一个点与原来相比，横坐标不变，纵坐标变成相反数， x 都 y 关于 x 轴对称，就变成了 x 都负外。比如， y 等于 k， x 加 b， 关于 x 轴对称，图像就变成了这样的直线。因为对称，原来这条直线与 y 轴的交点坐标是零逗 b， 现在就变成了零逗负比， 原来这条直线和 x 轴的交点坐标是负的， k 分 之 b 逗，零对称后保持不变。有这样的两个点，就可以求出对称后的直线表达式， y 等于负 k， x 减 b。 同样的思路可以知道，关于 y 轴对称时，对称后的直线上的每一个点与原来相比，纵坐标不变，横坐标变成相反数， x 动 y 变成负 x 动 y， 直线的表达式也就变成了 y 等于负 k x 加 b。 关于圆点对称时，对称后的直线上每一个点与原来相比， 横纵坐标都变成了相反数， x 逗 y 变成了负 x 逗负 y， 直线表达式也就变成了负 y 等于负 k， x 加 b， 即 y 等于 k， x 减 b， 理解了对称变换的过程。关于这些特点，我也给你提供了一个口诀，叫做关于谁谁不变，关于原点都要变，希望对你的记忆有所帮助。 ok， 我 们同样来看两道例题，巩固一下这部分的内容。 已知一次函数 y 等于二分之一， x 减一，先将函数图像向左平移三个单位，再向上平移五个单位，求最终函数的解析式。 根据依次函数平移的特点，同学们需要注意两个地方，第一个平移的时候，斜率 k 始终不变。第二个熟记平移的特点，左加右减，上加下减。 这个一次函数，它是先向左平移三个单位吧，所以我们就能得到 y 等于二分之一，括号 x 加三，减一， 整理一下，也就等于二分之一倍的 x 加二分之一。接下来我们再把这个一次函数的表达式向上平移五个单位上加，所以是加五， 整理一下就得到了 y 等于二分之一， x 加二分之十一，这个就是一次函数 y 等于二分之一， x 减一，经过两次平移过后，最终得到的函数表达式。 再来看第二个小问题，还是这个一次函数 y 等于二分之一， x 减一。现在呢，我们把原函数图像经过两次平移后，得到一个新的函数 y 等于二分之一， x 加四，其中第一次平移是向右平移两个单位， 问第二次平移的方向和距离，那么这个第二问的处理方法呢？其实是一样的，我们来看一下，原函数是 y 等于二分之一， x 减一，它是经过两次平移，那第一次呢，是向右平移两个单位， 于是就得到了 y 等于二分之一，括号 x 减二，减，整理一下，也就是 y 等于二分之一， x 减二。那接下来呢，我们是把这个函数表达式又经过一次平移，然后最终得到的这个函数表达式呢？它是 y 等于二分之一， x 加四。 同学们观察一下啊，这个函数表达式原来是减二，经过了平移以后变成了加四，从减二变成加四，这个中间的平移过程，他就应该是向上平移六个单位， 对吧？我们把这个一次函数向上平移六个单位，上加下减，那加六，最终就能得到这个新的函数表达式， y 等于二分之一， x 加四，这个就是一次函数平移的特点。下面我们再来看一道题，熟悉一下一次函数对称的特点。 第一个问题，求直线 y 等于二分之三， x， 关于 y 轴对称的直线表达式。根据一次函数对称的特点，我们知道关于 y 轴对称，那么它的特点就是纵坐标不变，横坐标变成相反数。 所以这里我们可以先设原函数上有一个点屁，他的坐标是 x 到 y， 那 么关于 y 轴对称的话，纵坐标不变，横坐标变成相反数，所以这个屁点关于 y 轴对称，就能得到一个屁撇点， 那屁撇的坐标就是负 x 的 y， 接下来我们再把屁撇的坐标带入一次函数的表达式当中，就能得到 y 等于二，乘以负 x 加三，那整理一下，就是 y 等于负的二， x 加三， 这个就是直线 y 等于二， x 加三，关于 y 轴对称的直线表达式。再看第二个问题， 求直线 y 等于二分之一， x 加三，关于 x 轴对称的直线表达式。还有关于圆点对称的直线表达式。同样，根据一函数对称的特点，关于 x 轴对称，那么它的特点 横坐标不变，纵坐标变成相反数。我们还是先来设 y 点关于 x 轴对称，所以这个对称点 a 撇， 它的坐标就是横坐标不变，纵坐标变成相反数，也就是 x 都负 y。 接下来我们把 a 撇点代入到原来的这个一次函数表达式当中，也就得到了负 y 等于二分之一， x 加三，整理一下，就得到了最终直线的表达式 y， 它是等于负的二分之一， x 减三，那这个就是原来的函数表达式。关于 x 轴对称以后得到的直线表达式。 如果是关于原点对称呢？它的特点是横纵坐标都变成原来的相反数，所以 a 点关于原点对称，假设叫做 a 两撇吧，它的坐标就应该是负 x 都负 y， 我 们再把 a 两撇带入原来的直线表达式当中，也就得到了负 y 等于负的二分之一， x 再加三，整理一下 y， 它是等于二分之一， x 减三，这个就是原函数关于原点对称 所得到的函数表达式。好，那通过这两道题，我相信同学们也就熟悉了一次函数对称的特点。 研究完一次函数平行和对称，我们再来研究三组一次函数和方程及不等式的关系。 首先来看一次函数与一元一次方程的关系。根据前面的学习，我们已经知道一次函数 y 等于 k， x 加 b， 描述了两个变量 x、 y 的 线性对应关系，它们的图像是一条直线。而一元一次方程是指形如 k， x 加 b 等于零， 只含一个未知数 x， 且未知数次数为一的方程，它的核心是求让等式成立时 x 的 值。它们二者之间又有什么样的关系呢？ 首先从代数角度来看，解方程 k， x 加 b 等于零，本质上就是求一次函数 y 等于 k， x 加 b 中当函数值 y 等于零，自变量 x 的 极值。简单来说，一元一次方程的解就是 一次函数 y 等于 k， x 加 b 的 图像与 x 轴交点的横坐标。 再来看一次函数与一元一次不等式的关系。一元一次不等式是指形如 k， x 加 b 大 于零或者小于零大于等于零、小于等于零这里的式子。其中 k 不 等于零， 它的核心是求使不等式成立的所有 x 的 取得范围。它和一次函数之间的关系同样可以。从代数和图像两个角度来看。 先从代数角度来看，解不等于 k， x 加 b 大 于零，本质就是求一函数 y 等于 k， x 加 b 中当函数值 y 满足大于零时，自变量 x 的 所有趋值。 而从图像上看，不等于 k， x 加 b 大 于零的解集就是一函数图像在 x 轴上方所有点的横坐标 x 的 集合。 不等式 k x 加 b 小 于零的解集就是一次函数图像在 x 轴下方所有点横坐标的集合。好，以上就是一次函数跟一元一次方程以及一元一次不等式的区别和联系。来看两道例题。 第一题已知一次函数 y 等于 ax 加 b， 其中 x 与 y 的 部分对应值如下表所示。求关于 x 的 方程 ax 加 b 等于二的解是多少？ 那这道题考察的就是一次函数和一元一次方程的关系。传统解法我们需要把这个小 a 和小 b 先给他算出来，然后才能解这个 x 的 值吧。 但是假如同学们能够理解这个一次函数和一元一次方程的关系，那么这道题其实一眼就能看出来。我们从代数角度来看这个一元一次方程和一次函数的关系。其实解方程 k x 加 b 等于零，那本质上就是求这个一次函数 y 等于 k， x 加 b 中函数值 y 等于零的时候对应的自变量 x 的 去值。理解了这句话，我们再来看这个问题。关于 x 的 方程 ax 加 b 等于二， 同学们注意看，前面的 ax 加 b 不 就是我们这里的函数值 y 吗？所以要想求这个方程的解， 实际上就是求一次函数 y 等于二的时候对应的自变量 x 的 去值吧，看是不是这样子的。所以我们只要在下表当中找出函数值 y 等于二的时候对应 x 的 值即可。 所以这道题的答案其实就是我们的 b 选项 x 等于零的时候。再来看第二题，如图，直线 y 等于 k， x 加 b， 将坐标轴于 ab 两点，那 a 点的坐标是负三斗零， b 点的坐标是零斗五， 我们在图上标注一下，这个点的坐标是负三斗零，这个点的坐标是零斗五。求不等式 k x 加 b 小 于五的解集是多少？ 那么解决这个问题的关键呢？同学们得从图像的角度去理解这个一次函数与一元一次不等式的关系。同学们看这个 k x 加 b 对 应的是不是我们一次函数当中 y 啊？所以这里我们可以改写一下 这个不等式其实就是指一次函数图像当中 y 小 于五的区域范围。 搞清楚了这个问题，那么接下来我们直接看这个图像，就能写出它的解集。同学们注意看这个部分，这个点对应的数 就是 y 等于五的时候吧。那现在我们要求的是 y 小 于五的时候 x 的 曲值范围，所以此时这个解集 x 就 应该是小于零， 同学们想想是不是这个道理啊？当 x 小 于零的时候，那么对应的这个 y 值呢？它当然都比这个五要小。所以反过来，假如这道题让我们求这个 k x 加 b 大 于五的时候，那么对应的函数图像就应该是这个部分的，那它所对应的自变量 x 的 取值呢？就应该是 x 大 于零。 那通过这道题呢，可以希望加深一下同学们对于一次函数和一元一次不等式的理解。最后我们再来看一下一次函数跟二元一次方程组的关系。 从代数的角度来看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为和值时，两个函数的值相等，以及这两个函数的值是多少。从图像角度来看，解二元一次方程组相当于确定两条直线交点坐标。 简单来说，一、函数 y 等于 k 一， x 加 b， 一 与一函数 y 等于 k 二， x 加 b 二、图像焦点的坐标就是对应的方程组 y 等于 k 一， x 加 b 一， y 等于 k 二， x 加 b 二的解来看两个例题， 第一题已知直线 y 等于 x 减二，与 y 等于 mx 减 n 相交于 m 点， m 点的坐标是三逗币。求关于 x y 的 二元一次方程组，它的解是多少？ 解决这道题，需要同学们理解这个一次函数与二元一次方程组之间的关系，我们只要把这个二元一次方程组稍作变形，同学们看起来就会更清晰啊！看，那这个部分他就可以写成 y 等于 x 减二。 我们把负二移到等式的右边，那同样这个部分它是可以写成 y 等于 m， x 减 n， 其实要求的就是这个二元一次方程组。同学们看，这个二元一次方程组和这两条直线的表达式是不是一模一样啊？根据二元一次方程组合一次函数的关系，这两条直线的焦点它就是这个 方程组的解吧。所以下面我们把 m 点代入到这个表达式当中，就能算出这个 x 等于三的时候， y 等于一。所以这道题的答案就是这里的 a 选项。 再看第二题，这个第二题呢，和我们刚才的第一题他们的逻辑是一样的。第二题当中给到了这个二元一次方程组的解， x 等于四， y 等于五。让我们反过来求 直线 y 等于 x 加一和直线 y 等于 k， x 加 b 焦点的坐标。同学们看这条直线的表达式和这个部分是一样的，这个直线的表达式和这个部分是一样的，所以这两条直线的焦点坐标就是 给到的这个二元一次方程组的解，所以这道题的答案就选 c。 以上就是本期视频关于一次函数的所有内容，同学们一定要花点时间好好消化一下，我们下节课再见！拜拜！

每天半小时轻松学数学，这节课咱们来学习函数的图像，了解函数的图像，知道怎么样画常见的函数的图像，以及函数的图像在实际生活中有什么样的意义呢？ 这个图呢，是自动测温仪记录的图像，他反映了北京的春季某天气温的时间，气温的温度 t 如何随着时间 t 的变化而变化。那么这是一个什么样的图像呢？ 从图像上你能看到什么信息吗？这就是咱们本节课所要学习的内容。关于函数的图像，好，那首先咱们来回顾正方形，它的面积与边长 x 之间有什么关系？那咱们知道面积等于边长的 平方，所以 s 与 x 之间的表达式就是 s 等于 x 的平方， 那咱们可以看出来，每给 x 一个值，有唯一的一个 s 与它对应，所以 s 是 x 的函数， 那这个式子呢？咱们称为是函数的解析式，在这里边 x 的取值范围是，那对于正方形边长而言，正方形边长只要大于零就可以了，所以 x 取值范围是大于零。 那么对于 s 等于 x 平方而言，咱们呢可以利用在平面直角坐标系中画图的方法来表述 s 与 x 的关系。那么怎么样借助平面直角坐标系来表示的关系呢？想要借助平面直角坐标系，咱们 必须要找到点，那我们来回顾，在平面找个位中平面的点可以用一对有序输出对来表示，也就是说在坐标平面内，这个点实际上是点的，坐标与有序输入对是一一对应的。 那么怎么样获得图形的点呢？咱们知道点动呈现，那想要获得图形的点，在平面直角作为题中，咱们就需要找到有序实数对， 好，怎么样找有序实数对呢？咱们知道一个自变量对应唯一的一个函数值，那 s 等于 x， 平方一个 x 对应一个 s， 所以咱们可以分别把 x 当成一个横坐标，把 s 当成一个纵坐标， 这样咱们就一一的对应了一个点，所以自拍量 x 一个确定的值，与它 对应的函数值， x 是唯一确定的，那这样的话，咱们就唯一的确定了一个点，给一个 x 确定了一个点的位置，给一个 x 确定一个点的位置，这样咱们把所有的点给连起来，就变成他的图像。 好，那咱们来看这个表格。对于 s 等于 x 的平方， 如果 x 等于零点五，那 s 等于零点五的平方等于零点二五，那 x 等于一的时候， s 等于一的平方，一乘一等于一，那一点五的平方，一点五的平方是二点二五，二平方是四，二点五的平方六点二五，然后咱们呢依次可以把它给全部的 看出来，这样每给一个 x 对应一个 s， 所以咱们呢以 x， x 为横坐标的值， 以 s 为纵坐标的值，那么 x 等于零点五的时候， s 等于零点二五，那么画出来 x 是零点五的时候， s 是零点二五，这个点。在这，当 x 等于一的时候， s 是一， x 是一的时候， s 是一， x 等于一点五的时候， x 是二点二五，一点五的是一点五的时候是二点二五，然后二的时候是四，好把这些点连起来，这些点连起来之后，他是间断的点，但是咱们知道这个零点五到一之间是不是还有无无穷多个数啊？比如说零点六呀， 啊，零点六五呀，零点七啊，零点九九呀等等。那所以咱们呢用平滑的曲线把它给连起来，把这些点给连起来，这样组成的一个图像就是 s 等于 x 的平方这一个函数关系，其中 x 是大于零的， 那大于零的时候，咱们知道大于零的话是用空心的点来表示，所以咱们就把 s 等于平方的图像给画出来了。如右图所示， 根据这个图像咱们可以看出来，随着 x 的增大，它是上升的趋势，所以 s 是增大的，也就是说 s 随着 x 的增大而增大。在这里边咱们呢描完点之后，用平滑 的曲线把这些点给连起来，那不在曲线上的点，比如说零，逗号零，他们知道 x 的大于零呢，所以这个零这个地方咱们用空心的圆圈来表示。 好，那咱们来看这样的两个画图像的题目，画出来 y 等于二， x 加一的图样，以及画出来 y 等于负 x 的分之六的图像， 那从第一个 y 等于二， x 加一，那 y 等于二， x 加一，咱们知道 x 的取值范围是取全体实数， 那既然取全体实数，咱们总不能把 x 所有的数都取完吧？负九十九，负九十八，负一百，然后零一二三五分之一，八分之一等等，你把这些所有的数能取完吗？啊？肯定取不完， 取不完的话，那咱们怎么办呢？那咱们就取一些比较简洁的数值，比如说取负三，负二，负一，零一二三，这样的话既有负数又有正数，还有零，就比较具有代表性，所以呢，咱们取的时候可以取这几个就行。 好，首先怎么看出来 x 取的范围是取全体的实数，然后 x 等于负三的时候， y 等于二乘负三，再加一，负六，加一和负五。 那如果 x 等于负二的话，二乘负二加一是负三， i 等于负一的时候，二乘负一再加一等于负一，依次计算出来之后。好，这是列完表格之后， 列完表格写出来对应的 x， y 之后，咱们再秒点， x 等于负三， y 等于负五，负三负五秒出来。 然后依次把这些点用平滑的曲线连起来，通过观察发现这些点在一条直线上，所以这个平滑的曲线呢，也就一条直线。好画的图像呢，是一条直线，通过观察发现图像也是上升的状态。 啥是上升的状态？你看，从左往右看，这是不是上升的状态？也就是说，当这边量 x 越来越大的时候，对应的函数值也是越来越大，我们叫做 y 随 x 的变大而变大。 然后看第二个题画 y 等于负的 x 分之六。同样呢，咱们先列表，列表取出来对应的 x 和 y 的值，那咱们知道 x 的取值范围是啥呢？ x 在分母上不能取零。对，所以呢，咱们取这些数之后，为啥不能取零呢？因为它是 分母，分母不能为零。所以呢，咱们列表取点的时候，可以取一些负数，取一些正数， 然后再描点，在平面直角格别中描出来上述表格中的点。好，咱们把这些点依次描完之后，用平滑的曲线把它们给连起来。 好，发现呢，它有两条分支，它是由两条曲线所组成的，以后咱们会学习到它叫双曲线。好，现在呢，咱们知道它的图像大致是这样的即可， 所以咱们可以看出来，画函数图像分为三步，第一步列表，第二步秒点，第三步连线。这里 两个图像都是这样的，先列表，再秒点，再连线。好，那么给你一个函数，关于是你会画他的图像了吗？哎，咱们就遵循这三步走，列表，秒点，再连线，就可以把他图像画出来了。 好，第一步列表，列表的话呢，表里边咱们取一些自变量的值，以及对应的函数 y 的值。第二步，秒点，秒点，自变量的取值呢，要符合实际意义，以自变量的值为横坐标，相应的函数值呢为纵坐标， 然后描点，最后连线。连线的时候按横坐标由小到大的顺序连，那么所描的点用平滑的曲线连起来，所组成的图形 就是函数图像。那既然咱们把函数图像给画出来了，咱们知道函数图形上呢，这点是有无数多个的，怎么样判断平面直角作为一个点或者一个点的左标有没有在函数图像上呢？比如说 给一个点的坐标，你能不能判断这个点是不是在函数图像上呢？好，那么判断的时候呢，是通过代入的方法，比如说判断 这两个点是不是在 y 等于二加一的图像，那咱们可以怎么办呢？咱们可以把这个 x 等于负零点五带入，你看当 x 等于负零点五的时候， y 的值， 那 y 等于多少呢？ y 等于二乘以负的零点五，再加一等于负一加一等于零， 那所以零点五零，它是在含图扬，而这个点呢，是不在含图扬。好，再看第二个，当 x 等于一点五的时候， y 就等于二乘 x 加一，二乘一点五，再加一等于三，加一等于四，那还等于一点五的时候， y 等于四，那所以第二个是在还是同样同样的方法，咱们可以判断 x 等于二的时候， y 的值把 x 等于二带入，这就是二分之六，等于三，那所以第一个是在的。 那第二个，当 x 等于四的时候， y 就等于四分之六，等于二分之三，那二分之三和二不相等，所以第二个不在函数图像上，所以咱们判断他在不在函数图上。怎么办呢？咱们把横坐标的值给代入看看，等不等于 纵坐标函数值， y 的值等于它的纵坐标，那么它就在函数图像上，否则就不在。好，这是判断一个点由是否在函数图像上。那咱们来看第二个问题，第二个问题呢，是在实际问题之中，函数的图像。 好，这个图咱们刚来课前的时候看了，这是个自动测温仪即可。图像反映了北京的春季某天气温体随着时间体的变化而变化，他是怎么样呢？可以看出来，气温先下降，然后上升，然后又下降， 还能得到啥信息呢？还能得到这个四十的时候，他这气温是最低的，十四时候气温最高，咱们可以得到每一个时间的时候相应的温度。好，这里边呢，咱们来看一看。从这个函数图样可以知道，这一天 气温最低是四十的时候，最低是零下三度，也就是负三度。那几点的时候气温最高呢？是十四时的时候气温最高，最高为八度。 好，从几点到几点气温下降，然后从四十到十四时，气温呈上升，从几点到几点气温又成下降。那所以从图上可以看出来，从零时到四十是下降的， 他这个趋势，咱们从图像上的看的是他的一个趋势啊，这个趋势，这是下降的，然后从四十到十四，十，四十到十四十的图像是这样，这是上升的 啊，从十四时以后，十四时到二十四时，这又是下降的。好，这是图像反应来的特点。 好，第二个下图呢，反应的过程是小明从家去食堂吃早饭，接着去图书馆读报纸，然后又回家，其中 x 的时间外表是小明离家的距离，小明家食堂还有图书馆在一条直线上。 好，看到图像的话，咱们先看横轴和纵轴，横轴 x， x 表示的是时间，单位是分钟，纵轴是外外表，它是小明离家的距离，单位是千米。 好，这是基本的信息。那咱们来看小明从家去食堂吃饭。小明从家去食堂吃饭， x 表示时间外表小明离家，那小明离家距离越来越远，越来越远，越来越远，那吃饭的时候他就坐在 看食堂，坐在食堂，这时候他离家的距离是不不会改变了，对，等于零点六，从第八分钟到第二十五分钟，一直坐在食堂里边，这时候的距离呢一直是零点六。所以从 八到十八分钟的时候，图像显示的是他在食堂吃饭。那吃完饭之后呢，接着去图书馆，那这一段他就是去图书馆的，那说明二十八分钟的时候到图书馆了，图书馆离家的距离是零点八千米。好，那这 距离为啥不变呢？因为在图书馆看书呢，他坐在图书馆里边。好，所以这时候他离家的距离不会改变，然后回家，那回家的时候这个距离越来越小，越来越小，一直做，一直变到六十八分钟的时候，一直变到距离是 零，从五十八分钟的时候开始从图书馆出发回家。好，那图像分析完了，那咱们来看一看 食堂离小明家有多远？那食堂离小明家刚才都说了，这个点八分钟的时候到食堂，所以食堂离小明家有零点六千米，小明从家到食堂用了八分钟。 好，所以呢，食堂离小明家的距离是零点六千米，小明从家到食堂用了八分钟，那在食堂吃早餐用了从八分钟到二十五分钟，一直在吃早餐，所以呢，二十五减八等于十七分钟。 那食堂离图书馆从二十五分钟的时候出发到图书馆的时候是二十八分 中，那用了三分钟，用了三分钟，那多远呢？零点六千米变到零点八千米，所以是零点二千米，因为它是在一条直线上的，所以咱们直接相减。好，所以呢，距离是零点二千米，用了七分。啊，用了三分钟， 小明读报纸用了多少？读报纸从二十八分钟到三十八分钟，一直在读报纸，读报纸用了半小时，又用了三十分钟。 好，然后接着来看图书馆，立小名家，图书馆看到没？图书馆离小名家有多远呢？是零点八千米。 那从图书馆里回家的时候速度是多少？那从图书馆也就是从零点八千米一直走走走变到零千米，所以他走了 零点八千米，路程是零点八千米，它的时间是多少呢？时间是六十八，减去五十八用了十分钟，所以速度等于路程除以时间零点八千米，除以十，等于零点零八千米每分钟。 啊，这是这样的一个题目，那从这个图像之中，咱们要学会从图像中获取信息。 a h 考试常考的题目， 我们来看一个练习题，小明同学骑自行车去郊外春游，如图呢，表示他离家的距离外，嗯，外表示的是他离家的距离， 单位是千米与所用的时间 x x 呢，表示的是小时。那小明到达离家最远的 地方小明到达离家最远的地方，那到地的时候，离家最远最远的地方是用了三小时，距离呢是三十千米。 好，所以小明到达离家最远的地方呢，是用了三小时，最远是三十千米。第二个小明出发二点五小时以后， 二点五小的时候离家多远呢？二点五小时以后，咱们来看一看，二点五小时在这正中间，那所以呢，那他应该是啥呢？ 在这里边二点五小时， 所以在这个点，这个点应该是线段点 c 和点 d 的终点， 因为这个二和三的终点，那画到左边的话，肯定是十五和三十的终点，十五和三十的终点咋求呢？ 用十五加三十除以二等于二十二点五，所以这个点表示的是二十二点五，也就是说出发二点五小时以后，离家是二十二点五千米。 好，这是这样的一个题目，或者咱们通过计算也可以。如果通过计算的话，那咱们来看一看。 嗯，从二十到三十，他的路程是从十五变到三十，说明他的速度是多少呢？ cd 这一段的速度， c、 d 这一段的速度是等于三十减十五除以三减二等于十五千米每小时。 那所以二点五小时的时候行驶了零点五小时，那零点五小时十五乘以零点五等于七点五千米，所以呢，他应该行走了七点五千米。 好，原来是十五十五加七点五等于二十二点五，也可以算出来他离家的距离。 好，这是这样的一个题目。 好，那咱们来看一看。用图像信息题呢，主要呢是观察图像，利用树形结合思想， 从图像中获取信息。主要的步骤呢，首先先看横坐标和纵坐标代代表的具体的含义，然后呢，从图像上来判断函数与自变量的一个关系。 好，对于某些特殊的端点，某些拐点，还还有某些特色线，比如说平行于 x 线，这些特殊的点，特色线有什么具体的实际意义，咱们也要记住。 好，来看一个拓展提升题目，如图，正方形 a、 b、 c、 d 边长是四啊，这是一个边长是四的正方形点 p 是正方形的一个动点，是个动点， 沿着从 a 出发，点 p， 从 a 出发，沿着 a、 d、 d， c、 a、 b， 然后 b、 a 的这一种顺时针方向的路径匀速移动。点 p 经过的路径长是 x， 经过的路径长是 x。 三角形 a、 p、 d 的面积是 y， 求下列图像大致能够反过来面积 y 与 x 之间的一个关系的是啥？那咱们来看一下点 p， 从 点 a 出发，点 p 跑到这的时候，三角形 a、 p、 d 这时候不存在，所以它的面积是零，一直跑一直跑，一直跑到 d 的时候还是零，当这时候 a、 d 的长是等于边长是四，也就是说 当他跑的前四个单位长度，这个 y 呢，都是不存在的， y 都是等于零， 那咱们是不是直接可以看出来呀？ x 等于四的时候，它只是零，然后咱们来借看， 好，接着超过四的时候，那这时候 a、 d、 p 这么大，如果跑到这的话， a、 d、 p 这么大， 如果跑到这的话， adp 这么大，可以看出来 adp 的面积在增大。一直跑到点 c 的时候，点 p 点 c 重合， adp 的面积呢，是四乘四除以二等于八啊，一直路径是八的时候，它的面积是八。 好，接着咱们再来看一看，好， 接着从点 c 开始跑，那 接着从点 c 开始跑的话，那咱们来看点 p 继续跑，那这时候 a、 d、 p 的面积是这么大，又跑到这， a、 d、 p 的面积这么大，这时候咱们发现形成的 a、 d、 p 这个三角形，这些三角形是以 a、 d 为底，高呢， 也都相同，所以是同底等高的三角形，那所以它的面积的时候不再改变了，这么长一直是等于八 好，最后与点臂重合，这时候他跑的路程是四四四跑到十二，接着跑到这的话， a、 d、 p 跑到这的话， adb 变短，所以呢，看出来面积在减小，一直与点一同时的时候，面积变为了零，好，所以面积一直在两千为零，可以看出来是选 选 b 好，就是这样的一个题目， 看本节课的课后练习题。第一个某人早上呢，进行登山活动，从山脚到山顶，从山脚跑到山顶，在山顶呢，休息了一会， 沿原路返回。如果用横轴表示的时间， t 用纵轴表示与三角的距离是 h 与山脚的距离，那么四个图中反映出来 h 与 t 的关系，那他爬山的时候，随着 t 的增加， h 应该是先增加的， 让他休息了一会，休息的时候他的高度不改变，所以应该是水平的，然后呢，他有严重返回，所以速度呢？所以呢， h 又该下降，那所以咱们来看大致的话呢， 把 a 和 b 排除掉，再看 c 和 d， c 和 d 的区别在于哪呢？区别在于 c 选项， c 选项。这个时间点的时候，为啥突然 h 变成零了呀？ 他难道是掉到山崖了吗？就算掉到山崖啊，他也不是瞬间，他也经过有时间的呀，所以这一个不对，应该是经过了一定的时间， 从这个时间点到这个人经过一定时间慢慢的下去了，而且这个速度呢，要比这个速度要大，也就是下山的速度比上山的时候速度要快一些。 好，所以是选 s， d 第二个好。最近连降雨雪，水库水位上涨，如图表示某一天水位变化，临时的时候是警戒 水位，好，观察零时的时候警戒水位，警戒水位是在这 好，然后四十的时候是零点二米，八十的时候是一米好，八十的时候属于最高，从图片上看确实是最高点点 p， 点 p 在这表示的是十二时的， 十二时的水位是零点六米，好，这是对的，他让选的，他让选不正确的好。 c 八十到十六十的水位，八十到十六十，八十到十六十的水位是 下降，然后保持不变，他说都在下降，那不是都在下降，从八十到十二十是在下降，十二十到十六十是保持不变的，所以 c 是错误的 啊。 d 这一天的水位都高于警戒水，那咱可以看看，这是最低的零时的时候，这是警戒水位， 那其他时间确实都高于警戒水位，说明就有危险啊。好，这是这样的一个图像题，那从图像上咱们也可以发现，根据图像咱们可以解决实际生活问题，给实际的生活做一个预判。 好，第三个，在平面指角作为中画出来这个函数的图像，先列表，再描点，再连线。好，表格已经列出来了，但是需要咱们股权。当 x 等于负三的时候， y 就等于二分之一，乘负三等于负的一点五。 y 等于负二的时候， x 等于负二的时候， y 就等于二分之一乘以负二等于负一，那当 x 等于负一的时候， y 就等于二分之一乘以负一。负的零点五。 好，依次把这些点全部的补充上之后，然后咱们给它描点，负三、负二分之三给它描出来。负三，负二分之三描出来。好，然后 负二负一描出来，接着把零零、负一、负二分之一、零零这些点依次给它描出来。最后呢，咱们用平滑的曲线 把它给连起来，发现他一条直线。好，在这里边呢。这个图像画的不太精准，你画的时候你需要注意，你画的时候需要注意，这应该是在负一点五的地方。好，第二个点五，逗号二在不在？ 在函数图像上，那咱们把 m 等于五，带入 m 等于五的时候， y 的值等于二分之一乘以五，二分之五，二分之五和二不相等，所以它不在函数图像上。好，这是这样的一个题目。 好，第四个，这个图像呢，是反映的过程，是张强从家跑步去体育馆，在那里边呢，锻炼了一阵后，去文具店里面买笔啊，跑步去 体育场，说明十五分钟就到体育场了，体育场离家的距离呢？是二点五千米啊，在这锻炼一会，然后开始走到文具店，证明四十五分钟的时候走到了文具店， 文具店离家呢，是一点五千米，到文具店，然后散步回家，一百分钟的时候离家的距离是零。好，第一问体育场离家，体育场离家是二点五千米， 那通加到体育场用了十五分钟，或者是提问非常简单，那体育场离文具店多少？那咱们来看，他们是在一条直线上的体育场二点五千米，然后呢，文具店 离加是一点五，那所以它俩之间的距离是多少呢？是二点五减一点五，等于一千米。 第三张强在文具店，文具店停留了四十五，六十五，那六十五减四十五停留了二十分钟。 第四个，从文具店回家平均速度是多少？那从文具店回家，文具店，这是离家的距离是一点五千米，用的时间这是 三十五分钟，所以呢，速度是一点五除以三十五，如果这样写的话呢，他等于是七十分之三，单位是千米每分钟。 好，当然了，当然了，咱们还可以啥呢？还可以把这个转化为 千米每小时，如果转化为千米每小时的话，就是用一点五除以三十五分钟，是多少小时呢？是六十分之三十五，这样计算的呢？咱们 得到的单位是什么？千米每小时。好，这是这样的一个好，得到的是七十分之十八千米每小时，七分之十八千米每小时，好，这是这样的一个题目。 这是咱们本节所学习的函数的图像，主要学了两块知识点，第一个关于函数的图像的画法列表描点连线 列表的时候要注意自变量 x 取值范围要注意在他有意义的情况下，而且呢，尽量去简洁，取得有代表性。 瞄点的时候要瞄准，连线的时候呢，用平衡的曲线相连。然后呢，咱们又讲了图像所表达的实际的生活的异地。那咱们这节课我就上到这里，下一节课再见。

我们来看一次函数与相像的这个关系。首先一次函数中的 k b 值变化，哦会影响一次函数所在的相像，那如果说当 k 大 于零， b 等于零的时候，此时它是一个正比例函数，那因为 k 大 于零，所以说它过一、三相像。如果说 k 大 于零， b 大 于零的时候，整个的这个 一次函数会向上平移，也就是说它会过一、二、三项线。当 k 大 于零， b 小 于零时，正比例函数向下平移，它会经过一、三、四项线。我们再看 k 小 于零时，当 k 小 于零， b 等于零时，它会过二、四项线，经过圆点。当 k 小 于零， b 大 于零时， 正比例函数整体向上移，它会经过一、二、四向前。当 k 小 于零， b 也小于零时，正比例函数将会整体向下平移，会经过二、三、四向前。这样我们就可以 清晰的看出来一次函数与相差的关系。还有一个考点就是当把几个一次函数放在一起的时候，让我们去比较 x 前面系数，也就是 k 的 大小，那这个时候我们就要记住一个规律，那就是 k 的 绝对值越大，它就会越靠近外轴。 下面我们将会通过例题的形式来展示一下，我们看下面第一个题，他说各图像中表示函数 y 等于负 k， x 的 图像是哪一个？那给出了我们条件， k 是 小于零的， k 小 于零，所以说负 k 大 于零，负 k 大 于零，它又是个正比例函数，所以说过远点经过 一、三项线，所以说这个题选 c。 我 们来看下一个题，他说圈一的函数是 y 等于 a x， 圈二的函数是 y 等于 b x， 圈三的函数是 y 等于 c x 让我们将 abc 从小到大排列，并且用小圆号连接起来，那我们就要用上刚才 所说的这个结论。当 k 的 绝对值越大，那他就会越靠近外周。此时我们可以先得出来，圈一中的这个 a 肯定是小于零的，因为他过了二四小线，那 a 肯定是最小的。我们再去判断一下圈二和圈三， b 和 c 哪个值更大，那显然是 b 更靠近外周，所以说 b 是 大于 c 的， 所以说 a 小 于 c 小 于 b。 那 做这个题的时候，我们直接用上刚才总结的这个结论就可以了。

那么比如说在坐标系中，我看到 ab 平行于 x 轴， cd 平行于 y 轴，那么这样的线段呢，其实很容易用坐标表示，怎么表示来着？那么横线的话，其实就是横坐标的差， b 点横坐标减 a 点横坐标右减左就能得到横线的长度，右减左呢，是因为右边大左边小，减完了长度是个正数啊，这样可以避免加绝对值。那么 c、 d 呢，它是个竖线，竖线的算法呢，就是纵坐标的差， 这个呢叫做上减下，同样的上减下是为了避免出负数啊，省掉绝对值的烦恼。那么这是坐标系中横竖线的基本表示思路。那么上节呢，咱们强调过 这类型的线段呢，你还要注意个啥呢？就是有的题啊，给你的线段端点是动点，可能会出现这个 a、 b、 c、 d 的 左右上下不确定，不确定的时候带上什么呀？不确定的时候记得带上绝对值 来，这是咱们之前讲过的，那么你会发现咱们之前讲的呢，其实主要集中在了有点坐标得线段长的这个过程里面，你只要已知了点坐标，那么你就可以通过这个上减下，右减左， 表示出横竖线段的长度。但是有的时候呢，这个过程是反过来的啊，我给大家举个例子，比如说有一个题告诉你 a 点呢是负三，一告诉你 a、 b 的 长度等于二， 那么这时候我是不是也可以得到 b 点的坐标，那么怎么得最方便呢？教大家一个思路叫做平移， 其实 ab 等于二，你就可以理解成是 a 向右平移两个单位，得到 b。 哎，那你会发现水平平移，纵坐标不会变吗？向右平移两个单位，横坐标加二，它就得到是负一了。所以呢，有的时候啊， 反过来，已知了横竖线的长度，已知了横竖线的长度，我还可以通过平移的方式来得到新的点坐标。那么 这两个之上呢，咱们今天呢，后面还会用到一种推线段长度的场景啊，本质跟他相同。但是我稍微提一下，我举个例子啊，比如说，我现在告诉你点 e 的 坐标是四到三 点 f 的 坐标，比如说是一个九，逗号负二来，各位能不能直接算出这两个问号的长度，这两个问号呢，其实是五和五啊，那这里怎么算呢啊？注意，我少说了一句话啊，这两条线呢，都是横竖线啊， 怎么退出这两个横竖线的长度呢？那么你会发现比较完整的做法呢，叫做我可以先写出这个拐点的坐标， 因为这是横线，所以纵坐标相同，他跟一点纵坐标一样，那么这个是竖线，所以横坐标一样，那么这个就是九。那么接下来呢，你就会发现，我可以用九减四，得横线的长，用三减负二，得竖线的长，这个是完整的做法， 但是呢，你如果每次都这么做呢，会比较墨迹，所以呢，教大家一个直接一点的思路，就你会发现，这个横线呢，是九减四，四是 e 的 横坐标，而九其实就是 f 的 横坐标。 那所以你会发现，你求 e f 之间的水平距离，其实直接用横坐标做叉就行了， e f 之间的水平距离就是横坐标的差，九减四，同样的道理，那么这节竖线就是 e、 f 之间的数值距离，那么数值距离呢，我就可以直接用纵坐标的差来表示，那么就是三减负二， 那么这个逻辑呢，你理解熟了以后，坐标信里面进行这样线段的计算呢，会快一些啊，所以注意一下，还是右减左上减下， 但是呢我们可以省却一个求点坐标的操作，直接去得结果。那么最后呢，我再说一个反过来的思路啊，比如说我现在就告诉你这个点坐标是五三，有了五三以后呢，我跟你说这个是五，这个是四， 你怎么去得？ f 点的坐标呢？ 是不是可以直接用平移啊？一点呢，是不是相当于要向右平移五个单位，再向下平移四个单位，所以 f 坐标呢就是五加五，是十三减四，三减四呢是个负一，所以十负一就可以直接求了。 那么这里呢线段推点坐标的时候用平移会简单一些，那么这就是咱们坐标系中点坐标和横竖线段之间的一个基本的转化的操作啊，这块呢是很多题的基础， 你要把它弄明白，这一部分相当于把上减下，右减左去做了一点点扩充啊。那么接下来呢，咱们进入今天的正题，今天呢咱们主要讲的是特殊等腰的处理， 什么叫特殊等腰呢？咱们通常能够遇到的主要就是等腰直角三角形，简称等值，还有等边三角形， 主要就是这两种三角形，那么这两种三角形在坐标系里会有两种形态啊，第一种形态呢叫做有一条边是横竖线， 第一种形态是有一条边是横竖线，比如说这个等边三角形，它的一条边平行于 x 轴，那再比如说这个等腰直角三角形，它的底边呢？平行于 y 轴，你会发现它两个里面呢，都有一条边是横竖线，这是第一种， 那么还有一种呢，就是三条边都是斜着的线，三条边都是斜线的图形呢？坐标线里面通常主要考的是等腰直角啊，就是等腰直角三边都斜，我们把它叫做等直斜放， 那么这个呢，咱们一会再说啊，咱们先解决前两幅图形，你现在只要知道坐标线里面考特殊等腰， 主要有这两种形态就行了，有横竖边的和三边都斜的，那么有横竖边的，咱们要怎么去处理呢？那么你要明白啊，坐标系中给你一个图形，那么其实是要让你利用图形的等量的， 但是你会发现这个等边三角形的等量，三条边有两个都是斜线，那这种斜线呢，你用起来就不太舒服， 所以这时候呢，我们要有一个想法，叫做画斜为直，我要想着把斜着的等量转化成横竖线的等量， 那么这个三角形我要怎么转化呢？这种有横竖边的等腰三角形很好转化，你直接做他横竖边的垂线就行了， 做一个三线合一，因为这是一个等边三角形，朋友们，你做了任意一条边的垂线，是不是都能得到它平分底边，而与此同时呢，边长他就知道了是二 a， 那 么接下来二 a a 勾股定律，你会发现这个高就是根三 a 来，你注意， 原本呢，咱们已知的是斜着的二 a 等于二 a， 那 么通过做三线合一，我把斜着的等量转化成了横竖线段的一比一比根号三的关系，我把它转化成这个横竖线段的关系了， 那这就起到了一个画斜为止的作用。原本这两条线，你想要直接列方程很麻烦，但是利用这样的线段去列方程或者是设线段都会很好用。这个呢，就是做三线合一，画斜为止 以后呢，你在坐标系中，只要看到是底边是横竖线的等腰三角形，都可以想着去做这个三线合一， 其实作用就是画斜位置有底边是横竖线，做三线合一，那么等边三角形，你会发现，做完三线合一以后呢，就得到了一系列边长的关系啊，那么这时候我可以一射， 设完了边长，横竖线段的关系就都表示出来了。那么接下来呢，同样的，如果我给你一个等腰直角，它的底边是一条竖线，那我也可以做三线合一。那么这次做完三线合一以后，横竖线是什么关系？等腰直角三角形， 这是四十五度吗？三线合一是个角分线，所以这俩也是四十五度。你做完了以后，其实就发现上下两个小三角形都是什么呀？上下两个小三角形都是等腰直角，所以得到了什么等量， 是不是这里的横线，这两个竖线的等量， 那么这个函数线的等量就可以帮助我们简化接下来的计算。我举个例子啊，比如说有的题呢，他可能这里呢，需要你去设未知数，那么你原本是斜着的等量，你设出来未知数，在坐标系中的也不好用，表示不了点坐标。 但是这时候呢，我设这三个函数线是小 b， 那 么这时候呢，你会发现，如果我知道这个坐标是二一，我就可以直接利用小 b 表示出其他的点坐标了。比如说这个点坐标呢，是不是直接就是二加 b？ 逗号一加 b 上面这个点坐标呢，是不是向上平移，二 b 的 单位直接变成了二斗一加二 b 原本的这个等值，它的点的坐标关系是不明朗的，但是我做垂线画斜为止以后，那么它上面点坐标的相互关系呢，就会变得简单直白。 这就是咱们要画斜为止，最终要画或者具体点说是要做三线合一的真正原因。 因为横竖线和点坐标它们之间更容易转化。这道题的条件呢，带大家梳理一下，很简单，现在呢，已知了一个一次函数，告诉你一个等边三角形 bc 在 x 轴上点 b 坐标，已知 点 a 呢，在这个一次函数上，现在呢，他让你去求 a 点的坐标。那么这道题你会发现，解析的核心肯定在于这个等边三角形，你得把它用起来。 但是你会发现，虽然 b 点坐标知道，但是现在利用等边直接得 a 点坐标是得不了的，因为他的等量是斜着的，于是就想到了咱们刚刚的思路条件。刚刚梳理过了， 已知表达是等边三角形点 b 坐标要求的是点 a。 那 么在这道题目中，你想求点 a， 这个等边明显是绕不过去的， 所以呢，你得先想等边怎么用，它的等量都是斜的，不好用，但是有一条边在 x 轴上，所以想到了做什么 做三线合一，这样呢，我就把它斜着的等量转化成了底边和高横竖线的等量。那么这个等量的话，一开始不熟，你可以多推几次啊，怎么得呢，三线合一得下面两个线段相等， 那么腰长呢？边长呢？就是二 a 勾股定力得到它的高就是根三 a 就是 横竖线，有这样的一个一比根三的关系。那么在这个过程中呢，我们不光梳理出了这个比例，不光梳理出了这个横竖线的关系，同时呢， 其实你会发现，也相当于把它们给射出来了，那么射出来以后呢，有了这些横竖线的长度，各位，有横竖线我们就可以表示什么东西，前面梳理过吗？点坐标，横竖线很容易转化， 有了 a 跟三 a， 我 是不是就可以表示点 a 的 坐标？那么你会发现呢，小 a 跟三 a 呢？ 点 a 呢，其实就相当于 b 点向右平移 a 个单位，再向上平移跟三 a 个单位。所以呢， a 点坐标呢，直接可以写作二加 a， 逗号跟三 a， 这是用平移去想。当然了，你也可以选择把 o b 一 标，那么 a 点横坐标就是这节横线， a 点纵坐标就这节竖线啊，也可以。 总之呢，有了横竖线，我就能得到点坐标，而有了点坐标，我只要解出 a 的 值，问题就结束了。那么大家看还有什么条件没用？点 a 在 函数上，坐标表达式有了，怎么点方程呢？很简单，你就想着代入就可以了。 那么代入以后呢，我们可以得到一个方程啊，就是根三 a 等于负的二分之根三乘以二加 a， 再加上四倍根号三。 有的小伙伴会说，胖叔，你这方程怎么这么恶心，你这个表达式让我看的就头疼啊，你个方程更恶心。那么各位啊，这里你稍微注意一下，这种方程看着恶心，其实很大概率是因为出题人他比较仁慈， 他想让你这个求解过程比较简单啊，所以呢，你这个方程会看起来恶心，但是呢，他很好化解，你观察一下就好了。 观察方程呢，他的每一项都有一个根三，所以这些根三全部约没了， 方程呢，就变成了一个不带根号的。 a 等于负的二分之一，二加 a 再加上四， 这下你再解就简单多了啊。那么这里解一下的话呢，很简单，就是 a 等于负一减去二分之一， a 加上四，那么一向一下的话就是二分之三， a 等于四减一就是三， a 等于二，我就解出来了 a， 于是最后的答案就是四逗号二倍根三。这就是这个题的一个求解的思路。来，咱们来总结一下这个题我们干了哪些事呢？ 首先第一件事呢，是当你看到有等边三角形的时候，想到了要把它的等量转化成横竖线，所以呢，想到了去做三线合一，简写成三一了啊。 这一步呢，其实是为了把等边的等量转化成横竖线的等量，咱们说的画斜为止。而再接下来第二步呢，你有了这些等量，你就可以去设线段的长，而通过设横竖线段，我就可以表示出点的坐标。 那么这里呢，用到的逻辑就是我通过设横竖线，横竖线用拼音首字母代替了通过设横竖线，那么这时候呢，我就可以表示出点坐标， 这是第二步，其实是在进行点坐标和横竖线的转化，而最后我有了 a 点坐标以后， 点在函数上，那么我就可以通过代入来得方程。那么这道题呢，你会发现，我们相当于从图形开始，先把图形等量化成横竖线等量， 利用横竖线等量设了线段长，就得到了点的坐标，有了点的坐标，代入函数就得到了方程，解除了未知数的值。那么其实呢，这个操作流程呢，我也可以反过来走，咱们稍微看一下啊。 那么其实还有一种思路呢，就是一看到 a 在 函数上，我就可以直接用函数去干啥了，直接用函数去设坐标 点，在函数上，我就可以用函数直接去设点，比如说这里呢，我可以设得 a 的 坐标呢，就是 a， 逗号二分之根三 a 加上四倍根三来是这为了防止大家看晕，我换个字母 t， 逗号负二分之根三 t。 而有了这个点坐标以后呢，你就要注意了，有了点坐标，那么点坐标能够直接表示什么？点坐标，它是能够直接去表示横竖线的，所以这时候呢，我就可以想着去看横竖线， 而这是个等边三角形，等边三角形做三线合一以后呢，就有了横竖线段的长度，所以呢，这个是 t 减二，然后呢，这一节呢，就对应这个竖线， 所以呢，我用点坐标表示了横竖线，而最后呢，这些横竖线它是存在等量关系的，这个等量关系呢，是由等边三角形提供的，就是等边三角形，我做了三一， 做了三线合一，那么三线合一呢，就带来了横竖线的等量，那么我利用这个等量就可以去列方程，比如说在这幅图里面呢，其实就是这个线段乘以根号三， 就等于后面这个式子，我同样可以把这个题解出来给大家讲这个操作呢，主要是为了告诉大家，那么这类型题呢，其实玩的就是这几个逻辑， 甚至呢，很多函数几何综合题都是在玩这几个逻辑。那么跟前一种方法的区别是，这次呢，我是从函数开始先设点，有了点表示了线， 那么利用横竖线，我就可以列出这个横竖线有关的方程解决问题。 那么这种做法呢，其实也是没毛病的，但是呢，实际做题的时候啊，你这个题通常不会这么玩。为啥？你有没有发现，这样去设点坐标的话，因为表达式很恶心，所以呢，你全程得带着这个恶心的坐标表达式去计算， 所以呢，理论上能用，可是我一看他比较麻烦，我就不想用了。那么最后呢，大家应该建立的一个意识就是，我其实可以先一二三，也可以先三再二再一，那么具体怎么做呢， 你就怎么容易怎么来，你觉得这道题怎么算简单怎么来就可以了。这次呢，他已知了 b 点坐标是一零 a 点在正比例函数上， 然后接下来呢，他用 c d 又做了一个等腰直角 c d 坐标都不知道啊，然后呢，直角顶点 e， 他 在这个 正比例函数上，现在呢，他让你去求这个点 d 的 坐标。这道题其实跟上一道题非常类似啊， 你看啊，他给了你一个等边三角形，一个等腰直角三角形，让你去求点 d 的 坐标，那么点 d 呢，肯定要用上这个等腰直角三角形，但是呢，你会发现，这个等腰直角三角形呢，边长全都不知道，点坐标也全都不知道， 那么你凭空直接去算点 d 呢？你肯定也搞不定。所以呢，那我继续往前看，还有什么条件？前面又有一个等边三角形，那你发现等边三角形里面 b 点知道 a 点在这个正比例函数上， 那么它里面的条件比较多，很大概率能求解一些东西。那如果我能求出 c 点坐标， 那我是不是就有办法继续完成 d 的 相关计算？所以呢，这道题呢，你会发现，这两个等腰三角形呢，肯定都有用，都得用起来。那么怎么用呢？它呢？又是两个底边在 x 轴上的等腰嘛， 它的等量呢？圈等于圈，等于圈是斜的，这个等腰直角的等量勾等于勾也是斜的，那么这就很难用了，所以我还是想着要去做 三线合一。所以呢，过 a 做三线合一，过 e 也做三线合一。那么做完这个三线合一以后呢，我一个一个看嘛，那这两个三角形我肯定先看哪个呀？这边虽然有所求，但是啥都不知道啊，除了表达式，其他都不知道，所以我这时候是不是肯定先看前面的，他有已知点， 那么这时候前面怎么算呢？还是一样的，有了这些横竖线的等量，那么你会发现，这里面我就可以把线段去设一下了。 比如说，我设这两节小线段呢，是 m， 那 么你会发现边长就是二 m， 那 么它的高呢？勾股定力就能解出来是根三 m。 我 就通过做三线合一，找到了横竖线段之间的关系，而且还顺手设了未知数，而设了这些字母，谁就可以表示了。有了这些横竖线，横竖线就能得点坐标， 所以呢，点 a 的 坐标就可以表示了，等于多少呀？他的坐标呢，其实就是一个 m 加一，逗号根三 m， 我 利用横竖线就表示了点坐标，而各位点坐标有了，我怎么去求减呢？发现他在一个已知的函数上，所以可以带入，那么带进去呢，肯定能减根三 m 加一， 那这个呢，还是一样的，解的时候先去把根三约掉，那么这个方程就很简单了， m 等于二分之一， m 加二分之一，得到 m 等于一， m 等于一。很好呀， m 等于一呢，就相当于是前面的这几个小线段全知道了， 这些线段是一就都知道了，那么当他们都有了以后呢？你后面这个点 d， 哎，他就在一个已知点 c 的 三角形里了， 那么我就可以继续在它里面操作，而它里面的等量呢，咱们前面说过，就是这三个货呢，能正出相等，但是呢，长度还是不知道，所以怎么用呢？跟前面一样吗？有等量关系，你就设呗。 那么这时候我就可以设这三个小线段呢，都等于 n， 又设出了横竖线的长度。有了横竖线可以表示什么？表示点坐标， 我的点 e 坐标，点 d 坐标呢，就都能表示了啊，咱们先表示一下所求吧。所求呢，其实就是二 n 加了一个三，逗号零，我只要解除 n， 问题就结束了。 而与此同时呢，点 e 呢，是在已知的函数上的，算是一个有条件的点，我也表示一下，他的横坐标是啥，是不是这个 n 加上前面三个一 三加 n， 然后呢，纵坐标呢？纵坐标呢，是个负 n， 好 了，现在我要去求 n 的 值，怎么求？是不是还是点在函数上？我就代入这次的方程就很简单了，负 n 呢，等于负二分之一倍的三加 n， 稍微化简一下啊，符号，符号约掉，那么你回完这个呢，就很容易解出来了啊，解出 n 的 值呢，就等于一个三，哎，于是点 d 的 坐标 前面三个一，这是三，这也是三九零就搞定了，来复盘一下。整个解析过程中我们在做什么？首先呢，还是看到了两个有横竖线的三角形，简称等值 等边三角形，简称等边，看到等值等边底是横竖线。想到了做什么呢？ 想到了去做三线合一，目的呢，就是画斜为止，这是第一步。然后呢，再接下来我点 a， 这里画斜为止以后，设了横竖线的长度，那么我就可以利用这个横竖线 去表示点的坐标，这是第二步，设横竖线表示点坐标，包括在这里也是一样的道理，设横竖线表示点坐标，而在接下来你有了点坐标，那么点呢， 就可以带入到函数中列方程了，玩的还是这三个逻辑啊，做三线合一是为了画斜为止，画完横竖线以后，横竖线的等量以设表示了点坐标， 有了点坐标以后，点在函数上代入就裂方程了。有的朋友说道呢，说这这个等腰直角呢，也可以利用一线三垂直啊，没毛病啊，没毛病。不过呢，我稍微在这说一句啊，就是咱们刚刚说的是做三线合一， 做三线合一，其实这个三线合一呢，对于这种有横竖边的等值，其实也就相当于你构造了个内三垂直，你看啊，我给大家演示一下，为啥， 比如说在这幅图里面，你要构造内三垂直，其实就是往过直角顶点的这个线上放了两个垂直，那么在这呢，其实也是一样的道理，右边这个三角形 在这往这个三线合一上放了个垂直，左边这个三角形也相当于往三线合一上做了一个垂直。 所以呢，这两幅图其实本质是一样的，你把这个等腰直角三角形转正了，得到的就是这幅图了。但是呢，在这种有横竖底边的等值里面， 你做三线合一呢，会比你做三垂直呢稍微好用一点啊，不信你看啊，你看啊，做三线合一呢，你直接一做这三个圈就相等了。 而你如果去做三垂直呢，操作会麻烦一点点啊。如果你去做的是外三垂直，那么你会发现，做横线做垂线，你能得到的是这两个三角形全等。 那么同时呢，因为四十五度，四十五度，你这是横线，下面也是横线平行四十五度，四十五度，你最终得到的其实是这两个圈相等，全等过来，这两个圈也相等，其实本质跟前面的等量是一样的，但是图会复杂一点， 所以呢，这种有横竖底边的等值，你还是稍微区分一下，能省点事。咱们主要是在讲有横竖边的等腰三角形，你这种等腰三角形的，直接做三线合一就能画斜位置。但是呢，有的时候你会发现，这些等腰三角形呢，它就是斜着的， 比如说，我现在给你一个等腰直角，三条边都是斜线，那么斜线的等量还是不好用嘛，所以这时候呢，我还是要想着去画斜位置，还是要想着去画斜位置， 那这个等腰直角三角形这么放，我要怎么化解为止呢？这次呢，就真的要用到刚刚说的三垂直模型了，怎么来呢？你看哈这里呢，我过直角顶点做个什么线呀？过直角顶点去做个横线，然后呢过四十五度顶点去做个竖线， 那么这时候呢，你一定能够证明这里面的角是互余的， beta 跟这个角也互余， alpha 跟这个角也互余，通过导互余这些角就 alpha 等于 alpha， beta 等于 beta 了。那么这时候呢，两个三角形斜边相等，一号和二号直接全等， 这个图形呢叫做三垂直模型。那么在坐标系中呢，你看到这种斜着的等值， 那么你一定要有一个构造三垂直的意识，因为你构造出这样的横竖线的三垂直以后，这是平行 x 轴的啊，这个是平行 y 轴的， 你构造出这样的三垂直以后，你就可以把原本斜着的圈等于圈给它转化成横竖线的等量。咱们来看一下，原本是圈等于圈，但是有了全等以后， 全等是不是就带来了这个蓝竖线等于这个蓝横线，同时呢还能得到这个绿色的横线， 这个绿色的横线等于这个绿色的竖线。我就把原本的圈等于圈，这是斜着的等量转化成了绿的等于绿的，蓝的等于蓝的。得到两组横竖线的等量， 其实也是一个化写为值的效果。那么为什么化写为值？再说一次， 你会发现这些横竖线都很容易用坐标表示，或者反过来，你利用它们很容易表示出新的点坐标，很能够便于我进行点和线的相互转化。所以 坐标系里面等直斜放，要勾三垂直，注意什么呢？用横竖线构造，这里呢，咱们稍微练习一下这个图形的构造， 他比前面这俩呢，能稍微复杂一点点啊，但是也有限。比如说，我现在告诉你， abc 是 个等腰直角，我想要构造三垂直嘛，等直斜放，我想要构造三垂直，我应该怎么做？理解一下这个逻辑啊，就是 我要找横竖线勾三垂直，所以呢，我就可以过 b 先做一条竖线，过 b 做了竖线以后呢，再过四十五度点， 向这个竖线做垂直，我就得到了一个由横竖线构成的三垂直，全等了。所以呢，这个常规的做法就是过直角顶点做竖线，做横线，再做垂直。好，那么这是一个啊，类似的，后面这个，这个怎么做呢？ 很简单，你就过直角顶点 d 先做一个什么线，先做一个横线，对吧？这叫过直角顶点，过直角顶点做横竖线，做完了以后，过 e 做垂直， 过 f 做垂直，我就把原本的斜着的等量转化成了横竖线，圈等于圈，横竖线勾等于勾， 就起到了一个化邪为直的作用，来对于坐标系里面怎么构造这个三垂直，明白了，打个六这道题呢，给了绿三角形是个等腰直角，然后接下来呢，他说有一个已知的一次函数， 他让这个绿色的等腰直角呢，向右平移，平移的过程中呢， a 点正好落在了这个直线上， 现在问你平移了几个单位？那么这种题呢，你会发现呢，你的 a 撇呢，其实是没有画出来的，那所以这里面呢，咱们肯定得有画图，但是我想问一下大家，觉得这个三角形平移 平移到 a 点，落在了已知直线上，那我是需要把整个等腰直角三角形平移的图都画出来呢？还是只画 a 撇就行了？为啥呢？ 他说 a 向右平移，得到 a 撇，你会发现，整个平移的过程中，只有 a 和 a 撇是有一致信息的，所以呢，其他点你都可以不画，你就只画 a a 撇就行了。 而 a 撇画出来以后呢，他让求平移距离，整个三角形平移，其实就是 a 平移了多少吗？ 整个三角形平移多少就是 a 平移了多少嘛。所以呢，你只要求这个线段就行了，不需要画完整的三角形。当然了，你说你画出来有错没？肯定没错，只是 不必要啊，你省点事。这道题呢，就是已知了一个依次函数，已知了一个等腰直角三角形，现在呢，把它向右平移， a 落在了直线上， 问你平移距离，那就是问你 a a 撇的长度，那么我要求一个长度的话，那肯定得关注一下啥呀，关注他的两个短点嘛。那你得看看 a 撇 a 能不能求，那么 a 撇呢，是在已知函数上， 但是呢，这时候 a 撇呢，除了已知函数，啥也不知道，所以呢，直接求 a 撇不太靠谱。那我继续看呢，我是不是看看 a a 呢？一个是知道平移的条件，还有一个知道啥呀？还有一个，就知道这个等腰直角。那你想嘛，这个等腰直角是不是铁定是有用的？ 更何况呢，它里面还包含了两个已知点，一个是 b， 一个是 o， 所以 这个等值一定得用起来，而它是个斜放的等值要想做什么了？斜放的等值咱们刚刚才强调过吗？等值，斜放，你是不是要想着去构造 三垂直，而且要用什么线啊？用横竖线，所以这里怎么构造过直角顶点 b 直接做一条竖线，然后呢，你再往这个竖线上做垂直， 那么你会发现下面呢，不用你做了， x 轴就是这个垂线上面的话，你只要延长一下 a a 撇，因为 a a 撇是水平的嘛， 延长一下垂直也就出来了。于是呢，我就可以得到这两个小直角三角形是全等的。好，当你有了这组全等以后啊，全等能带来啥呢？它带来的就是这里的横竖线的等量关系。 那你就想嘛，有横竖线的等量，那是不是就看一看横竖线的长度知不知道？点 b 坐标知道吗？点 o 坐标也知道吗？那么他俩之间的横竖线呢，一定是能求的， 这个竖线就是一，这个横线就是三，哎，我就有点坐标表示出了横竖线的长度，而这个横竖线是有等量的，哎，所以呢，我就得到了这两个的长度是一和三。好了，这时候你会发现什么？得到了，是不是咱们 a 点的坐标可以算出来了？怎么算呢？ 这里面最简单的算法呢，就是用平移你这个点， b 往上走三个单位，往右走一个单位，就得到了 a 点，所以呢， a 点坐标呢，就是 b 点纵坐标加三 等于四， b 点横坐标加一等于负二，所以 a 点坐标是负二四就出来了。那这里呢，就是利用三垂直带来的横竖线等量， 我进行了点到线，线到点的转化， a 点坐标就有，那么三垂直这部分处理完了以后呢？来，那这时候咱们再看，我要求 a a 撇 a 点知道了， 那我要求平移距离的话，是不是只要求出 a 撇就行了？那 a 撇什么？知道纵坐标已知了吗？横线纵坐标是相同的，纵坐标已知，怎么得横坐标呢？也很简单，直接代入嘛， 带入以后呢，四等于负 x 加五 x 等于一，我就解出来了，哎，于是平移距离是个几啊？ 平移距离就是个一减负二等于三。结束了，好，这个题说完了啊，复盘一下，这个题呢，第一个核心的操作就是这个等值斜放， 等值斜放呢，一定要想着构造三垂直，给它转化成横竖线，那么转化成横竖线以后呢？第二步呢，咱们其实又在进行那个点和线的相互转化，那么这次呢，是点到线，线到点都有用， 首先是已知 b 点 o 点，那么我就表示出了全等里面的一和三，这个呢，是用右减，左上减下，总之你只要有点能得现的意识就行了。那么有了这些横竖线以后呢，反过来，我又需要点 a 的 坐标，所以呢，我利用横竖线 通过平移又得到了新的点 a 坐标，这是他的第二个环节。而得到点 a 坐标以后呢，你最后求平移量，其实就是求 a 撇坐标了，怎么求呢？ 你会发现点在函数上，点在函数上呢，你要注意一个带。那么你看啊，其实这道题呢， 他的基本思路跟上一个题是非常相似的啊，你看题完全不一样，甚至有的题给的是等边，这道题给的是等值，前面等值等边都是横竖线的，那么后面这个全都是斜线的，但是呢，他们的内核其实是一致的，首先呢，都是通过做某些辅助线， 把这个图形的等量转化成横竖线的等量，第一步呢，都是在画斜位置，画斜位置完了以后呢，你会发现，有了横竖线，我就可以进行点和线的相互转化， 那么点能得到已知线，线能得到更多的已知点。而有了这些点以后，哎，我就可以考虑点和函数的关联，比如说代入问题就解决了。这次呢，是给了一个正方形已知 a 点，坐标已知 b 在 这个一次函数上，然后呢，他说平移正方形向左平移 m 个单位， c 点落在了这个已知的直线上。各位有了前一题的经验， 这个题我肯定还是得画图吧，那么我只需要画谁就行了，是不只需要画 c 的 对应点就可以了，对吧？所以上来果断的就过 c 做个小横线，你要求的其实就是这个 c， c 撇的长度就是 m 的 值。好了， 那么接下来具体怎么求 m 的 值？各位，给你一个正方形，其实就是给了若干个什么三角形，正方形相当于若干个什么三角形， 是不是相当于若干个等腰直角三角形？来吧，亲人们，这个题跟上个题真的是太像了， 就是稍微加了一点点复杂度。那么一块看一下啊，正方形就知道个点， a， d 在 y 轴上， b 在 直线， y 等于这个上。 现在呢，他说 c 平移得到 c 撇，问你平移量 m 的 值，那么这道题呢，核心思路刚刚说过了，你一看见正方形，你就要有一个意识， 它就相当于若干个等腰直角三角形，所以呢，你对三垂之熟悉了以后，看到这幅图呢，很容易就会往构造三垂之上想， 但是实际做的时候会有一个小问题，就他比直接给等值会麻烦一点，原因是啥呢？原因就是给的等值实在太多了，选择太多有时候是一种困扰啊，就是有的小伙伴可能想不明白这里该用哪个来构造好，那么这里我们来看啊， 你想要求这个 c c 撇的长度， c 撇不能直接得，我只能考虑求 c， 而求 c 的 话，你要构造三垂直，你会发现这个 c c 撇其实已经是三垂直的一部分了，我只要把 c c 撇延长出去，那么这两个小三角形就已经全得。 所以呢，我觉得用 c 这块构造三垂直应该是很好想，因为要跟所求联系吗？那么这一延长三垂直很容易出，那么这个三垂直出了以后呢，你会发现，哎，我是有了一些等量了，有点坐标能得到这个线，全等能得到这个线，但是 还是求不了 m 的 值，所以呢，说明只在这做呢，是不够的。那不够的话，那我看看还有什么条件吗？那么你会发现题目呢，其实还提到了点 b， 他 说点 b 呢，也是在这个已知的函数上的 b， 这呢也有条件，那我要怎么去用上 b 呢？哎，那我就还是一样的嘛， b 是 正方形的顶点，其实就是等腰直角的顶点，所以怎么办？同样构造三垂直背， 那你看，这已经有一了，已经这有个垂直了，那你怎么够最好呀？过臂往下做垂线吗？那这时候就又得到了这两个阴影，三角形也全等，那这次呢，我看还能不能求？ 因为很好求，这是一，因为全等，所以这个就是一。这个一是 b 点的什么呀？有了这个横竖线，你会发现，其实就是 b 点的纵坐标呀。有了纵坐标，那我就代入嘛， 带入了以后呢，就得到了一等于负 x 加五，所以等于四就出来了。 哎，你看，这里面其实就是有横竖线，得了点坐标，点坐标带入得到了新的已知信息，得到了新的点坐标四。 而各位有了新的点坐标，又可以得什么了？得横竖线的长度嘛？这个是四的话呢，四减一，这个就是三。 我用已知点算出了横竖线，而这个横竖线有了以后，这个等于三，我就知道了。再进一步的，他俩全等，上面这角等于三，我也就知道了。你会发现，求了 b 以后，途中瞬间多了很多已知线段，而这些已知线段有了以后，都是横竖线吗？ 我是不是又可以去表示点坐标了？那一会点 c 坐标呢？直接就写出来了，是个三斗四纵坐标，就这节线段嘛，三斗四。而接下来各位求 m 的 值，只差求谁了？是不是只差求一个 c 圈的坐标了？ 好了，那么请问 c 撇我知道什么？现在呢？纵坐标等于四，知道了吗？怎么求横坐标呀？再带一次呗。函数表达是一致吗？你再去带一次，那这次呢，就得到了四等于负 x 加五， x 等于一。 好了，横左边是一，这个横左边是三，右减左等于二，就结束了。那么这就是这道题啊。其实回过头来审视一下啊，你会发现，这道题跟咱们前面那道题的核心思路是完全一致的， 只不过呢，他比那道题麻烦复杂了一丢丢。首先一个点呢，就是看到正方形，你要有意识，它其实代表的就是等腰直角三角形。所以呢，图中相当于有若干个等值，我可以想着构造三垂直， 然后第二个呢，就是这么多个等腰直角，我怎么选？其实选择的原则也很简单，你去选择等腰直角的时候，哎，那你就看看你的已知，你的所求分别是哪些？那么你围绕已知所求去构造，很容易找到思路。 而这个题后续的操作其实就是构造三垂直得线段长，求点坐标就完了。只不过呢， 他呢，是把这个过程呢去走了两遍玩的还是点到线和线到点的相互转化。这道题呢，就是已知了 abbc 垂直又相等 b 点，在一个已知的一次函数上， a 点是个已知点。 现在呢，他让你去求这个 c 点的坐标，其他的条件我就不赘述了。这核心的条件就是给了一个相等又垂直，其实还是一个等值。 而且这个等值的话，不光直角边，他的斜边呢，也是斜线，所以呢，又是一个等直斜放。看到等直斜放要干什么呀？你肯定得化邪为直去构造 三垂直。前面构造过那么多次了，这次怎么构呀？逻辑是一样的吗？我肯定要用横竖线去构造， 所以就是过臂做横线，然后呢，再做垂直，我就得到这两个三角形全等，进而呢，就得到了图中的一系列等量。比方说，这个红线和这个红线相等，这个蓝线和这个蓝线相等， 相当于把斜着的绿线相等，转化成了横竖线，红蓝相等啊，红等于红，蓝等于蓝。好，那么这一步做完了以后呢，我得到了这一系列的等量，那么我们来看一下题目，让求什么呢？ 题目呢，让我去求一个点 c 的 坐标。那么这里呢，你会发现等量是有的，但是呢，点 c 的 坐标依然不能直接得， 所以这时候呢，已经有小伙伴会想到一个字，就是射，他说，你既然是求点 c 坐标，那我不妨就射 c 的 坐标嘛，比如说我就可以射 c， 点的坐标呢，是一个 m 逗号零， 但是你会发现，这样射完了以后，你能不能算，或者说的直白一点，想要计算的话，你得用上这些红蓝线段相等呀，那你会发现，红蓝线段的长度能不能表示他其实是表示不了的，所以呢，这里面呢，你会发现，你求 c 直接射 c 其实就不好使， 为什么呢？因为你会发现，在三垂直里面，你一定要用上这些横竖小线段， 而这些横竖小线段一定需要有哪个点的坐标才好表示，你看，一定需要这个等腰直角三角形的哪个点的坐标线段才好表示， 是不是中间连接的这个等值的直角顶点一定得用上。所以你这里会发现，你 c 是 不知道是要求，但是设它的话表示不了线段，而我的点 b 它是有条件的，它在已知的函数上， 点 b 在 已知的函数上，而且它还是等值的连接点，所以我可以设谁啊？可以设这里的 b。 来，咱们来尝试一下，比如说点 b 横坐标是个 t， 纵坐标呢就是二 t 减去个四， 哎，你会发现，只要有了这个点， b 的 坐标，这个图形中的一系列长度都能表示了，比如说 b j 这个横线就是 t， 比如说 a j 这条竖线呢，就是一个二 t 减四，纵坐标的差吗？上减下二， t 减四，再减三，是个二 t 减七。而右边的话呢， c 点虽然不知道，但是这个竖线是二 t 减四已经有。 各位，虽然还有个线段长度不知道，但是呢，好像已经不需要了，我发现这两个蓝线的长度已经表示出来了， 所以呢，我是不是直接得方程了， t 就 等于二 t 减去四，哎，于是呢，得到了 t 的 值，就等于一个四，哎，各位， t 的 值我已经解出来了，那点 b 的 坐标不是就有了吗？ 四带进去，八减四，它的坐标直接就是一个四，四这个坐标有了以后，那就随便求了， 这是四，然后呢，二四得八，八减七，这是一，那么这角线呢，也是一，这个是一，这个呢，刚刚算出来是个等于 t 的 等于四的。 那你的这个 c 点坐标不是随便搞了吗？他其实就相当于 b 点往右走了一个单位吗？然后落在 x 轴上了吗？所以 c 点坐标直接就是一个五到零结束了。好了，这就是这道题啊， 其实思路要点，辅助线的做法依然是等值斜放构造，三垂直，构造完三垂直以后呢，我依然是要去关注这个图形中点和横竖线的相互转化，只不过这次有一点区别， 就是前面的三垂直点坐标都能直接得横竖线直接进行这个循环，帮我解决问题。但是这道题呢，不行了， 因为缺了一个关键的点点 b， 所以呢，线段长表示不了，那怎么办呢？也很简单，我就把它设出来就好了，所以呢，这样呢，多了一个设点的操作。 另外呢，提醒大家注意啊，在三垂直的题中设点的时候，哪个点其实是重点要关注的，在三垂直的题目中， 把这个强调一下啊，在三垂直的题目中啊，你要去设点的话，这个直角顶点一定是要优先考虑的，因为没有这个直角顶点，没有等腰直角的这个连接的直角顶点， 你就啥都表示不了，所以呢，这个点是关键，如果不知道的话，咱们一般会先设来，咱们总结一下啊，今天的题目就讲完了，今天呢，咱们讲了哪些技能呢？一个一个说吧，我就按顺序从前往后说了啊， 第一个技能呢，是不是讲了一个点和横竖线的相互转化，点和横竖线的相互转化，已知了点坐标，我就可以上减下右减左得线段， 反过来已知了横竖线，我就可以表示出点的坐标。所以呢，这两个的相互转化是咱们解析过程中的一个核心， 函数几何综合题呢，大多数时候都在玩这两个货。然后呢，再接下来第二个呢，咱们讲到了一些特殊图形，他等量的处理思路，比如说给你一个等边或者等腰直角，如果呢，他是底边为函数线的， 那么你可以考虑去做什么呀？做他的三线合一， 这个三线合一的目的是把斜着的等量转化成横竖线的等量。然后呢，再来，比如说你看到的那种三条边全都是斜线的等腰直角三角形， 那么这时候应该干什么呀？三条边都是斜线，等直斜放，要想啥呀？等直斜放，你要想到去构造三垂直， 而且各位，这个三垂直一定要用什么线来构造呀？一定要用横竖线来构，因为你的目的就是画斜位置。在咱们今天的课里面，其实这两个的共同的目的呢，都是一样的， 就是为了画斜位置，然后呢，接下来呢，有一些小细节我来补充一下啊。先说一个跟刚刚三垂直有关的点，就是三垂直构造出来以后啊， 咱们是肯定要去玩那些横竖线的长度的，那么横竖线的长度呢，其实是借助这个相互转化来得到的， 但是如果三垂这里面未知的点太多，你会发现这个横竖线表示不了， 那么这时候要注意射，对吧？那么在这个三锤这里面射的时候，优先射什么呢？射那个等值的直角顶点，他是个连接点，没他你啥都表示不了，所以一般呢，会选择射等值的直角顶点。这个你下去做上两道题，你品一品 这个规律就发现了，只是我在这呢把它直接摘出来了，那么大家呢，不要去死记，你自己操作上几道题理解一下，自己也能总结出这个规律。然后呢，除此之外呢，这节课还反复用到了一个操作， 就是已知了函数表达式，已知了函数表达式我可以干什么？我是不是可以往里面去带点？ 我可以把点带到函数表达式里面去列方程。那么还可以干啥呢？ 像刚刚的最后一道题，咱们还可以反过来利用函数去设出点坐标啊，设出点坐标，这是点和函数的一个基本的转换，那么这些梳理完了以后呢，其实最后大家去看一看啊，这些内容呢，他们就可以分成三个板块啊， 一个板块是点和线的相互转化，点和线的相互转化，其实相当于建立起了函数和图形的关联， 点跟函数能联系上，图形跟横竖线能联系上，所以点和横竖线的转化，其实是建立了图形和函数的联系，然后呢，在这个里面， 点和函数的转化呢，就是待和舍这个基本的想法。而咱们做的含积综合题，其实大多数时候区别在哪呢？不同的题区别在哪呢？你会发现这两种不同的题，它区别其实就是 你找等量的方式不一样，你的等值等边底边是横竖线，直接做三线合一，就化写为直了，等量就用起来了， 而你的等值斜放，那这时候你换一种找等量的方式，要勾三垂直，那么你就能用上它的等量了。 所以呢，函数综合题在变化，变的主要是图形的处理，图形处理搞定以后呢，剩下的点和线怎么玩，就是常规思路，点和函数怎么转化也是常规的思路。

我们再来看一下第二十二题，是求一次函数解析式和面积结合的一道大题，考察的综合性比较强，并且我们要注意分类讨论。那他说如图，一次函数 y 一 等于二， x 减二的图像与 y 轴交于点 a， 函数 y 二的图像与 y 轴交于点 b 是 零六，那点 c 是 两函数图像的交点，且点 c 的 横坐标为二。第一问，让我们求一次函数 y 二的函数解析式， 那我们要求 y 二的函数解析式，可以看出来点 b 和点 c 都在函数上，所以说我们把两点的坐标代入，就可以求出 y 二来。前提点 b 是 知道的，那我们要求点 c， 求点 c 的 坐标，我们就要把点 c 的 横坐标，也就是 x 等于二，代入 y 一 的关系式中，把 y 一 给求出来，也就是把点 c 的 纵坐标求出来。 我们来看第一问，因为 y 一 等于二， x 减二，当 x 等于二时， y 一 等于二，乘二减二，最后等于二，所以说点 c 的 横坐标，所以说点 c 的 坐标我们就知道了，那点 c 的 坐标就是二二， 因为 y 二它没有过圆点，所以说我们就可以设 y 二的函数解析式为 k， x 加 b， 那 此时我们就将 b 零六， c 二二代入 解析式中，就可以得到，零加 b 等于六二， k 加 b 等于二，那我们就可以把 k 值和 b 值解出来， 解得 b 是 等于六的， k 是 等于负二，所以此时 y 二它的函数关系式就出来了，就 y 二就等于 负二， x 加上六。我们再来看下第二个，第二个他说要求三角形 abc 的 面积，求三角形 abc 的 面积，我们还差点 a， 不知道那点 a 是 在外一上的，并且点一在外轴上，那我们就可以写，当 x 等于零的时候，我们把这个外一求出来，把外一求出来，就是点 a 的 一个纵坐标，那我们点 a 就 求出来了。此时 ab 也就知道了那三角形 abc， 它的面积，底边就是 ab， 高就是 c 到外轴的距离。 第二问，因为 y 一 等于二， x 减二与 y 轴交于点 a， 所以 我们当 x 等于零的时候， y 一 等于负二，所以此时 a 的 坐标就是零。负二，因为点 b 是 零六，点 c 是 二二，所以 s 三角形 abc 就 等于二分之一乘上 ab 的 距离就是八， c 到 y 轴的距离就是二。所以说最后解出来 s 三角形 abc， 也就是八，那我们再来看一下。第三问，他说在坐标轴上是否存在一点 p， 使得 s 三角形 a、 c， p 等于二倍的 s 三角形 abc？ 如果存在的话，让我们写出点 p 的 坐标，那他肯定是存在的。 首先我们第二问，求出来了，三角形 a、 b、 c， 它的面积是八，那三角形 a、 c、 p 的 面积就应该是二乘八，等于十六。但是它只是告诉我们点 p 在 坐标轴上，并没有告诉我们是在 x 轴还是外轴上，所以此时我们要进行分类讨论。当点 b 在 外轴上时，当点 b 在 x 轴上时，所以说第三问，第一种情况， 当点 p 在 外轴上时， s 三角形 a、 c， p 等于二倍的 s 三角形 a、 b、 c 等于二乘八，等于十六。 那此时点 p 我 们如果是在外轴上的话，三角形 a、 c、 p， 它的底边就是 a， p 的 距离，高就是 c 到外轴的距离。所以说我们此时可以写 s 三角形 a， c， p 等于二分之一，乘 c 到外轴的 距离是二，再乘上底边，也就是 a p 的 距离，这个时候等于十六，所以说 a p， 它的距离是十六。它此时有两种情况，就是当点 p 在 点 a 的 上方时，当点 p 在 点 a 的 下方时，所以说这个时候 p 点有两种情况， 因为 a 是 零负二，所以说此时点 p 就 已经有两种情况了。我们再去看第二种情况，在 x 轴上时，当点 p 在 x 轴上时，三角形 a， c， p， 我 们可以看出来它并不是一个规则的，所以说我们可以分成两部分，我们需要把外一 这个函数与 x 轴的交点，我们可以设为点 d， 那 此时三角形 a， c， p， 我 们就分成了三角形 c， p 的 加上三角形 a， d， p， 它的面积，那三角形 d， p， c， 它的面积就是点 c 到 x 轴，它的距离乘上二分之一，乘上 d， p 的 距离，那三角形 a， d， p 就 它的高，就是 a 到 x 轴的距离，它的底边就是 d p 的 距离。我们可以显示哦， y e 啊，它与 x 轴交于点的，当 y e 等于零时， 也就是二 x 减二等于零，我们求出来 x 等于一，所以说 d 的 坐标是一零。而此时 s 三角形 a， c， p 就 等于 s 三角形 c， p 的 加上 s 三角形 a， d， p 就 等于二分之一，点 c 到 x 轴的距离是二，然后再乘上的 p 的 距离，加上二分之一，乘上点 a 到 x 的 距离就是二， 然后再乘上的屁它的距离，最后化简一下，应该是等于两倍的的屁，最后等于十六，所以说屁它的距离是八， 因为我们求出来点的它的坐标是一零，所以说我们可以分当点屁在点的右边时，当点屁在点的左边时，那在点的右边， 那此时点 p 的 坐标就应该是一加上八，也就是九零，或者是当点 p 在 多点的左边时，那此时就是一减去八，也就是负七零。所以说存在存在点 p p 啊，它的坐标 四种情况，零十四或零负十八，或或九零，或负七零，此时有四种情况。

雄赳赳气昂昂，数学难题正面刚！哈喽，各位同学，今天和大家继续来分享咱们二四到二五年八上期末考试的二十二题 啊，作为最新的考试题目，它的风向一定程度上也代表了咱们这一次期末考试会怎么考啊。我们首先来观察一下 二十二题啊，这里是一个有关一次函数图像的题目，那这种题咱们做过很多次，嗯，同学们呢，对于解析式的求法可以说也是达到了炉火纯青的地步啊，就是速度方面，准确度方面得稍微注意一下，但是大家都会求逻辑都通， 那依然有同学在这道题目上面丢分比较多。我们来说一下题目的细节，当然具体的题老师就不读了，大家没看过题的可以暂停来看一看，试着做一做。 那这道小题呢，第一题让我们直接写出点 b 的 坐标，这 b 点呢，是与 x 轴相交的一个点啊，他在 x 轴上代表的实际含义呢？就是二十分钟的时候，杨洋刚从小区门口乘地铁出发， 那么这个 b 点表示的坐标呢，就应该是二十到零，这个细节大家注意。那接下来呢，让我们写出啊，让我们求出现段 o、 a、 b、 c 的 函数表达，是同志们呀， 来，把线段两个字圈住。那老师，这玩意有啥好圈的是线段，而绝非直线，这两个东西有啥区别呢？就是 x 的 范围。很多同学当年这个题为什么扣分，没有看清楚线段两个字，我就要惩罚你，我就要给你扣分，判卷标准就是如此 啊，所以必须得把自变量的范围写出来，这才能表示是一条线段呀，不然没有范围，那不就是 在所有的实数范围内都可以成立吗？那就变成直线了，同志们，所以大家小心啊，那么老师就直接写了， o a 是 一个正比例函数，它的函数解析式我们可以快速求出来，等于五分之二 x。 那 那么这个时候呢，大家注意啊，我们也是把范围写上 o a 嘛，所以括号 x 大 于等于零小于等于五十五分钟之内把范围写上。 那么同样道理啊，我们也能通过两点求解析式的方法求出 b、 c 段的解析式呢，这个非常好算啊， y 就 应该等于，能看出来，斜率应该是一 y 就 等于 x， 嗯，减二十，那么这个范围你也得写清楚， x 要大于等于二十，小于等于 四十，这个范围一定要写清楚啊，同志们。当然，大家自己在求的过程当中，就按照我们课上讲过的知两点设解，其是带入求二元一次方程组的方法去求出对应的 k 和 b 来啊。这个具体的老师就不多说了， 那么接下来到了第二小题，他问的是什么呢？氧氧换成自行车的时候，说的是哪个点呢？点 c， 这个时候呀，时间已经过去了四十分钟，他问的是静静所乘坐的公交车离演艺中心还有多少路程，那我们解析是已经求出来了，假设老师把这个点记为点地，同志们，我们能不能求出静静，此时 啊，他走了多少路程呢？直接带进去啊，具体小区多少路程，我们直接带到第一个式子里啊，令 x 等于四十啊，那很很容易算啊，五分之二 x， 那 就等于五分之二乘以四十，快速算出来应该是一个十六千米， 好到演绎中心呀，一共是二十二千米了，还差多少的路呢？来减一下六千米搞定 啊！所以静静所乘的公交车距离演艺中心的路程还有六千米，这第二小题呢，也轻松搞定了。接下来第三小题，问，在从哪开始呢？从洋洋出发后，读题，读仔细了，也就说二十分钟。往后再说 到演艺中心的途中，离开小区的路程相差为一米。我跟大家说过，这道题是不最喜欢考相差一米了，拿出你的手指来跟老师比划一下。同志们，来，相差一米路程相差一米，在这里是横线还是竖线？很明显应该是竖线， 那我们来大胆猜测一下，可能在相遇之前，相遇之后，以及改变运动方式啊，改变他的这个交通方式以后可能会存在三种情况，那我们接下来就是得边做边算了啊。 好，这位老师呢，就不写特别严谨详细的过程了啊，我们直接来说。那么第一种情况呢，就应该是用 o a 段的函数解析式，五分之二， x 减去 b c 段的函数解析式，是 x 减二十的差，结果相差是一，那这个我们给大家来亲自算一算， 减一下是负的五分之三， x 加二十等于一，那也就等于一减二十变成五分之三， x 等于十九，那 x 就 等于十九乘以三分之五，也就是三分之九十五 啊！这是第一个答案，很抽象，但是没招同学们啊，就这答案。那么第二种的话呢，非常简单了，就是 这个 b c 段呢？这个点啊， b c 段跑到了 o a 段的上头，所以反过来就应该用 x 减二十的叉减去五分之二 x 相差等于一。和前一种情况应该是这种互为相反数的感觉啊，等号的左边， 那么这就好算了，五分之三 x 减二十等于一，那就等于二十加一，也就是五分之三 x 等于二十一， x 等于二十一乘以三分之五，那就是三十五。搞定。 哎，紧接着再往后还有种情况，那你得把 a c 段的解析式得稍微求出来了啊。这个题上的话呢，也说了，让我们直接写出，所以求 a c 段解析式的过程呢，我们就不需要去把它写在答题卡上，直接去求， 很容易能发现啊。两个点，四十到二十和五十五到二十二，那可以快速看出或者求出来。先说斜率， 十五分钟的时间之内走了两千米，那斜率其实就是十五分之二 x， 再随便找个点带进去。哎，应该能够算出来，同学们，十五分之二 x 加上一个三分之四十四 啊。你比如说，你把一个点带进去试一试，我把五十五到二十二带进去，当 x 等于五十五的时候呢，你要快速计算，同学们，十五和五十五是不可以各约掉一个五，变成三分之二乘以十一，那就是三分之二十二，加上三分之四十四，刚好是三分之六十六，等于二十二。 大家计算能力要跟上啊，好多同学，我发现呢，这个计算能力相对来说有点弱了啊，有点偏弱了。 好，解析式有了。我们说这相当于 a c 段的解析式，要减去 o a 段的，那就变成十五分之二 x 加上三分之四十四，再减去五分之二 x， 相差为一， 这个怎么算呢？也很简单，同志们啊，这十五分之二减去十五分之六，等于负的十五分之四 x。 哎，一减去三分之四十四啊，移到右边变成减号了，那就是负的十五分之四 x 等于负的三分之 四十一 x 就 等于三分之四十一乘以四分之十五。好，三和五啊，十五这么一约，分子上呢，还剩下一个五，最后的结果就是，四分之四十一乘以五二百零五 计算。计算到头来，发现，知识点都会了，方法都会了，套路都会了， 该做的还是我们的动手能力、计算能力和画图能力也得同步跟上。同学们啊，它很基础，但是并不代表很简单，还是得大家多多付出，多多努力。 ok， 这道小题你听懂了吗？

外部的 i、 c 的 变化里面有一个 a， 这个图像一个 x 的 值，它有两个对应的 y 的 值，所以不是这个 y 不是 x 的 函数。嗯， 第二个图像有两个 x 对 应着一个 y， 所以 y 是 x 的 函数。继续 第三个有一个 x 对 应着两个 y， 嗯，所以不是 怎么解释， 我们要回到这里来，这边他说一个 s 等于两个娃，哎， 这边做了一根垂线， x 对 于两个 y， 一个 y， 一个 y， 二，对吧？因为这边做竖线以后，在图像上有两个点对应 y y， y， 一个 x 对 两个 y， 这边是两个 x 对 一个 y， 这个没有事，对吧？嗯，没有事。两个 x 对 一个 y， 这个不是， 这个是一个 x 对 两个 y， 是 吧？一个 x 对 两个 y。 这边的图是图上表达不算太清楚，孩子，对吧？哪地方可以擦掉呢？ 没到，没有。那这个就不显示了，马上啪就显示了。那就研究这个了。这个你往里面走一点， 是不是一个 x 对 两个 y， 对 吧？是不是？好的，那你现在的答案是选谁啊？ 选 b 是 吧？ y 是 x 的 函数，那你的依据是什么？ 一个自变量， x 确定， y 是 唯一确定，对吧？ y 是 唯一确定， 你不能一个 x 对 两个 y， 刚才的 a、 c 和 d 是一个 x 堆两个 y， 对 吧？这个不行，不符合函数定义当中的第三条，那么第一条是有两个变量，第二条 一个变量，所以说另一个变量的变化变化。第三就是其中一个变量确定以后，另一个变量是唯一确定，那么这个唯一确定的变量成为前面这个变量的函数，对吧？ 这个地方考察了函数的概率，清楚了吗？ 这是图像记事的问题。那如果是这样一个表达式，你们的回是不是函数呢？请看黑板， y 的 绝对值 等于 x， 此时 y 是 x 的 函数吗？要看我的问题， y 是 x 的 函数吗？ 老师，举反例， 它不是举反例，当 x 等于 一十， y 等于什么？耶和负耶，对不对？有两个，所以根据这个判断标准，它不是掌握住了吗？ 啊？表达式也可以解释，图像也可以解释它唯一的标准在哪里？请抓一下。第一个问题写清楚了吗？好，我们再继续来调整时间。 qq 学习 不香的时间，你睡什么？ 回去了吗？他跟我们说这是什么函数啊？一次函数，他是一次函数，就回归到他的定义。一次函数， 他的头像是什么形状啊？直线，直线，那直线过两个点，一个点是他还有个焦点，还有个点，这个点的横坐标是六，那这个点的坐标是什么？ 六六零，六零。那根据两点确定一条直线，这个函数表达是一定是可以确定的，对吧？好，那一次既然是一次函数，它长什么样子呢？ y 等于 k， x 加 b 括号， k 不 等于零， b 可以 取一切 实数，对吧？当 b 取零的时候，它就是什么函数啊？正比例函数，它就是正比例函数。那正比例函数，我们说正比例函数是一次函数的什么？ 特例？是他的儿子，正比例函数也是一次函数。好的，那么这个题目回来 已经知道它是一次函数，对吧？求表达式，我们的方法是 待定系数法，可以把它设出来，对不对？设出来，一设 二，找找条件，三得四 代就是列的列表达式，列方程啊。第五，第四节第五是吧？回写好了吗？ 算好了， 找两个条件，两组条件一代入得到方程组，用解方程组求出来， k 等于 b 等于六，所以这个函数表达是 y， y 等于负 x 加六是不是？ 那么这个我们体会了，求函数表达式的其中一种方法是知道这个函数的类型是一次函数，所以我们采用待定系数法，正从这五个步骤肯定能够取出来。好的，就是这样一个问题 来，小朋友，现在我们的题型听好了，题目抄好，好，认真的抄。 火车站托运行李费用 y 与托运行李的重量 x 之间的关系，如图所示，用来图来解释它们的函数关系。 好，涂画画了是吧，你们画画来，我们来解读一下。来了啊，这是中轴，表示的是行李的费用。 横轴表示托运行李的重量。同学们，你看这段线，这段是零，这个是零，对吧？那么这一端是空的，对吧？ 这啥意思啊？免费。哎呦，这个是免费的啦，那么从这个地方开始就开始收费了，对吧？收费了， 那么这个收费是随着重量的变化逐渐增多，对不对？而且是直线型的变化， 说明是均匀变化，对不对？那么这一段的变化，你看这个直线，说明它的变化关系是什么函数啊？有同名的一次函数， 那么跟这两种数据你看得懂吗？来，先把这题目提好， x 等于三十的时候， y 等于二十， x 等于多少的时候， y 等于三十。看出来一下， 下面就好办了。来，小朋友，既然是一次函数，你能确定这条直线的函数表达式吗？这个解析式什么意思？就是表达式的意思。 啥意思？就是直线把你解析出来。原来是个函数表达式解析分析出来的直线啊，它是临时函数， 它的表达式就是直线的解析式啊，会算吗？会知道是什么函数啊？ 为什么是一次函数啊？因为它是直线，所以一次函数的图像是条直线， 两点就可以确定这条直线了。 设 y 等于 k， x 加 e， 然后把这两组的条件带入， 算出来啦， hell。 嗯呐， 那我们的 k 算成几啊？一一 e 呢？负十哦，负十，那就是 y 等于 x 减十算出来啦， 你看这么好啊，现在那么下面开始来打 第三个问题，看你能不能解决这个实际问题。说我们函数表达式已经求出来了， 我们能否利用这个函数表达式结合这个图像的认知， 把我们下面的问题给解决了。免费投币， 免费就是 y 等于零哦， y 等于零， 那么 y 等于零，那么函数表达式就知道了。等于十，对，你看就得到了 x 减十等于零，因此 x 等于十，所以我们知道这个关键的点是几十十吧， 所以可以免费携带，最多可以携带十公斤啊，你两公斤也是免费的，你看一公斤，两公斤，三公斤，四公斤，五公斤，六公斤都不免费，最多可以携带十公斤，对不对？十对不对？只要少于十等于十也可以， 是不是解决问题了？好的，那我们利用一次函数的图像进行表达式，解决了一个实际问题。利用图像 以及表达式解决问题，是吧？看懂了吗？我，我知道这个地方免费啊，是不是？那这个免费，这个免费，最多免费十公斤吧， 最大十公斤了，再往再超过十公斤就收费了，是不是你这爆了，穿了一瓶水，把十一公斤倒霉了，一瓶水拿掉了，对不对？免费。哎， 活着活着，慢慢你就不傻了。来，小朋友，先多一点这个新题型，来，一起大声朗读成人 成人爱真理，尽量服用，当美好的生血液中还要两败涂克，随时间 x 的 变化情况无所适 当地。成年人爱真理，尽量服用后，不要急时，随天而定。当达到美好生活中， 当 n 是 小于零二时，外与原子之间的函数关系式。当 n 大 于等于零二时，外与原子之间的函数关系式。 如果美好的血液中还要让三毛获得能量，不一样是治疗疾病的有效，那么这个有效时间是几小时？ 小朋友，你先上去解读第一个问题，服药后 几时血液中的含药量最高达到每毫升多少？说你写不下的，你得调那箭头。对 啊，也可以啊，行， 这孩子，你咋知道的？看出来的？你是怎么看出来的？ 哎，你是怎么看出来那个就是我们所要的数据的呢？来，我们来看看，瞧瞧看。这个中早表示的是五二毫克，是含药量，对吧？ 这个表示的是时间，对不对？我们看这根线，从零开始，随着时间的变化，它的含油量是在不断的，是吧？上升，上升 到了这款，然后他又这样走了，说明含药量又随着时间的变化在变着嘛，下降所，所以这个最高点就是含药量的最高量，对不对？ 很好吧，太好哎，太好了，掌声欢送！那么同学们，下面我们就好办多了。说 x 小 于等于二的时候，函数 y y 与 x 函数关系是，那他妈这个是条什么线啊？ 是条直线。那你看它是什么函数啊？一次函数，一次函数，而且是一次函数的儿子，什么函数？因为它经过圆点对不对？好，那么第二个函数你也应该会吧？ y 大 幺的时候是这个函数来 好球啊， 这些都是用了多少年的典型的题目， 你看到的是新题目，对你来说一切都是新鲜的， ok 吗？ i'm sorry， 快去算啊，他要等着啊。这这这，抓头发干嘛？你这一回算出来的数据多了对吧？条件都够吧， 好了吗？第一个，我们数到了多少？ 第一个，我们这个说是多少 y 等于多少？三 x 你 看有多么省心。是 y 等于 k x 嘛，对吧？ y 等于 k x 我 一带就行了嘛，对吗？ 这个就是 y 等于 k x 加 b， 然后把这个点和这个点代入，没得没得，这个点它是乱的，是吧？ 多少？你就说快一点了啊，因为这个这个类型我们用求了几个了，对吧？来，这个算多少？ y 等于负 x 加八，对不对啊？对啊，那么来验证一下。五五对，对，没错没错，确实对。好了，咱们开始要来解决问题， 来，一起大声读出来。每毫升血液中含药量读吧， 每毫升血液中含药量三毫克或三毫克以上时，治疗疾病最有效。那么最重要的是来，先来药含药量是 x 轴还是 y 轴表示的？ y y 轴表示的含有量三毫克三毫克以上。你在 y 轴上帮我把它找出来。 含有量三毫克三毫克以上在 y 轴上找。在哪里在哪呢在哪呢？啊？是不是这个网上啊？ 这个往上对吧，对不对？哎，到哪里就结束了？哎，到这就结束了，所以含药量在三毫三毫克以上，就这一段对不对？是不是？ 那么治疗时间最有效？这个最有效的时间应该是哪一段呢？ 哎，这个我要找人了，你不做我要找人，你怎么结合图像方法最有效的时间这一段给找到？找了再算来，要不然你来了， 你把那一段最有效的时间的那一段。哎呦啊啊， 涂上哪光啊， 几个时间在里面再往这边走，这个门的是没这个时间还没达到三毫米。 这个大的山好看吗？没得，山上 看到了吗？他在这个地方干了一件大事，画了一个手相， 画了一个垂直的竖线，然后在这 x 轴得到这个点，对吧？他说 g 段，你刚才 g 段是吧？是不是 g 段啊？ g 段。清楚了，掌声欢送，你们回去， 我再把它演示一下，给大家看看。有效时间是哪一段啊？三毫克，三毫克以上，过这个山做一根横线， 这个地方正好对应三毫克，这也对应三毫克，对不对？然后往上是符合的，对吧？都超过三毫克吧， 这也算不算？好吧，那此时的 x 的 有效时间在哪地方找呢？过这个点向 x 轴做垂线， 这个做垂线已经有了，对吧？所以有效时间段是这一段，对不对？那么怎么算？这个是五啊，这个会算吗？这个算出来的一减就出来了吧，这么多算的四点五。 哦，这个你不是 y 算的多少呀？三 x， 那 么这个是几啊？ 耶，就当 y， 当 y 等于三十，三， x 等于三， x 等于一，那么至于说这辈子三个不要，你算了，那五嘛，这个不要算了， 他如果这个地方没有数字，我们再算对不对？所以这个言言止有效时间段又解决了一个问题，我去，对不对？ y， 这个其实是几个不等式， y 大 于等于三小于等于六的时候，求 x 的 范围， x 大 于等于也小于等于什么？五，在这个时间段里面，对不对？ 会完了。刚才的第一个问题，我们是根据它的变化趋势得到了答案， 正大正大，正大极小变化趋势得到，这是最高的，所以二六对不对？那么回答一下，伊斯兰的图像特征 变化趋势与什么有关？ 与 k 第二位置与什么有关？与 k p 对 不对？还是位置与 k p 啊？你看这个 k 是 真的福袋。 呃，正的爸， b 正的正的对不对？还有第三个，有花有交警我就不说了，有花有交警，跟 b 有 关，对吧？嗯， 这是图像的课程，三个方面哈，那么的继续。当然我跳了，可能完了，跳走了。今天做完这个， 小朋友现在要玩的是什么呢？看这里，一二三，速度 好了吗？ 解读题一题啊，来，小朋友解读题一题。 这条直线和这条直线平行， 两条直线位置关系不平行就相交刚才的同一平行，对吧？那么先平行平行说明什么呢？ 两条直线，哎，两条直线，如果 k 一 等于 k 二，且 b 一 不等于 b 二，我们就得到这两条直线 l 一 跟 l 二是平行的，那么就说明它的 k 等且经过了吧。 那就说明 k 等一下，我还进入这个点，啪出了一带，对不对就成了吧。 所以负二乘负二加 m 等于三， m 等于负一，因此这个是 y 等于负 o x 减一 说对不对啊？不行了吧？那不就是那个老爸？那不就是这样。 这题这哪老是处理啊，我不是改了吗？ 好的，来，这个就解释了同一平面的两条直线的位置关系。那么还有一种关系是什么？ k 一 不等于 k 二，这时候 l 跟 l 什么香蕉，香蕉就意味着要求焦点对不对？焦点用什么求的啊？ 用解方程，解方程。昨天说的对不对？那我们就跳过一个再来， 经过这个点 y 随 x 增大减小来变化趋势， 说明 k 小 于零。说这个孩子可以是他妈。可以可以可以，好多哎。随便取一个嘛。 k 取负一可以吧？ k 取负一嘛？取 k 负一，然后得到答案 y 等于 负 x 加减，随便这个答案 简单回答一下，回答一下哈。 函数的概念到一次函数，一次函数讲了概念表达式，图像和性质对不对？然后一次函数，最后到应用，利用图像，利用表达式，利用性质。

依次函数公式总结，不管是关于 y 轴对称还是关于 x 轴对称， k 变为原来的相反数。关于圆点对称，两直线平行， k 相等，两直线垂直，两 k 相成为负移。已知图像上两点快速求 k 公式， 常考线段长度，粉色数值线段为端点纵坐标之差的绝对值。蓝色横平线段为横坐标之差的绝对值。勾股定律即可得到任意两点距离公式， 由线段长度关系可得到粉色、蓝色两中点的坐标，做中位线即可得到任意两点的中点公式。

一次函数的图像经典题型，今天我们来看一下这道题目啊。这是一个一次函数图像相关的问题，如图，已知直线 y 等于 k， x 加 b， 经过一、二、四、三个现象，且与两坐标轴交于 a、 b 两点，若 m、 n 是 该直线上不重合的两点，则下来结论啊，四个结论正确的是什么？ 第一个结论呢，让我们看判断 kb 的 乘积是否大于零，那我们也就是要由图像上判断出 k 的 正负以及 b 的 正负。现在呢，我们先复习一下 kb 对 一次函数的影响啊。 那一次函数的 k 大 于零，它一定是递增的，越往右， x 越大， y 越大。哎，可以这样增，也可以这样增啊，这都是 k 小 于零呢，它是递减的，往下走的，越往右呢？ x 越大， y 越小， 这种情况是 y 随 x 增加而增加，我们可以认为它是一个增的递增的趋势，这种情况呢，是 y 随 x 增加而减小，是一个递减的趋势。那么 k 的 正负看什么看？往上还是往下就行了。 那 k 的 大小我们怎么看呢？大家注意啊，不管是增还是减，看绝对值， k 绝对值越大，它的倾斜度越大，就是它越陡。你看这个，这个 k 的 绝对值就大于这个 k 的 绝对值。 那小有证这边是什么？这个 k 的 绝对值就大于这个 k 的 绝对值。这样来看大小的啊，那 b 是 看什么的呢？ b 是 看与 y 轴交点，不管 k 的 正负，所有一次二次图像，它一定过零。 b 这个点呀， 对吧，我们把 x 等于零，代入一定是零 b， 所以呢，看一眼与 y 轴的交点在哪？那个点的纵坐标就是我们的 b 啊， 那我们看这个题，哎，他是往下走的，所以他的 k 是 小于零的，那他的 b 在 哪呢？看他与 y 轴交点的正坐标，哎，这个点坐标是零 b 啊，这个 b 是 不是大于零了？他在原点上方，那我们看一下，他俩乘积应该是小于零，所以错误的啊。 那第二个 x 小 雨林是 y 大 于 b， 这是什么意思呢？就是看图线上啊，当横坐标取小雨林的时候，是不是纵坐标大于 b？ 那 我们只要看一眼图上横坐标小雨林的那一截图就可以了。是这一部分 啊，这一节对应的是所有横坐标小于零的点，那他们的纵坐标是不是都大于 a b？ 没问题吧？好，第三个，这个函数 y 等于 b， x 加 k 的 图像。不过第三现象，这个呢，出题人很坏，把这个 k 和 b 绕了一下啊，大家不要被它绕进去。呃，我们直接把它变成 k 二， x 加 b 二，这样的话呢，思路上不容易 呃，出问题啊。然后呢，对着我们算过的这个 k 和 b， 把 k 二和 b 二标一下，这个 k 二呢，是我们的 b 应该大于零， b 二是 kb 二小于零。好，那也就是说这个一次函数，它应该是往上走的，然后呢， b 二小于零，它与 y 轴的交点又应该在原点下翻，是吧？ 他是往上走，同时呢，焦点在原点下方呢，他是这样的一种图像，哎，不过第二现象，对吧，所以是错的啊。那第四个这个式子是什么意思？他们俩的乘积大于零，说明他们俩同号，也就是如果前面是正的，后面就得正。 那我们看，如果前面这个括号大于零，是不是说明 x 一 大于 x 二，哎，那后面 y 一 大于 y 二，也就是 x 一 大于 x 二的时候， y 一 大于 y 二，这就是它表达的意思啊。那如果两个都是负的呢？就是说明 x 一 小于 x 二的时候， y 一 小于 y 二。 大家感受一下这是什么意思啊？ x 大 y 就 大， x 小 y 就 小。这就是我们刚刚说过的， y 随 x 增加而增加的意思。 这个式子表达的意思就是说 y 随 x 增加而增加。那这个题显然不是，是不是它是往下走的， y 随 x 增加而减小的，所以这应该是小于零错误的啊。那最后呢，就是只有二是正确的。

初二数学一次函数的实际应用问题是一类必考的题型，而其中一次函数与行程类的问题的综合是一类高频的考点。那这个视频我们通过这道题来讲解一种方法来解决这一类的问题。甲乙两人在笔直的湖边，同起点、同终点、同方向匀速行驶两千四百米， 先到达终点的人原地休息一只，甲先出发四分钟。在整个步行的运动过程中，甲以两人的距离为 y， 与甲出发的时间 t 之间的关系如图所示。下列说法中正确的是解决这道题目的关键是我们要充分利用这个图像中的拐点的信息。 我们可以利用个线段来解决这类的问题，通过画线段图更能解释这里面的每一个点它代表的是什么意思。在这里面我们设为这条线段， ab 是两千四百米，甲乙同时从 a 点出方向， b 点开始运动，那么对于前四分钟是甲先出发的，所以甲说从甲从 a 到 c 运动的距离为 二百四十米，时间为四。所以此时我们就能算出甲的速度等于二百四十除以四等于 六十米每分钟。从第四分钟到第十六分钟，甲乙之间的距离越来越小，而第十六分钟的时候，甲乙之间的距离变成了零，也就是说此时甲乙是相遇了， 我们是在地点的时候，甲乙两点相遇啊，这段就变成了一个追击问题啊。通过甲 十六分钟用的运动的距离和以十二分钟运动的距离是相同的，此时我们就能算出甲的速度乘以十六，就等于乙的速度乘以十二， 所以我们就能算出乙的速度等于六十，乘以十六除以十二等于八十。然后我们来看一下选项， a， 乙用十一分钟追上甲，乙是从第四分钟到第十六分钟追上的甲，所以它总共花费了十二分钟，所以 a 是 错误的。 b， 乙追上甲后，再走一千四百四十米到达终点，乙追上甲，根据我们刚才的分析是 a、 d 这段是乙追上了甲，那这段的距离我们就能算出它等于乙的。甲的速度六十乘以甲用的时间也就是十六，它等于九百六十米， 那总共长度是两千四百四十米，所以 b、 d 这段我们就能算出它等于两千四百，减去九百六十等于一千四百四十米，所以 b 选项是正确的。 那我们再同时看一下 c 和 d， c 是 说甲乙之间的距离最远是三百米，那通通过图像我们也能观察出来，甲乙之间最远的点是在这个点处，也就是 a、 b 这个点的纵坐标的 b 值。那如何求出这个 b 的 值呢？我们通过实际问题来分析，甲乙之间的距离越来越大，那什么时候它距离又变来越来越小呢？是当一个人到达了，那显然因为己的速度更大，所以乙应该是先到达 b， 那当乙到达 b 的 时候，甲说底，甲是到达这里的 e 的， 那我们只需要求出这段 b、 e 的 长就行了。那如何来求 b、 e 的 长呢？ 我们可以先算一下乙从 a 到 b 总共花费的时间，总共是两千四百，除以乙的速度是八十，他花费的时间是三十分钟，那乙花费是三十分钟，那对于甲来说， 它从 a 点到 e 点，它运动的时间是等于甲运动的时间，加上它前面多运动了四分钟，所以它总共是三十加四，是三十四分钟， 那甲一共运动了三十四分钟，它的速度为六十，所以我们就能求出 a、 e 这段长度 等于六十，乘以三十四，等于二零四零，那 a、 e 的 长度等于二零四零。 b， e 的 长度我们就能求出等于总共的长度两千四百，减去二零四零，等于三百六十米，所以甲乙两人最远的距离是三百六十米。 d。 甲到达终点时，乙在终点休息了七分钟。当甲到达终点时，乙在终点休息了多少分钟？由甲从 e 点出发到 b 点这一段所用的时间来决定，那这段时间我们就可以求出 b 的 长度。根据 c 选项， b 的 长度等于三百六十米，它的速度为六十，所以它 所以甲从 e 到 b 所运动所需要的时间等于六分钟，所以甲到达终点时，乙在终点已经休息了六分钟，所以它也是不正确的。所以这个题目答案选 b， 你 学会了吗？