橘子哥圆锥曲线书在哪

最近在直播的时候，老有朋友问到，哎，寒假了，孩子想专项的去复习一下圆锥曲线，有没有这方面的资料？那么老赵今天就把自己从九月份到现在一直以来带着我的学员打卡的一周两练，把讲义给大家整理成册，然后视频呢，整理成一个合集 啊！不管咱们是高二的小伙伴，在秋季觉得自己学完之后，心里依然不踏实，熟练度不够，要在寒假专项的去复习一下工， 巩固一下。还是说咱们高三的小伙伴了，你到翼龙复习完，现在在考试中做圆锥曲线的，不管是从思路上，准确率上还是速度上都达不到考试要求的话，那我觉得这份假意你都值得一遍又一遍的去刷。 因为这三十六道题都是老赵精心选择的一些真题，包括全国各地一些好的模考题考过的这些题型， 它包含了咱们圆锥曲线在高考中非创新棋啊，就是这种开放性的棋，下的所有棋型，所有方法和所有考点，包括所有细节。所以你只要去认认真真的把这些棋从头刷一遍， 刷完之后有问题的挨个跟老赵的视频一个一个去对，对完之后再把自己不熟练有问题的重复的去做，那么最终一定会给自己带来非常不错的结果。如果你需要这份讲义和这份视频的话，你就在评论区回复啊，寒假复习。

现在给同学们更新的是高中数学人教 a 版选修第一册的内容，我们接着上一堂课来讲，现在请同学们翻开讲页三百四十一页 来看到变式训练五，已知椭圆机给到了标准方程，可以看到这个椭圆的焦点是位于 x 轴上的，他说这个椭圆经过点 a 零斗一，并且离心率是二分之根三。第一问，让我们去求这个椭圆的方程，对于我们的第一问而言，其实没有什么太大的难度。你想一下，这个椭圆它的焦点呢？是位于 x 轴上的，对吧？ 随便画一个草图，椭圆的焦点位于 x 轴上，由于经过点 a 零斗一，这个零斗一啊，这个点 a， 他 必定位于 y 轴的正半轴吗？从而 我们结合椭圆的标准方程及其简单几何性质想一下，当椭圆的焦点位于 x 轴上的时候，他的上顶点的坐标应该是零斗小 b。 所以这样一对照的话，通过这个地方我们就知道小 b 它是等于一的， 小 b 等于一的话，那 b 方也就等于一，对吧。题目还告诉我们什么？还告诉我们离心率吗？对不对？离心率小一，它等于 a 分 之 c， 还等于根号下一， 减去 a 方分之 b 方。注意，这个地方他是减，有的同学他记不住是加还是减。你想，在椭圆里头， a b， c， a 是 最大的， a 大 c 小， 那这个值肯定比 e 小， 所以这个地方他是减。 告诉我们等于二分之根三。好，两边咱们同时平方也就得到一，减去 a 方分之 b 方，他要等于四分之三，从而 a 方分之一，他就等于四分之一，那么 a 方就等于四， a 它就等于二。在椭圆里边刚才也说了， a、 b、 c， a 是 最大的，对吧？ a 方等于 b 方加 c 方， a 方等于四， b 方等于一。那么自然而然， c 方它就等于 三， c 等于根号三， c 方等于三。如此以来，同学们我们的第一问就解决了呀，这个椭圆的方程也就变成 x 方，比上四 加上 y 方等于一。紧接着我们来看一下咱们的第二问。 讲第二问之前呢，我们还是把这个图画出来看一看，咱们根据这个图呢，一起来分析一下。 我们画完椭圆以后呢，紧接着看题，他说直线 l 与 y 轴相交于点 a， 梦 与椭圆积交于 b、 c 两点。好，这个地方，我们慢慢的来读懂现在的意思呀，也就是说，有一条直线 l， 它和这个 y 轴呢，是交于点 m 的， 和椭圆呢，是交于 b、 c 两点的。那么现在呀，我们就先随便的去画出一条直线 l， 根据题目的意思，这条直线 l， 它与这个 y 轴是交于点 m 的， 这个点点 m。 然后呢，与这个椭圆是交于 b、 c 两点的。 紧接着我们呢，再往后读题，提到直线 a、 b、 a、 c 分 别与 y 等于四，这条直线交于 d、 e 两点。 首先呢，我们先找到这条直线 y 等于四， y 等于四，它是一条横折的直线。 现在呢，我们先把这条直线画出来。按理来说，同学们我们这个地方注意看点， a 的 坐标已经是零度一了，对吧？所以这个 y 等于是这条直线，它应该还要往上边走， 只不过这个地方由于位置关系，我们画的又是草图的话，我们就先将就着这么来画了，我们最主要的还是要靠理论的计算。 紧接着根据题目的意思，我们要找到直线 a、 b 以及直线 a、 c。 直线 a、 b 以及直线 a、 c， 我 都画出来了，并且根据题目的意思，直线 a、 b 与 y 等于四，这条直线交于点 d， 直线 a、 c 与 y 等于四，这条直线交于点 e。 紧接着往后来看，题目，现在问咱们是否存在定点 m， 使得三角形 abc 与三角形 a、 d、 e 的 面积之比为定值，若存在，求出点 m 的 坐标若不存在， 说明理由。搞清楚我们这个问题，最终他是问咱们 s 三角形 abc 比上 s 三角形 a、 d、 e 这个值是否是定值？ 我们现在要搞懂这个比值能不能是定值的话，我们就先要明确这两个面积我们该怎么样表示出来，对不对？只有将他们俩表示出来，才去探索一下他们俩有没有可能相比以后是定值呢？ 这样的点 m 是 否存在，其实我们也不知道，好，同学们，我们来看图，在我们的这幅图里边，这个点 m， 它是直线 l 与 y 轴的交点，所以横坐标肯定是零，重坐标我们也不知道是多少， 那么我们就把他的重坐标设为小 m 吧。此时对于这条直线 i、 o 而言，既然题目已经提到他和椭圆交于 b、 c 两点， 哎，接下来可能就是考察 i o 与椭圆的位置关系了，对不对？既然是相交的，咱们大概率啊，可能要连立， i o 的 方程和椭圆的坐标已经设出来了， 它的方程呢，我们也得射出来，对不对？那接下来看一下它的斜率是否存在。如果说同学们 这条直线 l 的 斜率不存在，那么它必定是一条数值的直线，这不可能，因为这个时候点 b 在 这，这个时候点 c 在 这，根本就不符合题意描述的这一堆情境关系。所以咱们的这条直线 l， 它的斜率一定是存在的。既然 l 的 斜率是存在的，那么 l 的 方程我们就可以把它设出来呀。 l 的 方程点加斜率，我们就写出点斜式，也就是 y 减 m 等于 k 乘以 x 减去零，其中 k 是 l 的 斜率嘛。好，进一步整理一下，也就是 y 等于 k， x 加 m， 这个时候同学们要时刻的注意，我们关注的是这两个三角形的面积。好，我们来看一下三角形 abc， 我 稍微的把它描一下，也就是红色的这个三角形而言的话， 它的面积可以怎么去表示呢？刚才我也说了，既然提到 l 与椭圆相交，对吧？ 交点呢，是两个点 bc， 所以 这个地方就会涉及到弦 bc， 就 会涉及到弦长公式，所以对于这个三角形 abc 而言，它的面积我们可以以弦 bc 作为底高，就是点 a 到直线 l 的 距离。 因此接下来我们就可以去连立 l 与椭圆的标准方程，因为咱们要把这个弦 b、 c 表示出来嘛，对吧？好， l 的 方程 y 等于 k， x 加 m， 椭圆的方程去掉分母，两边同时乘以四，就会得到 x 方加四， y 方等于四一项，那么也就是减四要等于零。 进一步咱们就消圆吧，消掉谁都是可以的。好，这个地方我们就选择消掉 y 嘛，把它带到第二个等式里边来，就会得到 x 方，加上四倍 y 方，也就是它的平方 k 方 x 方加二 k m x 加上 m 方减四等于零。进一步合并同类项， 我们就会得到一加上四 k 方括号 x 方加上八 k m x， 再加上四 m 方，减四等于零。 此时我们可以看到咱们的这个地方得到的这个方程，由于二次项系数肯定是正数， 所以这个方程绝对是关于 x 的 一元二次方程。要保证 l 与椭圆产生两个交点，那这个时候呢，肯定要保证 delta 大 于零。我们先来算一下 delta， 根据公式它等于 b 方，也就是 它的平方，它的平方六十四 k 方 m 方减去四 a c， 也就是四乘以括号一加四 k 方，再乘 c 常数项四 m 方减去四，对吧？好，这个就是多少它。 进一步的话，我们可以把这个四乘到这个括号里头来，乘进去，括号里头就会变成四加十六 k 方，咱们就在这个基础上给他改一下四加上十六 k 方， 进一步把这个括号给它打开，打开以后就会变成六十四 k 方 m 方减去十六 m 方，减去十六，加上 六十四 k 方 m 方，再减去六十四 k 方。去掉括号以后呢，一定要记得变号 这个地方会变成加，然后是减，然后是加，加减加 会发现它们俩就可以抵消掉，对吧？所以这个德塔就会变成六十四 k 方，减十六 m 方，再加十六，这个就是我们的德塔。当然这个德塔其实进一步可以进行一个提供因素， 你看我们把十六提出来，括号里头就会变成四 k 方，减去 m 方加一嘛，这么写也是可以的， 咱们就把它挪上去这个地方我们要保证什么？保证 delta 它要大于零，对吧？ delta 大 于零的话，由于十六是正数，只需要保证这一坨大于零就可以了，也就是 四 k 方减去 m 方加一要大于零。这个关系怎么样使用我们也不知道，不过没有关系，我们先把这个关系摆在这吧，对吧？好，紧接着呢，我们来看， 我们现在刚才也说重点是关注这个三角形的面积，那么接下来的话，我们就把这个弦 b、 c 的 长度给他表示出来。 并且既然这个地方已经消元，得到了一个一元二次方程，那这个地方呢，我们不妨同时把维达定例写出来。此时呀，我们设这个点， b 的 坐标为 x 一， 逗号 y 一， 点 c 的 坐标为 x 二，逗号 y 二，所以我们写出维达定例就会得到 x 一 加上 x 二，它等于 负的八 k， m 分 之一加四 k 的 平方 x 一 乘以 x 二，它等于 一加四 k 方分之四， m 方减四。这个地方我们可以把一个四提出来，括号里头就是 m 方减一。 好，紧接着呢，我们把这个弦 bc 的 长度给它表示出来。根据咱们的弦长公式，弦 bc 它等于根号下 e 加 k 方，乘以根号德尔塔比上小 a 的 绝对值，其中这个 k 呢，它就是直线 l 的 斜率，对吧？ derta 我 们刚才已经算过了，根号 derta 十六是可以开得出来的，开出来就是四，所以根号 derta 就 会变成四倍。根号下四 k 方减去 m 方，再加一 公式里头的小 a， 它指的是这个地方的二次项系数，所以是一加四 k 方 这个绝对值符号实际上要不要无所谓，因为一加四 k 方，在这个地方它肯定是一个正数，这就是我们的弦 bc 的 长度。由于我们要把三角形 abc 的 面积表示出来，当我们以 弦 ab 作为底的时候，高就是点 a 到这条直线 l 的 距离，我们把它记为 d。 根据点到线的距离公式，请同学们注意看 i、 o 的 方程，我们把它转化为一般式方程，也就是 k x 减 y 加 m 等于零， 于是根据点到线的距离公式，分母上就是根号，下一加 k 方，分子上绝对值符号先写着，然后把点 a 的 坐标带到方程的等号的左边来，零到一带进来就会变成 m 减一。 这个时候呢，我们就可以把这个三角形 abc 的 面积给他表示出来了。 这个地方我们先不着急把这个三角形的面积表示出来，为什么呢？因为我们这个地方最后要算的是比值，所以我们在算比值的时候，再分别去表示这两个三角形的面积。 可能这个时候呀，我们有的数据呢，可以约分掉，不过我们要的关键的东西一定要是先把它算出来，你看以 b、 c 为底， 高也就是 d， 对 吧？我们就先表示出来这个地方，同学们一定要明确算这两个的目的，我们是要把谁表示出来？ 三角形 a、 b、 c 的 面积表示出来。好，接下来我们要把三角形 a、 d、 e 的 面积表示出来，来看三角形 a、 d、 e， 我 们要计算这个三角形的面积，我们可以以 d、 e 作为底，此时它的高就是这节的长度， 这节的长度那就很好算了，因为点 a 的 坐标是零度一，这条直线 y 等于四，所以这节的长度它就是三嘛，对不对？所以现在我们要计算这个三角形的面积，我们已经知道高为三，重点，把它的底 第一表示出来。要想把第一表示出来，只需要表示出地点坐标以及一点坐标就行了。好，首先我们来看一下地点坐标怎么求呢？地点他是我们的这条直线 ab 与 这条直线产生的焦点，对不对？所以我们现在先把这条直线 ab 给它表示出来。对于直线 ab 而言，我们可以先去求出它的斜率， 根据两点求斜率，它就等于 y 一 减一，比上 x 一。 同理，其实我们还可以求出这条直线，也就是直线 a c 的 斜率， 也就等于 y 二减一，比上 x 二。对于我们的直线 a b 而言， 由于知道它的斜率，又知道这个点 a 的 坐标零到一，所以可以写出点斜式方程， y 减一等于 y 一 减一，比 x 一 乘以括号 x 减零。整理一下，也就是 y 等于 y 一 减一，比 x 一 乘以 x 再加一。同年我们还会得到直线 a c 的 方程， 其实就是把 y 一 变成 y 二，把 x 也变成 x 二就是角标发生变化， a c 的 方程就是 y 二减一，比上 x 二乘以 x 再加一。 好，这个时候我们不是要去求这个 d 点和 e 点的坐标吗？这两个点的 重坐标都是等于四的，横坐标就好求呀。所以对于我们的这条直线 a b 而言，我们就可以令重坐标 y 等于四。好，这个时候就可以求出横坐标 x， 当 y 等于四的时候，就会得到四等于 y 一 减一，比 x 一 乘以 x 再加一，对吧？好，从而我们就会得到 y 一 减一，比 x 一 乘以 x， 它要等于三，所以 x 它就会变成 三倍 x 一， 除以 y 一 减一。由于咱们的这个点点 b x 一， 逗号 y 一， 它是位于直线 l 上的，所以必定满足直线 l 的 方程，带到这个地方来，我们就会得到 y 一 等于 k 倍 x 一 加 m， 因此咱们这个地方进一步就会得到三倍 x 一， 比上 y 一， 也就是 k 倍 x 一 再加 m， 最后这个地方还要再减一找写，这就是我们的这个地方求出来的 x 的 值，我们把它挪上来， 三倍 x 一 比上 k 倍 x 一 加 m 再减一，而这个值它就是我们的这个 点 d 的 横坐标，所以我们就得到点 d 的 横坐标。三倍 x 一 比上 k 倍 x 一 加 m， 再减一逗号四，同理，我们可以求出谁呢？ 同理，得到咱们的这个点一的坐标，必定就是三倍 x 二， 比上 k 倍 x 二加上 m 减一，逗号四，这个地方注意低一的长度。其实我们并不知道咱们的这个低点和一点，谁在左边，谁在右边，对吧？因为咱们的这些图它是随便画的，所以有可能呀， 我们的这个地方，如果你把这个点当成 c 点，这个点当成 b 点 a， 那 自然而然这个点就是 d 点，这个点就是 e 点了。 所以他们俩的位置不确定的情况下，我们要去求第一的长度，可以怎么做呢？我们可以用横坐标相减，但是要记得加绝对值符号，所以我们就会得到第一的长度，也就是这个三角形的底， 就是两个横坐标相减取绝对值，他们俩相减取绝对值， 也就是三倍 x 一 比上 k 倍 x 一 加 m 减一，减去三倍 x 二，比上 k 倍 x 二加 m 减一，去绝对值。进一步咱们稍微的给它化解一下吧。 你看分子上其实都有三，我们可以把三直接放到外面来。 好，进一步，绝对值符号里边我们就进行一个通分嘛，通分以后呢，分母就会变成 k 倍 x 一 加 m 减一，乘以括号 k 倍 x 二加 m 减一。分子上就会变成 x 一 乘以括号 k 倍 x 二加 m 减一，括号 k 倍 x 一 加 m 减一。 好，首先呢，我们把这个分子上给它算一算，分子上打开以后就会变成 k 倍 x 一， x 二加上 m 倍 x 一 减去 x 一， 减去 k 倍 x 一， x 二减去 m 倍 x 二，再加 x 二， 进一步他们俩就抵消掉了。然后呢，我们再来看这两项，都有 x 一， 其实可以提出来，提出来，括号里头就是 m 减一，这两项，我们可以把负 x 二提出来，括号里头就是 m 减一。同时可以看到这两项，我们再把 m 减一给他提出来， 括号里头就是 x 一 减去 x 二。这就是我们的分子部分，所以我们最终呢化简以后，咱们的分子部分就变成了这个样子， m 减一 乘以括号 x 一， 减去 x 二。紧接着我们来看一下分母上咱们能不能去化简一下呢？ 化简的时候，我们把这个 m 减一看成一个整体， m 减一看成一个整体，打开括号以后，就会得到 k 方 x 一， x 二 加上 k 倍 x 一， 乘以括号 m 减一，再加上 m 减一，乘以 k 倍 x 二，再加上 m 减一，括号的平方。 好，此时我们再来看一下这一项，先不动对吧？ k 方 x 一 x 二这两项的话，我们可以把 k 被 m 减一提出来，括号里头就是 x 一 加 x 二，最后 m 减一括号的平方，咱们先照写着， 这就是我们的分母上。所以总的来说，咱们的这个 d 一 稍微化解一下，就会变成三倍绝对值符号。分子上 m 减一括号 x 一 减 x 二，分母上就是我们刚才所算的这一坨，我们呢把这一坨抄上去，抄在咱们的分母上，也就是 k 方 x 一 x 二加上 k 倍括号， m 减一， x 一 加 x 二，再加上 m 减一括号的平方。把第一表示出来以后，进一步再观察一下。在我们的这个表达式里边，同学们会发现，咱们呀，可能就要用到这个地方的伟大定律啦。 这个地方呢，这个地方写错了，咱们得改一下，两根之合，它等于负 a 分 之 b， 所以 这个地方分子和分母应该要倒过来写，刚才没有注意到， 一加四 k 方呢，要写在咱们的分母上， 八 k m 呢，要写在分子上，这样写才对。好。然后这个时候呢，我们来看一下，这两部分确实可以利用维达定律，可是这个地方怎么用呢？同学们先不着急，我们来看一下。 首先我们先来看一下分母上，咱们先用一用维达定律，用一下维达定律， k 方 x 一 x 二就会变成四 k 方， m 方减一比上一加四 k 方。好。紧接着我们再往后看， k 乘以 m 括号减一， x 一 加 x 二，也就是它，对吧？那就会变成乘以负的八 k， m 比上一加四 k 方。这个地方我们先照写着加上 m 减一括号的平方， 分母上这么来写，分子上怎么写？注意看这个地方不可以直接用维达定律的，不过没有关系，同学们，他最外层有绝对值符号，这个绝对值符号 我可以分母上给他加一个，对吧？然后我的分子上可以这么写， 分子上我给他加一个绝对值符号，他是没有改变这个式子的值的， 为什么要这么做呢？因为这个时候我们来看这一坨，这一坨我单独的把它拎出来， x 一 减 x 二的绝对值，根据二次根式的性质，根号下 a 方等于 a 的 绝对值，所以 x 一 减 x 的 绝对值，它是等于根号下 x 一 减 x 二，括号平方的 好，于是根号下打开以后就会变成 x 一 方加 x 二方减去二倍 x 一 x 二， 下一步咱们就可以配方了，就会变成 x 一 加 x 二括号的平方。好，注意，要能够还原回去， 咱们的这个地方，打开括号，它是 x 一 方加 x 二方加两倍 x 一 x 二，这个地方是减两倍 x 一 x 二，所以在后面咱们给它减四倍 x 一 x 二就可以还原了。紧接着呢，哎，就可以用维达定律了。所以咱们的根号下面，你看 x 一 加 x 二括号的平方，也就是这一坨的平方，对吧？它是 x 一 加 x 二嘛，就会变成 六十四 k 方， m 方比上一加四 k 方，括号 m 方减去四倍 x 一 x 二 x 一 x 二的话， 是它四倍的话，就会变成十六乘以括号 m 方减一比上一加四 k 方， 这个就是我们的这个地方使用了维达定力以后得到的结果。好，此时呢，我们把它换一换吧， 就把它换成咱们的这一坨，咱们直接把这一坨给它挪上去， 进一步往下根号下面这一坨，我们还可以给他通分去算一算，通分算一算的话，就会变成六十四 k 方 m 方，比上一加四 k 方括号 m 方减去一加四 k 方， 减一乘以括号一加四 k 方。 好，分母都是一样的嘛，就是一加四 k 方括号 m 方分子六十四 k 方 m 方，减去这个地方，把括号打开，把括号打开就会变成什么呢？就会变成 十六乘以括号 m 方加四 k 方 m 方，减去一减四 k 方。同时我们再把这个十六给它乘进去，就会变成十六 m 方， 加上六十四 k 方 m 方，减十六，减去 六十四 k 方。注意这个地方是减，减去这一坨一定要记得编号，那就会变成减十六 m 方，减六十四 k 方 m 方，加上十六， 再加上六十四 k 方。这个地方我把它擦掉了，因为他最终变成了这个样子，对吧？进一步其实这个地方会发现他还可以再去算一算好。于是呢，我们就会得到 一加四 k 方括号的平方，咱们的分子上呢，就会变成什么呢？就会变成 六十四 k 方，减十六 m 方，再加十六。实际上这个地方我们可以把十六提出来，把十六提出来以后，括号里头就会变成四 k 方，减 m 方，再加一分母上一加四 k 方括号的平方照写。于是我们会发现， 由于咱们这个地方有根号吗？对不对？同学们，这个十六开出来刚好是四呀，对不对？所以我把这个地方的十六擦掉以后呢，把这个四给他写到前面来， 此时我就会发现一个问题，我就发现这个结构特点和我们上面这个地方你看 非常的像，看到没有，那就说明我们在后面去计算这个笔直的时候，可能很多地方是可以约掉的。好，紧接着我们再来看， 再来看哪里呢？这个地方他不是有根号吗？然后这个位置有一加四 k 方括号的平方，所以咱们的分子上还可以进一步再变。 同学们看这一坨这一坨的话，他也就会变成根号下四 k 方减 m 方加一比上根号下 一加四 k 方括号的平方。利用二次根式的性质，根号下 a 方等于 a 的 绝对值，于是我们的这一坨它其实就会变成一加四 k 方的绝对值。 由于一加四 k 方肯定是正数，所以绝对值符号就不要了，所以同学们在咱们的这个分子上最终会变成这个样子， 会变成根号下四 k 方减去 m 方加一比上一加四 k 方，你会发现这一坨和这一坨 是完全一样的，后面在表示面积的过程中，它们俩肯定是可以被约掉的。 我们计算这么多，得到的这一坨是这个地方的，对吧？好，所以进一步，第一就等于三乘以这一坨，三乘以这一坨的话， 这个地方有一个四，但是我们先不着急去算，因为这个地方他也有个四，说不定可以约掉，对吧？那我们就先写着嘛，三乘以。好，现在我们把这一坨给他挪上去吧。 哎，这个绝对值符号没有挪到，没有关系，没有挪到的话我们把它写着就可以了，绝对值符号 这个四我们也写成红色吧。 好，这个时候同学们，我们来看这个比值，我们现在来算一算它，我们把它挪下来吧。 对于三角形 a、 b、 c 而言，它的面积等于二分之一乘以底，刚才说了底是以 b、 c 为底，高就是它，对吧？那也就是二分之一乘以。我们写点乘吧， 根号下一加 k 方四倍，根号下四 k 方，减去 m 方，加一比上一加四 k 方， 再乘以 d， 也就是 m 减一的绝对值，比上根号下一加 k 方 好。再来看它的面积，二分之一乘以底，底就是 d、 c 嘛，对吧？也就是这一大坨。 我们这个地方刚才移上来的时候，这个地方有点重叠了，没有关系，我们明确这个地方它是根号下四 k 方，减去 m 方，再加一就可以了，它和这一坨是一样的。 好，二分之一乘以低一，也就是三乘以四 m 减一的绝对值。根号下四 k 方，减去 m 方，再加一 比上一加四 k 方，再比上绝对值符号四 k 方， m 方减一除以一加四 k 方。这个地方把减号提到前面来， 那么就会变成减去 k 乘以括号 m 减一八 k， m 比上一加四 k 方，再加上 m 减一括号的平方。 这个地方我突然发现这个位置少写了一个三，因为这个三角形 a、 d、 e， 它的面积是二分之一乘以高，对吧？它的底是 d、 e 没有问题，注意它的底 d、 e。 第一的长度，这个地方本身是有一个三的，所以这一坨相当于是第一的长度，他的高咱们还没有成，刚才呀，搞忘记了，高是这一节，这一节的长度是三嘛，对不对？所以咱们的这个地方 分母上，它实际上还要再乘一个三，再乘一个三的话，这个地方本来已经有一个三了，再乘一个三直接就变成九了，我就直接把这个三变成九吧，好，这个时候我们就会发现 二分之一和二分之一就约分了，对吧？然后呢，这个地方和这个地方就可以约分了，同时还有咱们的这个 四和四也可以约分了，还有 m 减一的绝对值也可以约分。 还有这一坨与这一坨也可以约分， 这个时候我们就会发现这一大坨分子和这大坨分母约分以后，最后我们的 分子上就只剩下来一个一，而分母上还有九除以这一大坨，对不对？哎，那经过计算以后，最后的结果实际上就是九分之这一大坨， 这一大坨的话，我们给它算一算吧。同学们，我们拎出来给它算一算绝对值符号先不管了，你看这些地方给它进行一个 通分，或者我们看一下这两项先给它相减一下会变成什么样子。一加四 k 方分之四 k 方减去四 k 方， 好，然后减去一加四 k 方分之八 k 方 m 方减去八 k 方 m 这一项看来还是要给他通分。加上一加四 k 方分之 m 方减去二 m 加一括号乘以一加四 k 方，这个就是这个地方的分子部分嘛，对吧？打开括号以后，那么也就是 m 方加四 k 方， m 方减去二 m 减去八 k 方 m 加上一，再加上四 k 方，好，这个时候呢，我们就会发现他们的分母都是一加四 k 方，对吧？分母都是一加四 k 方的话呢，我们就先照写着， 分子上发现其实好多是可以抵消的，我们可以先把它造写下来，四 k 方 m 方减四 k 方减八 k 方 m 方加八 k 方 m， 一定要记得编号加上 m 方加四 k 方， m 方减去二 m 减去八 k 方 m 加一，再加四 k 方。哎，你看 这个地方，这个地方抵消掉，对吧？他和他又抵消掉，然后你看这两项和他刚好又抵消掉了。所以最后的话， 分子上就只剩下一个， m 方减二， m 再加一，那刚好就是什么？刚好就是 m 减一括号的平方，分母上还是一加四 k 方。 也就是说，这一坨我们通过化简以后，他实际上就变成了这一坨。当然，最外层绝对值符号我们最终肯定是要带着走的。现在呀，这一坨我们就要把它挪到哪里来呢？ 把它挪到我们这个地方的这个位置分子上来了。所以总的来说，我们的分子上就会变成 m 减一括号的平方比上一加四 k 方的绝对值。实际上这个绝对值符号要不要无所谓，因为一加四 k 方肯定是正数， m 减一括号的平方也不可能是负数，所以绝对值符号咱们就不写了呗。 好，此时同学们，我们进一步呢，可以把这个结果再给它换个写法， 写成九分之一乘以 m 减一括号的平方比上一加四 k 方。 现在题目是问咱们是否存在定点 m， 它会使得这个比值是一个定值。同学们想， 他要是一个定值的话，意味着什么？意味着他必须是一个定值，对吧？来观察这个式子，这个式子里头看似有两个变量，一个是 k， 一个是 m。 这个时候我们倒回来看一下， k 是 什么？ m 是 什么？ k， 它是这条直线 l 的 斜率，对不对？这个地方你看 k 是 它的斜率吗？ m 的 话是这条直线 l 与 y 轴交点的 重坐标，如果这样的定点 m 它是存在的，也就是说这个点它是一个定点，而且是存在的话，我们希望这个比值是一个定值的话，我们就希望什么？希望 这条直线 l 的 斜率，不管怎么样去变化这个值，它始终是一个定值。那你们来看看这个值，要是一个定值不能受到 k 的 影响， 你这个 k 值要变化，分母就会变化，可是我希望他不能受到 k 的 影响，那必定只有当这个地方变成零的时候，不管这个 k 的 值怎么变化， 这个值必定是一个定值，而且这个值是一个定值零。显然同学们，这是不可能的。好，我们也可以呢，进一步的来解释一下， 我们可以这么写，若把题目给它抄一抄，存在定点 m， 使得这个比值为定值， 则必有咱们的这一坨要等于零，也就是说 m 等于一，这个时候呢？此时呀，咱们的这个点 m 的 坐标不就会变成零逗一吗？对不对？ 这个时候我们倒回去看一下零度一，同学们，零度一不就是刚好是点 a 这个地方吗？也就是说这个点 m 会和点 a 重合，对吧？你想一下，如果这条直线 i o 他 过了这个点的话， 而根据题目的意思， i o 他 和这个椭圆呢，是要产生 bc 两个点的， 这个时候产生的两个点，一个在这，一个在这。那同学们，意味着什么？意味着咱们的 b、 c 这两个点其中一个他会跑到这个地方来呀，你想如果点 b， 在 这个地方，点 c 在 这个地方，此时还会存在三角形 a、 b、 c 吗？ 根本就不可能呀，此时这三个点其实 a、 b 两点重合了，怎么可能构成三角形，对吧？所以这是不可能的。好，我们最后给他回来下定一下结论，此时 m 的 坐标零到一及 咱们的 l， 它是过咱们的这个点 a 零到一的，这是不符合题的， 不符合题，那我们最后就可以下定结论，所以这样的定点 m 它是不存在的。 讲到这个地方，虽然我们这个题目是解决了，但是同学们应该发现，从我们这个地方开始， 咱们后面的计算量是相当大的，而且稍有不慎，可能就算不出最后化简出来的这个结果。 那么这个地方老师为什么还是要给同学们去讲去计算呢？因为呀，我觉得他还是一种比较常规的方法。你看，对于三角形 abc 而言，我们把弦 ab 表示出来以后，把点到线的距离求出来以后呢，就可以把它的面积 表示出来了。同样的，我们把这个低一求出来以后，高又是等于三的，哎，进一步就可以把它的面积表示出来了，所以这种方法它是一种比较常规的思路，只不过计算量比较大。 接下来呢，我们再来给同学们分享一下另外的一种计算方法，他的计算量呢，要比这个地方小许多，算出来以后依然会得到这个比值，是等于他的。 好，我们来看一下，在我们的这幅图里边，我们刚才在这个地方已经求出地点坐标和一点坐标，对吧？好，同学们，咱们这个地点坐标刚才求出来以后， 它是三倍 x 一 比 k 倍 x 一 加 m 减一逗号四。而这个点一的坐标呢，是三倍 x 二，比上 k 倍 x 二 加 m 减一逗号四，对吧？好，这个时候我们来看，对于这两个三角形的面积，我们除了底层高的算法以外，我们在学习正余弦定你的时候，还学过二分之一乘以两边及其夹角的塞盈 值。而且同学们注意观察我们的这两个三角形呀，他们是有一个 相同的角的，这两个角大小是一样的，因为是对顶角吗？如果它记为 c 塔，它也就是 c 塔，对不对？好，这个时候我们来看咱们的这个三角形 abc 的 面积，比上三角形 a、 d、 e 的 面积来看，三角形 abc 的 面积就会变成什么，就会变成二分之一乘以两条边，也就是 a、 b， 再乘以 a、 c， 再乘以塞应塞它。同理，三角形 a、 d、 e 的 面积也就等于二分之一乘以这两条边 a 一， 再乘以 a、 d， 再乘以塞应塞它。我们会发现它和它约掉了， 他和他约掉了，哎，最后这个面积啊，他就等于 a、 b 乘以 a、 c 比上 a、 e 乘以 a、 d。 其中同学们注意看看什么呢？好，我把这个地方换个写法，我可以把它写成 a b 比上 a、 d 乘以 a， c 比上 a、 e 嘛，对不对？好，写成这个样子以后，我们来看图， a、 b 比上 a、 d， 它们俩的长度之比有没有什么特点？或者说和它们俩的坐标之间有没有什么样的关联？这个时候在我们的这幅图里边，我们去做出这样的一条辅助线， 我们过点 b 去做出一条与 x 轴平行的直线。这个时候同学们注意看在我们的这幅图里边 这个三角形，我把它描出来吧。这个黑色的三角形与这个大的黑色的三角形， 他们俩是什么关系？他们俩是相似的。好，那这个时候既然是相似的，同学们根据相似三角形的性质，我们就会得到 a、 b 的 长度比上 a、 d 的 长度不就等于什么呢？好，这个点我把它记为 h 点，这个点我把它记为 t 点， a b 比上 a、 d 不 就等于 h b 比上 t d 吗？对不对？好，这个时候我们进一步来看， h、 b 的 长度不就是点 b 的 横坐标吗？当然要加个绝对值，因为它的横坐标我们没有办法确定正负，也就是说 h b 就是 x e 的 绝对值。同理， t d 不 就是点 d 的 横坐标的 绝对值吗？我们暂时把它记为 x d 吧。同样的，我们这个地方， a c 比上 a 一， 它等于什么？它等于点 c 的 横坐标， x 二的绝对值比上点一的横坐标 的绝对值。因此咱们的这个面积之比，实际上它就等于 x 一 的绝对值比上 x d 的 绝对值乘以 x 二的绝对值比上 x 一 的绝对值。 第一的坐标我们又是知道的吗？好，进一步我们就可以去算，分子上其实就是 x 一 乘以 x 二绝对值，分母上不就是它的绝对值乘以它的绝对值吗？一乘的话，其实绝对值符号可以写一个就行了， 它们两相乘，来看看它们两相乘的话，就会变成多少，变成九倍 x 一 x 二， 然后是 k 倍 x 一 加 m 减一乘以括号 k 倍 x 二加 m 减一， 进一步我们给它化简一下。你看，实际上分子分母都有绝对值符号嘛， x 一 乘以 x 二，实际上是可以被约掉的，约掉以后 就会变成一除以九比上 k 倍 x 一 加 m 减一，乘以括号， k 倍 x 二加上 m 减一，括号的绝对值。好，进一步其实就变成什么，就变成九分之 k 倍 x 一 加 m 减一，乘以括号， k 倍 x 二加 m 减一的绝对值。我们把它算一算，看一下算出来的结果和这个地方是不是一样的。 这个地方我们打开括号的时候，可以先把 m 减一看成一个整体，对吧？好，于是呢，来看一下这一部分。打开括号以后就会变成 k 方 x 一 x 二加上 k 倍 x 一 m 减一， 再加上 m 减一，括号 k 倍 x 二再加上 m 减一，括号的平方。 进一步 k 方 x 一 x 二加上这两项，提个 k 括号 m 减一出来，括号里头就是 x 一 加 x 二再加上 m 减一，括号的平方。紧接着我们就利用这个地方 所写的维达定律套进来呀。好，套进来以后呢，我们来看，就会变成 k 方 x 一 乘以 x， 是 它吗？在它的基础上乘以 k 方，那就会变成 这个样子，四 k 方 m 方减一，比上一加四 k 方。写的时候稍微注意一点，它的基础上乘以 k 方，我们看一下 是写对的。好，紧接着我们再来看加上 k 倍括号 m 减一，这个地方， x 一 加 x 二，也就是它，对吧？ 那么就是负的八 k m 比上一加四 k 方，再加上 m 减一括号的平方。接下来实际上都不用往后算了。为什么说不用往后算了，同学们看这一坨与 这个地方的这一坨不就是完全一样的吗？对不对？所以我们最后算出来以后呀， 这一坨变形以后，当然他最外层有绝对值符号是得到他的，因此回到我们这个地方来，我们将这一坨化简变形以后，你看， 也就是他变成他，而他的话呢，又可以变成他，对不对？所以最终我们的这个表达式，他也就等于九分之 m 减一括号的平方 比上一加四 k 方。至于绝对值符号在哪里去了，我们刚才这个地方也给同学们解释了，因为他不可能是负数，而他是一个正数，所以绝对值符号其实要不要无所谓了， 因此我们最终得到的结果是一样的。但是同学们，很显然 上面的这种方法，这种计算量他要小很多，对不对？而且呢，更不容易出错。不过呢，很多同学其实是想不到从这个地方 到这个地方的，也许这个地方可能都还能想到，从这到这的话，他可能一时半会想不明白这个地方原因我也给同学们解释了， 主要是利用到了相似三角形的一个原理。好了，同学们，今天我们就讲到这个地方吧，拜拜。

现在给同学们更新的是高中数学人教 a 版选修第一册的内容， 我们接着上一堂课来讲，现在请同学们翻开讲页三百三十九页来看到例式。首先我们先来读一下题目，在平面直角坐标系中， o 为坐标原点， 交点在 x 轴上的椭圆 c， 这个椭圆 c 的 上顶点为点 a 零度二线段 o， a 的 中垂线交椭圆 c 于 b、 d 两点，并且告诉我们 b、 d 的 长度是等于六的。 第一问，让我们去求出椭圆 c 的 标准方程。结合我们的这个题目呢，我们先把这个图给他画出来。首先呢，我们先建立出平面直角坐标系， 题目已经明确告诉我们，这个椭圆呀，它的焦点呢，是位于 x 轴上的。 根据题目的意思，我们画出一个焦点位于 x 轴上的椭圆，由于焦点在 x 轴上，所以这个椭圆 c， 它的方程我们就可以设为 x 方比上 a 方加上 y 方比上 b 方等于一。其中呢， a 是 大于 b 大 于零的。题目告诉我们，这个椭圆 c， 它的上顶点为点 a 零到二。我们结合图来看一下上顶点，也就是这个地方 这个点 a 的 坐标是零到二。根据椭圆的性质，同学们当椭圆的焦点位于 x 轴上的时候，上顶点坐标是零到小 b， 这样一对照的话，我们就会发现，原来小 b 它是等于二的， 所以从这个地方上顶点坐标零到二，我们就会得到小 b 等于二。 紧接着往后读题，线段 o、 a 的 中垂线交椭圆 c 于 b、 d 两点，并且 b、 d 的 长度等于六。在我们的这幅图里边，我们找到 o、 a 它的中垂线，先找到它的中点，然后呢，我们去做出现段 o a 的 中垂线， 这条黑色的直线呢，就是线段 o a 的 中垂线。题目说了它与椭圆 c 交于 b、 d 两点，对吧？还告诉我们 b、 d 的 长度是等于六的， 那么如此以来，这个点 d 他的横坐标就是三，他的重坐标就是一，对吧？好，这个时候我们由于已经知道小 b 等于二，此时这个标准方程进一步就会变成， x 方比上 a 方 加上 y 方比四等于一。由于这个点它位于椭圆上，把这个点的坐标带到椭圆的标准方程带进来以后呢，我们就会得到九，比上 a 方 加上一比四要等于一。好，进一步呢，我们就会得到 a 方分之九等于四，分之三，对吧？好，从而 交叉相乘，要相等，我们就会得到三， a 方等于九乘以四，从而 a 方就等于三乘四， a 方就等于十二， a 方等于十二，那么 a 他 就等于根号十二，也就是二倍根号三。于是我们知道什么呢？知道 a 等于二倍，根号三， a 方等于十二， 还知道小 b 是 等于二的，那么 b 方它就等于四。在椭圆里边， a、 b、 c， a 是 最大的， a 方是等于 b 方加 c 方的，那么于是 c 方它就等于 a 方减 b 方，因此 c 方就等于八， c 方等于八的时候， c 就 等于根号八，也就是二倍根号二。如此以来，第一问咱们就解决了椭圆的标准方程， x 方比十二，加上 y 方比四等于一。 紧接着往下我们来看到第二问，这个椭圆的标准方程呢？我先写到这个地方来， x 方比十二加上 y 方比四等于一。 来读一下题目，点 e， 它是椭圆 c 上位于直线 b、 d 上方不与点 b、 点 d 重合的动点，也就是说这个点 e， 它在这一节上动， 它与点 b 和点 d 这两个点呢，是不重合的。紧接着往后读题，过点 b 做 直线 d、 e 的 平行线交椭圆 c 于点 f。 这个地方呢，我们得把这个图给它画出来，这个点 e， 我们就随便的找一个地方吧，假设这个地方他是点一，现在我们过这个点 b 呢，要做出 d 一 的平行线，所以在这个地方，我们先把这个 d 一 给他连接起来。 连接了 d、 e 以后，根据题目的意思，我们要过点 b 去做出一条直线，这条直线呢，它和 d、 e 是 平行的，也就是说这两条绿色的直线是平行的，而且这条线它交椭圆 c 于 点 f， 也就意味着咱们的这个点它是点 f， 点 m， 它是直线 e、 f 与 b d 的 交点。好，这个时候我们还需要找到直线 e、 f， 咱们换一种颜色的，我们将 e、 f 给它连接起来。 连接起来以后呢，根据题目的意思，这条直线 ef 呢，它与 b、 d 是 交于点 m 的 这个点它是点 m， 点 n， 它是直线 b、 e 与 o m 的 交点。好，我们来看一下直线 b、 e 与 o m 的 交点。在这个地方我们还需要再去做辅助线， 我们需要连接 b、 e 这条直线，还有 o m 这条直线。 这个时候呢，我们就可以看到这个地方，它就是题目所说的点 n。 这幅图呀，非常的复杂。 好，我们来看一下题目最终让我们干什么呢？他让我们证明直线 o、 m 与直线 d、 e 的 斜率之积是定值， 既然我们要证明这两条直线的斜率相成为定值的话，那么首先我们还是要想到把他们的斜率表示出来，对吧？ 在我们的这幅图里边，很显然这两条绿色的直线呢，刚才说了，他们俩是平行的，既然他们俩是平行的，斜率必定是相等的。如果说我们把 这条直线的斜率设为 k， 那 么这条直线也就是直线低一的斜率也是 k。 当我们把直线第一的斜率设为 k 以后，我们进一步需要把直线 o m 的 斜率表示出来，并且同学们他的斜率呢，我们要尽可能的用含 k 的 表达式来表示， 为什么这么说呢？同学们可以想一下，如果说我能用含 k 的 四值来表示直线 o m 的 斜率， 打个比方，比如说我们得到直线 o m 的 斜率是三 k 分 之一，哎，这个时候你看他们俩相乘呀，就等于正的三分之一，对不对？当然这是一种理想的状态，不过咱们也往这个方向去尝试一下。 紧接着我们来思考一下来看直线 o m 的 斜率， o 是 坐标原点对不对？坐标原点， 那么点 o 的 坐标零对零嘛？要想得到它的斜率，重点是把这个点 m 它的坐标表示出来，所以现在呢，我们要怎么去操作呢？我们把点 m 的 坐标表示出来，而且点 m 的 重坐标是固定的，他的重坐标是等于一的，因为他位于这条直线 b d 上，所以现在重点把点 m 的 横坐标求出来，而且我们希望什么呢？希望他的横坐标可以用含 k 的 表达式来表示，这样的话， 他的斜率才有可能用含 k 的 表达式来表示呀。好，同学们，现在我们来看如何去求点 m 的 横坐标。这个点 m 题目说了， 他是直线 e f 与直线 b d 的 交点，直线 b d， 也就是这条横折的直线，他的方程也就是 y 等于一嘛。 好，咱们写到这个地方来，那重点的话呢，就是说我们要去探索一下直线 e f， 进一步我们也可以理解为咱们要探索一下点一和点 f 的 坐标，而这个点一，它位于 这条绿色的直线上，点 f， 它位于这条绿色的直线上，这两条直线的斜率又和这个 k 有 关，对不对？所以点 e 和点 f 的 坐标，咱们尽可能的都给它转化为关于 k 的 表达式。 这个地方提到了直线与椭圆相交，所以接下来我们大致的一个思路还是会连立直线与椭圆的标准方程 好。对于我们的这条绿色的直线而言，他的斜率我们设为 k 以后，又由于他过了这个点 d 三斗一，所以同学们，直线 d 一 的方程，我们可以把它写出来，也就是 点斜式方程吗？点斜式方程 y 减一等于 k 乘以括号 x 减三，咱们给它整理一下，也就是 y 等于 k， x 减三， k 再加一，这就是直线 d 一 的方程。 其实同样的道理，我们还可以写出直线 b f 的 方程 b f 这条直线，也就是这条绿色的直线，它的斜率为 k， 而这个点 b 的 坐标我们也可以写出来，负三负一，对吧？所以直线 b f 点斜式方程 y 减一等于 k 乘以括号 x 加三。进一步就是 y 等于 k， x 加三， k 再加一。 现在呢，我们来点例一下 d 一 和椭圆的标准方程， y 等于 k， x 减去三 k 再加一。椭圆的标准方程有分母，咱们去掉分母，两边同时乘以十二，就会得到 x 平方 加上三 y 方等于十二一项，那么也就是减十二等于零，对吧？好，进一步呢，把它带到第二个式子里边来，就会变成 x 方加上三乘以 y 方，也就是这一坨的平方。之前给同学们 写过这么个公式， a 加 b 加 c 括号的平方，它等于 a 平方加 b 平方加 c 平方加上二 a， b 加二 b c。 忘记的同学自己呢，把它写一写，如此以来来看一下， y 平方就会变成 k 方， x 方加上九 k 方，再加一减去六 k 方， x 加上二 k， x 减去六 k， 括号再减去十二等于零。好，进一步，咱们给它化解一下，去掉括号就会变成 x 方加三 k 方， x 方加上二十七 k 方加上三减去十八 k 方， x 加上六 k， x 减去十八 k 减十二等于零。 咱们合并同类项来看一下，这个地方有 x 方，这个地方也有 x 方，对吧？好，提个 x 方出来以后呢，就会得到一加上 三 k 方，括号 x 方。再来看一次项，这个地方与这个地方提个 x 出来以后，括号里头就会变成六 k 减去十八 k 方，括号 x 剩下的都是常数项， 加二十七 k 方减去十八 k， 这个地方加三减十二，就会变成减九等于零。 这个时候我们来看二次项系数，一加三 k 方，这个地方呀，他肯定是一个正数，对不对？所以咱们的这个方程，他绝对是一个关于 x 的 一元二次方程，由于这条绿色的直线，他和椭圆要产生两个不同的焦点， 因此我们就要保证 derta， 它必须要比零大。好，同学们，我们这个地方呢，来算一下这个 derta， derta 根据公式它等于 b 平方减四 a c， 那 么也就是六 k 减去十八 k 方 括号的平方，这就是 b 方减去四 a c， 也就是四乘以一加三 k 方，再乘以 c， 二十七 k 方减十八 k 减九。 紧接着往下我们化解一下德尔塔这个地方，如果直接利用完全平方公式打开的话，数据可能会有点大，这样对于这两项，我们可以把六 k 提出来，提出来以后就会变成一减去三 k， 这样的话整体再去平方可能就要好算一点，好，进一步的话呢，就会变成三十六 k 的 平方，一减去六 k 加上九 k 的 平方，进一步把三十六 k 方给他乘进去， 乘进去以后呢，就会变成三十六 k 方，减去三十六乘以六，再乘以 k 的 三次方，加上三十六乘以九，再乘以 k 的 四次方。 紧接着来看一下后面的这一串，后面的这一串我们先把四给它乘到第一个括号里头去，乘进去以后呢，就会变成四加上 十二 k 方，再乘以二十七 k 方，减十八 k 减九，对吧？好，然后咱们就打开括号呗， 稍微的慢一些，四乘以二十七，那么也就是一百零八，一百零八 k 方，减去四乘以十八的话，也就是七十二减去七十二 k 减去四乘九三十六。然后再加上这个地方 又把它乘进来，乘进来的话呢，也就是十二乘以二十七嘛，对吧？十二乘以二十七，也就是三百二十四 k 的 四次方，减去十二，再乘以十八，那么也就是二百一十六 k 的 三次方，再减去十二乘以九，也就是一百零八 k 的 平方， 我们可以看到他们俩其实就抵消掉了，所以现在整个四指他就变成了什么呢？就变成这一坨，减去 这个地方剩下的这一坨。注意，由于这个地方是减，那么要变号，变号以后你看 会变成什么？变成加七十二 k 加三十六，减三百二十四 k 的 四次方，加上二百一十六 k 的 三次方没有了。好，最后我们再给他化解一下， 化简的时候注意合并同类项，这个地方三十六乘以六刚好是二百一十六，如此以来这一项和这一项抵消掉。三十六乘以九刚好是三百二十四，所以这一项和这一项抵消掉了，如此以来只剩下 这一项，这一项。这一项我们进一步可以把三十六提出来，把三十六提出来的话，括号里头就是 k 方，加上 二 k 再加一，对吧。其实这里头刚好凑成一个完全平方式，也就是 k 加一括号的平方 dueta， 它应该要大于零，我们要保证这条直线 他与椭圆要产生两个不同的交点。同学们，我们可以看到德尔塔要大于零的话，我们只需要保证 k 加一不等于零即可。因为 k 加一不等于零的话， k 加一的平方 必定是一个正数，从而他就是一个正数，所以 k 加一不等于零，也就是 k 不 等于负一。这个地方我们先不着急往下写。同学们，我们来看，如果说 k 一 旦取得负一 一带进来以后会发现什么？发现德尔塔等于零，德尔塔等于零意味着什么呢？意味着咱们的这条直线 d 一， 它和椭圆只有一个交点，此时是相切的位置关系，此时 d 一 它是这个样子的。 那我们想一下，咱们要保证有两个焦点，而且根据读题这个地方也讲了，咱们的这个点一，它只能够位于 椭圆的最上半部分，对不对？所以你想咱们的这条绿色的直线与这条红色的直线，他们俩倾斜角哪一个要大一点呢？首先明确他们俩的倾斜角都是钝角对不对？ 这两条直线，红色的这一条与绿色的这一条，他们俩的倾斜角都是钝角，但是我们可以看到绿色的倾斜角他要大于红色的倾斜角。 通过之前对直线斜率与倾斜角关系的学习啊，我们知道，当直线的倾斜角是钝角的时候， 倾斜角越大，斜率就会越大，所以绿色的这条直线，他的斜率 k 要大于红色直线的斜率。红色直线其实就是我们刚才讲相切的时候，这个时候他的斜率是等于负一的， 所以 k 他 要比负一大，并且还要小于零。为什么要小于零？因为钝角，当直线的倾斜角为钝角的时候，直线的斜率始终是比零小的好。这个地方呢，我们可以给他去说明一下， 当 k 等于负一时，直线 d 一 与椭圆这个时候的位置关系呢？是相切的。由题 及图分析， 我们容易得到这个 k 它要比负一大，但是呢要比零小。紧接着我们来看， 我们刚才连立的是直线 d 一 与椭圆的方程，对吧？所以接下来我们可以根据维达定力，把点一的坐标给它表示出来了。同学们，我们来看一下这个点一的坐标，咱们给它设出来吧， 咱们就写到这个地方来，点一的坐标设为 x 一， 逗号 y 一 吧。这个时候根据维达定律的话，注意了 这条直线，它与椭圆产生的两个焦点是点一和点 d， 而点 d 的 坐标我们是知道的，对不对？这两个点的横坐标分别对应这个方程的两个根，所以根据维达定律，我们会得到什么呢？会得到 x 一 加三 就是两根之合，它要等于负的 a 分 之 b， 也就是负的一加三 k 方分之 b 一 次项系数嘛， 六 k 减去十八 k 方，好，从而我们就可以把 x 一 给它表示出来嘛。进一步，咱们的这个 x 一， 它就等于 一加上三 k 方，分之十八 k 方，减六 k 再减三三，咱们给他通分一下，也就是一加上三 k 方，分之三乘以一加三 k 方，当然咱们把三给它乘进来，就变成三加九 k 方。 这个时候呢，我们就可以看到分母是一样的，对吧？分母是一样的，分子上就可以相减了嘛。我们就可以得到 x 一， 它就等于一加上三 k 方，分之 九 k 方，减去六 k 再减去三。这样一来，点一的横坐标 x 一 呢，就求出来了，它的重坐标，怎么样去求这简单呀，重坐标 y 一 的话，已经知道横坐标吗？ 它又是位于这条直线上的，所以把横坐标往这条直线里边带就可以了。带进去以后， y 一 它就等于 k 倍 x 一 减去三 k 再加一，对吧？进一步也就变成 k 乘以括号，一加三 k 方，分之九 k 方，减六 k 再减三， 减去三 k 再加一。这个地方咱们得通风一下，你看这个地方减三 k 再加一的话，进行通风以后会变成什么样子呢？来看一下。这个 k 乘到分子上去就变成九 k 三次方，减去六 k 方，减三 k， 对 吧？好，三 k 通分一下，一加三 k 方分之三 k 乘以括号，一加三 k 方，三 k 乘到括号里头来，就会变成三 k 加九 k 的 三次方， 后面加一通分一下，也就是一加三 k 方分之一加三 k 方，分母上都是一加三 k 方。分子上咱们该加就加，该减就减嘛，对不对？好， 分子上的话，其实就会变成什么，变成九 k 的 三次方减六 k 方减三 k， 减九 k 的 三次方加一加三 k 方。可以看到这个地方，这个地方抵消掉， 然后呢，这里和这里合并一下，就会变成负三 k 方， 这个地方会变成减六 k。 长竖向的话，还有一个加一吗？这就是点一的 重坐标 y 一 写到这个地方，我们可以看到这个点一的坐标，我们已经用含 k 的 表达式表示出来了，对吧？同样的道理，肯定也可以将点 f 的 坐标用含 k 的 表达式 表示出来呀。这个点 f 的 坐标我把它设为 x 二，逗号 y 二吧。怎么样去求点 f 的 坐标？求法和这个地方是完全一样的，所以咱们还是要动手去算一算，这个地方已经把 b f 的 直线方程表示出来了，对吧？所以我们还是要去连立 y 等于 k， x 加三 k 加一与椭圆的标准方程， x 方加三 y 方减十二等于零。这个地方我们是进行了去分母处理的，好，紧接着我们就给它消圆吧， 就会变成 x 方加上三乘以括号 y 方，也就是 k 方 x 方加九 k 方加一加上六 k 方， x 加上 二 k， x 加上六 k 减十二等于零。去掉括号 x 方，加三 k 方 x 方加上二十七 k 方，再加三 加上十八 k 方 x 加六 k x 加十八 k 减十二等于零。合并一下，这两项合并一下就会变成一加三 k 方，括号 x 方， 然后再来看这一项，这一项咱们给它合并一下，对吧？那么也就是加上十八 k 方，加六 k 括号 x， 剩下的就是常数项呢，加二十七 k 方， 加十八 k， 注意加三减十二，那么也就是减九等于零。此时我们连立的是直线 b f 与椭圆的标准方程，这个时候呢，同学们要注意点， b 的 坐标是负三，负一 点 f 的 坐标在这个地方，所以根据维达定律，我们会得到 x 二 加上负三，那么也就是减三，它要等于负的 a 分 之 b， 也就是负的一加三 k 方，分之十八 k 方加六 k， 对 吧？ 好，当然这个符号呢，我们可以给它乘到分子上去嘛，我们要想去求 x 二的话，就通过一项 一项处理。以后呢，我们就得到 x 二就等于负十八 k 方，减去六 k 除以一加三 k 方，加三 三的话，咱们通分，也就是一加三 k 方，分之三乘以括号一加三 k 方，把三乘到括号里头来，就是三加九 k 方。 好，于是呢，我们分母上都是一加三 k 方，分子上咱们给它算一算，就会变成负九 k 方， 减去六 k 再加三。横坐标 x 二求出来以后，重坐标 y 二就很好求了呀。 因为这个点 f 它位于这条直线上嘛，所以把它的横坐标往里边带，就可以求出 y 二了。 y 二它就等于 k 倍。 x 二加三 k 再加一， 进一步就等于 k 乘以负九 k 方，减去六 k 再加三分，母上一加三 k 方，我们可以把这个 k 给它乘到分子上去，乘到分子上去的话，就会变成 负九 k 的 三次方，减六 k 方加三 k， 对 吧？好，注意，这个地方我们给他改一下，这里就是三次方，这里就是平方，这里就会多一个 k， 后面加三 k 加三 k， 咱们给它通分一下嘛，也就是一加三 k 方，分之三 k 乘以括号一加三 k 方，把三 k 乘到括号里头去，就会变成三 k 加九 k 的 三次方， 再加上一，我们给它通分一下，一加三 k 方，分之一加三 k 方， 这个时候可以看到分母上都是一加三 k 方，分子上咱们给他算一算， 可以看到，因为中间都是加法嘛，对吧？所以这个地方这个地方可以抵消掉，然后这两项一合并的话，就会变成负三 k 的 平方， 这两项一合并的话，就会变成加六 k 嘛。这个地方还有一个常数一，这就是分子上。 这样一来我们就把这个点 f 的 重坐标 y 二求出来了，这个时候我们倒回来看看这个地方， 别忘了我们求出点一的坐标，点 f 的 坐标是为了什么，对吧？我们一刚开始就分析了，我们用喊 k 的 表达式去表示点一的坐标以及点 f 的 坐标，是为了 写出点 m 的 横坐标，把点 m 的 横坐标找到以后，这个时候就可以得到直线 o m 的 斜率了。 这个时候我们来看知道点 e 的 坐标，点 f 的 坐标怎么样求出点 m 的 横坐标呢？这个横坐标呀， 肯定也是和这个 k 有 一定的关系，对吧？这个时候我们要回过头来看一看点 m 是 怎么产生的， 它是直线 e f 与 b d 的 交点，所以对于这条直线 e、 f 而言，它就相当的重要了。同学们， 有可能这条直线的斜率不存在，因为当这条直线的斜率不存在的时候，他是一条数字的直线，这个时候 点 e、 点 m、 点 f， 这三个点的横坐标是一致的，所以这个地方我们就进行分类讨论。当 e、 f 斜率不存在时，这个时候点一和点 f 的 横坐标是一样的，对吧？所以有 x 一 必定会等于 x 二，那么也就是说这两坨要相等，它们两要相等的话，可以看到分母是一样的吗？只需要保证分子相等就可以了。也就是说 九 k 方减去六 k 减三要等于负，九 k 方减六 k 加三，好，进一步把 k 给它求出来来算一下，通过一项处理就会得到十八 k 方， 他要等于六，对吧？那么 k 方就等于三分之一，于是 k 他 就等于负的根号下三分之一。为什么是负的？因为这个地方解释了 k 大 于负也小于零嘛，所以 k 他 就等于 负的三分之根号三。当这个 k 等于负三分之根号三的时候呢？我们进一步其实就可以把 x 一 x 二的具体值求出来，带到其中一个去算一算就可以了，带到这个地方来算一下吧， 就会变成一加上三乘以这个地方 k 方，那么也就是九分之三，三分之一嘛，对吧？分子上 负九乘以 k 方，三分之一减去六乘以 k， 也就是它，那么就会变成 加六乘以三分之根三，再加三。好，然后分母上，也就是二，这个地方也就变成负三，这个地方就会变成二倍。根三再加三，它们俩抵消掉二和二约掉就等于根三。 所以这个时候我们就会得到点 m， 它的横坐标就出来了，根号三，逗号重坐标是一。 在这种情况下，我们已经求的点 m 的 坐标，进一步就可以得到直线 o m 的 斜率，根据两点求斜率嘛，他就等于一减零，比上根号三减零就等于根号三分之一。好， 这个时候呢，我们就会得到直线 o m 的 斜率与直线低一的斜率，也就是 k， 所以 o m 的 斜率乘以低一的斜率就等于 根号三分之一乘以负的三分之。根号三，所以就等于负三分之一。这是当直线 e f 的 斜率不存在的时候，得到的斜率之积确实是定值，也就是负的三分之一。 紧接着我们来看，如果说当直线 e f 的 斜率 存在的时候，好，我们来看一下，当这条直线它的斜率是存在的时候， 我们要想求出这个点 m 的 横坐标，其实难度也不大，这个点 m 的 横坐标，我把它设为 x 三八。这个时候同学们你看， 如果斜率存在，我可以由 e、 m 两点求斜率，也可以由 e、 f 两点求斜率，对吧？求出来的斜率都代表这条直线的斜率，所以求出来的斜率必定是相等的，也就是说这个时候我们由 e、 m 两点求出来的斜率要等于由 e、 f 两点求出来的斜率。刚才我们说了，这个时候我们设点 m 的 坐标是 x 三，逗号一嘛。 好，进一步我们就来算一算，点 c 的 坐标在这个地方，点 f 的 坐标这个地方，点 m 的 坐标这个地方。 首先我们来看由 e、 m 两点求斜率，这两个点求斜率的话，也就是重减重，对吧？ 负三 k 方，减六 k， 加一，比上一加三 k 方。减一，看到没重减重比上横减横，也就是它要减去 x 三 九 k 方，减去六 k， 减三比上一加三 k 方，减去 x 三。紧接着由 e、 f 两点求弦率要等于重减重。 负三 k 方，减六 k， 加一比上一加三 k 方，减去负三 k 方，加六 k， 再加一比上一加三 k 方。然后呢是横减横，它要减它 九 k 方，减六 k， 减三比上一加三 k 方， 减去负九 k 方，减去六 k， 再加三比上一加三 k 方。好，这个时候同学们通过这个等式呢，我们此时呢就把这个 x 三给它求解出来，计算量看着是有点大的， 这样吧，我们来看分子分母，对吧？我们为了去掉这个分母的话，我们就上下同时乘以一加三 k 方， 上下同时乘以一加三 k 方的话，我们就会得到什么呢？就会得到分子上负三 k 方，减六 k， 加一减去一减三 k 方。 分母上就会变成九 k 方，减六 k 减三减去 x 三，乘以一加三 k 方。 这是等号的左边。我们还可以进一步把这个分子上给它算一算，你看这两项一合并就会变成负六 k 的 平方， 然后加一减一就抵消，没了嘛，直接就擦掉了，这下面的话咱们就没有办法化解，咱们就先放着吧， 来看一下右边，右边一样的上下，咱们同时乘以一加三 k 方，分子上就会变成负三 k 方，减六 k 减一，加上三 k 方减一 分，母上就会变成九 k 方，减六 k 减三，加上九 k 方，加上六 k 再减三。好，进一步来看，这个地方，这个地方抵消掉，这个地方这个地方抵消掉，分子上就只剩下负十二 k 了，咱们就给它擦掉，写成负十二 k 分母上的话，你看它们俩合并就会变成十八 k 方， 然后呢，这个地方和这个地方抵消了减三，再减三就会变成减六， 还可以上下给它同时除以六，那上面就会变成负二 k， 下面就会变成三 k 方减一。 好，我们再来看一下这一边，我们可以把它提个负二出来，提个负二出来，括号里头就会变成三 k 方， 加上三 k， 对 吧？好，这个时候会发现这里有负二，这里有负二，刚好就约掉，所以左边分子上就只剩下一个 三 k 方加三 k， 右边只剩下一个 k。 哎，其实我们会发现，这里还可以继续提个 k 出来，提个 k 出来，括号里头就是三 k 加三，那这样一来这个 k 和这个 k 就 可以约掉，总的来说，我们的 右边分子剩下一，左边分子就剩下一个三 k 加三。好，这个时候呢，我们就来看看交叉相乘要相等吗？所以呢，我们就会得到 三 k 加三，乘以三 k 方减一，要等于九 k 方，减六 k， 减三减 x 三，括号一加三 k 方好。打开括号就会变成九 k 的 三次方 减去三 k， 加上九 k 的 平方减三，等于九 k 的 平方减去六 k 减三，减去 x 三乘以括号一加三 k 方， 两边都有九 k 方，可以抵消掉，两边都有减三抵消掉，对吧？于是呢，我们就可以看到 九 k 的 三次方加三 k， 它要等于负 x 三乘以括号一加三 k 方好。这两项我们可以把三 k 提出来， 把三 k 提出来，括号里头就会变成一加三 k 方嘛，要等于负 x 三倍一加三 k 方， 于是他和他约掉了，对不对？约掉以后呢？哎，同学们，我们就会得到三 k 等于负 x 三，也就是 x 三等于负三 k。 通过对这个设置的化简，我们就会得到 x 三等于负三 k。 化简的过程我们就放到草稿纸上去就可以了， 所以我们就会得到点 m， 这个时候它的坐标我们刚才是设为 x 三，逗号一嘛，那也就是负三 k 逗号一，因此就得到直线 o m 的 弦率一减零比上负三 k 减零， 就变成一比负三 k， 所以 就会得到直线 o m 的 斜率乘以直线 d、 e 的 斜率就会变成负的三 k 分 之一，乘以 k， k 和 k 约掉就等于负三分之一。我们就会发现，当 e、 f 的 斜率不存在的时候， 这个值依然是一个定值。所以总的来说，我们就得到直线 o m 的 斜率与直线 d、 e 的 斜率相乘以后，始终是定值负三分之一。 所以最后我们就可以下定结论了，同学们就自己下去写了。所以综上所述，直线 o m 与直线第一的斜率之积为定值，而且定值为负的三分之一， 我们刚才的做题过程都是基于咱们的这个点 b 在 左边，点 d 在 右边的情形，对吧？那么接下来 就给同学们解释一下，为什么当我们的 b d 位置互换以后，实际上不会改变最终的结果，直线 o m 与直线 d e 的 斜率之积依然为定值负三分之一。 好，现在这个解题的过程，我就暂时先给同学们擦掉吧， 擦掉以后呢，我再把这幅图简单的清理一下。现在同学们来看到这幅图，如果说咱们把 b d 的 位置给它互换一下， 紧接着我们根据题目把这幅图涉及到的一些直线给它画出来。首先呢，提到了直线 第一，对吧，这个地方请同学们注意，这个点一呢，他是这一节上面的动点， 只不过呢，我们在画这幅图的时候，我们随便的取在这个地方，但实际上这个点一的话，他是一个动点，所以在这个地方为了保持一定的对称性，这样同学们我把这个点一的位置呀取在这个地方来。 一会同学们就看得出来，为什么 b d 互换位置以后不会影响最后的结果。好这个点呢，我们把它记为点 e， 此时呢，我们去做出直线 d e。 根据题目的意思，我们过点 b 做出一条与 d e 平行的直线，而且这条直线与椭圆交于 f 点 f 点就跑到这个地方来了。紧接着呢，根据题目的意思，我们再去连接 e f， 连接 e f 以后， e f 这条线它会和 b d 产生一个点，也就是咱们的点 m。 好，紧接着我们再将 o m 进行连接，得到直线 o m 吗？ 这条线是直线 o m。 还有我们进一步再去找到直线 b e， 这个地方产生了一个焦点，就是点 n， 这条横折的直线，也就是直线 b d， 他的方程依然是 y 等于一。这个时候同学们， 我们来看一下这两幅图，你会发现实际上这两幅图它是具备一定的对称性的。如果说我们将这两幅图 重叠的放在一起，也就是将平面直角坐标系重叠的时候，将椭圆重叠的时候，你会发现这些线它具备一定的对称性，会关于 y 轴对称。 那么现在我们来探索这样的一个问题，当两条直线是关于 y 轴对称的时候，他们的斜率有没有关系？举个例子，比如这两条直线是关于 y 轴对称的，这个时候 这条直线的倾斜角我把它记为阿尔法，根据对称性，这个角它也是阿尔法对。然后呢，这条直线的倾斜角是贝塔，可以看到 阿尔法加上贝塔是等于 pi 的。 也就是说，当这两条直线是关于 y 轴对称的时候，他们的倾斜角是互补的关系。一旦倾斜角是互补的关系，那么同学们 这两个角的正切值就是互为相反数的。进一步，斜率就是互为相反数的。好，这个时候呢，我们就回到咱们的右侧的这幅图里边来，假如说咱们的这条直线 d 一， 它的斜率为 k 的 话，哎，这幅图里边直线 d 一 的斜率应该是 k 的 相反数，也就是负 k。 通过我们刚才的做题的过程，我们知道 o m 的 斜率 它是等于负三 k 分 之一的，对不对？好，同样的，这条线与这条线是关于 y 轴对称的，这个时候 o m 的 斜率它是等于三 k 分 之一的， 他们俩也是互为相反数的。如此我们可以看到，他的斜率乘以他的斜率等于定值负三分之一，他的斜率乘以他的斜率也等于定值负三分之一。因此，总的来说，不管 b、 d 两个点哪个点在左边，哪个点在右边，并不会影响最终的结论。再一次强调，这个点一 他是动点，对吧？他在这一节上边动，所以同学们不要纠结这个点一的位置，他能动到这个地方，就意味着他可以动到这个地方。好了，同学们，由于时间关系，今天就给同学们讲到这个地方，拜拜。

现在给同学们更新的是高中数学人教 a 版选修第一册的内容， 我们接着上一堂课来讲，现在请同学们翻开讲义三百四十二页，我们把这个辨识训练五讲完以后，咱们的选修一所有的内容全部就讲解完毕了， 紧接着呢就会给同学们继续更新选修二。好，我们来看一下这个题目， 便是训练物，如图所示，由抛物线 y 方等于 m， x 加一，其中 m 大 于零， x 大 于等于零和半圆 x 方加 y 方 等于 r 方，其中 x 小 于等于零所组成的曲线，称为黄金抛物线 c。 我 们先把这句话结合咱们的图一起来理解一下 这个地方呢，注意了，这个抛物线它并不是标准方程，对不对？你 从我们的这幅图其实我们就可以看到这个抛物线它大致是这样的一个情况，只不过在我们这个地方只保留了 x 大 于等于零的部分，那么也就是咱们的这两部分。 同学们注意看，红色的这两部分就是我们的这个抛物线保留下来的。在这幅图里边还有一个半圆， 通过半圆的标准方程可以看到这个圆的圆心就在坐标原点 o。 接着往后读题，我们来看一下由这个半圆和抛物线构成的这幅图呢，称为黄金抛物线 c。 好来看，他说若黄金抛物线 c 经过点三逗二和负二分之一，逗号二，分之根号三， 也就是说这两个点他是在这个黄金抛物线 c 上的。来看一下我们的第一问，第一问让我们去求黄金抛物线 c 的 方程。 我们的第一问其实是比较简单的，这个黄金抛物线 c， 它是由两部分组成的，对吧？好，那我们来看一下，对于 这个半圆而言，要想求出它的方程的话，实际上只需要把这个 半圆的半径求出来就可以了，这简单吗？他不是说咱们的黄金抛物线 c 是 过这个点的吗？这个点他是一个二象线的点，那二象线的话，就意味着这个点他只能够在这个半圆上， 所以这个点的坐标必定满足半圆的方程，于是同学们，我们将这个点的坐标必定满足半圆的方程，于是同学们，我们将这个点的坐标必定满足半圆的方程，于是就会得到 四分之一加四分之三等于 r 方，从而 r 方就等于一，因此这个半圆的方程就是 x 方加上 y 方等于一，其中 x 小 于等于零。紧接着我们来看这两部分的方程 怎么求，这两部分他是由这个抛物线保留下来的，可以看到，对于这个抛物线而言，只需要把 m 求出来即可，这简单呀， 过三斗二，这个点肯定位于第一项线，所以这个点呀，他绝对是位于这个抛物线上的。那我们就把这个三斗二带到里边去，带进去以后就会变成四等于三， m 加一， 从而我们就可以得到 m 等于一，于是就得到 y 方等于 x 加一，其中呢， x 要大于等于零。所以咱们的这个黄金抛物线， 也就是这条抛物线，它的方程就是由这两个构成的。 我们可以这么来写，黄金抛物线 c 的 方程为， y 方等于 x 加一，其中 x 大 于等于零和 x 方加 y 方等于一，其中 x 小 于等于零。这样一来，我们的第一问就解决了。 紧接着我们来看一下第二问，点 m 为黄金抛物线 c 在 第四象线上的点，且黄金抛物线 c 在 点 m 处的切线，恰好与黄金抛物线 c 在 第三象线相切于点 n， 求直线 m n 的 方程。好，我们来看一下第二问，它在表达什么意思呢？点 m 呢？它是第四象线上的点，对吧？好，那这个时候我们在这个第四象线上去找一个点 点 m， 紧接着来看这个黄金抛物线 c 在 点 m 处的切线，也就是说这个时候呢，我们要过这个点 m 去做出咱们的切线， 这个切线呀，与黄金抛物线 c 在 第三项线相切于点 n。 根据题目的意思，我们先把这条切线给他做出来。 现在同学们看图，我过这个点 m 做了一条黄色的切线，这个切线与这个黄金抛物线 c 在 第三项线也是相切的，并且切点即为点 n。 接着往后看要求， 最终第二问的要求呢，是让我们去求出这条直线 m n 的 方程。这个时候我们来看一下，对于这条直线而言，我们先把它的方程设出来，在设方程的时候怎么样去设呢？ 你看这两个点的坐标，我们都不知道对不对，不过呢，没有关系，这个点 m， 它的坐标我们是可以射出来的， 如果说我们射它的横坐标为小 a， 哎，你看，当 x 等于小 a 带到这个地方来，就会得到 y 方等于 a 加一， 那这个时候 y 它就等于负的根号下 a 加一。当然一定要注意，因为它位于第四象限，所以 y 是 取负的，这个时候有根号， 所以我们想着我可不可以不去设它的横坐标，而是去设它的重坐标呢？如果我设 y 等于小 a， 这个时候带进来以后，我们就会得到 a 方等于 x 加一，所以 x 就 等于 a 方减一。哎，你看，此时就没有根号， 那么这个时候呢，可能在书写以及计算上可能要好一点，所以这个地方点 m 的 坐标，我们设它的纵坐标为小 a， 它的横坐标就是 a 方减去一， 我们设出点 m 的 坐标以后，其实呀，现在就可以把这条直线 m、 n 的 方程给它设出来了， 有一个点对吧？而且它的斜率肯定是存在的，而且斜率不稳定，为什么说斜率肯定是存在的？假如斜率不存在，这条线是这个样子的，此时它不可能和这个半圆是相切的。 如果说他的斜率为零的话，他是一条横折的直线，这个时候呢，他和这个半圆也不可能相切。因此咱们的这条直线 m、 n， 他的斜率肯定存在，而且不为零，于是把他的方程 设为点斜式方程， y 减 a 等于 k 倍，括号 x 减 a 方加一。好整理一下，也就是 y 等于 k 倍， x 加上 k 减去 k， a 方，再加上 a， 其中要注意，这个 k 代表的是这条直线的斜率，它是 不等于零的。好啦，射出来以后呢，一定要关注这两个位置关系相切。 首先我们来看，既然这条直线 m、 n 和这一部分抛物线留下来的这一部分是相切的，那意味着什么？意味着当我们连立抛物线方程与直线方程以后， 咱们先连立吧，连立看一看会得到什么样子？ y 等于 k， x 加 k 减去 a 方再加 a， y 方等于 x 加一，这个地方我们就消掉 x， 你 看通过它变形就会得到 x， 它是等于 y 方减去一的，再带到这个地方来，带进去以后呢，它就会变成 y 等于 k， 乘以括号， y 方减一，加 k 减 k， a 方再加 a。 好， 移项整理一下，也就是零等于 k， y 方减去 y 减去 k， 再加 k， 减去 k， a 方再加 a， 它们俩抵消掉，所以就会得到 k， y 方减去 y 减去 k， a 方加上 a 等于零。由于我们这个地方已经说明 k 不 等于零，那么这个方程必定是关于 y 的 一元二次方程，这个地方又是相切的，那说明什么？说明这个方程 它有两个相等的时数根，这样从图像上来等于零。我们先来算一下德尔塔，德尔塔 这个地方它就等于负一的平方，减去四乘以 k， 再乘以 a， 减去 k， a 方好，于是就会变成一减去四 k a 加上四 k 方 a 方，这个就是我们的德尔塔， 一加上四 k 方， a 方减去四 k a。 我们把德尔塔算完以后，要保证什么呢？要保证咱们的德尔塔它是等于零的。好，所以我们就会得到四 k 方 a 方减去四 k a 加一，它要等于零。 这个地方其实我们可以进行配方，不过可能有的同学他看不出来，同学们来看，如果说我将这个 k 乘以 a 打包成一个整体， 我们用 t 来表示这个整体好，此时他不就变成了四梯方减去四梯再加一等于零吗？对不对？好，这个时候怎么做呢？此时我们就可以 进行配方了呀，因为他可以看成是关于 t 的 一元二次方程。这个地方四梯方，我进一步可以把它写成二 t 的 平方， 于是你看这个地方的一，我又可以把它看成是一的平方，这三项不就刚好凑成二 t 减一括号的平方吗？对不对？ 好，于是我就可以看到二 t 它就等于一，那么 t 它就等于二分之一。 t 不 就是 k a 吗？ k a 等于二分之一，那我至少就可以找到 k 和 a 之间的关系了呀，是不是也就是咱们的这个斜率 k， 它就等于一，除以二 a。 这样一来，咱们这个地方的相切这个条件呢，算是派上用场了。好，别忘了这个地方还有一个相切，对吧？这条直线和 这个圆相当于是相切的位置关系。我们刚才也分析说了，既然相切，那就说明圆心到直线的距离要等于这个圆的半径，这个圆的圆心就在坐标原点 o， 那 就意味着咱们的这个坐标原点 o 零对零，它到这条直线 m n 的 距离，这个距离刚好要等于这个圆的半径，这个圆的半径从这个地方就可以看出来，它的半径肯定是等于一的嘛，对不对？好，那现在的话呢，我们就来列式子啦， 点到线的距离公式点到线的距离公式，我们得把这条线的方程化为一般式方程，化为一般式方程 m n， 它的方程就会变成 k x 减去 y 加上 k 减去 k， a 方加上 a 等于零。点到线的距离公式，首先分母上根号下一加上 k 方，这个一怎么来的？它是 y 的 系数负一的平方，这个 k 方是 x 的 系数 k 的 平方 分子上绝对值符号先照写着点 o 的 坐标，零逗零嘛，把零逗零带到等号的左边来，零逗零带进来，那么 就只剩下 k 减去 k， a 方再加 a 了。圆心到直线的距离要等于圆的半径，也就要等于一。哎！从而，同学们，结合这两个关系，两个等式，两个未知数，咱们肯定能够把这个 k 以及 a 解出来。 既然 k 等于二， a 分 之一，把这个关系带到这个等式里边来。好，咱们打个草稿来看一看。带进来以后就会变成绝对值二 a 分 之一减去二 a 分 之一 乘以 a 方，再加上 a， 比上根号下 k 方，也就是四 a 方分之一，对吧？要等于一，好，进一步来看一下这个地方， a 方这个地方有一个 a， 那 可以约掉一个 a， 约掉一个 a 以后，分子上就会变成二 a 分 之一减去二分之一 a， 再加上 a 的 绝对值 a， 这两坨一合并，其实就会变成加二分之一 a， 对 吧？分母上根号下一加上 四 a 方分之一要等于一。咱们等式两边就同时平方，同时平方以后就会得到四 a 方分之一加上四分之一 a 方，再加上二分之一 分母平方就是一加四 a 方分之一，右边平方一，对吧？然后把它给它乘到右边来，所以就会得到 四 a 方分之一加上四分之一 a 方，再加上二分之一要等于一。加上 四 a 方分之一，他们俩就抵消掉，抵消掉也就是四分之一 a 方就等于二分之一，于是二分之一 a 方就等于一，那么 a 方就等于二。哎，同学们，我们来看，如果 a 方等于二， 那 a 不 就等于正负根号二吗？对不对？所以我们得到 a， 方等于二， 所以 a 就 等于正负根号二， a 等于正负根号二，咱们的 k 就 出来了呀。 k 它就等于什么？ k 就 等于一，除以正负二倍根号二。 当然，我们呢来看，这个 k 相当于是两个取值嘛， k 等于正的二倍根号二分之一，也就是四分之根号二。还有一个取值 k 等于负的四分之根号二嘛，所以 k 它就等于 正负四分之根号二。这个地方一定要注意，咱们的 k 和 a 的 取值是同号的，如果 a 取负根号二，那么 k 就 等于负四分之根号二。如果 a 取正的， k 也是取正的。结合我们的这个题， 这条直线 m n 的 斜率到底是正的还是负的？这个 m n 的 趋势，它只能是这样的一个趋势，对不对？那此时它的这个倾斜角是钝角，斜率肯定是负的呀。 又因为由图及题分析，亦得 这个 k 是 小于零的，所以咱们的 k 只能够取负的四分之根号二， 这个 a 它只能取负根号二。如此以来，我们第二问要求的 m n 的 方程就出来了。把 k 和 a 的 值带到这个地方来，我们来算一下，就会变成什么？变成 y 等于负的四分之根号二， x 减去四分之根号二，减去就会变成加，因为这个 k 它是负的，对吧？加四分之根号二， a 方也就是二，再加上 a a 的 话，也就是根号二，那么就是减去根号二。好，给他算一下，就是 y 等于负四分之根号二， x 加上四分之根号二，减去根号二，这个地方再算一算，就会变成减去 四分之三倍根号二等式，两边同时乘以四四 y 等于负，根号二 x 减去三倍根号二，一项处理也就会变成根号二 x 加上四 y， 加上三倍根号二等于零。这样一来，我们的第二问呢就解决了。紧接着我们来看一下第三问。 讲第三问之前，我把这个图呢移动下来，方便同学们观看，包括我们在第一问求出来的 这个黄金抛物线 c， 它的方程我也给同学们摞下来了。好，来读一下题目， 我们结合图来看一下，这个地方是点 p， 题目说了，这个点 p 的 坐标是零抖一嘛，对吧？我们过这个点 p 呢，做了一条直线直线 l， 也就是这条直线，看到没， 这条直线 l 与黄金抛物线 c 交于 a 点， p 点 b 点， 而且这三点是共线的，这三点是在一条直线上的。好，紧接着我们再看题，现在问咱们是否存在这样的直线 l， 使得这条直线 q p 平分角 a q b 在 这个地方吗？ 它呢，要平分咱们的这个角角 a q b。 问你，这样的直线 l 是 不是存在的，对吧？ 如果说存在，让我们求出 l 的 方程，如果说不存在，让咱们说明理由。 这样的直线 i o 是 否存在，其实我们现在也不清楚，那我们可以先假设这样的直线 i o 是 存在的，那么 i o 的 话，他要过点 p 零抖一，而且他的斜率绝对是 存在的，如果他的斜率不存在，他是这个样子的，这是不符合 t 的， 对不对？那这个时候 i o 的 方程我们就可以把它设出来了呀。 斜率设为 k， 又要过点零到一点斜式方程 y 减一等于 k 倍，括号 x 减零，整理一下，也就是 y 等于 k， x 加一， 并且这个斜率 k， 它还不等于零，为什么？因为它等于零。这条直线 l 是 一条横折的直线，它也是不符合题的。 这个时候由于涉及到了焦点 a 和焦点 b， 那 此时我们可能需要去连立 l 的 方程与黄金抛物线 c 的 方程，但是注意，它的方程是有两部分的， 所以我们就需要连立两次这个点 b 的 坐标，我们把它设为 x 二，逗号 y 二点 a 的 坐标设为 x 一， 逗号 y 一。 好，这个时候我们来看， 如果咱们要去求点 b 的 坐标，我就要连立 y 等于 k， x 加一与这个方程，也就是 y 方等于 x 加一。 接下来咱们就进行消元，把 y 等于 k， x 加一带进来，带进来以后就会得到 k 方 x 方加上二， k， x 加一等于 x 加一，加一和加一抵消掉，就会得到 k 方， x 方加二， x 减去， x 等于零。哎，其实这个地方我们可以把 x 提出来，对吧？ 把 x 提出来，也就是二 k 减一，括号 x 等于零。这两项都有 x， 我 们把 x 提出来，括号里头就是 k 方 x 加上二， k 减一等于零。好，那可以看到， 由于 k 不 等于零，这个方程肯定是关于 x 的 一元二次方程，对吧？它们俩相乘等于零的话，这个方程就有两个根，要么 x 是 等于零的，要么这一坨等于零。当这一坨等于零的时候，也就是 k 方 x 加二， k 减一等于零，那么 k 方 x 就 等于一减去二 k， 于是 x 它就等于 k 方分之一减二 k， 很 显然，这个值肯定是点 b 的 横坐标了，所以我们就求得咱们的这个点 b 的 横坐标 x 二，它等于一减二 k 除以 k 方。 同时，我们把 x 二带到这个地方来，还可以求出 y 二，因为这个点 b 它也在直线 l 上嘛，对吧？好，带进去以后， y 二，它就等于 k 乘以一减二， k 比上 k 方 再加一，好，从而就变成什么呢？就变成 k 分 之一减二 k 再加一 g 的 话，我们给他通分，也就是 k 分 之 k， 所以 y 二，他就等于 k 分 之一减 k。 同理，我们来求下这个点 a 的 坐标吧。年龄 l 的 方程以及这个方程，也就是 x 方加 y 方等于一。好，咱们一样的还是选择去消圆吧。 x 方加上 k 方， x 方加二 k， x 加一等于一，好。进一步可以看到，这个地方题共因式就会变成，一加 k 方，括号 x 方加上二 k， x 等于零。 好，进一步我们再来看，要想求出点 a 的 坐标，这两项都有 x， 我 们就把 x 提出来，括号里头就是一加 k 方，括号 x 加上二 k 等于零，对吧？ 显然，由于咱们这个地方二次项系数肯定是一个正数，所以它是关于 x 的 一元二次方程。两个根 x 等于零，或者这一坨等于零，当它等于零的时候，也就是一加 k 方乘以 x 要等于负二 k， 从而 x 就 等于负二 k 除以一加 k 方，这就是我们的点 a 的 横坐标，所以 x 一 就等于负二 k 除以一加 k 方。把它带到这个地方来，可以求出点 a 的 重坐标。好，咱们带进来，把点 a 的 重坐标求一求 带进来也就得到 y 一， 它等于 k 乘以负二， k 比上一加 k 方，再加一，对吧？ y 一 就等于一加 k 方分之负二， k 方一给它通分，一加 k 方分之一加 k 方，从而就会得到 y 一 等于一加 k 方分之一减去 k 方， 算到这个地方，接下来又该怎么样去做呢？算出来的这些点的坐标又有什么样的用处？我们再一次回到咱们的这个题目中来，我们是希望这条红色的线 q p， 它能够平分这个角，对吧？而这条红色的线是很特殊的 p q 两点坐标题目已经明确告诉我们，零的一和零的负一，那么这条红色的线，它的斜率是 不存在的，它与 y 轴是重合的。同学们想一下，如果说这条线确实平分了这个角，那么咱们的这两条直线 q a 和 q b 有 没有什么关系？不就意味着这条直线 与这条直线是关于 y 轴对称的吗？对不对？关于 y 轴对称的话，你想，如果它的倾斜角即为阿尔法，根据对称性，这个角也是阿尔法， q a 的 倾斜角是旁边的这个角，也就是贝塔。可以看到阿尔法和贝塔是互补的，也就是相加等于派。当两个角 是互补的时候，这个时候两条直线的斜率又有什么样的关系？你看这个 k q a q a 的 斜率，它等于贪婪求贝塔，而贝塔我可以写成派减阿尔法。利用诱导公式，它等于负贪婪求阿尔法，而它不就是 q b 的 斜率吗？也就等于负的 k q b。 也就是说呀，你看一头一尾，原来 k q a 加上 k q b 等于零， 两个斜率是互为相反数的，这是非常关键的一个关系，我们找到这个关系以后，接下来我们的问题就很好解决了呀。先把刚才打的这些草稿给它擦掉，还有这个图我也给它擦掉吧。 刚才得到一个非常重要的结论，是什么呢？是我们已经能够假设它平分这个角以后呢？哎， k q a 加上 k q b 是 等于零的， 我们可以这么来写，若存在直线 l， 使得 q p 平分角 a q b 就是 把这个地方给它抄一抄，这个时候呢，必有 k， q a 加上 k， q b 会等于零，对吧？ 这个时候我们来看 q a 的 斜率， q 点坐标零的负一， a 点坐标这个地方两点求斜率，所以就会得到 一减 k 方比上一加 k 方减去负一，相当于是加一比上负二， k 除以一加 k 方减去零。减零的话我们就不写了嘛， 这个就是 q a 的 斜率，同理， q b 的 斜率也就是一减 k 比上 k 加上一 比上一减去二 k 比上 k 方要等于零。我们看能不能把 k 的 值找到，如果能找到，说明这样的直线 l 确实是存在的，如果找不到 k 的 值，那就说明 l 是 不存在的， 那么我们接下来就看一下能不能把 k 的 值给他找到。对于分子分母而言，我们可以上下同时乘以一加 k 方，分子上就会变成一减 k 方，加上一加 k 方比上负二 k。 进一步你看这个地方，同样的，我们上下同时乘以 k 方，分母上就会变成一减二， k 分 子上就会变成 k 乘以一减 k， 当然 k 乘进来的话，就会变成 k 减 k 方， 还要加上这个地方的一，也要乘以 k 方，那么就是 k 方要等于零，对吧？会发现他和他抵消，他和他抵消，哎，所以我们就会得到什么呢？就会得到 二比上负二 k 这个地方其实进一步就会变成负 k 分 之一， 再来看后面就会变成 k 比上一减二， k 要等于多少？等于零。咱们等式两边再同时乘以 k， 括号一减二 k， 于是这个等式就会变成负的括号一减二， k 加上 k 方等于零，对吧？就是 k 方加二， k 减一等于零， 我们可以采用配方，配方的话也就会变成 k 加一，括号的平方减一，再减一等于零，也就是 k 加一，括号的平方要等于二， 于是 k 加一就等于正根号二，或者 k 加一等于负根号二。进一步我们就得到 k 有 两个取值，所以咱们的这个 k 它就等于根号二减一，或者 k 等于负根号二减一。那么接下来就会面临个问题，什么问题呢？这两个值到底取谁？还是说他们俩都要取呢？我们接下来肯定要仔细的去看一看这个问题。 根号二减一的话，它是一个正数，负根号二减一，它是一个负数。斜率是正数，说明倾斜角是锐角，斜率是负数，那说明倾斜角是钝角。 那这个时候我们结合图来看一下，从图大概率也能猜到，这个 l 的 倾斜角他是锐角，所以这个斜率 k 他 应该要取根号二减一。 当然我们也可以更加的严谨一点。怎么样去严谨一点呢？这个点 a 的 横坐标这个时候是负的，点 b 的 横坐标呢？是正的， 也就是说 x 一 小于零， x 二他要大于零，对吧？两个条件呢是同时满足的。哎！这个时候我们来看 x 一 是负数，这一坨是负数，而分母横正，既然分母横正， 分子必定是负的，只有这样他才会是负的。我们来看，如果分子是负数，那意味着 k 绝对是正数呀，对吧？ k 大 于零。再来看， x 要大于零， 他要大于零，他的分母是恒正的，那意味着一减二， k 必须要大于零。同学们，一减二， k 大 于零，进一步就可以把 k 的 范围锁定，所以就会得到 k 大 于零， k 小 于二分之一，两个条件同时满足，得到 k 大 于零，小于二分之一，这个时候我们来看 这个值，他到底在不在这里边呢？根号二减一，他和二分之一谁大谁小？ 如果说对根号二比较熟悉的同学，他应该是能够知道的，但是有的同学他不知道，他不知道什么呢？他不知道根号二约等于多少，对吧？不知道的话，咱们可以记一记根号二， 它是约等于一点四幺四二的，一点四幺四二减一，这个结果是零点四几，零点四几肯定在这个范围之内，所以咱们的这个 k 等于根号二减一。 如果不知道这个的同学，我们又怎么样去判定呢？我们进一步来看一下，也就是说我们现在要去看一看根号二减一 与二分之一的大小，它肯定是正数，但是它和二分之一谁大谁小呢？它们俩比较大小，我们可以采用做差，对不对？我可以用它减去它， 将结果和零比较就可以了。好，进一步就变成根号二减去二分之三， 根号二照写二分之三，我可以写成根号下四分之九，哎，这个时候你看 二他是小于四分之九的吗？四分之九的话，他是二点几吗？对不对？所以他小于他。那这样一来，同学们，小的减大的不就是负数吗？因此他要小一点，他要大一点， 所以根号二减一，确实在这个范围之内，他是可以取的。既然我们已经把这个斜率 k 存在的值找到了，那就说明咱们的这样的直线 i o 他 确实是存在的， 我们就可以下定结论，所以存在。咱们写下吧，直线 l， 并且 l 的 方程把它写出来。 y 等于 k， x 加一， k 等于根号二减一，那么也就是 y 等于根号二减一，括号 x 加一， 它呢会使得咱们的 q p 平分角 a q b。 好 了，同学们，我们这个题目呢就讲解完毕了，随着这个题目的结束，我们的选修一所有内容到此结束，下节课再见！拜拜！

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这本书和我前不久测评的解析几何背后的解析逻辑啊，有异曲同工之妙。当然这两本书它也有很大的区别，像这本书它更偏向于培优了，有适合我们尖子子，你想彻底拿下高考那个圆锥曲线压轴题， 难度呢？也难度和生动呢，相对来说也会偏高一些。而这本书它更适合我们高傲，或者你高三就是刚开始接触圆锥曲线，想把它学好，想养成一个良好的解析习惯跟解析框架来进行使用的。当然这本书它虽然基础门槛要求不高，但它的上限并不低，上限也是很高的。 我们来看一下它的目，它主要分为四个部分，第一个手法篇，讲讲解一些基本的方法。第二部分翻译片，就是教我们如何转化题目中的条件。 第三个计算片，计算片我认为是这本书的重中之重，尤其是书写习惯和处理习惯，就是教我们手把手的，一步一步呢，构建一个良好的圆锥曲线解析习惯，来达到减少不必要的计算量的目的。 再呢或是专题片是站片。首先我们来看下手法，他这本书呢，跟这本书类似，他讲解真的非常详细，我们可以看出他讲解有底题。首先他的分析思路啊，篇幅非常大，而且他把每一步的过程都给你分析的，为什么这一步这样做会减少计算量，而那样做会增加计算量，叫我们合理的优化计算策略。 然后才是答案解析，答案解析之后，我们也还可以看出他的总结，包括延伸非常多内容，也就说他一个例题花了三四页纸来讲，你说这个题目他能不给你讲透彻吗？ 包括后面的题也是他都是一大串分析，然后是解答，解答，有的时候还会给出一题多解，然后是总结。 然后第二部分是他的翻译篇，就是教我们如何去翻译题目中的条件，如果翻译角，然后线各种这样的话呢，能让我们解析的手更加直观，减少不必要的印刷量。第三部分就是我刚才提到的着重提到的非常重要的计算篇，这一部分呢就是尤其是我们新手啊，在学圆对曲线的时候，你一定要养成一个良好的解析习惯， 而他从书写即忘，就是每一步手把手细致入微的教你圆锥曲线如何优化计算策略。对于我们高二新接触的来说是非常值得去学习的，我可以说你把他这一部分，第六章这一部分，你这二十页纸你学会了，你这本书，你绝对把他的本钱给赚回来了。 后面呢是一些专题，比如说对称或者不对称的这种题型，然而还会有一些专题，比如说对称的这种题型的答案呢，也是比较详细， 每个题目都有详细的解答，而且有的题目还会有一题多解。第三本它是有一个真题汇编，它把最近十年的圆锥曲线真题都会在一起，包括最新的二零二五年的真题，它也有， 等到我们学的时候也了解高考的那个趋势，不会学篇。整体来说，这本书啊和这本书我都是是我非常喜欢的两本圆锥曲线入门书，这本是更适合我们初学的时候用来体系的构建，这本呢教我们更进一步的培优，然后解决圆锥曲线的一些来，稍微来点听这次测评呢，到此结束。

星火燃起的 浪漫，站久伴你长 亭，也是我心之所归。我 淡泊日暮，牵徊你所爱的日间， 拥的笑脸，你的手，我攀山再接，请带我去明 天我愿活着， 有我了，就深深的爱往前迈你 心的小径，你的生活开始在前进，对 不对？你会说你最红过我天忘我，我成你， 我成就把你成 这鬼，我一瞬间往前迈你心。

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