高中物理必修二平抛运动如何作图

平抛运动没有那么简单，五分钟学完进阶版。现在小球从鞋面顶端平抛，刚好落到鞋面底端。在这个过程中，我们要研究七个问题。 要想理解平抛进阶，我们先要知道速度偏转角和未移偏转角的关系。在这个场景中，速度偏转角是不是就看现在速度方向和原来速度方向的夹角平移下来就是 c 塔吧。 而位移偏转角是不是看出末位置连线和水平面的夹角，你会发现是这个角度吧？而两直线平行内错角相等，所以位移偏转角就是斜面倾角 f。 第一问，我想知道从 a 到 b 要花多长时间？我们可以直接把这个结论拿来套用吗？已知 两倍的 tangent 等于 tangent theta， 而 tangent theta 在 这个速度三角形中是不是可以写成 v y 比 v x， 而 v y 又是谁？数值方向再加速吧，等于 g， t 比上水平方向就是 v 零。所以经过一项，我们把 v 零移到左边，把 g 移到左边，很轻松地求出了从 a 到 b 的 时间，应该就是 t 等于 两倍的 v 零，乘 tanthan five 除以 g。 第二问，在此基础上，我想求出 a 到 b 之间的距离怎么办？是不是 a 到 b 的 时间我已经知道了，而 a 到 b 就是 一个平抛吧？所以我可以根据时间先算出水平方向为宜， a 撇 b， 再在这个三角形中结合 far 的 三角函数，从而反推出 a b 的 长度吧。好水平方向的平抛，我们可以知道水平方向长度 a 撇 b 应该就等于 v 零， t 还有什么？还有，在这个三角形中的三角函数关系应该是 a b 乘以 cosine phi 就 等于 a 撇 b 吧。而我们现在的做法是不是把刚才的 t 带入到这个式子，就可以求出 a 撇 b， 然后再用 a 撇 b 除以 cosine phi， 最后算出了 a b 吧。二、 v 零方摊正的 phi 比上 g cosine phi， 现在我想求出从 a 到 c 花了多少时间。 c 点是在整个平抛运动中，距离 a b 斜面最远的地方的那个点。在这个地方，如果你还是傻傻地往前看这个图，你是做不出来 tac 的。 现在，请跟我一起 把你的眼睛移到这个视角。你的眼睛在这，你的头要向右边转动一个角度，这是你的头。你从这个视角去看这个运动，它是不是类似于一个在 a b 平面上的斜抛？那么在这个斜抛中，什么时候有距离地面的最高点呢？哦， 是数值方向速度为零的时候。当然，这个地方的数值方向指的是你的眼睛看过去的数值方向，也就是这样的数值方向。那在这个方向速度为零，是不是就意味着 c 现在只有水平方向速度，而水平方向速度就是沿着这个斜抛打个引号 这个方向的切向吧。而由于现在这个 v 的 方向是轨迹的切向，所以它是平行于斜面的。那我们如果把水平方向虚线划出来，两直线平行，这个角度是否是不是就意味着这个角度也是否啊？在这个新的小三角形中，我是不是仍然可以找三角函数就是 tangent？ 在 新三角形中，应该等于此时的对边比邻边，此时的对边应该就是 v y 一 撇吧，零边仍然是现在的 v 零，因为 v 零是不会变化的，写下来，而 v y 一 撇，是不是又可以写成 g 乘以 t 一 撇啊？下面的 v 零保留不变。根据这一个式子的移项，我是不是就求出了 a 到 c 现在新用的时间 t 一 撇， t 一 撇应该等于 v 零移过去 v 零乘以 tangent five， 再除以 g。 基于刚才的三问，我们接着来求 c 点到斜面之间的这个间距到底是多少？那想要求这个问题，我们必须先把斜抛搞清楚。 如果一个物体在水平面上斜抛，那么它的速度方向应该有一个夹角是 v 零，它的轨迹应该长这个样子。我们的处理方法是把现在的速度分解成数值方向的速度 v y， 还有水平方向的速度 v x 吧，并且在两个方向去列式子， 从这个点到最高点只看数值方向 v y 到最高点变成了零，所以时间我们可以直接写成 v y 除以 g。 因为 v y 变到零是因为有向下的加速度让它变的，所以写出时间 t。 而在从这个点到最高点的过程中，根据速度位移公式，我们又可以写成 从 v y 变成零。所以 v y 方应该等于二 a x， a， a 就是 g， x 就是 数值方向的位移是 y。 根据二式，我们就可以求出 这个最大高度 y 的 表达式应该是 y 等于 v y 方除以二 g。 那 在这个场景中，我们说如果你把眼睛移到这个位置，往这个方向去看的话，它是不是长得跟它一模一样？现在的地面就相当于 a b 这个斜面吧。 所以我们的思路就是把所有的量沿着新的这个方向分解，然后再根据斜抛中的推论去解决这个问题。沿 c d 方向建立 y 轴，再沿斜面方向建立 x 轴。 我们先要把速度往两个方向去分解吧。好，先分解出一个速度，它应该是 v y， 再分解出 v x 这个速度。但是现在做完了吗？这件事情是不是加速度也得分解？因为加速度它是向下的 g， 而我们现在要站在这个视角去看这个问题，所以我们要把向下的加速度 g 同样也进行分解吧。分解为垂直于斜面的 a y， 分 解为沿斜面方向的 a x。 好， 我们把思绪重新带回到这里， 我们在这个图中写出 x y 方向的所有量。平面上的斜抛是怎么算最大高度 y 的？ 哦，是用 v y 方除以二 g。 那 现在我站在这个视角，新的 v y 方，请告诉我是什么？仍然等于 v y 方除以二 g， 只不过这个 g 变成了这个方向的加速度，这个方向的加速度在这里是 g， 在 这里是不是 a y 啊？下面 a y 也要代入，所以变成二 g cosine sine， 最后经过化解，上面有 sine f 的 平方 v 零方 sine f tangent f 比上二 g。 现在我们再来看五六七。我们先看 a d 和 d b 的 长度关系， d 是 c 最高点往斜面做垂线，所以有人二话不说就在这里填了等号。因为在平面上的斜坡这个地方确实是中点， 但是在斜面上，请你们思考这里到底是不是终点？虽然这两段时间相同，但是在斜面上它是在做 加速运动吧，所以在相同的时间内，一定是越往后面它的速度越大，所以在相等时间内，在后面这一段它走过的位宜更多，所以这里应该填 d， b 要大于前面的这一段 a d。 而同样的道理，我已经知道 a 到 c 和 c 到最低点，它们所用时间是相等的，所以我现在把视角给它移正，就去正视它。 那我们会发现 c 往下如果做一条垂线，那确实在两段相等的时间内，在水平方向上，它是在做匀速运动，所以从 a 到 c 撇的距离等于 c 撇到最低点的距离。 那如果我最后从 c 点往左边做垂线，交于左边的 a， a 撇于 f 的 话，我想知道它们的比值是多少。如果你现在已经理解了整个问题，你会知道从 a 到 c 的 时间和从 c 到最低点的时间所用应该是一样的。 所以在相等时间内，数值方向上应该在做匀加速直线运动。所以 a f 比 fa 一 撇满足零点推论也满足等时位，以比匀加速直线运动中的等时位，以比间隔之比 a f 比 fa 一 撇应该是一比三。

高中物理有这么一个二级结论，课本没有，老师不教，考试常考，但是学霸都知道，一直偷偷用。 没事的琴姐用一道题教会你使用这个二级结论叫斜面平抛，让你之后遇到运动学难题，再也不发愁拿走这一份高 初中目的二级结论解析模型大全，免费下载打印。那咱们看到这种类型的问题，首先它会有一个斜面，同时我从斜面上平抛一个小球落回到斜面，按照琴姐的课程体系，就把它叫做斜面平抛落斜面。那这个时候我知道啥呀？知道这个小球的出位置， 知道这个小球的末位置，所以出末位置的连线叫做谓移，我就知道一定是沿着斜面的，沿着斜面的谓移知道了之后，我就可以分解这个谓移对不对？所以将这个谓移沿着竖直方向和水平方向分解，竖直方向谓移在这儿， 水平方向谓移在这儿，同时这个角度是什么角啊？不就和这个角叫同位角吗？因此它就是 set 角，因此在上面这个红色的三角形当中，对边和邻边就是 set 角的关系，咱就可以用 它经得 c 塔来表示对边 y 比上零边 x， 而数值的位移，由于平抛运动数值方向作自由落体，所以自由落体的位移二分之一 g t 方水平 x 位移是 v 零乘以 t， 所以 t， t 干掉之后，那把 t 挪到一边来，所以 以时间 t 就 得到等于二 v 零。 tangent theta 比上 g 好， 这时间就算出来了。时间算出来之后，你发现二是一个常数吧。 tangent theta 是 不是只跟这个斜面的倾角有关？ g 也是个常数吧？ 好，那如果说在同一个斜面的情况之下啊，同一个斜面的情况之下，那这 tangent， theta 以及 g 都是常数都不变，那时间应该 正比于出速度 v 零，是这意思不？那时间正比于出速度 v 零这玩意儿怎么用呢？如果说我现在平抛是以一个 v 零平抛打到这儿，那现在如果我的出速度变大一点儿， 变成 n 倍的 v 零，这个 n 呢？可能取二，可能取三，可能取四，可能取什么二点五之类的吧，都可以取，是不是？反正它是我出速度的 n 倍。好，那当我的这个 v 零变成 n 倍的 v 零之后，那运动的时间呢？如果你还能够抛回到斜面上，从抛出到落回斜面所画的时间，这个时间 t 是 不是正比于 v 零？换句话来说，咱们写一下出速度 v 零之比是一比上 n， 那 时间之比 是不就是 e 比上 n， 这没毛病吧啊？初速度是 v 零比 n 倍， v 零不就一比 n 了？那时间呢？因为它是正比于 v 零的，所以就应该是一比 n。 这件事情写完了之后，还没有完，咱们可以来看一看我落到斜面上的末速度。那这个末速度怎么求啊？咱写在这好不好？这 个末速度 v 应该是可以分解一下写成水平方向的 v 零和数值方向的 v y， v 零的平方加上 v y 的 平方，再开个根号，这个就是 v 的 表达式落到斜面上的末速度。现在呢，你会发现， 当我的这个 v y， 我 可以换成数值方向的自由落体，对应的表达式就是 g t 的 平方，这个是当我的出速度是 v 零的时候，那如果说当我的出速度变成 n 倍的 v 零呢？那这个 v 一 撇，是不是可以写成 n 倍 v 零的平方， 然后 n 倍 v 零的平方再加上 g 乘以现在我以 n 倍的 v 零抛出去所花的时间。你的时间是 t 叫 t 零吧？啊，你的时间是不是应该是它的 n 倍啊？所以你的时间是 t， 我 的应该是你的 n 倍，所以 n t 的 平方再开个根号。 好，老铁们，你看，这里有 n 的 平方，这里是不是也有 n 的 平方？是不是我可以把这个 n 的 平方拎出来，所以 n 的 平方拎出来，乘以 v 零方加上 g t 括号的平方，然后再开个根号， 所以它是不是应该等于 n 倍的 v， 能看出来吗？啊，这个 v， 你 把这个 n 提出来了，不就是 n 乘以这个开根号的形式，那它本身就等于 v， 所以 我等于 n 倍的 v。 换句话来说，我落到斜面上的速度之比也应该是 e 比上 n 到这还没有结束。如果我现在问的是水平位移，数值位移和和位移的比值又该怎么办？那你来写一下好不好？因为时间是正比于出速度 v 零的好。水平 v 零 x 是 等于 v 零乘以 t， 那 你现在把出速度换成 n 倍了，所以出速度变成 n 倍，那你出速度变成 n 倍的时间是不是也要变成 n 倍？所以 n 倍的时间因此就等于 n 方倍的 x 吧。 所以水平位移变成原来的 n 方倍，那数值位移呢？等于二分之一 g t 平方啊，数值位移 y 一 撇等于二分之一 g t 呢？是 n 倍，是不是你 t 随着你的初速度变化了之后，时间会变成 n 倍，那所以这个 n 的 平方是不是给拎出来？ n 的 平方二分之一 g t 方就等于 n 方倍的 y， 所以 你可以看到 我的水平位移会变成 n 方倍，数值位移会变成 n 方倍，那水平数值位移都变成 n 方倍了，那和位移因为等于 x 方，加上 y 方开根号，所以 x 一定也对应着 n 方倍 的啊，和位移 s 应该对应的是 n 方倍。好，所以同学们只要问到位移，甭管是水平位移，数值位移，还是和位移，都应该变成 n 方倍。好，这里就是我们最终的结论了，那今天给大家口诀呢，总结为， t t v v 比为 n， 只有位移要 n 方， 时间时间的比值应该是 n 啊，速度速度的比值应该是 n， 所以 叫 t t v v 比为 n， 只有位移要 n 方，那这个位移是水平位移，数值位移还是和位移呢？都 ok， 你 只要看到位移就应该变成 n 方倍。 学会了。好，这里学会了之后，我们来快速的看个题目验证一下。请你看到这样一个题，他说跳台滑雪的过程当中啊，这个运动员用滑雪板 从这里水平这样飞出啊，即为壮观。这两名运动员呢，先后以 v 零和二 v 零的速度沿着水平飞出，不计空气阻力， 从跳出到第一次落地，请问两名运动员的水平为一支笔，不可能是哪个？你说，呃，如果是咱们刚才所说，你这一比二，他不应该一比四吗？怎么会有个不可能呢？琴姐，因为咱们刚才所说的那个结论， t v v 比为 n， 只有谓一要 n 方，它是不是有个前提，前提就是你一定得落回到鞋面，因为咱们刚才推了的过程当中，你用了时间，它是正比于这个出速度为零这个结论，那这个结论是不得让你出位置和末位置都在鞋面上的时候才能够去使用的，对吧？ 好，所以这个东西你现在在这个条件下，你一定能够保证这俩人都会落到鞋面吗？不好说呀，对不对？因为他就问你不可能嘛？ 所以这地方有几种可能性，我们可以一起来列一下啊。首先就是那个水平面，然后这里是那个斜面哈，这个夹角是三十七，有一种可能呢，就是这两个运动员先后是不是都是落回到斜面上，那这种落回到斜面上的情况，它的水平位宜之比就应该是出速度之比的平方， 就是一比四，这个没问题吧？啊？相当于你的水平位仪是一，然后你的水平位仪应该对应的是四，当然琴姐画的这个图呢，不是那么的标准啊，但是你大概明白这个意思就好了。所以如果当这两个人都落在斜面上，是水平位仪之比一比四。 可是除了这种情况之外呢？是不是有可能是一个人落在斜面上，另外一个人落在水平面上？好，这个不好判断了吧？那再来，我这个不好判断，我们能不能找一个好判断的？ 哎，如果说这个速度再大一点，它是也可以抛到水平面上，所以这个情况就变成这样了啊，这是那个三十七度，然后我们俩都从这里平抛，都从这里平抛，都能够来到水平面上，那这种情况下的水平位置应该是多少？由于我们从斜面上平抛都落到斜面上，所以我们的数值位移是不是相同的？ 当你数值位移是相同的情况之下， h 等于二分之一， g t 方这一项就相同，所以时间是相同的。 时间既然相同，那水平位移是不是只与出速度成正比？因为时间是一样的，你出速度是几倍，我的位移就是几倍，所以，哎，这里咱俩的位移之比应该是一比二，因为出速度之比是一比二。好，你看， 这里是一比四，这里是一比二。好，那同学们，一比四，一比二，这里出来了之后，那我们选择的是不是不可能？那你一比四和一比二相当于是两个 边界吧，你可以理解为两个边界，这个是对应的速度比较小的情况，咱们会落到鞋面上，这个是速度比较大的情况下，是落在咱的水平面上。所以在一比二到一比四之间是不是都可能？ 那一比二到一比四之间都可能的话，那不可能的。是不是只能选择四 d 了啊？不可能的，选择四 d。 哎，那琴姐，琴姐，中间这个情况该怎么判断呢？你可以来想啊，假如说这个鞋面能够延长啊，假如这个鞋面能够延长，你是不是也是可以抛回到鞋面的？ 那万一你真的能够抛回到鞋面的话，你这个水平位移是一，这个水平位移是不是应该是四？可是你现在抛到这了吗？没有，这是我们自己假想的，一个鞋面，你正儿八经抛落到的是这个水平面上，它，那你中间就被拦截了，对不对？中间被拦截了，所以你的水平位移应该要比四短一点， 你比四要短一点，相当于可能三点几啊之类的。好，那是不是有可能就在比四分之一要大一点？因为你比四要小嘛，所以分母越小。你是一比四了，像你这个东西一小于四，所以那肯定是要比四大一点哈。所以在四分之一到二分之一之间，这个是有可能的， 对不对啊？所以这个题那只能选不可能的就选四 d 选项了。 ok， 这题学会了吗？学会了就给大家分享更多的高考物理干货。

一百个模型搞定高中物理，今天我们要讲的是平抛运动。首先是平抛运动的相关定义，平抛是指水平方向上有固定的出速度 v 零，而竖直方向上是自由落体， 因此我们先来看到它的两个方向上的位移。水平方向上因为是匀速运动，所以 x 等于 v 零， d y 方向上直接带入自由落体的位移二分之一具体方 高度，所以我们可以推论到平抛运动的运动时间取决于它的数值高度。所以我们把平抛运动的示意图改出来，可以找到两个三角形，一个示意是末位移构成的速度三角形， 另一个是以末速度构成的速度三角形。这两个速度的三角形，我们暂时把末位三角形定义成 theta， 而速度三角形夹角定义成 r 法。由图像我们就可以得到 tangent theta 等于数值位移比上水平位移， 也就是二分之一 g t 方比上 v 零 t 消掉 t 等于二 v 零分之 g t。 速度三角形中的探间的 r 法等于 v y 比上 vs， 也就是 v 零比上 g t。 观察这两个结果，我们可以很轻易的得到探间的 r 法等于二倍探间的 c 法。想要把二倍关系更直观的运用到三角形中，我们可以将速度三角形进行一个反向延长线 交到我们 v 三角形当中，那么已知探间的 r 法等于二倍探间的 theta， 所以 就可以看到我们速度的反向延长线将会交于 v 三角形的中点，这段绿色的谓语就是二分之 x。 这就是平抛运动在书本中出现过的所有结论啦！

高一物理难度天花板来了！这道题你要是学会了，或者说这种方法你学会了，高一物理平抛运动肯定没有问题了。本条视频干货满满，建议先点赞收藏！ 那我们来看一看这种问题是什么问题呢？如图所示，有这样一个鞋面，倾角为 c 塔，题目中往往都会说，以 v 零抛出一个物体，它能落到鞋面，问它何时离鞋面最远？以最远的这个距离是多少？ 那么其实上最远的距离我们实际上是遇到过了，比如说我们数值上抛的时候，以 v 零数值上抛一个物体，当它速度减为零的时候，是不是它最远？所以我们列的方程应该是末数的平方，减出数的平方等于负的二 g， 所以 h 就 出来了，等于 v 零的平方除以二 g， 对 吧？那么与此类似的时候，我们还学过斜抛，比如说题目中以 v 零抛出一个物体，这个倾角为 c 塔， 对不对？那么他显然做的是一个斜抛，那么题目中也会问，何时离抛出点最远？那么在肯定在它之上的时候啊， 那我们依然是要把这个速度分解，水平是有 v 零乘以 cosine， 它数值是不是有 v 零乘以 cosine， 它 其有一个重力加速度，那么水平上做匀速，那不用管他不会影响数字方向上，那数字方式是不是减减速，零减速，当这个速度减为零的时候，是不是到达最高点，对吧？这个点只有水平出速度，那就是末数的平方，减出速度的平方 等于负的二 g y max， 那 么这个 y max 是 不就出来了？那么同样的道理，回到这个题，这个题问你何时离斜面最远？那我是不是就应该 判断他沿斜面的速度减为零？换言之，我们这种题不应该沿水平和数值去解析，我们应该沿哪里呢？沿垂直于斜面和平行于斜面去解析，对吧？沿这两个方向去解析， 只不过这两个方向不再是单纯的匀速和匀加速，我们一起来看。首先，这个物体是不是有个水平出速度，这个水平出速度呢？是不就要分解一下，对吧？其中，对于 x 轴而言，它的水平出速度就变成了 v 零乘以 靠萨克斯塔，对于 y 方向而言，它就变成 v 零乘以萨克斯的，它们是都有储储度的。其次，这里是不是还有一个重力加速度 g， 这个夹角为 c 塔，所以对于 x 轴而言，它的 a x 就 变成了 g 乘以萨克斯塔， 对吧？对于 y 轴而言，它等于负的 g 乘以 cosine theta， 那 何时离它最远呢？显然，是不是就这个 y 方向上的速度减为零？所以我们列的方程就应该是末速度等于初速度为零， sine theta 减去 g， cosine theta 乘以 t， 这就简单的速度时间公式，所以时间 t 不 就出来了吗？时间 t 应该等于 v 零， sin theta 去除以即可， sin theta 就 变成了 v 零除以 g 乘以 tangent theta， 对不对？那么同样道理，何时最远已经告诉你了，最大的距离数上呢？是不是依然速度减为零的时候？那么关于最大距离，我们怎么去求呢？得它 h max。 怎么去求呢？显然是不是也是速度减为零，那就是末速度的平方减，初速度的 平方等于负的二 g 和 c 乘以得它 h max， 所以最大距离就被我求解出来。最大距离是多少呢？等于 v 零方，萨尔斯塔方除以二 g， 靠萨尔斯塔 我们之前也讲过，对吧？那么时间是正比于速度，这里是不是依然是正比于速度位移是正比于速度平方的？所以在这里十倍位方角不变依然是成立的， ok 吧？那么当然这个时间有一个快速的解析方法。怎么去解呢？我们知道这个速度显然刚开始往上再走，后面又往下再走，所以什么时候最远呢？顾名思义是当这个速度平行于这个斜面的时候，我们把这个速度分解成水平 和数值，对吧？这个角度是 c 塔，所以我们可以得到什么东西呢？得到天津的 c 塔， tending the theta 应该等于 v y 比上 v 零等于 g t 比上 v 零，所以这个 t 是 不是也可以求解出来？应该等于 v 零 tangent theta 去除一 g 和上面是一样的，对吧？那么这就是斜面的最大距离的求解方式， 是一种特殊的分解，其根本原因是因为速度和加速度都是矢量。好，我们来看看题目，他说如图所示， 一个滑雪运动员从 a 点抛出，他没有告诉你出数，但是告诉你 ab 之间的距离，还告诉你斜坡的倾角。我们知道对于平抛运动而言，知道两个物体量一定是可以求解的。 比如说这个题，是不是首先把它分解成水平和数字，其中水平的距离 x 是 多少呢？就四十乘以它就应该是二十倍，跟我算数值的高度 y 就 应该是二十啊，这是最基本的，这里不会就凉了， 对吧？那我们列的方程应该是水平方向上， x 等于 v 零乘以 t， 数字方， y 等于二分之一，即 t 方，对吧？那么这里是不可以得到 t 等于两秒， t 等于两秒，所以 b 选项是不就正确，对吧？因为 t 等于两秒， x 又已知是不是可以得到 v 零等于十倍，根号三米每秒，所以 b 选项是就正确了，而这个题选不正确的，对吧？那么最大的时间我们之前刚才讲过了，最大的时间应该知道 是不是 tangent 的 三十度等于 v， y 比上 v 零等于 g， t 比上 v 零，所以可以得到时间， t 等于 v 零， tangent 的 三十度比上 g， 对 吧？那么你把 v 零往里面带， v 零是十倍，根号三乘以三分之根号三去除以十，它就是一秒钟，所以答选正确。这个题答案应该选 c， 那 么最大的 v h max 应该是多多少呢？基于刚刚讲的内容，应该是 v 零萨尔西塔整体的平方去除以二 g 考萨尔西塔，你把所有量往里面一带，这里应该得到的是二分之五倍根号三米， 这里得到的是二分之五倍根号三米。 c 选项错误，本期的视频就到此结束了，如果说你还有什么问题可以评论区留言，关注物理王老师，带你玩转物理！

同学们大家好，今天咱们来讲平抛运动的曲面专题，也就是我们的抛体落到了一个曲面圆面圆弧面上。那么大家来看这道题，一个半圆弧的一个面 圆心处向左向右，以 v 一 v 二扔出两个物体，他们分别落到了 a 点和 b 点啊，那么其中给了一个条件，这个角度是阿尔法，这个数值和这个连线， o a 连线，这个是 o 点圆心吗？ o 点 o a 连线假假角是阿尔法。其次 o a 和 o b 是 垂直的，这是题中给的 o a 垂直于 o b， 就 给了这两个条件，问你 v 一 比 v 二等于多少？大家可以点个暂停，自己用 阿尔法来表示这样的一个比例，看能不能做对。屏幕前的家长请为同学们做好收藏。老师来给大家讲解这道题， 那么讲这道题之前，咱们先复习一下我们平抛的知识点，我们在做这类题的时候，我们一定要记住一个结论，也就是说我们的平抛运动抛出来之后，大家注意他有一个轨迹，那么到达这样的一个点之后，我们连上那这个叫平抛的位移，这个位移分成两个，一个叫水平位移，一个叫数值位移 啊，那么我们管这个角度叫做习它，那么弹进的习它就等于 h b x， 那 么这个角我们给它起名叫做位移 偏转角，那么老师简写就写为一角了，为一的偏转角。偏移量来看，水平为一，数值为一，这就是为一的一个偏移角。那么大家来看还有一个角，这个是速度，速度，那么速度分为水平速度和 数值速度，那么大家注意这个角我们称之为阿尔法，那么这个阿尔法弹键的阿尔法应该等于 v y 比为零，那么这个角我们称之为速度角。 哎，那么上一个上一周老师在讲平抛的时候已经给大家证明过了，那么这个速度角永远比这个位一角要大，而且他的弹键的值是他弹键的值的二倍， 也就说这个角的弹键等于 v y 比为零，是这个角弹键的 h b x 的 二倍。那这个是咱们上一周找老师正玩的同学们，有兴趣可以去翻上一个视频啊。我们来看这道题， 大家看，我们利用这样的一个结论来做这道题，大家跟上。那么对于 a 物体来说，速度朝这 v a 在 这，那么它的水平速度应该是 v e， 数值速度应该是 v y e。 大家看老师的设定啊，设 a 物体的数值速度为 v y e， 同理，我们的 b 物体速度，哎呀，在这，那它的水平速度是 v 二，那么数值速度叫 v y e 二， ok 吧。那么我们列两个式子，大家看第一个式子， v y e 除以 v 一 应该等于什么？大家来看 v y 一 比 v 一 是不是等于这个角的弹键，它呀，对不对？那么这个角弹键呢？是不是等于位移角？大家来跟上啊。跟上。老师来看 这个角是不是位移角？很多同学啊，新手容易犯一个毛病，他因为这个图画的很像啊，这个角和这个角相等，他总认为这是错误的，大家注意，这个是速度偏转角，这个是位移偏转角，他肯定比他大，但还能理解吧，所以说大家注意， 他比他应该等于二倍的弹力，在这个角大家看能理解吧？弹力的这个角，而这个角没给，但是他的余角是阿尔法，大家注意回忆一个知识点， 那么这个是阿尔法，他的弹力他应该等于 a 比 b， 那 么他的余角的弹力呢？应该等于 b 比 a 对 比零嘛，对不对？所以他们俩互为倒数，也就是这个角的弹力呢，应该等于弹力的阿尔法分之一，大家看能理解吧？ 我们的 v y 比 v 一， 等于弹进的阿拉伯分之一乘以二，为什么乘以二呢？因为这弹进阿拉伯分之一是微一角的，弹进的乘以二才是速度角的弹进的。到这 如果大家列对了，大家成功已经一小半了，咱们继续啊，我们看 b 物体，我们用 v y 二除以 v 二， v y 二除以 v 二，是不是等于弹进的这个角？ 应该等于弹进它这个角的二倍啊，对不对？所以就等于二倍的，大家跟上，这是阿尔法，这是余角，那这个是不是也是阿尔法呀？对不对？所以说它等于二倍的弹进它 阿尔法， ok 吧？那么我们有了这两个式子，我们就可以进一步了，怎么进一步呢？我们我们整理一下 v y e 啊，我们用它们俩做个比吧，行不行？它们俩做个比， 它除以它就等于 v y 一 除以 v y 二除以它乘以它的倒数乘以 v 二比 v 一 等于它除以它等于弹进它阿尔法的平方分之一。大家看到这能不能接受？我们有两个已知量，做一个除法就得到了一个这样的式子，它除它乘以它的倒数，对不对？ 大家看老师写的，把它翻过来， v v v v 二在底下， v 二在上边，对吧？他说他二约没了，他说他就等于弹进了二个方分之一，那么至此我们还没有解题，人家要的是 v 一 比 v 二，也就是说求他，他是已知量，但是他是未知量啊， 所以说我们进一步，大家来跟上。我们还有一个知识点，大家看，这是个圆形啊，那这是半径，这是半径，我们是不是能得到它的高和它的高之比啊？也就是说 h 一 应该等于 r 什么呢？大家注意，这是阿尔法，这个是阿尔法，应该是阿尔口塞音阿尔法吧， 大家能理解吧？那么这个是阿尔法，那么这个高应该等于阿尔塞音阿尔法吧， h 二应该等于阿尔塞音阿尔法，那么它们俩一作比 啊，缓一下，大家别乱啊。 h 一 等于 r 乘以口塞，因为这个角是阿尔法，对吧？邻边嘛，对边是塞音，邻边是口塞音，对不对？这个 r 对 边，阿尔法对边是不是塞音呢？对不对？所以说对于 b 物体是 r 塞， 对于 a 物体是 r 口塞音，它们俩一作比就能得出 h 一 比 h 二应该等于 r 约掉了，等于八，注意，塞比口等于痰，大家应该能理解吧。 那么在最后一个知识点，大家想 h 之比和 v y 之比是什么关系 啊？这个很简单，我们有一个公式叫做 v y 方等于二 g h 对 不对？所以 h 之比是 v y 方之比，换句话说， v y 之比是根号 h 之比，所以说 v y 一 比二应该等于根号下 e b 弹念它阿尔法。大家看到这能不能接受？这道题还是挺综合的， 难度不是很难，但是用到的东西都很关键，都很重要，大家看，由 h 之笔推到 v y 之笔， v y 之笔有了，我们代进来，大家来看这个式子，最终这么算， v y 之笔等于一比弹向量乘以 v 二比 v 一 等于弹向量方分之一，那么这个式子在唯一的位置数就是它对不对，而人家求的是 v 一 比 v 二，所以我们把它挪这边来，把它乘过去，所以说右边应该是 v 一 比 v 二，左边呢应该等于根号 一比弹念的阿尔法，这个东西乘以弹念的阿尔法的平方。那么这个时候我们往里放一个弹念阿尔法，你有两个吗？放里一个 放到根号里，他应该是弹念阿尔法的平方，除以一个，他就应该等于根号。弹念的阿尔法乘以弹念的阿尔法，这个就是我们的正确答案，来看能理解吧。整道题用到的 知识点，你考点有哪些呢？大家来回忆一下。首先我们速度角位一角的关系啊，我们在列式的时候哪去了？老师，列式的时候这呢？ 哪去了啊？ v y 一 比 v 二等于二倍的位一角，等于二倍的位一角，这是第一个重要考点，我们比下来之后，我们发现我们缺了一个东西，我们又找了 h 来， h 一 比 h 二等于二，口比二塞，这是第二个考点，那么他们俩一比， 那么由 h 之笔推到 v y 之笔，这是第三个考点。把 v y 之笔代入，最后求 v 一 比 v 二，这是最终的计算答案等于根号谈乘以谈。大家看这道题做对了吗？

嗨，各位同学，上节课我们学习了高中物理中的斜坡运动以及它的特点，这节课我们再通过它的衍生例题来巩固一下这个知识点。同学们先暂停看一下题目， 题目让我们球小球落到 m 点反弹至 n 点，它所用的时间。我们先来画图，它从零点二米的地方 自由下落，落到 m 点， m 点之后进行反弹这条曲实线，也就是它反弹后运动的轨迹。我们在 m 点时刻可以把它的速度进行分解， 这时候它有一个向下的速度， v 小 球在碰撞前后瞬间速度沿斜面方向的分量不变，此时的速度我们是可以把它分解成沿斜面方向和垂直于斜面方向， 这是为 y 垂直于斜面方向的分速度，这个为 x， 是 沿斜面方向的分速度。根据角度的关系，我们知道这个角，看图这个角是三十七度。题目中也说了沿垂直于斜面方向的方向大小不变，但是啊，方向相反， 我们可以把反弹后的为 y 画出来，我们记作为 y 大 小一样，方向相反。这个时候思路就比较清晰了，我们现在就是要求为 y 一 撇向 垂直于斜面运动至零，再落到斜面上的时间。在斜面上，如果以 m n 这个斜面为水平面，那么 v y 一 撇与 v x， 它的和速度就是斜抛运动， v y 一 撇就是垂直于 m n 这个面的分速度。这样说的话同学们更容易理解，那么我们就知道了， mg h 是 零点二米，等于二分之一 mv 平方，根据这个公式我们可以算出来， v 是 等于两米每秒， v 求出来之后，我们可以把 v x 是 等于 v 乘以三十七度，是等于一点二米每秒， y 呢是等于 y 乘以克萨因三的斜度等于一点六米 每秒。目中说重力加速度大小既是十米每秒，我们很多同学这一题错就错在他把 g 等于十米每秒直接带入 y 的 这个公式里面，这样就错了，因为啊，我们在看图二，我们单独画一个重力的分线， 向下是重力 g， 对 不对？物体运动的时候，我们可以知道，重力 g 也是要进行拆分的，它是拆分成垂直于弦面的 g y， 还有一个拆分成沿弦面的 g x， 所以 我们所求的为 y 一 撇，实际上它的加速度是 g y 并不是 g 值本身。 知道这一点我们就可以算出来，知道这一点，我们就可以算出来， g 的 外值就是 g 乘以 和三 c 的 等于八米 v 二十方秒，那么在垂直于斜面方向上，这个小球也就是相当于数值上抛运动，可以知道，数值上抛速度变为零的时候就是零等于 v y 减去格， g y 乘以 t， g y 值知道了 y， y 值也是知道的，所以我们 t 值就可以求出来， t 是 等于零点二秒，因为竖直上抛运动落到原点，它的时间是对称的，所以我们所要求的时间 t m n 时间，也就是二 t 等于零点四秒，那么 c 选项就出来了。 在实际考试中，很多题目还会让你求 m n 的 距离，那我们同学看一下 m 到 n 之间的距离能不能算 m 到 n 之间的距离。我们已经知道了 v x， 同时啊，一定要留意还有一个 g x， 它沿斜面向下是有一个加速度的， 我们还知道了时间有了出速度为零，也就是 v x 有 了加速度 a， 其实就是 g x 有 了时间 t， 也就是 t m， n。 这三个物理量出来之后，我们可以把 l m n 的 值可以求出来，等于为零 t 加二分之一 a t 的 平方，那么代入实际上的数据就可以得出 l m， n 的 值。好，以上是今天的题目， 这道题是典型的在斜面上进行斜抛，我们要注意的是什么？加速度，记在垂直于斜面与平行于斜面上的分量。好，以上是今天的课程，如果没有在六分钟以内做出来的，可以再巩固一下。

接下来咱们来一个小专题，平抛经常会结合鞋面去考察，我们第一种考法，它会让我们这个小球不从鞋面出发，但是最终落回鞋面上来。请看 咱们这个小球出发点的位置，你找准啊，我都拿虚线给你标上了。鞋面轻脚是西塔小球出度 v 零。第一种问法，先来个简单的，如果这个小球他垂直打在鞋面上，求时间，我带大家分析一下，垂直打在鞋面啥啥意思？就是说他的末速度跟鞋面垂直。 我们还有一个关键角度是鞋面轻脚。其实所有这种，不管是平抛跟弧面的结合，还是平抛跟鞋面的结合，我们最重要的就是找到这个鞋面里边或者弧面里面的几何角度， 它在我们平抛这个运动当中，到底是哪个物理量跟什么方向夹脚？那你现在找吧，这个鞋面轻脚斜杠，它是谁跟谁的夹脚啊？ 末速度方向跟斜面垂直了，我要是在这做一条竖线呢？ c 的 角在哪？或者我往这坐， c 的 角是不在这呢？它是末速度方向与竖直方向的夹角，同意吗？那你告诉我弹进它吸它的啥？应该是我们末速度的什么分量比上什么分量啊？ 看好了，那不是 v 零比这一题嘛，这个角它是不是速度角？不是我们刚才定义的速度角，那速度角得是我末速度方向跟谁夹角啊？ 水平方向夹角那才叫速度角，这个根本不是，你也不用管它到底叫啥，你就看好了，对比零是谁比谁往上写就可以了，看近的写的已知小 j v 零已知时间是不就求出来了，知道方法了吗？之后也是一样的规律啊，就找那个斜的角在哪呢？来第二问，我们想打在斜面中点上， 求时间，是不是一下先找到了斜面的中点，我们就可以直接找到那个角度在哪了？连接起点和中点这条线就是我们平抛运动的。啥？这是谓移，那么习的角，这不就在这呢吗？它表示的是谓移方向与水平方向的夹角， 那么弹进它习它就等于呀， g t 比上二 v 零，你能背下来是最好，你背不下来你线推也是一样的，就是数值谓移比上水平谓移呗。来下一种问法，这回我们要以 最小卫仪打在鞋面上，还是球题，这回应该是谁跟谁的夹脚能够作为鞋的脚，卫仪跟鞋面垂直啊，所以鞋的脚在哪呢？那不在这呢吗？谈尽的喜他，你告诉我点啥？对呀，那这是不是变成了水平卫仪比上数值卫仪 二 v 零比 g t 了？再来最后一个邪米尔被我六等分，第一次我以 v 零二平抛，这个小球落在了二号 b 点。问，如果我们以 二 v 零平抛，它会大在哪？以 v 零平抛打在 b 点，以二 v 零平抛，它会打在哪呢？ 六等分是个范围也可以吧，打在哪两个点之间呢？来，这样咱们平抛的数值未移是不是只跟他的运动时间有关？ 第一次我们平抛打在二号 b 点，第二次平抛我们忽略这个斜面，假设第二次平抛跟第一次平抛所用的时间相同，你说这一次他这个小球会落在哪？他肯定数值未移相同，所以这个点肯定在 b 点的同一水平高度上，同意吗？ 而且平抛的水平位仪是 v 零乘时间 v 零变成二倍，它的水平位仪是不是也变成二倍？所以这个点在哪个点的下边？ 这两个点的焦点就是我们假设小球跟第一次运动时间相同，它能够到达的位置，然而由于这个鞋面的存在，这个小球无法到达， 他会被挡住，所以最终他打在了 b c 之间。来吧，这种我们不从鞋面上出发，但是落到鞋面上的情况，基本上只有这么几种考法来看。第二大类，我们如果这个小球他是从鞋面上出发的呢？鞋面轻，脚随他。哎，从鞋面顶端出发， 第一种办法，我上来直接给他干六份。二 v 零平抛，他会落在哪？落在了一点。 这回你还能沿用刚才那道题的分析思路吗？一点不变，咔咔往里套用，那显然不行了。来看这种从斜面上出发，又落回斜面上的题，最最最最核心的关键的相等的那个物理量是谁呢？你看啊，第一次看好 我们落在 b 点谁的方向，你确不确定？位移不就是从 a 到 b， 它是沿着谁的呀？沿着斜面的，所以位移脚就是喜塔 第二次平跑，你别管它落哪，只要它没掉别的地方，它又落回了鞋面上，谁的方向没变？位移的方向没变，位移角也不变。也就是说，这个弹进它习踏 等于 g， t 比上二 v 零的关系是始终存在的。既然这个等式关系不变，谈近的习它也没变，那我们 v 零二变成了二倍，谁就得跟着变呢。 g 也不变，就是谁变 t 啊，它也得变成几倍， e 也得变成二倍，我们这个比例关系 才能成立啊。哎，那你要说时间变成了二倍，我们的数值位移 y 就 变成几倍了。四倍啊，所以原来的数值位移是一份，我们现在数值位移是四份，它就是一点呗。 这个结论咱们再接着给它延伸，无论我们落到鞋面上的哪个点，这些默速度有没有点啥关系？ 不是一样吧，什么东西一样？方向相同，因为它们的位以角方向相同，速度角也得相同。把这个小结论写下来，只要从斜面儿 出发，又落回斜面儿，这种情况下它们的末速度方向均相同。来第二问，这问老简单啊，我就是想要落回斜面儿，求时间。这个确实，嘎嘎，简单吧，那式子咱们刚才都已经列完了，对吧？位以角就是 v 二 v 零儿， 我把这个小 t 这咱们这个 g 问，叫小 t 一 吧。 d 一 就等于二倍的 v 零，弹进它吸它比上小 g。 我 想要问的不是这事， 在刚才这一次运动过程中，最后落回鞋面，那我后来肯定是离鞋面越来越近，我想问的是全程 离鞋面最远的那个位置，我想运动到那用了多长时间，并且断出最远的距离是多大，运动多长时间？它离鞋面最远？离鞋面最远的这个位置，它应该是跟鞋面平行的。 这个时间好算，来一起说吧。弹近它习它就等啥呀。 g t 二比上比 v 零，这是速度角啊， 这个 t 二等于 v 零，弹进它吸它比上小集。这两个结果，你把它放到一块看，你又发现啥了耶，这个时间啊，它怎么也是二倍的关系呢？发没发现它还真不是个沿斜面的斜抛，这个规律我们在哪见过？很类似的 数值上抛，从地面出发到达最高点的时间跟它回到出发点的时间是一比二。 你看我们这个鞋面上的运动，回到鞋面的时间和我们到达离鞋面最远的这个点的时间也是二倍， 这个规律是非常相似的。那怎么这个平抛还能跟数值上抛扯上关系呢？这就要提到关于平抛运动，我们另外一种分解的思路了。来，所有人注意了，先来分解出速度，我把出速度分解到大小是 v 零乘啊 q 三耶 奇塔，再把 v 零分解到垂直斜面方向上，这是啥呀？ v 零散不光得分解 v 零啊，还有谁也要分解加速度小 g， 小 g 的 垂直斜面分量 g 口散斜塔搞 g 的 沿斜面分量 g c 也斜塔， 看似复杂了，但没关系啊，依然是被我们分解成了两个直线运动。那么它在 沿斜面方向上告诉我做的是个啥运动？就是以 v 零投三斜挎为出速度，以 g 塞沿斜挎为加速度的一个匀加速直线运动。而我们在垂直斜面方向上，你看看这是啥？ 你看垂直斜面，我们有向上的 v 零三七，它有向下的 g 口三七它。这不叫数值上抛，这叫内数值上抛，因为它的加速度不是小 g 啊，那个数据变了，内数值上抛，出速度是 v 零三七它，加速度是 g 口三七它。 所以你现在能不能理解为什么我们括号二和括号三求出来的两个时间是二倍的关系？这不就是数值上抛的对称性吗？所以咱们从这个角度想直接求其二，可以不去看它角度的关系，可以直接用谁比谁 数值上旁，那不就相当于到了最高点，是离前面最远吗？ t 二就直接等于 v 零散起，它是这出速度，比上 g 口散起它是这加速度，你看得到结果一不一样，依然是 v 零弹进它，吸它 b 上小 g， 就是 换了一个思路，也能得到相同的结果。但更关键的是，我们这样分解完之后，求这个最远距离 会不会算？那就是数值上抛的啥呀？最大上升高度啊，用哪个公式？ v t 方减 v 零方比二 g 呗。但是注意你往里带的这个东西啊， v 零我们是不是得带把 v 零方散方习塔比上二倍的加速度，以及应该带 g 口才起跳。 我再说一下，咱们这种分解方案最容易出错的点在哪呢？这是出发点，这是落点，这是最高点，我们过最高点往下做垂线，这两段长度相不相等？ 为什么不想等我怎么滑啊？稍等，咱们把它旋转到这种状态，它压根不是对称的，因为它咱们刚才这个啊， 沿斜面方向不是一个匀速，而是匀加速，越往后水平方向走的越快，轨迹不对称。所以刚才这个最高点我们往下做垂线，它在不在中点上啊， 也不在终点上啊？对，下半截更长一些，能不能看出来，我过最高点往下做垂线，它肯定不在终点上，这块要小心，记得点赞关注哦！

啊，上节课呢，我们讲了平抛运动和斜面的结合，那又有学生反应呢，就是我们在做题的时候还会遇到平抛运动和曲面的结合， 那当我们遇到平面运动和曲面结合的时候，他都有哪些情况，以及我们又该如何去进行解决呢？那今天啊，我们就做一个详细的讲解啊，先看第一种情况， 说小球从圆弧轨道外啊，以初速度为零水平抛出啊，恰好无碰撞的进入到圆形轨道，如图所示，让我们去求小球的运动时间 啊，那啥叫无碰撞的进入到圆形轨道呢？也就是小球进入到圆形轨道的时候，他刚好啊，就在这一点，是不是沿这个圆弧轨道，他的一个切线方向，那这时候啊，是是不是就属于无碰撞？那就属于无碰撞， 那这样的话啊，他既然是沿切线方向，所以过切点的半径是不是与切线垂直的？垂直的，那速度呢？他有两个分量，一个是水平放的为 y 啊，那我们再去找它的角度关系啊，这数值方的夹角和这个半径呢？数值方啊，和这个半径的夹角是 c 叉，那 c 叉加这个角度是不是九十度啊，而这个角加它也是也是九十度，所以这个角度啊，就是 c 叉 啊，那在一个是水平啊，一个数值，在这个直角三角形当中，我们是不是就可以利用弹力的 c 叉，所以它就等于一个 v y 比上一个 v x， 那做平方运动，物体从它的抛出点到它落点啊，它 v y 变成多少，是不是等于个 g t 啊？而 v x 呢，水分子上做匀速直线运动，所以还是为零，那这样的话，我们就可以求出它运动的时间 t 就 等于个积分之为零，乘上一个弹性的 c 啊，这不就解决了吗？这是与曲面运动的结合，我们通过分解速度啊，找到他的角度关系啊，就可以劣势了啊，这是第一种情况，然后再看第二种情况 啊，说小球从圆弧轨道面啊，外啊，以出速为零，水平抛出啊，也就做平抛运动，哎，他恰好垂直落在圆弧面上，那说明他速度方向是不是与这个 过，这一点是不是切线是不是垂直啊？垂直，那这时候让球小球他的一个运动时间啊，你看，他一定会给出一个角度啊，那这个角度是 c 塔，那这是水平方向啊，这是竖直方向的速度，那这个啊，他与水平上是不是加角也是 c 塔 啊？一个水平上速度是一个是竖直方向速度，所以这是不是九十度啊？啊，那在这个直角三角纹当中，那弹定的 c d 是 不是等于个 v y 比上一个 v x 啊？那 v y 呢啊，它是做自由落体运动，所以它末速度就等于 g t v 零呢？水平方向上做匀速这样运动，所以就等于 v 零啊，这样的话，是不是也可以很快的求出 t 就 等于个积分之 v 零，乘上一个弹定的 c d 啊，这是第二种情况啊，再看第三种情况，小球以初速度为零，从半径为 r 的 这个半圆，半圆的顶端啊，水平发出，而且在这点发出，又落在半圆内，求小球的运动时间啊。为了方便我们把这个点给它记为 a 点，它落在呢 b 点，那 b 点数值向上做垂线啊，这个点呢，是 c 点，那 a c 是 不是它水平为 e x 啊？这段是 x， 而这个半径 r 是 不知道的，所以 o c 的 距离是不是你我们知道啊，它是不是等于 x 减去 r 啊？那数值方的位移是不是 y 啊？ 那这个是不是就是 r 啊？那在这个直角三角形当中，我们是不是可以利用勾股定律确定它们的关系啊？好看一下，水平位移 x x 等于什么呀？你做平方运动物体，那 x 是 不是等于个 v 零乘上一个 t 啊？ 那这个就知道了，那数值方为零呢？数值方是不是就 y 啊？那他就等于一个自由落体运动吗？二分之一 g t 的 平方？ 好，那 y 求出来了， x 求出来了，那这样的话，我们是不是就可以把这个 o c 表示出来？那在这个直角三角当中，我们利用勾股定于 r 的 平方，那他就等于就是 o c 的 平方，也就是 x 减去 r 的 平方，再加上一个 y 的 平方， 通过建立关系，是不就可以求出时间 t 了啊？这三种情况我们知道了以后啊，就可以去看例题了 啊。看第一题，如图所示， b 为数值圆轨道，它的一个左端点啊，它与这个左端点啊，它与圆形 o 的 连线，也就是它的半径啊，与数值方向之间的夹角 r。 哎，这个角度告诉我们的是六十度， 那一个小球呢？在 a 点以 v 零等于五米每秒啊，平抛，然后呢，恰好沿 b 点切线方向进入轨道，那么把它速度方向沿切线方向， 那是不是肯定和这个半径啊，和过切点的半径是不是垂直的？那这个速度它是不是有两个两个分量啊？第一个呢，是水立方的分量，那我们用 v x， 另外一个呢，还有个数值方的分量，我们用 v y 啊，这是在找角度关系啊，你看这个半径和竖直方的夹角是 r 法，那它加 r 法加这个角度是不是等于九十度啊？那这个角加它等于九十度，所以它是不是就等于个 r 法啊？这是水平方的速度和竖直方的速度都是垂直的。那因此啊，我们写到这，写到上面吧， 弹性的 r 法，它就等于什么呀？就等于 v y 比上一个 v x， 对 边比邻边吗？ v y 比上一个 v x， 那 从 a 点到 b 点，这个 v y 等于多少呢？是不是等于个 g 乘上一个 t 啊？那这时候再看 v x 是 不是平抛它的速度啊？ v 零啊，这时候就可以求出时间 t 啊，就等于啊，你把这个 r 法带入进来， v 零带入进来， g 带入进来，所以可以求出 t 是 不是等于一个计算值啊？ v 零乘以一个整数的 r 法 啊？ v 零是五十，所以是不是二分之根号三啊？时间有了，那他让求啥呢？他让求 ab 之间水平距离，那 ab 水平距离不就是 从 a 点到 b 点它的一个水平位移 x 吗？那 x 它不就等于个 v 零乘上一个 t 吗？ v 零，你知道啊， t 你 也算出来了，所以最终算出来结果是不是二分之五倍的根号三 啊？你要是求数值方的位置，是不是也可以求啊？ y 它就等于个二分之一 g t 的 平方 t 你 知道了，所以 y 可以 求，那 ab 这样的位置是不是也可以去求啊？好，那但是前提是不是我们要求它的时间啊，这是第一个例题，再看第二个例题， 如图所示，圆环数值放置啊，从圆形 o 正上方， o p 啊，在它正上方，说明这个 o p 是 不是肯定数值方向 啊？来看，以速度 v 零水平抛出，然后呢，小球恰好从圆环 q 点沿切线方向飞过，那这是切线方向，所以它与半径连接，这是不是垂直啊， 这是垂直啊，然后知道数值方向和 o k 之间的夹角是 c r， 那 这时候对于 v q 来说，它的速度是沿切线方向，它有两个分量，一个呢是数值分量啊，没有 v y 啊，这时候就找角度关系啊，你看这是数值，这是不是刚才也说数值啊，那所以这个角度是不是就是 c 叉？好，那这也是垂直的，所以这个角加 c 叉等于九十度，那这个角呢？加它等于九十度，所以这个角度啊， 是不是 c 头啊？你知道角度了，这是，这是水平，这是数值和这垂直。在这个直角三角形当中，我们是不是可以用弹定的 c 点，它等于 v y 比上一个 v x， v y 比上一个 v x， 那 v y 呢，是不是等于 g t， v x 就是 v 零，所以 t 就 等于个 g 分 之 v 零，乘上一个弹定的 c 头 啊，你 t 求出来了啊，所以这个 b 选项，你看从 p 到 q， 它的时间是不是 g 分 至 v 零乘以一个弹性的 c 点，所以它错了。 再看 c 选项，小球从 p 点到 q 点，速度的变化量，那速度变化量啊，不就是德尔塔维吗？德尔塔维不就等于它的加速度乘以一个时间吗？ g 乘以 t 啊，它是不是等于一个 v 零分之 v 乘以一个弹性 c 点，所以 c 也错 啊。再看 d 选项，那从 q 点到达 q 点的速度大小，因为 v x 是 不是就是水上速度为零啊？那你在这个直角三角当中，是不是就可以求出 v q 啊？那 v q 我 们用 cosine sine 是 不是等于一个啊？ c 乘 c 大， 是不是等于一个零变比斜变啊？也就它等于个 v 零比上一个 v q 啊，那这样的话可以求出 v q 是 不是等于个 v 零比上一个 c 乘 c 大， 所以它也错，那因此答案是不是选 a 啊？但是我们看它为啥选 a 啊？这是我们做一个辅助线啊，过 q 点 做它的垂线啊。那从这到这是不是就是 p 到 q， 它的一个水平位于 x， 那 这个 x 是 不是我们可以求出来？ x 等于什么呀？ v 零乘上一个 t， 对 吧？ x 你 可以求出来，因为 t 你 是知道的，所以这个 x 啊，乘以这个，它就等于个 v 零乘上一个 t， 所以 它就等于个积分之 v 零的平方，是不是再乘上一个弹性的 c 叉 啊？那在这个，这是垂直的，这是不是直角三角形啊？在这个直角三角当中，你知道这个 x 是 不是就可以求它半径 r 啊？ 那所以我们利用是不是 c n c 的 c n c 的， 它就等于个 x 比上一个 r x， 你 知道 啊， r 是 我们要求的 c 大， c 大 你知道，所以最终带入进来啊！把第一式带入到下边，这个式子就可以求出半径 r 就 等于个 g 乘 c 大 分之 v 零的平方啊。所以答案选择的是 a 选项啊，这就是平方运动和曲面结合的情况。

各位同学大家好，我们进入我们的 b 修二的学习之后呢，讲完我们的简单的曲线运动之后，立马就到了我们比较重要的平抛运动，在平抛运动阶段呢，有百分之六十以上的同学呢，他会出现很多问题，那么为什么呢？因为我们在 b 修一啊学的运动呢，叫云变速直线运动， 到这里呢是我们的一个复合运动，我们平抛运动呢，其实就是我们水平方向的匀速直线加数值方向的匀变速直线运动，那么已符合 同学们的问题就出现了，今天呢，我带着大家一起来深度啊讲一下我们的平抛运动，我们通过简单的三个数字来把平抛运动清晰的展现给大家。首先我们来看第一个， 第一个数字一，叫一个什么呢？叫一个终点，那么这个时候呢，我们来看一下我们的一个图像问题，朋友们可以看一下我们的平抛，平抛完了之后呢，这是我对平抛的一个解析图。 好，那么我们的一个终点什么意思呢？是我们的速度的反向延长线耶，我们的 v 速度的反向延长线 过我们平抛点 o 点，它的等高处，等高处水平的，它的一个水平位宜的 终点啊，这个呢是比较重要，是为什么呢？因为我们电学里边我们再次用到它这里呢，它所谓的终点呢，其实就是我们的 o a 等于我们的什么呀？ o a 等于我们的 ab， 那这个呢，作为我们的这个第一部分，在此呢，我不给大家证明啊，下面讲完我们的第二个数字二之后，我们返回来证明我们的一， 我们继续看我们的数字。二，两个偏角，这个呢是比较重要，那么很多同学呢，这个在学这块的时候啊，就是把这个记住了， 那百分之七十以上的同学呢，并不一定特别理解什么叫微偏角，什么叫速度偏角，他只是把它记住了，那我们来看一下啊，什么是我们的 位偏角，什么是我们的速度偏角？在前面呢，刚刚给大家讲了，我们的平抛运动，其实是一个符合运动我们水平方向的匀速直线和我们数值方向的匀加速直线运动，也就是我们的自由落体运动。那么我们给它拆开来看， 我们如果是我们只做匀速直线运动，他就是一个被水平方向的匀速直线运动，他的位宜呢也在水平方向到我们平抛里面作为复合运动呢，我们的最落地加进来之后，我们的实际平抛实际运动的位宜呢是我们的 o d， 那么也就是说我们最原始的水平上的位移到最终我们的实际位移的一个偏转，就是我们的就是我们的这个位移偏角，那么我们的位移偏角是与水平水平线偏到我们实际位移上的一个偏角。 接下来呢，看我们的第二个偏角叫速度偏角。速度偏角呢，其实也是和我刚刚讲的是一样的道理啊，我们和水平出速度比，我们的实际速度啊，从水平出速度偏移到我们的实际速度，也就是水平出速度与我们实际速度的夹角叫速度偏角。 这两个偏角啊，一定要注意，它不仅仅是偏角那么简单，它带入我们的公式啊，找到我们内在的一个数学上的一个逻辑，我们来看一下， 首先看一下我们的这个位偏角 r 法，我们来看一下，我们把这个平抛运动给它分成水平运动和数值运动，我们就可以看到我们的位偏角的话，我们设我们的高度啊，数值方向的位移呢，设为 h， 这是沿用我们自由落体那个位移， 那么这个 h 呢？ a 就是 我们的这个 h， 我 们水平方向的位移给它设为 x 零，那这个呢就是我们的 x 零， 我们看我们的这个水平位仪的正切值，那就是我们的 h 比上我们的 x 零，那我们知道啊，自由落体的 h 呢，其实就是我们的 二分之一 g t 方，那我们带入我们水平位仪呢，就是我们的 v 零 t 再次带入，那么带入之后，我们发现啊，我们可以把小 t 消掉，把二呢给它降下来，这个呢就是我们的位仪偏角啊，通过带入之后，得到了我们的一个公式， 同理呢，我们的速度偏角，我们的速度偏角 c 它，那么我们来看一下啊 c， 它呢就是我们的 v y v y 啊，在这个的一个偏角 v y 数值的好，正切值呢，比上我们的 v 零啊，那就是我们的 v y 比 v 零，在我们自由落体里边，我们的 v y 呢就是我们的 g t 啊，代入之后呢， 得到了我们我们的速度偏角与我们的 g t 和微零之间的关系。那么细心的同学呢，已经看到了，这两个呢实际上是有一个定量关系，也就是二倍关系，所以我们给它整理完之后，我们发现啊， 我们的速度偏角的正切值是我们位于偏角正切值的两倍， 同学们一定要注意啊，有百分之七八十的同学呢，把这个记成呢，速度偏角是位宜偏角的两倍，这个是一定不正确的，是我们速度偏角的正切值和我们位宜偏角的正切值，他们两个之间的一个 二百关系，这个一定要划重点啊，敲黑板，划重点。那么我们通过这个两个偏角讲完之后呢，我们刚刚说了，我们先讲二，再回去讲我们的一，也就是说速度反向延长线 过我们平抛点等高等高处的水平为一的中点 o a， 那 么同学们来看一下这个呢，是我们的速度偏角，我们反向延长之后啊，这两个都是水平的，根据我们平行线的同位角，那么相等啊，这个就是我们的 c 叉角， 我们来看一下我们的贪念的 c， 它 a 就 等于我们的数值的 h 比上我们水平的 ab， 那 么我们的位宜偏角贪念的 alpha 就 等于我们的 h 比上我们的 ob。 好，那结合我们的这个，哎，速度偏角的正切值和我们未偏角正切值两倍关系，我们就不难得出啊，我们的 h 比上 ab 等于二倍的 h， 比上 o b， 那 么我们就很轻松的得到 o b 等于二倍的 ab， 那 也就是 o b 等于二倍的 ab， 那 很显然我们的 a 呢，就成了我们 o b 的 终点啊。同学们一定把这个自己去正一正，不要光背一下我给你证明的结论。物理呢，我们要知其然，知其所以然，我们一旦把它正完之后啊，能记忆的一定要记忆，作为二记公式，把它记住，你这样子在做题的时候才能快准狠。 那么我们讲完我们的第二个两个偏角，那我们就开始我们的三一二三看，我们的三三呐，更重要，朋友们往这看，三更重要，为什么三更重要呢？哎，看一下我做的总结，叫什么呢？叫时间作桥梁。 那提到桥梁这个字，大家应该很形象哦，架了两边，那架两边在我们物理学里边，数学里边，理科里边，他就是一个等式， 就是一个方程等式。而我们在求解的过程中呢，我们只要找到了等式，下面就是解的问题了。那么来看一下三种方法，求时间，时间作桥梁。好，首先呢，我们看啊，我们已经说了，我们的平抛运动可以分我们水平方向的分运动和 数值方向的分运动。聪明的你是不是已经发现了，我们可以水平方向求时间。我们来看一下水平方向呢，我们是水平位，以 v 零与我们的出速度啊啊， v 零出速度与我们的水平位以 x 零 o， 是 不是就可以得到这个公式？那么我们进行简单的数学变换，就得到我们的水平求时间， 接下来呢，我们干嘛搞完水平搞数值，我们的数值呢？ h 啊，等于二分之一，介 t 方简单的数学运算，把二挪过去，近挪过去，那 t 的 平方，再开 开平方啊， g 分 之二 h， 那 么就得到了我们的什么呀？得到了我们的数值方向求的时间，也就是我们的数值方向时间 t 等于根号下 g 分 之二 h。 好， 那这两个呢，很多同学都没有问题， 那接下来啊，偏角求时间有百分之八十以上的同学啊，这个总是想不到，也用不上它，所以很多平抛体不会做，因为很多平抛体呢，它都涉及了偏角问题， 那么如果对偏角没有推理推导认知，你很难把它记住，特别是放到复杂里面，那么我们来看一下我们的偏角问题， 我们的偏导问题呢，前面我们也已经啊给大家写了一下我们的前面的推导，我们来看一下，我们再次帮助大家一块推导一下我们的弹性的 c 它哦，是不是就是我们的 v y b v 零，你也要下去证明啊，那么我们 竖直方向呢，就落起速度就是 g t 比上我们的 v 零，那这样子，把 v 零挪过来，把我们的小 g 挪过来，就很容易得到我们 g 分 之 v 零乘 tan 它 o c 它，这是我们的速度偏角求时间， 那么我们又知道我们的速度偏角的正切值是我们谓一偏角正切值的两倍，所以呢，我们可以直接切换，我们切换成我们的谓一偏角，那就是两倍的 v 零乘弹力的 o r 法，那同学们，当然有的同学老师啊，我可以把弹力的 r 法像这样子再求一遍，那你可以多推两遍啊，推着推着就记住了，那我就得到我们的 偏角求时间。前面呢，我们已经讲上我们曲线运动啊，也就是我们的复合运动啊，他的这个是啊，各个分运动的时间和我们的和运动的时间呢，具有等价性， 所以啊，我们 t 呢，就可以作为桥梁来进行对我们整个平抛运动的求解。那么一二三，你现在应该很清晰，刘彩蛋，等你交作业。

这个视频呢，我们来说一下在常规分解法当中，琴抛运动啊，与鞋面或者说鞋面上的琴抛运动问题的一个比例的一种题型。结论啊， 好，我们就给他寄给是一种啊题型吧。啊，好，这个题型的特点是什么呢？就是在一个鞋面上面抛出物体啊， 好，这个物体比如说分别以啊 v 一 的出速度抛出来，落在鞋面上面，哎，然后呢，又在同一个鞋面以 v 二的出速度，一个不同的水平出速度，哎，从同一个鞋面抛出，又落回到同一个鞋面啊， 然后让我们去求什么呢？去求他们落到斜面上时的速度之比啊，数值方向的速度之比，哎，未移之比啊，数值水平未移之比， 以及在空中啊，飞行运动的时间之比啊等等。反正就是平方运动当中牵扯到的各个运动学参数的比值关系。哎，在两次啊，同一个斜面上做平方运动的这个各种运动学参数的比值关系， 这个地方，我们在一定程度上可以把它记为是一种结论哈。呃，记住它，如果题目当中有它可以使用的条件特征，那么拿过来直接用就完了，是不是？你用做选择题这种结论干嘛不用呢？是吧？啊，好， 那么这个结论是什么呢？就是咱们可以记为速度之比啊，等于时间之比。 哎，什么速度之比呢？水平速度？数值速度还是和速度。哎，这个地方啊，我们为什么不去分开写啊？因为不管是水平速度还是数值速度还是和速度之比，都等于这两次运动的时间之比。 好，这是第一个结论。第二结论呢，就是，哎，这两次运动过程当中的位宜之比就等于时间之比的 平方，哎，那么自然也等于速度之比的平方好，怎么推导的呢？这里就牵扯到用到了我们前面的一个推论，什么推论 速度偏转角的正切值等于两倍的位宜偏转角，哎，这个推论，这个结论好，那么在这大家看一下 题目当中给出来一个斜面，那这个斜面的倾斜角是不是经常会用 c 角来表？哎，好，但是此 c 非彼 c， 对 不对？这就是我跟大家不断在强调的 物理公式，咱们一定要结合物理意义去记，去理解，去运用啊。这个 c 的 角是什么呢？它是斜面的倾斜角，那跟平方运动有什么关系呢？跟平方运动的关系是不是就是他每一次运动时落到斜面上时的 谓宜偏转角？哎，对，所以这块呢，咱们代入公式的时候，千万不能直接啊，贪心的 c 到等于两倍贪点法直接把这个 c 往进带，要结合它的物理意义在题目场景当中。所以呢，这块我们可以怎么办呢？我们可以设一个速度偏转角， 哎，速度偏转角我们设为 r 和角啊，那么所以在这道题当中，这个关系咱就不能这么去写，是吧？咱们要写成，哎，速度偏转角的正切值等于位于偏转角正切值的两倍，这样去写好， 然后就发现，哎呦，这地方有一个特点，什么特点？两次以不同的水平出速度，给它掏出来，哎，落到斜面上，落到同一个斜面， 那意味着什么呢？是不是意味着这两次平抛运动落到斜面上结束的时候，它们的位移偏转角相同，对吧？哎，因为是同一个斜面，那位移偏转角相同，是不是就意味着速度偏转角也相同啊？ 哎，因为我们的正切函数，对吧，它是一个一对应的，一个一个角度就对应一个正切值。 哦，那所以我们的速度偏转角相同，那是不是意味着在第一次运动啊，落到斜面上时的数值速度与水平速度之比， 是不是就跟第二次落到斜面上时的数值速度和水平速度之比是相同的 啊？那么，所以，哎，是不是就可以得到第一次啊？落到斜面上时的数值速度和第二次落到斜面上时的数值速度之比，就等于他们这两次运动的水平分速度之比啊，那对应的数值分速度等于什么呀？ 是不是分别等于 g t 一， g t 二，那是不是也就意味着这两次啊平抛运动所需要的时间之比跟速度之比相同啊？那这是分速度。哎，那核速度呢？我们的核速度就等于啊， n 速度勾股定律做出来是吧？哎，第二次运动的和速度，那么等于第二次，哎，抛出时的水平速度的平方，再加上落到斜面时啊，控制速度平方来抬杠根 好，然后发现对应的分数是乘比例的，把这个比例提出来之后，哎，又得到一个平方关系，得到平方关系，把平方关系从根号当中开出来之后，从速度之比是不是也等于时间之比？ 哎，这就我们说的速度之比等于时间之比好，那谓语之比呢？来看一下 第一次抛出的水平位移和第二次抛出的水平位移等于什么呢？是不是等于分别等于第一次抛出的，哎？速度水平出速度乘以第一次运动的时间， 对吧？哎，比上第二次抛出的出速度，比上是第二个时间，然后呢？ v 一 x 比上 v 二，是不是就等于 t 一 比 t 二是不是等于 t 一 的平方比？ t 二平方就是我们运动时间值啊？那么这两次的数值位移 比值关系呢？一个二分之一 g t 一 方，一个等于二分之一 g t 二方，哎，那二分之一 g 约掉了，是不是天然的就等于时间之比的平方，哎， 那包括我们刚才说的啊，则位移是不是一样的道理？则位移就等于两个方向分位移，利用勾股定比乘，把这个比例提出来，再开平方根开出来，哎，这个比值关系是一样的好， 哎，那么这个题型他的结论呢？呃，其实打的比较死，他只能用在这样类似的场景当中，但是呢，哎，反过来说，你只要是在斜面上运动，对吧？哎，就可以这样去比啊，是不是啊？ 甚至于包括啊，在我们后面，比如学到了电场，大家一起在电场当中偏转问题的时候，哎，有的时候如果遇到一些哎，请斜的边界的时候， 是不是也相当于构造成了一个斜面？哎，是不是也可以用类似的方法去进行推导 啊？你看，我为什么要强调所有的题型啊，结论，模型的结论，二级结论都必须亲自动手去做推导呢？要理解，你只有理解它的原理，它的来龙去脉才能够啊，在不同的场景当中灵活运用， 哎，不会受限于题目的变换，题目条件的变换，他换了一个面具，他换了一身外套，你知道哎，这还是这个人，但他的本质是不会变的，好吧？

在我们学习平抛运动之后，很多学生反映说，在做题的时候啊，会遇到平抛运动和斜面结合的问题，不知道如何下手。那今天呢，我们就通过一个视频给大家讲清楚平抛运动和斜面结合的所有情况啊。我们先来看第一种情况， 已知小球速度啊， v 零啊，他在这个鞋面啊，在鞋面上水平抛出啊，以水平速度 v 零抛出，最终落在鞋面上啊，并且呢，知道这个鞋面他的轻巧是 c 大， 让球小球他的运动时间啊， 那我们来看一下，只要小球落在这个鞋面上，那他的位移是不就是沿这个鞋面的啊，就知道他的位移，那并且呢，知道位移和水平方向的夹角是不是 c 大 啊，那因此我们这边可以用啊，这个弹定的 c 大， 你看在这个直角三点零当中，它的 c 大 是不是等于一个 y 比上一个 x， 那 在数值上的位移小球是不是做自由落体运动，所以它就等于一个二分之一 g t 的 平方 啊，那水平上的微移呢，是不是等于它水平上的速度乘以时间 t 啊，你把 t t 约掉一个，这时候我们就可以求出它的运动时间 t 啊，那约掉之后啊，这时候 t 它就等于个七分之二倍的为零，乘以一个弹性的随它 啊，你观察啊，这个 c 档，那这个就是是不是这个轻脚啊？啊，这个斜面轻脚，这是不是固定的那 g 啊，长量这个二啊，是个常数，所以它这个下落的这个时间啊，运动的时间是不是就正比于出速度 v 零啊？啊，你知道这个结论之后啊，我们来看一个例题 啊，已知 ab 两球平抛时出速度之比是一比二，那问他们两个运动时间是多少， 那刚才已经得到了它的运动的时间和速度是不是成正比啊？那既然初速度是一比二，因此呢，他们运动的时间也是一比二啊，那你就可以秒杀这类题目 啊。那么再看第二个量，求什么呀？ l o a 比上一个 l o b， 也就是它落在斜面上的时候，它的位移之比，那如果说你知道结论的话，位移之比和速度的平方是成正比的，那这时候我们就可以秒算出来是一比四 啊。把第一个我们知道为啥了，我们看第二个让求 l o v 啊，那对于 a 点来说啊，我们看它数值方是不是有个有个位移啊？ 啊，在水平面上呢，也有个位移啊，这两个是垂直的数值方位移，我们用 y a 来表示，而水平面位移呢，我们用 x a 来表示，那这个轻角啊，是不是和这个斜面轻点是一样的啊？假如都是 c 条， 好，我们先来求 x a， 也就是对 a 点来说，它水平为一等于多少啊？它平抛时候出速度是不是 v 零啊？那因此 v 零乘上一个 t a 是 不是可以了啊？ t a 你 刚才不是已经求了吗？ t 是 不是就等于个积分二倍的 v 零乘上一个弹性 c 点，那因此你把 v 零 继续带入进去，它等于个积分至二倍的 v 零的平方，再乘上一个弹性的 c 点 啊，这 x a 你 求出来了，然后在这个直角三角形当中啊，你求 l o a， 那 是不是就是 l o a， 它就等于 x a 是 比上一个 cosine sine， 那 你再把第一个 x a 给它带入进来，所以这时候我们可以得出它等于个 g cosine sine 分 之 二倍的 v 零的平方，再乘上一个弹性 c 点，你观察斜面的倾角是不是都是固定的呀？啊？ g 也是长两，这个二呢，是长数，所以它正比于是不是 v 零的平方？ 那因此你就可以得出啊，它的位于之比啊，位于是不是就正比于速度的平方之比啊？那因此这个出速度的平方之比啊，那因此呢，它的位于之比就等于一比四。 哎，当我们知道这些结论之后，这这些题是不是就可以秒杀啊？这就是关于第一种情况，我们再看第二种情况啊，已知啊，小球呢，以出速度为零水平画出，结果呢？他垂直击中这个斜面，并且这个斜面的轻点 c 塔，那垂直击中斜面，他速度是不是垂直这个斜面， 那这是九十度速度，既然是垂直于这个斜面的话，那这个角度啊，这个角度啊，你看是不是就和这个角是相等的？因为它加它等于九十度，而 c 叉加它等于九十度，所以这个角是不是 c 叉？ 好，那在这个直角三角形当中，这个速度啊，它是不是有两个分量？一个是数值方法分量，另外一个呢？水立方分量，那水立方分量给它挪到这，这是不是构成了一个矢量三角形啊？好，那就在这个直角三角形当中弹定的 c 叉，它等于什么呀？是不是等于个 v x 比上一个 v y， 而 v x 这个平抛运动啊，它的速度是不是等于它抛出时候的速度啊？那 v y 呢？就等于个 g t， 那这样的话是不是就可以计算出它运动的时间啊？把这个 t 挪过去，它就等于一个 g 乘上一个弹 t 的 theta 分 之为零，那这个 t 是 不是就可以比较方便的给它求解出来了啊？这是第二种情况， 我们再看第三种情况，已知 v 零和 c 大 小球，它是以最小位移击中这个鞋面，那只要它最终落到这个鞋面上，那它的位移最小是什么情况？就是你连接啊，这个起泡点和它的落点就是垂直鞋面的时候，这时候 这个位移是不是就最短的？因为到到这个直线的距离是不是垂线最短啊？所以它的位移是和鞋面垂直的，那这就是最小位移， 那我们来看一下，这个角是 sine， 那 这个角呢？是不是也是 sine？ 好， 这既然是垂直的，所以它加它等于九十度，那这个是数值方的谓语，我们用 y 来表示，这是水平上的谓语，用 x 来表示，这是不是也是垂直的？好，所以 它加 sine 等于九十度，那这个呢？加它也等于九十度，所以这个角是不是 sine？ 好， 那在这个直角三角形当中，弹性的 c， 它弹性 c， 它是不是等于 x 比 y 啊？而 x 水平状的位移，那不就等于个 v 零乘一个 t， 那 数值方位移就是自由梯运动板二分之一 g t 的 平方 啊。 t t， 你 约掉一个，然后把 t 挪过去，所以它就等于，我们就可以求出 t 啊 t， 它就等于啊，这，这下边只剩一个 g 乘上一个 弹进的 c 叉二，然后你把 r 挪上去，上面呢就是二倍的为零，那这样的话是不是也可以求出它啊，到达鞋面上的时候运动的时间啊？啊，这就是第三种情况，那我们把这些都了解之后啊，来看一道例题， 运动员以 a 点啊，以 a 点，然后呢？以出速度啊，水平抛出，那就是平方运动，是平直的，在这着路的话，那就是平方运动和鞋面的结合 啊。斜坡的倾斜， c 打是等于三十七度，不计空气阻力，重力加速度是十，然后 sin sin c 垂直， c 打等于它。第一问，让求运动的时间，那运动的时间刚才是不是就属于我们结合的第一种情况啊？那我们来看一下， 这是数值方的位 y， 这是不是水平方的位 y x 啊，这是一个数值，一个水平垂直啊。好，我们看第一种情况。 呃，因为这是个计算题啊，所以你要写出具体的过程，因为我们是按过程给分啊，不要直接用刚才的这个结论。所以弹定的 三十七度，它就等于是不是 y 比上一个 x， 而 y 是 做自由落体运动，数值方向就是二分之一 g t 的 平方， 而 x 呢，就等一个 v 零乘上一个 t 啊，这样的话，我们可以求出 t， 它就等于啊 t， 它就等于啊 g 分 之二倍的 v 零，再乘上一个弹性的三十七度 啊，你把这些都代入进来，我们可以求出这个 t 呢，是等于个三秒啊，就等于个三秒，所以 a 到 b 运动的时间是三秒。第一问解决，再看第二问，他说到达 b 点时候速度的大小，那就是求 v b 呗。那到这一点的时候，它速度的方向是不是和 切，是不是它切过这一点，它的切线方向，这就是 v b， 那 v b 是 不是有两个作用效果？第一个是沿水平方向的，这是不是 v 零啊？它不变嘛。然后另外呢， 是不是数值方向，数值方向上啊，从 a 到 b， 它运动的时间是不是 t 啊？所以它数值方向速度是不是等于个 g 乘以个 t 啊？那你根据勾股定律，这垂直的勾股定律，我们是不是可以求出 v b 啊？所以 v b 它等于根号下 啊， v 零的平方，再加上一个 g t 的 平方啊，你把数都带入进来之后，我们可以求出这个值呢，是等一个十倍的根号， 十三米每秒啊。第二问也解决了，我们再看第三问啊，运动员从 a 点到距离斜面最远的时间啊，假如说他到这最远啊，那他此时速度的方向是不是沿着切线方向？当他速度的方向， 当他速度方向和鞋面平行的时候，此时离鞋面最远，此时他离鞋面是最远的啊，这就是这里隐藏的一个条件，我们要找到也是速度方向和鞋面平行的时候，此时他离鞋面是最远的。那既然平行的话，我们把这个速度啊，也给他分解，他分解成水平方，是不是有一个速度啊？ 这个是不是有 v 零啊？然后竖直方向是不是也有个速度啊？这个速度是 v 一 啊，那我们就可以去求了，那在这个，在这个直角三角形当中啊，这个角，你看这样平行的话，它和水平上之间夹角和 斜面和什么面，讲讲是不是相等啊？所以这是三十七度啊，那这样的话，弹性的啊。第三问啊，弹性的三十七度是不是等于个 v y 比上一个 v 零啊？ 啊？那 v y 呢？是不是等于一个 g 乘上一个 t 一 啊？再除以一个 v 零啊？这 t 一， 我们把这个 t 一 就是我们要求的啊。那把这个 v 零 g 还有它内三十七度都带进去，可以求出 t 一 呢？是等于个一点五秒 啊，这就是这道题啊，它是明显的，或者说典型的平抛运动和斜面的结合问题。

一百个模型搞定高中物理，今天我们要讲的是平抛运动。首先是平抛运动的相关定义，平抛是指水平方向上有固定的出速度 v 零，而竖直方向上是自由落体， 因此我们先来看到它的两个方向上的位移。水平方向上因为是匀速运动，所以 x 等于 v 零 t y 方向上直接带入自由落体的位移二分之一具体方 高度。所以我们可以推论到平抛运动的运动时间取决于它的数值高度。将这个公式转写一下，就可以得到 t 等于根号下二 h。 记， 再把时间带入 v 等于 g t 这个自由落体运动中，就可以得到 v y 等于根号下二 g h。 所以 当我们要研究平抛运动的落地速度时，我们只需要把数值方向上的速度和水平方向上的速度进行勾股定律 就可以得到答案。同时我们有一个常考的问题，就是平抛运动的速度改变量。因为水平方程上一直是一个匀速运动，所以 delta v x 始终等于零，而 delta v y 取决于数值方程上的速度增量，也就是 g 乘 delta t。 因此可以得到一个小结论，在任意相等的时间内，也就是德尔塔 t 相同的情况下，我们的速度改变量德尔塔 a 都是相同的。由于位移和速度都是在水平和数值两个方向上，都需要进行研究，所以我们把平抛运动的示意图摘出来，可以找到两个三角形，一个是移，是末位移构成的速度三角形。 第一个是以末速度构成的速度三角形，这两个速度三角形定义成 theta， 而速度三角形夹角定义成 r 法。由图像我们就可以得到贪间的 theta 等于数值为一，比上水平为一，也就是二分之一 g t。 方比上 v 零 t 消掉 t 等于二， v 零分之 g t。 速度三角形中的贪间的 r 法等于 v 零比上 g t。 观察这两个结果，我们可以很轻易的得到 探间的 r 法等于二倍探间的 theta。 想要把二倍关系更直观的运用到三角形中，我们可以将速度三角形进行一个反向延长线，交到我们位于三角形当中，也就是此时的探间的 r 法。我们想要让它用 x 和 y 进行表达，那么已知探间的 r 法等于二倍探间的 theta， 探间的 theta 又等于 y 比 x， y 在 这里数值分量已经很明显，那么这个二我们就可以把它放到分母上，将它写成 y 比上二分之一 x。 所以就可以看到我们速度的反向延长线将会交于位于三角形的中点，这段绿色的位于就是二分之 x。 这就是平抛运动在书本中出现过的所有结论啦。

啊，今天我们来讲一讲什么是类平抛运动以及它的解析思路啊。我们先来看一个立体， 如图所示，轻脚为 c 踏的光滑鞋面，高为 h， 重加速度为 g， 现在有一个小球呢，在 a d m， 然后贴着这个鞋面以水平速度 v 零抛出小球将如何运动？我们想要知道啊，小球如何运动的话，肯定要对小球进行受力分析啊， 那为了受力分析方便啊，我们把这个鞋面啊，再旋转一下变成这样啊，那这样的话，它轻脚是不是斜下啊？你看在光滑的鞋面，小球是不是一共就收到两个力啊？竖直向下的重力 g， 还有沿垂直鞋面垂直鞋面向上的一个支持力啊 s， 那 这两个力我们把它合成，是不是它的合力啊？啊，合成合力是不是沿斜面向下 啊？这个就是 f 和，那这个 f 和我们能不能给它表示出来呢？你看这个角是 c， 它那这个角呢？也是 c， 它这个是垂直的，所以 f 和它是不是等于一个重力 g 乘上一个 sin 值， 你观察 c 点是不是斜面倾斜啊？那这个是固定的 c， c 点是固定的，那 g 呢？又是个定值，那所以 f 和是不是它是横力啊？ f 和为横力，这是它的受力的第一个特点 啊。另外第二个特点呢？ f 和横力是不是沿斜面向下，那沿斜面向下与它出速度为零的方向是不是垂直啊？那这就是它第二个特点，然后与出速度为零方向垂直 啊，你看它的受力特点啊，和我们这个平抛运动啊，它的受力是不是很相似啊？那因此呢，我们就把 f 和为横力，且与初速方向垂直这样的运动，都把它叫做类平抛运动 啊，都叫做类平抛运动，那对于类平抛运动，我们该如何去研究呢？那它的研究方法也是采用运动的分解 啊，第一个呢，就是沿它出速度方向，我们叫 x 轴，那出速度方向是不是不受外力啊？所以呢，它做的运动是匀速直线运动，那另外一个呢，就是沿合力方向，我们记为 y 轴，那沿合力方向它是不是做出速度为零的匀加速直线运动， 那这时候分解啊，那分解，然后我们分解完之后啊，就可以去探讨它的运动规律了。那在 v 零方向上， 那我们想要求它的速度，那它在 v 零方向上是不是做匀速直线运动啊？所以它的速度是不是横等于啊，抛出去的这个速度啊？ v 零，那你也想要求 v 一 x 是 不是等于个 v 零乘以个 t 啊？这是 v 零方向。然后再看它合力方向啊，我们首先要求出是不是它的加速度是不是等于它的合力 啊，除以它的质量有加速度，你有加速度就可以求它在合力方向上是不是任意时刻所对应的速度啊，那就是 v y 来表示 v y 是 不是等于 a 乘以个 t 啊？然后想要求 v y 呢？ y 是 不是等于个二分之一 a t 的 平方啊？这样的话，它的运动规律这会我们就知道了，知道之后我们就来看两个例题， 如图所示，光滑固定鞋面啊，光滑固定鞋面轻点 c 大 斜边长为 l， 鞋面顶端有一个小球啊，以平行底边啊，大小为 v 零的速度啊，水平滑出那小球滑到底端啊，滑到底端，他问水平为一啊，是多少？那水平为一不就是 x 吗？ x 是 不是等于个 v 零乘上一个 t？ v 零你是知道的，你只要求出他的运动的时间，是不是就可以知道水桶棒的位置了啊？运动的时间我看我们看，怎么求，我们知道什么呀，就是知道他沿斜面 啊，沿斜面向下它的一个位移，是不是它的斜边上 l 啊？那这时候我们先对小球进行受力分析，那小球它在光滑的斜面上受受到的合力 f 和刚才是不是已经分析了，就等于一个，是不是 m， g 乘以一个， 是不是等它的质量乘以加速度啊？这样的话，我们可以得出啊，它的加速度 a 是 不是等于 g 乘以一个 c 型 啊？他既然沿合力方向加速度这么大，而且沿合力方向它的位移，我们是知道是不是 l 啊，那再根据 l 就 等于个二分之一 a t 的 平方，这时候是不是就可以求出 t 啊？ t 呢，它就等于根号下，是不是 a 分 之二 l 啊？ 你把 a 带入进来，所以 t 呢，就等于根号下 g 乘上一个 sin c， 它分之二 l， 你 d 键求出来了，我们是不是就可以求它水平棒的位置了，再乘上一个 v 零就可以了，因此算出来结果就是 v 零乘上一个根号下 既乘 c， 它分之二 l 啊，所以对应的答案选择的就是 d 啊。这是第一题，看一下第二题， 如图所示。一、物体啊，在某液体当中运动时，它只受重力 mg 和横定的浮力啊， f 呢，是等于个三分之 mg， 这它是不受摩擦力啊，只受的重力和浮力。我们知道啊，重力 是不是横竖直向下啊？它大小是 mg， 那 浮力呢？是不是横竖直向上向上啊？它是等一个， 是不是三分之 m g， 那 这样的话是不是就可以求它的合力了？那不受其他力啊，只受这两个力啊。所以 f 和是不是等于一个？ 呃， mg 减去三分之 mg 三分之二倍的 mg 啊？核外核外力等于什么呀？是不是等于 m a 啊？因此它的加速度 a 就 等于个三分之二 g 啊。你有加速度 a 就 等于个三分之二 g 啊，你有加速度 a 就 等于个三分之二 g 啊，你有加速度 a 就 等于个三分之二 g 啊。 你看从 m 到数值方的位移，这个高度啊，题干当中是不是得出来了，这个高度为 h 啊？那我们根据他在数值方式上是不是做初速度为零的匀加速直线运动啊？因此 h 是 不是等于个二分之一 啊？ a t 的 平方，所以我们可以求出来 t 是 等一个根号下啊， a 分 之是不是二 h 啊？你把 a 带入进来，最终我们可以求出来啊，这个 a 带入到这个当中，可以求出来它的时间 t 啊，就等于一个 g 分 之三 h 啊， g 分 之三 h， 所以 这个 a 选项是不是错了啊？然后再看 b 选项， m n 水平距离，那水平距离不就是从这从这到 n 点吗？那水平距离 x x 等于什么呀？就等于个 v 零乘上一个 t。 你 v 零是知道的， t 你 也算出来了，所以它就等于个 v 零乘上一个根号下 g 分 之三 h， 那 所以 b 是 正弦。 再看 c 选项，从 m 到 n 轨迹不是抛物线啊，这是不是错的？很明显，它的轨迹是不是一个抛物线，所以 c 是 错的。那 d 选项减减小水平速度为零啊，他说运动时间呢，将变长，你看运动时间 t t 他 跟什么有关？是根号下积分之三 h 是 指他的高度有关系，和你的水平方向的水平，这个速度为零是不是没有关系啊？所以你水平上速度不会影响他运动的时间，所以 d 也错。那这个题的答案呢？选的就是 b 选项啊 b。