电磁场导论前四章公式总结

带电粒子在云强磁场中的运动搞定基础，这是第一步，年哥今天继续带你破解问题，逐个击破，让你从会公式进阶到会用公式。今天咱们开始研究带电粒子在云强磁场中的运动，这一页非常的关键了啊，我们要分两页分别去研究，我们带电粒子在磁场中运动，它最常考的两件事，一个是半径， 一个是时间。我们首先如何去求一个粒子在磁场中运动的半径？好，来，我们现在啊，已经给了一个粒子这么走，对吧？他是一个正点，和咱们说正点和点顺差逆，他会在里面逆时针转， ok 吧，这是他的轨迹啊。好，那请问如何去根据题中给的条件去算它半径呢？好，来咱们这个。首先啊，对一个匀速圆周运动来讲，咱们其实的本质上就是一个匀速圆周运动动力学问题。对个匀速圆周动力学问题，第一步，你要想 求和外力，这个和外力就充当它的象限力，对吧？谁充当和外力呢？是不？洛伦兹力 q v b 充当和外力。好，那象限力怎么表示呢？好，那你比如说你可以 给了粒子运动的限速度的情况之下，你可以用 v 方比 r 去表示象限加速度，所以你的象限力是不是 mv 方比 r？ 那 咱们最后列的什么呢？其实就是牛顿第二定律，我们列的式子 就是洛伦兹力充当相吸引力，我们列的式子叫 q v b 等于 mv 方点。好，这个式子是咱们做。接下来做匀速运动问题几乎最常见的一个式子，你上来基本上肯定列他，对吧？好，那你可以推导一下，把这个 v 和这个 v 消掉了，你 r 等于什么呢？ r 弄过去， q b 除下来，是不是 r 应该等一个叫 mv 比 q b 好？ 或者说这个题怎么着呢？他在给我们 给这个粒子的它质量啊，电和量啊，以及空间动的磁感强度以及粒子的速度 v 的 情况之下，好，你就可以用这个速度了，去求它的半径 r， 好 吧，但是呢，其实我还想反手再求一下，如果题目当中给的 是什么呢？他更常见的其实是乙心会把这个半径 r 给你，然后再给你粒子的质量啊，电和量和磁感强度，让你去求速度。刚才是给这些让你去求半径啊，咱们 r m v b 比 q b 对 吧？好，但如果说已经把 r 给你了啊，咱们求速度 v 怎么办呢？ 还是列这个式子对吧？啊，只不过我们现在呢求 v， 就 这里面只有 v， 怎么办呢？还是列这个式子对吧？啊，只不过我们现在呢求 v 就 这里面只有 v， 不知道，其他全是乙质量， 那咱们怎么求 v 呢？这个 v 方跟 v 消掉了，咱们就表示这个 v r 乘过去 m 再除过去，是不是 v 应该等于个 q b r e m 是 吧？好，所以说咱们速度就求完了啊，所以咱们要总结一个一个感觉啊，叫做这个速度看半径， 因为太多的题目问你速度啊，速度看半径，一旦题目当中问你粒子运动的速度，你一定要去想方设法，通过几何的方法去找到这个粒子在磁场中运动的轨迹，半径小， 然后带着 v 等于 q 比 r 比 m 好， 这个题就做啊，对吧？啊，当然这个题目当中也可能问其他量，比如他会问磁感强度 b b 等于什么呢？其实你就用这个式子导就行了。 b 等于什么呢？ mv 乘过去， q r 乘过来， b 应该是不等于个 mv 比 q r 好。其实我们之前还有一个非常重要的概念叫做赫兹比，还有印象吗？赫兹比咱们是在讲电赫的时候讲，在电场里面讲，其实赫兹比最好的是在磁场，所谓赫兹比就是 qbm 啊， qbm， 你 说 qbm 等于什么呢？ qbm 是 不是这部分？你把这个 br 除过去， qbm 是 不是应该等于 v 比 br 是 吧？好，所以说啊，你这个 无论是求速度，求磁感强度还是求赫兹比，这些量他都是跟半径 r 脱离不了关系的。所以说我们 概念粒子在磁场的运动的问题，你做多了，发现它本质就是一个圆柱运动的几何题，跟圆有关的几何题，你基本上这个题上来肯定都是要找半径的，不单单速度要找半径，你求磁感强度，求赫兹比啊，基本上来说都是要先找半径。 好吧，找半径啊，这个意识根植在你现在的头脑当中啊，一定，咱们后面就是各种各样的方法去找半径。你可以认为带电粒子在磁场运动，所有的问题你都要先去找半径，那只有一个量，不找半径， 哪个量呢？就是周期，或者说粒子在磁场运动的时间，他不找半径，他找什么呢？啊？比如说咱们先去算带电粒子在磁场中运动的周期周期。 好，那现在这个例子还是这个点进来啊，一个速度向右好，他转了一个圈啊，他是个正点，会啊，逆时针转，对吧？好，那你怎么去求他的周期呢？ 转一圈所需要的时间题。好，其实第一个式子叫 q v b 等于 mv 方比 r， 这个咱们该列还是列，对吧？比如刚才咱们可以算出来 r 等于 mv 比 q b 这些小推论应该你做多了就脱口而出，都不需要去列了啊，直接告诉我 r 等于 mv 比 q b 比 m， 这非常常用。后面啊，好，那你说你现在已经表示出了粒子半径 r， 能不能再进而用这个 r 去表示一下它的周期呢？可以啊，因为我们这个周期 t 是 不就刚才说了等于二 pi r 比 v 有 印象吗？对吧？我们刚才是不是说了，你它本质上都在做圆周运动，那你圆周运动本身这些关系要熟啊。 v 等于二 pi r 比 v。

各位同学大家好，我是蚂蚁七梦团队的张老师，今天很高兴和大家分享有关电磁场与电磁波课程的相关内容，我们的课程主要包含以下内容，今天我们来进行有关净磁场部分的讲解，这一部分主要包含以下五部分内容。首先第一部分内容， 大家肯定对安培定律是比较熟悉的了，那么安培定律说的是什么呢？对于真空中如果有两个细导线， 这里面呢，我们提到的细导线指的是半径可忽略的啊，那么如果两个细导线里边流过了电流，他们之间就会产生力，那么安培定律在说什么呢？就是在告诉我们这个力应该怎样去计算。 那么我们可以看到安培定律里边是由两部分限积分构成，说白了呢，就是把 左边的这个电流环的每一块对右边这个电流环的每一块的作用给他累加起来，就是整个力的计算方式。那我们知道左边的电流环对右边的电流环有利，反过来也是一样的， 大小相等，方向相反啊，这是作用力和反作用力的关系，那我们说借鉴，我们在学静电场部分的思想的时候， 学了力我就该学场了。那我知道两个环之间所产生作用力，其实是通过一种氛围，一种环境施加过去的，那么这种氛围这种环境我们可以叫做磁场， 那么我们怎么样去计算这个磁场呢？好了，必要萨尔定律告诉我们磁场可以这样去计算啊，当然这里大家需要注意 b， 我 们管它叫磁感应强度，后面我们会提到的 h， 我 们会叫磁场强度啊，那么这里边我们说磁感应强度的计算方式，相当于是对于产生磁场的这个电流环去做了个积分， 意思就是我把这个环上的每一个位置所产生的磁感应强度给它累加起来，就是整体电轮环所产生的磁感应强度啊，那么这个思想呢，用在体电流和面电流上也是一样成立的。 下面我们来说洛伦兹力，高中物理里边大家对洛伦兹力肯定是不陌生的啊，那么对于洛伦兹力的公式呢，大家肯定也非常熟悉， f 等于 q v b， 那 我们这里边需要重点提出的是 q v b， 它是一个差乘关系，是 v 差乘 b 等于 f， 那 意味着什么？那我们知道，根据右手定则， 力的方向是跟速度的方向垂直的，这就是说磁场力不能改变运动的电和的速度大小，它只能改变运动轨迹。 这样大家就回想起高中物理在做电磁学题目的时候，为什么受到洛伦兹力的电和它行走的轨迹是一个圆啊？ 在这个基础上呢，我们说如果这个电和不仅受到磁场力，它还受到电场力呢，那我们就把它加起来啊，整体受到的力就是 q 等于 v 叉乘 b， 再加上 e 就 好了。这里面我们注意，磁场不能改变电和的速度大小，但是电场是可以的。 下面我们来说磁场的高斯定律和安培环路定律，这两个定律非常重要，它们后续将构成麦克斯力放射组的重要组成部分。首先我们来说磁场的高斯定律，磁场高斯定律的灵感来源于实验， 因为很多的实验啊，都表明磁感应强度的线呢，是闭合的，比如说通电磁感应强度的线是以导线为圆心的同心圆 通电螺线管呢，它的磁感线也是闭合的。那说明什么？那说明通过任意封闭曲面的磁通量必定是零，这也就是磁场高斯定律的两种形式，一种是积分形式，一种是微分形式。 那么磁场高斯定律的求得呢，也是可以通过必要萨尔定律来证明的。那我们说根据必要萨尔定律， 磁场的散度可以写成这样的形式。后续呢，大家根据散度还有矢量的运算法则把这个东西展开，可以发现它展开之后得到了两项分别都是零，所以这个的结果为零。好了，那我们说 高斯定律的微分形式在说明一件什么事情呢？它在说明磁单极子不存在，换句话说，电场里边存在电和，但磁场里边是不存在磁和的啊。 那么下面我们来说安培环路定律。安培环路定律在说什么呢？如果我有一个磁感应强度 b， 我 把它拿着沿任意 b 和路径 l 去做一个现积分，那它的结果是什么呢？它的结果等于 这个 l 呢？它会包含一部分面积，这个面积它会通过一些电流，刚才我们说的这个积分的结果等于 通过的这个电流的大小乘一个固定的倍数啊，这里固定的倍数是没有零，那我们说如果这个积分环路他不包含电流，那这个结果应该是零啊，那好了，我们说 电流，它是可以转化成电流密度的积分的形式的，那么当我们把它转化成电流密度之后，再利用散度旋度的计算法则，可以进一步推出 b 的 旋度应该等于六零乘以 g， 这个就是安排回路定律的微分形式。下面我们来说磁矢位和库仑规范 净磁场的很多学习，其实跟静电场是非常类似的，回想我们当初提标量电位的时候，其实用到了一个矢量恒等式，那么在这里边我们采用类似的思想， 我们有这样的一个矢量恒等式，对于任意的矢量来说，先求悬度，再求散度的结果为零。那么根据我们刚才说过的磁场的高斯定律，那我就可以设 b 应该等于某一个矢量的悬度，那我们就可以把这个矢量叫做矢矢位，或者叫矢量矢位。根据必要萨法尔定律对磁场的计算啊，这里说的是磁感应强度的计算，那么我们就可以得到矢量矢位的计算公式。 那矢量矢位有哪些性质呢？它的一条很重要的性质就是它的散度也为零。除此之外呢，我们还说 我们可以去计算矢量词位所满足的微分方程，那么我们把它带入安培环路定律之后，经过一些整理，再加上把 a 的 散度为零带入，我们就可以得到矢量词位 a 满足一个颇松方程， 那么在无源区域，坡松方程就会变成拉普拉斯方程。我们回想一下 b 与 a 的 关系， b 呢应该等于 a 的 悬度。那我们知道一个事情， 由于有这样的恒等式存在，那么我们可以找到不止一个 a 能够满足这样的关系，也就说什么呢， 如果某一个 a， 它能满足它的悬度等于 b 的 话，那把 a 加上任意标量函数的梯度，它也一样能够满足 b 的 这个要求。 所以呢，我们就要想办法添加一些条件去让这个东西唯一确定。 那我们要满足一个什么样的条件呢？好了，这就是库伦规范，库伦规范告诉我们，我们所添加的这个标量函数，它必须满足它的拉普拉斯为零啊。 下面我们来说物质的磁化，物质的磁化跟戒指的集化是非常类似的。什么是磁偶极子呢？我们说我们可以把磁偶极子想象成一个电流环，那么磁矩的三个来源就包括物质的原子或分子中的电子的自旋、 电子绕核做轨道运动和原子核的自选。那么宏观上物质可以分为三种情况。什么是顺磁性物质呢？是指由上面三个原因造成的单个原子的磁偶极距抵消不完全 顺磁性物质的单个原子在外磁场等于零的时候，它的磁矩是不等于零的。但是呢，磁矩的方向是杂乱无章的， 当我们把顺磁性物质放到一个外加磁场中，外加磁场会迫使里边的所有磁矩都指向同一个方向，这个现象就叫做磁化。 大家可以类比急性分子在外加电场中偶极聚朝一个方向指的这样的一个现象。那什么是抗磁性物质呢？是指由上面三个原因造成的单个原子的磁偶极聚完全抵消的一类物质。 当我们把抗磁性物质放到外加磁场中之后呢，会产生和外磁场方向相反的磁矩，使得外磁场受到玷弱。那这种现象呢，与电介纸中非极性分子在外电场的作用是非常类似的。 第三类呢，叫铁磁性物质，铁磁性物质是指在无外加磁场作用下就能显示自发磁化的一类物质。铁磁性物质啊，它的磁化强度会比顺磁性和抗磁性物质要大若干个数量级。 这里边呢，我们提到的一个概念叫磁化强度 m， 参考之前我们学过的极化强度，那磁化强度呢，其实是在描述物质磁化程度的一个量， 当我们把总电流 j 给它拆分成一部分，我们叫自由电流，一部分呢，我们叫磁化电流，那我们可以得到磁化电流跟磁化强度之间满足的关系， 这也就是磁化强度所满足的安培环流定律。我们对这个公式呢进行整理，把磁化强度的这个悬度给它移到等号的左边，形成这样的一个表达式之后， 我们呢就可以把 b 除以 m 这样的一个式子，整体定义为一个新的量 h， 这个 h 呢，我们叫磁场强度啊， 这样我们就凑齐了。磁场强度和磁感应强度分别对应着电场里边的电感应强度和电场强度，那我们说 g f 应该等于 h 的 悬度，这就说明 h 只跟自由电阻相关，那这就是 h 所满足的安培环路定律。 那参考之前我们说电感强度和电场之间的关系，我们呢同样可以找到磁感应强度和磁场之间的关系。 那么我们把 miui 零和一加 km 给它定义为一个新的量，我们管它叫 miui， 这个东西叫磁导率， 那么这个一加看 m 呢，我们可以把它定义为一个新的东西，叫 m r， 它叫相对次导率，那么 m 就 等于 m 零乘上 m r， 那 这个式子类比之前的界点常数等于真空界点常数乘以相对界点常数。这两个公式是非常类似的， 通过一些矢量分析的推导，我们可以得到磁场强度 h 所对应的积分形式的安培环度定律。 最后我们来说一下磁场的边界条件，这里面呢，大家直接记结论就好。磁场的边界条件法向磁场是连续的，切向磁场之间满足一个 不连续的关系，那么矢量词位它也满足一个边界条件，就是矢量词位也必须是连续的。 那我们说一些特殊的情况，如果分界面上不存在自由面向量，那也就是说在 jsf 等于零的时候，那我们就可以推出磁场强度的切向分量， 在分界面处也是连续的。当然这里边要求的是这样的一个前提，大家不要记错了。 下面我们来讲解一些例题。首先是例题一求这样的一个直导线通过电流 i 的 时候，导体内外的磁感应强度。 这道题我们要注意两件事情，第一件事情由于无限长，所以有对称性，所以所产生的磁感应强度都是外方向的。第二个事就是这个导线，它是有粗细的，所以导线内和导线外是不一样的，我们要分开讨论。 对于导线 y 的 情况来说呢，我们取一个半径为 r 的 圆周，那么根据安培环论定律，我们知道满足这样的关系， 那我们对这个式子进行直接的整理就好了。我们可以得到 b f 应该等于二派 r 分 之六零乘以 i， 这得注意 r 是 大于 a 的， 也就是说这是外部的情况。 这个式子告诉我们一件什么事情呢？告诉我们随着肉的变大，这个 b f 的 值是在变小的。换句话说，离导线越来越远的地方，磁场强度越来越弱，这个是符于符合我们的一般常识的。 好了，那么在导线内部呢，我们首先要先计算一件事情，我们首先要先计算电流密度，电流密度 g 应该等于 i 比上 pi 方。 那我为什么要求电流密度呢？这是因为当我去算内部的磁感强度的时候，我所画出的这个积分的圆周，它有可能不包含整条直线， 那么不包含整个导线了之后，它所流过的电流量就不是 i 了，我们就要根据面电流密度去计算了。所以我们就知道 b f 在 内部的时候， b f 乘上二派啰，它应该等于妙龄乘上这派啰的平方。 这里面稍微解释一下，我们选择的同样是一个以肉为半径的这样的一个积分圆周， 那么留过这个圆周框进去的这个圆形的面积的电流就是 j 乘上 pi 轴方。经过整理，我们就可以知道 bef 在 内部的表达式了，两部分写在一起就是最终的结果。 下面我们来看第二题，说有这样的一个无限长磁介值圆柱，它的中心留过一个限电流 i f， 然后去求 b h 和 j m。 好，那我们说这道题跟上一道题最大的区别是什么？是电流留在了中心。刚才我们说，由于上一道题电流是充斥在整个圆柱内的，所以你环路取了多大 流过的电流的大小是不一样的，但是对于这道题而言，电流留在中心，所以你的环路取多大流过的电流总是那么多。所以呢，我们首先去求 h 的 时候，直接用安培环路定律就好了， 我们可以求得 h， 它应该等于 i f 比上二 pi 外一间，这里边注意 h 是 外方向上的。 那我怎么去求 b 呢？ b， 我 们知道它等于 mu h， 那 既然它是磁介值圆柱，那内部的 mu 和外部的 mu 不 一样，那大家分别代入就能把 b 求出来。 接下来我们为了去求磁化电流，那我们就要去求磁化强度，那磁化强度呢，我们可以利用 m 等于 b 比上缪零减去 h 这样的一个公式来分别求出内部和外部的磁化强度。比较难处理的呢？是怎么去求电流？我们要先求电流密度。首先呢，我们说 磁化电流的密度，体密度 g m， 它应该等于什么呢？它应该等于 m 的 悬度，那我们把上一步所求出来的 m 带入到这个悬度计算公式里来，我们可以求得体磁化电流密度是零。 但是呢，我们说在肉小于 a 的 时候，也就是说在整个的这个磁介值圆柱内，它的磁化电流 im， 它应该等于什么呢？它应该也等于 m 去做曲线积分，那么这个结果呢？算完呢，应该等于 m 比上 m 减一乘上 i f， 这说明什么？这说明磁戒指圆柱中的磁化电流，就是说在这个圆柱内部的磁化电流，首先它跟肉是无关的，然后呢，圆柱内的磁化电流的体密度，刚才我们算完，它又等于零， 所以说什么体密度为零，但是呢，它还有磁化电流，所以这个磁化电流一定是位于圆柱轴线处的磁化电流， 跟最开始我们说的线电流 i f 一 样，它都出现在中心，这个大家要理解一下，因为体密度为零，说明它不是分布在圆柱的这个整体里的，但是呢，它又有数值，所以它只能是一个在中心位置的这样的一个线圈化电流 啊。所以呢，我们前面算完戒指中的磁感强度 b， 它是比戒指外的磁感强度 b 要大的。那么下面呢，那我们就要算圆柱表面的面磁化电流密度，那它等于什么呢？我们说 这个面密度，它应该等于 m 叉乘上法向量，这个算完的结果应该是负的缪减缪零 比上缪零乘上 i f 比上二派 a， 这个方向呢，是沿着 z 方向的，因为圆柱的侧面，你的电流的方向要么朝上，要么朝下吧。 有了面电流密度之后，我就去可以算总的磁化面电流了啊。我们呢， im 这里边注意是 磁化面电流，它应该等于二派 a 乘上 jsm， 直接把公式带进去就好了，它结果等于负的 im， 大家可以对比一下这两部分结果一个是表面的磁化电流，一个是它中心的磁化电流，在数值上刚好是互为相反数的。 下面我们来看例题三，已知空间中有这样的一个电流分布，然后我们要去求它的磁感强度，那我们采取的流程呢？是先求 a， 然后呢再求 b， 那我们说通过题里给的条件，我知道这只有这方向的，所以 a 也只有这方向的， 然后本身呢，它又是一个具有圆柱对称性的这样的一个电流分布，所以呢， a 就 只有坐标肉有关，换句话说，它就只有半径有关，跟 far 和 z 都没有关系。那我们不妨把 我们要求的这个 a 拆成两部分，一部分是 a 一， 一部分是 a 二，那 a 一 呢，我们指的是这个电流所在区域内部的，也就是说肉小于 a 的。 然后呢， a 二呢，是肉大于 a 的 部分。我们分别列出这两部分所满足的拓通方程和拉普拉斯方程。首先内部的 矢量词位 a 一， 它是满足坡通方程的，因为是有缘的，它满足的方程是什么呢？是这样的一个方程， 它应该等于肉分之一，偏比偏肉，肉乘上偏 a e z 偏肉， 它等于负的缪零 j 零 r。 前面我们说过的只跟肉有关，那么对于 a z 二来说， 因为它处于无源区，所以它所满足的方程是一个拉普拉斯方程。长成这个样子，方程左侧的形式啊，没有任何区别，只是右端向到底有没有的问题？ 好，下面呢，我们开始分别来求解这两个方程。首先呢，对于前面的这个破松方程来说，我们呢不必将它完全求解， 我们呢直接算出偏 a 一， z 偏入就可以了。为什么呢？是因为后面我们还要去算 b 一 的时候，它直接就等于 a 一 的悬度， 所以呢，相当于我们反过来还是要再求一遍位分的。所以这里面呢，我们只需要算出它就好了，它的结果是什么呢？它应该等于负三分之一倍的 缪零，这零肉的平方再加上 c 一 比上肉 好了，那我们直接把它抄写下来就好了，它就直接等于负负的上面这堆东西，也就说正的三分之一倍的缪零 j 零肉方 减去 c 一 倍的肉啊，我们知道这个方向肯定是反方向的啊。好，下面有一件事情，我们怎么来确定这个常数 c 一 呢？ 那我们要知道，在肉等于零的位置，也就是说这个柱体的轴心的位置，这个磁感的强度 b 一定得是个有限的数值，那意味着什么？意味着 c 一 必须等于零，这样我也就有了 b 一 的表达式了。 好，那我们说第二个 a 二 z 等于零，这个拉普拉斯方程怎么解呢？同样，我们只需要解到 a 二 z 对 rou 的 导数就好了，它应该等于 c 二比成 rou， 那么 b 二应该等于什么呢？应该就等于负的 c 二比上肉啊，这里注意也是反方向的。那问题来了， c 二我应该怎么确定呢？ 我拿无穷远处确定可以吗？好像不可以。那我们注意，我们人为的把求解分成了肉小于 a 和肉大于 a 两个区，那么在肉等于 a 的 这个分界面上， 磁场 h 它的切向分量必须是连续的，所以呢，根据连续性，我们可以算出 c 二的具体数值，它等于负的三分之一缪零 j 零 a 的 立方，把它带入到这个式子中，就可以得到磁场强度的具体数值了。那么这里边呢，我们再稍微划一下， 画两个什么东西呢？第一个东西是电流密度 j 随 ro 的 这样的一个变化，它是一个限性增加的这么一个 直线啊，这一点处是 a， 这一点处呢是 j 零 a， 重点呢是磁感应强度，随 ro 的 变化， 磁感应强度必败，它是怎么随肉变化的呢？它首先是一个逐渐增加的过程，然后它是一个在减少的过程。 这个中间的这个间断点对应的就是 a 处的数值，这个值的大小就是刚才我们去求 c 二值的时候所求出来的那个大小。那我们说在比 a 大 的位置，若大于 a 的 区域， 这是一个双曲线，在 r 小 于 a， 也就是说在这个电流柱形分布的内部，它是一个二次函数。好了，这节课我们先讲到这里了。

各位同学大家好，我是蚂蚁期末团队的张老师，今天很高兴和大家分享有关电磁场与电磁波课程的相关内容。我们的课程主要包含以下内容，今天我们来进行有关静电场部分的讲解。 这一章主要包含以下五部分内容。首先是库伦定律和电场强度，这两个概念大家已经比较熟悉了，因为在高中物理和大学物理里都有过提及。 那我们说库伦定律是描述作用力的这样的一个概念，那库伦定律呢，只是从定量关系去说明了两个点电和之间作用力的大小和方向是怎么计算的，但是呢，我们并没有说清楚这个作用力到底本质是什么。 那么对于这个本质呢，有两种理解方式，一种呢是一种叫超巨作用的这样的理解方式，意思就是说，比如说甲电核直接就把作用力施加于乙电核上， 那么甲电核发生变化了，那么乙电核受到的作用力也会随之发生变化。 那么另外一种观点呢，就涉及到了我们说的电场这个概念了。那么另一种观点说的是 电和之间的相互作用是通过场来传递的，那么假电和给到乙电和的作用力 并不可能是超距的，也就是说并不是直接把这个力按在乙电和的头上的，而是假电和。我要先产生一个东西， 一个场，一个氛围，一个环境，然后乙电和被放置于这种氛围这个环境中，它就会受到力了。那么电场强度其实就是基于这样的一种 理解和观点所定义出来的概念，那么它的表达是大家非常熟悉的， 除此之外呢，我们还要说一下电和密度的概念。我们能够理解电和，那么电和密度 所描述的就是在一个空间下所包含的电和量，然后呢，用这个电和量去除于空间的大小，得到的就是密度。这个密度的定义跟质量密度是非常近似的。 那我们说这个空间如果是一维的线空间呢，我们就有线电和密度呢，我们就会有面电和密度和体电和密度。 下面我们来说电场的高斯定律，高斯定律的表达式呢，非常简单，电场做面积分得到的就是电和， 这是积分形式。微分形式呢，描述的呢就是散度跟电和密度的关系。这里注意积分积出来的就是电和微分，微出来的呢就是电和密度。 高斯定律呢，作为 max 一 方程组非常重要的组成部分之一呢，它说明了一个事，这个事指的就是 如果我知道了一个面上的所有点的电场强度，我把它们做个积分加起来，得到的就是这个面所包含的这部分空间的总的电和量啊，这得记住是总的电和量。 为什么要强调总电和呢？因为后面会提到总电和会分成一些具有特点的电和。那么我们说微分形式和积分形式看似一样，但是有一点点区别， 微分形式对于不连续的戒指是失效的，因为求微分是需要连续的啊。那我们说 对于这个形式而言呢，我们知道电场强度的散度，它只跟该点的体电和密度是有关系的啊。 下面我们来说标量电位和电偶极子。那么再说这两个概念之前呢，我们提到一个事情叫静电场的保守性， 这个概念大家也是非常熟悉的了，那我们直接说结论，保守性就意味着悬度为零，那么根据矢量运算的这样的一个恒等式，我们就可以定义电场等于某个标量函数的 负梯度，那么我们就管这个标量函数叫标量电位，电位也叫电视，这两个说的是一件事情，那我怎么样去求电视呢？ 既然电视做微分是电场，那反过来电场做个积分就是电视，所以呢，如果我能算出电场，再做个积分就是电位了啊。 那么这里面我们还要说到如果一个电和的电位，我知道那一堆电和的呢，那我们就把这些电位加起来就可以了。基于这样的思想， 那对于连续分布的电核来说，我们只需要把电核密度产生的电位给他积分，积分就是求和嘛，给他加起来就是这一片连续区域的电核所产生的电位了。 电偶极子是个什么东西呢？电偶极子其实是一个抽象出来的模型， 那这个模型怎么定义的呢？他定义为一对即兴相反，这里所谓即兴相反，就是含电和量 的符号是相反的，然后呢，含的电和量呢？要是相等的，距离还要很近的这样的一个电和，对啊，那我们说为什么要有这么一个概念呢？ 假如说我要计算某一片区域，这一片区域的有一些电和他在远处所产生的电场，最粗略的估计，最基本的最简单的近似呢，就是我把这一片区域 当成一个点合，但是呢，如果说这一片区域内的组成的这个电和系，它的总电和量为零，或者说呢，我希望观测到这个电场有更高的精度的时候， 那我就要考虑这一片电和所组成的电和器的偶极距了。所谓偶极距的概念，就是把电和器看成是一个点电和和一个偶极子的这样的一个叠加。 那我们说在原厂的条件下，到底会给我们带来什么呢？带来的是原厂近四，这里呢，我们第一次接触了什么叫原厂近四，所以原厂近四呢，就是 远大于两个电和之间的距离，因为远和近的概念是相对的，对于这样的一个藕极子来说，只要我观察的位置 这个距离远大于我这个藕极子之间的距离，那我就可以认为它是圆场，那么我们就可以 对式子进行一些化简，得到偶极子所产生的电位。这里边呢，我们会定义一个量叫电偶极距，它等于电核量乘上 两个电核之间的距离，大家要注意电偶极距是一个矢量，那它的方向呢，就是负电核，指向正电核。 下面我们来说电场中的物质和能量，这里呢，我就要提的一个概念叫电戒指了，电戒指呢是不同于导体的，它是不导电的， 原因是什么呢？是因为戒指中的原子核会把所有的电子都紧密的束缚在原子核的周围，这会导致在在电戒指内部没有自由的电子了，所以它不导电。但是呢， 把电击纸放到一个电场里，这个外加的电场会影响电击纸会在内部产生极化电和，这个极化电和呢，它会反过来影响这个电场，所以我们要研究一下到底能影响到什么程度。 在化学里啊，我们学过两个概念，一个呢叫极性分子，一个叫非极性分子。那什么叫非极性分子呢？如果说 正负电和的中心是重合的，也就说这个时候是没有固有的偶极矩的，固有的偶极矩为零，我们就把它叫非极性分子。反过来，如果正负电和中心是不重合的，是分开的，那么这个时候呢，固有的偶极矩就不是零了，这种叫极性分子。 当我们把这两类分子放到电场里的时候，它们会产生不同的现象， 具体的现象是怎样的呢？比如说我们对于非极性分子而言，他们的正负电和中心本来是重合的，现在呢，由于外加电场的作用，这个中心就不重合了，会产生感生的偶极菌。 那对于急性分子而言呢？他本来就是分离的，现在会出现什么情况呢？原来他的偶极剧是杂乱无章的，外加电厂的加入，会让他的偶极剧被迫的都朝一个方向排列， 那么会产生一个总体的偶极区。那么既然它都朝一个方向排列了，本来呈现电中性的这个电戒指，它就不再是电中性的了，它既然不是电中性的，那它就会影响场。 对于急性分子和非急性分子而言，它所经历的过程是不一样的，但是它最后产生的结果都是一样的，结果就是什么刚才我们说的本来是中性的东西，现在不中性了。 那我们说我们怎么样去衡量这个过程呢？我们就要定义一个量的概念叫极化强度，这是极化强度的定义啊， 在有了极化这个概念之后呢，我们来定义总电核，把它分成两个部分，一部分呢，我们管它叫自由电核，另一部分我们管它叫极化电核。那么有了这两部分之后呢，电场还有电位的计算 会进行一点小小的更新。那我们说对于极化强度而言，它也有自己的高斯定律。 有了这个高斯定律之后呢，我们来看原本电场的散度，它应该等于 总电和除以介电常数。现在呢，我们把总电和分成了两部分之后啊，当然了，这里我们提到这是对于电介值而言，真空中还是不变的啊，真空中没有极化电，所以总电和就等于自由电和。 那对于戒指而言，我们拆成两部分之后，我们是可以把极化那一部分给他移到左边来。利用刚才我们说的极化强度的高斯定律，我们可以写成这样的一个形式， 在这样的一个形式下，我们就发现这个等号右边呢就只有自由点号了，那等号左边呢，变成了一个相对来说复杂的量，这个相对来说复杂的量，我们就把它定义为电位已使量。 当然了，这个电位已使量有一些名字啊，还还叫电感强度，那我们说电位已使量。基于前面的讨论， 它的高斯定律说明电量以矢量，它只跟自由电和的密度是有关系的啊。那么我们在研究电量以矢量的时候，就只讨论自由电和就可以了， 这是积分形式的电量以矢量的高斯定律，这里边密度积分完变成自由电和了， 那我们拿到 d 等于 e 乘以 e 加上 p 之后呢，我们说能不能把 d 表示为跟 e 的 直接关系呢？这是可以的， 我们只需要去定义 p 跟 e 之间有一个线圈关系就好了，然后就可以得到 d 跟 e 之间的线圈关系了，它等于 epsilon e， 这里边我们把 epsilon r 乘以 epsilon 零 定义为 epsilon。 这三部分呢，这叫真空的界点常数，这个东西呢叫相对界点常数，这个东西呢就叫界点常数，这是戒指的界点常数。 我们来说电场中的能量，这里边呢主要是一些公式，所有的公式呢都源于两个，一个是单一点电和的能量，一个是电和密度的能量啊，大家直接把公式记住就好了。 最后我们来说静电场的边界条件，这里边呢是一些公式，大家直接记电位仪矢量的边界条件和电场矢量的边界条件就好了。这里边呢，大家要注意 法向分量，我们用的是电位仪矢量去描述切向分量呢，我们用的是电场强度矢量啊，这两个矢量不要记错了。 那大家还需要注意一些特殊情况，比如说这一个分界面的两侧都是电戒指的话，那么我们知道电戒指的表面是不存在自由面电核的，那这个时候 自由面电核这一项就会变成零，所以呢我们就可以得到第二 n， 应该等于第一 n， 这说明什么？在两个戒指的分界面上，电位与矢量的法向分量是连续的，这个是非常重要的。 那么我们说如果现在一侧是电接线，另一侧为导体呢？那么我们知道导体的内部是没有电场的，所以呢，两个式子会被简化为一个长成这样， 一个呢长成这样，这说明了什么？这说明电场的法向分量不为零，因为电位仪上跟电场之间就差一个系数嘛，但是导体的表面切向电场为零，这是非常重要的条件。 下面我们来简单说一些题型。首先是例题一，求真空中无限长均匀直线电和所产生的电场强度。那么这个问题呢，我们只需要在这个无限长的电和上取一段， 我们设这一段线电和密度为肉 l， 那 么我们去考察这一段线电和它对于 p 点所产生的电场是怎样的呢？ 产生的这个电场呢，它会有两个分量，一个呢是 r 方向分量，一个呢是 z 方向分量。 但是我们要注意一个事情，这个线电压是无限长的，那意味着什么？意味着在这个平面的下方，你还会找到这样一段线电压，它对 p 点所产生的电场的 z 分 量跟刚刚这一段是互相抵消的， 那也就是说什么？也就是说根据对称性，我们可以知道整个这一条无限长均匀直线电和对于屁点所产生的电场只有 r 方向的分量。 那么接下来这个事就好说了，我们只需要算出肉 l 这一段对 r 方向的产生的电场大小，然后把它沿着整个这一条线做积分就好了。 这里就不给大家演示具体过程了，下面我们来看例题二，这个例题二呢，跟例题一非常相似，我们利用高斯定律去作它。 首先呢，我们回顾一下上一道题，说到了无限长的直线电和对于某一点的电场只有 r 方向的， 那么根据高斯定律，我们可以做一个面积分，那么这个面应该怎么选呢？我们就选择这个圆柱的表面。我们知道因为电场都是 r 方向的，所以其实只有侧面起作用，那么他在做积分的时候可以写成这样的积分式。 这里边呢，我们先假设先只取一段这个柱的方向上的这样的一个柱体， e r 乘上 r， 然后 d y， d z。 我 们为什么只取一段呢？是因为在做积分的时候，我们不可能取一段无限长的东西做积分啊。那么在这样的积分表达式下， 它应该等于什么呢？它应该等于 epsilon 零分之肉 l 乘以 l， 这里的肉 l 呢是电和密度， l 呢是这段的高度。 那我们说左边这个积分式，它积完分应该等于什么呢？它应该等于二 pi r 乘上 l， 再乘上 er， 所以 我们就推出来了，对于这样一段电和而言， er 呢，它应该等于二 pi r epsilon 零分之六 l。 我们非常惊奇的发现，算完的 r 方向的电场强度跟 l 是 没有关系的。好了，那这样我就能够知道，对于 无限长的线圈盒而言，电场强度的数值依然是它那方向呢？ r 方向。好了，有关于这一张的部分，我们就先讲到这里了。

思南这个问题啊，真的是年年考，年年错，核心原因是我们没有真正意义上去理解一个概念词，偏角这个概念为什么那么重要呢？首先呢，它是由我国北方著名的物理学家沈括在梦溪笔谈当中首次提及， 比西方呢，早于四百年的时间。第二点呢，就是我们真正意识上理解了我们的地球其实是一个巨大的磁体，并且这个磁体的 n 级和 s 级与我们地理的北极和南极之间还有点不同点。所以我们真正在做斯南这个问题之前，首先非常之有必要把磁片这个概念深度的理解一下。 好，接下来我们来轻描淡写画一个地球，地球这个叫什么地轴，地轴的上方是什么呢？我们起个名字叫地理的北极，老李会明白什么叫地理的北极，记住了，地理的北极住的是谁？北极熊， 好吧，也就是说我们所谓的上北下南，左西右东，这都是地理方位。好，那么在下面的就是什么呢？下面就是我们的地理的南极。南极是谁啊？南极企鹅是不是结束了？ 好，同时你要深度的认知呢，我们的地球它是一个磁体的话，它特别像一个什么样子呢？条形磁体啊，对吧？就长这个样子。 好，这时候你发现了。哎，老吕，确实这个磁体的分布呢，和我们地轴之间，他是有个偏角的，对不对？好，同时你要知道这个磁片角有没有一个固定的度数呢？没有，他会受到空间和时间的一个约束， 所以他的范围大概在一度和十度之间。比如说老吕在北京，你在广州，那么咱们两个所遇到的磁片角大小也是不一样的。另外知道这一点之后，你要注意一个小细节， 在这个磁场当中呢，它的这个上方呢是我们什么？是我们的地磁的什么极？地磁的 s 极，因为我们知道一个磁体它一定是有两个磁极的，那么上面是我们的地磁的 s 极，那么下面呢，是我们的地磁的 n 极 o， 有 没有发现地磁的 s 极和地磁的 n 极正好与我们地理的北极和南极之间调换了位置，明白了吗？这才是核心。好，明白了，我们的北极和南极之间调换了位置，明白了。我们来看斯南这个问题 之能之勺，投之于地，其抵之能啊。 ok， 语文水平来考验一下大家啊，底指的什么东西啊？就这个勺子，首先我们要记住，这个勺子是有磁石来构成的， 那首先它是有磁性的，它就是个磁体，对吧？这个勺子是一个磁体，那么磁只要是磁体，一定分磁极 n 级还是 s 级呢？ 好了，来理解一个问题啊，指南，这个南他应该是什么？他应该指的是地理的南极，他指向南边，对吧？指向南边。所以你要知道一个问题，这个手指的位置是地 里的南极，也说你指向南边吧，对吧？好，但是你要清楚，根据我们这样的一个分布情况来说的话，那么在地里的南极附近应该住着谁？地磁的 n 极， ok 吧？所以说这是谁？这是地磁的 n 极，如果这边是地磁的 n 极的话， 我们是不是可以根据同名词级相互排斥，异名词级相互吸引而深刻认证的一个问题呢？递词的 n 级深深吸引了我们勺子的长柄，那么这个长柄的位置难道不就是我们这个词体的 s 级吗？ 对不对？所以这个空里面填什么？填 s 级四面都指向南北，核心原因是什么？是不是递磁场的一个作用啊？ 你看这个问题不就解决了吗？所以说我们一定要深度去理解词片者的概念。同时呢，老吕也把电磁板块的比较核心的题型和解决方法呢，给大家做了一个汇总和整理，想要领取的评论区回复，电磁你学会了吗？学物理找老吕！

hello， 同学们好，我是大杨老师。期末考试在即，你是不是还在为物理变学抓狂？磁场方向分不清，感应电流绕晕头，实验题一看就发抖。别慌，今天这份高二上期末奇秀就是为你准备的考前强项记。在这节课里，我会用最直白的方式带你快速梳理 场。电子感应、现代仪器、电学实验四大核心板块。每个考点都会配有典型例题，直接对标考试的高频题。咱们不搞虚的，只讲考场上立即能用的方法和结论。大家催更的消息老师都看到了，今天我们就来讲高二期末急救 好同学们。由于期末考试也会涉及到期中的内容，期中的内容可以看老师之前高二上期中急救的视频，可以点击这个链接去看高二期中急救 我也给大家做了一个思维导图，把高二期中急救，也就是期中之前的内容进行了整理，同学们也可以简单的过一下。 总共包括五个题型，像库伦定律、动态电容、静电场、恒定电流，还有带电粒子在电中的偏转。我们废话不多说，直接步入正题。先看第一个题型，第一个题型叫做磁场选择专项， 我们对磁场进行一个基本的扫盲，像第一个叫做右手螺旋定则，记住这么几个字叫做拇指视为直，四指呢， 是弯，拇指永远是直的，四指永远是弯的，这叫右手螺旋定则。右手螺旋定则主要判断的就是 b 与 i 的 方向， 电流与磁场的方向互判。对于指导线，这是一个向上的电流。右手拇指永远是直的，四指永远是弯的，所以在他周围会出来这么一个磁场，一圈一圈的， 所以他会形成一个从上往下看是一个逆时针的磁场，这是关于直导线产生的磁场。那么如果是弯导线呢？他如果是一个圈，我们画的是一个立体图形，比如说他现在是一个从上往下看是逆时针， 这是电流方向，右手四指永远是弯的，拇指永远是直的，电流方向既然是弯的，所以他会产生一个向上的磁场， 这是你需要掌握的第一个拇指永远是直的，四指为弯，右手螺旋定则。铺垫完之后，我们需要去看几个点和叉。有很多同学分不清点和叉，这俩分别代表啥 啊？还有一个是圈，叉和圈点分别代表什么？如果是叉和点，表示的是磁场进和出磁场，你看到尖，你就只看到了一个磁场对向，说明磁场是垂直指面向外的， 而看到个叉，你看到的是磁场的线的尾巴，所以磁场是垂直向里的。而后面圈叉和圈点表示的是电流啊， 电流方向如果是一个圈一个叉，表示电流垂直纸面向里。如果是一个圈一个点，表示的是电流垂直纸面向外。有很多时候你看到的就只是一个面，所以会出现叉和。我们现在搞清楚之后来看第一个，下列如图所示。通电导线周围产生的磁场，正确的是 必然考的是右手螺旋定则。所以呢，我们现在就可以来看一下，有一个向上的导线电流，那么他产生的是不是从上往下看是一个逆时针的电流方向？那现在他只是给了一个结面，也就是说你只能看中间这个面， 所以我就简单的拿一个圈来给你看这个圈，你现在只能看这一个面，所以我转一圈转过来，左边这个点你看到的是出来还是进去？电流必然是出来， 右边这个点必然是进去，所以你左边就是一个点，右边就是一个叉，反了，左边应该是点，右边是叉呀，这也不行。二 b 就是 握一下 四指永远是弯的，拇指永远是直的，其中直的如果是电流，另外一个就是磁场，直的如果是磁场，那么另外一个就是电流，所以呢，这个二 b 是 没有关系。 c 的， 你再去看一下， 这个四指永远是弯的，现在这个弯呢就是电流，拇指是一个点，你看到的是你的大拇指尖，说明他应该是一个垂直指面，向外的点上。不行，这个 c 就是 错误的。 四 d 来看一下四 d 的 话，你正常握一下，一样是个点，所以这个四 d 就 没有问题了，选的就是 b 和 d。 ok， 第一个问题搞定，第二个问题叫做电流相互作用，同向电流相互吸引，异向电流相互排斥。 如果电流方向，比如说我两个都是向上的，那么他们俩就会相互吸引，如果他们俩一个向上一个向下，或者是一个向下一个向上，那么他们俩就会还是根据的是 电流会产生磁场，磁场通电导线在磁场中会受到力，这个力叫做安培力， 根据安培力的作用判断出来，他们俩是同向电流相互吸引，异向电流相互排斥。 ok， 来看，第一个两根线把他们俩等高平行放置，如果是当两根导线通有相同的电流， i 一 和 i 二方向一致，所以相互吸引，直接选 a 完事。好，我听到有不少同学说， 不知道为什么同向电流相互吸，我简单给你推导一下，来，看一下，左边是一个 i 一， 右边是一个 i 二，左边你伸手去握一下，拇指是电流方向，四指是磁场方向，所以左边应该是一个点，右边就是一个叉。 ok， 那么我们的 i 二在 i 一 产生的差场里边受力，伸出你的左手来，磁感线穿过掌心，四指指向电流方向，拇指是受力方向，所以 i 二在 i 一 的磁场方向磁场中受力应该是向左的， 那么我们的 i 二，它产生的磁场，左边是一个点，右边是一个叉。 i 一 在 i 二的磁场里面，磁感线穿过掌心，四指指向电流方向，拇指是受力方向， 所以 i 一 受力是向右的， i 二受力向左的，他们俩会相互吸引，搞明白了吧？ 好，看看第三个，电流和磁铁能够相互转化，他对于选择题来说非常之有用。你看，左边是一个 n 级，右边是一个 s 级。我们知道磁感线方向从 n 指向 s， 那 是在外部，在内部的话呢，是从 s 指向 n。 如果我想要产生这样的一个磁场，这个磁场如果是中间有根导线产生的，他应该是个点还是个叉。伸手握一下， 四指现在是磁感线 b 的 方向，拇指就是电流方向，所以你一看它是一个向里的，那么它对应的就是一个向里的，那就是一个叉。 ok 了，把它转换成了导线，它如果转换成导线，我边上给你一个导线，这个导线这是个点， 那么你说他们俩之间的作用力是怎么样的？电流一个是向里的，一个是向外的，所以异向电流相互排斥，同向电流相互吸引，那就可以用到了这里，就可以去把电流的方向转换过来，这是一个条形磁铁，我们也可以看看 u 形磁铁，一样的 u 形磁铁找过来，左边是 n 级，右边是 s 级， 所以外部从 n 到 s， 内部从 s 到 n， 你 看看是不是一样，所以它还是一个顺时针的磁感线，那么我想问了，如果这根磁感线是由电流产生的，它是一个叉还是个点，由于前面已经判断了，那它就是一个向里的叉。 ok， 握一下， 那么他就相当于一个向里的 x 的 电流，那么就可以来判断了。怎么来用呢？我来带你来看一下。如果是在水平桌面上放了一个条形磁铁，上面悬挂着一根导线，与磁铁相互垂直，这根导线通有一个纸面向里的电流。 ok， 我们来看一下，从 n 级到 s 级转过来，内部从 s 到 n， 这是一个磁场方向，那么请问他中间如果是一个电流产生的，他应该是一个叉，还是这个点，他应该是个叉，一看同向电流相互 吸引，所以这个电流上面那根导线受到磁铁力是向下的，磁铁受到它的力是向左上方的， 那就完事了。那么对于磁体来说，原来数几个力，向下作为重力，向上还有一个支持力。 n， 现在你要想平衡，还得有一个向左的摩擦力。 ok， 那 完了。所以说弹簧变小不行，这不一直拉着它，弹簧压缩不行， c 的 话呢，他说压力会变大，不对， f 数值方向会分一个，所以这个压力应该是减小，只能是选四力。很多同学一看，你判断出来这个力不是向右的吗？看清楚，看清楚， 失力物体和受力物体，这个力是谁给的？桌面给磁铁的是向右的力，所以磁铁给桌面一个向左的力有什么问题吗？ 没有问题，选的就是失力。好，我们来看第二个题型，磁场，它应该叫做磁场的计算，涉及到计算了也是让大家比较头疼的，但是我还是给你分成选择和大体，你看看都怎么做。 首先带电粒子在磁场里边，刚刚上一个磁场讲的是安培力，这个磁场讲的是洛伦兹力 啊，洛伦兹力 f 洛洛伦兹力是什么？是带电粒子在磁场中它的受力情况，通常我们用左手还是用左手？磁场是向垂直指面向里的 速度方向了，磁感线穿过掌心，四指指向 v 的 方向，拇指指的是 正点和的受力方向，如果是负点和正好相反，洛伦兹力带电粒子所受的力。那么我们在去做磁场选择题的时候，第一个先要找清楚角度关系，有几个角需要大家来判断一下。 第一个角叫做圆形角，比如说我从 a 点运动到上面这个点，这个点是 b 点，做的是匀速圆周运动，因为你刚刚判断出来，洛伦兹力这个力和速度始终是垂直，最后他形成的轨迹就是一个匀匀速运动，而且还是一个匀速圆周运动， 所以在 a 点的时候，可以把它的速度表示一下，这个速度如果是为零，到达 b 点再找一个速度，这个速度也是为零，是不变的。那么现在有几个角度需要大家来判断一下。一个角度，从 a 到 b 中间两个半径之间形成的角度，这个角阿尔法，阿尔法叫什么呢？叫做圆心角。 第二个角度是我把出速度平移到 b 的 位置，速度和速度之间的夹角形成了一个贝塔角，这是什么角？叫做速度偏转角。原来你是水平方向的，经过一段时间以后， 速度进行了偏转，叫做速度偏转角。下一个连接 ab 两点，出速度和这根弦连接了一个角，阿尔法贝塔。再来一个伽马， 伽马是什么角？叫做弦切角，这个数学上应该是学过了，他们三者之间会有关系。圆形角是等于数偏角，也就等于两倍的弦切角，这个我就不具体给你证明了，记住就可以了。 那么记住这个有什么用？可以去迅速的解决在磁场中的选择题。经常说有俩例子，一正一负，或者是俩都正的，让你去比较他们在磁场中的运动时间， 要么去让你去比较一下他们的比和到底是什么关系，如果让你比时间，谁的心就是圆心角， m 比上一个 b q， 如果在同一个磁场里面， b 是 一样的，如果是同一粒子， q 和 m 是 一样的，所以只用比较圆心角就可以了。而我要知道圆心角和弦角之间的关系是等于两倍的弦角，那么就更好办了，我使用看他的衔接角就可以了。 怎么来用？你把上面的公式记住了，我随便给你举个例子，你看第一个例子，在第一象限内有垂直向里的匀强磁场，有一正一负两个粒子，他的以相同速度 v 是 一样的， 与 s 乘六十度从圆点射入磁场，那么正粒子负粒子在磁场中运动的时间之比。那我先问一个，你现在向上偏的会有一个粒子向上偏的是正还是负？伸手磁感线穿掌心， 四指指向微方向，拇指受力方向。所以如果你完全符合，说明你就是一个正离子。向上偏的是正离子，向下偏的是一个负离子。此感线穿掌心四指指速度方向，拇指是受力方向，因为你是负离子，所以是负的向下。 ok， 看出来了，正常这种题目应该老师会让你去找圆心定半径，再去写公式，但是现在你不需要了，因为你已经知道比较时间的公式。 p 是 等于 c， 它心 m 比 b 以 q， 而 c 它心又等于二倍的 c， 它弦 m 比上一个 b q 同一个磁场 b 是 一样的，而且二也是一样的。 一对正负离子电和量一样， m 一 样。那么你比较时间的时候，只用去比较这么一个东西就行了。它是啥？延切角？ 正离子以和 x 轴方向是六十度出去，你要只有第一项线有，所以你最后出去的时候是不是得从 y 轴出去？那么问题来了，这个 y 和你除数度方向中间夹角叫什么 角？斜切角多少度？三十度？斜切角三十度。斜切角和圆形角什么关系？两倍关系，所以它的圆形角多少度 上去的这个圆形角应该是六十。下面这个负离子它会从 x 出来，你知道这根弦了，中间粗疏度夹角六十度， 所以斜切角是六十度。斜角如果是六十度，那么它的圆形角一百二十度，一个是一百二，那么你比角它的时间一比二，直接判断 a 选项 完事了，这就可以了。你再去比较时间的时候，就可以采取这个公式， b 等于 b， 六分之 c 的 心乘以 m， 还会有一些让你去比较这个比赫， q， 比 m， 比较半径，比较速度 v 都可以用弦长公式，我们的弦长公式 l 是 等于二倍的 r 乘以，再引 雷特弦，这个公式一会再带你推倒，你先看看他怎么用 r 表示的弦长， r 表示的是半径，这里可以用小 r 来表示， 后边乘以的是弦切角。 ok， 来看看怎么用下面这个两个例子，以相同的速度从同一位置进入到匀强磁场，在磁场中，如图所示。有一个例子是 a， 这是 a 粒子轨迹是 r 一 有一 b 粒子轨迹是 r， 而且还知道 r 二是 r 一 的两倍。其中 q 一 和 q 二分别表示它们俩的叠和量。现在要比较正负离子它们的比赫到底是多少？先不管别的，先排除一个，其中 a 是 正还是负。 伸手啊，磁感线穿过掌心，四指指向速度方向，拇指是受力方向，而且他的轨迹和我们这个是受力方向是一致的。圆心指向向，这个力是一个向心力，最后会指向圆心， 所以 a 是 正的， b 是 负的， a 和 b 都反了，所以我们就从 c 和 d 里去选。那接下来我要去比较比赫， 不用管别的，直接把弦长公式搬出来了。 l 是 等于二倍的 r 乘以点 c， 它弦，这个弦是啥？这个弦是一个弦，切角上去转下来弦，这是九十度上去，最后再转下来，这个是对于 a 和 b， 它的弦切角，既然是一样的，我就不用管它了， 而且我知道它的弦长之比，对于 a 来说，弦长和 b 的 弦长应该是一比二的关系，因为 r 一 和 r 它们俩正好是有一个一比二，所以它们的这个弦长 l 一 比上 l 二就等于一比二，所以上面就可以写二倍的 r， r 是 啥？ r 是 半径，半径在我们圆周运动里面，等于 b q e 比上一个 m 一 乘以 v， 再乘以一个塞应塞它弦比上一个 l 二是二倍的 b q 二 m 二 v 乘以塞应它弦相同的都约掉二，二约掉 b， b 约掉 v， v 约掉塞应塞它塞应它约掉。 所以你发现 m 一 比上 q 一， 再比上一个 m 二比 q 二是一比二， 那么 q 一 比上 m 一， 再倒过来就变成了二比一，所以选的就是 c。 弦长公式非常好使，所以次项选择题来说，一个比时间，记住时间公式，一个比较的比个呀，速度呀，半径啊，可以用，这个弦长公式 非常的好用。我们来看下一个题，叫做磁场计算，在磁场中进行计算，需要去计算它的半径，比赫还有 b， 要把它彻底的搞定，有这么三步，第一步叫做定圆心，第二步叫做求半径，第三步叫做解公式，定圆心，找半径，再来两个公式就搞定了。 但是这个圆心也不是谁都能定出来的，有三种方法，一种方法特别常见的说，刚开始这个速度方向有一个 v 一， 又知道另外一个速度方向变成了 v 二，两个速度方向做垂线就可以，两个速度方向做垂线，中间焦点就是它的圆心 速度，双垂线，焦点为圆心。另外一种知道一个速度加两个点，这两个点并不是随便给的，这两个点是你的历史运动轨迹上两点。比如说这是一个 a 点，速度方向斜着向下，有一个 v， 又知道另外一个点是 b， 这个点知道它通过了，但是速度方向不知道，所以先去做 v 的 垂线找过来，再去做二者的中垂线连接。 ab 就是 这根弦焦点，那这底下就是它的圆心，所以这个轨迹你就可以拿着你的圆规去把它给画出来了。 第三种叫做垂线加上角平分线用的比较少，我底下给你举的例子是会用到这个的垂线加上一个 角平分线，我现在知道一个速度方向，我又知道他会从另外一个边，比如这次啊，这个边是为 b， 这个边，他恰好不从这个边出去，所以他的运动轨迹这个地方 v 的是他一个切线， b 呢，也是他一个切线， 俩切线，俩切线交点做一个角平分线，角平分线上的点到两个边的距离是相等的，所以就可以通过两个切线去求角平分线是通过两个切线求出来的。先去看一下这个 v， 做一垂线找过来。第二步， 两个切线做一个角平分线，两个切线找过来之后，嘚嘚嘚嘚嘚嘚嘚嘚，上面这个交点就是为 五点，就是你的圆形，就找出来他了。基本上通过上面这三种方法就足够了。如果知道两个速度做双垂线，如果知道一个垂线，一个速度和两个点做一个垂线，做一个中垂线焦点，如果知道了两个切线，就可以做角平分线， 找完之后没完呢？第二步，求半径，把半径求出来。但是题目中一般给角度了，就是用三角函数，如果给的是长度，就用勾定力就 ok 了，看他给的是哪一个。找半径，找完半径之后， 通过半径小 r 和已知线段 d， 这个 d 是 已知的，他们的关系去把半径 r 求出来， 求出来长度具体是多少，是为几个 d。 再去写公式，左边三个基本公式，它所对应的由额外力去提供相吸力，额外力是洛伦兹力提供相吸力，洛伦兹力是 b q v 等于 mv 方比上 r 没问题，再去通过这个公式，后面就开始默了，你把这个 v 和 v 约掉， 所以这里的小 r 把 b q 挪下来是 b q 分 之 mv 就是 它。 而我们的 v 导一下变成 b q， r 比上 m， 而 v 和 omega 之间的关系是拿 v 比上一个 r， 所以 导一个 r 就是 b q 比上 m， 周期 t 是 b q 分 之二派 m， 它是通过啥呢？周期 e 是 等于二派比上一个 omega， 所以 除以一个数乘以数的倒数上面变成了二派 m 底下就变成了 b q， 再去判断时间，这个运动的时间，这个运动的时间，它并不是做了一个完整的圆周运动， 我从 a 点运动到 b 点。刚刚举个例子，中间角度如果是 r 法，如果我转了完整的一圈，那就是一个周期 t， 但是我只转了 r 法，那问时间是多少， 那看它占整个圆的几份。中间圆心角是二 pi， 所以 这个时间就是通过阿尔法比上一个二 pi， 再乘以一个周期，而周期是 b q 分 之二 pi m 二 pi， 二 pi 约掉，所以就拿圆心角去比就可以了。 而最后一个是这个弦长公式 l 等于二倍的二乘以，再由 c 的 弦，你把这个 ab 连接一下，就是它的弦了。 a、 b 是 它的弦，而我们对应的半径是上面这部分，而弦切角是底下这个为零。这角度如果是 c 所作为垂线，因为弦的中垂线肯定会过圆心，所以我们上面这个角度就是 c 塔，也就是圆心角，而我们的是我们的弦切角，而圆心角是弦切角两倍，所以上面是两 c 塔， 那么当你的半径乘以一个 sin， c 塔对应的是弦长一半，所以再乘个二，就是它弦长。公式，定圆心 求半径，求完半径之后再去写公式就可以搞定了。好，我们来举个例子看看。这个例六，一个足够长去内 a、 b， c、 d 充满垂直纸面向里的磁感强度为 b 的 匀强磁场在 ab 中点 o， ab 的 中点是 o 方向垂直 磁场射入一个速度于 a、 d 与 a、 d 边夹角是三十度，大小是 v 零，但是它是一个未知量，你不能一会把 v 零带进去。在正电的粒子质量为 m， 电和量为 q， 其中 a、 d 的 长度是为 l。 非常好告诉你一个已知量， a、 b 是 足够长。 第一，问问你说粒子恰好不能从下边界射出，求他的入射的速度是多少，这个速度大小是会变化的，说他恰好不从下边界，恰好不从下边界和恰好从下边界是一个意思。 你现在已经知道了速度方向，我直接做垂线就不用想别的了，上来就是一垂线，但是我还得需要另外一个才能去把它的原形确定，那你利用的是啥呢？利用的是啥？ 知道垂线，而且他不恰好不从下边界，那么下边界就是他的切线，知道两个切线把你的速度延长下来，中间会有一交点， 找小平线找过来，找过来，哒哒哒哒。上面交点这个点就是它的原型，基本上就可以把它这个半径情况找出来了。因为你要和下面这条线是相切的关系，所以它就是一条垂线，正好从这个方向出去。 ok 了，那上面就是我们的圆心 o 一， 但这个圆心 o 一 并不在上边界，水手画的就是刚好交上了而已。我们现在需要去找寻一下这个半径，这是半径，这个也是一个半径。找一下半径和已知线段 r 的 关系， 半径和已知线段的关系，找相近的角度关系，这都是垂直，所以上面的角度是三十，那么底下这角度就是六十，我们中间这条线又是它角平分线，所以六十，六十基本上就可以把角度找出来，这里是一个六十，这里是一个六十，这里是一个六十。那还有什么不好求的？ 那基本上就可以去把它现在半径小 r 一 求出来。半径求一下，先通过小三角形，这个三角形边长是为二分之， 而它的斜边就可以通过塞应三十度去把它修出来。这个斜边对应的又是在我们大三角形里边的一个直角边，角度六十，上面角度就是三十完事， 所以基本上通过作图就可以把它所对应的关系找出来。那么第一步你需要去找圆心定半径，定完半径之后通过 不相关系，你说有几何关系可知？我们的 r 一 就是等于先去把小三角形的这条斜边求出来，这个是二分之 l， 就是 拿二分之 l 除以一个 cos 三十度得到斜边， 斜边对应的又是我们这个大三角形里边的直角边，它是二分之 l 除以 cosine， 它上面这个 r 一 呢？ r 一 它们俩中间是一个正切值的关系，就是拿你现在这个直角边除以 r 一 等于三十度， 所以我现在拿这个直角边，如果要是除以一个，看见三十度，就是等于二一了，所以我再除以一个，看见他三十度，所以最后的结果就出来了，其中上面二分之一比上一个 cosine 三十度， cosine 三十度对应的应该是一个二分之三， 那你这个二二约调，所以其实相当于是根号三分之二，底下这个是探进的三十度，探进的三十度对应的是三分之三，那就是乘以一个根号三分之 三约掉，约掉，所以它所对应的几何关系半径就等于二。再开始寻摸公式，你那些基本公式由洛伦兹力去提供，向心力由 b q v 等于 m v 方比上一个二， 这里应该是个 r 一， 这是 v 零一，所以这里的 v 零一应该是等于 b q r 比上一个 m， 所以 上面的就是 b q l 比上一个 m 就 完事了，就把第一个就完了。 第二个说什么恰好是从上面界射出一样的，恰好从上面界射出，那么上面界就是他切线。你刚刚对于这个速度来说，夹角是确定的，做一条垂线，这个垂线是不会变的。那么接下来的话再去找一下两个切线的角平分线， 把速度反向延长交点交过来之后两个切线相交了，相交之后再去找他的角平分线在这里，所以他的轨迹就可以给他简单的做一下错出来的， 那这地方应该是一个垂直关系，所以此时所对应的就是 o， 那 么它的半径会出现一个 r， 这里会有一个 r， 那 么就可以求出来一下 r 二和已知线段的关系。这个东西是二分之 l， 这边对应的是一个 r， 还有一个这个边呢？应该是斜边， r 乘以你做一条垂线过去看，做一条垂线过来找过来，中间找一下夹角，底下夹角，这个夹角是一个 c 塔，找过来那上面的角落就是 c 塔， 所以这条边就是等于 r 乘以 sine theta， 再加上 r 总共的长度就是二分之 l， 有 几何关系可知了。你只要把图画出来，把图画出来之后就是有几何可知。 其中的二分之 l 对 应的一个 r 加上一个 r， 二乘以再影三十度，再影三十度是二分之一， 所以这里应该是二分之三倍的 r， 所以 此时我们的 r 二就是等于三分之 l。 再去把上面那些公式抄一下，抄完之后就可以知道，你的 r 应该是等于 b q 分 之 m 乘以 v 零二， 所以我们的这个 v 零二就是等于交叉相乘，底下是 b q l， 这是 v 零二。好的就完了。 很多同学看到第三问更懵了，说我的 v 零可以取任意值， v 零可以取任意值，其中运动的时间最长是多少？你还记得我前面教你的有一个公式，求时间的公式吗？记得求时间公式，但是你那个时间公式不能直接写，你把前面几个写上，有洛安之力提供向心力，把这个 写出来，写到速度去，往后他说对应的 omega 就 可以写出来了， omega 呢？就是等于 b q 比 m， 所以 t 就 等于 b q 分 之二派 m， 所以 他所运动的时间随它圆形角 m 比上一个 b q， 这就是求时间的公式。而求时间的公式圆心角和弦心角有关系， c， 它弦乘以 m 比上一个 e q， 那 么当我里边所对应的 b 和 q 不 变的 m 不 变，二不变，就跟弦心角是有关系的。 你根据弦切角就能够判断出来运动的时间长度。现在在这个速度，假如说从这个 a 点出去了，我把 o 点和 a 点连接，这是不是它弦，所以这个就是它的弦切角。比如说这角标 r 法就是它的弦切角。 我想让他大，那我就再偏一点呗，那不更大了？再偏一点呗，更大了，再偏一点，更大，但是这个应该是不太好出去了，如果水平，如果我朝上会发现更大，比如说从这个点出去，那你对应的这就是这心角了。他大大， 所以什么时候最大？看到了吗？什么时候最大？从 a 点出去的时候是最大。从 a 点出去， o， a 是 它的衔接角，所以中间这个角，比如说标以阿尔法，这个阿尔法就是它的衔接角，也就是它所对应的最大衔接角。那么你在写的时候 c， 它弦最大是等于一百五十度， 一百五十度，那它应该就等于六分之五 high， 所以 它的最长时间 max 应该就等于二乘以六分之五 pi， 所以 它要带的是一个弧度值的角度转换成弧度值 b q 约掉，约完之后就乘以三了，所以是三 b q 分 之五倍的 pi m。 好， 同学们，我们继续来看题型。三、一般拼接场的计算所谓的拼接场，就是把电场和磁场加在一起，给大家一个相对复杂的一个场景。 前面这个部分先给你一个，比如说我左边是一正极，右边是一负极，中间有一正电赫。忽略重力的情况下，电场力对它做什么功？这个粒子在 a b 之间做什么运动？做的是一个匀加速直线运动， 所以对于这个匀加速直线运动来说，直接去用动能定律，也就是 q u 等于二分之一 m， 微方 q u 是 什么呢？ 电场力做的功啊，电场力 w 是 等于 eq 乘以为一 x， eq 对 应的是它的力啊，所以呢，你一乘以 d 就 等于 u， 所以 就是六 u， 那 么我们再去求它进入到 c d 所对应的速度根号下二倍的 q u 比上一个 m 就是 它 又进入到后面这个电。原来电场是水平的，现在电场变成了数值，他就会在数值方向上受到一个力，这个力就是给他的一个电场力，那么我们的带电粒子就会运动发生变化， 做的就是一个类平抛。那类平抛你需要列的公式，水平方向上做的是匀值 x 等于 v n t， 记得代换一下，通常把这个板长给换掉，换成二。数值方向上做的是匀加。数值方向上一定做匀加吗？ 不一定啊，只不过现在这个场景，它数值方向上做的是匀加。匀加，先把加入求出来， a 是 等于 eq 比上 m， 而 v y 是 等于 a 乘以 t 对应的 y 等于二分之 a 地方，还有一个是 v y 方等于二倍的 a x， 那 这里对应的是二 a y 数值方向的呢？为一。那么进入到磁场里的不要上来，先去找圆心定半径， 先去把它从磁场里边所对应的速度先求出来，一个是它的大小，另外一个很明显方向要确定出来角度一定要知道，角度不知道，那你后面全白瞎，没法算。 所以对于拼接场来说，他们相交的这个点非常之重要，去求这个角度，根据这个点，如果要是为 d 这个点， 那么我进入到磁场之后的速度是 v b， 那 么你就可以通过角度关系水平数值去把这个 v b 出来。我这里给大家带的是 v b 除以一个 cosine sine， 但是要看给的角度是哪一个呀？给它上面的角度， 那么你对应的这个 v 零，它对应的应该是变成了 set， 应该除以 set， 所以 具体的除以 set 还是 cosine， 要看题目里边的给它角度。正弦其实除以一个余弦也是 ok 的。 所以进入到磁场以后，就按照我们刚才的方式了， 那找圆心定半径再来公式就搞定。找圆心定半径写公式，那我就不过多对数了，因为刚刚磁场里边已经带大家练了很多题目了， 我们直接来去看一下，如图示，在 x y 坐标系内，第一项线内有垂直向外的匀强磁场。 第二项线内有沿 x 轴负方向的匀强电场，场强是 e， 质量是 m 电和量，负 q 带的是负电。从 x 轴上的 p 点， p 点是根号三 a， 根号三 a， 这个说明从 o 到 p 这一点是根号三微和速度方向夹角是六十度，非常非常重要，恰好垂直于外周方向进入电筒。 第一问求半径，第二问求大小，第三问求时间。那你先去判断它的运动情况，刚刚我已经把非常复杂的做匀加做类平抛做圆周全放进去了。那现在在操场里面做什么运动？ 很明显就是一个圆周运动。圆周运动找圆心呗，知道一个速度方向垂直、垂直，垂直垂直，所以我的圆心肯定在这条线上 看，这就完事了。紧接着再去看，知道知不知道另外一个点？如果知道点的，可以连接做中垂线，知不知道另外一个速度方向？如果知道另外一个速度方向，也可以去做垂线。我们可以根据恰好垂直于外都射出，说明你最后的速度方向肯定是垂直于外的。 那么你做一条垂线呢？必然是沿着外走的，所以你的圆心就在这里随便找一个点，比如上面这个点就是你进入电场时候的速度 p， 这里给个 q 点，他的速度是垂直于外走，你做完垂线，那必然是沿着外走，所以他们这个圆心就找到了。 给你找到之后，你就大致的去画一下，大致的把这个轨迹就可以给它描述出来。描述出来之后，我需要去求半径，要拿已知线段去求，现在我知道的已知线段是谁？根号三 a， 有 角度就用三角函数，没角度用勾股定力，中间垂直六十，所以这个角度就是三十度， 他如果是三十度，那好办了，这是半径能求吗？当然能求，你对应的在小三角形里面， 底下，这是要编根号三 l， 要求的时斜边完事已经做完了，你在写题的时候就是有几何关系， 可以知道你其中的 r 是 等于根号三 a 除以一个 cosine 三十度， cosine 三十度是二分之根号三，根号三约掉就等于二 a 完事了， r 等于二 a。 第二问，我们需要求的是磁感强度 b， 你 就需要去把之前那些公式开始默了。 f 洛等于 f 向 b q v 等于 m v 方比上一个 r， 所以 两边 v 可以 约掉一个，约掉一个，你其中的 r 就 知道 r 是 等于二 a， 所以 这里的 b 就 知道了 b 就 等于上面是一个 m a 比一下 r， r 是 二 二 a， 二 a 吹一个 q， 这就是他所对应的磁感强度 b 的 大小。巧了。 第三问呢，要去求一下，说第三次进入外周所经历的时间，时间是多少？你前面这部分做的是磁场，就是把你知道的磁场的圆周运动公式先写上，然后进入到电场里面，问，进入电场做什么运动？ 这是第一次通过。做什么运动？他是一个负电弧，受力是向右的，做的是一个减速运动。 我减减减减减减减减减减减减减减减减到了某一点，比如说这一点是 m 减，为了速度是变成了零，这个会有一个时间，这段时间可以求，因为你已经知道这里的微了，出末都知道，所以可以把这个时间求出来。这个时间是这个第一。第二步， 从这里的 m 点再回到这个 q 点， m 点回到 q 点，这是第二个过，第二次通过了外，当然他，他并没有上移，我只是为了让你看清楚我给他画上面来的，但其实他还是沿着条一线的， 那没问题，这是一二，进入到磁场，再去向上做一个圆周运动， 这就是它整个过程。上面就是它的第三次，通过大致的画一下，这是第三次，那就可以了。所以把每一段时间分别求出来，第一段时间是由速度 v 减为了零，拿它去比上一个 a 就 可以了。 v 比上 a， 其中的 a 做的是电场，在电场中 a 是 等于 eq 比 m， 所以 上面部分就变成了 mv 比上一个 eq 完事。第二个过程是回来，回来他的速度又变成了 v， 就 好像你坐那数字上抛，我在同一个点向上减为零，再回来通过同一个点，速度是一样的，所以他这个时间和 t 一 是一样的对称， 所以又变成了 e q 分 之 m v 第三段做的是一个圆周运动， 这个所对应的圆周运动求时间。圆周运动你现在写到哪了？写到这个公式了，你还得继续往后写， 从哪个开始写？从这个 v 开始写，从上面那个公式就可以。从 r， r 就是 等于 b q 分 之 mv， 再继续写一下这里的 v， v 是 等于 b q， r 比上一个 m， 再继续写 omega， omega 是 等于 b q 比上一个 m， 再去写周期 t 是 等于 b q 分 之二 m， 再继续去写它转过的时间。拿圆心角 c 的 m 比上一个 b q 转过的圆心角是多少度？垂直于这个边界进去又垂直于这个边界出来， 中间应该是一百八十度，圆角一百八十度对应的就是，哎，对应的就面是 pi， m 底下是一个 b q， 其中需要去把这个 b 给换成你刚刚求的一部分，上面是一 pi m 比上了一个 q 除以 b 乘以 b 的 倒数上半部分是二倍的 a q， 底下是 mv 开始约，约约约， 就等于底下是一个 v， 上面是一个二。哎，完事了，这就完事了， 所以还漏了一段时间好点摄入到第三次从摄入就开始了，所以还少了一个 t 四也是在做圆周运动，那我们在看的时候， t 四等于谁的心？看他的圆心角 上面的角底下是三十，上面的是六十，所以这里是一百二十度，一百二乘五度至，呃，拿一百二十度除以一个一百八，对应的应该是三二 pi 乘以一个 m 比上一个 q， 再乘以一个 b 除以 b 乘以 b 的 倒数二， a 比上一个 m v m m 约掉， v v 约掉，所以它就是等于三 v 分 之四派 a， 把总时间全给它加一块去就 ok 了。 在分上中的时间，从这段这段底下这俩那就是三乘六，那就是三分之十，就是三分之十派 a， 加上电场中的电场中的 t 一 和 t 二，这俩都是 m v 比 e q， 所以 就是两倍的 m v 比上一个 ok， 这个就是我们要去求的这种的时间， ok。 拼接厂里面要确定清楚它到底是在哪个厂里边，如果是电厂，要么做云家，要么做雷劈炮，要么在厂里边就做的是一个匀速圆周运动， 相应的公式给它写上。好吧，好，接下来我们来看题型四，电磁感应选择题。 关于电磁感应的选择，第一个就是感应电流产生条件有俩，一个是磁通量发生变化，磁通量就是 f， f 是 等于 b 乘以 s， 磁通量必须在变化，是这个，但它 f 不 能够等于零，要么它对应的 b 在 发生变化，要么对应的 s 在 发生变化，反正它们俩有其中一个变化就可以了。第二个需要的是闭合回路，如果电路断开，肯定不会产生感应电流， 所以想要去形成感应电流，必须得是磁通量发生变化，而且你还要形成闭合回路。这就这两条件。我们来看一下。你看这里的底八极 a、 b 两回路各有一个 s 一 s 一 这块有电源，如果它一旦闭合，这个地方就会产生电路了， 并且回路 b 是 有一个灵敏电流计的，它只有灵敏电流计，接的有一开关 s 二能够让它产生感应电流。牢牢地抓住两个条件，第一个条件必须得使它磁通量发生变化。第二个 s 必须得使闭合，就是在形成闭合回路。 第一问，先闭合 s 二，我这里形成通路了，可以。第二问，闭合 s 一 瞬间，磁通量原来没有， 突然有了，那会发生偏转。第一个是没有问题的， a 没问题。再看圈二， s 一 和 s 二都闭合，原来都闭合，我断开 s 二，那它产生不了了， 没有形成闭合回路，不行。 c 说先闭合 s 一， 后闭合 s 二，会发生偏转，不会，因为一旦闭合 s 一 之后，它就稳定了，就说明它中间的磁感应强度 b 不 会变化了， 它对应的磁通量 f 也不变了，则差 f 就是 等于零了，所以不行。第四个，闭合之后，把 s 一 断开，原来有磁通量，后面没了，所以它会发生变转，是一和四，选的就是这个四 d 完事。好，我们来看看这个力九这座式数值放置的长直导线 通过恒定电流，中间这个位置是会有一个恒定电流的，有恒定电流之后，我们右边有一线框， a、 b、 c、 d 问哪个能够产生感应电流还是一样的，要让它的磁动量发生变化，要么就是 b 在 变或者是 s 在 变，其中有一个变量，说磁感应强度 增大，中间的磁感强度增大，电流强度增大， i 增大了，那么问周围产生的磁感强度会不会变？ b 就 会变， b 是 由 a 产 i 产生的，所以它会变大， 那就这个 a 是 可以的。 b 的 话呢，说我向右停动，停动，这个线框停动，线框面积肯定是不变，但是这个 s 电流越近，它的磁感强度就越大，远了就变小了，所以二 b 没问题。 c、 c 是 什么意思？向下移动， c 向下移动应该是不变的，它是在同一个路相同的区域内，它是不会变化，这个不行。四 d 说绕 ab 边开始旋转，绕 ab 边绕，绕哪个边？绕上面这边是吧？绕 ab 边开始转动，那么你向上转的时候，对应的穿过磁感强度是在减小的， 所以 c、 d 是 可以的。 b 呢，说以线框为轴开始转动，这个也是同学们特别容易错的，他是不行的，他并不中间，这就是我们这根导线，假设这就是我们线框这根的导线，他是绕着他的周围开始旋转， 你周围同一个圆内形成的磁感强度应该相同的，所以 b 没变， s 没变，都没变，它不会产生，这也不行，再继续往后好，磁体如图所示，螺形磁铁穿过了一个安性导体环， 导体环位于它的中垂面上，如果把导体环压扁，问这个过程中穿过导体环的磁通量变大还是变小？变大会有感应电流，首先会不会有感应电流，要看它磁通量变没变，变了增大减小我不知道，但是我就知道它变了， 所以肯定会有感应电流，这是 a 和 d 肯定都排掉了。 a、 b 中间到底是磁通量增大了还是减小了？那其实是在增加的，选的是二 b。 为什么？说一下为什么？ 比如说现在有一磁铁，这个磁铁上面是一个 n 级，下面是 s 或套俩圈，一个圈是 a， 另外一个圈视为 b， 问它俩磁通量谁大谁小？ 磁通量的定义是，就是拿 b 乘以 s， 磁通密度乘以面积，问它俩谁大谁小，你觉得谁大谁小？ a 的 大 为什么？因为对于磁点来说，从 n 级出发，转一圈指向 s 级， a 的 大。为什么？因为对于磁点来说，从 s 级指向 n 级 都是一个闭合的，也就是说中间磁铁这部分把所有的都包括了。在同一个区域内，是不是会有向上的？有向下的？假如说我就三根向上，我再出来向下， 还有一个是向下，对于 b 来说，他会框一部分，在同一个区域内，有向上的，有向下的。怎么办？抵消啊，抵消完之后的镜，那就是一呗， 所以你的面积越大，抵消的越多，那么剩的就越少。所以 a 是 比 b 大 的， a 的 范围大于 b 的 范围，所以如果你把它给捏小了，它的磁通量是会增加的。选二 b， 那 就是这个。等一下我们来判断一下第二个， 刚刚知道感应电流产生的条件了，现在需要判断一下感应电流的方向，它的方向是怎么样的？有两个定律，一个定律叫做楞次定律，也是很多同学们很麻烦的一个定律， 很抽象。第二个叫做右手宁则，这个相对好一点，因为你会伸手。对于楞次定律来说，就是四个字，叫做增、反、减、同、 增。如果在一个区域内，他的磁通量在增加，那么我会产生一个与之相反的去阻碍他。比如说现在这个区域内有一个向上的 磁感应强度，我这个磁感应强度增大了。问，线框里边会产生一个什么样的电流？因为你 s 和 b 对 应的是磁通量 f， 你 的 f 变化了，增大了，嗯，面积不变，整体变化，所以你肯定会有感应电流。就问这个框里边电流是怎么样的？它增大了， 棱锥因子是什么呢？增反减同，我会产生一个与之相反的 b 一 撇感应磁场，然后再根据右手定则，如果我想要产生一个向下的与之相反的磁场，那么我 握一下拇指，向下是指， b 一 撇四指，指的就是电流。所以从上往下看，对应的电流方向应该是一个顺时针。举个例子，比如说现在给你一线框，这里给个线框，这里是 r 电阻，有一个 向垂直纸面向里的磁场，有一个金属棒 a， b 有 一定的速度， v 在 向右运动，会产生感应电流吗？ 产生感应电流两个条件，第一个条件，磁乱发生变。第二个，行车闭合回路，满足吗？满足呀，你这里不是。呃，变大了，这个面积在变大， s 变大， s 变大， b 不 变，所以它的外力变大，而且形成闭合回路了，那么它肯定会有感应电流。那么问，感应电流从哪到哪？是这么转还是我倒过来正反转？你原来是一个向里的，而且你在向右的时候，说明你原来的磁感强度在增加，我会产生一个与之相反的点，向外的点， 那么想要产生点上，右手螺旋定则，握一下拇指就是那点上，所以你的感应电流判断出来，从 b 到 a， 转一圈，转一圈又回去了， 所以增反减同简单。有个小口诀叫做叉增逆。什么意思呢？如果是垂直纸面向里的一个叉，那么它如果增加了，会形成一个逆时针电流，它非常有用。叉增逆点的增呢？ 点正顺的。呃，增缩减扩都是棱次定律啊，衍生出来的两个结论叫做来去俱流。当你抱近他的时候，他会给你一个向外的力，当你要去离开他的时候，他会拉着你不让你走。增缩减扩也是一样的。右手定则是什么？是棱次定律的一个简化。 右手定则是通过速度去判断电流方向，判断爱的方向，拿它去判断爱怎么去。用磁感线穿过掌心， 拇指指的是速度方向，四指指的是电流爱的方向，你看看和你刚刚判断的是不是一致的，那把手放在这里，拇指四指向上，最后判断出来 b 到 a， 那 么对应的最后结果也方向也是从 b 到 e。 好， 我们来看两个题，先看第一个， 第十一题，如果是垂直纸面向里，在水平面是非均匀分布的，这地方是比较稀疏，这一部分比较密，前面这部分 b 比较小，里面这部分 b 就 比较大，再往后比较密，再往后又有一个比较稀疏的点场， 一个铜环开始去运动，从出位置 a 开始释放，从 a 摆到 b 的 过程中问怎么变？从 a 摆到 b， 磁感应强度怎么变？音大，同样增大差增腻。所以从 a 一 直到这个过程中， 他应该是一个逆时针方向，再去往后他会有一段时间是介于中间。这个过程一半是叉，一半是点，最开始的时候点是比较少的，叉是比较多的， 而点又在逐渐增加，在向右摆的时候，越来越往点的这个过程过了呢，所以点会越来越多，叉会越来越少，所以叉少，叉正逆叉减呢？那这就是个顺时针， 叉减就是一个顺时针，再去往后从会有一个增加的过程，叉增逆点增顺，这部分还是一个顺，再去往右去摆，又变成了点减又变成了一个逆。 所以他整个过程中是先是逆，再是顺，再是逆啊。这个 a 选项就可以判断出来。完事了， c 和 d 安排的方向始终是一个水平方向，他遵循的是什么呢？是来去去流是可以的。我简单的给你分析一下这个过程是怎么样的。 这个圈叉正逆，这是电流方向分析，他左右两边分析，部分向上，右边部分向下。判断安培力伸出你的左手来，磁感线穿过掌心，对于右边这根受到的是向右的，对于左边这根受到的是向左的。一个 f 一， 一个 f 二，他俩谁大？ f 一 更大，所以它是相反的一个方向，为啥 f 一 大？因为 f 一 更靠近右边，它磁感强度更大，所以 f 一 会大于 f 二， 这是一个也是一样的，后面那个过程去把它给区分一下，这个里边变成个点场，这也是一个逆时针，你变成点场了，你现在变成点场了， 那么你向右的力就会变大，向右的这个 f 二就会变大，向左的就会变小，那么你所对应的合力就是变成向右的，所以那个选的是 a 和 d。 ok， 再来看看第十二题，如果是一个圆形金属线框放置在水平桌面上，云墙磁场是竖向下的， 在这个过程中，过 a 点做一个切线，一撇 o o 一 撇，与线框在同一一个平面内，在线框以 o o 一 撇向上旋转的过程中去判断电流方向，这是一个 二向上旋转，以这个点不动 bc 开始往上跑奔电流方向，一看是一个叉，叉正逆，现在是叉正吗？ x 不 正， x 减，应该是一顺时针，所以是从 a、 b， c 刚开始的时候是 a， b， c 再到 a 这一个过程，再就往后它会变成什么呢？转转转，一圈过来了，这个地方是变成了一个，上面的是一个 b， 这里是一个 c， 所以下来之后又是一个叉，而且这个叉是在增大的，它的面积在变大，磁动量在变大，叉增逆，所以会变成这样的一个逆，就是从 a b c a， 那 第二个 a b， c a， 所以 始终都是从 abc 到 a， 选的是 a， 完事啊。再来看看这里的第十三节金属框，左边是一个电流 i t 在 零到二分之 t， 电流是一个向上的，二分之 t 到 t， 电流方向变成向下的，判断它产生的磁场啊，原来是向上，那么二分之 t 到 t， 它应该变成一向下， 那么判断这个电流产生的磁场是怎么样？伸手判断一下就可以判断出来，它应该是一个，左边是一个叉，右边是一点就可以了。再去判断这个线框里边磁通量的变化， 线框的面积是不会变的，主要看磁感强度，而这个磁感强度是由 i 产生的，在二分之 t 到 t 的 过程中，这个点产生了个点场， 这个点上增大，增大的，因为电流在增大，所以它这个点应该是增大的差增逆点增顺，它是一个顺顺时针的电流。再去判断安培力方向啊，伸出你的左手来，磁杆线穿过掌心 四指指向电流方向，拇指就是他的受力方向，安培力方向。好，右边这个也是一样的，磁感线穿过掌心四指指向电流方向 i 的 方向，拇指就是他的受力方向，他俩谁大？一个 f 一， 一个 f 二，谁大？ f 安一更大，他更靠近电流，所以他的磁感应强度更密集，所以整体来说应该是向右电流方向确定出来应该是顺时针合力向右，选的就是这个二 b 选项。完事了给大家梳理清楚了。好，同学们，我们来看看蹄形五，电磁感应计算。 电磁感应计算里面有一个非常典型的就是单切割模型，说的是啥？我有一个磁场，现在是向下有一个力拉着一个 杆儿，这个杆儿是 a 到 b 开始运动，根据我们刚刚学的可以去判断它产生感应电流的方向，根据的是什么呢？正反箭头一看，这个叉长叉正逆，所以会产生的是一个逆时针的，也就是从 b 到 a， 也可以用右手定则，此杆线穿过掌心四指指向啊电流方向，拇指就是他运动的一个方向，怎么去画？就是此杆线穿过掌心拇指是速度方向，四指是电流方向，一样的，反正电流方向都可以判断， 那么你就可以去把它所对应的电路式求一下，这个电路式 e 是 等于 b r v， 其中的 i 是 等于 e 比上而总总的电阻，而对应的 f n 是 等于 b i l， 所以他会受到一个安培力。在用左手磁感线穿过掌心四指指向电流方向，拇指是所受的安培力的方向，综合之后，就可以把下面的公式写出来，就等于 b 的 平方， l 的 平方乘以 v 比上一个 r 种 是从最开始的切割求电流，然后求安培力这么一个过程，所以随着你的 v 逐渐变大，那么它对应的安培力会逐渐变大，而 f 是 一定值，那么 f 和安培力它们俩最后会逐渐相等，那么对应的加速度就等于零，所以最后它会逐渐趋近于一个稳定的状态。 接下来在电磁感应中你所能见到的七类提醒都在这里了，我来给你总结一下。第一个看到速度 最大速度稳定，速度最小速度就去列受力平衡，受到一个拉力受到一安培力，让它俩相等，所以就是 b 的 平方， l 的 平方，微比上一个 r 种，那么对应的最大速度就可以求出来，也就拿 f 比上一个 r 种，再比上一个 b 平方 l 平方。这是第一个问题。第二个问题，求功率， 求最大的功率，求稳定的功率，那么它所对应的安培力的功率就是等于 f 乘以 v， 直接拿 f 乘以 v， 而刚刚你所对应的 f 是 b 的 平方 f 平方 v 比上一个 r 种，再乘以一个 v， 那 就变成了 b 的 平方 f 平方 v 方再除以一个 r 种 求功率。第三一个求 a 求加度，列什么列的是牛顿第二定律， 所以练完之后牛顿第二定律应该是 f 和等于 m a， 那 么你就可以知道它所说的和力是拉力减去安倍力等于 m a， 所以它其中的 a 就 等于减完之后再比上一个 m， 也就是 f 比上一个 m 就 等于 b 平方 l 平方 v 比上一个 r， 再去乘以 m， 把它求出来就 ok 了。第三一个如果要是让你求安培力做功，如果让你求的是安培力做功，或者是 它所产生的一个热量是多少产生的焦耳热列什么都不用想，直接去看动能定律，所受的拉力加上一个安培力等于它的动能变化量，其中生成的热量是等于负的 w i 是 等于负的 w i， 最后这个热量还需要分配一下大 r 和小 r， 因为求出来的热量是一个总的热量，你这里比如说我刚刚这里不有 r 吗？ 大 r 我 在切割的时候对应的是小 r， 总的热量是需要分配一下对应的热量等于爱方乘以一个 r t， 爱方 r t， 那 么 t 是 一样的，所以可以根据电阻去进行分配。核心就是列动定律。第五课，如果要是去求谓仪，列动能定律或者是动能定律，什么时候列动能定律呢？ 什么时候列动能定律？如果你知道的力是一个横力，去列动能定律，比如说拉力 f x 加上一个 w n 等于末动能减出，动马完事了。 但是如果你知道的是一变，就不能够去列动能定律了，因为动能定律这叫做工，必须得是横力做工才能用 f x。 而动能定律不在乎， 那就是拿 f t 减去一个 b 的 平方 l， 平方 v， 再比上一个 r， 这里就会出现一个 t， 而上面的 v 把乘以 t， 它对应的就是尾。后面这部分是一个动量变化量，列的是动量定律。第六个求的是六 电和量，求电和量 q 等于 i 乘 t， 而其中的 i 有 两种表达，第一种表达拿电动式直接除以 r 种。第二种表达直接拿 f n 比上 b l， 因为 f n 等于 b l 乘以 t， 所以 前面这部分就是 b l v 除以 t 再乘以个 t。 上面这部分看到了吗？微乘 t 出现 x 了， 下面的 f 乘以 t， 这是氨氨的的冲量。拿动量变化量减去一个拉力的冲量，就等于氨氨的的冲量。因为你刚刚在拉它的时候，如果去列动量定律和外力冲量等于二屁， 而和外力冲量是 f 乘以 t 减去一个拉力的冲量，氨氨的冲量等于动量变化量 m 乘以，你捣一下，捣一下之后就可以求出来这个氨，拿 f d 去减去一个它， 但是你这块是个正的，所以还得加一符号， ok。 第七个，如果涉及到求时间，就去列动量定比就 ok 了。你看这个 f 乘以 t 是 刚刚拉力的冲量，这个是安培力冲量，因为 b 的 平方 l 平方乘以 v 比上一个 r 轴， 这是安培力，安培力乘时间对应的就是安培力冲量。后面又一看这上面是不是 x， 所以 就可以把时间求 这部分是动能变化量，然后加上这一坨，然后再除以 f， 就 出来时间。接下来就是这七个问题， 求 v， 求 p， 求 a， 求 q， 求 x， 求小 q， 求 t。 基本上就是这样来演示一下，如果是 m n m n 这块是 m， 这块是 p q 间距是等于零点五，其中的角度是等于三十七度，电阻是等于五 o， 质感强度为一。将一个质量为零点零五千克的金属棒放到 a、 b 的 位置，其中金属棒和导轨电阻不计，现在静止释放，向下与导轨垂直， 并且与导轨接触良好，中间的摩擦因素是等于零点零五。当你的金属棒滑到 c、 d 的 时候，说它的速度开始不变了，为什么达到匀速状态？ c 和 d 和 ab 之间的距离是为两米。那么第一个问题，求加度列什么？求加度列什么？求加度列的是牛二列牛顿。第二定律，需要先把核外力求出来，核外力求出来等于 m， 乘以 a， 转换一下视角，从右边去看，转换成右势图，向下切割，判断它产生的电流，这就是通过右手去判断。磁感线穿过掌心，拇指是速度方向，四指是电流的方向。 所以如果你从 b 端去看，看到的又应该是一个叉长，而这个磁感线是垂直于这个面呢？这是 b， 所以 对它进行受力分析，向下受到的有一个重力垂直于它，是有一个 fn， 沿斜面向上有一个摩擦力小 f 有 安全力吗？ 没有。为什么刚开始运动，刚开始速度等于零电动式等于零，电动式，意识等于 b r v， 所以 你再去分析的时候，就是向下有一个重力分离， mg 散热塞塔 减去一个向上的摩擦力，没有 mg cosine 等于 ma， 所以 a 就 可以求出来了， a 最后求出来就是等于二米，每点四毫米，完事。第二本求速度到 c d 时候的速度。求速度列什么？求速度？列 受力平衡啊，把刚刚的过程再重复一下，找角度关系，把它放在这，向下受到的有一重力垂直于它，有一个知识力， 沿线面向上有一 f， 沿线面向上还有一个是安培力。那么你先把常规的公式，常规三个公式先写上 e 等于 b， r， 还有一个是 f 安， 安培力是等于 b i l， 所以 可以推出来 f 安就等于 b 的 平方 l， 平方 v 比上一个 r r 种，现在就一个 r， 那 么对它去列受力平衡，沿斜面向下有一个重力分离， mg 塞影塞塔沿斜面向上有一个摩擦力，没有 mg 靠塞影塞塔滑动摩擦力。还有一个是安培力，也就是 b 的 平方 l， 平方 v 比上一个 r， 所以就可以把此时的速度给它求出来。速度是等于两米每秒，列受力平衡，完事。 第三个求热量。列什么？列的是动能定律，从 a b 到 c， d 列动能定律，你要把它形成一种肌肉记忆，列动能定律，看看有哪些类做工。第一个是重力做工， mg 塞应塞塔乘以为一为一是 s， 还有一个摩擦力做工缪 m g 科塞塔再乘以一个 v e s， 还有一个是安培力，做工 w n。 那 我这一块用的加展，没有展开成立成为一的形式，就全用加号，等于默动能减出动能，默动能就刚刚最大的 v m 的 平方，这也是最大数值 v m 换一下换成 vm， 所以 这个时候产生的热量就可以知道了，但是还需要一个转换，产生的热量是等于克服安培力做的功。最后的结果是等于零点一，零焦二就修完了，非常快速的就把它做完了 啊。把它所对应的问题确定清楚，你去列什么式子，总结清楚，希望你熟悉熟悉熟悉再熟悉。好，来，再看一下下面这个第十五题。如果是 m n 和 p q， 电阻不计平行金属导轨，其中间距是为 l， 导轨弯曲的部分是光滑的，平直的部分是粗糙的。右边接了一个定值，电阻为 r， 平直部分宽度为 l， 磁感强度向上大小是为 b， 质量为 m， 电阻也为 r 的 金属棒从 h 处静止释放，到达右边界，到达磁场，右边界恰好停止到哪了？ 右边界这里已知这个过程中水平部分摩擦因素为没有接触良好。问，从这个穿越的过程中它怎么样？第一步，先去求最大电流，求电和量，求做工，求交而热。 所以你肯定会用到这个动定力，动定力肯定会用到，先去求一下它的电流。三个公式，先写上 e 是 等于 blv， 那 i 你 还没写到第三个，你写到第二个就到了，是等于 blv。 比上一个电阻对应的电阻应该是总电阻是二倍的差东西。 你刚进入磁场的时候，这个位置所对应的速度是多大？标个 v 一， 这块标个 v 一， 前面这个光滑，用动定力去求啊。 所以这里的这个最大电流上面是 b， 宽度是 l， 再乘以一个根号下二 g h 到达刚进去时候的速度再比上一个二倍。答案错了，错了哪个？这个 l 第二步 b 的 话呢？求电和量。求电和量列什么？ 回顾一下，列什么？列的是 i 乘 t， 而对应的 i 能转换成两个，一个是用电动式驱球，另外一个是用安培力驱。穿过的过程中应该是不用安培力驱球，就用这个电动式驱球就行。 b l v 打比上一个二倍的 r 乘以时间完事。 上面的 v 乘 d 变成了谁呢？它所对应的穿过那段 v 变成了 d， 就 变成了 b l d 比上一个二倍的啊。这 b 选项就完事了，差了个二 c， c 说啥呢？ c 说他在这个过程中克服安培力做的功。 b 呢？做他焦耳热是多少？所以在这个过程中我们都得用通令律，所以就一块列了得了。从最开始的 p 点静止，一直到他穿出磁场，这个过程中给他标一个位置，这是一个一号位，这是一个二号位。 从一到二列通令律有哪些类做工肯定是可以的。 mg 还有什么类做工？ 对，还有摩擦力做功， m g 乘以为一 d， 还有什么力做功？安培力做功。你看看我这里，是正没展开之前就全用，正好等于默动能减出动能。 所以啊，你克服安培力做的功就是等于 m g d， 这里应该再去减去一个 m g h。 但是你这里客服啊，客服的话要正好加绝对值，加绝对值之后他应该是反过来的， 应该是变成了 m g h， 减去一个 m g 乘以 d 这么一个结果。 d 选项说的啥呢？金属棒上的交角， 你现在知道的是总的交角六总是等于负的 w i 也就等于负的伏安培做的功，但是你求的是一个上面的， 那应该一半二分之一乘以 m g h 减去一个缪 m g 乘以 d， 把 m g 提出去，选的呢，就是我们这个四 d 非常经典的一种大题，你要去做的时候呢，一定一定一定要搞清楚 它所对应的要求的东西啊，求速度，求功率，求加速，求 q， 求 x， 求小 q， 求 t， 对 应的东西是不一样的。 好同学们，我们来看看梯形六，现代五项仪器有质谱仪、回原加速器、磁流体发电机、电磁流量计或者原件。 这五个仪器我放的比较靠后，因为他很多的推导你记是记不住，不需要去进入这个公式主要看是怎么推导的 好比如说这个质谱仪，他其实是属于一个加入电场中间这部分， 这是一个速度选择器，这部分在这里边既会有一个电场，左边是正，右边是负，那么他受到的力就是向左的一个电场力，同时也会受到一个向右的落人之力，必须得有， 没有的话他就出不去了。落人之力你就可以根据他这个情况向下运动，受到落人之力还得向左，所以他必须得也得是个点。 当你就沿着这条直线过来，洛伦兹力和电场力相等，沿着直线过来之后，再进入到底下这个磁场里边做圆周运动，就这么几个过程。第一个过程你可以给你梳理一下，第一个过程做的是一个匀加， 做匀加 q u e 等于二分之一 mv 方可以把 v 求出来， v 等于根号下二 q u e m。 第二个过程你想要通过底下，就只有这一个孔能通过，微大一点，小一点会导致落人之力发生变化，就会向左偏，向右偏就出不来了。 所以要去通过这个孔，就得是 eq 等于 eq， v 可以 推出来， q 和 q 约调，就可以把这里的这个 v 推出来，是 e 比上 b， 再让它进入到下面这个磁场里边，找出来它，让它进行偏转，进行偏转以后，可以列它所受到的洛恩之力。 b q v 等于 mv 方比上一个啊，你把这个 v 和 v 约掉， 就可以把它对应的半径给出了，半径是等于 b q 零分之 mv， 而其中的 v 又等于 e 比上 b， 这里边有几个量？第一个量是 e b， 这是一个已知量， b 零这个已知的是确定的，所以你半径这个圆的半径越大，就意味着 m 比 q 越大。但是通常情况下，让你比较的是比和比较的是 q 比 m， 所以 会出现一个近大远小，跟你眼睛看东西一样，离得比较近就比较大，你转的越近，距离抛出眼越近，就是比较大的，越远， q 比 m 就是 越小的一个比较重要的结论。 现在你就可以来去判断一下这个题了。如果是有一个例子，一定的输入度，从正交的磁场里边，磁感应强度是为 b， 电场强度为 e， 这是一个速度选择器，从那边过去之后就进入到底下这个磁场，这是 b 一 撇，最终打到 a 一 和 a 二 a 弦。要说在速度选择器里边，他所对应的词应该是垂直指面向里的，那你就可以来判断一下， 这个粒子是一个正粒子，所以受到力。呃，电场力是向右的，那么必须得受到向左的落人之力。想要受到向左的落人之力，向下是一 v， 伸左手，向下是落人之力方向。磁感强度必须得是穿过掌心啊，应该是个点啊， 应该是个点向外。二、 b 说打到粒子里边，在此感应强度 b 一 撇，运动的时间都相同。打到这上面的粒子运动时间都相同，那你需要看这个运动时间跟谁有关。 b 是 等于 c， 它的心 m 比上一个 e q， c 的 心转的圆，心角都是一百八，是一样的， b 是 一样的， q 和 m 不 一样，所以它不一样呢？ c 说我穿过的粒子正好是一比 b， 完全是对的，因为它这里呢，受到电场力 e q 是 等于 b q v q 约掉，所以此时的 v 就 等于一比 b c 完全没有问题。电源说越靠近，近大远小越大，完事。 下面这个是回旋加速器，它给大家列了这么多粒子，是反复，在电场中，是电场和磁场的拼接，粒子在电场中不断进行加速，在磁场中不断进行旋转， 就会获得一个高数粒子，两个地心和上面一个地，下面一个地。比如说我这块有一粒子，两个板，会有交流电，一正一负，但正负会来回的换 上面。如果是一个正极跑不掉了，那咱让它变成是负极，底下变成正极，所以会对它做一个加速，那也就是 q u 等于二分之 m， v 方进入磁场就开始偏转，再做加速，再做偏转，再做加速，再做偏转，就是这么一个过程，最后以一定的速度出去。那么有几个问题。第一个问题， 最大速度是多少？最大速度是等于 b q r 比上 m， 它在做圆周运动， b q r 比上 m， 就 可以求出来它的最大速度，也就等于至与 r 有 关的一个物理量。 最大动能是多少呢？最大速度已经知道了，所以直接动能就是二分之一 m 乘以 v 的 平方，这是二分之一 m， 上面微知道是 b q r b m， 所以 平方一下子底下是变成了一个二 m 上面是 b 方， q 方比上一个 r 方，这是他所获得的最大动能。这是第一 二个问题。第三个问题，他加速一次，如果他们中间的两个板之间的电势差是为 u， 加速一次，加速一次所增加的能量是多少？ eq 零是多少？ 加速一次是这样问，加速了几次？拿最大的动能比上，每一次加速的能量就等于加速的次数，也就拿上面这个 b 方 q 方 r 方比上一个二 m， 再除以这个 q u 约完之后得到这么一个结果。多少呢？我也记不住啊，肯定记不住，到时候现推就得了。 这个圈数是多少？加入的次数是这么多，圈数是多少？是除以二。那因为他转一圈的过程中会加速两次呀，所以是除以二。那么在磁场中所经历的时间就可以求了，因为我已经知道他转的圈数了， 那而对应的转一圈所经历的时间是周期，周期 t 是 等于 b 二方乘以乘以 pi 值这么一东西。电场中的时间，它电场中只是在去做一个加速运动，电场力可以用这个动量去求它的加速时间， 用动量去求拿这个电场力乘以时间等于它整个动量的变化量，所以这个时间后面这部分是动量变化量，再除以一个力，就等于 brd 比上一个 u， 这是电场的时间总时间，把它们俩加一块加在一起，但是每 中间这个缝是比较小的，在电场中的时间可以忽略不计，如果要让你算，你就用刚刚这个动量去算。下一个问题说，我加入到第 n 次的速度， 加入到第 n 次的速度，加入到第 n 次，每加入一次所对应的是 q u， 速度是变成了二分之一，微方 n 四呢变成了 n， 所以 v 就 等于根号下二 q u q 比上一个 m， 所以 它们的半径之比就是一比根号二，比根号三。为什么呢？我加入一次，我的这个半径和速度之间是有关系的，半径是等于 e q 分 之 mv b q m 这些东西都一样，得跟速度成正比， 而速度每加入一次，就是和上面这个东西 m 一 样， u 一 样， q 一 样，二一样，那只跟它加入的次数有看你加入了几次啊，所以就是这么一个东西， 那么他对应的间距就会变成是一比上根号二，减一比根号三，比根号二，比根号三，他在逐渐的变密的一个过程，间距会越变越小，这就是我们的微电流器。 ok， 来看两道题目啊。先看第十六题，微电流器呢，有个特别重要的作用，有两个铝盒，然后说中间有一个高频交变电流。右图呢是一个粒子源发生于正离子，经过这个夹缝以后，不断加速进入到闭合，在 磁场中转了半周，转完半周之后呢，又经过加速，如此久而复返。把这个过程给你说了一下，获得一个最大速度，然后出来， 其中正离子电和量为 q， 质量为 m， 中间加速电压为 u， 磁感强度为 b， 核子半径为大 r， 加速时间极短，可以忽略不计，就是在电场中的时间忽略不计了。 那出路为零怎么过？说什么呢？第一位问的是交变电流的周期，它的周期和这个周期在电场的周期。电场交变电流的周期和在磁场中的周期是一样的，是等于 b q 分 之二排 m， 所以这个 a 不 对二 b 的 话呢，说它获得的最大动能，你这错了呀，我记得有好几个方呢，上面少方 c 的 话呢，说我第一次和第 n 次在下半盒半径之比是多少？第一次和第 n 次加数一次，它如果要是加数一次，那么它对应的这个速度， 速度之比啊，为啥求速度之比呢？是因为速度和半径 r 是 等于 b q 分 之 m， v b q m 都一样，所以比 v 就 行。而你加速第一次的时候，速度 v e 是 等于根号下二 q u 比 m 的 加速到第 n 次通过下核，第 n 次通过下转过去之后再转上来，这是第， 这是上去又经过一次加速，然后再转下来，到下核会变成第三次加，加速了三次，然后你再去转， 这是第四次，再转，这是第五次。所以你会知道通过下颚它是一个基数倍，一三五七会加速这么多次， 加到了这么多次的话，所以它对应的这个半径之比，第 n 次就是二 n 减一，因为二 n 减一可以表示它这个基数选的呢，就是这个 c 选完事 v n 加减记的总时间不对，这个总时间的话，你这个应该是个电场时间嘛，你看一下这个时间也不对，电场时间是 b r d 比上一个 u， 次场时间呢是 b e r 方比上二 u， 然后还要差了一个派，上面差了一派，比较一下，到时候自己推一下就可以了。 第十七个，第十七个也是回旋加速器，题目就不读了，直接看这个过程。说这里边呢，有一个电和量是为 q， 质量呢为 m， 加速的电压为大 u， 次量强度呢为 b 为 r， 每次加速时间极短，又是忽略不计，所以不用考虑交变电压。频率是它没问题，它所对应的周期是等于 b q 分 之二派 m， 所以 频率倒过来 a 选项完全正确。这样呢，说每加速一次，它的轨道半径会变大， 所以周期会变。不对啊，周期不是 b q 分 之二拍 m 吗？不会变。获得的最大动能我看着完全没有问题，是这个 c c 是 没有问题的，最大速度 v 是 等于 b q r 比上一个 m， 然后最大动能是二分之一乘以 v 方，把它再平方一下 c 没问题。并且呢，说他最多被加速的次数就是拿你的这个最大动能除以每一次，每一次它所获得能量是 q u q u， 也就是拿你的 q 的 平方， b 的 平方， r 的 平方比上一个二 m， 再除以一个 q u， q 和 q 约调多了一个 q， 选的呢就是这个 a 和 c， 选 a 和 c， 这是回旋加速器，最后还有三个仪器，这三个仪器差不多都是属于电磁叠加场里边的。 其中有一个非常重要的观点就是所受到的电场力和洛伦兹力是相等的， e q 等于 b q v 会出现这么一个关系，都差不多，我就一个一个给你分析吧。电机和电磁流量器，它们俩算是同一个类型，差不多，这块呢，会出现一个空心的轨道， 空心的管道有一些粒子能够通过去，那么对应的我们会有给它施加一个磁场，这个磁场呢，是为 b， 那 粒子，正离子，负离子都从左边开始运动过来，有一个速度， 所以你一旦粒子进来了，比如说一正离子，那么磁感线传掌心，四指指向速度方向，拇指是受力方向，上面会累积正离子，而下离子的下面的会累积负离子，正离子，负离子，把他们给他们一根线， 然后连接一下，正负离子向吸电子发生移动，所以形成电流磁流体发电机，这样就发电了。正离子不断累积，不断累积下面的负离子，负离子不断累积，它就会在内部产生一个场，这个场是上面正，下面负，相当于是个电容器了，会形成一个对里面粒子的力是 eq， 那么它向上呢，受到的是路人之力。 b q v 等于 eq， q q 约掉就可以得到。 v 是 等于 e 比上 b， 那 么其中场强就是 b 乘 v， 两个板之间的场强，知道了它们的电压，自然而然就知道了它电压就是等于 e 乘以 d， 也就等于 b， v 乘以中间的距离，中间距离是为 a 呀，这个的话题目中给的都不一样，所以呢，你没必要去记它，你记的是 b v 乘以两板之间的距离就可以了。所以呢，我们这里的这个 u 就 等于 b v， a 也等于 i 乘以而零 i 乘以二零，电流乘以它所对应的二零，这种情况对应的就是没有内阻的时候，这部分阻值不考虑，只考虑二零，所以呢，这里的 i 是 可以求出来的，拿这个电透式 b v a 乘以一个二零，所以就可以把它对应的流的速度， 水流速度就是划一下，就是 i 乘以 r 零，再比上一个 b 乘以 ab 乘以 a， 而其中的上面这个，这个对应的就是 u， 那 么底下呢，就是对应的是一个 a， 但是这个是两板间距啊，流速水流速度可以知道了之后就再去求它的流量。电池流量计嘛，电池流量计和磁力发电机差不多， 原理都是一样的，就是流体流量流量。什么是流量呢？单位时间内通过某一个横截面积留的体积是多少？单位时间内，你现在通过某一个面，通过某一个面你不太好看， 所以我需要去把它延伸，通过某一个面，单位时间你往前走了一段是吧？走了一段，那么这段距离呢，就是它的速度乘以一个时间，然后这是横截面积 和弦面积，就可以拿这个去算单位时间内留过他的体积是多少。那你这个体积的话呢，就是底乘以高 s， 再比上一个时间约掉，约掉就是 s 乘以 v， 底面积乘以速度， 所以底面积的话呢，就是 s， 速度 v v 呢，就是钢球的 i 乘以 r 零比上一个 a， 那你就该约的就约，约完之后就得到这么一个结果，没没有内组的时候，如果有内组的话呢，你就是把这个内组再算一下通过。二是等于肉 l b s 就 完全的是可以把它确定出来的，打圈的都不用记，到时候题目中都会发生变化。 好换原件，最后一个换原件给大家说一下，换原件和刚刚那两个有一个非常显著的特点，就是它这里是一个实心导体，实心导体，而且它会通有电流，它会在三个方向上，一个方向上通有一个爱零电流， 这个电流可能是正离子产生的，也可能是负离子产生的，要注意清楚。第二个方向上共有了一个磁场，所以在第三个方向上会偏转。第一个问题需要注意的就是左手四指永远指向爱零的方向，就是电流方向，不管正负，记一下，无论正负，无论正负都这么做， 无论正负。比如说我现在向右通了，有的一个爱玲说这个电流是由正离子产生的，所以你就开始伸手，磁感线穿过掌心，四指指向电流方向，运动方向，拇指是受力方向，所以上面就是正极板，他带的是正极，电视就高， 但是他如果说我这个电流现在是二零，但是是由负离子产生的，一样也这么深，是反了两次倒过来的，所以你就按第一次去算就行。四是指向二零方向，所以上面就变成了负极，电压就比较低。 经常考这种题，呃，后面就一样，后面就和我们刚分析的一样，有这个例子出来，出来之后受洛伦兹力向上偏转，向下偏转，然后形成这样的一个电势差，有正极，有负极，所以会形成电流。其中呢，就是当你的洛伦兹力和电场力相等的时候，它就形成了一个稳定的电压， 那么对应就可以知道它们中间的这个或与电是差，是 u h， 也就等于一乘 d， 也就等于 b v 乘以 d， 这个 d 指的是两反中间的距离啊， v 呢表示它的速度，然后呢我们再去看它的电流大小，可以用微观表达，是 n e s v 去求它， 所以就可以把这个载流速度求出来，那么对应的这个或电阻差自然而然通过这个电流去进行求解，就把它再展开之后，中间这个 v 可以 换掉，换成你这个 i 零相关的一个物理量。中间呢，就上面这部分呢是 b i 零，底下呢是 n a e， 中间打圈了都不用记外电路如果有电阻的话，你把那个电阻再加上就 ok 了。这五个里边的这三个是比较麻烦，因为他会问你其中的一个物理量，那你得推推推半天，所以呢，我们简单的先来看一下吧，来看看他会怎么考你 先看第十一个，这个玩意叫什么呢？磁流体发电机，说上下上面有个板是 a， 下面有一定的速度射入，射入之后左边是 n， 右边是 s 级， 所以它们俩中间 n 到 s 会产生一个磁场，这个磁场呢是为 b， 所以 你的粒子会发生偏转， 粒子发生偏转，然后你就可以知道下极板应该带的是一个正电，上极板带的是负电，找出来它磁感线穿过两线，说 a 带 a 带正电，错了， a 带负电，那 b 说就是电流是从 a 流向 b 反了 底压正极上面负极应该是 b 到 a， 应该是 b 到 a， 错了 c 的 话呢，说电流大小，电流大小是等于 b v d 除以一个 r b v d， 先去把这个两板之间的电势差求出来，最后运动下来， eq 是 等于 b q v 的 q q 约掉，所以此时的场强就是等于 e， 那 么他们的 u 就 等于 e 乘以 d， 也等于以 v b， 然后再去除以这个电，那这个没问题啊， c c 是 没有问题的， b 为 d， ok， 再来看看这个电池流量，电池流量计，电池流量计呢，通常用来测量它里面的流量，感应式的一个仪器单位时间内留过某一横间面积 液体体积为它的流量。也就我刚跟你说那个，这里边呢会有一个磁场，也会有一个，这里边会有一个磁场，这里边会有个磁场， 磁感强度呢，是为 b。 有 液滴流经的时候，测得电是 x， u 管径直径是为 d。 然后我们现在呢，就是需要来判断，需要来判断一下， 判断一下什么呢？判断一下这个粒子是怎么偏转的，这个粒子比如说我们这里面有一个正离子，这个正离子呢，运动方向是向左的，那么就伸手呗， 顺手去握一下。所以他应该是下级会累积正点和，上面呢，会累积负点和，所以 n 点点是应该会比 m 点的高， m 点带的是负点。然后他让你去求流的速度，要让你去求流量，就按照刚才的过程去求就行。水流速度， 水流的速度，最后会导致一个平衡。 eq 是 等于 b q v 约掉约掉， 那么就可以求出来，你的 v 其实就应该是等于 e 比上一个 b， e 比上一个 b， 而现在他跟你说 m n 之间的电压为 u， 直径为 d， 所以 你可以把 e 求出来， e 就 等于 u 比 d， 所以呢，现在这个 v u 比上一个 d， 再乘以 b， 反了不行，二 b 不 行。 最后我们再去算一个这个流量，流量还记得怎么算吗？流量通常用 q 来表示，就是某一横截面积留过的单位时间内留的体积是多少， 拿刚刚的那个留过的长度，体积乘以乘以底面积，再除以时间约掉。就是 s 乘以 v， 横截面积乘以 v， 而对应的横截面积应该是等于 i 二分之 d 的 平方乘以 v， 对 应的 v 是 b， d 分 之 u， 前面呢是圆形的公式，所以派 d 的 平方底下是一四，再乘以一个 b， d， u， 该约的约一下，把 d 约掉，所以上面的就变成了派 u 比上一个四倍的 b 选完了，是谁呢？是这个 c、 d， 了解基本公式就可以进行计算，这就是啥呢？第一性原理，从最基本的计算例二十，现在呢，这个磁体和霍尔原件，当它闭合的时候会产生休眠，你不用管它，你就把它转换成我们的模型。 是啥呢？就是我现在有一个实心绕体，然后有一电流，有一电流，这个电流是爱玲，从上到下会有一个磁场，然后呢，说这里边呢，会出现一个电子定向移动，电流是由电子移动的， 所以现在不管正负，不管正负，四指永远指向的是爱玲的方向，此感心穿过掌心， 四指指向二零方向，拇指是受力方向。那个粒子如果是正的，那就是正粒子过去，如果是负的，就是负粒子过去，所以就可以看出来，应该是负离子跑到后边了， 负离子跑到后边，那正离子跑前面，他俩电视谁高谁低，前表面更高，前表面的电视比后表面的高， a 选 项没有问题，那 u 应该是等于 e 乘以 d， 而对应的 e， 这个这个 d 宽度，前后表面的宽度是为 a， 而对应的 e 呢，又等于。你刚刚要想稳定的话， e q 就是 等于 e q， v 对 掉对掉，所以 e 的 话呢，是等于 b 乘 v， 所以最后的结果就是等于 b， v 乘以 a， 那 你说跟 v 有 没有关系？当然有关系。二、 b 没问题， c 呢，说前后两个表面的 u 与 c 成正比，不是 c， 是 a 与 a 成正比。四、 d 的 话呢，说电压稳定以后， 他所对应的洛伦兹力是多大？洛伦兹力是等于电场力，是等于 e q， 而 e 呢，又等于又比 d， u 比 d， d 指的是它们中间间距等于 a， 然后再乘以一个 e 没问题， 选的是 a、 b、 d 三个选项。好，下一个来看看这个力。二十一题说用霍元键 让磁感应强度是垂直于他，垂直于霍尔原件的侧面，然后通有一个电流，是从 a 到 b。 好， 我们来看一下二十一题，这是一个霍尔原件，说 通向了一个从 a 到 b 的 电流， c、 d 两端有电压 u， 然后 a 和 b 呢，说在流子都有可能是正的，有可能是负的， 你这么判断容易错呀，你先去，你就假设他是正的会怎么样？假设他是负的会怎么样？如果是正的，四根弦穿过掌心，四指像电流方向，拇指就在偏转方向，所以上面 c 就是 正的， 那就是负的。如果是负的，那么上面 c 就是 负的，底下就是正的。所以呢，你就可以确定出来，如果是负的，会出现这种情况， c 的 电势会低于 d 的 电势，如果正的会出现这种情况， c 的 电势为高于 d 的 电势，所以二 b 是 没有问题的。 c 和 d 呢？说啥呢？说保持电流和磁感强度不变，沿着磁场方向或原件越厚，它的 u 就是 越小，所以要求 u， 你 从最开始嘛，就是当它静止的，当它要平衡的时候， eq 等于 b q， v， q 约掉， 可以把它这时候的这个 e 给求出来。 e 呢，是等于 b 乘 v， 所以 它两端的 u 就是 等于 b v， 然后现在再乘一个它的宽度，所以我需要标注一下它的宽度，我用啥呢？用这个 x， 然后这里是 y， 这里是 z， 去标注一下， 那么对应的应该就是 b 乘以 v， 再乘以 c， d 之间的宽度对应的是 x， 然后我现在要保证它的是它， b 和 y 不 变， 那我 i 和 v 之间可以用微观表达式。 i 呢，是等于 n， e， s， v 你 是唯一，所以再把它展开的话， n， e， s， s 是 谁？ s 的 横截面积，横截面积对应的应该是电流的横截面积，那这个横截面积 那对应的应该是 x 乘 z， x 乘上一个 z， 然后再乘一个 v， 所以 这个速度 v 就是 等于 i 比上一个 n， e， x 乘以 z， 所以 最后的这个 u 你 就可以求出来。这个电压的话应该是等于 b 乘以，上面是 i， 底下呢是 n， e 乘以 x， 再乘以 z， 再乘以一个 x， 那 么 x 和 x 可以 约调，就看这个 z 了， z 是 谁？就是沿磁场方向，它的厚度 就是 z， 所以呢，这个 c 选项是完全完全没有问题的，需要自己去推导一下。好，我们来看一下第七个题型，叫做电学实验， 电学实验一会我讲的时候并不会过深的去讲，同学们如果想要更深的了解电学实验，可以看一下老师的电学实验专题。第一个常见的是测量电阻和电阻率，在去进行选择的时候，如果是电压表，电压表尽可能的和电动式选一个差不多的， 比如说是电动式是四，给了一个零到三和零到六的，那你选谁？选零到三的， 那如果选电流的话，怎么去选呢？电流表的话，电流表量程约等于拿电动式除以待测电阻，比如说你已经选完这个电动式是三了，而我们的电阻是等于五，那你就是等于零点六完事了。 画面呢，通常针对的是大限流小分压，如果针对的是限流式，选择大的，如果是选择分压式，就选择小的，先把选表搞定了。 第二个叫做大内大小外小。内接电路和外接电路主要针对于电压表和电流表的相对位置关系。 如果你的电压表把电阻和电流表全包裹进去了，那就是属于内接，外接呢？你的这个电流表在外边呗，那这就是属于一个外接法。 所以大内大小外小怎么去比较？如果 r x 方大于了电压表和电流表内阻的乘积，那就是大，最后测量出来结果也是偏大的。大内大 小姐，如果你对应的 r x 方小于了 r a 乘以 r v， 那 么它就是属于小的，最后测量出来结果也是偏小。 分压式和限流式通常百分之九十都是选择分压式，分压式非常的经典，他能够从零开始，能够全范围的去测量什么是分压式，就看他的滑动电阻器 滑片上有没有电主。滑片上通常常见的一种情况是这个情况啊，上面加一个电阻 r x， 再去加上一个电流表， 再去加上一个电压表，这就是呃，分压式，那节画完整电路，把它给画画出来就行，找出来，这就是属于分压式，一般就选分压式，限流式在题目中出现，哎，说啥呢，说节能环保，这个时候才选 第四。一个叫做电表改装，八个字，压串流并串大并小。如果要把这个电表改装成电压表，那么你就是把这个表头去串联一个电阻，那么它就相当于改装成电压表了。 如果想改装成一个更大量程的电流表，那和并连一个电就改装成电流表了。更大的量程的电流表 串大并小什么意思呢？串联一个大电阻 n 减一乘以 r g n n 表示的是扩大的倍数，看它扩大了几倍。 扩大倍数并小呢？并连一个小电阻 n 减一，比上一个 r g 上面 n 也是一个扩大的倍数，看它扩大倍数是多少。 好，这是电表改装安安法和伏法安，安法有俩电流表，上面有一个电流表，有一 a 一，下面有一个 a 二，那他这就是属于安安法。有很多同学说电流表，你这不是短路了吗？没有电阻，并不是的，电流表是有内阻的， 只不过内阻比较小。所以现在你要去把 r x 求出来，拿 u x 比上一个 i x， 通过它的电压和两段的电流，两段电压可以去求一下，就是拿 i 一 乘以 r 一 电流的话呢，可以通过 i 二减去 i 一 去进行求解，这就是安法，而对应的符号也是一样的， 这是一个电阻，这个电阻是需要测量的，有一 v 一， 紧接着上面有一个 v 二，所以你要求这个 r x 也是拿 u x 比上一个 i x， i x 通过它的电流， u x 可以 通过 u 二减 u 一 去进行调节， i x 可以 通过 u 一 比上一个 r 一， 就是电压表的电压比上电流，可以把它所对应的 电压表，电压比上电阻，可以把它所对应的电流求出来，而你的电流和电阻又是一个串联关系，所以基本上这些方法都是伏安法，就是通过 u 比 i 去进行测量的，只不过 u 怎么去测量， i 怎么去测量，这样一个关系如释而意。 那所以我们简单的来看一个第二十二题，测量的是电阻率，说我们先去用金属棒，你上电主率的时候通常要记住这个电阻定律， r 是 等于 r 比 s， 要测量的是 r 乘以 s， 再比上 l， 还是需要用我们刚刚的测量电路去把这个 r 测量出来， s 可以 去读出来， l 可以 去读出来。那么现在 s 怎么去读？就去把它的直径读出来，也就是第一问问的。首先通过螺旋测微器去把直径先读出来， 读完之后再用油标卡尺去把它的长度 l 读出来。第一个对于油标卡尺的读数怎么去读？先去读主尺，这是零点五一，一点五，主尺上就是一点五毫米就完事了。 再去读腹尺，看腹尺，对的，三十三，嗯，三一三二三三三四是三十四，三十四，三十四，再去乘以零点零一是零点三四，零 点对齐相加减零点三四零，所以最后结果一点八四零毫米，别忘了。 好，再去读这个长度，这是油标卡尺，油标卡尺先看零刻度线，不要看这个直尺的这个线，要看零刻度线前面的。零刻度线前面的对应的是 四点二厘米，加上布尺上，先看哪一格对齐。对对对对对对，哪一格对的最齐，只有一个格子，就这个格子一二三四，第四格对正齐，那就拿这个四再乘以他的分度值， 下面总共是分了二十格，他是把上面的一毫米分成了二十格，那就是二十分之一，最后的单位是毫米，所以你需要转换成厘米，负一，那就变成厘米了， 那就等于四点二，乘以乘以一下子看看上面四除以一个二十，约掉这里得的是个五五分之一。零点二，零点零二，那就是四点二二， 加上一个零点零二厘米，所以这里就是四点二二厘米。 完事，四点二二，哎呀，读住就完事了，那接下来我们要去更加精确的去测量电阻， 现在大概知道它的电阻是等于六欧，有电压表 v 一， 三伏 v 二十五伏 a 一 a， 一 是等于三伏 a， 二是等于六百 v 二，所以我们现在滑动变阻器是等于零点五，输出电压等于三，那就开始选了。电压表选哪个呢？电动式 啊，电动式是等于三，所以选三伏，这个选的就是 v， 对 应的是 a， 再去选电流表，电流表拿电动式去除以电阻三除以六，等于零点五， 零点五，所以六百环选的是 d。 完事还需要去画一下电路图啊，那就采取一个从零开始，那就是分压式，所以你在画图的时候，先去来一个电源，再来一个开关， 紧接着先滑动电阻器，整个接入电路，这是我们的 r 上面的滑片，上接片会有一个电路，这是 r x， 紧接着加一个电流表，再去加一电压表， 需要去判断一下到底是内接还是外接，看什么看带射电阻。 r x 平方和 r a 和 r v 的 关系， r x 平方是三十六， r a 是 等于一，而 r v 是 等于十五千 o， 所以 小 ok， 小 外小， 你对应的电流表，电压表就接，在这里选一个外接法完事了。那么接下来 d 选项说我要去测量的时候，它所对应的直径是为 d， 长度呢？为 l， 所它电压为 u， 电流为 i， 电阻率刚刚已经写过了， r 是 就是等于 r 乘以 s 比上一个 l， r 是 等于肉， l 比 s 正好是倒过来，所以这个 r 是 通过 u 比 i 得到的， 而你上面的 s 是 通过 pi 乘以呃半径平方，再除以一个长度 l 得到的，所以底下这个就是等于四 i， l 上面会出现一个 u d 的 平方乘以 pi 就 可以了，这就是它电阻率的最后表达式， 非常简单的就解决了一个电学实验，那么接下来稍微会麻烦一点点，但是跟上老师节奏绝对没问题。测量电源的电动势和内阻，首先我们知道都是根据欧姆定律得到的， e 是 等于 u 加上 i 乘以二， 所以可以进行转换，把它变成阶阶式。 u 是 等于 i 乘小二加上一个 e， 它会有两个电路图，一个电路图是属于电源的内接，这是电源，这是电流表，外面有一个电压表，这是属于电源内接，另外一个是电源的外接，电流表是在外边的， 看电压表和待测电阻组成的闭合回路里边有没有你的电流表，如果没有就是外界。比如说我要是测量上面的滑动变阻器，那么你上面就变成了内节了，但是我测量的是下面的电源，所以它就是一个外，把上面的进行等效替代， 底下相当于我这里有一个电流表，我的电源电压表在这里。在测量的时候，最后测量出来的 e 是 一个准确值，而测量出来的小 r 会多会是这个内阻加上电流表的内阻， 也就是这里的误差分析。最后测量的 e 是 真的，但是 r 会比原来的大 r a 加上一个小 r 才大于了 n， 所以 依然可以确定大内大，而小外小也是同样的一个例子去判断。 你这样发现这是电源，这是电压表，二者并连，并连之后可以求得你测量的这个电阻。而测是测量的内阻加上电流电压表内阻并连之后的时，所以就是 r v 加上角 r 机在合上飞， r a 加上小 r 分 之 r v 乘以小 r 会比真实值要小。测量出来的电动式也是 r v 加上小 r 乘以 r v 是 等乘，一个电动式也比真实值要小，所以可以选什么呢？小 y 小， ok， 最后一个就把这个图像给搞定了就可以了。 图像怎么记呢？叫做 a 内为外， a 内为外，真实塞外就可以了。记住这八个字应该没问题，你这么聪明肯定能记住的好。什么叫 a 内为外呢？你看这个图是由内接法产生的误差， a 内为外，是不是出现了一个 a， 是 不是好记？这不是 a 吗？ a 如果是内接法，最后的图像关系会成一个 a， a 内微外，如果是外接法，如果是外接法，这里会产生一个 v， 而且真实值都是在外边，那就把它记住了，完事啊， a 内微外，真实在外。 好，我们现在来看一下这个二三 d。 测量蓄电池的电动式和内阻，给它串联了一个定值电阻 r 零，获得的一个新电源，那么我们现在多次调节之后，得到这一个 u 和 i 的 图像关系。上面的洁具代表的就是电动式六伏，没问题。 再去看它所对应的内阻 r 零，看斜率，斜率表示的是小 r 加上 r 零，也就等于六，除以一个零点七五等于八，而其中的 r 零是等于七，所以小，不对，小 r 零，这个小 r 零， 小 r 零，内阻内阻应该是等于 e o 等于 e o。 完事。第二个我们要去判断一下它的关系， o u， 这刚讲完的叫做 a 内为外，真实在外。 a 内为外。 看它这里是一个内接法还是外接电压表和待测电阻组成的最小回路，看看里面有没有电流表，没有，那是内接，外接，这是一个外接法， a 内 v 外，如果是外接法，那就是 v， 那 就会出现一个 v， 那 这是 v 吗？这是 v 吗？ a 内为外，真实在外。看看虚线和实线谁是真实者？虚线是表示没有电表影响的情况下， usb， 那 就是真实者，所以直接选的就是 c， 选 ok 了。这一部分电学实验内容我讲的是比较快，因为之前是出过专题，如果同学们还没有掌握透，一定要看看那个电学实验的专题， 非常快速的给大家过了，其实也不是很快，陆陆续续应该是录了四个小时，剪出来之后我估计应该是两个多小时啊，但老师呢，一直都在做一些免费的，有深度的，能够去帮助到大家的， 希望大家能够多多点赞，给老师一些正向反馈，老师更新起来会更加的动。如果你觉得这种急救式突击对你有用，想要加入更加系统的打通高中物理，那么我在 b 站还为你准备了另外两个系列，一个系列叫做半小时物理系列， 这个系列主要是打基础的，另外一个系列是专题课，深度会更高一点。目前专题课已经做到电时间了，同学们也可以去看一下免费视频，只是 系列系统学习才是重点。话不多说，希望大家在期末都取得一个很好很好的成绩。那我们这个视频就是这样，我是大勇老师，物理有大勇，考试不用愁。

各位同学，欢迎来到博哥训练营，高二的同学们啊，期末的压力是不是来自那张融合了电磁场还有复合场的粒子运动的终极试卷啊？感觉每个模块都懂，但是组合起来就不行了，最后的冲刺啊，你需要进行三层突破，把知识从三点连接成电网。第一层模块打通， 我们去构建一个战场的地图，你就拿出一张 a 四纸来，不翻书，你画出电场，磁场，电磁感应电路这四大板块的核心公式，还有物理的意义图，然后呢，用箭头标出它们之间的联系，就比如说变化的磁场产生电场。那这张纸呢，就是你面对综合题的战略地图。 第二层母题穿透，掌握战术内核，集中火力。我们去攻克两类题型，第一就是带电粒子在复合场当中的运动，第二呢是电子感应和动力学结合的问题。 每类题型呢，吃透两到三道啊，经典的题就够了，考试的时候呀，他肯定会有这两道大型的综合题的。第三层是策略优化，掌控考试的节奏。我们把七十五分钟的考试，科学的切分为前二十五分钟呢，高效的完成选择题，还有实验题。 中间的四十分钟呢，主攻两道大型的综合题。最后的十分钟呢，重点检查综合题。考前一周，你就每天按照这个节奏进行一次模块化的复习，或者是专题演练。 你的目标其实不是攻克所有的难题，而是在有限的时间里边，最大化的发挥出你已经构建的知识网络的力量。

各位同学大家好，我是蚂蚁期末团队的张老师，今天很高兴和大家分享有关电磁场与电磁波课程的相关内容。我们的电磁场与电磁波期末速成课程主要包含以下内容，首先我们来进行有关史量分析部分的讲解， 矢量分析这一章呢，主要作为电磁场与电磁波部分的数学基础，那么主要包含以下四部分内容，分别是正交曲线系、矢量的运算、矢量的梯度、散度和悬度，以及矢量场的哈姆霍兹定律。首先是正交曲线系， 三维空间中任意点的位置可通过三条相互正交曲线或者曲面的交点来确定。简单来说，三维空间中的任何一个点，它都可以由三个分量为一确定， 那么确定它们的方式是不同的，那么不同的方式所用到的就是不同的正交曲线系。常用的正交曲线系包括直了坐标系、柱坐标系和球坐标系 有关。三维正交曲线系的定义是可以拓展到 n 维空间中去的，但是由于电磁场问题通常不涉及高维空间， 所以我们后续的所有讲解除非特殊说明，不然的话讲解都是围绕三维坐标曲线系来进行的。直角坐标系大家很熟悉的，那么我们重点来说注坐标系和求坐标系、 柱坐标系的三个分量 z 它是怎么定义的呢？我们假设 p 点在这里， p 点在 x o y 平面内的投影， p 一 撇在这里，这是圆点 o， 那 么 o p 一 撇的长度我们定义为肉 x 轴的正半轴。旋转到 o p 一 撇，向量 所转过的角度被定义为否，屁撇跟屁尖的距离被定义为 z， 这是驻坐标系三个分量的定义方式，那么有三个分量就会有三个分量的单位矢量，那么直坐标坐标系下的单位矢量指向的是三个分量增加的方向。 那么对于著作关系而言呢，我们采用相似的定义， a 肉作为肉分量的单位矢量，它指向的其实是肉增加的方向。那么对于地点而言， a 肉一尖向量， 它的方向就跟 o p 一 撇向量的方向是一样的。 a 范一尖向量，它应该指向的是范增加的方向， 所以呢，指向的是屁点或者说屁撇点的切线方向啊。因为这是一个柱面，所以这两个点的切线方向是相同的啊。对于 z 分 量而言， a z 一 尖向量指向的就是 z 分 量增加的方向就是数值向上的。那么我们可以发现，对于不同的屁点而言， a z 一 间的方向是不变的，但是 a 肉一间和 a f 一 间两个单位矢量的方向是会发生变化的啊。类似的，我们可以得到求坐标系的三分量定义方式。 同样，假设这里是 p， 这里是 o， 那 么 p 点在 x o y 内的投影是 p 一 撇，这里跟肉的定义不不同的是， r， 我 们定义为 o p 的 长度 fine 呢，我们还是定义为 x 正半轴旋转到 o p 一 撇向量所转过的角度 c 它角呢，我们定义为 z 轴的正半轴旋转到 o p 向量所经过的旋转角度，我们定义为 c， 它。那么类似的三个分量的单位矢量，由于有两个是角度，所以 a 外一尖向量和 a c 它一尖的向量定义的是沿着球面的切线方向 ar 一 阶向量，它描述的是 r 增加的方向，所以它跟 o p 一 撇向量的方向是一致的。那我们说空间中任何一个点可以被三个分量唯一确定，那么对于同一个点来说，它可能在不同的坐标系下 有不同的表示方式。那么既然是同一个点，不同坐标系下的表示方式应该会有一组一一对应关系。也就是说，我在某一个坐标系下， 我有一个坐标，那么我是可以通过一些计算唯一的得到这个点在其他坐标系下的坐标表示的。那么由于直角坐标系我们是很熟悉的，所以这里边给出了直角坐标系跟柱坐标系以及直角坐标系跟求坐标系的转换方式啊。 这里面用到的比较多的就是三角函数，还有勾股定律。接下来我们要说的是矢量的运算。矢量的运算大家在高中肯定学过加减和数量积， 由于加减没有发生新的定义，这里面我们就不提了。这里面我们重点来说内积和外积这两种计算，点乘和差乘是非常类似的，但是结果大相径庭，所以我们对比着来说，对于内积而言， 结果是一个标量。说白了，内积两个向量的内积得到的是一个数啊，这是直角坐标系下的坐标表示。而对于差乘而言，对于外积来说， 两个向量的差积结果仍然是矢量。那么既然是矢量，就包含了大小和方向，大小被定义为摩长乘积在乘上假角的正弦，那么方向呢？我们可以用右手定则去确定，怎么用呢？ 首先我们让四指和大拇指是互相垂直的，四指指向 a 向量的方向，然后在握拳的过程中由 a 向量转到 b 向量，这个时候大拇指所指的方向就是 a 叉 b 的 方向。 基于这个定律，我们知道 a 叉 b 的 方向跟 b 叉 a 的 方向正好是反过来的啊。那么两向量叉积，我们是可以通过行列式的方式去进行计算。关于矢量的运算这一块呢， 常见的会有两个公式，这两个公式呢，大家在做题的时候可能会用到，建议大家记忆一下。除此之外呢，我们需要注意的是，差乘和点乘是没有结合率的，这是常见的错误啊， 大家需要小心，千万不要把只属于标量的结合率用到了矢量来。除了公式之外呢，我们还要单独特殊说明的是关于平面的法向量，因为后面跟电磁场有关的好多概念都会涉及到法向量。那我们说如果一个向量 a， 它跟一个平面的法向量做点乘，得到的是 a 在 法向量方向上的投影。如果 a 跟法向量 n 一 间去做差乘呢？这得到的是沿着平面切向的投影 啊。所以呢，点乘和差乘通常可以被用来去求一个矢量的不同分量的一个方式。说完了矢量的预算，我们紧接着推进到梯度、散度和悬度。那我们再说具体的计算。之前呢，我们要说一个概念，叫物理场的概念， 电磁场吗？他也属于物理场的一种，那我们说一个物理过程，他会在一定的空间内发生，比如说当我把一个电和放到的空间中，他会激发出一些电场，那么这个电场的数值，或者说这个物理量的数值， 他与空间区域上的每一个点的位置是息息相关的，也就是说物理量可以被定义为位置的函数， 那我们就说在该区域上定义了该物体量的场。那么对于场而言呢，我们有四个特殊概念，分别是标量场。标量场指的是只有大小没有方向的场，类似的屎量场呢，就是又有大小又有方向的场。 对于电磁场而言，经常会提到的静态场和时变场，分别指的是不随时间变化的和随时间变化的两种场。后面我们还会提到，那么我们说起场的梯度、悬度还有散度的时候呢？我们重点在于怎么样去理解这个东西， 它的计算公式基于我们说在只要坐标系下所定义的微分算符，我们是可以获得对于一个标量场的梯度的计算公式的。 同理，我们在两个正交曲线系下也可以计算他的梯度。那么我们说断梯度是数学上是计算上的事，那么我们怎么去理解梯度呢？我们说标量场在空间中，他沿着不同的方向，他会有不同的变化率， 那么这些变化率里面有一个变化最快的方向，那么这个方向和对应的数值结合起来，我们管它叫梯度啊。那么对于标量场而言呢，大家时刻牢记，标量场的梯度是矢量场。对于矢量场而言呢，我们是可以计算矢量场的散度的， 这里给出了矢量的散度，这里需要注意矢量的散度断完了的结果是一个标量。 那么我们怎么去理解尺量场的散度呢？比如说我如果想计算一个点的散度，我们可以找一个体积，或者说找一个曲面把它包裹住， 比如说大家想象一下，如果我想计算包子馅所对应的散度，那么想象一下，我要找到一个包子皮，把这个馅包住，然后呢我要计算这个尺量穿过包子皮的通量，然后呢这个通量与包子的体积的比值， 我再求一个极限，就是质量场的散度啊，这里面呢，提到了一个通量的概念，大家怎么去理解通量呢？ 可以相对来说比较简单的理解为一个穿透的概念。换句话说呢，就比如说一根水管，它洁面，它有水流量，通量就类似于水流量。 说到悬度，大家要注意区分散度，悬度名有点像啊，那么对于尺量场而言，我们在计算它的悬度的时候呢，可以采用行列式的方式计算悬度，这一点呢，就有点像之前说过的尺量的差乘啊，当时我们也是用行列式计算的， 大家在计算这个悬度的时候啊，注意行列式的计算法则不要搞错了。那么我们怎么去理解悬度呢？我们可以理解为，首先矢量的悬度，它仍然是一个矢量， 那么这样的悬度呢，它在某个方向 n e 间上的投影，等于该矢量沿垂直于 n e 间无限小的面积。我画个图啊，这里比如说是 n e 间垂直于 n e 间的无限小面积，等于它 s， 它会有一个周线周长，我设为 c， 那么这个矢量沿着 c， 我 去做一个现积分，然后我再去求一下跟得它 s 比值，再去求一个极限，就是悬度在某一个方向上的投影啊，这里边呢，我们要提到一个概念叫保守场。保守场是无悬场， 是怎么定义的呢？如果一个场的悬度为零，我们说他是无悬场，也就是保守场。换句话说，我沿着曲线一个闭合曲线去做积分，这个积分的结果为零，说明他是不做功的啊。那么我们就说这个场是一个保守场， 这里面呢，我们还提到一个环量的概念，环量呢，指的就是实量场沿一个闭合曲线的一个积分，那么在散度、悬度这里边呢？ 呃，有一些重要的定律和计算公式，这里边呢，这些定律和公式建议大家牢记，因为在考试中会涉及一些题目，要用到这些定律啊。关于定律的推导， 大家可以采用正弦曲前戏的方式去进行推导，这里边就不赘述了。下面我们来说史量场的汉姆霍斯定律，这个定律呢，可能大家在最初接触到这个定理，想表达什么意思， 所以呢，这里边呢，我们不同于前面讲到散度、悬度的时候，我们注重于公式，这里边我们注重于怎么去理解它。我们先说海姆霍斯定律，他是怎么说的呢？他说空间区域上 a 有 一个任意的矢量场， 假设我们知道他的散度、悬度还有边界条件，那么这个矢量场就可以表示为，而且他是唯一确定的，他可以表示为一个无旋的场加一个无散场。换句话说， 对于一个质量场 c 而言，我是可以把他表示成一个场加上另一个场的叠加。这两个场呢，一个是无旋场，一个是无散场，这是汉姆霍兹定律说的事情，我们来说怎么样去理解他， 我呢？这里边给大家提供两种理解方式，大家看一下哪一种比较好理解？第一种理解方式，我们说如果一个矢量场，它的散度和悬度在一有限区域内不为零，且处处是已知的，那么 我们就可以唯一的去确定这个矢量场，只要我知道它的散度和悬度，那我就可以唯一的去求出来它。 那么怎么求呢？我们是可以由散度和悬度分别求得一个纯的散度场和一个纯的悬度场，然后把它们俩加起来就是这个总场，这是从工程上的一种理解。 另一种理解方式呢，涉及到关于石量场的三个问题，那么哪三个问题呢？首先，石量场除了有散的特性之外， 有悬的特性之外，还有没有别的特性呢？好了，还不会自定义告诉我们不存在了，因为他只能分解为一个无悬场和一个无残场，他没有别的特性。那么第二个问题呢，就是是否存在不同于通量源和旋涡源之外的激励源。换句话说， 如果我有一个圆，它能产生无旋场，还有一个圆呢，它能产生无散场，那么除了这两种类型的激励源之外，还有没有其他类型的激励源呢？好了，哈姆霍兹定律告诉我们不存在了，要么是第一种源，要么是第二种源，那么第三个问题就是我怎么唯一的去确定一个史上场？ 汉姆霍斯定律会告诉我们一个具体的计算方式啊，计算方式就是我们求出一个纯散赌场，再求出一个纯选赌场，我们把它叠加就是总场。那么汉姆霍斯定律这里呢？是， 这里注重于理解，因为，呃，不太常见，完全针对于汉姆霍斯定律的一些史量计算的题啊。 学这一部分呢，其实是为后续学电磁场的一些推导奠定了基础。在讲完了具体知识之后呢，我们来讲几道例题。首先是两个恒等式的证明，希望大家在证明了这两个恒等式之后，能够牢牢的记住它。 第一个恒等式，对任意一个标量场 f， 他 先求梯度，再求旋度的结果，恒等于零。那么为了证明这个结论呢，我们直接在只要坐标系下对它进行表示就好了。 f 的 t 度可以表示为这样的一个三分量的矢量，接下来求这个矢量的悬度，可以采用列式的写法。注意这里面带入的是 f 的 t 度的三分量，也就是偏 f 比偏 s， 偏 f 比偏 y， 偏 f 比偏 z 好，为了方便起见呢，我们就只看这个结果在 x 方向上的分量，那么它等于什么呢？ x 方向的分量，它等于偏比偏 y 乘上偏 f 比偏 z 这样的一个谐程，然后再减去这样的一个谐程， 偏比偏 z 乘上偏 f 比偏 y， 我 们可以发现这两个分别是 f 有 两个方向上的偏导，只不过顺序进行了交换，所以这个结果为零，那也就是说 在 x 方向上的分量为零，同底可证，在 y 方向，在 z 方向上的分量都是零，那么这个恒等式等于零就可以证明了。 那么对于第二个式子，对于任意的矢量场， a 先求旋度，再求散度的结果为零，那么我们同样采用直角坐标系下的表示，我们先把它表示为 a、 x、 a y 和 a z， 那 么求悬度把它按照行列式的方式进行书写，这样我们就可以得到， 在 x 方向上，它等于偏 a， z 比偏 y 减去偏 a， y 比偏 z。 在 方向上的分量是 ax 比偏 z 减去偏 a， z 比偏 x。 接下来在 z 方向的分量可以表示成偏 a y 比偏 x 减偏 a x 比偏 y。 这里希望大家注意的呢？是有同学可能会想，那我 a x、 a y、 a z 分 别代表了三个方上的分量，那么 a z 既然是 z 方上的分量，那它偏 y 在 y 方上的偏导数应该为零啊！这里大家注意，不是这样的，一定注意，不是这样的。 a、 x、 a y、 a z 只代表着矢量在三个方向上的分量，那么这三个分量本身它自己也可以是 x、 y、 z 的 函数，那么它们分别去算 x、 y、 z 方向的偏导数，算完的结果不一定是零 啊！这里大家需要注意，对这个结果，我们去散度求散度的结果应该等于偏比偏 x 倍的偏 a z 比偏 y 减，偏 a y 偏 z， 再加上偏比偏 a 倍的偏 a x 比偏 z 减，偏 a z 比偏 x， 再加上偏比偏 c 倍的偏 a y 比偏 x 减，偏 a x 偏偏 y。 好， 接下来我们注意观察， 对于这一项和这一项来说，它们都是 a z， 只不过一个是先求 y 方向的偏导，一个先求 x 方向分导偏导，所以它俩是可以消掉的。同理，对于这个和这个而言， 它们都是对 a x 求 y 方向上和 z 方向的偏导，所以它俩也可以消掉，同理它俩也可以消掉，所以这个结果为零。 这一组恒等式的证明用到的就两件事情，一个是标量场和矢量场在直角坐标系下的表示，第二个就是悬度、梯度、散度这三种运算在直角坐标系下的表示，大家只要熟记这些基本的定力， 就可以把这两个乘法式证明出来。我们来看下一题。这个算符表示的是先对 r 分 之一这个标量函数求梯度，然后再对它求散度。啊，这个倒三角平方的这个函数，或者说拉普拉斯算符表示的就是这样的一个含义。 所以首先我们要先对 r 分 之一求它的梯度，那么它的梯度呢？我们可以表示为，这个时候呢，我们想 r 代表着是求坐标系下的分量，那么我们可以考虑用求坐标系下的梯度表示。 那么很好的一点呢，是这个函数没有比特方向的分量，也没有 f 方向的分量，它只有 r 方向的分量， 所以它应该可以表示成 r 一 间乘上 r 分 之一这个函数在 r 方向的导数，那它应该表示成负的 r 一 间比上 r 的 平方。那么接下来我要求这个东西的散度了， 我们先不用管这个符号，我们考虑去求这个矢量场的散度，那么它是一个矢量和一个标量的乘积， 那么根据计算公式，它可以表示为它，再加上它，这是散度的运算公式。 接下来我们就分别解决这两部分就可以了。那么对于第一部分而言，我们说 r e 间的散度在求坐标系下的表示，它应该写成我们换一个位置去抄写它 r e 间的散度， 那么他应该表示成，根据计算公式来说，他应该写成这个样子，这是求坐标梯下反作的计算公式。这里边呢，我保留了 ar， 意思就是我带球的这个矢量场在 r 方向上的分量。 好了，这是一个 r 方向单位向量，所以这个分量就是一，那么这个式子经过展开，我们可以得到 它就等于 r 分 之二，那么原式中的第一项就应该写成 r 的 立方分之二。那么后边对于这个式子来说， r 方分之一的梯度，它应该表示成 r 一 间乘上 r 方分之一在 r 方向上的偏导数， 那它等于什么呢？它等于负二倍的 r， 一 间比上 r 的 立方。 好了，那我们给它抄写进去，就是加上 r 一 间点乘上负二倍的 r 一 间比上 r 的 地方。这里我们注意 r 一 间点乘上 r 一 间同方向上的单位是点，乘完就是一，所以这个东西等于零， 我们也就证明了这个式子在 r 不 等于零的时候，它等于零是成立的。好，以上的这两个题呢，主要就是利用了梯度、散度、悬度在直角坐标系下和在求坐标系下的计算方法。 大家可以看到，实际上整个的计算过程并没有任何复杂或者说很绝妙的技巧，其实就是对公式的熟练记忆和熟练应用 啊。希望大家能够把前面我们所提过的这些公式，包括一些计算法则能够比较熟悉的记住。那好，这节课我们就先讲到这里了。

各位同学大家好，我是蚂蚁期末团队的张老师，今天很高兴和大家继续分享有关电磁场与电磁波课程的相关内容。 我们的电磁场与电磁波期末速成课程主要包含以下内容，今天我们来进行有关第六部分十遍电磁场的讲解。 之前呢，我们讨论过静电场和静磁场，在之前的章节中呢，我们相当于把电现象和磁现象当做相互独立的物理现象来研究讨论的。 从这一张开始呢，我们讲的十遍电磁场是研究电磁场随时间变化的问题。在十遍电磁场中呢，电场和磁场是互相依存，互相转化的，因此我们就不能单独对它们分别讨论。 十遍电磁场呢，是整个电磁场与电磁波理论中的核心内容，也是后续微波技术、天线原理这些课程的理论基础。 识别电磁场理论的依据呢，是麦克斯维等科学家总结出的宏观电磁场方程组。从这个基本方程组出发呢，我们还将讨论电场和磁场的波动方程及其解法，还会涉及到电磁场中能量流动和转换关系。 首先我们来说麦克斯维方程组电磁理论的核心基础呢，就是这个麦克斯维方程组。 麦克斯方程组呢，是麦克斯维在总结前人研究成果的基础上提出来的。但是我们必须得说明的是呢，麦克斯维所做出来的贡献绝对不仅仅是简单的规定和汇总，它创造性的提出了问一电流的这样的一个假设， 因为我们呢是期末的突击课程，所以我们直接给出一些结论。 首先是麦克斯维方程组的微分形式和积分形式，这里面呢，我们要着重讲解的就是画红圈的这一项。这一项呢，麦克斯维把它叫做微移电流密度，也就是偏 d 比偏 t， 它跟传导电流具有相同的电流量高，也会产生相同的磁效应。 为一电流的这个重大的意义呢，就是说它结识了变化的电场是磁场的源。 那么我们在前面的静电场部分知道 d 应该等于 epec 零 e 加上 p， 那 么偏 d， p n t 可以 写成 epec 零偏 t 加上偏 p p n t。 好，那么这个式子说明什么呢？在介氏中，微移电流通常是由两部分构成的， 一部分呢是这个 epson 零 p n e p n t。 它所说的是电场随时间的变换会引起微移电流。 这个微电流呢，即使在真空中也是同样存在的，它不代表任何形式的这个电和的运动，它只是在产生磁场的这个磁效应方面呢，跟一般一下的电流是等效的。 那么第二部分呢，是这个偏僻，偏僻 这一部分呢，表示 v 一 电流还可以由极化强度 p 的 变化所引起，它还可以叫做极化电流，它描述的是束缚于原子中的电和的运动。那我们说 整个位移电流这一项，它说明了什么呢？安培环路定律里说明磁场是可以由电流产生的。除此之外呢，后面添加的这一项解释了磁场是可以由脱离于电和以外的电场的变化产生。 那么结合前面我们说到的法拉利电磁感应，这两个式子放在一起，就说明了电场和磁场之间是可以相互激发，相互转化的， 所以 maxc 方程组这一突出性的贡献给人们带来了新的启示， 这是麦克斯一方声组比较值得注意的部分。那么说完微分形式，我们还说积分形式， 可能有同学会好奇，积分形式的麦克斯一方声组和微分形式的麦克斯一方声组有什么区别呢？最大的区别在于，在求积分的时候，我们不要求每一只的连续性， 但是在微分形式里边，我们要求媒质是必须连续的啊，那未来呢，在电子厂的一些数值解法里边，可能会体现出他俩的区别，那么在本科的课程里呢，这两个的区别呢，不是特别的明显。 除此之外呢，还有一组重要的关系叫本购关系。本购关系呢，其实跟静电场，静电场里边学的是一样的，描述的是 d 跟 e 之间的关系， b 跟 h 之间的关系和 j 跟 e 之间的关系。 这些基本公式要求大家能够记住。尽管有一些学校的期末考试可能是开卷考试，但是大家既然学了一次电磁场与电磁波，那么有关麦克斯 a 方程组的一些基本理论还是应该记住。 下面我们来说边界条件，边界条件呢，也是一些偏结论性的东西，要求大家记住。 那么一般的边界条件在一些特殊情况下，会有一些特殊的表示，比如说，如果 一区域是导体，二区域是一般戒指的话，那么我们知道导体的内部是不存在电场或者磁场的，所以呢，整个边界条件就会简化为戒指中的电场、磁场。有这样的表示形式， 那么如果两部分区域都是一般戒指呢，那么它会转换成这样的一个表示形式，大家可以对比一下它的一般形式， 那对于一般戒指而言呢， g s 这一项，也就是面电流密度这一项是不存在的，那么进一步都如果一二都是理想的电戒指呢？ u s 面电核密度这一项也是不存在的，它会变成零啊，这里呢是只有在一和二都是理想电电戒指的时候才会有 u s 等于零啊，一般戒指的时候 u s 是 存在的。 那么在十面电磁场里，有一类我们研究的最多的或者说最简单又最具有普遍性的形式 叫实斜场，所谓实斜场，指的就是电磁场随时间剪斜变化，所谓剪斜变化就是以三角函数的形式变化， 那么它可以写成如下这个样子，那么电场的三个分量都是随着时间剪斜变化的，那么 我们还可以把它写成俯数的十步的形式。那么当我们把 e， g， omega， t 和求十步的符号省去之后呢， 我们进一步的还可以得到俯数形式的 max 方程组。那么这里边呢，还隐藏了一条就是我们在信号系统可能会学过的这个 omega 去代替对时间求导， 我们最终可以得到辅助形式的 max 防尘组。后续的一些公式推导都是基于辅助形式的 max 防尘组完成的。 下面我们来说拨动防尘，我们在前面曾多次指出 max 防尘组呢，它预示了电磁波的存在， 麦克斯方程组的基本形式反映的是电场和磁场之间的关系， 那么同一个场量，比如说电场，它的时空变化是一个怎样的规律呢？那么根据矢量、梯度、散度、旋度的计算公式，我们可以推出矢量波动方程， 电场和磁场分别满足这样的方程。那么结合我们曾经学过的数学物理方法里有关波动方程的一般形式，大家可以对照一下，发现电场和磁场所满足的方程其实跟波动方程的一般形式是非常吻合的。 那么我们说我们可以关注到一般的波动方程中有一个速度的含义的项，对照电场和磁场方程里边对应位置这一项，我们可以推出 v 应该等于这里呢？我们先写 v 等于根号下 mu 电子原子一，这是在一般介质中电磁波的传播速度， 特殊的在真空或者说在空气中，我们会有 v 等于根号下 m 零 epsilon 零分之一，那这个数算完就是我们平时所熟知的那个光速三乘以十的八次方米每秒， 所以说明电磁波在真空或者空气中的速度是这样的规律。 那我们说对于时切场而言呢，我们可以用这 omega 表示对时间的偏导数，那么前面这两组方程就可以转化成这个样子， 那我们说这是在有缘区的波动方程，如果一片区域它是无缘的，那么波动方程就会被改写成这个样子。 我们呢可以设 k 的 平方等于 omega 平方乘以 mu evese null， 那 么方程就可以写成。我以电场为例，就可以写成这个样子， 那么电场和磁场的在无源区的波动方程都可以写成这个样子。那么如果我们考虑一维的标量情况的话，那么一维标量情况所满足的标量波动方程长成这样， 那么它的通解应该是一个余弦函数，因为这里边我们知道 k 的 平方是 omega 方 mu epsilon， 这是我们已知的一个信息，那么它的通解就只能长成正弦函数的形式， 那么长成这样形式的这个标量波，它描述一个什么概念呢？它描述的是沿正 x 方向以光速传播的波， 那么这个里边呢，我们说怎么知道是正 x 方向呢？大家只要记一个简单的规律就行， x 前面是个负号，那说明是以正 x 方向传播的光速呢？ 很好办，我们提一个 omega 出来，就可以把光速找到了。那么这里边呢，我们要提一句光速频率、波长、波数之间的关系，这个在考试中是非常常见的，我们说光速 c， 频率 f， 波长 lamb 的， 它们三个之间有一个成立的关系， c 等于 lamb 乘 f， 那 么波数 k 跟它们之间是什么关系呢？ 波数 k 呢，应该等于 omega 比上 c， 那 这里面的 omega 呢？其实是角频率，也就是二 pi 乘上 f， 那 么把二 pi f 带进来， 然后呢，再把 c 等于 la 的 f 带进去，我们就可以得到波数 k 应该等于二派比上 la 的， 那也就是说波数其实是一个跟频率息息相关的这样的一个量，这组公式大家一定要记住。 下面我们来说十遍电磁场的位函数。十遍电磁场的位函数呢，其实是为了方便我们对波动方程进行求解的一个辅助函数， 比如说我们会引入标量、电位、矢量、磁位等等。那么十遍场中的辅助位函数跟静态场是不同的，主要有两点不同， 第一点呢，时变场的辅助位函数是不具有任何物理意义的，它只是为了我们方便计算引入的一个数学上的量，不像静态场，静态场 词位有词位的意义，电位有电位的意义。那么第二点不同呢，我们知道时变场中电磁场是不可分割的，那么辅助的电位函数和辅助的词位函数之间也是相互关联的， 那么我们在求解的时候会需要设定一些附加的条件，这就是我们后面所会提到的洛伦兹规范。我们来具体复习一下相关的点， 那我们说这个假设，我们只有电流和电和源， 我们根据恒等式，一个使量 a 的 悬度的散度为零，那我们知道 max 方程组里边说 b 的 散度为零，那么我们就可以根据这个恒等式设 b 等于 a 的 悬度， 那么我们可以把这样的一个变量代换代入到麦克斯韦方程组中，得到这样的一个式子，具体的推导大家课下去完成。那么进一步的再根据这样的一个恒等式，我们又可以设这一项 等于某个标量函数的梯度设成这样，那么有了这样的一个假设，我们就可以把 e 给它进行一个变量替换， 同理还有 h 的 方程，我们一样可以进行变量替换，我们就得到了这样的 两个含有辅助位函数的一个方程， 那么我们整理之后发现这个方程仍然是比较复杂的，在求解的时候呢，有一些项不是很好处理， 那么我们为了简化计算，会人为的引入一个附加条件，就叫洛伦兹规范，那什么是洛伦兹规范呢？就是我们人为的令这一项等于零， 那么整个方程就会得到进一步的简化，整理成了这个样子。 那大家有没有发现，经过人为的引入这样的一个洛伦兹规范之后， f 和 a 所满足的方程又长得很像了， 又有点像之前 e 和 h 所满足的那个波动方程了，这就是洛伦兹规范添加进去之后的好处。 那么对于实结场而言呢，我们可以进一步的去进行化简求解， 那么有了辅助位函数，我们就可以用辅助位函数去表示我们要求的磁感强度和我们要求的电场强度，它长成这个样子， 那我们说大家可能有一个问题，为什么可以人为的引入这样一个洛伦兹规范呢？那么辅助谓函数，我们在选的时候其实是有任意性的，怎么说任意性呢？是因为 有了 e 和 b 之后，我们不能唯一的确定 a 和 f。 我们去想这样的一个问题，比如说对于任意一个 a 来说，那 a 再加上一个某一个标量函数的 t 度，那么它跟它 在求完悬度之后，结果其实是相等的。 是，这是因为有这样的一个恒等式的存在，那么这个式子说明一件什么事呢？就是不同的 a， 我 最后得到的 b 可能是一样的，那也就是说，我不管换成一个什么样的标量函数 f， 我 最后都能得到相同的 b， 那 么这是矢量词位， 有这样的关系，那对于标量电位来说也是同样的道理。所以说呢，我们不管怎么改变辅助位函数，我得到的场函数都是不变的，那么这叫规范不变性。 规范不变性告诉我们，既然我很多组的 a 和 f 都可以得到相同的 b， 那 我只要挑一个里边最好算的就可以了，所以里边最好算的一个就是引入洛伦兹规范的那一个， 希望大家呢，能够理解洛伦兹规范为什么要引入，以及为什么可以引入。那么事实上呢，洛伦兹规范并不是唯一的一种规范， 那么除了这样的一种选举方式之外呢？我们还可以选，比如说让 a 的 散度为零， 我们利用这样的一个规范也是可以简化计算的。这个规范叫库伦规范，后面我们会涉及有关库伦规范的题型， 下面我们来说破音题的定律。回顾一下，我们曾经说过，电场和磁场的能量密度分别表示为二分之一 e 的 平方和二分之一 miu h 的 平方， 大家记住，这两个概念马上我们就会用到。那么对于一般的时变场而言呢？我们可以知道 电流密度 g 可以 有如下的表示方式。那么我们带入到这样的一个式子中，经过一系列的化简，我们可以得到这样的一个式子关系。具体的化简过程 各种教材上都有，我们就不赘述了。我们重点来说这样的一个化简结果说明了什么？ 那我们说等号的左侧描述的是什么？描述的是体积微内电磁储能的减少率啊，这里边有一个减少率是因为对时间求导了，为什么是减少率呢？是因为它是个负的啊。那么 体积微内的电子储能减少率，那它去了哪呢？好了，这个式子告诉我们有两部分，一部分呢是耗散掉的热量，怎么去理解这个式子呢？大家想， j 代表电流， e 代表电场， 那么在之前我们学过的欧姆定律里，其实是 i 乘上 u， 那 么这个式子其实代表的是微体积内的能量耗散，那这部分能量去哪了呢？它转化成热量了。 第二部分，我们来说第二部分，它描述的是电磁场通过体积 v 表面 s 向外溢散的部分，那么我们把溢散的这一部分，其中的 e 叉成 h， 用一个新的矢量 s 来表示，这个 s 就 叫泊逸型矢量。那么整个矢子意义还是不变，只是说我们把 e 叉成 h 表示成 s 了之后，这一部分能量，我们管它叫能流密度， 它描述的是什么呢？电磁场储能的减少，要么变成了热，要么都流出去了，只有这两种选择，这就是一般时变场的泊逸型定律。 下面我们来说时界场的泊逸型定律，时界场的泊逸型定律呢，有了一点小小的变化。这里边呢，我们还会定义一个量，叫负数形式的泊逸型矢量。 基于一些公式的推导，我们可以拿到这样的一个表达式，这里边的 s 我 们定义为 e 和 h 共轭的差乘啊，这就是辅助形式的泊以停止量。那么这里边呢，有一些变量，我们稍作解释， omega m 代表着磁场阻能， omega e 代表着电场储能， p 呢？还是代表着热量消耗？我们把这个式子的实部和虚部分开来写，我们发现 对于实部这个式子来说，我们说通过渐变 s 进入到微内的平均功率，为什么是进入呢？这里有个符号，负号 进入的平均功率等于体积内每质的耗散功率。 那么虚部的这个式子说明什么呢？通过界面 s 进入微内的平均无功功率等于体积微内时间平均磁能与电能之差的倍数。 就是说虚部这部分告诉我们无功功率是磁能和电能之间的互相转化， 十步告诉我们平均功率是热量消耗掉的部分，这就是辅助形式的破一型矢量以及时切场的破一型定律。 最后呢，我们再简单提取解的微型定律，这个解的微型定律呢，具体的内容就不给大家念了，那么我唯一想跟大家说的呢，是 证明解的违性定理跟证明静电场的违性定理是一样的，都是用到的反正法，各个教材里都有，请大家自行学习。 下面我们来看一些例题。首先是例题，一是求库伦规范下辅助谓函数所满足的方程。那么这道题呢，得到结论是比较简单的，当我们把这个库伦规范的条件带入之后，我们就可以得到 标量点位，它等于负的肉比上 epsilon， 那 矢量词位 a 呢？它能够满足它？ 好，那我们再说满足了这样的一个方程，它说明了什么呢？ 我们可以根据艾姆霍兹定律，把这给它分解为一部分无旋的和一部分无散的量， 那么我们把无旋的这一部分不妨设为这样的一组式子。 好，那我可以去求一下无旋这部分的表达式，这一部分的表达式应该等于四派分之一体积分，它的散度。 进一步的呢，基于这样的一个表达式，我们是可以把它进行化简的，它等于四派分之一体积分， 我们可以得到它， 在得到它之后呢，我们发现好了，这个东西其实就是负的 epi 比偏 t。 这里具体的推导过程，因为时间的关系，我不给大家具体推导了，里边用到的就是一些悬度、散度的计算公式。那么拿到这样的一个式子之后呢，我们是可以把它带入到这个式子里面，我们可以发现 这一部分式子刚好就是刚才我们说的这个 j 无悬的部分，那也就是说整个这个式子化简完的结果，它应该等于负的缪 j t。 我 换一个颜色让大家看得更清楚，我们得到了这样的一个结论， 那么这一个结论说明什么呢？说明在库伦规范下，矢量词为 a 的 圆是电流密度无散的部分，或者说是横向的电流 啊，这个结论呢，是超出一般电磁场与电磁波的呃范畴的，只是希望给大家一个新的理解方式。 下面我们来说第二题，一个同轴线的内外半径分别为 a 和 b， 我 们来求一下内外导体之间同轴线的传输功率。首先呢，根据流过的电流为 i， 那 么我们可以知道磁场的表达式 应该等于，根据安培定律，它应该是 i 比上二 pi r， 那么根据高斯定律，我们是可以求出电场的表达式的 e r， 它应该等于 u 比上 r 乘以 l， e b 比上 a， 那 么根据我们说， 坡形矢量，也就是能流密度矢量 s 应该等于 e 叉乘 h， 它要等于这两个式子乘起来 u， i 比上二 pi r 的 平方 烙印， b 比上 a， 那 么我们怎么去算功率呢？我们只需要把能流密度在这个环面内进行积分就好了。 那么具体的积分过程我不给大家演示了，它的结果应该等于 u i。 那我们发现一个事情，这个结果其实是我们预想之中的，因为我们在初中去学欧姆定律的时候，功率就等于电压程上电流。但是巧的是，这里的结论我们不是通过电路的理论，而是从电磁场的理论得出来的。 我们发现呢，在整个求解的过程中，积分呢，只是在内外导体之间的部分进行的，没有包括导体的内部。 这说明呢，能量其实并不是在导体内部传输的，它其实是在内外导体之间传输的。 那么对于一些非理想导体来说，我们从通过电路的知识可以知道，非理想导体 sigma 不是 无穷大，那么这个时候呢，会有一部分的功率以热的形式消耗掉了， 那么我们就知道能进入到导体中，也就说这些非理想导体里进入的能量，而是导体耗散掉的能量。 这些结果说明了一件什么事呢？能量的储存者还有传递者都是电磁场， 这里面导体所起的作用，它只是引导电磁波朝着一定的方向，或者说朝着我们指定的方向去传播，所以呢，我们会把它叫做导播系统。 所以这是超出这道题结果本身的一些概念，希望大家能够体会。 下面我们来看第三题。在同一空间中，存在静止电和的静电场和永久磁磁铁的静磁场，证明此时对任意闭合曲面 s 有 这样的一个式子成立， 那么我们对这个式子的证明呢？其实是相对来说，从泊移停定里的物理意义上去思考，那我们说对于静电场和静磁场而言，他们的能量密度是不随时间变化的，那么在这个场中又不存在电流，所以说明 在这个场中又不存在能量的消耗，就没有能量变成了热。那么根据泊逸天定律，电子储能没有变化，也没有能量变成热，所以就不会有能量流动。那么对于任意局面就会有这样的一个式子成立。 我们来看例题四，已知十倍电磁场中的矢量词位，我们怎么样去求对应的电场强度、磁场强度和波形矢量？这里呢？首先我们先求磁感应强度，它等于 a 的 悬度， 进一步的它等于 y 乘上偏 a， x 比上偏 z。 这里大家注意，这个式子表示的是 a 的 x 方向的分量，有这样的一个关系， 那么求出来 b 之后，我们再求 h， 它就等于六分之 b。 那 怎么样去求电场强度呢？我们根据洛伦兹规范，有这样的式子成立， 它等于负的 a 的 散度，那我们说 a 的 散度等于 x 分 量的偏导数，加上 y 分 量的偏导数，加上 z 分 量的偏导数。那我们来观察这个式子，首先它只有 x 分 量，但是这个 x 分 量呢？它对 x 的 偏导数又是什么呢？我们发现这个式子里面 它不随 x 变化，换句话说什么？换句话说偏 a， x 偏 x， 它应该等于零。 所以我们就知道了， a 的 散度应该是为零的，这里边本身 a、 y 和 a、 z 又都不存在，好不容易存在一个 a x， 它又不随 x 变化，所以整体上是为零的。那么这个式子告诉我们 f 它应该是一个常数， 那么我们不妨假设这个常数是零，那么我们就可以求出 e 的 表达式了，它等于它。 那么求出来 e 之后，再用 e 去叉乘 h 啊，这里 h 应该有一个矢量符号，就得到了泊移矢量。具体的计算过程请大家课后完成。 最后我们简单说一下第五题，我们有了电场强度的矢量，怎么样去求磁场强度和泊移矢量呢？ 那么根据麦 c 方程组，我们可以知道， h 它应该等于负的这 omega 零分之一乘上 这个 e 的 悬度，把这个公式带进来就行了。碰见这种题，大家直接带公式就好了。求出来了 h 的 表达式之后呢，接下来我们说平均泊移矢量，它等于什么呢？ 它应该等于二分之一倍的泊逸停矢量，我们说它等于 e 跟 h 共轭的差乘，那么平均泊逸停矢量它应该是这个东西的十步的一半。那么接下来大家把求出来的 h 跟 e 乘在一起做一个差乘，然后取十步就好了。 好了，这节课呢，我们就先讲到这里，时变电磁场这一节呢， 有一部分是公式推导，这里由于时间的原因呢，我们就不细说了，希望大家呢，能够回去对照着自己的教材和讲义，详细地独立地完成一次公式的推导。 除此之外呢，还有一些十遍电磁场有关的结论，在考试的时候呢，更多的会利用这些结论，希望大家能够把该记的结论记得非常牢固，这样有利于大家做题的准确性和速度。

学习物理啊，最好的方法不是大量上题，而是一题多解，一题多变，抓住典型例题，寻找多种解决方法啊，你还可以改变已知条件，进行多方面的分析讨论，这样的话呢，不仅能够 让你找到正确的解决方法，而且呢还能够锻炼你的思维，学习物理啊，就像开了窍一样简单。 那么刘老师今天通过一道典型例题，让你学会什么是一举多解，一举多变，请看例题。一个绝缘的光滑的足够长的鞋面倾角为二十八， 空间呢，还有一个垂直板面相底的云上磁场，磁感应路为 b， 一个质量是 m， 带压为 q 的 滑块在鞋面上由静止释放，求这个滑块在鞋面上滑行的最大距离。 这是一个磁场中的力学问题。其实我们前面说过，学磁场其实就是学力学 m 的 轴长。首先要对滑块进行受力分析，重力弹力没有摩擦力，那么它一旦滑动起来之后呢，根据左手定则，还有一个垂直斜面向上的落力之力， 我们把重力进行正格分解，分解成一个沿斜面向下的分力 mg 三角八，垂直斜面的分力 mg 扣三角八，我们发现呢，垂直斜面方向上一定是平衡的，那么 mg 三角八呢，就是合力， 合力是一个横力，我们就可以分析出这个滑块呢，在斜面上做一个匀加速直线运动， m g 三弦法是合力等于 m a 约掉 m， 我 们可以说出 a， 那 么他为什么会问，在鞋面上滑这个最大距离呢？他一直加速往下滑，怎么会有最大距离呢？我们再看垂直斜面方向上， 随着速度微的增加，洛伦兹力会越来越大，那么鞋面的支持力会越来越小啊，我们可以想到了，当这个支持力减到零的时候， 它是就要离开鞋面了，飞起来了，它并不是停在鞋面上，而是离开鞋面了。那么此时的话呢？根据洛伦兹力等于 m g cosine 尔法，我们可以说出来，它离开鞋面时的瞬时速度 v 就 等于 m g cosine 尔法。比上特力 知道了加速度，又知道了末速度，根据运动线公式，竖方差这个末速的平方减速速平方等于二十 x， 可以 数出这个最大的距离 x， 那 么用能量的话，你都可以啊，动能定律照样可以啊， 从开始到过程的回归，只有重力做功，重力做功， m g x 三幺八啊，等于末动能二分之一微方减出动能点也推出来 x， 这是能量的观点，那么动能的观点呢？总可以啊， 我知道了末动量，然后还知道了合力，合力的冲量等于动量的变化，是不是可以说出时间，说出时间的话呢？回过头来再用运动的公式 x 的 二分之一地方是不是也可以说出 x， 这叫一题多解。 那么什么是一体多变呢？我们可以加条件呢？如果鞋面不光滑，他还会不会离开鞋面？离开鞋面最大伤口还是不是这个值，那个四大区域还能不能求？这都可以进行讨论。 这个鞋面你要可以换成一个杆得怎么样？鞋面换成杆完后，换成是一个圆环套在杆上，杆光滑和杆不光滑都可以进行讨论 啊，我们还可以怎么办呢？还可以改变磁场的方向吗？这都可以进行讨论，这样的话呢？通过这么一道例题就掌握了这一类题型，一题多变，一题多解，赶紧回去试试啊。