大物热力学基础思维导图

终于最后一章路热力学基础，这章的有两个必考题型，两个乘考题型，还有一个少考题型。我们先来看这个题型一，非特殊过程的功， 也就是不是等温、等压、等融、绝热这样的特殊过程。那么通常这类题呢，会给我们一个图像或者一个函数表达式，让我们来求作功。一摩尔理想气体的图像， ab 是 直线， 然后延长线的过这个圆点 o， 求这个过程气体对外做功。如果是 p v 就 好慢，对吧？ p v 的 话，那直接就是这个面积，那所以这个 p v 的 话，你就不能那么算，那就老老实实的写这个公式， 那为了能够求这个积分呢，我们需要把这个背记函数 p 啊转化成含 v 的 一个表达式才行。怎么转呢？我们有两个线索啊，一个是这个图像，它给出了 t 跟 v 的 关系， 另外一个线索就是我们常用的理想气体状态方程来转换。我们先把这个关系式写出来，贝壳一看图就知道是 t， 等于斜率是 t 零除以二倍为零， 然后这是 e 摩尔的理想气体，那所以理想气体状态方程里边这个前边的 new 呢？等于一就不用写了， r t 好， 这两个一连立就能把这个 t 等于多少多少 v 带到这个 t 里边，那最后这个表达式里边就只有 p 和 v， 哎，我们发现这是个常数，那把这个常数带进去，其实都不用算这个积分了，那这个常数提出来，剩下的就仅仅是对 d v 积分，那就是 v 上下限做差，那这两个分别是二 v 零和 v 零，减完是一个 v 零，跟这个分母一消， 最后是二分之 r p 零好看。第二题，某理想气体的过程方程是这样的一个奇怪的函数， a 是 长数，然后体型呢？是从 v 一 膨胀到 v 二，求做功。 这个题更简单了，因为 p v 的 表达式已经给出来了，所以这个 p 会等于多少 v 呢？这样对吧？ 长竖向提出来 v 方分之一，求积分的结果是 o 的 v 分 之一吧。 好，最后是 a 方， v 一 分之一减去 v 二分之一。

好，那我们下面来到大学物理热学的第二个部分是热力学定律，那这个部分呢，我们是从宏观的角度来研究气体，那在这里呢，我们讲到的主要内容就是热力学第一定律，然后第二定律呢，我们只是简单的介绍一些概念。 在讲热力学第一定律之前呢，我们先来铺垫一个概念，叫做准静态过程。一个热力学系统，也就是一团气体，它从一个状态变化到另一个状态，我们称为过程，而完成这个过程的具体方法我们称为途径。 而这个准静态过程呢，是说在这个变化的过程当中，每一个状态都是无限接近于平衡状态的，这样一个过程叫做准静态过程。那我们在大学物理当中呢，描述的都是准静态过程了， 我们想要改变一个系统的状态有哪些方法呢？有两种方法，一种方法是做工，一种方法是传热，那么这两种方法可以改变系统，那么这两个因素呢，就是热力学第一定律当中的最重要的两个因素了。那在这里呢，有一些注意事项，就是我们说这个气体从一个状态变化到另一个状态嘛， 那么我们上一章所说到的这个压缩啊，体积啊，温度啊，内能啊，都是属于状态量，它的变化是和具体途径无关的， 而这个做工和这个传热是过程量，你具体是怎么变过来的，对于这个做工和传热是会有影响的，它是和具体途径有关的， 这个概念呢，稍微知道一下就行了。我们下面的重点来说，这个热力学第一定律，它的表达式和它的计算 热力学第一定律可能和大家高中的这个写法稍微有点不太一样，但是其实描述的是同一个内容啊， q 等于 delta e 加上 w， q 呢表示热量的收放，然后 delta e 呢表示内能的增减，而这个 w 呢表示气体所做的功。 其中这个内能的变化没有什么好说的，我们说这个内能，它应该是等于二分之 i 乘以 new r t， 或者呢是等于二分之 i 乘以 p v 的。 所以你如果是从温度这个角度来讲的话呢，那么温度的变化是和内能变化成正比的，它的比例系数就是二分之 i 乘以六 r 了，升温是正，降温是负，这是内能变化，应该是好算的。 所以下面我们要研究的就是这个功和这个热量怎么去算呢？首先这个功 w 它就等于 p v 图像下方的这样一个面积，比如说呢，我们是从这样一个状态给变到这样一个状态，然后它的途径呢，是沿着这条曲线变过来的，那么整个做工呢，就是它下方的这个面积了， 但是这个变化的过程呢，可能是从左到右，也可能是从右到左的，我们从左到右就是这个 v， 从小到大，我们把这个 w 呢是继承是正数，而反过来呢，这个下面的面积我们是继承一个负数，也就是膨胀既为正，压缩既为负。 那么如果我们不是用这种直观的方式，我们给它写成数学表达式呢？那么面积当然就是应该做积分了，我们是对这个 p、 d、 v 来做积分，如果说 p 和 v 之间的关系你是知道的，那么给带进去就没有问题了， 而如果说这个 p 还是一个常数的话，那么就直接用 p 乘以它 v 就 可以求出它做工的大小了啊，这个正负呢，稍微需要给它记一下，就是你结合图形来记，应该是比较明确的。 好，下面我们再来说热量，热量呢，我们有两种情况可以给它得出来，一种是体积不变的情况，一种是加强不变的情况，那么这个热量呢，它的表达式等于 c 讷，德塔 t， 这个 c 是 热熔，然后讷是它的物质的量，而德塔 t 呢，是它温度的变化。如果说体积是不变的，那么我们这里用到的热熔就应该是定体摩尔热熔，它的表达式是二分之 i 乘以 r， 体积不变，二分之 i 乘以 r。 而如果你的压强是不变的，那么我们这里要用另外一个热容量定压摩尔热容，那么它的表达是二分之 i 加二乘以 r 定压摩尔热容比定体摩尔热容呢要大一点，这个得记住，而他们两个的比叫做比热容比 i 分 之 i 加二，还记得 i 等于多少吗？你分为单原子，双原子，那么这 i 的 取值呢？分别是三、五、六。 好，我们这样的话功热量和内能的变化我们都知道了，那么这样我们就可以用热力学定律去求出我们想要求解的东西了。好，下面我们用两个例题来应用一下热力学第一定律， 一，摩尔双原子理想气体，你看到双原子理想气体，你就先写上 a 等于五，这个是得一分的，从三百开升温到三百五十开，分别在等体、等压、绝热这三种条件下求这个过程当中吸收的热量，增加的内能和对外所做的功。 好，我们先来求这个等体过程吧，对于等体过程来讲，它的体积是不变的，而我们刚才说这个功是什么？ p v 图像下方的面积， 如果说你这个 v 都不变的话，它既不膨胀也不压缩，你说它的功是多少啊？功应该是零啊，等体过程它的功是零。另外这个吸收的热量我们也是有公式的，我们用定体摩尔热熔，应该是二分之五，那就是二分之五 r， 然后呢，乘以 n， 乘以德法 t， 我 们就可以求出它吸收的热量了。这里吸热是正放热是负啊，正负号也需要来记一下， 那我们把相关的数据给带进去，这个 r 是 八点三一四，反正考试的时候会给你了，然后你带进去呢，得到的结果是等于一千零三十九焦耳。 好，那么对于这种情况呢，工是好求的，热量是好求的，根据热力学第一定律，你是不是直接可以把它的这个增加的内能给它求出来了，增加的内能呢？自然也是一千零三十九焦耳了。 而如果说你不用热力学第一定律，其实你也可以直接根据这个升温来求出它的内能增量，它的内能增量就等于二分之 i n o r d r t 啊，所以你就直接给它带进来二分之五 n o r d， r t， 它也是等于一千零三十九焦。这两种方法呢，都是可以的。 好，我们下面再来看第二种条件，等压的条件。那如果是等压的条件，其实热量仍然是好求的，但这里用的不是定体摩尔热熔，应该是定压摩尔热熔了，那就是二分之 i 加二，那应该是二分之七 r， 然后乘讷乘得它 t， 那同样的也是把相应的数值给它带进去呢，是等于一千四百五十五交二，然后看看还有什么能求这个内能的变化，我们刚才不是已经求过了吗？二分之 i 乘以六 r 得俩 t 嘛，所以它肯定是等于二分之五六 r 得俩 t 的， 跟刚才求出来的结果是一样的，它等于一千零三十九交二， 那么这个热量和内能之间的差值是什么？差值就是所做的功了，所以说这个功呢，我们就可以用热力学第一定律给它求出来，它应该是等于 q 减去得它 e， 然后我们会发现呢，它应该是等于四百一十六焦耳等， 那在这里呢，做工其实也有另外的求法，我们说做工它应该是等于 p v 图像下方的面积嘛，但是你是一个等压变化的话，那么它其实这个变化就是一个矩形的变化，那它下方的面积呢？你就直接用 p 乘以这个单调 v 就 可以了。 而我们再根据 p v 是 等于 new r t 的， 那么在这个过程当中呢， new 和 r 是 不会变，因此这个 p delta v 呢，就等于 new r 乘以 delta t， 用这种方法同样是可以得到一样的结果，也是四百一十六焦耳。 好，最后我们看绝热条件，那所谓绝热条件就是没有这个热量的收放，因此呢，我们就可以直接写出吸收的热量，它肯定是等于零的， 然后增加的内能呢？还是根据这个表达式来算二分之五 new r delta t， 因为这个内能，它是一个状态量，无论你怎么变，它只和温度是有关的，它还是等于一千零三十九焦，而 然后这个对外做功这个绝热条件呢？对外做功倒也不是不能算，但是比较难算一点，通过热力学第一定律是更简单的，我们这里会发现 q 如果是等于零的话，那么这个 delta e 和 w 应该是互为相反数，所以说对外做的功呢，就应该是负一千零三十九焦耳了， 这表示呢，应该是外界对这个气体来做工，这个气体呢是一个压缩的情况。好，那么通过这道题呢，我们就在不同的条件下来应用了一下热力学第一定律。 好，那我们下面呢再给一个例题，这个例题呢，也是考试当中常见的一种题型，就是会给你一个图像，然后来问你在各个过程当中，它是如何来变化的？ 比热容比伽马等于一点四的一个理想气体进行如图的循环比热容比是什么东西？它是 i 加二除以 i， 那 么它等于一点四的话呢，用口算，你也应该知道 i 是 等于五的，所以这是一个双原子分子的理想气体。 呃，状态 a 的 温度是三百开，知道，那么对于这个状态 a 来讲，它的温度，压强，体积都是知道的，因此呢，我们可以直接来根据这个 p v 等于六 r t， 我 们就可以求出呢，这个物质的量是等于零点三二摩尔的。 然后另外呢，根据理想气体状态方程， p v b t p v b t p v b t 都是要相等的，因此呢，也比较容易求出这个 b 点，它的温度呢是两百二十五开，然后 c 点，它的温度呢，是等于七十五开。 好，第二个问，让你求各个过程当中气体对外所做的功，那做功我们说是什么？应该是 p v 图像下方的面积，所以你看从 a 到 b 的 这样一个过程当中， 它既不是等加变化，也不是等体变化，它也不是什么有规律的变化，但是呢，它下方的面积就是一个梯形的面积，那这个面积应该是挺好求的，上底加下底乘以高除以二，那么这个 部分它所做的功呢，就应该是，呃，四百加上一百乘以高是多少？高是六减二等于四，然后再除以二，那我们得到呢， 这个梯形的面积是一千交，而然后看一下正符号，膨胀是正数。好，然后我们再看 b 到 c 过程当中做多少功。 b 到 c 呢，它图像下方的面积就是一个矩形面积呢，应该是很好求的， 长是四，宽是一百了，那么它的面积呢，就应该是四百交，而然后注意一下正符号，它是压缩，应该是取符号的，然后看 c 到 a， c 到 a， 它的体积根本就不变，这条竖线下方有什么面积呢？没有面积，因此它做工是零。 好，第三个问，整个循环气体对外做的总功是多少？那三个阶段做的功你都知道了，所以做的总功呢，就是六百焦，其实你稍微验证一下，应该知道，这个总功呢，就是这样一个三角形，它围成的面积， 然后让你求吸收的总热量。其实你应该想到什么呢？它转一圈回来，如果原来是 a 点，你转了一圈之后还是 a 点，你的内能没有变化呀？因此呢，我们根据这个热力学第一定律， q 等于德塔 e 加上 w， 那么这里 w 是 六百焦耳，然后你的德卡 e 是 多少？你德卡 e 是 零啊，因此你在整个过程当中吸收的总热量应该是多少？就是 w 加德卡 e 应该是等于六百焦耳。等，这就是整个过程当中它吸收的总热量。然后我们再用第四个问求各个过程吸收的热量。 呃，你看 b 到 c， 它是一个等压的过程， a 到 c 呢，它是一个等体的过程， 所以这两个过程你应该是好求的。我们的 q 呢，它是有公式，它是等于 c， m 乘以 new 乘以加 t 的， 然后 a 到 b， 这不是我们学过的东西，所以你没有办法用公式去算，因此我们先算这两个能算的。你先看 b 到 c， b 到 c 呢，它的温度是一个降温的过程，所以它不是吸热，它是放热， 那么它放了多少热呢？这是一个等压过程，所以你要用定压摩尔热熔。这个 q 呢，是要等于二分之 i 加二 r， 然后乘以 new 乘以德塔 t 的。 呃，这个 i 呢是五，然后德塔 t 呢，是用七十五减去两百二十五了。那这样的话呢，我们可以求出，在这个过程呢，应该是放热一千四百加二，它是一个负数， 然后我们再从 c 到 ac 到 a 是 升温过程了，所以它是吸热的。那在这里呢，我们应该用的是定体摩尔热容，它是等于二分之 i 乘以 r， 然后 new 代替它 t 的。 那我们把数据带入进去呢，它应该是等于一千五百加二。 最后我们再处理这个 a 到 b 的 问题， a 到 b， 你 直接求，没法求，但是你已经知道总热量是六百了，所以你就可以知道 q a 到 b， 你再加上 b 到 c， 这是负一千四，再加上 c 到 a， 一 千五，转一圈，转一圈，总的热量是多少啊？六百呀， 因此呢，我们就可以把这个 q a b 给它解出来了， q a b 呢，应该是等于五百加二的。那通过这道题目呢，大家应该学会， 如果你看到一个图形的话，首先你去识别每一个过程是一个怎样的过程，然后让你求这个做工，还是求吸热，还是求内能的变化，你看你知道哪些信息，哪些东西好求，如果不好求的话呢， 我们可能用热力学第一定律，或者我们用总的减去其他好求的来得到这个不好求的量。好，那在这里呢，热力学第一定律，它在不同的特殊过程下具是具有一个怎样的特征？我们是需要来进行一个整理的， 我们对于四种特殊的等值过程，你需要知道如何来进行简化。对于等体过程来讲， v 是 不变的， 如果你的 v 不 变的话，那么它是不会做功的。这里做功呢，不同的教材可能写成不一样的字母了，有的写 a， 有 的写 w 呢，反正它的做功肯定是零。然后它的热量呢，我们是有公式的，定体摩尔热熔是二分之 i 乘以 r， 所以 它的热量是这样的一个表达式。 然后内能的变化，无论你是怎样的过程，因为内能是一个状态量，所以说内能的变化永远他就等于这样的一个表达式。那么对于整体过程来讲，因为做工是零，所以说呢，热力学第一定律那个做工你就不用写了。 然后我们再来看这个等压过程，等压过程的不变量是谁啊？是加强不变热量，同样是有公式的，这公式得记。然后内能的变化呢？和刚才是一样。做工呢， 因为你是对 p d v 来做积分嘛，但是因为它 p 不 变， p 是 一个常数，所以你就直接用 p 乘以这个啊，体积的变化就可以了。而这个热力学第一定律的简化形式呢，我们在后面是加上了一项 p 的 它 v， 然后我们下面再来看这个焗热过程吧。焗热过程之前是有看过的，谁是零呢？热量是零，焗热过程就是不吸热，不放热。 那么这样的话呢，热力学第一定律，它是有一个简化形式，零是等于得它 e 加上 a 的， 那么得它 e 这个东西好求，对吧？所以说呢，你先求出得它 e， 那 么这 a 自然也就出来了。 但有的时候呢，它可能不告诉你，不告诉你，你得知道焗热过程有一个不变量，这个不变量是 p v 的 伽马，次方伽马，还记得是啥吗？比热容比它等于 i 加二除以 i， 一般来讲不会考了，但是一旦考到的话，这东西能算，能算的话呢，你就现场对这个东西来做一个积分就行了。然后最后再来说这个等温过程，这个等温过程呢，就有点麻烦，这个过程当中谁是不变的呀？ t 是 不变的，温度不变，那温度不变的话，内能就不会变。因此这个热力学第一定律简化形式呢，就是 q 等于 a， 但在这个过程当中，你说他的热量变化会是零吗？热量变化不会是零，但是这个热量呢，我们又没有现成的公式可以用，所以说你只能用热力学第一定律，把这个做工给求出来，你才能知道他的这个热量的变化是多少。那这个做工怎么求呢？ 我们说这个 p v 等于六 r t 嘛，如果说你是等温过程的话， t 不 变，然后 r 也不会变，对于一团气体来讲，物质量也不会变，那么这个 p v 它就是一个常数了，因此呢，我们把它带入到这个 p d v 当中，我们假设说这个常数多少个 c 吧，我们就随便设一个了啊， 那么这个 p 它就会等于 v 分 之 c， 我 们对这个东西来求积分的话，那么积分的结果呢，就应该是等于 c 乘以零 v， 那 如果说你是从 v 一 变成 v 二的话，你再把它带进来，从 v 一 变到 v 二，那么你再带进去，然后这个 c 不是 等于 new r t 吗？然后你再稍作整理，你就可以得到这样的一个呃表达式了。这表达式没必要背， 因为刚才这个推导过程应该是挺好推导的，你如果听懂了的话，那么你在考场上呢，就现场的把这些该带进去的数全都给带进去，然后再来积分来记，做一个计算就没有问题了。 呃，然后这里呢，需要注意的是有一个特殊的过程，就是气体的绝热自由膨胀，这是个啥过程呢？这是一个容器，然后你用挡板给它分开，左边可能是有气体的，但是右边是真空， 这个时候你如果把这个挡板一给抽出来的话，左边的气体呢，是会扩散到右边去的，但是这个扩散的过程当中，你要注意他不做功，也不传热，内能是不会变的， 也就是说热力学第一定律当中的三个要素，热量，然后内能变化，还有这个做工全都是零啊，这种特殊的情况呢，你是需要把它记住的。 好，那我们下面呢，就利用一道例题来说明一下这个等值过程要如何来进行处理吧。啊。漆缸内成有一摩尔，温度二十七摄氏度，看见摄氏度就马上给他换成是热力学温度加上二七三点一五，那 不精确的话，你就直接加二七三了。然后压强是一个大气压，你得知道一个大气压是多少帕斯卡呀，大概是等于十到五次放帕斯卡，你带这个值就行了， 首先使它等压膨胀为原来的二倍，然后再等体升压，使压墙变成两个大气压，最后呢，使它等温膨胀到压墙是一个大气压， 然后求氮气在全过程当中对外做的攻吸的热和内能的变化，其实内能的变化都挺好求的，因为内能的变化就是等于二分之 i 乘以讴而得大 t 嘛， 这个表达式是永远不会变的，这是一个氮气，氮气 n 二的话是一个双原子分子，所以这里的 i 是 五，然后这个德尔 t 你 是需要求一下的，一开始的时候温度是三百开，也就是这温度是三百开，你用理想气体状态方程 p v 等于六 r t， 那 一开始的时候呢，温度是三百开，你把这个体积变成两倍了的话，体积变成两倍，那么温度是不是也变成两倍了，因此在一这里呢，它的温度应该是六百开， 然后呢你再给它 p 也变成两倍，那它的温度就再变两倍了，它是一千两百开，那最后呢，是一个等温膨胀，最后等温膨胀这个过程呢，它还是一千两百开不变。 那么这样的话呢，每一个过程的温度变化其实你都知道，所以在整个过程当中，这个内能的变化应该是比较明确的。二分之五 new r 德拉 t， 最后是一千两百开，然后一开始的话呢，三百开， 然后六是一，然后二十八点三，一四会给你的，然后你把这些数值全部都带进去，你就可以求出整个过程当中内能的变化呢应该是，呃，一万八千七百焦左右。 好，下面我们再来求这个对外做工和吸热的问题。这个对外做工和吸热就不是状态量了，他和这个具体的途径是有关系的，所以你就得一个一个求。呃，咱们先求谁呢？先求做工吧，做工等于什么呀？做工不就等于他下方的这个面积吗？ 首先看第一个过程，这个面积呢应该是好求的，它就等于 p 乘以德塔 v， p 乘以德塔 v， 而根据理想气体状态方程，在这个过程当中呢，这个 p 是 不变的，然后右边呢，也只有 t 能变，那么它就等于 u r 乘以德塔 t， 这是理想气体状态方程给推出来的。那我们把这些数值呢都给带进去，应该是等于两千五百角二的，这是第一个过程的这样一个面积， 然后你再看第二个过程，它是等体过程，等体过程的话，这个 p v 图形是数值的，所以它做工是零，你不用管了。然后呢，我们还需要看到 这个等温过程它所做的工是多少，那等温过程它就需要求出这个下方的面积了。那么这个图形是一个什么图形呢？是一条曲线， 它其实是一个反比例函数的图像，因为等温过程 t 不 变嘛，所以 p v 等于六 r t， 它右边是一个定值，所以说这条图像它的解析是 p， 应该是等于六 r t 除以 v 的。 那么你要想求它下方的面积，其实就是应该从 v 一 积到 v d v， 那 么积分的结果呢？自然六 r t， 然后浪 v 从 v 一 到 v 二，那就应该是六 r t， 然后来乘以 long v 二减 long v 一， 那应该是等于 long v 二比 v 一， 那么变化之后的这个体积是四 v 零，变化之前是二 v 零，所以说呢，这个体积比应该是等于二，因此它就等于二倍的 new r t， 这个 t 是 一千两百开，已经求过了，然后 new 和 r 呢，都是已知量，所以在这里呢，我们就可以求出它做工的大小 是等于六千九百一十五交耳的，所以说做的总共那就是两千五百交耳，加上这个六九一五交耳，大概呢应该是等于九四一五交耳的。 最后呢，你在求整个过程当中吸的热，你当然可以一段一段来求，但是其实没必要了，整个过程内能变化知道了，做工知道了，那对你整个过程我们就可以用热力学第一定律 q 是 等于德塔 e 加 a 的， 那么加完的结果等于多少呢？是等于二八一一五加二，这就是它在整个过程当中所起的热流。 好，那我们下面呢来说到一个特殊的过程，是循环过程，也就是说这个状态转一圈又回到了原来的状态，那么这样的话呢，它在 p v 图线上会对应一个闭合的曲线，并且呢循环一周内能肯定是相等的，循环一周内能呢是不会变化的， 因此呢，根据这个热力学第一定律， q 就是 要等于 w 的， 但是在转一圈的过程当中呢，有的时候是吸热，有的时候是放热，那么我们给它展开的话， 吸热减放热就要等于这样的一个做功的情况了，那么具体做了多少功呢？这个做功的大小等于这个闭合曲线的面积， 那根据这个转的方向不同，我们有的时候呢制成的叫热积，有的时候制成的是冷积，如果是一个热积呢，通常是我们想要吸收一些热量，把这些热量转化为功，但是呢不可能全部转化为功，他还要放出一部分的热量。 所以无论你是根据热力学第一定律，还是你通过看图你都知道啊，吸热减去放热，那么剩下的部分呢就是功。那对于一个热机来讲，我们是希望它做的功越多越好，吸的热越少越好，所以这个热循环的效率呢，就是用 w 除以吸的热， 然后再考虑到这个吸热和放热与这个做工的关系，那么他也可以等于一减去放热除以吸热，这个热循环呢考的会比较多一点。然后冷循环呢，其实就是反过来， 在这个过程当中呢，他做工是一个负数，那么他的绝对值呢，就是等于放热减去吸热了，这个时候呢是吸了一部分热，然后呢又做了一部分功，最后呢把这些热全都给放出去了， 所以说制冷系数呢，是用吸热除以这个 w， 所以 跟我们上面这个热循环的效率呢，是一个倒数的关系。好，我们来看一个循环过程的例题吧。如图所示， abcda 是 伊摩尔单原子分子理想气体，这里 i 等于三了啊 的一个循环过程。第一个问，气体循环一次在吸热过程中从外界吸收了多少热量？那你得看明白，在这个过程当中，哪是吸热的，哪是放热的。咱们先看 ab 和 cd 吧， ab 是 往上走， cd 是 往下走， 这个过程都是等体过程。等体过程的话，做功嘛？不做功，所以不做功。 w 如果等于零的话，那么热力学第一定律就会变成 q 等于多少？ e， 只要这个内能是增加了的话，它就是吸热，内能，如果是减小，它就是放热了，那我们这里要求吸热，吸热的话，内能应该要增大，内能增大，也就是说这个温度是要增大的，那么从哪到哪温度增大呢？从下到上，温度是增大的啊，所以 a 到 b 的 这个过程是吸热的， 那么吸了多少热呢？ q 是 等于 delta e， 而 delta e 我 们有公式应该是二分之 i new r delta t 的， 那在这里呢？温度没有给我们，其实你有两种思路，它的这个压强和体积都给你了，温度肯定能求你，先求出来再盖呗。 那如果说你的思路可以比较灵活的话，你知道 p v 等于零二 t， 那 么在这个过程当中谁是定值啊？ v 是 定值，所以说这个压强的变化，那就是这边温度的变化，它就可以等于二分之 i 乘以德塔 p， 再乘以这个 v， 然后这样的话呢，我们就很容易给它带进去了。 a 到 b 过程吸热呢，大概是等于三百焦耳等，那 c 到 d 自然就是放热了，这个东西没有让我们求 好。然后呢，我们再来看另外的两个过程，是 b c 和 d a 这两个过程，这两个过程呢，是等压过程，等压过程的话呢，我们知道 w 是 等于 p 乘以德卡 v 的， 那么这样的话呢，热力学第一定律你就没有办法化简了。 而从 b 到 c 的 过程当中呢，你会发现它做工是一个正数，而内能的变化是正数还是负数，也是一个正数，所以从 b 到 c 右边的两项全是正数，那你说这个 q 是 不是也是正数，那么就说明从 b 到 c 的 过程呢，应该是吸热的过程了。 那么这是一个等压过程，吸收了多少热量呢？我们可以直接用等压摩尔热容来做等压摩尔热容，还记得等于多少吗？二分之 i 加二乘以讷得它 t， 那么同样这里 delta t 也是没有给我们，你也可以先算再说，但是呢，你也可以思路更加灵活一点。在这里呢，我们 p v 等于 new r t 谁不变啊？这个 p 是 不变的， 因此左边只有 v 在 变，右边只有 t 在 变，那么这个 new r delta t 就 要等于 p delta v， 它就等于二分之 i 加二乘以 p 乘以 delta v， 然后把相应的数值呢全都给带进来，我们就可以求出它的这个 吸收的热量呢，应该是五百焦耳，所以说一共吸了多少热呢？ q c 就是 应该等于八百焦耳了。 好，然后看第二个问，第二个问问你，气体循环一次对外做的净功是多少？我们之前已经说过了，循环过程做的总共就是这个闭合图形的面积，而这个面积又是个矩形，那非常好算了， 这条边三减二，然后这里还有一个乘以十的负三，然后这条边呢，二减一，这里还有一个乘以十的五次方，那么这样一乘的话呢，我就知道他对外做了一百焦耳的功。 最后呢，让我们求热循环效率，那么热循环效率呢？公式已经摆在这边了，你直接带进来就行了。 w 除以 q c， 那 么是等于百分之十二点五的。一般来讲呢，这个热循环效率都不会太高，你求出的都应该是一个比较小的数值。 对于一个热机来讲，我们当然是希望它的这个热循环效率越高越好，但是这个热循环效率呢，它是有极限的，它不可能无限制的高。 热循环效率最高的一种热机呢，我们称为卡诺热机。这个卡诺热机是如何来形成的呢？它是由等温过程和绝热过程组成的。具体而言呢，某一个公制，它只和两个恒温热源交换热量， 因为在这个过程当中只涉及到等温过程和焗热过程，所以你算肯定是能算的。但在这里呢，我也不帮大家推了。对于卡木热机来讲，有一个非常简化的公式，它的热循环效率以它直接等于一减去 t 二除以 t 一， 其中呢， t 二是那个比较低温的热源， t 一 是那个比较高温的热源， 你直接把两个热源的温度就是这个等温线，这两个温度给他带进去，就可以求出他热循环的效率了。然后制冷系数呢，我就放在这边了，一般考的比较少，一般考都是以热机为主。 好，那我们下面来看一个填空题，这题其实挺简单的，一个卡诺热机低温热源二十七，那我们立刻给他换算成是三百开低温热源。我刚才说 t 二是吧， t 二等于三百开， 然后热机效率是百分之四十，那就是一，它等于一减去 t 二比 t 一 是等于百分之四十的，那么这里 t 一 就是高温热源，温度是不是直接就求出来了呀？应该是等于五百开。 好，现在想将热机的效率变成百分之五十，那这变成百分之五十了，低温热源保持不变还是三百开，那你说高温热源应该变成多少啊？高温热源应该是变成六百开，那么它的温度应该增加一百开。 如果考到卡诺热级的话，你要想到你直接用这样一个简化的公式来做题就可以了。 好，最后呢，我们来简单的介绍热力学第二定律，因为考到这里呢，就是概念性的选择题，不会有计算的问题了。热力学第二定律有两种表述，一种是凯尔文表述，一种克劳修斯表述。都需要知道，凯尔文表述是说其唯一效果是热量全部转变为功的过程，是不可能的， 也就是说你不可能有一个过程是只吸热，吸热完事之后只做功，而不产生其他的影响。我们刚才所看到的热机，你都要放热的， 所以在这里呢，就告诉你，不可能让热量全部变为功，而不产生其他的影响。那么克劳修斯表述呢，是说热量不可能自动的从低温物体传向高温物体。 如果说一个低温，一个高温，那么把他们俩接触之后自发的方向是怎样的呢？热量肯定是从高温的物体传到低温的物体。因此呢，我们说其实热力学第二定律，它所说的是一个热力学过程方向性的表述。 那么如果我们从微观的角度来看呢，热力学第二定律也可以表述成是伤增原理。我们说孤立系统内一切过程，伤都是不会减小的。那具体而言呢，如果是一个可逆过程， 我从 a 可以 到 b， b 也可以到 a 的 话，那么 a 到 b 不 能减少， b 到 a 也不能减少，那么这个时候它的商变得来 s 必须是等于零啊， s 表示的是商得来 s 就是 商变，那么这个商既不能增，也不能减得来 s 就 等于零。 而如果是一个不可逆过程，就是自然界当中发生的自然过程，那么这个商一定是要增加了，它连等于零的可能性都没有。 那么商增原理它有什么样的统计意义呢？就是在一个孤立系统内部，它自发的进行的一个过程当中，一定是从热力学概率小的宏观态向热力学概率大的宏观态来过渡的，也就是我们平时所说的混乱程度增大的一个方向。 那我们下面呢，就用两个例子来说明一下这个热力学第二定律的概念题。有一个绝热容器被隔板分成两半，一半是真空，一半是理想气体。哎，我们刚才是不是说到了这样一个模型，给他抄完之后，膨胀， 第一不做功，第二不吸热，第三内能不变。所以说达到平衡之后，你说温度要变化吗？他内能如果不变的话，温度一定是不变的，温度是不变的， 但是伤是不是要变化？我们说是混乱程度的变化吗？你把这个隔板抽出去之后，这些气体还会乖乖的待在原来的这个位置上吗？并不会啊，它会扩散啊，那么扩散了之后整个状态， 那么扩散了之后，整个状态它的混乱程度一定是提高了的。因此我们可以说呢，它的伤应该是增加，而不会是不变。或者我们也可以从另外的角度， 利用商增原理的角度来进行解释，这是一个不可逆的过程吧，你把这个气体扩散到整个容器里面，他们还会自发的给它变回去吗？是变不回去的。因此在这个过程当中呢，这是一个不可逆的过程，不可逆商就是要增加的。 我们再来看第二个例子，根据热学第二定律来判断下列哪种说法是正确的。 a 热量能从高温物体传到低温物体，传到高温物体， 注意这个一定是不对的，冰箱不就可以吗？空调不就可以吗？它是可以传的，只不过是不能自动的来进行传播，这是克劳修斯表述的一个变息。 然后 b 选项功可以全部变成热，但热不能全部变成功。这种说法一看起来好像就是凯尔文表述啊，但注意这是不对的。为什么？凯尔文表述是说 其唯一效果是让热全部变成功是不可能的，但如果说我让热变成功的过程当中，我还给它发生了一些其他的变化，可不可以啊？可以啊，所以说呢，这也是一个热力学第二定律的变息， 我们在这个定律当中呢，自动的唯一效果，这些关键词都是不可省略的。 然后再看 c 选项，气体能自由膨胀，但不能够自动地收缩，这个说法是正确的，因为气体自由膨胀它是一个不可逆的过程，它是一个商增的过程。那么气体的收缩是一个商减的过程，它可能自动地完成吗？不可能。 然后 d 选项，有规则运动的能量能变为无规则运动的能量，有规则什么就动能，然后无规则运动就是内能或者热能，但无规则运动能量内能不能够变成有规则运动的能量，对吗？这种说法肯定也是不对的，动能怎么转化为内能就是功，转化为热嘛。 那么热能不能转化为功呢？肯定是可以的，只不过是不可能唯一效果是给它全部转化为功，这是 karen 表述。所以你看到如果考热力学第二定律的话，一般都是一些概念的变稀了。 好，那么到这里呢，热力学第一定律我们讲了很多的计算，不同的过程当中，它的这个做工怎么算？它的吸热怎么算？它的这个内能的变化怎么算？ 然后如果给你一个图形的话，你能不能给它算出来？我们还讲了，在一个循环过程当中，你如何去处理，然后其中有个热计效率你得会算，然后卡默热计的效率呢？有一个很简单的公式得记住。最 后呢，热理学第二定律就是一些概念题，考试之前呢，稍微翻几页就没有问题了。好呢，这一章呢，热理学定律就带大家复习到这里。

各位同学好，我是蚂蚁期梦的王老师，很高兴今天又可以和大家一起学习热童的内容。上部分我们讲了一些热力学的基本规律，然后今天我们就继续这部分内容 啊。首先理想气体的内能啊。理想气体有一个非常著名的实验，就是胶耳实验，胶耳将两个罐子相接，一个充满气体，一个冲抽成真空，然后把阀打开之后，这个气体就会自由膨胀到真空这一部分， 结果他发现呢，那这个温度也没有变，发生变化就说明气体的自由膨胀是不会发生温度的变化的， 那因为自由膨胀他又对外没有做功吗？所以这个这个 w 是 等于零的，那温度没有发生变化就说明没有西方热 q 也是等于零的， 所以说理想气体的内容就仅仅是温度的函数，那这个 u 就是 u 体，就只是温度的函数。但是如果是其他气体的内容的话，还是和体积相关的， u 还是和体积相关的。所以说大家要注意一下，这里这个 u 的 u 体只适用于理想气体， 那理想气体的内能和含的表达式我们要说一下，那这里我们先要讲一下那个 cp 和 cv 的 关系。首先理想气体它是满足一个 p v 等于 n、 r、 t 以及这个式子的，那 u 就 可以写成 u 零加上 c、 d、 t， 那 这个这个我们也是在前面这个热熔这部分学过的，我们前面还讲了一个函还是等于 u 加上 p v 的， 那我们这里的 p v 用这个 n r 代换一下，其实就是 h 减去 u 就 等于 n r t， 那我们对这这个式子进行温度上的微分，就可以得到 d h 比 dt 减去 d u 减比 dt 等于 n r。 我 们前面在这轮还学了 d h 比 dt， 就是 cp 减去 cv 等于 n r， 所以 我们就得到了 c v cp 的 一个关系，设了一个伽马， 然后再带入 c p c v 的 关系，就可以得到 c v， c p 和 n r 的 一个关系，然后最后我们就可以知道这个 u 和 h 的 表达时，那这部分也是适用于理想气体的， 那我们就要讲一下这个理想气体绝热过程的这个固态方程。首先我们从第热理学第一定律来出发，因为是绝热过程嘛，所以 d q 是 等于零的，那 du 是等于 dw， 我 们这里写的是负的 p dv 啊，我们说过是因为他是系统对，不是外界对系统做工，所以是负的 p dv。 那 du 是 不是刚才可以根据刚才得出来的，那就是 c v d t 加上 p d v 的 零，然后又因为理想气体是满足这样一个物态方程，对它进行两边进行一个全微分，就是 p d v 加上 v， d p 等于 n r d t。 好， 这样子的话， d t 我 们就可以呃用这个 p d v d p 除以 n r 来替换掉，所以这里可以替换，然后这个前面我们 得出来了，也可以去替换，最后其实就把 n r 约掉了，然后再根据变化一下，就可以得到这样子的十字，然后进行积分，就先能得到这样子的，然后别的也是同理， 或者是你们把这个带到这里面去计算一下，然后这里面这个就不是 nrt 了，就是别的啊其他的常数了，然后就可以得到这两个，大家要记住这几个，至少要记住这第一个这个过程，然后剩下的可以自己推倒。 那我们可以看一下它焗热过程的这个图像，焗热过程呢？这个图像是要比抖温过程的图像要稍微抖一些，就是斜率更大一些，就说明焗热过程中它的温度是可以变化的，所以它才会有这样子的不同。 那这里给出了各种过程的热力学第一定律的数学表达式，大家有需要的可以把它截图一下记一下。 那我们就要讲一个理想气体的碳多循环，大家还记得什么是循环吗？就是说一个平衡态，从呃经过一系列过程，又回到原来平衡态的这个整个过程，叫做循环过程。那我们看左边的这个图，它从 abc、 d 再到 a， 这是一个完整的循环过程，围成的面积其实就是 p、 v 就是 做成了弓。那首先对于正循环，什么叫正循环？就是这个过程是顺时针 这样子走的，它就是正循环，然后逆循环呢？就是逆时针，那对于正循环 abc 这个 方向来说，它是进行了一个吸热，并且对外做的功，然后对 c、 d、 a 这一部分来说是放热，并且对内做的功，那么它的效率其实可以表达为 w 除以 q c。 什么是？那在这个图中怎么样表达 w 这一部分呢？其实就是我刚说过了，就是这个这个曲线围成的面积就是 w， 那 根据热学第一定律就可以写成 q c 减去 q 放除以 q 放，那其实 q c 减去 q 放这部分就是等于进攻，是怎么看呢？我们可以看到 abc 上半部分和下面围成的这个面积 减去 a c d， 下半部分和下面围成的这个面积就可以得到中间这一部分就是这个曲线中间围成的面积，那这一部分就是它的进攻，所以说它吸的热减去它放的热就是它的进攻。 那我们就要来讲这个卡诺热机，我们其实学过，它是由两条绝热线以及两条这个等温线组成的， 那卡诺热机他的这个效率可以用温度来表达，这是为什么？其实非常简单，他只要求求出上面这个 q 一 以及下面这个 q 二，那这两个 我们在前面其实是学过的，因为他的等温过程吗？那理想气体的内能是不变的，内能不变 d q 其实就等于这个 dw 啊，是负的这个 dw， 那 我们前面学过等温过程中如何去求解它的这个啊 勾，所以说把它求出来，我们就可以得到 d q 一 q 二，最后再根据上面这个就是这一部分它的 q 去相减，其实就可以代换成这一部分了。 我们前面学过这个呃 w 的 这个表达，然后前面我也给出了这个等温过程呢，大家可以翻一下前面的那个课间去看一下。那在这个卡诺热计，我们可以从这个嗯温度 这部分看出来，卡诺热计效率只和温度有关，而且它必须是有两个热源的，并且卡诺热计的效率是小于一的， 是因为大家可以看出这个 t 一 肯定是大于 t 二的， t 一 就是上面这个等温线的 t 一， 然后 t 二就是下面这个等温线的 t 二， t 二肯定是要大小于这个 t 一 的，所以一减去这部分的比值，它是小于一的。 那大家也可以看出，如果 t 一 t 二都是相同的，就是说两个热源相同的 热机中，卡诺热机的呃循环的效率是最高的。那就要讲一下这个卡诺冷机，卡诺冷机就是将低温热源中的热量输送到高温热源中，那他必须要进行一部分 呃做工。这个后面我们马上就会讲到为什么要进行做工，他其实就是一个逆向的呃 效率是用制冷系数来表达的，这个制冷系数是大于一的。大家要知道这个这个卡诺冷机的制冷系数是可以大于一的，但是他同样也是要有两部分热源，一个低温热源，一个高温热源的。 那我们接下来就要讲热力学第二定律，他首先有两个表述，我们在热血中也学过这两个表述，凯尔文表述和克劳学森表述，但其实他也有非常非常多其他的表述，那所有表述他们都是等效的， 但是因为这两个表述是比较著名的，所以我们就主要学这两个。首先是凯尔文表述，他是说， 嗯，有一种循环的热机，他是不可能从单一热源吸热，然后变成有用功，并且不引起其他变化的，就说明这个第二类用动机他是不可能实现的。那我们也可以从这个卡诺冷机来来看到， 他如果想从低温热源到高温热源的话，他首先必须有两个热源，然后想变成有用功， 也不引起其他变化，这是不可能的。然后从克劳修斯表述可以看到啊，热量是不可能自发的从低温热源到高温物体的，那我们也可以从卡诺冷剂看出 他低温，低温热源的话，要把低温热源中的热量输送到高温热源是必须要进行做功的，所以说如果他不做功，他还能输送过去，那他就不满足。热力学第二定律，这个就是不成立的， 那他们两个表述都表达了同一个物理意义，就是自然界中与热现象相关的实际的自发过程，自发过程都是不可逆的。 那我们后面前面我们讲了这个热力学第一定律的数学表达式，就是微分形式，就是 du 等于 d w 加 d q 嘛。那我们还要讲一个这个热力学第二定律的数学表达式，它其实是和卡诺定律就是前面说卡诺热机油非常大的关系， 那卡诺定律我们知道它的热机效率是等于 个一减去 t 二比上 t 一 的。从这个可以看出，在相同高温热源和相同低温热源工作的所有可逆热机的效率都是相同的，和工作戒指是无关的，因为这个一塔只和温度有关。 那如果这个热源的温度相同的话，呃，这个不可逆的热机的效率是一定要小于可逆热机的效率的，那我们就会有一个克劳修斯等式和不等式， 他其实就是这个意思，一减去 q 二比 q 一。 其实我们前面说过了吗？就是那个，呃， q 二减去 啊，不对， q 一 减去 q 二除以 q 二，然后这个变换一下就可以得到一减去 q 二比 q 一 小于等于这一部分，这部分不就是卡诺热机的那个效率吗？ 然后为什么小于等于呢？如果它是一个可逆的话，它就相等，如果是不可逆的话，那它效率一定是小于可逆热计的，那我们把它稍微变化一下，就可以得到这边的这边其实就是 q 一 比上 q 一 加上一个啊，这部分假如我们就也看成一个 q 二的话，就是 q 二比上 t 二，两个两个部分相加是小于等于零的， 那同样也是等于号是可逆，小于号是不可逆。如果是多个热源的话，我们就可以写成一个求和的形式，从这部分其实我们就可以看到它是一个求和的，只不过这个是 a， 是 从一到二这样子。 如果是多个热源的话，那他一般循环的情况下是要写成一个积分的，大家要注意这块这块这个符号他不是这样，积分是一个 这样子，积分表示他是一个啊循环的，那我们就根据这样子形式，他引出了一个商商，其实我们前面学过，并且在以前的化学没学过，他是表示物体的这个混乱程度，就是从微观上来看，那我们首先来看这边的 右边的这个图，从一到二，再二到一，这样子是一个循环的过程，那就说明一二 d q t 加上这个二一 d q t 是 等于零的，因为循环所以它相等于零的，那如果我把这部分一二调换，然后再移到右边的话，那不就可以得到这个式子吗？ 可以得到这一部分的式子，那就说明啊，这个 d q 比上 t 的 积分是和状态有关，它和过程无关，因为 从上面这个过程以及下面这个过程，它两个路径是不一样的，但是它们的这个 d q 比 t 的 积分是一样的，所以我们就因此引入了一个商， 就是商的变化量是可逆的，这个 d q 比上 t 的 一个积分的，然后微分形式就是右边这个。 那结合热学第一定律呢，我们其实就可以把 d q， d q 去替换掉，然后 du 不是 等于 d q 加上啊 dw 吗？ dw 可以 写成 p dv 的 形式，然后 d q 可以 用这一部分去替换掉，就得到了 tds 减去 p dv 其实在后面。嗯，很多我们用的是这样子的一个形式。 那商增原理，呃，大家也知道，在决热过程中，就系统的商是永不减少的。呃，这个决热过程 d q 不 就等于零吗？所以 d s 必须是要大于等于零的， 系统的伤就是永不减少。那对于孤立系统来说，孤立系统就是和外界没有能量交换，没有物质交换，系统的伤也是永不减少的。这个伤增原理就说明了啊，这个所有的热血的过程一定是朝着伤 增大的这个方向去进行的。和热力学第二定律的数学表达式是相同的，就是 delta s 要大于等于这个 q b t 这样子。 那商增原理和呃热力学第二定律的等价是，呃，数学表达式是等价的。另外呢，商就是表示的热运动的无序度， 所以他从不平衡到平衡一定是朝着商增的方向去进行的。另外两个适用条件这个没有那么的重要。最后就是两个啊，函数， 一个是自由能，一个是吉克斯函数，这两个函数比较重要的是大家要，嗯，记住他们两个函数是分别在哪个情况下使用，然后他们的表达式是什么？ 比如说自由能，它就是在等温等温过程中，然后他们定义了 f 是 等于 u 减去 ts 的， 那根据自由能，它还有一个最大功定律是在等温过程中，系统做的功是不大于自由能的减少，这个是怎么推来的呢？其实我们可以结合前面的这个商的呃 定义以及热力学定义，定律就是 s 二减去 s 一 是等于这个 q 比上 t 嘛？那等温过程， 等温过程我们知道，呃，首先我们可以先把这个 q 变化一下，就德萨优减去 w 比上 t， 那 德萨优不就可以写成 u 二减去 u 一 嘛，然后把它全部移过去。 哦，这不，这块是大于等于啊，这块是大于等于，大家不要忘记啊，这块是大于等于，那把它全部移过去，其实啊，就是 s 二减去 s 一 乘以一个 t 好 再减去，但是它有 加上 w 是 大于等于零嘛，然后我们全部给它取一个符号的话，就可以得到，就是负的得它 s t 加上得它 u， 然后再 减去一个 w 是 不是就小于等于零了？那这部分不就是得它 s 吗？对吧？把这部分移过去就是小于等于 w 嘛？那 w 它不是说的是呃这个对外做工嘛，呃系统对内做工嘛。如果我们要变成系统 对外做功的话，它就要变成 delta f， 负的 delta f 大 于等于负的 w， 然后 delta f 就 负的 delta f 可以 写成 f 一 减去 f 二嘛。大于等于负的 w， 那 就说明系统 做的功它是不能大于自由能的减少大。大家要注意一下这个负的 w 这一块，它不是说它是一个负值，是说的是系统对外做的功，对，所以有了一个最大功定律，就是这样子。 另外呢，如果它是一个等容情况下，那系统对外就不做功，那 f a 减去 f b 就是 大于等于零的。这块有个等于 大于等于零的，那就说明等温等容的过程中，这个自由能它是永不增加的，那就说明从不平衡到平衡，这个自由能永远都是朝着减小的方向来进行的。再就是这个吉布斯函数 啊，他是定义了这样子一个形式，然后根据前面和前面一样的推导方式，就是啊，加上这个 商的定义以及热力学第一定律的数学表达时，他就可以得到在等温等压过程中，系 统的吉布斯函数是永远不增加的，就说明从不平衡到平衡，他的吉布斯函数是朝着减小的方向进行的，那这个商是朝着增加的方向进行的，就是这个商和自由能吉布斯函数正好是相反的。好了，我们这节课先讲到这里了。

们怎么来做啊？这个同学们不要想太多，这个 n 乘以 f v 就是他的纵坐标，这个 v 就是他的横作标，然后这个 a 和 v 零，还有这个二 v 零对应的这个 a 有两点，然后有这个直线， 我们就可以直接根据这两点写这个直线的表达式。我们再来看一下这个图像，他是一共有三部分组成这一部分，这一部分还这一部分，然 后我们把它写成一个分段函数。我们首先来看一下第一段，这个斜直线，他是经过圆点的，然后我们又知道一个已知点，所以我们只需要知道他的斜律就能够把他的表达出来。然后我们直接给到大家，他是 n f v， 他是等于 ab 上 v 零，然后再乘以这个 v 的。这里为了防止有些同学们看不明白这个式子啊，给大家简单的 解释一下，为什么这个式子看起来如此的复杂，我们把它简单的替换一下啊。实际上来说这个轴他就是 x 轴，这个轴他就是 y 轴， 然后当用 y 和 x 替换这两个的时候，他最后的表达是就是 y 等于这个斜率再乘以 x 轴，那么这个就是一目了然了。实际上我们需要做的就是把这个替换成 y， 然后把这个 v 替换成 x， 就是得到的他的这一段的表达是， 然后我们再来看一下第二段，就是这一段平行于 x 轴的这一段他的表达式是多少，因为他是平行于 x 轴的，所以他的表达式就是 y 轴等于一个长数，这个长数就是这个 a， 然后这一段我们就表达出来了，然后注意一下同学们，这里让我们写的是 fv 的表达式，我们就需要把每 段都用这个 n 乘以 f v 来表示出来，然后再把这个 n 除过去就可以了。我们再来看一下最后这一段他用 n 乘以 f v， 他是等于什么的啊？因为这一段他是平行于歪轴的，所以这个 n 乘以 f v， 他是等于零的，然后这三段 n 乘以 f v， 我们都表达出来了， 我们把这个嗯都杵到这边来，最后就得到了他的这个表达式，因为他是一个分段函数啊，我们需要写出他的区间，然后写完区间之后，最后中的表达形式就在这里， 那么第一问就做完了，我们再来看一下第二问，第二问他问的是 un 和 v 零，然后让我们求 a 的值，这种题怎么做啊？同学们，像这种题一般都是考试出原题的题，那么对于这种题我们都用归一性来解答，什么意思啊？ 因为题目中说的是有 n 个假象的气体分子，然后这个 n 个假象的气体分子，他的图像都在这了啊，他是一个闭合的图像，然后我们只需要把这块积分，积分完事之后，他最后应该是等于一的，然后我们把它分段进行积分，然后表达。是在这里 我们来看一下他的这个被击函数，就是我们第一位求出来的，然后他的区间是零到 v 零，然后这是他的被击函数，然后再加上第二段，他的被击函数就是这里，然后他的区间是 v 零，倒上二 v 零， 然后把他们进行积分，最后是等于一的，通过这个积分我们把他的结果求出来，求出来以后把它放在这里，就是这两个式子相加，他是等于一的，因为这两个式子题目中告诉我们了，让我们 un 和为零来表达这个 a 值， 然后我们把 v 零和这个 n 都移到式子的右边来，最后这个 a 是等于二人比成三 v 零的，那么这个第二问我们就做完了，然后我们再来看一下第三问， 他说的是速率在一点五倍零到二百零之间的分子数。我们来看一下图形啊，这个一点五到二百零之间，他的这个面积应该是这一块，在这个图像里面啊，他这个面积代表的就是概率， 然后经过简单的计算，同学们就可以得出来，这个面积他是等于三分之一整个面积的，就意味着一点五 v 零到二百零之间，他们占的概率是等于三分之一的，然后 因为这里的概率是三分之一，然后他的总数是恩，所以他的总数乘以他的概率，最后就等于三分之恩，那这个就是他的速率一点五为 零到二百零之间的分子数。然后第三位就求出来了，我们再来看一下第四位分子的平均速率和方尖根速率， 这两个速率怎么求啊？还有这两个速率是什么意思啊？我们直接给到大家，对于这两个式子，同学们死记硬背就可以了，然后如果概率论学的好的同学们可以看得出来啊，这就是概率论里的期望，还有他平方的期望，但是 如果不明白他是什么意思的呢？就需要死记硬背这个公式了，我们来看一下怎么做啊。具体第一个他说的是分子的平均速率，然后我们就把这个分子的平均速率为放在这里， 然后还是按照分段函数进行积分，然后把它积分出来，最后把这个 a 他是等于二 n 比上三为零的进行代入，代入之后我们就能算出来，最后他的结果是等于九分 这十一为零的，然后同样这个第二个他说的是方均跟速率，我们就把这个微方带入到这个背景函数里，然后还是对这个分段函数进行积分， 然后我积分完之后，我们把这个 a 等于二 n 比上三 v 零还是带入到这个式子里面，带入以后他的结果是等于十八分之三十一 v 零的平方的，然后他问的是我们的方军跟速率， 这个方跟速列就需要把这个再开一个跟号，然后开完跟号之后，他的结果就是等于十八分之三十一，然后开跟号，再乘以一个 v 零的，那么这个就是他的方跟速列。 然后这个题就做完了，给同学们五秒钟的时间来看一下这个题目，然后我们来讲第二个知识点，三种常用速， 对于这个三种常用速率，同学们可以把它理解为三种常考的速率啊，就是下面这三个都已经给出大家了，然后他是根据麦克思维分布函数得到的， 其中就有这个平均速率，还有方军跟速率。然后有同学可能就问啊，那既然有现成的公式，我们上一问为什么不用啊？

大家好，我是蚂蚁期末团队的王老师，今天很高兴可以和大家一块分享热力学与统计物理这门课程 啊。热统这门课程呢，可以分为热力学部分和这个统计物理的部分。那今天呢，我们就先来学习一下热力学的基本规律。 首先在热力学中，热力学系统是我们热力学主要研究的一个对象，它也是一个宏观的系统，它主要分为三类，首先是孤立系统， 就是说系统是和外界不能进行能量交换以及这个物质交换的。还有封闭系统，就是说系统和外界可以进行能量交换，但是它不能进行物质交换。最后就是这个开放系统，就是说系统和外界既有能量交换，又有物质交换。 那我们来看右边这个图，它以以水为一个系统的话，那水和气是进行 能量交换，也可以进行物质交换的，那水就是一个开放系统，那水加气加这个导热的这一部分，如果还是一个封闭的话，那他就只能进行能量交换，可以和外界进行这个吸放热，但没有物质交换，所以就是一个封闭系统。 那再加一层这个绝热的这一部分的话，就是不能进行能量交换了，那他就是一个孤立系统。 第二个就是这个平衡状态，那什么叫做平衡状态呢？其实就是说的热力学系统在不受外界条件影响的情况下， 经过一段很长时间之后，他系统内的一些宏观参量他不随时间发生变化了，这就叫做平衡状态。 那我们前面学的这三个系统中，这个孤立系统就非常符合平衡状态的条件，就是不能受外界条件的影响。 在这个图中呢，我们可以看到平衡状态只能用一个点去描述，因为这个呃系统的宏观性质是不能随事情发生变化的，就说明这个 p、 v、 t 是 不能变化的。 那平衡状态有四个非常重要的特点，大家在这里需要注意一下，平衡状态是一种理想化的状态， 因为所有的状态他都是会存在一些掌握的，就是微小的掌握，所以他不可能就是完全什么都不变。另外平衡状态还是一个动态平衡，他里面的这个呃粒子都可以进行热运动的， 那描述系统的状态的时候可以用这些状态参量，那我们以前也学过很多，在热理学中呢，其实我们主要就是用的是这个 p、 v t 这三个状态参量。 那这些状态参量呢？其实可以分为两两部分，一个是宏观参量，一个是微观参量。那还可以分为两个东西，一个叫做广延量， 一个叫做强度量。 广盐量就是说明它是可以叠加的，强度量是不能够叠加的，就比如说像温度就是一百摄氏度，水加上五十摄氏度，它是不可能变成一百五十度的。那系统的状态可以根据两个东西来分类， 就是相和圆。我在这里给大家举一个例子，这是一个封闭的系统，下面有水，上面是一些气体， 那我怎么去判断这个相和圆呢？首先我先在这里取一部分，在他们的交界处取一部分，然后在这里取一部分， 在这个第二部分中是既有气又有水的，然后第一部分是只有气，然后最后呢是只有水，那就说明这三个部分他并不都是均匀的， 水和气还有纯水纯气这三个部分不可能是均匀的，那就说明这个系统他不只有一个项，那一个均匀的部分叫做一个项，那这三个就就可以构成三个项， 然后圆呢很简单就是一个化学组分，如果这个气是完全的水蒸气的话，那它这个系统就只有一个化学组分，如果它还有其他气体的话，那就不止一个化学组分。 那根据这两个东西就可以把系统分为这个单项系、副项系、单元系以及多元系。那我们其实平常最多的用到的就是这个简单系统，就是 p v t p v t 系统。在这里还需要跟大家啊讲一个概念，就是均匀系统， 均匀系就是说各部分的性质是完全一样的，就说这个系统它只能有一个项，它每一部分必须都是均匀的，但是它又可以是多元的啊。接下来就可以给大家去回顾一下这个热力学地灵定律了。 d 零定律其实很简单，它就是说有三个系统， abc， 如果 ab 这两个系统分别和 c 系统啊达到了一个热平衡的话，那 ab 这两个系统也是属于热平衡的，这就是啊 d 零定律的这个 描述的内容。那么我们如何去判断他达到了热平衡，那就是热力学地灵定律的物物理意义了，他给出了一个温度的概念，就是说如果达到热平衡，那么温度就相同， 那我们描述一个系统的话，其实还有一个非常重要的东西，就是状态物态方程，这个物态方程我们前面也是学过的， 它主要分为两类，一个是理想气体，还有一个是非理想气体。理想气体的就非常简单，就是 p v 等于 n r t。 那 非理想气体的话，它就是要考虑分子间的作用力以及分子的大小了。 在理想气体中，我们是把气体看作了一个质点，所以不考虑它的大小，然后也是呃，不考虑它们分子间的作用力，就说明气体和气体间的间距是非常非常大的，它的作用力已经呃差不多为零了。 那非理想气体就是后面给出了这个状态，那与这个物态方程 啊有关的三个系数，这三个系数非常重要，希望大家能够记住。就是这个体膨胀系数，压强系数以及等温压缩系数。那这三个系数的微分部分呢？也是满足 下面这样一个关系，相乘等于负一。大家在这里要注意一下，体膨胀系数的微分部分和这个关系中的微分部分正好是上下颠倒的。这三个系数还满足这样一个条件， 就是这样一个关系，这个关系以及这三个系数，呃都非常重要。大家可能在期末考试中也一定会遇到这这些东西， 那接下来就可以跟大家讲一个嗯，三个系数去确定物态方程的这样这种的题目，这种题目其实也是比较常见的， 我们可以看到题目中给出了一个体膨胀系数以及一个压强系数，那我们可以先写一下这个 体膨胀系数的表达式，而是等于 v 分 之一， v 让一 t， 然后 p 不 变， 然后这个贝塔是等于 p 分 之一 rune p rune t， 然后非不变的，那我们可以根据这个题目中的条件看到 rune 为 rune t， 其实就等于 r 比 p， 那我们可以去设一个方程吗？假如是一个啊 v 是 这个 p t 的 这样子一个函数，然后对 v 进行一个全微分， 那我们从这个全微分就可以看到这一部分不就是 r b p 吗？那这一部分是不是很像我们前面那个呃等温压缩系数中的微分部分， 所以这一部分就可以写作负的 v 乘以 k t， 那 我们题目没有给出这个 k t 怎么办呢？我们不是有一个条件吗？ r 不 就等于这个 k t 乘以贝塔乘以 p， 但我们是知道 r 和贝塔的，所以可以把这个转换一下，我们就可以得到这个解的过程中的 这一部分，然后再把图呃题目中给出的数据带进去。我们可以看到这一部分其实是 r t 对 p 进行了一个权维分，就是对 d t 以及 d p 进行权维分，最后我们再把两边同时呃积分， 就可以得到他的物态方程了。这种题目大，希望大家可以在课后在自己那个计算一下。 接下来我们前面讲了第零定律，后面我们肯定是要讲第一定律以及第二定律的，那在讲第一定律之前，我需要跟大家讲一个东西，叫做工 公式和热力学过程密切相关的。那热力学过程主要有这几类，准静态、非准静态以及可逆和非可逆，还有循环与非循环。那准静态就是说这个过程一直是处于一个平衡的状态，可逆这个 过程是比较重要的，他除了要恢复原状，还要对外界产生的影响完全消除，如果不能消除的话，他就是一个非可逆的，那循环和非循环就比较简单，就是看他能不能回到以初态，就从初态到末态，再从末态到初态。 那功到底是在热力学过程中到底是什么呢？其实就是力学相互作用条件下的能量转移就会产生功，那在力学相互作用这个东西，在热力学中我们 就力可以看作一个广移力，然后这个相互作用其实就是广移位移，那如何产生能量转移呢？就需要系统的这个状态发生变化，才能传生产生这个能量转移，如果没有发生变化的话，那基本就是不产生能量转移的， 那我们在呃热力学中用到的就是很多，就是这个体积膨胀功。我们这里以外界对气体做功为例，首先我们可以先求它的圆功，就是把它无限小化， 它可以看到啊，大家可以看到这个是 dw 等于负的 p 乘以 dv 的， 其实它可以写作 负的 p s， 然后 d h 的， 那因为这个 s 乘以 d h 的 等于 dv 嘛，所以我们就换成 p 乘以 dv 了，然后正好这个 p v t 也是我们经常用到的三个参量， 然后对这个员工进行积分，就可以得到总工。大家要注意一下，这里是外界对气体做工，外界压缩气体，所以 d v 是 减小的，所以我们前面就会加一个符号。那我们有三个过程，等温过程、等压过程以及这个等铁过程， 这三个过程的路径是不一样的，那我们可以看一下它的功，在等温过程中，我们根据这个理想气体的固态方程 p v 等于 n r t， 那 p 就 可以写作 v 分 之 n r t 上面其实就是一个常数， 然后我们带进去就可以得到等温过程中的啊做工。那等压过程中，那 p 是 一个常数，我们就可以直接进行积分，其实它就是负 p 乘以的，它 v 在等体过程中呢，那因为这个体积都是不变的，所以 d v 是 等于零的，那么 w 肯定也是等于零的。所以我们看到这三个过程，他路径不一样，得到的公也是不一样的，说明这公是和路径相关的，他是一个过程量，他不是一个状态参量。 接下来我们就可以去啊回忆一下这个热力学的第一定律，第一定律呢，它是一个能量守恒，能量转化定律，说它的内容其实就是说 啊，能量是不可能凭空产生，也不可能凭空消失的，它只能进行转化以及转移。 那他的数学表达式呢？就是 duotu 等于 q 加 w， 这个 q 就是 吸收的热量，然后 w 就是 前面我们所学的这个功，那他 duotu 是 什么呢？这个 u 其实就是，嗯，系统的内能， 就描述的是系统中微观粒子的动能家族加这个势能，那这个内能呢？他其实是一个状态参量， 说明什么？状态确定内能就是确定的，并且它还是一个广延量，说明它是可以进行叠加的。 那这个如果是一个不平衡的系统，各个部分的内能相加，就是总系统的内能。大家在这里要注意 是内能的变化量，这里是内能的变化量，等于啊这个 q 加 w， 那 我们最后还需要去介绍一些物理量。首先是这个热熔与含 热熔大家应该是比较了解的，就是我们在初中就学过这一部分，那什么叫做热熔呢？热熔呢？就是说这个温度趋零的时候，吸收的热量就为热熔， 那我们还学过等体热熔以及等压热熔，等体热熔是我们结合着这个热热力学第一定律，以及等体过程中 等体的话， dv 是 等于零的，那 w 就是 等于零的，所以 delta u 是 完全等于 delta q 的， 所以我们就可以写成后面这个形式，然后把它写成全微分呢，就是 u 对 t 的 全微分。 那么我们的这个等压过程呢？我们前面 w 是 求过的，等于负的 p， delta v， 那 我们的 delta u 就 可以写作 q 减去这个 p 的 delta v， 那 我们 u 就 可以写作这一部分， 所以 c p 就 可以写作。嗯，像这样子的全微分的形式，那我们根据这个 c p 呢，就引入了一个量叫做含，含就是 u 加上 p v， 那 其实 c p 就 可以写作 小于零的时候，得它 h 比上得它 t 了。那大家要注意，这个含的利用是要在啊等压过程中它是有条件的，如果是其他过程中的话，这个含就是没有什么意义的， 在等压过程中吸收的热量就是为含的增量。好了，我们这节课先讲到这里了。

二、人比上三微零，还是带入到这个式子里面，带入以后，他的结果是等于十八分之三十一为零的平方的，然后他问的是我们的方军跟速率， 这个方均跟数列就需要把这个再开一个跟号，然后开完跟号之后，他的结果就是等于十八分之三十一，然后开跟号再乘以一个 v 零的，那么这个就是他的方均跟速率。 然后这个题就做完了，给同学们五秒钟的时间来看一下这个题目，然后我们来讲第二个知识点，三种常用速率。 对于这个三种常用速率，同学们可以把它理解为三种常考的速率啊，就是下面这三个都已经给出大家了，然后他是根据麦克思维分布函数得到的，其中就有这个平均速率，还有放军 根速率。然后有同学可能就问啊，那既然有现成的公式，我们上一问为什么不用啊？这里给大家说一下啊，上一问之所以不用，是因为上一问他的那个函数是人为规定的，然后我们这里的三种常用速率，他是根据麦克思维分布函数推导出来的， 然后同学们只需要记住这个三种常用速率他的形式，还有把这个公式都给记住，考试的时候他不会太难的啊，一般都是让你直接带进这个公式里面就能够计算出来。 首先来看这个平均速率，他是等于根号下八二 t 比上派 m 的，然后这个方军跟速率，他是等于根号下三十二 t 比上大 m 的。然后这个最概然速率是什么？最概然速率就是这里的最高点，他这这一点的速率，他是等于二二 t 比上 m 的。同学们把这三个式子记一下， 记下，我们来看一下题目。先来看一下例一，读一下题，某气体在温度提等于二百七十三 k 时，压枪为 一点五乘以十的负三次方大气压，然后密度为一点八六乘以十的负三次方千克每立方米。他问我们的是机体的方均跟速率是多少， 我们把方军跟速率的公式拿过来用啊，他就是等于根号下三 r t 比着大 m 的。然后这个题目中啊，他给的我们是这个密度，他并没有给我们大 m。 遇到这种问题我们怎么做啊？前面我们已经遇到好几个这种题了，他给的是密度，他没有给这个大 m， 然后遇到这个时候，我们就需要把这个状态方程拿过来用，然后根据这个状态方程我们推倒一下，我们就能够得出他这个大帽是等于这个密度乘以大二乘以 t 比上他的 p 的。 也就是说他的这个摩尔质量是等于他的密度乘以大二乘以大七比上他的压强的。然后根据这个我们就能够得出来用密度表示这个方巾跟速率的形式，他就是下面这个形式， 他是等于根号下三批比上这个揉的。然后这里面的数值题目中都已经给出我们了，我们直接把这个数值带入这里，同学们需要注意一下啊，他这个一点五乘以十的负三次方每标准大气压是什么意思啊？这个标准大气压我们前面已经给同学讲过了，他是等于 一点零一三乘以十的五次方 pad， 然后把这个一点零一三乘以十的五次方，再乘以一点五乘以十的负三次方代入，然后让他乘以三，然后再比上这个一点八六乘以十的负三次方，最后就能够得出他的这个放距跟速率，他是 等于四百九十五米每秒的，然后这个题的答案就是四百九十五米每秒，下面给大家五秒钟的时间，再来看一下这个题目， 下面我们再来看一下利二，利二来读一下题目图式的两条曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯维速率分布曲线，由此可以得出氢气和氧气的最概然速率分别是多少。 我们来看一下这个图啊，这个图上面给了我们两个曲线，然后一个他的峰值是靠左一点，一个他的峰值是靠右一点，然后这两个峰值他的高低是不一样的， 但是他并没有告诉我们这两条曲线哪个对应的是氢气，哪个对应的是氧气。那么碰到这种题，实际上他就是让我们自己来判断哪个是氢气，哪个是氧， 并且根据已知道的这个两千，然后让我们求出另一个他是多少。遇到这种题怎么做？因为题目中说的是最概然速率，我们就把最概然速率的公式拿过来，他是等于二二 t 比成大 m 的，这个公式是什么意思啊？我们看一下， 因为这个 r 他是一个长数，这个温度他题目中说了是在同一温度下，那么上面他就是两个气体，数值是相等的，那么只有看这个大 m， 也就是说他的摩尔质量，摩尔质量越大的，他的追赶速率就应该越小摩尔，质量越小的，他的追赶速率就应该越大。 然后我们看一下氢气和氧气的摩尔质量啊，氢气的是两克米摩尔，氧气的是三十二克米摩尔，那么显而易见是氢气的更小一点，氢气的摩尔质量也更小，那么他的最概然速率 就更大。然后我们来看一下图中这两条曲线，他的哪一个表示的最感染速率更大一点。然后同学们这里不要想当然的以为他哪个峰值更高，他的最感染速率就更大。我们看一下他的横作标才是表示他的速率， 那么也就是说，我们只需要看他的这个最高点对应的横坐标值越大的，那么他的最概然速率就越大。这里面啊，很显然是这条蓝色的曲线，他对应的这个横坐标更大一点，然后也就是说这个蓝色曲线表示的是氢气， 那么这个红色的曲线他表示的就是氧气。然后我们就知道了啊，此时氢气分子的最高燃速率是两千米每秒，那么我们怎么根据氢气的来求出氧气的呢？我把氢气的表示出来啊，他是 等于根号下二十二题比上二乘以十的负三次方的。然后我们再把氧气的表示出来，他是等于根号下二十二题比上三十二乘以十的负三次方的。然后我们把这两个公式连列 严厉之后，我们就能够得到这个氧气的速率，它是等于五百米每秒的，那么这个题就做完了，清气的最高燃速率是两千米每秒，氧气的最高燃燃速率是五百米每秒。同学们不要觉得这个解起来有多难啊， 简单的给大家说一下，把这个三十二给他拆成十六乘以二，然后把这个十六提到这个根号外边来，他就变成四分之一，也就是四分之一乘以这个两千，最后他是等于五百的，很简单就计算出来了。 然后这个题我们就做完了，还是给同学们五秒钟的时间来看一下这个题目。好的，本课结束，谢谢大家。

今天我们来进行热力学大题的第二讲，第二个大题先看题干，一个圆柱状气缸，质量是十千克，我们可以把标照旁边 m 等于十千克，总长度是四十厘米，气缸的总长是四十厘米， 内部有一个五千克的活塞，以及它的横径面积是五十，那活塞的横径面积五十，证明这个气缸的横径面积也是五十， 然后摩擦忽略不计，这个时候不漏气，然后外界大气压是一乘以十的五次方帕，他给了我们一个温度是 t 零等于七摄氏度，那 我们再用热力斜计算的时候，应该用凯尔文，所以要把这个七摄氏度换算一下，所以他的 t 一 就应该等于 t 零加上七摄氏度啊。二百七十三摄氏度应该等于七，加上二百七十三等于二百八十 k， 所以此时的温度我们计算是一个二百八十 k 进行计算。现在用绳子将活塞悬挂起来，那悬挂起来说明这个气缸先是静止的， 而且里面气体的高度是三十五，也是一个已知条件。那我们先看第一问，第一问的是此时气缸内气体的压强是多少，那刚才已经说过了，气缸被悬挂，所以是处于静止状态的，那静止的物体它是受力平衡的，所以说我们可以对这个气缸进行受力分析。那气缸此时受什么力呢？ 首先这个气缸自身有一个向下的重力，我们可以用大 m g 去表示。 那外界是不是有大气压呀？那这个大气压会给他一个向上的一个压力，我们用 p 零 s 去表示。那内部的气体会给他一个向下的压力，我们可以用 ps 去表示，那现在我们要求的就是这个 p， 那 这样的话向上力跟向下力相等，还能平平衡，所以说我们可以列一下，那 p 零 s 就 应该等于大 m g 加上 ps， 那我们解下这个方程，那 p 的 话就应该等于 p 零 s 减去大 m j 再比 s 用 k 计数法表出来，应该是八乘以十的四次方派， 这是第一问就求完了，那这个时候这个 s 大家需要注意，在代数的时候，他题中给了我们是五十立方厘米和平方厘米，那平方厘米需要换算平方米，平方厘米到平方米的换算是五十乘以十的负四次方， 就只需要乘以十的负值方，就可以把平方米换成平方米了。这个是第一问计算时候需要注意的问题，那我们来看看第二问。第二问问的是温高升到多少摄氏度的时候，气缸对应活塞分离，那也就意味着现在这个 活塞跟这气缸是不是要逐渐脱离啊？那脱离的时候，它里面的这个体积就它的高度是从三十五就变成四十了， 那温度的话也会发生一个变，他问升高多少度的时候，那也就是 v t 现在都在变，而这个气缸是不漏气的，所以说我们可以设它的 p 是 不变的，那 p 如果不变的话，是不是就 p v 一 比 t 一 就等于 p v 二 比 t 二啊？根据气气体的氧方程，那这样的话 p 个 p 实际上就消掉了，那这个时候注意 v 一 v 二实际上不用刻意的去换算，因为两边都是厘米，如果你换完的话，其实可以消掉它的，所以你就直接带厘米算就可以。那左边这个 v 一 的话，它的体积我们可以用初尺的高度是三十五， 底面积是五十，比上 t 一， t 一 刚换算过了是二百八十，就应该等于结束的时候，它的高度是要分离的时候，它是四十，再乘以它底面积是五十，再比上 t 二，这样的话 t 二就可以解出来了。我们约分一下， 这是七，这是八，这是四十，所以解出来 t 二应该等于三百二十 k， 但是最后他问的我们是摄氏度，所以要把转换成摄氏度，那这个小 t 二就应该等于 t 二，再减去二百七十三 k， 那 就应该等于多少呢？ 应该等于三百二十，减二百七十三，等于七四，应该等于七十四十七摄氏度。这个是这道题的解法，它算出来也是比较简单的题。

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各位同学好，我是蚂蚁期末的王老师，今天我们继续来学习热桶的内容。那在上一节我们讲了这个净独立粒子最概然分布，这一章的第一个重要的内容就是象空间，那接那这一节呢，我们就来讲 啊，第二个重要的内容就是三个系统的分布。首先呢我们先要求一下三三维粒子自由粒子的这个态密度， 那对于三维自由粒子的话，它的相空间是六维的，这是我前面也跟大家说过非常重要内容，它相空间 是二乘，以 r 为的 r 就是 自由度，所以三自由度为三的粒子，它的相空间是六维的，那相隔的大小是 h 的 r 次方，所以是 h 的 三次方。那接下来我们要分一下几种情况来讨论。首先是直角坐标， 在直角坐标中，粒子所在的范围就是 x 到 x 加 dx， y 到 y 加 dy， 那 就 z 到 z 加 d z， 对 于动量也是相同， p x 到 p x 加上 d p x y， 然后 p z， 同理 到 p z 加上 d p z， 那 所以说它组成的体积圆，体积圆 就是 d x， d y， d z 乘以这个 d p x d p y， d p z， 那 它的在这个体积圆内，粒子的状态数就是这个体积除以相格，所以它除以这个 h 的 三次方这一部分，它就可以作为这个状态数。 如果我们对这个坐标不加限制的情况下， 就是说在这个体积 v 中，那动量的范围还是一样的，还是和上面一样的，只不过它这个 x 范围是非常大的，就是 相乘。三个相乘是 v 中的时候，它的状态数就可以写成 v 比上 h 三方，然后乘以 d p x， d p z， 那 如果将动量空间用这个球坐标来 表示的话，我们可以表示成这样子， p x 是 等于 p 三 in c， 它考三 in five， 然后 py 是 等于 p 三 in c， 它三 in five， p z 呢是等于 p 乘以考三 in c， 它的，那它的体积圆就可以写成 p x sine theta d five， 然后乘以一个 p， 乘以 d theta 乘以一个 d p 就 等于 p 方 sine theta d p， d theta d 斐，那现在我们就要看这个 p 以及 c 塔，还有斐是在哪个范围内变化的。我们知道动量是在 p 加 d p， 然后 c 塔就是在 c 塔加 d c 塔，斐，同理 five 加 d five 这个范围内变化的，那么它的状态状态数就可以写为 v 乘以 p 方 c theta d p， d， theta d five 除以一个 h 的 三次方。 大家要记着，如果是求这个项格的话，一定求这个状态数的话，一定是体积圆，它占有的体积体积圆要除以这个项格，那如果我们对这个动量空间的方向不加限制的话， 就是它这个 theta 以及这个 f 这两个角度是没有限制的话，那我们只对这个 p 是 有一个范围， 这个时候它的状态数就要对这个 f 以及 theta 进行一个积分，然后 f 是 要从零到二 pi 去积， 然后 theta 是 要从零到 pi 去积分乘以 v a p 方三 e， c， 它 d p 比上 h 的 三次方，然后对这个 c 塔进行积分，就等于四排为比上 h 的 三次方，乘以 p 方 d p， 那我们如果以能量的形式来表示的话，首先能量是 p 方除以二 m， 然后就可以变成 p， 等于根号下二 m x 呢？然后那么 d p 就 等于根号下 m 除以二 c 塔 d c 塔， 那么前面这个式子把它带进去就可以得到二派 vh 的 三次方二 m 二分之三 epsilon e epsilon 这个时候就是呃它的状态数和能量相关的时候，这个时候我们要定义一个东西， 这个 d epsteiner 表示的是在这个 epsteiner 附近单位能量间隔内的状态数，然后我们称为这个态密度，那么这个式子我们整体上就可以表示为在体积内， 然后在这个 epsteiner 到 epsteiner 加 d epsteiner 这个范围内自由粒子可能的这个状态数，那这个时候 我们是没有考虑这个粒子的自旋，那如果这个粒子的自旋它是不等于零的时候，我们还要是去考虑这个自旋的贡献。 接下来我们就要进行三个系统的分布的推导了，那我们前面先来讲一下这个系统微观运动状态的描述。首先在这个系统微观运动状态中，我们是把啊粒子看做了两个东西， 一个是全铜粒子，那一个就是这个净独立粒子。全铜粒子就说明粒子他都是有完全相同的属性的，所以在我们这一张，我们是所有粒子他都是有完全相同的属性，全部看成全铜粒子，同样还要把所有粒子看成净读的粒子，就是说他， 呃，我们是要忽略忽略粒子间的相互作用的，那这个整个系统的能量就可以表示为每每个粒子的能量的总和。 那对于微观粒子运动状态的经典描述，我们就要注意一下，首先在这个全铜粒子中，它经典描述情况下，全铜粒子是可以分辨的， 他是可以分辨的，虽然他是全同，但他仍然还是可以分辨的。就是说把两个粒子的运动状态进行交换之后，呃，这个系统的运动状态是不一样的。 那经典描述的时候，我们是需要 r 个广义坐标以及 r 个广义动量。这是对于一个粒子来讲，如果是 n 个粒子的话，那就是需要二乘以 n 个变量来确定的。 所以在这个向空间中，如果是经典情况下，我们就就需要 n 个点来表示系统某个时时刻的这个微观状态， 那对于量子描述来说，那又是不一样的。那首先量子描述下，全通粒子它是不可以分辨的， 就说交换任意一个粒子，他的系统的微观状态是不改变的。另外他的粒子又是分力的，所以我们把粒子所处的状态叫做这个量子态， 那量子态是要用这个量子数来表征的。我们前面就学了这个自由粒子，还有三维的，还有一个先进斜正子，它们都是可以通过量子数来表征它的能量，那同样这个量子态也是要通过量子数来表征的。 那这个量子描述又是怎么样呢？那这个量子描述又是怎么样的？就是对于单粒子来说，它的状态是要确定这个单个粒子的量子态， 那我们在系统中不可能只有一个例子吗？所以我们肯定是非常非常多的例子，那对于很多个例子的系统来说，就是要去确定每一个量子态上的粒子数，这两个和 呃是正好相反的，单粒子和多个粒子是正好相反的，对于单粒子来说，我们是要确定这个粒子的量子态，那对于多粒子来说，我们是要从量子态上去找粒子数， 那下来我们回忆两个东西，一个叫做波色子，一个叫做费米子，那波色子就是说自旋量子数为整数的，比如说这个光子， 然后那这个费米子他就是自旋量子数是半整数的，比如说电子质子中子，那自那费米子他又遵从一个抛力不相容原理，就是说完全相同的费米子， 那所以我们这个系统，我们整个系统就会分为三个。首先是波尔兹曼系统，他和经典的是比较相像的，因为他的全铜粒子是 可以被分辨的，然后每个量子钛上的粒子数是不受限制的，然后波色系统的话，他也他是不可以分辨的，然后但是他这个量子钛上的粒子数是不受限制的，那费米系统他是呃 这个量子描述的话，他就是全铜独立粒子，是不可以被分辨的，并且他还要遵从一个抛物不相容原理，所以说他每个量子态上的粒子数是有限的，他只能有一个。 那我们现在先来讲一下这个波尔兹曼系统，我们同时也把它称为这个定域系统，在波尔兹曼系统中粒子是可以分辨的，然后每个量子态上的粒子数不受限制。假设我们要这个 有两个粒子，然后有呃三个量子态的话，我们要确定所有的微观状态的话，就需要去确定每个粒子所处的这个个体的量子态， 我们可以来一起计算一下，假如说这是量子态，一量一，这是量二， 那他们两个虽然是全同粒子，但是他们两个是可以分辨的，所以在啊不同量子态上，他们也是不同的微观状态，然后把他们交换，更是啊，微观状态要发生改变，如果说他们都在第一个能级上来说， 这是一种微观状态，然后都在第二个能级又是一种， 然后 a 在 一， b 在 二是一种，然后两个交换微观状态发生改变 下来，就是 a 在 一， b 在 三，然后 b 在 一， a 在 三，然后以及 a 在 二， b 在 三和 b 在 二， a 在 三， 所以我们有九种，那其实对于波尔斯曼系统来说，它的这个微观状态就可以写成啊三的二次方这样子， 那对于这个不可分辨的全同粒子，我们有两个系统，一个是波色系统，一个是这个沸米系统，那不可分辨全同粒子，它们 要确定这个微观状态，就是要确定和以和前面一样，要确定每个量子态上的粒子数，那对于波色系统来说， 它的这个啊，每个量子态上的粒子数是不受限制的。所以 我们如果 ab 两个粒子是全同粒子的话，我们把它就全部表示为 a， 因为他们是不可以分辨的嘛。所以说我们先写一下这个量态一，量态二，量态三，如果两个都在一是一个状态，然后在二是一个状态，在三是一个状态， 然后 a 在 一，另外一个 a 也在，在二的话是一个状态， 然后一个 a 在 一，一个 a 在 三是一个状态，一个 a 在 二，一个 a 在 三是一个状态，这个和波尔兹曼系统就是差别在于 这个全铜粒子是不可以分辨的，但是波尔兹曼系统全铜粒子是可以分辨的，那对于费米系统来说，它除了有全铜粒子不可分辨的这个性质， 还有一个就是每个量子态上的粒子处只能有一个，要满足抛抛离不相容原理。所以我们这个非常简单， 首先 a 在 一的话，另外一个就只能在其他的量子态， 那 a 在 二的话，另外一个也只能在其他量子态，所以这个就只有三种。然后波色系统是六种，这就是呃不一样的情况。但是这个粒子只是两个粒子组成的一个系统， 但是对于大量微观粒子组成的实际系统，它的微观状态数目是非常非常多的。 在这里我们先先要给大家讲一个等概率原理。为什么要讲这个等概率原原理呢？是因为宏观物理量是这个相应微观量的统计平均值，宏观性值是大量微观粒子运动的集体表现， 所以说要确定各个微观状态的出现的概率是统计物理学的一个基本问题。那等概率原原理是什么呢？ 它是统计物理学的一个基本假设，就是说在平衡状态的孤立系统中，每个可能的状态出现的概率是完全一样的，这就叫做等概率原理。 那下来我们就要讲这个分布和围观状态了。 首先我们是系统，它是平衡固力系统嘛，所以我们确定了总量的数，以总粒子数以及能量以及体积，说明它是一个固力系，这三个是不变是呃确定的。如果它们发生虚变动的话，虚变动是要等于零的， 这个时候系统有大量的微观状态，因为它的粒子数是非常非常多的。那对于分布来说，如果能确定各能集上的粒子数的话，我们就是确定了系统的一个分布。这大家要注意一下，我们后面说的分布都是和它粒子数 呃紧密相关的。对于这个多粒子的系统来说，能及我们用这个 epsilon 来表示，然后减频度就用这个 omega 来表示，其实它也是量子数。 然后对于粒子数来说，我们用 a 来表示， 就是说在能级 epsilon 一 上有 a 一个例子，然后在二上有 a 二个，然后这里就可以给出一个分部，分部我们是确定例子数就可以确定分布的话，那我们就是用这样一个集合， a n 就是 和粒子数完全相关的来表示的。那我们还需要满足一个约束条件，就是所有能及的粒子数的相加是等于 n， 然后粒子数乘以对应能及， 再相加的话是等于 e。 那 我们首先先来讲一下这个波尔兹曼系统， 那对于波尔兹曼系统来说，它这个粒子是可以被分辨的，权重粒子是可以编上号的，那每个粒子每个量子态上的粒子数也是不受限制的。所以对于 对于 a l 个粒子，它占据了这个某一个能级上的这个量子态 的占据方式数，我们就可以写出来。我们在前面其实刚刚刚刚说过，就是那个三个粒子，然后两个粒子，两个量子态，他的微观状态数就是三三的二次方，所以对于这个来说，他就是 omega l， 然后 a l 次方，它是对于一个能，一个能记来说，那如果我们把每一个能记都要考虑在内的话，就要对它进行一个连乘， omega l a l 次方， 那由于它的粒子是可以分辨的，所以说它能集之间粒子交换是占据了新的方式，那我们怎么去计算这个能集之间的粒子交换的？我们可以先对所有能集所有 粒子的交换进行一个计算，就是 n 的 结成，那我们同一能集间粒子交换要给它除掉，所以要除以同一个能集 粒子间的交换。这块有个连乘也是因为它有很多个能级嘛。那一个能级它是 a l 的 阶乘的话，那两个能级就是 a l 阶乘乘。以 a l 阶乘，那所以说它有 l 个能级的话，它就是 l 个呃， a l 阶乘的连乘， 所以把它们两个就是这两个乘在一起，就可以得到这个分布为 a l 包含的总的微观状态数。这个波尔兹曼的这个微观状态数希望大家还是要记住，然后他其实去理解是非常简单的， 那接下来我们就要去讲这个波色系统中的这个微观状态数。 那首先波色系统它的粒子是不可以分辨的，就是说全铜粒子，它把两个全铜粒子交换，然后粒子的微观状态是呃不改变的， 那它这个每个量子态上的粒子数也是不受限制的，所以我们怎么去呃计算呢？首先 我们是用这个蓝色的方框表示量子态，然后用这个黄色的圆是表示粒子，我们把量子态和粒子进行一个排列， 然后我们要规定粒子他只占据他左边的这个量子态，他不去占据右边的这个量子态，那我们改变这个排列方式呢？就可以得到新的占据方式。 那对于量子态和粒子各种排列交换，我们就可以写成 omega l 加上 a l 减一 的结成。那为什么是 omega l 加上 a l 减一呢？因为我们规定了它只能占据左边的量子态嘛，所以说我们要减去一个一， 那我们从这个呃图就能看出，我们如果交换了量子态的话，它的这个微观 粒子的运动状态以及系统的这个微观状态是不发生改变的。然后同理我们也交换两个粒子数的话， 两个粒子的话，它这个系统的微观状态也是不发生改变的。所以说只有在量子态以及粒子交换相互交换的这个条件下，才会导致不同的微观状态。就是说现在这个一后面有两个粒子， 我们假如这这两个进行一个交换的话，让二来这里， 然后这个粒子到二的后面来，他就二态就会有两个粒子，这样子他的围观状态才会发生改变，所以必须是量子态和粒子数粒子之间发生这个交换。 所以说我们先来计算一下，如果是他这个量子态交换的话，我们可以写成 欧米伽 l 减去一阶乘，因为这个一态我们是呃不能向右进行交换的，如果交换的话，那就他后面这一个粒子就会跑到他左边去，他就 嗯和我们规定的就不符合了，因为粒子只能占据他左边的量子态，那粒子的交换数他就是 a 的 a l 的 阶乘。 所以说各种交换总共有多少种形式呢？就是上面的所有的排列总和，加上 a l 减去 e 的 结成，要除以下面交换， 我们要除以就是量子态的交换，乘以再除以这个粒子数的交换，因为这个量子态交换，它的微观状态不发生改变，然后粒子交换，微观状态不发生改变，只有它们共 同时进行交换的时候才会发生改变。那这个是对于一个能级来说的话，那对于多个能级来说，就又要对它进行一个连成， 最后我们就得到了这样子多色系统与这个分布条件下的这个微观状态数。 在最后呢，我们就需要去讲一个费米系统，费米系统非常简单，因为它的粒子是不可以分辨的，并且每一个 量子态只能最多容纳一个粒子，那我们怎么去看它的啊？微观状态数呢？就可以从它的这个量子态中去选，去选一些粒子，然后让它这个 a l 个粒子去占据它这个量子态， 就相当于是在量子态中选粒子，就等于 a l 结成，乘以我们的 l 减去 a l 结成，那这这同样也是一个能结， 那对于啊多个能级来说，我们就需要对它进行一个连成。好了，我们这节课先讲到这里了。

解析人体在不同活动状态下产热特性及对热平衡的需求。技术代谢产热，经济状态下人体产热约七十至一百瓦，是维持体温的基础， 该数值为热控设计提供依据，对宇航波温控具有参考意义。活动产热增加中档强度活动产热超三百瓦，剧烈活动可达五百瓦以上，显著加大散热需求。主要散热方式 代表焊液蒸发和热辐射为主要散热途径，在长烟环境中效率较高，依赖环境条件真空散热限制，真空中无法通过空气对流对流散热。焊液蒸发受限，必须依赖外部辅助。 宇航服温控，宇航服需要主动温控，持续调节热量平衡，应对不同活动下的产热变化。热平衡保障维持热平衡可防止或热或湿温，保证宇航服升温稳定，提升任务安全性。 分析太阳辐射对加热、校阳、以太空极端等背景对热控圈的双重挑战。宇航服热控， 高温防护，反射太阳辐射减少热量吸收。低温防护多层隔热系统，减少热辐射丧失。 热平衡调控，动态调节热性能，适应环境变化。智能温控，实时监测并调整热分布。材料技术，高反射外层，低反射涂低反射率涂层环境挑战，太阳直射区温度可达一百二十度以上，阴阴影区温度可机制负一 零下一百零五十度以下。结构设计，多层复合结构，兼顾隔热与强度。 提示，多借势多层隔热材料与液冷辐射技术如何协同实现高效热量管理。 隔热层结构，多层复合薄膜交替反射，热热辐射显著降低，外部交换维持内部稳定。 涡轮辅助原理，循环吸收体表热量，通过管道快速导出，实现主动取一年三十毫升材料吸通机制，外层防辐射终生反射，内隔导热，多级材料 协助分空吸收热量。热控效率动态调节能力，根据活动强度自动调节液冷油速适应不同产生水平，保障热平衡，精确维持 冰箱与热泵效率的极限。基于热力学第二定律，循环展示卡通循环作为理想制冷制热过程理论基石，热力学第二定律核心， 热力学第二定律指出热量不能自发从低温转向高温，为制冷过程设定基本限制。卡通循环定义卡通循环有两个等温与两个热过程构成，是理论上效率最高的可逆循环 效率极限。推导制冷系数取仅取决于冷热源温度结实着实际系统无法超越的理想型型的上限 温。上图呈现抗能循环各阶段能量转换特征、抗能循环四步等温吸热、绝热压缩、等温放热、绝热膨胀四个过程构想构想理想循环实现最高热效率， 对主流工程的热热性与环境影响差异氨制冷优势氨制冷效率高且环境友好，不会受冷层，全球变暖浅失其一 二氧化碳特性。二氧化碳作为天然制冷工质 和无无毒不可燃环境，进进出境好运行，需高压，通常系统和散热角高， 受利昂影响，利昂类制冷剂化学性质稳定，但会破坏受冷增并显著的温室效应，目前正被正被低全球变暖的显示替代品初步取代。 研究实际实际制冷系统偏离理想效率的关键因素非理想传热，实际系统中存在有限温差，传热导致不可逆损失显著降低效率流去阻力 管道摩擦与节流损耗增加压缩机功率使其远离抗动力性等材料老化长期运行导致换热器机构与固体间隙持续衰弱。热交换性 热死宇宙热死的宇宙热力学效应。时间箭头探求从统计物理学角度理解上升原理，解释其无序性增长的围观本质。 伤的微观定义，伤势系统微观系数分布的度量反应粒子分布的可能方式越混乱则伤越高。 宏观与微观联系，宏观均匀态对应极多，微观排列自发过程趋向更高位的无序状态。分子运动的不可逆行，尽管单个位置可逆， 整整体系统总计为导致扩散、混合等过程不可逆转掌握以稳定趋势短暂有序可能出现，但系统从其制定上升方向，其建立规律的强主导性 论正商二单项氧化如何为时间提供物理上的方向进行据是建立方向性商根定律结实的自然界过程的不可逆，为时间提供唯一的物理指向。 围观我们去增长，大家一起系统城乡各大对立的混乱状态，到商增持续增加激励更多，我们记住过去而为未来，因因商低态而到高态定义的循环因果顺序。宇宙时间尽头，从大爆炸低商增加几点出发， 宇宙演化赋予时间宏观方向特征影片，大洞解大撕裂等宇宙命运背后假设的热力学逻辑大洞解，假设 宇宙持续膨胀，温度趋近，绝对一点伤伤打几大，所有的能量均匀分布，不再持续有序过程大撕裂假说，暗能量增强导导致膨胀加加速，最终撕裂星系原子终结于高升过程中。 商与终极观点，无论何种路径，宇宙演化成千上万最大商状态。以前哲学第二定义的终极支配时间进箭头追溯 商增加了定义商增定义时间方向。宇宙终极即时间是物理时间物理意义的终点，也使时间与哲学深层联系。

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各位同学好，我是蚂蚁期末的王老师，今天我们继续来学习热力学语统计物理的内容，那上一次呢？我们讲了这个第二章的前半部分的内容，然后今天我们来继续完成这部分。 首先我们先要来讲一个气体的节流过程和绝热膨胀过程，那什么叫做节流过程呢？就是说呃，有一个气管，它是一个绝热的，然后它中间会有一些， 会有一会有一个这部分是一个多孔塞或者是一个节流阀，然后 p 一 和 p 二这两部分的加强是不一样的，如果 p 一 是高压的话，那么 p 二就必须是低压，那么气流就会从 p 一 向 p 二流， 然后并达到常态，这个过程叫做节流过程。那么节流过程是一个含相等的，为什么它的含相等呢？其实非常好理解， 气体内能的改变其实不就是我们前面学的热力学定义定律吗？和这个吸放热以及做功有关，那么因为它是绝热的，所以它就完全没有吸放热，那只有做功，所以它内能的改变 就是这部分气体流过去做的功， 然后再把它稍微的呃左右左右两边稍微移一下就可以得出来。 那因为含是不是等于 u 加 p v， 那 所以 h 一 就等于 h 二， 所以这个是非常简单的，但是这个含相等又是很重要的，大家一定要记得截流过程是一个含相等的过程，那如果这个温度发生变化的话，这个效应就会被称为这个焦糖效应，是焦尔和汤姆森一起发现的， 那就会有一个焦糖系数， 就在这边给出大家这个系数，大家，嗯，要记住，重点是在于这一部分 焦糖系数小于零的时候才是升温，如果是大于零的时候是降温，就是这一块不太一样。 那如果是理想气体的话，它节流过程，节流过程前后它的温度是不会发生改变的。呃，大家可以想一下我们那个理想气体的内能，它的内能是不会发生改变的。呃，不对， 节流过程因为它温度不发生改变，所以它内能是不会发生改变的。那绝热膨胀过程，嗯，它这个我们书上也是有一些 推导的，但其实这个公式的推导没有那么重要，并且也稍微复杂一点。但是最重要的是大家要知道 绝热膨胀过程，他也是会造成温度的降低的，是因为他膨胀的过程中对外界做了功，但又因为绝热，所以他是一个没有稀放热的，那么他这个内能就会减少， 在膨胀过程中相互作用能增加，因此分子的动能就会减少。因为内能是在微观上是分子的相互作用能以及这个动能一起组合而成，所以它温度就会降低。 最后是这个呃基本的热力学的确定，这部分非常简单，我们前面引入了非常热非常多的热力学的一些量，比如说这个物态方程，内能 以及商这三部分是最基本的，那所有的其他的热力学函数就可以通过这三部分来推导。还有一个叫做呃特性函数，什么叫做特性函数呢？就是比如说这个内能它是可以通过 sv 来确定的， 就是这个 du 是 不是前面说过等于 tds 减去 pdv 嘛？所以它是通过 sv 这两个量来确定的，那么这个 u 就是 sv 的 特性函数，那对于含以及自由能还有吉普斯函数都是一样的。 下来我们就要讲一下这个热力学，热辐射的热力学理论就是通过这个，嗯， 内能呀、商呀以及吉普斯函数去表示这个热辐射。那首先热辐射这个很简单嘛，就是说任何一个有温度的物体都会以电磁波的形式向外辐射能量，这个叫做热辐射，但是热辐射是和温度有关的， 那我们就要说两个东西，一个叫做辐射场，辐射场也非常简单，就是辐射体周围存在辐射能，那这个这一部分叫做一个辐射场。 那平衡辐射叫叫什么呢？就是说单位时间内物体呃向外辐射的能量是等于向内吸收的能量，这个就叫做平衡辐射。 那我们现在要讲一个空教辐射，什么叫做空教辐射？这个空教是说是指它这个东西，它是一个封闭的，并且气壁是恒温的， 那如果它容器内还能形成平衡辐射的话，它就叫做空教辐射。那这个空教辐射这个系统就可以看作一个热力学系统， 那我们就会呃给出一些东西，比如说这个平衡态的内能密度，它是只和温度有关的，和其他的没有关系。所以我们这块就写了一个 这样子的，就是表示它和它的内能密度和其他的物体没有关系，只是温度的函数。 另外还给出了雾态方程，就是 p 等于三分之一， u u 就是 内能密度， p 就是 辐射加强，那我们就要根据一些雾呃这个热力学量去表达这个，呃空调辐射， 首先是内能，前面给出了这个内能，就是 v 乘以这个内能密度，那我们在前面不是啊，讲了一个 这个麦氏关系的应用嘛，然后我们求了这个 t 不 变的时候 u 对 v 的 一个偏导，得出来这样子的一个嗯式子，然后这个式子也是比较重要的，上次也给大家说过，希望大家能记住，那我们可以把这个 p 就 这一部分带到里面， 我们先试着做一下 p 对 t 的 偏导，是不是就是等于三分之一这个 u 对 t 的 导数，然后我们这个 p 又等于三分之一 u， 那 我们把它全部都带进去，带进去之后我们来计算一下， 乘以三分之一 u 对 t 减去三分之一 u 这样子的一个式子，然后我们通过积分呢就能获得这个， 那因为啊内能是 u 乘以 v 嘛，所以就可以获得内能，然后再把这个 带到上面这个式子，就可以获得下面这个式子。那其实这一部分还是比较重要的，后面呢，商以及啊这个吉布斯函数都是要通过这两部分来表达的， 那下来就是商，我们知道热力学定义定义以及那个啊商的定义加起来就可以获得这样子的一个式子。那 d s 其实就是等于 du 加上 p， d v 除以 t， 好， 我们就得到了这样子，那我们刚才 u 是 等于 a 乘 v 乘 t 的 三次方的，我们在这里需要对 v 和 t 同时求一个微分，就可以回到这，最后 我们把它合并一下，其实就能得到这这个 s 的 这个式子。 那如果是可逆的绝热过程的话，那这个 d s 是 等于零的，我们在第一章也是说过的，那就说明这个 v t 的 三次方是为一个常数，那吉布斯函数呢？ 我们还是可以通过吉布斯函数的表达式来得到它在这个空调辐射中的表达式。那我们前面讲过，吉布斯函数表达式是这个，然后我们把 u 带进来 a v t 的 三次方，然后 p 是 三分之一 a t 的 三次方，然后商的话也是有三分之四被 a v t 的 三次方，然后把它们合并一下，正好就等于零了，那等于零说明了， 呃，它这个空教辐射场内光子数其实是不守恒的，这个大家，嗯，可以先记住这个结论，后面我们在统计物理的部分还是会讲。到 最后还要给大家讲一个辐射通量密度，嗯， 就是说在平衡状态的时候，单位时间内通过单位面积，然后向一次一侧辐射的总辐射能量称为辐射 透亮密度，然后也给出了这个表达式，这表达式大家还是要记一下，但是他没有给出这个推导，所以我们就不用去管他的推导，然后这里面这个 c 就是 光速， u 呢，就是辐射能量密度。最后我们在书上其实还讲了，呃，一些磁介质的东西啊，但是这些其实没有那么重要， 但大家要知道获得低温的方法有三种，节流过程以及绝热膨胀以及绝热去磁制冷，那这两部分是一定能 使温度降低的。但是截截流过程我们前面说了，如果这个浇汤系数啊是小于零的，他才是温度降低，如果大于零的话，他是会温度升高的，所以大家要注意一下这里，那我们这一张就要讲完了。