天津九年级数学二次函数最后一题

思南引路，难题不辄。大家好，我是思南老师。九上期末二次函数这块呢，有一类让同学们特别头疼的问题啊，就是我们的区间对值问题，那这期视频呢，思南老师就来教一下大家这类题目应该怎么去做。他说，二次函数 y 等于 s， 方减二 m x x 大 于等于负一，小于等于二的时候，他对应的这个函数值 y 的 最小值呢，是负二，让我们去求 m 的 值， m 现在是不是在二次函数的表达式中，对吧？好，然后呢，他现在是给了一个区间， 然后给了他的函数值的最小值是负二，让我们去求 m 的 值，那怎么去求呢？对吧？好，对于这类题目啊，哎，我们首先呢，要把二次函数图像先画出来， 目前我们已经知道，二次函数的 a 是 等于几的，是等于一的，是大于的，所以它开口向上，对不对？二次函数的图像画出来之后，找一下它的对称轴应该是多少呢？同学们，哎，对于这个一般式，它的对称轴是 s 等于负的二， a 分 之 b， 对 吧？ 好，等于负的二， a 分 之 b 往里一带二， a 是 几？同学们， a 是 一， b 是 负二， m， 对 吧？好，所以呢，等于 m， 好， 这是我们的对准轴找出来了，哎，在这好，现在呢，他又给了一个范围， s 大 于等于负一，小于等于二，然后他的最小值是负二，好，那么那这一段范围 是不是就是给了一个区间，对不对？那这个区间到底在这二次函数的哪一个部分呢？我们是不能确定。好，那所以呢，就有三种情况啊，好，我们来看一下啊。首先， 这段有没有可能完全在对称轴的左侧，那我们这种情况来看一下啊，目前的话，呃，他的左区间是几？是负一，右边呢？是二，对吧？这个时候二次函数的最小值在哪个地方取的？是不是在 x 等于二的时候取的，对吧？好，那所以，哎，我们就来 把情况写一下啊，当 x 等于二的时候，这个时候呢，我们 y 取的最小值。 好，同学们，这个最小值是多少？是不是把二往里一带就可以了，对吧？好，那二往里一带，也就是二的平方四减去二的四四 m， 对 吧，等于多少？等于负二，好，同学们，这个时候你算算 m 等于多少呀？ m 等于二分之三啊，好，那这个时候同学们，二 m 等于二分之三，我们能不能要？ 哎，能不能要？要看什么？同学们，你要看一下啊，现在你的 m 是 什么？ m 是 对称轴，对称轴在二的哪一侧？我们如果说按照第一种情况全部在对称轴左侧的话， m 是 不是应该比二还要大， 对不对？哎，所以第一种情况是基于我们 m 大 于二的情况下去做的啊，同学们，而 m 等于二分之三，是不是不在这个范围内， 对不对？所以我们第一种情况就要舍掉了啊。第二种情况的话，同学们，我们是不是，哎，这个一段区间呢？正好跨过了我们对称轴，好，这个时候呢，这这个地方是负一，这个地方呢是二 啊。这种情况的话， x 等于多少的时候取得最小值啊？同学们，这个时候你看一下，哎，一定要分辨。好啊，一定是在对称轴数取得最小值，好吧？好，这时候当 s 等于 m 的 时候， y 取得最小值，最小值等于多少？把 m 往里带，对吧？那就是 m 方减去二 m 方， 也就是等于负的 m 方等于多少？同学们，等于负二，所以 m 等于多少？同学们，哎， m 一 等于正的个方二， m 二呢？等于负的根号二。朋友们，这两个结果还是要思考一下，是不是都能要对不对？好，那这个时候我们要怎么考虑呢？还是这样的呢？现在对称轴是不是处于负一和二之间，对吧？好，那所以我 m 的 值就应该是大于负一小于二的， 对吧？好，那正根号二和负根号二哪个在这个区间内？所以，哎，我们就找到了第一个答案，是多少的呢？哎，是等于正根号二了啊？好，这是我们第二种情况。接下来再来看第三种情况，我们全部在对准左侧，已经讨论过了，然后快和对准也考虑过了，然后最后是不是在全部在对准左侧？ 六层，是吧？好，那就是第三种情况。同学们，在第三种情况的时候，这个时候，哎，这个地方呢，是负一，这个地方是二，这个时候当 s 等于多少的时候，取得最小值负一啊，负一， y 取得最小值 等于多少呢？是不是还是往里一带，对吧？好，负一的平方一，然后减去二 m 乘以负一，是不是加上了二 m 等于多少？同学们，等于， 对吧？好，那这个时候 m 解出来是等于多少呢？ m 解出来是多少？你们是等于负的二分之三，对吧？好， m 等于负的二分之三，这个结果能不能一样呢？还是要看一下这个 m 的 直径范围。八、目前 m 如果处于这个位置，我们整段都在对称轴右侧的话，那 m 是 不是应该比负一 要小的，对吧？而负二分之三是不是刚好也是就是比负一要小的，对吧？所以我们这个情况是可以要的啊，所以对吧？哎，我们综合来看，这三种情况的话，我们 求出来了一二三四个结果，但是只有两种情况是符合题的，对不对？哎，一个是 m 等于正的根号二，一个是 m 等于二分之三，所以这道题目答案就是 m 的 值为正的根号二或者 负的二分之三。朋友们，这是我们这道题目啊，好，那今天的区间最值问题呢？大家听懂了吗？ s 老师呢，还给大家一道同类的练习题，大家可以用我刚才教的方法来做一下这道题目啊，然后在评论区告诉我你的答案是多少。

同学们好，欢迎大家来到翔翔老师的数学课堂。今天咱们讲解二次函数图像与系数关系问题。看题，题干中说经过一个定点一零，咱们先把一零在图上标一下， 题干中已知 a 大 于零， c 大 于零，那咱们的抛物线开口就是朝上的，先随便画一个啊。 嗯，大概是这个样子。但是题干中又说了一个条件， c 也是大于零的吧。 c 决定什么呀？决定这个抛物线与外轴的交点。那你必须得和它交在正半轴吧。咱们这个图明显没有交在正半轴， 他和外轴交待了，副半轴不满足提议，对吗？那怎么办呢？咱们就去挪这个图像，看看你挪到什么的时候，他能和外轴交在正半轴，这个时候是不是就可以了。他既过 一零这个点，他和外轴你一延长，也能交在正半轴。好，咱们这个大致的图像就能画出来了。 b 的 符号如何判断呀？还是那句话啊，左同右异，对称轴在外轴的左侧， b 的 符号和 a 的 符号相同。对称轴在外轴的右侧， b 的 符号和 a 的 符号相反。咱们这道题，对称轴在外轴的右侧，那右 e 说明它和 a 的 符号相反， 所以 b 应该是小于零的。首先看第一个式子，它给的你是二 a 和 b。 哎，你看到它，你就能很熟悉地想到，有一个东西是负二 a 分 之 b 吧，它们是不是看着字母啊，就挺相关的。那负二 a 分 之 b 是 什么呢？负二 a 分 之 b 是 对称轴吧。 图，咱们可以知道咱们这个负二 a 分 之 b 怎么样的？大于零，它不仅大于零，还比一大，对吧？因为你对称轴的这一条鱼色的线，它是在一的右边。 好，那咱们就略式算算吧，负二 a 分 之， b 大 于一啊，负 b 大 于二 a， 好， 这为什么是大于而不是小于呢？因为题干中咱们已经知道了 a 大 于零，对吧？不等号两边同时乘一个正数，不等号的方向不改变，所以咱们还是大于零。 那你给他一项变号，是不是就能得到你想要的式子呀？二 a 加 b， 它是不是就小于零了？我们现在再来看圈二。圈二说 x 大 于一的时候， y 随 x 增大而增大。好，看。图像， x 大 于一，它对应的是哪一部分图像啊？是不是？我比一下绿色的部分？ 绿色这部分，他不是单纯的增大而增大吧，对吧？他有一段，他有一段先增大而减小了，然后才是增大而增大。所以你如果单纯的说增大而增大，那是不对的。好，我们现在来看圈三。 好，你看看我画蓝色的这两个式子，它们长得是不是很像啊？ x 加 b 加 c 等于零，是不是可以写成 ax 方加 b， x 加 c 等于负 b 啊？那蓝色的这一部分，它是不是就是你的 y 呀？那它是不是就是 y 等于负 b 啊？咱们已经知道了， b 小 于零， b 是 一个负数，那么 b 就 得是一个正数吧，它得是大于零，那就是说当 y 大 于零的时候，方程有两个不相等的实数根，这句话是对的吗？当然是对的啦。 来看我黄色的这条线，他是不是我随便画了一个 y 大 于零的一条直线，他和这个方程是不是有两个焦点呀？那有两个橘色的焦点，不就代名代表他们有两个不相等的实数根吗？所以圈三也是这个，这道题选 c。

同学们好，欢迎大家来到小杨老师的数学课堂，咱们今天继续二次函数图像与系数关系问题。好，依旧。第一步，先画图，他说 c 大 于负一啊，那这个抛物线和外轴一定是交在正半轴的，并且经过图像二零， 嗯，大概是这个位置。一看中又说对称轴是直线， x 等于二分之一，咱们大概这个对称轴画一下， 根据抛物线的对称性，咱们可以知道抛物线和 x 轴的另外一个焦点是多少呀？ 应该是负一吧。想要经过棕色的三个点画一个抛物线，是不是只有开口朝下的这一个方案啊？你开口朝上的话，是没有办法同时过这三个点的。 好，基本图像出来了。那，那咱圈一也可以判断了啊，炮线开口朝下， a 小 于零啊，左同右异，对称轴在外轴的右侧， b 应该是大于零的，然后 c 大 于一。 哎，所以圈一是不对的吧， a 乘 b 乘 c， 它应该是负数才对。好，咱们来看圈二圈二，依旧是看我蓝色的荧光笔这个部分，它们是不是相同的呀？都等于 y 对 吗？所以就是 y 等于 a 这条直线啊，和这个抛物线有 怎么样的一个交点情况呢？好，咱们已经说了， a 是 小于零的吧，所以这块他应该是个负数才对啊。那负数在图上体现， 咱们随便画一条 y 小 于零的图像适不适合？抛物线？确实有两个不相等的实数根啊。对，第二个是对的。 好，来看第三问，第三问，他说 a 小 于负二分之一，给了你一个 a 的 范围。那咱们现在就需要通过已知来转换一下关系式，看看能不能代出所求呢？先对准轴，咱们就可以先用一下负二 a 分 之， b 等于二分之一。 这个式子啊，有的时候同学们经常不知道怎么化简，咱们其实就可以把它写成这个形式，然后进行一个幺叉相乘嘛。那是不就是负二 b 等于二 a 啊？ 那是不是 a 等于负 b？ 那 这个关系式咱们不就出来了？同样的抛物线还过二零这个点吧。那把这个点代入，还可以得到四 a 加二 b w 出来 b 等于负 a 了吧，就是可以把 b t 换掉啊。为什么要把 b t 换掉呢？因为人家给的是关于 a 的 一个关系式，所以咱们肯定是要把 b t 换掉，那就是四 a， 那就是二 a 加 c 等于 a 就 等于负二 a 啊。题干中咱们已知 a 是 大于你的，所以负二 a 它也得就是 a 小 于负二分之一，所以圈三是对的吗？这道题选 c。

哈喽哈喽，大家好，我是思南老师，对于初三的同学们来讲啊，二次函数的压轴题的焦点问题呢，妥妥的期末中考高频难点，不管说是求函数与 s 轴 y 轴的交点，还是二次函数与一次函数的交点，很多同学们呢，总混淆解题思路。 别慌，先三点加关注，思南老师呢，今天一个视频带你学会交点问题。好的们，那我们来看一下这道题目啊。这道题目是说在平面直角坐标线 s o， y 中呢，这个抛物线 y 等于 s 方加 m， x 加 n， 它的对称轴已经给你了，是直线 s 等于二，然后又给了一个 a 的 坐标为三等号零。求的是，若该抛物线 与线段 o a， o 是 谁？里面 o 是 坐标原点，对吧？与线段 o a 有 且只有一个交点啊，求 n 的 取之范围。朋友们，这个时候应该怎么去求呢？首先呀，我们应该先把这个图像大致画出来，对不对？哎，由图像呢，再去思考我们的这个问题啊。 好，现在我们已知的条件有哪些呢？目前我们已经知道了，它的对称轴是 x 等于二，如果说这个抛物线与线段 o a 有 且只有一个交点， 我们是要想一下我们前面所讲的这个情况，对吧？好，来，第一种，朋友们，这个时候这个抛物线是不是与线段 a、 b 只有一个角角，对不对？这个时候线段 a、 b 过的是这个抛物线对准轴的左侧。好，那第二种呢？这个线段过的是抛物线对准轴的右侧。还有一种现在，哎，就是当这个抛物线过顶点，过线段 a、 b。 好，同学们，这是我们的三种情况啊，那我们做这道题目就要依据这三种情况来去思考啊，我们是不是已经知道对称轴是 s 等于二，那这个时候我们是不是可以把 m 的 值给算出来啊？对不对？是吧？好， x 等于负二分之， b 等于负， a 是 一， b 是 m， 往里一带等于几等于二，所以 m 我 们就求出来是等于多少呢？同学们，等于负四，好， m 等于负四，那就写在这里啊！首先第一种情况，同学们， 我们是不是先去思考那个最简单的让这个抛物线的顶点过线段 o a 对 不对？好，来，老师大家给大家画一下啊， 这个时候是不是抛物线的顶点过了线段 o a？ 朋友们，这个时候抛物线的顶点如果过了线段 o a 的 话，我们能够列出来一个什么样的式子呢？好，有没有发现 o a 是 不是就是 s 轴上的一条线段，对吧？好，如果说抛物线的顶点过了线段 o a， 那 我们是不是就可以得到 我们的 y 等于 x 方减四， x 加 n 等于零，它与 s 轴只有一个交点，对不对？是不是因为它得它等于零的？得它等于 b 方减 c， c 对 吧？ b 方 是负四的平方十六减去四， a 是 一， c 是 多少？ c 是 n， 让它等于零，对不对？这个时候我们求出来 n 等于多少？ n 等于四，好，这是我们的第一种情况就求出来了， n 等于四啊，好，那接下来还有第二种和第三种情况，好，你们来思考一下啊，目前我们是已经得保证这个 r 函数对数轴一直是 s 等于二。 好，那第二种情况是什么呢？同学们，是不是利用我们的这个线段过的是抛线对准轴的左端对不对好？是不是有可能是这种情况？同学们要怎么去算呢？哎，我们去找临界值去算，临界值是什么？你看是不是当这个抛线的右侧与 s 轴的交点和 a 重合的时候，是不是就差在临界值？因为在线段 o a 这一段上面，我肯定是能够保证对准左侧与 o a 是 有一个交点的，当这个抛线和线段 o a 有 两个交点的时候，给大家再画一下啊，就是这种情况对不对？就是老师画的这个绿色的这种情况啊，这就是临界条件，好，那这个时候 临界条件怎么去算明白是不是刚刚好是这个抛线过了 a 这个点，对不对？那我们呢，就将 a 三的号零这个点的坐标呢，带入到我们的抛线的减去式里面，也就是带入到 y 等于 x 方减四， x 加 n 这个式子中。好，那我们能够得到什么？同学们，哎，零呢？等于三的平方减三 乘以四，再加上 n， 所以 可以推出来 n 等于多少？同学们，来算一下，九减十二减，这个时候 n 是 等于三的。同学们，思考一下，这个时候 n 等于三，我们能不能赢 他是我们算的一种临界情况对不对？如果说真的当 n 等于三的时候，其实这个抛物线也是这个绿色的，和这个线段 o 是 有两个交点的，所以 n 等于三是不能取的，但是我们可以根据 n 等于三来算一下。第二种情况的一个范围，其实就是我们所描述的这个粉红色的这条线的 这个范围，如果说我们第三种情况的话，是不是？哎，他的一个临界条件是到哪去的？ 你看现在一直往下落啊，落到哪？兄弟们，是不是落到这这个粉红色的线，过 o 点的时候， 他再往下走，他是不是和线的 o 就 没有交点了，对不对？好，那这个时候怎么去算？弟妹代入到我们的 y 等于 s 方减四， x 加 n 种，对不对？好，这个时候零呢？等于零，零 n 就 等于零，对不对？ n 等于零，好，你们来思考一下啊， 我们现在呢，是让这个抛物线呀，哎，往下落，你看啊，刚开始跟 o a 接触只有一个角点的时候，是多少等于零，然后继续落，落到 临界值是吗？是这个绿色的和现在 o a 是 有两个角点的，对不对？好，继续往下落，是有一个角点，哎，再落，落到了这个抛物线的左侧，经过 o 点的位置的时候，是也只有一个角点，再往下落是不是就没有角点了？所以我们的第二种情况和第三种情况综合起来， 是不是可以得出来，我们这个 n 的 一个取值范围是什么？ n 要大于等于零小于三，这是不是我们刚刚说的，当它等于零的时候，刚刚好就只有一个焦点，就是 o 点，当它等于三的时候， 是有 a 和这边这一个交点两个交点的，所以 n 等于三，不能幺，对不对？所以它得小于三，它 n 大 于等于零小于三的一种情况，是不是这种情况，对吧？哎，就刚刚好和现在 o 只有一个交点啊，所以，哎，我们这道题的答案呢就出来了，第一个， n 大 于等于零，小于三，或者 什么？或者 n 等于四，对吧？好，这是我们的这道题的这个剪辑过程啊。哎，如果有问题的话，大家可以在评论区给老师留个言。

这个视频讲解九年级上重点内容，二次函数来看这道题，如图，已知抛物线 y 等于 x， 方加 b， x 减三，经过 a 负一，零和点 b， 我 们要求抛物线的解析式和顶点坐标。 因为这个炮线的解析式中只有一个字母 b 是 未知的，所以我们只需要 a 点一个点的坐标就可以代入求解。所以我们将 a 点代入，就会变成一减 b 减三，等于零， 就可求得 b 是 等于负二的，所以这个函数表达是 y 等于 x， 方减二， x 减三。 那第二个我们要求顶点坐标。其实一共有两种方法，第一个，我们可以直接套公式，顶点坐标为负二， a 分 之 b， 逗号四， a 分 之四 a c 减 b， 方可以求得它的顶点坐标。 当然我们也可以将这个函数表达式进行配方，变成 y 括号 x 减一的平方 减四，将其变成零点式，此时它的顶点坐标正好就是一负四， 我们就可以求解。第二题， x 大 于零小于三时，请写出 y 的 取值范围。这种取 y 的 取值范围的题，我们最好在图上去找出 y 的 范围，然后再去写。 因为二次函数的取值范围会有一个顶点坐标，我们需要去观察 x 大 于零小于三，它包不包含它的对称轴。因为从第一题中我们已知它的对称轴是 x 等于一的直线， 所以我们就知道 x 的 取值范围零在对称轴的左边，尤其是一左一右，我们就需要考虑到顶点的 取值。所以我们在图中表示一下，零点 x 等于零时，正好是与 y 轴的 交点坐标，然后三呢？我们会发现 a 点的坐标是负一，零，对称轴正好是一，说明 a 点到对称轴的距离是二，那一到 b 的 距离也就是二，所以此时 b 点的坐标正好就是三零， 那也就是说我们要求的 x 大 于零，小于三，正好是从这个点到 b 点这一段的一个范围，那这个时候我们要记住它的临界值，一个是 这个点，还有这个点它是不包含零和不包含三的，那我们会直接发现 y 的 最小值正好在它的顶点范围，这，那顶点的坐标是一负四，所以你的 y 一定是大于负四， 那么这个时候它的顶点坐标是包含在这个范围内且能够取到的，所以 y 一定是大于负四， 那么小于的正好就是 b 点，这所以小于零，因为 b 点这是不包含三的，所以他这也不能等于零。在所有的取 y 的 取值范围时，尤其是一种不等式时，我们一定要考虑是否有等号， 这样的话就不容易出错。那么我们来看第三个 d 为抛物线上一点三角形 p， a， b 的 面积等于十。这三个点中点 p 的 坐标是未知，是需要我们求的， a 点和 b 点是已知的， 我们先找到 a 点，再找到 b 点，因为 a 的 坐标是负一，逗号零，所以我们知道 ab 的 长度正好就是四， 那么我们需要一个点 p 的 坐标。我们就可以先假设一下点 p 的 坐标，如果在这个地方，那么此时这个三角形它的面积就是十， 那这个三角形的面积是十，我们就一定会以 ab 这条边等于底，因为 ab 这条边是等于四，所以这个三角形的高就会等于五，那也就是说 p 点的纵左边到零的距离一定是五，你说 p y 的 绝对值一定是等于五，那这个时候我们就需要考虑你的点 p 有 可能在 x 轴的上部， 那有没有可能在下面呢？所以这个时候我们要考虑 y 有 没有可能等于负五。 我们会发现你 y 的 曲值范围，因为他这有个顶点坐标，顶点坐标的纵坐标最小是负四，那也就是说你的 y 是 不可能超过负四变到负五这的，所以点 p 不 可能在 x 轴的下方，只有可能在 x 轴的上方，所以点 p 的 纵坐标他就一定是 五，不可能为负五。那么此时我们就可以直接将 x 的 平方减二， x 减三，让它等于五就可以。然后我们将它整理为一般形式， x 方减二， x 减八等于零。我们利用 十字相乘法就可以直接求解 x 一 的答案等于负二和 x 二的答案直接等于四，我们就可以得知点 p 的 坐标，要不然就是负二五，要不然就是 四五。这就是我们今天这道题，这道题你听懂了吗？听懂了记得和老师点赞和收藏。

九上数学最难的二次函数压轴题全部失透，期末稳进前三。二函数解答压轴题。存在性问题、最值问题，与相似三角形 公共点问题、最值问题、取值范围问题、定值问题、平移问题、旋转问题、情景探究题。

解一大惑，来看二五二六刚结束的天津红桥区九上数学期末，我们来看十二题填空的最后一题来，还是一个二次函数实际背景的纸飞机呢，抛出去之后会经历上抛下降和滑行，这里面它建立了平面直角坐标系， 其中呢是上升和下降，是抛物线，它的轨迹，所以说这是二次函数。滑行的飞行路径是一个直线，所以说这是一次函数， 这里面他们的长数项都是含餐的。来当，纸飞机水平机率为八。好，这里边标注出来了，他是一个分界点。好，接下来就是滑行阶段了。来，那我们按部就班去拆解计算即可，只是这个题可能会有一点计算量，认真求解即可。 好，当 n 是 七点二十求他滑行阶段，也就是在这个点的时候，对应的什么坐标是不是就是纵坐标了？ 好，这个解析式需要一个点，这个点就是我们所说的 n， 他 已经给出来了，对不对？所以说直接把它替换了。 y 就 等于负二分之一， x 加七点二， 然后令 x 等于八，代入 y 就 等于七点二，再减去四，答案是三点二，所以说圈一没问题啊，这时候就是三点二。 好，第二个新的情境了，当它的落地点和抛抛出点水平距离是十五时，求 c 的 值为多少？要求 c 的 值需要一个点，那这个点呢？就是这个点可以借助它来进行求解，所以说此时这个点的坐标我们就可以写出来了，十五到零， 好，将它带入到我们此时这个一次函数负二分之一， x 加 n， 好， 此时列方程即可。所以说我们就有了 零等于负二分之十五，再加上 n， 所以 n 的 值不就是七点五了吗？啊，所以我们的解析是， y 都等于负二分之一， x 加七点五， 好结合呢，这里面这个点，这个点的横坐标是八，我们代入到其中，是不是就把送坐标求出来了？来，我直接在这拎出来了，令 s 等于八，那此时 y 就 等于七点五，再减四，那此时呢，它就是三点五， 所以说呢，三点五。好，这个点有了，再带入到我们抛下的解析式看一眼，它就是负十分之一， s 方加 x 再加 c 就 可以了。好，我在这里边写了，那此时我们三点五就等于 负十分之八，八六十四，再加八，再加 c 来进行求解。好， c， 它就等于三点五，再加移过去六点四再减八，所以呢，它就是九点九减八， c 的 值呢？一点九啊，一点九， 所以说 c 的 值一点九。好，他没问题的。行，完全正确。好，第三个情况，那我们就把这个刚才的笔记擦掉， c 是 一点八， c 是 一点八，所以说这个点的坐标就是零到一点八了。 好，前方有一个二点七米的围墙，若飞机可以顺利的飞过他，那他的距离至少为多少？ 来，那我们就看一下子来，就是有一堵墙你要去抛出去，那我们是不是就想，他的距离是多少？你得让他能够飞过，对不对？那此时这个题，其实你就可以化归为， 当我们这个 y 为二点七十，我找到对应的它的横坐标，那不就是这个答案了吗？对不对？好，那此时我们就需要把这两个解析式还得交代出来。好，第一个，这个解析式它其实就是确定的了，对不对？好，来，我们看一下这里面的 内容，我拎在这里， y 就 等于负十分之一， x 方加 x， 再加一点八， 好，这个是抛物线的解析式。好，要想把它的解析式找到，你是不是还得需要用这个点一下？所以说咱们先把这个点坐标找到，好，耐心去计算了。令 x 等于八四十， y 就 等于 好，负十分之一，再乘以六十四，负六点四，再加上八，好，再加上对应的一点八。好，所以我们这个 y 求解出来，我们看是多少， 那这个值就是九点八，再减去六点四，得到的是三点四，所以说这个 y 的 值是三点四，而 y 的 值是三点四， x 只有，那我们再代入到这个解析式，代两个解析式， y 等于负二分之一， x 加 n 当中， 此时就会得到三点四，等于负四，再加 n。 好， 此时 n 的 值我们一向过去就是七点四，所以说这个一次函数的解析式，他也会求解出来了。来，我涂一下色，这个是一次的，这个是二次的， 接下来呢？二点七，按理说你令 y 等于他带入，但是咱们可以验证对不对？我就让他的这个距离是一的时候，我验证一下，看符不符合提议对不对？ 好，来，此时我们看一下这样的一个信息。来，我们就让这个解析是令 x 等于一，所以 y 就 等于 负十分之一，那就是负零点一，再加一，再加上一点八，那 y 的 值那不是不就有了？那二点八减零点一等于二点七，所以说在这的时候呢，他对应的呢是二点，这个是一，这个对应的是二点七， 所以说那这时候没问题，至少得一米咱们才能够把它飞过去。好，另外一个这个值让他也等于二点七， 那等于二点七，此时你可以直接带入球，或者我们是不是把它带进去验证都可以，那这个呢？我们换个思路，不行，我们就直接另外等于几啊？二点七来负二分之一 x 加七点四，等于二点七。好，接下来呢我们就整理了， 那就是一项出来之后，二分之一 x 等于七点四，再减二点七。好，这个整理过来呢，就是点七六减它，那就是四点七。 好。 x 呢？是在四点七乘以二，好，二七十四，二四得八，那这时候就有了 x 的 值等于几，就是九点四， 对吧？九点四，好，所以说这个九点四和这个九点四呼应到了，所以说双向验证没问题，那答案就是一二三，好，求解出来的，这个是九点四的时候。好， 以上就是九点四，对，离这近一点。好，这个是这样的一个情况，所以说我们就求解出来了，答案选择四 d 啊，计算量有一些需要你重点理解，是最后这一问的。

二次函数压轴题里边的面积问题呢，是拉开我们分数的重中之重，很多同学呢，一碰到就卡壳。其实呢，这类题的方法呢，也很简单，今天，哎，老师就把答题思路和技巧全讲透，帮助大家稳稳拿下这块分值。好，首先我们先来读题， 如图，这个抛物线呢， y 等于负二分之一， s 方减 x 加四，经过 a、 b、 c 这三个点。好， b 点的坐标人家已经给你了，哎，直线 a、 b 与抛物线的对称轴呢，交于点 e， 然后点 m。 同学们，点 m 在 直线 a、 b 上方的抛物线上运动，所以同学们，它是不是只能在这段上运动， 对不对？只能在这个直线 a、 b 上方的抛物线上运动啊？好，现在让我们求的是当三角形 a、 b、 m。 好， 我先假设 m 在 这儿可以吧？好，当 a、 b、 m 的 面积最大的时候。求，同学 们，目前我们是不是已经知道了，当 a、 b、 m 面积最大的时候，我们 点 m 的 坐标是零点四，对不对？好，那我想问一下同学们，我们 n 点的坐标这个时候是多少？ n 点的横坐标和 m 的 横坐标是相同的？纵坐标，纵坐标是不是往这里一带？是不是零点二，对吧？同学们来观察一下啊！来，老师写三个点的坐标来观察一下，一个是 n 点， 一个是 a 点的坐标呢，是二逗号零。一个是 b 点的坐标呢，是负二逗号四。来观察一下，这三个点有什么样的关系？ n 点的坐标刚刚好是 ab， 这两个点坐标的终点坐标，你发现没， 终点坐标怎么求的呀？是不是二分之 x 一 加 x 二。好啊，二分之外，一加外二，对不对？好，你来算一下 n 点呀， 刚刚好是 ab 的 中点坐标，这个时候人家让你求的是点 m 的 坐标，我能够把 n 点的坐标确定下来了，那 m 点的坐标是不是就出来了？你会发现刚刚好，当 abm 面积最大的时候， n 点就是 ab 的 中点，对不对？好，那所以同学们，其实是哪一种情况呢？就是相当于这个 图像呀，就刚刚好是在这里，这个地方就是点 m， 这个地方呢，就是点 n。 如果说让你去求点 m 的 坐标的时候，你是不是可以直接利用 a b 的 中秒坐标？好，那这个方法给大家总结一下，叫做什么呢？对不对？叫做直抛相交，最直取中一个直线 a b 和一个抛物线相交。 然后呢，如果说要去求 abm 的 面积的最大值的时候，就取 ab 的 钟点坐标 n， 这个时候同学们，如果说人家让你求的是这个一次函数中的这个点 n 的 坐标，你就这样去求啊，如果说让你求点 m 的 坐标，你是不是利用点 n 的 坐标把横坐标求出来，然后再去把横坐标代入二次函数的解析式中，求出来点 m 的 纵坐标就可以了， 对不对？好，那就是这个方法啊。好，那依据这个方法呢？老师给大家出一个题目，我们来秒杀一下啊。那现在是说已知炮线好与 s 轴交于 a b 两点， b 点的坐标是 八多少零啊？好，然后这些与交于 c c 是 零多少？四？好，我就读这么多。同学们， 然后呢，求当 m n 取得最大值的时候， m 的 坐标。同学们，这个时候你思考一下啊， m n 是 不是我们刚刚所表示的那个数值线段对不对？好，人家现在是求到当 m n 取得最大值的时候，跟我们刚刚那个要去求三角形面积的最大值，是不是同一种题目呀？同学们，你思考一下， 我们刚是不是表示了？哎，我们这三角形的面积怎么去表示啊？ m n 的 长乘以 x b 减 c 再乘以二分之一，对不对？好，那所以 m n 的 长达到最大的时候，我们整个三角形的面积就达到最大了，所以这类题目同学们跟刚刚那个题目是不是一样的道理，对吧？好，那这个时候 求 m 的 坐标， m 在 这，我们是不是可以直接利用我们的口诀，直抛香蕉，对，直取中找出来 n 点的坐标，现在呢，我的 b 点坐标是八个 h， c 点的坐标呢？是零的和四。好，那这个时候 bc 的 中点是不就是当 m n 取得最大值的时候的 n 点的坐标，对不对？好，那这个时候 n 点坐标多少？八加零除以二，那就是四， 零加四除以二，那就是二。好，那所以 n 点的坐标我就求出来了。然后求的是什么？求的是点 m 的 红坐标，点 m 的 红坐标和点 n 的 红坐标是怎么什么关系？哎，是不是相等关系？所以直接就出来了，同学们选择我们的 三 c 选项，哎，这是我们的这道题目啊，直接秒杀。好吧，老铁们，那这道题目呢，就给大家讲到这里啊，后面的拓展也一定要好好的去掌握。

上次我们分析了十七题，今天我们接着用天津中考第二十五题分析满分计划和蓝本它们之间的区别。首先从考察方向上讲，我们的满分计划呢，分为十三个，十四个大的方向，而蓝本只有四个，我们来看一下， 这是蓝本，它分为了就是第二十五题，它分为了最值问题，线段问题、角度问题和其他问题。而看我们的， 我们上来呢先给了大家近五年的天津中考真题，然后呢接下来讲近五年的模拟卷进行了分类， 大家现在看到的考点三，考点四，考点五，考点六，考点七，考点八，考点九，在他的里边都是一个最值问题，那么而这些最值问题是完全不同的， 那对于不会的同学来讲，是无法自己去区别什么是将军一马，什么是逆等线的，那它放在一块，这个所谓的专项就完全不是专项了，我们把它进行了细致的分类，这是从 题型考察方向，那我们再去对比第二项就是提亮，我们里面放了一百二十道道题，然后呢他们只有三十道 啊，一个是一百二十多，一个是三十多，是四倍的关系，而且通过刚才的考察方向，大家会发现你三十道都不要说学会，你的覆盖都成问题，就是所有的题型你先覆盖了对不对，他都做不到的。 然后再就是对比第三点，那么就是答案，同样是答案，那我们的答案是包含了什么呢？ 我们以天津市二零二五年虹桥区一模为例，上来第一部分是答案，第二部分是 分析，也就是说我们会有思路的引导你拿到这道题以后，你呢？如果卡住了，你还不想去看答案，你可以看思路的引导，比如说到了圈二后，有 等腰，直角，三角形，还得到什么什么。你看到这句话以后啊，你如果豁然开朗，就突然明白了，你就不需要看他的答案，你就接着自己做，这就相当有一旁边有坐着一个人提示你一样。而分析完了以后才是真正的详解，就是一步一步的去分析， 等讲解完事了以后，我们最后会对这个题有一个整体的规范啊，有的规范会详细一些，有的会简洁一些，比如说他考察了什么知识点啊，考察的用到的，哎，比如说全等啊， 勾股啊，哎，结合了什么思，用了什么思想啊，这是个胡不归啊，还是什么？哎，在这个点睛里边也是有一部分体现的，而咱们熟知的就是这个蓝本，那他上来就是答案， 他没有思路的引导，没有最后的总结，这是我们答案上的一个区别。那么通过这考察方向，我们是十四比四提炼，我们是一百二十加比三十加，然后答案我们是有， 先是答案，再是思路引导，再是讲解，再是点击汇总，而他只有一个这个答案和解析过程。

来看滨海新区二五年期末，直接看第二问，当低点在抛物线上的时候，求低点的坐标，这个咱们只要把 y 等于一带入到抛物线里面去，因为低点在右边，咱们取最大值，低点的坐标就可以求出来了。来看一下第三问，根据将军印码， 咱们先做 d 点，关于 b 这个直线，往上面做它的一个对称点， d 撇，这样呢就保证了 b d 等于 b d 撇，因此呢就转化成了 b e 加 b d 撇它长度的最小值，那也就是说当地撇 b e 三点共线的时候达到最小值。

大家好，我是思南老师，我们学期啊马上收尾了，咱们呢也正式进入了期末和中考的核心复习阶段了。二次函数压轴题里边的面积问题呢，是拉开我们分数的重中之重，很多同学呢，一碰到就卡壳， 其实呢，这类题的方法呢，也很简单，今天老师就把解析思路和技巧全讲透，帮助大家稳稳拿下这块分值。好，首先我们先来读题 图，这个抛物线呢， y 等于负二分之一， s 方减 x 加四，经过 a、 b、 c 这三个点， b 点的坐标呢，人家已经给你了，是负二，逗号四。然后呢，哎，直线 a、 b 与抛物线的对称轴呢，交于点 e， 然后点儿 m， 同学们，点儿 m 在 直线 a、 b 上方的抛物线上运动，所以同学们，它是不是只能在这段上运动，对不对？只能在这个直线 a、 b 上方的抛物线上运动啊？好，现在让我们求的是当三角形 a、 b、 m， 好， 我先假设 m 在 这儿可以吧？ 好，我把这个 a、 b、 m 的 三角形给你画出来啊，是不就是这样一个三角形，对吧对吧？ a b m 啊，好，当 a、 b、 m 的 面积最大的时候，求点 m 的 坐标，对吧？这个时候怎么去求？哎，这个时候呢，就要用到我们前面所讲的那个方法，叫做 呃铅垂法，求三角形的面积。好，那首先呢，我们现在把这个题目中的一些呃条件先都给它求出来啊，首先，这个抛物线人家是不是已经给你了，是 y 等于负二分之一， s 方减 x 加四，对吧？ 好，然后呢，经过 a、 b、 c 三点， b 点的坐标给你了，那 a 点和 c 点的坐标我们先来求一下，不管说后面能不能用到，我们先求上，好吧，同学们，那老师就写这里了啊，怎么求 a 和 c 点的坐标？我们是不是令这个抛物线的 y 等于零，因为它是与 s 轴的交点，对吧？好，我们令这个抛物线的 y 等于零的话呢，就是负二分之一 x 方减 x 加四等于零，好，然后呢，通过一式分解，哎，老师在这里就给大家求了啊，同学们，我们求出来 x 一 等于多少呢？等于负四， x 二等于多少呢？等于二。所以我们 c 点的坐标是不就求出来了，是负四 多少零，而 a 点的坐标是不是就是二多少零，对吧？哈，同学们，那我们现在图中把它标注一下啊， 二多少零和负四多少零，好，现在呢，嗯，还有一条直线 a b， 直线 a b 的 表达式，怎么求呢？设 a b 为 y 等于 k， s 加 b， 然后呢，将我们 a b 的 坐标往里一带，就可以求出来了，对不对？同学们，好，那在这里呢，老师就给大家列一下式子啊，哎，首先呢，把 b 往里一带，那就是 四等于负二， k 加 b， 以及我们的零等于二， k 加 b， 对 不对？好，哎，求出来之后呢，我们的 k 等于多少呢？等于 负一， b 等于多少呢？同学们， b 等于二，好，这个就是我们呃，求出来的配合 b 啊，那所以直线 ab 的 表达式 y 等于负 s 加二啊，好，现在人家要求的是三角形 abm 的 面积是最大的。 老铁们，来看一下 abm， 它是一个斜跨在这个平面直角坐标系中的一个三角形，对不对？哎，那在前面老师也给大家讲个方法啊，就是利用铅垂法求三角形的面积，好，铅垂法求三角形的面积的要点是什么，对不对？我们首先要过 上面这个点，哎，做一条与外轴平行的线对不对？好，我们做 m n， 那 在这里就直接先用实线给大家表示了啊，过点 m 做 m n 平行于外轴交 a b 与点 n。 好， 这句话呢，就不说了啊，直接就给大家表示出来了。好，那这个时候同学们，我们这个三角形的面积 哎，他要求三角形的面积最大，我们是不是要先表示出来这个三角形的面积的？呃，他的一个式子是什么，对不对？好，来看一下怎么去表示 s 三角形 abm 呢？ 哎，铅垂法求三角形的面积是二分之一的水平宽乘以铅垂高，对不对？水平宽是谁？同学们，是不是 x a 减 x b， 对吧？好，铅垂钩是什么？哎，是 y m 减 y n， 对 吧？好，转来了啊，哎，就相当于我们铅垂法求三角形的面积啊，就相当于是把求三角形的面积转化成了求减的坐标了，对吧？好，这个时候同学们， a 点的坐标你知道， b 点的坐标你也知道，然后 y m 跟 y n 怎么去看呢？哎，这个时候同学们，我们来看一下啊，你会发现 m 和 n 呀，是一个动点对不对？ n 是 随着 m 的 运动在动着的，那这个时候同学们，我们要观察一下 m 跟 n 之间有什么样的联系，你会发现 m 和 n 呀，它俩什么一样啊？同学们，它的横坐标是不一样的，对不对？好，那这个时候同学们怎么去做？哎，我们就设我们 m 的 坐标，横坐标设为 t。 好，这边思考一下啊，我如果说把 m 的 横坐标设为 t 了，那它的纵坐标怎么去表示？哎，有同学说，老师，这个好像不能表示来，同学们，它确实不是一个确切的数值，因为本身它就是动的，对不对？但是你看一下啊， m 是 不是在我们的抛物线上， 对吧？好，那我们 m 的 横坐标设为 t 的， 它的纵坐标是不是可以往抛线里一带就可以了，对不对？虽然说它有点麻烦啊。负二分之一的 t 方减 t 加四，对吧？好，你们 m 的 坐标我已经设出来了，那 n 点的坐标怎么求？ 哎，你们发现 m 和 n 是 横坐标相等的，对不对？好，那 m 的 横坐标我设为 t 之后， n 的 横坐标是不是也是 t？ 那 n 的 纵坐标怎么去求呢？ 哎，你会发现我 m 在 抛物线上，我就是，呃，设出来横坐标之后，往抛物线里一带得出来它的纵坐标，那 n 点在谁上面？ n 点是在一次函数坐标上面，对不对？我把 n 点的横坐标设为 t 之后，它的纵坐标是不是往往一次函数表达式里一带就可以了，对吧？就是我们前面所求的这个 a b 的 表达式了啊，那所以 我们这个 n 点的纵坐标往里一带就是负 t 加二，对吧？好，同学们， m n 都求出来了，那这个时候 y m 减 y n， 我 们是不是就能求了？是不是就是我们 m n 的 这个线段长呀？同学们， 对吧？好， m n 呢，就等于 y m 减 y n， 因为这个地方它是已经确定了 m 在 上 n 在 下了啊！同学们，好，那 y m 是 多少？是不就是我们的负二分之一的七方减七加四，对吧？那 y n 呢，是不是负 t 加减去负 t 加二，那就是加 t 减二，对不对？同学们，我们稍微的整理一下啊，负二分之一的 七方加二。好，这是我们 m n 的 长尾，已经求出来了啊！好，那接下来同学们， 三角形 abm 的 面积 s 三角形 abm 二分之一的 x a 减 s b， 怎么求？ x a 是 多少是二？ s b 呢？是负二，对不对？同学们，那直接往里带了啊， s a 减 s b， 那 就是二减负二是不是四，然后再乘以我们的这个负二分之一 梯子二，也就是负的梯方 加四，对吧？好，那 abm 的 面积我们发现表示出来之后，刚刚好是一个开口向下的二次函数，对不对？好，那求它的最值，你是不是就会求了？好，开口向下 对称轴是多少对不对？对，成轴 s 负二分之 b， 哎，你会发现正好是等于零，对吧？哎，所以对称轴是等于零。所以这个题目就是，当 我们的 t 等于零的时候，这个 s 三角形 a b m 最大，最大达到多少？同学们，达到四，对吧？好，但是你们看一下啊，题目中让你求的是什么？求的是点 m 的 坐标，那 你看屁股都求出来了， m 的 坐标我会不会求？是会的，是吧？好，那所以朋友们，往里一带，你会发现 m 点的坐标呢，就是多少零多少，往里一带零，往里一带是不是就是四，所以 m 点的坐标就乘出来了是零多少四。 老铁们，这是我们这道题目的一个解析思路，以上的这个问题呢，我们二次函数的压轴问题啊，就给大家彻底搞定了，我是三老师，日常分享数学干货，关于二次函数的面积问题，大家还有什么疑问，欢迎打在评论区。

大家好，我是数学王老师，今天我们来盘一盘期末考试中的二次函数基础核心考点图像性质的应用 题型为二次函数的多结论判断。经常在选择题的最后一题出现，很多同学会栽在左同右异搞不清楚，转化题绕不开，还容易符号搞反，公式记错，甚至计算马虎，这些都是高频式分点。 接下来我们就根据近五年的期末考试题型，来给大家总结一下二次函数的基础考点以及基础题型的解析。来，我们今天讲解一下关于二次函数图像应用的核心点的题型，也就是说多结论判断题型。 基于多结论判断题型，我们要知道以下几点，也就是说，对于一般形式 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 且 a 不 等于零的一般形式下， a、 b、 c 三个待定系数所决定的因素。也就是说，在习惯确定了二次函数的图像性质，比如顶点是点坐标或者对称轴，或者是开口方向最直等等这些信息的前提下， a、 b、 c 分 别能决定什么？ 首先， a 决定的是开口方向，当 a 大 于零时，开口向下向呼脸， 所以 a 决定了开口方向。其次， b 按理说应该是对称轴，通是负二 a 分 之 b 来决定对称轴的位置，那相当于 a 和 b 两个因素来决定的。是对称轴中 a、 b 的 符号是同号还是异号。当对称轴负二 a 分 之 b 在 外轴左侧时，即负二 a 分 之 b 小 于零， 所以结合刚刚确定下来的 a 的 取值范围， b 和 a 的 符号就能确定了。所以我们会有一个口诀叫做左同右异对称轴在外轴左侧时， ab 同号，在外轴右侧时， ab e 号， 接下来是 c。 在 一般形式下， c 是 长竖向，它决定的是图像与外轴的交点位置。当 c 大 于零时，与外轴交于正半轴。当 c 小 于零时，与外轴交于负半轴。当过零点，就说圆点零到零的时候， 它是 c 等于零。所以 abc 是 三个基础决定因素，比如得特 在一般形式当中，也就是说一元二次方程的一般形式， a x 方加 b， x 加 c 等于零。中判别式决定的是方程根的情况，这三种情况给大家罗列出来了，对吧？而它大于零时，方程有两个不相等的是数根， 等于零时有两个相等的时数根，小于零时没有时数根。但是把单调运用在二次函数当中时，它就可以变成抛物线和某直线交点情况。 也就是说， a x 方加 b， x 加 c 等于零，可以看作抛物线和 x 轴，也就是 y 等于零这根直线的 焦点情况，所以他们三个所对应的关系就可以看作抛物线和直线有几个焦点。 这里给大家举了一个例子，比如方程如下，它有两个不相等的实数根，那我们就可以把它先处理一下等号左侧只留下 a x 方加 b， x 加 c 抛物线的一般形式， 而将它本身有的负 m 加一移到等号右侧。第一步，变形，将它化简为如下的方程，那就可以把它看作抛物线解析式 与某一根直线解析式之间图像的交点情况。那么第二步已经给大家留列出来了，看到了吗？所以它是直线 y 等于 m 减一和抛物线 y 等于 ax 加 b， x 加 c， 二者的交点， 那也就是说，方程有两个不相等的实数根，意味着图像有两个焦点，这个能听懂吧？好，这个就是我们的解析思路，也是我们对它处理的一个方式。 再接下来，对于特殊点，特殊值，当我们的 s 等于正负一，正负二、正负三时，所对应 y 的 一个表达式，它的作用是来干什么？第一要判断 代数式值大小，他可能提一会告诉你了， a 加 b 加 c 大 于零，怎么判断？把 x 带入，同时结合图像判断 y 的 取值是大于零还是小于零， 从而得到 a 加 b 加 c 是 大于零还是小于零。这是第一个作用，第一个用处，第二个用处可以推导 a、 b、 c 之间的关系。也就是说，当 x 等于一时，如果 y 得零， 那么 a 加 b 加 c 得零的情况下，互相的表达式是可以推导出来的。 我们接下来看一道例题。看一道例题，首先抛物线啊，这有一个很小的二啊， y 等于 ax 方加 b， x 加 c， 这它的抛物线截式，一般式。 然后对称轴给你了直线 x 等于负一，那我们直接就能得到负二， a 分 之， b 等于负一， 图像给了如图所示，从图上能够看到的信息，对称轴为直线 x 等于负一，并且和 x 轴交于一斗，零， 那抛物线是一个对称图形啊，所以它和 x 轴的另外一个交点可以补全图像 得到另外一个焦点是负三都零，那可以看到了， a 开口向上， a 大 于零，对称轴在外轴左侧， a、 b 同号， b 也大于零，与外轴交于负半轴， c 小 于零，那第一个圈一 abc 就 出来了。 a 大 于零是因为开口向上， b 大 于零是因为对称轴在外轴左侧，左同右异。第三个，与外轴交于负半轴， c 大 于零啊， c 小 于零 啊，与外轴交于负半轴， c 小 于零，所以 abc 三者相乘，正数乘正数乘负数 应该是小于零。第二个， b 方啊，这是 b 方减 c， c 大 于零，那 b 方减 c， c 很 明显是一元二次方程中的判别式， 所以我们可以把它另外得零，得到了一个一元二次方程，它可以看作抛物线与 x 轴的交点情况，它与 x 轴有两个交点，所以方程的根就是两个不相等的实数根，那么得它一定是大零的。 圈三圈三给大家分析了一个图，把这个图补全之后，这个位置是负三斗零这个点啊。然后呢？ 九 a 减三， b 加 c 得零是不是很熟悉？九 a 三 b 加 c， 当 x 等于负三时， y 就 等于。这个式子是咱们的特殊值，特殊点， 所以此时把 x 等于负三带进去，刚好是它和 x 轴的另外一个交点。负三是不是刚好 y 得零啊，那圈三直接就能出来。 当 x 等于三的时候啊，负三的时候是 x 啊，不是 a， x 等于负三时，这个式子明显得零，所以圈三也是对的。圈四若点，他们两个在抛物线上， 这时 y 一 和 y 二怎么比较啊？我们看一下，当横坐标分别为负零点五和负二时，对应抛物线上的点， y 一 y 二， y 一 在这个位置， y 二在这，所以 y 一 小于 y 二， 最后一个五， a 减二 b。 老师，我没有任何的思路，五 a 哪来的，二， b 哪来的？通过特殊点代入值我也得不到，那咱们就可以想，你可以通过 x 等于一，十， a 加 b 加 c 得零， 或者是 x 等于负三十九， a 减三， b 加 c 得零，这两个等式可以推到 abc 的 关系，甚至我们还有一个没有用 对称轴负二， a 分 之 b 等于负一，那么三者之间可以推导关系，没准就能通过两个式子互相加减，推出五 a 减二 b， 但是太麻烦，我们要一个一个试。所以现在五 a 二 b， a 和 b 之间是不是已经有了关系式， 那我们就可以用对称轴的这个等式去推导 x 等于负二， a 分 之 b， 这根对称轴中 a b 的 关系式 b 等于二 a 了。再代入到这个式当中，会发现化简后刚好等于 a， 那 a 本身就是大于零，所以这个式子也大于零，那圈五也推导出来了。 综上所述，我们可以得到了圈二圈三是对的，那么就选择 a。 如果大家对于期末考试当中二次函数的相关题型和考点还有疑问，欢迎大家私信留言，我来帮大家解答。

今天我们来看一道公共点问题，公共点问题放在选择题 是很轻松的，因为可以蒙，那这道题就更划算了，毕竟这道题选 c， 不 会就选 c 嘛。但是呢，我们不能抱有侥幸心理，不能因为它是选择题就疏忽，我们要把它当做填空题和大题来做， 当然在考试的时候能快一点还是尽量快一点来。 公共点问题我们需要的是全面的分类讨论。今天我们碰到的是一个公共点的问题，那两个公共点或者说没有公共点，这些东西我们等以后碰到了再讲。 只有一个公共点，我们还要看是什么和什么只有一个公共点。注意，这里是函数图像和线段有一个公共点，而不是和直线， 如果和直线只有一个公共点，我们只需要考虑这一种情况就够了， 我们把它标为第一种情况，但是这里是线段，线段两端不能延伸，所以我们还得考虑这里的第二种和第三种情况， 可以暂停一下，仔细的看看第二种和第三种情况。第二种情况就是函数图像的右半部分 经过线段，第三种情况就是函数图像的左半部分经过线段， 右半部分经过线段。也可以是这样的，也可以是这样的。仔细看清楚线段的左端点可以在函数图像上，线段的右端点也可以在函数图像上， 这两种情况都是可以的，但是右端点在图像上的时候，它的左端点不能够触及到函数图像的另一边。 同理，第三种情况当中，也可以让线段的右端点和左端点触及到函数图像，但是右端点碰到图像上的时候， 我们的线段右端点不可以碰到函数图像的另一边。分析清楚情况之后，我们就来做下面的问题。 首先我们要根据题目信息，尽可能获许多的信息，具体获取哪些信息，我们在做一道题的过程中可以自己去探索，这里我就把它们先讲出来，按照逻辑顺序讲回更信息。二次函数 y 等于 x， 平方减二 a， x 减二 a， 这里少抄了一个 y 等于，不过没啥影响。 我们先来讨论第一种情况，二次函数的图像与线段相切， 也就是说 把它和 y 等于一进行连立，因为 ab 两点的重坐标都是一，说明线段 ab 就 相当于直线 y 一 上的一部分， y 等于一上的一部分。 我们得到了这样一个方程， 首先要解它，我们要算出它的的，它这里有个快速就是二 a 加二的平方， 这里我就直接写上去了，因为没时间慢慢一个个算了。当它等于零的时候，说明 括号内的只能等于零，也就是说二一加二等于零， a 等于负一。当然我们还得考虑这个切点，它必须得在线段 a b 上 切点的横坐标是 a， 因为如果要切点的话， ab 又是平行于 x 轴的直线，它这个切点就只能是二次函数图像的最低点了，这个能理解吧。 所以这个切点的坐标它是一定大于 a 点的 a 减一的，所以我们只需要看 b 点的横坐标，保证它大于切点的坐标就可以了。 这里的坐标讲的主要都是横坐标，因为在这道题里面，我们主要讨论横坐标不怎么考虑，重坐标不怎么考，呃，去关注重坐标。所以呢， b 点随便换一个位置，他的坐标是二一加三，他必须要大于这个 a 等于也是可以的，所以不要忽略了。在这里，右端点指到这也可以，左端点到这也可以。 此时 a 大 于等于负三。所以综上所述，当函数图像与线段 a、 b 相切的时候， a 等于负一。 到这里其实我们可以排除 b 选项和 d 选项， 我们要继续分析剩下的情况。第二种情况，二次函数的图像右半部分经过线段 a， b 经过线段 a、 b。 我 们要保证很多东西，首先它和直线 y 等于，必须要有两个焦点， 我们先来求出这两个焦点的坐标。 这两个焦点坐标怎么求？可以通过先前列的这个方程来求， 我们可以解得， x 一 等于二，一加一， x 二等于负一。 在这里我们把负一定在左边，把二一加一定在右边，当然这是不一定的，我们能够讨讨论这么多情况已经很不容易了。 所以这里是二 a 加一， 我们要把第一种情况当中的 a 和 b 擦掉， 然后这里是负一，把它们颠倒一下。 现在线段 a、 b 就 在这些位置。首先保证它的左端点 要大于负一，我们把 a 定为它的左端点， b 定为它的右端点。因为没有办法去讨论更多情况了，那因为大部分情况下讨论更多的情况也会得到一样的结果。 正常初中的选择题、填空题、解答题，出现这种题目都不会。呃，需要那么麻烦的步骤，我们按常规流程，常规思路来走就可以了，尽量简化一些，但是该有的情况都得讨论到， 起码一、二、三这三种关键情况是必须全部都要具备的。我们要保证现在左端点 a 减一要大于负一， 那么这里 a 就 大于零。 同时还要保证二次函数图像与直线 y 等于一，有两个交点 在这里，因为这塔是一个平方，一定大于等于零，所以二次函数的图像和 y 等于一，这条直线一定有交点， 要么一个，要么两个。当 a 等于负一的时候，它是一个交点，那它不等于负一的时候，任意一种情况它都是两个交点， 所以这种情况下，我们得到的是 a 大 于零。 第三种情况其实是不需要讨论的，你们知道为什么吗？我们把二 a 加三定为线段的右端点，二 a 减一定为线段左端点。 如果二次函数的图像左半部分经过线段 a b， 那 么 b 点就不能超过二一加一这个横坐标，而 b 点的横坐标是二一加三啊，二一加三，它是一定大于二一加一的。所以第三种情况可以在这里直接不讨论。 剩下的如果要把点颠倒，把这些未知量颠倒的情况，可以去试一下，最后肯定是得到一样的结果。 所以这道题有两种情况，第一种是 a 等于负一，第二种是 a 大 于零，所以选 c。 今天这题就讲到这里。