八年级数学10章思维导图怎么画

大家好，这里是初中数学刚哥上周刚刚给我的孩子进行的期末复习，其实我的第一件事是把我整理的初二上的这个大纲给他们看了一下，我发现几乎所有的学生都没有做思维导图的习惯， 所以说上节课我没有上完，没有布置作业，我是让他们自己去整理一个初二上的思维导图，按照我这个模板，我的模板也会分享给大家，大家想要高清版的在评论区回复初二上就可以了。我说一下，根据我的这个思维导图来总结一下期末考试可能的重难点吧。 其实一定有一个几何模型，通常这么多年考的最多的就是三垂直手拉手，有时候再来个绊脚模型，这几个是考的最多的。我说的几何压轴，我还关注到我的学生里面很多对于分式方程应用题这个板块， 感觉自己不太熟，其实我作为一个中考的角度来看，这个板块不是很重要，中考对分式的考察其实是特别简单，你只要会进行分式的基础运算就可以了，应用题一定是给到二次函数板块， 但是在如果站在初二下这个环节，那我给我学生总结就是分式方程应用题只有那些类型，就像我这里面总结的经济啊，工程啊，方案选择阶梯水价，行程啊等等，还有运输问题，其实就那些配套问题，你哪个不会去针对性的突破一下就可以。其实整个初二我们来看， 初二上来看，我建议大家一定要把重点放在几何全等三角形这一块，全等这块真的是承上启下，在整个初中几何非常的关键，对后面我们的学习相似圆等等四边形的知识都非常有帮助。所以说 在初二上这个阶段把几何一定要打好基础，为什么呢？因为在代数这一块，你是跟人拉不开任何差距的。 整式乘法、因式分解、逆运算、分式方程这些东西最终考都是特别基础和简单的，你会算就行，没有太多涉及到思维含量的。而几何题，尤其是平面几何，他的难度是可以没有天花板的，所以，呃建议 成绩中等偏上，就是相对成绩比较好的学生，一定要把期末复习的时间向几何倾斜， 多做一些。往年的真题就是三垂直、手拉手这些几何模型的真题包括将军一马，大家不用担心，一般就是一个选填。而且我说白了，我觉得将军一马这个东西不是特别难，他是一个特别套路的，模板的题是你认真跟着老师的模板笔记整理好了就够了。所以我对初二上的 呃提醒就是多做几何压轴题，几何才是区分呃优等生的这个成绩的。

怎么解决知识碎片化呢和不会刷题问题呢？咱们先说第一个，学会自己画思维导图的，这个方法非常重要，因为心中有图，你才能把学过的知识点连接起来，做题才能应用自如。 不会画的孩子呢，我来教你。这是我花了好长时间整理出来的所有初中梳理化知识点的思维导图。如果孩子需要，家长只需要在评论区打上，我想要初中加某个学科，需要哪个学科打上哪个学科， 我看到后会私信你，无偿分享给你。第二，低效刷题问题，我们不要做着感动自己没有结果的事。说到做题，我问大家一个问题，我们到底是三套卷子做一遍，还是一套卷子做三遍呢？ 当然是一套卷子做三遍，吃透一套卷子远远胜过你无脑刷几十套卷子还要好，切记，刷题只需要一个金字，不能只图多，按我说的做，学习没有那么难。

孩子复习数学，抱着书一页页翻是最无效的数学复习，一张思维导图就够了，知识点少，结构清晰，见效快。跟我做三步， 第一步，速读提炼搭股价，别管题型，只快速提炼每张的核心概念、公式定律，把这些关键内容写在导图分支上，三十分钟，整本书的股价就清晰了。 第二步，做题定位捕血肉，做综合题，分析每道错题，找到它在导图上的加在边上，标记错音，补充例题，把导图变成你的错题地图。第三步，闭眼回顾成地图， 最后盖上地图，闭眼回想整幅图，哪里卡壳，哪里就是你的最终漏洞，这时知识已经长在你的脑子里了。 这样从散乱的书本到一张系统的地图，这才是有效的数学复习，让知识看得见，抓得着。你这孩子复习数学还在用老方法吗？试试这个，回来告诉我效果！

我教你孩子的数学怎么冲击满分？这方面我有十年的经验。不要让孩子一张一张的学，要成体系。怎么才叫成体系？听我说， 学完一张，让他拿个大白纸画个知识思维导图，这一张的核心定律公式写在正中间，然后你就联想关于这块所有知识的所有内容， 你的思维在这时候就发散了。把所有相关的题型易错点为啥会错？用箭头，用思维导图的分支把它联系起来，乱一点没关系，乱了过后可以整理，越整理脑袋里对这张的知识就越清晰。这是最直接的形成数学知识体系的方法。明白了没有？

同学们，如果前面是红灯，你就会停下脚步。反过来，如果你停下脚步，那么前面是红灯吗？如果外面在下雨，出门要带伞。反过来，如果出门要带伞，那么外面在下雨吗？ 如果物体在水里会下沉，它的密度比水高。反过来，如果物品的密度比水高，那么它会下沉吗？有的答案是肯定的，有的答案是否定的。那么接下来讨论的问题的答案是肯定的呢？还是否定的呢？ 哈哈，还是先来看问题吧。如果直角三角形的两条直角边长分别为 ab， 斜边长为 c， 那 么 a 平方加 b 平方等于 c 平方。反过来，如果三角形的三边长 abc 满足 a 平方加 b 平方等于 c 平方，那么这个三角形是直角三角形吗？看完问题，大家有什么感想吗？花花老师觉得光凭空想是找不到答案的，不如我们画几个满足这个条件的三角形试试。 大家看下面的每组数分别是一个三角形的边长 a、 b、 c， 而且满足 a 平方加 b 平方等于 c 平方。现在我们分别以每组数为三边长画出三角形，看看他们是不是都是直角三角形。 首先，我们来看以第一组数三、四、五为三边长画出三角形。用量角器量一量，毫无疑问，这个三角形是直角三角形， 那以第二组数五十二十三为三边长画出的三角形呢？量一量，这个三角形也是直角三角形。 以第三组数八十五、十七为三边长画出三角形，会不会有什么意外呢？量一量就知道答案了，哈哈，这个三角形也是直角三角形哦。 接下来看看以第四组数七、二十四、二十五为三边长，画出三角形。量一量，果然不出所料，这个三角形确实也是直角三角形。 通过实践可以知道，如果三角形的三边长 abc 满足 a 平方加 b 平方等于 c 平方，那么这个三角形是直角三角形。同学们，像刚刚我们讲的三、四、五、五、十二、十三、 八十五、十七、七、二十四、二十五这几组数能够成为直角三角形。三条边长的三个正整数称为勾股数。 若 abc 是 一组勾股数，则 a、 k、 b、 k、 c、 k 是 正整数，也是一组勾股数。例如，三、四、五是一组勾股数，这组勾股数的两倍、三倍、四倍、十倍都是勾股数， 因为他们始终是满足 a 平方加 b 平方等于 c 平方的三个正整数。 讲了这么多，接下来归纳一下本节课程的知识点吧。一、如果三角形的三边长 abc 满足 a 平方加 b 平方等于 c 平方，那么这个三角形是直角三角形。 二、像三、四、五这样能够成为直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数。若 a、 b、 c 是 一组勾股数，则 a、 k、 b、 k、 c、 k 是 正整数，也是一组勾股数。观看完整版课程，关注花花老师！

今天我们来讲八年级数学勾股定律的十大重点题型的例二。题目说如图， p 是 等边三角形 abc 内一点，将线段 a p 绕点 a 顺时针旋转六十度，得到线段 a q 连接 b q p b p c 嗯，第一小题求证 c p 等于 b q， 现在看图中 c p 是 这条， b q 是 呃 b q 是 这条，但当然原先原先图上是没有 b q 这一条的，这条是我后面加的辅助线， 那么 c。 不 过现在用不到 c p 和 b q 的 话，那很明显它其实是一个手拉手的模型，就是说两个呃两个等边三角形，这这一个为什么说它是等边呢？因为它是 ap 顺时针绕点 a 六、旋转六十度到 a q， 那这个角是六十度，并且两条这个 a p 是 等于 a q 的， 然后这一个等边三角形，那么 a c， 它是等于 ab 的， 那再加上一个角 c a b， 它是六十度 p a q 也是六十度，那 相等的两个角，它们减去同样的角，它们剩余的部分也相等，所以 c a b 减去 b a p 就 等于 p a q 减去 b a p， 也就是角 c a p 等于角 b a q， 那 就能呃 s a s。 证明三角形 a c p 和三角形 a b q 相等，那然后就能得到对应边相等 c p 等于 b q， 那 我们来证明。一、证明， 因为三角形 a、 b c 是 等边三角形， 所以 a c 等于 a b， 角 b a c 等于六十度，又因为 这个角 p a q 等于六十度，这个是题目给我们的，可以直接用，所以角 a b a c 等于角 p a q， 所以角 b a c 减角 b a p 等于角 p a q 减角 b a p 等于角 b a q。 那 么在三角形 a c p 和三角形 a b q 中， 因为 a c 等于 a b 角 c a p 等于角 b a q， a p 等于 a q， 所以 三角形 a c p 全等于三角形 a b q， a c s， 所以 cp， 它就等于比求。然后是第二小题，第二小题说，若 pa 等于六， pb 等于八，然后 pc 等于十，求四边形 a p b q 的 面积。 这个时候就要用到我们呃我前面画的这个 p q 这条辅助线了，呃，因为六八十，根据我们数学要有一定敏感，敏感度就是他这个六八十呢，他在直角就是勾股定律里面，他其实是一组勾股数， 就是两条直角，边是六八，然后斜边是十。但是呢，这里呢， p a p b p c， 他 们分别分散的是在不同的三角形里，那我们要做的就是把它聚在同一个三角形里面，然后以此来得到这个三角形，它是一个直角三角形。 那第一小题它给我们呢，让我们求出来了， c p， 它等于比 q， 那 既然 p c， 它是十，那比 q 它也是十了，那它是十， p p b， 它又是八，那如果连接 p q 的 话，前面已经其实已经说了， p a q， 它是一个等边三角形 a p a 就 等于 p q， 那也就等于六，那六八十三角形 b p q， 它就是一个等，它就是一个直直角三角形角 b p q， 它是直角。那题目跟我们说，要求 a p q 的 面积，其实就是三角形 b p q 的 面积加上三角形 a p q 的 面积， 嗯，那 b p q 的 面积就是 p q 乘以比 p 除以二，然后 a p q 的 面积，它是一个等边三角形，它的三条边的长度都是六， 那它的面积要怎么求呢？就是我们知道它等边三角形，它是属于等腰三角形里的一部分的，那等腰三角形它有三线合一的这个定律。 也就是说，如果比如说我从过点 p， 呃做过点 q， 做一条直线垂直于 ap， 那 它与 ap 的 交点是平分， ap 这条这条线段的， 那平分的话，那他这个呃一半，也就是三，那他这条他既然是垂直，那他也是高，那这条高的话就是呃三根号三，就是勾股定律里面的特殊值，就是呃九十度，这是六十度，这是三十度的话，就是一比二，比根号三的这个边长比， 所以呢，它的这个等边三角形的高是三根号三，那么呃它的面积也就是六乘以三根号三除以二。那我们来具体的写一下。 二，写连连接 p q 由一得 c p 等于比 q， 又因为呃 p c 等于十，所以比 q 等于十。嗯，因为 a p 等于 a q， 角 p a q， 它等于六十度，所以三角形 a p q 为等边三角形， 所以 p a 等于 p q， 又因为 p a 等于六，所以 p q 等于六。呃，那么在三角形 b p q 中，呃 比 q 方等于一百，比 p 方加上 p q 方等于八方加六方等于一百，所以比 q 方等于比 p q 方， 所以角 b p q 就 等于呃。 呃二分之比 p 乘以 p q 等于二分之八乘以六，也就是二十四。然后因为这个三角形 a p q 为 等边三角形 a p 等于 六，所以 s 三角形 a p q 等于这个呃二分之六乘以三根号三，这个我们就直接写了，就等于九根号三。 嗯，所以 s a p b q 等于 s 三角形 b p q 加上 s 三角形 a p q 就 等于二十四加上九根号三，那么第二小题也求出来了。

最近自学特别火，说的好像自学是全靠自己拒绝外力才能获得更好的收获。其实自学不是靠一个人，是说你只要动脑再思考就是自学， 那大多数同学可能他不愿意思考，那怎么强迫他思考达到效果呢？其实做思维导图就是一个非常好的方法， 你看比如说我们语文阅读当中经常会考你标题怎么使用，那我们首先想到的就是线索这两个字，那给大家举个例子，比如说背影这篇文章，其实通过背影这两个字就是在揭示整个文章的一个线索。那第二个针对于主旨这一块，我们再举个例子，比如说白杨礼赞 这个文章，通过这个标题，你就透过作者其实想通过白杨树对于人民群众的一种赞美，再最后通过兴趣这两个字一样也可以通过标题去解释一下。比如说有篇文章叫做谁是最可爱的人， 那其实这里面就创造了一个悬念，谁是最可爱的人，让读者去产生兴趣，通过去看文章，最后找到答案，这样去梳理整个思维导图的过程，就是一个强迫自己去进行思考的过。

数形结合是初中数学当中的重要解决思想，今天用一道典型的例题教会同学们如何使用它，我们一起来看一下题目， 他说要求的是根号下 x， 平方加九加根号下六减 x， 平方加二十五的最小值。那么读完题之后，很多同学瞬间藏在了和尚摸不着头脑了， 这道题的题纲当中既有根号又有平方，看起来相当的复杂，对不对？那我们如何去突破呢？从哪里去切入呢？我们不妨先观察一下整道题的结构，来我们看一下这里的根号下 x， 平方加九，而九我们是可以把它改写成三的平方的，对吧？ 而后面的根号下六减 x， 平方加二十五呢？二十五也可以写成五的平方，那这样一改写之后，在每个根号下面就出现了两个平方相加，那看到这里，同学们应该想到什么呢？应该想到我们八年级刚刚才学过的 割股定律，对不对？根号下两个平方相加，我们是不是就可以把它认为在一个直角三角形当中，有一条直角边是 x， 有 一条直角边是三，那么这个根号下 x 平方加三的平方，它表示的就是这个直角三角形的斜边， 对吧？那同样的道理，第二个根号下面六减 x， 平方加五的平方呢？我们就可以把它想象成有一个直角三角形，有一条边是直角边是六减 x， 另外一条直角边是五，那么这里的根号下六减 x 的 平方加二十五呢？它表示就是这个直角三角形的斜边，对吧？那我们最后要求的最小值就是两条斜边加在一起的最短嘛？最短的时候嘛，对吧？ 我们再观察一下同学们这里的第一个 x 和第二个根号当中的六减 x， 无论 x 等于多少，当我把这两条边加在一起的时候，它就变成了 x， 加上六减 x， 它是始终等于六，对吧？这两条边的和是一个定值，那我们就可以把这道题转化成我们的几何问题来，你看同学们， 我就可以假设现在我有一条长度为六的线段，然后我在这条长度为六的线段上面去截取一段红色部分，我假设它为 x， 对 不对？那么剩余的我就用蓝色部分来表示它，它不就是我的六减 x 了吗？ 而根据我们刚才的分析，我们需要在这边去构造一个一条直角边是 x， 一 条直角边是三的直角三角形，那我就向上去做一条长度为三的直角边嘛，对不对？那在这个时候，哎，我假定这里是 a， 这里是 b， 那 么在我的这里是 c， 我 的直角三角形 a c b 当中，我 ab 的 这条边不就是我的第一个根号下面的根号下 x 平方加九了吗？对吧？那么同理我们第二个啊，根据我们刚才的分析，我们要去构造一个一条直角边为六减 x， 一 条直角边为五的直角三角形，那我们就向下再去做一条长度为五的直角边 啊，我假设这里是我的 d， 这里是我的 e， 对 不对？那么在这个图当中，我的 b e 这条线段不就是我的根号下六减 x 平方加二十五了吗？ 哎，你看，那现在我们要求的两个根号的最小值转化到我们的图形当中，就是要求线段 a、 b 再加上线段 b、 e 的 最小值了，对不对？我们把 代数问题几何化了，那我们来观察一下，如何来求 a、 b 和 b、 e 加起来的最小值呢？哎，同学们，这里的 x 它是不固定的哦，也就是说这里的 b 点它不一定在这个位置，对不对？那我们就可以把这个东西怎么去理解呢？它相当于从一个定点 a 出发，经过线段 c、 d 上的一个 动点 b， 最后再回到我的定点 e， 对 吧？因为这里的长度 a、 c 是 三大于是五，它长度是固定的，那么这里的 a 点和 e 点是不是都是定点， 对不对？那我们就可以从出发点的结束，我们就可以理解为点和点之间的距离，对吧？而点和点之间什么最短呢？是不是线段最短？也就是说，当我的 b 点在这条线段上运动到我的 a 点、 b 点、 e 点三点共线的时候，那这个时候它的加起来的长度就是最短的，也就是说当我出现我绿色这种情况的时候，我的 b 点在这里， 对不对？我的 b 点在这里，那这个时候的 a、 b 加上 b、 e 它共线了，它是不是就是最短的了，对吧？所以说我们这道题最后要求的最小值，其实就是我题当中图当中的这条绿色的线段 b、 e， 对 吧？那我如何去求它呢？朋友们，结合条件，这里是三，这里是六，这里是五，我就向下给它勾上一个大的直角三角形给你看。 在这个图当中，我向下去勾着一个大的直角三角形，那么这条边是五，这条边是三，那么这条直角边不就是八了吗？对不对？而这条直角边本身是 c、 d 是 等于六的，那说明下面这个直角边也等于六。那最后在整个大的直角三角形当中，我们再用一次勾股定律，就可以很容易算出来我们的 a、 e 等于 十，对不对？所以这条题我们的最小值就应该是十搞定。别怕数学像做三技巧驾筹轻松攀，跟着七七老师，让数学变得更简单。

也要通过精准的计算来算出 x 的 特殊的某一个值对应的是哪个函数值。 同学们来想，那么既然我们已经算出了 x 与 s， 它是不是能表示出一对点坐标呢？是，是的，那么如何在我们的平面直角坐标系中画出点坐标？同学们想象一下，我们可以将 x 看成横坐标，横坐标，把 s 看成纵坐标，那么就能形成，第一对点， 零零点，第二对点，零点五，零点五，零点五点，非常不错。第三对点一点，第四对点一点五，二点五点。那同学们说哪个好话？ 整点，整点，整数点，好画是不是？所以我们同学选点的时候也都可以选其好画的点，准确的点来画，所以我们选择 描点时，可以选横坐标 x， 纵坐标 s 中整数的点，零零点一，一点二，四点三，九点四，十六点。同学们想象一下，这个图的 这个图的点，下一步我们要把它连在一起，它会是直线的还是曲线？曲线啊？曲线的，我们感知一下，如果我们真的把它连成直的话，是不是就会有两个点被熔掉了？那么因此我们沿着这几个点有序的 把它们用光滑的曲线连接起来， 这样得到的函数图像就是我们今天今天所学的函数图像了。好，我们的每一个自变量都对应横坐标 x， 每一个纵坐标都是对应函数值，它们俩一一对应形成的图像就被称之为函数图像。 那同学们来看，这个时候 x 由于大于正的图像就被称之为函数图像。那我们怎么办？ 空心，你哪里学过这个？这个地方竖向上，竖轴上。孙博文说一说我们那时候怎么做的？空心。空心代表是没有这个点，就是大于或小于，然后要是大于等于或小于等于就有十七点。嗯，非常好，请坐。好，那。