1981版几何一题多证

好，同学们好，这一节课呢，我们来看这道初二几何的经典好题，那之所以说他经典，是因为这道题目呢，他有很多种做法，同时呢，他还能够去帮我们复习一下相关的几何模型，所以呢，这节课我们就一起来用 几种方法去做一下这道题目。已知 a， b， c， d 是矩形，点 m 在 b c 上，并且 b m 等于 c， d 点 n 在 c d 上， d n 等于 c m， d m 与 b n 交于点 p， 求 d m 比上 b n 它的值。我们大致去梳理一下，这里呢，有一个矩形，然后 m 在 b c 上， n 在 d c 上，并且 b m 它是等于 d c 的，也就是等于 a b 是吧？ d n 呢， 它是等于一个 m c 主要就这两个条件，然后让我们求 d m 这个线段比上 b n， 它的值是多少？这样一种比值问题，我们应该怎么去思考呢？第一个思路就是， 呃，我们可以把这两条线段全部用同一个字母或者相关式子去表示，然后再把他们进行个约分就可以了，是吧？这是一种代数的思维或者说法。 第二种呢，就是我们去构造一些几何图形，让他俩呢产生一定的关系，比如说相似三角形那些模型，或者那一些直角三角形的，呃，特殊的比例关系等等，是吧？下面呢，我们来看一下，我们先从代数的角度去考虑一下，我们看看能不能把这两 整个线段表示出来。 b m 呢，我们可以直接设为 x， 那这里面 m c 呢？我们设为 y， 这样的话呢， d c 它也是 x， 是吧？那这个 d n 呢？也是 y， 我们就分别看一下 d m 和 b， n 是什么？ d m 根据勾股定理，那我们可以得到它就等于 x 方加 y 方开根号，是吧？ d， c 是 x， m， c 是 y， 再看一下 b， n 是什么？ b， n 应该是等于根号下 b c 的平方加上这个 c n 的平方， b， c 的平方应该是 x 加 y 它的平方，然后这个 n c 是什么呢？ n c 应该是 x 减 y， 所以在 再加上一个 x 减 y 的平方开根号，这个呢，我们把它化解一下，里面呢，应该是根号下 x 方，再加一个 x 方，应该是 r x 方，这个 r x y 减掉 r x y 啊，消掉了， 再加一个 r y 的平方，然后呢，它就等于根号二倍的再乘一个根号下 x 方加 y 方。好，应该是这样，我们拆开，那么显然我们就可以直接得到 d m 比上 b n， 等于其实之间那两个消掉，约掉一笔根花啊，或者那么写成二分之根花。好，其实这样呢，我们会发现直接做出来了，连辅助线都不需要，是吧？好，这就是一种思路。那么下面我们来看一下，我们通 过构造一些几何模型，或者呢去利用一些辅助线。呃，能不能做出这道题目，好再验证一下这个答案。这个应该怎么去思考呢？像这种图一出现， 我们一般考虑的是在矩形中，他为什么在矩形中呢？因为矩形中好构造一种模型是什么呢？就是三垂直模型，这是第一，第二呢，就是这个 dm 直接比上 bn， 他俩这种位置显然 不好比，所以我们可以去改变一下它的位置，比如说，呃， d m 呀，或者 b n， 所以这也是一个思路。那么构造三垂直怎么构造呢？非常简单一种常见的就是 我们来看一下，我们去过 m 点去做一个 e m 垂直于 d m 就可以了，这样的话呢，我们就构造出一 一个三垂直的模型。那么又因为 d c 是等于 b m 了，所以这两个三角形应该是全等三角形，也就是三角形 e b m 和 m c d。 咱们简单写一下，就是三角形 e b m 应该是全等于三角形 m c d 的，是吧？所以 e m 这个线段，它就等于 d m， 所以可以把 d m 换到 e m 上，也就是说如果我们再连一下 e d 的话，那么这就是一个等腰直角三角形，是吧？同时我们会发现 这个两个三角形全等之后，这个 e b， 它等于 m c， 也就等于 d n， 也就 就是这也是外。而且 e b 呢，它还平行与 d n 平行且相等，所以四边形 e b， n d 是平行四边形，所以 b n 等于 e d， 那么这个 d m 比上 b n 就变成了 e m 比上 e d， 那显然在一个等腰直角三角形当中， 直角边与斜边的比，那就是一比根号二。那我们还可以怎么去构图呢？那其实我们也可以从这个图形的上面入手 去构造另一种三垂直模型，或者呢就是十字架模型，也就是在 a d 上，我们可以取点，比如说 f， 使得 f d 等于 d c， 然后呢我们去连接 f n， 那这样的话， f d 如果等于 d c 的话，这个地方呢是直角，这也是直角，又因为 d n， 它是等于 m c 的，是吧？ 所以这两个三角形全等边角边，一旦全等，我们知道 f n， 它就等于 d m， 接下来我们干嘛呢？接下来我们当然去连接 b f 喽，是吧？连接 b f 之后，我们来看 f d， 它是等于 x 的，那么这个 b m 也是 x 平行解相的，所以我们又得到了一个平行四边形 f b m d 和刚才呢，同理平行解相的， 所以这个 f b 它是等于 m d 等于 f n， 这是一个等腰三角形，而且呢，这个 b a f 和 f d n 它俩也是全等三角形，是吧？所以我们可以得到这个地方是垂直的三垂直模型，那就得到了一 一个等腰直角三角形。那么所以直角边与斜边的比，那就是一比上根号啊。这节课我们就讲到这里。

好了，开始了。 e 是 三角形 abc 外角的角平分线上的一个点。三角形 abc 外角角平分线上的一个点。什么意思啊？就是说这两个蓝色的点点是相等的，是这样的意思吗？ a e 又平行， bc 这两条线又平行，求证。三角形 a b c 是 等腰三角形。 结束了，第一问太白给了。第一问白给这个叫角平分线加平行 b 出等腰， 对吧？所以这个角呢，就是绿蓝色的点点，原因是同位角相的。然后这个点点呢？跟这个角相的原因是内错角相的。所以第一问结束了。 第一问，没问题的。公屏上回个一，有问题回个二。 好吧，第一问，没问题回个一，有问题回个二，感谢。 第一问，没问题回个一，有问题回个二 啊。这角平分线加平行 b 数等于幺，很常规的操作啊，对吧？很常规的操作。所以第一问就这么愉快轻松地结束了啊。我不写步骤，再接下来，它要让你去判断， e b 加 e c， e b 就是 这一条边加上什么呢？蓝色的边加上 e c。 喂， 加上红色的边和 a b 加 a c。 那 这就有点过分了，和 a b 加上 a a c 的 关系，加上粉色。我们第一问，不是正了这两条边是相等的吗？ a b a， 我 们第一问正了三角形 a、 b、 c 是 一个等腰三角形。 第一问正的三角形是一个等腰三角形啊。他要我们去正的是什么鬼东西啊？正的是 a b 加 a c。 和啊，就是问你，问你什么蓝色边加 蓝色边加红色边和绿色边加粉色边的数量关系？那毫无疑问，它大概率就是用了三角形的三边关系嘛，对吧？ 他大概率用的就是三角形的三边关系。那三角形三边关系呢你可以把它放到一个三角形里面去啊而且这里用的是这里这里第一问呢第一问主干条件他告诉我们这里是角平分线呢角平分线呢其实你可以开始尝试做辅助线吧 可以开始尝试做辅助线。应该是怎么做呢。 我画的笑脸真好看哼。嗯没有你的笑脸好看啊没有你的笑脸好看。 小平分线常见的辅助线叫做垂直截取作散对吧。垂直截取作散所以毫无疑问呐这里 啊这里怎么做呢应该是去截取就可以了吧因为它长成这个样子啊我们去截取把这个粉色的边给它截过来就好了。那就截取呗截取就长就长成这样子了。 那假设这个点呢叫 f 点可以吧。假设这个点叫 f 点连接然后去连接什么呢？连接 ef 那 这个时候 ef 就是 红色的 e f 就是 红色的哈 e f 就是 红色的完了之后呢这个就是粉色的。哇这么神奇结束了哇这已经结束了大家能接受吗 大家能接受吗结束了这个蓝我们要的是蓝色的加红色的蓝色加红色大于这条边。结束了呀 哎回我一下好像结束了这么神奇能接受。已经结束了的给我回个六接受不了给我回个三谢谢你们 能接受已经结束的给我回个六接受不了的回个三。所以我跟你们讲赶紧给你们家小孩啊安排五颜六色的笔对吧。相当于开了物理外挂相当于是物理外挂哈 物理外挂应该能接受吧因为全等啊对吧？正的全等边角边嘛，这两个三角形全等。 红色边就等于红色边，粉色边等于粉色边。那你红。呃，粉色边加绿色边不就这条边吗 对吧？然后蓝色边加红色边叫做两边之合大于第三边啊。所以就愉快的结束了好吗？我以为好难，吓死我了。

在众多关于李代数的教材中，他们通常从定义入手。虽然这个定义略显生硬，但确实如此。李代数是一组带有附加运算的向量，其中若存在李代数中的两个向量 x 和 y， 通过方括号运算可以得到另一个向量同样属于李代数。但这个方括号运算并非随意定义， 它必须满足特定性质。诚然，这是一个定义，但我们为何要特别关注这些特定性质呢？为何不选择其他性质？通过理解 y 可以 发现， 我们也能直观理解任意两个矩阵的 g a b 等于 g b a 这一性质。 在先前的概述视频中，我曾提到李群与李代树的关系，即李代树是李群在单位原处的切空间，这就是我所说的流行视角。 然而，在整个视频系列中，我们主要讨论的是 s o n 和 s u n 这类矩阵。这些记号已在先前的视频中介绍过。由于这些矩阵的特性，我们可以获得李代数与李群之间 更直观的理解。李代数上的任意点都可视为从单位圆出发的向量。由于李代数与李群相切， 这个向量就是里群的切向量。反过来，它也可以看作沿里群运动时的速度向量。等价递说，当我们从单位员沿曲线移动微小时间艾普希隆时， 将到达对应微小旋转的点，这是旋转，因为我们所讨论的里群由旋转矩阵构成，我们将这个小旋转记为 r。 流形上的速度向量可以通过常规的变化率公式计算。 从单位圆 i 出发到达小旋转 r， 这个速度向量实际上位于里代数上， 但目前这个概念还比较抽象。让我们以二维旋转为例。当前我们还未对 平面进行任何操作。他表示单位矩阵，然后进行旋转。严格来说，我应该展示一个微小旋转，但那样不够明显。 无论如何，我们称这个旋转为 r。 如何理解这个速度呢？也就是矩阵的变化率。在旋转过程中，我们关注这些矩阵对点的作用。 假设绿点表示旋转后的点 x， 即这个点是 r 作用在 x 上的结果。要追溯 x 的 原始位置，我们需要进行逆旋转，但是也可以将原点视为单位矩阵 i 作用在 x 上。 初使点 x 在 旋转时的初使速度可以用这个变化率极限公式表示。这个表达式可以利用极限的限性性质进行变换。极限中的矩阵就是流行视角中的切向量， 它属于里代数。现在称这个矩阵为 a， 那 么当旋转时，点 x 的 速度就是 a。 作用在 x 上。如果我们对所有点 x 都这样做， 就得到一个向量场，其中在每个点 x 处都附着一个向量 ax， 听起来熟悉吗？这些内容在本系列前两期视频中已有提及。某种意义上， 这个向量场可以生成旋转，因为如果你简单地沿着这个向量场移动，平面上的每个点都会随之旋转。理解里代数的另一种思路是将里代数视为向量场 ax， 其中 a 是 里代数中的矩阵， 他能够生成一个变换，在这里生成的是属于里群的二维旋转，我们称之为限量场视角。正如 前一个视频所述，深层的变换应该具有 e t 的 形式，其中 t 表示沿向量场运动的时间里，代数元素 a 经过指数映射就成为里群的元素。 无论是流行视角还是像量场视角都同样重要，我们会根据需要切换使用。不过我们先来看看这些李代数矩阵 a 的 具体形式。 让我们再次回到二维旋转的例子。采用向量场视角，如果我们关注点一零，观察它的旋转轨迹，由于圆点固定不动，该点被约束在单位圆上运动， 因此促使速度向量只能是垂直方向，但速度大小可以任意取值，这个垂直向量可表示为零 a， a 可以 是任意实数。现在假设 a 为正数，此时该点会以速度 a 向上运动，形成逆时针旋转。那么另一个点零一的初使速度应该是向左的， 因为这是逆时针旋转，且速度大小与前一个点相同， 因此速度为 a 零。虽然我们假设 a 为正数，对应逆时针旋转。若 a 为负数速度，向量方向就会反转，但点零移的速度仍然是负 a 方向， 因此对应的向量场矩阵就是零 a a， 其中第一列表示点一零处的向量，第二列表示点零一 处的向量。所以这些矩阵实际上就是二维旋转。理代数的全部内容。补充一个记号说明，如果你要在线搜索的话，二维旋转构成的群记作 s、 o r， 其对应的理代数用小写 fractor 字体表示。总之，我们已经证明小写 so 二就是这些反对乘二乘二矩阵的集合。 那么小写 so 三呢？我们能否用类似方法处理？虽然没那么简单，但让我们继续探讨难点所在， 还是先看 x 轴上的点一零零。在三维旋转中， 这个点必须保持在单位球面上，意味着该点的出使速度只要与球面相切即可。 一般来说，这个切平面上的向量形如零 a、 b、 x 分 量为零，是因为该点的切平面 只沿 y 和 z 方向延伸。同理，如果我们考察 y 轴上的点零 一零，其出使速度向量可以是切平面上任意向量， 因此形如 c 零 d， 此时向量的 y 分 量为零。最后考虑点零零一， 其出使速度形如 e、 f 零，此时向量的 z 分 量为零。 因此，这个向量场对应的矩阵如下所示，因为和之前两个微分 d、 k。 第一列表示点一零零处的速度场。第二列表示点零一零处的速度场零一 零。第三列表示点零零一处的速度场零一。但需要注意的是，这些系数 a、 b、 c、 d、 f 并不能随意取值。举例来说，图中所示的速度场并不对应旋转运动， 因为这两个点的运动轨迹正在相互靠近。因此这些系数必须满足 a、 b、 c、 d、 e、 f 的 约束条件。虽然可以通过几何论证，但为了更具普适性，我们采用以下方法。 我们从旋转矩阵的定义关系式出发， r 的 转制乘以 r 等于单位矩阵，将 r 视为一个微小旋转，可以认为它从单位矩阵出发， 在流行视脚下沿着 a 方向移动了。爱普希隆时间。严格来说，这里存在高阶修正项，但目前我们暂时忽略不计。这个正交条件可以表示伪降 r 替换为 i， 加上爱普希隆 a 再次忽略高阶小量后，我们展开这个乘积， 但此时会出现一个二次项，我们将其忽略。因为这些计算仅在爱普西隆的一阶精度内成立，所以任何地方都不应保留高阶项，最终得到这个方程。这意味着 a 的 转制等于负 a， 才能使一阶项完全抵消。因为 a 是 单位原处的切向量，所以 a 属于里代数。计算表明，若 a 要属于里代数， 就必须满足反对称条件，即 a 转制等于负 a。 不 过要注意，正交性条件只是旋转矩阵的两个必要条件之一， 要成为纯旋转而非反射变换，还需满足行列视为加一的条件。 或许吧，这可能会对 a 矩阵施加额外的限制条件。关于 a 矩阵可能的取值形式，如果我们再次采用向量场的视角来看，那么任何微小旋转 r 都可以表示为 某个矩阵 a 的 指数映射，因为它是由里带数中的矩阵生成的。这意味着旋转矩阵的行列式条件可以重写为 矩阵指数映射的行列式。不过，如果你还记得之前关于矩阵记的视频，这个行列式等于 t 乘以 a 的 记的指数。因此，对等式两边取对数后， 我们得到 a 矩阵必须是无记的。因此，行列式条件给出了一个约束，即 a 矩阵必须无记。但是， 这真的是额外的约束吗？由 a 的 反对称性从正交性条件退到可知，已经意味着其对角元素必须为零， 因此其既必然已经为零。所以，行列式给出的约束实际上并非额外限制。 因此，李代数 s， o， n 实际上就是由所有这些反对称矩阵构成的。在 n 等于二的情况下，我们已经看到李代数由所有这些二 x 二反对称矩阵组成。 我们的计算只是将这个结论推广到更高维度。不过我想强调，为什么研究李代数 s， o， n 很 有意义。 反对称条件非常容易求解和参数化，即使 n 等于四时，也很容易写出反对称矩阵的具体形式，只需注意关于主对角线对称位置的元素符号相反。然而， 如果直接研究里群来求解这些方程， 就很难看出这些矩阵应该具有什么形式。不过，我们的讨论表明， r 可以 表示为 a 的 指数映射，其中 a 属于理代数，因此在本例中它是反对称矩阵。幸运的是，我们非常熟悉反对称矩阵的具体形式，因此我们可以轻松地将这些旋转矩阵表示为指数形式。当然， 仍然需要计算这个指数映射，但至少这为我们提供了一种简易的旋转矩阵参数化方法。 本章中，我们将推导出李代数的两个主要性质，这也解释了为何需要同时理解李代数的两种视角。因为第一个性质 即里带数构成向量空间在流行视脚下非常直观，但若采用向量场视角就没那么显而易见了。因为在流行视脚下 里，带数作为切空间，若有切向量 a 和 b， 它们的任意线性组合都仍属于该切空间，这就是向量空间的定义。 但切换到向量场视角后，情况就不那么直观了。以旋转群为例，矩阵 a 生成的向量场会产生旋转运动。假设矩阵 b 的 向量场同样产生旋转， 那么 a 和 b 限性组合的限量场呢？我们很难直接看出现性组合是否仍保持旋转特性。在限量场视角下的证明方法是， 首先，缩放向量会改变旋转运动的速度，但缩放后的向量场仍保持旋转特性。换句话说，若使量场 a 能够生成旋转运动，那么经过栏目打缩放后的 a 同样能生成旋转。 接下来，我们假设使量场 a 能生成旋转，而另一个使量场 b 也能生成旋转。现在要证明他们的宪性组合同样能生成旋转。为此，我们构造一个等效的新旋转， 先在微小时间艾普希隆内沿使量场 b 运动，再在相同时间内沿使量场 a 运动。 那么问题来了，这个复合旋转对应的矢量场是什么？对于任意点 x， 首先沿矢量场 b x 运动。由于运动时间爱普希隆极短，最终位置可表示为 i 加爱普希隆 b x， 这个近似精确到艾普希隆的 e 阶向。接着，我们继续沿使量场 a 运动，但由于位置已发生微小偏移，此时该点处的使量场变为 a， 作用于新位置 艾加艾普希隆 b x。 经过微小时间艾普希隆后，最终位置为艾加艾普希隆 b x 同样精确到爱普希隆的一阶项。因此任意点 x 的 运动轨迹可描述为爱加爱普希隆 a 作用于 i 加爱普希隆 box 的 这个复合变换，其为一量等于新位置 减去初始位置 x。 虽然可以精确计算，但如同之前的推导， 我们忽略爱普希龙的高阶项，因此整个过程最终得到的谓语是爱普希龙乘以 a 加 b 作用在 x 上的结果。要确定生成这个复合旋转的 矢量场，我们需要考察速度场，它应该等于为一量，即我们刚才计算的结果除以时间间隔。在我们这个例子中是二爱普希龙，这样就得到了平均速度， 即这两个向量场的平均值。所以产生新旋转的向量场 就是两者的平均值。换句话说，如果我们知道向量场 b、 x 和 x 都能产生旋转，那么它们的平均值也能产生旋转。如果我们把这个新旋转的速度加倍， 就能推导出这两个向量场的和，也能产生旋转。结合之前关于向量场缩放的结论，我们知道，如果一个向量场是能产生旋转的 像量场的限性组合，那么它本身也能产生旋转，这比流行视角要复杂一些。但无论如何，我们已经从这两个视角推导出了李代数的第一个性质。 现在让我们来看下一个性质，我保证这个不会那么吓人， 不像上一个性质，这个要简单得多。如果你采用向量场视角，假设向量场 x 能产生旋转，我们想知道对应于矩阵 g， a， g 的 负一次方的向量场是什么？其中 g 本身是一个旋转矩阵。 在上一个视频中，我们讨论过 g 的 性质。我们知道这个新的向量场其实就是将向量场 ax 整体旋转了 g 角度后的结果。 如果向量场 x 能产生旋转，而我们只是将整个场景旋转，那么得到的向量场也应该能产生旋转， 只是旋转轴不同而已。我们已经证明，如果向量场 x 能产生旋转， 而 g 本身代表一个旋转，那么 ga 的 负一次方 x 也能产生旋转，这就是我的理解。 从向量场的角度来看，用理理论的语言来说，如果 a 是 里代数的一个元素，而 g 属于里群，那么 g a， g 的 负一次方也属于里代数，这就是里代数的第二个性质。 我们要讨论的。让我们切换到流行视角。回顾上一章的内容， 本质上说，如果 a 是 切向量及里代数的一个元素，那么将它夹在 g 和 g 的 负一次方之间，会得到另一个切向量。不过， g 本身是一个旋转，我们可以将其视为从恒等圆到 g 的 变换过程。因此，在这个流行视角下，我们还可以考虑如何通过从恒等圆平滑旋转到 g 来实现从 a 到 g， a， g 的 负一次方的平滑过渡。 这些中间向量是由恒等圆到 g 之间的中间旋转生成的。事实上，因为 g 本身就是一个旋转， 它是由某个其他向量场 b x 生成的，因此可以表示为 e 属，其中 b 属于里代数。这些中间向量通常可以表示为 a 被夹在 e 托和 e 边缘儿沉没之间，其中 t 从零平滑过渡到一 t 等于零时，对应原始的向量 a， t 等于一时，则对应 g， a， g 的 负一次方。 现在将这个连续的向量组记为 f。 我 们感兴趣的是当 t 增加时的变化率。 直观来看，这个变化率就是向量端点运动的速度。特别的，在 t 等于零时刻， f 零表示 向量端点在曲线一千斤 a 一 两字是上运动的始速度， 这个始速度我们暂时记为 adba， ad 表示伴随阿 joy 映射。目前我们可以将其理解为某种方向性导数。最初情况是，我们仅有一个切向量 a， 然后沿着这条路径前进。这条路径在某种意义上是由 b 生成的，因为群际由 b 生成。因此，这个 f 零可以看作类似于 a 在 b 方向上的导数， 虽不精确，但概念类似，而且我们可以明确得出这个导数与 ab 的 关系。利用导数的定义， f 零可表示为， 其中 f， t 表示路径函数， a 是 运动的初始点。接下来将 f t 展开到 t 的 一阶项， 高阶项可忽略，因为之后要除以 t 这一步，只是将指数函数展开到一阶，接着进一步展开，但仍 仅保留 t 的 一阶项。严格来说，虽然存在 t 的 平方向，但除以 t 后，在 t 零时就会消失，最终我们得到 b a b 的 结果。因此， f 零 这个类似 a 在 b 方向上的导数，或者说伴随作用下的 b a 等于 b， a 减去 ab。 目前这个流行视角过于抽象，让我们转换到 向量场视角来理解。我们重点讨论三维旋转，因为二维旋转相对简单。我们把这个向量场对应的矩阵记作 z， 因为它生成了绕 z 轴的旋转。 旋转方向遵循右手定则，拇指指向 z 轴正方向时， 同理，这个向量场既作 y， 生成绕 y 轴的旋转，同样其方向也遵循右手定则。当拇指指向正 y 轴时，遵循右手定则，最后大写 x， 表示沿 x 轴生成的旋转。 我们来看一个具体例子，即 x 对 z 的 伴随作用。具体来说，我们先以 z 生成的向量场为起点， 然后沿 x 轴旋转整个向量场，因为这是由 x 生成的旋转，再观察向量场的变化率。 为此，我们可以观察特定参考点上所负向量的变化情况。特别的，我们选 z 轴上的一个点和 x 轴上的另一个点。先从 z 轴上的点开始。 初始状态下，该点处的向量是零向量，因为沿 z 轴旋转时，该点保持静止。但当我们绕 x 轴微调向量场时， 该点会出现一个微小但非零的向量。具体来说，这个小向量沿 x 轴方向， 在本例中，它指向左侧的负 x 方向。因此，从初时的零向量 到现在指向负 x 方向的小向量，该点出向量的变化率 同样指向负 x 方向。目前，我们暂不关注具体的量化细节，比如向量的确切长度。不论这个向量的长度如何，变化率应该等于该点的 x z 向量。 换言之，此处 x z 对 应的向量场应该是一个指向负 x 方向的向量 x 方向。现在，我们需要另一个参考点来确定 x z 平面上的旋转方向。 这次在原始向量场中，该点出的向量指向正 y 方向 方向。如果当我们沿 x 轴旋转时，重点观察这个矢量，该矢量会随之旋转。最初，该矢量指向正 y 方向， 随后发生旋转。随着 x 轴旋转的进行，其变化率沿着垂直方向 及正 z 方向 x z 向量场。在该点关联的矢量 指向正 z 方向。结合之前 z 轴点的结果， 该处矢量指向负 x 方向。现在，我们就得到了该限量场的两个矢量，仅凭这两个矢量就能看出它对应着 y 轴方向的旋转。 但更准确地说，根据右手定则，这个旋转实际上是绕负 y 轴进行的，因此 x z 向量长等于负 y。 严格来说，我们尚未考虑矢量的长度 可能是负零点五 y 或负二 y， 但通过更精确的定量分析 可以确认这个结论。若取 x、 y 和 z 来生成单位角速度的各轴向旋转，我们也能推导出其他伴随关系使用类似方法，这与叉机的计算方式十分相似。 接下来，我们将探讨这个伴随作用的性质，这最终能解释为何在严格定义里代数时，我们希望里括号运算满足这三个性质。 虽然我们可以直接使用 b a、 a b 这种代数形式来证明这些性质， 但我希望通过微分概念更直观的展示这些性质。采用这种方法有充分的数学依据，稍后我们会详细解释。首先来看第一个相对简单的性质。 假设我们有一个向量场 i e k， 如果使用由 a 自身生成的旋转对整个向量场进行旋转， 最终仍会得到相同的向量场 x， 因此向量场的变化率为零， 因为向量场并未发生改变，即伴随作用 a， a 等于零，这就是第一个性质。第二个性质则更为复杂，主要在于这个伴随作用对两个参数都是现行的。我们先讨论第一种情况， 当原始向量场是其他向量场的向量组合时的情况。如前所述，我们考虑将 a 向量场旋转后得到 f 特，即 a 被夹在 e t， b 和 e t b 之间。现在假设原始 a 是 a 一 和 a 二的线圈组合，那么 f、 t 就 可以分解为 对应的线圈组合，分别对应于 a 一 和 a 二。现在取 t 等于零处的导数，左侧就是 a， 右侧则是伴随作用的限性组合。这是限性性质的第一部分。如果你想，可以思考如何在限量场视脚下证明这个性质， 更困难的部分在于当 b 本身是 b 一 和 b 二的限性组合时的情况。虽然代数方法更为快捷， 但缺乏直观理解。我们将其分解为两个特例，一个是简单缩放，另一个是 b 一 和 b 二的和。 如果回到象限场的视角来看，伴随作用描述的是象限场的变化速率。 具体来说，如果我们让整个向量场的旋转速度减慢，栏目打倍，那么向量场的变化率也会相应减慢，栏目打倍。 旋转减慢，栏目打倍的部分对应着将下标 b 变为栏目打 b， 而变化率减慢则对应着栏目打，乘以伴随作用在 b 上。 这就是我们论证的第一部分。如果我们用栏目打缩放向量场， 那么伴随作用也会按栏目打比例缩放。如果 b 由两个向量场相加组成呢？ 这个情况稍微复杂些，不过由于我们只考虑微小时间， t 可以 将其分解为两个指数函数。这一步与我们推导旋转生成限量场之合的过程非常相似。 经过这一步后，我们发现中间项被夹在 e t b 二和 e t b 二之间。 因此，对于 t 的 一阶项可以表示为 a， 加上 t 乘以伴随作用， 因为 a 就是 原始向量场，即 f 二在零处的值。这里 f 二表示相对于 b 二旋转时，而伴随作用就是 f 二在零处的导数。 但现在我们又有一个量被夹在两个指数函数之间。同样的，对于 t 的 一阶项，我们可以用夹在中间的向量场来表示， 再加上 t 乘以作用于该向量场的伴随作用。幸运的是，我们已经证明，如果原始向量场是向量场，是线性组合， 那么其伴随作用也是限性组合。不过，由于我们只考虑 t 的 一阶项，不需要考虑 t 的 平方向， 最终我们可以直接读出 f， a 就是 f， 即原始向量场。这些伴随映射的和等于 f。 因此， 经过这段较长的推导后，我们得出了结论， b 一 加 b 二的伴随等于各自伴随映射的和。至此，我们完成了关于伴随映射双限性性质的证明。 接下来讨论第三个性质，即反对称性，这个性质将采用更代数化的方法处理。从我们推导的第一个性质出发， 当涉及的两个向量场相同时，其伴随映射为零。接下来，利用刚证明的双线性性质 将其分解为四象，然后运用伴随映射的性质，再次，利用向量场对自身的伴随为零的性质，可以发现交叉相符号相反， 即 ad 棒等于 adba。 我 曾尝试从向量场角度理解， 但这样理解过于复杂，不过还是鼓励大家尝试。最后一个性质看起来有些复杂，甚至不太常见，但它让人联想到乘积法则 等式。左侧是 a， d 作用于另一个伴随映射。右侧第一项是 a， d， a 作用于 b， 第二项则是 a， d， a 作用于 c。 这与乘积法则相似，是因为在普通导数乘积法则中， 导数算子也会分别作用于 f 和 g， 因此我将此性质称为乘积法则。那么如何证明这个性质呢？我们从单个伴随映射出发， 这会生成一个新的向量场。现在用 g 对 这个新向量场进行旋转， 不过这与直接旋转内部的每个向量场效果相同。与常规伴随作用类似。我们假设 g 是 另一个向量场的指数，映射。在 t 的 一阶近似下，左侧可表示为原向量场， 加上 t 乘以 a 在 该向量场上的伴随作用。在右侧，我们对 b 和 c 进行类似处理。接下来利用伴随的双线性性质展开为四项 同样的，我们忽略 t 的 二次项。若比较 t 的 一阶项，可得到伴随作用的乘积法则特性。 以上就是我们讨论并证明的伴随作用的四个性质，但需要强调的是，这些并非随意性质，它们可与多元微积分中的方向导数进行类比。 这里我们将方向导数定义为方向向量 v 与 t 度的点击 方向导数同样满足双限性性质。对函数 f 本身限性，对方向向量 v 也限性。但更重要的相似点在于乘积法则 性质。虽然刚才已经提到过这个相似性，这是因为右侧的 ar 作用在 b 和 c 上时具有分配性。正如方向导出算子作用于两个函数时具有分配性 f 和 g 的 情况，这并不令人意外。伴随作用与导数具有相似性，其定义本身就涉及导数。伴随作用。还有另一种记法，用方括号表示向量场之间的里括号。 这意味着我们可以将伴随作用的所有性质转化为里括号的性质， 特别是关于 jacob 笔横等式的最后一条。这种性质初看似乎很随意，但若认识到它源自伴随作用的乘积法则， 这样看起来就合理多了。这就解答了为什么我们要用里括号的这些性质来定义里代数。这些性质在本质上确保了里括号作为方向导数的特性， 即 y 在 x 方向上的导数。不过视频开头提到过， 我们可以更直观的理解 g 的 性质，现在就来解释。具体解释如下，如之前关于 g 的 视频所述，对于一个特定的向量场 ax， 其散度等于 g a。 当我们对这个向量场施加向量变换时，比如旋转变换 g， 向量场会变为 g a 的 负一次方。但正如 g 的 性质所示，在 g 视频中解释过， g 值在此过程中保持不变，因此整个过程里 g 的 变化率始终为零。 假设 g 由 b 生成，用数学符号表示可以得到这个极限式，其中分子式新记值减去原始记值。实际上，即使不直接计算机， 因为记值本身没有变化，利用计算子的限行性质，可以将这些项都放入记运算中。这个等式对所有 t 都成立，括号内是 ab， 加上 t 的 高阶项。 由于对所有 t 成立，令 t 等于零，可得 g a， b 等于零。之前已经证明 ab 等于 abba。 最后再次利用 g 的 限性性质，可得 g a b 等于 g b。 我 们无需借助任何矩阵分量，就得到了这个结论。 在本系列视频最初的规划中，这期视频原本是要分成两部分的， 所以最终呈现的时长会比较长。其实我还构思了另外两个主题，但不确定能否做出足够独特的视角。关于指数渗透局限性的那期，本质上是对理理论拓扑结构的探讨， 这部分内容在悬亮拓扑的相关视频中都会涉及。而原定的收官之作是关于李群和李代树的表示论。 不过 i g kris 已经做过精彩讲解，因此我在犹豫是否要继续这个系列。老实说，制作这个系列的初衷是为了解答我长期以来的困惑， 比如如何从亚克比恒等式引出李代数的定义，以及为什么从直观上看矩阵乘积 a b 和 b a 的 g 会相等。这些问题在本期都得到了解答。 关于未来企划，虽然有几个创意，但都还不够成熟，考虑过做微分几何或广义相对论的系列，也有些概率统计相关的小题有待完善， 或者更让人期待的是分享。我正在进行的研究工作暂时还没想好。如果观众朋友们有特别想了解的主题，欢迎在评论区留言。最后感谢各位赞助者的支持，记得一键三连，我们下期视频再见！

我简直是个天才！好的，我们来看一下题目，如图，在三角形 a、 b、 c 中， ab 等于八 ad 平分角 b a c 角 b a、 d 的 度数是十五度点， p 和 q 分 别为边 a、 d、 a、 b 边上的动点 连接 b p p q 二则 b p 加上 p q 的 最小值是多少呢？嗯，我来试试啊， 先找到公共点 p， 看看它在哪条线上。如果在 a、 d 上的话，就把 a、 d 当对称轴，接下来的话就做对称。我觉得应该是 b 或 q 都可以，我选择做 q 的 对称点， q 撇点。好的， 接下来只要把 b q 撇点连起来就好了。但是铁柱，我有个问题啊， 你这样连的话，这个 q 撇点应该是在动的吧，那么此时你这个 b q 撇不就有无数种情况了吗？我们是不是少一步呀？哎呀，你别急嘛，接下来我们移动 q 撇点，当 b q 撇垂直的时候就是最短的。 好，你意思这个时候的 b p b q 撇是最短的？是的，我简直是个天才啊！ 至此呢，我们已经把将军一马的所有思路学完了。但是啊，将军一马呢，有非常多的变种题型， 感兴趣的同学可以在评论区领取我们整理好的讲义，也可以在评论区留下你下下一次视频想看的题型，让我们一起来考打铁柱。哈哈哈，你果然是只熊猫，真是太损了。

就给大家录一道椭圆题，这道题是二二年三冬的一道高考题，通过这道题也想给大家分享一下怎么去分析和解答一道数学题。 分析和解答一道数学题，我认为比较基础，而且是广泛适用的方法是方程思想。那怎么用方程思想来分析一道数学题？一道数学题不论是解答题还是证明题， 其核心本质是把这道题所有的未知量、未知量搞定，未知量搞定。而我们要解决 n 个未知量就需要什么，一般就是需要 n 个方程， n 个方程， n 个方程，我们就需要什么， n 个条件， n 个条件去列出等量关系，而这 n 个条件 怎么去找？一个是从题目中指引，从题目中指引，另一个就是这个板块知识下面，它本身就隐藏着， 隐藏着，隐藏着一些条件，比如说在椭圆里面，它始终隐藏着什么， a 方是等于 b 方加 c 方， 平方加 c 方，那你这个思路把条件和题目分析完了过后，把这个思路给倒过来，就是解析过程，解析过程，解析过程。那我们来看一下这道题，看一下这道题 第一问是非常常规的求椭圆方程，其中已经告诉了离心率和 一个点，在这个图上就相当于是告诉了两个条件，再加上 a 方等， b 方加 c 方，就一共三个条件，三个条件就可以把 abc 三个位置量解出来。这道题第一问解出来， a 方是等于 a 方是等于六， b e 方是等于 c 方等于三，所以椭圆的方程是六分之 x 方加上三分之外方等一。因为是什么题，所以我们就 不过多的讲这个第一位，我们主要是看第二位。第二位是说这个点 m 和点 n 是 在这个上，且 am 是 垂直于 n a， d 是 垂直于 m n 的 d 是 为垂。那你证明是否存在一个 点 q， 使得 d q 为定值？我们先从这个证明的结论入手来分析，结论是说是否有一个定点定点 q 使得什么使得 d q 为定值， 使得 d q 为定值，又有定点又有定值，而且这个定值是指线段长，所以我们很容易猜测 d 的 轨迹是一个圆， d 的 轨迹 d 的 轨迹是圆， d 的是轨迹是圆，那这个 d 的 轨迹是圆，和这道题的条件有什么关系？条件有什么关系？ 我们再来看这个 m n， m n 是 一条直线，而且我们能分析出 m n 是 一条动直线， m n 是 一条动直线， 点 a 又是一个定点，这个 a d 的 垂足要是一个圆，那它怎么才是一个圆？当这个直线是定直线哦，动直线的时候， 如果它绕着定点转，有一个定点，有一个定点 p， 它绕着定点转，那我们把这个 a 和 p 连接起来，这就是一个定差，和这个垂足 d 就 会构成一个 直角三角形，而这个垂足 d， 它就始终会在什么以 a p 为直径的圆上面，以 a p 为直径的圆上面。 那 a p 的 终点就是这个圆心，以及我们要找的这个点 q， 要找的这个点 q 要找这个点 q， 那 通过这两个解释，我们就能分析出这道题核心是在证明什么。核心是在证明 直线 m n 是 固定点的固定点。固定点，那怎么证明直线 m n 固定点？这是一道啊，这是一道典型的直线和 椭圆位置之间的一个问题，就是用伟大定律就可以求解，伟大定律就可以求解。我们把 m n 设出来，把 m n 设出来， m 设为什么 x e x e y e n 设为什么 x 二 y 二，把什么 m n 这条直线本身设为 y， 等于什么 k x 加 m。 当然，这道题我们要考虑斜率存不存在的问题， 在做题的过程中要去分类，头，一个是斜率不存在，一个是斜率存在。我们这道题就主要讲斜率存在，斜率存在，因为斜率不存在。这个问题是一个特质问题，特质问题很好解，很好解。那我们 要怎么才能说明 m n 是 过定点的？那是不是就要去找到什么 k 和 m 之间满足一个什么等量关系？满足一个什么等等量关系？只要能找到这关系，我们就能说明直线 m n 是 过 定点，是过定点。怎么找呢？其中还有一个什么？还有一个条件没用，什么条件没用？ a m 是 垂直 an 的 a m 垂直 n， 说明了什么问题呢？ a m 垂直于 a n， 是 不是就说明 a m 所在的向量和什么 a n 所在的这个向量数量积为零，或者什么 a m 所在的直线和什么 a n 所在的直线？ 斜率负为负导数，负为负导数。两种方法都可以解，两种方法都可以解，但是项链项链这个方法，它的条件更弱一些，就是适用起来范围更广一些，所以我们用项链来解，项链来解 a m 垂直 a n， 得到 a m 和 a n 所在的项链数量即为零，也即什么，也即 x， 一 减二乘以什么 x， 二减二加上什么 y， 一 减一乘以什么 y， 二减一是等于零的，整理一下，整理一下，就是 x 一 加 x， 二啊， x 一 乘以 x， x 一 乘以 x 减二倍 x 一 加 x， 二加上四加上什么 y 一 乘 y 减去 y， 一 加 y， 二 加一等于，因为这个点 m 和点 n 是 都在 m 这条直线呢。所以说 y 一 是等于什么？ k x 一 加 m， y 二是等于什么？ k x 二加 m， 把这个二式带进一式，其实它就是一个典型的伟大定律表达式，伟大定律表达式，伟大定律表达式。 我们通过连立什么连立直线， y 等于 k， x 加 m 和什么六分之 x 方加上三分之 y 方等于一， 可以得到一个什么关于 x 的 一元二次方程。二次方程 g 什么 g？ 整理一下，整理一下 g 一 加二 k 方 x 方加上什么？四 k m 四 k m x 加上什么二， m 方减六是等于零，这样我们就可以得到， 这样我们就可以得到 x 一 x 二，是这意思吗？二 m 方减六除以什么？一加二 k 方 x 一 加 x， 二是得到什么？负四 k m 除以一加二， k 方除以一加， 这是第三个式。第三个式把一二三这四个式子连立起来，因为这是个等式， y 可以 用含 x x 二来表达， x x 二是可以含用含 m 和 k 来表达的。所以我们这个式子一整理，其实会得到一个什么 关于 m 和 k 的 什么一个方程，两个位置量一个方程，就一定能找到 m 和什么 k 之间的关系式， m 和 k 之间的关系式，这后面纯粹是一个什么运算问题？运算问题， 但解析几何除了考我们分析这个问题的能力，更重要的一个考点就在于对我们预算能力的把握，预算能力的把握， 这里我就不算，这里我就不算了。这个方程整理出来，这个关于 m 和 k 的 方程整理出来，通过什么因式分解？因式分解，因式分解可以得到什么？可以得到是二 k 加三， m 加一乘以什么二 k 加 m 减一等于零等于零。也即什么二 k 加三 m 加一等于零， 或者什么二 k 加 m 减一等，或者二 k 加 m 减一等于零，那我们就可以得到什么？ m 是 等于什么？ m 是 等于 负二 k 除以三减三分之一，或者是吧 m 等于一减二 k， 那 我们就得到 y 是 等于什么？ k x 减去三分之二， k 减三分之一 等于 k 倍 x 减三分之二减三分之一。或者什么 y 是 等于 k 倍 x 加上什么一减二， k 等于什么？ k 倍 x 减二加一。这个方程我们可以得到什么？ m n 是 过定点三分之二的负三分之一，这个方程我们可以到 m n 是 过定点。什么定点二逗一的定点二逗一，我们再看一下是不是两个都满足题，两个都满足题， 因为什么？因为 m n 是 在 c 上的，而且 a m 是 始终要垂直 a n 的， 所以说 m n 这条直线不能过 a 点，不能过 a 点，不能过 a 点，而这个 a 斗二斗一是 a 点，二斗一是 a， 所以 这种情况是不满足条件， 最后我们可以得到。最后我们可以得到什么？直线 m n 是 过定点 定点三分之二的，什么负三分之一？那直线过了，定点什么？这是直线 m n 过的什么？定点三分之二的负三分之一 a 点是什么？二斗一， d 是 什么？ d 是 垂足，所以 q 就 应该是什么？ q 极什么点？ 三分之二都什么？负三分之一与什么？与 a 点二都一的中点，中点，那得正了，得正，得正。这道题就结束，这道题就结束。 当我们再回过头来看一下这道题，回过头来看一下这道题。这道题第二问，如果知道一些二级结论，其实这道题分析起来更简单，分析起来更简单。什么二级结论？ 什么耳机呢？因为这个点，什么点？ a 是 在什么？是在椭圆上？是在椭圆上，是在椭圆上 m n， 而且是一个什么 定点？ m 是 什么？椭圆上的什么？椭圆上的动点？动点且什么？且 m n 有 什么关系呢？有什么关系？有 a， m 是 垂直于 an 的， 所以有什么呢？ k a m 乘以 k， a n 是 等于负一为定值的，为定值。所以其实这条直线 m n 哈 m n 一定过定点，过定点。这个二级结论是什么呢？这个二级结论是什么？二级结论是 在什么椭圆或双曲线上？双曲线上，如果，若，若有一个什么动点， 若有一个什么定点， a 同时有什么两动点？ n m 和 n， 如果满足什么？满足 k a m 乘以什么？ k， a n 是 等于什么？拉布达为定值， 或者什么 k a m 加上 k a n 等于 not 为定值， 那我们就可以推出什么？推出 m， n 是 固定点，固定点。大家下来可以去证一下，下来可以去证一下。今天晚上的课就讲到这里。