调和线束是什么

好题分享，直接看最后一问，现在的考题要是有结论，考场上可以节省很多时间，这是逼着大家去高阶知识啊！废话不多说，直接上结论。以焦点 f 二为极点代入，可得极限 x 等于四，则 h a、 f 二 b 乘调和点列对应，获得调和限数。因为 y 等于 h， 可得圈内方程 四点。公务员对角互补可得角二 q a 等于角 a、 f、 r、 m 分 别列两角。正切公式消掉 k 一、 k 二项可得。关于 k 的 一与二次函数是一个开口向下对称轴在 y 轴右侧的二次函数，由于 k 小 于零，则在 y 轴左侧只有一个减。看完记得双击加关注！

要解决五函二调的圆锥曲线第十九题，我们就需要用到调和点列调和线数的一个重要性质，下面我们要把这个性质呢讲一下。 已知 a m， b， n 成调和叠列， p a p m p b， p n 为调和线数。 如果有一条直线 l 与调和线处分别交于 a， e， m， e b e n e， 我们可以得出 a e m e b e n， e 仍然为调和点列。 因为 a m、 b， n 四点成调和点列，所以可以得出 a m 比上 m b 等于 a n 比上一个 o， b m 为 内分点，而为外分点。我们又因为 a m 除以 b m 就等于三角形 p a m 的面积除以三角形 p m， b 的面积，因为这两个三角形高是相同的，面积比就等于底的比。 用面积公式表示一下，就是二分之一 p a， p m c， a 角一比上二分之一 p m， p b， c， a 角二。 约掉二分之一和 p m 就等于 p a 比上 c a 角一， p b 比上 c a 角二。同理， a o 比上 o， b 就等于 p a 乘以 c a 角一加九二加角三 除以 p b， c e 角三。由 a m 比 m b 等于 a o 比 o b， 可以推出 c e 角一比上 c e 角二，等于 c e 角一加九二 加角三比上 c 音角三。翻过来也是成立的。我们用一条直线结调和线数得出这四个点，就发现仍然有 c 音角一比上 c 音角二，等于 c 音角 一加九二加九三比上 c 九三。所以呢，由着正斜的比值可以推出，也就可以推出了 a e m 比上 a m 一比上一个 m 一 b 一等于 a 一 n 一比上一个 n 一 b 一。所以可以得出 a 一 m 一 b 一 n 一，仍然成调和点列。 刚才我们这条直线 l 适合调和限速 分别交的四个点，我们现在呢，如果这条直线 l 和调和线数的两条，其中交了两个点，另外两条是反差反向延长线， 仍然呢交了四个点，为， b e， n e， a e m e， 其中 b e 还是原来这个位置， n e 还是这个位置， a e 呢，就变成了 p a 的反向延长线， m 一呢，就变成了 p m 的反向延长线。这时候这四个点是否成调和点列呢？下面我们来证明一下。有刚才的结论。 a m b n 四叠成调和点列，可以得出， saying 九三比上 saying 九一加九二加九三，就等于 saying 九二比上 saying 角一，这个是成立的。我们从现在图形上可以看出， saying 九一加九二加九三， 这三个角加起来呢，他和角四呢，是互为补角的，所以等于 c 角四。而角二呢，他和三四五 这三个角呢，和是互为补角的关系，所以呢， c 九二等于 c 一九三加九四加九五， 而角五呢，就等于角一对顶角，所以 c 角五， c 等于 c 角一。现在我们来看， c u 角三比上 c u 角四，它就等于 c u 角三加角四加角五比上 c 五。那么根据刚才推这的结论，就可以得出， b e n e a e m e 这四点成调和点列。 我们由调和点列的性质就是最大的两项的乘积就是 b e m e， 最大的乘以最小的 n e， 他就等于两边的两个乘积， b e n e 乘以 m e a e， 这是调和点列的另一种表示形式，我们给它写成分数的形式呢，就是 a e m 一 a e m 一比上一个 m 一 d 一比上一个 m 一 b 一， 它就等于 a e a e 比上一个 a e b e。 我们来看一下刚才是啊， b e m e 刚才是 b e m e， 这是最长的，这是最短的，等于呢？ b e a e 乘以 m a e， 然后呢，把这个给他除过来，就是一个 m e a e 除以个 b e m e 等于 a e n e 比上一个 b e n e。 所以这四点呢，仍然是成调和点列。我们武汉二调呢，就需要利用这样一个性质。 第一问，我们可以轻易地得出答案， x 方减去三分之 y 方 等于一为刷取线的标准方程。我们看第二问， f 二是焦点， f 是一条准线，我延长 b f 二与准线交于 e 点，就可以得出 e a f 二 d 四点呢，成调和点列。 那么从 p 点和这四个点相连，那么 p e p a p f 二， p b 就成四条呢？调和线数， 我现在用一条直线就是 x 轴所在，这条 直线与这四条调和线数呢？呃，相交，那么其中 p e 的延长线交于 c 点， p a 的反向延长线交于 f 一点， p f 二的交点为 f 二点， p b 的交点为 d 点。 得出了这四个点呢，我们就可以得出就是 x 轴接着四条直线得出的四个交点， f e c d f 二，这四个点呢，也是成调和点列的，也成调和点列 这四个点，成调和点列，我们就可以得出 f e c 比上一个 c， d 等于 f 一， f 二比上一个 f 二 d， 其中 c 点是 f e d 的内分点， f 二呢，是 f e d 的外分点。我们假设 m 点的坐标， 假设地点的坐标为 m 零，我们就会得出 f c 一， 因为 c 点的横坐标是二分之一， f 一坐标呢，是负二零， f 二的横坐标就是二 d 点的呢？我设成 m 零， 就会得出二分之五，比上一个 m 减二分之一等于二， 减去负二就是四了。四除以个二减去 m， 我们就可以得出 m 等于十三分之十四，所以定点地点的坐标就是十三分之十四零。 有什么不同解法？评论区里留言。

a 高考圆锥曲线压轴题最后一问，答案一望而至， 离过定点零斗一极限 y 等于三，提等于三，过定点零斗二。 第二， a 是 m 终点，所以 b 值等于一。 哎，这是直线和圆锥曲线的基本模型之一， 调和线输平行截终点。好，我们 具体来看，第一，存在性问题，看第二，求笔直，再看第三，证明三点公线。好，我们做一个总结，基本模型，调和线数一， 平行接中点。我们以立一的图为例，第一呢，我们先找一个极点，第二步呢，我们找他对应的极限， 第三步呢，过几点？哎，做一条直线，与椭圆有两个交点，与极限还有一个交点，那么这四个点就是调和点列第四步呢，我们找题目当中一个适合的点， 比如点 g， 这样就得到一个调和线输。 第五步，平行，我们找一条直线，与刚才这四条线直线当中的一条平行，比如说与他平行。 哎，那么与另外三条直线的三个交点就构成了终点关系啊，中间这个点就是这两个交点的终点。 例一，例二、例三，是从不同的角度来考察，比如说让你找这个定点， 比如说让你求那个比值，实际上是求呢，是终点啊，比如说让你证明三点贡献好这个基本模 行，同学们要理解并加以掌握啊。对于第二问呢，你能够直接看到答案，然后你只需要证明就可以了，否则的话呢，你盲推，那一定是比较困难的。 好，两个对点训练，我们可以练一练，这是二零二零北京的高考题。好，我们下期再会。

好，上一个视频咱们讲了几点，极线和调和点列，那么下面咱们接着讲啊，调和点列引出来的调和线数问题，那么这个呢，也是在后面圆距曲线大题部分呢，经常会考的一部分啊，这块内容呢， 一共分两个部分，咱们一一讲解啊。那么上节课讲完了之后呢，调和点列是有两个结论，大家把这两个结论呢，一定要给它牢牢记住啊，并且要会正，那么正这个的时候一定是定比点叉法，那么这个呢结论呢，从这个结论能推出来他啊，大家可以自己试着尝试。好，那么下一步咱们开始讲 调和点列，那么反过来他也经常调和点列，咱们把它标在一条 先上啊，比方说这个是 p， 这是 m， 这是 q， 这是 n， 那 么在平面当中呢，任意随便再找一个点，当然这个点呢，肯定是特殊的点啊，咱们随便找一个点，咱们比如说找一个点 a， 是 吧？然后连接四条线 啊，把这四个点连上，形成四条线，那么形成这四条线的时候，这四条线呢，咱们叫调和线数，叫调和线数啊，调和线数一共有两大块内容啊，第一个呢是斜率，他们四个的斜率，四条线线段的斜率有关系。 第二个呢是调和线数平行截中点，咱们先讲调和线数平行截中点的问题啊，咱们拿一个实战的例子来举例吧。啊，来举例吧，好，咱们看啊， 任意一个椭圆，咱们在椭圆上呢，内部呢，随便找一个极点 p， 那 么它所对应的极限呢， 咱们就设成这条线。好，那么呢，在极线上随便找一个点，连起点， 交在椭圆上，是 a 和 b 的 话，这个点咱们写成 q， 那 么这四个点呢，就形成了调和点列啊，就形成了调和点列。好， 那么咱们再随便在平面内在任意找一个点，往往这个点呢，他有很多特殊情况，咱们拿特殊情况来举例啊，来举例啊，比方说我就找这个点 g 啊，然后把这四个点呢连上 好，连上完了之后呢，就形成了调和线数啊。好，那么咱们看第一个调和线数一的一个结论啊，在高观点下就是平行截中点。 怎么截的中点呢？咱们看啊，如果在这个平面里边，你随便找一条线，和这四条线当中其中任意一条线平行啊，比方说咱们来举例啊，来举例， 比方说我就拿这条线来举例，如果这条线和其中的条和线竖其中一条线，它是平行的，那么截其他三条线段 有三个焦点，那么这两个这两块一定是相等的，就是平行截中点。好，那反过来，那如果我再找一条线，再找一条线啊，和他平行的话，那同样 交另外三条线，是这个点，这个点和这个点，那同样这一段和这段相等，那么他就是 中平行结终点。问题啊，这个结论呢，在去年的模拟考试当中也考过啊，那么这个结论呢，大家要牢牢记住啊，实际上出题人呢，可以从不同的角度去考察你，比方说他让你去找这个定点啊，也比如说他可以让你求这个比值是多少 啊，实际上就是正中点问你，他比他是多少，嗯，也可以比方说让你证明三点贡献 啊，这个也可以让你证明三点贡献，他也可以。好，所以第二问呢，如果出现调和限数的问题呢？啊，那么直接咱们可以看到答案，你只需要证明就可以了，否则呢，盲推呢，确实是比较困难啊。好，这里面呢有两道题，大家可以私下里练一下啊。 好，咱们下面接着讲调和限速二， 好，斜率四关系。 好，咱们再画一下啊， 比如说一条线上有四个点， q、 b、 a、 p， 几点极限啊？ 咱们再随便再找一个点，比方找一个 s 吧，然后连他连他连他连他，那么这四条线呢，形成调和线数，或者说你再找一个他，你再找一个情况啊，连他连他连他， 我这四条线呢，也形成条和线数啊。那么这四条线的斜率关系到底是什么呢？ 他经常就会考一些斜率的问题啊。好，实际上他的结论是， k 一 乘以 k 三，加上 k 二乘以 k 四，两倍等于 k 一 加上 k 三 乘以 k 二加上 k 四，就这个关系。那看起来记的时候呢，比较复杂，但实际上他考试的时候啊，某几条线都一定是特殊情况，比如讲其中一条线是平行 x 轴的，或者说是垂直 x 轴的，平行外轴都有可能啊。好，好， 咱们一个个来啊，咱们看第一个，若 k 一、 k 二、 k 三、 k 四。好，咱们看怎么用啊？往往这里面四个斜率呢，肯定有一个两个都是特殊的，一个或两个是特殊的，如果 k 一 等于，那你就带进去这一项，他就没有了，这个就没有了，就是两倍的 k 二， k 四加上 k 三，乘以 k 二加 k 四， 倒完了之后呢，把 k 三除过去， k 二 k 四呢弄过来，那就会形成斜率倒数的等差数列关系， 就会形成它啊，就会形成它。所以他通常会问，这种东西是让你求证它的定值是多少。那么 k 三的斜率呢？他可能会告诉你啊，咱们举一个例子，比方说像这道题， a 二， 他让你求这两个斜率倒数为定值，当你看到这类问题的时候，就一定是斜率倒数的问题的时候，一定是倒数乘等差数的啊，那么他的结论呢？就是他，好，咱们接着看。如果 k 一 不存在，就是他垂直的情况，那垂直的情况的时候，你这个可以画一下，那么 k 一 不存在的情况下，实际上他就是 k 一 取无限大的时候， k 一 取无限大的时候，那么 k 一 取无限大的时候，你就能导出来 k 二加 k 四等于两个 k 三 好。咱们再看像这种问题，一般情况下他俩相加得零的时候，都是调和限数问题啊，等于两倍的 k 三，那么这个 k 三就是平行 x 轴，这个是特殊情况三种。 若 k 一 等零的时候， k 三不存在，这个咱们可以自己画啊，那么一定能得到什么呢？ k 二加 k 四得零， 那就第四个。若 k 一 不存在， k 二得零，那么就一定会有 k 四等于两个 k 三 好。也就是调和线数的斜率关系，他一共有四种，一共有四种啊，第一个倒数乘等差数列，第二个乘等差数列啊，第三个互为相反数，第四个二倍关系，就这四种，咱们把它记住啊， 如果知道了这些结论，你可以先把结论推出来，最后再加以证明，这样呢，你就会轻松很多啊，如果是盲目的去猜测去证的话，可能会就比较麻烦。 好，咱们再看，像这几类问题都是调和限数问题，这个在高考当中呢，也都考过，第一个等差数列问题，第二个倒数乘等差，第三个 回相反数，第四个二倍关系。只要你多加以训练调和点列调和限数里边的好多关系的运用呢，会给你带来意想不到的效果。关注我，带你慢慢变好，慢慢变强。

现在我们讲另外一个概念，叫做调和限速， 调和线数是什么意思呢？我们先理解什么叫线数，现在就是四根线，四根直线呢？五线长的直线交易一点就叫线数，按照农民伯伯的说法的话，这个叫一闸线， 这什么叫调和线数呢？就是我拿一根直线过去，跟他一连四个点出来了吧。如果这四个点构成了调和点点，那么我们就说这个线数啊，叫调和线数 啊。那我们看看这个，这个定义看起来比较悬的，那我换一个线，他还是调和点亮吗？ 不是调和点点，以后这个就不能再叫调和限速了，他会这样吗？那我们看下来，看他定义背后的是什么？这个 h 啊，就是 o h 是 o 到这条直线的距离， 那根据这个他的调点，这个容易又调点这个公式，是吧？等于是然后呢，我们两边都配上这个 h， 这个乘起来，乘起这个什么？这个是底层高啊， a b 乘上这个高度就这个面积啊，三角形面积啊。结果呢，我们就推出了这个， 这 a b、 o a b 这个面积和 o、 o c、 d 这个面积乘起来，要等于 o、 b、 c 乘上这个大的最大的面积。 两个这两个三角形乘两个三角形乘起来，我们再把这个面积啊，我们再换一种算法，换一种算法呢？换成正选的算法，就是 o a b 的面积是等于 o a 乘上 o o b 乘上这个角的正选 啊， ocd 的面积是等于 oc 乘在 od 乘在这个角度正选，那这两个乘起来的话，就变成什么？变成了 ov 乘 ob 是吧？乘这两个角的正选是吧？啊？配一个二分之一，两个二分之十分之一， 那这边呢？也是一样的啊，这也是一样的，我们把这约掉，长度都约掉，这约了以后就变成完全，最后就变成角度了， 变得角度正旋。可是这角度正旋它是，它是这个直线之间的本身有的这个关系啊，所以说 这一个啊，定义是他的本质定义，这个才是本质定义。觉得是不是调和限速，你得关键看他成立不成立，是吧？这个是个表面的，他可以退出他来， 那相反的他也可以推出他来，是不是有互相推？都是，我们都是等价嘛，等价推的嘛，都是等价符号，等价推，也就是说这个是本质的，这个是表面的， 那我们再看啊，如果说我们换了一根直线，换这根线换这根线，这个线换这个线以后，你发现如果这个是调和点点，那么这个就是调和线索，调和线的，那这个角度就关心这就存在，存在把它换成一根线， 然后呢你会发现我们再反反推，反推在 a、 b、 c、 d， 新的 a、 b、 c、 d， 那这个现代它是不是也沉淀？ 现在关也成立，也成立了，那他也是个调和点点，是不是？那我们再画这个线，这根线，这个线，我们要看他是不是调和点点的话，就这个关系是不是成立。我们首先要看到这个对角啊，他是对的角啊，这个正弦呢？是不是也成立？ 你看他，他这个本身是个调和点点，是由这边定义的，这个这四个角，他是这一、二、三加这个这大角是有这个关系的啊，这这边的这三个角啊，和这个大角跟他都是对角关系，所以他肯定也成立， 那它也成立的话呢？这个 a、 b、 c、 d 这个线段关系啊，它肯定也成立，所以呢，这一个呢，也是一个调和点点，很，这很有意思啊，随便画它也，它也 调我点亮啊，就说你就可以这么讲，我能不能这么画，他也是调我点亮吗？这这角都不一样了，是吧？这也不算对角关系了啊。但是你注意到啊，这个这个角度虽然不是他们对角，但是他是他的补角啊，是 o、 a、 o b 的 a、 o d 的补角，这个 那补缴的政权不也相同吗？是不是？所以说你可以验证一下， 验证一下这这 a、 b、 c、 d 这个线段所对应的这个角头的正弦，这个值乘起来是不是相等， 你会发现他们确实相等，那相等的话呢？这根线 a、 b、 c、 d， 这就是个调和点点啊，这个你们要做一下证明一下，证明这个也好，证明这个也好，都可以，你证明 完以后你就会发现，哇，这个线真的随便画，随便画就可以了，就出来是肯定是个跳舞点点，因为他们的对角对应的他们那个线段所对应的那个角度的正选值，他就是相同的， 那随着我随便画的话，这个就可以了，这段都是一个调和点点， 这就是为什么有一个调和点点，我们把它叫调和限速的原因。就算有一个，那你再画其他的都是的，只要有一个是的，那其他的随便画都是的，那都是，那本质上就是，那就是调和限速了，就说限速本身他有这个特性的 啊。那我们来看一看啊，我们验证一下，它有一个一 一二三四，这个是 x 等于零，这个斜率为三，斜率为二，这个斜率为一，是吧？那我们划一个线，跟他一交，交出十四个点来。为什么要选这个线啊？你选别的线也可以啊，但我选这个线，我的交点做不好，算了。 教你坐标，刷完以后，我就验证一下这个试纸，看他是不是调好点点啊？你验证一下他确实是的，这个你们可以看一看，最好动手做一做 啊。我们现在讲啊，这个假设啊，我们说两个调和线数， 是吧？有三根线相同，一二三相同，那第四个有没有可能不一样啊？ 那不会不一样的，你看到啊，我们做一根，做一根线，跟它交四个点，是吧？那四个点的话，跟 a、 b、 d 都相同的话，这个 c 比喻相同， c 相同的话，那就这个这两根线是一根线，所以说这个线数啊， 这个也是相同的，四根线都相同。我们这个它原因是调和点点，是吧？三点决定了调和点点，那我们也可以说三根线， 也就决定了这个调和线数，是吧？这是我的唯一性。那什么叫存在性呢？存在性就是我已经有三根线，我想在这里面，在这个空档里面插一根线，插一根线呢，让它变成了一个四中四根线呢？变成 调和线索。那怎么做呢？那我们就拿一个，就拿一根线有三个点，根据这三个点，这是调和点点，我们找到一个 c 点，让他变成调和点，对吧？ 那边调点点，我的故事一连接这根线就出来了，是不是调个线，所以这个线好做，是吧？他是存在的，是不是？所以说这个线能是能做出来的，那在后面讲的话，我们会说 已经有三根线，我们呢？在这里啊，我们做第四根线，让他变成一个调和线索，你就不要怀疑我这个这根线沉着吗？有可能吧， 那我现在已经告诉你了，他是存在的，然后呢？我们这里又告诉了他是唯一的，也就是唯一存在 啊。现在讲这个另外一个东西啊，就说这个，我们这是个调和线数，已经是个调和线数了，然后我们随单根线四个连四个点，是吧？ a、 b、 c 点，这是个调和线， 调为点点，再拉，再拉，再拉，再拉，最后当这个条线跟他拉的平行的时候，这个焦点到哪去了？这跟他平行是没有焦点的，或者说焦点在无圈远了，是吧？我们最好把它截成在无圈远，不要说没有 在这个变化的过程中，当它没有到 o 型元的时候，这个是指的成绩吧，是吧？ 这个是成立的话，当他变得无限圆条，那这一个就逐渐变成零了，是吧？是吧？变成零了，那这个是 当它真的平行的时候，这个是必须陈列，是不是？陈列话就这样了，那这个就 a、 b、 c， 这个 b 就是 a、 c 的终点了， 是不是啊？你可能说，哎，老师，这这这三个点呢？这三个点怎么能够， 怎么能叫调和点点呢？你不说是这个随便拿根线跟他交就四个点吗？你这只叫三个点，出来以后，那也这也叫调和点点吗？那三个点不能叫调和点点，但是你要加一个无限圆点，你可以认为他是一个调和点点，就叫广义的吧， 是吧？呃，有了这个广义的调和点点以后呢？我们我们说的话就比较绝对了，就任何一根线跟调和点，点硬 点啊，你就有四个点，万一只有三个点，那就会出现这样的情况，那肯定是，肯定是跟谁平行的吗？他，他第四个点没有了吗？跟他平行他才没有吗？那平行的时候，那还有还有很多个数，这个点亮很特殊，调零的就是这两个，这三个点是等距的， 加个无选原点啊。等距的三点加上无选原点，算是调和，也算调和零点。哎，这这个是一个 调和线数所具有的有非常重要的特性。就是说我拉一根线跟其中一条平行的时候， 他只有三个点相交，只相加三个点，那这三个点呢？是等等距的，所以我们把它叫平行等距。 那这个啊，这个概念呢？为什么是很重要啊？就是说 如果这个线数我不知道是不是调过线数，是吧？但是我这么有这么一根线跟他平行，然后呢？交出三个点来，刚好是等距的， 那我能不能因此判断这个线数就是调和线数呢？如果他是调和线数，我们得到三点等距。如果三点等距，能不能判断他是调和线数呢？可以了，也是正对，可以反推。为什么可以啊？ 你看啦，这一个，如果这三个不是条位线索，或是我不知道他是不是的，那我能不能做一做一 根线，在这里做一根线呢？做一根线，做一根线，让它变成调位线数，是不是在这里他就啪啦啪啦做一根线调位线，那这个星座的这根线和这一二三这三个原来老的三根线，他是 因为是我做错调和线索，所以他这里交点一个新的 b 点，是吧？那新的 b 点是不是也要在 a c 中间呢？是吧？如果他在 a c 中间，你看呢？他在 a c 中间的话，那不就跟这个 b 点，跟这个老的 b 点重合了吗？那也就说我做的那根线呢， 实际上跟老这根线就是老的这根线跟他重合了，是吧？所以因此推出这个老的这个线索，本来就是调和线索， 是不是随着这个平行等距，是这个调和线数的当前紧张，他是他的冲压条件？ 现在我们带来说分轴啊，这个这个调和点列不相邻的两个点，一组 a c 是一组， b d 是一组，是不是啊？那这个 a c 呢？就一组必定的就是他的对手，是吧？ 然后呢，这个调和线数的也是这么分，你旋转的时候不相零，这个一选就对了，再选就对了。这两个红线旋转不相零的黑线旋转不相零，是吧？也就是红的是一轴，黑的是一轴，这个叫混轴。 分者的目的是为了为了描述下面所说的东西，其实他们没有别的意义啊。调和线数，调和线数的弦力，你随便画四根线，他是调和线数，但是他的弦率，他们之间的弦率看不出有什么关系的。 但是如果有一根线，四根当中有一根线是垂直的或者是水平的，那另外三根线的弦律就有一个关系了。什么关系呢？我们来看一看这个调和线数，这一个是垂直的，是不是？他垂直的话，那另外还有三个不垂直的 不锤子，他他们他锤子是因为他锤子以后协力就没了，是吧？或者说叫无穷是吧？啊？另外三个那是有限的，有限的这个节能， 就说什么呢？杰伦就说这个跟他是同轴的吧。这科二是科一、科二、科三构成等差狩猎，是吧？等差数列，等差数列，这个看起来这个关系是，哎，蛮有意思啊， 那怎么证明他呢？证明他就这样的。你这个锤子，那我也做个锤子线。做个锤子线更偏心了嘛，偏心的。 a、 b、 c 要等距嘛？ 等距的概念是什么？这是外坐标啊，就是说外坐标就有这个关系嘛？等差的关系嘛？等差关系，外坐标我们都处成 o、 h， 从这个从这里到他的距离下去，你会发现这个就是 k 三嘛？ 是不是就是斜率吧，这个 c y 除了，那不就是斜率吗？啊？所以说这个 他就成立了。 然后呢？如果 uk 是水平的， 那我们就也做个水平线， a、 b、 c 构成一个等距的，等距的就它的 x 是等距的，是吧？然后都除了这个它的它的距离， 你会发现这个东西啊，它是一个 k 三的导数，靠倒过来，它除它等于 k 三，是吧？这个除这个等于 k 三，给它倒过来了。写了，所以这个是这样的，这两个也是一样的，所以它这个是陈列 是吧？这是调和线所所具有的这个这个特性。如果一个垂直或者一个水平，那另外三个就有，就有这种关系，那反过来， 如果一个垂直三，这三个有这关系的话， 他一定是调和像素吗？那我说这个他是的，为什么呢？那么假设他不是的， 那不是的，我们就，我们就保留这这一根、两根、三根，把它保留，是吧？保留我们另外再做一根出来，是吧？做一根总是可以的吧？让它变成调和限速，是吧？让它变成调和限速以后，我们出来一个新的 k 二，是吧？啊？根据我们这个这个节能， 你就是，你是调和限速的，你，你，你有有一个是垂直的，那这个关系得吃力吧，是吧？那我的新的 k 二是不是也满了？这关系，那新的 k 二满的这关系，人家老的，人家这是个条件，本来就满了这关， 那说明什么呢？说明我这个我做出这个直线的，跟这个跟这科二两个科二是相等的，是相等，也就是我的两条直线，我做的这条直线实际上跟这条直线重活的，那重活的， 那说明人家本来就是个调和线数，是不是？因为我做了以后，是做了以后是调和了吗？然后发现他们两个本来就是，就是这根线吧？跟别重活了吗？那说明这个本来就是调和线数，所以说有这个关系，可以推出这个线数，是调和线数， 那这个也是一样的，那也就说这一个特性呢？是调和限速，他可以推出调和限速，调和限速可以推出他来，他是当前进档，他是调和限速的冲压条件。 that， 这个以后我们在应用的时候，我们经常会这么用，我们经常用哎，因为这个是调和了，所以我们有这关系，是吧？因为有这关系，所以他调和了 啊，这里我们这个练习啊，这个什么练习呢？就是应用这个应应，应用这两个式子，那这一个是零垂直了吧？这三个是不是得得得，是等差的啊？斜着等差的，这个是三，这个不知道，这个是一， 但是等差的话，以一三，那肯定中间是个二嘛，是不是啊？ 那这一个呢？四根线，这个躺平了，这一个是三，这个不知道，这个是一是吧？躺平了，那这三个这叫调和等差是吧？ 调后的，那我们算一下，这个不知道，我们的 k 二等于一倒数，三倒数是吧？算出来可以等于二分之三是吧？对对对，好，算是吧。 啊？现在我们讲啊，讲前面存在线的时候，我们说这个调好线数啊，这这个线肯定存在的，因为我们可以计算出来， 我们可以计算出来的，换拉个线，用这三个点计算出来，但是我们也没有去真的去计算，你只能说理论上存在，是吧？ 那是没问题的。那我们就是假如我们三个线画了，我们要得做头，是吧？给定条线的三条直线，这三条直线他画给你了，给，给定你了，这种三条线画给你，你要能够把第四个马上画出， 就用这个圆规尺，是吧？圆规直尺把它画出来，你能画出来吗？想一想， 那我们这有一个画环，他怎么画的？他啊？作为一根线， 跟这个水平是吧？跟这个水平呢？都不是相加两个点了吗？是吧？他总共三个点嘛？有有三根线嘛？跟一个平行的，跟他是没焦点的嘛，还叫两个点嘛？ 他这两个点呢？因为他要在这位置找，所以呢，他就翻倍，把这个距离啊，翻倍，用圆规一翻倍，再把这个点找到，这个点找到一连起来， 接着调好线索。为什么他调好线索啊？因为这个线跟他平行的这三点等距嘛，所以这三个，这个条， 这四条线一定是调和线索，那你还能想出别的办法来吗？是吧？我们把这个抹掉， 你是不是我能够做一个跟他平行的也可以啊，是吧？跟他平行的，然后我在中间找一点，是吧？ 这肯定有两个焦点呢，两个焦点中间一个终点是吧？然后一连是吧？那也可以，是吧？啊？这个 这是用觉得用那个知识圆规可以把它做出来的啊，也不需要计算就能把这个调和线数给做出来了 啊。现在我们想说我们刚才调和点调我们也是计算的，是吧？我们现在就是不要计算的，我们就三个点，调点我也不告诉坐标多少 啊，你能不能把它做出来？这个是吧？你没话上来吧，我昨天没告诉你吧，然后呢？做出来做怎么做呢？这么做 我随便找一点，当然其实也不是很随缘啊，我就最好，我就就到底下这个跟他垂，跟他跟那条线垂直的，对吧？找一个，那你那上去找偏了也可以，是吧？啊？坐在线，坐在这把这三个点连起来，三个点连起来吧，连起来以后呢？ 我就想办法做一个调和线数，是吧？调和线怎么做呢？这一二三有了是吧？我在这里我做一个单线平行， 跟这个平行，跟这个平行的话，这一点我就取重点，取重点这一拉是吧？拉了以后这就是一个什么调和线数， 为什么调和限速啊？因为都要跟他平行的这个三点等距嘛，所以他就是调和限速，那他的调和限速，那这个焦点跟正常线的焦点这四个点，那就是调和点点了， 是吧？那这个是一种方法啊，你能想出其他方法来吗？

调和点列第二集，如果你是一个三分钟热度的人，我觉得我的视频一定适合你。学完三分钟，你就发现圆锥曲线这件事变得太简单了，你就能预判老师的预判考试，就像直接抄答案。 上节课我们介绍了调和点列。如果一条直线上四个点， a m， b n 满足 a m， b b m 等于 a m b b m， 那么 a m， b m 这四个点叫做调和点列。 我们在直线外任找一点 p， 把 p a， p， m， p， b， p， n 连起来，这四条线叫做调和线数。调和线数有什么性质呢？我们学两个就行。第一个性质，如果 p a， p m， p b， p n。 未调和线数，那么我们用任意一条直线去结这组调和线数，得到四个焦点依然未调和点列，很神奇吧？ 不过聪明的你可能会问，那如果这条各线和其中一条直线平行，那就没有四个焦点了。这个时候怎么办？别急，这就是我们要讲的第二个性质。 此时你可以理解为有一个焦点在那遥远的地方，于是剩下的三个点和这个很远很远的点，他们四个依然成调和点列。如果调和点列中有一个点是无穷远处的点，那么显然 f 就会是 d g 的终点。 有那么显然吗？如果你觉得不显然，自己选一下条和点列的比例关系就明白了。无恶与 线竖中哪一条平行的直线去截，都会有这个性质哟。接下来我们就看看怎么用。 我们再看一下这道北京高考题，上次用调和点略配和相思太麻烦，那么用今天学的知识直接秒他。 椭圆方程为八分之艾克斯方，加上两分之外方等于一 a 的坐标为负二，负一点 b 为艾克斯，等于负四与艾克斯轴的焦点。显然 b 的坐标为负四。零 或 b 做一条直线，与椭圆交于 m n， 把 m a， n， a 连起来，分别与艾克斯等于负四，交于 p q 两点，求 p b 与 p q 的长度比值。我们先做出 b 的极限，就是 x 等于负二极限与 m n 的焦点积为一， 于是 b m， e， n 成调和点列。然后我们把 a、 b， a， m， a， e， a， n 连起来，于是这四条线成调和线数。由于 p q 平行于线数中的 a e， 根据前面讲的性质，马上就可以得到 p b 等于 b q。 这样是不是很快？ 我们在看这道二十二年的全国已高考题，这道题是近几年人追曲线的扛把子。 椭圆方程为三分之 x 方，加上四分之 y 方，等于一点 a 坐标零，负二点 b 坐标二分之三，负一过点 p 一负二，做一条直线，于椭圆交于 m n 或 m 做一条水平线，与 a b 交于 t， 然后再把 m t 延长一倍，让 m t 等于 t h 把 h n 连起来，证明 h n 过定点。我们算一下点 p 的极限，发现正好就是直线 a b。 设 m n 和 a b 的焦点为 c， 那么 p， m， c， n 成调和点列，把 a p， a， m， a， c， n 连起来， 显然这四条线成调和线数，因为 m t 平行于线数中的 a p。 我们假设 m t 与 a n 的焦点为 h 一撇，根据前面讲的调和线数的性质， m t 就等于 t h 一撇。 对比一下条件，我们就能得到 h 和 h 一撇是一个点，也就是说 n， h， a 三点贡献。显然 h n 过 a 点。 学完今天的内容，你是不是有点小期待，有点想快点去实践一下了，对吧？那我们今天的课就讲到这里了。

今天这个视频给大家讲清楚远锥曲线压轴题最终级的命题背景，几点一线调和点列和调和线数。我一共分了这六大类题型， 这六大题型是层层递进，逐渐加深的，而且每个题型内部都是基础知识加严格证明加高考真题例题的示范。 这六大题型一共精选了三十二道高考真题。这个视频学完几点几线调和点列调和线数，你肯定是能学通的，而且学通以后你自己就能够命之远锥曲线的压轴题了。 好，下面挨个二看。先看第一个题型，题型一，极点极限刺激三角形，还有完全四点形。第一个知识叫极点极限的概念就是二次曲线，这个就是二次曲线的通式， 在高考范围内，正常就是考圆、椭圆、双曲线、抛物线这四类嘛，而且以远锥曲线为主。但是这个极点极限是对所有的二次曲线都成立的， 我们乘点 p 和直线 l， 这一串是这个二次曲线掏的一对极点和极线 p 和 l 是 互极的。什么意思？这个就是 直接换一半，就是 x 方的话，这边 x 零外零是常数， x 方，它是 x 乘 x， 其中一个 x 换成 x 零，换一半，这边是外方，给它换成 y 零外就是换一半。 还有这个二倍的 x y， 我 们给他写成 x y 加 x y， 然后交叉着换 x 零， y 加 x y 零这样子，这边是二 x， 二 x 的 话就是 x 加 x， 把其中一个 x 换成 x 零，这边二 y 的 话就是 y 加 y 零，就是这样换一半。遇到二次的就是两个相乘，其中一个换成常数，遇到一次的话就是两个相乘，其中一个换成常数， 当然这边这个地方系数都有二，这个写二是为了这个方程简单，如果没有二的话，比如像举个例子， 比如像 y 的 平方等于 x， 这个 x 数就没有二，那也是可以换一半的。你可以给他写成 y 乘 y， 然后等于这边你强行给他来一个二，就写成二分之 x 加上 x 嘛。下面再换一半，那就是 y， 另 y 等于二分之 x 加 x 零，这样也是可以的。就所有的二次曲线都是可以这样换一半，换一半之后， 它就是一个关于 x y 的 二元一次方程，它就是直线，那这是一个点，点和线叫极限， p 和 p 和 l 叫互极。好，这是极点线的概念。下面自极三点形和完全四点形。看一下啊， 就如图下面这个图，过点屁，这个点屁在椭圆的外面或者里面都可以，甚至可以在椭圆上都行，就是过点屁做这样一个二次曲线。这边是以椭圆为例的 二次曲线的两条割线 ab 和 cd， 就 画两条线跟它相交，交于 abcd 四个点，然后这四个点就可以开始连线了。你把对角线连一下，会出现一个点 q， 你 把这两个相对的这个边再连一下， 在脸下会出现一个点，这边标的是 r， 那 这样就会出现 p、 q、 r 这样一个三角形吗？这个三角形叫自极三角形， 然后 abcd 这一个四边形叫完全四边形，当然我刚刚的说法都不严谨，严谨的说法应该叫自极三点形和完全四点形，应该这么说， 然后为什么叫自极三点形呢？自极三点形就是 p、 q、 r 这样一个东西，这个点 p， 如果你看成极点的话，那 q r 就是 它对应的极限。 如果你把 q 看成极点，那 pr 就是 对应的极限。如果你把 r 看成极点，那么 p q 就是 对应的极限。对应的极限怎么写？就是看它的坐标，如果它的坐标是 x 零 y 的 话，那 r q 的 方程就是刚刚前面这个知识点，在这换一半就可以了。 好，下面还有一些特别特特别的情况，特别的就是这边的 a、 b 和 c、 d 都是割线嘛，割线你可以给它变得特殊一点，比如像我们这边连起来 p、 b 这样一根线，你给它往外挪，挪神切线， 挪神切线是不影响刚刚那个结论的，包括下面这个地方，这儿 p c， 你 看给它往外转转转，转到这儿相切，然后 这个切点可以看出来，他就在这个 q 上，对吧？你把这边画长一点，我们换一个颜色，换红色的，把这边放长一点，这个歪了，你看 这样子，这个点也是切点，所以你这边的 p a、 b 还有 p d、 c 这两根线，如果变成切线的话，没关系，他是同一根线，跟 r q 是 同一根线，就是这样子。就切线可以看成是割线的一个极限情况，是不影响这个一般性的结论的。 好。还有这是第一个特殊情况，就是不影响 p q 户籍 p q， 它也是点 p 的 切点型 好。如果点 p 在 椭圆上，这边就是以椭圆为例的，实际上你不是椭圆也行，只要在二次曲线上都可以。如果点 p 往这靠，那么这个 q、 r 就 会对应着往这靠。如果点 p 真的 跑到这来，点 p 真的 跑到这来，那么现在点 p 对 应的极限就是， 哎呦，这个就在这，再给它再转一点，转一点，这样更像一点，就是点 p 处的切线， 就点 p， 如果在这个曲线上，那么它对应的极限就是这个曲线在点 p 处的切线，就是这样，都是一些特殊情况。好，还有一个 ab 和 ad 和 bc， 就是 刚刚这边不是连接 ad 和 bc 交汇耳吗？如果特殊一点，这个 ad 跟 bc 平行呢？ 平行的话，你还是可以认为他们相交。为什么这个交点在无穷远处？因为像这么画， 这么画，这样子确实较远，但是你给他稍微转一点，稍微转一点，你这样转过来， 这样转过来，现在他确实不在这相交了，但是你延长一点，延长一点，最终是不还会相交，最终平行就是相交的一个极限情况，你就认为这个点在无穷远处就可以了。 好了，下面这几个概念结束了，下面还有一个说明的，就是我刚刚说三角形、三点形、四边形、四边四点形，就是在这专业的说法，应该叫完全四点形和自极三点形。为什么不是三角形和四边形呢？注意这个区别， 三角形和三点形的区别就是三角形它应该包含三个顶点和三条线段，就是 就像这样画，这样画他就是一个三角形，然后三点形呢？三点形指的是这个点，这个点，这个点同时还包括这样一个直线，包括这样一个直线，包括这样一个直线。三点形是三个顶点加三条直线，这个叫三点形。 那放到这来，显然这个应该是叫三点形吗？因为我们这研究的是直线 q r， 直线 p r， 还有直线 p q， 对 了吧？它应该叫三点形。好，下面四点形和四边形有什么区别？四点形的话就是 包含四个顶点加绿条线段啊，绿条直线它跟四边形是不一样的，四边形，比如像随便画一个，哦，这个画成画成椭圆了，这样吧，慢慢来 这样一个四边形。看，四边形指的就是四个顶点加四条线段构成的图形，而四点形呢，指的是这四个顶点，这四个顶点，然后还有直线，哪些直线这边这边，这边这边四条还不够，这边还有这个， 还有这个就是过这四个点是可以连出四六条直线的，这样一个整体叫四点形，就这个意思。当然这个四点形我们在这个板块是不去深究的，在后面的题型中会去深究，这个完全四点形会 非常重要，当然不是这个板块，后面再详细讲。好，继续下面第三个知识点。直线和曲线的位置关系 分三类，如果几点在曲线内，极限和曲线就是相离的，你看当你在 q 这儿 q 这个东西作为起点，它是不是确实在曲线内？现在 p r 是 极限，极限和这个曲线确实是相离的。 然后当几点在曲线上时，这是一个特殊情况。刚刚说过的就是如果你这个点 p 啊，给它动到这来，动到这来，那它对应的极限就是这的切线。 好。当极点在曲线外时，比如像你把它作为极点，这个对应的极限和这个曲线明显是相交的呀，对吧？明显是相交的。 当然这个耳如果你看成极点的话，它也在曲线外，它对应的极限这根线跟这个曲线也是相交的，所以这个极点和极限这个东西很好记， 他们俩是反的。几点在里面，极限就在外面，是吧？几点在这个临界位置，那极限也是临界位置，几点如果在外面，那这个极限就是在里面，这种相交的感觉是吧？ 好，这样就都会了。这边来看高考题例题。第一个是个小题，过点屁做圆的切线，点屁在这做圆的切线，切点分别是 ab， 那 这个不就是求的切点前吗？是吧？刚刚在知识点中说过， 如果就是个特殊情况，你你让这个 p a b 和 p d c 这两个割线去变成了切线，切线是不是还是他还是他？那这直接换一半就可以了。 换一半这个怎么换？看一下啊，这有平方，平方的话，那就是写成 x 减一，乘以 x 减一，再加上平方就是 y 乘 y 等于一，然后把其中一个给它换成长数就可以了。 这边常数是三一嘛，那三一带进来就是二括号 x 减一，再加上这边应该是一乘以外等于一，对吧？化解一下就是二 x 加 y 等于三， 是的吧，二 x 加 y 等于三，那对照选项就是选 a 选项好了，下一道 已知点 a 在 抛物线的准线上，点 a 在 准线上过点 a 的 直线和 c 在 第一项线相切于点 b g， c 的 焦点是 f， 则直线 b f 的 斜率。这个 b f 啊，实际上 你把点 a 看成极点的话，这个 b f 就是 极限， b f 就是 极限，如果你把这个看成看成这个 几点的话，那么这个准线就是极限。这个给大家推一下，比如像你把这个 a 看成几点，这个 a 是 负二，逗号三，然后给他换一半， 给他换一半。这边注意一下，这个 p 是 可以取出来的，因为这个点在准线上，这个点在准线上，那就是 x 等于负的二分之 p 就是 a 点的横坐标负三嘛，所以 p 就是 等于四， p 就 等于四，那么这个就是 y 的 平方，等于八 x， 是 的吧，然后点 a 带进来给它换一半，把点 a 看成几点，换一半就是三， y 等于这边八 x 写成四，括号 x 加 x， 那 就是负二，再加上 x， 是的吧，这个就是 b f 的 方程，而这个 k 是 几啊？看一下，把它化成 y 等于 k， x 加 b 的 话，那 k 就是 三分之四了。三分之四，那这一题就是选 d 选项就是这样。当然刚刚我说如果你把这个 f 看成几点，也可以 f 看成几点， f 的 坐标，写一下 这个不要删，这个删掉。然后你看这个是方程， f 现在应该多少？ f 现在应该二零，二零，给他换一半，就是零乘以外等于四，括号 x， 再加上二，这个化简一下就是 x 的 余负二， x 的 余负二不就这根弦吗？所以没有问题，就是这样。 好，继续下一道第三题。第三题，这个第一空和我们今天讲的几点线没什么关系，我们就不看，直接看这个第二空。 第二空你可以看出来，点屁这么写，然后这个直线不就是对着它换一半的吗？所以现在就是把点屁看成几点，它就是极限，然后点屁在哪呢？点屁你根据这个条件 显然可以知道它在椭圆内部，而按照刚刚讲的，极点在里面，极限就应该在外面，在外面不就是相离吗？相离，所以答案就是零， 就是这样。当然现在刚学，把这个图给大家画一下，画一下就这个椭圆画出来，然后点屁在椭圆内部，对吧？怎么样把它对应的极限画出来？ 你把那个字集三角形画好就可以了。怎么画过点屁？画两条相交的这个割线，然后出现这四个焦点嘛？这四个焦点去连线， 可以这样子连出现一个焦点，还可以这样子连出现一个焦点，就是这个完全四点形嘛。完全四点形是不是有六根线？外面这四个在交叉中，交叉的两个，就这六根线去连，就会出现这三个焦点， 这三个点形成的三点形就是自极三点形。所以当点 p 是 极点时，这个东西就是极限。你看这边图，图上很明显椭圆跟这个极限是相邻的，所以公共点的个数就是零。 好，下面再往后第四题。第四题是二零二一年的新高考题，说直线圆 a， 下列说法正确的是，你看这个是 a， b 对 着它换一半，明显就是这个。所以 a 点是极点的话，那 l 不 就是极限吗？那极点极限的位置关系就按照刚刚讲的，一个在里面，一个在外面就可以判断了。 看 a 选项， a 选项说点在圆上，那极限肯定就是相切的呀，这个都是临界，所以 a 是 对的， b 选项 a 在 圆内，那直线就是在外面，在外面就是相离，对的， c 选项 a 在 圆外，那这个错的呀，这个应该相交 相交叉， d 选项这个说法， d 选项说点 a 在 直线上，这个刚好像没讲上，那怎么办呢？点 a 在 直线上，你把点 a 带进来，带进来就是 a 方加 b 方等于二方，那跟带进这个圆不是一样的吗？ 是吧？所以这个点如果在直线上，那就是在圆上，在圆上那就是相切。所以这个 d 选项跟这个 a 选项实际上没什么区别，是吧？这样 d 就是 对的，所以这一题应该选 a、 b、 d 三个 好。这是高考中考极点线的几个小题，下面再来看看大题。二零零九，安徽的这边第一问是极点线相关的， 这边强调一下，我们这边讲大题不是给大家讲怎么做，这个做的话就是各种各样的方法都有，但你考试不要这样写过程，这边今天给你讲的只是这种题的命题背景，你可以一眼看出来这种题怎么出的就可以了， 就写过程，千万不要这么写。写过程的话，你该连力，该连力，该不连力，该不连力，你该怎么写怎么写，不要像这么做。今天讲的是命题背景， 这边说点 p 在 椭圆上，点 p 就 x 零 y 在 椭圆上，然后这边来了个 l e l e 这根线，这根线你看是不是就是对着它换一半，是吧？所以点 p 在 椭圆上，那这根线是不肯定跟椭圆是相切的。第一问不就让你证明相切吗？ 第一问就是这么出的，当然你要写过程的话，你就可以拿它和它连立，然后算一下貂蝉，貂蝉等于零就可以了。 好了，这个第二问跟这边讲的节点线没什么关系，那我们就不看了，下一道，下一道是二零二一年的全国卷，看抛物线， x 方等于二 p y 这样一个抛物线，而且 f 和圆 上的点的距离的最小值是四，那根据这个条件是可以求出 f 的， 这边我们直接写答案， f 的 坐标求出来以后，这个 p 不 就有了吗？这题 p 是 二 p 十二，所以这个抛物线就是 x 方等于四 y。 好 了，下面再说。如果点 p 在 m 上，那点 p 就是 在这个圆上呗。 p a p b 是 c 的 两条切线，你看出来这一题跟极点形的关系了吗？在圆上有一个点 p 做切线，做切线，这个 ab 是 不就是切点弦？切点弦就是点 p， 把 p 看成极点，它对应的极限， 所以这儿跟极点极限相关的就是我们可以设一下 p 的 坐标，设 p 的 坐标是 x 零外零，那么 ab 的 方程可以直接写出来，就是对着这个方程去换一半，换一半，换一下就是 x 零， x 等于二，括号 y 加 y， 那 这就是 ab 的 方程。 那下面这题怎么写呢？要求 p a b 的 最大值，那后面就是死算。你有了 ab 的 方程，你可以拿 ab 跟抛物线连立去求出现成 ab， 然后再算点 p 到 ab 的 距离，这个直接套点到直线的距离公式 下面表示出面积，死算就可以了。这题跟节点线相关的，就是你可以快速的写出这个 ab 的 方程。 好了，下一个第七题。第七题就说已知曲线，这样一个 抛物线，点 d 在 外等于负二分之一上，点 d 在 这，那这个点 d 的 坐标可以设一下，它在外等于负二分之一上，这个横坐标不确定。假设横坐标是 t， 可以 吧，就是 t 都好负的二分之一。 然后过点 d 做两条切线，切线是切点是 a 和 b， 那 a b 是 不是有切点弦？第一问让你证明 a b 过定点，那 又是几点几线点？ t 是 t， 负二分之一，你对着它去换一半就可以了。结果我们给它写成标准方程， 抛物线是 x 方等于二， y 对 着它换一半，就 x 零就是 t 啊，这边的 y 就是 负二分之一，对吧？所以 x 零 x 就是 t， x 等于这个二， y 的 话，写成外加外零，外加外零外零是负二分之一呗。所以这边写 减二分之一，这个就是 ab 的 方程。所以第一问直接看出来了他过哪个定点，这个要和 t 无关的话， x 取零嘛，这个 y 取个二分之一，所以第一问答案就是过定点零二分之一 就是这样子。然后第二问跟这个极点线没什么关系，那我们就不看了，这个不能偏离重点，今天的重点就是极点极线调和点列和调和线数。 好，下面第八题。第八题说椭圆过点 a 两个焦点是负一零和一零，那这个就可以求出椭圆的方程了，是吧？椭圆的方程应该是四和三， x 方除以四，再加上 y 的 平方除以三等于一。 下面 ef 是 椭圆 c 上的两个动点。如果 a、 e、 a、 f 的 斜率互为相反数，它俩就是斜率之和为定值吗？斜率之和为定值零，证明 ef 的 斜率为定值， 它的斜率为定值。这个考的应该就是手电筒模型中的一个特殊情况，斜率之和为为定值，直线的斜率为定值，这样子。那这个是可以通过节点线快速看答案的。怎么看？ 你想啊， a、 e、 a、 f 的 斜率互为相反数，实际上不就是说直线 a、 e 和直线 a、 f 关于过点 a 的 这样一个竖线对称嘛， 对吧？然后他都告诉你这个斜率定值了，我们想把这个答案快速搞出来。怎么搞出来？你想，当 f 在 往中间靠的时候，这个点 e 肯定是在对应着往中间靠，对吧？然后考虑极限情况，当 f 点重在这个地方， e 是 不是也重在这个地方？ 然后你在重的过程中啊，我们把 e、 f 划出来这根线，在重的过程中， e、 f 的 血率始终保持不变，那不就是这边往下平移，平移平移，最终平移到这个地方的切线吗？ 是吧？拼一道这个地方的切线，那很快就可以搞出答案了。这个点 a 的 坐标是一逗号二分之三，下面这个对称的点假设叫点 b， 点 b 的 坐标就是一，逗号负的二分之三。你把点 b 看成几点，那这个切线不就是这个椭圆的对应的极限吗？ 把这个几点对应的极限那上来，直接换一半，对着它换一半 x 零外零就是一负二分之三换一半，就是 x 除以四再减掉三外，除以二乘以三等于一， 是吧？就负二分之三和那个一带进来，然后发现这个三可以约掉。这个直线的 k 是 几啊？这个 k 看一下就是二分之一嘛，那出来了这个定值就是二分之一。 好，这就是这一题和节点线的关系。下面再看下一道第九题，特别经典的过定点的问题。 节点线的过定点的问题，这边的第一问，第二问，跟节点线都无干都无关，我们直接看第三问。椭圆，在这这题，椭圆是已知的这样一个椭圆，然后 t 是 九， t 是 九是什么？就是这个点 t 的 坐标是 横坐标，是确定的九，那这边就写一下，这应该是九多少 m， 九多少 m， 是 的吧。然后连接 ta， 连接 tb ab 是 左右顶点，交于 m n， 证明 m n b 过 x 轴上的一个定点。 那这个怎么写？这个就是很经典的模型，你把九多少 m 看成极点的话，那这个点就是在极线上，你把这个点看成极点的话，那点 t 就是 在极线上，而题目说点 t 在 这个线上，那这根线就是极限， 这个为什么给大家画下图啊？按照我们刚刚讲的，你过这个点 t 来做椭圆的两个割线，是吧？有四个点，四个点是不是应该连一连？这有一个焦点，还有一个焦点应该是连接 mb， 连接 mb， 然后再连接 a n， 这样他们俩交出来，交出来，然后自极三角形就出现了呀，自极三角形就是这边连一下，这边连一下。 好，这儿再连一下，这个三角形就是自极三角形。好，当然我这儿画了一个比较精确的图给大家看一下。 这个删了，往下就在这看。点 t， 点 t， 然后是不是做割线？做割线，这四个点这边连起来交于点 h， 还有这边连起来连起来交于点 q， 这样子 t h q 就是 自极三角形嘛。下面你把它看成几点，它看成极限，或者它看成几点，它看成极限，或者它看成几点，它看成极限，都可以。解决这一题 都可以，解决这一题，这个看你怎么想都行。比如像我们这一题，我们就把这个 h 点看成几点，可以吧？他肯定在 x 轴上，那就可以设成 x 零，逗号零， 对吧？然后这一题的这个椭圆是什么？椭圆是九和五，写在这 x 方除以九，再加上 y 的 平方除以五等于一，对着这个几点给他换一半，那就是 x 零， x 除以九再加上零乘以外等于 一，是吧？然后解出来了，这个 x 就是 九除以 x 零， 是吧？九除以 x 零，这个表示什么？这个就表示就表示 s 点对应的极限 t q 啊，就是 s 在 这儿，那么 t 就是 在这样一个极限上，而 t 题目是在哪？ 题目说在这个九是不是 x 等于九上，这个直线就是 x 等于九，那不就这玩意等于九吗？这玩意等于九，那显然 x 零等于一啊， x 零是一的话，这个 h 不 就出来了吗？这个 h 就是 一零啊， 这个 h 就是 一零，所以这一题 m n 就 一定过定点一零。好，这样就解决了。再看下一道，这个刚刚第九题是二零一零年江苏卷，下面这个第十题是二零二零年全国卷，隔了十年考的东西一模一样，你看这个图，一模一样， 看下题， a b 也是椭圆的左顶点，然后 g 是 上顶点， a g 乘 g b 等于八，那这个条件肯定是用来求椭圆的方程，椭圆的方程直接把答案告诉大家，是九和一， x 方除以九加外方等于一，然后说点 p 也是 x 等于六上的一个动点，那这个坐标就可以设一下，可以设成六逗号 m 跟刚刚那题不就没区别吗？试一下，然后说 pa 和 e 交于 c， p， b 和 e 交于 d， 让你证明 cd 过定点，那定点肯定过这个点嘛，是吧？然后怎么写？ 就还是那个你如果要画图的话，如果要画图的话，是不是这边连一下，这边连一下，这个交出来钉在这个地方，然后自极三角形，这样就出现了嘛？所以你把它看成极点，这个是不是就是极限？这样做起来跟上一题就没有区别。我们假设这个坐标是 x 零，多少零？ 好，对着这个椭圆给它换一半，那就是 x 零乘以九，再加上零乘以一算下来，发现是 x 等于 x 零分之九， 对吧？那这是什么？这是点 p 的 轨迹，点 p 在 x 等于六上，那就这是六，这是六，所以 x 零就解出来了，应该是六分之九，也就是二分之三，所以这一题 c d 过的定点就是二分之三，逗号零解决了。 看一模一样的题，过了十年考一模一样的。所以往年的高考题真的很重要，你把往年的高考题做透，那这个高考题再考什么你都差不多，应该都会 好。下面在十一题，十一题跟前面也都一样，只不过是改成了双曲线，这个没区别。看下题目，已知双曲线 c 的 中心是圆点，左焦点告诉你，离心率告诉你，那这个双曲线就可以求出来了。双曲线这个求出来分母是四和负十六， 就是 x 方除以四减掉外方除以十六等于一。好看。第二问第二问说 c 的 左右顶点分别是 a 一、 a 二，这边图已经画了过点负四零这边取了个名字叫 b， 这个分面描述 b 的 坐标是负四都好零， 然后过这个点，和它左支交于 m n 两点，就画了这样一根线交于 m n 两点，然后去连接 m a 一 和 n a 二交于 p， m a 一 这样一连 n a 二这样一连交于 p， 要证明什么？证明点 p 在 定值线上，这个跟刚刚那个题真的没什么区别。 这边 b 你 可以看成几点， p 你 也可以看成几点，都可以的。比如像我们把 p 看成几点的话，我们把那个自极三角形画出来，把 p 看成几点的话，是不是你看这样画了一个割线，这样画了一个割线， 这样和双角线交于四个点，就是 m n a 一 a 二嘛，这四个点去，所有的能连的线都连起来，会出现交点，比如像这个 a 一 a 二这样一连，是不是这会出现一个交点？ 是的吧，还有我用这个连，除了刚刚那种连法，不是还可以 m a 二连起来吗？这个画这样差不多，然后 n a 一 再连起来， 你看这是不是也是一个焦点？这个焦点我们假设叫哎，是吧？那自极三角形就出现了呀。我用黑笔， 黑笔看，你把这个 b h 连起来，把 b p 连起来，再把这个 hp 连起来，这样这不就是自极三角形吗？你把 p 看成几点， b h 就是 极限，你把 s 看成几点，这个 b p 就是 极限。 你把 b 看成几点，这个 h p 就是 极限。那现在把谁看成起点呢？这一题是要求点 p 在 定值线上，点 p 不 就是在这样一个直线上吗？所以你把 b 看成几点就可以了。 这一题这个双曲线是 x 方除以四减掉 y 的 平方除以十六等于一。你把负四多少零看成几点的话，带进去换一半 就是负四， x 除以四减掉零外，除以十六等于一。这个划一下发现是 x 等于负一，那就这就是点 p 的 轨迹，所以点 p 就是 在定直线 x 等于负一上就解决了。好， 下面再看下一道下一道十二题，二零一零年的题目。已知抛物线，抛物线 y 的 平方等于四 x 这样画 过点开开是负一零，在这这个直线 l 和 c 交于 ab 两点，这个交一下点 a， 关于 x 轴的对称点是 d， 划过来是 d。 第一问这边是第一问，跟节点线有关。第一问证明点 f 在 b d 上， 那这个怎么跟几点线有关？你这么想，你把开看成几点，你去画看，画一个割线，这边再画一个割线，这俩割线是上下对称的，因为点 a 和点 d 是 对称的吗？那现在就会出现四个点，四个点是哪些？应该是这一个，这一个，这一个这一个， 是吧？这四个点就是完全四点型，然后再去连线呗。连线的话应该是这两个相连会出现一个焦点，这个焦点是不是 f 现在不知道，现在不知道。交一下，然后还有呢？还有你会发现交不出来就是你连接这根线和连接这根线，他俩是平行的， 说他俩平行的，交不出来，交不出来没关系，刚刚说过，交不出来的话，你就把它当成交在无穷远点就可以了，把它们当成相交的，交在无穷远点。那无穷远点在哪呢？ 这个我们可以通过代数的那个方程给它搞出来。代数的方程是什么？你把 k 看成起点，对着它去换一半，那应该是 y 乘 y 就是 零，乘 y 等于二，括号 x 加 x， 零就是 x 减一吧，所以这个算出来就是 x 等于一，这根线 x 等于一在哪？ 它的交点是一零啊， x 等于一，不就是过点 f 来做一个垂线吗？是吧？所以你把 k i 看成极点的话，这个地方就是极限， x 等于一就是极限。那 刚刚这两个连接相交，肯定是交于 f 嘛？然后还有这两个平行线相交在无穷远点，就是在这个直线的无穷远处， 这样就可以了。好，那 f 在 b 底上， f 肯定在 b 底上，就是这两根线交出来，交出来这个点一定在这个上面，一定是 x 等于负一，这个点就是 f 就 解决了。好， 这边还有第十三题，十三题直接看第二问，第二问是跟这个节点线相关的， 第二问说 m 等于四，那这个曲线可以画一下，曲线就是 x 的 平方，再加上二， y 的 平方等于八，再除以一下，再除以一下，就是一个交点在 x 轴上的椭圆 这样子，椭圆这边图也画了，他说曲线 c 和 y 轴交于 ab 两点，就 ab 这样子，而且 a 在 上面，直线 y 与 k， x 加四，这个很明显它是过定点零四的，就这个点应该是零四， 它和曲线交于 m、 n 两点，直线 y 等于 e 和 b， m 和和 b m 交于点 g， 要证明 a、 g、 n 三点共线。那这个 前面那么多题做完了，这个应该很有感觉了，你先把这题这个线擦了，这个线擦了，那这边不就是过椭圆外一个点做两个割线吗？然后连接，连接，如果你想要把字极三角形画出来的话，肯定干嘛肯定是去连接 b n 并延长，这个画的有点离谱， 那这个比较难画，比较难画出焦点，我们就大概画一下就好吧。大概画一下连接 b、 n 并延长。啊，这个这个，这个不用这个画，连接 b、 n 并延长，这样子再连接 am 并延长。是不是会出现一个焦点， 是吧？出现一个焦点，然后自极三角形是什么？自极三角形不就是这个点，这个点，这个点，这三个连起来吗？ 是的吧。所以你把这个零四看成极点的话，这个焦点就是在它对应的极线上，对应的极线写一下，在这换一半，用零四来换一半，就是零 x 除以四，再加上四 y 除以四等于一，画一下发现是 y 的 一， 是吧？就题目给的这根线，就题目给的这根线，所以结束了呀。所以就是这两个的焦点是不是就是点击？那你现在你把这根线给它干掉了，用这根线跟它交出来点击，肯定是满足 a、 g、 n 三点共线的呀， 这个完全没有问题，对吧？就是这样出来的。这种题。好，下面继续。还有十四题。这个高考对极点极限的考察真的是挺多的，以极点极限为命题背景的题目真的 很难完全统计出来他有多少道题。因为太多了，我这只是选了一些典型的已经选了这么多了，看一下啊。这个 c 是 零一， c 是 零一是椭圆啊，过点 c， 零一的椭圆的离心率二分之根号三，那这个 c 显然上一点再集合离心率椭圆可以求出来了， 是吧？这个椭圆椭圆的答案写一下，椭圆，这个应该是四和一，就 x 方除以四，再加上 y 的 平方等于一。然后说啥？说椭圆跟 x 轴的交点是 ab 左右顶点嘛， 过点 c 的 直线， c 的 直线是它交椭圆于另外一点 d， 就 这样画一条线交于 d， 并且与 x 的 轴交于 p， 那 这个地方是 p p 划一下 这边直线 a c 和 b d 交于 q， a c 和 b d 交于 q， 那 这个图又很熟悉啊，你不要按它这个说的东西来，你直接按自己的来，不就是过点 q 画两条格线， 对吧？然后这边连打个叉，这个点，你下面这个 q 和这个点 p， 如果你把 q 看成起点的话，点 p 就是 在极限上，你把 p 看成起点的话，点 q 就是 在极限上。 如果你一开始不熟悉，你可以再去把那个 z 一 三角形画出来，但是我们现在已经做了十几道题了，应该有感觉了，不需要画，不需要画，他们就是户级的嘛。户级的，那我们这儿就设一下，假设 p 是 几点，那 p 就是 x 零，逗号零。这边你设哪几点都可以写，都可以写，无所谓的。 如果你设 p 是 极点的话，那么 q 就是 在极线上，对吧？ q 在 极线上，极限我们换一半，换一半就是 x 零， x 除以四，再加上零， y 等于一，那也就是 x 等于四分之 x 零，是吧？所以说明点 q 应该在这样一个竖的线上， 在这样一个竖的线上，然后 q 是 多少横坐标，反正是四分之 x 零，纵坐标不知道不知道，那就再设一个，设一个 t， 对吧？这边 p 的 坐标是 x 零多少零。下面主要看第二问，第一问跟这个极点线无关，第二问的话， o p 向量乘 o q 向量不就是 p 的 坐标乘 q 的 坐标吗？那也就是 x 零 啊。我这个，我这个，等一下，这个地方算错了，这应该是四除以 x 零，是吧？这个地方算错了，就是你这，你这，这个 x 这没了吗？这个应该四在上面， x 零在下面，所以这这个地方， 这个地方就是四，除以 x 零上，所以这边 x 零乘以 x 零分之四。你看 x 零约掉了，再加上这边这个外零，不就是零吗？这个外零就是零，那就零乘以 t 啊，所以跟 t 无关。这个答案这儿没了，这儿约掉，答案是四。这一问做完了，定值是四，就是这样。 这个是二零一一年四川文科的。好，下面再来一道。这一道那是理科的，就是把刚刚那个椭圆是不是给它转了一下？刚刚那题是焦点在 x 轴上，这一题是焦点在外轴上。 好，现在说椭圆的两顶点是 a 和 b， 其焦点是零一，那这个已经可以把椭圆算出来了。这题椭圆的方程是 y 的 平方除以二，再加上 x 的 平方等于一。这个第一问不看，就看，第二问， 这个怎么来的？看一下啊。说过 f 的 直线和椭圆交于 c， d， 就 过 f 画一条线交于 c、 d， 并且和 x 轴交于 p， 直线 a， c 和 b、 d 交于 q。 它这个图你不管它怎么描述，反正图在这，你就想成 或点 p， 画割线，画割线，然后连接打叉出焦点，就是这样。那 p 和 q 就是 你把它看成极点，点 q 就 在极线上，你把这个 q 看成极点，点， p 就是 在极线上，即便你看成谁都行。 我们按照上一题来，按照上一题的话，我们可以把 p 看成极点，是吧？ p 是 x 零，逗号零，那么 q 就是 在极线上。极线是什么？对，折换一半，这儿注意不要换错。这个零是不是应该往这儿来？ 零应该往这来，那也就是零乘以外，再除以二，再加上 x， 零， x 等于一，所以这个解出来就是 x 等于 x 零分之一上，所以点 q， 在 这样一个线上， 那 q 的 坐标设一下呗。横坐标是 x 零分之一，纵坐标不知道写个 t， 所以 o p 向量再乘以 o， q 向量就是 p 和 q 的 坐标相乘，也就是 x 零乘以 x 零分之一，再加上零乘以 t， 发现这一块没了，这约掉了，所以答案是一， 那这个定值就是一，所以这样十五题就做完了。好，这样整个的 t 一 就结束了。 t 一 再看一下学了什么 题型，一就是选的题目最多的，这也是高考考的最常见的，他也是我们今天要讲的里面最简单的一个东西，就是纯极点极线， 纯极点极线换一半，看有这样一个方程，有这样一个点对着他换一半就是极限，然后这边这个完全四点型和自极三点型给他搞清楚理解，还有这种特殊情况都是不影响的，都可以的。 还有这个三三角形，三点形，四边形，四点形的区别，当然这个考试不会这么考的，但是你尽量学的时候就学透嘛，学专业一点三点型，四点型，这样子 好。下面极限和曲线的位置关系就是极点，还有极限相对于曲线就是一个在外，一个在内，临界位置的话就是相切好。刚刚所有的题实际上就考了这些个东西，这样应该都学透了。