八上数学格点作图简述怎么写

好，我们接下来开始系统现在讲一下格点无刻度尺作图啊，我们有些地方他每年都会考，那我们首先把基本的六大做题手法啊，给大家讲一下。 那接下来我们先看如何做平行线，说我们这种题型他只有一个无刻度直尺啊，别的啥都没有。首先我们看第一个 ab 是格点，然后做 c 点，关于 ab 他的平行线，那我们做平行线要注意什么呀？第一种手法就是平移嘛， 比如说我们这个 c 点是不是可以看作 a 点，向上平移三个单位啊？所以我们把 b 点也向上平移三个单位，一二三把就这个格点，然后连接 c 点跟这个点，这个线就符合要求 啊，这就是最简单的一种，能够直接看出来，然后大家需要系统资料，是吧？看这里。好，接下来我们看第二个 ab 是边的终点， 然后做这个 c 点，关于 ab 他平行线，那么 d 这种方法还是平移吗？我们看一下把 a 点平移到 c 点，是不是向左平移一个单位，向上平移半个单位啊？啊？所以我们 b 点也一样，向左平移一个单位， 然后向上平移半个单位，他是不是就这个格点，他正中心呢？是吧？那么正中心怎么做出来啊？因为小格子都是正方形嘛，连接两个对角线， 我这个焦点他就是 b 点，向左平移一个单位，向上平移半个单位，接下来连接 c 点跟这个点， 是吧？这个线就是平行线，然后我们做平行，还有没有其他的方法啊？也有，我们可以用相似是吧？或者是平行线分线段成比例， 常用的就是 a 字相似，用相同的比例把这个平行线找出来啊。那我们还是以这个图，你看我们连接 ca 延长，他是不是会到达这个格点呢？是吧？因为 a 点是这个线，他终点吗？然后我们再连接，是吧？这个点跟 b 点 再延长出去，他会到达哪个格点啊？我们这个点 d 点到 b 点，是不是向左平移一个半单位，向上平移两个单位啊？所以等被延长 b、 d 的话啊，应该会达到这个点，这个 b 点是第一， 它的终点就数格子，那我们这个 c 一是不是就是 a、 b 它的平行线了啊？此时 a、 b 是这个三角形， c、 d 它中微线啊，就是一个相似的思维，只不过这个相似比是一比二。 那接下来我们再看一个相似比，他不是一比二了？好，我们看第三个啊，这个题目还没改，这就不是终点啊。 a、 b 是格点还是做 c？ 关于 a、 b 它平行线，那我们首先也是用相似的这个手法来做。 我们如果连接 ac 的话啊，延长出去是不是会加到这个点啊？这个格点，并且也穿过这个格点，假设这个地点，是吧？他比他是不是一比二的关系啊？ 所以我们连接 b、 d 的话，只用找到 b、 d 它的三等分点就行了。那么 b、 d 这个线它的三等分点在哪里啊？是不是在这里啊？ 啊？我们看竖排就行了，一个格点，两个格点，三个格点，所以说与这个横线，它的焦点就是三等分点， 然后连接 c 点与一点，把这个线也平行于 a、 b， 那我们这个图能不能直接平移来做， 也是可以的，你看我们 a 点平移到 c 点，是不是向右两个单位，向上一二三四四个单位啊？我们都是隔点的话，是吧？就平移简单一些，所以我们 b 点平移两个单位到这里，然后 向上拼四个单位，一二三，发现格子不够了，是吧？应该到这里才行。那我们在考试中，如果格子不够，我们不能私自把这个格子是吧给扩大， 所以说 b 点平移不行， b 点平移不行，那我们可以找别的点平移啊，找到这个线 ab 中间的特殊点， 那我们也发现特殊点也没有呀，没有格点怎么办呢？找终点，这个终点还是挺好找的，你看我们 ab 水平距离一二三四五，那么终点是不是在这个终点啊？这个格子终点，这个点，他就是我们这个格子正中间，所以我们把这个点 向上平移四个单位，一二三四，再向左平移两个单位，一二，是吧， 应该在这个格子，所以我们找到这个格子，他终点啊，也就是正中心，中心啊，中心点啊，那么还是跟前面一样，连接对角线这个点就行了啊。假设 d 点啊，那么 cd 这个线 他也是我们 a、 b 他的拼音线。好，那么接下来看第四个啊，这个就比较复杂一些， 做这个基点，关于 e、 f 它的平行线，那么这个基点是 a、 b 与这个啊，这个少写个字母与 c、 d 它的焦点，那么 a、 b、 c、 d 是格点，那基点就不是格点了， e、 f 都是格点，怎么办呢？是吧？我们做平行线，第一反应还是平移吗？那我们看一点平到几点，他不规则是吧？所以我们看 一点，平移到 f 点，是不是向右一二三四个格子，向上一个格子啊，所以我们如果把基点 也向右四个格子，向上一个格子就可以了，像这个基点单独平移我们做不到，我们可以把这个，对吧？这个东西整体平移嘛？啊？整体平移之后，基点也是整体平移过去，所以我们 a 点是吧？又是上一在这里， 这 a 撇点，然后 b 点又是上一一二三四在这里啊，然后 c 点一二三四， c 点拼到这里，地点一二三四在这里，然后我们还是连接，是吧？ a 撇， b 撇，再连接 c 撇， d 撇 啊，这个焦点就相当于第一撇也是又是上一，然后连接几点跟这个点，他就是我们 ef 平行线 啊。那我们来总结一下，做平行线最好用的就是平移吗？直接平移，平移的方向和距离一样，保持一致原则，然后如果平移解决不了，就用相似来做，他就是我们需要平移的比例，是一致的原则 啊。那么我们关于平行线就讲到这里，那么下节课我们就做垂线该怎么做？ ok。

这是一道天津中考必考题格点问题，今天咱们学一种不同于解析的方法，一起来看。如图，在每个角正方形的边长唯一的网格当中，三角形 abc 的顶点 均落在格点上。让你求周长，求周长，咱们只需要表出出来三边分别是多少？ bc 的长度是三， ac 的长度是四， ab 的长度三四五 好，正确答案十二好。第二小问，请在如图所示的网格当中用无刻度的直尺，这个区别于尺规作图，只用直尺好。那么在 a、 c 上面需要确定一个点 m， 确定完点 m 之后，以 m 为圆心， m c 长为半径。那各位同学需要确定一个点，我这么做出来的这个圆 m 和 bc 是什么关系？ mc 长为半径，注意和 bc 是相切的关系，因为角 acb 九十度，同时还要满足和 ab 相切，那么 还和 ab 相切，其实你要思考一下本质，咱们需要找的是什么呀？请简要描述一下点 m 是怎么找到的？注意，他既和 bc 相切，也和 ab 相切，那咱们要找的其实本质是角 abc 的 平分线怎么做？利用一个方法，一秒出结果，我确定格点 n， 我此时连接 b n 并延长这个点 m， 我就找到了，也是怎么回事呢？一起来看。在此处啊，咱们其实是可以确定角 a、 b、 c 的正切值是四 比三，这利用了一个二分之一加二分之一等于三分之四，你看这里有个 一，这六个二，所以对于这个角阿尔法，它的正切值就是一比二。那具体是怎么回事，请听我细细来讲解。 首先呢，咱们先知道一件事情，就是角平分线定理。角平分线定理的话，我知道 a、 d 平分角 b、 a、 c、 a、 d 是角 b、 a、 c 的角平分线，那么就会有一个结论是 a、 b 比上 a、 c 等于 b、 d 比 c、 d， 那么 咱可以利用面积法来做过点 d 做 a、 d 的垂，过点 d 再做 a、 c 的垂，这组分别是 m 和 n。 因为 a、 d 是角平分线，所以 d、 m 等于 d、 n。 同时那我再做一个 b、 c 边 上的高，这个管它叫做 h， 一这个管它叫做 h， 二，这个管它叫做 h。 各位同学注意，咱们在此处表示三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 d 的面积同的表示方法，那如果咱们把 a、 b 当做底儿， 二分之一底乘高，我把 a、 c 当做底二分之一底乘高。因为咱们知道 h 一和 h 二相等，所以它就等于 a、 b 比 a、 c， 那么对于这两个三角形的面积，咱们还有另外一个表示方法，就是把 b、 d 和 c、 d 分别当做底二，那二分之一底儿乘高 等于比上二分之一第二乘高，所以最后消完之后，你会发现这个结果就是 b、 d 比 c、 d， 所以角平分线定理不同于角平分线的性质， a、 b 比 a、 c 等于 b、 d 比 c、 d。 知道这个之后，那咱们就 就可以应用起来，应用起来得到的结论，注意，也就是我刚才所提到的，二分之一加上二分之一 等于三分之四。注意，我加了双引号，并不是二分之一加二分之一等于一。好，利用角平分线的定理，咱们一起来看此，我知道 ab 是三， bc 是四， ac 是五， ad 是角平分线。 接下来我利用角平分线定理，我就可以表示出来， b、 d 的长和 c、 d 的长， b、 d 等于二分之三， c、 d 等于二分之五。接下来各位同学请看，对于这个摊成的角， b、 a、 d 就等于二分之三，比上三，结果是二分之一，那同样因为是角分线，他就等于摊成的角 a、 a、 d。 那你看， 这是两个二分之一合到一起的正确值，就是四比三。应用到刚才那道题，咱们知道 ac 是四， bc 是三，然后接下来我只要找到两个正确值是二分之一的角，角平分线就做出来了，你学会了吗？

好，第四节如何做垂直平分线啊？也就是中垂线，那么中垂线啊有什么特征呢？中垂线上的点到这个线段两端点 距离相等，所以我们可以找到两个到线段两端点相等的点啊，连起来就行了啊。那首先如果这个线段是吧，他的终点比较好找的话， 就连接终点和另外一个点，或者是过终点做这个垂线也可以。好，接下来我们找一下 啊，做这个 a b 它中垂线。那首先 a b 中点是不是在这里啊？是比较明显的，因为这里有四个格子，中间的点就这个，那么接下来再找一个点到 a b， 它的距离相等， 那这个怎么找呀？啊？我们可以做正方形，是吧？正方形他的中心点到顶点，他的距离相等，那么这种方法他是可取的， 比如说我们试一下，我们就以 a b 为边，把这个正方形给做出来啊，那我们学到这里做直角就比较简单，你看 a 点到 b 点， 是吧？右四上一，所以说我们把 a 点往下平移四个格子，再向右平移一个到这个位置啊，那么这个线他就垂直于 ab， 并且等于 ab， 那同理是吧？我们把 b 点下四，又一在这里 连接，那么这个图形它就是正方形，然后我们把正方形它的中心点找出来，把连接对角线， 那这个点是不是有中心点 o 啊？ a o 等于 b o， 那接下来我们连接这个中心点与这个 a b 它的终点。 哇，这个线它就是 a b 的中垂线啊，那如果在考试中，是吧？这个格子不够用，正方形做不出来怎么办？那我们可以把这个正方形大致画出来，大致看一下它中心点在哪里，是吧？这个点它其实就是我们这个正方形，这个正方形小格子 他的中心点，所以我们这个正方形啊，也可以不用画出来，直接找到这个格子他的中心点，点击格子对角线啊，这个点与这个点直接这样画也是可以的，是吧？我们这个中心点他到 a 点 得到 b 点啊，这个距离是一样的啊，然后我们再看这个也是一样的，首先确定 a b 中点，那么这个 a b 中点就连接这个格子 他对角线，如果有的线段 a b 的终点不能确定，我们可以上面做一个正方形，下面也做一个正方形，连接两个正方形，他的中心也是可以的 啊。我们把这个重点先找出来，然后我们在下面也是确定这个中心点，那么这个中心点我们大致观察一下应该在哪里啊？是不是应该 他就这个点呢啊？如果我们一眼看不出来怎么办呢？我们还是把这个正方形补出来，是吧？以 a b 为边做正方形，一二三四五这里这里，然后连接， 然后连接对角线， 是吧？这个中心点就确定了吗？那么这个点他刚好也是格点啊，所以说正方形也可以不用做，是吧？直接把这个点标注出来就行了，然后连接中心点与这个 中点就可以。接下来我们再看一个这个线段 a b， 那首先这个 a b 中点是吧？是不是应该这个点呢？ 然后还是以 a b 为边做正方形，是吧？ a 点到 b 点，右二上三啊，随着我们把 a 点下二右三，然后把 b 点右二下三这个点连接起来，然后连接 对角线。啊，那这个点他就是中心点，连接中点跟中心点，这个线就是 a、 b 他的中垂线，实际上我们这个点他也是我们这个小格子他的中心点，那么中垂线他就这么做。

大家好，我是高老师啊，从这次视频开始啊，我们开一个新的专机系列啊，就是隔点作图啊，隔点作图是天天中考的一个特色题目啊，嗯，一般是十八题，每次天天中考之后啊，这道题都成为一个热门的讨论对象 啊。这道题难度和天天中考的其他题目相比啊，就是不在一个档次上，难度很很高，所以很多同学碰到这种题，可能直接就选择放弃了，连做都没有做过。 嗯，其实我们去研究一下啊，这个隔音做作题还是挺有意思的，我们把它当做一个数学游戏啊，其实它也并不是没有规律可循的 啊。那从从这次视频开始啊，我们就来带着大伙来一起探讨一下啊，就是这个隔点作图的一些规则或者一些研究方向来看看。呃，能不能从中得到一些个就是隔点作 做图一些规律啊。我们首先做一个简单介绍啊，相信大家做过一些格点做图的，做格点做图题的同学应该都能了解啊。啊，第一个规则啊，就是首先他只能使用无刻度的直尺，对吧？没有，没有圆规啊，不是尺规作图，只有直尺，而且是无刻度的。然后只能使用格点， 或者是已经做出图形的焦点，比如说你说我，我在这条直线上，我取个终点就可不可以啊？这不行啊， 终点是不存在的，你必须比如说我，我连接这两个点，然后这个焦点是终点，这个没有问题，因为这个点是做做出来的，是吧？这是以做出图形的焦点，但是你直接取这个终点，或者比如说直接取这个三三分之一点之行不行？这肯定是不行的啊 啊，这里特别要强调一下这个注意啊。就是，呃，这是好多同学我见过的很多学生的一个问题啊，就是他通常 是通常是啊，比如说让你做一个什么图形，他感觉应该是这么做，我问他这为什么这么做呢？他说，呃，您稍等啊。我我想应该怎么证明这个就有问题啊？我们注意啊，一定是先知道作图的正确性再去作图， 而绝对不是相反，就是我先去做个图，然后再去证明这个做图是正确的。哎，这怎么可能呢？是吧？我随便给你画一个图形，然后让你证明他有什么性质，这几乎是不存在的。所以我们所有的做图啊，就隔点做图， 肯定是知道我这么做对，然后我去实现他拿工具去组装他去实现他去。然绝对不是说我做出图来了，然后去想他为什么是对的 啊。这个我们再接着来看啊。就是，呃，为了我们后边讲这个讲解方便啊，我做了几个定义啊。首先第一个由 理点啊，什么叫有理点啊？就是横纵坐标均为有理数的点。嗯？横纵坐标是什么意思啊？我们格点我们可以看作是个什么东西啊？不可以把它看作是一个我，我选选取了一张稍微大一点的格点纸啊，就是我们可以把它看作是一个这个， 哎，最下边这个是 x 中，哎，最左边这个是外中。然后呢我们这时候能发现啊，其实所有的格点都处在整点上，对吧？比如说这个，这是圆点零，这是一二三 啊，这是一二三。那这时候我们发现比如这个点，这就是三斗一，对吧？这个点这就是二斗三，那所有点都是整点，对吧？那么有理点，比如说我们说一个，比如一点二都一点五，一点二都一点五，哎，这个他的横坐标和纵坐标都是有理 哎，那这个这样的点就是有理点，那相反，比如说我写一个根号二，都根号三啊，那这个横共坐标都是五里数，那这就叫五里点。 我们注意一点啊，为什么要提这个概念啊？就是因为我们可以在格联纸上啊，前提是这格联纸无限大啊，就这个格联纸是是一个理想格联纸，他无限大，我们可以在这格联纸上画出任意一个有理点，比如一百分之一啊，一百分零点零一是吧？零点零一都零点零零一， 这个能不能画啊？没，没问题啊，只要这个点纸足够大，就肯定能画。但是你说我能不能画出五里点？哪怕是说我是是一个单独的五里点，比如说我画一个一到跟二三， 对吧？一到根号三，横投标是一送坐标一点七，三大概在这个位置左右。你，你说我这按照 我刚才的这个作图规则是吧？能不能画出一到根号三，这个点肯定是不行的啊，肯定是不行的，至于为什么不行啊？这在第二个啊，有理直线，我们一会来讲解一下为什么啊？这个特别要注意啊，就是部分有理点横坐标他，他可能不是两个坐标都是无理的。比如说刚才根号二，逗根号三， 根号二都根号三，这个是两横动坐标都是五理数。那么部分部分这个就是特别强调一个概念，叫部分有理点，就是他横用坐标，有一个是有理点，对， 有一个是有理数，比如一到高二三，对吧？他的横坐标是有理数，他的动作标不是，对吧？那我们就叫他横，就叫他部分有理，哎，这些概念都是我起的名字啊。部分有理点，就是说他的这个，这个有一部分是有理数，哎，这个有什么用啊？比如说我举个简单的例子，呃， 这个是个有理点，这是个整点，对吧？然后呢，我们在在这个地方啊，在这条直线上画一个点，随便画一个点啊，随便点一个点，重新点一下啊，我们随便点一个点， 随便点一个点，那好，这个时候他的横坐标，横坐标，因为他在网格线上啊，所以他横坐标是个有理点，有理数，他纵坐标不知道在什么位置，那么就得认为他是一个纵坐标，是一个无理数的无理点。那么这时候比如说我把这两个点一连线， 是吧？那我们能发现啊，在横是在横轴方向上，在横轴方向上我们还是可以做它的一些个图形的，比如说这个点和这个点其实是它的三等分点，但是我们在纵方向上还有没有空间， 哎，可能这个做图的空间就几乎是没有了啊。当然你说我在横方向能不能做一个呃，四等分点，那也得是情况看了， 这个就是部分有理点，也是，也不是完全没有意义，对吧？他的只要是这个坐标当中有一个有理数，我们就可以利用他这点性质。但如果是横空坐标都是无理点，哎，那这个做图空间可能就非常狭小了啊。然后我们来看一下什么叫有理直线，有理直线，这就是 这个斜率和结距都是有理数的直线啊。比如随便举一个例子，例子 f 等于五分之二， x 减去三分之四，对吧？这个就是横 斜率和洁具都是有理数，那这就是有理直线。同样啊，我们可以做出任意的有理直线，但绝对做不出 五里直线，比如说外等于根号三加一，根号三 x 加一，这样的直线能不能做出来这斜率是个五里数？呃，不行，肯定是不行啊，那为什么啊？我们做一个简单的说明， 因为我们知道啊，这个，呃，如果我们把这个格点纸视为一个坐标系的话啊，那么这个所有的格点实际上相当于一个整点，那么比如说这个点 x 零 x 一的外衣， x 一斗外一，那随便再找一个点啊，比如这个点 x 二斗外二。那好，那么这两个点连线 是不是一条有理之线呢？那肯定是，对吧？这个我们都会求，我们可以用这个待定系数法外等于，呃，外外一等于 kx 一加 b， y 二等于 kx 二加 b， 哎，这俩连力， 这时候求 k b， 哎，注意， y 一 y 二 s e x 都是有理数，因为我们知道有理数，对加减乘除这种运算规运算法则，他都是封闭的，所以这时候我们算出来的 k 和 b 都是有理数， 也就说只要只要平，只要这个格联纸上出现的是有理点，那么你随便连他出现的一定是有理之线。那么同样的道理啊，两条有理之线，比如 y 等于 k 一 x 加 b 一，注意，这里 k 一、 k 一 b 一都是有理数啊， y 等于 k 二， x 加 b 二，这相当于两条有理直线， 然后连力。我们求出来的解 x 斗外，这个解实际上相当于这两条有理直线的焦点，对吧？那么这个焦点是什么？是不是有理点？一样的道理啊？你 k 一比一， k 二 b 二全部都是有理数，那这个焦点一定是有理点， 一定是有理数，那就是说有教有有理点，一定能做有理之线，有有理之线做出来的点也一定是有理点，那么就是说无理点和无理之线我们是肯定没有办法画出来的 啊，比如说举个例子啊，这个，哎，随便啊，随便，随便。比如说这两个点连线，对吧？然后，或者说，然后这个，哎，也没点上， 随便找两个点啊，比如这两个点连线，是吧？那我们产生的这个焦点，产生的这个焦点是不是有理点啊？你放心，肯定是有理点啊，肯定是有理点，那好，那么接下来就第三个概念，有理角，就是注意啊，正切直为有理数的角啊，就是摊件的，摊件的阿拉伯等于二分之一，哎，这就是这个 r 就叫做游离角，那么这样的游离角是肯定可以做的啊，那怎么做的比较简单啊？但是我们以 angel 为他的一条一一，一条边的话啊，对吧？这个，哎，这样，这个就是二分之一的，这个角的正确值就是二分之一，对吧？比如说你他念啊了，等于 啊，三分之四，对吧？那你横竖三个，竖竖四个，那这样，这样一连原点，那这个角，就是啊，正确值是三分之四啊，这个啊，这些有理角，有理有理角都可以做啊，一样的道理啊，无理角是肯定做不了的， 正贴值是五里数的角肯定是做不了的。那比如说特殊角里哪些是五里角啊？比如说你三十度正贴值三分之二三，这是五里角，六十度跟二三，这肯定是做不了的，而只有四十五度能做啊。特殊角里啊，特殊角里四十五度，正切值是一 六十度，一定是做不了的啊。这个你放心，像六十度等边三角形啊，纯有理做图的情况下是绝对做不出来的啊。第四个二届有理角啊，就是半角，是有理角的角， 当然了，这个半角有理角的角都是勾股角啊。哎，这又是一个新的概念啊，这些概念都是我我发明的，就是你网上搜可能不一定能搜的到啊。就是， 呃，什么叫勾股角啊？就是他是他的三条边，他是由勾股数组成的等边，等的这个勾股数组成的这个直角三角形的一个，呃，两个锐角啊，比如说像他那个阿洛等于三分之四，对吧？这个就是一个勾股角 啊，就是我定义的勾股奖，那因为他是三四五里边的一个锐奖，对吧？或者说四分之三，或者说十二分之五，对吧？这个十二分之五显然是五十二十三 这样一个勾股数组成的角的一个正确值，对吧？但你说啊，非勾股角，比如说他那个阿拉伯等于三分之一，等于三分之一啊，没有任何一组勾股数，他的比例是三比一啊，所以这样的情况下三三分之一，这就不是勾五角，不是勾五角就意味着什么？他不是二界有利角， 也就是说他的绊脚不是有理脚，那三分之一这个脚就没有办法做脚分线，所以如果这道题让你做脚分线，你应该能发现啊，他一定是个勾股脚才让你做脚分线，因为能做脚分线的脚，他一定是二级有理脚，他绊脚得是有理脚 啊，可能有点绕啊。我们具体做图的时候，我们到时候再会为大家再重申这个概念啊。然后第五个是有理做图，那就是只在上面这些个有理图形间做图，那就是 是有理作图。这个我们如果这个这个，如果没有其他图形参与的话，基本上只有搁点纸，我们做的都是有理作图，绝对做不出无理图，无理无理图像的啊。那么当然，呃，近期的难度增加是因为增加了无理作图，为什么呢？ 因为他含有无理点了，也就说我们可能面对的题不一定只有有理点啊，这种题多数以含原的作图为主。我们注意啊，如果图形中出现一个原， 突然出现一个圆，那这时候一大堆的焦点啊，这些焦点可都不是有理，不一定是有理点了啊，比如说这这这出现了好多跟网格点，出现了好多焦点，对吧？这些焦点可大多数都是无疑点。如果以这些焦点为基础来作图的话，那出现的就不一定是 有理有理直线。哎，这时候可能真的需要你做出，比如说像三十度、六十度或者是一个五里角的角分线啊，这都是有可能的，那这个难度就比较高了。当然了，除了圆以外，它还包括一些个呃未定的点或者是动点。

根据新中考新课标、新教研的要求，现在八年级本次期末考试的网格作图有可能考的是无刻度尺。老师给了一道题，第一问，在图中画出与三角形 a， b， c 关于直线 m n 对 称的图形。第一问，大多数同学不会有问题。第二问，在图中画出三角形 a， b， c 中 b， c 边上的中线 a m。 此题就是如何找到终点。 那我们可以看到这个点应该就是重点。那为什么是呢？不是拿隔尺一连他就是了，无刻度指尺。在这道题当中，我们要考虑的是网格构型， 构的是全等，他为什么是终点呢？我看到了一个平八的全等， 所以它就是终点。那我们在画的时候可以把这一部分用虚线代表，我是这样找到终点的，然后连接 am。 由于 m 点是终点，是我构形可导的，所以考虑的是全等，而不是拿割尺量的。 第三问，在直线 m n 上找到一点 p， 使它们的核最短。那我想到了八年级最短路径之将军印吗？ 所以找到关于 m n 的 对称点， b 或 c c 的 对称点是 f， 然后连接 b 和 f 之间的连线，与 m n 的 交点就是 p。 由于要求 p b 加 pc， 所以 此点找到如果保留作图痕迹的话，提要求的线画实线，我们这个地方要用虚线。 所以这就是我目前八年级非常流行的一道题，网格作图无刻度尺尺。

本题要做 a、 f 平分 s 三角形 a、 b、 c 就是 要做 b、 c 边上的中线 a、 f 由于 b、 c 两点分别处在横竖两条格线上，不能直接取中点，那么我们的方法就是利用三条中线相交于同一点的原理， 先取 a、 c 的 中点 d， a、 c 与中间隔线的交点就是他的中点，再取 a、 b 的 中点，一点连接 b， d、 c、 e 是 两条 中线，三条中线相交于一点，这一点就是重心，所以就可以得到 af。