福建一模2026压轴立体几何

ok， 我 们来看一下这个立体几何的大体啊，很多网友他说啊，我想看一下立体几何的大体怎么做，好不好？那今天的话就特意挑了一道题给大家好好讲一讲啊，已知，在这个图形中，是吧？ o a o p o b 啊，三条边互相垂直，然后呢， o a 等于三，这个 o b 等于四 p o 呢，也等于是要求点 p 到直线 a b 的 距离好，点 p 到直线 a b 的 距离，按道理就什么点到直线的距离公式是吧，但是这个点不好表示啊，是吧，那我们可以还可以用其他方法是不是？好，那我们看下 这个点啊，到直线的距离实际上是什么样的？你看，我可以做过点 o 做 ab 的 高，你看做一条高啊高，然后呢，这个点呢？设为点 d 可不可以啊？可以啊，是不是？然后呢，你看一下我把这什么 d 和 p 连接起来，那你看点 p 到直线 ab 的 距离，实际上就是什么点 p 到点 d 的 距离， 这样子的话就好做很多了，是不是哦，这个图可能就是，呃，没那么好看，我再重重新给你画一个好不好？那重新给你画一个，这个是 a， 这个是 b， 是 吧？这个 ab， 然后呢？ o p 在 这里啊， o p p o 是 不是？好，我做一条高啊，在这边做一条高，这点是点 d， 然后呢？把 p 和 d 连起来，那你看 p 到直线 ab 的 距离，就是点 p 到 d 点的距离，是吧？你看连起来之后，这也是垂直的哟，啊，这也是垂直的哟， 所以在这里的话啊，你要去算这条高，实际上就是算是吧，这一个三角形，这什么东西啊？勾股定力来算，是不是啊？这条边是四，这条边算出来，然后呢， 它的平方加它的平方就得 p d 的 平方，是吧？ p d 就是 a b 的 这个什么这个，呃，点 p 到 a b 的 距离是吧？那写的话怎么写呢？ 那明显了， a b 这条线，它的长度我们是可以先算出来的，是吧？这条是三，呃， o b 是 四，是不是三四，那 a b 肯定是五，是不是？所以呢，第一个 这个 a b 的 长度要先算出来，是吧？啊，等于这个三的平方加四的平方等于五，是不是啊？过程我就省略些了啊，过程我就省略些了，这个地方没有多少，我就省略些了啊，你知道大概的解析思路就可以了 啊，跟这跟之前做那个什么三角函数的题目过程是差不多的啊，你看首先要怎么样过点 o 做 ab 的 垂线是吧？ o d 垂直于 o b 啊？垂直于 ab， 是 不是？那这样可以了，把第五句话啊写下来，然后呢，这个是什么东西啊？直角三角形嘛？ 直角三角形它就可以，怎么样用勾股定底来做是不是？好，大家看一下。那在这一个直角三角形中， o d 这条边上怎么算呢？我们就可以用什么它的面积啊，是不是？你看这条边是垂直的，这里也是垂直的，是不是？所以 o b 乘 o a 二分之一， o a 乘 o b， 是 不是？是不是就是这个三角形 o a b 的 面积啊，是吧？好，它也会等于什么呢？二分之一 o d 乘以什么？ ab 也会相等，是不是？ 底层高除二嘛，也会相等是吧？换句话说，哎，这两个二分之一都不要， o a 乘 o b 就 等于 o d 乘 ab， 是 吧？因为 o a 乘以 o b 会等于 a b 乘以 o d， 是 不是？是吧？所以 三乘四就等于五乘 o d， 那 o d 就 可以算出来 o d 就 等于多少， 就等于五分之十二，是不是？好，这条边是五分之十二， o p 是 几啊？ o p 是 四啊，是吧？所以你直接把什么 o p 四的平方加上五分之十二的平方，就等于这一个了，是吧？ 你要说明点 p 到点 d 就是 p d 啊，这条直线的距离就是什么？就是点 p 到 a b 这条直线的距离，这是要说明的。呃，怎么说明呢？我大概简单给你写一下哈，因为， 因为这个 p o 垂直于 o a， 是 不是 p o 垂直于 o a， 然后呢， p o 也垂直于 o b 啊？它写了个什么？互相垂直嘛，是吧？互相垂直，那所以呢， o a 和 o b 就 属于平面 a o b 属于这一个平面啊，所以 o a 和 o b 就 属于平面 o a b， 是 吧？属于这个平面，那怎么办呢？属于这个平面的话，呃，属于平面 o a b， 呃，那么 o 啊， a o 和点 o o a 和这个 o b， 它相交于点 o， 是 吧？交点于相交于点 o， 则所以啊，折折这个 o p 有 什么关系呢？ o p 就 垂直于平面 a o b， 因为 o 点啊，是这三个点的交点，是吧？是这三条直线的交点啊，所以呢， o p 会垂直于这个平面，垂直于这条两条边，就相当于垂直这个平面，是吧？垂直这一个平面的话，那就属于什么？所以， 所以 o p 就 会垂直于平面。呃，平面 a o b a o b 已经写了，是吧？所以 o p 就 会垂直于 ab 啊，这个写出来是吧？又因为 又因为 o d， 它也是垂直于 ab 的 是不是？你看 o p 垂直于 ab， o d 也垂直于 ab， 那 所以呢？所以就怎么样？所以， 所以这个 ab 啊， ab 这条直线， ab 就 垂直于平面 p o d 啊，所以 ab 就 垂直于平面， p o d 啊，是这样垂直的，懂了啊，这有点歪了，把它摆正了啊。好， a b 垂直于这条这一个平面是吧？ a b 垂直于这条这个平面的话，就说明 a b 啊，垂直于这三条边是吧？记 a b 垂直于什么？ p d 是 不是啊？ p d 好， 所以呢，点 p 到 a、 b 的 距离就是点 p 到点 d 的 距离是吧？折是吧，所以 点 p 到 a、 b 距离为 p d 啊，这是需要证明的。好，这些都证明出来之后，然后呢？所以 p d 它会点什么？ a 根号下 p o 的 平方加上啊， p o 的 平方加上 o d 的 平方，那就等于根根号下是吧？ p o 是 几啊？ p o 是 四四的平方加上 o d 呢？ o d 是 五分之十二， 五分之十二的平方是不是这个四的话就相当于是二十五分之一百是吧？加上二十五分之一百四十四，那就等于什么啊？呃， 五分之四倍，根号三十四啊，所以 p d 就 这么算出来。这个就是立体几何啊，看起来好像很难，实则一点也很简单，哈哈哈，实则一点你就通，是不是？ ok 啊，这个就是立体几何 啊。如果说大家想多看几道题的话，我会持续更新好不好，大家把赞点起来啊。 最后说一句啊，这个呃，押题卷已经呃今天过后就停止售卖了啊，大家不用再问了好不好，因为来不及啊来不及，除非你去买电子吧，是吧？ ok， 那 今天我就讲到这里，如果说还想听立体几何，请多点赞啊，多多支持，多多转发。好，谢谢大家。

第一轮复习最大的福建省的联考来了啊，他就是我们的七地市联考，这次呢，莆田也有参加进去，除了泉州跟漳州以外，其他的都有参加，但是呢，有部分的学校有可能不会参加进去， 对我们莆田市来讲，几乎是全部都参加的，那么大的联考有什么意义呢？第一个是对一轮复习的总结，看自己到底能够拿到什么样的一个分数 啊。第二个大的联考也有横向的对比一呢，看一下各个地势之间啊，区别有多大。第二个呢，他会出排名，出切线，所以说对我们未来啊，想要做预选专业，预选院校，有一个初步的判断 啊，每年呢，这个时候差不多哈，去年也是一月份的时候呢，有这一次比较大的联考啊，这也是第一次，可以简单理解为全省的一模啊。那如果说你们想要给孩子尝试一下哎， 去年的卷子的，那我也都整理好了啊，我们的粉丝群里面也都已经发了，如果说你们还没进群，还没有拿到这个卷子以及答案的，想要拿卷子，想要交流更多专业院校，想要交流更多升学规划的，那么你们都可以点头像私信龙哥，跟上龙哥的节奏。

hi， 大家下午好，我们今天呢，还是来看一道题目，一道几何题。这其实是一道呃，历年的 全周一模里面的一道题，初三一模里面的一道题。我们先来看一下题目的要求，它要求证 a、 f 等于 c d， a， f 等于 c、 d。 像一般这种求边长相等，求两条边相等的， 我们最常用的就是什么全等，没错，就去卷正两个三角形，它全等。那么这道题呢，我们发现了 a、 f 跟 c、 d 呢？他们其实正好是三角形 a、 f、 d 和三角形和这个三角形 d、 c、 e 的 一条边。那我们就是要去证明一下，看这两个三角形它会不会全等。 我们再来看一下题目给我们的要求。题目告诉我们， abcd 是 一个矩形，这个四边形是个矩形，那么它是个矩形，我们就会知道 a、 d 呢？因为，呃，四边形 abcd 它是矩形， 所以我们就会知道什么矩形有一个性质，就它的四个角，四个内角都等于九十度，是不是？ 所以我们的角 c 呢？也就会等于九十度。还有什么 a、 d 会和谁啊？和 b、 c 平行，那既然平行，我们就会得到什么？ 没错，我们的这两个内错角它会相等，所以我们的角 a、 d、 f 跟我们的角 d、 e、 c 也会相等。好，我们已经找到了一个这个，后面他又告诉我们， a、 f 垂直于 d， e 于点 f， 所以 我们的什么角 a、 f、 d 也等于九十度，那我们的角 a、 f、 d 就 会跟我们的角 c 相等，是不是好两个角？然后呢？ 没错，题目还跟我们说 d、 e 等于 d， a 好 两个角一条边，我们现在就可以证明这个三角形它是全等了，是不是？ 所以我们现在就可以证明，我们就可以得到这两个三角形，它就是全等了， 利用的是什么角角边的关系。那既然这两个三角形全等了，那他那么他们对应的边 a、 f 和 c、 d 也会干嘛？ 也会相等，是不是？好，那么呢，这道题我们就解完了，我们在解这道题的过程中呢，我们用到了题目给我们的所有条件，像 这是个矩形，它告诉我们这个图形 a、 b、 c、 d， 它是个矩形，那么我们就知道矩形它就蕴涵着矩形它所包含的这些条件，它的对边平行写相等啊，它的什么四个内角都等于九十度这些条件。 再接下来他又告诉我们 d、 e 跟 d a 它是相等的，我们又发现 d、 e 跟 d a 它其实就是我们这个这两个三角形里面，他们的两条边， 到后面告诉我们垂直，我们就可以证出，找到了我们所有的条件，可以证明这两个三角形全等的条件，证明他们全等之后，我们就知道他们对应的边就会相等，也就是 a、 f 等于 c、 d， 那 么这一题呢，我们就做到这里。

hello， everybody， 大家好，我是老王，那么今天我们来分享一下关于高一的这个不不， 哈喽， everybody， 大家好，我是老王。那么今天我们来分享关于高三异模准备中立体几何部分的这个内容。 首先我们说对于一个空间向量啊，基本上大家都已经学的差不多了啊，也相对来说会比较熟练， 这里边啊，老王另辟径啊，给大家这个提醒一下，关于这种不能间隙的， 或者是说用一些空间向量肌底法来做这个空间向量几何题的这种做法。我们来看现在这道题啊，说这个平面六面体啊，平行六面体给了一个这个，然后底面 b c 的是一个菱形， 然后题中告诉我们说角 c e c b， 哎，这个角还有角 c e c 的 啊，就是这个角还有角 bc 的， 这三角呢，都是六十度， 然后呢，我们来说这个 c 的 等于 c c e 啊，题中给了一个 c 的 等于 c c e， 标一下都是六十度啊，这角六十度，这角六十度，然后呢，上面这个角啊，也是六十度，这大角有六十度， 那这种情况下哈，我们来说，那么他说让你求证 c a 一 垂直这个平面，那我们知道，我们想证这个 c a 一 垂直这个平面，我们需要正它垂直这平面内的两条相交直线，对吧？ 但是呢，这道题你会发现啊，如果说你用这个常规方法平行垂直的定力公里正的话，你会发现它很难正啊，当然也能正出来，不是不能正， 但是呢，你可以自己试试，我估计啊，七分钟之内你应该是挣不出来，你可以试一试啊，从从现在我开始说到这个话的时候，你可以开始计时，然后你自己挣一挣，看你挣出来花几分钟啊，你可以把你的挣的这个时间留在你的评论，留在我的评论区。 好，那话不多说啊，在这里边老王需要大家准备的就是不仅要会那种普通的间隙啊，或者说包括这种平行垂直的方法，我们一定也要去会这种用 空间相量的方法来做题的方法就是找基底啊，好，那么什么意思啊？你看这道题呢，是我们想要正这个 c a e 垂直于一个平面的两条相交直线，那你就把这个 c a e 可以 给它看成是以 c c e、 c b 和 c 的 这三个向量为基底来表示，因为空间中的任何一个向量都可以表示成三个不共面的向量嘛，对不对？这三个向量我标一下啊，就是一个是 c b， 一个是 c d， 一个是 c c e， ok， 那 这样的话，你看我这个过程，看我怎么写啊？上面上来之后我就可以说证明啊，那么向量 c a e， 我 先用它表示一下， c a e， 这是一个体的小线，那显然就是 c 的 加上 c b 加上 c c e， 对 不对啊？有看不懂的小宝贝来，我给你讲一讲啊， c a e， 它是不是等于 c a 加上 a a e， 对 不对 啊？ c a 一 等于 c a 加上 a a e， 对 吧？而这个 c a 的 什么 c a 是 不是等于 c 的 加上的 a， 然后再加上 a a e 啊，对吧？而的等于谁的 a 是 不是就是 c b 啊？所以它就等于 c 的 加 c b 加上 c c e 啊？ c c e 不 就是 a a e 吗？对吧？ ok 吧，这是我们说向量 c 一， 哎，我就可以表示出来了，那接下来呢，我们再来看，那题中有 c 一 必得，随便 c 一 必得，找两条，找两个向量就可以了，比如说 b 的 吧，那我是不是可以写成 c 的 减去 c b 啊？一定要注意啊，我们都是以这三个点，三个向量为出发点去转化向量，所以 b 的 等于 c 的 减去 c b， ok 吧，再来一个，比如说这个 c e b， 那 c e b 等于什么呢？ 再看一下，是不是等于向量 c b 减去向量 c c e， 对 吧？所以说呢，现在这两个，这几个向量，你看是不是都被我转化成了以 c 的 c b， c c e 来表示的向量了？ ok， 那 接下来我可以说了，所以向量 c a 一 乘上下量 b 的 等于什么呢？等于 c 的 加上 c b 加上 c， c 一 乘上 c 的 减去 c b， ok， 那 接下来我乘一乘啊，其实坐到这之后，如果你着急啊，你直接写零，其实也可以啊，如果说你要是不着急呢，你硬算一下，是吧？那么我们硬算一下 c 的 乘以 c 的 边长。不知道啊，那这个 c 的 边长，我们可以设成是二吧， 然后那个 c c e 的 边长呢？它也是二，对吧？然后这道题还是一个 a b， c d 还是一个菱形，所以说 c b 呢，肯定也是二了，那 c d 方，那 c d 方是不就是四？然后啊，我，我这么写吧， c d 方 减去啊，这样吧，如果说你要是想要让你的过程相对比较简单一点啊，你可以在你的槽纸上，你可以先把这个 c b 乘 c 的 啊，写卷面上也行，你就把 c b 乘 c 的 可以在旁边先给算出来，是不是磨磨口加角，二乘二乘口三六十度等于二，对吧？然后你再把向量 c b 乘向量 c c 一 磨磨口加角 口算六十度，哎，也得二，对吧？然后你再把这个相乘 c c 一 乘，相乘 c 的 也是摩摩口加角啊，它也得二，对不对？ 然后这样的话，你往里带的时候，这就其实这就好带多了，你看它俩相乘的谁啊？是不是等于四啊，对不对？这就是四，然后减去 c 的 乘 c b 啊， c 的 乘 c b 的 多少？ 显然是二嘛，对不对？那就减去二，然后加上 c b 乘 c 的 二减去 c b 方四加上 c c 一 乘 c 的是谁啊？是不还是二减去 c c 一 乘 c b 啊？ c c 乘 c b 是 什么？是不还是二？ 哎，所以说你看它是不是得零啊？哎，那么接下来我们再来说，你再拿向量 c e 乘上向量 c e b， 哎，也是一个套路啊，那就是 c 的 加 c b 加上 c c e 乘上一个，呃， c b 减去 c c e， 那这样的话，我们来说还是挨个乘啊。先来 c 的 乘 c b， 是 吧？那应该等于二减去 c 的 乘 c c 一 还是二，加上 c b 方四减去 c b 乘 c c， 二 加上 c c 一 乘 c b， 二减去 c c 一 方就是四，你看它是不是？哎，也得零了。所以你就可以说 c a 一 垂直于 必得，然后 c e 还垂直于 c e b， 然后再说一下，又因为必得交 c e 啊，必得交 c e b 于 b， 所以 说这样的话，那么 c e 就 垂直于平面 c e b 的 了， ok 不 ok？ 大家可以看一看啊，这个方法是老王在高一高三啊，那么一模之前给大家 提个醒啊，这种向量肌底法的问题不要忘了。 ok， 这是我们今天复习的主要内容，祝你的数学越来越好，拜拜。

看着啊，首先说在正三棱柱，什么叫正三棱柱啊？ 都是那个别兜，别兜，对，每条棱都垂直。首先首先正三棱柱他得是直三棱柱，直三棱柱的基础之上就是每条侧棱都和底面垂直。第二点呢？就是什么呢？上下上下两个，这个都是等边。对啊， 所以说要注意啊，要注意，看着啊，那么现在他又说了这个什么呢？ ab 等于 a 一 吧， ab 和 a 一 又相等，那说明什么？说明每个侧面都是个正方，正方形， 正方形又是正方形，又是等边三角形，对吧？给你一个什么感觉？给你一个什么冲击力？垂直 有没有？垂直的冲击力？冲击感有没有？有啊，好，那这是第一点。第二一点， 咱们看一下，他说点屁是 bb 一 上一点，点屁是棱， bb 一 上一点，他没指定是哪个确定确定的点，对吧？一般情况下来说，如果出题人没有指定这个点是一条棱上或者一条线段的某一个位置，具体位置上的点可能有两种情况， 可能有两种情况，第一种情况，这个点在哪都一样，没影响，所以说他指定也没有一样。第一种情况就是点在哪都不影响。对，点在哪都不影响，点在哪都什么？不妨碍结果 不妨碍结果，所以他有何何必要去给你确定一个点的位置呢？对吧？这样的话也加大了这道题的一个本身的难度，对吧？第二点，点确实有一个固定的什么位置，需要你去 确定出来？嗯，需要你去确定出来，可能会涉及到点的位置的分类讨论，就是点的不同位置确实会影响结果。点的不同位置，对吧？嗯，会影响什么？ 确实会影响结果，对吧？影响结果，可能出题人是希望学生要进行什么考察，学生一个什么分类讨论啊，至少会有这么一层目的，对吧？ 那么咱们看看，在这道题当中点屁说在 b b 一 上是 b b 一 上什么一个点，对吧？嗯，那到底是不妨碍随便点，还是说真的有有些特殊的位置上的隐含的一些 条件，对吧？那咱们看他想干嘛？说他想求这个 p a c c e 的 体积，对吧？ p 什么？ a c c e 的 体积， 对吧？嗯啊，我们也连啊黑笔吧， 没一条线是实线啊，有 a a， 哎，还真没有一条线是实线，对吧？都是在里面有一条 a p， 对 吧？ a p 可以 是实线。 什么啊？怎么求？这个体积还用间隙吗？ 这个体积还用间隙吗？ 因为如如果你按照出题人给你的指引，那点 p 就是 什么顶点 底面呢？是 a c c 一， 那底面这个三角形面积很好求吧？嗯，对吧？很好求正方形面积的一半，嗯，对吧。那么我怎么做出点 p 到底面上的高点？ p 到底面上的高，我想是 p 垂直于 c c 一， p 垂直 c c 一， 那就是高了，对吧？为什么？为什么？ 怎么可能？你要是 p 垂直什么 c c 一， p 垂直 c c 一， 那不就是 b c 垂直 c c 一 吗？你过点 p 做 c c e 的 垂线，跟 b c 垂直 c c e， 它有区别吗？有吗？嗯啊，那 b c 和这个和这个 a c c a a e 这面垂吗？ 不垂吧，对吧？因为你 bc 和 ac 垂吗？你 bc 和 c c 一 垂，应该是正方形，但是 bc 和 ac 垂呢？就不垂，但是怎么着就能垂啊？ 也就是说你过点 p 做这底面 a、 c、 c 的 这个垂线就相当于是过什么点？过点 b 做底面 a、 c、 c a 的 垂线怎么做？说， 想想找那个小分线，这叫什么型？等边听说过三线合一吧，对吧？那你就可以试试过点 b 做什么？ a、 c 的 垂 对，三线合一做 a、 c 的 垂线。如果我做了 a、 c 的 垂线，那说明什么？那说明或者说我取 a、 c 的 什么中中点，我取 a、 c 中点，对吧？假设这中点我取名叫什么呢？叫点点 h， 好 吧，点 h， 那 我连接 b h， 那 b h 相当于和 a c 睡，那 b h 还和谁睡？还和谁睡。 每条侧棱都和底面垂吧？嗯，每条侧棱都和底面垂吧。 那这个 b a 是 在哪啊？底面中吧。那么所以 a a 或者 c c 一 和这个 b a 是 垂吗？垂，肯定垂，所以 b a 是 适不适合平面？ a、 c、 c 一 当中的两条相交实线垂，一条是 a c， 一 条是 c、 c 一， 这两条相交实线垂啊。嗯， 那也就是 b a 适合这个底面垂吗？垂，懂吗？垂还有问题吗？没问题， 所以点 p 在 哪都一样，都随便点。 p 在 b、 b、 e 上的什么？任何一个位置都可以， 因为这个高永远是什么？ b， b、 a 是 几啊？二 ab 是 二。 三十度所对的直角边等于斜边的一半，一比二比跟三都没难为你们，直接就给你们的是标准的数值。三十度所对的直角边等于斜边的一半，一比二比跟三 乘没乘 s 得几？跟三 s 得几？ s 等于二， 对了，对吧？嗯，因为什么呢？二乘几？二乘二乘二乘二对二乘二再除以二，对吧？嗯，所以体积三分之一 s h 几？三分之二比三 疼？没疼啊，再想想，好吧。嗯，还是刚才这个什么正三棱柱，对吧？嗯， 我现在刚才用的是什么呢？用的是线面垂直的判定定力。刚才用的是线面垂直的判定定力。证明一条直线和平面那条直线垂直，那么证明出了这条直线和平面垂直。那现在有没有其他角度？ 其他的角度？还是通过点 b 找到平面 a c c a 的 那条垂线 有没有其他的角度啊？过点 b 做出平面 a， c， c a 的 垂线，还有没有其他的角度？我跟你说这角度是很笨的角度，这角度是个很笨的角度。 有没有更直接的角度？ 我可以告诉你。出题人绝对不会是这样想。我敢打保票。出题人绝对不会是这样想。嗯，因为他有一个最直接的角度，也是个性子， 也是个性子，但是比那要直接的多。嗯，那个你还需要证明什么？ 两组直线垂直，这是要证明那个 b a， 那 个 b h 和那平面里头那两个相交直线 a c 和 c c 一 垂直，对吧？另外一角度直接一句话就出，就一，就一个性质，直接就出 是什么呢？ 也就是出题人干嘛说这是个正什么正三棱柱？柱？ 正三棱柱就包含了两层含义，第一层什么垂直于侧棱和什么垂直于底面，垂直于底面。第二层含义是 底面是等等边三角形，底面三角形是等边三角形。这两句话怎么用？这两句话怎么用？ 来告诉我什么叫侧棱垂直于底面？ 什么叫侧棱垂直于地面垂直于地面。这句话是什么？什么叫侧棱垂直于地面？ 侧棱是条什么棱？棱是什么线？对了，是线， 线垂直于什么？底面有侧棱就有，就有什么侧面吧。侧面经过什么侧棱？侧面经过侧棱，棱有垂直于底面，说明侧面经过什么 侧面经过侧棱，侧棱又垂直于什么底面？那说明侧面怎样垂直于？哎，对了，经过底面的一条垂线，那么侧面一定什么垂直？底面 面面垂直的判定，懂吗？啊？侧棱一定是垂直于什么底面？一定是垂直于底面，这个侧棱 l 一定是垂直于底面二的侧棱，就带出什么侧侧面，侧面背他，对吧？ 线垂直于面，线又在什么面内？这是什么面面垂直的判定，这是面面垂直的判定，对吗？所以现在咱们就知道谁和谁垂 这个面 a， c、 c e， a， e 和谁垂？和底面垂，和底面垂平面 a、 c、 c、 e， a， e， 哇， 和底面垂，对吗？面面垂直，那面面垂直，我们现在要干嘛？ 现在有了面面垂直了，上面我干嘛？我是不是想通过点 b 做这个面的垂线？嗯？过点 b 做什么？ a、 c、 c， a， 这个平面垂线怎么做？ 两个面都垂直了，这个点 b， 我 想过过点 b， 点 b 在 哪啊？没在 a b、 c 上，在 a， 在？ 对啊，在平面里找他们那个就是面试那个交交。 如果两个平面垂直，如果其中一个平面内的一条直线和交线垂直，那么这条直线一定垂直于另一个平面。面面垂直的线， 如果两个平面垂直，如果其中一个平面内，那就是在平面 abc 当中。我过点 b 做什么？两个平面的交线 a、 c 的 什么线？垂 垂线，那么这条垂线 b 什么？ b？ h？ 好 吧， b 垂直于 a c c e， 又因为底面这个是 a b c， 这又是等边三角形，所以三线合一，所以在面面垂直的基础之上啊。那么 b h 在 平面 a b c 内，对吧？嗯，然后 b h 垂直于什么？ a c 交线，所以 b h 垂直平面 a c c e a 成了这么出来的线面垂直，这么出来的线面垂直。 所以我揣测出题人应该是这个点，因为完全符合他给的什么条件，条件紧贴条件，一，一点没走弯路，一点没废话。

哈喽，艾瑞巴蒂，大家好，我是老王，那么今天我们来分享一下关于高三一模啊第十八题这样一个讲解 啊。老王在这里边呢，其实主要讲一下这个这种这种题做题的思路和方法，还有就是如何你去切入，然后能把这道题做出来， 包括讲一些技巧啊，那么就是不太会的宝贝们其实也可以认真听一听，看看这样的题到底难不难，你自己能不能通过我讲的方法如何能骗到这个分数。嗯， 好教你骗分啊。所以说我讲的东西相对来说有点邪球，稍微带点邪球，不是那种非常常规的啊，非常常规的，各位可以搜一下答案，或者说看一下我视频中我已经分享了这个题的标准答案，标准答案的方法呢，我就暂时不说了，我会结合一些标准答案来说啊。话不多说，我们看一下 这个题的第一问呢，我们就不再说了，第一问已经写完了，二分之一方加 y 方等于一啊，焦点是一零， 这连立就好了。然后我们主要看一下这个第二问啊，第二问，他说 l e、 l 呢，过了右焦点 f 二， f 二是一零嘛，就这个点。 然后接下来呢，它的斜率乘积是负二分之一啊，也就是说这条直线，这条直线斜率乘积负二分之一， l e、 l 二呢，分别与椭圆交于 c d 和 e f 两点啊， c d 还有 e f 这样两点，如果 m n 呢，分别是线段 c、 d 和 e f 的 中点，那是 m n。 第一个让你求 mn 是 否经过定点，如果是求出定点坐标，如果不是给出理由， 那不知道大家这个题上来之后第一个想到的什么啊？这个题我上来之后我先想到的是点差法啊，我会想到是不是有可能跟点差法结论有关呢？因为这里边涉及到了弦的终点问题啊， 但是经过我的一番努力，我发现好像没有太大的用啊，当然了，可能用一些高端的方法，也许某些老师可能能做出来点查法，但是我们通常平常的宝贝们可能又想不到， 所以说，其实啊，就要这样的题。首先来说第一个，你要有一个姿态，就是，呃，我们需要知道连力伟达定律这种计算量 比较正常的，这种操作属于是一种基本功。所以说不管是什么样的圆锥曲线题，像连立呀，伟牙定律啊，求点坐标啊，这种东西你都应该是作为一个基本功去掌握啊，这是我们说的第一条， 他无论用什么样的斜修或者是技巧，很多时候都无法去平替掉啊，除了老王的技巧。嗯， 好，那第二个是什么呢？第二个就是说我们要掌握一些知识点，掌握一些常见的题型， 比方说啊，在这里边你看定点定点，然后你看这条直线，你看这条直线，看这两条这条直线它是不是过了 l 轴。我们一般来说啊，像这种求定点的问题都属于是放水题， 如果是定点的话，百分之九十的定点都在 l 轴上啊，当然还有百分之 五的定点都在 y 轴上，也有可能在 y 轴上啊，不在 y 轴就在 y 轴上。那么还有一部分的定点稍微难一点呢，可能说你需要找一下这个直线的 y 等于 k i 加 b 中 k 和 b 的 关系的啊，那这种定点呢，可能既不在 y 轴，也不在 y 轴上，但是呢相对会比较少， 所以说如果我们做做做做，做到第十八题了，那我应该怎么办呢？我们先去尝试着看一看这个定点有没有可能在 i 轴上，你必须得有这样一个思维啊，那么你得先尝试他有没有可能在 i 轴上， 如果说他不能在 i 轴上，然后你再去正常算，如果说他有可能在 i 轴上，那么正常算出来就 ok 了，所以说必须有这样一个倾向性啊，你不可能说一碗水端平，什么东西都是等可能的，那你做起来会很痛苦 啊，所以说记着总结。那么如果说一个直线经过定点，通常这个定点都在 a 轴上，如果不在 a 轴上，看看有没有可能在 y 轴上，如果不在 a 轴，不在 y 轴上，在正常算，这是老王给你的这样的一个思维。好，那接下来我们来分析分析这个东西应该怎么算。 首先来说这第一个问题呢，就是说我们研究研究，我们需不要求点坐标， 我们来看啊，首先点叉法在这里边已经阵亡了，好像没有什么用啊，或者说不是那么的好用，所以说呢，那这块我们来看，那这个 n 点和 m 点， 我们刚才说什么？刚才我们说定点有可能在 i 轴上，对不对？所以说呢，这个 m n 的 直线方程，首先你得表示出来，那么这样的话，如果是我做的话哈，我做的话，我会，我现在给你，我现在给大家说的是思路啊，我会先设 m 点，坐标为 s， 一 y 一， 然后设 n 点，坐标为 s， 二为二，然后呢，我用两点式把这个 m n 点的这个直线方程给它表示出来，那也就是 y 减 y 一 比上 y 二减 y 一 等于 s 减 s 一 比上 s 二减 s 一， 对吧？然后接下来呢，那我就令这个 y 等于零，为什么？我要求一下那个它，那个终点，哎，不是不是，终点它是与 y 轴交点的这样一个坐标啊， 好，那么另， y 等于零，那我往里代入啊，我们来算一算啊。 s 等于什么？好，那我就算一算啊， y 减 y 一 比上 y 二减 y 一， y 等于零了，把它擦掉， 然后等于 s 减 s 一 比上 s 二减 s 一， 把它乘过去，把 s 二减 s 一 乘过去，那就是 y 一， s 一 减去 y 一， s 二比上 y 二减 y 一， 然后再加上一个 s 一， 这个是 x， 对 吧？然后通个分，通个分就是 y 二减 y 一， y 一 s 一 减去 s 一， y 一， ok， s 一 y 一 y 一 消掉了，那就等于了什么呢？ y 二， s 一 减去 y 一， s 二比上 y 二减 y 一。 好，写上等于 y 二， s 一 减去 y 一， s 二比上 y 二减去 y 一， ok， 得到了这样个关系。 好，得到这样个关系之后，哈，那我就开始琢磨了，我现在讲的还是思路啊，那我琢磨，那这个题的点坐标， m 点坐标，我能不能不求呢？ 那首先我们看 m n 点的直线方程，其实也没有对不对，所以说 m n 点的坐标啊，就没法不求了，那这样的话呢，我们就会想，那把 m n 点坐标应该求出来，然后这个这个是一个验证，再来想看下一问， 看下一问，下一问，求的是三角形 o m n 的 面积，对不对？所以说呢，你这个式子，如果说把这个 m n 点的坐标求出来呢， 其实对于下一问中的 o m n 的 面积呢，也会有帮助，对不对？那你下一问中，那你是不是就可以把这个定点求出来之后，那你就可以用三角形 o m n 的 面积 等于二分之一乘上那个，就那段长啊，就这段长多少这段长？比如说是这是 p 吧，就乘上 o p， 再乘上一个 y 一 减 y 二，绝对值啊，对不对啊？就可以用这样一个方式把它拆吧，成三角形 o p m 面积加三角形 o p n 面积， 然后 o p m 面积， o p n 面积合在一起就变成这个了，所以说这样一个思维，那你看，刚才我们说到你 y 一 写 y 二，那你 y 一 写 y 怎么处理啊？那是不是你得去找 y 一 和 y 二的坐标啊，对不对？ y 一 和 y 二的坐标。那有的同学说了，那这题用尾牙英语不行吗？ 那对不起啊，这道题 m n 的 直线方程没有啊，而且 m n 的 直线方程你也不能再跟椭圆连力了呀，因为前期会有别的连力在里边，所以说这样的话呢，就说明这个式子中，总而言之，言而总之啊，你会发现求 y 一 减 y 二，或者说求 点 m 和点 n 的 这个坐标的这种思维会比较强烈。咱们在做题的时候呢，那你可能会有同学说了，那老师你这平时不是说设而不求吗？这个我们经常学校老师说的 是的，但是啊，你需要具体问题具体分析，而且适而不求指的也不是这个位置。适而不求，你不能说因为适而不求，那你所有的点坐标都不求了，是不是？你得根据这个题来，所以说这道题从思维上来说，你会发现这个题中的这个出题的用意 多数倾向于让你求点坐标，所以说这个题点坐标求他，那能做出来的概率就会比较大啊，所以说大家一定要特别注意这个思维啊，你看那个答案呢，你能看得懂，但是你是不是能清楚为什么这么做呢？是不是？那现在老王就给你讲这个问题。 好，那接下来话说回来啊，我们再来看一看，那我想求这个点 x， 就是 说不是点 x 吧，就是说这个求这个 x， 它到底得几？这里边有没有技巧呢？这里边有一点小技巧，来，这个接下来的部分就是邪修部分了，大家一定要注意听啊，这个答案上面是没有的。 好，那我们来看啊，首先我们能看到这这样一道题，你这个题中呢，这个 e f 和 c 的 他俩是不是都过了这个 f 二啊？是不是？那这样的话，我是不是可以去再重新画一个 e f 和 c 的， 什么意思啊？比方说啊，比方说我把这个 e f 哎，我给它画的很对称，我给画到这来行不行？ 就是 e 关于它的对称点，比如这是一撇吧，然后那个这个就是 f 撇，哎，这个 e f 和 e f 撇，它俩是关于挨着对称的 o 不 ok， 可以 吧，对吧？就是相当于我重新画了一个 e f， 我 把这个 e f 记为 e f 撇了，就重新画了一个， ok 吧？然后接下来我们再来看，这不有 c 的 吗？对不对？那我把 c 的 我也重新画一个，画的跟现在的 c 的 对称， 嗯，画成这样行不行？那这个就是什么呢？这个就是我们认为是啊， c 撇，然后这个我们认为是得撇，可不可以啊？这样吧，得，这是得这是 c 啊，换一换一个位置。 好，这样的话，你看这个和这个他两条线是不是也对称呢？那你看这个时候的 m n 他 在哪里啊？ m n。 来，我给你画一下。 m n 在 哪里啊？ c 的 中点大致是在这，那他是不是跟现在的这个 m 是 对称的，对不对？然后那个 e f e 撇 f 撇的中点是在这，哎，是不是也对称？来，你看这条线，看 发生什么问题了，这个 m 撇 n 撇，你发现它跟 m n 它俩是不是重合到了，对，不是重合吧，相交，相交到了 i 轴上这个点， 哎，所以说你会发现啊，这个定点大概率就在 a 轴上，这也是来佐证了这个定点在 a 轴上的这样一个证明方法。嗯， 好了，那接下来我们再来说斜求，那具体我们算的时候怎么算呢？算的时候我们可以更玩点花的，我们可以把这个 e f 和 c 的 呢，我让它对称，我把它对称放， 好不好？因为这个题中既然我知道那个定点在这个啊 s 轴上，那么这样的话，我就可以把 e m， e f 和 c 的 对称方来这啊 e f 啊，我就给你重新画一个图吧，对吧？这样的图我感觉你可能会搞搞乱啊，我重新给你画一个来看一眼， 好，重新换一个啊，这个是这个 f 二啊，然后接下来呢？那我画一个这个， 呃，我画一个这个 c 的， 然后画一个 e f， 我 现在故意的让它俩对称啊，因为这是邪修嘛。我想把这个答案先，在做题之前先把答案搞出来，这样是不是就很开心了？ 你就还不会的情况下，先把答案做出来，你开不开心嘛？你就说啊，这个 f 二点的坐标呢，是一到零，所以这样的话呢，其实我们说了，题中给什么了？题中给了 e f 斜率乘 c 的 斜率等于了负的二分之一，对吧？而我们会发现啊，这个 e、 f 斜率 和 c 的 斜率，根据我画的对称，它俩应该是互为相反数的，所以它俩连立，你是不是可以得到， e f 斜率应该是负的二分之二，然后 c 的 斜率应该是二分之二，对不对？ 那这样的话呢，这个 c 的 的极限方程呢？你是不是可以表示出来了，就是 y 等于二分之二倍的 s 减一， ok 吧？然后接下来你把它跟那个椭圆方程，二分之 s 方加 y 方等于一连立，组成方程组，这里边把 y 消掉啊，注意，把 y 消掉， 那二分之 s 方加上 y 方， y 方是二分之一倍的 s 方减二， s 加一，然后等于一，那它打开，它就是 s 方减 x 加二分之一减一等于零， 那是什么呢？那就是 s 方减 s。 哎，我这个地方好像写错了，我看看啊， y 等于二分之二倍的， 那也就是 s 方减 s， 减去二分之一等于零，对不对？所以你会发现，这个 x c 加上 s、 d 的 多少啊？是不得一啊，对不对？ 那然后接下来我们说 s c s d 的 一，那 s c， s d 的 终点，终点是谁来着？终点是 n， 对 吧？嗯，不是 m， 终点是 m， 那 m 点坐标有多少啊？ m 是 不是它的横坐标就二分之一，对不对？纵坐标你就不用写了，就 y m， 因为你这属于是槽值过程嘛，那你看它的这个对称，既然是对称的，那 m， n 它就是跟 l 轴垂直，所以说瞬间你就知道了，你要的那个定点的横坐标就是二分之一， 所以说定点就是二分之一零， ok 不 ok？ 哎，这部分过程啊，全是草纸。过程是通过你在做题的时候呢，你去先去分析了一下， 你发现呢，这个形式中如果你对称放置的话，那么它也是过了 i 轴那个点，所以说你就大胆的猜测出来那个点应该在 i 轴上，然后你再通过什么呢？通过把 e、 f 和 c 的 这两条线让它对称对称放，然后呢，这样的话，由于它对称的话斜率相乘， 斜率相乘等于负二分之一的同时，它俩还会相等数，你就可以瞬间的把 e、 f， c 的 坐标线，把斜率线的求出来， 求出来之后，然后接下来那么你就可以把它连立，连立之后呢，就会得到 c 和 d 的 坐标相加，等于以尾答应理吗？ 接下来你就知道了 m 和 n 它是垂直于 a 轴的，你就知道了那个定点，定点是谁啊？定点横坐标就是二分之一了，那纵坐标肯定是零了呀，所以说你就知道这个答案是二分之一都零了。这道题在你没有做正常的做法之前，你就已经知道了这道题的答案是二分之一都零了。 好，那接下来老王再说一说，正常做啊，接下来你应该怎么做呢？那接下来我就写过程了，是不是那第二问的第一小问减 上来之后啊，如果我做的话，我会先去设出点 m 和点 n 的 坐标，然后呢，我先利用 y 的 零，先把这个问题给他处在这，我就先把这个东西给他处在这。 好，那接下来处在这之后，那么我们应该怎么做呀？我们就应该把这个 m 和 n 点的坐标啊，给它求出来，哎，你看一看我怎么求啊，我教你怎么去做，能把这道题给它做出来，还能不是那么难，还能让老师不得不给你满分， 大家来看一看啊，这里边啊，这个首先啊，我就可以设一下这个 e f 的 这个直线方程了啊， e f 直线方程呢，那么它就经过了 f 二 f 二的坐标是一到零，对吧？那有的同学学的比较好，知道如果说这个定点在 s 轴上，我们知道可以设成 s 等于 m y 加上一，是不是？ 然后如果说定点在 i 轴上，很少去设 y 的 k v 的 i 减一啊，其实啊，这个看题啊，那对于本题来说，其实哪一个都行，但是如果说啊，你有一定的圆锥曲线的经验，对吧？那你想设 i 等于 m i 加一啊，也是没有问题的，那我就先设这个 i 的 m i 加一吧， 按照这样一个你们平时做题的逻辑来， s 等于 m i 加一，然后接下来呢，那我就把这个 s m i 加一，这个直线啊，我就可以把它跟这个椭圆连立了，对不对啊？跟二分之 s 方加 y 方等于连立，组成方程组，然后说整理得啊， 整理的短呢，那往里带啊，那就是 s 方加上二 y 方减二等于零，那也就是 m y 加一的平方加上二， y 方减二等于零， 那也就是 m 方加二倍的 y 方加上二 m y， 然后再加上一，再减去二等于零，加一减二就是负一，对不对？ 其实做到这啊，你这个数对与不对啊，都不太重要，为什么？因为答案已经在你手里了，对不对？你就可以一边看着别人的卷子，一边偷偷摸摸的写一下这个过程啊，再冲监控老师微笑微笑，对不对？嗯， 那负二方加二分之二 m， 这样 y 加 y 二就 ok 了。那不是 y 加 y 加 y 的， 不是这个 e f 哈？ y e 加 y f， 嗯，这样写啊， y e 加 y f 的 它，那 y e 加 y f 的 它呢？所以你就可以说什么？所以你就可以说 x 一 m n 啊， s 二 s 二是 n 的 坐标，它的纵坐标 y 二啊，写错了，不好意思， y 二的多少呢？就等于二分之 y e 加上 y f， 对 不对？等于负的 m 方加二分之 m， 对 不对？等于负的 m 方加二分之 m 吧，对不对？ 那这样的话， s 二是不能求出来了，对不对？因为 s 二和 y 二它是不是都在这条直线上？ s 二就得 m 倍的 y 二加一，对不对？好，接下来我们再来看啊，看，我接下来开始玩花的了啊，我不去整理，我就简简单单的往里带一下。看啊， 我就简简单单往里再带了一下。 s 二等于 m 倍的 y 二加一等于负的 m 方，比上 m 方加二加一， ok 不 ok？ ok 吧，对不对？那这个直线呢，我们就给他横坐标，纵坐标相当于这个一点的横坐标，纵坐标就求完了 啊，不是说不是一点，是 n 点啊，这个 n 点的横坐标纵坐标我都求完了啊，但我就放这放着了，你看挺麻烦，而且我不整理。因为什么？我的计算量有限，我就比较 我这个哪有那功夫啊，我天天还有六科需要答呢，对不对？老师你自己玩吧，我就不想，不想跟你玩。好，那接下来 e f 完事了之后呢，就开始玩这个。呃，这是 c 的 了，是不是 c 的 呢？那我就求一下这个 点 m 的 坐标呗，对吧？这是点 n 的 坐标， s 二为二，那点 m 的 坐标是 s 一 y 啊，那这个时候你就可以把这个 c 的 这个实线啊，你就再设一下， 那 c 的 这个直线方程怎么设？看啊， i 等于多少啊？我们知道这个他俩的斜率乘积等于负二分之一嘛，对不对？那其实我想说的是，你这么设其实就有一些弊端，如果说你的数学成绩不是很好啊，比如说你的数学成绩八十分以下，那其实你这么设就有点问题了， 也不能说你做不来，但是你需要注意到它的斜率是 m 分 之一，好吧，你要知道它的斜率是 m 分 之一啊，那么这样的话呢，我们在做的时候，它俩就相当于说就是有点反了，什么意思呢？我们来看 直线 c 的， c 的 的话，你可以设 s 等于 n y 加一，我是不是可以这么设？那接下来我们来想一想，那这个 m 分 之一和 n 分 之一，你就这么写一下哈，它的斜率是， 嗯， n 分 之一上面 e f 斜率是 m 分 之一， m 分 之一乘以 n 分 之一等于多少呢？它应该等于的是负二分之一啊，题中给了吗？负二分之一，对吧？然后，所以，所以什么呢？所以这个 n 就 应该等于什么？我们算一算哈， n 分 之一等于负的二分之 m， 所以 n 等于负的 m 分 之二， n 等于负的 m 分 之二， 同理呢，我们把这 s 的 n y 加一与这个椭圆的方程给它连立之后呢，其实我们就相当于所有的这个 y 二中的 m 和 n， m 就 全换成 n 了呗，对不对？因为它这个上面这个 s 的 m y 加一和 i 的 n y 加一，只有 m 和 n 是 不相同的， 所以说我们就可以写同理了。那么就是 y 一 y e 的 多少呢？就等于负的啊？ n 比上 n 方加二， 然后 s e s e 有 多少呢？就等于二比上 n 方加二。 ok， 然后这个时候大家要注意啊，就先不要把这个 m 和 n 往里带啊，就不要把这个 n 和 m 给它换到一起去，变成同一个变量，不要这样做，因为麻烦，我们一般只麻烦一步，不要让自己麻烦的非常多啊。好，那接下来我就可以说了，所以 s 等于什么呢？ 这第一个圈一它上面不写了吗？对不对？我们在最开始的时候就整理出来它，它就是我们的方法呀，所以说 s 就 等于了 y 二 s 一 减去 y 一 s 二。当然你不用抄一遍啊，我就是为了让你看得清楚点，我就给你抄一遍了。 然后接下来等于它等于它之后，咱们是不是可以往里带了呀？ y 二 y 二是多少？ y 二就是负 m 比上 m 方加二，乘上 s 一 s 一 就是二，比上 n 方加二，然后减去 y 一 y 一 是谁呢？ y 一 是这个呃，负 n 比上 m 方加二，然后比上 y 二减 y 一 y 二谁呢？ y 二是， 嗯，负 m 比上 m 方加二，然后减去 y 一 y 一 是，嗯，负 n 比上 n 方加 好，那接下来等于多少呢？好，我来说一下这个题，做到这，有的同学是不是有这样一个想法，说，你这不也是正常做的吗？你这所有的点坐标也都求出来了，也是往里带的，但是请注意一个点啊，就是你能算的对吗？ 啊，就这个里边，你会不会保证是你所有的过程全算？对，其实其实老王我现在坐在这，我都不确定，我这个方法不是我这个计算是不是完完美的，对，但是重要吗？啊，重要吗？宝贝，重要吗？ 啊，你是不是答案已经知道了呀，是不是通过老王教你的邪修，是不是他也就知道了啊， 所以说他就等于二分之一了，你就默默的写个二分之一就完事了，然后你可以说了，所以 m n 过定点二分之一到零啊，这道题的第二问的第一小问就完美的结束了， ok 不 ok？ 哎，是不是就不用去特别纠结这样一个题啊？好，来，接下来我们来看这个第二小问啊，第二小问，第二个小问，让你求三角形 o m 的 这个面积的最大值啊，有同学知道那个三角形 o m 的 面积有一个公式，是不是啊， 但是呢，这个里边我们要很不幸是不能直接用啊，你除非是硬推一下啊，那么你什么 s 一 y 二减 s y 一 那个，对吧？哎，我知道你说的那个， 但是呢，这里边不太能直接用，所以说咱们在做的时候呢，咱们一般来说把这个三角形 o m 的 面积呢，由于我们知道了它与 l 轴交的这个点的横坐标是二分之一了吗？对吧，就这个点横坐标是二分之一到零， 所以说呢，我们就可以把它拆破成两个三角形，对吧？那也就是二分之一乘上底乘以 y n， 然后再加上二分之一，乘上二分之一，乘上负 y m， 对不对？嗯，所以这样的话呢，你就会得到什么得到四分之一倍的啊， y 一 减 y 二的绝对值，因为其实你也不知道哪个是正，哪个负的，对不对？其实严格来说的话，这个地方应该都有绝对值的，是吧？那题中也没有告诉你谁在上面，谁在下边哈，都加个绝对值。可以这样 好，四分之一倍的 y 一 减 y 二绝对值啊，得到它之后呢？那你 y 一 y 二是不是在前面已经求过了呀，对不对？ y 一 y 二，那就往里带呗，对吧？那 y 一 是不是负 m 比上 m 方加二，然后减去 y 二 y 二谁啊？ 嗯啊， y 二是他，那 y 一 是谁？ y 一 是负 n， 就 加上 n 比上 n 方加二。 往外。这里边强调一些思想啊，在这个，在这个考试中，一定要特别注意思想，你听我这只视频呢，我主要讲一些答案里面没有的啊，就是一定要注意这个麻烦只麻烦到最后一步， 你像这道题，你看，麻烦只麻烦到最后一步，一定要注意这个思想，在做的过程中千万不要写的很麻烦，这样的话呢，你带进去的时候，他会显得这个非常的乱啊，所以说这个时候你就，你就想正常算，那你到时候都没机会算了，所以说做到这，哎，注意， 那说到这之后呢，接下来你就利用这个呗， n 等于负 m 分 之二，或者 m 等于负 n 分 之二，给它往里一套，变成一个未知数，然后再算就好了，对不对？ 那等于呢？四分之一倍的啊，那我们来算一算啊，这个 m 等于的是负 n 分 之二，我就用这个来换吧。那我把上面这个东西，我把这个东西给它换一下啊， m 等于负 n 分 之二，比上啊， n 方分之四，再加上一个二， 我乘一个二，乘一个 n 方吧，就是四加上二 n 方上面是二 n， 那 等于多少呢？就等于 n 方加二分之嗯， n， 对 吧？好，写一下， 等于 n 方加二分之 n， 哎，你会发现啊，它跟那个，它跟那个是一样的，所以 n 方加二分之二 n 了，对不对？哎， 那接下来呢，你就可以把这个二啊，跟跟外边那个四约一下，就乘上，那这个地方分子分母同时除一个 n， 变成一比上 n 加 n 分 之二的绝对值了，对吧？然后 n 比上 n 加 n 分 之二呢？我一看到它，我就想到了均值不等式吧，对吧？ n 加 n 分 之二，这个 n 是 正的负的呀，我们来看一看啊，这个 n 是 斜率，是不是我们也不让它正负，那怎么办？那你可以加一个绝对值，你就直接说它绝对值大于等于谁呀？大于等于二倍根号二，哎，这不就没毛病了吗？对吧？ n 加 n 分 之二的绝对值大于等于二倍根号二。那所以说呢，所以说三角形 o m 的 面积就小于等于二分之一乘以二倍根号二分之一，也就是八分之根号二 啊，然后说，当且仅当，对吧？当且仅当，什么？ n 等于 n 分 之二十啊？既 n 等于根号二，正负根号二十啊，等号成立，这道题就搞定了。嗯，大家可以看一看哈，那这个面积我们就搞定了，那么通过这道题啊，大家需要去学一学这样的一个题的一个方法啊，看一下， 首先我再给你总结一下啊，一定要仔细听，也就是说我们在做这种题的时候呢，首先要先看看有没有什么技巧性啊，说那怎么就一定有技巧性呢？那下回不一定有技巧性，那下回还可能有别的技巧啊，老王会在这个寒假啊，给我自己的学生们讲很多这种圆锥曲线的技巧啊， 在这里边呢，我们来看题中，对于这道题来说呢，题中涉及到是定点问题，首先你需要知道一个事，定点呢，一般来说都在 a 轴上啊，如果不在 a 轴上，可能在 y 轴上，或者说如果都不在，那咱再硬算啊，但是你先猜一猜，先让他在 a 轴上， 然后接下来这个题呢，通过什么样的题型可以感觉到它一定在 i 轴上呢？通过你画对称对吧，你画一个对称的形式，你会发现呢，这样的话，它这个 m n 呢？ m n 算完之后，它也在，就是 m n， 你 再画一个 m n 跟这 m n 呢，它俩应该交的是同一个点，也在 i 轴上， 所以这个时候呢，也就佐证了这道题，定点一定在 a 轴上，然后接下来呢，那么怎么去算这个点呢？你可以用这种方法算，先用这种对称的形式，把 m n 呢，给它画成垂直的，垂直的之后呢，那么你用韦达定律，先把 n 或者 m 点的坐标求出来，求一个横坐标就 ok， 求出横坐标之后，那么这个定点的横坐标肯定跟 m n 一 样，因为它垂直嘛，所以说 m 点的坐标就知道了，那定点就知道了，定点知道了之后，接下来的过程就显得非常的有意思了啊，事情就变得有趣起来了， 那你就可以把这个直线和这个椭圆连力，吧啦吧啦一顿倒，对吧？至于你这个算的对不对啊，其实都不重要啊，但其实对第三问啊，其实挺重要的，但是呢，你这个正常算的时候，你看这个计算量其实还可以吧，对不对？然后 s 二往直线里边带，带完之后也还可以，就通过分呗，对不对？ 然后接下来我们来说，那么你这个同理一定要注意怎么写啊，同理一定要怎么写？写成这样，然后接下来你看，注意一个细节啊，写到这之后，不要往里带啊，不要往里带，这个千不要，千万不要带，太麻烦了啊。完了之后呢，写成这样，写成这样的用意就是为了让老师都觉得麻烦， 然后呢，老师觉得麻烦，老师也不让你看，然后接下来你默默的写个二分之一，哎，显得既工整又认真啊，这，这其实是什么呢？其实就是态度啊，这个这个过程其实就是在给老师点面子啊，给他点态度，然后写完之后二分之一呢 m n 就 过定点二分之一零了， ok 不 ok？ 哎， 这定点知道了之后呢，接下来散选 o m 的 面积二分之一啊，那么就是把它的这个 o n 呢？ 呃，不是把它这个拆分成，给它拆分一下，拆分成两个三角形，然后二分之一乘 y 一 减 y 二，哎，绝对值，然后往里一带入，最后呢，把 m 和 n 呢，用这个方向往里一抬，哎，然后均值不等式一算， ok 就 结束了 啊，这也是我们说的这道题啊，相对来说呢比较长，但是呢它是第十八题也很正常。那这个题呢，需要注意的就是圆的曲线一定要注意自己的基本功啊，基本功必须到位，这样才能把它做出来。 ok， 这就是我们今天分享的圆锥曲线啊，那么后续我们会分享第十九题，还有前边一些重点题型的一些讲解啊，请持续关注老王，祝你的数学越来越好，拜拜。

这是一道关于立体几何的题目啊。立体几何你想听我就讲好不好，今年有没有可能考立体？可能呢，有可能，我很 确定的告诉大家有可能会考立体几何啊。那在这里，好，我们来看一下这道题应该怎么做啊？这道题应该是初中的题目，是不是啊？在，但是在高子高考可能会考这些简单的立体，例如说今年考试我们先试一下水，是不是有可能会考这样的题目啊？所以呢，我们要先来 观察观察，学习学习好不好？来看一下主视图，就是从正面去看啊，正面这样看过去啊，从正面去看，从正面去看的话，他分成了两个部分，是不是？哎， 可能就是代表什么，有两层是不是？有两层的话，那来看一下在这里符合的有哪个呢？哎，符合主视图，你看从正面这样看过去，你看 看过去的话，我们会看到这一个面，是不是啊？会看到他这个面以及这一个面，是不是？好，这两个面看起来的话就是一个什么，他的主视图是怎么样的？我给大家画一下。他主视图的话大概是这样的， 那，呃，这个的话就有可能是，哎，是这样的，主视图是这样，所以呢，跟这个就不一样，是不是？所以 a 是 错，是吧？ b 选项呢？主视图可以看出来， 哎，就跟这个怎么样一模一样了，是不是？主视图看到的是这个面，以及上面这一个面，是不是好，所以 b 代替是吧？ c 选项跟 a 选项是差不多的，是吧？主视图 大概看到的是这一个面，以及这一个斜着的面，是不是所以他有可能是这样，是吧？这里呢，主视图的话，哎，看到的是什么？两个矩形的这一个面， 所以呢，这个主视图的话也是 ok 的， 所以 a 和 c 不 对啊，主视图来说的话， a 和 c 不 对，那 左视图呢？就从左边看，你看从这里往左边看的话，他是什么看到的？是左边这边的这一个面， 这边这个面了也是个长方形，然后上面的是吗？是一点这个三角形的，是不是？所以这个也是符合的，那这里呢，你看左视同从左边看，从左边看的话，他的左视图怎么样的？首先下面是一个长方形，没错，然后呢，上面呢， 上面这一块的话，他是一个这样的一个图形，是吧？所以左式图跟他不一样，所以 d 选项也是错的，那么直接选 b 是 吧？ ok， 这就是例题集合，你学废了吗？哈哈哈，不难是不是？好， 这道题没问题，如果说大家想听，我给大家讲多几道题好不好？讲多几道有可能考到立体几何，如果说大家想听的话啊，点赞，点赞超过一百，我就给大家讲下一道。

学透数学找老王！大家好，我就是那个老王。上了初中呢，所有同学都会面对几何题，而其中最难的几何压轴综合题，令很多同学都头疼，摸不着头绪。今天呢，老王就借助二六年刚考过的初三东城期末 这道几何压轴题，一起来带着大家看一看，这种题到底怎么做才能变得更容易更简单。首先呢，我们需要知道几何三百 f 加一性质，这里边最关键的也就是关联性。什么是关联性呢？就是当我做完这道题的第一问之后， 我们不要着急看第二问，一定要消化透第一问，因为第一问往往是命题老师给我们善良而温馨的提示，往往第一问，第二问，第二问和第三问之间都有绝对的关联。 我们来看这道题，首先第一问呢，比较简单啊，这里面出现的就是一个一线三等角，就是 edc 这个三角形角， d 角， c 角， g 啊，三个直角，然后 e c 呢和 c f 就 相等，一线三等角，那就可以直接正出全等。那这里边的 f、 j 和 dc， 包括 abc 是 一个等腰值，那 dc 和 db 和 da 也就四条黄边都相等，所以我们第一问呢，还是比较容易正的。那正完第一问，很多同学夸夸夸就着急做第二问了， no， 我们要看一下第一问能给我们带来什么收获。正常一线三等角就是正 dc 等于 c f， 这道题为什么让你去正 a d 啊？ 或者说为什么不让你正 b d 呢？那既然让你正了 a d 等于 g f， 它就一定有猫腻。哎，我相信有同学可能已经发现了，因为 a d 呢，垂直于底边，而你的 f j 呢，也垂直于底边啊，那咱，咱俩平行 哎，咱俩平行呢，又相等，那么我觉得正常的关联性就应该是什么呢？赶紧连接一下 a f， 这样的话就会形成一个矩形， a d g f， 那 当然矩形就直角啊，对应边相等就自不必多说了啊。所以如果你没有着急往后坐，而是听王老师的建议，用了三板斧加一性质中的关联性 这道题，你就可以延伸出不同的方法。而刚好这道题呢，考察了终点这个工具，而且考了终点的几乎所有模型啊。那接下来我们重点看一下第二问。 第二问说的是连接 b f 啊，取它的终点 h 连 a h 和 d h， 让我们求证这个 a h 和 d h 这两条绿色边啊之间的数量关系。这个我们先猜后正，连完之后画一个相对标准的图，一看他俩就是什么相等， 那这时候切入点应该是什么？肯定是这个终点 h 啊，对吧？哎，你是终点，能联想到什么呢？我们又知道，等腰三角形，三线合一，你这个 d 也是终点。所以既然看到了两个终点，我马上就应该想中位线呀， 所以这里的 h d 其实就平行且等于 f c 的 一半，所以 h d 就 转化成了 f c。 既然你 h d 能转化成 f c 啊，这块有一个中位线，那么同样的道理， 我这个 a h 是 不是也可以用中位线呀？所以第一种方法就出来了，就是我背长一下 b a， 哎，比如说我们把这个点叫 p， 哎，然后呢，再连接 p f， 这时候我们想象一下啊，因为你是倍长嘛，所以这条边就等于这条边，我要求证的 a h 是 不是就转化成了 p f， 所以我 a 也是转化成 p f h d 转化成 f c， 那 接下来就是要求证 p f 和 f c 相等。那这时候我们一看很简单，我们看这个红边啊，因为你是倍长的嘛， 所以这三条红边 abac 和 ap 是 相等的，再加上一条公共边 af， 是 吧？我们关联性做出来的矩形的一条边 af 啊，那只需正加角相等。这个加角我觉得也很简单 啊，刚刚说了，这是一个等腰直角三角形，所以这是四十五，这是四十五，这边也是四十五，对吧？矩形吗？那你延长之后呢？一百八减三个四十五，这还剩四十五啊。所以借助什么边角边 就能够证明这个对称全等，那它俩对称全等之后呢？对应边相等， p f 和 c f 就 相等，那它俩各自的一半 a h 和 d h 也就相等了啊。所以这个是借助中位线比较简单。 有同学没有发现这个中位线也没关系啊，因为看到 h 作为中点，我们马上能想到什么，能想到背长中线也就八字全等，而且这里边因为你构造了矩形，哎，这有天然的平行， 对吧啊，当然我们也可以说这也是平行，那我们想又有平行又有终点，那显然就是八字全等了啊，被场中线八字全等了。所以我这时候，呃，连接这个 d h 并延长啊， 比如说交 a f 与点 q 吧。当然你接着写 p 也无所谓啊，交于点 q 之后呢，我们这就会出现一个八字全等，就是 f q h 和 b d h。 为啥呢？首先因为平行，所以这个内错角相等， 对吧？然后你的 h 又是中点啊，然后呢，我这个倍长的话，我就也可以不说倍长，因为是延长嘛，那对顶角相等，哎，角边角，这就出现一个八字全等了，那出现八字全等之后，我们看一看， 我们就可以得到一个信息，这里边的 h d 和 h q 就 相等。你要想求证 h d 和 h a， 我 们看 这矩形，这角 a 本身就是直角， h 又是什么斜边的中点，那不就是 r t 三角形斜边中线等于斜边一半，哎，用这个定力也可以证明出 h a， h q、 h d 三边相等这道题就能做完了啊。所以这是用到了一个八字全等，非常中线。八字全等 还有一种方法啊，这个方法不太容易发现，但是发现了之后做起来就非常快了，他呢也是有依据的，还是基于 h 是 终点啊，既然呢，您这 h 是 终点了，对不对？ 哎，我们想象一下，你 h 是 中点，而且 b f 是 什么直角三角形， b f g 的 一个斜边，所以我就要利用 r t 三角形斜边中线了，那这时候我就连接 h g 换一个黑色的，哎，连接 h g， 那 我们想象一下这个 h g， h b 和 h f 就 相等了， 那这时候我们要正的是 h d 和 h a， 基于主角三角形的逻辑，我们想象一下这里边应该正谁呢？因为 r t 三角形斜边中线，是吧？等于斜边一半，它，哎，它和它相等， 那这里 h f 和 h g 相等，再加上刚刚我们连接 a f 形成的矩形啊， a f 和 d j 也是相等的， 我们要正的 a h 和 h d， 这不就是一个对称全等吗？所以我再只需证明这个小的夹角相等就可以了， 那这怎么正呢？因为 h 这个大的角 a 啊， f 和大的角 g 都是直角啊，你要正这点等就正它的互余的角相等就可以了。因为 h f 和 h j 相等，所以 等边对等角等腰三角形吗？这个圈角和圈角相交，然后等量代换一下，直角减圈，直角减圈，点和点相等啊，那这样的话，我们就能得到这个三角形和这个三角形，这是一个对称全等，也是边角边 就正出来了啊。所以我们中点的四大工具，中位线，八字全等，斜边一半，还有等腰三线合一，这里边就用到了什么三种 啊，而且不是一道题啊，或者一个方法用三种，而是这三种对应的这一道题的三个不同的操作啊。所以跟着王老师学透数学就体现在什么，你要通过一道题掌握 不同的方法，而且通过这一道题练会钟点模型，钟点工具背后的三种方法。同时我们总结的三百五加一性质中的关联性就是第一问的结论是第二问善良而温馨的关键信息，关键提示，我们一定要 get 到。 好，以上呢，就是关于几宗的这道题的一个操作方法，希望今天的视频能够帮助到大家，有任何疑问也请大家私信跟王老师直接沟通和交流，我们下次再见！

同学们好，我是江涛。我们对二零二五到二零二六近一期末第一学期九年级期末几何压轴进行视频分享，考点涉及到利用特殊角来确定线段长，那么一起看一下二十三题。本题十三分综合与探讨。 问题背景，数学课上老师提出如下问题，如图，将正方形 a、 b、 c、 d 绕点 a 顺时针旋转 r 法旋转角范围零到九十度，旋转后得到正方形 a、 b 撇、 c 撇、 d 撇 c 撇与 b、 c 交于点， e 连接 d、 d 撇 b、 b 撇。求证 d、 d 撇等于 b、 b 撇。数学思考第一问，请你解答老师提出的问题， 那么求证两个线段相等，又不在同一个三角形当中，我们一般选择证两个三角形全等，当然也可以选择去证明所在的四边形是一个特殊的四边形， 那么会发现，因为题目当中告诉我们旋转四边形 abcd， 那 它属于全等变换，所以我们知道旋转当中最重要的就是旋转角，那么对应的旋转角是相等的， 而且我们知道 a、 d 撇是 a、 d 转过来的，所以相等。并且呢，我们的 a、 b 撇呢，也是 a、 b 转过去的， 所以通过边角边两个三角形手拉手拳的能得出对应边 d、 d 撇和我们的 b、 b 撇是相等的。第一问，去解决这两个线段相，线段相等是非常容易的，这是我们的第一小问， 我们来看第二问，深入探究单丝小组，在图一的基础上继续旋转，当旋转至 a、 d 撇、 c 三点在同一条直线上时，如图二，试判断 c、 e 和 b、 e 的 数量关系，并说明理由。 那么目测这个图形当中 c、 e 和 b、 e 呢，不像相等，那这个时候就要运用到数学当中最重要的思想，那叫做等量代换。我可以把 c、 e 换成某一条线段，让它和 b、 e 找等量关系， 或者我可以找 b、 e 通过等量代换和那条线段相等，再找和 c、 e 的 关系。那这个图形当中到底找谁把谁经过通过等量代换进行转换呢？那我们会发现，通过旋转，我们知道 a、 d 撇是 a、 d 转过去的， 等于正方形的边长，从而等于 ab， 并且 a、 d 撇 e 这个直角 a， d 撇 c 撇是 a， d、 c 转过去的， 那我们会发现本身正方形内角 abc 也是九十度，所以当我们选择连接 a、 e 的 时候，通过两个直角三角形有公共的斜边，而且直角边对应相等 h、 l， 能够证明出来 b， e 和我们的 d 撇 e 是 相等的， 也就通过等量代换把 b、 e 转换到了 d 撇 e， 所以 只需要找 c e 和 d 撇 e 的 关系就好了。 那么不难发现，首先它是一个直角三角形，其次它还是一个特殊的直角三角形。为什么呢？因为作为正方形，它的对角线是角平分线，但不可以直接用。我们可以证明出来，三角形 a、 b、 c 是 一个等腰直角， 所以它的其的一个内角是四十五度，那说明三角形 c， d 平 e 是 一个等腰直角。 那现在要找的就是四十五度的对边儿 d 撇 e 和 c、 e 的 关系，我们知道考 sin 四十五啊， sin 四十五度，它的这个正弦值是二分之根号二，所以 d 撇 e 比上 c， e 就是 根号二比二。 当然你也可以写成 c， e 等于根号二倍的 d 撇 e， 这两种写哪个都是正确的？这是我们的第二小问，我们看拓展探求第三问， 连接 d 撇 c， 当三角形 d， d 撇 c 是 等腰三角形时，且正方形 a、 b、 c、 d 是 边长为二，直接写出三角形 d、 d 撇 c 的 面积。 那么知道对于这道题来说，它并没有告诉我们说谁是顶点，谁是底边啊，那就肯定需要分类讨论，那这也是我们在几何压轴证明题当中常用的思路啊，其实它没有告诉你啊，需要分类讨论，我们也要意识到这点。 那么首先开始分类，我们看图一就很像 d 撇为顶点，所以我们来研究第一种情况，当地撇为顶点的时候，那也就是要求我们的第一种情况， d 撇 d 等于 d 撇 c， 那 d 撇 d 等于 d 撇 c， 说明 d 撇在哪里呢？说明 d 撇在底边 d、 c 的 垂直平分线上，我不仅要做垂线，我还要延长对边去。为什么呢？ 大家看，当我们做下这个垂线之后，我们知道 h 这个点一定是 d、 c 的 中点，因为等腰三线合一， 那其实对边这个点 m 也是个中点，这是为什么呢？当然大家可以通过证明这是个矩形，你也可以通过我们常说的九字针眼平行线，分线段成比例， 这三条线都跟 a、 b 是 垂直的，所以平行九字针眼 am 比 h， d 比 h， c 一 比一，所以 m 是 中点。 那这个姓氏是很关键的。我们来看求面积，底是二，那就得确定高，那高如何求呢？我们会发现正方形的边长是二，旋转过来也是二，刚刚正出来， m 是 ab， 哎，边长的终点就是一，那我们通过哎，可以知道这个边是根号三，你也可以知道这个锐角一定是三十度了，是吧啊，当然他没有，他也没关系，那知道这个高，就用整个二减根号三就求出来了， 所以面积很容易确定下来，底是二，高是二减根号三，那么它的面积就是二减根号三。这是这个题的第一种情况，那么来看第二种情况， 让谁为顶点呢？让我们的 d 为顶点，那就是 dc 等于 d d 撇，那么同学们要注意了，哎，要求 dc 等于 d， d 撇，并且我们知道始终 a、 d 是 通过旋转啊，绕着点 a 这个旋转中心转到了 a、 d 撇啊， 然后呢，这种情况下还咋地呢？还要求这个 d、 d 撇还得等于这个 dc 啊， d 为顶点嘛。那么大家观察这个图形 啊，注意了，我们来看啊，这个三角形，等腰三角形给它画出来，哎， d， d 撇 c， 我 们会发现 d、 d 撇要等于正方形的边长 d c， 而 d c 还等于 d， a 等于 d a 撇啊， d 撇 a， 那 说明三角形 a， d、 d 撇，此时是一个特殊的三角形，是一个等边，三边都是二，并且这个内角是六十度， 那要求这个三角形的面积，我们可以选择依然让 d、 c 这个二作为底，那做一条高出来啊，对应的高也很容易，正好是剩下这个锐角三十度所对，直角边 d 撇 h 是 斜边 d， d 撇二的一半，它就是 一，那面积也太简单了吧，二分之一乘以底是二，高是一，那面积就是一。好，同学们，那这个题除了 d 撇为顶点， d 为顶点，我们也不能忽略了。还有一种情形是 c 为顶点，那至于这种情况存不存在呢？我们来分析， 当 c 为顶点的时候，那就是 c、 d 等于 c、 d 撇，我们可以看下图二， 同学们， c、 d 等于 c、 d 撇，那就说要求 c、 d 撇也是二。而题目当中，我们知道 a、 d 这个边永远都是 a、 d， a、 d 撇是 a、 d 转过去它也得是二， 那我如何能够保证 a、 d 撇和 c、 d 撇的长度相等都是二这样一种情况呢？啊？除非它就没转，或者说它转到了 b。 如果大家理解起来比较困难的话，我们可以这样想， 我们知道点 d 撇啊，要求 c、 d 撇和 c、 d 相等都是二，那么我可以理解成点 d 撇是以点 c 为圆心，二为半径的圆上一个点，那其实就是这样一个图，哎，因为半径是二吗？那就得经过点 b 了， 画了个椭圆啊，画了个鸡蛋，太美了，我们画这样一个圆，好，我们稍微调整一下， c 为圆心，二为半径，那说明点 d 撇一定在这样一个圆上啊，一定在这样的一个圆上。 那么并且我们知道 a、 d 撇通过旋转和 a、 d 也是相等的，所以点 d 撇同时还在以 a 为圆心， a、 d 二为半径的圆上，那这个圆也一定经过了点 b 和点 d。 哎，这个圆我们也画好了， 但是同学们，我们刚刚说了，我要保证这个 c、 a、 d 撇长度，人家本来就是二，我要知道这个 c、 d 撇也等于二的话，我就得既保证 a、 d 撇和 c、 d 撇相等，而且长度都得是二。那同学们，那大家发现这个图形当中两个圆的交点在哪里呢？就是起点和 b 这个位置， 那如果在起点这个位置地撇就没转，那这个 c、 d、 d 撇这个三角形就不存在啊，啊，就不存在，而且并且什么那只能落在这个点了， d 撇，哎，那这个时候大家发现，哎， c、 d、 d 撇现在存在了呢？ 但是题目当中要求旋转角的范围，大家看一下题干说是大于零度小于九十度， 也就是说我不能没转，我不能在这个地方就没转，我也不能让 a、 d 这个边转九十度落到 b 这个位置，所以这种情况下，即使 c、 d、 d 撇存在，但是也不符合题意，那这个题我们就分析到这里。

各位同学大家好，我是初中数学 d q 老师，今天跟各位同学分享一下咱们刚考完的杨浦一模压轴题的最后一小问的一个速通方法。 各位同学看到杨浦的这个二十五题，这样长长的一整个篇幅的时候，呃，可能都会被吓到对不对？但实际上呢，他第三问有比较简单的一个方法，可以进行一个疏通，只需要通过什么呢？倒角以及三角笔就可以轻松的证明出来。好，跟着老师一起来看一下好了。 首先咱们看一下这道题哈，他通过一二三三次折叠能得到图中的这一副，对吧？我已经画出来了， 那心系有同学可能有注意到，在这里我少画了一个点，哪一个点呢？就是折横交边 c， d 与点 f， 对 不对？为什么？因为这个 f 点在我们这个速通法里面根本不需要用到。好，咱们回到这幅图，先来看一下 这幅图呢，有一个非常容易发现的一个点，什么点呢？就是从 a、 e、 d 这一条线段，咱们可以看到它是一个典型的一线三垂直。 以前呢，咱们遇到一线三垂直，往往都用来干嘛呢？用来正相似或者正权等，对不对？那同时呢，同学也别忽略了它呢，本质上还有个角的关系，什么角的关系呢？ 就是在这里 a， e， g 呢？这个角对吧？会等于角 m， e， n 又等于角 e， c， d， 对 吧？那么我们为什么要关注到这个角呢？因为这个角它在这里会构建出整整三个直角三角形的一个。三个什么呢？三角比的一个关系。 所以我们在这里先干嘛呢？优先先设设角 g， e， a 等于角 m， e， h 又等于角 e， c， d 等于什么呢？等于 alpha， 好， 我们给它标一下，好，这个是 alpha， 这个也是 alpha， 好，这个也是算法。具体说明过程我就不想写了。好，各位同学应该都能读出来啊。同时呢，我们还要设一条边。设哪条边呢？设 b g 边等于 x。 为什么要设这个 b g 边呢？因为这道题要正的是什么？是 g， 是 线段 a b 的 黄金分割点对不对？所以它本质上求解的什么？求解的是线段 a g， b g 以及 a b 的 一个线段关系。好吧，所以我们在这里先优先设一下 b g 为 x， 那 因为折叠， 我们是不是可以知道什么呢？ b g 是 不是等于 e g 等于 x？ 同时还可以得到一个角的关系，哪个角呢？ b g m 等于 e g e g m 好 来，这两个角是相等的，对不对？好，然后，又因为什么呢？又因为 b g 平行于 n e， 所以什么呀？哎，两直线平行内错角相等，所以角 b g m 又等于角 g m e， 对 吧？好，这两个角相等，从而呢？即角 e g m 等于角， e m g 好 等，角对等边对不对？等？角对等边。所以呢？所以 g e 呢？等于 m e 好 来， g e 是 不是等于什么？因为折叠 g e 是 不是等于 b g 等于 x 呀？对不对？是，所以呢？哎，得到了 m e 也是等于 x 好， 所以呢，我们刚才设的这个 r 法是不是就有用了？在 r t 三角形，什么 e m h 中 好， e m h 中，对吧？好来， e h 呢？是等于什么呀？等于 e m 除以什么呀？除以口算，算法对不对？等于 x， 除以口算算法好，是不是？又同样是因为折叠， 同样因为折叠，所以我们知道什么呀？知道 e h 是 等于 e d 的， 因为为什么？因为 h 点是由 d 点折叠得来的，对不对？是吧？所以 e h 等于 e d， 你 看一下 我们是不是通过 b 去，对吧？等到等于 g e， 然后呢？等角对等边得出什么？ e m， e m 呢？三角笔推出 e h 呢？又因为折叠等于 e d 对 不对？我们最后再用三角笔在 r t 三角形什么呢？ e， d， c 中对吧？在 r t 三角形 e， d， c 中，对不对？好来，我们要求的是不是 dc？ dc 是 不是就等于 e d 除以什么呢？除以 tangent r 法，除以 tangent ec， d 对 不对？好来，那么是不是就等于 e d， e， d 我 们刚才得出来多少呢？ e， d 等于 e h 等于 x， 除以什么呢？ cosine r 法对不对？所以 x 除以 cosine r 法 同时除以什么呀？哎，除以 tangent alpha 是 不是也等于三 alpha？ 除以什么呢？ cos alpha 对 不对？所以得到什么呀？所以得到 x 除以三 alpha。 哎， d c 我 们是不是得到了好？ d， c 是 不是等于什么？等于 e n 又等于 ab 对不对？好，所以 e n 呢？等于 d， c 等于 x 除以三阿法？好，到这里呢，我们需要开始做辅助线了。做什么辅助线呢？延长 g e 延长 g e 哈，延长 g e 然后呢？哎，再延长一下 c b， 好 来延长下 c b。 假设它们交在哪里呢？交在这个点为 k， 好 吧，假设交在这个点为 k， 好， 交在这个点为 k 的 情况下面呢？哎， 你看一下 k b g， 因为 b g 是 不是平行 e n 对 不对？所以呢？ k b g 是 吧？相似于 k m e， 所以呢？ bg 对 吧？ b g 除以什么呢？哎？ b g 除以一 n 对 不对？好？ b g 除以一 n， 对 吧？是不就等于什么呢？等于 x 除以，哎， x x 除以三阿法对不对？从而得到什么呢？它们俩的比值是三阿法，对不对？它们俩比值是三阿法，好来，别忘了啊，别忘了在 r t 三角形。什么呀？在 r t 三角形 a， 在 它 r t 三角形 a g e 中，对不对？是吧？三阿法 同时又等于什么？等于 a g 比去什么呀？比去 g e 对 不对？好？然后呢，咱们 g e 是 因为折叠等于 b g 啊，对不对？所以等于 a g 比去什么呢？ b g 对 不对？所以 g b g 比去什么？ e n 等于什么呢？ b g 比去 ab， 对 吧？又等于什么呢？又等于 a g 比去 b g 啊。所以呢，咱们是不是可以得到了，对不对？即 g。 为什么呀？即 g 是 线段啊， a b 的 黄金 分割点对吧？好哎。

哎呦我的天 好的应该不太好横着呢。那这 一百二十四一百三十五七十九哇九十九十啊哈哈哈哈给我 啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊 啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊 啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊 啊啊啊啊啊啊啊啊啊。 文科的六百三十九分，省排名是九十二名，一模的话也就是广东省三百分。有时候心心念念的特别想去人大。

物理特别差，非常差，物理这考试每次就只能考到二十分左右啊。对，所以就对家长你这个分数段，个人建议你去看一看这个，如果你高三，你成绩还没及格呢，你的水平也在数学六七十分，物理四五十分甚至三四十分，你想往上涨分，我个人觉得分层练可能会更适合你。 我们把近三年高考真题，根据专题，根据难度给你做了分层。哥哥张姐给你做的基础保分练能力提升练冲刺满分练基础保分就是一个及格分，这个题难度不大，你把这个题做完做会了，你基本上就能及格。能力提升练是什么呢？希望孩子在这一部分的题的难易程度啊，能做到大概在一百一百一十分左右。冲刺满分练，就是希望孩子这会能给他来做好，就是能考更高的分数， 然后你不到九十分的，家长，你这本书，你就做前面的基础保分练，然后的话你不是想提分吗？这个函数没有问题，三角函数没有问题，平面向量没有问题，结果到立体几何基础保分练，你发现孩子有的题不会做，你就知道了。我们家孩子没到九十分的主要原因是因为他立体几何这方面有问题。要说老师我要给孩子补课，我要想数学到九十分，你直接去补基础保分练就可以了。 所以说各位朋友，你要知道，我们到高三的时候，越往后复习，你就越不能眉毛胡子一把抓，你提分一定是各位朋友，你要知道我们到高三的时候，越往后复习，你就越不能眉毛胡子一把抓，你提分，你哪科需要拍哪科？ 分层练的话各个科目也都有，大家如果说希望能够帮助达到孩子，我要往上涨这个分数段的话，我得在哪个章节上去使劲？如果你有这个目的的话，分层练就非常适合大家。想在高三阶段涨分的先去拍分层练，这个是。