重庆八中中一诊模拟答案在哪里看

哈喽，各位同学大家好，今天给大家带来二零二五年重庆一诊数学试卷的讲解。首先总评下张卷子，张卷子除了十九题第三问之外，其他题难度都相对较低。 单选的第八题呢，考虑一个比较初等的一个殊论的问题，虽然说社交殊论的知识，但是我们通过一些小学数学的知识就可以把它做出来。然后十一题是一个 卵形线的问题，这个也是考的非常多了，然后第十题可能会错，就是很多人可能这个相位这些是没有去记忆的，那这个需要重点记一下，这个是一些基础知识，后面的第十字题呢，其实通过分餐就可以把它做出来，所以十四题并不算一个难题，后面的十七十八都非常简单。 然后十九的前两问呢，我们稍微去代换一下，也是能轻松的做出来的。重点就是第三问会比较难，第三问我也会重点讲，然后前面的题可能就会讲的快一些。 我们先来看第一题，已知集合 a 三到六， b x 小 于等于四，那 a 并 b 取他们的一个或者的部分吧，就是我们可以取 a， 可以 取 b， a 是 这样一个三到六，那 b 是 小于等于四，在这里那整个就小于六吗？对吧？选 b， 已知 a 属于 r， 那 我们这是一个开口向上的二函数，它的解集为 r， 是 不是我们只需要嘚儿它小于零就行了？嘚儿小于零，我们解出 a 是 大于一的，那我们说小可以推大，大不能推小，所以说 a 大 于一可以推 a 大 于零， a 大 于零推不出 a 大 于一，所以重温不必要。 已知 o v 坐标原点点 a 一 根号三，将 o v 绕点 o 逆时针方向旋转三分之派，得到 o v 一 撇，则 o v 减 o v 一 撇的模是多少？我们先画出这样一个 a 点，那么发现它一杠三的话，这里刚好是六十度，所以这边呢，是三十度， 所以我们相当于逆时针方向旋转三分之派，就旋转六十度，是不是相当于这里又转了一个三十度，也就说他是不是对称的？所以我们的 a 一 撇是不是就是我们的负一根号三？ 所以我们 o v 减 o a 撇是不是相当于 a e 撇 a 这个向量，那是不是刚好是二的长度？所以选 a。 四。已知平行六面体的体积为一，若将其截去三轮锥 a a 一 b， e、 d， 则剩余部分几何体的体积为多少？我们先画一个， 这边是 a、 b、 c、 d a、 e、 b e c e、 d e， 那 我们看这里是不是我们的 a a、 e、 b e、 d e， 那 它的体积怎么算呢？它的体积是不是我们的底面积乘上我们的高，再乘上我们的三分之一， 那我们整个平行六面体是不是这个底面积乘上我们的高？所以说我们的底面积是整个平行六面体的二分之一，然后高呢，是相同的，但是我们轮锥是不是要乘三分之一？所以整体来说，他是不是我们这个平行六面体体积的六分之一？ 所以我们剩余部分是不是剩余六分之五？ ok， 这第四题第五题 六贴比较简单，那我们只需要把这边三一方塞塔等于口塞塞塔，给它写成一减上口塞方塞塔等于口塞塞塔，然后这边呢，它等于二倍的口塞方塞塔减一，那我们把这口塞塞解出来，然后再带入这边就 ok， 然后就选择我们的 b 选项。第六题已知三角形 a、 b、 c 角 a、 b， c 的 对边为 a b c 小 a 等于一 b 加 c 等于二 a 等于四分之派，则三 b 加三 c。 很多人看到这个条件可能希望于向量，其实我们这其实没有必要的，我们只需要先把这后面写出来就可以了，对吧？ 那么是不是三 b 就 等于我们 a 除上不 a 分 之三， a 乘上一个 b 啊？那三 c 是 不是也是一样的 a 分 之三， a 乘上一个 c 啊？所以我们根本就不需要算其他任何条件，我们只需要把 a 还有三 a 还有我们的 b 加 c 代入就好了，就知道我们点一下第七题 双曲线先画一下，由于我们 ab 是 不是一个二 a 的 长度，然后我们 abf 的 面积等于 c， 那 我们底边知道我们是不是差一个高就可以表示面积了，说明在这里做一条高， 让我们知道这个高是不是一个 b 的 一个长度，因为我们这里是 c， 对 吧？然后这个角度探进它呢？是我们 a 分 之 b， 所以 我们交点到间接下距离是不是就是一个 b 的 长度， 所以我们的面积是不是等于二？ a 乘上一个 b 乘上二分之一等于 c， 所以 我们是不是有 ab 是 等于 c 的？ 我们又有 a 方加 b 方等于 c 方， 那么 c 方等于 a 方加 b 方大于等于二 a b， 它是不是等于我们的二 c， 所以 我们 c 方大于等于二 c 可以 解出来 c 大 于等于二，所以 c 的 角值是二。第八题， 使得这个 ap 等于 a q 等于负一百二，则那么就把 pi q 带进去，那是不是它就是我们的这个 n 方加上 number n 加一百二等于零的两根啊？ p q 是 不是这个方成两根？因为我们这个其实是一个二次的一个东西，那它等于一百二啊，它等于负一百二，是不是只有两个根便是满足这个方程两根？所以我们是不是 p 加 q 就 等于负，那么的 p 乘 q 等于我们的一百二了，对吧？ 由于我们 p k、 u 是 整数，所以我们是不是要把这个一百二进行一个素因子分解，看它究竟能分解成多少个整数相乘。首先一百二的话，一一百二是不是一组二，六十是不是一组三，四十是不是一组四，三十是不是一组五？ 二十四是不是一组六，二十是不是一组八，十五是不是一组十？十二是不是一组？我们再往下就是反着写上就是十、二十、十五、八，因为我们 p q 就 有对称性，所以你反着写上来没有任何的意义，就我们发现这里有八组，并且这八组算出来这个蓝码都是不相同的， 所以我们总共有八个分层抽样，按比例分配数学被抽到十二人，你总共是两百，数学是六十，所以分层应该是二百分之六十，然后在乘上我们抽了这四十个人，刚好就十二个。 按性别进行分层抽样，则男性可能被抽二十。按性别来说，男性应该是二十分之一百二的吧，你应该抽二十四个， 简单随机抽样就是你随便抽，那抽十个，那不可能吗？你怎么可能是一定呢？简单随机抽样，有可能抽出的全是数学，数学有六十个人，那么要抽四十个，是不是有可能抽出这个四十个全是数学的第十题。那这里主要是频率、正负和相位，这些究竟是什么？我们来看一看。 对于我们一个正弦函数 a 倍三以 omega x 加 five， 那 我们这些东西到底是什么呢？那 a 是 不是我们的正负，对吧？ 那我们说二派除以欧米伽绝对值，是不是我们的这个周期，那周期分之一是不是我们的频率？那么象位是什么呢？象位是欧米伽 x 加 five， 这个整体叫做我们的象位，那么这 five 呢？叫做初象，这就是我们的一些概念。 那知道这个概念就是说我们频率和正负万相同，也就是说我们这个欧米伽和我们的 a 都是相同的，相位恰好相反，就是这个整体，它相差这个 pi 的 基数倍啊，可以， pi 可以 是个基数， 所以说我们这样判断哪些可以化简成它，那首先我们看到两个就肯定画不出来，这个是 c， c 肯定不对，为什么呢？因为这里减六分之 pi， 你 在这个整体上加减这个 k pi， 那是不是你这个负六分之派依然是存在的呀？即使你变成口塞，你变成口塞是不是加减二分之派的一个问题？ 那二分之派跟你这个负六分之派是不是还是消不掉的？你要么加二分之派，要么减二分之派，但是你这个负六分之派加减二分之派之后，你都不可能变成零，所以 c 肯定是不对的。我们还有一个说是肯定不对的， 就是 d 肯定是不对的，因为你想你三影变成可三影是个什么情况？三影变成可赛，你是不是应该是一个加减二分之派的一个情况？因为我们说既变偶不变符号看象限，你二分之派的基数倍才可能变成可赛。但是我们这里是 加减 k 派， k 是 一个基数，也就是说对于二分之派来说，我们加减呢，永远是它的偶数倍，所以你不可能保证里面不变的情况下，你在外面给它变成 cosine， 能明白吗？ 就是里面这个整体不变，这个整体加减二分之 pi 才有可能是 cosine。 但是问题在于你加减的不是二分之 pi， 所以 说 d 也肯定不对，那我们来看 a 和 b a， 这就是前面多了一个符号，那我们说它要相差基数倍，那是不是我们这里加个 pi， 我 们根据基变而不变符号，看一下你加个 pi 是 不是前面加个符号啊，对吧？ 这个是非常简单的变一下这个东西，我们要给它变成这个减六分之 pi 的 一个符号啊，对吧？这个是非常简单的变一下这个东西，我们要给它变成这个减六分之 pi 的 一个形式。所以我们首先是不是 要通过他给他往三分之派上面变，是不是加三分之派，再减二分之派，他是不是等于一个负的四分之三，括号三分之二 x 加三分之派啊？ 那我们再在这个基础上加一个派，是不是几秒不变符号，看象限，我们依然在前面加一个符号，那负负得正就是我们的 b 选项。那么第十题，第十一题， 这是一个卡型的软性线的问题啊，这考的非常多。在平面几何坐标系中，已知点 f 一 f 二，若满足它等于，然后轨迹为 c， 则下列说法正确的是， a 存在 a 大 于零，使得曲线 c 经过圆点 o， 那 我们就看一下 o 是 否满足这样一个方程就可以了。上面写一下 o f 一 乘上一个 o f 二是不是等于一乘上一啊？对吧？它等于 a 的 话，我们 a 等于一刚好是可以的。 b 任意 a 大 于取点 c 既是轴对称图形，也是中心对称图形。我们先画个图， 它大概是长这样的，当然你画不出来也没有关系，大概是长这个样子画的有点丑陋。首先我们判断一下它是否关于 y 轴对称对称过来之后，是不是你的这个，这是 p， 这是 p 一 撇， 你的 p f 二跟我们 p 撇 f 一 的长度是一样的，然后 p f 一 跟我们 p f 二的长度是一样的，相当于你交换一下，但是你这个乘积依然是等于 a 的， 所以说你依然在我们这个卵形线上，那上下对称呢？你没有改变 p f 一 和 p f 二的长度吗？对吧？你现在是 p 两撇 p f 一 就等于 p 两 p f 一， p f 二就等于 p 两 p f 二，所以你关于 x 都也是对称的，那你既关于 y 的 对称，也关于 x 的 对称，你就是一个中心对称图形呗，你对称两边不就中心对称到这来了，对吧？随着我们的 b 选项，这个 c 选项呢？如果你知道卡形的卵形像一个形状，那么它是非常好做的，它又长这样， 长这样之后，我们知道这个 a 等于一点二，然后我们经过计算呢？其实这个点就是 x 等于零，这个点不妨去做 a 吧，这个的面积其实就刚好是五分之根号五， 所以说如果你知道它形状，它边上对于它来说是上升的，那么你就可以算出来，我们这个肯定是错误的，因为你上升的话，你这个呃面积会更大一些。当然你取些特殊值你也可以算出来，比如说你取这个 x 减一或者 x 等于二，我们都会发现它其实是比我们 a 点的纵轴标更大的。 那具体怎么算这最大值呢？给大家提供一个方法，就是可以算出它最大值，但是会非常难算，就是化简的步骤特别特别多，我可能在这倒算个十几分钟，那这里就不再给大家多做 讲解了，如果你们需要的话，可以上网搜一下卡芯软形线，或者利用 ai 可以 搜一下这个过程如何算软形线上坐标最大的点，那这也就给大家提供个思路吧，就是我们可以写出来这个方程，对吧？就是 x 减一的平方加上 y 的 平方，乘上 x 加一的平方，加上 y 的 平方等于我们的 a， 这里是一点二吗？然后我们可以对这东西两边同时平方得到 x 减一的平方加 y 的 平方，然后 x 加一的平方加 y 的 平方等于一点四。四， 因为我们最后需要这个通通标最大值，所以我们是不是重点是要把 y 看作是一个 x 的 一个函数，所以我们可以通过这个去算 y 和 x 的 关系。 那这边其实你可以拆开看，就是 y 方加 x 方加一，再减二 x， 然后 y 方加 x 方加一加二， x 等于一点四四，那么是不是可以看作这两个 的一个平方差呀？那最后你想想，平方它出来之后只会含有什么东西呢？是不是 y 的 四次方向， y 的 平方向， x 的 四次方向， x 的 平方向，那我们是不是可以把它看做一个大 y 的 平方？大 y 就是 我们令大 y 的 一个小 y 的 平方啊？这边是 x 方，这边是 x， 那我们在这样一个方程中要去求 y 的 最大值，应该怎么办呢？因为我们这里的 y 是 直接分不出来的，所以你要求 y 的 最大值，我们只能采用判别式法， 就是说因为它是关于这个一个方程，所以我们必然有 x 满足这样一个方程，那有这样一个大 x 满足这样一个方程，那我们是不是它的系数德塔就必须要大于等于零， 对吧？那系数灯他要大一点，那我们的系数就是一个关于大 y 的 一个不等式，那把这个不等式解出来，就可以知道他的一个最大值了。那这个计算非常非常繁琐，因为你看出来在这里就已经计算量非常大了，你再往下展，那我在这里如果展示这个计算的话，肯定要写个十几分钟，我觉得没有这个必要。 d 选项 a 等于零八式，取元 c 为生的面积大于取元 e 为生的面积，那我们说这种题他肯定不可能是一会大一会小，一会大一会小，因为在我们高中数学的范围内，这种东西的面积是没办法比较的， 对吧？这种东西的面积你就算不出来了，包括这卡芯软件面积算不出来了，所以说我们要比较这面积大小，要么是全部都在里面，就是肯定比它大，全部都在里面，要不就全部都比它小。在高中阶段，只有这样我们才能比面积大小，因为本质上这些图形包括椭圆，它的面积我们在高中都是不知道的， 所以这种就是我们比不出来的，他也不可能来考我们的。所以这种就是我们 p f e 乘 p f 二等于八，然后你又发现 f 刚好是我们这个椭圆的一个这个焦点，那加它的椭圆的焦点我们是不是同理就会有？ p f 一 加上 p f 二等于一个四倍根号二，对于椭圆来讲， 慢慢发现一个是乘，一个是加，你立马想到什么？是不是基本不等式吗？对吧？对于我们的这个卵形线来说，我们的 p f 一 加上 p f 二是不是大于等于二倍根号下？ p f 一 乘 p f 二， 那是不是等于一个四倍根号二？那就是说对于我们卵形线来说，我们上面每一点到焦点的距离都是大于等于四倍根号二的，而我们椭圆是等于四倍根号二的，那是不是就说明我们卵形线的点其实都在椭圆的外面， 那它都在椭圆外面的话，那它最后的面积是不是一定大于我们的椭圆，所以是没有问题的，所以选 abd 十二题， 他甚至亲切的告诉你，这个 i 方等于负一啊，那我们只需要把这个 z 算出来就可以了，那就是一个二加二 i， 所以 z 的 周长二倍杠。二十三题 分别是两个圆上动点，然后让我们求这两个动点之间距离最大值，那就是把这两个圆画出来，然后圆心连线，然后再加上两个半径吗？此时是不是最大的？所以说我们可以把这个圆算一下，这边是 x 加一的平方加 y 方等于一，这边是 x 减二十平方加上 y 减四的平方等于十六，所以我们圆心两个圆心，这样的距离是不是就什么呢？五，对吧？根据购物定律，加上两个半径，五加一加四等于十， ok， 我 们的十三题， 第十四题，这个函数有且只有一个零点， x 零，且 x 零大于零的指数 a 的 求和，那我们发现这个东西等于零是不是可以分叉啊？ 他如果可以分餐，那我们就很好解决了，对吧？分餐，你直接分餐就行了呗，并且最后分餐出的函数也不复杂，对吧？所以我们对他进行一个分餐。十四，我写上面吧。 十四题， a 就 等于二的负 x 四方加上，呃，减去，不好意思， x 分 之， x 减一绝对值，所以本质上就是要画出这个东西在零到正无穷的图像就可以了，对吧？因为我们这个 x 要大于零，我们只考虑大于零的部分就可以了，所以我们对这个函数 进行一个分段，令它等于 g x， 它要等于我们的二的负 x 四方减一加 x 分 之一， x 大 于等于一，然后这边呢，是二的负 x 减 x 分 之一加一， x 呢？属于我们的零到一，对吧？那其实上面这个情况是比较显然的，因为我们二的负 x 方倒立减， x 分 之一倒立减，所以说我们在 x 大 于零的时候，这个函数是不是倒立减的，对吧？我们先画一画，这里是一， 然后这边是二分之一，它递减到哪里呢？我们发现你 x 趋向于正无穷的时候，这两个是不是都趋向于零的？所以我们整个这个函数就趋向于负一，对吧？这里有个渐近线叫做负一， 那么重点关注前面这个东西，前面的东西我们就需要单独算一算了，对吧？我们不妨 g x 等于一个二的负 x 减一，那么大家求到 g 撇和等于 负 lo in 二乘上二的负 x 加上 x 方分之一，那这个公式我们怎么考虑呢？我们先对它进行通分， x 方负的 lo in 二乘 x 方乘二的负 x 加一，所以我们需要关注的是我们 x 方乘上一个二的负 x 在 零到一上的一个取值，对吧？所以我们再令 h x 等于 x 方乘上一个二的负 x， 我 们再求导，求导之后，它等于 二 x 减上零，二乘 x 方乘上一个二的负 x 方，因为我们 x 属于零一，所以这个里面我们就可以判断出它应该是大于零的， 所以在结合这个二的 f x 大 于零的，所以整体大于零。整体大于零的话，也说我们 h x 是 在这个上面达到递增的，达到递增的话，那我们看它的一个最大值，就是 x 方乘上二的 f x 方最大值，也就是我们这边这个的最小值， 最小是多少呢？我们把一带进去，对吧？一带进去的话，它要等于这个一减上二分之零二，下面是一，这个是不是也大一点的？所以我们 g x 整个在零一上是不是当立正的？ 在零一上当立正的话，我们就可以把左边这段也画出来，大家就长这样，那所以你只有一个零点，那是不是就是 夫穷到我们负一并上一个二分之一单独这个点啊，对吧？所以说第十四题也非常简单，因为它可以分三，并且分三后的函数是很好讨论的，所以它其实也不是一个难题。来看数题， 当 a 等于负一时，求 f x 在 它出的切线方程，那我们就求倒呗， f 撇 x 就 等于 x 方二， x 方加二， a x 加一， 那我们把 a 等于负一代入，然后最后就会有 f 撇一就等于一， f 一 也等于一。对于我们第一问来说，所以最后求的这切线方程， y 等于 x， 第二个 a v 整数 f x 在 二十三上单位解，在四到正无穷上单位解求 a。 那 我们先令一下分子，因为我们分母是很大的，零的，不考虑， 那这是一个开口向上的二次函数，你用十根分布就可以讨论清楚这个东西了。当然我们还有更简明的方法，就说他在二三上需要小于零，在四到正无穷上需要大于零 g 二小于零 g 三小于零 g 四大一点零就可以了。我解一下，为什么这样呢？是因为你二次函数是先减再增的，所以只要我们二和三都小于了零，那二三中间部分一定小于零，因为如果他不小于零的话，他肯定是要增再减，那这个对于我们二函数来讲是不可能的，对吧？ 那至于为什么是记四大一点零呢？因为大一点零的部分，他肯定在我们的右边，因为你左边有二和三小一点零，所以我们对称都肯定在左边，所以我们只要记四大一点零，记四右边一定大一点零。当然如果你想不清楚这个方法的话，你用十个分布去讨论也是可以的。 那最后我们解的这个 a 应该是在负八分之三，十三到一个负四， ok， 做我们的数体十六题的话，因为他已经给出了这个 pa 垂直底面，然后 a、 b、 c、 d 为矩形，也就是这里有个三垂直了，那直接就给出三垂直，那还说啥了？那是不是啊？直接间隙就完事了，对吧？当然我们来说一说，第一问，你如果想用几何法的话，怎么去考虑？ 因为我们现在 p d 跟 c e 终究没有在一起，所以我们想把 p d 跟 c e 搞在一起，要么把 p d 挪过来，要么把 c e 挪过去，你发现 c e 挪过去，挪到后面去了，对吧？这么一个场挪到后面去可能不好算。先把 p d 挪过来，那么在这里把这个矩形给它补齐， 补成这样，那我们是不是可以把它挪过来了，对吧？那就说给这侧面也补成个矩形，然后这里有个 h， 再连过来， 那最后把 e 的 这个位置设出来，最后来求这个十六分之八可以求出来是终点。当然我觉得这个可能还不如间隙方便，那第二问也是间隙就解决了，就不在这里多说了。十七这个题也非常简单，就给大家说一下思路吧。 已知抛物线 y 方等于四， x 过点， f 一 零交于 ab， 然后呢， 与我们的准线交于 m 和轴的垂足一，当 ab 等于三边时，求直线 l 的 方程，那么是不是第一步可以把 l 射出来， 射 l， 那 么分析一下 ab 等于三边什么东西？ ab 在 这三边， b n 是 不是等于 b f？ 所以 相当于我们 ab 等于三倍的 b f， 那 是不是相当于我们 ab 等于二倍的 b f？ 那又有与 abf 是 共线的，所以说是不是 y a 等于个负二倍的 y b？ 那 我们设了 l 之后，是不是得出这个 y a 乘 y b 是 一个定值，对吧？那我们就可以把 y a 和 y b 解出来，这个直线就这样出来了，这是自己算一下。第二问，让我们证明 o a 乘 o b 等于 o m 乘 o n， 那 o a 在 这里， o b 在 这里， o m 在 这里， o n 在 这里。那如果你知道我们过焦点占一个弦与抛物线的一个焦点，它跟我们另一个焦点 到这个准线的垂足，这三点是共线的，你就很快可以做出来。如果你不知道呢？我们稍微分析一下嘛，你这里 o a 乘 o b 等于 o m 乘 o n， 你 现在什么也不知道，所以我们就给它变个形， o v 比上一个 o m 等于个 o n， 比上一个 o b， 你 会发现有这个比值的话，是不是相当于我们只要证明这两个三角形相似就可以了，那你发现这边又是平行的，是不是你会发现？哎？如果我们 m o b 三点共线， a o n 三点共线，那是不是这个比值就天然成立？那这个就比较简单了，因为 你设了 l 之后，你可以把 y a， y b x a x b 都表示出来，然后我们就可以把 m 和 n 表示出来，然后利用三点公式算下去了，所以这个也不多说，这个非常简单式气体。 后面十八题比较简单，第一次抽到优极品的条件下，第二次抽到一极品的概率，我们不妨说 p， 这个在 a 发生的条件下，我们 b 发生的概率，那 a 就是 我们的这个第一次抽到优极品，然后 b 呢？就是我们第二次抽一极品，那 是不是等于我们的 p a， b 比上一个 p a， p a 就是 我们第一次抽优极品的概率，那是不是我们六分之二啊？因为总共六个人抽两个嘛。那第二次抽到一极品，第一次抽到优极品，这两个事件叠起来，那是不是六分之二乘上一个五分之四啊？就等于五分之四。 那么来看下一问，对这六瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出等级的时候才能啊停止检验。 那么先看你这个 x 可以 取哪些值。首先你要区分出六瓶罐头是不是至少检测两次，刚好把这两瓶优极品检验到了，那是不三次、四次、五次都有可能， 那五次是什么情况呢？你检验了三个一极品，然后最后两个优极品是不是刚好检验出来？那六次肯定不可能，因为五次这些肯定能检验出来了，对吧？你要检验五次的前提是一个优极品，三个一极品，那最后你要检验五次的前提是六，所以只有二、三、四、五这四种情况， 就这四种情况的话，我们一个一个算一下，那这个有两种算法，第一种算法就是说我们直接把每一步的概率相乘，就是我们二是什么情况？二，是不是我们前两次都抽出了优极品，那都抽出优极品一个 啊？第一次是我们六分之二，第二次是不是五分之一等于十五分之二？呃， 等于十五分之一，但是我们有另一种算法，就是什么呢？就是说我们总共抽了多少次？那我们抽这两次总有几种可能，是不是总共有 a 六二种可能？因为第一次抽了六个，第二次抽了五个，总共就是 a 六二的情况，那我们抽两个优极品，那是不是 a 二二， 对吧？那这样算是相当于这两个优极品是不同的，就是两个优极品，一个是 a， 一个是 b， 它们是不同的。如果它们是相同的话，其实你对这两个进行一个消序，它的结果是一样的。就是你大家都消序嘛， 这是 p x 等于二，那 p x 等于三， 那我们就用这个来算，因为它会比较好算一点，当然你直接写概率相乘也是没有问题的。那总共有 a 六三种情况，我们想想 x 等于三，什么情况？我们是不是最后一次是一个优级品，前面是一个一，一个优。 那所以说我们是不是先把这个一级品选出来，因为你现在有一个一级品，总共有四个一级品，是不是 c 四一？那你两个优级品是不是我们现在已经锁死了一个在最后面， 对吧？你第三个必须是抽一个优极品出来，那这个优极品抽的是谁呢？我们是不是 c 二一选一个优极品出来，然后最后 a 二二就行了？因为把这个优极品锁死之后，前面这两个的排列是不是就是 a 二二，对吧？ 这是 ps 等于三，那 ps 等于四呢？那是不是底下是 a 六四？ 那分子什么呢？分子？我们想想现在有几种情况，第一个是直接 a 四四，就是你抽的四个一极品，全都把一极品抽出来，直接 a 四四就行了。那如果是两优两一呢？我们是不是还一样的？最后你得确定一个优，那前面是两个一，然后一个优， 那是不是你先把这两个一得选出来， c 十二两个一，然后这个 u 也得锁死，就是他是哪个 u 呢？他反而是 l 幺选一个 u 出来，那前面这些是不是 a 三三排列就行了，对吧？ 那就是 p x 等于四的情况，那 p x 等于五其实也是完全一样的，总共是 a 六五种情况，还是分情况讨论吧。就是三个一，两个 u， 那是不是还是一样的？先把三个一选出来， c 四三，然后两个 u 选一个在最后，然后一个 a 四四，那还有是不是我们的四个一，一个 u， 那 四个一，一个 u， 我 们是不是先 c 二幺把这个 u 选出来？因为 u 有 两个嘛，你选哪个呢？然后四个一，我们是不是 先选一个到最后一，然后前面的来排，所以我们先 c 四幺，把这个一选出来，然后前面 a 四四就行。那我们就认为这两个 u 极品间是不同的，一个是 u 极品 a， 一个是 u 极品 b， 那 当然如果你认为它们是相同的，也可以，我们消一个去就行了，对吧？所以这就是我们做算出来的概率，然后那个期望自己写吧， 那这就不多写了，就是讲思路，但是计算过程就你们这一串，那最后每一次的 u g 频率是 p， 那 十次独立重复抽咽，那是不是相当于是一个二项分布，对吧？ 那二项分布我们直接写写，因为至少有八次嘛，另一个 f p 就 等于至少有八次，那就是八九十三种可能嘛。那我们先写写八次的 c 十八 p 的 八次方，一减 p 的 平方加上 c 十九 p 的 九次方，一减 p 加上 c 十十 p 的 十次方，那就等于 p 的 八次方，三十六倍的平方减八十 p 加四十五， 因为我们要研究它的概率不小于这个的 p 的 取值。那我们是不是首先得知道它的单调性啊？因为我们都不知道它单调性只有取值，你就算算出来，你也不知道它往哪边取，所以我们应该先算一下它单调性， 求个导，它等于一个三百六十倍的 p 七方 p 减一的平方，这个呢是大一点零的，因为 p 属于零到一的，对吧？所以它大一点零， 所以我们 f p 就 在零一上，是单倒立针的，那他在零下倒立针，我们是不是还得把这个值取出来？因为你看到这里是零点七五的九次方，所以你还能取多少？ 你是不是只能去零点七五？因为你去其他的，你这里有个 p 的 八次方，对吧？你这要产生零点七五的九次方，你只能考虑零点七五嘛。所以 f 零点七五进去算一下，刚好等于七乘上零点七五的九次方，但是说不小于它，是不是我们 p 就 会大于等于零点七五，所以 p 的 最小就是零点七五。 ok， 这是我们的十八题来看十九题，十九题的话，我讲我当时就是去年二五年在考场上那个做法， 就不讲答案的做法，但是我这做法呢，最后被扣了两三分，好像是三分吧，因为我最后有些情况没有讨论完，但是我后来下来给他补完整了，就在这里讲一下这方法。我们先读一下题目， 首先它有两种构造，就是说一种是这个偶数的构造，偶数的构造呢，是用这个短直角边为新的短直角边，然后斜边为长直角边，这是我们的偶数的构造，是第一种构造。然后基数的呢，是以长直角边为新的短直角边，这是第二 种构造呢，是往基数方向推。第二个构造呢，是往基数方向推。我们来看一 求 t 的 导公式，因为我们这 t n 全是偶数啊，就是二的 n 减一次方，所以说每一次构造都是以偶数构造来构造的，所以说这个就比较简单了。我们先算一下前几项， t 一 等于 k 一 等于一根号二，根号三， 然后 t 二等于 k 二等于一根号三二。 然后我们来看 t n 啊，因为要求天的创公式，那我们肯定是想着 t n 是 由天减一变来的，所以我们先写递推。 我们 t n 是 不是等于我们的 a 二的 n 减一次方， b 二的 n 减一次方， c 二的 n 减一次方， 那么 t n 减一就等于 a 二的 n 减二次方， b 二的 n 减二次方， c 二的 n 减二次方。我们就要看这两个之间有什么关系。首先 由于我们是偶数，所以是不是我们 t n 减一的一个短直角边，是新的三角形的短直角边。虽然我们是不是有 a 的 二的 n 减二次方，等于 a 的 二的 n 减一次方，也是我们这两个短这边相同的，那相同的，由于这个地推，我们是不是可以一直推下去，一直推到一个 a 一 等于一，是我们是不是就得到了我们所有的 a， 其实都是一， 我们再来看 b 和 c， 那 b 和 c 我 们有什么关系呢？我们这个的长支绕边是不是圆四角形的斜边？所以我们是不是有我们的 b 二的 n 减一次方，等于 c 二的 n 减二次方啊？对吧？那么再来看 c 呢？ c 二的 n 减一次方，是不是就等于我们的这两个的平方和，对吧？那就是根号下 一加上 b 二的 n 减一次方，那是不是我们这个可以平方啊？那是 c 二的 n 减一次方的平方，然后拿这个拿 c 带掉，等于一加上 c 二的 n 减二次方的平方。那么发现 这个东西的平方呢？是不是一个等差数列啊？等差数列我们就可以一直往下推，推到一，那一的话，它的平方是三，所以我们就会有 c 二的 n 减一次方，就等于 n 加二，这是平方啊， 所以我们就可以把这些都写出来了，说明有 t， n 是 等于一，这个 b 呢，等于上一个的 c， 所以 它又等于根号下 n 加一，然后 c 呢？就根号下 n 加二。 ok， 这是我们第一问，第一问相对来说，只要你理解的题还是比较好算的。我们来看第二问， 若 k n 等于这个，让我们求 n， 那 这个东西怎么求 n 呢？ 那我们说我们是不是可以由他来递降啊？就是说，虽然我们不知道这是多少，但是我们可以把它前一项算出来 k n 一 吧，那前项算出来，我们即使不知道，那么是不是还可以算 k n 二，一直算到一个 k n， 呃， m， 那 是不是把这些都算出来之后，我们只知道有一个是知道了，就最后那个我们是知道的，那么再反过来推，是不是就可以推出来 n 等于多少了，对吧？ 下面就来看如何由他来推我们。前一下，也就是说我们现在不知道是以短的这个边还是长这个边作为现在新的这个短直角边，那我们首先知道这个肯定是斜边，对吧？下面斜边肯定是六，然后有一个直角边是五， 那是不是我们可以把剩下一个直角边算出来，就是根号十一，那我们这个用五是用长的还是短的呢？是不是他用的是长的，所以我们就可以看出来他到底是用长的，也就是由第一个 算出来，还有第二个算出来的，那么知道他用的是第一个构造还是第二个构造，那么就可以写出这一个的 n 和上一个 n 的 关系，那么把所有 n 的 关系写出来，然后一个一个往下推，只要能推到一个我们知道的这个 k 上面去，那是不是算出来了，对吧？ 我们写写 k n 是 等于五六，根号六十一的， 那我们 k n 一 是不是等于根号十一五六的？那它是以哪个构造呢？我们现在五是长支绕边作为短支绕边，那是用的是第二个构造了，我们是不是有 n 应该等于二倍的 n 一 加一，对吧？我们再写 k n 二，那是不是根号十一，然后算出来另外一个是根号十四， 那么此时是不是用的短边作为短边，这是不是 n 一 等于二倍的 n 二，我们再往下写 k n 三是不是等于根号三， 根号十一，根号十四，那么是不是有长边做短边？所以 n 二是不是等于二倍的 n 三加一， k n 四等于根号三二倍，根号二， 根号十一，那是不是短边做短边？ n 三等于二倍的 n 四，然后 k n 五等于个 n 三啊？根三根五，然后二倍根二，那么 n 四是不是等于个二倍的 n 五？因为是短边做短边吗？ k n 六就等于根二，根三根五，那是不是长边做短边， n 五等于个二倍的 n 六加一， 那 n 七呢？是不是一跟二跟三，那是不是 n 六等于二倍的 n 七加一？那么发现一跟二跟三是不是就是我们的 k 一 啊？所以我们的 n 七是不是等于一的？ 那我们回推， n 六等于三， n 五等于七， n 四等于十四， n 三等于二十八， n 等于五十七， n 一 等于幺幺四，那么的 n 是 不是等于二二九？ 那由于我们 n 是 怎么往前推的，你是不知道的，因为一会用构造一，一会用构造二，那我们没有办法知道他怎么推的话，那我们是不是就只能一个一个往前推，然后推到一个我们已知量上去，最后就算出来最后这个值是多少？这我们第二问， 我们来讲第三问，第三问答案主要用的是一个反证法，就说如果他们相等会得出什么矛盾，那我主要用的是一个竖规，或者说叫递减的一个思路去解决它， 那就是说我要考虑它怎么生成的，就我考虑它上一项，因为我们所有的都不等，那是我们能不能挣出一个 ai 一 撇，那这个一撇呢？就是我们 ai 的 前一个，就是我们来生成 ai 这个东西的那个 i， 那 b i 一 撇不等于 aj 一 撇，比上一个 b j 一 撇，我们就看这两个东西是否是等价的。 为什么我会这样想呢？主要是一个数学规律法的一个思路吗？如果我这个不等，他等价于我们下面这个不等， 那是不是我一个推一个，一个推一个，他其实都不等，对吧？因为我们对于任意的 ig， 他的前一个不等，他后一个就不等，那前一个不等，我们再往前推，他再前一个都不等，那最后肯定会回到一个基础情况，那只要我们基础情况不等，我们后面就全都不等，对吧？ 所以我是这样一个想法，就是说如果我们能够挣出这样一个事情，然后我们再稍加完善一下，那最后是不是把这事情挣出来了，对吧？所以就这样想，这样想，那我们实操就会发现很难操作， 因为有两种构造，第一个叫基数，这个叫偶数，那我们就想想这事情，或者我们这个，我们不妨把这个记作 r i， 这记作 r j 吧。这我们记一下，记 a i 比 b i 等于我们一个 r i， 那 我们来写写第一个 n 维基数，或者说我们 i 维基数都是没有问题的，那我们 r n， 我 们怎么去表示它呢？我们先写一下 k n k n 就 等于一个 a n b n c n， 那 由于我们基数是不是用这个第二种构造生成的，所以我们就可以把它的前一个写出来，那我们要递推成 k n， 那 前一项一定长，这样叫做根号下 b n 方减 a n 方， 然后 a n b n 他 前一向已经长这样，对吧？我们由这个 k n 递推到 k n 一 撇的话，那长这样，我们说他是用长边，所以说我们的长边一定要大于等于我们根号下 边任方减任方，于是我们就可以解出来，我们此时的这个边任方呢，应该是大于等于我们的 r n， 应该是大于等于 我们的二倍杠。二，由于我们这个 a n 肯定是要小于点 b n 的， 所以我们可以给此时的 r n 一个范围限制， r n 呢，属于二分之根号二。逗，我们的一，那这是奇数的时候，那第二种情况是不是 n 还有可能为偶数， 那偶数时候我们这个 k n 就 等于 a n b n c n， 我们这只是有根一撇，等于 a n 根号下边方减 a n 方都边，对吧？但是二倍的 a n 方要小一点边方，所以我们有这个 r， 因为你把边方出来就可以了，属于一个零到一个二分之根号二。 那又由于这边二分之根号二的情况下是 a n 等于 b n， 所以 我们不妨约定一下，由于我们这边二分之根号二的情况是前一个，这两个相等，那这两个相等的话，我们不妨就约定一下他在这边吧。因为你如果是 a n a n b n 往下递推的话，你说取哪种都是一样的吗？所以我们不妨约定他就是右边这个。那所以我们算出来一个情况，就说如果我们是基数的时候， r n 是 等于这个，如果是偶数的话， r n 属于这个范围，那么要接着往下想， 那么 r n 是 不是我们说要跟前一个挂上关系啊？所以我们要写这个 r n 一 撇， r n 一 撇，是不是我们 a n， r n 一 撇，是不是我们根号下 b n 方减 a n 方除上一个 a n， 它等于什么呢？它它是不是等于 r n 的 平方分之一减一？ 那我们说这个函数是一个单调函数，对吧？我们这里是 r n 方分之一，它是不是一个单调函数？ 单调递减的，那它是一个单调函数，是不是意味着在这种情况下，我们 r i 不 等于 r j， 他 跟我们的 r i 一 撇不等于 r j 一 撇是等价的， 因为我们这是个单调函数，就意味着什么呢？如果我们 r i 一 撇等于 r j， 那 么 r i 等于 r j， 那 么 r i 一 撇也必然等于 r j 一 撇，能理解吧？因为这个函数是单调的， 那同样在这个情况下，我们可以得到 r n 一 撇是等于 a n 除上一个根号下 b n 方减 a n 方的，它要等于我们刚才那个导数根号下 r n 方减一，那我们说这个也是单调的，它单调递增的。所以在我们第二个情况下，我们的 r i 不 等于 r j， 跟我们的 r i 一 撇不等于 r j 一 撇也是等价的， 这个能明白吗？就是我们在这两种情况下，我们的 r i 不 等于 r j， 其实都等价于，它的前一项不相等。第一个呢是 n 为基的情况，第二个呢是 n 为偶的情况。 那其实我们情况没有讨论完吗？我们都是在讨论内部的情况，就这个内部 r i 不 等于 r j， 这个内部 r i 不 等于 r j。 如果说还有情况，就是 我们 r j 和 r i 在 不同的情况呢？那要是说 r i 属于我们的二分之根号二都一， r j 属于我们的零斗二分之根号二，或者我们的 r i 属于我们的零斗二分之根号二， r j 属于我们的二分之根号二斗一。我们说这个情况根本没有讨论的必要，因为这个情况下 r i 就 不等于 r j 啊，我们还需要讨论吗？他们都不在一个区间，对吧？那么说这个情况有 r i 是 不等于 r j 的， 所以说我们总体上就解决了一个问题，就是综上我们解决了一个问题，叫 r i 不 等于 r j， 其实等价于 r i 一 撇，不等于 r j 一 撇，对吧？这个情况就不用考虑这个情况，你 r i 就是 不等于 r j 的， 对吧？你都不在一个区间，我们取折范围都不可能一样，对吧？ 所以总体上我们完成了这个证明的第一步，就是这一步，那我们就要往前递推了， 那往前推我们发现有一个问题，就说你这个 r i 和 r j 继续往前推啊，因为我们现在 r i 一 撇和 r j 一 撇也属于上面的情况嘛，对吧？ 所以说它一定等价于什么？它一定等价于 r i 两撇，不等于 r j 两撇，它一定等价于 r i 三撇，我们再用三吧， r j 三，那一直不等于下去， 那问题又来了，一直不等于下去，它最后的情况是什么呢？我们虽然证明这等价，但是最后最原始的情况是什么呢？我们就发现有问题，因为你 r i 和 r j 的 一个长度可能是不同的，也就是说我 r i 可能是经过了 n 步最后到达的， 那 r j 呢？可能是经过了 n 加二步到达的，也就是说我们最后不一定能一直等价下去，就是你 r i 减一， r i 减一， r j 减一，因为它俩可能长度不一样长， 那长度不一样长，我们怎么等价于基础情况呢？这个也很难搞。那长度不一样长，我们说什么？我们说 r i k， 它与 r j、 k 中至少有一个会 先到我们的这个 r 零有什么？这个最后低降到 r 零那个情况，而后停止， 有时两个可能同时到，但是有可能是有一个先到，所以我们就要证明这个事情。第一个，若 r i k、 r j k 中 仅有一个先到 r 零，那我们说 r 零是等于一的，对吧？ r 零说明的 k 零一一杠二，那它就等于一，那对于 k 大 于等于一来说呢？ 对于 k 大 于等于一来说，那我们说这个 r k 必然是小于一的，为什么呢？因为我们看这个深层，我们是不是深层的是用上一个的这个直角边。然后第二个是斜边，那斜边一定大于直角边，我们说对于 k 大 于等于一来说， r k 必然 小于这个呃，一，所以我们此时不妨 r i k 就 等于 r 零，那我们的 r 零一定是不等于 r j k 的， 这个能明白吗？因为 r， 因为我们此时 r i k 先到 r 零，我们 r j k 还没有到 r 零，他一定在后面，他在后面的话，那由于他是小于一的，他等于一的。这两个一定不等的话，我们由 d 推下去，我们由它生成的所有 r 和 r j 都是不相等的，这个能明白吗？ 那此外还有一种情况，就说如果说我两个链结是一样长的，就是若 r i k 等于 r j k 等于 r 零，那么就发现这个好像有点诡异啊，对吧？ 那么随便写一下，比如说这是零，然后伸出去了就是一，一分出去二和三， 对吧？然后二十分钟是什么？四五，三十分钟是六七。那这个怎么考虑呢？那我们说你链接一样长的话，一定在某一个链接之前是相同的，在某一个链接后是不同的。因为你 i 始终是不等于 j 的， 所以我们必然存在一个 m， 那这个 m 是 什么呢？ m 是 使得这个 r i k 等于 r j k 中最小的 k， 为什么这样考虑呢？就是最小的 k 就是 我往下递减最少次数，它俩是相同的，也就是说在这个 m 之后，我俩就不同了，对吧？在这个 m 之后我俩就不同了。在这个 m 之前我俩是相同的，那 m 之后我俩不同了。那此时是不是 由于我们 i 不 等于 j， 所以我们的 r i m 减一与 r g m 减一，是不是必然 有一个是 r m 就是 我们这个 r i m 吧，经过一构造 得到。然后一个呢？是经过二构造得到。 因为我们说在这个 m 之前，它都是相同的，一起来的，对吧？ m 之后就不同了，但在 m 之后不同，为什么会不同呢？只能一个是一构造，一个是二构造嘛，对吧？那么说一个是经过一构造得到，一个是经过二构造得到。由于我们什么？ 由于我们前面证明了 k 大 于等于一的时候， r k 是 小于一的，那 r k 小 于一的就意味着什么呢？就意味着我们 a n 是 不等于 b n 的， a n 严格小于 b n。 又由于我们递推中这个 c n 是 相同的，所以此时 这有什么？其实我们 r i m 减一必然是不等于 r j m 减一的，那我们再由这里往后递推下去就 ok， 那 于是我们就成功证明了这个命题。于是我们就有 任意 i 不 等于 j， 我 们的 r i 都不等于 r j。 其实整体思路呢，是比较好想的，整体思路就是说我既然是任意的都不等，那我只要前一个不等，我就 那整体思路其实是拿归类或者说叫一个递减的思路去想，就说我对于任意的 i j 都满足，那我这个 i j， 那 我前一个生成他的那个也一定是不想等的，那如果我前一个不想等的退出，后一个不想等，那我这个命题就整完了。于是我们前面就干了这样一个事情， 前一个不相等怎么来推出后一个不相等，或者后一个不相等怎么推出前一个不相等？然后我们证明完这个事情之后，当我们发现他链接可能不一样长，所以我们可能不能归到一个基本情况，所以我们要归一下这个基本情况到底有哪几种情况。 第一个有一个比较长，有一个比较短，然后第二个两个一样长，那我们是不是都说明了，在这个情况下都存在一个 r i k 和 r j k 他 俩是不等的，那在这个 r i k 和 r j k 之后地推地推出来了这个 r a r j 他 依然是不相等的，也就是我们成功的证明了这样一个命题。 那这个证明思路呢？是我去年在考场上写的，因为考场上答题卡不够了，所以这个二期是我没有证，就是我只证到这里，然后就交了，后面这些都没有证，没有证的话这个题被扣了个两三分的样子。 ok， 那 就是我们这张卷子全部内容了，感谢大家观看，我们下期再见。

考试结束，考生立即停止答卷，还在为错题烦恼，不知道失分点背后哪些知识点没掌握， 感觉时间紧张，却不知道该从哪里发力提分最快。偏科严重的同学不知道怎么去学习自己的薄弱科目，那就来立高分办学中心，参加一诊复盘冲刺。模拟考。模拟考试的真正的含义是检验大于呈现，将还原一诊难度。 再次模拟测试，精准暴露知识漏洞，智能分析错题定位。薄若科目，薄若知识点，让你不再盲目学习。生成专属定制学习方案，明确剩下一百多天从哪提分最有效，哪些部分最容易突破。 针对偏科严重的学生，提供专项强化计划，把弱科变成提分突破口。一诊只是过程，高考才是目标，别让模糊的努力耽误冲刺的效率来历。高分，根据模拟考暴露的问题，定制专属学习方案。

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重庆高三家长们，八中物理月考卷五含金量非常高，孩子如果没有考好，真不是粗心，很有可能是物理模型没有搭稳。比如计算题。十四题机器人杂技其实是多过程运动，把匀速直线运动和圆周运动串在一起， 受力分析一旦错了，后面就全崩盘，多选压轴。第十题考的是电磁感应，但模型很清晰，只要能量和动量思路能对，就能拿下。还有第四题，电容器 看着很新颖，其实考的是基础动态分析，关键在审题准，对应关系清晰。孩子们在平时练习时，多思考每个分析过程，把每一道题背后的物理原理拆解明白。家长们，你家孩子的物理问题是什么？评论区聊一聊。

同学们，今天我们一起来学习西亚附中高二零二六届高三上一诊模拟考试中的第十四题。这道题主要考察电磁感应中的动力学、动量定力与能量守恒综合应用，是高考电磁学板块的典型压轴题型。我们先来读一下题。 间距为 l 的 两根足够长光滑金属导轨平行固定在同一绝缘水平面上，定值电阻 r 一 等于三， r， r 等于六， r 分 别接在导轨两端。导轨电阻不计， 质量为 m， 长度为 l、 阻值为二的导体棒。至于导轨上，整个装置处于磁感应强度大小为 b 方向竖直向下的匀强磁场中， 保持开关 s 断开。导体棒在大小横为 f 的 拉力作用下，由静止开始沿导轨水平向右运动，经时间 t 达到最大速度，导体棒始终与导轨垂直并接触良好，且一直未到达开关 s 处。求 一，导体棒速度为为时的加速度大小。二、从导体棒开始运动至达到最大速度的过程中，安培力对它的冲量大小。 三、导体棒达到最大速度后，闭合开关 s， 同时撤去拉力 f， 此后电阻二二上产生的焦耳热。第一小问求导体棒速度为 v 时的加速度大小。 这一问核心考察电磁感应中的动力学分析需要结合法拉帝电磁感应定律、安培力公式和牛顿第二定律，求解导体棒切割磁杆式。一，等于 blv， 开关 s 断开时，外电路只有 r 一， 电路总电阻 r 总等于 r 一 加上 r 棒等于四， r 电路中的感应电流 i 等于 e， 除以 r 总 对导体棒应用牛顿第二定律，拉力 f 减去安培力等于 m a 带入安培力表达式，解得 a 等于 m 分 之 f 减四二分之 b 方 l 方 v。 第二小问，求安培力对导体棒的冲量大小。这一问主要考察动量定力在电磁感应中的应用，关键是先找到最大速度，再结合动量定力列方程。 当导体棒达到最大速度时，拉力与安培力平衡，解得最大速度等于 b 方 l 方 v 分 之四倍 f 二以向右为正方向对导体棒应用，动量定力 f 减 i 等于 m v 减零 解的安培力的冲量等于 f t 减 b 方 l 方 v 分 之四 m f 二。第三小问，求电阻 r 二上产生的交尔热。这一问综合考察电磁感应中的能量守恒和电路的交尔热分配，需要先分析电路结构，再结合能量转化规律求解。 开关闭合后相当于 r 一 和 r 二并列。撤去拉力后，导体棒的动能全部转化为电路的交而热，导体棒内阻而与外电路并列。电阻二二的交而热之比为一比二， r 一 与 r 并连，交尔热与电组成反比为二比一。因此，外，电路 r 二产生的交尔热等于 q 总乘以三分之二，再乘以三分之一等于九倍的 b 四次方， l 四次方，分之十六倍的 m f 方 r 方。总结归纳一下， 解决这类电磁感应综合题关键要把握三个核心步骤，一、动力学分析结合法拉利电磁感应定律、安培力公式和牛顿定律，分析导体棒的运动状态，加速、匀速。 二、动量分析涉及时间或冲量时，优先用动量定律避开电加速运动的复杂过程分析。 三、能量分析撤去外力后，导体棒的动能通过安培力做工转化为电路交而热需结合串并连电路的交而热分配规律求解，今天我们的讲解就到此结束。

哈喽，各位大家好，今天给大家带来康德调研二数学试卷一个讲解。先总体评价一下这张试卷，这张试卷总体难度较低，然后第八题可能稍微有一点点难度。十一的话是一个计算问题，这些量其实你只需要算出来就可以很轻松判断他是一个正确还是错误的。 十四的话直接每举就 ok。 解答题的话只有十七题，稍微有一点难度，但是 他有一点难度不代表不可以做，就是说实际上条件其实给的比较明显。一会我们会讲到，既然条件给的比较明显的话，我们朝着这个路径去化简，也是比较容易能化出来的。只是说大家可能没有见过这样一个形式，然后导致这个题会做的比较差一些。 十八和十九都很简单，我觉得他们两个的难度甚至达不到十七题的一个难度。 ok， 就是 这张卷子一个总体评价。我们进入这张卷子的讲解，先看第一题，已知负数 z 满足这样一个式子，则 z 等于什么？那么只需要把 z 算出来算对吧？ 所以我们把这个 i 加一除过去，然后上面是 i 减一，然后上下同时乘一个 i 减一 给进行分母式入化，然后就等于 i ok。 第二题， 已知 x， y 属于 r， 则 x 乘 y 大 于零，且 x 加 y 大 于零，是 x 大 于零且 y 大 于零，有什么条件？我们知道 x 乘 y 大 于零，那么肯定是两正或者两负，他要告诉你他俩的和大于零，那么是不是他们两个一定都是两个正数，所以这样推是没有问题的。 那反过来推呢？很明显是成立的，所以它是个冲要条件。第三题，第三题这里有个坑，就是它属于的是一个自然数集，并不是一个整数集啊。很多人可能下意识以为这里是个整数集， 那我们把全集 u 写一下，它应该是一个零一二三四五， 然后 a 集合在里面的补集就是划掉二三四，只剩下零一五，零一五跟负一三五的一个交集呢，就是五，所以选择 b 选项四， 正态分布，我们知道正态分布，这个正态分布关于二是对称的，对吧？那它小于一，也就是这边是零点三， 我们需要算是二到三，二到三这一块有对称性，是不是和我们的这个一到二这一块是一样的？那既然是一样的话，又对称性，我们这边总体是零点五，然后这边是零点三，所以这就是零点二。 选 b， 第五题就用两个根号相加，你注意里面的平方和是一个定值，那平方和是一个定值的话，我们说就可以进行三角换元，对吧？ 三点还原，那这个平方和是不是根号？呃，这个平方和是不是二，那我们三点还原，是不是根号二倍的 口三 a c， 它加根号二倍的三 a、 c 它，你要注意，我们根号里面都是大于等于零的，所以我们这个 c 它需要有范围的限制。 c， 它应该属于零到二分之派，因为我们三根口三都需要大于零，对吧？零到二分之派， 然后我们用辅助角公式化一下，它就等于二倍三。 c 大 加四分之派，然后整体就属于一个刚好二到二的一个范围，当你直接求导算值也是可以算出来的。第六题 看到这样一个递推式，我们可以先把它写成一个分式递推的形式，对吧？就是 a n 加一等于什么 a n， 那 么 a n 加一就等于 a n 加一， 然后是一个一减 a， 对 于这种分式的推，我们去解决它方式，是不是去算它不动点呀？那么算一算不动点， 那就是 x 等于 x 加一，除上一个一减 x， 那 乘过去就是 x 减 x 方等于 x 加一， 我们挪过去，然后就发现他的不动点是不存在的，也就是这个分式递推他不存在不动点。那我们说如果一个分式递推不存在不动点，那么在高中范围内，他一定是周期数列，因为他不会考，不是周期数列的情况，因为会涉及到负数的很多相关计算， 所以说这个地推他不存在不动点，那么他一定是周期初列。我们只需要算一下前几张就好了， a 一 是二， a 二是负三， a 三是负二分之一， a 四是三分之一，然后 a 五又是二，所以我们知道 a 一 是二， a 五是二，他是不是以四为一个周期， 所以我们 a 二零二六就等于 a 二就等于我们的负三。那至于什么是不动点，我会在后面梳理专题讲到这样一个知识， ok， 第七题， 以一个正四面体中心为球心的三个球，其中与正四面体各个面相切的球半径即为 r 二，过正四面体四个顶点的球即为 r 三。 那 r 一 和 r 三其实很多同学都背的啊，一个是这个正四面体的外接球，一个是正四面体的内切球，我们还在这里写一写， 不妨底下就做 i， 这就做 o， 那 我们怎么算它的内切球和外接球呢？那首先它是不是与我们的面相切？我们在这里写一下， 那面相切的话，它是不是到每个面的距离是相等的？都是 r， 那 我们是不是相当于我们可以把这三段的长度算出来，然后再利用这个到每个面的距离相等这个 r 建立一个方程，对吧？所以我们不妨设到边长又是 a， 那 我们设到边长是 a 之后，我们可以算出来这一段的长度是一个三分之根号三 a， 然后整个这个的长度是三分之根号六 a， 于是我们就可以通过 r 来建立勾股定律的一个方程，那我们在这个三角形里面利用勾股定律，我们就会有 三分之根号六 a 减 r 的 平方等于三分之根号三 a 的 平方加上一个 r 方，那由这个方程我们就可以解出来 r 与我们 a 键的关系，这个 r 呢，就等于十二分之根号六 a， 那这个是我们这个内切球，那内切球的话就是我们的 r 一， 那 r 一 就等于我们的十二分之根号六 a， 那 外切球呢？外切球就是整个我们的三分之根号六 a， 减掉我们的十二分之根号六 a， 对 吧？因为我们现在是这段长度，你外切球直接算上面这段是不是可以了？但很多人直接背的都可以直接背啊，等于个四分之根号六 a， 那还有一个冷气球怎么办呢？冷气球，所以我们就需要连一下我们的冷，我们在这边把这个冷连过来，连过来之后还是仿照刚才一样的算法，我们这里有个垂直，对吧？冷气球是一个垂直于冷的，那由于我们现在这个 r 这些长度都知道，这的长度也知道，这边长度也知道，这边长度也知道，是不是都知道，所以这些长度都知道情况下，我们是不是利用三角函数就可以把这个垂直的这条线段的长度给它算出来了，对吧？ 因为这个大三角形你什么都知道，然后我们可以算出这个角的三角函数，然后线段函数我们再乘上这个是不是就可以得到了，对吧？那我们说这段长度是不是一个三分之根号三 a， 然后我们整个斜边的长度这里是不是一个 a？ 所以 我们斜边比短的直角边是不是一个根号三倍的关系，对吧？斜边比短直角边是个根号三倍的关系，也就是说我们这个三也是一个三分之根号三， 那既然是个三分之根号三的话，我们在这个三角形里面，我们的斜边是不是就是我们的这个 r 三，也是我们四分之根号六 a， 对 吧？ 那四分之六 a 再除以高三，就成了我们这个边的边长，对吧？那所以我们 r 二答案也可以算出来是一个四分之根号二 a， 所以 根据这三个比中，我们就可以选出来这个题应该选 c。 第八题， 第八题看到一个这样的抽象函数，我们的第一反应就是说这个东西能不能化解一下，就是它能不能 通过我们的这个换元，也就是我们可以比如说令 f x 减一，等于 g x 啊，等于这个啊，对吧？给它换成简单一点，因为这个式子终究还是太大了，那我们看到 f x 乘 f y 和 f x 加 f y 这样一个式子，其实只要你以后看到这样的式子， x y 减一个 k x， 或者加一个 k x 加一个 m y， 这种形式你基本上就往一个因子方向去走，就是 x 加 m， y 加 k， 这个展开呢，就是 x y 加 k， x 加 m y 加上一个 mk， 你 看到这样一个式子，你基本就可以往这放走。当然这个最常见的还是用于基本本式题型里面， 那这也是一样的，你既然有 f x 乘 f y， 还有单独的 f x 加 f y， 所以 我就想能不能先给它分解一下，那么挪过来就有 f x 减 e 乘上一个 f y 减 e 加 f x y 减一等于零，然后你就发现我们这都是减一，你是不是就可以拎 g x 了？当然这里如果你拎 g x， 就 会有 g x 乘上 g y 加 g x y 等于零，我觉得这个还是不够方便，但你这样拎已经足够做出来这个题了。 那我觉得这样还是不方便的话，我把这里写成一减 f x， 然后这里写成一减 f y， 这边呢，就等过去了，就把它挪过去一减 f x y， 那 么这样拎 g x 看着就会舒服很多。所以我们另一条就是 g x， 我们就有 g x 乘 g y 等于 g x y， 那 现在是 g x 乘 g y 等于 g x y， 那 你看到这样一个式子，你大致就可以联想出我们这个测量函数，其实你可以举出来一个，具体来说就是 y 等于 x 嘛，对吧？对于这个函数来讲，那对于我们 f x 来说呢？ f x 就 等于什么 一减 x 嘛，对吧？那所以你既然能取出这样一个具体函数变，你发现刚好符合下面的条件，当 x 大 于一的时候， f x 小 于零，那这个题不就直接做完了吗？对吧？所以这是我们从举一个具体函数的角度来说，这题可以这样做。那如果我们不是呢？那我们就来把这个再化简一下， 这个化简下就是我们的一减 f x 一， 一减 f x 二等于一， 还是同样的分解啊，那分解完了之后，我们发现它就是我们的 g x 乘 g x 二等于一。那既然是我们 g x 乘 g x 二等于一的话，那我们由于 g x 乘 g y 是 不是等于我们的 g x y 的？ 所以相当于我把它挪过去， 相当于我们条件啊，相当于我们要证的结论，这个 x 一 和 x 二就变成了 g x 一， x 二等于一，然后让我们找出 x 一 和 x 二的关系， 让我们发现这里说当 x 大 于一的时候， f x 小 于零，那么对到 g x 上去，那就是 x 大 于一时， 我们的 g x 也是大于一的。那我们是不是还有两个没有讨论，就是 x 等于一和 x 属于零到一啊？因为我们 s e x 大 于零的，我们没有必要讨论小于零那一边嘛， 所以我们就需要算一下 g e 是 多少，对吧？ g e 我 们还没有算 g e 的 话，就需要算 f e f 的 话，我们就在这个原来的这个函数里面，直接令 x 等于一，令 x 和 y 都等于一的话，我们就解出来这个 f 一 的平方 等于 f 一， 说明解除了 f 一 等于一或零。哎呀，我们发现 f 有 两个值，那这个答案好像没有两个值的答案，所以说肯定有一个是需要舍去的，所以我们先讨论一下第一种情况， f 一 等于一的话，你看它成立吗？ f 一 等于一，我们就把这边 y 都带成一嘛， f x 不 动，那么就有 f x 加上 f x 等于 f x 加一，我们直接推出来 f x 等于一，那你发现这不是矛盾了吗？因为当 x 大 于一的时候，我们 f x 是 不是要小于零的，对吧？那既然我们的 f 一 不能等于一的话，那么的 f 一 就只能等于零了，对吧？ f 零零，我们对应算一下 g 一， 那 g 一 是等于一的，我们就发现这个好像是乘了，因为我们 g x 一 x 二等于一，但 g 一 高等于一，我们大概就能猜到 x 乘 s 等于一了，但是我们还有一段没有说明，就是 s 属于零到一的时候， 当你发现我们有这样一个表达式，对吧？ g x 乘 g y 等于 g x y， 如果说我这边就是一，那这边成了 x 分 之一，那我 x 大 于一， x 分 之一，是不是自然就是属于零到一的？所以我们在这个情况下，直接令 y 等于 x 分 之一，我们其中 x 大 于一，那 y 是 不是自然就属于我们的零到一了，对吧？那么就有 g x 乘上 g x 分 之一等于 g 一 等于一，那就说我们 g x 分 之一就等于 g x 分 之一，那我们说当 s 大 于一的时候， g x 大 于一，所以我们这 g x 是 不是明显大于一的？所以我们这个 g x 分 之一这个东西，或者说 g y 是不是就是属于零到一的？那它属于零到一，我们 y 是 属于零到一，所以我们是不是又证明出来了，当你这个 x 属于零到一的时候， g x 属于零到一， x 等于一的时候， g x 等于一， x 大 于一的时候，这个 g x 大 于一。所以我们需要我们的这个 g x 乘 x 等于一，这个，那是不是我们就可以直接推断出来，我们的 x 一 乘 x 二等于一啊？那这个推断出来，我们剩下这个就好办了，那就用基本不等式给他往 x 乘 x 二上面靠嘛，对吧？ 先用一次基本公式啊，先给它化成一样的，那是不是等于二 x 一 次方加上二的二 x 二次方，它是不是大于等于二倍根号下两个相乘二的 x 一 加二倍 x 二， 我们再大于等于，是不是到成绩上面去了？那是不是二乘以根号下二倍，下面是一个二倍根号二。那这东西是啥呢？我发现这东西好像很多根号，我们给大家稍微化解一下， 那我们给它写成指数密的形式，把这个根号，那这就是一个二乘上一个二的二倍根号二的一个二分之一次方，我们是不是可以把二分之一拿进去呢？是二乘上一个二的根号二次方，那这两个相乘，我们是不是可以给它变成 二的根号二加一次方啊，对吧？所以选 d 选项，这是我们的第八题。再来看看第九题，第九题这个平均数就自己算啊，算成三十三点七平均数还是比较好算的。然后这主数据的级差，级差是最大减最小，四十五减二十八等于十七没有问题。 这组数据的第七十五百位数，我们先算一下，总二十个人，二十乘以百分之七十五就等于十五，那我们第七十五百位数就应该是第十六个数据加第十五个数据，再除以二， 那我们看这些数据都在哪？这里是一，这总共四，这里总共是七，这里总共十二，这里总共十六，算我们十五跟十六数据是不是都是三十六？所以其实百分之五是三十六，中位数和种数相同， 中位数是不是我们的第十个和十一个？再除以二，那十个和十一个，我们是不是都在三十二这个范围里面？所以说他的中位数是三十二，他的中数那最多的也是三十二，所以 d 正确。第十题， 那结果我们之前说过，像这种东西，你要化简的话，你首先要找到他们建立一个关系。比如说这里是加三分之二派，这是加六分之派。我们知道三分之二派可以写成加六分之派，再加一个二分之派，对吧？那我们就可以用既变而不变符号看象限去给它划到一个负的三引 x 加六分之派上面去，然后再加上一个口 sign x 加六分之派，所以我们就可以写成负的根号二倍 sign s 减十二分之派，对吧？因为我们这就要减个四分之派嘛，六分之派减四分之派等于负的十二分之派， 那么照这个函数，照最小周期，二派十二分之派都有零中心对称。那么把十二分之派带进去，那是不是得到我们 s 里面这一坨，它是整体等于零的，对于三来说，那是不是零？零是带一个对称中心，所以 f x 也关于十二分之派都有零中心对称， f x 值跟二没问题，在零到十二分之派上单调递增，你大家算一下，我们里面这坨就应该属于一个负的十二分之派。逗，零，那虽然对于三来说它是单调递增的，但是你别忘了前面有个符号，所以呢是单调递减的， 所以我们整个例式就选 b c。 十一题，十一题，其实这四个都是一个计算问题，你没有任何的技巧，你只有一个 p 点，你就拿 p 点去表示就好了，对吧？我们可以在这基础上就设 p 为 x 零 y 零， 然后我们有一个这个 a 方分之 x 零方减， b 方分之 y 零方等于一， 因为这些量你没有其他任何表达方式，你只有拿 s 零和 y 零去硬表示，对吧？你去硬表示完之后，最后化简出来，是不是这个东西就可以了？ ok， 我们来看 p n 除上根号下， a 一 n 乘上 a 二 n 等于 a 一 分之 b， 所以 我们第一步就想，你怎么去表示 p n， 怎么去表示 a 一 和 a 二 n， 那 这个是非常显然的嘛。 p n 是 不是 p 的 纵坐标 a e n 和 a n 是 不是我们利用这个 p 的 横坐标就可以表出来了？那最后是 a 分 之 b 没有问题，就自己去算一下，因为最后就算出来一个带 x 零和 y 零的式子，你最后利用这个式子化解一下就可以了。我们 a 是 对的， b 选项 p m 一， p m 二等于 b 方还是一样的，你把这个 p 的 横着包带进去，然后两个一相乘就完事了，所以 b 也是对的。 c 角 p f k 点九十度。那么知道过 p 的 切线方程是什么？ a 方 分之 x 零 x 减上 b 方分之 y 零 y 等于一，所以其实你也知道这个切线方程，然后 我们只需要把这个焦点算出来，焦点算出来之后，我们就得到 k 的 一个坐标，得到 k 一个坐标之后，我们 f p 和 f k 两个数量积一算，或者你用我们的这个斜率乘积来一算，你发现它不是九十度的，就是我们斜率乘积不是负一，我们数量积也不是零 d f e 比上 p f 等于 e， 那 么有了这个切线过程中，我们斜率是不是有了？斜率是不是有了之后，我们这条 p e 的 直线是不是有了？我们就可以把 e 点算出来，把 e 点算出来之后，我们就可以把 p f 和 f e 都表示出来，发现它最后是等于 e 的。 这个题其实看起来画这么多图，这么复杂，这么多线， 其实它就是让你算一些量，并且这些量你是避不开的。计算就是你知道它非常好算，但是你就是需要算， 这是我们十一题，我觉得，呃，这个题出在这的话，就是一个考计算的问题，看你有没有耐心能算下去吧。十二题则水壶容量为多少？那是不是本身就算一个原台体积加一个这个圆柱体积啊？所以我们直接写就行了。 三分之一乘上一个高，乘上一个上里面下里面，加上上里面乘下里面 k 根号，对吧？我们把这都带一带，那三分之一这个 h 呢？就是我们的圆台吗？圆台高 v 二，然后上里面这个 面积是派 r 方，那是派，下里面就是派 r 方，就九派，我们这里九派派，然后这边是三派，加上我们这个圆柱就是一个十二乘上一个九派， 那整体再把这个派等于三带进去，就等于个三百五。十三题，若函数是个偶函数，则 a 等于多少？ 那我们说这种题如果你想简明一点的话，你就直接带一和负一嘛，对吧？那你肯定能出得来。那我们这里不讲这种比较脱机取巧的方法，我们就讲一般的方法，那是不是 f x 等于 f 负 x 啊？所以我们把 f x f 负 x 都写下 减 a x 等于 log 十到 f x 方加一加 a x， 那 么把这些 log 全部放一起，然后是二 a x 等于 log 十 x 加一，十的 x 次方加一，十的 f x 方加一， 那我们就发现这两个其实它是有共同的，可以进行约分的。看不出来，没关系，我们可以先剩下同乘一个十的 x 次方。 那你有没有发现我们上面其实也有一个十的 x 字方加一这个东西给提出来， 说明这个约掉，然后这个就成为 log， 里面是一个十的 x 字方，就等于 x， 所以 你二 a x 等于 x， 要很成立的话，那是不是我们 a 等于二分之一？ ok， 十四题取出三个不同的数字组成一个三位数，且这个三位数能被十五整除，则这样的三位数有多少个？ 那么说能被十五整除，你肯定能被三整除，也能被五整除，那这样我们就被十五整除，因为三和五是十五的这个素因数码，对吧？所以我们说能被五整除，那个位是不是要么是五，要么是零？能被三整除，那么是不是我们 三个位数上的数字之和相加也是一个三的倍数？所以我们就按照这个来讨论就可以了，所以我们先看个位， 各位如果是五的话，那么我们的十位和百位相加是不是得是三的倍数在于一啊？有几种组合呢？零一是不是一种，然后零四， 一零，然后就是一三，然后三四，是不是有这么多组合？那我们说百位不能为零，我们这些是可以交换的，那上面的零是不能换，你就只能一在前面，零在后面，所以总有六种，对吧？ 那个位数如果是零的话，我们来看，那你前面两位数字相加，就要被三整除，那是不是一的话，一二，然后一五，然后二四四五，是不是有这四种情况，所以总共有八种情况，所以总共有十四个这样的三位数， 那这个十字题还是比较简单的，我们来看解答题，当 a 等于时，讨论 f x 单数，我们直接求到 f 撇 x 又等于 x， 然后二 x 减一， x 减一，那这个单调性讨论就比较简单了，我们可以注意到 x 大 于零，所以在零到二分之一，单调递增二分之一到一，单调递减一到正无穷，单调递增， ok， 证明当 a 大 于二分之一时， f x 在 这上面有一个零点，那么现在先写下它导数， 就是 x 分 之， x 减 a， 然后二 x 减一，那我们说 a 大 于二分之一，所以我们 f x 在 零到二分之一上，单调递增二分之一到 a 上单调递减 a 到，因为我们只需要算到二一加一的区间， 二 a 加一，上到第三，我们有单调性之后，我们下的是不是需要端点值？所以我们说算一下这个二分之一和二 a 加一， f 二分之一就等于四分之一减二分之 二， a 加一，减 a 乘上洛零二，就等于负 a 减四分之一减 a 乘上洛零二小于零， 那么 f a 是 不是必然小于 f 二分之一小于零啊？我们还差一个 f 二 a 加一， 但是它等于 a 乘上 l e 二， a 加一是大于零的。下面就发现我们的 f x 在 二分之一到 a 上没有零点， a 到二 a 加一上有一个零点，所以它总共在二分之一到二 a 加一上，是不是油钱就有一个零点，对吧？还是零点算在内个应用 这道题求证平面 b e f 垂直于平面 a b e d， 那 这里已经是一个等腰直角三角形了，那你不连着中点是不是挺奇怪的，对吧？连一个中点， 那么 f h 是 不是垂直于 b e 的？ 那么还想 f h 垂直于一个东西，那由于我们说这里给了 f d 的 一个长度，那我们肯定得用上，对吧？我们 f d 长度不用，那这个题肯定是做不出来的，咱们连一下 h d 连下去，我们可以算出来 f h u 是 一个根号二长度，这边呢，相当于在连这里，让我们在这里做一个垂线，那这边就是一个二长，这边一长，这边是根号五，那这是根号五， 这是根号七，那我们是不是说这里是垂直的，对吧？那 f h u 垂直于 d h， 那是不是我们就做完了，我们整个 f h 就 垂直于底面，那 f h 垂直于底面，我们 f h 就 属于这个平面 b e f 的， 是不是这两个平面垂直了，对吧？ 那么第一问已经证出来了，这里有个垂直，就是 f h 垂直于底面，那么底面又是由一个矩形翻折而来，你是不是沿着矩形的这个两个边长为 x 轴， y 轴就好了，对吧？ 那这边 x， 这边 y， 然后往上一个 z 走，是不是就完事？这是我们一个间隙，那间隙之后的过程就不多说了，就自己计算吧。十七题第一问，若 a 等于三分之半， b 等于求 c， 他 告诉我们 y 结圆半径为一，那是不是相当于我们的 a 就 等于二倍的三 a， b 就 等于二倍三 b， c 就 等于二倍三 c 啊？因为我们这里 r 是 等于一的，所以我们 a 比上三 a 是 不是等于二 r， 所以 它等于二，那么 a 就 等于二倍三 a， 然后 b 等于二倍三 b， c 等于二倍三 c， 所以 我们有了 a 角，有了 b 边，是不是你可以把我们的 a 边和 b 角都算出来？你不管拿边去算还是拿角去算，你这个 c 都是可以算出来的，因为你 ab 这边全都可以算出来，对吧？我们算一下 a 边，那 a 边就等于二倍的三，三分之派就等于我们的杠三， 那么再利用余弦定律，直接把 c 就 可以算出来了。 b 方加 c 方减上一个 bc， 那 就是二 bc 口才等于我们 a 方，然后就可以算出来 c 等于二。这是我们的第一问，就不多说。第二问， 第二问，主要是这么大一坨怎么化解？只要把这个化简解决了，其实最后都是一个非常小 case 的 问题。化简的话， 我们先看我们有哪些条件，然后往这个条件去化解。那么第一问，条件是没了，所以我们现在只有这些 abc 外接圆半径为一，这个条件我们来看一看。 我们先来看一下这么大一坨条件，怎么把它靠到我们一个条件上面去？我们一个条件就是说 o 为其外心，然后外接圆半径为一，也就是说我们的 oa、 o、 b、 o、 c 都是一，那么还有什么条件呢？就是说因为是外接圆嘛，所以这些角度你们大概是知道的，这是二 a， 这里是二 b， 这里是二 c。 所以 说我们尽量就要把我们这么大一条条件往我们的这个 o、 a、 o、 b、 oc 上面去靠， 所以我们就有二倍的 cosine c 分 之一乘上一个 oc 向量。要么刚才说完要往 ocobo a 上面靠，所以就加上一个 a 分 之 cosine b 乘上一个 o b 向量，减去一个 o c 向量，然后再加上一个 b 分 之口塞 a， 乘上一个 o a 向量，减 o c 向量， 然后等于一个零向量，那么稍微整理一下，就有二倍口塞 c 分 之一，减上 a 分 之口，塞 b， 再减上 b 分 之口塞 a， 乘上一个 o c 向量，再加上 a 分 之口塞 b， ob 向量，再加上 b 分 之口塞 a， o a 向量等于零向量。 那么下一步该怎么办呢？我们下一步是不是发现你整个这个是关于 o b 和 o a 对 称的，就是你 b 和 a 其实是一个对称的地位，那么只有一个不对称的，那要是 c 对 吧？那你就发现我们的这个条件其实大部分是往 c 上靠的， 因为你有了 c 的 条件之后，你的 a 和 b 才可能是一个对称的一个地位。如果你有 a 的 条件，没有 b 的 条件呢？你 a、 b 是 必然不肯对称的，所以我们要化简，肯定是往 c 上化简。那我们说 我们既然有了长度和夹角，长度和夹角是已知的，那你就发现这个题如果你想转化到这几个条件上面，你应该怎么办？你应该是不是做数量积，也就是说在我们这个式子两边同时乘上一个 o c 向量， 为什么乘 o c 向量呢？刚已经解释了，因为你这边长度已知，夹角已知，然后你这个底下呢？ a 和 b 是 对称的，我们条件必然就算出来在 c 上面，所以我们就两边同时这个点成一个 o c 向量，就会得到二倍口塞 c 分 之一， 减上 a 分 之口塞 b， 减上 b 分 之口塞 a， 然后 o c 向量点成 o c 向量等于一啊，因为它长度是一嘛，加上 a 分 之口塞 b， 口塞二 a， 用我们 o b 向量点成 o c 向量，是不是还要乘一个口塞夹角二 a 啊，对吧？再加上 b 分 之口塞 a， 口塞二 a 等于零， 咱们就对这个式子要进行化简。这个式子我们先对后面这东西进行通分，因为前面这个式子通分好像有点难通，呃， 二倍口塞 c 分 之一减掉 ab， 上面就是一个啊，加号吧。负的 b 口塞 b， 减 a 口塞 a， 加上 b 口塞 b， 我 们就要看这个口塞二 a 怎么去化减了。因为我们想他与前面这个负的口塞 b 消掉，那我们是不是一减二倍的三平方 a 就 可以了？因为这样的话，我们这里的一出来，是不是这里这里就消掉了？消掉之后你后面的像素更少，更好化减一些。 那同样的，我们这边 a 口塞 a， 然后我们再利用， 哦，抱歉，这里是可得二 b， 然后一减上二倍的三角 b， 这样是等于零的，那我们把上面化简一下，这边就是二倍的。可得 c 分 之一加上 a， b 分 之二 b 考赛 b 啊。减号考赛 b 上一方 a 加上二 a 考赛 a 上一方 b 等于零。 那我们还有一个条件没有用，就说我们 a 跟三 a 之间是有关系的，所以我们可以把这些 a 都画到三 a 上面去，所以整体上我们这个就有二倍口袋是 a 分 之一， 减上我们四倍的三 a 三 b 上面就是我们的四倍的算 b 口算 b 上一方 a 加上四倍的上 a 口算 a 上一方 b 等于零。那么就发现这边的四倍的三 a 三 b 都是可以约掉的，约掉之后剩个什么呢？约掉之后，这里是一个口塞 b 三 a， 这里剩个口塞 a 三 b， 那 就发现我们是不是可以用合角公式收起来，并且把它转到 c 上面去，上面就有这个 二倍口在 c 分 之一再减掉我们三 a， c 是 等于零的，上面就有三二 c 是 等于一的，什么 c 就 等于四分之二。那由于我们这个 r 是 确定的，所以我们是不是还可以把我们的 c 边算出来，那 c 边就等于根号二， 那现在就变成了一个对角对边，求我们的周长最大的这个问题，那这个是不是非常简单了？那我们用余弦定律在基本公式就可以解决掉 圆圈。这里我们 a 方加 b 方减根号二 ab 是 不是等于 c 方等于二？ 所以我们 a 加 b 的 平方减二加根号二， ab 是 等于二的，二是等于它的，对吧？然后我们说 我们 ab 会小于等于这个 a 加 b 的 平方，减上二加根号二，乘上一个二分之 ab 的 平方，二分之 a 加 b 的 平方。然后我们就可以算出来， a 加 b 是 小于等于根号下八加四倍根号二的，让我们整个 a 加 b 加 c 的 最大值就等于个根号二加根号下八加四倍根号二。 那这是我们的第十七题。第十七题其实主要难点就在处理这个式子的化简上面，你只要把化简处理好了，后面就是一个比较松分的问题，热门十七题、 十八题和十九题，我觉得就是，呃，比十七题都还简单，就是他难度设太低了，这十八题可能放在一个十五和十六的样子吧。先来看第一问，分别为，第一， 因为我们这是单动点 a 引发的，因为你有了 a 之后，你 b 就 能确定，所以它是个单动点引发的问题，你可以考虑设点，设点的话我们可以考虑直接设，就是设 x 零、 y 零，然后最后有他们的这个平方的关系， 或者三角换元和三角代换，这个可以自己考虑。我们在后面专题的也会讲，到底什么情况，你怎么设才是最简易的。那我们这里 a 就 设成 x 零 y 零吧，或者就设一个三角换元吧，其实都没有区别，这个题太简单了，你设哪个都一样。 然后我们这个面积是不就是我们的这个二 y 零，这边是二 x 零，对吧？我们面积是不就是我们的 四倍 x 零 y 零就是我们的这个八倍。根号二算一些，它可算一些，它那是不是等于四倍根号二算二些，它是不是小于等于四倍根号二？这我们第一问， 第二问看着像一个小题的考法，他不应该考在大题了，告诉我们这个角 a、 f、 b 等于三分之二派，那由于我们 ab 是 对称的两个点，那又跟我们的 f 相关，所以我们的常规思路是不是把另一个 f 一 撇取出来，就是另一个焦点取出来， 另外取出来之后，我们就发现这题好像做完了，因为这里是不是三分之派？ 那你有没有发现这里是三分之派，这两个的和三加六等于四，比如说这里是 x， 这就四减 x， 那 我们在这个三角形里面是不是可以余弦这里把 x 解出来？ x 解出来之后， 我们再用知识点里是不是我们面就出来了，对吧？所以说我觉得这个东西更像一个小题的考法，那第三问，第三问更幽默了，他都放在第三问了，第三问是不是我们先把刚那个保留吧，因为可能第三还用的到 第三个。我们把第三个画一下，这里是 g， 然后这样一个四边形，我们主要是怎么算面积？那刚才我们有个面积已经非常好算了，就是 s 三角形 a b f， 说明 s a f， b g 是 不是就等于 s 三角形 a b g， a b f， 我 们刚刚是不是算的时候是转到这边来算的，对吧？所以它又等于什么呢？它是不是等于我们的二分之一乘上二倍根号二，就是我们 f f 一 撇的长度吗？底边再乘上我们一个 a 的 高，就是一个 y 根号二倍。上一次的那 a、 b、 g 呢？ 我们发现它是不是等于二倍的 a g o 啊？那是不是等于二？因为是两倍嘛，乘上二分之一，乘上我们 o g 的 长度，根号二，乘上 a 的 横坐标就是二倍 coset， 那 等于多少呢？等于二倍 coset， 加上二倍根号二 coset， 那他刚好就小于等于二倍根号三吗？所以说这个面积最大值就是二倍根号三验证下去的。所以说我说这个题出的太简单了，就说你不管是哪个问题，你就两步就写出来了。 我也不知道放在十八题的意义何在。来看十九题，十九题也非常简单，他最后一问其实非常非常简单，他答案是为了纯属用上他给的这个东西，然后搞了一个非常复杂，你们看不懂的答案，其实最后一问非常简单，超级简单。我说实话，我们先来看第一问 啊，我们算它奇数次方和偶数次方的系数和，那我们这个一般都是取一和负一嘛，因为你取一的话，就可以算出来全部系数的和，你取负一的话，就是基友的交错和，所以我们就可以把这个基友的算出来。所以我们取 x 等于一，我们就有 三的 n 次方，等于 a 零加 a 一， 加到一个 a 二 n， 然后取 x 等于负一，我们就有一，等于一个 a 零减 a 一， 最后再加一个 a 二 n 就是 交错和，那我们两式相加相减，再除以二，就得到我们的这个基数和偶数了，对吧？那我们的偶数 就离我们两相加就行了，因为这样的话，奇数项都消掉了嘛。偶数就是一加二除以二， 我们就有，其实它应该是 a 零加到一个 a 一 二 n 就 等于二分之三的 n 次方加一，那奇数呢？就是二分之一减二，然后是 a 一 加到一个 a 二， n 减一，等于二分之三的 n 次方减一。 ok， 是 我们第一问来看第二问， 然后甲乙丙一直投，然后有一个没投中，就换到下一个人，三人都完成练习了， g x v 甲练习投篮得分，证明这个期望是小于一的。那我们说甲的 n 分 的概率是多少呢？ 假的 n 分 是不是你的钱 n 次得中了？所以我们是不是有二分之一的 n 次方？那由于你刚好卡在了 n 分， 你是不是第 n 加一次不能投中了？你是不是 n 加一分了，说明还需要乘一个二分之一，这里没投中， 这就是二分之一的 n 加一次方。所以整个期望就等于我们 c 个码，这个 k 从零到 n， 然后 k 乘上一个二分之一的 k 加一次方，那这个是不是我们的一个等差乘等比竖列啊？那这个竖列求和。我们说我们只需要错位相减就行了，那错位相减就不在这里，那错位相减就不在这里给大家展示了，因为都做到十九题了，如果你还不会错位相减的话，那应该说不过去。 等于一减上二分之一的次方，减上 n 乘上二分之一的 n 加一，次方小于一，那这是我们第二问，我们看第三问， 第三问说三人投篮次数均不超过七次，求三人总的分为偶数的概率。那三人总的分为偶数，我们就需要分一下，那是不是偶偶偶 三人的得分都是偶数，是不是我们最后总的分就偶数？那三人是不是积积偶，是不是最后也是偶数？还有这两种情况，这样的情况的话，我们依次算算行了，因为这两种情况其实本质都是一个人得分是积出来是偶数的概率， 这个最后得分是偶数的这个概率。首先因为我们知道刚刚算了概率，刚刚算的概率是不是二分之一，所以头中零的是二分之一， 投中两个是八分之一，投中我们的四个是三十二分之一，投中六个是一百二十八分之一，因为你不超过七次，所以只能投这么多，等于一个一百二十八分之八十五。 那基数呢？是不是投中一个四分之一，投中三个？呃，是我们的十六分之一，投中五个是我们六十四分之一，所以等于六十四分之二十一。 不能投入七个呀，投入七个你投完次数就八次了嘛，对吧？所以我们把每个人的这个概率都算出来了，所以我们只需要算一下这个情况就行了。所以说我们最后的 p 整个三个的首数的话，是不是一百二十八分之八十五的三次方， 对吧？如果是 g g 偶的这个可能的话，先把内偶数选出来， c 三幺，然后一百二十八分之八十五乘上六十四分之二十一的平方，对吧？最后就是约等于零点五一， 这个我觉得非常难算啊，最后这个东西，最后这个东西我试过估算，就估算出来是零点五二，然后就反正有点差距，最后还是应该要算的比较具体，所以我觉得最后这个保留两位小数大可不必啊，这个太难算了。 ok， 那 就是我们这张试卷全部内容了，感谢大家观看，我们下期再见。