2026松江一模数学25题多少分

好，各位同学们，大家好，今天我们一起来看松江一模这套试卷。首先是十七十八题，这两道填空题的压轴题，这两道题本身来说都不是很难，像十七题就是一个经典的隔点三角形，还有这样的一个解三角形的题目，那我们先来看看。 首先他说这样一个菱形组成的网格啊，和我们常规的正方形网格不太一样，每个小菱形的边长均是一，然后 bdc 也就是这个角，这个角 bdc 是 一百二十度，那我们对应的这种小一点的这个角就对应的是六十度，所以大家会发现我们要做的其实就是把对应的这个呃 bc 这条边给他连在一起。 这道题的关键就是发现这个角 b、 c、 a 是 一个直角，如果大家能发现这一点的话，那后面的不管是求这个对应角的正切值，还是把什么三边都算出来，都是非常简单的。那为什么这个角是一个直角呢？首先我们上面 这个角对吧？对应的是一百二十度，然后它有是一个等腰三角形，那我们上面的这个橙色地方这个角就是三十度。然后同样的，我右边这个角， 他对应的是一个等边三角形，为什么呢？因为我是一个菱形呀，边长均是一的菱形，那他对应的当然是六十度的角，所以其实核心点啊，就是这个角 a、 c、 b 是 一个直角，那是直角了之后就好办了。 首先零长，呃，边长都是一，那我们 bc 对 应的肯定就是什么呀？就是根号三，对吧？就是一个根号三，这肯定没问题。然后 ac 嘛，就是两个对应的这个边长就是二， 那他对应的这个 b、 a、 c 就是 图中的这个，我写一下这个紫色的啊，这个紫色的这个角角 b、 a、 c， 那 他的正切值自然就是根号三除以二了，对吧？所以我们最后这道题，他的答案呢，就是二分之根号三， 那我们把它写在这里啊，所以我们这个十七题还是比较简单的，对吧？只需要把它是一个直角给他证明出来就好了。 然后十八题，十八题这道题一个难点就在于需要我们同学自己去作图，而且他其实有两种情况的，也是需要分类讨论的。嗯，首先我们先大概的把大三角形画出来，就是这个三角形 a、 b、 c， 我 就随便啊画一个， 对吧？非常非常。呃，没有什么特殊的这样一个直角三角形，然后给他标好这里是 a、 c、 b 三个三个点，然后对应的这个角 c 是 九十度，然后它告诉我们这样的一个，呃， a、 c、 q 和 p b、 q 是 相似的，我们大概的给它画一画 q 呢，是在我们这个 bc 边上，那我大概的就画在这，好吧，我们这个 q 啊在这里。 然后你想 a、 c、 q 很 明显它是一个直角三角形，它有一条直角边，那同样的 b、 p、 q 也得是一个直角，那是不是大家想就有两种可能性，哪两种可能性？比如说我们就照这个图来画啊， 我们照这个图画的可能没那么标准啊，它是如果我的 p 点在这，也就是说我第一种情况是什么情况？ 是不是我可以是这个角 b、 p、 q 是 对应的是九十度，对吧？因为我是一个相似的三角形，我肯定有一个直角，我的 b p q 中肯定有一个角是直角，那我就另这个角是直角，对吧？这是一种可能的情况。那还有一种什么情况？我把这个图给它复制一下啊， 这样的话就完全是一一模一样的图，我画在这边，好吧，那可能就不是里面内部的这种情况了，而是一个什么样的情况，我们大概的画一画啊， 不是不再是我这个角 b p q 是 一个直角，而是什么？我是不是 p q b 也可能是一个直角啊，就是我们把它 可能是一个什么情况，我还是用橙色笔画啊，可能是，对吧？这样的一个直角， 这个角是直角 p 呢？还是在这？所以我们的第二种情况就是还是有一个直角，对吧？那此时是我的 p q b 是 一个直角，那我们来看看这两种情况，我算出来的值肯定是不一样的，我们把它大概的算一算啊，其实也是非常简单的。 嗯，像我们第一种情况，因为他不是跟我们说了有一个等腰三角形，对吧？ a p q 是 一个等腰三角形，那肯定是这两条直角边 a p 和 p q 是 相等的，对吧？那已经出来了，他要我们求的是什么？ p q 比上 a q 直角边，比上这个斜边，又因为他是个等腰直角三角形，所以他的答案就是二分之根号二，这个同学们肯定都是会的，对吧？ 然后像第二种情况，稍微的复杂一点点，但是也不会很复杂，我们先把这个角度给他算一算啊，就是这两个，嗯，我换一个颜色吧，省得大家看不清楚啊， 我换个这个绿色的，好吧，我这个角我假设它是阿尔法，由于还是一样，我的 a p q 还是等腰三角形，那我下面这个角呢？也是阿尔法，对吧？那我外面的这个外角这个 p， 呃 q p b 是 什么呀？阿尔法，对吧？这个外角是阿尔法，那由于我是相似的，记得吧？我这个，呃， a c q 和 b p q 是 相似的，那我对应的这个角 也是阿尔法，对吧？我的角 a q c 也是阿尔法，那我就知道了。呃，三个阿尔法一共是一个直角，那我的阿尔法我就知道了，是个三十度，对吧？阿尔法是三十度了，那大家这个也是能够直接就可以得出我的这个结论的。我的 p q 比上 a q， 对 吧？直接就是三分之根号三了。这个经典的模型啊，三十度的， 嗯，就是底角是三十度的等腰三角形，那他的一个边边就是等腰的那条腰和我的这个底边比，就是三分之根号三。这个大家都是会的，所以我们这道题是有两个结果的，可以是二分之根号二， 也可以是什么三分之根号三，对吧？还挺对称的啊。这是我们的十七和十八两道题，然后这两道题的话是比较简单的，然后，呃，也不算很压轴，对吧？那我们接着往后啊，我们来看到我们对应的二十四和二十五题这两道压轴题， 然后，嗯，二十四题他主要的一个难点就在于他的第二问的第二小空，对吧？这一空的话他主要是考察了一些什么东西，嗯，他这里 主要是我们要判断他把超线往右平移之后哪些点对应的一个呃，坐标是在变，哪些点是不变的？我们把这个 n 点的坐标其实都是可以给他求出来的，这是我们二十四题的大概一个思路。然后二十五题，他是我们这整个 试卷中当之无愧的最难的一个压轴题啊，这个确实是没有什么大问题的。然后主要的难点是在于我们的这个第三小问，第三小问 的话，嗯，同样的他也是有两种可能性，不知道同学们有没有考入清楚，那我们就一起来看一看这个二十四和二十五题这两道对应的大题压轴题，好吧，我们一起来看一看啊。首先，嗯，二十四题， 我们把他第一问的话，这个还是比较简单的，对吧？第一问，他直接跟大家核对一下答案啊，就是由于我知道了这个 a 点在这呢， 然后 b 点呢，在这呢，对吧？然后我又知道了 o b 和 o c 是 相等的，那我 c 点其实相当于它是一个零四的位置，那我们已知他这个 s 轴上的两点，我是不是他的抛物线的表达式就可以给他设出来，对吧？第一问， 我大概的写一写啊，我们可以设这个 y 是 系数是 a， 然后他对应的两个点，一个是负二，所以是 x 加二，对吧？然后一个是正四，那就 s 减四。我可以把抛物线的这个表达式设出来，然后再把谁带进去，把 c 点对应的这个零四给他带入， 带入，求出 a 就 行了。最后我们算到 a 呢是一个负二分之一，所以我们整条抛物线就出来了，就是把它打开来啊，就是负二分之 s 平方，然后这里面呢，是 这个本来是负二 x， 然后乘个负二分之一，对吧？就加上 x， 然后本来是负八，乘负二分之一就是加上四，这是我们抛物线对应的一个表达式，然后点滴的一个坐标其实就是它最高点的顶点对应的一个坐标，那其实也很好算的，对吧？我们的点滴 首先它的对称轴是在一这里，对吧？然后他的最高点呢？是二分之九，所以我们第二问，嗯，他告诉我们 p 点是 第一项现在的一点，并且它大概是一个什么样的位置啊？ p a b 和 c a b c a b， 其实我们已经知道我们可以把它连在一起，对吧？我就直接把它连起来啊，把我们这个 ac 给它连上，对吧？那它的一个，呃， 大概是一个怎么样的一个位置？比如说我大概画一下，我随便画一点啊，假设我的这个 p 点在这，然后我们把 p a 给它连在一起， 对吧？ p a b 就是 下面这个角度和 c a b c a b 其实就是这个大的角度，我加在一起一共是九十度，它要求 p 点的一个坐标，呃，那 其实我们大概的可以就这里的话，也不需要大家完全的去硬算，我们可以大概把它转化一下，大家想想啊。首先，呃，我这个 由于我的角 c a o 和我的角 a c o， 我 们加在一起也是九十度，所以其实 p 点对应的这个 p a b 的 这个角度其实就是什么呀？就是也就是说我这个角就是我这个小角，把这个稍微擦一下啊， 我这个小角 r 法，那我上面的这个角度也是 r 法，对吧？我就可以把它这个 p 点对应的这个角度的正切值和我上面这个 a、 c、 o 的 正切值给它相等的嘛，我们就可以有这样一个比例关系。 所以这道题第二小问的第一空，它这个减变做法就在就在这个地方，然后我先把这里挪一下位置啊，然后我们一起来在这边上写写 啊。大家放心，我们这个对应的详细的图恩，解析视频到时候也会同步的发在我们下一条帖子中，大家也可以对照着那个详细的视频来看啊。我这里的话，大概的我们说一说这个思路和一个做法 这道题的一个，嗯，第二小问的这个解析思路讲清楚了吧？第二小问的第一空呢，他的一个解析思路啊，就是我们先知道角 p a、 b 是 这个角 a、 c、 o 的， 对吧？它俩相等，所以我两个正切值就相等，也就是说我这个 p a、 b 的 正切值其实就是什么呀？ 其实就是它的一个纵坐标，因为 p 点不是在我们这个抛物线上吗？那我的纵坐标，比如说我设它的横坐标是 m， 我 的纵坐标是不是把它带进去就行了？就是负二分之一 m 平方加上 m 加上四， 对吧？这是我的一个 p 到 s 轴的距离，也就是我 tangent 对 应的这个分子，然后分母的话，就应该是我的横坐标 m 加上二，对吧？所以是 m 加二， 然后它对应我们这个角 a、 c、 o 的 正切值，那角 a c、 o 对 应的正切值就是负二除以四，那是不是就是二分之一啊？ 对吧？那就是二分之一，我们就可以把 m 给它解出来就好了。我们这里啊，可以解得 m 有 两个结果， m 有 一个三的结果，或者是 m 有 一个负二的结果，但是我们的答案只有一个，大家想想为啥还是很好理解的，对吧？为什么？因为我是第一项线嘛，所以我这个负二的这个结果就是要被我舍掉的啊， 所以我们这个 p 点的坐标就出来了，我的横坐标嘛，就是三，那我再把三带到我抛物线里面去，对吧？所以我最后我这个，呃， p 点 横坐标是三，然后我们带进去把它算出来，就应该是二分之五啊，这是我们第二空的一个解析，然后同样的我给他挪到上面去啊，留点地方给我们来到呃，第二个小问这里， 好吧，这是我们这里，当然有同学说这里看不清也没有关系啊，到时候我们把那个单独的一面给大家发出来，好吧？然后第二问，他说把这个抛物线往右平移，然后 p 移到 q， 我 们大概可以画一画，对吧？平移嘛，那相当于是我是有这样一个， 我给他画一根虚线啊，我大概我假设我就移到这个点， 我移到一个新的 q 就 移到这里，对吧？然后我的新顶点顶点是不是也平移了，对吧？顶点，我假设啊，我假设我的这个 m， 对 吧？从 d 给它平移过来的，移到了这，然后我是形成了这样的一个平行四边形，那我大概就给他连一连呗，大概形成一个怎样的平行四边形，这个这个， 对吧？然后我们只要大概的把它表示出来啊，就不一定是那么标准，因为我们毕竟还是一道呃，需要用代数方法给他做出来的一道题啊，大概就给他画一画。那我们来想想，那这里之后那怎么去怎么去解决呢？ 嗯，来个这个色好了。嗯，首先我对应的一个坐标，我是不是大概可以给他表出来？假设啊？我平移的距离就是 t， 那 你想 m 点是从我的顶点 t， 呃， d 点平移过来， d， 它的 横坐标是一，那我往右平移了 t 个单位，我是不是就是一加上 t， 但是我的纵坐标是不变的，我纵坐标还是二分之九，对吧？这是我 m 的 新的坐标，然后同样的我的 q 也是从我的这个 p 平移过来的， p 呢？本身他不是一个三二分之五吗？所以就应该是什么三加 t， 横坐标加了 t， 然后纵坐标是不是还是什么二分之九，二分之五啊？这里不是二分之九，口误了一下， 对吧？然后这个 n 点 n 点吗？那我确实不知道，但是我们可以把它算出来。怎么算呀？大家来想想啊。呃，相当于是我这个纵坐标怎么平移的？我横坐标是有对应的一个平移的，我可以分别把 n 点的横坐标和纵坐标给它平移过来。 首先对于我们这个纵坐标来说，你看 m 和 p 点的纵坐标之差，是不就是 n 点和 q 点的纵坐标之差？因为它是个平行四边形，对吧？所以我们就知道了， m 的 纵坐标减掉 p 点的纵坐标就会等于，对吧？ q 点的纵坐标减掉 n 点的纵坐标，然后 m 点的纵坐标二分之九， p 呢是二分之五，那他们相差就是二，然后二分之五再减掉一个什么东西会等于二？那我的 n 点的坐标是不是就出来了，它的纵坐标 就应该是二分之一，对了吧？这是这个，然后横坐标也是，是不是一样的呀？也是一样的啊，我 n 点的距离到 q 点的距离就是 p 点的距离， n 点的距离到 q 点的距离，那就是什么呀？ p 点的距离到 m 点的距离，然后这里的话算起来可能就稍微的复杂一点点啊，我们最后也是一样的，我可以把 n 点的横坐标给他表示出来，最后算到是一个五，也就是说我不管你到底怎么平移我 n 点的坐标，我是知道的， n 点的坐标呢？就是五二分之一， 然后他又说了 n 点是新抛物线上的一个点，对吧？那我可以把新抛物线射出来，把 n 点带进去，我是不就求出来了，对吧？我就可以求出来了。所以我的新抛物线， 他是不是在我老抛物线的基础上只是往右平移了 t 个单位，对吧？那我就是减一个 t 就 好了，所以我可以给他写成什么 y 等于负二分之一，对吧？然后他本来是 x 减一，那我现在还需要减 t， 呃，我给他稍微 写写，写大点，然后在他的一个平方，然后再干嘛呀？再加上 二分之九，对吧？这不是我们老抛物线的表达式，就是负二分之一 x 减一的平方加二分之九，我在平移的 t 的 单位，我是写成新抛物线的一个形式，我把 n 点给他带进去就好了，对吧？所以最后我们解到的一个结果啊，就是这个 t 的 值，它是有两个，它会等于四 加减二分之根号两倍的根号二。所以这是我们最后我的 t 吗？他是一个平方，平方就意味着他很有可能是有两个结果的，那我们就是四加减两倍的根号二， 好吧，这是我们的二十四题啊。然后对应的这个蓝色笔、橙色笔、绿色笔的部分，到时候我们整理出一个详细版的这个解析再发给大家，好吧，思路大概就是这样子。 然后二十五题也是一样，我们来一起想想他这样的一个思路啊。其实这道题相比于我们之前的什么徐汇啊，杨浦的他的这个一模卷，他难度已经没有很高了，他是比较中规中矩的一条试卷，但是他确实还是有一些比较有意思的地方， 一道非常呃基本的一个集合题啊。首先第一小问，他说是一个矩形，然后那我们把他告诉我们的这些信息，我全给它标在图里，可以吧？他说了， b p 是 四， 那 p e 也是四，对吧？然后 p f 是 五，那对应的，因为我知道 我这个角 b 是 个直角，那对应的这个 a、 e p 也是个直角，那我剩下的 e、 f 就是 三嘛，三四五经典的直角三角形，对吧？这是我们根据题目中得到的一些信息。然后呢，我还想知道 整个四边形的一个面积，我是不是得把 a b 和 a d 给它算出来呀？那怎么算？我们来想想啊，我们在途中是不是可以找到几组相似三角形，哪几组相似三角形呢？首先我的 a b、 f 这个三角形 是不是和我的这个呃 p e、 f 是 相似的？相似于 p e f 这个应该好看出来的吧，也就是这个呃大的 a a、 b、 f 三角形和 p e、 f， 因为我有一个共同的角，我还有一个直角也是相同的，对吧？我肯定是相似的。然后 p、 e、 f 呢？又和哪个相似呀？ 又和我的 p、 c、 d 相似的，这个也好看出来的，对吧？我也是一个有公共角，还有一个直角这样的一个三角形，所以我们就可以列关系式了。我有一个什么样的一个关系式？ a b 这条直角边比上 b、 f， 对吧？比上我们这个小三角形的直角边，可以表示成什么呀？可以表示成我这个 p e 比上 e、 f 还可以表示成我们的 pc 比上 cd， 对 吧？我们三个三角形嘛，它都是相似的，所以我有这么一组连比，然后，呃，我又知道了 ab， 我，我知道其中一组就是我的 p e 和 e、 f， 那 就是四比上三，对吧？所以我的结果这些都是三分之四，那也剩下的也就知道了。我的 b、 f 也是知道的，对吧？ b、 f 一 共是九嘛？那我的 ab 是 不是就出来了？我的 ab 就 应该是什么呀？就应该是三四十二， 对吧？所以 ab 等于十二，然后 c、 d 呢？也是等于十二了，对吧？他上上下的话肯定是一样啊，他左右的话肯定是一样的。然后我的 p、 c 也出来了， 对吧？ pc 因为 cd 等于九，那 pc 就 等于十二了，对吧？然后最后我的 bc 也出来了，对吧？ bc 就 等于 bp 加， pc 就是 四加，呃，十六啊， pc 是 一个十六，四四十六啊。 然后 bc 呢？就等于四加上十六，就应该是二十，对吧？所以我三角我这个平行四边形 a、 b、 c、 d 或者说是矩形 a、 b、 c、 d 的 面积，那就是什么？ ab 乘以 bc， 然后 ab 是 十二， bc 是 二十，那我们对应就是二百四十， 对吧？这是我们这个第一小问，然后第二小问，他不再是一个矩形了，而是一个什么呀？平行四边形，但是也是一样的，他对应的那些相似关系也是，其实也是一样的，还是一样。我们把这个图里给他标注出来啊。首先 b p 是 一， 那我的 p、 e 也是一，然后 c p 就 整个这个是二，然后我们图里其实还可以正一个东西，什么样的一个东西呢？就是大家来看清楚啊，我这里有 呃，三个角，首先是我的 a、 p、 b， 对 吧？这样的一个角度，由于我肯定是一个这个平行的一个形状，那我的 p、 a、 b 这几个都是相等的，那包括我们翻折过来的这个 a、 p、 d 也是相等的，对吧？包括 我们这三个角都是相等的，意味着我的 a、 b 和我的 p、 d 它其实是什么？这两条边它其实是相等的，就是我们紫色这两条边是相等的。 然后我又知道了 a、 d 码就是三，对吧？因为 b p 是 一，然后 p c 是 二，那我这里就是三，也就意味着我这个 d、 e 这里也是二，对吧？我们这个前提条件我们知道了，后面的计算，我们用相似去计算就比较简单。 然后也是一样的啊，我把这个先往上放详细的那个解析，到时候大家可以直接看我们的那个图文帛子，然后这里主要是给我一个写字的空间，好吗？那我们来看一下啊。 首先我们图里的这些线段到底是怎么样情况，大家应该都知道了啊。然后我还是有两个三角形，相似我的 p、 e、 f， 对 吧？还有我的 p c、 d 我 还是相似的，所以我这两个三角形的面积之比我就出来了，直接就是我这个边长比例的平方，对吧？所以我三角形， 呃， p e、 f 的 面积和我三角形 p c、 d 的 面积对应的就是 p 一 比上 p c 的 平方，对吧？我们又知道 p 一 就是一嘛， p c 就是 二嘛，所以我一共就是四分之一，对吧？就是四分之一。然后我又知道了，呃，我这个四边形， 它的一个面积就这一块，它们两面积之差的这一块是二分之三，那我就知道这个小的这块，它对应的一个面积就应该是二分之一，对吧？所以 我这个三角形 p e、 f 的 面积是二分之一，那求到这个面积有什么样的一个作用呢？作用就是我们做一个高，其实它就已经出来了，我们过一点做上这样的一个高啊，我就管它叫做 h 吧。好吧， e h 是垂直于这个 p f 的， 那我接下来只需要算到我 p f 的 长度，那我 e h 的 长度是不是也就算到了？ e h 长长度算到了，那我剩下对应的要求的这个正弦值其实也就算到了，对吧？那我们来看一下啊， p f 怎么求？其实也还是用我们这个相似来求。 由于我们知道 p e， 对 吧？ p e 这条边比上 p c 这条边，那就相当于是 p f 这条边比上 p d 这条边，对吧？那 p e 和 p c 还是一样是二分之一， 然后那 p d 我是 知道的，是三，那我的 p f 也知道了，对吧？ p f 就 应该是二分之三， 那 p f 是 二分之三，呃，那我这个 e h 我 就知道了，因为我三角形的面积嘛，三角形 p e f 的 面积就是二分之一，乘以 p f 乘以 e h， 那 它一共是什么？一共是二分之一，那我的这个 e h 我 就知道了，对吧？ e h 它就会等于三分之二，对吧？这个是好理解的， e h 知道了，那我对应的正弦值也就知道了。所以为什？为什么正弦值知道了啊？大家想想，我这个 a d p 这个角度， 其实就是哪个角？就是 e p f 这个角度，对吧？所以我就转化到我对应的这个 e、 p、 f 这个角度上来，三角 a d p 就会等于三减一 p f， 对 吧？那就会等于什么呀？就会等于我的 e h 除以 p e 了， e h 又是三分之二，那我的 p e 就是 一，所以我最后的答案就是三分之二，好吧，这是我们的第二小问，然后同样的，我们的第三小问复杂点就复杂在，呃，我这里有两种情况， 也就是哪句是关键的？是我们的这句 c f 等于二分之一的 p f， 它是比较关键的，因为像我们这个图二这种这种情况，就是我的 f 是 在内部的，对吧？它在我们线段 b c 上， 那它这个图其实画的也是比较标准的，我们可以直接用它这个图，我们大概来想一想，后面加一面啊， 来，我们直接第一种情况嘛，对吧？第三小。呃，第三小问我们的第一种情况，我的 f 在 b c 上，对吧？其实你就可以参考图二 这幅图，然后参考图二之后，我们对应的这个各个 b n 的 一个比例关系，我也可以给他找出来， 比方说，呃，等会我们解析中会出现的这个，我就把它 ab 是 a， 对 吧？然后 ap 也是 a， 因为它告诉了我们 a b 等于 a p， 然后 b p 呢？我设为 b， 然后我这里的 p e 呢？也是 b， 对 吧？然后这剩下的，因为我知道 c f 是 二分之一 p f， 那 我就分别设它是 k 和二 k， 也就是说根据我们这几个三角形的一个相似关系，我是可以把 a b k 它对应的一个呃比例关系也给它找出来的。那像我们这道题里，我们可以找到它这几组比例关系啊， 然后具体的解析，后面的话我们放出来，大家可以自己去参考。然后我跟大家同步一下，我们这边可以找到 a 会等于根号六倍的 k 这样一个关系，然后我们的 b 有 一个比较复杂的， 它会等于二分之负三，加上根号三十三倍的 k 这样一个关系。所以我们最后的这个 ab 比上 ad， 他 其实就是什么呀？他其实就是我们的 ab 就是 a 嘛，对吧？然后 ad 呢？ ad 的 话就是 bc 就是 b， 加上三 k， 对 吧？我们就可以通通用 k 来表示。所以最后的一个结果啊，在我们第一问的这种第一种情况，这个结果是四分之根号二十二减根号六， 这是第一种情况，我的 f 是 不是也可以在 bc 延长线上呀？ 然后这个图我们前面就没有，那我们就来看我们新做的这个图三这个图好了，对吧？我给大家做一个这样的图，首先这个平行四边形还是一样的， 然后呢？我对应的这样的一个，呃，这个角度的关系也是一样的，对吧？我是一个翻折过去的一个图案，然后 他往外延长一下，然后我怎么给他截一下，对吧？就是这样的一个图啊，我把点给它标上，还是 a、 b、 c、 d 四个点，然后还是 p 点在这上面，然后 e 点在这中间，然后我的 f 点， f 点此时就在外面了，对吧？就在我们这个平行四边形的外面了。那我们来看这里的话，其实后面的内容就完全是也是一样，我还是设他是 a， 这里还是 b， 这里也是 b， 然后需要注意的就此时我的 pc 和 cf 就是 相等的，那我分别说它是 k 和 k， 然后也是一样，根据三角形的这样的一个对应的比例关系，我们可以把它这 几个呃， a 和 k 的 关系，还有 b 和 k 的 关系给它表示出来。首先我们知道 a 会算出来会等于根号二倍的 k， 然后 b 就 会等于 k， 所以 我们这种情况的 a、 b、 b， a， p、 a、 d 就 会比较简单一点的结果啊， 他就会是 a 比上 b 加 k， 对 吧？然后我们最后会得到一个二分之根号二，就是上面是根号二 k 嘛，下面是二 k 嘛，所以是二分之根号二，所以综上所述，我们第三问是有两个结果的，好吧，这是我们这个最难的，我觉得是最难的啊，因为他 要大家想到这两种结果，然后还需要把他这样对应的关系给他算出来，这是我们这道题他对你的思路。所以总的来说，我们这个 松江这套卷子，其实它是一道比一套比较中规中矩的卷子，难度上来说也没有很难，但你看看十七题，包括是我们后面的这个二十题， 对吧？它其实都已经涉及到了一些尺规作图、格点这样的一个情况，然后包括第二十二题也是一道跟前面几套试卷一样的偏应用的题目， 所以就像我们前面所说的，中考未来的趋势就是越来越生活化、情景化，并且持规作图、格点作图是会一定出现在我们中考中的一个新题型的。好吧，那我们今天的分享就是这样。

二零二六上海初三医模第一波已结束，四区医模难度排行，杨浦区暂时排名第一。点客服回复八十八领。

今天我们来分析一下沈阳二零二六年高三一模的数学卷子，这个卷子呢，相比二五年，二四年确实简单了不少。这个卷子我用两小时的时间就达了一百五十分，满分，没有任何问题。但是不管是二四年也好，还是二五年的一模也好，我用两个小时的时间根本就达不到一百五十分，也就是一百四刚出头 好。这个卷纸呢，它整体的难度和出题的感觉还是非常贴近高考的，但是有几道题呢，美中不足。接下来呢，我就来叙述一下这几道题。首先呢，这个第八题考了一个心定一体， 考的是引函数，第八题高考是绝对不会考的，为什么呢？高考不会提前去考大学涉及到的内容，这个引函数是大学高数才会学到的内容。 然后是填空题的第十四题，填空题的第十四题来说，他的难度要比高考的十四题难度要稍微小了那么一点。然后第十六题他出的是三角函数，而不是解三角形。 十八题没有任何问题啊，他整体上难度不是特别大，但是呢，他的记性量还是有的，所以说高考的圆的曲线如果单独出题的话，基本上也就这个程度了。 然后第十九题的话，第一问第二问也没有这个问题，但是第三问对于高考题目来说，他的难度是不够的，但是他的计算量很符合高考的要求，就是说这个题不用说你 花太多的时间计算，你会了，他就是会算，你要不会的话，他就是不会算。所以说这个是高考题目出题的一个特点，他一定会在两个小时之内把计算量控制的很好，不会说因为你会了这道题算不出来，哎，所以说 通过我的虚述来说，你会发现我对高考题目的掌握呢，还是非常的到位的。所以说这也就是为什么我能够短时间内帮学生快速的，以及说让学生花很少的功夫，让学生能够。 所以说这个寒假呢，我们还是要打基础，打基础，打基础，什么叫打基础呢？如果说你的分数没超过一百二的话，你就是打基础。什么时候你需要研究一些快速的结论呢？其他的做题方法啊， 让自己提高做题的时间，分数超过一百三，甚至来说你分数超过一百三十五，你才有资格去研究一些快速的解析方法，研究一些这个快速的解析结论。

高三一模考试四百分，相当于高考考多少分呢？一模考试是第一次大考， 也是家长们最关注的，大多数地区会在一月的中旬展开，家长们在评论区亲手写下二零二六高考必胜，预祝孩子们考入理想大学。这些呢，都是多年高三的老师总结的经验， 转发给孩子看看，让孩子放宽心。大多数孩子的高考成绩会比一模高出八十到一百三十分，一模成绩四百分的话，高考冲刺四百八到五百三十分不是梦， 甚至有的孩子能提升一百分到两百分。因为一模的题比高考要难，再加上一轮复习刚刚结束，知识体系还没有完全系统化， 所以考的不理想也很正常。哪怕这次只考了三百多分，也不要焦虑。一模的重点不在于分数的高低，而在于考后如何去调整，尤其是在寒假这一段容易松懈的关键期。 下面这三件事，请务必督促孩子一一落实。第一个，稳住心态，保持节奏， 考的不错，不要骄傲，这仅仅是一轮复习的检验，考的不理想也别灰心，这正是查缺补漏的机会。一定要记住，高考前的每一次错误都是提分的机遇，坚持到底，绝对不能提前放弃。第二个，反复分析一模试卷， 精准弥补短板。这一步直观重要，不能只简单的对答案，可以分为三遍，第一遍，归类错题，用红笔标记错误，原因是知识记忆不牢，答题方法不对，还是粗心失误。第二遍，针对错题回归课本， 巩固对应的知识点，比如数学函数部分出错，就着重看相关概念与公式，第三遍，三天后找出来，重新做一遍错题，确保真正的掌握了，如果依然出错，那就继续分析，直到彻底弄懂。 第三个寒假一定要制定复习计划，每天两个小时专攻若科寒假呢？切记盲目刷题， 要根据一模考试的情况选出两三个薄弱板块，例如语文、文言文、数学、立体几何、英语完形填空。每天安排四十分钟左右的时间专攻一个专题，例如今天集中去记忆文言文高频须词，并做相关专题， 明天钻研立体几何，外接求公式并练习三道高考题，针对性突破，比泛泛做题频率要高的多。 最后呢，一定要相信努力一定会有回报，只要脚踏实地的坚持这三步，高考成绩比一模提高个几十分完全有可能。祝愿您家的孩子成绩稳步向前，金榜题名，圆梦理想大学！

元旦假期结束了，紧接着就是英模考试了，那这次英模考试到底考多少分，算合格？多少分能证明孩子摸到了本科的结果呢？ 很多高三家长心里其实是没有底的，今天我来给你讲讲英模的考试成绩出来之后，怎么分析孩子的成绩。如果你家里有二六届的高考生，记得点个赞，收藏起来，可以在评论区亲手写下，祝我孩子高考顺利，给孩子加加油，打打气。英模考试，他是进入高三之后的第一次真正意义上的综合大考， 无论是难度还是出题范围，其实都向着高考看齐，他在一定程度上能够检验孩子一轮复习的结果。但是如果孩子没有发挥好，也不要气馁，因为一模他一般会偏怪偏难。 他最大的作用是帮助孩子发现阶段存在的问题，为接下来复习找准方向。那一模成绩出来之后，你不要光看分数高低，抓住三个关键点，这样就能判断孩子高考的大致走向。 第一个是总分占比，一模和高考一样，都是七百五十分满分。我给大家一个参考标准，如果孩子能拿总分的百分之六十，也就是四百五十分左右，那本科基本上稳了。如果能达到百分之七十，也就是五百二十五分，那冲刺一本院校是很有希望的。 要是你能拿到百分之八十的分数，也就是六百分，那孩子就相当优秀了，将来冲击九八五二幺幺和双一流高校把握十足。 第二个是排名参考，这里要重点提醒一下，不是看孩子在班级的排名，而是年级的排名必须要稳定在年级前百分之五十左右， 高三上学期就是高考冲刺的黄金期啊。年级排名会直接反映孩子在同龄人之间的竞争力，很大程度上能够决定高考的走向。如果你的排名掉出了前百分之五十， 说明孩子当前的复习节奏可能已经跟不上学校的整体进度了，再拖下去，差距只会越来越大，甚至影响第二轮复习的状态。这个时候，我们一定要尽快帮孩子调整学习方法，查漏补缺。第三个是盯紧语文成绩。 语文他是三大主科之首，文理都要考了，而且高考第一场就是语文，能不能考个开门红。作文其实很关键， 一定要去提前积累素材。不管高三有多忙，我都建议每天让孩子把下面四个主题的满分范围读一读，练一练，到了考场上呢，你就知道这么做有多值了。要知道，埋头刷题有时候真的不如作文多拿几分管用。每年高考的作文，它都会围绕最近的时政热点， 强调家国情怀。建议你拿好本子，记好下面这四大主题，来不及手写的呢，可以点个小红心转发给孩子。第一个主题是台湾省回归，台湾回家倒计时正式开启。回归一定会是今年的大热词，考的是国家统一。 第二个主题是十五五规划，考的是国家的发展和传承创新。第三个主题是十五届全运会，粤港澳三 d 他 首次联合承办全运会， 三 d 同步升起，五星红旗同唱国歌，满场尽是中国红，家国情怀直接就拉满了。第四个主题是海南分关，海南全岛分关是二零二五年年底的重大时政课题， 很有可能会进入二零二六年的高考试。业考的是发展和创新，负责任一些的高三家长啊，他会现在就去提醒孩子，赶紧开始整理作文素材，梳理写作思路了。高考作文整整六十分，你提前准备和考场现想的 差距是很大的，可能达到三十分，但这三十分往往是重点大学和普通大学的距离。我们现在能做的就是做好充分准备，把未来的不确定性变成手中的底气。像这样考试常考的时政热点事件，其实很多学霸学生的家长，他都在悄悄帮孩子准备收集， 但是他们一般不会主动分享。有远见的家长呢，现在就应该为孩子备好这一套专门针对高考作文的时政热点模板范文和京剧素材，它能够让孩子直接参考、模仿和运用。 书里面覆盖了明年高考可能涉及的全部十六个重点主题，每个主题都配了四篇以上的高分范文， 总有一百多篇，完全够二流届高考才使用了。不仅如此，作文开头结尾的京剧怎么写也都有详细点播，一步一步引导孩子写出高分作文。而且这套书还附带持续更新的电子版素材，一直到今年六月高考前，都会免费同步更新内容。也就是说，考前你就要看这一套就够了。 如果你孩子没有时间或没有思路整理素材，可以点我头像进主页橱窗。这一套高考作文热点素材和范围已经帮大家汇总好了，拿到就能用。家里有考生的，一定要给孩子带上一套，早点积累，早点受益。 把这本书认真用好，二六年高考作文分数一定不会低，要知道高考一分就能超越千人，多拿几十分，咱冲刺重点大学就更有把握了。最后，预祝你家孩子在二六年高考中金榜题名，顺利考入理想的大学！点关注！

大家好，我是张亮老师。本期视频我们来讲一下对应高考的青浦区的高三一模的第十一题，题目呢是说已知函数 f x 等于 e 的 x 减一次方，减 a， x 加 a， a 大 于零， 那如果 f x 小 于零，仅存在唯一整数节，那么时数 a 的 取值范围是多少？那我们这里是研究的是 f x 小 于零，就等价于 e 的 x 减一次方，小于 a， x 减 a。 也就是左边这个曲线要在右边这条直线 下方的时候，它只有一个整数满足，那我们现在把它图画出来，左边 e 的 x 减一次方，图像画出来，大概是像这样子啊，它就相当于是把这个指数函数 e 的 x 次方往右平移了一个单位，然后右边 a x 减 a 这个一次函数来说，它一定会过一零点。现在 对于这条直线来说，在 a 大 于零时，这个直线的斜率肯定是正的，那对于斜率为正的直线来说，当你的斜率比较小的时候， 跟这个指数函数肯定是没有交点，随着斜率慢慢变大，你这根直线逐渐的会靠近这个曲线，那么它们的临界位置一定是相切的时候。那我们假设这个时候的切点坐标是 x 零一的 x 零减一次方，那我们要去求出这个切点，也就是相当于是说去求这个曲线 经过一零的切线方程，那对于 y 等于 e 的 x 减一次方这个函数来说，它的导函数还是 e 的 x 减一次方，所以它在 x 零处的切线方程就是 y 减 y 零等于 k 倍的 x 减掉 x 零， 那我们要找的是过一零的切线，然后再将一零带进去，那也就是负的 e 的 x 零减一次方，等于 e 的 x 零减一次方，乘以一减 x 零，那这样的话我们就可以直接得到。那我这个 x 零应该是等于二，也就是说 这个曲线它过一零的切，刚好是切点横坐标是二的时候，那这个时候它的这个斜率应该是 e， 那 如此来看呢？那我这个 a 就一定要大于 e， 因为 a 小 于 e 的 时候，它根本跟这个曲线不相交，在 a 等于 e 的 时候刚好相切了，相切的时候它也没有曲线在直线下方部分，所以 a 肯定要比 e 大。 好，那大到什么时候为止？那我们注意到曲线是横过一一点，直线是横过一零点，所以一肯定不会是 f x 小 于零的整数解，那现在我们要这个二是为一整数解的话， 一又不可能是，那就只需要保证三，它也不是就可以了。所以这个时候我们还要保证三不是， 也就是 f 三一方减三， a 加二，它大于等于零就可以了。因为你说它不是，那我就相当于说我就要把这个三带进去，它并没有小于零，它大于等于零就可以，那通过它我们就可以得到这个 a 要小于等于二分之一方， 所以这个 a 的 范围就是 a 要大于一小于等于二分之一方。那这个题我们是通过数形结合转化成为图像的相对位置关系来进行求解。

大家好，我是三个老师。本期视频我们来讲一下最近刚考的闵行区的高三一模的第十一题。题目呢是说草坪上有一个带有围栏的边长为三十米的正三角形活动区域， a、 b、 c 点 p 在 边 bc 上，且 pb 长度等于两倍的 pc 长度。 小米同学在该区域玩耍，他在 p 处放置了一个手电筒，如果手电筒发出的光线张角，也就是任意两条光线的最大夹角是六十度，那么这手电筒在 abc 内部所能照射到的地面的最大面积是多少平方米？那我们先画出它的一个矢图，那图画出来大概就像是这样子， abc 是 一个等边三角形，变长是三十， p c 是 十， 那因为角 b 是 六十度， a、 b 是 三十， p b 是 二十的话，那根据余弦定理，我可以把 a、 p 也求出来，应该是十倍，根号七。现在它的要求是说呢，在 p 点这个地方 放了一个手电筒，这个手电筒发出的光线张角是六十度。也就是说呢，我们从 p 这个地方出发，有两条线，这两根线的夹角成六十度，如此围成一个三角形。最后问我们这个三角形它的面积最大值是多少？那这里呢，我们就要考虑这个光线 它具体交在三角形 a、 b、 c 的 哪条边上，比如说它有可能像这样子，这里是六十度，我整个光线都只交在 a、 c 这一段，比如说这是 e， 这是 f， 这是明显有可能的，当然了，它也有可能是像这样子，那你这个光线跟 a、 c 相交，跟 a、 b 也相交，当然了，它也有可能这个光线它只跟 a、 b 相交，都有可能，对吧？我们现在就是要去计算它到底是在什么情况下， 它的面积才会达到最大。比如说在第一种情况下，我们要计算的面积就是三角形 e p f 的 面积。在第二种情况下，那我们要计算的就是这个四边形 p e a f 的 面积。如果它的光线都是照射在 ab 段，那这个时候也是三角形 p e f 的 面积。那我们不妨假设角 e p c 比较小的时候，当 c c 大 于等于零， 小与等于角 a p c 减掉三分之差的时候，那这个时候我们可以保证 e 点和 f 点都在 a c 这一段，那这个时候对于三角形 pdf 来说，因为 p 点是固定的， e f 在 运动， e f 呢？又在 a c 上运动，那 p 点到 a c 的 距离这是固定的。也就是说 我以 e f 为底的时候，它的高是固定的，那我要找面积最大时，相当于就是找底的最长，所以我们去计算就是 e f 在 什么时候会长。那首先在三角形 p e c 中，根据正弦定理，我们会有 p e d 上角 c， 也就是六十度， 它要等于 p c 比上三角 p e c， 那 三角 p e c， 也就是三角 e p c 加上 e c p， 也就是三分之钛加上它，那这样的话我们就可以得到这个 p e 的 表达式应该是五根号三比上三，三分之钛 加上稀罕老。同时又在三角形 p e f 中，我们又会有 e f 比上三分之二，要等于 p e 比上 e 角 p f e， 而 c e 角 p f e 就 等于 c e 角 f p e 加上 e p， 而角 f e p 又等于 e p c 加上 e c p， 所以 它就等于 sine 三分之二 pi 加上 sine， 然后再将 pe 带进来，如此我们就得到 e f 的 表达式，就等于十五比上两倍的 sine 三分之 pi 加 sine 三分之二 pi 加上 c 它，然后我们对这个 e f 的 长度进行化减，分子不动，分母展开合并化减，可以变成 cosine 两 c 加上二分之一，那因为你的 c 是 在零到角 a p c 减三分之 pi 之间， 那你的 cosine 两 c， 它在这个范围内是属于严格减。在分母最小时，整个分是取到最大 小于等于十五比上二十两倍的角 a p c 减掉三分之二，再加上二分之一，这是在第一个这种图的时候算出来。应该是这样，如果是在情况二里面，那这个 c 塔大于角 a p c 减三分之 pi 小 于角 a p c 的 时候， 那这个时候呢？是一个四边形，一点在 a c 上， f 点在 a b 上，那你要这个四边形面积最大，而我整个整体三角形 a b c， 它的面积是固定的，那我就只需要剩下的两个空白三角形面积之和最小就可以了。呃，这个时候我们依旧用 e p c 是 c 叉角，那在这里面我们已经算过了 p e 长度我已经表示好了，那你这个 p c 的 面积二分之一 p e p c 点 c， 它也就等于二十五倍，根号 三三分之八加 c， 它然后来计算这个 p f b， 那 在三角形 p f b 中， p f 比上六十度，就等于 p b b 上，再以 f b， 那 再以 p f b， 就 等于再以 f p b 加上 f b p， 然后 f p b 又等于三分之二减掉 c 塔，所以它就是再减 c 塔， 那这样的话，我们可以得到这个 p f 长就应该是十倍根号三 b 以上 c 型 c 塔，那如此 我这个三角形 p f b 乘以 c 以 f b， f p b 就是 三分之二 pi 减 c 塔，也就是一百根号三。在三分之二 pi 减 c 塔比上三 pi 塔啊。注意，三角形 p e、 c 的 面积是三比上三三分之 pi 加 c 塔，三角形 p f b 的 面积是 三三分之二 pi 减 c 塔比上三 pi c 塔。那注意到三分之 pi 加 c 塔和三分之二 pi 减 c 塔，它俩相加刚好等于 pi， 也就是属于 互补关系。那根据诱导公式，它又可以写成一百根号三，在三分之派加塞他比上塞他，所以这样的话，我们就有三角形 p e、 c 加上三角形 p f、 b 的 面积。 提出二十五根号三，那就是塞他比上塞三分之派加塞他加上四倍的三分之派加塞他比上塞他。 根据均值不等式，那他当然是要大于等于一百倍根号三。当前仅当他两相等的时候，等号成立，那么这个取等条件我们可以求出来，这特等于九十度的时候取到，那这个时候这个四点形的面积， 他就应该是三角形面积四分之根号三，乘以三十平方，减掉两个空白三角形的面积，一百根号三，也就是一百二十五倍根号三。并且在这个时候我们可以计算得到这个一百二十五倍根号三，是大于我们在 第一个情况下的结果，也就是二分之一乘以十五比上二十的两倍的角 a， p c 减掉三分之二派，再加上二分之一再乘以高是 p c 乘以三三分之派，所以一百二十五每根号三是比第一种情况下的最大值还要更大的，那同理，如果是说 e、 f 两点都在 a、 b 段的话，那情况跟第一种是对称的，那同样我们会发现这个时候应该是 e 点，在 a 点的时候，三角形 p e、 f 面积达到最大， 并且这个时候它的最大值同样也会小于一百二十五倍根号三，所以我要求的这个面积最大值就应该是一百二十五倍根号三。

同学们好呃，本期视频乔老师给大家录制一下二零二六年嘉定区新出的高三一模卷上的啊。第十题，来大家看一下这道题目的话呢，给了我们三个向量， o a、 o b、 o p， 还告诉你 k 是 直线 o p 上的一个动点啊，那也就是说我们啊， ok 跟 o p 呢，就是贡献的。然后他说，当 k a 点乘 k b 取最小值时啊，向量 o k 的 坐标，其实向量 o p 的 坐标也就是 k 点的坐标，对吧？那么刚才我们分析出来这个 o k 与 o p 贡献啊，我们都知道贡献嘛，那就是它跟它就是成比例嘛， o k 与 o p 贡献， 对吧？第一步我们就可以推出什么呢？推出我们的 ok， 就 等于 k 倍的 o p 好， 就可以表示成这个二 k 都好， ok， 表示完之后，那么接下来我 k a 点成 kb 好 就可以啊，写成 o a 减 ok 啊，乘 o b 减 ok 啊，就都用 ok 进行表示好。然后呢，我相信这个计算应该是没什么问题的，就是一减二 k 啊，逗号，这个七减 k 去点成一个五减二 k 都好，一减 k 好，然后呢，相当于点乘，大家都会算吧啊，就是这个跟这个乘，加上这个跟这个乘啊，最后整理一下，这个数字就变成了五括号， k 减二的平方减八啊，这是一个跟 k 有 关的一个啊，二次啊，方程之，对吧？那你看一下，嗯，我们什么时候能取到最小值啊？ 因为它是平方嘛，我们知道平方是大于等于零的，那么当这个 k 等于二的时候，它是不是就是取最小，对吧？ k 点乘 k b， 它取最小好，此时此刻啊，我们最小值的话， 呃，他问的是 ok 的 坐标，那把它带进去哈。呃，就是四勾号二，对不对？好，这是这道题的大家能想到的普遍的方法，那这边的话，老师想给大家拓展一种讲法，就是极化横等式啊，那这道题如果就是极化横等式，我们怎么去处理呢？来法二。呃，我们可以给他这个先画个图啊。画个图，你看我们 a 点呢，是这个一逗号七，对吧？ o a 是 一七嘛， b 呢，是五逗号一， b 是 五逗号一，然后 o p 呢，是二逗号一，二逗号一。呃，在这个位置啊，坐标是二啊， 大致的画了一下啊，二十六号一，然后他告诉我们 k 是 o k 上的一个动点啊，也就说他就在这条线上，具体在哪也不知道。然后，呃，他说当这个 k a， 来我们弄一下啊， k a 点乘这个 kb 最小的时候，问一下 o k 坐标是多少？那你看一下哎， k a 跟 kb 点乘，它们是不是都是共起点？是以 k 为起点的，那么遇到这种共起点的情况之下，我们可以想到一个东西啊，叫极化横等式， 那他很显然就可以得到，就是我们 k a k b 啊，做完平行四边形的这个什么呀？呃，对角线 的啊，一半的平方，再减去我们这个 a b， 就是 它的一半的平方，对不对？所以其实我们写出来的话，就相当于是，来啊，你把 a b 相连，取一个 a b 的 这个中点啊，是 c 点，说实话，这个 c 点的坐标你能写出来啊？是三逗号四是吧？那 k 点成 k b 呢？刚才老师已经说了，有几何等式，它可以写成是 k c 方，减去四分之一的 a b 方， 那我们 a b 呢？你没发现都是确定的啊，是定值，那你要让整个数字最小，其实也就是要 k c 最小，是不是？那 k c 最小， k 又是在 o p 上啊，那什么时候它最小呢啊？是不是就是当我的这个 k c 啊，加上就是 k， 对 吧？当这个 k c 跟我们的这个 o p 啊，是不是垂直的时候，它最小啊？所以啊，既然垂直，然后我们还要求的是 k 点的坐标，那不妨啊，我们可以把 c k 的 这个 o k 是 垂直的吗？那么 o k 啊，咱们可以啊，这个，这个 因为是在 o o p 上的，对吧？所以它是 y 等于二分之一 x， 然后，呃，我们的直线 c k 啊，它是垂直的，那斜率就是负二，然后又经过三逗号四这个点，所以它的直线方程就是 y 等于负二啊， x 减三加四，然后把它们两边立，也能得出我们啊，这个垂度，也就是此时此刻 k 的 坐标，也就是四得二啊。所以这道题目啊，两种方法都可以。好，大家听明白了吗？录制结束哈。

大家好，我是三道老师。本期视频我们来讲一下最近刚考的徐汇区的高三一模的第十六题。题目呢，是说已知 n 属于自然数集合 p n 是 关于向量 x 的 一个集合，其中向量 x 它有 n 个 坐标，分别是 x 一， x 二， x 三一直到 x n， 其中任意一个位置的 x， 它都是零或者是一。我们把这样的向量称之为 n 为向量。现在说 a 向量 a 一 a 二，一直到 a n 是 属于几何 p n 的， 并且其中的每一个位置它都是一 b 向量 b 一 b 二 b 三到 b n 也是属于几何 n 的。 现在定义 a 向量乘以 b 向量等于 a 一 b 一， 加上 a 二 b 二，一直加到 a n b n。 假设满足 a 向量乘以 b 向量等于 m 的 b 向量的个数为 f m， 然后给了下面两个命题，第一个，当 n 等于三十， f 零加 f 一 加 f 二，加上 f 三等于八。第二个，当 n 等于两 k， a 是 正整数的时候， f 零加 f 一 加 f 二，一直加到 f n 减一，它等于二的 n 减一次方好。那我们先来分析一下这个题目，那对于这个 f m 来说，其中 a 向量它的每一项都是一，所以这样，那我们就可以得到这个 a 乘 b 就 等于 m， 也就等于 b 一 加 b 二一直加，加到 b n。 那 我们注意到 b 一 b 二，一直到 b n， 它的每一根数都只能是零或者是一。现在它们总和是 m 的 话，就表示这里面总共有 m 个一 b 一 b 二，一直到 b n 中共有 m 个一，其他的全都是零， n 减 m 个零，那我们就可以得到，那我这个 f m 其实就等于 c n m 有了这个东西之后，那我们先来看第一题。在 n 等于三的时候，那我这个求和 m 从零开始到三 f m， 也就是等于 c 三零加 c 三，一加 c 三，二加 c 三三，那当然是等于八，所以第一个还确实是对的。第二个 在 n 等于两 k 的 时候，那这个时候它的这个求和从 m 等于零到 n 减一进行求和，就是等于 c n 零加 c n 一 加 c n 二，一直加 加到 c n， n 减一。那对于这样的一个求和来说，我们知道 c n 加 c n 一， 一直加到 c n n， 它是等于二的 n 次方，所以现在我给它补上， 补上 c n n， 再减掉 c n n， 那 你前面这部分就等于二的 n 次方，然后 c n， n 本身就等于一，所以我整个求和式子，它应该是等于二的 n 次方减一，而不是二的 n 减一次方。所以这样来看的话，一命题是对的，二命题它就是错的了，所以答案选 c。

下一站上岸。

二零二六年沈阳市的高三数学一模今天落下帷幕啊，老师第一时间给大伙做一个分析，这套试卷出的还是非常好，就是从知识点的分布，题型的全面性，题目的难度以及试卷结构上来说，非常贴近我们的新高考全国二卷。所以你无论是辽宁 的同学也好，还是全国考新高考全国二卷的同学也好，这套试卷参考价值还是非常大的，就大家答完卷出了成绩之后，一定要做一个全面的总结和复盘。 首先咱们先从试题结构上来说啊，这套卷呢，依然采用了八三三五的试卷结构，前边呢十四个小题相对来说是延续了我们现在新高考全国二的一个趋势， 出的整体还是比较简单的。所以呢，我建议大伙应该是四十分钟把它搞定，那剩下的时间我们留给大题，因为这套卷整个解答题的题量计算量 非常的大，大家可以看到，就除了那个十五题是两问之外，其余的十六、十七、十八、十九都是三问，他的计算量还是非常大的，大家至少要留出七十分钟左右的时间。那这个和我们现在的新高考 出题的趋势是非常非常接近的，整个的试卷呢，我们相对来说应该是轻小题，重大题，你才能答出一个比较完美的成绩。第二个点我们再说一说现在新高考比较爱做文章的五道解答题， 这套试卷的五道解答题顺序出的还是比较保守的，与我们以前的老高考比较接近，第一个是数列，第二个是向量与三角函数的结合，第三个呢是立体几何，第四个圆锥曲线，第五个是统计概率和导数的结合。 那值得注意的就是，那十九题压轴题，没有独立的出统计概率，没有独立的出导数，而是把统计概率和导数结合到一起，出了一道相对来说区分度比较大的一道题目。 第三个点，大家可以注意，这套试卷整个文章做的比较重，题目出的比较难的一个是第八题，一个是第十九题，这两道题目其实都是与函数与导数有关系，特别是导数这个点，所以大家在复习的过程中呢，还是要注意函数与导数的结合，无论是小题压轴，还是大题的压轴， 它都是我们在新高考的趋势当中命题的一个重点，大家如果想得高分，平时这个模块，函数与导数的模块一定要练透，一定要练到一定的高度，把它练到位。 第四个点啊，老师要告诉所有我们这届高三的同学们，一模考完之后，大家一定要接受你成绩上的波动，因为毕竟这是我高三一轮复习完之后，第一次大型正规的模拟考试，大家呢，无论是在客观因素上，心理的变化上，肯定呢对你都会多少有一些影响。 接下来的话呢，我们还有五个月的复习时间，你的数学还有很大的提升空间，关键是你能不能通过一模做好复盘总结，及时找到自己的问题，利用好这个寒假，能尽快的把你的坑填补上，把你的漏洞进行系统的查缺补漏，这才是关键，分数不是第一重要因素。 最后啊，老师做一个简单的总结，就你如果想考 c 九这套试卷，你至少要考到幺三五以上，如果你要想考九八五这套试卷也需要考到幺二五以上。如果你想走一个二幺幺这套试卷需要考到一百一到一百一十五，可以说在你不瘸腿的情况下，数学是不给你拉分的。

二零二六年徐汇区初三，一模的成绩已经出来了，今年呢，徐汇的卷子不算是太难，数学的均分是九十九点八分，跟隔壁杨浦区差不多， 难度系数不算大，但是最后一道压轴题还是有点难度，区分度比较大，据说全区只有个位数的孩子做出来了。徐汇的小朋友们，你们都考的怎么样呢？这次一模的成绩是不是理想呢？可以评论区讨论一下。

二零二六年杨浦区初三一模的成绩已经出来了，这次呢，杨浦区最难的科目还是语文，语文的全区均分只有九十点五， 数学的均分是一百分，物理是四十一分，化学是三十二分。那今天各个学校已经都给大家取发了成绩，杨浦的小朋友们，你们都考的怎么样呢？可以评论区讨论一下。