正弦函数的拉氏变换频谱图

这是一段我利用 ai 自动制作的教学动画，展示了正弦函数图像受参数影响情况。动画首先展示正弦函数图像，之后展示正弦函数图像受参数 a 的 影响， 随着参数 a 的 变大和变小，图像的振幅也在相应变化。然后展示参数欧米伽的影响，随着欧米伽的变化，图像横向伸缩，纵向不变。 之后展示斐对图像的影响，斐为正负时，图像分别向左向右平移，图像用相位变化进行展示。 最后展示参数 b 对 图像的影响， b 的 正负使得图像向上和向下平移。视频的最后完整的分布展示四个参数，依次加入解析式中图像的变化。 下面我来详细说明一下视频动画的制作过程。首先在网络中有共享的制作 manual 动画的 ai 提示词， 这段提示词能够确保 ai 翻译的制作 my name 动画能够尽量不出现文字重叠，字体不清，同时动画过程尽可能能够美观，不丢失信息。输入提示词之后， ai 已经知道了我们对视频制作的要求。 然后对 ai 工具 kimi 说出自己的数学动画要求。这段要求中一定要说明我要用 my name 这个数学动画软件制作动画，并说清楚我需要的代码是 python 变音语言。 然后说明数学学科的要求，如本动画是要制作正弦函数图像受参数的影响，然后等待 ai 思考生成动画的变音代码。可以看到 ai 正在快速生成代码。以我们对 ai 要求了展示它的思考过程，便于我们查看它的思考有没有偏差， 如果思考没有偏差，说明代码的可信度更高，同时 kimi 这个工具会展示出它的思维导图，能够更直观地查看动画的分章节信息，可以帮助我们快速调整动画的顺序。 如本案例中参数 a， 我 们一个 five 和 b 的 出现顺序。确认 ai 给出的思路没有错误以后，就可以进入拍叉这个软件。它是一个 python 代码编辑和运行的平台。首先确保电脑中安装了 python， 通过一段代码检查是否安装了 python， 如图中显示就说明成功了。在电脑中安装 my name 社区版，最新版本是零点一九，安装完成后，可以通过使用代码 paper show my name 检查是否安装成功。 再安装 ffmpeg， 这个插件是用来帮助 my name 渲染动画的，可以通过一段代码检查是否安装完成， 如图中显示就说明安装成功了。制作代码的运行环境如上，已经全部完成，后面的工作可以全部安排由 ai 来完成，无需我们学会任何的 my name 以及 python 代码的编辑要求。 复制 kimi 编辑的代码，粘贴到拍叉中运行代码。首先打开拍叉软件，在已有项目中新建一个拍森文件，右键新建拍森文件，输入文件名， 我输入的是正弦函数图像的参数影响。 之后将 kimi 中得到的代码复制粘贴到拍叉中运行代码。 可以看到 my name 正在试图生成一段动画，但是报错了，出现了红色字迹。 这个具体的错误我们不需要知道它为什么错，我们直接把错误代码复制粘贴到 kimi 中， kimi 会自动识别错误，分析原因后更正代码。 我们只需要重复以下步骤，用 ai 制作代码之后，我们复制代码，然后把代码粘贴到拍叉这个软件中，然后运行程序， 如果出现错误，就再次把错误复制粘贴到 kimi 中。重复这三个步骤，直到拍叉姆能够跑通，并利用 my name 制作出数学动画为止。 从视频中可以看到我们在反复尝试这一过程，这段我就快进了。 可以看到，其实 ai 也是会出现很多错误的，但是它试错成本特别低，我们也不需要理解 python 这个翻译代码，我们只需要让 ai 帮我们完成即可。 这一次软件跑通了，并且渲染成功了一个动画。我们来看一下这个动画效果。 制作的动画很生动形象，但是配色有点差，看不清文字。 因此我们对 ai 提出新的要求，让 ai 重新生成代码， 然后将生成代码再次复制到 python 当中。运行代码，如果报错的话，再重复。将错误代码复制到 kimi 当中，然后 kimi 改错，重新生成代码， 再次粘贴到排插幕中，依次循环，直到生成新的动画为止。 可以看到又重新生成了一段动画，这段动画的配色非常漂亮，而且动画的逻辑展示也很清晰，符合我们要求。 但是在视频的最后完整变换过程中，有参数的变化，但是没有显示解析式的变化，所以这个对应关系看着不够直观。 我们再一次对 ai 提出新的要求，让 ai 修正代码，然后重复复制代码，粘贴到 python 当中， python 运行直到生成新的数学动画为止。重复以上步骤，直到最终我们生成满意的数学动画。 以上整个视频是我录制的一次完整的利用 ai 工具 kimi 生成代码，在拍叉姆平台编译拍叉姆，再调用 my name 制作数学教学动画。 在布置完运行环境后，整个制作过程其实是完全自动化的。我们不需要学习拍森编程语言，不需要学习 my name 的 制作流程和方法，也不需要学习视频渲染需要什么技巧， 更不需要学习怎样配色排版才能让界面更美观。全程使用自然语言描述， ai 会自动理解我们的需求， ai 会自动通过网络学习帮助我们制作课讲， 真正做到人工智能辅助下的新式备课。这一过程极大降低了教学资源开发的技术门槛，让教师专注于教学设计本身。 通过自然语言交互， ai 自动完成代码生成、动画渲染与格式的优化，实现了从教学意图到可视化成果的无缝转化。

这里我们有一个矩形函数，下面是它关联的富丽叶变换赋值图，看起来像正弦曲线。对于第一次看到这个等式的同学来说，积分看起来很可怕，尤其是它的指数项 里面还包含了虚数 i。 我 们先把 i 从指数上拿下来，以便我们可以看清楚这个变换的几何直观意义。 我们可以使用欧拉公式，将 e 的 负 i， omega t 次方展开成 cosine， 负 omega t 加 i 乘以 sine， 负 omega t 余弦中的符号可以被省略。把正弦里的符号移到前面，稍微简化一下，我们用它替换积分中的 e 的 负 i， omega t 次方， 将函数 f， t 分 别乘到里面去。最后把积分写成两个积分，一个是原函数乘以 cosine， 另一个是原函数乘以 sine id 到积分符号的前面去。现在我们可以直观的理解这个方程了，将原函数乘以具有相同任意角频率的余弦和正弦曲线。不管要积函数长什么样，两个积分分别对应两条曲线下的面积， 而且这两个面积分别对应某个负数的实部和虚部。虚数单位 i 乘以的后面这项是虚部，该负数的负值就是该特定 omega 处的负利率。变换的负值角度是对应的象位，我们扫描角频率并跟踪该负值和象位时， 这个三角形会跟着改变，我们就得到了整个复利业变幻。把积分对应的面积值分别等于一个直角，三角形的两条直角边的长度，浮值和相位就此而来。顺便说一下，积分出来的这些面积值可以是负数， 我们把它放到单位原理来看会更清楚，相位可以为正，也可以为负或大于九十度等等。 这将告诉我们这些面积中哪些实际上是负值的，我们稍后会看到，但在这里让我们先来看一个例子。我们将矩形函数放回顶部，将矩形函数乘以 omega t 的 余弦和正弦，这样我们就可以看到为什么这是负利率变换的负值，它是 omega 的 一个函数。 为了分别说明函数的余弦和正弦部分，我们先在左右两边绘制一样的矩形函数，把它的实线变成点线。等会儿三角函数我们也用虚线来画，当 omega 等于三时，把 cosine 三 t 画在左边， sin 三 t 画在右边。 因为矩形函数在矩形框两侧之外的区域的函数值都是零，矩形函数与三角函数相乘的积在这些区域也等于零。 我们将函数积等于零的图像引去，因为矩形函数的值为一，所以它与三角函数的乘积就等于三角函数本身。所以复利叶变换就是算出这些三角函数曲线下的面积。再用左右两图的面积算出复利叶变换的幅值。 右侧图 x 轴下方的面积为负，所以 sine 函数的面积为零。左侧图 cosine 函数的面积经过求定积分计算得到约为零点六六。左右两面积相加的和等于零点六六，虚部为零， 复数的虚部为零时，求模不需要勾股定律，即 omega 等于三十，负离子变换的浮值等于零点六六。 后面我们要做的就是按前面这样扫描所有 omega 的 取值和跟踪那些相关的区域的面积，这便得到整个复立页变换的幅值。注意，当我们倒退一点时，可以看到右边的图总是面积等于零， 因为 sign 函数关于圆点对称， t 的 取值关于 y 轴对称。无论 omega 取啥值，正弦值的积分正负面积总是会抵消积分等于零。 实际上，屏幕底端绘制的是以这两个面积值为值的 omega 的 函数。在现在这种情况下， cosine 函数的积分就是复利业变换的全部内容。这里有两点比较有趣，一个是 omega 等于零时对应的 y 坐标实际上告诉了我们原函数即矩形函数的面积。 原因是，当 omega 等于零时， cosine 函数等于一，我们正好得到原函数 f t 的 积分。无论 f t 是 多少，跟 sine 相乘后都等于零，所以右图的值被忽略。 当 omega 等于零时，实际上我们只是在计算原始曲线 f t 的 面积。我们可以看到原始函数的矩形图像和它下面的面积。再看一下当 omega 等于二派时的图像，在下端的幅值，图上的对应幅值为零， 浮值为零，意味着如果我们将原始函数乘以角频率等于二拍时的余弦或正弦，将会得到积分为零的结果，即面积为零。左图显示，蓝色负面积终于大到正好抵消绿色的正面积。我们继续增加 omega 的 值， 左侧的面积又从近负值变为近正值，中间跨过零点。因为虚部永远为零，所以浮直图仅使用左侧的实函数的实数进行绘图，不必考虑虚部，实部就是浮直，很直观。 我们再用一个稍微复杂的圆函数来代替矩形函数，看一下跟上面同样的过程，应用复利业变换，我们将圆函数乘以 omega t 的 余弦和正弦。当 omega 等于零时，左边只剩下函数本身，右边的 y 等于零。 用积分算出左侧的面积为零点零三八，右边为零，代入勾股定律公式， 算出浮值，并绘制等于零时的浮值。扫描 omega 从零到十的所有曲值，计算出浮值，在屏幕下方画出它的复立页变换浮值图。 此时虚部的积分不再为零，但勾股定律计算出的浮值仍是实数。它等于下方图像中特定 omega 值对应的 y 坐标。 omega 为负值时，图像会沿 y 轴对称， 这是最终的复利液。变换浮值图。一维输入一维输出的浮值图不能反映象位。象位是这个三角形的角度，它的两条直角边等于左右两边曲线的积分得到的面积值。如果象位接近九十度，就像现在图上所示， 说明左侧圆函数乘以 cosine omega t 的 曲线下面积比右侧圆函数乘以 sine omega t 的 曲线下面积小得多。 底边的长度与高相比显得非常小。我们现在画一个象位图，当 omega 等于十时，象位大约等于负八十度。为啥有个负号？因为三角形的高对应的那个虚部的值有一个负号，这个角度在单位圆的第四象限。 象位图上，负八十度对应负的纵轴坐标连续改变 omega。 我 们通过动画可以看到更直观的效果。当象位大约为四十五度或负四十五度时，左右两边的面积的绝对值大致相同，这时对应一个等边直角三角形底边和高几乎相等。 当象位变为零或趋向于零， 三角形的高为零或趋向于零，继续移动， omega 向位进入零度到一百八十度之间的正值， 这时 sin omega t 图曲线下的面积为近负面积。转到俯直图，它告诉我们左右两边的面积组合起来的大小。把左右两边的面积做直角，三角形的直角边时，相位图告诉我们左边的面积与右边的面积相比有多大， 并且左右的面积都可以取负数。将幅值图和相位图结合起来看，才是复利液变换的完整图像。 现在我们来思考一下 cosine x 从负无穷大到无穷大的整个曲线下的面积是多少。也许我们可以说它不存在，因为随着 x 从正负两个方向离开原点，该面积在正负之间切换，开始面积是零 变到二，然后变到负二，永远这样震荡下去，正负抵消。 我们可以认为这个 x 从负无穷到正无穷的面积是零。如果两个余弦函数相乘会怎么样呢？我们把两个周期不同的余弦相乘，得到一条波形有较大差别的曲线，但即使这样，面积仍是在两个有限值之间震荡。 把图像向右移动，我们会看到有些区域的绿色面积多，有些区域的蓝色面积多。面积在蓝色和绿色之间不断来回移动，所以我们还是可以认为面积的和等于零。当我们慢慢改变其中一个余弦曲线的周期时，总面积还是会保持等于零， 因为面积在蓝绿之间震荡，暂时还不会发散。角频率达到三十，面积看起来好像要发散，但实际上还是表现出了周期性。 只有当两个 cosine 函数的角频率相等时，即都等于 pi x 时，图形才会再都升到 x 轴的上方，这时面积等于无穷大，因为函数变成了 cosine 的 平方。 这就是为什么我们现在求得的负熵变幻都是正值的原因。再看一个例子，设有 cosine， 我 们把它分别乘以 cosine omega x 和 sine omega x， 并跟踪每个相乘函数的面积。先看与 sine 相乘的函数，当 omega 增加时，绿色和蓝色区域总是相等的， 曲线总是关于原点对称，因此极视角频率相同，面积也为零，所以我们不用考虑 sine 的 乘积。现在看与 cosine 相乘的函数，当 omega 等于零时，因为对称性，蓝绿抵消面积为零， 把它画到复立页变换的幅值图上。等于零的值我们后面不再画出，我们开始改变 omega 的 取值。前面已经讲过，面积在绿蓝之间震荡，最终结果都为零。 但在等于 pi 时，总面积突然跳到无穷大，我们在赋值图上用箭头把它表示出来，这是当 omega 等于 pi 时才会有的赋值，说明原函数含有 omega 等于 pi 的 角频率，其他 omega 取值的负离子变换对应的面积都为零，浮值也为零。 考虑偶函数的对称性， cosine x 的 最终负离子变换在负 pi 处也有一个无穷大的浮值。 这就是傅里叶分析的强大之处，它有点像在扫描原始信号中包括的正弦函数，当原函数中没有对应正弦成分时，它就输出零。 但是一旦它找到了正确的频率，它就会输出一个无限大的尖峰，好像是在告诉我们，嗨，原始信号有 cosinpi x 在 里面。所以实际上我们要做的就是寻找输出无限大面积的 omega， 因为它就是信号中的正弦曲线的角频率。 再看一个例子，我们有一个更复杂的函数，我们要对它应用复熨液变换。我们可以将其作为四个独立的积分，每一项乘以 cosine omega t。 当 omega 没有扫描到匹配项时，面积等于零。 但是一旦我们的扫描仪找到匹配相，我们就会得到一个瞬间变成无限大的面积。这种情况会出现四次，告诉我们原函数中含有四个不同的正弦曲线。这种情况当然很容易看出，曲线是由四种正弦曲线相加组成的，它们就写在函数表达式里。 但是如果给大家一个方波，它所包含的正弦曲线就不是那么显然的了。对于我们的扫描仪来说，却很容易知道它包含了什么。 我们把方波表示成函数 f t， 然后扫描它包含的信号，扫描 omega， 向寻找面积等于无限大的值代入零。 cosine 零等于一，我们乘以一，这是求圆函数的积分。蓝色和绿色相等，总面积为零， 增加 omega 图像有点凌乱，但没关系，我们没有在横向滚动屏幕，因为情况是一样的，这里蓝色和绿色面积会全部抵消。面积等于零。 当 omega 等于 pi 时，我们突然得到一个无限大的面积，这意味着我们发现了第一个构成方波的正弦曲线。 乍一看对我们来说是隐藏的，但复利叶变换发现了它，这不是元函数中唯一的正弦曲线。我们现在继续扫描，我们现在直接跳到 pi 的 整数倍。先是 omega 等于二，派面积还是等于零？ 大家仔细观察蓝色和绿色区域确实抵消了，但是当我们到达三派时，有一种蓝色多于绿色的连续图案，所以我们得到负无限大的面积。这意味着还有一个 cosine 三派 t 也是方波函数的组成部分，负面积的系数为负。 当我们继续扫描，结果发现只有基数乘以 pi， 会给出一个无限大的面积。这意味着方波函数可以通过将无限多的余弦曲线相加来创建这种模式，就是富里页极数背后的基本思路。 最后几分钟的视频都是关于周期函数的零面积或无限大面积的，我们需要回到视频开始介绍的举行函数的情况。当我们得到非零有限面积时，是否有更深层次的真相？ 在矩形函数的面积连续变化的过程中，我们也可以说当 omega 等于三时，我们的扫描仪发现 cosine 三 t 也是组成矩形函数的成分。要这个结论成立，唯一的条件是它应该有一个无限大的面积， 即当矩形函数乘以 cosine 三 t， 要得到无限大面积的积分。如果我们让正负无限接近到零，那么我们至少可以得到一个有限的面积。当我们把这种视为极限时， 可以看到实际上 cosine 三 t 也是组成我们的矩形函数的成分。无限小的增加 omega， 即只增加一点点。比如增加到三点一，我们仍然可以得到一个非零的有限面积， 这意味着我们的函数还含有 cosine 三点一 t， 只是它的正负也无限小，即有一个无限小的系数 omega 取每个时数都会是这种情况， 这意味着我们必须将无穷多个无限小的正弦连续谱求和才能得到举行函数。现在用直观的动态视觉效果来展示它。跟前面的尖峰画面不一样，我们展示一个连续直谱图， 代表了系数都取一时 omega 扫过所有实数构成我们信号的所有正弦曲线的赋值视频最开始时展示的这个动画强调了如何把无限多个正弦函数加和构建一个实数有限函数。 到这里，我们其实已经把拉普拉斯变换的完整视频做出来了，大家感觉很突然，因为他们其实非常相似。富力叶变换和拉普拉斯变换最大的区别是，拉普拉斯的这个 s 是 什么？ s 等于 alpha 加 i omega， 我 们将其带。

这个视频咱们来研究一下正形函数的伸缩变换。先看这个函数， y 等于三以 x， 画出图来就是这个样子。接下来咱用五点法来画画 y 等于三以二 x 和 y 等于三以二分之一 x 的图像 先画外，等于三二 x 用五点法画，咱得先列个表，分别找到，当二 x 等于零二分之派派二分之三派和二派是所对应的 x 值和对应的三以二 x 值。把这个表列全了，咱把这些点描在图上，这样你就得到了三以二 x 的图像。 画好了 y 等于三二 x 的图像，咱再来画画 y 等于三二分之一 x 的图像。和刚才一样，咱先把表给列出来，分别找到，当二分之一 x 等于零二分之派，派二分之三派二派时，所对应的 x 值是多 多少，对应的三二 x 是多少。列出了这个表，咱还是把这些点标在图上，这样你就得到了三二分之一 x 的图像。接下来咱仔细分析一下，看看这三个图像之间有啥关系。 先看三 x 和三二 x， 你看三 x 的周期是二派，三二 x 的周期是派，发现没 x 前面乘个二，周期变成了原来的一半。因此，函数 y 等于三以二 x 图像可以看作是由 y 等于三 x 变化而来。 所以要通过三 ex 得到三以二 x 的图像，只要把所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的二分之一就成。弄明白了这俩函数之间的关系，咱再来看看三 ex 和三以二分之一 x 之间是咋变化的，还是先分析周期，你看 三 x 的周期是二排，三以二分之一 x 的周期是四排，发觉没 x 前面成了二分之一，周期反而变成原来的两倍。因此函数 y 等于三以二分之一 x 的图像可以看做是由 y 等于三以 x 的图像变化而来。 所以要通过上一 x 得到上一二分之一 x 的图像，就把所有点的重坐标不变，横坐标变为原来的二倍就行。 看了这些个函数，找到啥规律没？一般的对于散友 ome 的 x， 你都可以把他的图像看作是由散友 x 变换而来， x 前面乘了几，你就把图像上所有点的横坐标变为原来的几分之一，纵坐标不用变了，刚才是在 x 前面乘以一个数，你已经知道图像是怎么变化的了。那如果我在整个式子前面乘以一个数，你 知道图像是咋变的吗？咱还是用 y 等于三 ex 来分析。当 x 等于零二分之派派二分之三派二派时，所对应的三 ex 分别是零一零负一零。如果在这前面乘以二，那这里的值就会变成零二零负二零。 把这表中的点再划到图上，就是这些点，把这些点连起来，这个图就是二倍的三 x 的图像了。 仔细看一下三 ex 和二倍三 ex 的图像，发现没，就是把这个图往上拉伸了一下， 看来要通过三 ex 得到二倍三 ex 的图像，你只要让图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变成原来的二倍就成。所以从三 ex 到 a 倍的三 ex， 你也是把图像上所有点的横坐标不变， 纵坐标变为原来的 a 倍。好了，图像的伸缩变换我就讲到这里总结一下，对于下一 x， 如果 x 前面乘以 omega， 那就是把所有点的糖坐标变为原来的 omega 分之一，图像是横着拉伸或者压缩。 如果在 x 前面乘以 a， 那就是把所有点的动作标变为原来的 a 倍，图像竖着拉伸或者压缩。好了，本姑娘就想这么多，赶紧刷题去吧。

变换，先看这个函数， y 等于三 e x， 画出图来就是这个样子。接下来咱用五点法来画画 y 等于三二 x 和 y 等于三二分之一 x 图像。 先画 y 等于三二 x， 用五点法画，咱得先列个表，分别找到当二 x 等于零二分之派派二分之三派和二拍时所对应的 x 值和对应的三二 x 值。 把这个表列全了，咱把这些点描在图上，这样你就得到了 seine r x 的图像。画好了 y 等于 seine r x 的图像，咱再来画画 y 等于 seine 二分之一 x 的图像。 和刚才一样，咱先把表给列出来，分别找到当二分之一 x 等于零二分之派派二分之三派阿尔派时所对应的 x 值是多少，对应的三幺 x 是多少。列出了这个表， 咱还是把这些点标在图上，这样你就得到了三亿二分之一 x 的图像。接下来咱仔细分析一下，看看这三个图像之间有啥关系。 先看三 e x 和三 e r x， 你看三 e x 的周期是二派，三 e x 的周期是派，发现没 x 前面乘个二周期变成了原来的一半。因此，函数 y 等于三 e 二 x 图像，可以看作是由 y 等于三 e x 变化而来。 所以要通过三 e x 得到三 e 二 x 图像，只要把所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的二分之一组成。 弄明白了这俩函数之间的关系，咱再来看看散以 x 和散以二分之一 x 之间是咋变化的，还是先分析周期，你看散以 x 周期是二排，散以二分之一 周期是四排发据没 x 前面成了二分之一周期反而变成原来的两倍。因此，函数 y 等于三二分之一 x， 图像可以看作是由 y 等于三 x 图像变化而来。 所以要通过三 e x 得到三 e 二分之一 x 的图像，就把所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的二倍就行。 看了这些个函数，找到啥规律没？一般的对于赛欧米的 x， 你都可以把它的图像看作是由赛亚克斯变换而来， x 前面乘了几，你就把图像上所有点的横坐标变为原来的几分之一，纵坐标不用变了， 刚才是在 x 前面乘以一个数，你已经知道图像是怎么变化的了。那如果我在整个式子前面乘以一个数，你知道图像是咋变的吗？咱还是用 y 等于塞牙 子来分析。当 x 等于零二分之派派二分之三派二拍时，所对应的三 e x 分别是零一零负一零，如果在这前面乘以二，那这里的值就会变成零二零负二零。 把这表中的点再画到图上，就是这一些点，把这些点连起来，这个图就是二倍的赛亚克斯的图像了。仔细看一下赛亚克斯和二倍赛亚克斯的图像，发觉没？就是把这个图往上拉伸了一下， 看来要通过三 e x 得到二倍三 e x 的图像，你只要让图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变成原来的二倍就成。所以从三 e x 到 a 倍的三 e x， 你也是把图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 a 倍。好了，图像的 伸缩变换我就讲到这里总结一下，对于赛 x， 如果 x 前面乘以欧米伽，那就是把所有点的腾坐标变为原来的欧米伽分之一，图像是横着拉伸或者压缩。 如果在 x 前面乘以 a， 那就是把所有点的纵坐标变为原来的 a 倍图像竖着拉伸或者压缩。

取导数，其导数的拉普拉斯变换将是完全相同的，只是成了个 s。 有 一个额外的象与出式条件有关。 我们先假设这些都是零，然后二阶导数的拉普拉斯变换还是 x s。 这次是乘以平方。同样有几个更多的出式条件，象也被忽略掉，这种规律将继续下去。这就是拉普拉斯变换真正有用的地方。 例如，这是描述弹簧物体的微分方程，这里有来自弹簧本身的力，速度相关的阻尼力，外部激励 s t。 所有力的总和是质量乘以加速度。这些像按它们的导数阶次排序。 我们可以对这个方程同时进行两边的拉普拉斯变换。由于现象关系，它等价于分别计算每个单独项的拉普拉斯变换。 x t 的 变换是 x s。 对 于 k y， 它变成了 k， 乘以 y s。 根据上述原理，到 b y d 等于 y s 乘以 s 和常数 b。 然后二阶导数是 m s， 平方 y s。 因为左边的所有项都有一个 y x， 我 们可以把它提出来，得到这个式子。有些同学可能已经看到这部分是辅助方程或特征方程，一项求出 y x， 最后得到这个。 所以我们可能不知道函数 y x 的 确切解。但是就像我们已经看到的，如果我们知道拉普拉斯变换分母是零时的极点，我们就可以告诉大家很多关于输出函数的性质。 让我们假设输入是一个恒定的力，就像有一个垂直的弹簧物体受重力作用。 像优秀的工程师一样，我们会设质量为一，而力为石牛。在 t 等于零时释放物体，力立即开始作用。 这就是大家知道的阶跃函数既作 u t， 它的拉普拉斯变换是 s 分 之一，意味着我们的历史 u t 变成了 s 分 之十，将其带入 x s， 然后质量为一，假设阻尼为零，而弹性系数是一， 然后我们把上面的 s 移动到分母上。由于没有阻尼，弹簧将永远处于振动状态。我们来检查一下它是否符合我们前面对极点的分析。 我们在正挨和负挨处各有一个极点，这是该部分为零。但是此时在它的零处还有一个极点，我们将在极点和零点图中显示它们。 再次，我们隐藏底部已腾出空间，被隐藏的部分看起来跟上半部分一样。现在我们拥有了所需的一切。 这些极点表示要求的圆函数将具有角频率唯一的正弦波。我们先不看在圆点的极点，先看圆点本身，这是曲线下的面积复立业变换的截距。圆点处的极点代表一个无限区域，这意味着给出这个无限区域的答案中的常数分量。 由于 y 等于零，表示物体到达最高位置，那么输出正是我们所期望的。 如果我们增加 k 的 值，也就是说使弹簧变得更硬。两个极点开始越来越多的分开，这代表了围绕平衡的更快震荡。 如果我们现在要添加一些阻尼，也就是增加 b， 然后我们预计会有一个缓慢的指数衰减，比如停在 b 等于二。所以我们可以看到我们的方程现在有一个正弦和指数分量，它与预期相符合，即使我们没有会至精确的数处。 如果我们使阻尼更强，就会达到临界阻尼点，最终震荡消失。它只有指数衰减 增加阻尼会进一步加速指数衰减。 极点轨迹只不过是平方根线，大家从控制理论中知道，但这就是设计部分的用武之地。因为通过分析极点的位置，我们可以确定系统将如何响应不同的输入。 许多系统在时域中分析会极其困难，如果仅使用微分方程来解决，很多人可能知道这有多不好玩，但转到 s 域问题变成了一个简单的代数问题，这更可行，尤其是在控制电路中，使用拉普拉斯变换是直观重要的。 其实我们只做了一件事，就是输入乘以系统传递函数得到输出变换。这一招很不错，即使在输入和输出之间有更复杂的情况， 当转换到 s 域来处理时，问题仍然会很好的简化，因为我们仍然可以将输入乘以更复杂的但仍可计算的传递函数来计算相关的响应性输出。

三角函数一步到位，今天课程聚焦 a 倍赛 omega x 再加 five 图像变换的核心考点。这类难题既是期末的高频题型，也是高考的必考内容，咱们直接搭建无脑解析逻辑，保证你听完就会 好。各位同学，我们就来复习一下三角函数最常考的内容，正弦型函数。那什么是正弦型函数？就是 y 等于 a 倍的 sine 的 omega x 加上 sine， 这就 是正弦型函数。那 a、 omega， five 分 别代表什么样的意义？想必各位同学应该大家都知道这种问题，我们要考两个最常见问题。第一个就是这个式子是怎么来的？我们可以发现它是通过伸缩平移得到的，那我们主要研究的其实就是伸缩还有平移，那 那伸缩平移有些什么特点呢？比如说我要把 y 等于 a 倍的 sine 的 omega x 向左平移 a 个单位，那么根据左加右减，是不是应该是再加上 a？ 但是注意，我在加 a 的 过程当中，我要先把 omega 这个系数先提 出来，也就意味着我在加 a 的 时候一定是只针对 x 做加减法，把 a 可以 提出来，然后括号下的 x 加 a。 有 点像我们去量身高，我们要把鞋子脱掉一样，你不能穿一个十多厘米的增高鞋上去去称身高 吧，好。第二个，什么叫伸缩？比如说同样的还是 y 等于 cyan 的 omega x， 那 如果我想把它伸缩 a 倍，那也就意味着我要在 x 前面乘什么呢？注意是 a 倍乘个 a 分 之一， 所以记住伸缩乘的是倒数，那比如说把它伸长两倍，我乘的是二分之一，缩短四分之一，那么我这里乘的应该是四 k 吧。 ok， 这就 是伸缩平移当中的重要的内容。好，那么接下来伸缩平移我们要记住一个非常重要的大招，这个大招就是怎么去确定它的平移量，就是后括号减去前括号除以 omega， 那 这里得到的正数意味着它是向左平移， 如果得到的负数意味着它向右平移。举个例子啊，比如说我现在有一个函数 y 等于 sine 的 三倍的 x， 再加上三分之 pi， 我 要把它平移成 y 等于 sine 括号的三 x， 再加上六分之 pi。 好， 到底它的平移量是多少？首先我们可以看到啊，这是平移后的，这是平移前的，对吧？那它最终的平移量是多少呢？我用后的括号 三 x 加上六分之派，减去前的括号三 x， 再加上三分之派，除什么呢？除它们的系数。 oh， my god， 这就是我们要找到的频率量。 ok， 所以 最终我们可以得到，这是等于负的六分之派除以三等于负的 十八分之派。好，负的十八分之派。那么也就是说负的意味着左加右减，它应该是向右平移十八分之派的单位啊，非常简单的一个形式。那我们来看一下这道题 目，他说为了得到 y 等于二倍三点三 x 的 图像，只要把这个函数式的图像所有的点往哪边平移。这里我们要首先找到谁是平移后的，谁是平移前的。 据我们的语文知识可以得到啊，这里考的是语文知识，为了得到这一定是平移后的，只要把这个函数平移，这一定是平移前的。那我用平移后的函数 sine x 减去平移前的函数 sine x 加上五分之 pi， 再除以 omega， omega， 其实就是三，对吧？所以可以得到是负的 十五分之拍，所以这题很简单，就向右平移十五分之拍的单位的长度，那这个式子是不是就变得特别简单了？我们接下来再来看一下这题。这题涉及到为了得到函数，可以将这个式子应该怎么去平 移好？他们的平移前后的函数名是不一样的。那首先我要把函数名变一样，这里涉及到一个变形的大招啊，可以记住，就是 cosine 的 omega x 加上 five。 那 如果我想把它变成 sine 的 话，用诱导公式可以得到 sine 的 omega x 加上 five， 再加上二分之 pi， 这两个是一样的。那我们举个例子，比如说我们有一个 cosine 的 二 x， 再加上三分之 pi， 那 我要把它变成 sine， 应该怎么办呢？好，我要先把它的二分之 派装上二 a x 加三分之派，一定在后面再加一个二分之派。好了，装上去之后其实就这么简单啊，这就是一个直接调整的大招。那我们来看一下这题，这题也很简单，他说可以将这个函数怎么办？我们先把这个式子先把它变成 sine y 等于五 背的，这是二 x， 再加上二分之 pi。 好， 然后这里的口三就会变成 sine， sine 的 二 x 加二分之 pi， 那 我可以得到，这可以将函数平移，这是平 以前的函数。好，那为了得到这个函数 y 等于五倍的 sine， 括号的二 x， 再加上八分之三 pi， 这是平移后的。那接下来怎么办呢？用平移后的函数二 x 加上八分之三 pi 减去平移前的函数二 x 加二分之， 那除以欧米伽，他们的欧米伽其实就应该是等于二，那我们就可以直接把我们想要的那个式子把它给解出来了。我可以得到是负的十六分之派。那既然得到负的十六分之派，那么也就意味着他要向哪边平移左加右减吗？ 他是负的。所以我们知道题目答案选 a 向右平移十六分之派的单位，各位同学掌握了没有？学会了的话，大家来看一下这道题，打出你的答案。 顺便麻烦大家帮我去抖音精选 app 点右下角的推荐大拇指按钮，让我的作品被更多人看见。苦练十年，不如名师指点。每周我都会在抖音粉丝群分享独家的大招资料，需要的话大家可以进群领取。

这个视频咱们来研究一下正弦函数的伸缩变换。先看这个函数， y 等于三 x， 画出图来就是这个样子。接下来咱用五点法来画画 y 等于三二 x 和 y 等于三二分之一 x 的 图像。 先画 y 等于三二 x， 用五点法画，咱得先列个表，分别找到当二 x 等于零二分之派派、二分之三派和二派时所对应的 x 的 值和对应的三二 x 的 值。 把这个表列全了，咱把这些点描在图上，这样你就得到了三二 x 的 图像。画好了 y 等于三二 x 的 图像，咱再来画画 y 等于三二分之一 x 的 图像。 和刚才一样，咱先把表给列出来，分别找到当二分之一 x 等于零二分之派派、二分之三派二派时，所对应的 x 值是多少，对应的三二 x 是 多少。列出了这个表，咱还是把这些点标在图上， 这样你就得到了三二分之一 x 的 图像。接下来咱仔细分析一下，看看这三个图像之间有啥关系。 先看三 x 和三二 x， 你 看三 x 的 周期是二 pi， 三二 x 的 周期是 pi， 发觉没 x 前面乘个二，周期变成了原来的一半。因此，函数 y 等于三二 x 的 图像，可以看作是由 y 等于三 x 变化而来。 所以要通过三 x 得到三以二 x 的 图像，只要把所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的二分之一就成。 弄明白了这俩函数之间的关系，咱再来看看三 x 和三以二分之一 x 之间是咋变化的，还是先分析周期。你看三 x 的 周期是二排，三以二分之一 x 的 周期是四排，发觉没 x 前面成了二分之一，周期反而变成原来的两倍。 因此函数 y 等于 sin 二分之一 x 的 图像可以看作是由 y 等于 sin x 的 图像变化而来。 所以要通过 sin x 得到 sin 二分之一 x 的 图像，就把所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的二倍就行。 看了这些个函数，找到啥规律没？一般的对于 sin omega x， 你 都可以把它的图像看作是由 sin x 变化而来。 x 前面乘了几，你就把图像上所有点的横坐标变为原来的几分之一，纵坐标不用变了， 刚才是在 x 前面乘以一个数，你已经知道图像是怎么变化的了。那如果我在整个式子前面乘以一个数，你知道图像是咋变的吗？ 咱还是用 y 等于三 x 来分析。当 x 等于零二分之派派二分之三派二派时，所对应的三 x 分 别是零一零负一零。如果在这前面乘以二，那这里的值就会变成零二零负二零。 把这表中的点再画到图上，就是这些点，把这些点连起来，这个图就是二倍的三 x 的 图像了。 仔细看一下三 x 和二倍三 x 的 图像，发觉没，就是把这个图往上拉伸了一下。看来要通过三 x 得到二倍三 x 的 图像，你只要让图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变成原来的二倍就成。 所以从三 x 到 a 倍的三 x， 你 也是把图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 a 倍。 好了，图像的伸缩变换我就讲到这里总结一下，对于散 x， 如果 x 前面乘以 omega， 那 就是把所有点的糖坐标变为原来的 omega 分 之一，图像是横着拉伸或者压缩。 如果在 x 前面乘以 a， 那 就是把所有点的纵坐标变为原来的 a 倍图像竖着拉伸或者压缩。好了，本姑娘就想这么多，赶紧刷题去吧！

这个视频我来给你讲讲正弦函数的平移变换，以前的视频你已经学过，对于具体函数的平移，你只要遵循上加下减，左加右减的原则，其实对于正弦函数的平移，同样可以用这个原则。 比如 y 等于三 x， 如果把图像往左平移三分之派，你就在这个 x 后面加上三分之派。同样的，如果把图像往右平移三分之派，你就在这个 x 后面减去三分之派。刚才是往左往右平移。接下来咱们再来看看如何上下平移。 比如往上平移一个单位，你就得在式子后面加上一，往下平移一个单位，你就得在式子后面减去一。总的来说，下一函数的平移还是要遵循左加右减、上加下减的原则， 刚才是三 x 的 平移。接下来咱们再来看看三以二 x 的 平移。比如要把三以二 x 变成三以二 x 加三分之 pi 再减一。你知道图像是咋平移的吗？先看左右平移，也就是先把三以二 x 变成三以二 x 加三分之 pi， 是向左平移了三分之派吗？这里可千万要注意了，并不是往左平移了三分之派。 x 前面这个二要提出来，再看平移情况，这里是六分之派，显然是往左平移了六分之派。 搞定了左右平移，再看上下平移，式子后面减去了一，显然就得再把图像往下平移一个单位。 所以，要从 y 等于 sine 二 x 变化到 y 等于 sine 二 x 加三分之派再减一，你就得先把 sine 二 x 的 图像往左平移六分之派，再往下平移一个单位。以后再遇到这种左右平移，一定要注意是在 x 上加加减减，如果前面有系数，必须先提出。 好了，总结一下，这个视频我就给你讲了，正弦函数的平移变换，没有什么新鲜的东西，你只要记住左加右减，上加下减就成。另外，如果 x 前面有系数，在看平移情况时，系数一定要先提出。好了，本姑娘就讲这么多，赶紧刷题去吧！

千万不要放弃你所追求的东西，我始终相信每。

以前的视频你已经学过正弦型函数的伸缩变换和平移变换这个视频咱们再来看看它的综合变换。 比如从 y 等于 sine x 到 y 等于二倍的 sine 二 x 加四分之派再加一，你知道这可以咋变过来吗？要弄清楚是咋变化的，咱们就从最后这个式子开始，想想变化路径。先把一丢掉，让要求的这个式子从它变过来。 再把四分之派丢掉，让这个式子从 y 等于二倍的散以二 x 变过来，再把 x 前面的二丢掉，让这个式子从 y 等于二倍的散以 x 变过来， 最后再把前面的二丢掉，就是散以 x。 所以 让这个式子从散以 x 变过来就成 从下往上分析清楚变化路径，接下来就是从上往下写出变化过程了。先看从散以 x 到二倍，散以 x， 式子前面成了二，显然得把这个函数图像上的所有点横坐标不变，纵坐标伸长到原来的二倍。再看从二倍的三 x 到二倍的三以二 x x 前面成了二，显然得把这个函数图像上所有点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的二分之一。接着看从二倍的三以二 x 到二倍的三以二 x 加四分之派， 显然在 x 上加加减减是在进行左右平移，不过在看平移多少时，还得把这个二先提出来，所以从这个函数到这个函数，根据左加右减，一定是往左平移了八分之派。 好了，再看最后一个变化过程，从这个式子到这个式子，显然是在进行上下平移，在这个式子后面加上了一根据上加下减，一定是往上平移了一个单位，所以从 y 等于三 x 变化到这个式子，你得经过这四步变化才能得到。 看来以后再遇到这种复杂的函数变换，你就从他入手，确定变化的路径，再从给你的式子开始，一步一步写清楚就成好了。讲了这么多，总结一下这个视频，我就给你讲了如何分析正弦型函数的综合变换， 其中最关键的一点就是找到变化路径，确定路径之后按部就班写清楚就成好了。本姑娘就讲这么多，赶紧刷题去吧！

现在我们来看这一个案例，就是正弦曲线呢实现一个向右径平移， 并且呢这个正弦曲线处死位置呢，就是当 a 等于零的时候，那么在 y 轴上这个点和圆上的这个点呢，还实现一个对应， 这就看起来呢，这个曲线呢就是向右并平移，好，我们简单来去分析下这个作图的思路。 首先在处死位置呢，就是当这个 omega 等于零的时候，那对应的就是正前曲线， 然后呢当这个滑动条状的这个点在移动的时候，我们要让圆上的这个点也在进行旋转，使这个点呢和正弦曲线呢与 y 轴的这个交点呢，它的 重坐标是相等的，然后我们所绘制的这个正弦曲线呢，它是在零到十之间啊，小于零的我们不需要这一段，我们只需要零到十这一部分。 好，接下来我们来去新建一个空白页， 那么我们把这边的标题呢复制过来。好，然后我们再把这个滑动条给复制过来啊，我们要利用滑动条来去控制点来运动。 首先我们从自定义工具里面呢啊建一个平面直角坐标系，我们要调整单位长度， 大概是零到十， 好， x， y 呢等单位长。 然后呢我们选中这个圆点标记坐标系，我们再把刻度值呢位置稍微调整一下， 好点击这个超导率控制台，我们把这些手柄呢进行掩藏 好，这边这一个呢我在好，接下来我们要在 负二零这个以这个点为圆心，会这一个圆，所以我们先把这个点呢给描出来，负二零，那么它的半径呢就是一啊，这个圆是一个单位圆， 然后呢我们选择圆工具啊，这样做出一个圆，接下来我们度量一下这个点的值， 这个点的值呢是从零到一啊，我们要在圆上呢也描出一个点，使得这个点的值呢等于这个滑动条上的这个点的值。 好，那我们选中圆和这个点的值，在圆上呢会这一个点， 那这个点呢？它是绕着圆心，绕着这个圆心的，它是逆时针旋转，逆时针旋转的话我们来去观察一下。

同学们好，这里是高一数学必修一，我们一起来刷题。第十五讲三角函数变换与正弦型函数图像有性质。如果刚才的第六题，上海的高考真题那道题，呃，我们讲配角的时候只体会了这个四十五度的配角，那么现在三十度或者六十度的角，我们也来体会一个啊。 呃，第七题是我们的全国甲乙二十四年的一个高考真题，他说这个函数在零到派上的最大值是多少，那么也很基础，我们先来做一个。很显然啊，他应该要做一个辅助角配角，对不对？ 你如果纯用配凑的方式，当然可以，你把它看作是二分之一的三 x 减去二分之根号三的 cosine x， 那 么前面相当于提了一个二出来，然后呢？如果你要配成三，或者配成 cosine， 其实都可以，对吧？如果配成 cosine， 那么你把二分之一看做是 cosine 的 六十度，对吧？好，乘以 sine x 再减去，这个是 sine 的 三分之 pi 去乘以 cosine x， 对 吧？好，所以它相当于是两倍的 sine x 减三分之 pi。 注意一下，是 x 减三分之 pi 还是三分之 pi 减 x？ 不要搞错啊， 好了，配好了啊，这是第一种路径啊。第二种路径是纯靠公式，对吧？就是我们纯靠公式来配，那么它应该是根号下的我们的辅助角公式啊。再给大家来回顾一下啊， a 倍的三 x 加上 b 倍的 cos x， 等于根号下的 a 方加 b 方三的 x 加 f 啊，其中这个天尼的 f 满足 a 分 之 b 啊，当然你也可以写成这个塞塞，等于根号下的 a 方加 b 方分之 b， 对 吧？然后这个可塞塞呢，就是这个 a 比上根号下的 a 方加 b 方啊，这样子写也可以， 那么我们来配凑一下啊，我们按照这个公式，那么就是根号下的一的平方加上负根号三的平方好，然后是配凑一个 sin x 加上 f 好， 也就是说它等于两倍的 sin x 加上 f。 如果我们按照 tan 的 fact， 等于 a 分 之 b 啊， a 分 之 b， 那 就是一分之负根号三啊，等于负根号三来寻找。那么这个 fact 是 不是你直接去寻找一个合适的，合适的值，比如说就寻找我们的啊，负的三分之派 可以吧？是负的三分之派啊，所以配测出来的结果呢，跟刚才是一样的，对吧？ 好，那么我们先不论这个配错这个事情啊，这两条路径都可以，那么接下来就是一个对质问题啊，这个简单啊， x 在 零到派之间，那么这是一个复合函数问题，那么就由内而外处理就可以了。所以 x 减三分之派啊，什么范围？它应该是在负三分之派 到三分之二 pi， 那 么 sine 减三分之 pi 是 什么范围？值得注意的是，这个地方可不是说端点代入即可，要注意它在这个上面的单调性啊， 把这个 x 减三分之 pi 看成一个 t 啊，看成一个 t， 现在呢，这个 pi 我 们要研究的是什么呢？ pi 啊，这是二 pi 啊，负三分之 pi， 这是负拍啊，这是负二分之拍，负三分之拍在这啊，从这开始到三分之二拍在这，对吧？在这个上面它有增有减的，这个地方，它越过了一个二分之拍的峰值， 所以它最小值是在负三分之 pi 的 时候取到最大值，是在二分之 pi 的 时候取到。好，我们把它带进去负三分之 pi， 再呢负三分之 pi， 那 就是负的二分之根号三，好，然后是这个的话呢，是一对吧？ 再乘以一个二，就是我们的 f x 的 取得范围了，再乘一个二，不要忘了啊。所以负根号三到二。 好，这是我们的相当的值域，但出题呢，只让我们求一个最大值就可以了，所以就填个二就好。

大家好，这个视频我们来开始讲正弦函数，正弦函数的图像和性质其实就这么多，大家只需要掌握这些其实足够了， 其他的题型呢，都是可以转化到这个正弦函数这些基础知识点上来进行解决的。所以说正弦函数看起来记得着很多，但是我们在解决问题的时候，只要你善于转化， 都转化成这个基本的图像和性质，我们解其他题就没有大问题。 那先来看第一个就正弦函数的相关的这个定义域，实际上这个考察的也是之前我们学的定义域。首先那我们来看一下这里有根号，有根号，那我们这个根号下面必须是大于等于零的，对吧？那我现在只需要谁这个二倍的 c x 减一，是不是大于等于零就可以了。另外这个正弦函数它本身它的定义就是 r， 你 就不用管了，那现在我们是不是解这个函数不等式就可以了？那这是一个正弦函数不等式，那咋解呢？其实也很简单， 那就把它移过去，是不是我们得到一个 sin x， 是 不是大于等于二分之一，对吧？ 那这个最后到底怎么解？你看这里是单独的 c x， 所以 我们还是回到我们的那个正弦函数里面，如果说你熟练就不用画图，脑子里面构建一个图，如果不熟练，你在这画一个图像就行了。那 在画这图像的时候，其实上我们只需要画出一个周期内的是不就可以了？那咱们来画一个看一下啊，画完之后你要会标他的特征点，那标这些特征点就是记前面我们给的那张图中的，比如说这个最大指点，对吧？这个二分之派， 然后这个零点是派，这个是什么？二分之三派，是吧？等等这些只要你能记住这个问题，其实就并不难。那现在我们来看一下，你三 x 要大于等于二分之一，我画一条二分之一的这条直线，对吧？那它会以这个 正弦函数相交两个点，这个点是不是一个？是谁？看这个是不是 x 等于谁？这里是不是六分之派，对吧？那因为它具有周期性，所以我们要给它加上它周期的什么整数倍，是不是就是二 kpi？ 然后后面这个是不是应该就是六分之五 pi， 那 所以 i 或者 x 等于谁？六分之五 pi 再加上一个二 kpi， 对 不对？当然这里的 k 呢？要属于谁？属于 z， 对 吧？ 那现在我们来看一下，既然是大于等于二分之一，那是不是取上面这一部分？所以最终我们解的结果是不是介于这两个之间？那它写成区间的形式就是从哪到哪，是不是从二 k pi 加上六分之 pi 到二 k pi 加上一个六分之五 pi， 然后其中的 k 是 属于 z 的？ 好了，那我们找一下哪一个 b 选项是不是满足题，那这就是正弦函数相关的定义域， 那现在我们来看一下第二个题，就是单调性，这个单调性其实我们在别的视频中是讲过的，那我们再来讲一下，像这种题型，我们在讲的时候，为了简化它，我们一般可以用这个 在正弦函数是一个奇函数，把这里面的这个负的先给它变成正的，所以我们变成正之后，我们就得到一个 y 等于负的二倍的什么 c 括号里面是不是添个符号就变成二 x 减去一个三分之派了？ 好了，到这之后，我们先来看一下内层函数变成了一个增函数，这外层函数本来是一个什么正弦又加了一个符号，前面加符号就图像关于谁对称就关于 x 轴是对称的，所以它的单调区间是不是也反过来了？所以说我们现在 只需要要求整个的单调增区间，只需要让我们这个二 x 减去一个三分之派，在正弦的那个什么 单调减区间里面就行。那正弦单调减区间，我们写一下是不是二 k 派加上一个二分之派，到什么二 k 派加上二分之三派。 然后完了之后，我们现在直接把这个解出来就行了。那一步步解吧，就是二 x 大 于等于把这个移过来，那就是二开派加上一个什么六分之五派，然后小于等于这后面移过去，是不是二开派 加上一个，这个是六分之十一派？好了，那现在我们来看作为化解，那最后你肯定要解到 x 了，对不对？因为你要求单调区间，最后把单独 x 解出来，那这是不是成了 k 派加上什么 十二分之五派，到什么 k 派加上一个十二分之十一派？所以这个题最终的答案是不是有选择 b 选项 来。这个完了之后，我们接着看含三角函数的什么对称性，在题目中是以什么样的形式来考察的。这又给了我们一个正弦模型， 它的图像关于谁对称 x 等于什么八分之派对称，那说明 x 等于八分之派是这个的对称轴，对不对？那是对称轴，我们要去回想我们之前记得那些正弦函数的对称轴是不是 k pi 加二分之 pi， 那 现在 x 等于 八分之派是对称轴，我给他带到这个里面去，是不是二乘以八分之派加上派，他一定等于正弦的对称轴，是不是 k 派 加上什么二分之派？这里的 k 是 不是属于整数 z？ 那 现在我们要解派等于多少了？那把这一过去是不是就好了？所以你看我们解出来派，把这个 一乘四分之派移过来，是不是派派加上四分之派 k 属于 z， 所以 这个选项应该选 d， 选项 很简单，对吧？然后我们再来看一下，这是一个对称。再来看二十一题呢，这个题其实考察的是给了我们两个这个 没有上下平移的这个正弦函数呢，它如果等于零，那零点其实就可以认为是对称中心，对吧？这个取得二二是这个函数最大值，那其实最大值点，那我们来看一下， 一个一个来。首先我们看负的二分之派的时候，它等于零，等于零对应的就是原函数，那正弦的什么零点，那我们给他带进去就是负的二分之派，对吧？乘以 omega 加上一个 f， 这是不是他的什么零点？那正弦的零点是什么呢？正弦的零点是不是等于 k pi？ 因为这等会有两个了，这个里面也要使用，所以我们把前面这个叫 k 一， 对吧？那你这 k 一 肯定得属于谁？属于整数啊？ k 一。 然后我们再来看一下第二个，这是不是他的最大支点，对吧？ 一个周期内有一个最大值点也是一样，我把这二分之派带到这个括号里面，把这个 x 换掉的话，我们的最大值点是不是？那带回就是二分之派？欧米伽加上费是不是等于现在看一下它最大的点？首先是这里是二 开二派，然后加上一个二分之派，然后这里的开二呢？也是属于什么？ 正属于整数的，对吧？那现在我们来看一下，得到这之后，最后我们要求的是谁？斐，是不是我们要求斐？我们这个欧米伽在这是一个干扰选项，怎么办？你看我们写这两个式子，我们相加之后就可以把欧米伽给它消掉，那咱给它相加 相加之后我们就得到了一个二派，是不是等于来这个一下来是不是开一派加上一个二，开二派再加上一个二分之派， 对不对？这里的开一开二都是可以取所有的整数的，那现在我们来看一下，我们如果把要把这个派单独解出来也可以，那你两边同时除以二，是不是就变成了这个什么 二开二加开一除以二倍的什么派，再加上四分之派？因为我们这里的开一和开二所有的整数都可以取，而且它俩是相互独立的，之间没有什么关系。所以我们 看一下，我们给开一开二同时取零的时候，是不是我们可以取得 a 选项，就是四分之派，其他的这些我们给 k 取整数是得不到这么一个结果的，所以这个题只能选择什么 a 选项。 这里需要给大家注意一下，这个开一和开二是两个独立的整整数，所有的都能取，如果说你都用开的话，就会让人误认为是同取，相同的开就会出现问题，所以这里我们用开一开二把它区分，开 完了之后咱再接着来看这个三角函数，这正弦函数图像和性质这类题可以说是必考题目，那既然是个必考题型，那我们肯定得会，对吧？那现在咱来看一下这个题到底怎么解呢？这里需要给大家说一下这个这种类型的题的一个常用的什么 解法。那首先我们来看一下，我们要去解这个题，我们要知道这里面贴参数，他一般在这个题目中都是怎么求的？ a， 这个也就是说他这个 a 怎么求呢？我们求 a 的 时候来看这个函数有没有上下平移，如果没有上下平移，最大值或最小值告诉我了，那最大值 或者最小值，你给它带上绝对值就等于 a， 那 现在看这里，这里是不是给了我最大值四，那所以 a 它就等于四。那求欧米伽怎么求呢？这个欧米伽跟谁有关系？因为 欧米伽跟周期是有关系的，因为 t 它就等于二派比上一个什么 欧米伽的绝对值是最小正周期的话，这个欧米伽有可能去正的，也有可能去负的，所以这里我们一般带上什么绝对值。那既然跟这个有关系，所以我们在求欧米伽之前，我们要先去求它的周期，那求周期找什么，就找它的什么对称中心和对称轴，对吧？ 对，两个对称中心之间半周期，两个对称轴之间也是什么半个周期， 一个对称中心和相邻的一个对称轴之间是四分之一周期，那看一下这个刚好我们能够什么 看到他给的负的二分之派到二分之派是不是刚好是一个周期派，减去一个负的什么 二分之派是不是就可以了？那这两一减的话是不是二分之八？它是不是等于四派？我们求出来了周期了？根据 t 和 omega 的 关系，我们这里的 omega 因为它是正的，所以说我们这 omega 就 等于二派， 比上一个 t 是 不是就等于二派？这个四派是不等于二分之一，所以 omega 求出来等于二分之一。接下来我们来求这个 f， 求 f 怎么求呢？这个 f 的 求法一般是带一个特殊点，比如说你看这有个零点，这有个零点，这里也有零点，当然你也可以带其他的， 就要看题目中给我们什么，但是我们在求的时候注意这零点，在带的过程中呢，你要去区分他的什么上升的这个零点，比如说这个点就要上升零点，因为这段是带逆增的。那这个负的二分之派和二分之七派呢？他都是属于下降的零点，因为在我们的 正弦函数里面，上升的零点和下降的零点，他对应的这个什么零点不一样，所以我们在 做这种题的时候要注意这一点。那我们来带带哪一个？我们就带负二分之派吧，那就是现在 omega 等于二分之一，我们就是二分之一，乘以什么负的二分之派， 再加上个 f， 它是不是等于我们带这个是不是下降的零点？下降的零点，我们现在看一下，我们这里先给它写成什么 kpi， k 属于为对不对？那下降的零点，这个 k 我 们只能取什么？只能取的是基数，对不对？为什么？因为上升的零点都取的是偶数，零二派、四派等等，下降的这个呢？是负派了，对吧？派等等这些，那现在我们来看一下，又因为这个派它的 范围是小于等于派，那我们这个 k 就 取谁 就取负一。快取负一的话，那现在我们来看一下，我们求出来的 f 是 不是就等于多少？负的四分之三 派，对不对？当然你去取其他的，那这个我们刚才说可以取负一，你能取一呢？你取完一之后，你看我们这个 f 呢？它就超过了题目中给的这个范围了，所以就不满足题， 所以综上我们能得到。呃，这个只让我们求 omega 和 f， 所以 最终我们选择 d 选项。

hello， 大家好，今天我们来学习六点三节正弦型函数的图像和性质。 在物理学、电工和工程技术当中，经常会遇到形容 y 等于 a 被 sine， omega， x 加 phi 的 这样的一个函数，那么 a， omega， phi 都是常数，也就是说它的变化变量也仅仅只有我的 x， 对 不对？ 它和我们的二倍角公式都是有什么？以及正弦函数 y 等于三 x 等三角函数知识是有着密切的联系的，我们下面来研究这类函数的作图方法和性质。 匀速旋转的摩天轮的半径为 r， 转动的角速度为 omega， 以摩天轮的中心为坐标原点，建立坐标系，如图所示，若点 p 零，表示作座椅的初始位置角 m o p 零， m o p 零啊，这一个相当于它的旋转角为我的否？问，点 p 的 纵坐标，纵坐标 y 与时间 t 之间有什么样的关系？ 根据我们啊基础模块里面学到的内容，我们知道由正弦函数的定义，我们可以得到 p 点的纵坐标 y 与时间 t 的 函数为， y 等于 r 乘 sign， omega， t 加 f 形，如 y 等于 a 被吸引， omega， x 加 f 的 这样的函数呢，我们都称为正弦型函数。在物理学当中，正弦型函数被用来表示减正运动，正弦是电流的 习惯上我们的 a 称为正负， omega， x 加 f 称为项位， f 称为初项。 哎，这个 t omega 分 之二拍称为周期， f 等于 t 分 之一等于二拍分， omega 称为频率。那为什么周期我要给大家画出来，因为周期经常考哟，同学们， 其他的这几个呢，考察的都很少啊，一般我们数学里面都是考我们周期， 那么当我的 a 等于一， omega 等于一 five 等于零的时候，那此时这个函数就变成我们基础模块学的什么 正弦函数了，对吧？ y 等于三 x， 因此正弦函数是我们正弦型函数的特殊情况。类比做正弦函数 y 等于三 x 的 图像方法呢？我们是不是也可以做出这样正弦型函数的图像，从而研究它的性质？ 那么还记不记得我们以前是怎么作图的？是不是用我们的五点法好？ y 等于三 x， 我 们说 x 要找哪五个点啊？而且是找一个周期内的 y 等于三 x， 周期是多少？二拍嘛？根据我们今天学的啊， t 等于 omega 分 之二拍，我的函数 y 是 等于 a 倍 sine， omega， x 加 five， 所以 你会发现我的 omega 就是 什么 x 前面的系数，我这里 x 前面系数是不是相当于是一， 那就变成 t 等于一分之二拍，是不是还是二拍？我们说在一个周期，在二拍里的三角函数图像，我们找五个点 x 分 别找零、二分之拍拍、二分之三拍，二拍，对吧？ 再把它纵坐标值写出来，写出来以后，横纵坐标都有了，干嘛用平滑的曲线把它连接起来，得到我们的解图，看一看 这个 y 等于三 x， 这个函数图像大家应该要记得哟，对不对？基础模块是有专门一节来讲这个内容的哈。 好，现在我们来看一看我们的第二题。第二题首先还是找周期，它的周期就变成什么二分之二拍，变成拍了， 那你要做的也就是零到拍这个 b 曲线上的剪图，那此时还是五点做图法，这五个点去找哪五个点？依然是去找 利用二分之拍拍二分之三拍二拍，但是就不是 x 等于这五个数了，而是什么二 x。 换一句话说，我们在做正弦型函数的时候， y 等于 a 倍的三，欧米伽 x 加 five。 我 们是把我的项位 欧米伽 x 加 f 看成一个整体，由这个整体来等于我的零，二分之拍拍二分之三拍二拍。你看二 x 等于这几个数字， 那我可不可以算出 x 啊？当然可以了，对不对？可以算出来，那你的纵坐标 y 依然是第一个，你看是不是？ y 等于三引零， y 等于三引二分之拍， y 等于三引拍 y 等于二分之三拍三引，二分之三拍 y 等于三引二拍 j 零一零负一零，这是特殊值，没有变化的，对不对？只不过 x 的 坐标变了，是不是好 看一下啊？我们说，对于函数 f x， 如果存在一个非零的常数 t 时的这个 x 取定义域内任意一个值的时候， 都有 f x 加 t 的 f x， 则这个非零常数 t 称为我们这个函数的周期，这个也是我们基础模块啊。第三单元函数的基本内容，对吧？周期函数的基本内容看一看吧。那么在我这个里面，我的 t 就 变成多少 t 变成拍了，对吧？那下一个题呢？下一个题你看第三小问啊，我们先还是先看一下图啊，先把第二个图看了，你看 零倒排，你看是不是一个波浪，一个图形，对吧？那第三小问，他的 t 应该是多少周期？这个 x 前面的系数依然是二，所以你会发现二三、四， 你看他们 x 前面系数都是二，所以这三个函数的周期 t 都是相同的，我们起来看看第三问， 你看他周期是不是也是拍？那这个时候他说什么？我要做，哎，你看看他要做的是 负八分之拍到八分之七拍这个 b 曲线上的简图。为什么？还是那句话，你把我这个 omega x 加 five 看成一个整体，这个整体依然等于的是这五个数字， 这五个数字等于了之后再去逆推我的 x 的 取值 得到这把，呃，这五个对吧？好，然后我的 sign 啊，也就是我的纵坐标 y 值依然是零一 零负一零，对不对？改变的同样也是我的 x 横坐标。那我们来看一看，同学们， 或者说我们待会一起来看一看，你会发现我这个时候我的起点就不再零这里了，我这个波浪就不再是这样的，你会发现我这个图像有一种像左边平移了的感觉，对吧？平移了的感觉啊。那你来看看第四题的第四题和我的 第三题啊。第四小问和我第三小问有什么区别？区别在于你看一个三引前面有二，一个三引前面其实是一对不对？也就是说它的 a 变了， 对吧？也就我这个 a 变，那它此时会有什么变化呢？首先二 x 加四分之拍依然 啊没有变五个曲值，那相对应的 x 有 没有变化也就没有变化，跟我第三小问题就没有变化，唯一变化的是我的 y， 我 的重坐标，对不对？它相当于在我这一个 本来他来等于 y 的 现在这一个 y 第四小题的纵坐标是我第三小题纵坐标的两倍，对不对？所以变成零二零负二零，是不是好？画出来？ 画出我们图像，你会发现我这个图像和我第三小问，图像横坐标没有变化，但是纵坐标呢？扩大了，对不对？纵坐标扩大，然后他让我们试一试啊，仿照我们的礼仪来说明我这一个函数是如何变化的。 我们现在主要来分析一下我利益这四个啊，四个函数的图像是怎么变化的？首先我从 y 等于三 x 变到 y 等于三二 x 的 时候，纵坐标有没有变化？没有变化。横坐标呢？ 横坐标他有没有平移的感觉？没有平移的感觉，起点都是我的原点，对不对？但是周期变化了，周期从原来到二排变成了现在的排，所以我的第一到第二，我们是干嘛？横坐标 缩小，或者说我们直接说变为，对吧？横坐标变为原来的， 从二拍变到拍，是不是变为原来的二分之一了，对不对啊？变为原来的二分之好。第二个到第三个呢？ 他们的周期没有变化，但是有没有发现我的图像平移了，对吧？平移了，向，向哪边平？向左平啊？图像向左平， 平移了多少？ 平移了八分之八一个单位，对吧？平移了八分之八一个单位，好，第三个到第四个呢？横坐标没有变化，纵坐标变了，纵坐标 变为了原来的 两倍，所以你来看一看，我从一到二，我的函数 图像上缩小了，变为了原来的二分之一，我从我的函数解析式上我的欧米伽从一变成了二，所以你会发现我横坐标的变化是什么？会变为我的欧米伽分之一 啊？图像横坐标会变为原来的 omega 分 之一，对吧？我现在 omega 十二，所以变成了 omega 二分之一，好，然后向平移平移，这个呢，我们有一句口诀啊，叫做左加 右减。什么意思？向左平移？你看这里就是加号，如果是向右平移，这里会变成减号的同学们，而它 明明加的四分之一，为什么我们只说它平移了八分之一？还有一句话叫做所有的变化永远在 x 上面， 所有的变化永远在 x 上面。你看这个加四分之一是在二 x 上面加的四分之一，对不对？那如果要在 x 上面来加的话，你会发现我这个二需要提出来吗？它变成二倍的 x 加八分之一， 对不对？所以你会发现我这个 omega x 加 five 加的这个 five 前面这个 omega 的 系数是要被什么除掉的？所以是左加右减平移多少个单位呢？ omega 分 之 five 单位啊？ omega 分 之 five 单位。然后最后一步，横坐标不变。纵坐标？纵坐标是什么？扩大为原来的？你看这里 a 变成二了，就变成原来的两倍，所以是扩大 a 倍。看一下，所以我们来说一说我们这一个题。你的 y 等于三 x， 我 们首先第一步先去变它的什么周期，对不对？也就先变成 y 等于三，先变欧米伽啊，二分之一 x 此时是干嘛？横坐标 变为原来 的多少？二分之一的导数是不是两倍？而且你想一想，按照我们算周期啊， t 等于 omega 分 之发二二拍， omega 分 之二拍这一个函数，它的 omega 分 之二拍是不是应该等于四拍了？ 你看本来是二排的，变成四排，是不是就扩大了横坐标，变为原来的两倍，对吧？然后再根据我们的第一，现在我是不是可以去搞平移了？好，变成 sine 二分之一 x 减六分之派。好，我们说什么变化一定是和 x 来变化，这个二分之一 x 减六分之派，是不是可以写成把二分之一提出来？我们必须要提哦，变成二分之一倍的 x 减三分之派， 对不对？好，根据我刚刚教大家的口诀，左加右减，我这是不是减哈，所以我们是什么？向右平， 平移多少个单位？同学们，平移三分之拍的单位。 记清楚，变化永远是在 x 上变化的啊，横坐标的变化永远是在 x 上面变化，然后最后一步来变我的重坐标 y 等于什么？变成三倍的三二分之一 x 减六分之八，此时是什么？横坐标不变，重坐标 变为 原来的几倍，从一变成三了，所以是变为原来的三倍。好，看一看有没有问题？哎，这个很重要哦，这个是你今天要学的最重要的东西啊，看一看。 好，这里没有问题。我们来看一下我们书上给我们总结的啊，他给我们总结了一下立一的 一个变化，这个林老师刚刚都讲过了，对不对？林老师已经讲过了，我们现在来看一下一般情况啊。一般情况，一般的将函数 y 等于三 x 图像上的所有点的函数标变为，看是不是变为原来的欧米伽分之一倍， 可以得到的是 y 等于三欧米伽 x， 再将我这一个图像沿 x 向左或者向右，你看向左向右，是不是否大于零就向左，大于零就是加号， 如果是小于零呢？加上一个复数就变成减号，就是梁老师刚刚说的左加右减。平移的是多少个单位？欧米伽分之否的绝对值个单位对吧？ 好，此时你可以得到的是 y 点三 omega， x 加 five， 然后各点横坐标不变，纵坐标变为原来的 a 倍， 得到我们的图形。那么在这里我们 a 大 于零啊， omega 也要大于零。看一看有没有问题？这个是今天哎，比较重要的内容啊，记下来哟，看一看有没有问题。 好，没有问题，我们来看一看啊！那么现在正弦型函数 y 等于 a 倍，三点 omega， x 加 f 的 图像，你可以根据我的五点作图法做出来，那你会发现它也是通过 y 等于三 x 怎么样 伸缩变换平移得到的，对不对？那么根据我正弦函数的一些性质，我是不是可以得到我这个正弦型函数的一些性质呢？ 首先，它的定义域依然是实数级 r， 对 吧？但是它的值域就不再是负一到一了，因为我前面成了一个系数 a， 所以 它的值域会变为负 a 到 a 的 b 区间周期记清楚啊， omega 分 之二 pi， 这个最重要了 好不好？这个最重要，看一看好，没有问题，我们来探求与发现啊！他说，如何将我这一个函数 y 等于 sin x 加四分之拍的图像得到我这个 y 等于二倍的 sin 二 x 加四分之拍的图像呢？这个时候就是什么他已经先平移了？同学们，他已经先平移了，你现在只需要去管谁管 x 就 可以了， 你不要去纠结，你前面成了二，后面也要成二了。同学们，林老师再说一次啊，所有的变化都是在谁上面变化大 都是在 x 上面变化的，都是在 x 上面变化的。然后你前面啊 a 还从一变成二，所以你的重坐标也要乘二，对不对？要重坐标也要乘二啊，注意一下哦， 你想一想，你这个 y 等于四分之拍哦， y 等于三， x 加四分之拍，是不是就是什么左加右减？ 这，这边是负的四分之拍，对不对？这里边是四分之三拍， 这变成四分之七拍，这是我的这样一个图像，对不对？好，你要变成这一个的图像，你实在不会做这种题，同学们，你就用五点作图法去看一下这两个图像有什么区别 好不好？哎，你去看一看他有什么区别就可以了。好吧，嗯，这里首先他的周期肯定是有区别的。对，周期会变缩小了，缩小为原来的二分之一了，是不是？ 那图像整体都缩小成圆的二分之一，那你来看一下，也就是说，你看，本来我是 x 加四分之拍， 等于零二分之拍，拍二分之三拍二拍，对吧？你现在就变成二， x 加四分之拍等于零二分之拍， 拍二分之三拍二拍，对不对？看一看吧，你会发现这个图像它整体都缩小， 但是它的什么动作表示变大，变为了原来的两倍。 哎，我画的不好啊，反正，反正你们自己可以去画一下。好吧， 好，现在我们来看例二，要求这个函数 y 等于根号三倍的 sine 二 x 加 cosine 二 x 的 周期最大值和最小值。 好，这一个在我们学习合角公式的时候，其实有遇到过这种题目，对不对？我们说这前面的数字，你肯定要把它变成特殊的三角函数值，用特殊角的三角函数来表示出来， 那我们这里可以提一个二出去，这个二分之二、三和二分之一都可以看成，是吧？一个看成扣三一六分之二，而且我们这里只学了正弦形 函数，所以说你一定要想办法去凑塞括和括塞的一个关系，对不对啊？这样你才可以写成塞引怎么怎么怎么样。你如果变成括括加塞塞，那就变成括塞引了，那括塞引呢？我们没有学，对不对？其实要学还是比较简单啊， 但是我们书上没有设计嘛，我们就还是就用我们的撒引就可以了，好不好啊？这里啊，这一个步骤是我们六零一节的内容啊，李老师就不说喽，好，得到它， 得到它之后来算周期。 t 等于是什么？欧米伽分之二拍，也就是二拍分值，二分之二拍，也就是拍，对吧？ t 是 拍，要取最大值，最小值 sign 正弦函数啊，无论欧米伽加否怎么变， sign 的 取值始终是负一到一的 b 区间， 前面填了一个二，那就变成负二到二嘛。那在什么时候取到最大值，什么时候取到最小值？同学们，这一个是你基础文科的内容啊？林老师说一次啊，记清楚，当我的 omega x 加 f 等于二分之拍加二 k 拍的时候它取最大。 当我的 omega x 加反等于负的二分之拍加二 k 拍的时候 它取最小。为什么？我可以说它这个时候一定取大，这个时候一定取最小？其实我们基础模块都没有，我们基础模块都需要看前面有没有填负号，对不对？ 但我们现在不用管。为什么？因为我们书上是不是刚刚才说过，他在这里正弦写函数上面他默认 a 大 于零，欧米伽也大于零，对不对？所以你直接把它记住就行了好不好？把这两个东西记住，这两东西记住，你看一看， 这是不是就带数字啊，最大值是多少？最大值是 a， 最小值这样写啊， 我们这里的最大值等于的是 a， 我 们的最小值等于的是负 a， 看一看吧。当然你这里等于了之后你要把我的 x 算出来，别人问的是 x 取何值，对不对？你要用你这个相当于是二 x 就 等于二 k 拍 加二分之拍，减六分之拍，对不对？也就是说二 x 等于二， k 拍加三分之拍。好，算下来，我的 x 是 不是等于 k 拍加六分之拍， k 属于 c， 别忘记了啊，这是我们的例。那么 现在我们来看一下我们的练习题啊。第一个用五点做头发，做出下列函数的一个周期内的剪图。首先，一个周期内剪图，你先去算周期 t 等于是什么？ omega 分 支 二排，然后记清楚，林老师这里不会给大家画的啊，我只是给你们说一下步骤，然后记清楚我们这个函数整体是整体是什么？ y 等于 a 倍的三， omega x 加 five， 对 不对？你记清楚，你的 omega， x 加 five 永远等于零，二分之拍拍二分之三拍二拍。 好，然后你这一个明确了以后，再去算我 x 的 取值，一个两个，三个，四个五个，算出来以后再去写 y， y 应该等于说是多少？本来我的 y 三欧米伽 x 加 f 等于的应该是给你们写下面应该是零一零负一零， 但是我前面如果有系数 a， a 不是 一的话啊 a， 比如说二分之一啊，二啊这种，它就会变成什么零 a 零负 a。 好，那这个时候 y 有 了， x 有 了，横纵坐标都有了，你只需要干嘛？瞄点作图啊，这个图你就自己去做了，我就不写。好吧， 我们来看一下我们的例二啊，主要看一看我们的第二题，说明啊，怎样有我的函数， y 等于三 x 可以 得到下列函数图像。好，首先第一个，你会发现 x 完全没有变化，那横坐标不用变，那只需要干嘛？重坐标，对吧？重坐标 变为原来的 多少？三分之一嘛？然后第二题，我们说左加右减啊，这是减法，所以向右平 移多少？你看这个 x 前面没有系数，或者说 x 前面系数是一啊，那还是一分之三分之拍，也就是三分之拍，对吧？所以是向右平三分之拍的单位。 因为这是第二题。好，第三题，第三题发现 x 动了， y 也动了，我先动 x， 对 吧？ x 是 什么？横坐标？ 它没有左右平移，我们左右平移是后面靠加减来左右平移的，它是前面的系数变了，从原来的一变成了二分之一，周期从原来的二排会，现在变成了四排，所以它的横坐标怎么样变为原来的 两倍，中坐标呢？也是变为原来的两倍。 然后第四题，好，第四题，这一个，林老师就把步骤给你拆分出来说哈，本来是 y 等于三 x， 现在先变成 y 等于三二 x， 此时是什么？横坐标 变为原来的 两倍，还是二分之一变成二分之一？哦，周期在变小，对不对？这是第一步。然后第二步是干嘛？去拼， 对吧？也就是图像 向左加右减，向右平移，平移四分之拍一个单位吗？同学们，我说什么变化永远是在 x 上变化的，所以把这个二记出来，变成二倍的 x， 减二应该是八分之拍， 对不对？所以头像是向右平移八分之拍一个单位。 最后一步变换，我的中坐标 y 等于多少？二倍的三 e 二 x 减四零，这个时候横坐标就不变了，中坐标来变，中坐标 变为原来的 两倍。来看一看啊，这个步骤一定要分清楚好不好？同学们，看一看有没有问题？ 好，没有问题，我们来看第三题啊！求下列函数的周期最大值、最小值以及取最大值时最值时候的和，那最值就有最大和最小，对吧？那我们第一个，第一个，首先周期 t 等于多少？ omega 分 之二拍，也就是二分之二拍，等于拍最大值最小值最大值三分之二，最小值负的三分之二在什么时候取？记清楚了。当二 x 等于 二分之拍，加二 k 拍，也就是我的 x 等于多少四分之拍加 k 拍， k 属于 z。 十。 林老师，这里是减写的同学们，我这写不下，我就减写外取最大值三分之二。当我的二 x 取多少？ 二 x 等于负的二分之拍加二 k 拍， x 等于负的四分之拍，加 k 拍，是 k 属于 z 十 y 取最小值负的三分之二。然后第二题第二题的 t omega 分 之二拍， omega 还是一，所以周期依然是二拍。此时是什么？ x 加三分之拍等于二分之拍加二 k 拍，也就是 x 等于 二分之拍，减三分之拍六分之拍，六分之拍加二 k 拍。 可以数 j 的 时候， y 取最大最大是多少二啊？ x 加三分之拍等于负的二分之拍，加二 k 拍 x 等于多少？负的六分之五拍，加二 k 拍 k 属于 z 的 时候， y 取最小值等于 f。 你 要第三题啊？第三题，第三题，这个时候你们可以自己做了吧。第三小问，第三小问， t 等于是多少？二分之二拍，也就是拍，对不对啊？二 x 减六分之拍 等于二分之拍，加二 k 拍啊， x 等于多少？同学们，你看，二 x 应该等于二分之拍加六分之拍，也就是十二分之八拍，也就是我的 三分之二拍，对吧？三分之二拍，然后加二 k 拍 x， 二 x 等于三分之二拍，加二 k 拍，那就变成三分之拍加 k 拍，对不对？看一看啊， 这个时候 y 取我的一样是最大值，最大值是多少？是三哦，好，二 x 哦， k 属于 z， 别忘了， 二 x 减六分之拍等于负的二分之拍，加二 k 拍 x 等于多少？ 哎，你要是这里好像哎，有没有写错十二啊？没错啊，吓死我，我以为我看错符号了。 你看我这里是把六分之拍挪过去，变成负二分之拍加六分之拍，负二分之拍变成负的六分之三拍，负六分之二拍变成负的六分之二拍，也就是负三分之拍。负三分之拍，你还要除以二吗？变成什么负的六分之拍啊？ x 等于负的六分之一拍，加 k 拍 k 属于 z， 十 y 取最小值，这个时候最小值是多少？负三啊，这个时候是负三， 然后第四题，第四题，这个你是不是要去看一看啊？ y 等于三 x 加 q， 三 x， 我 很明显要提一个数字出来，对吧？提一个数字出来，这个提多少呢？记清楚我们这一种啊， 在我们书上拓展阅读里面有，它说 y 等于 a 倍的三 x 加 b 倍的 q， 三 x 的 时候，它等于的是根号下 a 方加 b 方倍的三 x 加 c。 它那根据我的这里啊， a 是 一， b 也是一，那我要提的数字应该是根号二，其实这个根号二呢，你就可以看出我们后前面就应该是二分之根号二倍的 q 三 x， 对不对？这个 c 塔是没有告诉我是多少的，但是一般这个 c 塔都是我们的特殊奖。那二分之根号二很明显是什么？你看我的 q 三以四十五度，二分之根号二呢？ 我后面的 sine 四十五度是不是也是二分之二？为什么我说了一定要去凑 cos 和 cosine 对 不对？所以这里等于是根号二倍的 sine x 加四十五度 啊，或者你写四分之拍，对吧？因为我这里要用我的弧度值，所以我就把四十五度全部写成四分之拍了啊。同学们， 只是角度制呢，可能同学们记得比较好一点点。 那此时这个题你是不是和我一二三小微一模一样，都是一模一样的，对吧？好，周期。 t 是 多少？一分之二拍二拍。当我的 x 加四分之拍等于二分之拍，加二 k 拍 x 等于多少？四分之拍加二 k 拍 k 属于 z 时， 好 y 取最大值，这个时候的 y 最大值刚好啊。当 x 加四分之拍等于负的二分之拍，加二 k 拍时， x 等于多少？负的四分之三排加二 k 可以 数 y 去最小值，负的更好，看一下有没有问题。 好，没有问题，我们来总结一下吧，我们的正弦函数的定义，什么样的函数是正弦？ y 等于 a 倍的三 omega x 加 five， 它是正弦型函数。正弦型函数的图像呢，是可以根据我们什么正弦函数图像来变换的啊，我们奉行什么左加右减，对不对这句话，而且我的所有变化都是在 x 上变化的，对不对？ 这里啊，我再给大家写一次吧， y 等于 sign， x 要变成我的 y 等于 sign 哦。 mga x 是 干嘛？横坐标 欸，标志写错，横坐标变为 omega 分 之一啊，不是 omega 变成 omega 分 之一啊。然后再来变成 y 等于 sin omega， x 加 y， 对 不对？此时是什么图像？ 平移？平移多少个单位？欧米伽分之 five 个单位。这个平移呢？我们有一句话啊，记清楚了，因为有向左向右嘛，要左加右减， 就是看这个符号，我们书上是用 five 大 于零，小于零来给大家规避的。我觉得左加右减这句符号能记得更清楚一点，这句口诀记得更清楚一点啊。然后再来看，变成最后一步， 完成蜕变，对吧？变成我们的最终体。那这个时候是干嘛？纵坐标来变？ 纵坐标变为原来的 a 倍，这是我们点。然后第三个正弦函数的性质，正弦函数性质定义域是什么？定义域是什么？同学们， r 对 吧？直域呢？ 直域是负 a 到 a 的 b 区间。好周期，周期最重要啊，考察的是最多的周期是多少？欧米伽分子二排看一看有没有问题？有什么 没有问题的话，今天的课我们就上到这里啦，大家拜拜。

好，接下来我们通过仿真动画给大家讲一下机械波。首先呢大家可以看到这里有一个置点，现在他在做往复运动，如果他的运动位置随时间满足这样一个正弦函数关系，那我们知道他做的就是剪斜运动哈。哎，那现在我们画出这样一个图像， y 随之间的变化图像实际上就是他的振动图像。好， 接下来我们看一下波，现在呢我们这个地方有一排置点啊，为了让大家更清晰的看出来，我们每一个置点呢，就用不同的颜色给大家标了一下，那到底什么是波呢？ 那首先大家一定要注意，波他并不是质点的传播，而是运动形式的传播，比方说现在我们就让其中的一个质点上下现在震动起来， 那他接下来呢，就会带动后面的这些质点，也是会上下震动起来，那么我们这种振动形式的传播就是波，并不是说这个质点直接传播过来了，我们看一下具体情况哈，那大家可以看到他振动就带动后面这些质点振动哎， ok， 那 他这个运动形式传播过来，那也就是我们的波。 那大家一定要注意，在这个过程中并不是置点啊直接运动过来了，而是运动形式传播。那你可以观察一下，比方说我们看随便一个点啊，假设这个点 你就会发现这个点它其实就是在上下运动的，它并不是随着这个波的传播啊，直接就运动过来了，而是呢它的这个运动形式不断向右传播，那现在大家可以看到这里呢，也会形成这样一个正弦函数的图像，那把这个就叫做波形图， 那一定要注意，这个波形图实际上你可以看到在传播过程中它是在变化的。比方说呢，现在它向右传播，这个波形图其实也是在向右移动的哈。哎，那我们暂停看一下，比方说某一瞬间它的波形图长成这个样子，那好，实际上它就是在这一时刻记录了不同质点它们的位置， 那现在这个知识点在这，这个知识点在这，哎，我们把它都记录下来，相当于给他们拍了一张照片，我们得到这个图像呢，就是波形图，那好，那比方说哈，现在我们想判断一下这个点它的速度方向， 那告诉大家，哈哈。哎，如果你不知道传播方向的话，实际上你是没有办法判断出来这个知识点，他现在是向哪个方向运动的。 但是现在我们知道现在传播方向呢，是向右传播，刚才呢，这个图像大家也看出来了哈，他是在向右传播的，哎，那我们就知道，对于这个点来讲， 他此刻的运动方向我们就知道了。那你可以看他前一个字典，因为这个波现在向右传播，他下一时刻的位置就和他前面这个字典的位置是一致的，那前面一个字典在他上面，所以这个字典下一时刻呢就会往上走，哎，所以他的速度方向就是向上的，我们看一下是不是啊？定好啊， 哎，你会发现他是往上走，然后接下来又往下走。所以大家一定要注意，对于这个波形图来讲的话，我们相当于是在某一时刻给他拍了一张照片，那如果想知道某一个字典他的运动方向，你还要知道他的传播方向。那比如说我们看另外一种情况，我们假设让这个传播方向向左哈， 哎，你可以看到就是现在是右面这个字典运动带动左面这个字典运动，他的运动形式呢，就开始向左传播了。哎，那一段时间后呢，他也会形成这样的一个波形图， 你可以看到现在我们这个波形图也是相当于在向左传播，所以你这个波向哪个方向传播？相当于你这个波形图随着时间 也会向某一个方向移动。但是呢，这个置点还是在上下运动哈，你比方说像这个点他就是在上下震动，他并没有随着波哎传播过去。那比方说现在我们还是暂停一下，比方说这时刻我们暂停。哎，我想问大家，像这个点他下一时刻是会往上走还是会往下走？ 那还是跟大家讲，因为我们现在哈，如果这个已经知道了他的传播方向是向左的，那我们就可以判断出来。哎，因为这个点和他右侧的这个置点下一时刻的位置应该是一样的，而他右侧这个置点在他上面，所以他下一时刻就会往上走，那我们盯住他看一下，是不是啊？ 哎，你会发现确实他会往上走，所以呢，你就一定要注意，如果我们得到这个图像，只有确定他的传播方向，我才能够确定他向哪个方向运动。

好，同学们好，这里是高一数学必修友们一起来刷题！第十五讲三角形的变换与正弦型函数图像性质。第十八题，这是二五年全国二卷的高考真题啊， 已知 f x 是 这么一个啊，虽然我说正弦型函数，对吧？我们标题叫正弦型函数，那这里是个余弦也无所谓，反正正弦型函数跟余弦型函数不就是平移的问题吗？对吧？啊？ f 零等于二分之一。第一题，求范，非常简单送分， 这题就长得像，呃，像这以前的这个上海的高考题一样，非常的纯粹。 f 零等于我们 add， 那 么就是 cosine 的 f， 对 吧？按出题的意思，等于二分之一，再结合一下这个 f 的 条件，它是零到 pi 之间啊，所以这个 f 那 不就是六十度吗？对吧？ 第一题，送分非常到位啊！第二题， g x 等于这么个玩意儿，那我们先把 g x 化简一下，对吧？ 第一题，求出来，东西可以用的啊，所以此时呢，它是 f x， 那 就是 cosine 的 二 x 加上三分之 pi， 这是 f x 好， 再加上。 呃， f x 减六分之派，那就是，所以这个二要提出来啊。 x 减六分之派，再加一个三分之派，你要是忘了提出来，那那那就那就那就没了，对吧？ 好，然后我们把它化简一下。呃，后面这个呢，大家可以看到，减三分之派加三分之派是消掉了的，所以后面就是个 cosine 二 x， 所以 请呢把它展开，利用两角和的余弦公式把它展开，那就是 cosine 二 x 乘以 cosine 三分之派， 再减去 sine 二 x， 再乘以 sine 的 三分之派，再加上 cosine 二 x， 所以 它等于什么？ 它等于二分之三的 cosine 二 x 减去二分之根号三的 sine 二 x， 所以 我们可以把根号三提出来，那就是二分之根号三的 cosine 二 x 减去 这个二分之一的 sine 二 x。 当然，你配成正弦或者配成余弦，其实都可以啊，看你喜欢配成什么。比方说，我们配成啊余弦吧，经常配正弦的配余弦。这样说，那这个可以看作是再多写一步啊，这个可以看作是 cosine 的 三十度，是不是？然后减去 sine 的 三十度。好，这样子就是余弦的展开公式了，所以它是根号三倍的 cosine 的 二 x 加六分之 pi 啊，你配成正弦也行的，无所谓啊。好，出题人让我们求的是这个函数它的一个值域和单调区间， 那值域和单调区间很简单，出题人对于 x 并没有任何的限制，对吧？既然没有，那我就随便是吧。 呃，直域，先干直域吧。第一个问题，干直域啊。呃，因为二 x 加六分之派，它现在这个范围是随心所欲，对吧？所以呢， cosine 二 x 加六分之派的范围，那么它就是在负一到一。 好，所以呢，再乘个根号三 cosine 的 二 x 加六分之派，那么这个范围整体也去乘一个根号三， 所以是负的根号三到根号三啊。也就是说，我们出题让我们求的这个值域及这个函数的值域呢？记作 r g， 那 么应该是负根号三到根号三。 第二部分求单调区间，那么单调区间很简单，对吧？我们把这个二 x 加，呃，这个换元换掉，对吧？把二 x 加六分子派，把它换元换成 t， 呃，那么现在这个函数 g x， 我 把它记作 y 等于 g x， 它本来是根号三的 cosine 二 x 加六分之派，如此一来，这个 y 它就变成了关于 t 的 函数了，就是根号三的 cosine t， 呃，当然，熟练的同学其实可以不换元，对吧？啊？我们先假设大家不熟练，那么这个函数求单调区间，除却让我求单调区间增减都要了，对吧？ 你想一下， cosine 的 单调递减区间，这个零到派也是单调递减的，对吧？所以你直接令这个 t， 也就是这个二 x 加六分之派 啊，它在零到 pi 上是带上递减的，但是这个只是一个周期内，对吧？所以我要把二 k pi 加上去，所以是二 k pi 到这个，呃， pi 加二 k pi 啊， k 除以 z， 这是它的单调递减区间，它的一个求的一个方法，对吧？我们从中把 x 的 范围解出来啊。这里我不也是了，你减个六分之派，再除个二，对吧？这应该都会吧。所以 k 派减十二分之派， 然后到啊， k 派加十二分之五派， 也就是说我们，呃，所以呢，这个 f x 啊，不是 f x， 应该是 g x， 对 吧？ g x 的 一个递减区间 为 k pi 减十二分之 pi 到 k pi 加十二分之五 pi 啊，不要忘了写 k 属于 z 这个减区间啊。那再求一下增区间，对吧？同样的，我们去令 t 等于二 x 加六分之派，让它在这个派当然要加两 k 派，对吧？ 到两派之间加两 k 派啊，当然也是 k 除以 z， 然后我们去解出这个 x， 对 吧？好， x 应该在 k 派加十二分之五派 到 kpi 加十二分之十一 pi。 好， 所以，所以这个 g x 的 一个递增区间， 那么就是写成区间了啊， kpi 加十二分之五 pi 到 kpi 加十二分之十一 pi 好， kpi z 好，应该来说非常的中规中矩，对吧？那我们的这个新高考改革以后啊，新一卷是很难遇到这样的题了，那新二卷他再出这样的送分题，这题的话跟呃，以前的这个上海的高考送分题差不多。

哈喽，同学们好，这里是高一数学必修一，我们一起来刷题。第十五，讲三角形的变换与正弦型函数图像与性质。 第十二题啊，这是正弦型函数图像与性质里面的题。那么关于这个 omega 曲子范围的题，在新高考题里面出现过啊，最近几年的模拟题啊，包括这个新高一的这个练习题里面啊，这个题是疯狂的出现啊，大家要掌握好，我们这个期末考也马上来了，对吧？期末考也很喜欢考 第十二题，我们来看一下。首先看到这个你应该很有感触，对吧？二分之一，二分之二三，是不是很显然是需要配一个辅助角的，对吧？呃，你当然用辅助角公式可以配，你当然可以凑，对吧？你把这个二分之一看作是这个，比如说看到是 cosine 的 六十度， 那么把这个二分之二三看作是 sine 的 六十度， 好，根据两角和的正弦展开公式，对吧？所以它应该等于 sine 的。 呃， omega x 加上三分之 pi， 当然你根据根据这个公式配配出来也一样的啊， 在零到 pi 上恰好有两个零点，那这个问题怎么解决？ 我们之前也讲过一道类似这样子的题啊，我们今天采用方法，跟上次稍微不太一样一点，就更更符合大部分人的做法。 我们去换个元令 t 等于我们的 x 加三分之 pi， 为什么要考虑换元？因为他给我的范围其实是零到 pi， 其实是 x 的 范围。而我现在如果换元换成 t 的 话，直接就转化成关于啊，我这个函数啊，还是 y 啊？我这个函数本来是关于 x 的 函数，对吧？ 我现在把它转化成关于 t 的 函数，直接去研究它，那不比你这个 omega x 加三分之 pi 要香吗？简约一点，是不是啊？所以我们把这个事情把它转移过去啊，把它转移过去 x 呢？它是在这个零到 pi 之间啊，所以呢，这个 omega x 啊，出题人已经说了啊，我们看是正的，它在零到我们那个 pi 之间再加上一个三分之 pi， 好， 这个就是我们的 t 的 范围，对吧？就我们这个 t 的 范围 是在三分之派到我们的派加三分之派。本来呢，这个函数的零点应该直接就是这个 x， 对 吧？就直接就是这个 x， 这样的 x 使得 f x 为零的，这样的 x 有 两个。那么其实无伤大雅， 使得 f x 零为零，就是使得 y 为零，使得 y 零为零呢？我们去找到这样的 t， 因为这样的 t 和这样的 x， 它存在着一个一一对应的关系，一个不，一个 t 就 会有一个 x， 两个不同的 t 就 会有两个不同的 x， 对 不对？ 所以我需要两个不同的 x， 其实就是需要两个不同的 t。 好， 所以这个问题就转化为 y 等赛 t 在 t 到这个东西上面，它有两个不同的零点， 能理解吧？这两个不同的零点就是 t 一 和 t 二，待会就可以得出 x 一 和 x 二，当然没有必要得出，对吧？ 好，我们画一个 side t， 它的一个草图。 呃，画几个周期呢？不知道多画几个 这零开始了零。呃，我们三分之派到这个 omega pi 加我，我不知道，反正我我先不管它啊，我先，我画散器。是不是 这地方是派，这地方是二派，这地方三派，这地方四派啊，后面要不要先去？不知道，待会再说。如果是三分之派，那么就在这，这个是 t 等于三分之派，另外一个应该在哪呢？因为出题人说 要让我们在这个上面找到两个零点，是吧？在这个上面找到两个零点，你想一下，这里是不是已经有一个了？ 这里是不是已经有一个 t 一 了，对吧？这里是不是已经有一个 t 二了？每一个 t 都会对应每一个不同的 x 版，对吧？所以你两个已经有了吧？ 你这个区间的右端点，区间的右端点，你可以放在这你区间的右端点。这 t 等于我们那个派加上这个三分之派，它可以放这，但是绝对不能放在三派的右边， 否则三派也纳入范围了，因为我们只需要的是这个范围里面，对不对？在这个范围里面，所以我们要让这个 omega 加上三分之派，把它放在二派到三派之间，对不对？把它放在二派 到三派之间。值得注意的是，有没有能取等号的？能不能把这条线正好放在二派的地方，此时取决于什么？取决于出题人的心情啊。当然是开玩笑啊， 取决于出题人确实是取决于他的心情，对吧？他给的这个范围他是 b 的 还是开的，你看清楚啊，他给我的是 b 的， 所以我得到的这个他是个 b 的， 是不是？也就是说我研究这两条线之间的话呢？包括这两条线所在端点啊， 所以说这个点能不能放在二派？当然可以，是吧？因为他如果这条线正好落在二派这个地方，二派他也算这个区间里面的零点，没问题吧？ 但是他不能放在三派，如果放在三派，三派也进去了，哎。 t 一 t 二词是说， no， no， no， no， 不 欢迎，不欢迎，不欢迎，两个已经有了，对吧？第三个不要好，所以从这里去解咱们这个我们两个的曲子范围就可以了，这个应该不来了，对吧？大家都减掉一个三分之派，那么就是三分之五派 啊，这个是三分之八派，所以大家都再除以一个派，那么就是三分之五派，那么就是三分之八。 哎，我这里写错了啊，这里应该是严格的小数号，都已经 no 过了啊，严格的小数号，所以这里应该是个开区间， 这个地方是非常容易出错的一个地方啊，非常容易出错的一个地方。 那么啊，各位同学，这道题呢，其实你可以再回过头来再看一下，他的一个关键的思路是怎样的，对吧？关键的一个思路是怎样的？然后细节处理要注意什么？这题啊， 我不敢说期末考一定会考吧？期末考如果不考，你十二月份月考，他必须得考，对吧？这要是，呃，从开始学三角函数到这学期期末结束，过年之前你都没考过这个题，不正常，绝对不正常。