2026江苏合格考数学立体几何

这张试卷你要能找到泄题的人举报他，你能得两千块钱。这种级别的老师，大部分人读三十辈子的书，你都见不到一个活人，因为他在整个中国教育体系内只占万分之五。二零二六年高考数学立体几何这道题的题号一定比解析几何更好后，我们可以立铁为证， 所有高三的同学请注意，抓紧时间去做这张中的校内魔号。这张试卷的电子版讲，以及官方阅卷版的表达，包括一个小时的视频讲解，我都全部录制好了，上传在了咱们二零二六新题速递的第七期专栏当中，现在你就可以专业直接下载去看。 推荐这张试卷两个原因，第一，他是一张保密试卷，这张试卷的题头人家有严正声明说严禁传播这张试卷，如果发现对首位举报者核实，奖励两千块钱。所以你要是能够揪出来谁把这套题目给卸出来了，你举报他能得两千块。但是你不用拿着我们的这条视频去举报，因为这套试卷不是我泄露的，我也是从别的老师那拿到的这套题。 那这套题目为什么保密这么严格呢？因为这张试卷的命题老师是一个在教育领域里非常有影响力的专家，他是一个高中特级教师，这就不用说了，他身上最重要的一个头衔是 教育局授予的全国优秀教师，这个称号比特级教师这种职称都更牛，因为它是教育局官方授予的一个国家级荣誉头衔，大家可以网上去查，这个头衔五年授予一次， 它的评选比例在全国范围内就是万分之五，所以我经常跟同学们开玩笑，大多数人活三十辈子，你都不是三十年啊，三十辈子你都不可能见到一个活着的这样的老师。 从你小学算起，到高中毕业，中间十二年的时间，我算你每年六科老师换一遍，你一辈子也就是见到七十二个老师。而全国优秀教师头衔教育体系内只有万分之五，你要见两千个老师才能够碰见一个。那你想想，是不是三十辈子才能见一次？而这种级别的老师， 他在高考当中会承担什么样的工作，大家稍后可以自己去查，但无论如何，这张试卷你一定要认真去做，做完之后你就会发现，整张试卷非常符合我们新高考的命题特征。比方说，我们来举两道题目做例子，看这道第十七题，这是整 整张试卷的第三道大题，它是一道解析几何的题目。我之前一直跟大家说，新高考当中解析几何的题目就是整张试卷一百二十分的赛点。那你想想啊，这道解析几何的题目是整张试卷的第十七题，他后边还有十八十九题，如果第十七题你直接做错，那么一百二十分基本上是没戏了。如果后边的第十八题再有闪失，整张试卷你很难上一百分。 而这道解析几何的题目，现实情况就是很多同学考场上没做出来，为什么呢？因为呢？这是一道常规但不高频的题。什么叫做常规但不高频呢？就是这道题目不， 不用连力。我们大多数情况下，遇到了解析几何的题目，全部都得是设限连力回答定里的，但是这道题目它里边的每一个点的坐标都是可以表达，是直接写出来的。而如果你听过我们的高考数学最后十八分搞定解析几何压轴题的话，在内门课的最开始，我就讲了这种类型的题目。 当时我还告诉过大家，这种类型的题目在高考当中算是简单题。但是如果你去纵览中国过去十年五十套高考真题的话，大题小题把解析几何算到一块，这种类型的问题只占百分之十三， 剩下百分之八十七，全部都要连立回答定理。所以相对来说，这是一种小众题型。但是它比较简单，很多同学就是连立回答定理学多了之后，这道题目一上来反应不过来。但是这道题目给了你一个非常好的提示。那好，第十七题大部分同学没做出来啊！来看看 第十八题，这道题目，它给了一个四棱锥第二问去求解一个线面夹角。很多同学一看到这道题目，发现这个侧面 p a b 是 一个等边三角形，马上灵机一动，就以 a b 的 中点为坐标，原点直接开始间隙。它的第二问，你直接就得零分啊，因为稍后你去看一下答案就会知道啊，这个 p a b 它并不和我们的里面 a b、 c、 d 垂直，这个点 p 的 投影根本就不在 a b 那 条线上。 事实上呢，这道题目的标答建议我们以 c 为原点进行间隙。那经常参加老高考的同学一定知道，以前的立体几何题目全部都是中心间隙，你的坐标原点要么是在一条线的中点上，要么是在整个图像的中点上。但是现在我们新高考的题型几乎全部都是这样的边缘间隙， 不信你去看一下我们新提速递前七期里边有四道大题，全部都是这样见的，因此这就是我们立体几何的一个命题趋势。而且我再多说一句， 二零二六年高考数学的立体几何这道大题，他的题号大概率是要比解析几何更耗厚的。换句话来说，以前你觉得解析几何是道压轴题，但现在立体几何可能比解析几何更难。这一张试卷的十九道题目主题精讲我都全部录制好了，讲解放在了我们新题速递的第七期专栏里边，大家现在就可以抓紧时间下载去看。老规矩本 本条视频点赞过千，我会专门再录一期视频来讲讲这张试卷当中压轴的第八、十一和十九题。如果你是第一次刷到老师的视频，关注老师十三年高中一线校学，我会在接下来每一周向你推荐最能够反映高考命题趋势和改革风向的新高考区官方电影院与名校联盟卷新题速递，咱们下周再见！

我们来一起看一下初三年级啊联合演练卷，那么第二题，那么几何四压中，那么这道题呢，考察的是圆啊和三角形的啊关系， 那么第三问呢，我们结合我们的啊相似，那么进行一个长度的转化，那么在这个题目里面呢，前两位应该是啊相对来说比较基础的一个啊，这个简单的这个角度 啊，一个证明，那么第三问呢，是一个啊长度的一个求解，可能结合到我们的啊全等啊角平分线的镇定以及我们的相似。好，我们来看一下， 当然呢，在一个圆里面啊，如果我们看到一个四边形的话，我们要联想到一些相关的知识点啊，就是最基础的，我们可能会想到啊圆的内接四边形啊，对角互补这样一个知识点。 首先那么题目中告诉我 ab 点 ac， 那 么这个信息呢，实际上告诉我这个三角形是一个啊，等腰三角形，当然一个等腰三角形如果出来之后，那么它最重要的呢，就应该是啊三线合一，所以那么这里面 那么又结合圆，它是一个轴对称图形，对不对？所以说，那么如果说我们现在把它三线合一的那条线给它画出来之后，我们应该是 啊延长 a o， 那 么与这样一个 bc 啊，这个线段那么交一个点，那么这样一个点呢，这样一个线段就是它三线合一的那条线。好，那么其次呢，告诉我，那么 b d 垂直于 a c 啊，也说这个角是等于九十度，好，另外那么另外呢说如果角 b a 四点四十度的话，让我们求这两个角的度数，好，我们来看一下啊， 那么如果角 b a、 c 是 等于四十度的话，这个点幺三零的顶角是四十度，那么也就是说它的底角应该是等于七十度，那么这个角是七十的话，这个角应该是二十度啊，让我们求的是 a、 d、 c 这个角，我们来看一下啊， a d c 呢？它和我们的这个 abc 啊，它是圆的内接四边形啊，所以这样的话我们可以知道， 那么这个角呢，应该是 abc， 这个角应该是一百一啊，因为为什么呢？ abc 是 七十嘛，对不对？好，这是一个。那么然后下来让我们求这个是 abc， 这个角是七十嘛，对不对？好，这是一个。那么然后下来让我们求这个是 d a、 c 这个角。 好，那么求 d a、 c 这个角呢？很明显，那我们看它所对的弧，它所对的弧呢？是弧啊， c d， 那 这样的话，我们知道弧 c、 d 它所对的应该是二十度啊，所以这样的话，第二个角我们就求出来了啊，这个角的度数应该是二十。好，第一步搞定，那么第二步呢，现在让我们去 啊，证明角 b a c 啊，等于二倍的角 d a c 好， 那么 b a c 这个角和这个角 d a c 它之间的关系，那么这两个角呢？是啊，两倍的一个关系，那么首先 我们需要去找这两个角之间的一个关联呢，那么其次呢啊，首先呢，我们要去找到它们之间的一个啊，就是它们之间的一个最基本的一个关系啊，这个链接点，那么在什么地方？ 比如说其实这个连接点呢？刚才我们在第一位里面，其实我们已经找到了，我们可以把这个角呢，我们简单给它标一下啊，比如说这个角我们给它标角一，那如果这个角是角一的话，大家知道，那么角一所对的弧呢，应该是弧 c、 d 啊，所以角二这个角呢， 它应该也是等于角一的啊，因为角一和角二它所对的弧都是弧 c、 d， 那 这样的话，其实让我们角找角 b、 a、 c 和角 d、 a、 c 的 关系啊，其实就是找它与角二的关系，因为角一和角二相等的对不对？而这个 abc 啊，这个 b、 a、 c， 这个角和角二之间有什么关联性呢啊？可以通过三角形内角和一百八啊进行一个转化啊，所以这样的话，我们就可以把这个关系啊给他找到了。首先我们第二步的思路啊，简单给大家写一下， 我们在这个地方给他写一下吧，那么首先呢，在这个三角形 abc 里面，我们可以知道三角形的内角和是点一百八十度啊，所以我们这里面可以得到，那么 b、 a、 c 啊，加上一个两个底角，那么这两个底角呢，我们这个角标角三吧，我们就可以用两个角三去表示啊，为什么是这样子呢？因为 这个角 a、 c、 b 啊，和角 abc 是 相等的，那么我们现在需需要找的是那么角三和角二之间的关系，所以呢，那么又结合，那么 a c 和 b d 是 垂直的，所以这个角三啊，我们就可以写成九十度啊，减去一个啊，角二 等一百八十度，那这样的话，大家会发现啊，这样的话我们就可以得到，那么角 b、 a、 c 啊，加一个一百八十度，减去一个两倍的角二啊，等于一百八十度，我们就可以把一百八，一百八给约掉，那这样的话 我们就可以得到，那么 b a c 这个角呢，是等于两倍的角二，我们刚才在这个前面我们讲过了，对吧？角二就等于角一啊，所以这样的话角 b a c 就 等于两倍的角一啊，所以啊，这里面我们就给证出来，角 b a c 啊，等于二倍的角 d a c。 好 哦，我把这里面的思路啊，当时给大家写一下， 大家可以把这里面的细节呢，那么自己再给它补充一下，好，这是第二问，那么我们重点我们来看第三问，那么第三问呢，现在告诉我 ab 这个长度是等于十，那么 cd 啊，这节长度啊是等于这个五 好，这节是等于十，然后 cd 这节是等于五好，让我们求这个 bc 的 长度。那么首先我们在看到这个题目的时候啊，我们其实我们需要有哪些最基本的一个切入点呢？ 我就是这样子的啊，让大家把这个题目啊给它系统的去分析一下，你看它其实让现在让我求 bc 这节长度，那么 bc 呢，其实它是这样一个啊，等腰三角形，它的一个底边， 那我们知道啊，结合我们的三线合一，实际上包括我们在啊圆里面，我们涉及到求弦的时候，我们讲求弦，那么更多的呢，我们可能会涉及到啊古古定力，或者说我们讲啊涉及到垂径定力以及弦的一半， 所以在这个题目里面呢，我们刚才讲，我们如果把 a o 如果给它连接起来的话，那么这个 a o 啊，它一定是啊垂直于的延长线啊，一定是垂直于 b c 的， 对不对？那是因为我们讲圆是一个啊，轴对称图形，而我们的等腰三角形呢，也是一个轴对称图形啊，所以这里面 a h 这条线，那就是三线合一的那条线， 所以那么这个题目里面，他现在让我求的 bc 这节长度，其实就是求两倍的 b h， 也就说我们现在需要去找到啊 b h 这节线段长度，那其实我们这里面大家会发现啊，我们现在已经找到了有一组三角形是全等的，就是 这个三角形 a b h 和三角形 a c h 这两个三角形是全等的，对吧？这是等于三角形，没有什么问题。那我们再想一想，我们结合我们的第二位，我们的一个啊，结论第二，我们的结论是啥意思呢？也就说这三个角来，一个角，两个角，三个角，这三个角应该是相等的， 对不对？因为我们知道，你看我们这里面再标一下，假如这是角一，这是角二，这是角三，我们知道角一和角二相等的，因为三线合一，又因为角 b a c 等于二倍的角 d a c d a c 不 就是角三吗？所以这样的话，其实我们是可以得到角一啊，等于角二 啊，等于角三。那这样的话，你有没有发现，人家在这里面为什么告诉你啊？ c d 这一节长度呢？会不会在这里面让我们去通过我们相似的长度去进行转化呢？所以那么在这个题目里面，我们要联想到我们的角平分线的正定理， 也就是说 ac 大家会发现它是平分角 d a h， 那 我们知道角平分线上的点到角两边的距离是不是相等的，也就是说如果说我们往两边做垂直来，比如说假如这个点我们这个是 g 点， 那我们是不是可以得到 c、 g 和 c、 h 是 相等的，为什么这样子呢？因为这里面我们是可以证明三角形啊 agc 它是相似于三角形 啊 ach 的， 那么为什么在这里面我们需要去证明这两个三角形相等，或者说我们想到这个地方呢？因为我们这里面接下来要做的事情是把 c、 d 啊给的这一节五这条线段 和我们十这条线段啊建立一定的联系，那这个时候呢，我们就会发现啊，这里面是不是形成了两个直角三角形，一个三角形呢，就是实所在的这个三角形 a、 b、 h， 还有个就是无所在的 c、 d、 g 啊这两个三角形，那么这两三角形很明显它都是直角三角形，但这两三角形它相似吗？ 我们知道它已经有一个角是相等的，如果我们再能找到一个角相等的话，那么这两个三角形就是相似的，能不能找到呢？那我们知道圆的内接四边形是对角互补的，也就是说这个角它加上 a、 d、 c 这个角啊，是不是应该等于一百八十度？而你 a、 d、 c 的 一个零补角就是 g、 d、 c 加上一个 a、 d、 c 是 不是也是一百八十度， 对不对？所以这里面我们是不是可以得到那么 gdc 这个角和我们的 a、 b、 h 这个角啊是相等的，因为他们加上 adc 啊都等于一百八十度，所以这样的话我们就可以证明三角形。那么 gdc 这个三角形它实际上是相似于三角形 a、 h、 b 啊，这两扇形相似的，那么这两扇形相似之后呢，我们就可以找它的对应边，那这个时候我们就能明白，为什么人家题目中告诉我 a、 b 等于十， c、 d 等于五，实际上是告诉我它们的对应边之间的关系，所以这样的话，你会发现，对吧？ c、 d 这个边啊，它都是斜边嘛，和我们 a、 b 这个边，它的比值应该是一比二。 那当然我们再去找它对应的边，你看 c、 d， 那 么它是斜边，那么 c g 啊， c g 是 长的直角边，它对应的长的直角边应该是 a、 h， 它和我们短的直角边呢，一个是 d g 啊，还有一个是 b、 h， 那 么它们的比值呢，都应该是一比二。 那所以在这里面我们可以简单设一下啊，比如说我们把 b、 h 这些设为 x， 你 看这些是 x 的 话，这个也是 x， 然后 g、 c 也是 x， 又因为它们啊之间的比呢，是 这个叫什么？一比二，所以这样的话我们可以得到，那么 a、 h 这些长度啊，应该是二 x， 所以 我们紧接着我们就可以把 x 给它求出来了。比如说在 r、 d 三角形，那么 a、 b、 h 这个三角形里面，我们把 x 求一下勾股定律， x 平方加上二 x 括号平方，应该是等于啊十的平方，呃，五 x 平方等于一百，那么 x 平方等于 这个二十， x 等于二倍杠十，那么二倍刚好五杠二十，应该是二倍杠五。它题目中让我求的是 bc 的 长度啊，所以 bc 呢，它应该是等于二 x 啊，所以这里面长度最终算出来啊，应该是等于 这个四倍，刚好五。所以呢，我在这道题目里面呢，我想跟大家讲的是，那么首先我们再看到一个啊，这个圆 啊，这个逆时针形这种题目的时候呢，我们要想到那么圆的逆时针对角后补，当然这里面肯定要涉及到我们的相似啊，以及我们对应边的一个转化。当然在这个题目里面呢，我们要联想到我们的第二个啊，角平分线的一个正地理 和我们的第三问啊，进行一个啊综合的一个结合，我们结合角平分线的正定里，我们这里面啊构造出他的高啊， c g， 那 么这样的话，我们再结合圆的离奇四边形对角互补，我们就证明两个三意相似啊，我们来进行转化就可以了。所以呢，在这个题目的解答过程中呢，可能是需要把我们前面的一些知识点 融合在一起啊，这也是我们在啊中考的时候啊，比较常见的一种题型，因为从最终的啊考试情况来看呢，我们的知识点啊是杂入的，所以对我们要把之前所学习的相关内容要要复习起来。好，那么这个问题呢，任老师给大家分析到这里。

我们来看这道题，他说在圆锥中放两个大小不同的两个小球，使它们分别与圆锥的侧面截面相切， 截面分别与求 o 一 o 二切于点 e f， 并且 e f 是 截口椭圆 c 的 交点，设求 o 一， 半径为四， o 二半径为一，求心距 o 一 o 二等于刚好三十四。那么 a b c d。 首先我们画出一个圆锥，从 s 点 向下，直接在中心切出的一个等腰三角形，那么 m n 就是 这个椭圆 e f 的 长轴，并且 e f 也在 m n 上。那么画出球心的连线， 我们很明显的发现， e f 的 终点大概在这个位置，不在 o 一 o 二上，所以 a 选项正确，那么再看 b 选项， e f 等于四， e f 其实就是椭圆，嗯，椭圆的焦距。那么我们先来看这个图像， e f。 我 们先做两个垂直，因为它们都是切线，并且半径相等，所以 m a 等于 m f。 同理，在下面这个圆中，我们可也可以做出两条垂线， 求出 m e 等于 mb， 那 么由于在直线 m n 上线段， m n 就 等于 m f 加上 f n， 然后 f n 又等于 m e， 所以 m n 就 等于 m a 加 mb， 也就是 ab。 那 么 我们再画出一条线，从 o 二向 o e b， o e b 引出一条垂线，那么很明显这三个垂直就构成了一个矩形。那么 呃，这个点设为 g， o e g 就 等于 o e b 减去 b g， 其实也就是两个圆的 半径之差，也就是三，那么 o e g 等于三，根据 o 二， o 一 等于刚好三十四。我们想要求 m n a b 就 都等于 勾五令，根号下三十四点九，等于根号二十五，也就是五，那么 m n 和 a b 都求出来，然后 再过 o 二向 o e e 的 延长线做出一条垂线。我们设它与 a m 交于点 c， 那 么很明显看出它是一个矩形，因为有三个垂直，所以最后 o 二 c 就 等于 e f 等于三 d 错误，那么 c 选项直线 o 一 o 二与椭圆 c 所在夹角的正弦值，那么 e f 在 这个椭圆的面上，所以它与 e f 的 夹角就是与椭圆 c 所在平面的夹角。我们看 o 二 c 与 m n 是 平行的关系，所以 o 二 c o 一 就是它所在平面的夹角，那么正弦值直接用呃对边比斜边 求出，是三十四分之五的，刚好三十四 c 正确，那么四 d 选项离心率呃，由于 o 二 c 等于 e f， e f 就是 椭圆的焦距，所以二 c 就 等于三。那么 又因为 m n 等于 ab 等于五，所以离心率是二 c 比二， a 等于三比五，也就是五分之三四 d 正确，那么这道题就选 a c d。

今天要讲的这道例题几何题考的非常的好，首先他的题型很少见，其次他考察了孩子们的一个空间想象能力。这道题来自于东城区刚刚考完的单选压轴， 我把选项直接去掉了，咱们当一道填空题来做来看这道题目，他说这是一个棱长为一的正方题，然后这个正方题分别是 a、 c、 c、 e、 a e a 一 b c、 d e 以及 a、 b、 c、 d e。 捷德的这个图形当中顶点 b e 所在的多面体的表面积是多少？ 那么首先咱们就要搞清楚到底经过这几次结之后，含有 b、 e 的 那个多面体到底是一个什么样的图形， 这就非常考察孩子们的空间想象能力。那么我们在做这个题的时候呢，就要一步一步的去给他截，看一看被一个平面截完之后剩下了什么图形， 再被一个平面截完之后剩下了什么样的图形，一点一点的去分析。首先我们先用这个平面 a、 e、 a、 c、 c e 去截这个正方体， 那含有 b 一 的部分其实就是前面这个值三棱柱，我们把它给它重新画出来。接着咱们再来用一个平面去截这个值三棱柱， 那用到的这个平面可以是 a、 e、 b c、 d e 这个平面，所以我们在这个图形当中再把它画出来，那肯定要连一下 a、 e、 b。 然后这个时候咱们就要想一下， 那这个平面跟这个 a、 e、 a、 c、 c、 e 的 这个交线到底在哪里？那么很明显的是这两个平面的交线其实就是 a、 e、 c， 所以 咱们要把 a、 e、 c 给它画出来， 那么截完之后的图形其实就是 a、 e、 b、 c、 c、 e、 b、 e 这个图形，接着咱们再用最后的一个平面 c、 e、 b、 a、 d， e 去截这个图形，那么我们再换一种颜色来看一下截出来以后是什么。 首先我们先来连 c、 e、 b， 我 们接着就要看 c、 e、 b， a， d， e 这个平面跟现在这个红色的这个三角形，它到底的交线在哪里？所以找到交线其实就是找焦点，那很明显这个平面 和 a、 e、 b， c、 d， e 这个平面，它们一定有一个交点，就是这个正方体的中心，也就是 a、 e、 c 的 中点。找到了这个中点之后，我们就可以找到对应的交线，连接 c、 e 和它的中点 o， 然后再连接 b 和 o， 找到这个中心 o 之后，我们来看到底最终这个多面体它由哪些点构成？首先它不能有 a， 因为这一部分直接去掉，也不能有 c， 那 最终剩下的这几个点分别就是 a、 e、 c、 e、 b， 还有这个点 o 以及 b、 e， 那 么我们把这个图形再给它画出来，所以大家来看一下最终剩下的这个多边形就是 o、 a， e、 b、 c， e、 b， e 这个图形是一个六面体，那么这个六面体它各个面的图形形状是什么样的？面积该怎么计算？大家来发现 a、 e、 o、 c、 e 以及 a、 e、 o， b， 还有一个是 c、 e、 o、 b 这三个三角形，它们的两条边分别就是 我们这个正方体的体对角线的一半，那么这个体对角线是根号三，所以它的一半就是二分之根号三，这条边是二分之根号三，这个也是二分之根号三 o、 b 还是二分之根号三。而三条底 a、 e、 a、 c、 e、 b 以及 a e、 b 都是它的面对角线，根号二，所以这三个三角形的面积应该相等。我们来计算一下它的高过这个点 o 做 c， e， a， e 的 垂线垂足一定是它的中点，这一段是二分之根号二，这一段是二分。之根号三，那么这个高就是二分之一，所以这三个三角形的面积和就应该是二分之一，乘以根号二，再乘以二分之一， 再乘以三，等于四分之三倍根号二。接着还有三个三角形，分别是 a、 e、 o， c， e、 o， c， e、 b 以及 a e、 o， b。 这三个三角形都是腰长为一的等腰直角三角形，所以它的面积应该是二分之一，再乘以三，所以最终 小面积就是这个数，再加上二分之三。所以对于这道题目来说，其实还是有一些难度的，我们要能够通过自己的想象和画图，把最终这个六面体给他找到，才能算他最终的表面积。

距离二零二六年单交春考最后一个多月，是你逆风翻盘的终极窗口期，如果此前的时光都被虚度，那这次机会你必须攥紧在手里，它直接决定了你能否拿到名校的入场券。 为什么说二月是最后的逆袭时机？因为一轮复习已经修委，你所有的知识漏洞、学习弱点都会在这个阶段暴露的淋漓尽致， 而剩余的时间刚好够你集中全部火力打一场精准的歼灭战。那些觉得单挑称考大局已定的人，早已提前弃局退场。但真正读懂考戏规则的人都清楚，现在才是实现弯道超车、彻底翻新的黄金习客。 正戏开讲前，闭上眼睛默念三遍，我必逆袭！永远相信相信的力量， 如果你此刻想发奋学习，却不机从何下手，或许拼尽全力却琪琪看不到想要的效果，那就去看我的置顶视频，加我粉粉群，我会亲自帮你分析成绩单，量身定计专属学习计划。好了，话不多说，直接开讲 啊，这个题呢，是一个这个解析，呃，这个 v t 几何啊 v t 几何的一个关于呃垂直啊垂直呢，咱首先咱呃做一个思路的分析。那这类题呢，一个思路分析呢，它是这样的 啊，我要去种线线垂直啊，我要种 l 和呃这个 m 垂直啊，那么我这个时候呢，就会去干嘛想到一个思路是什么？是说我要把这个 m 给它放到一个面当中，那我去想法去种 l 垂直一个面这个 r 吧。 那要垂直这个面的话，就需要垂直他这个面当中的两条线啊，这个两条线，那两条线的话，那这个时候呢，可能就要去正这个面，属于面当中的两条线，比如说一个 n 啊，然后呢？他呢？比如说，呃，垂直一个他的一个屁， 对不对？那垂直了这两条线，那我就垂直这个面，垂直这个面了，那我就自然而然就垂直这个面当中所有的线，那我就垂直了这个 m。 所以说整个的在你的立体几何当中啊，所有的思想都是这样，就说我要中线线垂直或者线面垂直，他的一个思想就说我必须得中线线垂直，那线线垂直的话怎么办？ 把这个线，把其中一条线给他放到一个面当中，然后呢？呃，往往是这条这条线直接中，是没法中的，那我就呃，这个 换个思路，就说，我去正这个面，线垂直这个面啊，线垂直这个面，那这个时候呢，我就从这个面当中找两条我方便能求的啊，这个线啊，那就得出来这个线面垂直。好，那咱解一下这个题， 好，咱们看一下，刚才还有还有几个人说好来看一下。呃，那这个，呃， p a， b， c， d 啊， p a 垂直这个面啊， p a 垂直这个面， a， b， c， d 啊，然后呢？ ab 垂直 ad r a b 垂直 a d， r a， b 和 a d 垂直 a c， a， c 和我的这个 c d 是 垂直的啊，然后呢？呃，角 a， b， c 等于个六十度， a， b， c 等于六十度。好， pa 等于 pb， 等于 ab， 等于 p， 等于 bc 啊，意思呢？是啊， pc 的 终点啊，那咱看一下这个 d 啊，咱正 啊，第一个，我要正这个 c d 垂直 a e， 那 c， d 垂直 a e 的 话，那我就正什么？呃，我这个 c d 啊，垂直这个，把 a e 给它放到这个面里边来啊，把这个这个 a e 给它放到面里来，那所以说我就想法去正，呃，它垂直这个面 啊，垂直个面啊， p a c 啊，垂直面 p a c， 那 我就要去正垂直这个面 p a c， 那 我就得去找它两条相交的线，那我就正什么 c d 啊， c d 垂直于 a c 啊，然后呢，再一个，我去正 c d 垂直于 pa 啊，那咱分析一下，咱刚才说了，题目当中告诉我 pa 是 垂直面的，那我的这个啊， cd 垂直 pa， 那 这个是已知的，那下边一个问题就说什么，我去想法啊，种这个 cd 垂直 ac 就 可以了啊， cd， 呃，和我的这个 ac 啊，那这个 垂直啊，那也是已知的。好，那所以说我就分析下，因为啊，这个 p a 垂直面儿面儿 a b c d 啊，呃， c d 呢，是属于这个面儿 a b c d 的 a b c d 啊，所以呢，那我就中出来我的 c d 啊，垂直于 p a 啊，这个第一个条件中出来了啊，然后下边又因为 又因为题目当中 c d 啊，垂直于 ac cd 垂直于 ac 啊，那你的等会说了，这个 a c 和你的 pa， 它都是属于面 p a c 的 p a c 的 啊，那而且呢，这里边 a c 啊，它交 ap 交 ap 于 a 点，也就是说呢，它是两条相交的线段啊，那所以， 所以我就能得出来 c d 垂直于面，垂直于面啊，这个 p a c 啊， p a c 啊，垂直面面 p a c 那 下面呢，我通过了线垂直面了，又因为又因为 a e 属于这个 p a c 面 p a c 啊，垂直这个面，那就垂直面当中所有的线，所以呢，我的 c d 就 垂直 a e 了。 好，通过这个题呢，咱就知道说我要去种线线垂直它直接去种是不好种的， a e 在 这， c、 d 在 这，它两个是不好种的，那我就转过来是什么？把这个线放到面当中来去种。好，然后再看第二个 这样问，他说让中 p d 啊， p d 垂直面 a， b， e 啊， p d 这条线垂直面 a， b， e 啊，这个面。好，那，呃，跟分享 啊，我要去中 p d 啊，垂直面 a， b， e 垂直面 a， b， e。 那 我就得找我的 p d 垂直于谁垂直于我找两条线垂直于 a、 b 而那我的 p d 而 p d 垂直于 a e 啊，我要正它这个面垂直它，那我就去找两条线段。好，那我去找 p d 和 a e 垂直，那我的 p d 和我的 ab 垂直。好，那然后呢？那下边我要正 呃它这个地方垂直啊，那我就想我怎么去去种它呢？那我就想到了把 p d 给它放到一个面，因为它现在你看到没有，就说这个 p d 啊和 ab 它两个现在 根本不是。呃，在一起没法去种，那我就转过来，我去种什么？我去种你的，把 p d 放到这个面里边来，那我就转过来，我去种啊， a、 b 垂直于面， 垂直面 p a d 啊，把 p d 呢放到这个面当中啊，那我就只需要用 ab 垂直面这个 p a d 就 可以了啊，那面垂直 p a d， 那 咱分析一下，那我看这里边 ab， a， b 是 垂直于 a、 d 的 啊，这个是已知，对不对？然后呢？ a， b 是 垂直于 p a 的 啊，那那个那个，所以说，那我种出它两个来。好，那然后呢？你就说，呃我，我要去呃种 啊，我要去种它那个，呃下边一个，我要种它 p d 垂直 a e。 那 也是一样的思想，我就是干嘛把这个时候它两个也是直接去种 a e。 在 这啊， a e 和 p d 不好种，对不对？那我就想法转过来，我去种什么？我把这个 呃 p d 给它放到一个面来，我去种 a e 垂直这个面 啊，垂直个面 p c d 垂直个面 p c d。 好， 我要正。呃，这个 a e 垂直个面 p c d。 那 好了，咱看一下，那这里边 我的 a e a e 垂直什么？垂直 cd， 我 去想法种这个啊， a e 垂直 cd 就 可以了，那然后呢，我下边再种什么 a e 垂直于 pc 啊，那我去想法种这几个问题啊，也说呢，你看人的整个的分析的思路是这样的， 我要种它垂直这个面，那我就得垂直它里边两条香蕉的线那但是这两条香蕉的线呢？又不好种， 这两条香蕉的线不好种，我就转过来，我去把它这个线给它放上面当中 啊，我把这个 p d 呢放到这个面 p a d 当中，我去中 a b 去这个面啊，然后呢，找两条相交的线啊，这两条相交的线啊，然后这个也是一样道理，不好中，放到这个面当中，然后找两条相交的线。好，那然后呢，咱们看一下 下边儿 啊，我这边呃，证明一下。因为啊，我的 a b 等于个 pa 啊，等于个 b c 等于个 b c。 而且呢，这个角 b 角 abc 角 abc 呢？等于什么？等于六十度等于六十度啊，所以 我的 a c a c 就 等于个 pa ac 等于 pa 啊，又因为 e 呢，它是中点 啊， e 是 中点啊， e 是 中点之后呢，所以说我就能得正。所以说我的 a e a e 垂直 pc 啊，然后呢？呃，又因为 我这个这个 a e 啊，垂直于 cd 啊， a e 垂直 cd 啊，那我的，而且呢？ p c， p c 好， 我的 pd， cd 它都是属于这个面 p c， d 的， 都属于这个面 p c， d 那 么 p c 呢？而且呢？ p c 呢？交 cd 交 cd 等于 c 啊，那所以说，所以说我就能得出来，我的 a 垂直面 p c， d 面 p c， d 啊，垂直面 p c， d 那 又因为呢？我的 p d 因为 p d 啊，属于这个面 p c， d 好，所以说我的 d 用这个想要的这个边我就得中了，我就得出来说我的 p d 和我的 a e 啊，它是垂直的。 好，那等等，这个就解决了，也说呢，我要中它垂直，我中它两条相交的线线的话，那这个线我通过这个线放到这个面里边来，然后中 另外的两个键啊，那 p d 就 和 a e 垂直。好，那然后在上边重一下下边这个问题，然后写这。啊，因为啊，又因为。呃，这个 p a， p a 垂直于面 a， b， c， d 啊，那 ab 属于这个面 a， b， c， d 好， 所以所以说呢，呃，我这边就能得出来 ab 和 pa 垂直。 好，这是这个，那下边有问题，我要正它的这个这个垂直。呃，那 又因为啊，又因为这个 a b 垂直于 p d， a， b 呢？垂直于 p d 啊，那 p d 交 p a， 它交于 p 点啊，两条相交的线段那，呃，而且呢，我的 p d 和 p a 呢？呃，它都属于个。呃， p d 和 p a， p d， p a 呢，是属于这个面儿， 属于这个都是面当中两条相交的线，对吧？面 p a d 啊，那所以我就得证这个 ab， 这个 ab， 那 就垂直面面 p a， d 啊，它垂直面 p a d 之后呢？然后呢？呃，又因为你的这个，又因为我的 p d 是 属于这个面， p a d 的 啊，它属于这个面，那所以说呢，呃，我这个时候呢，我就能得出来，所以啊，我这个时候我就得出来 p d 垂直于 ab 啊，也说呢，呃，这个题啊， p d 是 属于这个面，那所以说我就得 p d 垂 ab。 那 所以说到这我的这两个条件就已经得正了，那我就直接可以下结论了啊，所以 啊，我这个 p d， 那 就垂直于面， p d 就 垂直面 ab 一 啊，所以说你看这个题，这个题他考察的一点是什么？就说我要中线，你看咱的刚才这个，这两个的这个思路分析啊，这两个这个思路分析啊，这两个这个思路分析是很重要的一个思想，他的一个思想是什么？就是你看，呃，我要中线垂直 直接种，比如我这个 c d 和 a e 不好种，不好种的话，那我怎么办？给它放到面当中，我把 a e 呢？给给它放到面当中，我比如说呢，我把这个地方给它放到面当中，那我去场花种什么？我 c d 和 和我的 p a c 垂直啊， cd 和 p a c。 那 这么说呢，我本来需要去种 a e 的，是本来是要去种 a e 的， 但是我的问题就给你转化了，我不需要关心 a e 了，因为那个 a e 也是属于 p a c 当一个面，那所以说，哎，我只需要去种 它垂直于 ac， 它垂直于 pa 就 可以了，我的问题就本来由它，我就给它转化成了 求这个啊，那求这个的话，那这个时候这两个是简单的啊，很能简单的中出来，我中出来它垂直这个面了，那你是这个线是属于这个面当中的，我就得中了啊，那你看这个题的思路也是一样哎，我要中这个 p d 垂直的面 这个面儿，那我得重换把 p d 垂直染成线啊，垂直它好，垂直它不好重，直接重是没法重的，对不对？那我就转过来，把 p d 呢给它放到一个面儿当中。你看，我把 p d 给它放到了这个面儿 p a d 当中 啊，就我不再去关心你 p d 是 怎么样了，我只关心你这个面儿了啊。你看，我把这个 p d 给它放到面儿 p c d 当中。 好，然后呢？我一转化之后，那我就干嘛？你看，我就只需要找到在 p a d 当中，我转化了，我不需要关心 p d 了，因为 p d 它不好用嘛，我就转化成了和 a d 和我的 pa 它们这两个之间的关系。那我这个呢？ p c， d 我 也不需要关心 p d 了，我只需要关心 cd 和 pc 啊这两个的条件就可以了。那么我就通过种了叉了，我就种出这个面来了。好，他这个面成立了，那我自然而然就垂直个面当中的所有的线了，那我自然而然就得到这个这个结论了。 你看，这个也是我垂直这个面了，那我自然而然就垂直面当中所有的线了，那我就能得出我的想要的结论来 啊。所以说呢，这类题在解析几何当中，包括你的这个一体几何这种证明题当中， 在垂直关系当中，它用的是非常多的。一个问题就是，我一旦让你去中线线垂直，你看线线垂直不好中，我干嘛把这个线给它扔到一个面里边来，然后呢？找这个面当中另外两条相交的线啊？好，这个题就讲这线。

数学试卷主要覆盖数列、立体几何、三角函数三大板块，题型和高考结构呢，基本一致，整理难度的为中等偏上， 对于学生的记度知识和常规解题能力的考察特别注重。具体来看呢，数列题考察学生的等值，数列基本公式和前项项和计算属于呢记度题型。 立体几何呢，以四棱锥为轴体，重点考察了平面和平面。数乘角的计算需要学生具备一定的空间想象与向量法或者几何法处理能力。 三角函数题型的综合性强，涉及恒等变换、三角形、边角关系、外接圆与面积最值等典型问题，对于知识的综合运用和计算能力要求比较高，也是全卷的区分度的关键。 后续备考的话，一定要强化基础熟练度，务必熟练掌握等差等比数里的通向求和公式，以及三角函数的基本公式皆三角形常用定律。 例题结构中的二面角、陷面角的求解方法需要系统的训练。三角形中的最值范围问题应该规范常见思路，提高计算与书写的规范性，尤其是三角与受力部分计算容易出错，答题步骤一定要严谨清晰，避免误时分。 另外呢，还要加强中档综合题的训练，你像本次试卷中没有出现偏题、怪题、难题，所以我们后期复习啊，一定要以高考高频中档题型为主，巩固解题速度与准全率， 并且呢，适当接触与三角函数、数列相关的实际应用或者综合小题，保持自己的思维灵活度。整体而言，试卷侧重考察核心主干知识，学生啊，要确保在基础牢固的前提下，提升解决典型中档综合问题的能力。

江苏上个月月末出现了各种 g 四联考，这份江苏四所最顶级高中，南师大附中、天意中学、海安中学和海门中学的高三联考试卷、名校试卷还是很有质量保障的。本试卷整体难度中等偏上，符合高水平学校的联考定位。基础题在比约百分之六十，中档题与压轴题分布合理， 计算量中等偏大，尤其在解析几何与函数导数部分，需要较强的代数处理能力。创新题主要体现在立体几何的正投影问题与圆锥距的动态探求，贴近新高考命题趋势。 三小题前五题为基础题，后三题逐渐提升难度。第六题三角函数变换需注意顺序，易错点在于平移与伸缩的复合。第七题，函数性质综合利用奇偶性与周期性求值，需建立方程求解。第八题，双曲线与面积比结合，需连立直线与曲线利用离心率转化，计算量较大， 不选择题考察附属，且三角形与圆锥曲线结线。第十题，且三角形需综合正余弦定离与面积公式。中档题。第十一题圆锥曲线结面问题，需理解极限类型与离心率变化，属创新题，对空间想象要求高。 填空题最后一题结合空间几何与投影具有一定新意。第一位数边数需划读分析。第二本投影面积需结合长方体结构，有一定新意。 解答题，前三题比较常规和基础。第十五题数列递推、证明等差数列。第二问求和求导属常规题型，计算简单。第十六题统计与概率考察、独立性检验与分层抽样分布列与期望计算基础。 第十七题力敌几何计算量适中，方法典型。第十八题的难度仍然在于最值问题，需构造函数或换元计算的综合性较强。第十九题第二本横程必须分类讨论或放缩。第三问存在性条件转化为不等式，证明需构造向量或科西不等式思维，难度大。书本卷最难是题。

跟着少格组数学幺二九，今天我们要讲到的是四省联考里面非常重要的一道立体几何的压轴题。好，那我们来看一下这道干蒙很多人的压轴题到底长什么样子？ 好，那我们一起来审一下这道题。他说已知四面体 a、 b、 c、 d 满足角， abc 等于角， b、 c、 d 等九十度，且这两个三角形都是等腰。啥？是不是直角三角形， 且 a、 c 等于二倍根二，若 a、 d、 b、 c 假角为六十度，则四面体的外接球的表面积。 好，那么很多同学啊，看到这样的问题，他说，哎，这个老师没有讲过这样类似的模型，那我们怎么处理呢？那么正常遇到这么多垂直，我们首先考虑到的其实就是补偿长方体， 但是因为他给了个六十度的角，所以你补一个长方体，你发现处理不了，那我们这个时候才会想到要补啥呢？值三棱柱。 好，那么为什么要补一个直三棱柱呢？因为我们知道直三棱柱外接球它的表面积啊，它是有公式的，也就是 r 方等于二分之 h 的 平方加上小 r 方， h 指的是它的高，小 r 指的是底面的外接圆的半径。 那我们现在就非常明确，我就干两个事情，第一个事情我求出来它的高，第二个导出来它底面 外接圆的半径是不就可以了？好，那么接下来我们看一下我们补成的这个值三棱柱，那么在这个值三棱柱里面，他告诉你 a、 c 的 长度是二变 k 二，那我就知道 ab 是 不是等于二， bc 是 不是等于二？哎，然后 cd 是 不是也等于二， 那么我们就可以得到 h 是 不是等于二？ ok， 一个条件，我们现在要搞这个底面三角形 a、 c、 d， 那 么这个三角形我们知道 a、 e、 c， 它也等于二，那么这个假角 a、 e、 c、 d， 这个假角是多少度呢？那我们还有一个条件没有用啊，也就是 a、 d 和 b、 c 的 假角是六十度，那我们把 b、 c 经平移放到 a、 a、 e 这个位置， 哦，那么红颜色，也就是我们画出来这坨，咱知道它是不是就是六十度了？那它是六十度，那我们是不是也就知道 a、 e、 d 等于多少呢？ 是二倍根三啊？利用 tan 值。好，那它等于二倍根三，那我们放到这个三角形 a、 e、 c、 d， 你 会发现一比一比根三，那意味着这个角是多少度呢？ 是一百二十度，然后我们用正弦定二二等于二倍根三，比上二分之根三，我们得到二等于几？是等于二，把我们求出来这两个量全部扔到公式里边，咱 r 方是不是有了？那么 r 方等于五， 那外接除了表面积，直接套公式嘛。 s 表等于四， pi r 方数出来了，等于二十倍。那么这道题不知道大家学会了没有？好，那么这种补偿方体补能助的这种思想啊，我觉得非常重要，希望大家学起来，谢谢大家记得点赞关注哦！

好，我们来看一下最近刚刚考完的江苏的几十年，考的多选压轴出的比较好，特别是前面几问这个 ab 选项，如果你把它琢磨不透，后面这个 cd 选项你不太好做， 所以接下来我们为主的讲 ab 选项，把它讲清楚，他说这个正方体是能长为一的正方体，然后 m n p 是 中点， a 选项，让我们看 p m n 在 正方体里面界面的形状， 那这个结面问题，通常我们有三种办法，第一种就是代数法，比如说我找 c c e 上面一个点，然后我只需要证明 n q 等于那么大的 n m， 加上没有被的 n p， 就 说明这三条线共面， 然后三个未知数，三个方程， x y z 三个方程，所以说就能最终的求出这个 q 点所在的位置。第二个方法就是用几何法， 几何法，但是这里你需要注意的是这个三角形的三条边，没有一条边在这正方体的表面，所以你需要构造面面相交的问题，然后再去解决。 比如说我以 n p 为例，我只需要连接 ap 和 na， 它不是构成了一个直角三角形吗？我接着延长， 然后往下做垂线，这个 n p 是 不是就对应的在 c d， c， e， d e 就 构成了这个点 啊？ p 撇，所以说连接 p 撇就很快的找到它的焦点，这是几何法，那我着重来讲今天的第三种方法， 就是我们要看菜下饭，你看这一题，你 p m n 是 一个正三角形，正三角形我首先想到的就是做什么，首先想到的就是要做它的中线， 为什么？因为它的中线又是它的垂线，然后我只需要向下做投影，那么 m n 的 中点我设为 r， 我设为 r， 这里我设为 t， 那 么因为 r 是 m n 的 中线 终点，那么所摄影下来的 t 是 不是一定也是这个是这条线的终点？那么我只需把 p t 延长上去， pt 就是 正常的，就是四分之三。为什么？因为这里是二分之一，这条线是二分之一，这里是它的中线四分之一，这里是四分之三。 然后干嘛呢？我很快我就会发现，这个 r p 最后的延长线一定是在 d e a e 的 终点，我只需要构造它，我把它变成一个直角三角形，我去验证这里是四分之三， 这里是一，我只需要把它求出来就好了。是不是？如果我求出来它是四分之三，四分之三比它它是一，那么这个 pr 与 这个面的焦点正好在第一个 e 这个点上啊，接下来只需要算它啊，算二 t 就 好了呀。那么二 t 又在这个三角形里面，我只需要算二 p， 因为这 p t 我是 知道是四分之三的二， p 是 二分之根三的 np， r p 是 二分之根三的 n， p 是 多少？ n p 是 不是 b m 的 平方加 ab 的 平方加 n， a 的 平方开根号四分之一加四分之一，加一是二分之三，所以 npn 是 等于二分之三 开根号。那么 pr 呢？不就是二分之根三乘以根二分之根三吗？ 就是四分之三倍的根二，然后 pt 是 四分之三，四分之三，那么 pt 二不也是四分之三吗？所以说它是一个等腰直角三角形， 你看，这里是四分之三，我比上这一整条是一，这是四分之三，比上这一整条是一。也就最后验证了 tpr 的 延长线正好在 d a、 e 的 终点，于是我们就找到了其中的一个点 延长过来，这就是终点，于是剩下的就是把它连起来就 ok 了，通过平行，通过平行，于是它是一个六边形，所以 a 答案是不对的。那么看 b， 既然它是个六边形，你会发现它实际上是一个正六边形，而且正六边形的边长是二分之一乘以根三是二分之根三的一个 正六边形，因为这里啊，二分之根二，这里是二分之一，这里是二分之一，这里是二分之根二。那 b 选项我们来看呢？ p m n 与 abcd 所成的锐二面角， 那么 abcd 的 法向量是不是就是零零一啊？那么接下来我只需要求这个 p m n 的 法向量就行了。那你很像在我们在这里做烂了的，你看面对角线所形成的这个三角形，不正好就是和它平行吗？你看这条线与它平行，这条线与它平行，这条线与它平行， 那么他的法线一定是他的体对角线，所以接下来他的余弦值实际上就是这两个法线的余弦值 啊。我们只需要把这个 b 选项，只需要把这个三角形挖出来就行了，这里是根二，这里是一，这里是根三，那么这个余弦值不就是三分之根三吗？所以说 b 答案是对的， 这个 c d 答案我不想过多的去说， 因为 q b 一 和 d b 一 的夹角为三十度，因为 b 选项我已经搞清楚了， d b 一 实际上是 p m n 的 法向量法线，所以它就相当于给你一个面，然后给你一个法线，你要说它的这个这个法线与它的夹角是三十度，那不就是一个圆锥吗？ 那么接下来我就需要找到这个 d b、 e 与这个面的交点，那很显然，你看一下嘛，这个 d b、 e 垂直，我做虚高，我假设这一点，假设这点是 o， 是， 这是 o 的 话，你看 m b e 和我这里算，算什么？取个什么名字？这，这太多了。 t 吧。 t， 你 看，你会发现 m b e 和 b e t 是 一样的， 所以它们的高一样，你看它们，所以说它们这两条线一样，所以其他的道理，它是在这个六正六边形的正中心， 正中心，而且这个正中心平分了 d b 一， 你用刚刚的去验证一下，也是一样。 于是你就求到的 o b 一 的长，实际上是二分之一， d b 一， d b 一， 不是根二加一根三吗？不是根三吗？所以回到刚刚那个图， 一个法线，他的长度是根三，二分之根三，根三的一半，然后他的夹角是三十度，你让他求在这个面上的轨迹，这里不是不是一吗？ 啊？二分之一吗？因为这是根三吗？是他的根三吗？二分之一，那是排二乘以二分之一，不是排吗？ 好，这个 d 选项实际上是最简单的，这里我就不讲了。

同学们大家晚上好，今天晚上给大家更新一期立体几何的内容，那么今天的这两问呢？第一问是意面直线所成角啊，第二个是一个线面垂直。好，首先来看第一问， 那么异面直线所成角，我们去找角的时候，是要对这两条异面直线进行一个，哎，找平行线，哎，找到他们相交形成的一个夹角，是不是再去求值啊？好，那现在咱们来看一下啊，要求的是这个 e、 f 与 bc 一， 那很显然，他们两个现在是一个异面的状态啊，没有形成交点，所以我们要进行一个平移， 那么需要平移的啊，是我们的 b、 c 一 啊，这里可以做一条对角线连接对角线 a、 d 一 好，连接 a、 d 一 之后，这个 a、 d 一 和 aed 是 不是刚好相交于点 e 啊？ 所以这个时候我的 a、 d、 e 就 和 e、 f 相交，产生了一个夹角，也就是我们的这个 d、 e、 f 啊，那在这里呢，你要对它进行一个说明。第一问，连接 a、 d e， a， d e 与 a e、 d 相交与点 e， 那 么这个时候呢，因为 d e、 c e 啊，它是平行于我们的 ab 的， 并且 d、 e、 c、 e 还相等于 ab， 所以 我们的 ab， c、 d、 e 为平行四边形， 那么它的另外一组对边就是一个平行的关系啊，所以 b、 c、 e 啊，它就平行于我们的 ad。 一 则 题目中，让你求的 e、 f 与 b、 c、 e 所成角就转变成了，哎，我们的这个角 d、 e、 f。 好， 现在重点是我要来求一下这个假角，那么求这个角的话，呃，用眼睛来看，它好像很像一个等边三角形，对不对？但是我们要进行一个严格的证明，那我们要去求一下它们之间的边长关系。首先这个 e、 d、 e， 它肯定是等于二分之一倍的 a、 d、 e 的 啊，那么因为这个是正方体，它的棱长我们是不是可以射一下？嗯，射棱长 为一啊，如果能长为一的话，那我的这个 a、 d 一 是不是就等于根号下一加一，也就是根二啊，也就是二分之一乘以根二，等于二分之根二啊，这是一 d 一 已经有了。好，那同理，我的这个 d、 e、 f， 它是不是也是对角线的一半啊？ 啊？ d e、 f 啊，也等于二分之一 d， e、 c 等于二分之根二，那这两个都有了，那 e、 f 啊，还差一个 e、 f， 你 看这个 e 点和 f 点，是不是现在都是中点啊？所以我再连接一下。我这个 a、 c， 那 是不是三角形的一条中线？嗯，又因为 e、 f 为中点， 所以 e、 f 啊，它就等于二分之一倍的 a、 c， 这个 a、 c 是 不是也是一条对角线，所以它也等于二分之根二啊？所以啊，我们这个三角形 d、 e、 f 为等边， 那么我们的所乘九九 d e、 f 是 不是就等于六十度？那这个题是不就证明完了？好，这是第一问，咱们接下来来看一下第二问啊。第二问是一个线面垂直好， e、 f 要证明它垂直于 b， b， d、 d， 它在这里。然后呢， e、 f 要好， e 点和 f 点啊，非常的特殊，它都是中点在三角形 a、 c d e f 是 不是相当于一条中微线啊？所以我们有 e、 f， 它是平行于 a、 c 的， 嗯，那么这个 a、 c 好 像更容易证明它垂直于这个平面是不是？那么对于线面垂直，我们有一个性质定律， 大家还记得吗？ 性质定律啊，是怎么说的呢？如果我已经知道一个线和一个面垂直，那么和它平行的线同样也会垂直于这个平面，所以我只要能够证明 a、 c 垂直于这个平面是不就足够了？嗯，好，那我们一起来证明一下啊，因为 a、 c 它是垂直于 b、 d 的 啊，这个很明显是不是一条了？嗯，那还需要找第二条。又因为 我是一个正常体，所以我的棱是不是都垂直于地面 b、 b 一 啊，就垂直于我的 a、 b、 c、 d。 根据线面垂直的定义，我垂直于这个面，就要垂直于这个面内的任意一条直线啊， a、 c 包含于平面 a、 b、 c、 d， 所以 我的 b、 b、 e 就 垂直于 a、 c。 好， 你看，现在我已经有 a、 c 垂直于 b、 d， a、 c 还垂直于 b、 b、 e。 哎，所以啊，又因为 b、 d 和 b、 b、 e 它们两个都包含于平面 b、 b、 e、 d、 e、 d。 并且 b、 d 啊，交上 b、 b、 e 是 不是有一个点 b 啊，它俩是相交的，所以我就证明了啊， a、 c 它是垂直于我这个蓝色的面 b、 b、 e、 d、 e、 d 的 啊，没有，根据我们刚才的这个 e、 f 平行于 a、 c 啊，根据 线面垂直性质定律， 我们就有 e、 f 啊，它也是垂直于 b、 b 一 d， e、 d 这个平面的啊，那这个题是不就已经证明完啦？

这张卷子太狠了，出题人算是把大学的东西整明白了，不信你看。第四题是极限。第十题简直就是个大杂烩啊，把什么微分几何、建筑艺术设计相关东西全给你揉在一块了。第十六题是区域，第十九题是数学分析。 我感觉出题人不去教大学的知识都有点屈才了啊，就说说第四题吧啊，显然这是一个正方形的面积，肯定是构成一个等比数列，所以我们只需要找出它的公比就可以了，对不对？ 那显然这个公比就是面积之比，它等于相似比的平方，所以我们只需要找出相似比就可以了。好，我们把局部放大。 哎，其实相似比你看，就是这个红色的线段与蓝色的线段的长度之比，对不对？蓝色线段给它分成两块，一个四分之一，一个四分之三， 绿色线段是四分之一，所以勾股定律就算出了红色的线段，根号下八分之五，因此相似比呢，就是根号下八分之五，所以面积之比就是八分之五，因此这个等比竖列的公比就是八分之五。 那么首项呢，当然就是这个最大的三角形的面积一了，所以因此 s n 就 等于一减公比，八分之五的 n 次方就等于三分之八。减去一块红色的东西。你们注意看啊， 当 n 趋近于无穷大的时候，显然红色的这一块是趋近于零的，所以 s n 应该是趋近于三分之八。所以这道题选 c。

第十七题第十七题是立体几何题目。第一小问说，求证， p o 垂直于平面， b、 c、 d、 e。 我 们知道，根据判定定律，直线垂直于平面是需要 垂直于平面中两条相交直线，我们看已知条件，呃，一是中点， 一是中点，然后呢，一些数据就是 a b 等于四，那么这个等于二，呃，这一部分也等于二，呃，这个 b、 c 等于二， c， d 等于二。另外呢， a、 b 这个垂直，这个垂直好。 另外呢，哎， m 是 o 是 中点， o 也是中点。还有呃， p b 等于二，这个也等于二， 那这样的话， p、 b、 e 是 一个等边三角形， 因为 o 是 中点，呃又是中线，所以这个是垂直的。 我们说 e p 是 由 a e 折叠过来的，所以呢，呃， b c， 呃垂直于 a， b 也垂直于 p e， 所以 b、 c 是 垂直于呃面 p b c 的， 所以 b、 c 是 垂直于 p o 的， 这样的话就是 p o 一 垂直于 b c， b e 又垂直于 b c， 所以 p o 就 垂直于平面。我把刚才说的内容把它一一列出 啊。第一问我们就讲完了，我们看第二问。第二问说，若直线 p e 与直线 b m 所形成的角是三分之派，求 p m 比 p d 的 值，我们传统的说法让这个等于 l m d。 然后呢？呃，我们把直线 与直线夹角是三分之派。这个时候我们首先要干什么呢？要建立坐标系。 建立坐标系，我们有第一问知道，呃， p o 垂直于平面， a， b 垂直于 b c， 我 们从 o 做 b c 的 平行线， 那么这样的话就是呃 o x o b o p， 它是两两垂直的，可以建立一个坐标系 啊。建了坐标系之后，我们把各点的坐标把它写出来， 然后呢，设 p m 比 p d 等于 number d， 那么 p c 等于什么呢？呃， p c 就 等于 c 的 坐标，减 p 的 坐标， 那么 b m 呢？呃， b m 等于 b p 加 pm， 而 pm 我 们刚才已经知道了， pm 等于篮子单位的 p d。 啊，这样两个都出来了，我们通过呃向量的乘积就是点乘比模乘就等于 cosine sine， 那 么这个是三分之派代入数据， 口舌三分之半等于二分之一，呃，这两个相乘就等于六 number 减四。呃，这里边呢？呃，这个的膜， p c 的 膜是三加四加一， 然后这个的膜呢？呃，算完了，就是这样的， 我们利用平方之后整理一下，等于五篮子的方减十，篮子的加二等于零， 这样的话，我们用求根公式或者用十字乘法法都能求出来得到。根等于篮子的加减五分之根十五， 因为我们这个栏目呢，它是零到一的，呃，它不可以大于一，所以要把正舍去。呃，最后呢，就是 pm 比 pd 等于一，减五分之根号十五，就是这里边要舍去这个加 设取一加五分之根号十五啊。那么这样的第二问我们也做完了，我们再看一下第三问 它，若 m 是 p d 的 中点，求二面角的正弦值，那么第三问呢？所以不常用。我们通常情况下使其求二面角的余弦值， 那么求正弦值怎么求呢？我们还是要先求余弦值，再利用呃 c e r 平方加口 c r 等于一，转化成正弦值就可以了。好，我们常规的做法就是把相关的就是二两个平面的法向量求出来， 设呃， c b m 的 法向量是 m， 然后呢？呃，利用 m 乘 b， m 等于零， m 乘 bc 等于零，代入数据，呃，这个 x 就 等于零了。呃，这两个呢？我们设一个好数，一般来说，我们设通常 x 等于，现在 x 等于零，我们可以设什么呢？呃，设，呃， x 等于根三，或者 z 等于根三都行。 我们现在设 y 等于根三，那么 z 就 等于三， m 等于零，根三等于三。 那么同样的道理，这个还是要再来一遍，就是平面 m b 一， 再来一遍。哎，这个我就不写了，把结果写到这里来。那么先求 cosine theta， 那 么 cosine theta 呢？就等于点乘，比上个摩乘，代入数据等于根号下呃，七分之三。这个我们 不需要化简，因为最终的结论化简就可以了。那么再 c 一 c 它 c c， 它呢？就等于根号下以减口塞塞它的平方等于七分之二根七，那么 c， 因为 c， 它是领导派的，所以 c， e 是 正的，开放之后取正， 那么这就是二面角的正弦值，这是最终的结果。

看着啊，首先说在正三棱柱，什么叫正三棱柱啊？ 都是那个别兜，别兜，对，每条棱都垂直。首先首先正三棱柱他得是直三棱柱，直三棱柱的基础之上就是每条侧棱都和底面垂直。第二点呢？就是什么呢？上下上下两个，这个都是等边。对啊， 所以说要注意啊，要注意，看着啊，那么现在他又说了这个什么呢？ ab 等于 a 一 吧， ab 和 a 一 又相等，那说明什么？说明每个侧面都是个正方，正方形， 正方形又是正方形，又是等边三角形，对吧？给你一个什么感觉？给你一个什么冲击力？垂直 有没有？垂直的冲击力？冲击感有没有？有啊，好，那这是第一点。第二一点， 咱们看一下，他说点屁是 bb 一 上一点，点屁是棱， bb 一 上一点，他没指定是哪个确定确定的点，对吧？一般情况下来说，如果出题人没有指定这个点是一条棱上或者一条线段的某一个位置，具体位置上的点可能有两种情况， 可能有两种情况，第一种情况，这个点在哪都一样，没影响，所以说他指定也没有一样。第一种情况就是点在哪都不影响。对，点在哪都不影响，点在哪都什么？不妨碍结果 不妨碍结果，所以他有何何必要去给你确定一个点的位置呢？对吧？这样的话也加大了这道题的一个本身的难度，对吧？第二点，点确实有一个固定的什么位置，需要你去 确定出来？嗯，需要你去确定出来，可能会涉及到点的位置的分类讨论，就是点的不同位置确实会影响结果。点的不同位置，对吧？嗯，会影响什么？ 确实会影响结果，对吧？影响结果，可能出题人是希望学生要进行什么考察，学生一个什么分类讨论啊，至少会有这么一层目的，对吧？ 那么咱们看看，在这道题当中点屁说在 b b 一 上是 b b 一 上什么一个点，对吧？嗯，那到底是不妨碍随便点，还是说真的有有些特殊的位置上的隐含的一些 条件，对吧？那咱们看他想干嘛？说他想求这个 p a c c e 的 体积，对吧？ p 什么？ a c c e 的 体积， 对吧？嗯啊，我们也连啊黑笔吧， 没一条线是实线啊，有 a a， 哎，还真没有一条线是实线，对吧？都是在里面有一条 a p， 对 吧？ a p 可以 是实线。 什么啊？怎么求？这个体积还用间隙吗？ 这个体积还用间隙吗？ 因为如如果你按照出题人给你的指引，那点 p 就是 什么顶点 底面呢？是 a c c 一， 那底面这个三角形面积很好求吧？嗯，对吧？很好求正方形面积的一半，嗯，对吧。那么我怎么做出点 p 到底面上的高点？ p 到底面上的高，我想是 p 垂直于 c c 一， p 垂直 c c 一， 那就是高了，对吧？为什么？为什么？ 怎么可能？你要是 p 垂直什么 c c 一， p 垂直 c c 一， 那不就是 b c 垂直 c c 一 吗？你过点 p 做 c c e 的 垂线，跟 b c 垂直 c c e， 它有区别吗？有吗？嗯啊，那 b c 和这个和这个 a c c a a e 这面垂吗？ 不垂吧，对吧？因为你 bc 和 ac 垂吗？你 bc 和 c c 一 垂，应该是正方形，但是 bc 和 ac 垂呢？就不垂，但是怎么着就能垂啊？ 也就是说你过点 p 做这底面 a、 c、 c 的 这个垂线就相当于是过什么点？过点 b 做底面 a、 c、 c a 的 垂线怎么做？说， 想想找那个小分线，这叫什么型？等边听说过三线合一吧，对吧？那你就可以试试过点 b 做什么？ a、 c 的 垂 对，三线合一做 a、 c 的 垂线。如果我做了 a、 c 的 垂线，那说明什么？那说明或者说我取 a、 c 的 什么中中点，我取 a、 c 中点，对吧？假设这中点我取名叫什么呢？叫点点 h， 好 吧，点 h， 那 我连接 b h， 那 b h 相当于和 a c 睡，那 b h 还和谁睡？还和谁睡。 每条侧棱都和底面垂吧？嗯，每条侧棱都和底面垂吧。 那这个 b a 是 在哪啊？底面中吧。那么所以 a a 或者 c c 一 和这个 b a 是 垂吗？垂，肯定垂，所以 b a 是 适不适合平面？ a、 c、 c 一 当中的两条相交实线垂，一条是 a c， 一 条是 c、 c 一， 这两条相交实线垂啊。嗯， 那也就是 b a 适合这个底面垂吗？垂，懂吗？垂还有问题吗？没问题， 所以点 p 在 哪都一样，都随便点。 p 在 b、 b、 e 上的什么？任何一个位置都可以， 因为这个高永远是什么？ b， b、 a 是 几啊？二 ab 是 二。 三十度所对的直角边等于斜边的一半，一比二比跟三都没难为你们，直接就给你们的是标准的数值。三十度所对的直角边等于斜边的一半，一比二比跟三 乘没乘 s 得几？跟三 s 得几？ s 等于二， 对了，对吧？嗯，因为什么呢？二乘几？二乘二乘二乘二对二乘二再除以二，对吧？嗯，所以体积三分之一 s h 几？三分之二比三 疼？没疼啊，再想想，好吧。嗯，还是刚才这个什么正三棱柱，对吧？嗯， 我现在刚才用的是什么呢？用的是线面垂直的判定定力。刚才用的是线面垂直的判定定力。证明一条直线和平面那条直线垂直，那么证明出了这条直线和平面垂直。那现在有没有其他角度？ 其他的角度？还是通过点 b 找到平面 a c c a 的 那条垂线 有没有其他的角度啊？过点 b 做出平面 a， c， c a 的 垂线，还有没有其他的角度？我跟你说这角度是很笨的角度，这角度是个很笨的角度。 有没有更直接的角度？ 我可以告诉你。出题人绝对不会是这样想。我敢打保票。出题人绝对不会是这样想。嗯，因为他有一个最直接的角度，也是个性子， 也是个性子，但是比那要直接的多。嗯，那个你还需要证明什么？ 两组直线垂直，这是要证明那个 b a， 那 个 b h 和那平面里头那两个相交直线 a c 和 c c 一 垂直，对吧？另外一角度直接一句话就出，就一，就一个性质，直接就出 是什么呢？ 也就是出题人干嘛说这是个正什么正三棱柱？柱？ 正三棱柱就包含了两层含义，第一层什么垂直于侧棱和什么垂直于底面，垂直于底面。第二层含义是 底面是等等边三角形，底面三角形是等边三角形。这两句话怎么用？这两句话怎么用？ 来告诉我什么叫侧棱垂直于底面？ 什么叫侧棱垂直于地面垂直于地面。这句话是什么？什么叫侧棱垂直于地面？ 侧棱是条什么棱？棱是什么线？对了，是线， 线垂直于什么？底面有侧棱就有，就有什么侧面吧。侧面经过什么侧棱？侧面经过侧棱，棱有垂直于底面，说明侧面经过什么 侧面经过侧棱，侧棱又垂直于什么底面？那说明侧面怎样垂直于？哎，对了，经过底面的一条垂线，那么侧面一定什么垂直？底面 面面垂直的判定，懂吗？啊？侧棱一定是垂直于什么底面？一定是垂直于底面，这个侧棱 l 一定是垂直于底面二的侧棱，就带出什么侧侧面，侧面背他，对吧？ 线垂直于面，线又在什么面内？这是什么面面垂直的判定，这是面面垂直的判定，对吗？所以现在咱们就知道谁和谁垂 这个面 a， c、 c e， a， e 和谁垂？和底面垂，和底面垂平面 a、 c、 c、 e， a， e， 哇， 和底面垂，对吗？面面垂直，那面面垂直，我们现在要干嘛？ 现在有了面面垂直了，上面我干嘛？我是不是想通过点 b 做这个面的垂线？嗯？过点 b 做什么？ a、 c、 c， a， 这个平面垂线怎么做？ 两个面都垂直了，这个点 b， 我 想过过点 b， 点 b 在 哪啊？没在 a b、 c 上，在 a， 在？ 对啊，在平面里找他们那个就是面试那个交交。 如果两个平面垂直，如果其中一个平面内的一条直线和交线垂直，那么这条直线一定垂直于另一个平面。面面垂直的线， 如果两个平面垂直，如果其中一个平面内，那就是在平面 abc 当中。我过点 b 做什么？两个平面的交线 a、 c 的 什么线？垂 垂线，那么这条垂线 b 什么？ b？ h？ 好 吧， b 垂直于 a c c e， 又因为底面这个是 a b c， 这又是等边三角形，所以三线合一，所以在面面垂直的基础之上啊。那么 b h 在 平面 a b c 内，对吧？嗯，然后 b h 垂直于什么？ a c 交线，所以 b h 垂直平面 a c c e a 成了这么出来的线面垂直，这么出来的线面垂直。 所以我揣测出题人应该是这个点，因为完全符合他给的什么条件，条件紧贴条件，一，一点没走弯路，一点没废话。

我们来说下第八题。第八题是道立体几何的题目。这道题最关键的是想办法把图像画出来。 怎么画呢？根据这里所描述的特征，我们应该先画出一个球。为了方便研究，我把 a、 d 这条直径画在次道面上。 a、 b、 c 是 一个等边三角形，这个面它没有说跟次段面所形成的夹角多少度，所以我给它画成一个斜的。这样的话， a 点和 b 点这三个点就应该在这个圆上， 那个圆上 y 是 一个小细节， b 点和 c 点你不能点在这个位置，因为它们是等边三角形，不是直角三角形。向量 a、 d 与向量 a、 b 加向量 a、 c 的 数量级等于十八。 有括号先算括号，所以我们先要研究向量 a、 b 加上向量 a、 c， 它应该等于多少。为了方便我们把三角形 a、 b、 c 单独画出来。如图所示。这个三角形我们画出来以后，要对红色的这个圆， 实际上也就是等边三角形的外接圆。这个 o 一 就是这个红色圆的圆心，也就是等边三角形的外心。 由于等边三角形四心合一，会把这条高分成一比二。一点是 b、 c 的 重点， 注意细节， e、 o、 e、 a 三点是共线的。为了方便研究，我们假设等边三角形外接圆的半径为 r， 我 们可以知道向量 ab 加向量 a、 c 就 应该等于二向量 a、 e。 所以 向量 a、 d 与向量 a、 b 加向量 a、 c 的 数量级等于十八。我们可以转换成向量 a、 d 与二向量 a、 e 的 数量级等于十八。 那也就得到向量 a、 d 与向量 a、 e 的 数量级等于九。它们摩的乘积再乘以夹角的余弦，而这个夹角我们注意观察了，刚才提到 e 点 o， e， a 三点共线， 所以向量 a e 与向量 a d 所乘的夹角也就应该是 o e， a o 这个角度就是我们要找的角，假设为 sine， 就 应该是乘上 cosine sine 要等于九， 而向量 a， d 是 直径，长度为四。向量 a， e 和等边三角形的特征可以知道，这条向量 a， e 的 模， 它应该等于二分之三小 r， 所以 带进来二分之三小 r。 而这个 cosine c 塔，我们可以利用这个直角三角形来算出， 因为这个是球心到结面的距离，这个是球的半径，等于二，而 a o， e 就是 这个圆的半径，也就是等边三角形外接圆的半径。 在这个直角三角形当中，余弦应该等于零，边比斜边，所以等于 r， 比上二好，它们乘起来等于九，所以小 r 等于根号三。通过 正弦定律， a， b 比上三角 b， a， c， 它应该等于二， r 可以 得到 a， b 的 长度 应该等于三。三角形 a， b， c 的 面积我们就可以算出来了，等于二分之一 a， b， c 也就等于二分之一。乘三乘三，再乘六十度正弦二分之根号三，也就等于四分之九根号三。 我们要算这个四面体，也就是三棱锥的体积，里面面积已经计算好了，我们接下来要算第一点到这个面的距离，过第一点做这个面的垂线垂足，假设为 h， 你注意这个三角形的特征就可以发现。哎，这个高度 h 和这个 d 不 就是两倍的关系吗？因为这是直径， o 是 终点， o， e 也是这个直径的终点，所以它是一条中位线，高度就等于二。 d 小 r 我 们刚才算出来等于根号三，这条边又是二，所以根据勾股定律，这个 d 很 快可以算出来等于一，它等于一，那么高度就等于二。这个四面体的体积 我们就可以写成三分之一， s、 h 也就等于三分之一，乘上三角形 a、 b、 c 的 面积四分之九倍根号三，再乘上这个低点到平面 a、 b、 c 的 距离也就等于二， 所以等于二分之三倍，根号三。答案选第四个。

这套试卷我只能考一百四，很多同学都喜欢来问我同一个问题，老师，如果你去考二零一九年的高考数学的江苏卷，你能考多少分？能不能考一百五呢？不好意思，我只能考一百四，我们来看一下啊。集合基础题，复数基础题，程序框图基础题，函数的定义基础题，方差基础题，然后概率基础题，然后双曲线基础题，这一题是向量基础题。 好，第九题，这个题是我们的立体几何基础题，这个题是我们的这个，这个题呢是求我们的这个距离啊。基础题，函数，然后十一题，这个题是我们的这个，这个题我们用这个导函数来搞定啊。基础题，然后这个题是向量中档题，这个题是三角函数基础题，十四题，这个题是分段函数中档题， 十五题，这个题是减三角形技术题，十六题，这个题是立体几何技术题，十七题，这个题是我们的椭圆中档题啊，十八题，这个题是我们的实际应用题。中档题，十九题，这个题，他这个题，他实际上是一个三次函数，对吧？三次函数，这是一个难题。二十题，这个题的话考的是熟练，这是一个难题啊，难题。