三角尺动点问题解题技巧

这道题太难了，就这种动脚问题，难倒了咱们百分之九十的同学。其实我们动脚问题解析是有技巧的，我们原模原样利用之前我教大家数轴上动点问题解析的三要素四部曲，就可以轻松求解这类动脚问题。 那有关于动角问题，这里常考的五大题型，我都给大家做了一个系统的总结，历年的真题都在这了，那么我们动角问题这里五个题型，每类题型都是有方法的，你把通用的技巧搞定了，那这种题目真的咱们是个个能拿满分的，并不难啊。 下面呢，老师就带着大家通过这道题，一起把我说的三要素四步法再来一起复习一下。这里告诉你，角 a o b 这个角呢，是一百二十度哦，它一百二十度。 现在说了，射线 o c 从 o a 开始绕点 o 逆时针旋转， o c 是 这么转过来的，速度为每分钟二十度，那 t 时间它就转动这么大的角度呗。 o d 呢，从 o b 开始绕点 o 逆时针旋转，它就这么转呗，速度为每分钟五度，那 t 时间不就转动这么大的角度吗？ 他说了两条射线同时旋转，旋转的时间在这个范围内， t 为和值时，两条射线重合。 那什么叫做两条射线重合呀？它像不像我们之前那个竖轴的动点问题？这是一个竖轴，这是点 p， 往这动二十 t， 这是点 q， 往这动五 t， 像不像竖轴上的一个锥级问题啊？ 他在角，这他不也是一个追集问题吗？把角拍平了就行呗。所以啊，我教大家用竖轴的思想来解决动角问题，特别容易看，在这我建立一个旋转竖轴，那么同样我把竖轴的圆点标出来，这就是正方向， 那对应 oc， 咱们就可以看作一个从圆点出发，向竖轴正方向运动的点了，我们把射线拍平了再去看，所以射线 oc 运动 t 时间之后的位置，我们就可以用零加二十 t 来表示。 同样啊，我们由于 o b 是 一百二十度，这是那个一百二十度的位置，那我们 o d 对 应这条射线，就是从一百二十度这个位置出发，向正方向运动，用加法运动了五 t 个单位长度， 射线运动 t 时间之后到达的位置咱们都表示出来了，接下来我们要研究两条射线重合，那怎么办呢？让它俩直接相等就可以了，所以我们就有二十 t 就 等于一百二十，再加上五 t， 那 在这啊，我们计算一下，就可以求出 t 等于八。第一个问咱们就很容易的解出来了，继续来看第二个，问问你 t 为何时 c、 o d 等于九十度来？ c、 o d 是 什么？ 是不是由动点 c 和动点 d 组成的这个夹角啊？它其实在竖轴上，不就是让你求这两条动点之间的距离 是九十吗？对不对？所以角的动态问题，我们就把它拍平了，看成点的问题，求角等于多少度，就是在求这两点间的距离呀， 所以对应我们已经把射线运动 t 时间之后的位置表示出来了，那对应这个角 c、 o d 就 可以用它俩求距离。怎么求？距离？已知大减小，未知察觉。对， 看看 o c 和 o d 谁在前谁在后啊？来，这是正方向对不对？刚开始的时候 c 在 后， d 在 前， 但是运动一会，由于 c 的 速度快，他是不是就把 d 给追上了，所以他俩的大小关系是不确定的。那我们要求他们俩之间的距离是不得加绝对值啊，是不是用一百二十加上五 t 再减去二十 t 的 绝对值表示啊？ 那不就是我们一百二十再减十五 t 的 绝对值吗？这就是角 c o、 d 的 度数，我们直接令它等于九十，就可以求出 t 的 值。了 解这个绝对值方程会吧，我们直接分类讨论，第一种，一百二十减十五 t 等于九十。 第二种，一百二十减十五 t 等于负的九十，代入求解，再利用对应的时间进行检验就可以了。那接下来的时工作啊教给大家了，请你来算一算时间 t 到底等于多少吧。

有的粉丝这样投稿，说明老师，我家孩子数轴动点已经会了，但动脚他不会。其实啊，这就是孩子的迁移能力不强，但是咱也别难为孩子啊，毕竟很多老师都不会来。今天跟着鸣笛一个视频，学会数学方法的迁移， 这个期末，无论考数轴动点还是动脚问题，你都能满分，拿下来，咱们一起看题啊！说，这有一个点 o 就 在这条直线 m n 上， 然后这个边 o a 呢，它从 o m 开始，顺时针转，转到 o n 停止，它也给了咱们的速度，速度是两度每秒啊，那这个问题，它都会设出运动的时间，即使题干不给，咱也得自己设。所以，读到这儿，立刻在图上标啊，这个角 m o a 怎么表示？就是两度乘以 t， 咱就度就先不标这了。线的剪辑，然后射线 o c， 它从 o n 开始啊，它转的速度是四度每秒，也就是角 n o c， 这个度数的大小是四乘以 t。 所有的动态问题，你一定要知道 t 的 范围在哪里，这是得满分的一个前提。咱们来看这句话，两者哪个先到中线，则同时就停止运动了。来，同志们，算一下，哪个先到？ 他的速度小，他的速度大，是不是肯定他先到？那整个这个平角是一百八十度，咱除上他的速度啊，四度每秒，那得多少？ 四十五秒。也就是说，这题你求出来的 t 如果大于四十五，那你就要舍去了。来，咱继续看。说，这里还有另外一个角色啊， o p o p 呢，它始终平分角 a o c， 哎，不管你 o a o c， 你 运动到哪，哎，我 o p 始终平分你俩啊！在这个图上来看，就是这个大角 等于这个大角。好，现在的要求就是，当射线 o a、 o b、 o p 这三条射线啊，一条射线是另外两条射线所乘夹角的角平分线的时候，问你提了几？ 这句话咱们再绕一下，一共三条射线， o a、 o b、 o p， 我 随便滴入一条射线，比如说这 o b 啊，当它成为了另外两条射线夹角的角平面线的时候，问，你提得几？大家看到这儿，立刻脑袋蹦出四个字，叫什么，哎，如果你脑子里蹦出四个字叫分类讨论， 那你初一上的数学学得非常过关了啊！但这也就是这种压轴题的难点，说， 这图形也太复杂了吧，这，这我怎么动说它是这个角平分线呢？我倒是知道要分类讨论，哎，分类讨论不就三种情况吗？要么你 o a 是 角平分线，要么你 o b 是 角平分线，要么你 o p 是 角平分线。但是我在想这三种情况的时候，我的脑子要爆炸了， 哎，来，跟着米老师我们来学数学中的迁移能力。咱先回顾一下数轴的动点问题。 数轴的动点说，这里如果是 a， 它对应的数字是负三。这里如果是 b， 它对应的数字比如说是七，那我们知道它们的中点对应的数字就是多少。负三加七再除以二，求中点负三加七除以二。 我们再复习一下数轴上动点的表示，比如说这里它是数字三。我一个点 p 从三向右运动，速度是两个单位长度每秒， 那我们就知道 t 秒后它走的距离就是二 t， 于是 t 秒后它对应的数字就是三，加上二 t。 只要刚刚说的你会了，这道题你一定能满分拿下来。咱们看这 说这角度问题，也没有数轴上的那些数字啊，咱可以设呀，我就当 o n， 这里是零度，这里是起点。这明老师之前的视频有讲过，那 o c， 这里就是多少度，就是四 t 度啊，咱同样不带单位啊，括号度，咱就只写数值，那这里就是四 t 啊。如果说这题需要写过程，那你就直接写，你说老师，你这不可能说这个 o c 它是多少度，写过程的话，你就直接写角 n， o c 等于四 t 度就完事了啊，这是写过程的时候，那我们再看，那你这个 a， 这里它是多少度呢？ 啊？我发现，哎呀，那你这 a 就 相当于是从 o a 转了多少度过来的呀？这里是二 t， 整个是一百八，所以这里就是一百八十减二 t， 那 接下来我们还要表示什么？哎，这是根据题干咱直接能表出来的。那咱的目标是啥？咱的目标是不是他们仨？ o a、 o b、 o p？ 来，你现在看一下， o a 对 应的度数，是不是咱已经表示出来了？一百八十减二 t， 那 接下来是不就是 o b 和 o p？ o b 是 不是也特别简单？ 这个度数是三十度，它就是比这个啊， o a 所在的线，哎，又少了三十度，相当于是从零转到这儿，哎，少转三十度，那一百八十减二 t， 我 再减三十，也就是一百五十减二 t， 这是它对应的度数。那这个 o p 呢？ 最复杂的就是这个 o p 了，题干中对 p 的 要求是什么？它是 a c 的 角平分线，换句话说，是不就竖轴上的中点呢？那 c 这个对应的数你知道吗？哎，四 t， 那 这个 a 这个对应的数你知道吗？一百八减二 t 中点怎么求？相加除以二， 四 t 加上一百八十减二 t， 于是 o p 对 应的角度就相当于是九十 加 t。 好， 接下来我们可以正式分类讨论了。这个分类讨论的过程如此的无脑，以至于每个人都能拿满分来看，那不就是你们仨换着当角平分线吗？对吧？当 o a 是 角平分线的时候， 类比竖轴的什么中点，哎，中点就是它俩相加，除以二就是它，也就是二倍的一百八十减二 t 等于一百五十减二 t 加上九十加 t， 解个一元一次方程 t 等于四十。接下来 o b 是 角平分线的时候，那就是 b 是 中点呗。 b 是 中点，它就等于它俩的和除以二。那我们把二直接乘过去啊，就是二倍的一百五十减二 t 等于它的和一百八十减二 t 加上九十 加 t， 那 这里 t 等于二十五。第三种情况， o p 是 角平分线的时候， 相当于它是终点，那就是它俩相加除以二，得到终点。于是，哎，把二乘过来，二乘上九十加 t 等于一百八十减二 t 加上一百五十减二 t， 这个 t 算出得十。 那分类考完之后，是不是所有的结果都要呢？要想得满分，答案就在最开始咱们说的这个地方， t 的 范围得是小于等于四十五啊，那这三个数 都满足条件，于是我们最终满分拿下这道题。四十或二十五或十，你学会了吗？

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以每秒三个单位的速度向左运动，那么我的 a 撇坐标我就可以表示出来了，我的 a 撇坐标就是负二减三 t， 记住这个小技巧啊，就是往左，所以是减，对不对？然后速度速度是三，那所以它路程就是三 t， 所以 是负二减三 t 就是 往左走，就是减。 好，我们来看第二句话，若点 b 以每秒五个单位的速度向右运动往右走，所以是加，而 b 本身就在五了，那么你再加五 t， 所以 说 b 撇就是五加五 t， 这是第二句话，就说你要能理解，你要理解，说这一点的话，你才一会能听懂我们的课程，明白吧？ 好，这是第二句话啊，各位臭宝。第三句话就是我们在我们的动点题里面，经常遇到这种求距离啊，或者是求线段的长度，那么你就记住啊，在我们七年级的阶段过程中，我们如果遇到这种求距离或者求线的长度，我们就用右边这个点减去左边这个点，右减左减完就是答案， 他的好处在于，你用右边这个点一定是一个大数，左边这个点一定是小数上，对吧？越往右越大嘛，越往左越小，那么我们用大数减小数，减完之后一定是一个正的，一定是正数，正数的话就不用再去绝对值了，本来就是正数，明白吧？如果说你用左边减右边的话，你是不是还有加绝对值？有同学一去绝对值又又容易错了，明白我意思吧， 所以说我们要记住这这个第三个啊，求距离或者求左边的点，点完之后我们就不用再去绝对值了。 比如说我们看刚刚那个例题， b 撇坐标对呢，是五加五 t， a 撇坐标对呢，是负二减三 t， 如果我现在让你求 a 撇 b 撇的距离，那么你就用右减左 用 b 撇减 a 撇，所以是五加五 t 减去这个负二减三 t， 我 们整理一下去括号，五加五 t， 加二加三 t， 整理一下七加八 t 就 出来了，它的好处在于不用再去，绝对值了，明白吧？各位臭宝。 所以兄弟，其实我再给你讲完这个之后，你要明白你，你再去写动点题，因为有同学他总是会动点题，听不懂啊，或者迷瞪，那么其实你只要理解这三句话，那么你的动点题你一定能听懂课了，明白吧？我，我不能说保证你，你听懂这三句话之后，你就一定会写题，但是你起码能听懂了，听懂课之后我们再练吗？对不对？一点点说能生巧就好了， 好，这是数轴上的动点，那我们来看动角问题，也一个知识要需要补充一下，大家来看黑板。如果说我现在告诉你这个 这个 o a， 这个边在这个逆时针运动， o a， 这个边逆时针运动，它的运动速度是，就是五度每秒，五度每秒。好，那么这个 a o b， 我 们就可以用五度乘以 t 五度 t 来表示这个 a o b 了， 明白吧？就如果说这个 a 点是从 b 点出发啊，从 b 点出发，然后这个逆时针运动，五度每秒，那么就是五度 t， 那 如果是十度秒，就是十度 t， 这个这是第一个，我们来看第二种情况，如果说我告诉你这个 aob 本身等于三十度，然后我现在说这个 a 点他怎么运动呢？他是从这个现在这个 oa， 他 现在从这个三十度这个位置，然后开始逆时针运动，他现在比如说是五二零度每秒， 五二零度没秒，那么假如说运动完之后，这个是 a 撇，好吧， a 撇，那么这个 a 撇 o b， 我 们就是这个地方，就是五二零 t， 就 这个 a 撇 o a， 它的角度就是五二零 t， 那 么所以说我们整个这个角 a 撇 o b 这个角度，它就等于五二零度 t 再加上三十度， 明白吧？就是你要把它原本这个三十度加起来，第一种情况是从 b 点出发的，所以说这个 a o b 就是 五度题。第二种情况是从这个这个 a 点，是从这个这个 o a 是 从这个 o a 的 位置开始出发的，那么这个就需要加上前面这个三十度啊，这是我先给你表达的啥意思？ 好，这是补充知识。另外还有一个就是追击相遇问题，兄弟们，追击相遇问题的话，它有一个技巧公式啊，追击 还有一个是相遇， 那么他的公式是什么呢？我们来看啊，比如说我现在给你画一个小车，好，然后这后面有个甲车， 前面有个乙车， 然后现在两车之间相距啊，两车之间相距， 两车之间相距。五二零铅笔，好吧，举个例子啊，五二零铅笔，那么何时甲能追上乙呢？他如果问的是何时 甲追上 e， 好， 那么我们就用这个，因为甲车去追嘛，肯定是快，对吧？我们就用 s 快 减去 s 慢就是快车的路程，减去慢车的路程等于这个距离， 等于他们之间差距的这个距离。五二零，明白吧？就是合适能追上，那就是快车的路程减去慢车的路程等于这个五二零。因为既然快车这个假车能追上，也说明他是不是比这个这个快车比这个慢车要多走这个距离，多走一个五二零千米， 这是追击问题。那么相遇问题呢？那我们的公式就出来了，大家看明白，好，这边有一个假车， 然后这边有一个已车，如果他俩现在相遇啊，他俩现在相向而行， 然后我说这个距离现在是一三一四千米，好，那么何时能追上呢？那么何时相遇，相遇的意思是不是假车的路程加上已车的路程，等于他们之间的这个距离，看到了吧？相遇。所以说我们相遇问题的话呢，就是 s 快， 加上这个 s 慢 等于这个一三一四等于这个距离一三一四。所以我们的公式就提炼出来了，以后追击相遇，你就不用再啰里吧嗦再来回想了，你就记住大哥给你补充的这个公式 已不变，亿万变，那么你再去写这种动点题啊，什么追击相遇就 so easy 啊，你就记住，追击就是快，减慢等于距离，相遇就是快加慢等于距离，这样的话是不是超级简单，也超级好记， 明白了吧？这是我们先给大家补充一个知识，补充知识之后，兄弟们，我们现在来看动点压轴看题， 他说的是，若这个竖轴上点两个点 m n 所表示的数分别是小 m、 小 n， 这个 a 点是它的中点， a 点是中点，则有 m n 两点之间的距离，这个 m n 等于这个小 m 减小 n 加绝对值， 他为啥加绝对？因为他没有说 m 和 n 谁在右边，对吧？右边谁没有？没有咱不知道谁是大谁是小，所以说加绝对值啊。然后他的终点的话，这就是相加除以二就是两个点相加，除以二就是终点，终点坐标，这个你要注意一下，我们以后到八年级啊，九年级报到高中我们都要用啊，平凡用到这个终点坐标公式就是两个点相加除以二就是终点了啊。 好，第一问，那送咱几分？呃，说的是零加零等于零问题，对吧？零加零啊，那么我们零加零等于零， 这，这总总得知道吧，兄弟们，这你得知道啊，这零加零等于零问题，这是七年级必考的一个知识啊。我们得到这个 m 加四等于零，所以说 m 等于负四， n 减五等于零，得到 n 等于五，然后第一问的话， m 等于负四， n 等于五啊。这个第一问，他是非常简单的两分，我们来看第二问， 他说在一的条件下，我们先把 m 给它点一下啊，一个是负四，一个是五，一个是负四，一个是五啊， m 点在这里， 然后 n 点在这里，然后他说的是若点 p 从 n 出发，以每秒一个单位的速度向左运动好，而且你看整个题里面是不是并没有 p 点， 如果我们遇到一个题，他这个数字上并没有把你这个 p 点给点出来的话，你需要主动点啊。记住我这句话，他没给你点出来，你需要主动点出来，你点出来之后你才能往下写写啊。我比如说我们随便点个点，这个叫 p 点好，他往左走，往左就是减，对不对？那而且他的速度是一个单位秒，所以是减一 t， 所以说我们的 p 点坐标我们就出来了啊，是五减 t， 我 们的 p 点坐标就是五减 t 往左就是减，同时 q 点从 m 出发，以每秒两个单位的速度向右运动，往往又是加加二 t， 所以 说我们的 q 点我随便点个点，假如这个是 q 好，那这个 q 点坐标的话，他就是负四加二， t， 好， 此时这两个动点， p 点和 q 点，我们的坐标都能给它表出来，明白吧？就是你再去做这种题的时候，你要像我一样啊，你要模仿着我，像我一样，好，我们来看，第一问 他，第二问他说是 t 为和值时， p q 中点 a 所对应的数字是三中点，那么我们的 p 点坐标也有，那么它的中点是不是相加除以二，对不对？所以我们这个点 a， 我们这个时候点 a 的 话，它就是 p 加 q， 再除以二，对不对？所以说我们的点 a， 我 们就可以给它算一下啊， p 点是五减 t， q 点是负四加二， t 好， 负四加二 t， 然后这个正号我就给它省略掉了啊，省略掉了，然后给它再除以二，算一下， 整理一下，就是二分之五减四等于一，负 t 加二， t 等于 t， 好， 这个 a 点的话，就是二分之一加 t， 让他说是三吗？对不对？他说是三，那这样的话，就是我们得到这个二分之二分之一加 t 等于三，我们把这个数字解一下就行了，把这个解一下，解一下就行了，那就一加 t 等于六， t 等于五，好，那么我们的第一问 so easy 就 出来了，对不对？ 好，我们接下来再往下看啊，看第二问啊，兄弟们！看第二问，第二问，他说的是当 t 为和值时，这个 p q 两点之间相距四，这个 p 点和 q 点相距四， 对吧？有同学已经发现了，其实有两种情况，第一种情况是，呃， p 点和 q 点就是比如说 q 点在这，然后 p 点在这，然后这个时候他们两个相距四，就是他们两个还没有遇到，对吧？他们两个不是相向而行吗？第一种情况就是还没有遇到， 还没有遇到，相差了四。第二种情况的话，就是他们两个是不是错，错开了，对吧？ k 点跑到这里来了，然后 p， p 点跑到这里来了，这个时候他们两个是不是也也是这个相距了四，他们两个错开了，明白吧？好，那么想明白之后，那么我们接下来就两种情况吧，对吧？两种情况。第一种情况， 第一种情况就是他们两个，呃，还未相遇， p q 还未相遇，未相遇， 那么 p q 未相距的话，这个时候你要注意一下，你看他们本来 p 点是从 m 出发的，这个是负四，呃，这个 q 点是从 m 出发的，对应的数字 五，那这个时候的话，他们本来是相距了九个单位，对不对？本来相距九个单位，然后他们两个是不是还相？最后他问的是相距四，也就是说这个 q 点的路程和 p 点的路程加起来是不是刚好是五个单位， 对不对？ p 点路程加上 q 的 单位， q 点路程加起来刚好是五个单位，总共是九个单位，然后还相距了四个单位没走，那是不是走过了，是不就是五个单位了？所以说我们这个时候我们是 p 点， p 点的速度是 t， 呃，然后 p 点的路程是 t， 然后 q 点的这个路程是这个二， t 加起来之后是等于这个九减四，因为他们走了五个单位嘛，所以是九减四。 好，这是第一种情况，这是相遇问题了啊，那我们得一下，那就是三， t 等于五，解出来 t 等于三分之五。好，我们接下来再看第二种情况，就是他们两个，你看这种情况下，第二种情况下是不是相当于他们两个总共走的路程是，总共走路程是九，再加一个四，总共走了十三个单位， 对吧？本来是相距了九个单位，然后他们是不是还多走了一个四个单位，两个人加起来多走四个单位，所以这个时候他应该是九加四，这个时候他们所走的路程， 路程是九加四，一个是九减四，一个九加四。只要想明白这一点，那这个题 so easy 啊，我们得到三 t 等于 十三，这个解一下，这个很简单啊，这玩意我太太都会啊，同时除以三，然后得到这个 t 等于三分之十三，所以两个答案就这样出来的啊，你能想明白吧？啊，一个是没有相遇，一个是相遇之后多走了四啊，所以一个是九减四，一个是九加四，这是这道题，懂了吧？ 所以看我刚跟你讲过，你只要能听懂刚刚大哥给你补充的这个知识，你会发现，哎，我能听懂了，而且我能明白，为什么这每一步都怎么来的，我都能听懂了，知道吧！剩下的话就是你在多练啊。 ok， 兄弟，我们先读一下题啊，这是背景数轴，是初中学习的一个重要的数重要工具。利用数轴可以将数与形完美结合。研究数轴，我们发现了很多的重要规律，比如数轴上点 a 点 b 即表示 的数啊。点 a 点 b 表示的数为 ab， 则 ab 两点之间的距离是 a 减 b 的 绝对值。线段 ab 的 中点 p 表示的数为二分之 a 加 b， 就 两个数相加，除以二，就它的中点。就这句话很重要啊，一会肯定要用到了。 然后问题呈现，已知数上两点 ab 表示的数分别是负二十和十，这是十，两个相距的是三十，三十个单位长度。 点 m， 从点 a 出发，以每秒三个单位的速度向点 b 运动。点 m， 从点 a 出发，以每秒三个单位的速度向点 b 运动。那这样的其实你记住啊，你写这种数轴题，你一定要去把这个 m 给它点出来，你看你你，你只是分析出来这个 m 和 n 分出来它的速度了，但是你你由于没有把 m 和 n 给它点出来，所以你再去写下面题的时候就比较麻烦，明白了吧？因此写这种题的话，你随手先点一个 m， 然后这边的话随手点一个 n， 那 么 m 的 速度是三，每秒三个单位，所以说这个 a m 它就是三 t， 然后 n 的 话，它它是从点 b 出发，每秒两个单位的速度，那所以说这个 n b 它就是二 t， 然后他说设线段 m， n 的 中点为 p， 然后点 n 的 时间为 t， 点 n 的 时间为 t， 所以 点 m 的 时间也是 t， 因为他俩是同时出发的。好，然后我们现在因为竖轴吗？我们肯定要表示出 m 的 坐标，我们先表示一下，看看是个啥，知道吧？ 好，然后这个，嗯，这是负二十，然后这个 m 此时的话应该是负二十加三 t， m 词是负二十加三 t， 然后再来看这个 n， n 的 话，本来是十，然后往左走，说明是减，因为在数字上越往左越小，越往右越大啊，所以这个 n 的 话，它就是十减二 t。 我 们先简单写一下，写到这， 写到这之后的话，然后看他是啥啊？他说，第一问，线段 ab 的 终点表示的数是几？ 中点，那相加除以二呗，对不对？就刚刚咱说的嘛，现在除以二负十加十除以二，明白吧？啊？不是负二十加十除以二，所以第一问答案出来了。第二问，点 n 表示的数是几？那么 用代数式 t 表示，那，那就是十减二 t， 十减二 t， 哎，你这个点点 n 表示数十减二 t， 这个对着的呀，老师在给你打叉了呀，可能是改的太快了，知道吧，可能是老师改的太快了。 好，然后接下来继续。第二问，当 m n 两点相距六个单位时，求 t 的 值等于几？ 相距六个单位，这个时候你要注意他第一种情况是不是就是，就是 m 走到这，然后 n 走到这，就他俩还没有碰着的时候相距了，是这个六个单位，对不对？那么还有种情况就是假如他俩在这个相遇，相遇之后的话， m 继续往前走， n 到这了，那这样的话是不是也会存在一个相距六， 明白吧？就一种是，比如说你跟你的 crash cp， 然后第一次是能俩，能俩还没遇到的时候相距六，然后第二种是错过了，错过之后的话又相距了六，所以说这是这个意思啊。好，那么现在我们来看， 现在我们来看，嗯，表示一下，我们给把这个算一下。我，我尽量讲的详细一点啊，因为对于现在七年级应该这个题，应该七年级的题，刚开始嘛讲的细一点。我写到这 第一种就是这样，把这个图给你画一下。 好，这是第一次，对吧？ m n 这样子，然后现在他说了，听说他俩相距了六，然后刚刚我们是不是已经表示出了 m 的 坐标， m 的 坐标现在是这个负二十加三 t， 然后这个 n 的 坐标他是十减二 t， 那 么他们相距六是不代表他们两个距离是六，那这样的话，我们就记住啊，用右右边这个点减去左边这个点，因为数轴上他越靠右，他就越大，他右边的点减去左边的点，就是大的，减小的一定是一个正数，保证是正六，是这意思啊，所以我们用右边减左边， 也就是十减二 t 减去这个负二十加三 t， 我 们给他解一下，就是等于六，我们把方程解一下，把方程解一下， 算一下，那就是十减二 t 加二十减三 t 等于六， 然后是呃，三十减五 t 等于六，负五 t 等于负二十四 t 等于负得正 t 等于五分之二十四，这是第一个答案，这是第一个答案，然后我们再来看第二个图，第二种情况就刚刚说的就错过了， 错过了相距六，好，然后这是 a， 然后这是 b， a 是 负二十， b 是 十，然后就是 m 点往走到这了， m 点在这，然后 n 点的话走到这了，然后 n 点在这。好，那么这个 n 的 话，他他依然是这个十减二 t， 而这个 m 的 话，他依然是负二十加三 t， 这个 m 的 话依然是负二十加三 t， 然后还是一样的用右减左，对不对？右减左减完是正的， 负二十加三 t 减去左边的十减二 t 等于六，我们再把方程解一下， 负二十加三 t 减十加二 t 等于六，然后也就说是变成了五 t 减三十等于六，然后五 t 等于三十六， 然后 t 等于五分之三十六，所以这是第二问。 ok， 我 们来看第三问， 点 p 与数字上表示负四的点重合时，求其的值等于几，那么点 p 我 们需要表示一下，对吧？因为他说了点 p 是 m， n 的 中点 m 坐标，我们是有 n 点坐标也有，那么他点 p 的 中点的话，那中点的话，那就相加除以二，根据刚刚讲的这个， 现在除以二，所以点 p 它表示的数，它应该是 m 是 负二十加三 t， n 的 话是十减二， t 相加，再除以二，就是我们的 p 了，算一下，那就是二分之，这个负二十加十等于负十， 然后这个三 t 减二， t 等于 t 加 t， 好， 这是点 p， 他 说点 p 表示数与负四重合，那也就是说让我们这个式子就是二分之负十 加 t 等于负四，我们解一下，然后得到负十加 t 等于负八，然后从而解出来，我们的 t 等于二就出来了。 第四问，若点 m 到达点 b 后，停止七秒，停留七秒， 嗯，然后随后立即原速返回，点 n 到达点 a 后，立即以原速返回两点，再次相遇时停止运动。在整个过程中，当 pa 等于四分之五的 pb 时，直接写出 t 的 值， 那么你要明白这个整个过程，整个过程，因为 m 点，他的速度是三个单位秒，肯定 m 是 先到，对吧？然后 n 的 速度是两个单位秒，肯定是 n 后到。 那么整个过程他始终要去分析的是，就是要保证这个 p a 等于四分之五的 p b， 那 么我们一点点分析啊，因为这个题其实还是有一点复杂的啊，有点复杂的。我们首先先算一下这个， 先算一下这个 m 点他走完全程的时间，总共单位是总单位是三十个单位，然后 m 点是三个单位，那 m 点走完全程是需要十秒，然后 n 点的话走完全程是十五秒，所以我们现在知道他们两者各自走完全程的这个时间， 而且还有一个问题，你看，就在刚开始的时候，嗯，两两个没有，两个人没有。 m 点在这，然后 n 点在这， n 点在这，这样的话是不是存在一个答案，就这个时候他们还没相遇的时候一个答案， 对吧？然后相遇之后往往这边走，是不是又一个答案？而且 m 点到十的时候停留很有可能还有一个答案，所以这个你需要一点点分析啊。我们先看第一种情况， 第一种情况就是我们的就是二三问写的这种情况啊，就是 a 是 负二十，然后这个 b 是 十， b 是 十，它的要求就是 m 点在这，然后 n 点在这，就是，呃，还没有相遇呢，对吧？两个人都没有走，走到头都没有走到头，也就是说我们的这个时间是小于十的。 第一种情况，我们的这个时间 t 它是小于十秒，小于十秒，我们现在算一下，呃， m 它是根据刚刚我们已经表示过了第二问，对吧？ m 是 负二十加三 t， 然后这个 n 的 话是十减二 t， 这是 n 点，然后他们的终点坐标也是比较好找的，就是我们已经表示过了 p 点终点，终点是这个二分之负十加 t， 二分之负十加 t， 二分之负十加 t。 好， 这三个点表示完，然后它现在要求的是这个 pa 等于四分之五的 pb， 那 么我们现在需要表示一下 pa， pa 我 说过一定是右边减左边，所以 pa 的 话，它其实就是 二分之负十加 t 减去这个负二十，这是 pa， 然后整理现在其实就是二分之 负十加 t， 再加二十，然后我们再表示一下这个 p b， p b 的 话，那就是用右边减左边 b 减 p， 右边是十减去这个 p， 二分之负十加 t， 然后我们算一下， 然后表示完之后，他他说的是因为 pa 等于四分之五的 pb， 然后接下来我们把刚刚求的这个 pa 和这个 pb 这两个代入式带进来，我们整理它就行了， 那就是二分之负十加 t 加二十，等于这个四分之五乘以十，减去二分之 负十加 t。 好， 然后这个你减方程嘛，对吧？就慢慢区分不就行了？因为你看这有个二，这有个四，我们区分不就行了？我给你演示一个啊，然后这边肯定同时乘以四了， 同时乘以四，然后这个二分之负十加 t 乘以四，他约完之后还剩一个二二倍的负十加 t， 二十乘以四是五十减去二分之 负十加 t， 然后我们再把它乘开，负二十加二 t 加八十等于五十减去这个五，乘到这个里面跟分子相乘，二分之负五十加五 t。 好， 然后我们再整理它， 然后这边二十和这个八十就是六十加二 t 等于五十减去这个二分之 负五十加五 t， 然后六六十减五十移过来吧，那就是十加二 t 等于这个负的二分之 负五十加五 t， 然后再同时乘以二，继续去分母，左边乘以二是二十加四 t， 右边乘以二是负的 负，五十加五 t， 这个要注意要加括号，因为前面有负的是减一个整体，所以要加括号，不加括号就错了啊。然后就是二十加四 t 等于五十减五 t， 减方程减一下，那得到九 t 等于三十，然后 t 等于九分之三十， 同时除以三三分之十就出来了，明白吧？就是减的时候还是比较麻烦的，慢慢减啊。好，这是第一种情况，就是小于十秒的时候，第一种情况小于十秒，然后我们来看第二种情况， 第二种情况是啥呢？就是十秒到这个十五秒之间，因为到第十秒的时候就是 m 点到 b 点就不动了，对不对？然后到第十五秒之间的话， n 点是往前走着呢，对， n 点还往前走着，所以第二种情况呢，就是当这个 t 大 于等于十 小，小于这个十五，十小于十五的时候，那这个时候它的特点就是我们的这个，我先 a 点是负二十，我们这个 b 点是十， 此时的话，我们的 m 点是重合的啊，一直在跟 b 点重合了，对吧？然后 n 点在这个位置， n 点的话，它它其实因为它 n 点一直在往左边走嘛，它其实永远都是十减二 t， 对， 永远都是十减二 t， 那 他们的中点 p 呢？就相加除以二，此的话，这个 p 点做的话，就就是， 呃， n 点加上这个 m 点的十，再除以二，那刚好是这个二十减二 t 除以二二分之二十减二 t， 也就是十减 t， 所以 这样的话我们的 p 点就有了，此时我们重新可以表示出 p a 就等于十减 t， 用这个 p 点减去这个 a 点，减去负二十，右边减左边啊，整理一下，其实就是十减 t 加二十，也就是三十减 t， 然后 p b 用 b 减 p 用十减去 这个十减 t， 十减十减 t， 那 十减十没了，那就是 t。 好， 然后我们得到， 因为这个 pa 等于四分之五的 pb， 也就是三十减 t， 刚刚方法一样就带进来，把两个代入式带进来， 三十减 t 等于四分之五乘以 t， 这个也比较好解，对吧？解出来，此时解出来这个 t， 它是，嗯，我，我就跳过了啊，三分之四十， 三分之四十，好，这是第二种情况了，能明白吧？然后接下来那是不是该就是大于十五了，对不对？大于十五，大于十五的话，它的特点就是， 嗯， m 点还在 b 点停着呢，对吧？因为 m 点要等到第十七秒才开始走，才开始往回走，而 n 点的话是不是已经开始往回走了？ n 点已经开始往回走了。所以说我们现在第三种情况 就是我们的 t 是 大于等于十五，小于十七，就是 m 点还在等着呢，没动啊。它的特点就是我们把它的对应的图画出来， a 在 这是负二十，然后 b 在 这是，然后这个 m 点还是跟 b 点重合着了，而 n 点的话就开始往回走了，看见吧， n 点往回走了， 比如说 n 点往回走到这个位置，那么那么这个 n 点的话，他现在是，嗯负二十，因为 n 点往回走是从负二十，对吧？然后 n 点的这个速度是两个单位每秒，标一下 n 点的速度是两个单位每秒，所以说我们可以表示出来此时的 n， 此的话 n 的 话就是负二十，加上 这个二，因为往右是加啊，然后用 t 减十五，为啥减十五呢？因为，因为我们说的是从第十五秒开始的，对不对？所以用总时间要减去这个十五，减去前面走的那十五秒，明白吧？好，这是 n 点， 而我们的 m 点现在还是十，那么此时他的终点坐标 p， 他的终点坐标 p， 然后我们是不是还是相加，把这个 n 点给他整理一下，那就是负二十加二 t 再减三十，也就是 二 t 减五十，那这个 p 的 话就是相加除以二二 t 减五十，再加十，再除以二，那就是二 t 二分之二， t 减四十，也就等于 t 减二十，这是我们的 p t 减二十， 然后我们此时重新表示 pa， 一 样道理啊，用 p 减 a， 也就是 t 减二十，再减去负二十，就等于 t p b 啊， b 减 p 等于这个三十减 t 啊，中间我可能有点跳，就是你知道啥意思就行了啊。就是，反正就是慢慢算，然后继续 p a 等于四分之五的 p b， 然后把两个数据还是跟刚刚的方法一样带进来，然后继续算 t 等于 四分之五，乘以这个三十减 t， 我 们继续算，此时我们算出来这个 t 等于。呃，此时我们算出来这个 t 等于三分之五十， 三分之五十。好，这是第三种情况，那么第四种情况，哦，那终于这个 m 点是不是开开始走了，对吧？从第十七秒开始了， m 点开始往回走，然后 n 点继续往前走，明白吧？好，所以说我们现在把第四种情况也给它画出来了， 就是此时的话，我们的 t 它是大于十七了，大于十七，好，我们的 a 是 负二十，我们的这个 b 是 十， 然后这个 n 点还是继续往前走着嘞？这个时候你要注意在第十七秒的时候，其实 n 点是不是往前走了两秒，因为 n 点一共是需要十五秒，走完全程，它到十七秒，它是往回走两秒， 往回走两秒的话，他是不是走了四个单位？因为 n 点的速度是二，走了四个单位，所以说此时第十七秒的时候， n 点的位置应该在这个就是负十六的位置，第十七秒的时候 m 点在这， 然后接下来呢，他继续他们两个往前走，对吧？那所以我把这个标成 n 片，把这个地方标成 m 片，好吧，我们接下来去表示一下， n 片 n 撇的话，它是负十六，加上二 t 减十七，因为前十七秒这个已经走了了，所以要减去这个十七秒，减去十七，好，这是 n 点，而 m 点我们继续啊，同理，我们的 m 的 话呢，也就是十减去 减去三，乘以 t 减十七啊，十减减去三， t 减十七，能听到吧？好，然后这个 p 点就是他们的相加除以二，我们把这个标成 p 撇，然后 p 撇，就是他们相加除以二。 那把这个我先算一下啊，这上面看着可长，给它算一下，负十六加二 t 再减去三十四，就等于这个 二 t 减五十，那这边给他算一下，那就是十减去三 t， 再加五十一，等于六十一减三 t。 好， 那么这样的话，这个屁屁片它就是相加除以二，就是二 t 减五十 m 加上相加除以二， 这个 p 片的话，我们算一下是二分之十一减 t， ok， 二分之十一减 t， 然后咱们接下来开始表示这个 p a， p a， 那 就是 p 减 a 就是 二分之十一减 t， 减去负二十，也就是二分之十一减 t 加二十，然后再表示一下 p b， p b 就是 b， 嗯， b 减 p b 的 话是十减去这个二分之十一。哎，不用加括号，减去二分之十一减 t。 好， 表示完了之后，然后我们给它整理， 我们给它整理一下带进来，因为 pa 等于四分之五的 pb， 然后同样道理啊，把这两个代数带进来，也就是二分之十一减 t， 加二十，等于这个 四分之五乘以十减去二分之十一减 t。 这个计算量，这个还是比较麻烦，反正自己算，你自己算算啊，我直接给你说下结果， 嗯，算出来这个 t 等于三分之五十三，三分之五十三。好，以上就是这道题的四个情况，它是怎样一个一个逐步出来的， 确实是比较麻烦这道题，但是如果你详细的听完之后，你是能够动态分析出来，对吧？每一个对应的图我都给你分析出来了，都给你换出来了， 然后剩下你，你要自己算一遍，就你不要光听一遍，你一定要自己算一遍啊，因为这道题肯定是难度比较高的了，对于七年级同学们来讲啊，好，有啥不懂的咱再问， 今天讲到这里了，拜拜。 ok 啊，各位臭宝，我们今天讲到这里，我们再简单的总结一下啊，首先我们先补充了一个洞，讲洞点的补充知识，你听完补充之后之后，你再去听接下来课程，你就一定能听懂， 首先我得保证你能听懂这个课，对不对？其次，听懂之后的话，然后我就给你总结了动点压轴题，到底怎么写，每一步都怎么写，而且他的动点发现没有，他中间是不是藏着追击相遇问题， 明白吧？你就记住我刚刚给你总结的追击相应问题的这个小技巧，就是如果是追击的话，那么就是 s 快 减 s 慢等于这个距离，如果是相遇的话，那就是 s 快 加 s 慢等于距离，这样的话，你这个动动点压轴题你就肯定是有思路的，明白吧？好，我们今天的话就详细的讲到这里，如果说大家有什么不会的。

掌握这道题，你就是学霸！点出一个直角三角形，三边为六八十， d、 e、 f 分 别是三边上的动点连接 d， e、 f， d、 f， 让我们求着三边之隔的最小值，所以动点最值问题常见的方法就是做对称，比方说我们随便选择一个点，然后做动点所在直线的对称点，我们可以得到第一撇。 与此同时，我们做 d。 关于另外一个洞点所在直线的对称点，我们可以得到 d 两撇。我们另这三边分别是 abc。 所以 这个题就是让我们求 a 加 b 加 c 之合的最小值。 根据对称性，我们知道黄边等于黄边，所以这个边等于 a。 另外我们还可以得出蓝边等于蓝边，所以这个边等于 c。 因此我只要舍得这三条线段之和最小就可以了。这就相当于从第一撇出发，经过 e 点，经过 f 点，最终再回到另外一个点，从一个点到另外一点，我们知道两点之间线段最短， 也就是我的最小值等于第一撇第两撇这条线段的长度。那可是问题来了，我们的最小值等于第一撇第两撇这条线段的长度。那我们连接 b、 d， 根据对称性，我们知道这两条黄边相等， 与此同时这两条黄边也相等。我们令这个角是 alpha， 这个角是 beta。 因为你这个直角三角形，所以 alpha 加 beta 等于九十度。根据对称性，我们知道这个角等于 alpha， 同时这个角也等于 beta。 我 们刚说 alpha 加 beta 等于九十度，你整个大角是两个 alpha 加上两个 beta， 所以 它等于一个平角一百八十度，也就是 b 一 撇 b， b 两撇三点共线， 那我们正求共线有什么用呢？如果我令你这个边是 x， 那 么这两条黄边也等于 x， 那 么此时 b 一 撇， b 两撇的长度刚好就等于二倍的 x， 所以 我只要使的 x 最小，那么整条线段就跟着最小。 b 是 一个定点， b 点在整条线上运动，点到直线的距离垂线段最短， 因此我们过 b 点向对边做垂线。当我们地点在这里时，此时 b 的 一定最小。整个大三角形的面积等于六乘以八除以二。 同时我们也可以把这个十当做底边， b d 当做高，也就是等于二分之一的十乘以 b d。 最终我们可以求得 b d 等于四点八，而我们的最小值等于二倍的 b d， 所以 它等于九点六。搞定，跟着亮亮无脑学习。

家长们注意了啊，冻脚问题一定是我们期上前末考试必考压轴题，而冻脚问题中三角板旋转问题更是考试丢分的重灾区。今天刘老师一个视频让你通透。如何来处理三角板旋转问题，我们来看如图， o 为直线 ab 上的一点， o 在 直线 ab 上做射线 oc， 是 吧？十角 aoc 等于一百二十度， aoc 也就这个角是一百二十度，那么我们顺手推这个角就是 六十度，因为这是一个平角。说将一个三直角三角尺啊，直角三角尺，如图摆放来，朋友们，遇到这种直角三角尺，我们一定要注意，我们手里面一共有两个三角尺，还有一个就是三六九。好，这个三角尺就是三十度、 六十度，以及这个叫多少度九十度，三六九的一个三角尺，还有一个叫等腰值九十四十五、四十五，对吧？这个两三角尺大家一定要熟记啊！这是题的题目中的一些什么隐藏条件啊，说了直角顶点呢，这个直角顶点 就放在这个点 o 处一条直角边 o p 在 这个射线 o a 上。 o p， 啊，在 o a 上将三角尺啊绕着 o 点，以每秒五度啊，速度有了，旋转的速度是每秒钟五度，按照逆时针的方向旋转，好，逆时针也就这个方向， 对吧？好，这个方向叫做逆时针，旋转一周过程中第七秒时啊。 o q， 同学们来注意，这里研究的是谁啊？ o q， 也就这条直角边说所在直线，同学一定要注意这些字眼，直线，它不是射线，也不是线段，我们是什么直线？我们要知道直线是可以什么无限延长的，两边都可以无限延长，恰好平分角 b o c 恰好平分这个角。 好，朋友们来注意，就是把 o q 啊，对吧？说到底不就是把 o q 绕着这个 o 点啊，逆时针来旋转，最后平分角 c o b b o c 啊， b o c 求 t 的 时间的值。那我们来看一下朋友们， 首先我绕着 o 点来旋转的话，第一个第一个状态不就是当 o q 旋转到这，朋友们一定要注意啊， 是不是当 q 点旋转到这的时候，是不是正好平分角 b o c 啊，也就意味着这个角是多少度？朋友们，既然是角平分线， b o c 是 六十度角平分线，那这个角就是三十度，那这个角也是三十度，是不是？朋友们来看，那不就是 o q 从这儿旋转到了这儿吗？ 我们只需要去求出这个角数就可以了。好，这里就要用到隐藏条件，这是一个什么角？直角，所以这儿也是直角，这儿是九十度，这儿是三十度，所以这个角呀，就是九十度加 三十度，等于一百二十度，也就是 o q 旋转了一百二十度，好，它的速度是五度每秒，除以它旋转的什么速度，等于它旋转的什么时间，好，也就等于一百二十度除以五度，好，最后等于二十四秒， 好，这是第一个答案。但是啊，同学们一定要注意，我说这里 o q 是 所在的什么线？直线，那同学们一定要注意这个情况，直线，直线到我们是不是 o q 有 可能达到它的什么反向的延长线上，也就是在这个位置， o q 是 不是有可能在这就它所在的直线是不是平分角 b o c 啊？刘亮在这个图上把它再画一下啊，它的第二种状态就是 o q 啊，绕着它啊旋转，对吧？旋转过来一直到哪呢？ 反向延长线， q 点在这了，对吧？我们没必要去考虑这个三角板成什么形状，其实到底归根结底不就是研究 o q 的 一个那种状态吗？是不是好，也就是 o q 啊，从这 对吧经过旋转一直到这，也就是我们现在要表示出它旋转的什么角度，因为它的速度，知道了它旋转的路程，如果知道，时间不就出来了吗？也就是这个 o q 啊，从这 跑到了这那这儿一圈的话，这儿如果补上一圈，是不是三百六十度？也就如果我搞定了这个角的度数， 拿三百六减去这个角，剩下的不就是他旋转的角度吗？是不是好，因为他所在直线是角，平分线好，同理上已经出来了啊，这个角是多少度？三十度，这个角是不是也三十度？那我们来观察一下啊，这个角是三十度， 这个角和这个角是不是对零角，所以这个角也是三十度，而这个角是直角，这是九十度。去掉三十度，所以这个角还有多少度？六十度，所以他旋转的度数应该是三百六十度，减去这儿，这个假角还有多少度？六十度， 这是他旋转的什么度数啊？去除以他的速度，五度每秒等于他旋转的时间啊，三百 除以五等于六十秒，所以最后的答案应该是二十四秒，或者是什么六十秒。 是不是？同学们啊，像这样的三角板旋转问题，尤其是提到这里某条边的所在什么直线问题一定要注意啊，这种情况我们要什么分类讨论，你学会了吗？关注刘老师，学习路上不迷路。

动点和动角问题呢，是初一上学期各个版本里边最难的题型，其中动角呢，比动点还要更难一些，但是今天掌握了我说的这个方法，所有的动角问题都能解决了。来我们具体看一下，分如图，角 a o b 等于一个一百二十度，在这现在有个定角，然后射线 o c 从 o a 开始，绕着点 o 逆时针方向旋转，每分钟转二十度。那我们现在有一个 o c 是 从 a 这出发， 现在逆时针方向旋转，每分钟二十度。好，射线 o d 从 o b 出发，绕着点 o 逆时针方向旋转，旋转的速度为每分钟五度，它也在逆时针方向，只不过它转的速度呢，是每分钟五度，而且是从 o b 这出发的。那 那现在 o c 和 o d 同时旋转，设旋转的时间为 t 分 钟，并且给了个 t 的 范围在零到十五之间。当 t 为合值的时候，射线 o c 和我们的 o d 是 垂直的， o c 如果是垂直于 o d， 其实结论就是什么呢？是不就是我们的 c o d 这个角它等于九十度，也就是问当 t 为合值的时候，我们的角 c o d 等于九十度，这个我们该如何处理能更快呢？ 其实就是要把这个动角问题转化为动点问题，而且是要转化为数轴上的动点问题。剩下来的呢，就可以用我之前给大家讲的那个三步法来进行处理了。那我现在要把它转换成数轴上的动点， 我必须得有一个原点，我们谁是原点呢？我们让这个 o a 充当原点，也就是它代表的是零。 那我们的 o b， 因为你的 a o b 等于一百二十度，所以 o b 代表的是不是就是一百二十？这两个定下来的东西，我们先确定了，再去确定那俩动的，那这俩动的，比如说我们的 o c， 它应该怎么表示呢？它是不是用起始状态 加上它运动的这个距离？只不过这现在不是个距离，而是个角度了，那我们应该是个零加二十 t， 也就是我们的二十 t 了。好，然后我们这个 o d 也可以表示一下，它应该是我们的这个一百二十加五 t。 第一步已经把这两个动射线的位置表示出来了。 第二步呢，我们是不是要去表示这个角度？在动点问题里边是表示两个点尖的距离，那么在角里边是表示两个动射线的夹角。 c o d。 好， 现在的问题是，我们的 o c 一 开始是不是在 o d 的 后边儿？这其实是个追击问题啊，但是追着追着我们的 o c 有 可能要反超我们的 o d， 所以 它有可能是在它后边落后它九十度，也有可能是反超它九十度。 那如何来表示这样的一个式子呢？我们是不是可以借用绝对值？就像动点问题里边儿，不知道谁大谁小， 不知道谁在左谁在右的时候，我们加个绝对值就完了。所以你在这呢，可以拿我们的一百二十加上一个五 t， 然后减去一个二十 t， 再加个绝对值，就表示出我们 cod 的 度数了。 那现在题目是说要我们的 o c 垂直于 o d， 是 不是就是 cod 等于九十度，那这个绝对值方程等于九十度，有没有发现已经完事？剩下就是一个纯计算，我们在这是一百二十 减去一个十五 t 的 绝对值，它等于一个九十。你是不是变出俩方程，一个是我们的一百二十减十五 t， 它等于九十。还有一个是一百二十减十五 t， 它等于一个负九十，第一个解得我们 t 应该等于二， 第二个解得我们的 t 等于十四，然后你需要去验算一下，看看在不在我们的这个取值范围内。题目是不是给了一个零小于等于 t 小 于等于十五，我们在这 t 等于二， t 等于十四，都在这个范围内，所以这两个答案就都符合要求。 当 t 等于二的时候，其实呢是我们的 o c 还落后 o d 九十度，当 t 等于十四的时候，是我们的 o c 反超了 o d 九十度。它有两种情况，那么我刚刚说过动角问题，把它转换成动点， 再转换成竖轴上的动点，我们来处理就相对比较简单。首先要确定一个圆点，然后把这些定射线的位置表示出来，然后把这些动射线的位置表示出来，剩下来的呢，我们就是表示一些角度，然后呢再列方程就可以了。那么在这跟我们动点问题一样， 分不清谁大谁小，谁在前谁在后的时候，就加绝对值了。好的，这个方法同学们学会了吗？我们就讲到这里。

第八题，这个题啊，和动表面题一本整页啊。好，如图，在 r 七三角形 a b c 当中， a c b 这个角九十度，角 b 三十度，这个三十度，那也就意味着同学们这个角多少度？六度， ok， 点 p 是 bc 边上的一个动点，点 p 可以 在这，可以在这，可以在这，也可以在这，是吧？你去的这个位置是 p 点啊，连接 ap， 使得线段 ap 绕着点 a 逆时针旋转六十度到 a q， 也就意味着 a q 和 a q 什么关系？相等，同样旋转六十度，也就意味着这个角要度六十度。好，那既然这个角六十度的话，我就发现啊，这个小角 和这个小角其实是相等的，是这样的，同学们，好，同样 a q 和 a q 也是相等的，是不是啊？好，那下面接着人说连接 c q， 让求 c q 的 最小值。 c q 在 哪儿啊？在这儿，是吧？ c q 的 最小值怎么求？什么意思了？我在这儿取了个 p 点 q 在 这儿，是吧，这是 c q 的 长度，你说我要换个位置取点，是不是 q 也会变啊？ c q 也会变，是吧？我怎么去找 c q 的 最小值啊？ 刚才我通过分析啊，我发现啊，这个九和这个九是相等的，然后这条边和这条边是相等的，是吧？你说我可不可以构造一个全等的三角形啊？可以，是不是也就是我让谁和谁相等，我就可以构造全等三角形。我们来看 这两边相等，这两角相等，所以就剩 a c 这条边，好吧，嗯，是不是 a c 这条边和这条边是这样吧，你看啊， a c 这条边，因为三十度所对的直角边等于斜边呢一半，所以我直接去 ab 的 中点，假设是 m， 那 这样的话，请问 am 和 ac 什么关系？相等相等是吧？嗯，好，我连接 m q m p， 你 来看三角形它和三角形它什么关系啊？同学们，三角形 a m p 全等于三角形 a c q 题目让我们求的是 c q 的 最小值，是这样的吗？其实也就是去求 m p 的 最小值，非常 m 点是不是一个确定的点？ p 是 不是在 bc 这条边上？ 所以其实 m p 的 最小值，也就是让我们求 m 点到 bc 的 最短距离，也就是垂直距离，是这样的吗？嗯，垂线段的长度，所以接下来我只需要从 m 点怎么样 向 b c 做垂线，假设垂直于 p e， 也就是 m p 的 最小值就是 c q 的 最小值，也就是这里 mp 一 的长度，是这样吗？ mp 求出就可以了， m p 怎么求？已知条件里边知道谁了？ a c a c 上二二 a c 呢？这个是耳抓，也就意味着这个是耳抓，也因为这个是耳抓，好三十度所对的直角边等于斜边呢，所以 m p 一 等于最小距离边一。

来三动点问题一直是中考的重点和难点，咱们今天一块来拆解一下，告诉我们直角三角形 a、 b、 c 三条边分别是六、八 和十，同时告诉我们 d、 e、 f 分 别在 a、 c、 a、 b 和 bc 上运动，让我们求的实际上就是三角形 d、 e、 f 周长的最小值。 这种题目一看到这种线段最值问题，第一反应做对称，咱们过点 d 去做 a、 b 这条线的对称点， 这个点呢，我们叫做 d 一 的话，咱们连接 d、 e， 并且此时过点 d 去做 bc 的 对称点，这个对称点咱们叫做 d 二，我们再连接一下 d 二、 f， 那么此时我们首先能知道的是 d、 e 和 d、 e 一定相等， d、 f 和 d、 e、 f 也必定相等，所以我们要求的 d、 e、 f 的 周长就变成了求 d、 e、 e、 f 和 f、 d 二这三段线段长度的加和，那么这个时候只有当这三段线段是共线的时候才能够最短。 那么这道题目有一个小坑，大家跟我一块填，咱们连接一下 b、 d， 再连接一下 d 一、 b， 我 再连接一下 b、 d 二，连接完之后，由于对称，你发现这个角如果是阿了法，那这个角必定是阿了法。同时如果这个角是贝塔，那么这个角就必定是贝塔。 所以你发现了 alpha 加 beta 是 九十度啊，那么两组 alpha 加 beta 不 就一百八吗？说明第一比第二一定是共线的，也就是说第一第二连接之后 一定过点 b， 而第一第二就是我们要求的什么，求的最小值。那么同时我们又知道了，由于我一开始做的是对称，所以这儿是直角，这儿是直角，再结合上 abc 这个直角，那么第一 d 第二这个角也必定是直角。 同时又知道了这条边儿和这条边儿等，那么 b、 d 和 b、 d 二必定也等。说明此时如果我设 b、 d 是 x 的 话，那么 d、 d 二的长度它就是两倍的 x， 你要求的就是二 x 的 最小值，也就是 x 最小值的二倍。而此时 x 所表达的不就是定点 b 到动点 d 的 距离吗？那么此时点 d 在 a、 c 上动，咱们直接过 b 向 a、 c 做一条垂线， 垂足叫 d 三，那么 b、 d 三就是 x 的 最小值。由面积公式 a、 c 乘上 b、 d 三十乘上一个 b， d 三就等于 b， c 乘以 ab 就是 六乘以 八，那么此时 b、 d 三也就是 x 的 值就等于四点八，那么整个周长的最小值二 x 就是九点六。这道题目就搞定了。像这种三动点的问题，第一步必定翻折，第二步你要找到对应情况下的对应变量的最值，大家听懂了吧？下课！

hello， 跟着苏老师学数学，数学就会变得无比简单，今天我们继续来讲一字函数与动点有关的综合问题。 二十五题来。第一问，直接写出 l 的 表达式，知道两点，很明显，利用待定系数法，可以直接设 y 等于 k， x 加二，把三零带进去，也就是说可以得到直线的表达式是 y 等于 负的三分之二， x 加二，这里是三，这里是 r。 第二问，以线段 a、 b 为直角边，找到 a、 b 为直角边，在第一象限内做等腰直角三角形 a、 b、 c， 这是等腰直角三角形 b， a、 c 是 九十度画出来了。 然后又告诉我们一个点 p， 点 p， 我 们来分析一下，横坐标是一，纵坐标是 a， 所以 它可以怎么动？实际上 p 就是 在 x 等于一上运动，也就是说它可以分成两种情况，第一个在第一象限， 第二个在第四项线啊，这是我们由题干得到的信息啊。第二问，求 abc 的 面积啊，这里是二，这里是三，所以这里是四加九，根是三， 那三角形 abc 的 面积就是二分之一， ab 乘 ac， a， b 乘 a， c 实际上就是 a、 b 的 平方，它是等腰直角三角形，那就是二分之十三。 前两问都非常的简单，我们今天主要来看第三问，再分析第三问， abc 和三角形 abc 面积相等时，我们可以先做出来 abc， 这里我们如果以 a、 b 为底的话，过点屁向它做垂线，这条垂线，那我们是不好求的， 这是第一点，所以我们就要想到以 a、 b 为 a， p 为底，也是没办法求，以 b、 p 为底，还是不好求。那我们怎么样？我们此时就要利用戈补法来做戈补法， 这里 a、 b、 c 的 面积是已知的，我们用平尺的做法知二求一，知道面积和高求底，知道面积和底求高，那这种方法就不同，那我们要用割补来进行做。 来看这个问题，要求 a、 b、 p 的 面积， a、 b、 p 的 面积，我们可以用这里面其他的三角形把它给表示出来。比如如果老师用 a、 o、 p 的 面积加上 b、 o、 a 的 面积，然后再减去 b、 o、 p 的 面积，我们是不可以做了。 好，那我们先把手续办一下。什么手续？就是把这几个三角形，为什么找这几个三角形 a、 o、 p 能算吧？底知道高是负 a， 为什么？ a 是 在第四抢线 这几种情况，它在第四抢线，那 a 是 负的，所以我们要它的正值应该是负 a 啊，这里可以知道，那 a、 o、 b 不要双的面积也是可以求的，那 b、 o、 p 更好求。底是二，高是啊一，那我们把它表示一下啊。第一种情况，三角形 a、 b、 o 的 面积是三， 三角形 a、 p、 o 的 面积是负的二分之三 a 啊，一定是负的，因为 p 在 第四象限，所以 a 是 负的啊，负 a 是 正值，它的高应该是负 a 啊，它的高是负 a， 这是难点。第三个可以，三角形 v、 o、 p 的 面积， 三角底是二，高是一，那面积就是一，拿命就是一。好手续办完了，我们继续来做。那表示一下，三角形 a、 b、 p 的 面积就应该等于三角形 a、 b、 o、 a、 b、 o 加上三角形 apo， 然后再减去三角形 b、 o、 p 的 面积，那这里等于 二分之十三，也就是三角形 abc 的 面积。那我们不妨来算一下，那 abo 有 三， 加上这个负的二分之三 a， 也就是减去二分之三 a， 减去二分之三 a， 然后再减一，那减一 等于二分之十三，接出来 a 等于负三啊， a 是 负的，满足的。这第一种情况， 那第二种情况，也就说 p 在 第一项显示，我们把 a、 b、 p 做出来。 嗯，那此时我们还可以利用歌谱的方法 啊，同们看这个 a、 b、 p 的 面积，实际上就等于啊 a、 o、 p， 为什么？因为 p 的 纵轴标就是这个 a、 o、 p 的 高呀，底是已知的， 再看 b、 o、 p 面积也能表示出来，只要这两个三角形的面积相加，再减去 a、 o、 b 的 面积即可。那此时我们还是先办手续，把他们三个正常这个三角形的面积表示出来。 我们从简单到复杂，第一个还是三角形 a、 b、 o 的 面积还是三，那三角形 a、 p、 o， 因为此时他的第一项线 a 为正值，那他是二分之三 a， 还有 b、 o、 p 啊，看了 啊，顺序都没变，还是这三个还是这三个啊，只不过这里是用的是正值。 那啊，三角形 a、 b、 p 的 面积就等于三角形 b、 o、 p 的 面积 b、 o、 p 的 面积，这个小的啊，加上三角形 a、 o、 p， 那 a、 p、 o， 然后再减去哪一个？减去三角形 a、 o、 b 这个面积啊，就剩 a、 b、 p 的 面积了， 那等于二分之十三，而每项 b、 o、 p 有 的一 a p o 二分之三 a 减去三等于二分之十三，皆得 a 等于三分之十七，是正值满足题啊，满足题最尊，让 那 a 等于负三或 a 等于三分之十七时，三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 b、 p 的 面积相等， 你听懂了吗？记得给老师点赞哦！嗯。

接下来如图四，这个首先有条直线，然后呢，有一个一百三十五度， 就是一百三十五度是固定的，对吧？好，现在将一个四十五度角的一个三角尺放在这个地方， 一个一个看啊。第一问，他说将图一的三角尺逆时针啊，大家做这种题目的时候一定要圈， 因为有时候顺和逆，你看反了，你这个题目就花了很多就没有意义的时间啊。这个很很正常的，很多同学会看反的，特别是考试一紧张逆时针旋转九十度，如图二所示，是到这个地方啊，问这个 b o m 是 多少度？ b o m， 那 原来 o m 在 这儿，那现在，呃，整个三角尺旋转九十度，意味着每条边也旋转九十度，所以这个地方应该是九十度吧。 o m 是 否平分？请说明理由。 o m 平分吗？平分 c o n 吗？这个理由我们看看啊。首先肯定是平分的 理由，就是说明他们俩的角度一样大呗。你看，我们刚刚都已经知道这个地方是九十了，那一百三十五减九十，它等于多少？是不是四十五啊？原来三角尺里面这个角是不是也是四十五，对吧？所以四十五等于四十五， 那是不是说明他们俩相等，相等，所以就平分是这个逻辑好，第一问，大家看下一问， 他说他接着啊，将这个如图二的这个三角板继续旋转到现在这个位置，就使得这个 o n 到了 a o c 的 内部， 让我们探求 a o m 和 c o n 的 关系 啊。这种题目也很多的就是这两个角呢，虽然现在看上去你也不知道它是多少度，你也不知道它是多少度，对不对？一定要抓住一件事情，就是它们都和这个角有关系 啊，一般来说就是这两个，你不确定它是什么角度的角，它一定是和另外一个角是共同产生关系，它和这个我们看这个。呃， 这个角是不是等于四十五度减啊？就是这个蓝色的角等于这个四十五度减这个角 b o n 吧，下面这个蓝色的角是不是也等于四十五度？去去减，去减这个角，那么减完了之后，它们俩是不是相等，对吧？好， 首先先说一下他们俩商等啊理由，这个我们来写一写，因为角 c o a 等于 它等于多少？一百八十度减去角 b o c 等于四十五度， 角 m o n 本来就等于四十五度啊，所以角 c u a 等于角 m o n。 所以 根据等式的基本性质，它们同时减去一个角之后 应该也相等吧。好，那同时剪完之后是不是就成了另外一个角，即角 c o n 等于角 a o m。 好， 接下来看下一问啊， 他说将图一中的三角板绕着点 o， 按照 图一啊说的是图一，就是说初始位置是在这啊，这一定要注意。好啊，这是这种旋转的问题，你一定要看初始位置在哪，怎么旋转的，速度多少其实跟竖轴动点是不一样的。我们当时做竖轴动点，是不是也关心从哪里出发，什么方向，什么速度，对不对啊？就这个三个东西，你要看清楚， 逆时针旋转一周啊，一周是告诉你什么时候停好，那你说一周又要回到这个样子，对不对？好在这个一周中啊，说 d t 表示 直线 o n 啊，这地方要圈直线 o n 恰好平分角 a o c 的 值为，那我们首先看一下，呃，角 a o c 的 平分线在哪？ 因为角 a o c 在 这个题目中它是确定的嘛，对不对？所以它的平分线其实是在这个地方，对不对？好，那这个地方是平分，但是因为它说的是直线，所以说我这个 o n 呢？如果旋转是到刚刚那条角平分线的延长线上的时候，其实也是平分的， 这话能明白吧？啊？就是说我把这个地方擦掉，假设我 o n 转到了这一条直线上，我们认为它也是平分角 a o c 的， 因为它说的是直线，因为直线本来就是无限延伸的，听懂了就说这个地方和角平分线是两回事情。 好，所以说这个题 o n 我 们能明显看到它有应该有两个答案吧，对吧？当 o n 转到这个地方的时候是一个答案。好， 转到这个地方的时候是另一个答案，对吧？好，我们接下来看啊，像这样的问题，在这种洞角里面啊，它最后基本上都是看作是一个路程问题， 就是和我们的前面学方程的行程问题里面呢，这个是一样的。好，我们看 o n 现在在这，呃，反正这个题是一个填空题，对不对？那我们知道这个是一百三十五，这个是四十五， 然后这一半是不是二，它应该是二十二点五，对吧？好，然后这条紫色的线是它的反向延长线啊，所以说这个角和这个角是不相等， 它也是二十二点五，对不对？好，所以对于 o n 第一次来说，它，其实它的路程就是多少，就是它，就是这么多吧，是不是五， t 等于二十二点五， 所以 t 等于多少？第一个答案， t 是 不是等于四点五？ 这是第一个方程吧，是不是？好，那第二个方程呢？大家要知道第二个方程其实很好练，在第一个方程的基础上，你只要做一点点改动， 这个很常用啊，以后你要注意了，就是如果一个东西它是第一次到这儿，然后下一次的地方是正好旋转一个一百八，那这个时候其实你只要在路程上面加一个一百八就可以， 对吧？好，那算下来 t 等于多少？呃，一百八除以五是三十六，加上四点五，是不是四十点五啊？ 是吧？好，应该是这两个答案吧。那你要是会了这个之后啊，那这个题其实我还能变，你看看啊，我现在说的是旋转一周，那问你如果是旋转三周呢？ 考试的时候如果说旋转三周，很多同学就是不知道怎么做的，因为他第一周的图他能画一画，第二周，第三的图就是第二三周的图，他完全没有办法画出来，对吧？这你即使画出来，他也分不清他是转了多少角度。 好，大家想想啊，现在我就把它变成三周，这个题答案是多少啊？我现在先把这个语原题答案写下来啊，四点五或者是四十点五， 我给你们一分钟，看能不能把三周的答案写。其实这个东西我刚刚提示过了，我们从这个 第一第一次评分到第二次评分是怎么算的？我刚刚说，因为你第一次评分的时候就是这一条边啊，应该是会转到了这个地方，对吧？ 好，从第一次评分到下一次评分，意味着从这个边，然后他会到这个地方，你说这个边就是说这条射线会转一百八十度，对不对？好，我们想想，那再一次评分，因为你永远得在这条线上才能，那你的 o n 是 不是得从这一条 边上转，再转到这个地方啊？也就意味着从第二次到第三次，其实我们应该是对这个方程怎么样？ 是不是再加一个一百八？能听懂这个逻辑吧？只要你允允许我还在赚，因为它要赚三周嘛，对吧？你只要还允许我再赚，好，那么我直接把这个方程加一百八，就应该是下一次方程， 对不对？因为我只看这条射线，他只能在这一条直线上运动，所以他就是每过一百八平分一次，每过一百八平分一次啊。所以说其实你根本可以不用列方程了，因为你想明白，每过一百八，一百八除以五，是不是三十六秒， 那就意味着它应该是每过三十六秒就要再平分一次。所以接下来的所有答案，其实就是在这个答案的基础上加三十六，加三十六，加三十六，加三十六，你看加到什么为止？因为它有一个旋转三周的限制， 对吧？那就 ok 了，按理来说应该是一圈你就两个答案，三圈应该是六个答案， 是不是这样，对吧？你一圈不又回到了这个地方了吗？那下一圈你不应该他又是两个答案吗？所以应该是加三十六，再加三十六，再加四四，应该会有再加四个答案，一共六个答案，这样说听懂了吧？ 好，所以要把这种题目啊给他看。简单就是你不要再去画图，再去想象了啊，你是要想通了这个第一步到第二步中间这个事情， 每一步都懂的啊。接下来他说两圈三圈，那我其实无所谓了啊，你不要觉得题目好像一下变难，很多想参加我们 t u 训练营的家长可以在评论区留言哦。

看我这个图都放的非常的非常的大，是吧？放到非常大，那肯定是有讲究的啦。这个题，那么这个题干什么呢？你说他难吗？他不难，你说简单吗？不简单。为什么？因为这个题目有四种情况， 就是看你能不能想到这四种情况。好，那么来看一看这个题啊，题目里面跟我们讲九 c， 我 把关键性提取啊，我们只看关键性， bc 等于九， ac 等于十二， ab 等于一十五，好，然后 p 从 a 点开始运动， p 从 a 点开始运动，沿着 ac， cbba 的 方向去运动，运动到 a 点停下来，它的速度是三厘米每秒。哎，点 p 在 运动的同时，另外有一个动点 q 从 a 点运动，沿着 abbcca 的 方向就反方向来运动。 好，但是我停在一点，但是我不知道他速度是多少，因为题目里面让我们求 q 点的速度。现在在另外有一个三角形，右边有一个小三角形，告诉我们 d 等于四， d f 等于五，好，且角 d 等于角 a。 现在说什么呢？ 他说若 p q 两点运动的过程中的某一时刻，恰好以 a p q 为顶点的三角形与三角形一啊， d f 全等， 则 q 点的速度。那这个题目我相信很多同学一眼就做出来啊，这题太简单了，你和我全等啊，角 a u 等，角 d s a s 正全等，对不对？那非常的快。那第一种情况不就是这种情况吗？ 对不对？哎，你 p 点在这， q 点在这，那这个三角形明显是全等的哈，非常非常明显哈，那第一种情况， ok， 那 第一种情况，注意这个，第一种情况的话，我，我先把这个加上去，我一会再来写第一个啊，当 p 点在哪呢？ p 点？ p 点在 a a、 c 上， q 点在哪呢？ q 点在 ab 上的时候。三角形啊，此时三角形 a、 p、 q 全等于三角形，什么 d， e、 f 是 不是？ 这个没问题哈，那 ap 就是 解，那我们的 ap 不 就应该等于 d 一 等于几？等于四？好，那这个时间是不是可以求出来了？时间的话就是什么等于你的路程四除以速度三，是不是它？哎， c m 每秒。好，那么也说什么，你们 q 点和 p 点是同时运动， 你 p 点运动了三分之四秒，那 q 点是不是也运动三分之四秒？而且 a q 是 等于什么？因为三角形全等 a， q 是 不是等于 d f 等于几？等于五？所以说我们这个 q 的 速度 v q 等于它的路程，即五除以三分之四来，倒过来等于多少？四分之一十二 c m 每秒。这是第一种情况， 这个不难哈，这个情况我相信很多同学都能写的出来啊。来，这种情况是我们最最基础的一种情况，最最基础的一种情况来，还有没别的情况？有没有可能来，我来想一下，这种情况呢？你这这样子垂直呢？ 哎，什么情况？三角形 a， q， p 和三角形 d， e、 f 全等，看到吗？这种情况可不可以？这个也是比较容易想到的，是吧？那第二种情况来，当 p 仍然在什么 a c 上， q 仍然在什么在我们的 ab 上的时候，此时哪两个三角形？三角形 a q p 对 直角，那叫 a 点对 d 点， q 点对 e 点 啊？ p 点，那就要对什么 f 点好。那首先第一个，那我的 a p 就 等于谁了？此时的 a p 啊，来看一下 a p 是 不是就应该等于什么？等于 d f 等于多少？是不是等于五？你的路程有了，那时间是不是有了，时间的话等于五除以三，五分之三秒。哎，这单位写错了， 秒好来，有了时间之后干什么呢？我们的什么？那我看一下我的 a q， a q 对 的是谁？ a q 对 了 d e， a q 就 应该等于 d e 等于等于几？等于四，所以说 你的速度是多少？四除以三分之五等于多少？五分之一十二 c m 每秒，是吧？第二种情况，这两种情况 稍微成绩好一点点的同学都能想的到好认为这个题做完了，做完了吗？ no no no no no no no， 什么叫做没做完？ 你来想，有没有种可能性啊？刚才我是不是这样在动？我说我一直在强调一个问题，我刚才两个题目里面都写到了一个非常重要的情况，就什么 p 点在 a c 上， q 点在 a c 上， q 点在 a c 上。好，那你来想嘛，这个点啪啪啪啪，你 p 点在动，是不是一直在动？咚咚咚咚咚，哎， 有没有一种可能性，哦，有没有这样一种可能性？我这存在了这样一个三角形，合理全等，但是恰好这个点 p 点跑到哪哪跑到哪来了，跑到了 ab 上， q 点此时恰好运动到了 ac 上，而且又正好合理，三角形全等呢， 有没有这种可能性？完全有可能吗？那这就是我们的第三种情况吗？来，第三种情况就什么呢？当 p 在 哪？ p 在 ab 上， q 运动到哪去了？ q 运动在了 a c 上，哎，此时哪个三角形？三角形 a q p 全等于三角形 df， 是 吧？好，那我们来看一下，那也就有什么呢？哦，我的 a q 是不是应该等于什么？ a q 就 应该等于 d， e 等于几？等于四。好，我的 a p 就 应该等于我的 d f 应该等于五。好，我现在看一下我 p 点运动的路程吧。 p 点用到多少？我们来看一看。 来，第一个他是不是先运动的 ac， ac 是 多少？ ac 的 话是一十二，接着这个地方是不是他还运动到了九？好，我们现在是不是还运动到了九？我们 p 点是不是还要走，是不是还走了这段？ 是不是还走到一个什么 b q 这一段？所以说什么呢？我们谁 s， 我 这个地方写一个 s p 点走过的路程，他应该等于多少？他是不是应该等于十二加上九，哎，再加上什么？十三减五，因为这段是多少？他是十三减五吗？ 这是你走过的路程哈。等于多少呢？这个地方的话等于，我看一下啊，这是二十一，二十一的话，二十一加 二十一，二十一加几啊，二十一加八吗？是不是减五， 二十一加八加八，二十九，哎，我怎么不应该是二十九啊， 我是不是数字写错了，十二，哦，十五，这十五， sorry sorry sorry sorry， 十五啊，这十五 我写成了什么？应该是九十九，十二十五，是吧？ ok， 这写错了啊，十五，那这个地方的话应该多少？三十一，对不对？好，那你的三十一有了，你走过的路程是三十一 c m， 那 你的时间是不是就有了？ 时间 t 等于多少啊？你的三十一除以你的速度三 c m 每秒。好，那接着我们来看一下是是不是此时我要求什么？谁求我们 q 点走过的路程 q 点走过的路程 s q， 我 称之为 s q 啊，来， q 点走过路程走了多少？ 走了多少？那我们来看一看这个地方，首先你是不是走了一个十，这走了几个几？走了一个呃，九，这走了多少啊？这一段， 哎，不对，错了啊，你不止走那么一点点，这是我们的 p 点走过的。好，那我们来看一下啊， q 点走过的路程 q 点是不是先走了 a、 b， 再走了 b、 c， 再走了这一段，对吧？ 好，这段是什么？十五，这段是几？这段是九，这段是多少？十二减几，这段刚才已经有了四啊，十二减四是吧？走了八，好， ok， 你 走过的路程是什么？十五加上九，再加上十二减四。 好，这个地方等于多少呢？等于三十二啊，等于三十二，好，那所以我们的速度 v q 的 速度等于多少？等于你的路程三十二除以我们的时间三十三分之三十一等于多少？三十一分之九十六 cm 每秒， 对吧？好，有了这种情况之后，那你在想我，既然你既然能想到第三种情况，就一定可以想到第四种情况，哪一种是哪个？是第四种情况？ 变成什么？刚才我是什么？ a p 这边垂直，那是不是变成这个样子？是不是这样？垂直好， q p 调位置是不是？这？好，这是我们第四种情况。来当什么呢？ p 在 哪？在 a b 上， q 在 哪呢？在我们的 a、 c 上，且此时三角形 a p、 q 全等于三角形，是吗？ d， e、 f， 那 你说什么呢？我的 a p 应该等于什么？等于 a p 的 话等于 d， e 等于四啊，这段等于四。好，我把先写下来。然后呢？我们的什么？ a q 等于我们的 d f 等于几？等于五？好，你等于五。好，接着我算路程啊，来 p 点总的路程。我们来算一下 p 点总的路程，称之为 sp， sp， 首先走这多少？十二，再走一个九，再走这段。这段啊，前面是四， 那应该多少？十五减掉一个四是吧？十五减掉四就是十一嘛。好，那我走过路程就是十二加九，加上十五减四等于多少？三，十二，所以说我们的时间 t 多少？时间 t 的 话就等于你的路程除以你的速度。三 秒，哎，三分之三十二秒啊，对，有四种情况。好，有了之后，接着我们来看一下 q 点走过的路程是不是也很好求了。 q 点走过的路程从哪走？是不是从右边开始走？他从右边开始走，那他已经走了一个完整的喽。那首先啊，他应该会怎么走？他是不是先走这，这是多少？十五？这几九是不是走到这？ 哎，这段是多少？因为我们这段是五吗？那他就是多少？十二减五是吧？就是七啊，就是七。好，你所以说你走的十五加九，加上什么？十二减五，这个地方等于多少？等于三十一？哎，三十一 c m， 所以 你最终 v q 的 速度等于多少？等于你的路程三十一除以什么时间？ 三分之三十二等于多少？答案，三十二分之九十三 cm 每秒。四种情况。哈哈哈，这个题目前两种情况还是比较容易想到的， 所以刚才有同学说居然有四种情况，我相信很多同学在做题的过程中，前两种还是比较容易想到的。就后面干什么，你的 p 点动到动到另外一边去了， q 点也跑到另外一边去了，这这种情况不太容易想得到啊，能力比较差的同学至少能做一种 稍微强一点点啊，能错两种啊。那要什么？我们的这种分类讨论的思维能力要非常强的同学才能四种情况全部想得到，不然你绝对想不到这种情况 啊，还是比较难的。这个题我个人觉得是比较难的啊，当然其实我把这个题目一讲完之后，你会发现，哎。

同学们，前面我们学了很多关于相似三角形的题目，对不对？是不是感到，哼，也就那么回事，不怎么过瘾对吧？ ok， 那 我们就来看一下后面这道题，我们过一把瘾。 如图，在图一啊，在等腰直角三角形 a、 b、 c 中， a， b， c 啊，是等腰直角，那么角 c 等于九十度啊， 那么动点 g， 它呢？从 a 点出发，以一毫一厘米每秒的速度沿着折线 a、 c， 然后又从 c 到 b a， 沿着这个折线去运动。好，你看它是这样 这样运动的啊，到 b 点，然后停下来，那动点 h 呢？它是以根号二厘米每秒的速度沿着 a、 b 方向运动，到 b 点成尺。好吧， 选择这个方向运动，设三角形 a， a、 g， h 的 面积为 y， 运动时间为 x， 那 么 y 与 x 它们这样关系。如图二，那求 a c 的 长度，求 a， 求 a、 c 的 长度，求这个 a、 c 的 长度。这道题怎么怎么做？一看动点问题对不对？而且还是，哎，你看他给了我们一个这样的， 对吧，而且这个还有点特别哦，他这里折折了一下对不对？好，就利用这两个，我们来解一下这道题，你看他从这里往下 动点问题一讲到动点问题，要讲就是一定是路程，对吧？还会等于速度乘以时间，对不对？ 好，现在我们知道了，速度对吧，它是一毫米，它是加二，是不是？设时间为 t 嘛，对不对？时间为 t， 哦，这里已经有了时间为 x， 对 不对？时间为 x， 时间为 x， 那 么 a g 等于多少？一乘以 x 嘛，对不对？ a h 等于多少？填下二 x 对 不对？填下二 x 对 不对？ 哎，一看我们就知道，填下二 x x， 它就会，它，这就是 x， 那 么 g h 和 bc 什么关系？ g h 和 bc 什么关系？ g h 和 bc 是 不是就是平行？因为它这为四十五度角嘛，对不对？对吧？用勾股定律我们就知道 g h 也会等于 x 嘛，对不对？用勾股定律嘛，对吧？好，那么 a， g、 h 的 面积等于多少呢？ 三角形 a， g、 h 的 面积，哼，它是不是有两两部分组成，对不对？就是当它 动点 t 还在 a c 上时， a c 上 的时候，在 a c 上的时候，它的面积等于多少？等于二分之一的 x 乘以 x， 对 不对？二分之 x 的 平方对不对？哎？它，假如它到了 c 点时候，哎， h 点是不是也到了 b 点，到 b 点之后他就不动了，对不对？但是呢， g 点他还要激动对不对？那他跑，跑到这里来了对不对？讲到 g 点，我们设个 g g 撇点对不对？设的他到了这里之后，那么他的 三角形 a， g h 到了这里，对不对？哎，那么 a g、 h 它的面积等于多少？ 是不是？等于二分之一的 d 乘以高，对不对？二分之一的 g 一 撇 b 再乘以 a c 的 a c， 对 不对？ 哎，那现在我们看一下这个图对不对？哎，这个点它明显是在面积最大，因为当 c 到到这个点的时候，它面积是最大的嘛，对不对？它明显是 g 点音运运超过了 g 点音在 b c 上面的，对不对？ ok， 那 我们就知道假设，我们假设一下哈， a c 等于假设，我们假设一下 a c 等于 a 的 话， 等于 a， 对 不对？那么 它总共运行的 a c 加上 c， g 等于多少？ a， c 加上 c， g 一 撇等于多少？等于 a， 对 不对？加上 c g 还会等于九四，时间为四，对不对？四乘以一就等于四嘛，对不对？对不对？ 那么 g 一 撇，那么 g， 那 么 c g 嘛？ c g 会等于多少？ c g c g 一 撇， c g 一 撇就等于四，减 a 嘛，对不对？ c g 一 撇等于四，那么 g g 撇 b 呢？ g 撇 b， g 撇 b 等于多少？它是不是？这个也是等于 a 嘛，对不对？那么 a 减去四减 a 等于 二， a 减四，对吧？ b 一 点， g 等于二， a 减四，那它的面积等于多少？三角形 a， g 撇 b 的 面积等于多少？ 等于二分之一的底乘高嘛，对不对？二， a 减四，再乘以一个，哎，这高固定了 a， 对 不对？哎，那就是你看这一层就得 a 减二乘以 a， 那 就 a 的 平方 减二 a， 对 吧？有没有减二吗？哎，它的面积多少？你看，嘿嘿，它这里变了，等于三，对不对？ 哎，那么这个解这个方程就可以求出 a 来哦，求下 a 的 平方减去二， a 减三等于零，对不对？没有，十字相乘，反看负三，对不对？是 a 加一乘以 除以 a 减三，对不对？会等于零，对不对？ a 等于负一，或者 a 等于三，对不对？那长度是不可能会负的，对不对？所以这个叫舍掉，对吧？ 要舍掉，那就 a 等于多少？ a 就 等于了三，对不对？ ok， 大 功告成，做完了，大家从这道题里面有没有学到什么东西呢？ 第一个要去分析动点，你看它这里，哎，从这里走到这里，哎，动点，对不对？它到这里转折点，哎，说明这个时候， 哎，几点？一定是走到了 c p 这个上面，对不对？然后我们还要知道，就是一定有图形，上面有已知量的啊，一定是重点，一定要抓住这个点，好吧？然后还要知道，哎，这个是相似三角形。是不是 相似三角形？那么 g h 它跟 a c b 它是平行的，对吧？好，这道题就靠了这些知识点，大家记住了哈。

看过来，别走神来，同志们，今天给初一的录制一个动脚或动脚的问题，动脚在初一的最后一道期末考试当中一定是必考的题啊。这个动脚的问题一共分了两种，第一个，动脚之间的 未知数和动脚之间的常有带数的啊，这两个带度数的，这两个都是常考的，嗯，最后一道大题有可能会考动脚的或者是 线段的，这两个内容啊，无非就是走过的路程和剩下路程之间的关系。我们其实每一个题当中，包括上课的时候也讲，每个题当中一定是有走过的路程和剩下路程。再一个就是第一问告诉你度数，第二问我们 通过第一问的方式来代表第二问的未知数的关系。来，我们一块看一下这个题啊， 我们先分析条件，他说一个直角三角形，那么直角三角形也就说明了这个角已经等于九十多啊，这个角已经等于九十多， o c 平分 m o b， 如果 o c 平分 m o b， 那 也就说明这个角等于这个角啊， 这个没问题吧，这两个角一定是相等的，那么在整个过程当中，他还告诉你了，这个角等于十八度，那么这个角一定是十八度啊。那么 再往下看，这个角既然是九十度了，我们通过分析整个棋的过程，整个平角应该是一百八十度，所以这个角加这个角也应该是九十度，那么我们通过这样的形式，我们来继续进行看，那么这个角是十八度，那这个角我就能算出来了，九十度 减十八度，所以他应该等于七十二度，那这个角这两个角是因为角平分线，所以这个角是七十二度，这个角也是七十二度，那我们用七十二度减去十八度，那这个角就变成五十四度了。 那又因为整个平角啊，是一百八，我们可以用一百八减七十二减七十二直接出他。那么为什么我要算这个角呢？有的同学可能会用第二种方法，例如这个角等于九十度，这两个角的和也等于九十度，所以他的平角我可以用九十度减去五十四度等于他， 这两个方法都可以啊，所以到最后这个值就比较简单了，这是第一位啊，到最后算出应该是三十六度，对吧？第二个， 我们再继续往下看，第二个和第一个题的本质内容啊，其实是一样的啊，只是把它的度数换成了一个字母而已。那么我一直在强调，如果第一问问的和第二问问的是一样的，只是把 字母把长，把度数换成了字母而已。那第一问怎么解的？第二问我们依然怎么解？来看这个题啊，那我们一块看一下这个题，如果他告诉你这个角是 r 了 啊，那么这个角因为它是个直角，所以这个角已经是九十多减 r， 那 么又因为这两个角相等，所以这个角一定也是九十多减 r， 这个能看懂吧？那所以整个的这个角我就好求了，一百八十度减去它，减去它就应该等于这个角了。来我们一块看一下过程啊，我们一块看一下过程， 那么因为角 m o n 等于九十多角 c o n， 角 c o n 等于 f， 角 c o n 等于 f， 那 么我们可以得到，所以角 m o c 等于九十多减 r， 那 么这是第一个，我通过第一步，我一直在讲一个因为跟一个，所以，那么只有重复的情况下，我们因为和，所以才可以省略，能理解什么意思吧？因为和所以才可以省略啊， 所以我们再考虑一下这个，那么在这个过程当中，我们继续往下想，如果它等于它，那么又因为 o c 平分啊。角 m o b o c 平分 m o b， 那 么 m o b 是 不就是这个角了？这两个角因为它平分，那我们可以得到什么呢？我们可以得到角 m o b 等于两倍的角 m o c， 那 也就变成了两倍的九十度 减 f， 那 就变成了一百八十度减二 f， 那 么也就变成了这样一个角，这个大家能看到吧？ 好在这个里边，那么我们要求的是 a o m 这个角，那么 a o m 整个的平角是一百八，所以这个角，这个平角减掉它，减掉这个角就变成了 a o m， 那 么在这个过程当中呢？我们可以直接写啊， 其实在初一当中，我们稍微细化一下啊，就是到初二、初三，这个都省略了。因为角 a o b 等于一百八十多， 所以角 a o m 应该等于一百八十度减掉角 m o b， 减掉角 m o b 等于一百八十度减掉一百八十度减二 r f， 那 你会发现一化减完了，它叫二 r f， 能看明白什么意思吧？所以在整个过程当中，其实我们就是把第一问的 场把，我们就是把第一位的数换成了字母而已，其实其他的方法就是一模一样的啊，这是第，这是第二个起的关系，来再看一下第三个， 第三个出现了动角的关系，来，第一个先看啊，通过第一个图当中 m o n， 那 就绕这个点进行旋转啊，进行往下旋转，旋转到二的位置 啊，旋转到二的位置，他说 o m 这个边在 ab 直线的上方， o m 这个边在直线 m 的 上方， o n 这个边在直线 ab 的 下方。来探究 a o m 这个角和 c o n 之间的关系。有同学一看这个棋就开始有点蒙了，哎，这两个角好像没有任何关系， 其实我们还是通过上一位的内容进行计算，上一位你怎么求出的结果，第二这一位就怎么求。来我们一块看一下这个题啊，那我们可以怎么办呢？我们一共有两种方法，第一个我们先可以怎么办呢？我这个里边我可以设 a o m 为为它， 那我可以设 a o m 为被它，可以吧。然后 b o m 这个角就变成了一百八十度 减负它一百八十度减负，它又因为 o c 平分 b o m， o c 平分 b o m， 那 很显然也就说明了这个角已经是等于这个角的，没问题吧。那所以这每一个角我就能算出来，那就一百八十度减负它再除以二就可以了， 能练什么意思吧？一百八十度减倍它，再除以二就可以了，所以这个地方我就可以把它进行，那每一个角就是二分之一百八十度减倍它， 二分之一百八十度减倍它啊，那么第一个我能得到这样一个形式，那也就是变成了九十度减二分之一倍它啊，我把它化简完了，就变成它了。那么又因为 m o n 这个角等于九十度， m o n 这个角等于九十多，所以我就能够求出来 c o n 这个角等于多少多了啊，那我就可以用 m o n 减去 m o n 减去 m o c， 那 么我就可以用九十度减掉它，就剩下它了，那我们直接找它的关系就行了，能不能看到？好，那我们一块给大家推理一下。第一个，我们现在看，我可以设 角 a o m 等于为它，则 角 m o b 等于一百八十度减为它，这是第一个。那么通过这个里边，又因为 o c 平分 角 m o b， 所以 角 m o c 等于角 b o c 等于二分之一角 b o m， 那应该等于二分之一乘以它了，那就变成了九十度减二分之一倍它，或者九十度减二分之倍，它都是可以的，能看懂什么意思吧？那么第一个我们把这个类型给大家说完了，那就因为 m o n 这个角等于九十度。前面一只巧人告诉你了啊，所以角 c o n 应该等于角 m o n 减 m o c。 来，那你看这个地方， c o n 这个角，那是不应该是用这个大角减去这个角，就剩下这一个小角了， 能，能理解什么意思吧，那我们就可以表示出来了，那我们继续表示它等于什么，那这 m o n 很 显然等于九十度了，减去 m o c m o c。 不， 刚才酸了，那就变成了九十度减二分之一为它， 那所以等于二分之一为它啊，整个的中间的计算过程我们都不要了啊，整个的计算过程中间的我们都不要了，只要要结果就行了，那么所以此时我可以进行比较了， 那 a o m 等于多少呀？ a o m 我 们这就有了 a o m 叫被它， a o m 叫被它，那么这个角是多少啊？这个角叫二分之一被它，二分之一被它，那很显然角 m a m a o m 等于两倍的角 c o n 等于两倍的角 c o n。 好， 这是其中的一个类型的奇， 通过这个棋里边大家也能看到，其实它的动角和动剪的并不难，只是把之前的那一段的内容给它深化一下。好，同志们看过来，别漏神啊！

初一期末考试压轴题一定会考线段动点问题，韩老师带孩子用一个方法彻底搞定这类压轴题！这是一道初一期末考试压轴真题，难度非常的大，一共有四个答案， 但是如果你学会转化化规的思想，将它转化为数轴动点问题，这类压轴题三十秒钟即可轻松求解，今天韩老师带你彻底学会这种方法。再把我整理的七上期末考试复习押题卷，包含了全国十二大版本，给孩子练习期末考试冲高冲满，我们一起来看这道题。 图 ab 等于十二， a， c 等于八。 p 和 q 分 别是直线上的两个动点，分别以一个单位每秒和两个单位每秒的速度从 c 和 b 出发。 那么在直线上运动的时候，问经过多少秒，线段 p、 q 的 长度为六，这是一个非常典型的线段上的动点问题，但是如果你能够用转化化规的思想转为数轴动点问题，非常轻松，那这里我们先来看一下咱们的数轴动点问题。解题三，不要有数轴，我们 就必须要有圆点，有正方向，那我不妨就设 a 所在的位置为圆点，向右为正方向，那由于 a， b 等于十二，那所以 b 所在的数就为十二。 a， c 等于八，那么 c 所在的数就为八， 那接下来 p 和 q 运动的速度给我们了，但是注意这道题一个易错点，就是它没有给方向，那所以我们就需要去分类讨论那第一种情况，假设我们的 p 和 q 都向右运动的时候，那这里我们就要学会触轴动点的 第二个步骤叫做表示动点，表示动点，那运动的中点其实就等于起点加减移动距离，向右移动为加，向左移动为减，那这里我不妨设运动的时间为 t， 那 此时如果它们都向右运动的话，那这里咱们的 q 所表示的位置就应该是起始位置十二 加上，速度是二，时间为 t， 十二加二 t， 而我们 p 所表示的位置就应该其实位置为八，向右运动为加，速度为一，时间为 t 为八加 t， 那 接下来我们只需要进入第三步，叫表示距离也关系式，那这里我们要的其实就是 p， q 的 距离，两点之间的距离，那 两点之间的距离，我们就看这两个点所在的位置，用大数减小数即可。注意， q 点本身在 p 点的右方，而 q 的 速度大于 p 的 速度，所以在运动的过程中， q 始终在 p 的 右方， 那么 q 表示的数一定始终大于 p 表示的数，那所以我们就用 q 表示的数，十二加二 t 减去 p 表示的数八加 t， 那 么就等于它的长度六，那这里我们只需要解一个一元一次方程，那解出来咱们的 t 的 值即为二， 那同理我们第二种情况就是 p 向右运动，而 q 向左运动，那么 p 向右运动， q 现在是向左运动，它们两个是相向运动。那第一步我们还是去表示 p 点和 q 点，那先来看 q 点 起始位置是十二向左运动为减，速度为二，时间为 t， 那 么 p 点起始位置是八向右运动为加，速度是一，时间为 t， 那 么此时 p q 两点之间的距离我们就要注意一下了。先开始的时候，它们两个点之间相差距离为四，不可能为六，那么它们是相向运动， 当它的距离为六的时候， q 一定是在 p 的 左侧了，那也就意味着 p 所表示的数是大于 q 所表示的数的，那就是八加 t 减去十二减二， t 等于六，这里不难减出 t 是 等于三分之十的， 那接下来第三种情况，就是 p 向左运动， q 也向左运动的时候，那这里我们还是第一步表示动点，那 q 点我们依然表示为十二减去二 t， 而我们 p 点的起始位置依然是八向左运动为减，那此时速度为一，时间为 t， 所以 是八减 t， 那 么它们都向左运动的时候，那这里其实就是一个锥形问题了。它们两个本身之间相差四，不可能为六，那还是一样的。想要它们之间的距离为六，那此时 q 点依然要跑到我们 p 点到前面去，那 p q 还是一样的，就是用 p 所表示的数减去 q 所表示的数，那么这里依然等于六，所以这里不难解除。 t 是 等于十的，那最后一种情况其实就是 p 向左运动， q 向右运动， 那当我们的 p 向左运动而 q 向右运动的时候，第一步依然是表示动点，那么 q 表示的位置就是咱们的十二向右运动为加，所以是十二加二 t， 而 p 表示的就是咱们的八向左运动为减，所以是八减 t， 那 么此时咱们 q 永远是在 p 的 右侧，那 q 表示的数永远大于 p 表示的数，所以我们 p q 两点之间的距离就是用 q 所表示的数。十二加二 t 减去 八减 t 是 等于六的，这里解出来 t 是 等于三分之二的，所以综上所述，咱们的 t 是 一共有四个答案，你听懂了吗？