八上数学一次函数旋转后求解析式

接下来是把这个直线绕着零一旋转一百八十度。好，这个我们先做这个比较简单的啊， y 等于三分之四， x 加四应该是过负三，零和零四绕着零一 旋转一百八十度，旋转后的结果应该是长这样吧。好，那从图像上来看，斜率应该是没有变， 与 y 轴的交点，你能看出来不？这是四，这是一，因为关于这个点的距离应该是相同的，这长度是三，这里长度数值是三，所以这个点是多少？是负二， 所以是 y a 等于三分之四， x 减二。 这个地方我要讲一下啊，那如果说我把题目换一下，你可能没那么容易看出来了，比如说我把这个零一啊换成一二， 你可能从图上就不是那么容易把这个相对的那个点给他找出来了，对吧？因为这个都在 y 轴上，很方便，你一看就知道三个单位。好，那假设是我把它改了，改成一二， 那这个时候怎么做？ 那其实说改成一二，我们也知道它还是平行的吧， 就它应该还是三分之四， x 怎么样吧？好，后面那个数如果你不知道，你还是想办法找一个点出来，这是最直接的啊，怎么找一个点？那你看，原来这上面我们随便找一个点，比如说有零四。 好，问题来了啊，零四经过这个绕着这个一二旋转一百八十度，会得到哪个点？你能快速的把这个结果求出来吗？你现在有没有这个水平？ 有没有学过直角坐标系了？这个事情你能不能快做出来？很多同学可能还没有，来我们看一下啊，如果说把这个 a 点 绕着这个 b 点旋转一百八十度到了 c 点，大家说这个 b 点是不是 a c 的 中点， 所以这个里面就涉及到一个直角坐标系中的中点公式啊。我们假设这个是 x a y a， 这个是 x c y c， 这是 x b y b 的 话，那其实在坐标系里面啊，这个钟点公式要记得什么？就是 x b 等于二分之一， x a 加 x c， y a b 等于二分之一， y b 加 y c。 啊，不是 y a 加 y c， 就是从我们的竖轴到坐标系，我们以前竖轴就是说两个点相差除以二，是吧？现在呢，就是说它俩的横坐标相差除以二等于它的横坐标，它俩的纵坐标相差除以二等于它的纵坐标。 有了这个东西，你就可以迅速地知道这里面的两个点去求另外一个点啊。比如说我们现在知道零四和一二，想求另外一个点，我们可以把这个公式换一下， 因为我们知道它的横坐标加它的横坐标其实是中点的两倍，所以我们如果已知中点去求另外一个点的话，直接用中点的两倍去减它就可以了。所以用二减零，二乘二减四， 所以已知他和他这个点一下子就出来，知道吧，不需要去画图。这就是坐标系中的这个钟点公式，很好用啊，我们下学期学这个四边形的时候，也会频繁用到这个东西。 好，也说如果我把题目改成这样，你看由这个是不是一下子就可以得到这个二零，然后把二零再代入到 y 等于三分之四 x 加 b 中，你是不是就可以把 b 求出来了？所以也不会很麻烦，看到没有 啊？所以即使不是特殊情况你也能做啊！但是这个一百八和九十是特殊的，一般来说要考也只能考这两个特殊的角度。还有接下来今天遇到了一个四十五度想参加我们 t u 训练营的家长，可以在评论区留言哦！

快速求一次函数表达式的方法。方法一，分别是设代解写。这是一个很常规的方法，基本上大多数同学都会。我们来看方法二 点的坐标是零四点， b 坐标是负二，零， o i 除 o b 四除二等于二，那 k 就是 二， y 就 等于二 x， 它交 y 轴于零四，所以 b 就 四 好。第二题，直线与 y 轴交在零斗时和三斗零，那 y 轴上这一段的距离除以 x 轴上这一段的距离。 o i 除以 o b 十除以三等于三分之十， y 就 等于三分之十。 x 交在零时，所以是负三分之十， x 交在零时，所以 b 就是 十。

同学们好，我们来看一下这一道函数的旋转问题啊，旋转四十五度，说有一个依次函数 y 等于二分之一， x 加二 啊，与 x 轴交于点 a， 那 点 a 坐标我们可以算一下，点 a 坐标算出来是负四零啊，绕点 a 逆时针方向旋转四十五度， 要求旋转之后的解析式是什么啊？这里面说一下，如果是旋转四十五度啊，旋转四十五度，一定一定是可以把它转换成 k 字形全等进行求解的 啊。 k 字形全等本身是直角啊，是直角才会有 k 字形，但是等全等就会有零边相等，零边相等呢，也就是这个 k 字形其实里面有一个小小的等腰直角三角形的， 所以我们看到四十五度的时候，也可以把它转换为 k 字形的全等进行解答。好，怎么去构造呢？我们看一下围成这个四十五度的两条直线 啊，是一个是 y 等于二分之一， x 加二是原本的直线，另外一条呢是我们要求的直线。那这两条直线上你要找到一个比较啊，好处理的定点 啊，也找到一个比较好处理的定点，那这个里面我们能找到的就是与 y 轴的这个交点，假设我令它这个点呢为字母 b 啊， b 的 坐标呢，是零二啊，它是非常一致的。好，找到这个点之后怎么去构造？我们可以将这个点啊作为直角的顶点进行构造， 作为直角的顶点进行构造，那就是过点鼻，做这个 ab 的 垂直啊，做过点鼻做 ab 的 垂直这样子去做。那原本的这条线呢，就太短了，我可以把它给延长， 这样进行延长，那延长之后，它们两条直线的交点就是 c 啊，这样的话，三角形 a、 b、 c 就是 一个等腰直角三角形了，那看到它，我们就会去构造 k 字形了。过点 c 做 y 轴的垂直， 这个 y 轴也比较短哈，这个 y 轴可以再把它描描长好。假设这边垂足为 d 啊，垂足为 d， 那 这样呢，我们就很容易可以得到三角形 a、 b、 o 和三角形 c、 d、 b 两个三角形是全等的 啊，两个三角形的，那这样的话，边啊就可以进行转换了。 a、 o 的 长度是四 o， b 的 长度是二，因此 b、 d 的 长度就是四 c、 d 的 长度是二啊，因此点 c 的 坐标就可以看出来了，它是在 y 轴左侧两个单位，所以横坐标是负二， 在点 b 往上四个单位，所以它的纵坐标是四啊。点 c 坐标出来，那原本的点 a 坐标是负四零，负四零。那 求出 a、 c 的 解析式。我们可以用待定参数法设 y 等于 k， x 加 b 啊，将这两个点坐标代入，就可以求得 k 和 b， 最终得到表达式。这个表达式的话， 哦，不好意思，我刚才的点 c 坐标写错了啊，点 c 坐标写错了，点 c 坐标呢，是在 b 的 上方四个单位， b 的 纵坐标本身是二，所以 c 的 纵坐标是六啊。 幸好在出答案之前及时发现了错误。好，然后写出 a、 c 的 解析式，那就是 y 等于三， x 加十二，然后三 x 加十二，这是最后的答案。

期中考试当中啊，关于这个函数的几何三大变换当中，最难的呢就是我们的旋转，那我们来看一下这道题啊，如图，在平面直角坐标系中，依次函数 y 等于负二， x 加四的图像与 x 轴、 y 轴分别交于 a、 b， 如果是我的话，我一般会选择在这先把 a、 b 的坐标求一下，其中 b 点的坐标应该是秒的，它是不是叫做零四，我们直接看结局对吧？然后与 x 轴交点，就快速解个方程，那你是不是要让 y 等于零啊， 负二， x 加四等于零，所以我们 a 点的坐标应该是我们的二零了。好，现在要把直线 ab 啊，绕点 a， 顺时针方向旋转一个九十度，又是转一个九十度，则旋转后的直线的函数表达。是啊，我们在这是不是要先 先把它针转一下啊，先把它针转一下，转到这个位置来，要求新的函数的解析式。 那看到这个图的时候，大家明白我们是需要干什么，是不是利用三垂直模型，对吧？在这已经有个直角了， 在这是旋转了一个九十度啊，我们在这再做一个垂线啊，做一个垂线，构造一个三垂直模型，那意思就是说我们要让这段长度和这段长度相等呗，这样你是不是就可以得出 c 点的坐标，再加上我们 a 点的坐标， 就可以求出新的函数解释了，剩下的没有难度，我们这一段长度等于二，这段长度等于四，那这是不是四，这是不是二？我们 c 点的坐标应该是个六二啊，然后经过二零和六二的直线，我们应该是 y 等于 k， x 加 b， 然后你把这两个带进去，就是零等于一个二， k 加 b 以及我们的二是等于一个六 k 加 b 的把这俩减一下，二是减一是六 k 减二， k 是不是个四 k， 然后 b 没有了二减零等于二，所以我们的 k 等于一个二分之一，那二 k 等于一， b 是不是就等于一个负一了，对吧？ b 就等于负一了。新的函数的解释是 y 等于一个二分之一 x， 然后再减一啊。当然你也可以利用两条直线互相垂直， 斜率互为负倒数，所以它的斜率是负二，它的斜率一定是二分之一，只需要再把 a 点坐标带进去 是不是就可以了？都不用三垂直模型没必要这个 c 点的坐标，但你得前提，你得知道两条直线互相垂直的时候，他们的 k 的关系啊。 k 一乘 k 二等于负一啊。这道题呢，我们就讲到这里。

好，大家好，胖哥说数学难题不缠身，这节课就请跟着胖哥一起来解决函数中有关求函数解析式的问题。好，我们一起来看题。 已知 f x 为一次函数，并且 f f x 等于九 x 加八，我要你求 f x 的 解析式， 那这个题的难点就在于 f f x 等于九 x 加八哦，函数里面还有函数，是不是 它的解析式？知道等于九 x 加八，我要如何去求 f x 的 解析式呢？那当然，这个题的突破口就在已知 f x 为依次函数， 我要你求 f x 的 解析式，是不是告诉你了它是一个一次函数，那怎么去求它的解析式呢？这个题当然就用到我们常用的一种方法，叫做待定系数法。 好，我们一起来看一下具体的做法。已知 f x 是 一个一次函数，那我就可以把 f x 设成是 a x 加 b， 那我只需要能够把这里面的 a 和 b 求出来，这个题就 over 了，是不是？那 f x 等于 a x 加 b， 那 f f x 呢？就应该点读啊？ a 被 f x 加 b， 也就是我这里面的 x 换成了 f x， 那 当然后面的 x 也要换成 f x， 而又因为 f x 本身等于好多呢， a x 加 b， 所以 说它就等于 a 倍， a x 加 b 再加 b， 把它化解一下，就等于 a 方 x 加 ab 加 b， 而题目中告诉我 f f x 又等于九 x 加八， 那么我们只需要他们对应系数相等就可以了，对不对？好， x 前面的系数， a 方当然对应的就应该是九啊，后面的常数 ab 加 b， 当然对应的就是我们的谁啊？八，是不是？所以说 a 方的就要等于九， ab 加 b 就 要等于八，那么解出来 a 就 等于三， b 等于负，三 b 等于负四两组值， 那么 f x 的 解析式也应该有两组，是不是三 x 加二，或者是 f x 等于负三 x 解四？ 好，这就是这个题的基本思路和步骤。这个题主要利用待定系数法求函数的解析式，相信大家听了这个题以后，离上清华又近了一步。最后我们 列出了一个类似的题型，以检验大家对这类题型是否真的掌握了。大家做完了以后也可以拍照上传评论区，我也会为大家的结果进行一一的评价和反馈。

第四题，这道题呢，是我们考察的一次函数中的压轴题问题，那么对于这个题目啊，第一小问要求 k 值，第二个是面积问题，第三个是什么呢？是我们如果用黑魔法来做的话，就是分分钟的事情，不用分分钟就是可以说是十秒钟之内可以直接写出答案的啊。 那么对于我们而言，如果说我们对于上面以上我想的这些知识点都掌握的很好，那这题可能你也就三颗星对你来说，但如果说你掌握的不好，这个题对于初学的你来说，他的难度系数确实是挺大的，我们可以标一个四颗星， 同学们也可以花个八分钟时间先去思考，尝试做一做，如果能做出来更好，做不出来直接来听杨老师的讲解。我们来看，如图，有一个直线 y 等于负 x 加四，这条直线 y 等于负 x 加四，那么由此可见， b 点坐标是不是零四啊？我就标个四， a 点坐标是四零。 题目又告诉我们，点 e 是 o b 的 中点，那这是第一小问给的啊。那么此时 e 点的坐标我们可以直接写，横坐标是零，中坐标是二，我就写个二吧，为了简洁，图上简洁，我就稍稍微标一下就可以了。 现在有一条直线 o g， o g 呢，是 y 等于 k x， 所以 它是一个正比例函数，而且 k 大 于零， k 大 于零，那有可那，那我们想想，这个 d 焦点 d 在 哪里？有没有可能跑，跑到这边来，有没有可能跑到第二下？不可能，有没有可能跑，这不可能，因为 k 大 于零就意味着它一定是上升的，它的这个图像一定上升，对不对？ 哎，也就是说，如果 k 大 于零的话， y x 增大而增大，增大是不是只能上升？如果你是这样的一个图的话，那相当于 x， 那 我要减小肯定不行，对不对？所以已经很明确了， d 只能在第一象限。好，接下来我们看第一题， 如图一点 e 呢，是线段 o b 的 中点，刚刚已经标了连接 a e， 把 a e 连起来，这是二，这是四，所以这个三角形是 二。四就是二，根号五吧，他的名字。如果知道黑魔法的同学，瞬间就知道他的名字叫一比二，比根号五就是一，二根号五，他的名字。好。紧接着我们继续往下看，点 d 是 直线，是上面啊，两个直线的交点啊。这条直线和这条直线交于点 d， 就 告诉你一下就可以了。 第一小问，当 o g 垂直于 a e， 哎呀，这是个垂直，那么 o f 等于 a e， o f 等于 a e， 那 么求此是 k 的 值。有同学一看，老激动了，老师， 我们老师在学校老早就补充过了，两条直线相互垂直，则 k 一 乘以 k 二等于负一。所以这题目不就给我送分的抛辉题吗？啊，因为我们对于我们 a e 这条直线的解析式很轻松能算出来 y a e 的 解析式，我相信大部分同学都能算出来。好吧，哎，我就直接写一下 a e 啊。所以你看这个两个 k 垂直，所以 k 的 成绩等于负一，所以这个 k 等于二。结束，不好意思，不，没有分， 因为这个题目是一道大题，不是选填小题，选填小题，那么这个黑魔法你随便用， a k 一 乘 k 二等于负一。所有的黑魔法，为什么前面有个黑呢？ 因为他上不得台面，他只能在暗暗地里搞小动作。是不是？你在选填小题里面你随便用，但在大题里面，不好意思，如果你是这么做的，这个第一题你是不拿分的啊。注意，那怎么去解决这个问题的？注意， 他给了我们一个多此一举的条件，虽然这个条件看似多此一举，但其实恰恰帮了我们大忙，告诉我们， o f 等于 a e。 也就是说，这个条件不仅帮了我们大忙，也暗示了在今后，如果在考试中，我们再遇到两条直线相互垂直，我们如何处理？ 写过程且不需要用 k 一 乘等于 k 二这个结论，我们怎么处理？哦？我们只要找到一条边，跟他这个斜边相等，哎，两个斜边相等，这个是个垂直，所以我只要悄咪咪的做个垂线，下来两个三角形，能不能挣到全等？哦？挣到全等之后， f 点的坐标能不能求出来？ f 点坐标求出来了，那这个题目不就结束了吗？ 好，我们来写一写。对于我们而言，那么这个 f 点的坐标求出来了，那这个题目不就结束了吗？好，我们来写一写。对于我们而言，那么这个 f 点坐标求出来了，那这个题目不就结束了吗？好，我们来写一写。对于我们而言，那么这个 f 在 这 a e a e， 它在这个直角三角形中是什么地位啊？它属于一个斜边，所以紧接着我们下面画的一个直角三角形， o f 也必须是斜边的地位，它也必须是直角三角斜边，所以我可以往这边做垂直，当然，我也可以往下做垂直，这就看你自己的心情了，随便，那我喜欢往下，那我就往下，当然你喜欢往往往 那个往左，你就往左看，你自己喜欢，我过点 f 做一个垂直 f h 垂直 x 走，可以吧？ 那么同学们根据题目给的这是个直角，瞬间就有角一看到没有加这个角二是等于九十度的角一加角三是不是也是九十度啊？这是个垂直，这是个垂直，所以立刻就有同角的与角相等，角二等于角三， a 角二等于角三，这是个直角。哦，这我是个直角， 看得懂吗？你也是个直角，然后我还有一条边，斜边跟你这条边相等，所以这个三角形跟这个三角形啥关系啊？太明显了，太明显了，全等对不对？哦？我们在图中标一标，嗯，这个不消失的荧光笔来，在图中标一标，这个叫小黄，来，小黄。 哎，小黄。有人说，老师，你咋不叫大黄？我就喜欢称小黄，因为大黄有点像狗的感觉。好，小黄跟这个小绿很明显，它两个三角形什么关系啊？是不是全等啊？一旦全等之后，请问 o h 是 不是等于 o e 等于二啊？ 好，还有一个什么，还有个 f h 是 不是等于 o a 等于四啊？所以由此可见， f 点的横坐标就有了呀， 这边是二中，这边是四，当我们 f 点这边有了 k， 不 就名正言顺了吗？他就是二，对不对？所以这个题目给我们的一个暗示是什么啊？注意，这个题目本身你做出来或者不做出来已经没有多大意义了，因为他毕竟已经考完了。但是我希望今后如果考试的时候你再发现你想用 k 一 等于 k 二的时候，你有没有想过怎么处理？ 哦？你就找一条，你这个不是垂直吗？好，那你看垂直的这个是这个小三直角三角形的高，对不对？那此时你看这个直角斜边，那我只要在这个高上给它做一条线哦，在 o g 上取一点 f 时的 o f 等于 a e， 这就是辅助线哦，这就是辅助线的灵感来源哦，这个辅助线就来自于我们曾经做过的这道题，但是很有可能再过一个月，老师，这道题我完全没有印象了，我下次压根想不到做一条边跟这条边相等。你看，你做这两条边相等的目的就是为了构造两个三角形全等啊，对不对？你构造出全等来了，那这题不就是轻松拿捏吗？ 好，第一小问结束，千万不要用 k 一 乘以 k 二等于负一这个结论。注意只能在选填小题用，因为它叫黑魔法。把这个黑写下来，它叫黑魔法。为什么叫黑魔法呢？因为它上不了台面，只要你在明面上，试卷上出现这个东西，你一定会扣分。 好，下面第二题，在一的基础上啊，在一的基础上，也就是说这个 k 等于二的时候， ok， 等于二已经明确告诉我们了， 在直线 ab 上找个点 m， 直线 ab 上找一个点 m 哦，这上面有个 m， m 在 哪里？我也不知道，反正这上面使得两个三角形的面积相等，同学们感受一下。这个三角形 a、 e， m 是 个动点，但是这个三角形 a、 e、 f， 你 看一下， a 点确定了， e 点确定了， f 点这边也确定了，所以这个三个点是固定的，所以三角形 a、 e、 f 的 面积它是固定的。来，我换一种颜色的笔，我用蓝色的笔。第二小问，同样用第一幅图，只不过图中标的是蓝色的笔， 从图中我们可不可以能够求出 aef 的 面积啊？对于我们来说简不简单？有人说，老师，这个，嗯，好难好难。其实我们刚刚在第三小问学了一个结论，还记得吗？垂美四边形的， 这，哦，错了。第一个结论，垂美四边形什么面积是等于二分之一对角线乘积的？所以当你看到这个四边形，你 直接惊呼，他的名字叫什么？垂美四边形，所以这个四边形的面积对于我们来说太简单了，这一段长乘以这段长乘以二分之一，是不是？当然有同学说，老师，这个结论不能直接使用。对，那你证明一下吗？是不是？比如说我在这个地方标一个小小的点，叫 n 点， 所以我们看一下，先把这个三角形，把这个给我求出来，没毛病吧？可以求出吧。啊？这个三，这个四边形的面积是不等于这个三角形加这个三角形就等于 a e 加乘以它乘以二分之，再加上 a e 乘以它乘以二分之。把二分之一 a e 提取出来，就等于 n f 加上 n o 就 等于二分之， a e 乘以 o f， 你先把它证明一下不就完事了吗？而 a e 勾股定律，这是二至四，这是二根号五，所以 o f 也是二根号五，二根号五乘以二根号五，再乘以二分之一，就是整个的面积。整个的面积是多少？ 哦，这是，嗯，约掉一个二就等于十这个面积，整个四边形面积是十，那么这个三角形面积等于几？二乘四乘以二分之四，所以得六，所以 s 三角形 a， e、 f 的 面积就是六吧，对吧？好，我们浅浅的写一下 第二题，我用蓝色的笔写吧就好。所以 s 三角形 a， e 啊，算了吧，我还不是把这个先把四边形、垂面四边形的面积写下来。 s 四边形，四边形，谁呢？ o a fe 的 面积就等于 s 三角形 o， a e 加上 s 三角形 a， e、 f。 为什么我这么做？这么做的好处就是我不免的去求这个 o， n， 你 还用等级法求 o n， o n 的 话，因为它有根号，求起来比较麻烦，对不对？当然不是说不能做，可以做啊，就怎么简单怎么来嘛，对不对？杨老师，我觉得学数学最主要的就是偷懒，你要学会偷懒啊。 等于二分之一 a e 抵乘以高 n， f， n， f 再加上二分之一抵 a， e 乘以 o n。 把二分之一 a， e 提取出来，就能够得到，里面是 n f 加上 o n， 就是 把这个公式垂直面推倒一遍，等于 a， e 乘以什么？乘以 o f。 那 么因为什么哦？因为 e， o， f 等于 a， e 都等于根号下勾股定，你 o a 的 平方加 o e 的 平方， o a 的 平方加 o e 的 平方，代入数据就有了呀。根号下，呃，二的平方加四的平方二，根号五。当然你可以假装算一下，就不用算一比一，一比二，比根号五的关系嘛。所以有了之后，所以 s 四边形 o， a， f， e 的 面积就有了呀。等于二分之一乘以二，根号五再乘以二，根号五等于十。 那因为 s 三角形 o， a、 b 的 面积是等于二分之一， o， a 乘以 o， b 就 等于二分之一，乘以二乘以四就等于四。所以 s 三角形 a、 e、 f 的 面积就等于 s， 四边形减去 s 三角形，那就等于十减四就等于六， 看得懂吗？哦，那现在这个题目就变成什么样的一个题目呢？啊？当然这个这个过程太简单了，就现在问你，在这个直线 a、 b 上 是否存在一点 m， 使得 a、 e m 这个三角形的面积等于几？等于六嘛？是这个道理吧。哦，这边找个 m 是， 这是接下来用什么方法？三个字，我相信你们脱口而出啊，脱口而出叫牵捶法，牵捶法 看得懂吗？好，那说 ab 上有一个点 m， 那 我就瞎点，随便点。现在我就用红色的笔吧，在上面瞎点，比如说这个点就是 m， 看我心情，我愿意点哪就点哪，对吧？ 好，这边有个 m， 那 么 a e m 这个三角形，它的面积等于六。问， m 点坐标这个题咋做的呀？我说 m 点的横坐标为 m， 纵坐标为负 m 加四，看得懂吗？因为它在直线 ab 上，所以横坐标设为 m， 纵坐标就用它的表达式来表示就 ok 了。 那么这个三角形的面积，同学们感受一下。我们要表示这个三角形的面积，很明显，它的面积我们没有办法直接用二分之一底层高，所以此时此刻我们要干一件大事，什么事 叫割补过点 m 做一个铅垂高，就是做一个与 y 轴平行的直线，与我们的 a、 e 交于一点。这个点呢，我们也给他取个名字，这个 n 给他换个位置啊，放在这边有点碍事了。嗯，这个 n 我 给他换一个位置， 先把 n 的 位置给换了啊， n 放在哪里？哦？ n 放在这里可以吧，不影响。那么此时这个点呢？我给它取一个名字，就叫 q 吧。 q 没用过，是不是？有没有用过？后面有没有？ 呃，果然没有。好，那他就是 q 定了。好嘞，那这个点就是 q 点好，所以此时此刻我这么做了之后，你会发现，嗯，这个三角形，我们要求这个面积等于六的三角形，瞬间被分成了这个小三角形和这个小三角形，那么这个两个三角形的面积 怎么表示？哦，现在有水平线和竖直线了吧？啊，我干脆啊，为了方便，我把这条线给他拉一下，嗯，拉到最下面，把下面这个也给他表示出来，比如说，这个点叫屁，屁有用过吗？哦，屁有没有用过？我们来看一下。 这是一个 p 点没有用过。好，那我就标一个点叫 p 好 了。那如果我过点 m 做一条平行于 y 轴的直线，于 a， e 交于 q， 于 o， a 交于点 p， 那 此时此刻下一步动作，我就要表示 a e m 的 面积了。来，我用红色的笔写 s 三角形 a e m 写在下面啊， s 三角形 a e m 的 面积是不是瞬间表示成 s 三角形 a m q， 再加上 s 三角形 e m q 就 等于二分之一 m q 乘以。哦，底是 m q， 因为我要选横平竖直的边作为底。高。是谁高？是不是 o p 啊？就是这段，这段跟 o p 相等，那我们就直接 o p， 再加上下面这个三角形二分之一 m q d 乘以高。高是什么呢？看清楚哦，这个高，这个高是不是相当于 ap 啊？哦，就是 ap， 所以 提取二分之一 m q 里面是 op 加 ap， 而 op 加 ap 是 谁呢？是不是就是 o a 啊？就等于二分之一 m q 乘以 o a， 其实这个地方我们有一个名字，同学们还有印象吗？这个东西它叫什么？它叫千锤高， 回忆一下，千垂高而 o a， 这叫什么？这个名字叫水平宽。所以任何一个在平面直角坐标系里面的三角形的面积永远都等于二分之一的千垂高，乘以水平宽。什么是千垂高？什么是水平宽？千垂高就是过那个洞点，做一条鱼 y 轴平行的线，这一条竖直线与第三边所在的直线交于一点 q， 那 么这个焦点和这个动点之间距离就要千垂高。那水平宽指的是什么呢？就两个定点之间的水平距离，这两个点之间的水平距离叫水平宽，可以理解吧，当然 m 可能在这，也可能在这，如果 m 在 这，你看 此时这个三角形变成这样的，同样我要过 m 做一条什么？做一条竖直线，与第三条边所在直线交于一点，这一点就是我们要的 q， 这个是 p， 所以 此时我们要的这个三角形面积，是不是用大三角形减去这个小小的小三角形啊？最终的表达式跟这个是一模一样的，没有区别。当然 m 有 没有可能出现在这个位置？ 也有可能吧，你看 m a， e 可不可能出现在这个地方？同样也是过点 m 做一个那平行于 y 轴的线，因为它的第三边交于一点 q， 这是个 p， 所以 此时此刻这个三角形 e q m 减去小三角形 a q m， 这两个三角形底都是 m q 啊，乘以 高哦， m q 乘以高，高是这个，再减这个是高，是这个哦，这个高长大高，减小高，减出来是不是依然是这个水平宽啊？所以无论你 m 在 哪里都是可以的，对不对？所以最终我们就能得到，它的面积永远都等于二分之一， m q 乘以 o a， 而 o a 的 长度是多少？是四，所以最后的结果就是两倍的 m q， 而它的面积等于几？它的面积等于六，所以这个东西等于六，所以就由 m q， 其实它就等于三，所以这题目就变成什么。问你 m 的 坐标是什么使得 m q 等于三？注意了， q 的 坐标是什么？ 你知不知道？因为 q 的 横坐标跟 m 点坐标一定是一模一样的。来，我在图中标一标， q 的 横坐标跟它一样吗？也是 m， 那 么 q 的 纵坐标是什么？ 它是在这条直线 a e 上，而 a e 的 直线表达式是什么呢？我就写在这个旁边呢。 a e 的 直线表达式，其实刚才我们很早之前去求过一次啊，你可以自己再去求一下，我就不再求了。 a 点坐标，知道一点坐标，所以 a e 的 直线表达式一定是知道的。所以 q 点的 横坐标是 m， 纵坐标带进去二分之一， m 加二，这就是 q 点。所以接下来 m q 这条线段的长度我们是不是可以表示出来了呀？来表示一下 m q， 有 人说了，老师，这个地方用上面一个点 m 的 点坐标减去下面一个点，但是你咋知道 m 就 一定在上面呢？那么 m， 我 说了，刚才 m 有 没有可能跑到这个位置来呀？ 你 m 如果跑到这来，你做一个水平线， q 是 不是到这来了？所以 m q 不 一定谁在上谁在下，当你没有办法确定谁的纵坐标更大的时候，怎么处理？直接加绝对值就 ok 了。看得懂这意思吧？所以 m q 它其实是等于绝对值， 负 m 加四，减去负的二分之一， m 加上二，所以绝对值咱化简一下，就等于 负的二分之一 m 再加二，这就是我们要的 m q 的 值， m q 表示出来之后呢？啊，这个地方，因为 m q 等于这个，所以，当然我们如果要把过程写全啊，我这个过程只是整理一个思路，没写过程啊，你还要怎么样设 m 点的坐标，横坐标是 m， 纵坐标是负 m 加四，则 q 点呢？横坐标是 m， 纵坐标是负的二分之一 m 加二，看得懂吗？啊，这是 q m， 那接下来，所以 m q 就 能得到是这样的一个式子，所以就能得到这样一个负的二分之一 m 加二的结果，它就等于三啊。解得 m 等于多少？这个题目是不是就解决了呀？这个我们悄咪咪的算一下吧，负的二分之一 m 加二等于三，就等于一呗。 那所以 m 等于负二，哎，第一个结果 m 等于负二，第二个 m 等于多少呢？来，我们来化解一下，如果是负的二分之 m 加二等于负三，那此时负的二分之一 m 是 不等于负五啊？哦，负的二分之 m 等于负五，所以 m 不 就等于十吗？哦，所以 m 等于十写下来 或十。最终。综上，他题目要求的是什么？求的是 m 点坐标，所以 m 点的坐标，要么横坐标是负二，纵坐标负二，带到里面去是六。或者 m 点横坐标是什么？横坐标是十，纵坐标带进去哦，负十加 四哦，负五，十加四负六，所以 m 点有两个坐标，哎。这个题目最后一小问，第三小问，哎，第三小问看似好像有点难度，但是其实他很简单，为什么？因为他直接写答案，不用你写过程啊。哎呀，太开心了，我就喜欢看这种直接写答案的。直接写答案，那快的同学可能三秒钟直接出答案，太简单了。 好，我们看一下。 k 值等于二哦，他已经开门见山，直接告诉你这个直线的表达式，他就是 y 等于二， x 明确了，对不对？他跟他平行，所以他等于 y 等于二。 x 加几呢？这个地方是四或，所以才是加四， 对吧？这个是四。好，已经明确的告诉你了，那么这个点的坐标就是负二。哎，这些都有啊，这个是结束。那接下来他说什么？问你， 呃，在 x 轴上是否存在一点 n 使得什么？使得 obn 加 obc 哦， obc 反正有了，是这个哦， obn 这个角等于多少度？这两个角加起来等于四十五度。问， n 的 坐标，哎呀，这不就是我们讲的五大黑魔法吗？那么你看这个三角形，它叫什么名字？这个三角形叫一二根号五，一二根号五吧。一比二比根号五，一比二根号五的小角和 一比三比根号十的小角，他们的和是等于四十五度吧，所以这边的这个角的小角北塔一定是一比三比根号十的小角。所以，如果你知道黑魔法这题直接写答案的情况下，你是不是三秒可以出答案？按点坐标直接写一下 这个按点坐标，这个三角一定是一三根号十的小角，一三根号十的小角，是不是？所以你看三份是等于四的啊？三 k 等于四，所以这个 k 是 不是就等于多少？一份是多少？三份等于四，那一份不就等于三分之四吗？所以按点的坐标直接写是三分之四 零，对不对啊？当然除了这个地方对称过来，这个地方肯定也有可能是负的三分之四零 啊。这个，这个我就不不去画图了，直接写啊，所以直接写答案， n 点的坐标是三分之四零 啊，另外一个 n 点的坐标是负的三分之四零。当然这是我们魔法学院的解法，那对于普通人我们怎么做呢？来，再看一下，如果是普通人，普通人，我们要解决这个问题，怎么处理呢？那可能你需要多花点时间，但是也能做回忆一下，如果这个角要保证四十五度， 是吧？这两个角加起来是四十五度，这个求到右边这个 n， 左边这个 n 直接是对称过来的，只要保证这两个角相等就 ok 了，对不对？哎，这个右边左边这个很好求啊。那么先把右边如果这个角是四十五度，这就涉及到了一个什么知识点，还记得吗？ 当题目中遇到四十五度角的问题，我们要把四十五度放入直角三角形中，必须怎么叫？有一句话口诀叫锤自己，不锤别人，是不是？这就是我们普通人的口诀，叫锤自己，不锤别人。哎，当时有人开玩笑说，我要锤同桌，锤同桌也没用，必须锤自己， 锤自己不锤别人。这句口诀在什么情境下使用的呀？不锤别人，这些全都是我们直播课讲过的内容啊，当然，如果说没有学过的同学再学一遍什么叫锤自己不锤别人？当然在周中间里面我们也讲过啊，锤自己不锤别人。 好，这个角等于四十五度，接下来我们如何把四十五度角放入直角三角形中呢？同学们还记得吗？有几个步骤，第一步，我们要干一件事，什么事？找到四十五度角两边上的某一个定点，某 定点，只要是定点就行，但是你别跟我说顶点除外， 四十五度角的顶点除外，你不能说，老师，我找 b a b， 这是个顶点，最他是四十五度角的顶点，注意，顶点除外。你不能找顶点，顶点除外， 还记得吗？哦，那我们看四十五度角这条边，这条边上面哪个角是已知的？注意这个 n 不 已知， n 是 要求的，是不是刚才我们用黑魔法求出来了，但如果说我们 n 不 已知的情况下，我们怎么去求呢？哦，你看，首先第一步，你看这个角的两条边上哪个点是已知的？哎，太明显了，不就 c 点已知吗？ 当我们找到这个 c 点已知点之后，那么第二步，就用我们的口诀，锤自己，不锤别人，锤 myself 啊，这个没写错吧？呃，不锤别人，哎，这个不锤别人。 看来感觉我这个英文啊不太好。好，别人不知道英文是啥。好，那接下来我们继续往下看， 看到这个之后呢？接下来我们想了哦，锤自己，过点 c， 找到了之后呢？过这个，找到了这个固定点，然后锤自己。注意，什么叫锤自己，我只垂直于自己。 哎，你不能说我过点 c 做这个垂线不行，你垂的是别人不行，你必须你找到点 c 之后，你垂的时候一定是垂足，是自己，你不能把垂足变成别人了，一定要垂足。变成别人了，一定要垂足，变成别人了，一定要垂足别人。把这个延长一下， 哎，把它延长一下，比如说焦点，这个焦点，我给他取名，取个名字，这个字母什么字母没用过呢？你们说一下看看是什么？ a？ b？ c， d？ e？ e？ 没？哎，有了是吧，那就就就就，好像都用过了是吧？那我也不知道取啥，取 t 吧， t 肯定没用过。 好了，那此时此刻锤自己，不锤别人。我做了个垂直之后，同学们发现这是个什么三角形啊？等腰直，所以第三步又来了，遇到等腰直就做三垂直，接下来是构造三垂直， 三垂直，同学们看一下，用普通人的做法。哎呀，我的天呐，要写这么多，可能你还要上半天。好，那接下来构造三垂直，噔噔噔噔噔。 过照三垂直的两个步骤，第一步，过直角顶点，做一条水平线或者竖直线。第二步，过锐角顶点，做这条水平线或者竖直线的垂线。如果我说的太快，你可以按暂停键把我说的这两句话记下来。当然，如果你已经很熟练的，你可以按暂停键把我说的这两句话记下来。当然，如果你已经很熟练的，我感觉闭着眼睛都估计睡梦中都能够把它说出来。 构造三垂直的两个步骤我就不去写了，我说一下，如果你觉得我说的快，你就按暂停键自己写一遍。 第一步，过直角顶点，做一条水平线或者竖直线。做竖直线或者水平线都可以。当然有同学说，我就喜欢水平线，那你就这样一做，这样一做，这两个三角形全等，对不对？三垂直，但是我比较喜欢在外面的。那你做这样一做，这样一做，这样一做，这两个三角形全等 啊，全等之后，请问 t 点的坐标我们能不能求出来？哎呀，太简单了吧，是不是标一？标在图中标一下，这是二，这是四，这是二，这是四。对于我们而言， t 点坐标简不简单？横坐标是二，纵坐标是负二。 哦， t 点坐标知道了，所以这条直线。嗯， b t 这条直线的解析式能不能求出来哦？ b 点坐标知道， t 点坐标知道，所以这条直线的解析式我们是不是就很快能够求出来呀？好，我们把它写下来。这条直线的解析式是， y 等于，当然你自己去算，我就不去算了。 y 等于负三， x 加四 哦，算出来之后，令 y 等于零， x 等于三分之四，从而也能得到 n 点的坐标，就是三分之四。我的天呐，你看看一道不要写过程的题目，我们算这么久，至于吗？所以五大黑魔法要不要学？必须学啊，每个人都必须给我学一学。应该是在 五大黑魔法我们直播课上是在第六讲讲过的，然后周周念里面呢？应该是在专题，就是周周念的第十二讲还是第十三讲的最后一题啊，你们自己去找找看哦，不是错了，我也忘了是在哪了，周周念不记得了，你们去找吧，反正在前面。 不记得了，在前面啊，不是十二，十三应该在前面，六还是八的样子。好，这是我们的第四题， 我希望通过这道题目，我们要学会什么？这里面有个非常重要的信号，就是第一小问给我们的这个答案，这一套题给我们的一个辅助线的灵感特别特别重要，下次再遇到两条直线， k 乘积等于负一，你特别冲动，想用他们的 k 乘乘积等于负一，求出另外一条直线的 k 值的时候， 注意先别冲动，给他构造一个全等就能够瞬间解决，明白吗？这道题，这个题目，哎，太基础了，我们做烂了。应该啊，做了很多的面积问题。 那么第三题呢？第三题这个黑魔法，希望每位同学都去复习一遍，如果记得更好，不记得同学一定要复习啊，必须去记，自己去找啊。

一般不是老铁我不会告诉他这个秘诀。已知两点，求一次函数的解析式。可能很多同学已经列出方程组正在计算的路上了，其实当你在设 y 等于 k， x 加 b 的 时候，小帅就已经写出解析式了。下面看一下他的演算过程。 下面是此法的原理，有兴趣的可以去推导一下。

然后可以证明，三角形 a， b 勾旋转三角形 a， b， 因为这个角等于， 因为 a， c 等于 a， b 这个角等于九 十度，然后角对 a， c 加角对 c 等于九十度，角对 a， c， a 等于角。 然后根据角角边的这一圈 勾 c 的 长度为三， 勾 a 的 长度为六， 所以 c 的 坐标是 c 的 横坐标是六减 o， a 等于六，减三等于三。 姑娘，你停你站边，让我看看，你说 c 点坐标是三三对吗？ c 点在第几象限啊？ 你求出 c 得等于三， o 的 等于三都没错，对吧？ c 得等于三， o 的 等于三，你是求出距离，然后你要根据这个点所在的象限，然后再根据距离写的坐标，对吧？ 所以特别注意，昨天那个教室里面好像有好几个学生，这个地方坐标是写错的，距离算的是对的，坐标写错了，他就没有关注到这个点所在的位置，对吧？点的位置有坐标特征啊。 好了，这个 c 点坐标现在对了，然后再求什么 a， c 的 函数表达式，对吧？这个地方你的 c 点是 b 点的对应点， 因为 b 点是已知点吗？对不对？他求他的对应点，然后构造了 k 字形，全等。好的，那这个题目我们就算说到这里，前面你证明的那个全等的过程他也省略了，那就他是说了一个简单的解例思路。好，请回， 那么等一会你完成哈，你认真地完成，我们下面把这个题目变一下，绕着 x 轴的焦点，顺时针旋转四十五度，得到 l 二， 求 l 二的表达式。顺时针旋转四十五度，求 l 二的表达式。 顺时针旋转四十五度。 周一涵，你去讲可以吗？ 用红粉笔 let's go 啊，你能求这 c 点坐标吗？这时候， 对啊，是全能啊， 都是一等于 c， 对 啊，哦，是啊，哦， u c e o 是 正正方形，所以 c e 就 等于 u， 嗯， u c e d 多， u d 加 于六， c 六 d 多等于 u e， 咳咳， 关键你这个地方，我看我这样来解释，怎么样用参数来解释， 他说 b 得加得 o 是 b 得加得 o 是 六，对吧？我们用参数来解释的话，可能会更更好懂一点，更容易看出来，就是这个是 m， 这个是 m， 可以 吗？ 那么这个就是这个就是 m 了，对吧？是不是？那这个是 m， 这个也是 m， 对 吧？啊，这个是 a， 这个也是 a， 对 吧？是不是？这两个相等吗？那么说明这个也是 a， 对 吧， 对不对？这个是 m， 对 吧？因为全等嘛，这个是 m， 这个是 m， 那 么现在是 m 加 n 等于六，就是这个地方就变成 m 加 n 等于六，而 m 减 m 等于几啊？ 看这里，哦， m n 减 m 等于几啊？三，那这个方程组是不是可以求出 m a 呢？求出 m 是 二分之九，对吧？ m 是 几啊？ 小朋友，二分之三对吧？啊，也就是这个是二分之三，这个是二分之九，那因此这个坐标正常就是二分之九。逗号，二分之九，对吧？是，对不对？老师啊， 对不对？你看，那么四年论文出来了以后，这个这个函数表是就可以求了吧，是吧？ 周一涵，你好厉害，你看这其他思路，其他构造的方案，他是这样构造的，你有没有其他的构造方案？ 有没有其他的构造方案， 你也是这样构造的吗？不是的，那么我们现在来分享你有没有其他的构造的方案， 这是一种思路哈，这是一种思路，这种思路是 过。思路一，过 b 做 b， c 垂直 l， 二、 就这样，对吧？于 c， 然后过 c 做 c， d 垂直 y 走于 d， 过 c 做 c， e 垂直 x 走于 e， 对 吧？然后它 e 正 三角形 c 的 b 全等于三角形 c， e， 哎，对吧？角角边，这个是没有问题的，角角边，真的， 那么然后他开始由全等得到 b， d 等于 a， e， c， d 等于 c， e， 是 吧？好，接下来设 四， b， d 等于 a， e 等于 m， c， d 等于 c， e 等于 m， 这样我们可以得到 m 加 n 等于六， m 减 m 等于三， 所以我们就得到 m 等于二分之三， m 等于二分之九，对吧？因此我们可以得到 c 点坐标是二分之九的话，二分之九，因为它的底液相变，是不是这样子？再用率定系数法求出这条直线，这是法一 法二， 你是怎么勾的？ 不行，班长来，因为班长昨天的构造是不一样的，他可以印象比较深，可昨天构造过来，换一种方式构造， 如果你要，如果没有想到这种，那么还有一种怎么走的？ 是这样画的吗？ 在延长的吗？哦，你看它这样摆 的，是这样摆的 那个地方，先标个底，标个 p， 哎，大家都不错哈，掌声回送，对不对？那么他这个是过 b 做 b， p 垂直 a， b 九 l 二于点 p， 对 吧？然后再过 p 做 p， h 垂直划一轴与 h， 勾到了 k 形图，对吧？这个 k 形图你看出来吧？勾到了 k 形图，这个 k 形图求 p 坐标就省清楚了。 为什么？因为跟这个圈呢嘛，这个是三，这个六嘛？这个三，这个六嘛，对不对？这个求坐标相对来说就清楚得多，清楚得多， 所以你看到方案不同，它的这个难易程度相对来说还是有点微妙的差别，对吧？那这个我就不说完了啊。你求的屁坐标求出来以后这条直线也可以求了，对不对？嗯， 有研究啊。有，居然住了几天了还有人空着，这是不应该的哈。 你们尝试着用两种方案解决同一个问题， 两种都去写哈，你不着急，就等 思路越多，将来再碰到这种类似题目才才会灵活啊。没有思路就就死路一条了。

一次函数动点加旋转超级难的一道题。在平面直角坐标系中，一次函数 y 等于 k， x 减三的图像与 y 轴交于点 a， 嗯， 交于点 a 的 好像有两条直线，哪一个呢？于 x 轴负半轴，负半轴这边交于点 b o， 那 就是这个 y 等于 k， x 减三是它。 第一问，如图，若点 b， b 的 坐标给你了，负四零，点 b 呢？关于 y 轴的对称点 为点 b 撇儿。哎，你对称，那这不就是四零吗？求直线 ab 撇的函数表达式。 a、 b 撇这个的，它不是直线吗？那就是一次函数喽。那我设一个 y 等于 k， x 加 b， 然后呢？一个点 b 撇有四零，我给它带进去，但是有俩未知数，我还得需要一个点，那肯定找 a 点了。 a 点，由这条直线可以知道，它是当 x 等于零的时候， y 等于负三哦，所以再把 a 这个点零负三代入，这不就 ok 了吗？ 啊， x 是 四，呃， y 是 零，那么零等于四， k 加 b， y 是 哦， x 是 零， y 是 负三，零哦，那 b 等于负三， b 等于负三。 挪过去四， k 等于三，那么它推出来， k 等于把它代入啊， k 等于四分之三， b 等于负三，所以这个 y 就 等于四分之三， b 负三减三， o 四分之三， x 减三。哎，第一位搞定了。 好啊，就让求一个，这个有啥用呢？哼。第二个，在一的条件下啊，就在这种条件下，所以还是这个图， 点 c 是 线段 b， b 撇上不与点 b、 b 撇重合的一个动点，这个点是个动点， 和 b b 撇不成和点 d 是 线段 a、 b 撇上的啊，一点 也是一点，但不知道是哪一点，是任意一点吗？有条件且满足角 a、 c、 d 这个角等于角 a， b， b 撇等于这个角，嗯， 也就是说 c 是 动的， d 呢，是上面一个点，你也可以其实是换，因为这样的话，我要保证这个角等于它就 ok， 所以 其实 c 和 d 都是动电路。 然后当三角形 a、 c、 d， a、 c、 d 为等腰三角形时，求点 c 的 坐标， 也就是说，你当这个三角形为等腰三角形。是不是又有三种情况， a、 c 等于 cd 时， cd 等于 d， a 时 a、 z 等于 ad 时，还得分类讨论，妈呀，第二问就开始已经难了， 好，我们先来捋一下啊。呃，假设 a、 c 等于 ad 时， 哎，我先看这个，好看的吧。啊，假设 c、 d 等于 a、 d， 是 吧，你看它现在画的，好像这俩就相等。假设这俩边相等，我这样标这俩边相等，那么这个角不就等于这个角吗？ 等边，对等角。哎，你刚才的这个，这不是对称图形吗？那这个角也等于这个角喽？我们先把能反应出来的都反应出来。 嗯，哎，那你这样一反应，这个角不等于这个角吗？那么这个边不就等于这个边了吗？ 这个边是几呢？这个边，你看啊，这是三，对吧？看上面的坐标，这是三，这是整个是四，整个斜边是五，那么你对，你， 哦，你等于你，我还真不知道是多少。你现在要求 c 点的坐标，哎，整个长是四，那你这坐标，假设我这是 x， 零的话，那我这不就是 x 吗？ 然后这一节呢？这一节不就等于四减去 x 吗？这节等于四减 x， 这节不就是四减 x 吗？它俩相等，那我这三边不就组成了一个 直角三角形？我用勾股定律用一下 x 的 平方加上九 等于四减 x 的 平方。好，那 x 平方加九等于四，四十六加上 x， 平方减二四得八 x， 然后这俩一抵消，那剩下八 x 等于十六减九 是七 x 等于八分之七啊，直接搞定喽。好嘞，我们把求出来的写一下啊。呃，当我是当 cd 等于 a、 d 时啊。 呃， d， a 等于 dc 时，那我 c 点的坐标求下来是， 嗯，八分之七零一个了啊，好，那我再分情况讨论。当 d a 等于 a、 c 时，哎，我给它写的规整一点， a， d 从一个顶点出发， a， d 等于 a、 c 时，行了，我把这个情况给它擦掉。 这擦掉。哎，好，我这的已知角还标着呢啊，已知永远是它等于它，然后它俩又对称，它等于它，这等于三角形。 ok， 我 现在又假设 a、 d 等于 a、 c 这俩角相等的时候，这俩边相等的时候。哇，那我这个地点不得动一下吗？嗯，假设我动到这吧， 地点不得在这啊，我用红色的话，哎，这俩相等我得把这两个边整整相等的，那这一点就是低一点假设的啊，然后呢，那我这个角 a， c， d 不 就变成了这个角吗？整个这个角了，它等于它等于它。 ok， 那 它是不是又等于它？ 哎，这俩角相等等边这个角怎么等于它加它呢？它等于它加它。 等。会啊，它等于它加它。哎，不对啊，它等于它呀，但是它又是它这个三角形的外角啦。 那这个叉叉角不得是零度吗？它要是零度哦，我转一下，那不得是 b 点和 b 撇点了吗？ a， b 和 a， b 撇 d 就 跑到这了， c 就 跑到这了，这样才是零度啊。角 a c d， 角 a， c， d， 哦，角 a， c， d 等于它了，那这个角角不就成零度了吗？但是人家刚才说了，是不是点 c 是 不与 b b 撇重合的一个动点？ 所以呢，我这个边儿等于这个边儿的时候重合了， c 与 c 与 b 重合了。所以呢，舍去啊，不考虑这种情况了。好，那我再考虑下一个，当 a c。 我看啊，考虑了，嗯，它两边，它两边，那就是 c a 等于 cd 时，好，我再考虑这两个。哎，把它擦掉。 嗯，这也不要了，这也不要了。好，也就是说 c a 等于 cd 时，这俩边相等，那么这俩角相等， 然后呢？这个角还是和这俩角相等， ok， 嗯，那我求一下啊。哇，这俩角相等，这两边相等，这个角等于这个角，这有啥用呢？ 再看这个叉叉，叉叉，这个外角等于它加它，对不？ 叉叉等于点点加圈圈。外角的性质。 那这个叉叉也等于点点加圈圈，这个叉叉等于它呀，叉叉等于点点加圈圈。哎，这也是一个点点圈圈呀。那这个叉叉不就等于 点点加圈圈，不也等于他了吗？这俩角也相等了，这俩角相等，那么这个边不就等于这个边吗？这个边刚才咱们求下来是五，那他不也是五吗？ oh， my god， 它是五，咱刚才求的这个直角三角形，这边是四，对吧？哦，你看看这个图画的不合理了哟，这个角要等于这个角，这个边也等于它，那我不得画到这来？ 嗯，你看，差不多吧。哎，也就是说我的 c 点应该在这儿，这个时候 c a 等于 cd， 哦，在这里， c a 等于 cd。 好 嘞，那我重新标一下啊。重新标一下，那也就是说我这个叉叉等于这个叉叉，这俩叉叉相等。 这个，哎呦，有点乱，我来擦掉，重新画，因为这个五画的不合理，所以扰乱我的思路，所以我来重新画一个，哎，当 c a 等于 cd 时，大概是一个这个样子，那么我的这个角叉叉，这个角叉叉就等于这个点点加圈圈，这个点点， 哎，加圈圈，他又等于点点加圈圈，所以我这个角也等于叉叉，所以这个边等于这个边，他这个边是五，那么整个这个边也是五，但是我这个边边等于四， 所以呢，那我这个 c 的 这个动点不就是负一了吗？哎， c 点又有了负一零。好啦，三种情况都考虑完了，只有这两种情况是存在的。 ok， 第二问，搞定了啊， c 的 坐标有两个。第三问，如图三，若角 o a b o， a b 等于六十度，这个角等于六十度。 动点 c 在 线段 b o 上，它又是一个动点，在 b o 上， 将线段 a c， a c 绕点 a 旋转六十度，顺时针，那就这个方向它转六十度，哦，那么你这个的旋转角 这就是六十度了。好，然后得到线段 a d， 哦，也就说你这个边等于这个边喽。然后连接 c d o d c d o d。 好，请直接写出线段 o d 长度的最小值， o d 这个长度的最值还是个最小值？ 那我们以前的思路是不是只要是动点，我就让它先动起来，对吧？我先试一下，啊，啊，动点，那你在 b o 上动，那我先来一个比你大一点的， 你要把它旋转成等边三角形到这，呦，不太好看，不太等边，大家数旋转到这，差不多到这，那连接 o d， 呦，比这个它原来的图形还长了。那我再来一个蓝色的往这走， 再来一个，等边三角形旋转这儿，嗯，差不多到这儿。好，那再连接 o、 d， 那 它也比它长了。哎呦，这个 o d 还真的是有最小值哎， 但是，哎，哪有思路呢？这好像不太好看出来哈。这个红色的 o、 d 在 变化，这也在变化，你发现 a、 o 这个边没变化，哎，你看看 a、 o 这个边没变化，这个蓝色的三角形呢？你发现 o、 d、 d 在 这儿， 这个在变化，这个在变化，它也没变化哦，发现有一个固定的边没变化，哎，你要求三角形， 你要求它的最短最小值，那我只能把这个边和这个边放在这个三角形当中喽。 放在这个三角形当中，什么情况下它最小呢？哎，刚才没反应出来哈。这是六十度的时候。红色的这个啊，标的这个角 o、 a、 b 是 六十度的时候，那它是不是三十度啊？ 哇，三十度不就正好这个边吗？这个边不是等于这个边斜边的一半吗？哎，这没用上呢。好啦，那也就是说它是等于这条边的有， 嗯，那我能不能给它转换一下？ 嗯，来吧，我们把这擦掉，好好的看一下这个已知条件。好， 这是 c 是 动点啊， b 是 三十度角， b 是 三十度，然后这儿是六十度，然后这儿还是六十度。呦，这还出来个手拉手模型，哎， 啥意思？相同六十度角错开，那这边的角和这边的角不是相同吗？刚才我们是不是看 o d 这条边 这个在变，这个在变，但是这条边不变，这条边挪过来之后旋转过来，哎，我再给它旋转过来，六十度，不就是这个吗？嗯，那就是这个点喽。 a、 b、 c、 d 假设是 e 点， 那么这个边就等于这个边喽。好啊，这个边等于这个边。哇，还有一个角相等，角边 边，边，角边。哎，这俩边也相等哦，刚才才画出来，这是旋转过去的边角边，边角边。那我这不是构造了一个全等三角形吗？看一下，那我连接这个， 因为你这个边，对吧，所以我只能连接它了。嗯，那一点，那我一定是终点喽， 对吧？因为我想用这条边等于这条边，它就是斜边的一半，那么它就等于它，所以它是个中点。哦，那我就连接一个辅助线，连接 找见它的中点，然后连接 c、 e， 构造了一个三角形，它和它全等。 ok， 那 么你要求 o、 d 的 最小值， d 点一直在动，我再动一下试试。动到这，那我所造的三角形 不就是这个吗？红色的，那相当于三角形旋转过来，那 d， 这个 o、 d 肯定长了哦，那你现在要求 o d 的 最小值，不就是求它的最小值吗？ 你动点，动到这边，动点 c 呢？要是到这边，那么你看这个是不是也比它长？所以说要求 c、 e 的 最小值，那不就是过点 e 做这个 bc 这条直线的垂线吗？ 好，这是垂线，这也是九十度，这是中点，所以他平行于他，然后这是中点，所以他是中位线，那他不就等于他的一半吗？那他等于多少呢？ 看好啦，三十度，六十度。呦，这个和上面是不一样的，但是这一节还是等于三。为什么？因为总体的这个前提里面， y 等于 k， x 减三，它是横过 零三点，零负三点，所以说 a 这个坐标还是零负三，所以这一节还是三，那么它就等于二分之三了，它的最小值就对应着 o d 的 最小值，所以得二分之三。学会了关注我吧！

好，我们接着来看第十一小题，是一道函数题，也是非常难的一道题目，他说先定义，对于两个实数 ab， 我 们用 最大，这 mx 是 最大，嗯， ab 表示这两个数中最大的数，那 m a b m a 正大过 ab， 如果取 a， a 大 于等于 b， 如果取 b， a 小 于 b。 对 于函数，这两函数， 一个是 r x 减一，一个是负 x 加，那就取它的大的部分，那我们把这两个函数我们先给它画出来， 哦，不，不急，我们先给它算一下吧，我们先算一下 x。 第一小题，算下 x 等于一，那 r x 减一就二乘一，减一应该等于一， 这边呢，负一加也是一，所以这两个都是一，所以 y 的 值就是确定的一。好，第二题啊，第二题呢，我们先把这个函数给先给画出来，这个函数先给它画出来， 那我怎么画？那一个是 y 等于二， x 减一个是负 x 加，那我们看哪个大一点取哪个，所以我们画一个坐标系 r x 减一，那我们取。你像我们要画函数，画草图，怎么画？那我们就取点，取哪两个点？第一个找与 x 轴交点，与 y 轴交点好， r x 减一， a， x 轴交点呢？肯定是二分之一。好，所以我们找一下二分之一这个点， 那我们再找一个负一这点，那我们连一下，那我们发现这个函数就是 y 等于 r x 减一， 那第二个函数呢？负 x 加与 x 轴交点，与 x 轴的交点呢？就是二零，哦，属于二零，我们找到二零，在这位置与 y 轴交点零二，那我们找到零二，在这个位置，那我们连一下它， 好，这个线是 y 等于负 x 加，好，我们做，我们做到这个位置，我们我们找 那确定一下，这个新函数是这两个函数较大的那个，那就说哪个在上面，哪是哪一个？那我们先找到一下，我们先求下这个焦点吧，这个焦点刚才我们已经算出来，这个是一，那一 x 等于一的时候，函数值呢？函数值也是一，所以这个函数值也是一 啊，所以这一点坐标就是一。那我们在 x 小 于一的时候，我们发现哪个大一点？我发现这个函数大一点，所以取这个函数，所以这是个分段函数，我们把这个分段函数找一下，这个函数是当 x 小 于一的时候取这段，然后当 x 大 于一的时候呢？取这一段 啊，所以这两段就是我们讲的这个函数。那现在若第二题，第二题若过定点， y 等于 k， x 加三， k 减一， 那这个定点我们说我们是可以求的。这个函数减一式里面除了一个 k 没有给，那 k 没有给，那说明这个定点与 k 无关。什么时候与 k 无关？说明 k 前面系数为零。好，所以我们把这个函数 k 提出来，那我发现变成了 x 加三，括 k 减一， 那与 k 无关，说明什么？说明 x 加三等于零， x 加等于零， x 等于负三， y 嘞 y 等于负一，所以我们就能找到这个定点了。 一个含一个位置数的，一个含有一个参数的函数解析式，那前面的与这个参数无关，那就是参参数前面的系数， 那我发现 x 加三都是这个 k 前面的系数系数为零，所以 x 等于负三。好， x 等于负三， y 等于负一啊，所以负一负三就是它的定点，那这个定点我们找到了负一啊，负三，负一，负一、负二，负三，负一， 负一，我们发现是这一点，那说这个线跟这个线跟这个函数，刚才我们用南线表示，这个函数有什么？有两个焦点， 那我们看什么时候有两个焦点，那这地方就是绕着这个电定点旋转啊，所以绕定点旋转，那我发现 k 就是他的倾斜程度啊，所以我们过这个定点，这个定点我们先给写一下。负三负一过这个定点，我们看什么时候有两个焦点，那我们画一下， 这个时候肯定有两个焦点，那我们绕这个旋转，我们看它旋到哪个位置就不满足，就不满足两个焦点，那我发现我给他向下旋转，绕着这个定点向下旋转，或者是对向下旋转，旋到什么时候呢？旋转到这个位置， 旋转到这个位置与它只有一个交点，所以这个位置我们称之为极限位置， 那我们接着往上旋转来，那我发现往上旋转，这样旋转一直都可以有两个交点，那旋转到什么时候呢？旋转到与 y 等于 r x 减一平行的时候，旋转与它平行的时候就不在于焦点。好，所以这个时候是极限位置二， 那我发现在哪个区域在极限位置一到极限位置二，这个区域旋转与这个函数 都是有两个交点，那所以我们可以求出极限位置一，那极限的位置一，那这点坐标不有了吗？ 一，一，那这一点坐标不有了吗？负三一，所以这个极限位置一，我们可以求出这个 k 等于多少，那我们可以求出这个 k 一 减负一，二，一减不是二分之一，那这个极限位置 k 二分之一，那第二个嘞？与哪个线？与这条线平行的时候，那平行。我发现那这个 k 跟这个 y 等于二， x 减一，这个 k 是 相同的，所以这个极限位置二，这个 k 是 多少是等于二的？那我发现只要在这个区间旋转，它与这个函数都是有两个交点的啊。所以 k 的 取向为怎么样啊？ k 的 取向为是大于二分之一，小于二的。 好，这个题目是孩子的动态分析，我们说，呃，过定点，那就是旋转，那如果不是过定点呢？如果 k 给定了，那就是拼音，那就是 k 给定了，他的企业人都给定了，就是拼音 啊。这种题目。嗯，才开始我们贴高班的时候，我们讲过不少例题啊，我相信我这样讲，大部分同学应该还是可以听懂的啊。

这道题一旦考出来，我敢说百分之九十五的学霸都很难做出来，这是一道刮豆原理和一次函数综合考察的一道几何最值问题，它的难点之处在于如何利用我们的一次函数坐标系去寻找我们的动点轨迹，难度系数 特别大。来，同学们，我们今天一起来分析一下这道题，好吧，来题目是这样做的，他说直线 ab 解决是告诉我们是 y 等于三， x 再加六，然后呢， g 点是直线上的一个 动点，然后呢，告诉我们一个定点 h 点为三斗零，然后呢，连接 g h， 以这个边去构造一个正方形啊，形成了两个点， n 点和 m。 好， 最后呢，题目求的是，哎，连接 o m 求的就是我们 o m 啊，这个边的最小值应该等于多少？好来，同学们，哎，我们先来一起分析一下题目当中的动点和定点的运动关系，好吧，首先来题目告诉 g 点呢，在直线 ab 上运动，所以呢，它应该是一个 动点好，题目的唯一的定点呢，就是我们的 h 点，它为三斗零，那么怎么动的呢？哎，相当于以这个边连接 g h， 在 这个边的上方去构造一个 正方形，对吧？那这边是动的，所以正方形呢，也是在变化的，所以 m 点这个顶点呢，也是动点好，所以读到这个地方，如果比较熟悉瓜豆原理同学就看出来了哈，这里面它应该是我们的主动点，它应该是我们的 从动点，对吧？好，主动点相当于绕着这个定点，然后呢，我们的顺时针旋转九十度，因为正方形嘛，它是九十度，好到我们的 h m， 这两个边是相等的， 所以呢，连接解开，应该是一个等腰直角三角形，那么主动点和从动点，我说种瓜得瓜，种豆得豆，哎，主动点和从动点的轨迹应该是保持一致的，主动点轨迹为直线，那么从动点 m 点的轨迹呢？也应该为直线，对吧？那这个直线应该如何去找呢？ 哎，这是我们的难点哈，来，我们一起来分析一下。在我们坐标系里面哈，我们要去证明一个点的轨迹为直线， 那么我们只要证明这个点的解析式是 y 等于 k， x 加 b， 满足一次函数，它的轨迹就一定是我们的直线，对吧？那如何证明呢？哎，接下来需要从我们这个 等腰值入手，这是我们的限制条件，对吧？等腰值来什么？看到等腰值，我们第一时间应该想到我们的一线三等角的辅助线，对吧？好，这里已经有一个直角了，要构造三等角，所以呢，我再过 m 点 和 g 点啊，这两个点分别向我们的 x o 做两条垂线，这个是 t 点，这个是我们的 s 点。好来，这个时候这个三角形就跟这个三角形是全等的，那么既然有全等，我们就可以倒边了， 但是呢，题目当中没有一个边的长度已知，那怎么办呢？我们需要去设点，因为只要知道坐标，就可以把坐标转化为我们的长度，那 g 点在 a b 上东来，所以呢，会把 g 点这个动点给它设出来， 横坐标设为 a， 好 重坐标呢，它满足这个解析式，所以把 x a 带进去，那就是三 a 再加上六，看到没有好， g 点出来了，那么坐标出来了，长度就出来了呀， g s 正好是它的 重坐标，对吧？这个为三 a 再加六，这个呢，也是为三 a 再加六， ok， 好， 那么我们的横坐标，你看， s h 也出来了啊，这个是三 a 加六哈，那么 s h 怎么表示呢？ h 点的横坐标为三，那么 s 点的横坐标就是 g 点的横坐标为 a 啊，然后这个长度就是大减小，两个横坐标相减，对吧？三，再减 a， 好， 它为三减 a， 那 这个长度也是为 三减 a， 全等倒边嘛。好，我们最终目的是要求 m 点的坐标，你看，没有，重坐标已经出来了，三减 a， 那 横坐标是哪个？ 比如说 o t 嘛， o t 很好算， h t 三 a 加六，我们的 o h 这个边应该为几？应该为三， h 点的横坐标为三，对吧？好，来，所以我们的 o t 就 等于三 a 加六，再加三，等于三 a 再加九来，所以我们的 m 点的坐标就出来了，横坐标为三 a 再加上九，纵坐标为三减 a。 哎，这个时候，你看，我把这个设为 a， 开始， 这个是 y 中坐标，我要求的是 x 和 y 的 关系，对吧？哎，这两个都有同一个参数 a， 那 么所以呢，接下来我们需要去消参，把这个 a 底消掉，那么 x 和 y 的 关系就出来了，相当于 a 是 一个什么呀？中间变量，对吧？来，我就把 x 设为三 a 再加九 y 呢？等于三减 a。 好， 我们的目的消参，这个是一式，这个是二式，把 a 底消掉，那你看，我应该把二式乘以三啊，二式乘以三就变成三 y 等于九减 三 a 啊，这是我们的三式哎，减三 a 加三 a， 看到没有，正好可以递消掉。那所以呢，我们的三式和一式相，加 x 加上三 y 就 等于这两个正好递消掉。好，九加九等于 十八出来了哈，所以整理一下，三 y 就 等于负 x， 再加上十八 y 就 等于负三分之一 x， 再加上， 看到没有，所以呢，我们的 m 点的轨迹呢，它满足 y 等于 x， 再加上 b， 它的轨迹呢，就一定是直线，而且具体是哪条直线，我们也给它算出来了，对吧？好，接下来。哎，轨迹出来之后，那就很好算了， 它求的是 o m 的 最小值， o 点是一个定点。好， m 点呢，是一个直线，在直线上动，就变成一个定点到一条定直线的最小值了。来，把这个叉掉哈，我们来算一下，哎，已经算出来了，这个直线是 y 等于 负三分之一 x 再加上六啊 m 的 轨迹来，接下来我把这个直线给它划出来，首先斜率是小于一的，往下走，经过了，经过零到六， x 为零， i 为六，哎，这个直线 ab， 它也经过零到六， x 为零， y 为六，所以它们都会经过 b 点这个点啊， b 点这个点正好是零到六，对吧？好，然后呢，我 f 点又是直线上的一个点，所以呢，我连接 bm 就是 我们的轨迹啊，轨迹看到没有？好，我们的轨迹大概会转化出来了啊，那么这个时候呢， 他就是结是 y 等于负三分之一 x 再加上六， ok， 好 吧，好吧，那么这个时候看，我们来算算哈，那就非常好算啊，非常好算，你看，呃，怎么算呢？呃，我求的是 o 点到这个直线的最小值啊，最小值，所以呢，我再过 o 点 向它做做垂线就可以了，所以垂足点就是我们的最小值， o m 一 就是最小啊，那 o m 一 该怎么去算呢？接下来就是算这个长度，大家看一下如何去算 啊？首先你看，我们可以用等面积法，这个正好是这个三角形，以这个为底，它的高，对吧？哎，所以呢，我用等面积法，那么我们的 o b 知道吧？ o b 为 六，对吧？那么这个是 o t， 我 们也知道 o t 细点正好是这个直线与 x 的 交点，那么所以当 y 等于零，你把它带进去吧。哎，与 x 焦点 y 为零， x 就 等于等于是十八， 对吧？好，来，所以呢，细点坐标就应该是十八到零，那这个长度就应该是十八 出来了，是吗？那非常好算啊。好，那我的斜边 b t 也出来了， b t 就 等于根号下六的平方，再加上勾定义嘛，十八的平方，哎，等于几呢？等于六倍根号， 六倍根号式啊，斜边为六倍根号式，等面积它又出来了，底乘以高，等于底乘以高，对吧？好，来，下面我们来算一下啊。所以得到我们的 o m e 就 等于 底乘以高，六乘以十八，再除以这个底，六倍根号十等于根号十八，那个十分之 十八倍根号十啊，约掉就等于五分之九倍根号十，所以呢， o m 最小值就出来了，等于五分之九倍根号十。这道瓜豆原理和一次函数的综合问题，你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分，不迷路！

同学们，我们今天看一下这道双一次函数的题目，先读题，如图，已知 y 一 等于二， x 加 b， y 二是 ax 减三， 这两个一次函数交于一点 p， p 点的坐标告诉我们了是负二负五。 然后呢，又告诉我们这两个一次函数跟 x 轴的交点分别是 a 和 b。 第一问求函数的表达式， 那么基本上一次函数的应用，第一问大部分都是求表达式，所以说看到表达式 求表达式，我们立马就想到用待定系数法去求。那么待定系数法是什么意思呢？就是在这个一次函数上的点往一次函数的解析式里面去带。那么很明显，我们能看到这个点 p， 它记在 y 一 上，又在 y 二上，所以点 p 我 们可以分别带入 y 一 和 y 二，就能把里面的字母 b 和 a 求出来，这样我们这两个一次函数的表达式就出来了。 怎么去书写步骤呢？大家看一下老师写的，将点 p 负二的负五分别代入 y 一 二 x 加 b 和 y 二， a x 减三中，我们就能得到一个关于 a 和 b 的 方程，这样解方程就能解出 a 的 值和 b 的 值， 那 a 的 值和 b 的 值知道了 y 一 和 y 二，哎，就知道了。这第一问也就说很简单的啊，我们用代入系数啊，就求出来了。那第二问又是一道关于求三角形的面积的题目，这回求的是三角形 abp 的 面积， 那么怎么去求三角形 abp 的 面积呢？我们首先还是啊，公式二分之一底乘以高高我们是知道了 哎，从点 p 到 ab 的 距离是五，因为它纵坐标是负五，所以它的长度是五，那么就差抵 ab 之间的距离了， ab 之间间的距离怎么去求呢？也就是说我们要把 a 点的坐标和 b 点的坐标求出来。 哎，大家注意， a 点的坐标和 b 点的坐标，它是两个一次函数和 x 轴的交点，我们说了求与 x 轴的交点坐标，那就令 y 等于零。所以，哎，我们写的时候 一定要分别写在外一等于二， x 减一，中我们令外一等于零，哎，就得到二 x 减一等于零，我们解方程能得到 x 等于二分之一，所以 a 点的坐标就求出来了。十二分之一到零 在外二 x 减三减三，中，令外二等于零，则 x 减三等于零，我能解出来 x 等于三，所以点 b 的 坐标也求出来了。 那么再啰嗦一句啊，求 a 点和 b 点的坐标，也就是令两个一次函数的重坐标为零。解方程得出来的 a 点的坐标知道了， b 点的坐标知道了，那我 ab 的 长度就能知道了，有大减小，三减二分之一。那这样的话呢？三角形你 ab 的 长度也知道了，点 那个高也知道了，点 p 中坐标知道，也就是高也知道了，那它的面积就能求出来了。所以我们代公式二分之一底，刚才老师说了， ab 长度就是大减小，三减二分之一，高就是五，就能算出它的面积啊。第二问也解决了，那接下来再看第三问。 第三问，让我们写出不等式二 x 加 b 大 于 a， x 减三的解集。 二 x 加 b， 就 这个比 x 减三要大，那他比他大，他比他大，在人家让根据图像写，所以我们一定要结合图像去看， 他比他大，意思在图像上，意思是他的图像比他要高，也就是说他比他大的这部分就老师描黑的这一部分。 而且呢，这种类型题都是直接写不等式的剪辑，哎，相对来说要简单一点，直接写，不用写步骤。那比它大的部分， 哎，是哪里呢？当然是 x， 怎么了？比负二大了，大家看一下是不是在负二的右侧，那就它的剪辑就是 x 大 于负二，哎，虽然说不不用写步骤，但是大家最好不要光写一个 x 大 于负二，像老师这样写 不等式二 x 加 b 大 于 x 减三的解即是 x 大 于负二。好，同学们认真看老师的视频，把步骤不全的地方补充一下。