北师大版初二下三角形几何证明培优

同学们好，这种看一道这种基础的几何证明题啊，这个是在初二阶段很重要的一种题型，基本上考试必考啊。 这种题的方法先说一下，嗯，第一步，读题的过程当中，我们说读题啊， 那第一步肯定是要读读啊，一、不要漏条件啊，不漏，这样可以，并且会放慢速度，促使我们去思考。第二个，在读的过程当中， 要画出关键字，画关键字，关键词，并且要上图， 你就在图上表示出来标图，我们也可以说标图，在图上做标志，然后在这里面。第三步，把这一些变成我们熟练的几何语言啊， 那我们一起来。好，我们如图，在三角形 a， b， c 中， a， b、 c 找到三个点点角 a， c， b 等于九十度，上图 a， c， b 九十度，这里它给我标好了 a、 d 平分角 b a、 c， 上图 a、 d 平分角 b a、 c。 我 马上知道这两个角是相等的，我们可在这标角一考试时候也是可以标的，就做好标注就可以了。 d 一 垂直 ab 于 e， d 垂直 ab， 那 从这里上图， 这也是垂直的连接。 c 一 好交 a， d 与 f。 第一步，求证， a， d 是 线段 c， e 的 垂直平分线。好如这个角等于这个 求 df 的 槽啊。好，先看第一步，我们要想正垂直平分线，马上思考，只有两种方法啊，一个是定义法，所有的证明可用定义法去证明。第二种就是用性质法啊， 定义法，那就从这里可以看出来，第一个证明它垂直，第二个证明它平分啊，这里是垂直的， f 又是 e， c 的 中点，那就 ok 了，根据定义可得到它是垂直平分线。性质法，那我们就只有一个性质，垂直平分线上的点， 这个是垂直平分线，它性质，这个上面的点到两端的距离相等，反过来这里有个点到这两端的距离相等， p a 等于 p b， 那 么 p 点就在他的垂直平分线上，那一个点在线上不能确定直线，有两个点在线上才可确定直线啊。 有这两种方法，我们都来尝试着去做一下。先讲一下思路啊，分析思路，好，这里是九十度，这里是九十度，这条角平分线，马上想起角平分线的重要性质，角平分线上的点，这是角平分线啊，到这两条边的距离是 相等的，两边垂直，你看这里差，是不是满足这里角平分线上的点 d 来，两边垂直，马上就得到 e d 等于 c d， 这是感觉角平分线得到的啊。题目里面又有这个时候 可以证明这两个直角三角形，大的直角三角形是全等的啊，因为呐，这两边相等，这条边也相等啊，这个角也相等，这俩九十度，九十度到这两个角也是相等的啊， 所以都是这两个边是相等的，这两个边相等，看这个三角形，这是角平分线，可以得到三线合一，当然你也可这两个小直角三线合一得到，这里是垂直，那是中点呢，又是垂直，又是中点，所以说叫垂直平分线啊。当我们一刚开始，也可直接证明这两个三线相等。 角平分线，两个角相等，公共边 a a s 相等，这个等腰三角形，角平分线，三线合一。嗯，好， 第二种方法啊，根据这是角平分线，得到这两个边相等了，然后这个三角形全等了，这两个边相等了，这边 d 等于 d、 c 就 会得到 d 点在 e、 c 的 角垂直平分线上， a 一 等于 a、 c， a 点也在垂直平分线上， 那 a 点和 d 点都在 e、 c 的 垂直平分线上，那么 a、 d 就是 它的垂直平分线啊，这个是两种正法啊，我们怎么去写？比如说我们先用定义法去证明啊，他说是求证，我们证明 e 啊，证明一定要，嗯，要有几何语言的表示啊，这里可以这样写啊，因为 a、 d 平分， 角 b， a、 c。 好 一个平分啊，所以角一等于角二，又因为 d、 e 垂直 a、 b， d、 e 垂直 a、 b， 这是已知条件呢，所以角这个 a、 e、 d 等于九十度 啊，又因为这个 a、 c、 b 也等于九十度。角 a、 c、 b 等于九十度，那所以角 a、 e、 d， 它就等于角 a、 c、 b。 好， 这下就证明这个上下圈等了。 在三角形 a、 d、 e 与三角形 a、 d、 c 中，因为三个条件，角一等于角，二角 a、 d 等于角 a、 c、 b 还得公共边 a、 d 等于 a、 d， 所以 三角形 a、 d、 e 全等于三角形 a、 d、 c 啊，这两个全等，那所以 a、 e 它就等于 a、 c 啊，变小，这里三角形选择还要写个理由啊， a、 a、 s 啊，直角三十面，两个角加一条斜边啊，好， a、 e 等于 a、 c 以后啊，所以啊， a、 f。 我 们再强调一下，三角形 a、 e、 c， 所以三加一， c 为等腰三角形好，又因为角一等于角二，所以 a、 f 垂直 e， c， e、 f 等于 f， c 啊，三线合一，所以 a、 d 为 c、 e 的 垂直平分线，这个就是一点步骤也没省的啊，那个是能够拿满分的写法啊，好，这种思路清晰，以后还要能够用这种符号给 迅速出来。好，这是第一种方法啊，当然我们也可用性质法啊，我们这些性质法就不说了， a 一 得到 a、 c 全等以后，就得到这个 a、 d、 d、 e 也得到这个三角形全等以后，所以说这个点我马上得到，就从这里， a 点在 e、 c 的 垂直平分线上， 哎，用 e、 d 也等于 e、 d 等于 c， d 啊， d 点啊点 d、 d 点和 a 点都在，所以 a、 d 为哎，它的垂直平分线，这个都可以啊。第二个， 若 b、 a、 c 等于六十度， b、 a、 c 等于六十度，那这里角一角二，就是各占三十度啊， a、 d 还等于十，这条边是十，求 d、 f 的 长时刻记住一点，像这种出现六十度、九十度，我们只有一个重要的性质啊，三十度所对的直角边等于斜边的一半，也就假设这里是 x 啊，这里是九十度啊，这里是三十度，那这里是六十度， 这里是 x。 短的直角边三十度所对的直角边是 x， 那 这条斜边就是二 x。 我 们还要找出另外一条直角边是根号三 x， 他是他的一半，他是他的根号三倍，这是两倍关系，根号三倍关系啊，这个要非常的熟练。那到这里面来，那这里如果是十，那这条边就是一半，就是五，他再说 a、 d 是 十，那 c、 d 就是 五 啊，并且我们前面已经知道了，这里也是九十度，这里是六十度，那这里也是三十度，所以 d、 f 啊，又是这个斜边，是啊，直角边三十度的直角边等于斜边一半，这里是五，那他就是二分之五，答案就是二分之五。 当然我们要写的话，哎，还要写点过程，这地方还是位置有点少啊，我们可以哎，换个地方写点过程，写这个本上面啊，怎么写呢？ 第二问解啊，这个图拿过来， 因为角 b、 a、 c 等于六十度，角一等于角二等于二分之一，角 b、 a、 c 那 就等于三十度啊。 又因为角 a、 c、 d 等于九十度，所以 c、 d 等于二分之一倍的 a、 d， 我 把这里写上 a、 d 等于十，这二分之一乘以十等于五啊。又我们这里啊，标个角三，这个地方， 角三等于九十度，减去角二等于九十度，减去三十度等于六十度啊，这里标个角四角四啊，等于，或者我们直接说角四加角三等于九十度啊，角二加角三也等于九十度，所以角二等于角四啊，等于三十度。 角四等于啊，九十度，减角三也等于三十度啊。这地方一个三十度还加个直角三十度数的直角边啊。又 df 啊，是垂直这个 e、 c 的， 那角 df c 他 也是九十度，那所以啊，这个 df 他 就等于二分之一倍的 cd， 那 就等于二分之一乘以五，那就等于二分之。好，最后做答 g、 d、 f 的 长尾二分之五。好，这个题到这里就讲完了，这个题虽然短啊，看起来很简单，但是它却包含了我们在初中几何阶段最重要的三个命题。第一个就角平分线的性质，角平分线上来，点到角两边的距离相等。 第二个垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。反过来，线到线段两端距离相等的点在他的垂直平分线上。当然这里也出现了三线合一啊，还有个就是三十度所对的直角边等于斜边的一半。 好，这个题就讲到这里，同学们自己认真去写一下啊，它的过程不要停留在听懂了的基础上啊，一定要自己去彻底写一遍。

好，来，同学们看这道题目啊，这道题目呢，还是涉及到内角和中的一个整体思想啊，他说这个纸片中呢，已经知道了这个角 c 是 五十度，角 c 是 五十度。 问，你这个角一和角二的和啊，角一和角二的和，这个题呢？啊，两种做法。我们先说第一种，从这个三角形 c、 e、 d 来看啊， c、 e、 d 来看，我把这两个角标一，标角三和角四， 那么我们有什么呢？角 c 加角三加角四，这边一百八十度啊，因为角 c 是 五十度啊，所以角三和角四呢，应该是一百三十度。 然后他问的角一和角二分别和角三和角四呢？它是互补的，对吧？就是我们有角一加角三 等于角二，加角四等于一百八十度啊，它是互补的关系。那我们可以怎么去提炼这个问题？那么这个问题是角一加角二， 它就等于一百八十度，减角三，这是角一加上一百八十度，减角四，这角二， 那把这个括号一去同类项合并一下，三百六十度，减去个角三加角四，那角三和角四在这地方，他们呢？他们整体是一百三十度， 所以就等于三百六十度，减去一百三十度啊，等于二百三十度，这题应该是二百三十度。 那我们说另一种做法， 这题你还可以怎么样呢？我们不利用这个三角形 c、 e、 d 的 啊，我们利用三角形 c、 e、 d， 那 我们同样可以知道这个角 a 加角 b， 它也等于一百八十度减角 c 等于一百三十度啊。然后再看这个， 我们这回利用什么呢？利用这个四边形的角和四边形的角和，我们知道应该是三百六，是吧？四边形的角和， 那么这个角一加角二应该等于三百六十度。减去角 a 再减角 b 啊， 等于三百六十度，减去一百三十度等于二百三十度。啊，这样也可以啊。答案是二百三十度。

几何锥式问题一定是我们新初二期末的核心高频热门考点，这类题呢，通常出现在我们的最后一道填空压轴题当中，正确率 不到百分之五。来，同学们，今天徐老师带你用一道题，两个方法彻底通透，瓜豆求锥式的核心方法和技巧。好吧，来，我们先来一起读下题。题目是这样说的， 他说 a、 b、 c 和 a、 d、 e 呢，两个三角形均为等腰直角三角形，然后呢，告诉 ab 等 ac 等于二，那 o 点呢，又是 a、 c 边上的一个定点对吧？哎，中点嘛，它就是一个定点。然后呢， d 点是一个 动点，连接 a， d， 以 a、 d 为直角边去构造等腰值 a、 d， e， 哎，形成我们第二个动点就是我们的 e 点。好，题目呢，最后求的就是这个定点 o 点和这个动点 e 点这两个点之间的最小值，哎，应该等于多少？ 徐老师已经把初二考试中所涉及到的所有最值类压轴题型进行汇总总结，再结合往年考试专题，优中选优，整理成了初二最值必考十大题型，练完考试轻松拿下最值专题。需要的家长我发您一份。 好，来，同学们，哎，我们一起来分析下这道题。好，首先呢，题目告诉我们， abc 和 a、 d， e 呢，这两个三角形都是为等腰直角三角形，然后呢， d 点是一个动点，在 d、 c 边上运动，对吧，它是动点。好，来，那我们来分析下这个动点是如何动的， 它以 a、 d 为边去构造一个等腰值 a、 d、 e， 那 相当于我们把这个动点绕着这个定点 a 点呢，逆时针旋转九十度，哎，把 a、 d 旋转到 a、 e， 从而呢得到我们第二个动点 e 点，对吧？它也是动点好题目呢，最后求的是 a c 的 中点 o 点，那么 o 点就应该是一个 定点啊，求这个定点到这个动点 o e 的 最小值应该等于多少？哎，这类题呢，就是我们初二阶段考的最多的叫做几何最值问题，我们只要看到求定点到动点的 最小值，哎，我们的思想呢，就应该立马想到去找我们这个动点的轨迹啊。轨迹呢，我们初中阶段只会考两种，一个是轨迹为圆啊，一个是轨迹为 直线，所以同学们接下来我们的关键就要去分析这个 e 点，这个动点的轨迹到底为直线还是为圆，对吧？那么我们说哈，这个 e 点是因为 d 点绕着 a 点的旋转而得到的，所以呢，我们把这个地点称之为叫做 主动点啊，一点呢，称之为叫做从动点，从动点是因为主动点的运动而运动的，所以他的轨迹一定跟主动点的轨迹是不是有关系？来，我们来分析下第一点哈，第一点他在直线 b c 边上运动，就相当于直线上的每一个点，对吧？我都要绕着 a 点进行旋转来，我们利用整体思想就相当于整条直线整体的绕着定点 a 点去旋转。来，大家思考一下啊， 直线绕着一个点旋转，那么相当于什么呀？我们只改变了这个直线的位置关系，没有改变形状，对吧？比如说我们把这个直线绕着 a 点旋转到了这个直线 啊，没问题吧？好，所以呢，我们的主动点和冲动点的轨迹呢，应该是保持一致的，他的轨迹也应该是直线，所以接下来我们去找找一点的轨迹，应该如何去寻找呢？哎，我们知道一点轨迹为直线，这个我们已经分析出来了，那么说两个点确定一条 直线，那么这个时候呢，我们只知道一个点，对吧？只知道一个 e 点，那我还需要这个 e 点，那么怎么去找呢？来什么？哎，接下来呢，我们去找主动点的特殊点， 哎，找我们的特殊点啊，来特殊点看 e 点，哎， d 点在 b c 边上运动，那么它的特殊点无非就两个，一个是我们的出发点 b 点，一个是我们最终的点 c 点，对吧？这个一头一尾的两个点，对吧？这两个点呢，是我们最特殊的点，那我随便找一个啊，比如说 d 点 最开始和 b 点重合的时候，哎， d 一 在这个地方，那么来，哎，把 d 点绕着 a 点旋转九十度，相当于就把 a d 旋转到了 a c， 那 么这个时候我们的重动点 e 点呢，就正好和 c 点是 重合的，对吧？那这两个重动点都在我们的轨迹直线上，所以呢，我们只需要把这两个点连接，哎，它就是我们的 轨迹直线，没问题吧，是吧？好，我们找到 a e 点呢，正好在这个 l 上运动，那就好求了。接下来我们要求的是这个定点到 e 点的最小，那么 e 点轨迹又为直线，就变成一个定点到一条直线的最小值，那应该是 垂线段最短，对吧？好，所以呢，我们应该是过 o 点这个定点向定直线，哎，给他做一个垂线啊，垂足点就是我们的 e 点的最小值，那么所以我们的 o e 最小的是就等于 o 一 二啊，求这个边就可以了，那这个边怎么求呢？哎，接下来就是解三角形的，很明显这个边在这个三角形当中，正好他又有个九十度，哎，我只需要再去找一个特殊角就可以求了啊，那么大家可以猜测一下大的，先猜测一下这个特殊角 应该是多少度，我们先猜测一下，很明显应该是什么四十五度，对吧？好，怎么去挣的呢？非常好挣哈，来，用我们的手拉手全等，这里面有没有手拉手呢？大家去找找。肯定有手拉手哈，只要我们的瓜豆里面，哎，都有手拉手哈，来，首先这里有一个 等腰值，对吧？好，这里呢，也有一个等腰值，两个等腰值绕着 a 点去旋转，你看没有哎，所以呢，两个等腰值一定会产生什么？一组全等，那么这个三角形跟这个三角形就一定是全等。好，来，我们写下三角形 a、 b、 d 全等于三角形 a、 c、 e， 那 这个时候这个角告诉我们等腰值四十五度，所以呢，它也是为 四十五又出来了吗？所以这个三角形正好是一个小的等腰值，对吧？哎，然后呢， a c 又知道等于二，那么这个是以半，这就为一，因为我们的 o c 等于些等于一，所以我们的 o e 二，哎，就等于一，除以根号二等于二分之 更好。二，哎，一比一比更好。二吧，哎，我们最小值又出来了，好，这是我们的第一个方法好，哎，叫做用我们的刮豆去做，哎，种瓜得瓜，种豆得豆，哎，意思就说主动点和从动点的轨迹是一样的啊，保持一致，这是第一个方法，我们用刮豆。好，第二个方法来更简单一些，用我们的叫做 逆刮豆，哎，什么叫做逆刮豆呢？来，我们来分析一下，好，哎，我们的正刮豆就是去找轨迹，但是很多同学呢， 哎，他找不到轨迹，这是个难点，那么我们就逆刮斗，逆刮斗就不用找轨迹，怎么去找呢？那么来，我要去求 o e 的 最好值啊，目前在这个位置不好求，因为我要去找 e 点的轨迹，对吧？那如果找不到轨迹怎么办呢？来，我们用逆刮斗，我们把这个边进行一个 转移。什么啊？ o e 转移，怎么转移呢？哎，用我们的全等去进行一个转移， 哎，全等可以转移我们的对应边和对应角，对吧？来，那这首 o e 很 明显它在我们的 a o e 当中，对吧？那我要去转移 o e， 我 可以把这个三角形进行一个旋转，怎么旋转呢？你看，这个时候正好我们 这有一个什么，这有一个 a e 和 a d 是 相等的，所以旋转以后这两个边可以重合，所以呢，我就把这个把 a o e 这个三角形 来绕着 a 点顺时针转，多少度？转我们的九十度啊，转九十度，对吧？好，那么这时候我的 a e 就 转到我们的 a d 啊，转到 a d， 好， 接下来。哎，那么我的 a o 变呢？也转 九十度，哎，转到这来，转到这来，好，这是我们的中点，相当于是我们的细点，对吧？好，在连接 p d 啊，连接 p， 你 看，没有，这个三角形就整体旋转过来了，哈，来，我们写一下啊，哎， p 点是我们 a b 的 中点啊，这首三角形 a o e 全等于三角形 a p d， 对 吧？那对应边 o e 就 等于 p d， 哎，求它的最小， 那就是求它的最小，对吧？好，来，那么这个时候你看，因为 e 点是一个动点，那么绕着定点旋转， d 点呢，也是一个动点。好， o 点呢，是一个 定点，那么绕着 a 点旋转，所以呢， p 点呢，也是一个定点，它是 a b 的 中点，对吧？好，你看，变成还是一个定点到一个动点的最小值，但是呢，这个时候动点的轨迹我们是已经知道的，正好在 b c 边上动，你看到没有？哎，就变成一个定点， p 到 b c 的 最小值，所以呢，我直接过 p 点做一个垂线，啊，这是 d 一，好嘞，所以呢，哎， p d 的 最小值就等于 p d 一， 非常好算。哎，这时候这个角四十五度，哎，我们都不用倒角了，它正好是一个等腰值。好，斜边为一，因为 b p 等于一，所以我们的它又出来了，所以我们的 p d 一 就等于几，就等于一，除以根号二 二分之根号，答案是一样的，对吧？哎，一个是我们的正瓜豆，我们要去找一点轨迹，一个是逆瓜豆，他们两个是方向是反着来的，一个是什么逆时针转，一个是顺时针往回转，对吧？好，这两个方法你都听懂了吗？来关注徐老师，数学满分，不迷路！

初二数学期末三角形经典必考！今天我们来看一下这道题目啊。如图，在三角形 a、 b、 c 中延长 c a 至 f， 使得 a、 f 等于 a、 c 这两节线段先长度相等啊，一比一，延长 a、 b 之 d， 使得 b、 d 等于二倍的 ab， 这两节线段呢，是一比二的比例啊，这是一分，这是两分。延长 bc 之 e， 使得 c、 e 等于三 c、 b， 那 bc 这个是一倍长度啊， c、 e 是 三倍长度， 一比三连接 e、 f、 f、 d， d， e 连起来整个大三角形面积三十六，求三角形 a、 b、 c 的 面积。那这个题的特征很明显啊，我们求三角形 a、 b、 c 肯定不是什么底乘高除以二去算的， 什么条件都没有，是不是啊，全是一些比例关系。所以呢，这一步大家肯定很能肯定能想到，我们肯定是想办法去找 s 三角形 d， e、 f 最大的这个 a、 c、 b， 他 们俩之间有没有什么倍数关系的话，我们就能求三角形 abc 了，对不对？ 哎，然后呢，我们先说一下这种题的最基本的一个考点是什么啊？然后呢，这道题到底是怎么把这个考点考出来的？任何一个三角形 abc， 我 们现在呢，在他这个 bc 边上随便找个点 d 连接 ad， 可以 把三角形分成两块，一块是 abd， 一 块是 acd， 那 么这两个三角形的面积比一定等于 bd 和 cd 这两节。呃，线段的长度比，我们写一下啊， sabd， 三角形 acd 一定等于 b， d 比 c、 d 这个题就考这么一个知识点，那为什么这个成立呢？也很好，正过点 a 做垂线， 哎，你会发现呢，这两个三角形的高是同一条线段，高同一个 h， 那 根据底升高除以二的话，那不就是面积比，就是这个底边的比了，是不是？哎？然后我们看看这道题是怎么灵活应用这个知识点的啊？那在这边我们看 a 作为 c f 的 中点， 我们以 e 为顶点，来看一下这个 e f、 c 这个三角形，我们连接 e a， 看能得到哪两个三角形的比例。连接 e a。 好， 那根据我们刚才的这个知识点，是不是这个 e a f 和 e a c 就 应该是 a f 比 a c 一 比一了，这两个三角形的面积就是一比一了啊。那我们再看一下这个方向，你看以 a 为顶点， bce 为底边，这个方向上是不是你看 abc 的 面积和 ace 的 面积比等于这两条边的比例了，等于一比三了啊？就是要灵活应用啊。那这边呢，我们还可以把这个 c d 连一下这种题目呢，我们把整个大三角形，把它大写八块啊，把它多分一点， 分的越细越好，分完之后呢，从小的开始，往大的找关联好，我们现在呢， a c b 既然要求它要最小，我假定它的面积是个 x， 然后就应用这个结论来啊，从各个方向去找。刚刚我们已经说过了，你看 abc 和这个 a c e， 从这个方向上去看， a 为顶点，他们俩为底边，那是不是应该是面积比是一比三，所以 ace 就是 个三 x， 对 吧？然后呢， e f a 和 e a c 这两个又应该是根据这两条边的比例来的，它也应该是个三 x， 是不是？好，那我们看一下 cbd 怎么联系上 cbd 和 cab 是 不是 c 为顶点， ab 和 bd 作为底边，应该是这两个面积比等于一比二，所以这块是个二 x， 对 吧？那这边我们看还有哪些空白的地方啊？这个 afd 是 个空白的，我们看 afd 和谁去联系。哎，这两边是一比一，所以 afd 和这个 acd， 你看 dca 和 dafd 为顶点，这是底边。这两个三角形的面积应该是一比一的，二 x 加三 x， 所以 这块也是三 x。 那 还有一块是 ecd， 对 吧？啊？ ecd 去和谁找关系？去和 cbd 找关系。 d 为顶点，这是底边，所以这两块的比应该是一比三，那这个是六 x。 好，每一块都表示出来，全部加一起等于三十六，就能解出 x 来了，我们看总共多少啊？这是三个三 x， 九 x， 十 x， 嗯，总共十八 x 等于三十六 x 等于二。三角形面积就出来了啊，最后结果应该是二。

好，来，同学看这道关于折叠的题目，和刚才不一样的地方是说这个折叠是把这个角折在了三角形的内部啊，他说角 a 是 五十五度，让你求角一加角二，这个我们应该怎么做呢？先把这个角 a 折过来之后呢，对应 角应该是 a 撇，对吧？我们把这个 a 撇给它连起来，我们这样做的原因是呢，这样做这标和 d 和 e 啊，那我们能知道这个根据折叠，我们知道 a e 等于 a 撇 e 啊， d a 呢？等于 d a 撇啊，所以说左右两侧各是一个等腰三角形。好了，把这个角度标一。标啊，你看这这几个角，这这个角，这个角我标了，一共标了四个角啊， 它们其实应该是分别是两组相等的角，但这地方我们可以不用它就能观察出来。我们看啊，我们先利用一下外角，我标一下外角， 哎，对这个三角形来说， 这角三，这角四，角一，应该等于角三加角四，那么这个角二呢？我们看这个外角啊， 角二应该等于角五加角六。那题目问的是角一和角二的和，所以说我们把这两个等式呢，就相加，两式相加 得到什么呢？角一加角二等于角三加角四，加角五加角六。 那么再去图上去观察啊，这几个角三四五六，你看三四五六，这四个角的和，应该是角 a 加上角 a 撇，对不对？就是二倍的， 就角 a 加上角 a 撇，就等于二倍的。角 a 等于五十五乘以二，等于一百一十度。所以这题答案应该是选的是二 b 一 百一十度。 这题呢，主要是一个题型的记忆啊，如果遇到这样三角形，一个角相对折叠的，我们把这个 a 点和 a 撇点给它连起来，构造两个等腰三角形，然后另外角把两式相加，这不是关键的，两式相加就能发现它们之间的一个整体关系了。

盘点教材中隐藏的结论， 点赞加关注，我所能给点抄，你所能见！

来，同学们看这道关于三角形内角和和折叠问题的一个综合性题目，他说在这个三角形 a、 b、 c 中呢，角 a 是 七十六度，角 b 是 六十八度，就这两个角。好了，我们到这之后呢，可以先不着急往后读题，发现这个角 c， 它应该等于一百二十度，减去角 a， 减去角 b 等于一百八十度，减去七十六度，减去六十八度， 应该等于三十六度啊，这是我们条件的一个简单的组合啊，那么这个角 c 啊，应该是三十六度， 他说将这样纸片呢一角折叠啊，使 c 落在了 c 片处啊，好，我们这个地方呢，对折叠还不熟悉的同学，可以把这个折痕所在的直线啊，你给他画一画，找一下，感觉他是这样折过来的， 是不是这是折叠，那我们知道折叠前后的图形，它应该关于折痕是成轴对称，也就是全等。那么我们根据刚才条件的简单组合，那么根据角 c 是 三十六度，我们可以知道这个角 c 撇 和角 c 它应该是一样大的，它也也是三十六度啊，这第这第二步啊，第二步啊，通过折叠制造角 c 撇也是三十六度啊，它又给了一个条件，说角 a 是 角一是一百零八度啊，角一是一百零八度， 让我们求这个角二，那我们看这个剩下条件应该怎么组合啊？这个我们还能求出来谁呢啊？第三步，那我们知道 角一和这个角 c 之后，我们可以利用三角形的外角，把这个角标为角三， 可以把角三给求出来，角三应该等于角一减，角 c 就是 一百零八度，减去三十六度等于七十二度。 第三步啊啊，第四步，那就明确了。第四步，我们再利用一次外角，知道这个角二呢，应该等于角三，减去角 c。 撇 就是七十二度减去三十六度。三十六度啊，三十六度，所以答案应该是二 b。

来，同学们看这道综合型题目，这个一共呢用了两个模型，一个是一个内，一个角 向内折叠啊，就是刚才我们讲那个题目啊，向内折叠，那他们会出现的条件呢？这是吧？他说角 b、 d、 p 和角 c、 e、 p， 他 们的核是七十六度，也就意味着 角 b、 d、 p 加上角 c、 e、 p， 应该等于二倍的角 a， 对 吧？等于七十六度啊，所以这个角 a 应该是三十八度啊，这是第一步啊。 然后我们看它用到还用到一个什么？用到了一个整体的框架，三角形 a、 b、 c 中 出现了两个角的角平分线交于一点，那么这会形成一个夹角，这个角和角 a 它的关系啊，我们这里不再推了哈，我们把结论说一说，这个角 p、 p、 c 应该等于九十度，加上二分之一角 a， 所以 等于九十度，加上十九度啊，等于一百零九度，所以这些答案应该是一百零九度。 这个模型我们提炼出来之后，正着看的话，应该是一个这样的， a、 b、 c， 角 b 和角 c 分 别出一个角平行， 这里点 p， 那 么这个角 p 大 小应该是九度，加上二分之一角 a。

接下来我要更新巴西的内容啊，我们看一下第一小节，我们说三角形的内角和定义，第一个你需要明确它是什么，其次，它的一个证明啊。好，我们来看，我们说三角形内角和定义是什么？指的是三个内角的和是多少？一百八十度啊。 好，我们来看一下做法是什么？我说把角 a 移到角一的位置啊，我说角 a 移到角一的位置，那我们是不是可以得到？我说这两个数量关系是什么相等，为什么你移过来的呀？其次，我再看一下这两个角是什么角，是不是内错角，为什么？ 因为它是一个 z 字形的，看到没？我说它既然是内错角上的那两条直线平行，哪两条是 ab 和什么？我们把标一下啊，是 c e， 然后是不是 ab 平行什么 c e 啊， 也可以用小写字母来表示变，没有问题的啊。我说平行之后，那我说角 b 和角二属于什么角？同为角二，那可以得到什么？是不是角 b 等于什么角二？那接下来我再看，我说这是什么？一条直线，对吧？所以我说这三个角之合是多少？是一个一百八十度啊？往下写 是不是角 a、 c、 b 啊？注意，我说这里面有分支的时候，你能不能写角 c？ 不 行啊，因为你这里面角 c， 我 说角 c， 你 指代不明确，指代是他，他还是他，对吧？所以我用什么他的大写字母， 三个字母代表是我是什么？角 a、 c、 b， 然后加上一个什么角一，加角二等于多少？一百八十度，那我说角 a， 然后角二什么？角 b， 然后这个部分我们可以不动啊， 那我说加起来等于多少？一百八十度，我说这个什么三角形的内角和就没问题了，是多少？一百八十度？那接下来我写一下它的一个证明过程啊。好，如图所示。是不是有提议的角一等于角 a 啊？我说有提议的 角一等于什么角 a， 然后接下来我说角一等于角 a 呢？我是不是说了是什么角内错角相等吗？相等。所以呢？我是不是可以得到 a、 b 平行，是吗？ c e 啊， 那所以呢？我说角 b 等于什么角二，这是什么？有道理，是因为我说平行之后同位角相等啊。 那接下来我说因为什么角 a c、 b， 然后加上一个角一加角二等于多少？一百八十度？我们把这里面角一用谁来替换角 a， 然后呢？我说角二用谁来替换角 b 啊？那所以我说角 a、 c、 b， 然后加上一个什么角一就什么角 a， 然后角二就什么角 b 等于多少？一百八十度。 所以这什么内角，三个内角之和，对吧？多少度？一百八十度。所以我要说象形内角和是多少？一百八十度啊？我说证明方法为一吗？不为一啊， 我们来看一下第二种证明。那第二种证明是怎么做的？我们是过 c 做什么 c e 平行，直接做的平行，对吧？我们刚才是不是我说得到了平行？你看我们刚才是不是在这一步？我说得到了什么平行 啊？这个证明思路是直接做平行可不可以？可以啊，我说做平行的话可以得到什么？是不是我说这样角还是什么角内错角相等吗？相等啊，我说得到角 a 等于什么角一， 那其次，我说这样角属于什么角？同位角相等吗？也相等啊，也得到什么角 b 等于角啊，也说角 a 换到这个位置，然后角 b 换到这个位置，然后后面是不是跟前面那个部分完全一样啊？ 好，我来看一下是不是得到了。我说这什么是不是平角是多少一百八十度，所以呢？我说内角和是多少一百八十度啊，所以我说内角和定义是什么？三个内角的和是多少一百八十度。我说证明方法为一吗？不为一，我们刚才给了几种？两种啊，然后我再看第三种啊， 做法是什么？过 a 做的一个平行，我们做的是什么？ p q 平行于什么？ bc， 那 我们说本质是什么？哎，我们发现不管是上面的哪一种方法，就是把这三个角放在一起， 对吧？那我说思路也是一样的，我说这个做平行的时候，同样是目的是什么？把角转化成什么？一条直线上的角，对不对？那我说平行之后，我说 p q 平行什么 b c， 那 平行之后有什么内错角？怎么样相等同位角呢？相等，我说这个角和这个角，我接成角 e、 角 b 和角 e， 什么叫内错角啊？所以我们说平行可以得到角 b 等于什么角一，同样的道理，我们角 c 也给它换上去，记成什么角二，那是不是也可以得到角 c 等于什么角二？也就是说三角形，我们说原先的角 b、 a、 c 因为有分支了，所以我们直接记成什么角 b a、 c 啊，然后加上一个角 b， 然后加上一个角 c， 是 等于我们说 b、 a、 c 不 动啊， 然后呢？我说角 b 变成什么？是不是角一，然后呢？角 c 变成什么？是不是角二？我们看一下这三个角是什么角一，角二 b、 c、 a 是 不是一百八？所以我说它的结果是多少？一百八，这什么证明四？哦，好，我写一下它证明过程 p q 什么平行，什么 bc。 所以呢，我是不是角一等于什么角 b， 然后呢？角 二等于什么角 c？ 因为什么角一加角二，然后加上一个角什么 b？ a、 c 等于多少？一百八十度啊。所以呢，我们是不是可以得到是什么 角 b， 然后加上一个什么角 c， 然后加上一个角 b、 a、 c 等于什么？一百八十度？这个部分我们就过了啊。我说证明方法唯一吗？不唯一，但是核心是什么？就是我们把三个角变成什么？一条直线上的角啊。 接下来我们可以加第一角 b 是 多少？三十八度？好，我来标一下，然后呢？角 c 是 多少？六十二度。那接下来我们就后面可以暂时不用管了。我说角 b， 角 c， 知道 a 可以 算的哪个角？我说三角形，知道两个角可以求什么？一个也就知二求一的问题啊。知二求一， 那我说这个角可以算吗？可以，这个角是多少度？是不是一百八十度？哎呀，就直接写一下，我们简单写一下，一百八十度减去一个什么角 b 减去一个什么角 c 等于多少？一百八十度减去三十八度，然后减去一个多少？是不是六十二度？所以等于多少？是不等于八十度？那好，我说等于八十度。 结束了没？没有啊，这个题还给了什么 a， d 是 什么？是不是角平分线？它角平分线，我说可以得到什么？是不是？我说这两个角什么关系相等？大角是多少？八十，所以小角是多少？四十啊？ 那接下来我是在三角形，我说这个象形中至二求一，对吧？然后左边这个象形也是至二求一，也就对应的。我说 a、 b、 d、 b， 知道吗？知道。 a、 d、 c， 知道吗？知道。好，我们来看一下求什么？是不是 a、 d、 b？ 那 可以求吗？可以啊，我说角 a、 d、 b 等于多少？是不是一百八十度减去一个角 b， 然后再减去一个角，什么 b、 a、 d 啊？那好，我来写一下，是一百八十度减去一个角，什么 b、 a、 d 啊，那好，我来写一下，是一个四十度，减去一个多少？三十八度啊， 所以等于多少？一百零二度啊，这是什么 slow？ 我 们来写一下过程啊，我说这是什么？第一步，然后四十度，是第二步，然后这个是什么？第三步啊？你写过程也是这样子啊，解，在三角形 a、 b、 c 中， 因为角 b 等于多少？三十八度，然后角 c 等于多少？是不是等于六十二度？所以呢，我们说角 b、 a、 c 等于多少？是不是等于一百八十度，然后减去一个什么？角 b， 然后减去一个什么？角 c 等于多少？等于八十度啊？然后问我说这是什么第一步，然后第二步呢？是不是角平分线？好，我说因为什么 a、 d， 然后平分角 b、 a、 c 啊？ 所以呢，我是不是角两个小角等于什么？大角的一半，也就是角 b、 a、 d， 然后等于什么？二分之一的角 b、 a、 c， 然后等于多少度？是不是等于四十度啊？这是吧？第二步，然后接下来我们看一下第三步啊，我说干什么？是不是三角形内角和啊？我说三角形 abd 中， 然后呢角 b 等于多少？是不是等于三十八度？然后角 b， a、 d 是 不是刚才算了？所以我直接写啊，我写到这也可以， b， a、 d 等于多少？是不是等于四十度？所以呢？我说角谁 是不是 a、 d， b 啊？我说角 a、 d， b 等于什么？是不是等于一百八十度，然后减去一个什么？角 b， 然后减去一个角，是 a、 b， a、 d 啊， 所以是多少？是不是一百八十度，然后减去一个三十八度，然后减去一个多少，是不是四十度，所以等于多少？是不是我算一下这是什么？七十八，所以是多少？一百零二度啊？ 过程就是这样写的，其实我说大部分的情况，我是过程跟思路是完全一致的啊，我们看一下课本上的一个证明过程好，第一步个什么是不是 a， 求八十度，然后第二步呢？是角平分线，然后第三步呢？ a 内角和去用一下啊，那这个题我就讲解到这。

初二数学真正的分水岭就是从全等三角形开始的几何证明题，全等三角形、等腰三角形轴对称一结合，题目立刻就变得复杂了。很多同学不会画辅助线，甚至还有的同学过程分扣的很严重，这就体现了逻辑思维的不严谨。 我们每一步必须有理有据，考的不只是知识，更是逻辑链和空间想象的能力。到这个阶段，很多男孩子明显就比女孩子有优势，差距一下就拉开了，因为男孩和女孩从小玩的东西不一样，思维方式也不一样。但是无论是男孩还是女孩， 几何这一关我们必须要过，最快的方式就是前人栽树后人乘凉。总结好的几何模型、辅助线思路，我们都要学一学，推荐大家用这本很多学校都在用的几何模型， 他已经把初中要考的各类模型全都总结好了，怎么画辅助线，从哪切入思考，几种解析思路都讲的清清楚楚。 每攻课一个模型，孩子都会多一份底气。里面习题分层设置，从基础到压轴，可以根据孩子的情况来选，逐个突破。这本书认真的过一遍，错的题 反复练，几何证明自然是从弱项变成了强项，而且初二是最佳的时期，等到了初三就根本没有时间了，懂的都懂，加油吧！

一道期末原题，测出你本学期的几何掌握情况，一起来看题。如图，过边长为一的等边三角形， a， b， c 边 ab 上有一点 p 做 p， e 垂直于 a， c 于点 e。 好， 我们得到了这个角等于九十度， q 为延长线上一点，下一个条件 p， a 等于 c， q 条件。上图做一下连接， p， q 交 a， c 边于顶 d 则 d， e 的 长为。这道题它是一道非常综合的题，考察了我们本学期的全等三角形，等边三角形以及等腰三角形的性质。来一起来看一下这道题如何去解 题目当中给我们的有用条件，其实我们就可以整理为是两句话啊，整理为是两句话，这是第一句，这是第二句，第一个就是边长为一的等边三角形，哎，有同学去想了，老师我可以得这个角是六十度，从而你就得到了这是一个含三十度角直角三角形。哎， 那你和求这个定义有什么关系吗？哎，有同学也会这么去想，这个三角形，它是一个直角三角形，之间有什么关系吗？ 如果你要是这样子思考的话，那你肯定是没有思路，想到第二步就不知道怎么做了。那么这道题呢，我们就是去利用特殊角度，我们去构造三角形。那么在这里呢，我们之前也给大家讲过，碰到了特殊角 三十度角的时候，我们首想的是构造直角三角形，因为三十度角所对的直角边是斜边一半，我们可以得到边边的关系。碰到四十五度角的时候，可以构造等腰直角三角形，可以得两条直角边相等，那么碰到六十度角的时候，就是两个方向了，一个方向是 r t 三角形， 另一个方向就是等边三角形。那么这一道题呢，就是很明显了，他题里头已经给我们了一个直角三角形了，所以我们肯定不是去做直角了，那用排除法我们也排除出来了，那这个题他就是去构造一个等边三角形。来一起来看这道题我们要如何去做呢？ 既然是构造等边三角形，那我们来看一下啊，三角形 abc 就是 一个等边，所以我是不是想办法要过点 p 哎，向右去做一个等边呢？我们这个做做等边的这个辅助线，我们可以这样子去描述过点 p 向右做平行线， 也可以描述为在 a c 上截取一点 f 是 af， 等于 ap 连接 pf。 我们也可以做在 a c 上取一点 f， 使角 a p f 等于六十度。无论哪一种描述，它的目的都是为了构造出一个等边三角形。好，等有了等边三角形之后，我们要怎么做呢？第二个条件， p a 等于 c q， 来，我们来画一下啊。条件，上图 p a 和 c q 相等，因为三角形 a p f 是 等边三角形，所以我们就可以得到了。我现在画的这三条绿边都是相等的， 哎，边和边是相等，这个角是六十度，这个角是六十度，哎，发现了这和这是平行的，所以我就可以得了内错角和内错角是相等，再根据一组 对菱角相等，哎，从而我们是不是就可以轻松地我们就可以证出来三角形全等，哎，得到三角形 p f d 全等于三角形 q c d， 它的判定就是 a a s。 凡是得到三角形全等，下一步一定一定是对应边相等或对应角相等。那我们来看啊，得了三角形全等，我们可以得到谁啊？我们是不是就可以得好这个小边 x 和这个小边 x 是 相等的，那和让我们求的 d e 又有什么关系呢？ d e 在 这里呢？上面是不是还有一小段 e f， 我 可以设 e f 为 y， 哎，这个 e f 和谁又有关系呢？解题解到现在，我们来看一下题目里面有个条件，我们没有用什么条件，这呗，漏掉了一个条件对不对？好用一下这个条件吧。啊，这是等边三角形加上 高对不对？三线合一，所以我们得到了上面 a， e 也等于 y。 当我们在做几何题时，你发现你的思路是很顺的，但是做着做着卡住了怎么办？ 看看条件有没有漏。条件，把漏的条件往题里边用一下，那么这道题就解出来了。记住啊，初中数学没有废话，把条件全部的用一遍，那么这个题就能解好了。那么现在呢，我们就得到了 d e 等于 e f 加 f d， 那 么是不是就等于 x 加 y？ 再来看这个边儿， a c， a c 等于的是二 x 加上二 y， 所以 我们就发现了 d e 是 a c 的 一半，已知 a c 的 边长等于一，那么 d e 的 长度就是二分之一，这道题我们就轻松地搞定了。

hello， 大家好，这里是新青年 club 呃，期末周复习课，今天冰冰老师给大家带来的这个 干货是有关全等三角形的证明大题。这个全等三角形的证明大题啊，是在咱们初二的考试中，大题我觉得有百分之八十的概率会出一道压轴题， 极大概率会出亚洲体。所以我们一定要把全等三角形的几个常见的模型一定要 考虑清楚，想明白。好，今天咱们就来看一下全等三角形的一些状模型。在这如来佛祖友情提醒各位同学，修仙过程的时候请勿中断退出课程，要不然就前功尽弃了，容易走火入魔。好，现在就正式进入我们的课堂， 嗯，全等三角形，首先我们要讲一个最重要的模型是手拉手模型。嗯，手拉手模型，咱们学会这个模型之后，我们能知道它的数量关系，就是第三边的数量关系和第三边的位置关系，还有一些和角平分相关以及综合的一些问题。 然后咱们知道了手拉手模型之后，咱们还得学会构造手拉手模型啊。构造手拉手，我们要学会两类，一类是构造等边，还有一类是构造等腰直角三角形的手拉手。话不多说，我们直接进入板块，一，手拉手模型 手拉手模型咱们要学会如何识别这个模型，它有三个标签，三个特征，就是首先要共顶点， 要手拉手，你要有一个契级契合点，就是共顶点，在这个图形中它共顶点点 a 还得啥等线段等线段必须要两组， a， b 等于 a c， 然后 a， d 等于 a， e 两组等线段。还有一个就是得明确是等线段的夹角等，比如说我们 ab 等于 a、 c、 a、 d 等于 a、 e， 你 就得 还得有一个特征，就是这两个等线段的夹角角 b、 a、 c 得等于角 b、 a、 e。 当你有这三个标签，这三个特征共顶点，等线段、等线段夹角时候，它就是咱们的手拉手模型。 他可能题里面会告诉你，这两个是一个等腰三角，呃，等腰三角形，并且这两个顶点相等，然后让你去证明一些边呀，或者是角度呀，这时候咱就到，咱就要想到要构造咱们的手拉手模型，怎么构造呢？一句口诀，大手拉小手全等一起走。 怎么大手拉小手呢？你看 a、 b 大 手拉上另一个小手，然后另一个大手拉另一个小手，大手拉小手拉好了吧？拉好之后咱们要呃连接第三条边， 连接好第三条边就出现了两个三角形呢。呃，三角形 a、 b、 d， 还有三角形 a、 c、 e， 这个 b、 d 和 c、 e 这两条边是需要大家去自己去连接的啊，就是咱们找到手拉手模型之后啊，需要去做的一个辅助工作，就是要连接一些辅助线啊，怎么去连接呢？就是咱们要学会找模型嘛， 然后咱们知道了如何构造手拉手，咱们构造出了手拉手模型了，然后也证明了一个全等啊，能，能得出什么结论呢？首先是第一个是手拉手全等，就说你找到的那两个三角形是全等的三角形 a、 b、 d 全等于三角形 a、 c、 e。 怎么正呢？很好，正，它是用了咱们的边角边，就是说 b、 a 这条边，它是等于 a、 c、 a、 d 呢，等于 c、 e 它两个，并且它两个的呃角 b、 a、 d 等于角 c、 e 这个角度是 咋正的呢？其实也特别好，正因为你不是知道角 b、 a、 c 是 等于角 d、 a、 e 吗？并且它还有一个公共公共角角 c、 a、 d， 所以 两个角加起来均相等，所以就能得到角 b、 a、 d 等于角 c、 a、 e 就 得正了。全，这两个三角形全等。 得到了这这两个三角形全等之后，能得到什么信息呢？你一旦挣了全等，那得到的信息就太多太多了，你可以得边的关系，可以得角的关系，对吧？所以咱们可以得到第三条，边相等 b、 d 等于 c、 e， 还能得到角 b 等于角 c， 角 d 等于角 e。 因为你一旦证了全等，那得到的信息太多太多了。所以咱们在解决一些几何证明题的时候，一定要学会去呃，构造出两个全等三角形。怎么构造就得学模型啊，你得学会模型才会构造全等三角形。好，这就是咱们手拉手模型。第一点就是能得到 两个三角形全等啊，全等之后能得到边相等，对应角相等。然后咱们可以来做一下这一道题， 这道题它告诉的是三角形 a、 b、 c 三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 d、 e 是 一个等腰三角形，然后问 b、 d 和 c、 e 的 一个 b、 d 和 c、 e 的 一个数量关系，是相等呢？还是二倍呢？还是二分之三倍呢？ 就看啊！首先咱们看一下它是啥模型？共顶点，这两个三角形共顶点共到 a 点了，并且还知道 你看有两组线段相等， a、 b 等于 a、 c， 这是一组， a、 d 等于 a、 e， 这又是另一组，还知道是这两组相等线段的夹角均为九十度，完美契合咱们的手拉手模型的特征，这时候咱们就直接构造两个 全等三角形，对吧？所以就是大手拉小手，大手拉小手，然后把多余的边给他连，在把那个缺的那个 三角形的那条边给他连起来，连起来之后就能证明了全等我们就能得正 c、 e 等于 b、 d， 这就是去呃，如何判断他是拳的？呃，判断手拉手模型，然后又该怎么去构造拳的三角形？这就是一个做题的思路。咱们继续往后看，看看这个手拉手模型还有什么 结论。咱们不是刚才得证了他是拳的三角形了吗？然后刚才也了解了他的第三条边的数量关系是 相等，咱们现在来看一下它的位置关系，位置关系就是去看它的角度，好吧？然后这儿我先直接给大家结论，结论就是第三条边直线的夹角，就说你看，刚才咱不是得正了 b、 a、 d 全等于三角形 c、 a、 e 了吗？这两条这两个三角形全等，然后第三条边是 b、 d 还有 c、 e 啊，那他们的夹角就是这个角了呗，对吧？ 呃，这个角它的结论就是这个夹角它是等于咱们等线段的夹角。那等线段的夹角是啥？等线段夹角不就是这个角或者是这个角吗？ 是吧？然后现在咱们就来正一下，嗯？这个互补角是啥意思啊？你就说你看，其实第三条边直线夹角， 你可以看成是这条这个夹角，也可以看成这个夹角，如果是这个夹角的话，不就是等于他等线段夹角的补角了吗？啊，这个其实是好理解的，咱们只需要看一个，呃，这个，这个就行。嗯，咱们正一下啊，这两个角咋就相等了？ 在这你会很清晰的看到这是一个八字模型，有没有印象啊？这是个八字模型，对吧？像个八吧。哎，八字模型。八字模型给咱们最最大的一个特点就是它是对顶角相等， 然后咱们刚才得到了全等之后，还得到了一个什么关系呢？还得到一个角 b， 这个角等于这个角，是吧？所以咱们可以标一下啊，可以标一下这个角，我们看成角一，这个角 看成角，这个看成角三，这个看成角四。好吧？然后，嗯，你看，呃，咱们正 八字模型的时候一定要合理运用它这个外角，就是这个外角相对于这个三角形而言，是它的外角吧，这个这个角相对于这个三角形也是它的外角，所以咱们就能知道角一加角二就等于角三加角四均等于咱们的那个外角。 好吧？然后你又因为你刚才刚证了全等得到角二等于角三，角二等于角三了，不就得证了角一等于角四了呗。 哎，不角二等于角四吗？刚才得证的是角二等于角四，这个三角形和这个三角形全等为这个角和这个角相等，应该是角二等于角四，这两个角相等，所以咱们能得证角一等于角三。所以角三这个角不就是第三条边他的夹角吗？ 然后角一不就是等线段的夹角吗？对，咱们这就得证啊，得证。呃，在这我就是咱们讲模型，是告诉大家，就是你看到这个手拉手模型之后，你， 你判断出它模型就能得出这些结论。但是咱们在证明大题的时候，你需要去证明，证明的过程中怎么证？就是我现在给你推导的这个模式 啊，大家不仅要记结论，还得记，我现在上课给你讲如何证明这个过程啊？证明这个过程就是考，就是考了两点，一个是八字模型，一个是全等，全等，你刚才这个全等能得到角 b 等于角 c， 然后根据一个八字 和那个外角扯上关系，也能得到一个等式，然后最后就能得正咱们的呃三，第三条边直线的夹角等于等线段的夹角。哇，这就是咱们的第二个结论，关于数位置关系， 好，咱们快问快答啊。就是你看，如果是把刚才的等腰，普通的等腰换成等腰直角，就比如说就说给了一个呃，三角形 a、 b、 c 和三角形 e、 c、 d， 全都是等腰直角，三角形。问第三条边它的夹角， 第三条边夹角，你给他延长出去，问你这个角是多少度，就是咱们的结论，如果他是那种问你啊，就是那种大体，最后可能会问你直接写出答案，无需证明，这就是咱们结论，咱们直接套就行，这就是技巧，就是大招。 咱们当时说了啊，刚才刚说的，呃，咱们知道它是属于咱们的手拉手模型，因为共顶点两组等线段，并且夹角相等， 所以符合手拉手摸紧，所以它的第三条边的夹角是等于等线段的夹角，等线段夹角不就是九十度吗？所以选 c， 快 问快答，直接结束。二、然后它现在把等普通等腰换成等边三角形换成等边换成等腰直角，都是 告诉咱们它是符合咱们的手拉手模型的共顶点，然后两组线段相等，然后夹角都是六十度，符合手拉手模型构造全等三角形之后，它们的第三条边的夹角，这个角三，它是等于 等线段的夹角等于六十度。直接出答案，不要有太多顾虑，这就是我们学模型的意义，学会模型直接出答案，然后证明的过程。如果他让咱们证明，咱们也有，也有方法证，就是刚才刚刚说了的，用这两个 去正。好吧，百变不离其宗，你把母题模型学会，他怎么变你都能解决。就像这道题，他告诉了，哎，变成了两个正方形，你说给了两个正方形和给了两个等腰直角三角形有区别吗？根本没区别是吧？ 所以咱们也是共顶点等线段，然后，嗯，夹角相等都是九十度，所以手大手牵小手出全等，大手牵小手正全等，说明就出了个三角形 b b c j 全等于三角形 d， c e， 然后能得到的 关系就是第三条边相等，就说 b g 等于第一，并且它还是全等，所以选四 d。 呃，这是像这种选择题，直接出答案就行，如果大题的话，你得正正的话也好正吧，那个数量关系， b g 等于第一，就直接根据全等就能出来。呃，主要是说一下那个，嗯， 咱们的正角度怎么正，就是出这个八字，出了八字之后，你看，因为这里全能知道这个角和这个角相等，是吧？然后咱们又知道的是这是个八，呃，这是个八字吗？ 八字，然后能知道的是 这个角加这个角，等于这个角加这个角，全都等于这个外角啊，又因为这个角和这个角相等，所以这个角和这个角均为九十度，所以就得证了 b、 g 垂直于第一。好吧，就根据一个八字就出来了。好，咱们根据这个题，咱们来巩固一下咱们刚学的的模型，好吧， 它告诉了三角形 a、 b、 c 和三角形，嗯， d， e、 c 中，呃，告诉了一些关系，是 a、 c 等于 b， c， 还告诉了 d， c 等于 c、 e， 哎，这已经出现了两组相等角了，还告诉角 a、 c、 b 等于角 e、 c、 d， 这没毛病，没跑了，兄弟们，没跑了，共顶点，两组线段相等，夹角相等，全等三角形直接出啊， 大手牵小手，走路不怕滑，出个全等呗。啊，所以你看，大别大手牵小手，大手牵小手，所以就能得正三角形 a、 c、 e 全等于三角形 b、 c、 d 啊，正完这个之后，然后正这个 a、 f 和 b、 d， 这个 a、 f 和 b、 d 不 就是咱们的呃，那个模型中的第三条边的数量关系吗？ 这全等为啥是？为什么他们是全等呢？因为第三条边的夹角是等于他们相等角的夹角都等于九十度。你说咱们就其实已经站在上帝视角去看它了， 他即便不够咱们垂直，咱也知道是垂直，因为咱们有大招，有技巧了呗，是不是？好，这就是思路，看第二个，现在变了啊，变了题了，告诉 a、 c、 d 不 在一个同一条直线，哎呀，根本再变都是一个套路。 共顶点，然后等线段，对吧？等线段，夹角相等，咱们大手牵小手出，全等，出完全等就能正了。好吧，然后现在我给大家把步骤给大家去展示一下。 嗯，正全等啊，严格按照咱们的课本上人家给的立体的步骤啊，严格按照那个走在三角形 a、 c、 e 和三角形 b、 c、 d 中啊， 用边角边得正三角形全等能得到角一等于角二，然后根据这个外角啊，根据外角角四呢，等于角一加上角 a、 c、 b， 角四等于角二加角三，所以角三等于角 a、 c、 b 等于九十度，所以得正 af 垂直于 bc。 是 不是有了咱们刚才讲那个模型之后，你感觉做这题 so easy， 对 吧？ so easy 的， 这个刚才也给大家讲清楚啊。 好，咱们刚才得到两个结论了哈，嗯，一个是，嗯，第三条边相等，第三条边角度的关系是和那个等线段的夹角是相等的。第三个结论告诉大家，是第三条边直线的 焦点 p 与顶点 a 的 连线。放在这个题里面啊，放在这个图形里面，呃， b、 d 和 c、 e 就是 第三条边的焦点 p 与顶点 a 连在一起之后， 有一个结论是 pa 平分角 bpe。 这得注意了啊，易错的是，它平分的是焦点处的角，而不是上面的角啊，是平分焦点处的这的角。 好，我来带着大家去证明一下，看看这怎么证在这呢？它是需要做两个辅助线啊，需要，所以要做一个 am 垂直于 b、 d， a、 n 垂直于 c、 e， 然后因为咱们知道三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 e 刚才不是乘了全等了吗？全等三角形，它们的面积是不是相等呀？对吧？面积相等，面积 s 等于二分之一底乘以一个高， 你看高的话，呃，这两个三角形的高，一个是 am， 一个是 an。 我 问你，他两个全等三角形是不是面积一样呀？底的话，一个是 b d， 一个是 c e d 也一样，那你说高一样的，不高也肯定一样，所以 am 等于 an a m 的 圆 n 之后，然后这个不就能得证，再证一个全等了吗？对吧？你看这两个三角形肯定全等，根据啥子的 h l 呀，对吧？斜边和一个零边肯定是相等的， 斜边这个公共边肯定相等，然后刚才刚证了 a m 的 原因，所以这两个三直角三角形全等，直角三角形全等不就是这两个相等了吗？所以 p a 平分角 b p e 呃，结论我是告诉大家了，可能到了期末考试，如果出这种题，可能就会让你去，让你自己去挣 pa 平分角 bpe 之后一定要有思路，一定要有思路，就是刚才咱们说的做两组垂直垂线啊，根据面积得正，这两个垂线相等， 再挣一个圈的之后就能得正他平分了。然后咱们最后总结一下手拉手模型中咱们所学了的所有的结论啊，你得知道他的背景，共顶点等，线段夹角等，然后还得 把四个结论记得清清楚楚，他的证明过程，脑子一定要过一遍，我都说过了啊，脑子一定要过一遍。 然后大家可以把这个图截屏一下，做一个笔记，然后把每一个呃，把这个图也配上，然后把结论写上，然后一定要多去自己要独立正出这四个结论来独立证明，这样对你以后遇到这种题，做这种大题就是 so， so easy 了。好吧， 咱们可以做一个小小的练习啊，这其实学会了之后做这个根本根本根本不在话下，你看啊，三角形 a b c 是 等，等边，三角形 a， b c 是 等边，然后 dc 也是个等边，说白了就是咱们的共顶点， 共顶点，两两组等线段夹角相等都是六十度，所以全等三角形，大手牵小手直接出两个全等出，完全等，所以 a e 等于 b d， 没毛病。然后他们角 b f e b f 一， 你看 b f 一， 这个不就是咱们的啥呢？不就是咱们的第三条边的夹角吗？这，但是这是夹角的互呃，夹角，这个角肯定是，你看 这个角肯定是等于咱们的这个角的，对吧？因为这是八字模型，都是等于六十度，那这个角就是他的补角呢？一百二十度没跑，然后他问 f c 平分角 b f e， 这不就是咱们的结论吗？是吧？你会发现学会了咱们的模型之后，做这种选择题简直就是儿童题， 大题的话你你得证明，但是证明咱们都教教大家了啊。然后第二个就是手拉手模型的构造， 第一种就如何构造等边三角形的手拉手啊，就是说他给了你一个等边三角形 a b c 了，然后呃过任一个顶点，一个线段 a d， 然后让你去构造一个等边三角形。怎么构造？ 很简单哦，就是以 a d 为一个边，然后向左侧做一个等边三角形，就是因为这已经是个全等三角形了，并且还是共顶点，共顶点，你再做一个，再向左做一个等边三角形，这不就出现了手拉手模型了吗？是吧？ 然后呃，不仅可以向左坐，你也可以向右侧坐，这些都可以。嗯，然后咱们可以做一个小小的练习啊，你看他让你，他告诉光是告诉你 abc 是 一个等边三角形，然后告诉你 a 角 a， d、 c， 这是个六十度，你看见六十度，然后又告诉你个等边三角形，这就有猫腻， 是吧？等边三角形是不是夹角是六十度？所以你现在也要再构造一个等边三角形啊，但是一定要以这个角为基准。 现在就是，呃，要判断你构造出你该以哪条边为主，你可以以 c、 d 为主，以 c、 d 为主的话，因为你看这是个六十度，那你是不是再再做一个 边，和这个 c、 d 一 样的话，这不就成了一个等边三角形了？然后，然后这，然后他又已知了个 abc， 原图形的 abc 就是 个等边三角形，这不就是共顶点啊。然后等线段 夹角，等，不就是出了咱们的手拉手模型了吗？所以你可以在 d a 上取一点 e， 使得 d e 等于 dc 啊， dc 等于 d e 也行，反正就是给他取上一个点，出了一个等边三角形就可以啊。嗯，出了一个等边三角形，咱们可以正一下啊，正一下，嗯，有了这个之后你就能得正，你看，嗯，大手牵小手这个三角形和大手牵小手，嗯， 这两组三角形全等，是吧？这两组三角形全等全等之后能能能得到什么意？它让咱们这个是 d a 这条边等于 d b 加上 d c， 你 会发现这三条边根本不在一起。正这种 边线段的大小关系的时候就是它有加减的，这种关系的话一定要把它放在一条直线上。好，正嘛，是不是咱们正了全等之后就能把 d、 b 这条边转移到 a、 e 上， 尽量给它放在一条边上，是不是啊？这个全等就能得证， d b 等于 a e， 然后因为这是个等边三角形，所以 d c 也等于 d e， 这不就得证了？因为 d a 等于 a， e 加 d e， 但因为 d e 等于 d c， 然后 a e 等于 d b， 所以 d a 等于 d b 加 d c。 你 看，你可以这样做，做一个等边，你还可以咋做呢？ 这是个六十度，我也可以以 d a 为一条主边，我找一条边和我的 d a 相等，所以正好这时候就需要延长 d c a 与 e 点，使得这个 d e 呢？等于咱们的 d a 啊，出一个全等，你看，这是一个全等，这又是个全等。以 a 为顶点，做了，做了一个， 呃，可以构造一个圈的三角形，就是大手牵小手，大手牵小手，所以，呃，所以这儿的话， d b 的 话就等于 c e， 嗯，然后 d a 等于 d e， 所以 dc 加 c e 就 等于 dc 加上 db 就 等于 d e。 又因为 d e 等于 d a， 所以 就求证了，就得证， d a 等于 d b 加 dc， 你 看是不是？咱们只要是学会了方法套路，就是做，做这种题根本没难度啊。其实大家做几何题最发愁的是我不会做辅助线， 现在我就是在教大家如何去做辅助线。好吧，好，咱们来看下力五啊，力五他还，哎，这个，这个力五就是刚才这道题，我把步骤给大家写了一下，写了一下，写了一下，咱们是以那个我，我两个方法都写了，嗯，大家可以，嗯， 暂停视频啊，自己先写一下步骤，然后暂停视频，和我的这个步骤进行一个比对，然后这是第二个，这是法二啊，方法二，我都给大家写了一遍，好，刚才是构造等腰呃，构造等边三角形，手拉手，现在是构造等腰直角三角形。其实说白了都一个套路， 告诉这是一个直角三角形，告诉个 a d， 这是一个过顶点的一个任意条线段，让你去构造，你也是可以向左构造，向右构造， 对吧？你可以就说呃，过 a d 做 e a 垂直于 a d， 并且 e a 等于 a d， 这不就构造了一个构造了两个等腰直角三角形了吗？然后同理你可以向右做一个垂线啊，使得 d a 等于 a 一， 这个我不多说了，就是向左向右都可以。咱们来看这道题啊，这道题他告诉了 ab 等于 a， 哎，不对， ab 等于 ad 啊，还告了 ac 等于五。咱们可以先标一下 ab 等于 adac 等于五角 dab 角 dab， 这是个九十度，哎，是个九十度，然后角 dcb 也是个九十度，这时候你就可以看到，就是其实它 这是一个等腰直角三角形，是不是？所以你需要再构造一个等腰直角三角形，在这的话你可以向左侧延伸，因为这个你可以向左呃，向左做一个垂线，让它构造，再构造一个等腰直角三角形。也可以像我上面这个图一样， 对这个 a c 做右侧的一个等腰直角三角形。都可以啊，咱们先按我这个方法走， 我呢是过，呃，是做 a e 垂直于了 a c， 然后取 a e 等于 a c， 取 a e 等于 a c 的 话，呃，其实做完图之后你会发现 c b e 是 在一条直线上，但是你又不能直接正，你不能直接说是我直接连接 c e 啊，这样不合理，咱们刚才说的， 刚才咱们不是说你看你这样做了一个，做了一个这个，嗯，又做了一个，相当于又做了一个等腰直角三角形。咱们说你大手牵小手，大手牵小手，你连接的是第三条边，你连接是 dc 和 b、 e， 但是 dc 人家已经连上了，所以你只能连接 b、 e， 你 现在还不能直接连接 c、 e， 因为你不明确 c、 e 在 不在一条直线上。我给你们举个很简单例子，像这个，像这个图，你做了一个等腰直角三角形啊， 那你能能知道 c、 e 和 d e 是 条直线吗？肯定不是，这是一个巧合，这道题是巧合，你得正，正它在一条直线上， 到了后面我会，呃，坐到后面，我会告诉你如何去正啊？呃，还是刚才咱们在讲那个呃，手拉手模型的时候，咱们连边的时候是连第三条边，好吧？连第三条边，所以连的是 b、 e， 连 b、 e 之后，这不就出了咱们的手拉手模型的两个全等了吗？就得证了，三角形 a、 d、 c 全等于三角形 a、 b、 e。 然后现在他让咱们求的是四边形 a、 b、 c、 d 的 面积，但是因为这两个三角形不是全等吗？所以咱们就把这个三角形就转化到这个三角形了。所以咱们求四四边形 a、 b、 c、 d， 就 成了求 三角形 c、 a、 e 的 面积就可以了。求这个面积好求吗？当然好求啦，你看咱们不是做了一个垂直吗？所以这是一个等，这是个等腰直角三角形。但是我还是刚才那句话啊，咱们现在必须要正 c、 b、 e 是 贡献。 大家想一想，我之前讲那个，呃，讲那个手拉手模型的时候，我说第三条边，你看像这个 dc 等于 b e， 还还能知道什么线索？还能知道是第三条边的夹角，你把 b e 延长出去啊，把 b e 延长出去，这是 dc， 这是 b e， 你 把 b e 延长出去，它两 第三条边的夹角是等于它等线段的夹角。等线段的夹角不就是九十度吗？所以咱们根据咱们刚才的结论，肯定能得证 dc 是 垂直于 b e 的， 又因为角，又因为 dc 又垂直于 c b， 所以 就得证了 c b e， 它是它是咋，它是贡献的，所以这 c b e 一 贡献，它就是一个等腰直角三角形。 等腰直角三角形算面积，二分之一乘五，再乘以五就是十二点五就求出来了。你看这是一个填空题，你就可以按这个方法直接走。就是我知道了 手拉手模型的，呃，那个结论，我就知道 dc 垂直于 b 一， 然后 dc 也又垂直于 c b， 我 就知道它三线合一啊，三点在一条直线上共线嘛，所以直接这就是个等腰角三角求就行，酷酷的求就行啊，带那个面积公式就能求出来。 嗯，这就是这道题没难度，就是咱们刚才用的方法。然后接下来需要教大家的一个是截长补短。 截长补短我觉得没啥问题，就是出现了间断的合叉时候，要往往考虑截长补短的辅助线方法 可以截长截长的话，就比如说你，你在最长这条直线上截取一段和短的条边相等，你可以向左截，也可以向右截，这就是完全听听从自己的一个意愿。还有还得就是根据题干的一个具体题具体去 做一个分析啊，你也可以。其实这四个说白了都差不多，就是截长把最长的条边啊，然后，嗯，可以截的和呃第二条中等条边相等，也可以和最短的条边相等啊。 截长，这是截长补短的话，就是你可以把最短的条边补的最长的，也可以把嗯 最短的这条边补的和那个呃第二条边相等，都可以啊，这就是补短。呃，这种， 这个这个其实不是重点，咱们关键是你得先了解截长补短的一个辅助线的一个常见的这个用法，就是你可以把最长的边 斜的短了，你还可以把短的边给他补长了啊。补短就是补短的那条边，对吧？刚才这个图全部是补的是最短边，在这条， 在这个图片中给到的是把中等的这条边给他补长了。可以反向补啊，可以反向补，也可以正向补，都可以啊，反正就是呃补的和长边相等就行。 咱们做一个练习题啊，关于这截长补短，一看见这种线段的和和差，因为啥？因为他又不在一条边，对吧？这时候就需要给他截长补短啊， 他告诉咱们角 b a c， a d 是 角平分线，角 b a、 c 又是个六十度，所以知道这个角和这个角都等于三十度，嗯，然后还告诉咱们这条线段的关系啊，然后让咱们求角 b， 这时候呢就需要 用截长补短，你只要看到这种线段的和差问题，就用截长补短，你可以直接截长，你看 a c， a、 b、 b、 d 里面哪个最长， a c 最长吧，你就把 a c 截短了，截的，咱们可以让 截的截出一条边和 ab 相等，对吧？你发现一截之后就恍然大悟了，看 a、 c 上截一点 e， 使得 a、 e 等于 ab， 这不就出现了全等三角形了呗。边角边，边角边，证明全等， 证明全等之后咱们就能得证。 b、 d 是 不等于 d、 e 啊，对不对？这不就是全等的一个结论嘛，咱 们还没用人直接加上结论了啊。你看，呃， a、 c 等于 ab 加 b d， 现在 ab 成了啥了？ ab 我 们成了 a、 e 了，对吧？ ac 等于 a， e 加 b d， 那 么 b、 d 等于啥？ b、 d 不 就等于 c、 e 了吗？ b、 d 等于 d， e 又等于 c e， 是 不是这是个等幺三角形啊？等幺三角形，是不是这个边这个角和这个角相等？因为你现在要求 求角度，一定要把落角点落落到角度上，所以咱们不妨设这个角为 r 法，这个角为 r 法，你看这个角是不是他的这个三角形的外角呀？这个角就是 r 法。根据刚才的证明的全等，是不是就知道角 b 也是 r 法， 是吧？咱们现在就是把这个图形里面的边角就都搞明白了。现在求角，一般求角我们要放，要用那个内角和三角形，内角和是一百八我们就可以带啊。就是这个角六十度，六十度加阿尔法，再加阿尔法 就等于一百八十度得正，阿尔法等于四十度，所以角比阿尔法等于八十度。 嗯，除了截长，黑可以补短，我们可以把 ab 这条边补长，把这条短边给他补长了，补的和 ac 一 样。 a 延长 ab 至 f 是 af 等于 ac， 然后你再连接上 df 啊，然后你就能正了吗？是吧？先正一个全等。为啥是全等？哎， 边角边，边角边肯定能正全等正出全等之后，现在让咱们求的是 abc， 这个也好办，用刚才的那个结论， ac 等于 ab 加 b d， 现在 ac 成了 af 了， af 等于 ab 加 b d， 放在这条边上， 那么 b、 d、 b、 d 就 等于 b f， b、 d 等于 b f。 这又是两，又是个等腰三角形，这两个角相等， 然后因为刚才不是证了这是个全等吗？所以这个角和这个角都是耳法啊。然后这时候你放在这个图形里面，这个角是多少？这个角不是这两个角的外角吗？耳法，所以耳法加耳法，再加六十度等于一百八十度，所以也能证出耳法是等于八十度， 所以截长补短，一看见这个线段的和，就直接截长补短就行，不要有任何的犹豫。好吧，嗯，第三， 呃，例三也是第一个让咱们求证，角 a、 b、 d 等于角 a、 c、 d。 呃，它告诉了个三角形 a、 b、 c 中 a、 b 等于 a、 c， 然后 a、 b 等于 a、 c。 含告了角 b、 d、 c 等于角 b、 a、 c。 现在咱们把 b、 d、 c 标成角一，角 b、 a、 c 标成角二啊， 角一等于角二，然后还告诉了 a、 b 等于 a、 c。 其实你看啊，它让咱们正的是角 a、 b、 d 和角 a、 c、 d。 其实你呃，你一画就看出来这是一个啥了。 八字模型呀，好正，这个角肯定好正，你看啊，八字模型要和这个外角合成联系。呃，三角形 d、 b、 o 中啊，角 a、 o、 b 等于角一加角三， 角二加角四，也等于角 a、 o、 d。 所以 角一加角三等于角二加角四，因为人家告诉咱们角一等于角二，所以角三等于角四。这样第一个很简单，就是考了个八字模型，第二个他让咱们做了个 am 垂直于 c d， am 垂直于 c d 角 m， 让求证 b d 加 dm 等于 cm， 同样也是线段的和的问题，他又不在调直线上，咱们要截长补短。咱们这个截长呗，把它截长啊，最长边不就是 cm， 把 cm 给他截长点，你是咋截呀？你是这样截还是这样截呀？ 你看咱们得好好的看看这个图怎么看呢啊？咱们看啊，知道一定要和前面的 要有联系，前面他为什么平白平白无故让你挣个角三等于角四，他是有说法的，我给你引导一下啊，你看 ab 等于 ac， 你 又知道角四等于角三？你没个冲动啊，如果我再来一个这条边和这条边相等，我这不就挣了，全等了呗， 是不是？你看 ab 等于 ac， 然后我角三又等于角四，我再来一个 d b 等于 c e， 我 这个不就得正了，全等了吗？出了两个全等三角形了吗？ 共顶点等，线段夹角等是吧？那夹角等是等的是等线段夹角等，所以这时候我也得出一个 c e 等于一个 d b， 所以 这时候我要对这个 c m 要把这个长边截截短啊，截长补短，我要截这个 c m， 这条长边怎么截呢？我就是 在 c m 上取一点 e， 使得 c e 等于 b d 连接 a e， 就 刚才说的，你就能证了这两个三角形全等了， 你就反正大家讲的记住一句话就是咱们做辅助线是为了出全等，好吧，出了全等之后，咱们就能知道知道 a d 它是等于 a e 的，是吧？然后这不咱们又能 知道这是个等腰三角形， am 垂直于 d e， 三线合一，所以 m 是 d e 的 中点，所以 dm 等于 m e， 这时候这不就得证了，对吧？你看 c m c m， 它是等于 m e， 再加上 a e， 因为 m e 等于 d， m a e 等于。呃，不， c e c m c m 等于 c e， 再加 m e， m e 等于 d m c e 等于 d b， 这就得证了，是吧？这就是结长铺短。 第二个板块，我们要学的是半角模型。何为半角？ what is 半角？好，我给大家说一下，半角 半角啊，得攻顶点啊！攻顶点之后，你看 a o d， 它是我们称它为全角，然后 b o c 呢？是它这个 a o c 这个角的一半啊，所以这就是半角，半角就是两个角共顶点，一个角是另一个角的一半，就是这 在咱们考题中一般会常见的半角和全角是四十五度和九十度，六十度，一百二十度，三十和六十。阿尔法和阿尔法也常见，咱们来看一下啊。刚才咱们讲了一个手拉手模型的一些结论，咱们现在看一下半角模型有啥结论？ 嗯，半角模型常放在一个直角三角形中，呃，放在一个正方体，因为正方体它 这个角是九十度，再来一个四十五度，他就构成了一个半角模型，这是最爱考的，咱们就拿这个最爱考的来看一下他有什么结论。先废话，一是废话不多说，直接给大家摆出半角模型的所有结论，这就是咱们的半角模型。所有结论一定要熟记， 知道这个结论之后，无论做小题还是大题，你就如鱼得水。好，嗯，有同学就说啊，这个 m n 等于 b m 加 d n， 这咋整的了啊？还报了这 c m n 周长等于正方形，边长两倍，这又咋整？不急，冰冰老师给你好好讲一讲啊，咱们来先这第一个， 第一个 m n 等于 b m 加 d n， 这个有个小口诀，就啥绊脚的对边，这个绊脚的对边， m n 等于两翼之合，这个两两个翅膀两翼之合，这是个小口诀啊，这个咋整呢？这个 我我和大家先说一个思路，在绊脚模型中，我们的思路是按旋转思路去思考，因为旋转思路思考你的 呃，压力不大啊。旋转，好，好好去想。但是我们在答题的时候，在证明的时候，我们要按截长补短思路去证明啊，但是半角模型它只用补短啊，只用补短，我们证明的时候要用补短补短思路去证。为啥不能按旋转思路走呢？是因为旋转咱还没完全学， 初三才学，但是咱们可以借助那个思维去走一下，就是说你，你可以先把这个图形先做出来啊， 做出来之后，你在写步骤的时候，你要按补短的思路去写。啥意思呢？就说咱们需要做一个旋转工作，旋转谁呢？是我们要旋转，是半角与全角的边所形成的小三角形，看半角和全角所形成的三角形，这个就是 那个左心城的三角形，我们要旋转它怎么旋转？我们要往盖住半角方向旋转，使得全角的两边重合。你看把这个三角形往盖住这个半角的方向走，那就是往这边走，往这边走，走到啥时候就停止呢？就是让这条 全角的这个两边重合啊，把它转到这思路这样走。你先把图做好，做好之后你写步骤咋写？你就直接说延长 c b 于点 e， 使得 b e 等于 d n， 你 看 b e 等于 d n， 这就是咱们的补短思路了吗？ 对吧？我们把这个短边 b m 给它补补了一下嘛，步骤只能按补短思路去写，但是咱们，咱们刚才做题是补，是按补短思路走吗？不是，咱们的思路是按照咱们的旋转走的 思路得，这样想这样这样好想好做图，但是步骤不能那样，不要，不能说啊，我把三角形 a、 d、 n 旋转一下，不规范，并且咱还没学旋转，但是旋转咱们生活中常见，所以这种思路是很很好用，好吧，懂我意思吧啊？然后 做出这样的一个图来之后，咱们能挣啥？你看，按这个思路走啊， b 等于 d， n 等于 d， n 又是个直角，所以 根据边角边，是不是能证了 a b e 全等于三角形 a d n， 我 称这个全等，我称它为旋转全等，好吧，我称它为旋转全等。到了后面我会直接简化它为旋转全等这两个三角形，我称为它为旋转全等。然后证完这两个全等，我们还能再证啥？还能证一个 这第二个这个权呢？我称它为对称权的 a m e 和 a n m 对 称权的。怎么这个好挣啊？这个我已经给大家挣出来了，现在咱们把思路放在这，这个咋挣？ 这个的话，你看啊，咱们刚才正了这个旋转全等之后，就能得到 a e 和 a n 是 相等的， a e 和 a n 相等，然后有一个公共边 am， 所以 咱们只需要正角 e a m 等于角 a n a m 就 行。知道 an a m 是 四十五度，所以咱们只要正出 e a m 等于四十五度就行， 这时候正这个旋转全等时候，要结合半角和全角。啥意思？全角是九十度，九十度是等于半角四十五度，加上角一加角三，但是又因为角一根据旋转全等知道 a、 d、 n 全等于 a， b， e 知道角一等于角二，是不是就相当于角二加角三就等于四十五， 对吧？你看，这有步骤，这有步，这就是步骤。角 b a， d 等于九十度，角 m a， n 等于四十五度，角一加角三就等于四十五度。角一等于角二，所以角二加角三等于四十五度，所以角 m， a， e 等于 m， a， n 都等于四十五度，所以就得证了。三角形 a， m e 全等于三角形 a m n 边角边， 这就证了两个全等了。证了全等之后，咱们能得得到什么关系呢？是不是就能得证？ m e 等于 m n， m e 等于 m n， 是 吧？又因为 d n 等于 b e， 是 不是就能得证了？ b m 加 d n 就 等于 m n， 是 吧？因为 b e 加 b m 等于 m n， b e 等于 d n， 不 就是说 b m 加 d n 等于 m n 了？这不就是半角对边等于两异之合就得证了？这就是第一个，第一个啊，第一个，所以我称它这个为旋转权的，这个为对称权的， 清楚了吧？好，嗯，这个，这个题，这个就是我取自一个呃，练习册上的一道题，这个题就是刚才咱们讲的第一个模型。好吧，半角模型，第一个结论我就不给大家写步骤了，刚才已经说了，说的清清楚楚。 好，第二个结论，我们是说三角形 cmn 的 周长是二倍边长 咋正？咱们先说啊， c m n 的 周长是不是等于 c m 加 c n 加 m n， 对 吧？ c m 加 m， n 加 c n， 这个 m n 刚才刚正了。这是半边边，半边半角的对边，半角对边等于两异之合。等于 b， m 加 d， n 等于 b c， d， n 加 c， n 等于 c d b c 和 c d 不 就是直正方体的正方形的边长吗？就是二倍边长。结论就这样来的， ok， 下一个结论， m a 平分角 b m n n a 平分角 d n m。 先说第一个， m a 平分角 b m a b m n m a 平分角 b m n 这个没毛病啊，这个根据咱们刚才的对称全的就知道角四等于角五， 这个得证了啊。这个根据对称全等就能得证。 n a 平分角 d n m n a 平分角 d n m 其实这个也好证，为啥呢？呃，刚才对称全等是不是证出了角三等于 等于角二是吧？再根据刚才的旋转对称，我们得到是角一等于角二，角一等于角二，角三也等于角二，不就角一等于角三不就 n a 平分角 d n m 了， so easy 啊， so easy 啊！其实半角模型核心就是两全的，一个对称全的，一个旋转全的。 把这两个圈的一正那三个结论好，太好正了。 a 到 m n 的 距离等于正方形的边长，过点 a 做 m n 的 垂线等于正方形的边长，他这个板就是又正了一个圈的。你看过点 a 做 m n 的 这个垂线，这是个直角吧，这也是个直角， 这两个角角四又等于角五，这有一个公共边，所以三角形 abm 肯定全等于三角形 ahm。 根据这个全等之后就能知道 ab 等于 ahab， 不 就是正方形的边长吗？这不就得正了呗。好吧，这就是咱们半角模型的所有结论， 弯角模型就是第一个旋转得一个旋转权的，第二个再占一个对称权的就 ok 了。思路，核心思路就是这样个权的，然后就能得到这么多结论。好吧，这就是今天咱们初二期末证明答题的核心思路 啊，干货真的很满，我觉得多多少少期末考试肯定会考到，大家一定要把这节课吃的透透的。好吧，拜拜各位。