绵阳二诊立体几何解析

与绵阳一整类似，绵阳二整依旧是新两卷地区模拟卷的天花板。本次更创新立体几何难题压轴，而且是真的立体几何五星难题，只是这道题交卷前十五分钟才通知进行勘误定正，所以这次考试想上一百三十实属不易。填空难度不大。包括第八题在内都是基础题， 多选的第十题和第十一题都出得很漂亮，最后一个选项都有难度，其中第十题 d 可转化为两个函数焦点问题处理，第十一题 d 选项涉及三角换元。第十四题不难，但要善于运用空间向量解决问题。 解答题最后两道压轴题难度较大，第十八题有点反常规，第三问使用中点弦比第二问简单，第二问是仿设变换背景题，直取连力计算可能要算得哭。第十九题估计是本届例题几何压轴题天花板，难度和新意均非常足，计算量要上天了。

立体几何压轴大题竟然隐藏了抛物线，妙不可言！这是昨天才考的二零二六绵阳奥体的最后一个大题，十九题居然是立体几何压轴，很多考生 在被这个创新，然后位置不一样，然后阅读量不一样，那条件很多，但怎么整合在一起，哎，就吃亏了，甚至第一问就蒙了。其实第一问不难的，我们来看一下题目 如图，已知三菱锥 p a、 b， c 点 d 在 平面 a、 b、 c 上，且 abcd 任意三点不共线。这是优化版的题目，一开始我们不他说的是四菱锥，后来考场上改了， p c 垂直于底面 a、 b、 c d 线面垂直点 e 为 p a 的 中点，点 e 为 p a 的 中点。这你看，再告诉锤子，则也告诉锤子，这个锤子拿来干嘛呢？其实这个锤子后面还告诉数据，这个锤子是拿来正等腰的， 很多人想不到哎，想到线面锤子要找两个锤子，就深入拿这个锤子去想，就掉进去了。好，我们来看一下为什么等腰？我们要标数据， p c 等于二 二倍根啊，一半就是根号二，根号二，你看垂直这个 e， f 等于 e， 等腰直角三 a， 这个也为 e， 你 看是不是就则也为 e 了吗？所以要证明的是什么？ pa 垂直于 f g， pa 是 这个 f g， g 是 这两个等腰，等腰一般就取它的终点 m 连起来，是不是两个垂直就出来了？很简单的定位，但如果你想偏了，就 利用不了条件整合在一起，那么你就做不出来。所以我们快速写一下第一问的解析检验，证明 好证明我们在怎么写呢？已经一体有因为或者 e f 垂直于 p b， 然后个 p a 等于二倍根号，描述一下，还有哪个 e 为 p a 中点， 所以 p e 等于根号二，所以就可以得到。呃， p f 等于根号下， p e 方减去 e f 的 平方就等于一，同理 可得这个 p g 也等于一，所以等于 p f 了嘛。所以我们只要只需要取中点连接起来，因为就解决了，所以取这个 g f 中点为 m， 对 吧？连接 连接 p m e m。 在 因为描述下，因为 e f 等于 e g， 所以 就得到 e m 垂直于这个 f g。 同样又因为 p f 等于 p g， 所以就得到 p m 垂直于 f g。 两个锤子是不是在标上嘛？不会的话，两个锤子是不是要找交线了？我们找呃，知道的话就不写。而 e m 交上 pm 等于 m， 且在要描述在面内，且 e m pm 都在平面， 这个 e m p m 都在平面， p e m p m 都在平面，就 p e m 上， 所以就可以得到 g f 垂直于平面， p e m。 在 描述下，又因为 p a 在 平面 p e m 上，所以就得到 p a 垂直于 f g。 你 看是不是第一问解决了？ 下面我们继续来看第二问的解析。它隐藏了一个抛物线，很经典的，我们就来操作一下为什么隐藏抛物线。首先我们要间隙， 这是 x 轴，这个拉过来是 y 轴，这个拉上去为 z 轴，是不是拉出来了？这边找找。二，这是间隙，你自己描述，这是间隙的描述，所以 a 的 坐标是二零零， p 的 坐标是零零二，我们设 b 的 坐标是 x 一 y 一 逗零， d 的 坐标是 x 二逗零，对吧？然后如果熟悉与这个圆锥曲线截出来曲线的问题的话， 嗯，曲线问题的话，咱就圆锥截曲线，截出圆锥曲线来的话，这就是一个圆锥曲线，而这刚好四十五度，就是一个抛物线，为什么呢？我们来证明一下， 就是现在是不得到它了，我们找个括号省找是由。先把向量写出来，有个 p a， 有 个 pb， 所以 pa 向量就等于二零负二， pb 向量就等于 pb 的 话，是 x 一 y e 负二，对吧？而因为这角 a p b 等于四分之派，所以就得到 cos 四分之派就等于 pa 和 p b 的 数量级，再除以 pa 的 模，再乘以 p b 的 模。化简下， pa 和 p b 的 数量级就是二 x 一 加上四，再除以根号下，这是二的四。四加四等于八， 则就变成 x 一 平方加上 y 一 的平方加上四，把它化解一下就行了，它等于二分之根号二，对吧？二分之根号化解下，则首先 根号八十二倍，根号约去个二根号，乘根号等于二，再和它约掉，就推出 x 一 加上二，就等于根号下 x 一 的平方加上 y 一 的平方加上四，则肯定大于等于零了嘛。所以 x 一 加大于等于零的就 平方，就可以推出 x 一 的平方，或者直接写 x 一 平方抵消掉，在四抵消掉，就得到 y 一 的平方等于四 x 一。 你看，这就经典的抛物线是不是经典的抛物线了？好，得到它之后呢，我们又来写下，同理 可得到 y 二的平等于四 x 二，是吧？四 x 二了。所以这就调一开始解决后面怎么翻译这个条件？ p c 线面平行，则线与交线平行，我们设这个交点为 o 点，对吧？首先设 a c 交上 b d 等于 o， 是 不是 b， d 等于 o 了？因为在下面平行，这交线其实就是 o e， 所以 我们再写下，因为 p c 平行于平面 e， b， d， 是 不是 p c 平行于平面 e， b， d 啊？而我们再来看一下，而平面 p a c 加上平面 e， b， d， 就 等于这个是 e o， 所以 就可以得到 pc 平行于 e o， 是 不是 pc 平行于 e o 了，所以得到这个条件，所以 o 的 坐标我们现在是知道的。 然得到 o 的 坐标， o 的 坐标就是在终点了嘛。当然这个我们后面间隙的话可以用，这样我们用传统方法来做一下，要求的是这个二面角 b a p d， b a， p d 的 大小是不是 b a p b 的 大小，而 b a p 是 f p e。 同样的另外一个就是 g p e 去做函数，因为上面的数据知道的这是一，这是一，这是一，这是一的在，并且是四十五度，我们这些都知道，所以去转换一下， 所以就是而这个二面角的平面角为 c 塔，而二面角这就我们目标 b a， p d， g 为二面角， 二面角这是 f e p g f e p g 而我们这是等腰直角三角形，所以只需要做一条高线就行了， 所以做一条高 h 连接它，对吧？我们这就是折过 f 点做 f h 垂直于，这个是 p e 角 p e 与点 h 连接 连接 h g， 对 吧？所以我们这很明显第一位告诉垂直，这就是啊直角面角了。哦，这就是不是直角面角，这就二面角，所以这个角 f h g， 所以角 f h g 即为二面角，即为 c 塔，就等于 c 塔了嘛，所以我们知道等于 c 塔，这就余弦定理，你看，这是。呃，余弦定理，这不是一勾股定理。等腰直角三角形二分之根号，而 f h 等于， 而 h g 是， 等于，对吧？ h g 对 了，就等于二分之根号二的。所以我们由余弦的理，再由余弦的理得，就不用描述了。咱就由 余弦定理得，由于余弦的理得，就得到。 cosine theta 就 等于， 这是二倍 f h 乘以 h g 分 之 f h 的 平方加上 h g 的 平方减去 f g 的 平方，代减二分之二的平方就二分之一，二分之一刚好约掉， 就没有分母了。一，这是二分之一加二分之一减 f g 的 平方。所以二面角与 f g 的 大小有关，而 f g 的 大小，我们刚刚是把 p b d 算，它是为了算这个面了吗？所以这 p f， p g 的 大小是不是就可以转换出来了？这就可以转换成这个角的关系，而这个角又可以转换成 p b p d， 所以 就相应的转换，就等于 e 减去。在这个三角形中， f g 又等于 p f 吗？ 加上 p g 方减去二，被 p f 乘以 p g 乘以扩散。我们要设一个角度设角，这个是 f p g f p g 等于 alpha， 就 等于扩散 alpha 化解一下，这是一，这是一没了。那一减一，一个没了吗？这就变成二扩减一。所以就推出 扩整数，它就等于二倍扩整数二法减一，是不是要求扩整数的关系？就要求扩整数二法啦。另一方面， 扩整数二法就等于就可以转换成 p b 和 p d 就 等于 p b 和 p d 的 模，对吧？ p b 我 们刚刚记得表示过，就 x y e 反，另外一个就相应的表示嘛。所以就 x 一 x y 一 y 二就等于， 咦，就等于 x 一 x 加上 y 一， y 二，再加上负的平方等于四。就根号下 x 一 的平方加上 y 一 的平方，再加上四，再乘以根号下 x 二的平方加上 y 二的平方加上四，是不是加上四了？好，我们找 刚好说了这个交点， o 哦，刚好证明中点这个是 o 的 坐标，则交叉，所以则平行，则平行，我们写哪去了？所以 o 的 坐标刚好是一零零，刚好是下面的交点，这是 y 方等于四， s 刚好为交点， 刚好为抛物线交点， 是不是刚好为抛物线交点了？既然为抛物线交点，这儿就是性质，我们这儿就可以这儿在下面连立，这儿设直线， 在平面上设直线， b d 方程为大体。稍微证明一下， x 等于 m， y 加 e 反射直线了嘛。所以就连立， x 等于 m， y 加上一和 y 方等于四， x 咱就推出，这就是 y 方减四， m y 咱就减四，等于零，对吧？所以我们咱就可以得到 y 一 加上 y 二， y 一 乘 y 二就行了。 y 一 乘以 y 二就等于 y 一 乘 y 二，这就我看一下，等于负四，那么就是 x 一 乘 x， 其实是四分之平方，就等于一了嘛。所以这就是一个负四，一个是一，是不得到它了，所以带进去，所以就可以得到 函数幺法，就等于这是一，刚好为一了。下面就是化简， x 一 平方， y 一 方是四， x 一 加上四，再乘以根号下 x 二的平方加上四， x 加上四，就等于刚好是 x 一 加二的平方， x 一 加好， x 一 加二， x 一 加二乘以 x 二加二分之一，对吧？化简一下就变成了 x 一， x 加上二倍的 x 一 加上 x 二，再加上四分之一，基本不等式。大于等于，在分母上小于等于。我看一下两个。对了，小于等于 x e x x e x 是 知道的。一一加四就等于五，加上二乘以二倍根号 x e x 二分之一，这就等于一，五加四九九分之一。所以代入我们的目标，括号乘以 c， 它就等于二倍括号乘以 r 减一 小的九分之一，九二九分之二减一负的九分之七。所以就打一下，就像 go 这个 cosine， 它的最大值为负的九分之七。

好，下面我们来看一下二零二六绵阳二镇的例题集合。压轴题的第三位，考察一个外接球问题，并且它和这个三个可能值有关，与相当于零点交点个数有关。这个题还是比较巧的， 所以我们找到第二位已经间歇了，所以第三位也可以间歇来算。咱们先来分析一下题目给了什么。 b d 平行于 f g， b d 平行于 f g， 而我们前面平行是不是就相似了？而 p f 是 等于 p g 的， 所以很明显 p b 等于 p d， 因为 p c 垂直。下面这个面勾股定律 c d 也等于 c b， 是 不是 c d 等于 c p 则首先得到一个关系， 得到关系之后呢，我们再来看一下。而 a p b 和 a p d 也容易证明， 因为角相等，边边角边是不全对啦，所以 ab 也等于 a d， 是 不是 ab 也等于 a d 啦，所以很明显这个焦点我们前面设为 o 的 话，很明显就可以证明它是中点并且垂直啊，所以这就是先翻译条件，得到垂直我们就可以好设定来见效 解。第三位，因为 b d 平行于 f g， 且有前面的这个是 e f 和 p f 有 前面之 p f 等于 p g 等于 e， 所以 就可以到了 p b 等于 p d， 进步就可以推出 c d 等于 c b， 有 规律了嘛。好，然后又有一只 三角形， a， p b 全等于三角形，这个是 a p d， 所以 也可以得到 a d 等于 ab 是 吧？ a d 等于 ab 了，所以你看两个相等了，这个是所以它的交线，所以很明显因为这个 p f 我 看一下啊， p f 等于 p g 没问题，所以就可以得到 ab 等于 ab， 所以 进一步就得到 o b， 所以 就可以推出 o b 等于 o d， o b 等于 o d， 所以 这就可以证明垂直了。这就是呃，中点了嘛，所以就可以得到 c o 垂直于 b d。 是 不是 c o 垂直于 b d 啊？而我们找的是垂直的话，这就是中垂线。巧设圆形，所以 b、 d 的 中垂线就是 x 轴，所以故可设 库克色。下面这个是什么？ a b d 平面，不是平面，我们再描述成三角形，三角形 a b、 d 的 呃，外接圆圆心为， 外接圆圆心为。这是比如我们手随便设个字母 t 零零，因为这是 p c 垂直于它的，所以球心 球心 o r， 我 们这记为 o e， 所以 球心 o r 记为 t 零 h 是 不是 t 零 h 啦？这就叫中垂线。巧设圆心。好写下，因为 这个是 o e 嘛。因为 o e a 等于 o e b， 我 们把 a 的 坐标再顺便写下，虽然之前我们写过了 a 的 坐标二零零，然后这是 b 的 坐标，是 x e y e 零，是不是 x e y e 零了？然后我看一下，对了，所以就可以推出。咱就得到 o e a 平方了嘛，它就变成了 t 减二的平方，就等于 o e b 就是 t 减 x 一 的平方，加上 y 一 的平方，就可以得到 t 和 x 一 y 一 的关系。先把它化解，超格上打开 t 方消掉，再就个负四， t 加上四， 是不是负四？ t 加四四了，再 t 方消掉，就负二 t x 一 加上 x 一 的平方，而 y 一 平方是等于四 x 一 的，所以 把它花掉一怪就推出四 t 就 等于 x 一 的平减，去加上二 t x 一， 或者还有个 t， 要把它合在一起， 先合在一起，然后这一怪就我看哪个一怪，这个一怪吗？二、 t 减二， x 一 减四。 错了，二 x 一 减四乘以 t 就 等于 x 一 的平方加上四， x 一 减四，是吧？ x 一 平方加四， x 一 减四了，所以咱进一步就推出 t。 好， 咱来描述一下 x 一 是不等于二的，很明显吗？显然， 因为免得再除以，我们严谨点， x 一 不等于二，所以就推出 t 就 等于二， x 一 减四分之， x 一 的平方加上四， x 一 减四，其中 x 一 大于零，且 x 一 不等于二。简单描述一下， x 一 不等于二，这是操作，这样操作你看是不是得到 t 的 关系啊？我们在标为一个四，子标为一，四 为了好算吗？我们又继续往下得得到这个 t 和 x 一 的关系，下面找这个还有个 t h 的 关系，所以要找 t h a 的 坐标，知道 p 的 坐标，知道我们就写，因为 p o r a 等于 o r p 就 可以推出 o r a 就 变成 t 减二的平方，加上 h 的 平方就等于 o r p p 的 坐标，我们则是零零零零二了嘛，所以就变成了 t 方加上 h 减二的平方。这个打开很明显， t 方 t 方削掉， h 方削到四，约掉，就可以得到 t 等于 h， 是 不是 t 等于 h 啊？现在得到球心，下面为又继续得到 t 等于 h 之后呢？我们再来算一个 r， 我 们 y 求角半径 r， 而大 r 的 平方又可以表示乘以，这就是 o r。 等我看一下 o r 哪个好算哈， o r a 就 自己再来算一下代减了嘛，所以就得到 o r a 的 平方，这个代减 t 等于 h， 就 变成 h 方加 h 方， r h 方或者 r t 方嘛， r t 方减四， t 加上四，是不是就得到 r 的 平方，等于二 t 方减四， t 加上四啊？你看，这是关于一个 t 的 函数，我们记为 f， t 相当于这个 t 一 元二乘方的可能有两个减，可能有一个减，可能没有减，下面还要减 x 就 相当于是它的体积。我们先来分析一下体积，而 v p b c d v p b c， d 的 面积，我们只要刚刚写了嘛，就这个是锥体底，三分之一 s， 三角形 b， c， d 再乘以高，高就是 p 到 b， c， d 的 面积就 p c， p， c 就 乘以二， 对吧？所以这就变成了三分之二乘以 b， c， d 的 面积。因为这垂直了嘛，所以就是 b d 的 长度， b， d 的 长度，因为这是对称的，所以就是二倍 o b o， b 的 话，我看一下， b 的 坐标在了 x 一 y 一 逗零，这是 x 之上，就是直接上 y 一 二 y 一 二 y 一， 再乘以，加个绝对值嘛，就二 y 一 再乘以。乘以什么？我看一下。 嗯，这是二 y e， 这是 y e 嘞。那再乘以我看一下啊。乘以这个高，高是 c o c o 就是 x e， 我 看一下，这是 x e， 这是 y e， 再乘以 x x e 底乘以高除以二分之一，这写错了，面积是二分之一，底乘以高除以二， 就是二分之一乘以底色，这是横坐标，这中着二倍 y 一 的绝对值，再乘以高 x 一， 肯定是正的，对吧？所以化简就变成了三分之二倍 x 一 乘以 y 一 的绝对值，而前面 x， 呃，我看一下， y 一 方是等于四 x 一 的，所以 x 一 就等于四分之 y 一 的平方，或者 y 一 消掉，我们找它取一个正的补方子，设 a y 一 大于零嘛，找对称性找它就可以得到，就等于三分之二乘以这个 y 一， 就是根号 二倍。根号 x 一 再乘以 x 一， 所以就变成了三分之四倍。 x 一 乘以根号 x 一， 这很明显单调递增，所以要有三个可零值，就是 x 一 要有三个减，对吧？是吧？ x 一 要有三个减了。所以 这题目说的是三菱锥的体积就有三个可零值，则三菱锥 体积有三个可能值， 则 x e 有 三个。正解，我们刚刚分析过它大于零，是不是三个正解？而 x e 是 由这个函数决定的，则我们是 f t， 则就 t o 是 这个函数。两个函数类似于嵌套函数。我们就重新定一个 g e x e g x 了嘛。 积 x 一 就等于二，被 x 一 减四，分之 x 一 的平方加上四， x 一 减四，换个圆。另分母提出来， x x 一 减二等于，这个是我 看下等于零，另外一个线直接等于 x 了，所以因为 x 一 是大于零且不等于二的，所以 x 是 大于负二，且 x 不 等于零大于 f， 是 不是不等于零啊？所以就可以转换成 g x 的 函数，再就变成二 x， 然后 x 等于 x 加二，所以就是 x 加二的平方加上四倍， x 加二 减四，就 x 平方加上四， x 加上四，再加上四， x 加上八减四。在化简就是 x 平方加上八， x 加上八， x 平方加上八， x 加上八。或者打开就类似于对勾函数平移了嘛，所以就等于 二分之 x 再加上 x 分 之四，再加上四，是吧？二分之 x 加 x， 分 之四加四啊。二分之 x 加 x， 分 之四加四。好，这很明显它是一个对勾函数，所以由对勾函数性质之 函数性质之 g x 在 这个是负二到在 x 平方等于八， x 等于二平方，负在负二到零上单调对勾函数是这样 的，是这样和这样吗？负二在这负二到零上单调递减上，我用箭头了 上单调递减，然后是零到二倍根号二，这是八二倍根号。零到二倍根号上单调递减二倍根号二到正无穷大。上单调 递增是不对勾函数，图像得到它了，所以现在对勾函数它要有三减在，这就相当于有 a 上面肯定 m 有 两个减了吗？两个减就可能是二加一，我们只要先把图像或者我们重新画图像只有一半，为了让大家更好理解，点 x 走， o 点 y 走，再有个负二负二代减是负三四正一，是不是单调递减啊？图像是这样的， 然后减下来又增上去，在这个地方是二倍根号处取的，他是二倍根号加四，二倍根号加上四，这个是正一，所以你看要有 是吧？二加一的问题。二加一可能是则，也可能是则，这是一了嘛？所以我们先讨论这种相等的情况下，所以我们现在是还有个 m 的 函数跑哪去了？ 你看下这是不是 m 是 t 的 函数，而 f t 我 们写下来，而 f t 是 等于 二， t 方减四， t 加四，二 t 方减四， t 加上四的，所以要有三个解，则 f t 要有两个 g， 是 吧？ f t 要有两个解了，且我们回答例例，且 两个减 t 一 t 二吗？显示有两个减 t 一 t 二，则 t 一 加上 t 二是要等于啊。 a 分 之 b 负， a 分 之 b 负，负的正等于二， t 乘以 t 二也要等于二的，是不也要等于二的了，所以我们只要就得到。当 t 一 等于刚好是二倍根号，加上四十，带进去， t 二就是负的。咦，好像又没墨了，该死，该死， 等一下，我看一下，好像真没墨，你看，我们现在先来分析一下思路嘛。 t 等于二倍根号带点，是不是 t 二就是负的了？二倍根号一个一个，所以此时只有两个不满足，所以只能是 t 一 大于二倍根号加四，这上面有两个跳小于一，是不是就跳小于一啊？再结合这个二次函数的图像去分析。所以我们在结合二次函数图像，找了百分之一，还不够， 咱是去分析了。那咱先写一点，听一点嘛。所以就得到，此时 t 二是等于负等于二，一个就是负，二减二倍根号二，此时只有两个焦点，此时则只有两个 焦点，这种情况一个在这，一个在这两个焦点，所以不满足， 不满足写快点，所以当，所以这就要有 t 一 要大于二倍根号加上四，然后还有个 t 二要小于一，我们就画这个二函数的图像。对称轴是这样， 快，说话快，没对称轴是一开口向上零的时候是四，是不是这样了？所以我们的 t 一 要小于一， t 一 在这，对吧？一在这，所以只要就得到这个的函数，我们是 t f 一， 所以就可以推出 f 一 肯定要小于零，当然 t r 要大于二倍根号，所以这是 t r， f 二倍根号加上四就要大于零，带进去就可以推出 f 一 小零。我们再去算一下， f 一 小于零，就变成了二减四加四就二。 咦，怎么好像咋都不对了， f 一 我们是要小于零了吗？ f 一 代减是等于它，它大于零了嘞，我是不是来分析错了哈，看一下 f 一 小于零， f 一 是我们是不是这个函数读错了。 m 幺减四， t 加四啊？ f 一 f 一。 哦，这个讲错了，这我们函数图像就出问题了，这还有个 r 的 平方，说明这个有问题，咱不能直接这是一个整体的零点问题了嘛，说明咱应该是在这个地方令 令 f t 等于二 t 方减四， t 加上四，再减去二的平方，这是吧？二 t 方减四， t 加四，二 t 方减四， t 还要减去二的平方，这才行，要不然刚刚出问题了，所以在 f 一 这就推错。 f 一 刚刚算出来，因为是正的嘛，所以出问题了，就检查这是一代点就是二减二，平方小于二的平方大于二 就推错，二的平方要大于二。再第二个就是二倍根号加四大于零，所以代点就是二倍根号。二 加上四的平方减去四，乘以二倍根号加上四，然后再加上四减二的平方要大于零，减一下就可以推出。 那就是二乘一，它是八，加上十六加上二的是十六倍根号啊。再减去八倍根号减十六，加上四大于二的平方是不是大于二的平方？这是二十四， 二十四打开就是四十八加上三十二倍根号，二 三十二倍根号减八倍根号减十六，加上四大于二的平方，就推出二的平方小于，这个是四十八加四，五十二，五十二减十六，就变成了四十三十六，三十六，再加上二十四倍根号是三十 六加二十四倍根号了，就推出 r 的 平方要小于这个值一是小于还是大于？哈，我们这是小于零，那这方向都弄错，嘿嘿，因为我们方向这还是 小于零，所以小于。下面检测是大于 r 的 平方就大于它了嘛，所以就推出 r 的 平 方是大于。大于啥？我不应该差的，大于三十六加二十四倍根号。 r 的 平方大于三十六加上二十四倍根号，是不是三十六加二十四倍根号了？ 关键这个我们要怎么因式分解呢？其实我们这就求开根号了嘛，所以就推出小于，肯定 r 要大于根号下三十六加二十四倍根号，肯定可以提出个四来就是 r 倍根号下九加上 六倍根号，是不是九加六倍根号了？三十六，这是四十六，二十四没问题，但提出这个来我们好像还不行，我们这九这个拆分成是二倍首位，二乘以三乘以根号，这平方就是九啊，不行。然后这是 不能拆分成，这个要用别的音色分解方法。我看一下这个都是六的倍数了吗？提出个根号根号六来试一下，就变成了根号下六加上四倍根号。哦，好像这个可以了，因为四倍根号可以写成二乘一， 根号二乘以二，对吧？这个的平方等于二，这个平方的四就可以开出来了，所以大家就可以写成根号六乘以根号下根号二加上二的平方，是不是根号加二的平方了，所以这样就可以开出来， 就推出二是大于根号乘以根号六，就是二倍根号三，再加上二倍 根号六，是吧？二倍根号三加二倍根号六了。所以我们只要最得到最终答案去打一下，所以它的曲值范围是二倍根号三，加上二倍根号六到正无穷大，所以我们这就做完了。

二零二六绵羊二整解析几何压轴大题，考生基本上都是折腰，在暴力计算的过程中，因为暴力计算真的很容易卡在，我们可以用拉格朗日恒等式来简化。我们具体来看题目 在已知椭圆 a 方分之 x 方加 b 方分之 y 方等于一经过，这就相当于是 a 等于二倍根号， a 方等于八， 八分之二是不是就等于八了？八分之这个代减八分之四就二分之一，所以则 b 方也等于二，就得到 d 位的方程，八分之 x 方加上二分之 y 方等于一。因为特别简单，我就不写具体过程了，我们来看第二位， 直线 l y 等于 k， x 加 t 交 c 于 ab 两点，若 c 上存在异于 ab， 当然我们再来简单介绍一下拉格朗日恒等式。在前年我看一下，二零二四年的时候，我录制一个清华标准学术能力测试， 标准学术能力测试，其中录制一个填空压轴题的时候，就当时就介绍过这个拉格朗日横列式，然后后面，然后去年的一个武汉还是武汉几调的时候， 武汉几调一个例题集合，大题例题集合，当时间隙暴力，算了，咱没有平移了嘛，咱后面也会用到哪个呢？是很类似，所以这个题这个的第二位，我们往下做的时候就会利用这个可以简化计算，在我们就是对 接触的多，所以我们这题目做起来就要快点，如果接触的少，暴力计算这题呃，咱大家可以去算一下，真的会容易卡的。我们继续往下 分析一下思路嘛。直线和它连力是常见的，只要若 c 上存在存在异于 a， b 的 一点 p 满足二倍 a p 等于 ob。 当然我们这个题第二位还有的用仿色变换，但我们说了仿色变换，我在一般我也不太会，对吧？因为我觉得他用大题用的很少，对吧？所以我们咋没有去 研究过他？所以我们咱也有很这种面积问题了吗？咱一般可能想到仿色，这是思路，但我说了我个人 不是喜，很喜欢去学它，所以我就不介绍仿色变化的方法了。来满足二倍 a p 等于 o b a b 有 关系的，对吧？维达定律了吗？然后这个 p 点代减就可以得到。呃， 就相当于我们比如是 a p 点 x 零， y 就是 x 零和 x 一 x 二有关系， y 零和 y 一 y 二有关系，但 带入椭圆去进步，就得到 x 一 x y 一 y 二的关系。就问后面的藻儿探球面积是否为定值做准备了，这就是我们的常规思路，但是暴力计算比较难，我们后面有个技巧，后面再说藻儿弱势求出该值了吗？而第三 第二问第二小问的，第二问的第二小问 q m a q b p 交于第一两点，相当于我们的有点像蝴蝶 模型了，对吧？我们只要高考考过一个类似的，那 d e 平行于 a b， 若 k 等于负二分之一，求 m n 满足的关系。既然这个平行，我是从这儿入手， 怎么写成人手了？人是怎么写？入字入字写错了，哈哈哈，不好意思，只要入手就是我们这儿就得到。 因为斜率相等了嘛，咱就可以设 a b 是 不是 k x 加 t 了，所以在 d e 的 方程就可以设成 l， d y 等于 k x 加上另外一个体积，再利用这关系整体消元，我们找整体思想，整体 十项，我们往下操作，但都有计算的，对吧？好，我们开始来操作。第二问的，第一小问了好一，首先肯定是连的， 只要是 x 方加上四 y 方，同时乘个八了嘛，减八等于零就等于八，还有 y 等于 k， x 加上 t， 只要是消 y 的， 其实咱很好算的，平方 k 方乘以四，四 k 方加一，所以就变成四 k 方加一乘以 x 方，再加上再平二 k t 乘以四，八 k t x 再加这个 t 方，四 t 方减八，四 t 方减八等于零，对吧？我们要什么硬解定理嘛？我们这我也很少用什么硬解定理，或者都是算的多好。我们这不能先设点，要先判断得它，虽然我们用用用得到再回来具体算，用不到就直接写， 再减就变成六十四 k 方， t 方减去四乘以四 k 方，加上一乘以四， t 方减八 大于零，因为肯定有两个交点了嘛。就可以设点啊，设 a 点为 x 一 y 一， b 点为 x 二 y 二，然后顺便设 p 点为 x 零 y 零，是吧？ x 零 y 零啊，好，我们找到很明显显然写一下 显然就可以得到几个，比如四，我们写成这个好点， 就变成 x 一 的平方加上，或者我们直接写零幺。嘿，我可以这样写。再就是 x a 的 平方加上四倍 y， a 的 平方等于八，其中 a 等于零，一 二是不就可以写了，得到这个方程了。好，我们再利用这个向量得到关系，我们要写二倍 a p 向量，二倍 a p 向量等于 o b 向量，就可以推出二倍 a p， x 零减 x 一， y 零减去 y 一 等于 o b， 就 变成了 x r y 二，对吧？ x r y 这个遗传就得到二倍 x 零，减二倍 x 一 等于 x r 二倍 y 零，减二倍 y 一 等于 y 二。进而就可以推出 x 零等于二分之二倍 x 一 加上 x y 零等于二分之二倍 y 一， 加上 y 二，对吧？所以代入前面的 x 零，所以代入。我们再标为一四，这个标为二四 二四，代入一四，就可以推出。这就 x 零的平方就变成了四分之。 我们直接打开了四分之四， x 一 的平方，加上二倍十位二的四。四倍 x 一 x 二加上 x 的 平方，再加上四乘以 y a 的 平方，再就变成四分之四倍 y 一 的平方，加上四倍 y e y 二，再加上 y 二的平方，就等于八，对吧？然后同时乘个四了嘛？我们再同时乘一个四，就四八三十二是不同时乘以四就得到它了。好，得到它之后呢，我们又继续往下算，这我们 打个括号，好拆开分组，它和它分为一组，就提出个四来，就变成 x 一 平方，加上四倍 y 一 的 平方，对吧？提出来个四，再加上它和它为一组，就变成 x r 的 平方，加上四倍 y 二的平方，再加上它和它为组。提出个四来，就是 x 一 x 二加上四倍 y 一 y 二等于 三十。刚刚说这个是等于八，这个也等于八，所以在前面就是五八四十了嘛。所以就相当于是五乘以八加上四乘以 x 一 x 加上四倍 y 一 y 二，是不等于三十了。同时出个四，这就变成 这同时出个是十了嘛？这就是八。发移过去就是 x 一 x 加上四倍 y 一 y 二，等于发，这是一个经典的关系，不管用哪种发这个关系肯定 要用它的，对吧？好，我们找常规思路就是把直线 y 一 写成 k， x 一 加 t， y 写成 k， x 二加 t 代减进步就得到 k 和 t 的 关系，再代入面积公式，底层高垂啊，则就简化，但我们面积则。上海高考题 和当时好像，这个我才在多选择题讲过，对吧？证明你自己去看当时那个上海真题的证明，证明自行补充， 自行补充就是 x 三角形 o a b， 它最终面积是二分之一倍 x y 二减去 x r y e 的 绝对值的。所以既然有 x y， 有 x r y e， 你 看这个等于八， 对吧？这个也等于八，这就。我们拉格朗是恒等式方，科西不等式是方和积 方和极大于等于集合方。我们这拉格朗是写一个两个的，简单的嘛，再写个简单形式， 简单形式为什么是大于等于呢？所以取等号，这就会加一个余量，加个平方，这就是我们的这个拉格朗任意式方和极。所以我们只要写出来，就变成了 x 一 的平方，加上 四 y 一 的平方，你看方和再乘以几 x 二的平方，加上四 y 二的平方。好，我们写一下，就等于这个是集合方，就是 x 一 x 二加上 是二 y 一乘以二， y 二就是四倍 y 一 y 二的平方，再加上，这就变成了交叉，就变成了 x 一 x 二 x 一乘以二倍 y 二就是二倍 x 一 y 二，再加上二倍 x y 一，交叉相乘相知，差了，差点写错 的平方，这就是我们简化的哪个朗日，肯定是。为什么简化呢？因为我们来分析一下嘛， 现在这个是目标，这个是我们已知值，这也是一个值，这我们刚刚算出来也是一个值。哎，面积是不是就出来了？所以知道这个拉格朗是很等式，就做起来很快， 所以就可以得到，这就是八乘以八就等于这刚刚算出来是发发的平方等于四，再加上这个二的平方拿出来就四倍，我们目标的平方就变成了 x 一 y 二减 x 二 y 一 绝对值的平方，再就推出 x 一 y 二减 x 二 y 一 的绝对值就等于 这是同时出个四，这就是二八十六十六减一十五，十五就根号十五，所以我们最终面积 s 三角形 o a b 就 等于二分之根号十五。这是不是第二位 就为定值简化出来吗？但如果你不知道折，你就自行补充，你自己暴力计算就不是从折就从折带进去，得到这个关系之后带入销远， 再暴力计算，我们再最好念一下考核了嘛。暴力计算来看，你会卡在了，卡了，我们这就可以把它优化过来，这就是我们的第二位。下面我们来看还有第三位。咳 咳，第三位，我们连立的方程要用到，我们这就把它挪下来 拷贝粘贴，对吧？好，我们就来看一下第三问怎么操作啊？第二问的第二小问由 一至然后就得到零的方程为就变成 k 等于 five 分 之一， five 分 之一 k 方就等于四分之一，就刚好是二 x 平方，加上再 k 等于 five 分 之一，就变成了 四 t x 负的看一下，负二分之一对的，再加上四 t 方减八等于零是不等于零了。好，回答，第一，咱就可以得到 x 一 加上 x 就 等于。呃，我看一下是等于正， 这是正的还是负的？不要弄错了哈，它是负二分之一除以八除以负二分之一，负四就是负四的 x 一 加 x 等于负 a 分 之 b 负负的正四。 t 除以二就是二 t， 是 吧？二 t 啊，说明咱同底我们这儿就可以得到。先写伟大的例例，然后 x 一 乘以 x 就 等于， 这是十二 t 方减四。好，我们再标为前面标过几十啊，前面标过三四，我记得。好，我们再标为四， 因为它平行了嘛？因为 d e 平行于 a b， 故可设直线 d e 的 方程为，假设 y 等于 k x 加上 t e， 对 吧？所以就可以得到 x 三。那么同样设假设交于 d e 两点了嘛？ d 点坐标 x 三 y 三 e 的 坐标 x 四 y 四，是吧？ x 四 y 四，所以就得到 x 三加上 x 四就等于二 t 一 x 三乘以 x 四等于二 t 一的平安静 四是不是就得到五十啊？咱们关键怎么利用他，其实就是贡献运转，是不是 q 点延长了，所以 a q d 是不是三点贡献啊？而因为 a q d a q d 三点共线，三点共线是不是就斜了啊？本来咱我们有的讲它是不连力，有结论的不连力咱直接用结论，直接 直接用结论，但是我还是本质就是连例，我们就连例也不是特别难，我们记，反正念一下计算量吧。点前面那个题都还没有帮你计算，我们只要就用。嗯，常规的写，不用结论直接写，只要就得到 k a q 等于 k d q 就 推出 a q 的 弦律， a 是 y， e 减去 q， n 除以 x， e 减 m， 就 等于这个就变成了 y， 这个是我们看一下啊， d 的 坐标是 x 三，就是 y 三减 n， 除以 x 三减 m， 我 们就暴力计算，就推出 y e x 三减去 m 倍， y e 加上 m n， 就 等于 x e y 三减去 n 倍， x e 减去 m 倍， y 三加上 m n。 你 看无非就是结论就是一般过程它， 嗯，当结论来做，本质就是连力，这是连力三点共线是个直线连力啊，后面还会带进来，再带住。这个结论是不就是之前连力椭圆的了？本质肯定是要连力的，好，得到它。这我们一下， 这就变成 y 一， 是二，我们用 k 来表示吗？是 k x 一 加上 t 乘以 x 三减去，这个移过来，就变成 y 三，就是 k x 三加上 t 一 乘以 x 一， 就等于这个 m 被移过来，就是 y 一 减 y 三，然后这个 n 我 看一下，前面好像少了，我看哪个？我少了一个，哈。这是 y e x 三减 m， y 三减去，前面还有个减去 n x 三补上，这漏了 没？漏了把它补上嘛，所以我们把它移个位置， 漏的。减 n 倍，减去 n 倍 x 三漏了把它补上，所以这 n 一过来就是 n 倍 x 三减 x 一，是不是得到 n 倍 x 三减 x 一了？我看这有问题没？哈，好，没有问题， n 倍，这个 m 一 是消掉的 n 倍 x 三减 x 一。 好，继续把 y 带成 k， 对 吧？所以就变成了，你看再乘进去 k x 一， x 三负的是不就抵消掉？所以这就还剩一个 t x 三减去 t 一 x 一， 就等于 m 倍 y 一， 就变成了。我们都不用括号了，直接打开 y 一 是 k x 一 加上 t 减去 k x 三减 t 一， 后面是 t， 再加上 n 倍 x 三减 x 一， 是不是得到它了？好，我们找右化简，就推出 t x 三减去 t x 一， 就等于 m 倍，这个 k 提出来就 m k， m k 乘以，这是 x 一 减 x 三，对吧？再加上 m 倍 t 减 t 一， 再加上 n 倍 x 三减 x 一， 对吧？所以你看，这两个可以合并的，这是 x 一 x 三是不可以合并了，我就 挪过来一起写啦。则是因为是负的，这是 x 一 减 x 三，这是 x 三减 x 一， 就是 m k 减乘以 x 一 减 x 三乘以 x 一 减 x 三，是不就得到它了？这个挪过来，则就把它擦掉 好，是不是就得到它？好，一向得到它之后，我们只要标为，管它标为几式，还是要看一下四式、五式，只要标为六式，因为 x 三和 x 二 x 四等效， x 一 和 x 二等效。好，我们描述一下。又因为 则是则是 a q d 贡献，那么我们则就是 b q e 贡献， b q e 贡献， 同理可得，就变成 t x 四减去 t e x r， 就 等于 m k 减 n 倍， x r 减 x 四，再加上 m 倍 t 减， 契机，这是不是七四啊？那么维达利你是不是两边之和了？你看这，所以用函相加，整体去转换就行了。所以我们这就直接写六四加七四，就推出七倍的 x 三加上 x 四，减去 七倍 x 一， x 加 x 二加上 x， 就等于 m k 减 n 乘出来，这就有个 x 一加 x 二了。 x 一 加上 x 二减去 x 三加上 x 四，再加上两个相加，就是 r m 被 t 减 t 一， 是吧？ r m 被 t 减 t 一 啊。所以再将维达定律维达定律，我们标的是几式？将四五代入 将，我们再标为八四，将四五带入八四就推出，对吧？所以你看，只要带点 x 三加 x 四，是不等于 x 三加 x 四，四等于二 t 一， 所以这就变成了二 t 乘以 t 一， 同样再就二 t 乘以 t 刚好为零，对吧？就变成了 m 可以 减乘以 x 一 加 x 是 二 t 减去二 t 一， 再加上二 m， 其实二可以提出来二 m 被 t 减 t 一 好，只要进一步化简，基本上就成了，就推出零等于这个二拿出来就是 t 减 t 一， t 减 t 一， 这就有个 r m k 减二 n， 但这是 t 减 t， 也是加 r m， 对 吧？所以因为我们在设的时候则描述下， 直线跑哪去啊？则可是其中则补充上，其中 t e 不 等于 t 是不 t 一 不等于 t 了。好，因为 t 一 不等于 t， 所以 就得到二。约掉 m k 减 n 加上 m 等于零，就推出 k 是 等于负二分之一，负二分之一代减就变成一减，负二分之一就等于二分之一 m 等于 n， 就 推出 m 等于 二 n， 这就是本题的关系式，所以 m a 满足的关系式为这稍微打一下，所以 m a 满足的关系式为 m 等于二 n， 你 看是不是就解决了？所以这个题我们只要其实很多考生容易卡在 第二问的第一小问，他计算量还是建议你下去先练一下。咱们优化其实就是一个接触的问题，拉个冷热很等式，这你可以看我之前录制的视频吗？所以这个题目第二问 用放射变化应该可以，但我不擅长，对吧？没找第三问呢。这还是用斜率看入手，这个斜率相等，只需要换一个 t 和 t， 在 整体 思想，两个加减消元法函数与方程式样，转化与化规式样一个难题也可以迎刃而解。好，这个题目就给大家讲着，我讲的还是 怜悯本质的方法，咱并没有用啊。当然这个用到了拉格朗日恒定是简化，因为这个那个算底 的确很难算，所以咱该优化我们可以学一下，但常规年龄咱我就后面没有用，结论就顺着往下写，大家可以稍微看一下。这个结论呢，也可以大体用的话我们高考用过，只要有时间稍微证明一下，没时间你就这样写， 只要结论对了，基本上问题也不大的。所以你看，咱就给大家讲到这，拜拜。

下面咱们来看解答题，前三道都比较基础，咱们就快点讲。那先看十五题解三角形，已知 c 等于二 a， 且散 c 等于 cosine a， 这道题本身非常简单啊，但是这个条件我还是要多说一句， 如果大家基础足够扎实的话，看到这个条件应该立刻就反映出这个三角形，它一定不是锐角三角形。因为我们知道，在锐角三角形中， 任意散 a 都是大于扩散 b 的， 而这里是等于，那么它只可能是直角或者钝角三角形。当然，这不一定在解这道题的过程中用到，只是看到这个条件，咱们顺便提一嘴。 好，那咱们看问题。第一问，求散 c， 那 由 c 等于二 a， 我 们使用一下正弦定理，应该就差不多。由正弦定理， a 比三 a 等于 c 比上三 c， 那 么现在 c 等于二 a， 那 也即 a 比三 a 等于二 a， 除以三 c， 那 我们自然可以得到三 c 应当等于二倍的 二倍的三 a。 然后题目中又说三 c 等于 cos， 对 吧？那也即 二倍的三 a 等于扩散 a， 此时我们两边同除以扩散 a 可以 得到，则 tan 值 a 应当等于二分之一， 那既然 a 是 三角形的内角，所以现在 a 一定是一个锐角，对吧？贪婪 a 是 一个正数，那 a 肯定是锐角，所以我们也可同时可以得到三 a 应该等于五分之 根号五。 cosine a 等于五分之二倍的根号五。 那三角函数知道其中一个求另外两个，即使在解答题，你也不需要交代是怎么算的，但事实上我们一般都选择画三角形，对吧？这里我就不再赘述。那到这是不是这个题就结束了？因为 sin c 是 等于 cosine a 的， 故 sin c 等于 cosine a 等于五分之二倍根号五。第二问， 若 b 等于根号五求 a， 那 目前我们已经知道了 cosine a， 而 a 跟 c 知道一个关系，那直接使用余弦定律就可以得出。由于弦定律， a 方等于 b 方加 c 方减二 b， c 扩散 a 将 c 等于二， a 和 b 等于根号五，代入 a 方等于根号五的平方五加上四 a 方减去二倍，根号五乘以 c 是 二 a， 然后再乘以扩散 a 五分之二倍根号五。 简单整理一下，我们可以得到，三 a 方减八， a 加五等于零。很明显，这个可以进行因式分解。三 a 减五乘以 a 减一等于零，那也即 a 等于一或 a 等于三分之五。事实上， a 等于一和 a 等于三分之五，这两种情况就是三角形为直角三角形和钝角三角形。那这道题到这就已经结束了，大家可以去验证一下刚刚我说的关于三角形形状的内容。 接下来咱们来看十六题，已知等比数列 a 一， 那么 s 十比 s 五等于三十二分之三十一。 这道题本身也是比较简单的哈，但是到对于这个数还是跟大家提一嘴，这个数是不是很明显应该是一减三十二分之一啊，而三十二分之一是不恰好又是二分之一的五次方， 因此这个题的公比多少应该跟二分之一沾点关系。那我们开始设 a， n 公比为 q， 显然 q 不 能与一。 这个道理很简单，如果 q 等于一的话， s 十除以 s 五显然不可能等于三十二分之三十一，那么 s 十比 s 五等于。根据等比数列的前根项和公式，一减 q 分 之 a， 一 是一，就不写了。一减 q 的 十次方。 比上下面是一减 q 分 之一减 q 的 五次方，那也即一减 q 的 十次方除以一减 q 的 五次方。这里注意，分子是可以因式分解的平方差公式，一减 q 的 五次方乘以一加 q 的 五次方，再除以一减 q 的 五次方。 由于刚刚已经铺垫过 q 不 等于一，所以这里一减 q 的 五次方可以直接约掉，它就是一加 q 的 五次方。然后等于三十二分之三十一，那显然 q 的 五次方应该等于负的三十二分之一，那也即 q 等于负二分之一。 那既然 q 已经有了通项，公式就有了，对吧？ a n 等于 a 一 乘以 q 的 n 减一次方，等于一乘以负二分之一的 n 减一次方。 第二问求使得 s n 大 于二 a n 成立的 n 的 取值范围，那我们先把 s n 写出来吧， s n 应当等于一减 q， q 就是 负二分之一，那也即这样，我先写一下公式啊， 一减 q 的 n 次方，然后咱们把具体的数值代入，一加上二分之一 a 一 是一，咱不管，一减去负二分之一的 n 次方。简单整理一下，分母是二分之三，那除除完就是三分之二乘以一减负二分之一的 n 次方。 这是 s n， 那 么由 s n 大 于二 a n， 那 我们可以得到。 这里我先把 s n 给乘出来，三分之二减去三分之二乘以负二分之一的 n 次方。大于二 a n， a n 是 负二分之一的 n 减一次方，所以它是二乘以负二分之一的 n 减一次方， 那现在有一个问题，就是你这是 n 次方，这是 n 减一次方，是不是不太好算？所以我们需要先凑一个 n 次方，这边咱们保持不动三分之二乘以负二分之一的 n 次方大于， 我现在需要一个负二分之一的 n 次方，那现在还差个负二分之一，所以我把它写成负四乘以负二分之一的 n 次方，这个大家能理解吧？就是把负四乘以，相当于就是把二写成负四乘以负二分之一，然后 负二分之一乘以后面的负二分之一的 n 减一次方，等于负二分之一的 n 次方。那下面就是移项的事情，将它移到左边，那我们可以得到 三分之十乘以负二分之一的 n 次方大于负的三分之二，然后两边再同时乘以十分之三，也即负二分之一的 n 次方大于负的五分之一， 那我们看等号不等号右边它是一个负数，所以 n 对 于所有的偶数，是不是它一定都是成立的呀？就是 二、四、六、八这些，因为偶数四方，它是一个正数，对吧？那我们再看基数，基数的话， n 等于一显然是不成立的，但是 n 等于三，它是。我们先旁边写一下，负二分之一的三四方是不是也是大于负的五分之一？ 那因此如果比三更大的话，比如五啊，七啊，九啊，是不是显然也是大于负的五分之一的？因此由这个式子我们可以得到 n 对 于任意正偶数 和大于三的基数 均满足该不等式，或者直接说均合提议就可以。均合提议， ok， 那 既然都合提议，所以咱们直接下结论就可以了。所以故 n 的 咱们看一下它是怎么问的。呃，使这个不等式成立的 n 的 取值范围，故咱们直接写 n 的 取值范围。 取值范围咱们还是严谨一点，把它写成集合。 n 的 取值范围是 n， n 大 于等于二，且 n 属于 n 星。 ok， 这是十六题，这道题本身也并没有太多难度，大家注意不要计算错误就可以。 下面咱们来看看十七题。十七题是一道导数的题目。第一问，求切线方程。这没啥说的，就按部就班求就可以，来吧， 求切线方程，我们需要先求下导数，当 a 等于一时， f x 等于 e， x 乘以二， x 减一，减 x 再加一，那此时 导数等于前面是一个鸡的导数，一 x 二 x 减一，加上 后，导前不导就是二倍的 ex， 然后再减去一，简单化简一下，就是 ex 乘以二， x 加一，然后再减一。求的是在 ef 一 处的切方程。那我们先算一下， 在一处的导数应该是 e 的 一次方乘以三，再减一，那也即三 e 减一，再计算一下， f 一 f 一， 此时应该等于 e 的 一次方乘以一，减一，再加一，也就是 e。 ok， 下面咱们直接使用点斜式即可。 y 减 y 零等于 k 乘以 x 减 x 零。 这里我们想化简就化简一下，如果你实在不想化简，你就写成 y 等于三， e 减一，乘以 x 减一，再加 e 也是没有问题的。当然你把它成开，把它整理成呃，就是斜截式也是 ok 的。 下面看第二问。第二问说，若 f x 大 于等于 e， 求实数 a 的 值。 这里我们需要先简单分析一下函数的造型，我们看啊，这个造型其实并不算简单，对吧？相当于是一个指数乘以 m， 然后 再加上密函数这样一个形式，并不算特别特别简单。那么他最后让我们求的就是 a 的 值，而并非 a 的 取值范围。所以我们应该先研究什么呢？ 对于这种有点复杂，最后让我们求值的，而且还带超越函数的， 我们通常要先考虑特殊值，就是看一下能不能在 x 取某些特殊值的时候发现一些内容。那比如说，这里目前可能的特殊值有哪些呢？就是让超越函数消失的，比如说 x 等于零， 此时 e 的 零次方等于一，对吧？超越可以消失。此外， x 等于二分之一，等于二分之一的时候，虽然有 e 的 二分之一次方，但是 它后面乘的那个二 x 减一，此时为零，那超越也可以消失，或者 x 等于一，因为 x 等于一的话，可以让参数消失。 好，那我们看啊，现在是 f x 大 于等于 e， 那 也就是说它其实并没有让 e 的 x 本身完全消失，对吧？因为它还有 e 存在。 因此这三个数，我们目前来看，取 x 等于一是一个比较好的尝试。那我们先试一下 f 一， 简单计算一下， f 一 等于 e 的 一次方，乘以二减一，也就是乘以一再减去零，也就是说 f 一 恰好等于 e， 那 也即 f x 大 于等于 e 是 不？事实上就是 f x 大 于等于 f 一 啊，那也就是说 f 一 它肯定是函数的一个最小值。 这个定义域内到底有几个等于一的地方？等于 e 的 地方不好说，但是至少 f 一 它一定是等于 e 的， 因此它肯定是一个局部的最小值，或者说它就应该是极值， 这个大家应该能理解吧。那因此 f 一 已经等于了 e， 所以 我直接可以推出 它是必须等于零的，否则将不合其。那我们求下倒再来看一下 f 漂移等于零能得出啥来？ 那么带着 a 求导，前面部分还是不变，等于 e x 乘以二 x 加一，然后再减 a。 刚刚咱们已经说过了，此时的 f 撇一是必须要等于零的，故 等于 e 的 一次方乘以二加一， 再减 a 等于零，此时 a 等于三 e。 ok， 但是我们要注意啊，并不是说到这里这个题就结束了，因为你现在只是证明了必要性，就是说如果 f x 大 于等于 e， 那 么 a 必须等于三 e， 但是你还没有证明充分性，因此我们现在还需要证明充分性。下证 a 等于三 e 时符合题。 那当 a 等于三 e 时， 此时的 f 撇 x 等于 e 的 x 次方乘以二 x 加一减三 e， 它的单调性其实目前还并不是特别容易看，所以我们可以再求一次的，令 g x 等于 e x， 则它应当等于 e x 乘以二 x 加三。那么显而易见， 前面的 e x 是 横正的，那么二 x 加三，是不是将决定 f 漂 x 或者说 f 撇 x 的 单调性？那由 g 撇 x 移至 f 撇 x， 在 富无穷到 负二分之三单调递减。在负二分之三到正无穷单调递增。好，到此，我们离证明这道题目就只差最后一步了。我们来观察一下 l p x 的 符号， 具体来说啥意思呢？当 x 小 于等于负二分之一时， 它是不是一定小于零？因为你看，当 x 小 于等于负二分之一时，这部分是负数，而 e 的 x 字方本身又是正数，那负的乘以正的是负的，再减三， e 是 不是一定是负的， 所以此时它的导数一定是小于零的？当 x 属于 负二分之一到一时，因为此时 f 漂 f 撇 x 是 单调递增的，所以 f 撇 x， 它一定小于 f 撇一等于零， 对吧？当 x 属于一到正无穷时， f 撇 x 大 于它等于零。那么综上， x 等于一为 f， x 为一 极小值点，故 f x 大 于等于 f 一 等于 e， 这样我们这道题就证明完毕了。 故 a 等于三 e 这道题本身在导数里面肯定不算特别难的题，因为大家看它的位置就比较靠前，对吧？是十七题。嗯，第二问也算中规中矩。跟，如果我没记错的话，跟成都一诊十九题的我在下面写一下。跟成都 一整十九题的第二问是非常像的，大家可以两套呃，两道题目相互参照来解一下这道题。

前几天考完的绵阳高三二卷 a 卷立体几何创新题，压轴难度大，计算量大，应该是今年新两卷考的最难的立体几何题，难道这是今年高考新两卷的风向标？看看后两问的详细解析，你还有其他解法吗？

刚刚考的绵阳二等这个十八题，如果说各位同学你硬算肯定是不好算的。这个第二问，我们常用的方法叫反射变化，已经很多次考的这个定义了。好吧，反射定律我知道，有同学他不知道，说的是，如果对这个图像进行这样的变化，那么他结论是这个样子，你想好 这个图像变完，它就会变成什么 x 平方加 y 平方等于什么 a 方，那这个题是等于八，好了，它就变成一个单位，这个变成一个圆，然后我令这个角为 c 档，这个角为 c 档，对吧？那这个角就是内错角， 那你说它的面积 s 一 漂，是不是应该等于二分之一？ o a 乘以 o b 乘以这个角， 那这个是半径是二倍根号，是吧？半径的二倍根号，那这个就是 sine 二色，而 sine 二色它求不出来吗？我们不要忘了这个色，它这个是 cosine 二色，它我们是算得出来的，对吧？来，我们一起来算一下， 这个是二倍根二，这个也是二倍根二，这个就是什么啊？根号，对吧？或在二上，你可以用一个例子吗？算完之后，你随便给他取个值，其实都可以取个二啊，不一定要取二倍根号等于一啊，四加一减去十等于四分之一，那塞二 c 糖你也可以算出来等于 四分之根号十五，那你想 s 一 飘，你发没发现它是个定值啊，对吧？算出来就应该等于根号十五。还原回去，利用这个结论，这个结论是可以回到的，我觉得是可以给分的。那么 s 是 不是等于 a 分 之， b 乘以 s 一 飘，就等于 根号十五，乘以什么？这个二倍根号，二分之根号二，是不是应该等于二分之二十五？好搞定，是吧？这个东西直接，对吧？仿制变化搞定了。

下面咱们来看方法五法五，这里使用的是点叉法，加上向量证明贡献， 那么涉及到点叉法，肯定需要使用中点弦，对吧？所以我们取中点，取 a， b 中点 m， d， e 中点 n。 那我们首先是不是应该先去研究 o m 和 o n 的 斜率啊？因为点差法它的主要用途之一就是求重点弦问题的 呃，相关的斜率，对吧？那所以这里其实我们知道结论啊，结论就是 k o m 乘以 k a b 应该等于一方减一，或者说负的 a 方分之 b 方。但是在大题中，我们还是需要先简单证明一下好。 那么比如说，咱们就以 km 为例来简单证明一下，由于 ab 是 在椭圆上，所以 x 一 的平方比八，加上 y 一 的平方比二等于一，同理， 然后我们两两式相减，两式相减，可以得到八分之 x 二平方减去 x 一 的平方，再加上二分之 y， 二方减 y 一 方等于零。简单化简一下，就是八分之 x 二加 x 一 乘以 x 二减 x 一， 等于二分之 y 二加 y 一， y 二减 y 一。 那下面都是一些嗯，点叉法求钟点弦斜率的标准，过程咱们就不再赘述了，简单整理一下，可以得到 等于负的四分之一。那我们来观察一下前面这个是不是事实上就是 k o m 啊？因为 m 的 坐标应该是二分之 x 一 加 x 二， 二分之 y 一 加 y 二，对吧？所以 k o m 实质上就是 y 二加 y 一 除以 x 二加 x 一， 而 y 二减 y 一 除 x 二减 x 一， 是不是就是 k a b 啊？就是直线 ab 的 斜率，对吧？所以它应该等于 k o m 乘以 k b， 在 这个题里面就是 k， 那 我们简单计算一下，不难发现，此时我们可以得出 k o， m 等于二分之一， 并且由于 n 跟 m 是 同样的情况，所以同理可得 k o， n 也等于二分之一。 那通过这个我们就可以知道 k o， m， n 这三点，它其实在同一条直线上。那么我们最后只需要再证明一下， q 也在这条直线上。实际上这道题就结束了，那证明的方式呢？也比较简单，由 d e 平行于 ab， 那我们必然可以得出三角形 a， b， q 相似于三角形 d， e， q， 那 既然相似，就有对应边乘比例，对吧？我们不妨设 b， q 比上 q， e 等于 a， q 比 q d， 假设等于拉姆达 好，那么由于 m 是 ab 的 中点，所以 q m 向量应该等于二分之一倍的 q a 向量，再加上二分之一倍的 q b 向量，那我们设了 a， q 比 q d 等于 l m d， 所以 这里 q a 向量我们就可以写成 lama 倍的 d q 向量。这里注意方向不要整错了。再加上二分之一 lama 乘以 eq 向量， 那简单整理一下，就是二分之一 lama 倍的 d， q 向量加上 eq 向量。 而我们知道 q， d 加 q e， 或者说二分之一倍的 q， d 加 q e 实质上就是 q n， 对 吧？那这里的 d q 跟 eq 是 反过来的，所以它应该等于二分之一。 好，二分之一没有了，它应该等于拉姆大倍的 n q 向量。好，那我们看头和尾， q m 向量等于拉姆大倍的 n q 向量。这是不就说明了 q n m 是 三点共线的，再加上之前的 o， 所以 我们可以得知 o， n， q， m 四点共线， 那既然四点共线， k o q 就 应该等于 k o m 等于 二分之一，对吧？而 k o q 本身还等于什么呢？它是不是应该等于 q 点坐标减去呃原点的坐标，然后再消除，对吧？也即 n 减零，除以 m 减零， 那这样我们就可以得到 m 应当等于二人。好，这是使用点差法。 大家可以发现，使用点差法来证明这个第三问，或者说来求第三问 m n 的 表达式要比咱们直接用伟大定律要简单很多，因此第一问我还是非常推荐大家使用伟大定律。 第二问的话就是最后一问，我觉得能掌握点叉法也是非常好的，这里也推荐大家使用点叉法来做这道题目。 除此之外，对于这道题，我个人认为命题人在命制这道题的时候，应该是参考了屏幕上这道二零二四年武汉九调的十八题， 也是一道解析几何题抛物线，并且也出现了两条弦相互平行，而且他的设问和最后的解答方式跟这道题都有比较高的相似度，尤其是取线段中点，然后通过几何证明来得到题目答案。 那么大家也可以在听完这道题之后，尝试做一下这道武汉九调的题目。

接下来十四题，下图所示装置可以用于具备过二硫酸氨，向 a、 b 两式各加入一百毫升溶液。经确定，当装置工作五分钟时，除了制得一定量的过二硫酸根，还在 b 的 电极表面收集到了一部分的气体，给了我们电解效率。 电解效率指的是生成 b 所用的电子比上通过电极的总的电子数。那我们来分析一下，既然你想制的是过二硫酸氨， 那肯定是在这一侧治的，对吧？那在这里面它应该是硫酸跟失电子，失俩电子变成过二硫酸跟，因为在这里面有过氧键， 对不？所以说它应该是两个负二价的氧变成了两个负一价的氧， 所以失两电子。除此之外，失电子还会涉及到能够生成氢气的氧气和氢离子，所以右侧应该是阳极、正极、负极、阴极，阴极性阳离子应该是氢离子得电子变氢器。好 膜是阴膜，只允许阴离子通过，所以硫酸根可以诱引去补充你所需要的硫酸根。行吧，咱们看选项， a 选项 a 电极的电极反应肯定错了，氢离子得电子变氢器。 b 选项工作一段时间后， ab 两室溶液的浓度均不变。最简单的是 a， 为啥氢离子得电子变氢器，氢气跑了， 硫酸根，当你转移俩电子的时候，会过去一摩尔的硫酸根，硫酸根走了，所以浓度怎么样？ a 的 浓度肯定是降低的， b 的 浓度你看你讨论谁？同学，如果你讨论的是硫酸氨溶液的话，他的浓度也是在降的， 氨根没变，但是硫酸根变了。我为什么这么说啊？现在我假设每转移两摩尔的电子，我生成了一摩尔的过二硫酸根，但是我的硫酸根减少了两摩尔，有问题没？ 你是转移俩电子的时候，你过来几沫硫酸根？过来的是一沫硫酸根，你消耗俩过来一个硫酸根，是不是减少了？当然我们要考虑到这个位置， 他也会有转移电子，因为当他消耗七十五的时候，他就消耗二十五转移电子数啊，这不转移电子数在这摆着呢吗？ 总电子和他所用的电子对不？假设那其实百分之七十五就是三比一的关系，这个没啥问题。所以当我转移两摩尔电子的时候，他转移的是三分之二摩尔，三分之二摩尔电子。我问你过来的可能是一摩尔硫酸根吗？不可能，所以硫酸根是减少的， 能看懂不？哎，所以说你看你讨论谁，但是 a 肯定是减少的，所以 b 选项不对， c 选项 a 式与 b 式收集到的气体的物量之比为多少？现在我知道。知道什么？知道收集到了多少气体， 哎，这个我是知道的，对吧？如果说我收集到的是三乘以十的负四次方摩尔的氧气的话，一摩尔氧气转移四摩尔电子，所以我知道应该是十二乘以十的负四次方摩尔的电子， 这个是谁？这个是氧气的转移电子。氧气转移电子占总转移电子的多少？四分之一，他四分之三，那就四分之一呗。所以总总转移电子乘以四，也就是总的转移电子是转移电子数是四十八乘以十的负四， 没问题的。那生成一摩尔氢气转移两摩尔电子，所以说左侧的氢气是二十四乘以十的负四， 也就是二点四，二十四乘以十的负四，这个是三乘十的负四，直接比负四约掉了，对不？所以应该是八比一，所以 c 选项不对。那这道题到这我就知道了，选得那得怎么回事？我们来看啊，质得过二硫酸氨的浓度为多少？ 现在我已经知道的是，在这转移的电子数是十二乘以十的负四，他俩的比例我刚才说了，转移电子数一比三，所以在这是三十六乘以十次的负四，次方摩尔电子 每生成一摩尔过二硫酸根转移俩电子，所以这个数除以二。也就是说过二硫酸根的物质的量是十八乘以十的负四， 这是物质的量，人家问的是浓度，浓度得比谁得比？体积零点一升， 所以这个值应该是十八乘以十的负三，数三个点一二三，零点零一八没问题。所以这道题正确的答案选 b。 这道题计算量有点大啊，但还好，其实就是你前三个确定，最后一个不算，也能算，也能出来了， ok 吧。 接下来十五题，十五题就属于那种大家会的话，哎，做的老快了，就是算数，就看你数能不能算准，如果不会的话，那这种题我的建议就是蒙一个就走啊。那但是我们还是要给大家讲一讲的，咱们从头来看， 常温下 h 二 a 溶液中所有含 a 组分的摩尔分数与 ph 变化关系如图各虚线所示。那这个我没有啥可说的吧， h 二 a h a 负和 a 二负，所以我确定 k a 一 时的负七， k a 二十的负十三啊，这个是没有啥问题的。已知条件，接下来 m 二 a 和 na 在 零点零一摩尔每升的 h 二 a 溶液中，它的浓度保持不变，达到沉淀溶解平衡时， 负 log。 就 离子浓度的负对数与 ph 的 关系如实线所示，一个是阳离子为正一价，一个是阳离子为正二价。就如果说大家背过的话，你就知道斜率大的那个， 它所带的电核就怎么的就多，所以你背过的话，这个就是 n 二证， 这个就是 m 证。那就是如果你背过的话，你没背过，没关系，我给你导一遍你就记住了。好吧，我带你导一遍啊，横坐标是 p h， 纵坐标是负 log， 所以 我一定要找的是跟 k s p 有 关的，我先给你导 m 证， ksp 等于 m 正的平方乘以 a 二负，没问题吧？好，那么这个数 a 你 不知道纵坐标是 m 的 浓度的负对数，我得把 a 导出来， a 等于什么？在这你一定要记，这个公式就是我写过无数遍的一个公式了， k a 一 乘以 k 二等于氢离子的平方乘以 a 二负比上 h 二， a 在 这，它的值是确定的， 零点零一，对吧？当然你不带也行，无所谓啊，那我们接下来就可以把它变成 ksp 等于 m 正的平方乘以 k a 一， k a 二乘以 h 二， a 比上氢离子平方，对不？ 没问题吧？这这个式子没啥问题吧？我给你导出来这个 a 二负的表示好不？但是你别忘了你横坐标是 p h， 所以 你所有的都给它变成 p， 也就是 p k s p 等于二倍的 pm， 也就是负 log m 加上 p， k a 一 加 p k a 二加 p h 二 a， 这是消除，所以是减二倍的 p h 没问题吧？你现在谁是 y？ 他 是 y， 对 吧？所以二倍的 pm 等于二倍的 p h 加上 pkspe 加上这一大串 a， 那你 pm 等于什么？ pm 等于 ph 加上二分之 pksp 加二分之 a， 这不重要，重要的是我要给你找斜率。斜 率是一对不 ph 吗？横坐标是 ph 吗？ y 等于 kx 加 b 对 吧？好，那同样的道理，我再给你导另外一个，然后你就把这个记住了啊。导另外一个谁呢？写在这吧导。 ksp 等于 n 二正乘以 a 二负，对吧？ 那么啊，没变啊，等于 n 二正乘以 k a 一 k a 二 h 二 a 比上氢离子的平方能跟上不？所以 pksp 等于 p n 二正 加上 pka 一 加 pka 二加 p h 二 a 减二 p h 一样的道理，我把它摘出来，这是我想要的 y， 所以 p n 二正等于什么？等于二倍的 p h 加上这一大串 a， 然后 啊，减减减，减这一串 a， 对 吧？他挪过去减减这一串 a 啊，所以左边也是减，左左左右都是减啊，都是减。我确定一下数值啊， p h 挪右边去，他也挪。对，这应该是减 减减。好，同样这个也是减减减，减啊减，然后加 pksp， 对 不？因为你这个在这边，它俩不都得挪这边去吗？所以一个斜率是二，一个斜率是一，你后边一大串都不重要。发现没那么斜的高的那个是不是斜率大？所以是谁？ 二证，看懂了吧？哦，这个我给你推完了啊。擦掉这个补妆。这是一个结论，你一定要会这个结论好不？这就是让你做题得到的经验。那么接下来 a 选项曲线二代表与 m 正的关系。不对，应该是曲线一， a 选项不对， b 选项 k s p， 一 样的道理， 一样的道理。我直接给你代数了啊。好吧。 na 等于 n 正， n 二正乘以 a 二负，对吧？我随便找一个 n 正在这呢， 看到了吗？所以这个它的浓度应该是十的负十，而 a 二负等于什么？等于 k， a 一 乘以 k 二乘以 h 二， a 比上氢离子的平方，代数一个是十的负七，对吧？我们算出来了，一个十的负七， 一个十的负十三，一个是零点零一，比上它这个位置七，那就是十的负七的平方，没问题吧？所以 这个数是十的负十五，所以胜约调十的负一，十的负十八，所以前边正确。右边同样的道理，那应该是 m 正的平方乘以 a 二负，这个 a 二负，我是不是一样直接带呀？找数值 在 m 这有数的，一个是五，一个是十九，所以这个氢离子我换一个数，应该是十的负五的平方，这个应该是十的负十九的平方，对吧？好，那十的负十九的平方乘以 十的负七，乘以十的负十三，乘以十的负二，比上十的负十，那么这个值应该是十的负二十二，约掉十的负十二，十的负三十八，所以十的负五十，没问题。 b 选项正确， c 选项 na 能不能溶于稀硫酸，那就是 na 加上氢离子，它告诉我们了这个溶于水，所以我不用写了，我就写离子就行了。 n 二正加上 h 二 a， 对 吧？它的 k 等于什么？等于 h 二， a 乘以 n 二正 比上氢离子的平方，你看到这必然干嘛？必然配 k 乘以 a 二负， 这个部分叫什么？叫 ksp。 这个部分叫什么？我给大家讲过，这个叫 k a 一 k a 二分之一， 知道不啊？自己去算去啊。然后这是 ksp， 所以 na 的 ksp 十的负十八比上十的负七乘以十的负十三， 数数出来了吧，正数吧，正数容不容。所以 c 不 对，得算下 p h 等于十点五十，他俩的关系。这个题考的太没意思了，就是你只要这个公式会，你这题都太简单了， 对吧？啊，完事了好，借 k 一 乘以 k 二等于多少？等于十的负二十，氢离子的平方十的负二十一，所以 a 二负比上 h 二， a 等于十，所以十倍的 h 二 a 等于 a 二负， 对不？这是第一种方法，这肯定是错了。第二种方法，同学，十点五了，谁多呀？ a 二负多呀，你越往右 a 二负多，你 a 二负多，那不就应该是多少倍的 h 二 a 才能等于 a 二负吗？所以得选项没有那么难好吧。 然后有人说，老师你给我导一下这个，给我导一下这个式子是吧？这个式子我给你写一下啊。现在你给的是 h 二 a 乘以 n 二正比上氢离子的平方，现在我肯定得乘一个 a 二负吧。 这个你得知道，我要凑 k， 这叫 ksp。 好， 那我问大家， k a 一 乘以 k 二等于什么？等于氢离子的平方乘以 a 二负比上 h 二 a， 我 现在要反过来 k 二 k 分 之一呗，对不？哎，所以说我说了他俩分之一就出来这个结果了。好吧，所以我这道题吧，就你会就纯是代数，你不会，那你就一点思路没有，蒙一个就走 啊，就你会你也得看你数能不能算明白。所以这个题吧，它是综合来看最后的结果的知道了吧？但重点这道题给你的信号是 k a 一 和 k 二，你必须得熟练运用，这个是重点， ok 吧？那我们这道题给大家讲到这。

同学们大家好，我们接着来讲刚考完的二零二六届绵阳二省解答十八题的最后疑问啊。前面我们第一问已经求出了椭圆的方程，是八分之 x 方加二分之 y 方等于一。那么最后疑问，我们连接 a n， 连接 b， m p， m b 的 面积为 s 一， p a n 的 面积为 s 二，叫我们求 s 一 减 s 二的最大值。好，我们来看 s 一 等于啥？ s e p m b 的 面积， p m b 的 面积，我们 m n 就是 水平宽 二分之一乘以 m n 的 长值。四、再乘以 y p 减 y b 的 本来是绝对值，这里可以改成括号，因为 y p p 点在一象限， y p 是 正数，这个 y b 是 负数啊， 就等于二倍括号， y p 减 y b。 同理， s 二等于 p a n 的 面积，那么 m n 还是水平宽二分之一乘以四，乘以 y p 减 y a 的 绝对值。根括号，所以是二倍括号， y p 减 y a， 因此 s 一 减 s 二，就表示成二倍括号，两个相减，那么 y p 减 y p 就 抵了啊，是 y a 减 y b， 所以 接下来我们要去找 ab 两点重坐标，那么需要连立 ap 直线 pd 直线与椭圆得到 ab 两点坐标。 好， l a p 方程，那么就是 y 减零等于斜率， pm 两点，求斜率啊！不妨假设 p 点坐标为 x 零 y 零， 那么 pm 两点的斜率就是 y 零除以 x 零减负二就是 x 零加二，再乘以 x 减负二，就是 x 加二。所以连立直线与椭圆，椭圆是八分之 x 方加二分之 y 方等于零。直线，我们把它改成一八式，是 y 零， x 减去 x 零加二，符号乘以 y 加二， y 零等于零，对吧？所以 这里老师直接用应解定律啊，写出伟大定律了啊！这个 y 零乘以 y a 就 应该等于， 嗯，八倍 y 零的平方加二倍， x 零加二，括号的平方，那么分子的话， y 乘 y 就是 y 方，就是下面的分母是二二来乘以常数二， y 零的平方减去八倍 y 零的平方， 所以就等于负八倍， y 零的平方除以八， y 零方加二倍括号， x 零加二，括号的平方。 如果有同学不清楚应解定律的同学啊，可以去看一下老师前面的视频啊，前面有一期专门讲应解定律的啊。嗯，好， y a 等于负八， y 零， 那么除以八， y 零的平方加二倍括号， x 零加二，括号平方。分子分母约一个二，就是负四， y 零，那么就是四倍 y 零的平方加 x 零加二，括号的平方，那么上面是负四， y 零除以 四倍， y 零方加四倍等于四。 好，又因为 x 零平方加四，这个 p 点它是在椭圆的上面啊，所以 x 零平方加四倍， y 零的平方就等于八， 所以这里呢是个八，因此的话就是负四。 y 零除以四倍， x 零加一个八，八加十二就加十二了。 分子分母约一个四，所以 y a 就 等于负， y 零除以 x 零加三。同理，同样的方法，我们连立这个 p， n 直线与椭圆的 b 点的坐标就是负 y 零， y b 等于负， y 零除以负， x 零加三，所以面积 s 就 表示出来， s 一 减 s 二就等于二倍， y a 是 负， y 零除以 x 零加三，减 y b 就是 减负， y 零除以 负， x 零加三，所以是二倍，是吧？这里负负啊，我们把它改成加。 嗯，好，上下同乘一个负一吧，这个分分母就变成 x 零减三，那上面是负 y 零啊，所以通分的话就是 x 零平方减九， 那上面就是负 y 零乘以 x 零减三，然后是负 y 零乘以 x 零加三， 所以就等于分母 x 零平方减九，那么分子的话就是算一下啊，负 y 零 x 零减三加三， y 零减 x 零， y 零 减三， y 零嘛，这个加三 y 零减三， y 零就抵了啊，就等于负二倍 x 零 y 零，前面再乘二就是四倍 x 零 y 零。 好， ok， 那 么到这里的话，我们看一下啊， 嗯，这个 x 零 y 呢，就是二次，是吧？这 x 零平方也是二次，我们考虑一下这个常数，这里有个九九的话，我们能不能也跟它换成二次？ ok， 这里 x 零方加四倍 y 零方等于八，所以这个 x 零方我们可以换成八减四倍 y 零啊，这里就等于负四倍 x 零 y 零除以 x 零方换成八减八减四倍 y 零方， 八减四倍 y 零方，再减一个九，所以的话就等于负四 x 零 y 零除以 啊，负四 y 零方减一，分子分母同时乘一个负一是四倍 x 零 y 零除以四倍 y 零方加一。好，这样 x 零 y 零是二次， y 零平方也是二次，我们把这个一给它换掉啊， 这个一的话，我们给它换成放这里了，对吧？这个一的话，就等于八分之 x 方加二分之 y 方了， 把一换成八分之 x 零平方加二分之 y 零的平方，那这样子的话，分子分布每项都是，每项都是二次，七次四分子分布同乘一个八四八三十二 x 零 y 零，那么下面就应该是 三十二加一个四三十六倍 y 零的平方，再加 x 零的平方，所以 我们对分母使用基本公式，对吧？分母是大于等于啊，导了一下这个小于等于三十二 x 零 y 方法，那么下面的话就是二倍根号下 两个相乘就是三十六 y 平方 x 零平方，那么就等于上面三十二 x 零 y 零，下面的话就是十二倍 x 零 y， 因为 x 零 y 都是正数啊，所以这里就等于约一个四是三分之八，对吧？当前警方 三十六 y 零平方等于 x 零平方，去读。

接下来十四题，下图所示装置可以用于具备过二硫酸氨，向 a、 b 两式各加入一百毫升溶液。经确定，当装置工作五分钟时，除了制得一定量的过二硫酸根，还在 b 的 电极表面收集到了一部分的气体，给了我们电解效率。 电解效率指的是生成 b 所用的电子比上通过电极的总的电子数。那我们来分析一下，既然你想制的是过二硫酸氨， 那肯定是在这一侧治的，对吧？那在这里面他应该是硫酸跟失电子，失俩电子变成过二硫酸跟，因为在这里面有过氧键， 对不？所以说他应该是两个负二价的氧变成了两个负一价的氧， 所以失两电子。除此之外，失电子还会涉及到能够生成氢气的氧气和氢离子，所以右侧应该是阳极、正极、负极、阴极，阴极性阳离子应该是氢离子得电子变氢器。好 膜是阴膜，只允许阴离子通过，所以硫酸根可以诱引去补充你所需要的硫酸根。行吧，咱们看选项， a 选项 a 电极的电极反应肯定错了，氢离子得电子变氢器。 b 选项工作一段时间后， ab 两室溶液的浓度均不变。最简单的是 a， 为啥氢离子得电子变氢器，氢气跑了， 硫酸根，当你转移俩电子的时候，会过去一摩尔的硫酸根，硫酸根走了，所以浓度怎么样？ a 的 浓度肯定是降低的， b 的 浓度你看你讨论谁？同学，如果你讨论的是硫酸氨溶液的话，他的浓度也是在降的， 氨根没变，但是硫酸根变了。我为什么这么说啊？现在我假设每转移两摩尔的电子，我生成了一摩尔的过二硫酸根，但是我的硫酸根减少了两摩尔，有问题没？ 你是转移俩电子的时候，你过来几沫硫酸根？过来的是一沫硫酸根，你消耗俩过来一个硫酸根，是不是减少了？当然我们要考虑到这个位置， 他也会有转移电子，因为当他消耗七十五的时候，他就消耗二十五转移电子数啊，这不转移电子数在这摆着呢吗？ 总电子和他所用的电子对不？假设那其实百分之七十五就是三比一的关系，这个没啥问题。所以当我转移两摩尔电子的时候，他转移的是三分之二摩尔，三分之二摩尔电子。我问你过来的可能是一摩尔硫酸根吗？不可能，所以硫酸根是减少的， 能看懂不？哎，所以说你看你讨论谁，但是 a 肯定是减少的，所以 b 选项不对， c 选项 a 式与 b 式收集到的气体的物量之比为多少？现在我知道。知道什么？知道收集到了多少气体， 哎，这个我是知道的，对吧？如果说我收集到的是三乘以十的负四次方摩尔的氧气的话，一摩尔氧气转移四摩尔电子，所以我知道应该是十二乘以十的负四次方摩尔的电子， 这个是谁？这个是氧气的转移电子。氧气转移电子占总转移电子的多少？四分之一，他四分之三，那就四分之一呗。所以总总转移电子乘以四，也就是总的转移电子是转移电子数是四十八乘以十的负四， 没问题的。那生成一摩尔氢气转移两摩尔电子，所以说左侧的氢气是二十四乘以十的负四， 也就是二点四，二十四乘以十的负四，这个是三乘十的负四，直接比负四约掉了，对不？所以应该是八比一，所以 c 选项不对。那这道题到这我就知道了，选得那得怎么回事？我们来看啊，质得过二硫酸氨的浓度为多少？ 现在我已经知道的是，在这转移的电子数是十二乘以十的负四，他俩的比例我刚才说了，转移电子数一比三，所以在这是三十六乘以十次的负四，次方摩尔电子 每生成一摩尔过二硫酸根转移俩电子，所以这个数除以二。也就是说过二硫酸根的物质的量是十八乘以十的负四， 这是物质的量，人家问的是浓度，浓度得比谁得比？体积零点一升， 所以这个值应该是十八乘以十的负三，数三个点一二三，零点零一八没问题。所以这道题正确的答案选 b。 这道题计算量有点大啊，但还好，其实就是你前三个确定，最后一个不算，也能算，也能出来了， ok 吧。 接下来十五题，十五题就属于那种大家会的话，哎，做的老快了，就是算数，就看你数能不能算准，如果不会的话，那这种题我的建议就是蒙一个就走啊。那但是我们还是要给大家讲一讲的，咱们从头来看， 常温下 h 二 a 溶液中所有含 a 组分的摩尔分数与 ph 变化关系如图各虚线所示。那这个我没有啥可说的吧， h 二 a h a 负和 a 二负，所以我确定 k a 一 时的负七， k a 二十的负十三啊，这个是没有啥问题的。已知条件，接下来 m 二 a 和 na 在 零点零一摩尔每升的 h 二 a 溶液中，它的浓度保持不变，达到沉淀溶解平衡时， 负 log。 就 离子浓度的负对数与 ph 的 关系如实线所示，一个是阳离子为正一价，一个是阳离子为正二价。就如果说大家背过的话，你就知道斜率大的那个， 它所带的电核就怎么的就多，所以你背过的话，这个就是 n 二证， 这个就是 m 证。那就是如果你背过的话，你没背过，没关系，我给你导一遍你就记住了。好吧，我带你导一遍啊，横坐标是 p h， 纵坐标是负 log， 所以 我一定要找的是跟 k s p 有 关的，我先给你导 m 证， ksp 等于 m 正的平方乘以 a 二负，没问题吧？好，那么这个数 a 你 不知道纵坐标是 m 的 浓度的负对数，我得把 a 导出来， a 等于什么？在这你一定要记，这个公式就是我写过无数遍的一个公式了， k a 一 乘以 k 二等于氢离子的平方乘以 a 二负比上 h 二， a 在 这，它的值是确定的， 零点零一，对吧？当然你不带也行，无所谓啊，那我们接下来就可以把它变成 ksp 等于 m 正的平方乘以 k a 一， k a 二乘以 h 二， a 比上氢离子平方，对不？ 没问题吧？这这个式子没啥问题吧？我给你导出来这个 a 二负的表示好不？但是你别忘了你横坐标是 p h， 所以 你所有的都给它变成 p， 也就是 p k s p 等于二倍的 pm， 也就是负 log m 加上 p， k a 一 加 p k a 二加 p h 二 a， 这是消除，所以是减二倍的 p h 没问题吧？你现在谁是 y？ 他 是 y， 对 吧？所以二倍的 pm 等于二倍的 p h 加上 pkspe 加上这一大串 a， 那你 pm 等于什么？ pm 等于 ph 加上二分之 pksp 加二分之 a， 这不重要，重要的是我要给你找斜率。斜 率是一对不 ph 吗？横坐标是 ph 吗？ y 等于 kx 加 b 对 吧？好，那同样的道理，我再给你导另外一个，然后你就把这个记住了啊。导另外一个谁呢？写在这吧导。 ksp 等于 n 二正乘以 a 二负，对吧？ 那么啊，没变啊，等于 n 二正乘以 k a 一 k a 二 h 二 a 比上氢离子的平方能跟上不？所以 pksp 等于 p n 二正 加上 pka 一 加 pka 二加 p h 二 a 减二 p h 一样的道理，我把它摘出来，这是我想要的 y， 所以 p n 二正等于什么？等于二倍的 p h 加上这一大串 a， 然后 啊，减减减，减这一串 a， 对 吧？他挪过去减减这一串 a 啊，所以左边也是减，左左左右都是减啊，都是减。我确定一下数值啊， p h 挪右边去，他也挪。对，这应该是减 减减。好，同样这个也是减减减，减啊减，然后加 pksp， 对 不？因为你这个在这边，它俩不都得挪这边去吗？所以一个斜率是二，一个斜率是一，你后边一大串都不重要。发现没那么斜的高的那个是不是斜率大？所以是谁？ 二证，看懂了吧？哦，这个我给你推完了啊。擦掉这个补妆。这是一个结论，你一定要会这个结论好不？这就是让你做题得到的经验。那么接下来 a 选项曲线二代表与 m 正的关系。不对，应该是曲线一， a 选项不对， b 选项 k s p， 一 样的道理， 一样的道理。我直接给你代数了啊。好吧。 na 等于 n 正， n 二正乘以 a 二负，对吧？我随便找一个 n 正在这呢， 看到了吗？所以这个它的浓度应该是十的负十，而 a 二负等于什么？等于 k， a 一 乘以 k 二乘以 h 二， a 比上氢离子的平方，代数一个是十的负七，对吧？我们算出来了，一个十的负七， 一个十的负十三，一个是零点零一，比上它这个位置七，那就是十的负七的平方，没问题吧？所以 这个数是十的负十五，所以胜约调十的负一，十的负十八，所以前边正确。右边同样的道理，那应该是 m 正的平方乘以 a 二负，这个 a 二负，我是不是一样直接带呀？找数值 在 m 这有数的，一个是五，一个是十九，所以这个氢离子我换一个数，应该是十的负五的平方，这个应该是十的负十九的平方，对吧？好，那十的负十九的平方乘以 十的负七，乘以十的负十三，乘以十的负二，比上十的负十，那么这个值应该是十的负二十二，约掉十的负十二，十的负三十八，所以十的负五十，没问题。 b 选项正确， c 选项 na 能不能溶于稀硫酸，那就是 na 加上氢离子，它告诉我们了这个溶于水，所以我不用写了，我就写离子就行了。 n 二正加上 h 二 a， 对 吧？它的 k 等于什么？等于 h 二， a 乘以 n 二正 比上氢离子的平方，你看到这必然干嘛？必然配 k 乘以 a 二负， 这个部分叫什么？叫 ksp。 这个部分叫什么？我给大家讲过，这个叫 k a 一 k a 二分之一， 知道不啊？自己去算去啊。然后这是 ksp， 所以 na 的 ksp 十的负十八比上十的负七乘以十的负十三， 数数出来了吧，正数吧，正数容不容。所以 c 不 对，得算下 p h 等于十点五十，他俩的关系。这个题考的太没意思了，就是你只要这个公式会，你这题都太简单了， 对吧？啊，完事了好，借 k 一 乘以 k 二等于多少？等于十的负二十，氢离子的平方十的负二十一，所以 a 二负比上 h 二， a 等于十，所以十倍的 h 二 a 等于 a 二负， 对不？这是第一种方法，这肯定是错了。第二种方法，同学，十点五了，谁多呀？ a 二负多呀，你越往右 a 二负多，你 a 二负多，那不就应该是多少倍的 h 二 a 才能等于 a 二负吗？所以得选项没有那么难好吧。 然后有人说，老师你给我导一下这个，给我导一下这个式子是吧？这个式子我给你写一下啊。现在你给的是 h 二 a 乘以 n 二正比上氢离子的平方，现在我肯定得乘一个 a 二负吧。 这个你得知道，我要凑 k， 这叫 ksp。 好， 那我问大家， k a 一 乘以 k 二等于什么？等于氢离子的平方乘以 a 二负比上 h 二 a， 我 现在要反过来 k 二 k 分 之一呗，对不？哎，所以说我说了他俩分之一就出来这个结果了。好吧，所以我这道题吧，就你会就纯是代数，你不会，那你就一点思路没有，蒙一个就走 啊，就你会你也得看你数能不能算明白。所以这个题吧，它是综合来看最后的结果的知道了吧？但重点这道题给你的信号是 k a 一 和 k 二，你必须得熟练运用，这个是重点， ok 吧？那我们这道题给大家讲到这。

第六题，下列实验装置使用正确的是。 a 选项，质备乙缺，并且检验它的还原性。我们先看在这是电池和饱和食盐，水本质上是跟水反应。二、碳化钙和水生成的是氢氧化钙和乙缺气体， 但是在这个过程中，因为电池里面有磷化物或者说是硫化物，所以主要它会有硫化氢作为杂质， 而硫化氢本身也有还原性，所以我们想检验乙缺还原性的前提是要把硫化氢给它除掉，硫化氢磷化氢除掉，那么加的就是硫酸铜溶 液。接下来乙缺可以使高锰酸钾褪色，证明它有还原性。所以 a 选项正确啊，完全正确。 b 选项， 制备并收集二氧化碳，铜和浓锗酸生成二氧化碳，二氧化碳跟水反应，所以在这你能收集到二氧化碳不？不能，你收集的是一氧化碳了，对吧？嘴闭不对。 c 选项，制备锈本，并验证有锈化氢的生成， 铁粉和锈生成三、锈化铁做催化剂，催化了本和锈的取代反应， 生成了锈本和锈化氢。所以你想确定他是取代，那你就验证锈化氢，但是别忘了在这里面还有锈， 锈易挥发，所以这个里面也会有溶于水的这个部分的锈，也会有锈离子。那么怎么去防止有干扰？要加上四硫化碳溶液， 这样我可以溶解过量的锈，是吧？而不溶锈化氢，这样才可以检验。所以 c 选项不对啊，有干扰的选项。乙酸和碳酸钙会生成二氧化碳，这叫强酸制弱酸，然后二氧化碳可以跟硅酸钠反应，生成硅酸沉淀 在这。我能否判断乙酸的酸性强于碳酸，强于硅酸，判断不了为什么乙酸挥发， 所以到底是谁跟硅酸钠反应的，我确定不了。那到此你就知道了，碳和硅的非金属性能比较不？比较不了，有干扰，但如果说啊，我在这之间加了一个碳酸氢钠溶液对吧？饱和碳酸氢钠溶液把乙酸吸收掉了， 这个时候如果再产生沉淀，就能够证明碳酸的酸性强于硅酸。最高价氧化物对应水化物的酸性可以比较非金属性，所以才能够比较碳的非金属性强于硅。听明白没？ 所以这道题的选项这个不对啊，所以说正确的答案选 a。 接下来第七题。研究表明，乙酰丙酮存在酮式和烯醇式的互变易购，这个我们教材里面是有提到过的，是通过乙缺和水的加成， 以缺和水的加成生成的，是吸醇，能看出来，不能能看懂，不加成反应，但是吸醇不稳定，它马上会互变变成全，所以吸醇和全会发生互变。易勾，那同样，这个也是一样的，你看铜 和这个位置变成了吸醇，这就是易勾。好吧，下来说法不正确的是 a 选项， 像乙酰丙酮中加入金属钠能够产生气泡，因为它互变它产物多，所以产生气泡没问题。 a 选项正确， b 选项能够与氢氰酸发生加成，可以证明存在了同式异构体。 那反过来，吸醇不可以跟那个氢氢酸加成吗？可以啊，碳碳双键不也可以断吗？对不对？所以说 b 选项错误， c 选项由同式向吸醇式转化为哪一个位置的 r 法位更活泼？我们看左边这个结构，其实你能看出来是这个位置断了， 对吧？所以肯定是 be 活泼。那 be 活泼的原因是 c 电子基， c 电子基导致碳氢键的即兴变大，所以说更活泼。 c 选项正确， 个选项如果形成了分子内氢键，可以增强吸纯式异构体的稳定性，这叫分子内氢键。如果这个位置形成氢键了，说明这个结构还容易互变不，不容易了，所以稳定性增强。正确啊，这道题不正确的答案选 b。 接下来第八题。 化合物，这个可以用做定色剂。 wxy 的 原子序数依次增大。短周期元素 w 核内无中子， w 为氢， y 和 z 同足， y 的 l 层电子的总数是未成对电子数的三倍。那我们先说，你说它可不可能是第三周期的元素，也就是说 k l m 第二层八电子八可能是某某某个数的三倍吗？不可能，所以我确定它肯定是在第二周期。那第二周期 l 层的电子总数，那就是 n， s， r， np 几， 对吧？ l 层的电子总数如果我们讨论三倍的话，是不是直接能够想到跟六有关？ 所以如果它是二 s 二二 p 四的话，那应该是养二 s 轨道两个电子，二 p 轨道四个电子，有几个单电子未成对的两个。 而现在 l 层的总电子数是几六？所以这句话其实就告诉你什么，就类似于啊，我是说类似于最外层电子数是 内层电子数的三倍，有点类似，对吧？所以我们自然会想到这个氧元素啊，所以这个应该是氧，那它们同足，这个就应该是硫。好，接下来 x 比 y 的 价电子数少一，那就是氮。所以元素我们确定了这个结构应该是谁呢？硫氧 氧氢， n， h 二，看出来没？是这么个结构好，继续啊。分子的即性 x， w， 三氨气和 z， y 三三氧化硫呗，对吧？三氧化硫非急性分子，它是急性分子，所以急性左大于右。没问题。 a 选项正确。 b 选项第一，电力能氧氮 氢，它俩反了对吧？因为氮二 s 二二 p 三半满更稳定。 c 选项， 这个该化合物中 x 的 杂化方式， x 是 蛋，我们在这有没有说它是平面结构？没有，所以它除了三条键之外，蛋最外层五个电子，三条键加一对箍电子。对，所以它应该是 sp。 三杂化 w， x， y 只能构成共价化合物，有氮有氢有氧根，所以可以形成离子化合物的选项不对。这道题正确的答案选 a。 接下来第九题。 聚合物 z 是 一种热塑性的弹性体，其合成反应如下，这个发生的应该是缩聚，那缩聚我们看一看它的断键行为是吧？咱能够找到的是这个部分看到没？这个部分没变， 所以你就知道它断的应该是指托 o， r， 能看到吧，不是，酰胺级断发现没？是指托 o， r 这个部分断了，然后另外呢？纯脱氢，所以掉下来的小分子就是谁 甲醇，然后这个氧连在了这个碳氧双键上连出去，所以这个发生的是缩聚反应。既然这个属于二加二的缩聚，你看这不是两个抢基，这不是两个指基吗？所以生成的产物应该是 二 n 减一对吧？应该是二 n 减一个甲醇小分子。好，我们看选项啊。 a 选项， x 含有两种官能团，这叫酰胺基，这叫脂基。没问题，在酸性条件中可以稳定存在水解， 所以 a 不 对。 b 选项 y 是 一四丁二醇，这不是四个碳吗？没问题，可以乙酸发生缩聚，乙酸只有一个缩积，它只能掉一个抢积，缩积可以，缩积是二加二的缩积可以跟乙二酸缩积，所以这个不对。 c 选项 x， 那 这个就不用说了，肯定不对是吧？聚合物 z 可以 降解生成二氨，没问题啊。因为酰胺基可以断键，所以前半句不对。 d 选项，以上转化中涉及到了碳氧键的断裂，没毛病是吧？碳氧键的生成没毛病，所以 d 选项正确。这道题正确的答案选 d。 接下来第十题 反应进程。我国科研工作者利用了这个二价作为光催化剂，以氧化钠、硅二硫酸钠和芳香酮为原料，可以制得绿带芳婷。研究发现，该方法可以选择性的对 sp 二杂化的碳和氢进行氧化，有关机理如图所示。下来说法正确的是过二硫酸钠对吧？这个是过二硫酸根， 因为有过氧键，所以它可以有氧化性，那么它变成硫酸根，断过氧键转移俩电子，所以生成俩硫酸根，那这个位置生成两个碳， 对吧？那生成两个它就变成两个它没问题吧。接下来绿离子由负一变正一失俩电子，所以两个它对应一个绿离子去反应， 接下来在这变成了绿本。整个行为我们看懂了是吧？重点是它进攻的是 sp 二杂化的碳。好，下来说法正确的是 a 选项，步骤一到三中，它肯定叫什么中间产物了，这叫催化剂 中间产物，然后又循环硫酸根呢？同学们，硫酸根不在这呢吗？这叫啥？生成物？所以不对啊。这个不是 b 选项，他这个反应碱性条件下生成酸，可能不不可能对吧。所以这肯定是错的。 c 选项每制得一摩尔的绿本，消耗他一摩尔没问题。我们刚才确定了一摩尔，他两摩尔电子在这也是两摩尔电子，所以 c 选项正确的选项太替代他的话，最终得到的是谁？这叫 sp 三杂化的碳可能在这上率不，不可能， 因为题目告诉我们了 sp 二杂化，所以说得选项不对啊。这道题正确的答案选 c。