九上数学第四次月考锐角三角函数

初三锐角三角函数经典例题，期末必考，刚刚呢，我们借助口诀来准确记住了特殊角的三角函数值，那下面呢，我们可以借助几道题目来考察一下。大家好，我们来看例一的第一题。 那这就是很简单的代数求值就可以了。好，它呢，四十五度是多少呢？哎，它是一，那减去三十度是二分之一，那要乘上 cosine 六十度， cosine 六十度是二分之一，然后减去 cosine 四十五度的平方，这个式子呢， cosine 四十五度的平方，它就是 cosine 四十五度整体的平方。这有一个注意点，大家需要注意一下。好，那 cosine 四十五度，它是？哎，它是二分之根二，也就是要减去二分之根二的平方。那我们写到这一步之后呢，下面就是最简单的有理数的计算， 一减四分之一，减四分之二，结果就是四分之一。好，第一题我们就要计算完成。好，我们来继续看第二题。好，那三六十度是二分之跟三，乘以摊减到三十度是哎，三分之跟三，那加上 分母，它的四十五度，它是哎一，那 cosine 六十度是二分之一，那六分之三加上二分之一就等于哎，六分之三，我们可以约分就是二分之一加上二分之一等于一。好，第二题我们就要计算完成了。

同学们，我们前面刚刚学过锐角三角形对不对？那张表你有没有学，有没有记住啊？一定要背下来知道吧？因为它用的太广泛了。 ok， 那 我们来看一下后面这题怎么做？一道题，三十度减去两倍的 cos 六十度加上 cos 四十五度，嘿嘿， 你背了？背了这张表没有？只要你背住了，这道题就送分给你，但是如果你没背，哈哈，算了兄弟， 三十三度等于多少？二分之一，对不对？减去 cos 六十度等于多少？还是二分之一对不对？ 加上 cos 四五度等于多少？等于一，立马就知道，对吧？答案，等于多少？二分之一减去一加一等于二分之一，就是这么简单，对吧？好，那我们再看下这道题。 一减掉三的零值方，减去一减三，三十度，它的绝对值再加上二分之一的负一方，你看任何数的零值方都等于一，对吧。所以求一减去三十三度等于多少？二分之一一定要形成肌肉记忆，就这么简单对不对？ 再加上二分之一的负一值等于多少，就是二分之一的导数。二分之一的导数等于多等于几啊？等于二好，一减去一减二分之一等于多少？等于二分之一，对不对？二分之一的绝对值等于多少，肯定也等于二分之一，对不对？ 这样子啊，对不对？那他等于多少啊？这就不用再说了，对不对啊？我们再看一下这道题，这道题可有意思了，不是，以这算法为例，加三，以算法减去 cosine 等于二分之二二， 求 sine 加上 cosine 啊，这个好像有点点，看上去有点像完全平方公式，它又有点不对，是不是？好，那我今天教一下你，我们这里一个直角三角形对不对？ 咱们这个角有 alpha， 它对应的边，这为 a， 这为 b， 它为 c， 对 不对？它是直角三角形，那 sine alpha 它会等于多少呢？ 是不是？对边除以斜边， a 分 之 a 除以 c， 对 不对？ cos 平方，它会等于多少？邻边除以斜边对不对？ b 分 之 c， 对 不对？那 cos 平方加 cos 平方的平方，它会等于多少呢？看 c， a 的 平方除以 c 的 平方，对不对？哎，你看，它会等于 c 的 平方， a 的 平方加上 b 的 平方，对不对？ 是不是？哎，那它会等于几？勾股对，你 a 的 平方加 b 的 平方就等于 c 的 平方，它会，它会等于一，它就会等于一，对不对？哎，有意思哦， 但我只要将它平方一下，就会出现一个这样的东西哦，对不对？好，那 sin alpha 减去 cosine alpha， cosine 平方，它会等于多少呢？等于 sin alpha 的平方加上 cos 平方的平方，对不对？然后再减去两倍的 cos 平方， cos 平方，对不对？是不是等于这个？ 哎，那我们知道这个是等于一，对不对？就等于减去两倍的 cos 平方， cos 平方等于几呢？就等于二分之一，对不对？ 来，我们就知道，两倍的 si 加 f 和 si 加 f， 它会等于几？一样等于二分之一，对不对？把它移到等子的左边，把这二分之移过去，对不对？二分之一，对不对？一减二分之一，二分之一，对不对？那 si 加 f 加上 cos 平方，哎，如果我做个平方呢？它会等于几？它是不是也会等于三平方加上 cos 平方的平方，再加上，再加上两倍的 sin and alpha， cosine alpha， 记住哦，这个公式一定要完整！平方公式一定要记住哦！好，这个等于多少？是不是等于一加上两倍的 sin and alpha？ cosine alpha， 哎，我们前面已经算出来了对不对？ 咱们一算出来，它等于二分之一哦，对吧？那我们就带进去，等于一加上两倍的，再加上二分之一，对不对？那就会等于二分之三，对不对？哎，那 cos 与 alpha 加上， 那么三与 alpha 加上 cos 与 alpha， 它会等于多少？ 是不是？对，他最近开方对不对？等于正负根号二分之三，对不对？对不对？但是我们要知道，他是锐角，那么他的值会等于多少？ 它是一定是大于零的哦，它大于零的话，两个大于零的数相加，它是不是也要大于零？它绝对为正数，对不对？所以负边和 r 一定要舍去哈！所以三引 r 加上 q 三引 r 就 得二分之 幺三，对不对？它会等于多少？等于二分之根号六，对不对？好，答案，就等于二分之根号六，学会了吗？一定要记住哦！这道题里面的这个公式三， x 加 cosine x， 它的平方三， x 的 平方加 cosine x 的 平方，它会等于一，哎，这个一定要记住哦！

这道九年级锐角三角函数这一张的必考题，在上个视频中，我们用锐角三角函数的定义来求解，现在我们用同角的三角函数之间的关系来求解 同角的三角函数。我们知道同角的正弦、余弦的平方和等于一，因此 sine a 的 平方等于 又锐角的正弦大于零，所以 得解又一个锐角的正切等于它的正弦与余弦的商，所以 搞定。亲爱的们，今天这个知识你弄懂了吗？咱们下期再见！

我们今天来看一题，在直角三角形里面求边的一个是锐角三角函数解决的问题，我们看一下直角三角形，这是一个直角，然后往它做垂线，这又是一个直角，现在告诉我们添减它等于四分之三，求 a c， 那么这里我们来看一下，如果我们直接用呢，他为三 x， 他 为四 x， 他 就为五 x， 但是我们下一个条件十二就用不到了，所以我们这里其实就考察了一个角的一个转换，把它转化为， 我们看一下角 b 加上角一，其实就是 dcb， 我 们设为角一，它是等于九十度的，这个没问题。然后这个大的直角三角形里面，角 b 加上角 a 也是等于九十度，也就是角一加角 b 等于九十度， 然后呢角 a 加角 b 也等于九十度，所以角一是等于角 a 的。 我们知道在锐角三角形里面的那个锐角的对应的，只要它的角度相等，三引 q， 三引和 ten 都会相等，所以我们知道 ten 角 a 呢，它就会等于 ten 角 dcb， 也就等于四分之三。好了， ten 角 a 填进 a 对 应的是 bc， 对 边比上零边就等于。我们这个 bc 是 要求的 ac 等于十二，所以就等于十二分之 bc， 我 们简写一下，就是四分之三等于十二分之 bc， 所以 我们快速的得到 bc 是 等于九的，这也可以推出 bc 等于九，同学们不知道呢？这里可以交叉相乘，对吧？所以就是四 bc 等于十二乘以三， 这里同时除以四，所以 bc 就 等于三，乘以三等于九，所以这一题的答案是为九的， 这就是这一题。朋友们看一下，在这个三角形里面对角度进行了转换，转到这里来，然后再用他的三角函数值，从而得到这一题的答案。

三角函数是初中考试的必考内容，我们来看这样一道三角函数的题目，在三角形 a、 b、 c 当中，角 c 等于九十度，弹弹 a 等于三分之四。我们知道弹弹 a 啊，它叫正切，它是指对边比邻边的定义，那我们假设 弹弹 a， 它所对的对边，那就是 b c， b c 的 长度，我们假设它是四 x， 那 邻边呢，就是三 x。 那在这样一个直角三角形当中啊，我们可以使用勾股定律，能很容易的得到 a b 的 长度呢，是指五 x， 好， 我们来看他问的，他问上弦 a 加 cosine a， 好， 上弦 a 是 指正弦，正弦的定义呢，是指对边比斜边， 那三角 a 加扣三角 a， 三角 a 呢，是指对边比邻边，那就是 b， c 比 ab 扣三角 a 呢，就是余弦，余弦是指邻边比斜边，那就是 ac 比 ab 好。 我们把刚才写的数值给它带进去， bc 等于啊四 x， ab 等于啊五 x 加上三 x， 啊比五 x， 那 就是五分之四加五分之三。显然这个空呢，应该填五分之七。

今天我们来讲求一个角的正切值的一题，我们来看一下正方形 a、 b、 c、 d 里面往外做 c、 d、 e， 它是一个等腰直角三角形，现在要求攀紧 角 b、 e、 b 的 一个值。好，我们初中阶段呢，是锐角三角函数，所以我们呢，锐角三角函数百分之九十，百分之一百都是在一个直角三角形里面。那我们怎么来构造直角三角形呢？首先它是一个等腰直角 四十五，那么我们对正方形，对角线互相平分，所以这里又是四十五度，这不是刚好的一个直角了吗？知道这一个之后，我们马上知道 d、 e、 b 的 天井值呢，就会等于 b、 d 比上 d、 e， 就 求 b、 d 和 d、 e 的 关系。 等腰直角三角形，我们会设它为一，因为是填空题，所以我们一，这里呢直接为根号二，根号二，这里为根号二，或者我们把它移过这边来也 ok， 这又是一个等腰直角三角形，一比一比根号二，或者用勾股定律可以求出它为二，所以 b、 d 是 等于二的。 然后第一等于一，所以就等于二，这题答案就出来了。那么如果这题是大题呢？我们就会设第一为一 k， 他 也会为 k， 用勾股定律或者用正弦可以求出他为 根号二 k， 根号二 k， 再在这个直角三角形里面又可以求出他为二，这题的答案就为二，同学们，这题跟上了吗？

九年级的孩子啊，现在大部分都已经开始学到这个升降函数了啊，那么我是不是有这种感觉，就是你看到这个扇口扇摊进它 这些英文字母呢，就觉得有点新奇，有点新鲜，甚至有的孩子会感觉说这个英文字母和这个数字一组合，好像就打开一场什么高端局 啊，不明决裂。然后呢，心里呢，会觉得说这个是不是会很难，然后就开始有点发慌，不要慌，三角函数呢，没有那么难，今天呢，我就几分钟时间给大家讲一下这个三角函数的底层逻辑，你只要抓住这个思路，最终的学习呢，就会变得非常的轻松。 首先呢，咱们要彻底扭转一个观念，就是三角函数本质上他不是计算题，而是你们翻译的语言，他的核心任务其实就一个，就是把角度和边长这两件本来并不相关的事情给精准的对应起来。 那在直角三角形里面呢，一个锐角的大小定了，那么三角形之间的比例关系就固定了，所以算 cosine 这些符号就是给这些谷地的比例起的名字。 所以你在学的其实呢，学的是一套命题规则，就是看到三十度，你要立刻想到它的对边比斜边，那这个比例的名字叫算三十度，而且呢它等于二分之一， 你把你的思维从这个算数切换到翻译和对应，这是理解的第一步。那具体怎么学呢？第一步就是一定要牢牢的记住这个定义， 就在直角三角形里面，把 sin， cosine 这三个最基本的定义像背口诀一样刻在脑子里，不要搞混， 这是所有计算的起点。第二个呢，就要建立起特殊角比例值的快速反应，就是三十度，四十五度、六十度，就记住他们各自对应的值是基本的要求，但更安全的做法需要结合图形去理解，比如等腰直角三角形的对应角四十五度，对吧？两边相等，斜边是直角边的根号二倍， 含三十度直角三角形的最短边的一半。你把图形画出来，那根据第一层的定义呢，自己去推，多推几遍， 自然的呢，就记住了，这一步的目标呢，就达成这个条件反射，比如说看到三十度，脑子里面呢，要立刻弹射出来什么二分之一，二倍根号三，三倍根号三啊，这一列圈的数字啊。第三个呢，我们学三角函数， 其实最终呢就是为了解题嘛，对吧？那这个题目呢，它主要分为两类，那第一类呢，就是直角求边， 题目呢，给了角度，让你去求它的边长，你的思路就是说找到这个角涉及哪个三角，三角函数是三还是口三和贪心糖，然后列出等式，按已知数和未知数呢，带进去去解方程就可以了。 那第二个呢，就是叫做什么叫知边求角，就反反反过来了，题目给了这个边长比例，让你去求角度，这种题的思路就是说有边长比例，让你去求角度。这种题的思路或者要记住啊， 特殊值，找到这个对应的角度，那无论题目多复杂，本质上它就是一个翻译的过程。所以呢，对付这样函数，其实秘诀呢，也很简单，就是把它当做一个新的语言，去牢牢记住， 拿几个英文单词的意思，它代表了什么含义？然后呢，结合图形去理解，记住那几个特殊的角，最后呢，再去反复的去练题，别被那个符号吓到，他只是个名字，当你看到算不再觉得他是个字母，而是说，哦，能想到是这个呃角 a 的 这个什么对边比斜边， 你能把这个画面立刻的在你脑子里面呈现，你就算是真正的入门了，加油吧。

今天和大家分享速读版九年级下册第七章锐角三角函数的复习课。 这一章学习了锐角三角、锐角三角函数。锐角三角函数包括三种正弦、余弦、正切自主角的三角函数，且直角三角当中利用三边关系、勾股定三角关系、三个三角函数 以及实际运用两角方位角、括对括角、辅角等问题。锐角还在三角函数直角三角形当中。啊 角锐角 a 的 正圆等于它的对边比，斜边与弦等于它的邻边比邻边正确等于它对边比邻边。啊， 三英三十度二分之一啊，扣三十六度也二分之一，三英四十度和扣三十四度都二分之高二、三十六度和扣三英三十度都是二分之高。三 餐厅三十度三分之高三餐厅四十五度一餐厅六十度高三好 解，直角三角形是吧，三边扣股定底三角两锐角互余是吧？边角关系啊三角函数是吧， 三角 a 等于三 a 除以 q 三 a 啊，找出它们之间关系。 直角三角形可解的定义和解法解，直角三角形吃到其中两个元素要至少有一边，就可求出其他三个位置元素。 解法，一边一锐角，先用两个锐角互余，求出另一个锐角支斜边，用正弦或余弦求另两边支直角边，用正弦求另一直角边， 再用正弦或勾股定力，求斜边至两边，先用勾股定力，求第三边用，再用边角关系求锐角。 斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解决这三角形问题。啊 锐角函数的正弦和正切角度越大，弦数越大，弦角度越大，函数值越小。 解直角三角应用啊，仰弧角，首先概念考究啊，方位角啊， 解直角三角的应用，抠角过度这概念要抠懂啊。 坡度啊，是坡面的铅直高度与水平宽度的比，要坡度，坡角是坡面与水平方向的夹角。要高度啊，坡面与水平方向夹角叫坡角，坡角弹力二法就等于坡度啊。 坡度通常写成一比 m 形式，由于正截值增大，正截值的增减关系可知，坡度越大，坡脚就越大，坡面就越陡。 好，那像这题是吧。哎，这题没有图，我们把图画出来，角 c 九十度， 角 c 九十度，摊平 a twenty a 等于二，那就是设它为一，它就是二啊， 那它就是根号五，所以 q 三 a 一 比，根号五，所以等于五分之根号五。这个啊， 这个确确定热影长度定热影长度的仪器称为啊。来，我们看一看，立柱 a c 为 a。 冬至时，此时北京正午， 日光入射角约为 a b c 二十六二十六点五度，则立柱根部与 微表的东至线的距离，即 b c 长，求 b c 长，我们看一看，这是什么？ d 比邻是正切是吧，所以选择 b 啊， 这是第一个考点，求三角函数值啊。再看这题，怎么求呢？我们注意这点啊，这点你看，都是对角线， 而我们要求这个角的三角值要放在直角三角形，所以我们取这个焦点，假设 d 连接 c d 就 出来一个直角， 两个四五度加减直角。好，那这为根号二，这为三，根号十，所以等于根号十除以根号二，那等于啊， 对不对？ 三三减九，根号十吧。 clear 啊，写到了根号二除以根号十，或者怎么得，所以等于根号五分之一，等于五分之根号五，哎， 三对笔斜，是吧？所以啊，好，这一题呢，就用拿玄玄，我们当时还没学，是吧？这个用，拿一个同符所对的圆周角相等，就是这个角，就等于这个角啊，这是十五， 这是九啊，这是十二，是吧？求角 a、 d、 c 的 摊平值，并且这是直角，这直径所求摊平值等于九比十二啊， 六分啊。这题等学过圆，你再回头再来看好下面这一题，这个落到这跟，这是直角 a、 e 是 五倍，根号五，五倍根号五，那这题我们看看，这是直角，这是直角 啊，那它加它九十度，这是九，这是九度一百八，那所以它加它九度，所以它等于它，所以左右两个三角形相似，关系相似。 好用贪心 e、 f、 c 等于三比四，那可以设它为三 x， 则它为四 x， 设它为五 x， 勾股定律，则这也是五 x， 这就是八 x， 八 x 跟它相似，是二比一，所以这点是十 x。 然后再用勾股定律啊，十 x 括号平方加五 x 括号平方，等于五倍，根号五的平方，对吧？ 哎，从而求出 x 值，是吧？再求出，这就是六 x， 最后十 x 把周长求出来，就出来了。这题便是 a， b 为十， b， c 为八，这是十。翻过去，这是十，那这是六。要求这个角摊平值，我们刚才已经证明了，这个角就是这个角摊平，那就是四分之三 啊，或者怎么办呢？还可以怎么办呢？你设这为啊，这是六了，那这节就是四， 那设置为 x， 这也为 x， 这就为八。减 x， 利用勾股定力，再求出这个探针值。好，所以本题可能用第二种方法更快一些啊。 第一种方法，呃，第一开始说的就是这方法二更快一些。这种方法可能慢一点啊， 再看又是翻折，求正相似。我刚才正过了啊， 翻过来，这是九十度，它加它九十度，这是直角，这是直角，它加它九十度，所以这个两个三角形相似。这题问题，第二个餐厅三角 d e， d f e， d f e 啊，三一比三设它为 x， 设它为三 x 啊，再为三 x 则为四 x 啊，这个，这是三 x。 再利用相似 这个啊，三 s s 三三点九啊，八二倍根号二 x。 好 利用相似 在求出它要求探听角 e， b， c， e， b c， 这个角就是这个角啊，那它就等于探听角 e、 b、 f， 那 求着就是它跟它之比 啊，算出来，我们用来比比看啊。这个 a b f 比上二 x 等于 等于什么？四 s 比二倍根号 x 啊，那 b f 乘 就能求出来了啊， b f 出来了， f 也能求出来，对吧？ i f b x 把大家求出来，带进去就出来了啊。自己做我就不再拖拖写了啊。 最后等于二分之二十七点，这个点呢，你就代入百二乘二分之一加二分之一 减贪心六十度根号三，这是三分之二，三也是根号三分之一，再加二分之二括号的平方，最后把它算出来 啊，这个呢，二分之一一加二分之，根号三加上一，贪心三十度三分之 根号三，对吧？你再化简一下是吧？ 同乘以二，二加根号三分之一，再加啊，根号三， 对吧。然后二加根号三分之一加二倍，根号三加三等于四加二倍根号三，二加根号三就等于二， 这个是吧？这个绝对值大于等于零，平方大于等于零，所以它的 a 减一等于零，构成以 b 减二分之一等于零，所以它的 a 等于二分之一。 角 a 就 等于啊，等于一二十一，等于四十五度，扣三根 b 等于二十一啊， 扣三根多少度啊，对吧？ 角 b 是 多少度啊？ 三十三十度等于 cos 六十度，是吧？所以角 b 是 六十度， 所以角 c 是 七十五度。好， 再看这个是吧？要变式是吧？这就是根号三。餐厅六十度，也是根号三加上一啊，二倍根号三加一， 这个训练根号二，这是啊，二分之高，二分之一 啊，就这也是根号，这个是倒数啊。二分之根号二的负一，则也就是根号二减去二分之一啊，乘以 啊，二分之一加上负一，再加一，这两个没有了，这是二减四分之一，等于，是吧，也有四分之三啊， 这个要求，这个等高 c， a 等于 c， b 扣三 a， c 扣三 a， c 要首先要做高， 好做高扣三音 c， 你 看，这是四扣三音，那这是一，那这就是三，这就是根号十五，这是根号十五，这是 根号二十四，那就是二倍根号六。好要求。三 a b 就 等于根号十五比二倍根号六啊，二倍根号二，比根号五，就等于四分之根号十。好，发现出来， 这个是吧？要把这个角标上，这是四十五度啊，把坐标系方位角啊，这是三十度， 这是六十度，那这也三十度，那这个也三十度，好要求啊。 b m 长要做直角三角形， 对吧？好，我们看一看。这个，这是九十啊，一个半小时，这九十，我们设这个 b c 为 x， 这就为二 s 啊。第一个九十加 x 等于根号三 x， 也就是根号三减一，括号 x 等于九十， x 就 等于四十五乘以根号三加一， 那 b c 长就是四十五。括号根号三加一，那 p c 等于 md 等于 p c 就 同乘以根号三，就等于三加根号三乘以。 好，这个是四十五，这个是四十五， 乘以三加根号三。嗯，这个角有三十度要求啊。 b m 长给它乘以二 乘以二，那就是九十，括号三加括号三，再除以这个速度六十好化解就能得到。啊。这个 啊， c 为底是吧？ a c 为三，这个六十度， 那这就是根号三，这就是二倍根号三，这就是四倍根号三，是吧？嗯，这就是 a b 把 a b 再算出来，就等于三的平方加五倍根号三的平方再开方。 九加七十五，等于根号二十四。啊，等于二倍，根号二十一， 对吧？然后这个周长就等于三加五倍，根号三加二倍，根号二十一。啊，这，这一个内容。

哈喽，大家好，我是一点老师曲传运这个专题，我们来观察锐角三角函数的基本性质及应用。有哪些基本性质呢？第一条就是同一个锐角的正于弦的平方和等于一 好证明一下啊。左边我们可以看到，可以利用定义就可以整出来散引 a 方。首先呢，知道散引 a 就是 角 a 的 正对着的直角边比上弦，也就是 c 分 之 a 平方的话呢，就是 c 方，分之 a 方。 那么口上有 a 方呢，就是角 a 的 余弦值的平方，余弦的话，就是角 a 的 邻边比上斜边，也就是 c 分 之 b 平方，那就是 c 方分之 b 方 啊。这两者加起来分母不变， c 方分之多少， a 方加 b 方， a 方加 b 方。在由勾股定律里啊，两条直角边的平方和呢，就等于斜边的平方，因此呢，它就等于 c 方分之 c 方，那也就是一 好。这样的话，就证出来它等于右边的一了。这个关系可以用来干什么呢？当我们知道了一个锐角的正弦值的时候，可以利用这关系求其余弦值。反过来呢，知道余弦值了，可以推其正弦值，就是因为呢，同一个角的正于弦的平方和等于一 好。第二条就是三 a 等于口三 a， 因为呢，在这一个直角三行当中，两个锐角是互余的，所以呢，角 b 也可以写成九十度减去 a。 那对于正弦值上引 a 来说，就是对边比上斜边等于 c 分 之 a。 而口上引 b， 也就是角 b 的 余弦值，就是角 b 的 邻边比斜边也是 a 比上 c， 都是同一个比值，当然也就相等了。这就说明什么问题， 一个锐角的正弦值等于七余角的余弦值的意思，当然反过来，一个锐角的余弦值，比如说口算以 a， 它也等于七余角的正弦值，它呢，就等于算，以什么算以 b 好，这些呢，都是一样的道理。那这个可以用来干什么呢？知道了一个角的正弦或者余弦，可以推切余角的余弦或者正弦，因为呢，这两者之间有这么一种关系 啊，那我们再看第三条，就是正切贪婪的 a， 他 呢，与哎，他与角的那个正切贪婪的 b 之间的关系是互为倒数的一个关系。当然互为倒数也可以写成贪婪 a 乘以贪婪 b 呢，等于一。好解释一下，贪婪的 a 呢，根据定义就是对边比上邻边， 也就是 a 比上 b， 那 么它中的 b 的 话， b 的 对边比上邻边，就是 b 比上 a， 你 看这两者正好就是互为倒数的关系，所以这个呢，一目了然。这个可以用来干什么呢？这个可以由啊，一个角的正切推切与角的正切， 因为呢，它与它与角的正切呢，是互为倒数的一个关系。好，再来说第四条，就是关于增减性的问题， 这里当这个角 a 变大的时候，你会发现三 a 在 变大，贪婪的 a 也在变大，就是说正弦带正的啊，正弦正切会随着角 a 的 增大而增大，而余弦余切的话呢，它会随着角 a 的 增大而减小 啊，就是带正的呢，就是属于一个增函数啊，带余的呢，就是减函数，增函数就是这里自变量，这个角的度数变大的时候，他的这个三角函数值跟着变大了， 这就是啊，增函数，反正呢，就是减函数。好，现在我们来通过定义也可以给出来一个证明。大家想一想，这个角 a 在 变大的时候， 那么我们这里的 a b 咱不妨呢，就把它想象成一条固定长度的一条线段吧，他们就相当于是绕着点 a 往这个方向旋转， 那么再往这个方向旋转的时候，大家想一下，他是不是到下边这条边的垂直的这个距离变大啊？也就是说随着角 a 啊，这个小 a 呢，他是在变大的。 那我给你画到这里来，你看一看，这个时候是不是小一跑到这里来了，而这个 b 它的林边怎么样？你看，由原来这么长变到了这么短，显然 b 是 在变短的啊，这个它的林边是在变短的。我呢，现在就保持 c 不变的情况下啊，在 c 不 变的情况下，它的对边变大，邻边变小。而对于正弦值来说，根据定义它就是 c 分 之 a， 在 分母不变的时候，它的分子在变大，显得这个分数它是变大的，这说明正弦在变大。我们再来说余弦，余弦呢，它等于 c 分 之 b， 由于 c 不 变的情况下， b 它是在变短的，这说明呢，余弦值在变小。我们再看正切，正切呢，就是对边 比上啊，邻边，而邻边你可以看到 b 呢，它在变小，分母变小，整个的值是在变大的，而它的分子 a 呢，却在变大，这就导致这个是在变大的，分子越大它就越大，分母越小的话，它更大，对吧？ 好，我们再看鱼切啊，这是一个选学的一个概念，鱼切呢就是正切的倒数，鱼切就是口摊上的 a 是 邻边比对边， 邻边比对边，正好跟这个反过来，对不对啊？那就是 b 比上 a 的 话，由于这个 a 在 变大，分母变大，它会变小的，同时呢，它的分子也在变小，那就更小了，对不对 啊？这个地方凡是带正的正弦的、正切的，都是随着角的度数的增大而增大，余弦、余切的都随着角的度数的增大而减小。这样的话呢，可以用来比较相关的锐角三角函数值， 你可以随时暂停，充分思考记忆之后再继续啊，也可以拖拽啊，前进啊，后退啊，能够让我们充分观察，充分动脑的这种视频学习方法才是最灵活的，也是最聪明的一种学习方法。很多同学用这种方法能够取得一个非常满意的效果。好了，赶快操练起来。例一下列式子，错误的是哪个？ v 选项，口算余弦，如果他们对应的那个度数是互余的话，两者就会相等， 他俩加起来呢，四十度加五十度，刚好九十度，那就是互余的，所以口算四十度等于算以五十度，这是 ok 的， 这是正确的。正确的话就不要激动啊，咱就不选他了，因为呢，这里是让我们找错误的。好，再来看一下 b 选项，贪婪的十五度乘以贪婪七十五度等于一， 这个呢，关于啊，这个正切的话，互余的两个角的正切是互为倒数的关系，乘积呢，就是一的。那你看，十五度跟七十五度加起来呢，就是九十度，十五度跟七十五度就是互余的， 所以他俩的正切值啊，互为倒数，乘积也就是一百，所以这个也是正确的。那我们再看 c 选项， 三引二十五度的平方加上口三引二十五度的平方，同一个锐角的对不对？同一个锐角的正于弦的平方和等于一，你看它正好就等于一，这说明 ok， 它也是正确的，那就没得挑了，错误的肯定就是 d 了，我们就选择 d， 下面呢，咱看看 d 错在什么地方。 三引六十度等于二倍的三引三十度，这个呢，具有欺骗性，很多同学看到这个度数啊，六十度啊，是三十度的两倍，它的三角函数值就是两倍吗？这不一定啊， 那我们利用三角板把特殊角的三角函数值再记一下，三十度的角所对的直角边是斜边的一半，对不对？ 他所对的直角边呢？如果是一份，咱给他记为斜边，那不就两份吗？勾股定律，口算就可以得到三十度邻边是不是根号下二的平方，减一的平方也就根号三份，那这样的话，算以三十度是多少？算以三十度呢，就是对边比上斜边，也就是一比二，那就是二分之一。我们再看一下，算以六十度 就是指六十度的对边啊，比上斜边，那不就是六十度的对边是根号三吗？斜边是二，对吧？他比上他， 那现在你看他是他的两倍吗？显然不是，他的两倍是一，而这个呢，是二分之根号三 啊，这个地方他就是湖边的，所以度数是二倍的时候，正弦值可不是二倍哦，那这个就错了，错了的话我们就选错误的啊。这个题搞明白同学，欢迎回复个六， 再来操练个例二。第一个问题，已知口算 a 呢？大于二分之根号三，小于散影七十度，则锐角 a 的 取之范围是什么？那首先大家看一下，它给的这是余弦值，这边呢是正弦值，我们只有放在同一个三角函数上去，才可以比较它的增减性。 那我们可以由正余弦啊，他的那种关系，那其实我也可以把它写成余弦的形式，谁的余弦啊？口塞他的余角，他的余角不就是二十度吗？因此呢，他就是口塞二十度。而这个呢，我也可以给他写成余弦的形式，这是一个特殊角的余弦值， 对，就是口塞三十度。哎，我们利用三角来看一看，口塞三十度就是三十度，角的邻边比上斜边， 他的邻边呢，是占根号三份的，刚才他们已经说过了，斜边呢，占两份，这不就正好是二分之根号三了吗？所以我把这个二分之根号三呢，就写成口算 a 三十度。那么口算 a 大 于口算 a 三十度，小于口算 a 二十度， 这说明什么？这个 a 这个度数呢，就应该是在三十度到二十度之间了 啊。那这里你可以对比一下，口三十三十度呢，比口三十二十度要小了。原因就是鱼弦啊，他是一个减函数，鱼弦值来说呢，度数越大，他的鱼弦值就越小。 好，我们就是那个增减性的问题，所以这个角 a 的 啊，这个锐角 a 的 取值范围，他就应该大于二十度，小于了三十度，就在这个范围之间。好，我们再看第二个说，已知三元 alpha 等于零点六， cosine beta 等于零点八， alpha 与 beta 之间的关系， 这两个里面呢，一个正弦，一个余弦，我们给统一一下。统一的话可以利用哪个关系呢？就利用同一个锐角的正余弦的平方和等于一，那个比如说我就把这个 向量向量的平方加上口向量向量的平方等于一，那由此我看一看口向量向量，然后呢再跟这里口向量 bit 进行比较，现在向量向量呢是零点六，平方的话呢，也就是零点三六。 好，那加上口向量的平方，它呢等于一。把它移到这边来，就发现了口向量向量的平方， 他等于什么？他就等于一减去零点六，也就是一减去零点三六，也就是零点六四。好，对于锐角的他的正弦与弦呢，都是正的开方降次求他的算数平方根，所以口三元阿尔法也就等于多少零点八呀。 哎，你看跟扣萨与贝塔是相等的啦，那这样的话，阿尔法跟贝塔这两个锐角那不就相等了吗？所以他俩的关系就是阿尔法是等于贝塔的。 好，这个呢，就考察了这个条，我们也可以由定义来出发，这个你跟他写成分数的话，就是十分之六，也就是五分之三，这个呢就是五分之四，对不对？ 好，我把这个五分之四，五分之三的话，让斜边就是五，然后呢这个阿尔法的对边呢，我就让它是三，这不就是五分之三了吗？ 那这边呢就是勾三股四弦，我这边就是四。那我们看啊，上阿尔法就是它比上它 cosine beata 呢，是它比上它 cosine beata， 就是 啊，邻边比斜边。哎，那我们发现这个阿尔法也可以换成 beata， 因为呢，你把它换成 beata 的 时候， cosine beata 正好是它比它，这就说明阿尔法跟 beata 呢是同一个角相等的时候呗。 好，这样的话呢，一个是从定义的方法，一个呢就直接利用它，当然这个也是由定义推导出来的。同一个锐角的正余弦的平方和呢，它是等于一的，那这个也可以转换成正弦，我们再把它转换成正弦的话， sin b 特的平方 加上口三隐贝塔的平方，他呢是一，而口三隐贝塔是零点八平方的话就零点六四，然后他移到这边来，一减去零点六四，也就可以得到三隐贝塔的平方是零点三六， 那再开方的话，就可以求它 sign beta 就是 零点六啊，开方求算是平方根。我们在这里遇到的正与弦，根据定义的话，我们也会发现，正弦与弦，正切与切，它们都不可能是负数啊，它们都是正的。 进一步呢，我们还会发现一个秘密啊，就是任何一个锐角，他的正弦对边比上斜边，对边的是直角边，直角边呢，肯定不如斜边长，所以这个笔直呢，你会发现他一定是小于一的。 任何一个锐角的正弦，包括余弦，余弦不离边比斜边吗？他也是小于一的，当然呢，他肯定得大于零，他这这么一个啊范围， 所以对于一个锐角的正弦或者余弦，正弦之余弦值的范围原来就是大于零小于一的那么一个小小的数啊，就是零到一之间的一个小数。 当然正切就不一样了，正切呢，可以超过一啊，比如说我画一个这样的直角三角形，那么它的对边比它的零边大的时候，这个比值不就超过一了吗？ 对吧？这里的正切呢，你会发现他可以很大很大的，只要他的对边足够的长，越长了，这一个锐角的正切值呢，就会越大。当然了，对于任意一个锐角，按法的话，他的正切值呢，也一定是大于零的，只不过呢，他可以无限的大而已。 好，这个例二搞明白同学，欢迎回复个六六 a 三说，在三角形 bc 中，角 b 均为锐角，其对边分别为 bc， 让我们求成三 b 分 之 b 等于三 c 分 之 c。 好， 这个呢，我们可以按照他说的，咱们再画个草图， 好画出来，让角 b， 角 c 呢是锐角，这边呢是角 a 啊，这个角 b 的 对边呢是小 b， 角 c 的 对边呢是小 c， 这里涉及到了正弦啊，这个角 b 角 c 的 正弦值的问题，要找到角 b 角 c 呢所在的直角三角形，现在的话可以构造个直角三角形，一石二鸟啊，这边做个垂直，不就一举两得了吗？对吧，我们呢，就给他做出来一个啊，这个垂直垂直呢，为 d 吧， 那么 c 也就是 a， d 比上 c， 对 吧，然后 c 的 话就是 a， d 比上 b， 那么左边套进来这个式子，右边套这个式子，看看左右两边相等不相等，那就可以正出来了。好，现在呢，如图，我们给他做出来这条辅助线，做 a， d 垂直于 b， c 于点 d， 过到这个直角三角形，这条辅助线呢，非常的重要， 则可以得到散臂，也就是角臂的正对着直角边 a d 比上斜边 c， 那么撒以 c， 那 它就是对边 a d， 然后比上斜边呢，它那个斜边是 b， 所以 这个时候我们可以看一看撒以 b 分 之 b 套进来式子，也就是把撒以 b 换成 c 分 之 a d， 然后上面呢是 b， 那 就相当于 b 除以它等于乘以它的倒数，也就是 b 乘以 a， d 分 之 c。 对，就是 a、 d 分 之 bc， 这是左边，我们再看右边，右边的是上引 c 分 之 c， 好， 也就是上引 c 给它换成 b 分 之 a、 d， 然后上面的是 c， 这就是 c 除以它也乘以它的倒数，那就是 c 乘以它的倒数呢，就是 a、 d 分 之 b， 那也就是 a、 d 分 之 c 乘以 b， 或者 b 乘以 c 都一样，你看这两者是不是就相等了？ g 咱们就挣出来了，也就是散。以 b 分 之 b， 它呢就等于散以 c 分 之 c。 好，这个呢，回到高中之后，你会发现他就是一个正弦定力，在这里我们证明他的方法呢，关键就是构造出来这个辅助线角 b 角 c 都是锐角的情况下，我们只需要给他做出来一个高，这样的话呢，三角形 abd 是 个直角三角形，然后三角形 a、 c、 d 也是个直角三角形， 就利用直角三角形，然后利用正弦的定义，然后从左边、右边各自给它化简一下，就出来这个结果了。搞明白的同学，欢迎敲个六六六。 我们来看。例四说，在三角形 bc 中，已知角 c 等于九十度，三 a 加上三 a， b 呢，等于五分之七， 然后问三 a 减去三 a、 b 等于多少？这里面呢？三 a 三 a、 b 呢？啊，有可能他大他小，那个时候这个差呢，就是正的，也有可能他小他大，所以这个差呢，也有可能是负的，那么他给的这个是和， 而我们要求叉的话，我们联想到什么和跟叉之间呢？可以有一个公式，就是完全平方公式。好，完全平方公式的话，那就需要对它两边都平方，那都平方的话，左边一平方一展开，就变成了散影 a 方，然后加上散影 b 方， 那么再加上 g 的 二倍，这就套用完全平方公式，也就是二倍的散影 a 乘上散影 b， 他呢就等于右边平方的话，就是二十五分之七七四十九。好，那我们要求的这个呢啊，可以给他平方，那先来求他的平方的话，他的平方就是散引 a， 减去散引 b 给他平方，他就变成什么求出来的平方开方就是了啊，注意，开方的时候，他会出现两种情况，正数的平方根呢，有两个互为相反数啊，那给他展开，也就是散引 a 方 加上三以 b 方，然后这个地方不同的是，就是按照完全平方公式，它会减去几的二倍，减去二倍的三以 a 乘以三以 b。 而在同一个直角三角形当中，角与角 b 的 关系呢，是互余的一个关系，对吧？现在呢，既然是互余的话，我可以把这里的 啊散引 b 给它换成口散引。什么口散引 a？ 两个锐角互余的时候，其中一个锐角的正弦等于它余角的余弦，那么这边平方的话，我这边呢，就可以写成口散引 a 方。 现在前面你看为什么换呢？换了有个好处，就换成同一个锐角的正于弦的平方和了。我们知道同一个锐角的正于弦的平方和等于几了，对，等于一，然后呢，再加上后边的这个东西，后边的是二倍的三 x v 乘以三 x b， 他呢就等于二十五分之四十九。好，既然这一大块呢，等于一移向的右边就变成了他减去一，是不是就可以把他求出来了？ 对，就是二十五分之二十四，那他是二十五分之二十四，你看这边，他不就是二十五分之二十四吗？把他带过来就是，具体算，以 a 算以 b 是 多少咱就不管了，咱就跟他玩一个整体代入，就是二十五分之二十四。 那么前面的这个东西跟他是一样的道理啊，那他呢，是同一个啊，这个角的正弦值的话，就是他余角的余弦值，因此呢，他就换成口算以 a 方， 那么就变成了这个东西了，所以他就是对，他就是一，那这样的话就变成了一减去二十五分之二十四，因此这个是等于多少？就是二十五分之一 啊，这就是他的平方，那我们给他开方啊，那就是正负五分之一。所以这道题答案就出来了。 那么此题考察到的知识点一个呢，就是散引 b， 它呢等于口散引 a， 因为呢， a 和 b 呢，它俩互为于是同一个直角三角形的两个锐角，当然你也可以换它，它不动。 那这个时候我们可以把散引 a 换成什么？换成口散引 b， 这两个效果是完全一样的。 那还考察了同一个锐角的正于弦的平方和呢？等于一这一张啊，那这样的话一结合就可以了。好，这个例题搞明白，同学，欢迎回复个七。 再来看例五，上弦二十五度的平方，加上口上弦二十五的平方。哎，你说他等于几对同一个锐角，它的正于弦的平方和呢？等于一， 然后再加上贪整的四十四度，乘以贪整的四十六度。我们发现呢，四十四度跟四十六有什么关系？是不是互余的一个关系啊？两个锐角互余的话，他俩的正切值是互，为什么倒数？所以这两者乘起来的积当然也就是一，因此呢，这就加起来一加一等于几？等于二， 这就完成了。这是例五啊，例五，搞明白的同学，欢迎回复个五，再来操练一个。例六。一般的，当 alpha beta 为任意角的时候，有公式，撒引 alpha 加 beta 啊，这就是两个角的和的正弦值等于撒引 alpha 乘以口三倍，加上口三 alpha 乘以三倍， 那差的正弦值，那它等于三 e r f 乘以 cosine beta， 减去 cosine beta 乘以 cosine beta。 这两个公式呢，它是给出来了，我们就用就行了。它要么用这个公式呢，计算 cosine 十五度的值。 cosine 十五度呢，它不是特殊角， 我们看一看能不能由特殊角整出来。我们知道三角板当中那角呢，就是特殊角了，这个十五度是可以由两个三角板进行组合画出来的。比如说六十度减去四十五度呀，是不是可以啊？三十度啊，或者四十五度减三十度是不是也 ok？ 好， 那你比如说我可以写成散印，四十五度 减去三十度，这样的话呢，就相当于是两个角差的正弦值，可以套用第二个公式，对吧？好，套进来就行了。它相当于是 alpha， 它相当于是 beta， 那 就我们照葫芦画瓢，把它给的这里面的 alpha 换成四十五度， beta 呢，换成三十度，于是呢，变成了散音。 四十五度乘以口三引三十度，减去口三引四十五度乘以三引三十度。好，那就是给他套进来数，三引四十五度， 呃，是二分之根号二这些特殊角的三角函数值呢，你可以利用三角板把它记下来。口算三十度，就是三十度的邻边比上斜边就是二分之根号三，然后减去口算四十五度。二分之根号二算三十度是二分之一 啊，那这个就可以算了，前面这个就是四分之根号六，然后减去四分之根号二 好，于是呢，他也就是四分之根号六，减去根号二，这就是散引十五度。 当然类似的你还可以把散引七十五度呀，是不是也可以进行计算呀？啊，那你可以由这两个角相加，你可以套用第一个。那你再操练一下，你看，我们做了一道题之后，自己都可以 进行灵活的变一变，再出一道新题了啊，这个例六搞明白同学，欢迎敲个九。 好了，下面总结一下锐角三角函数的基本性质。首先呢，要把这些基本性质呢理解了，记下来啊，就是还要会推导呗，同一个锐角的正余弦的平方和等于一啊，一个锐角的正弦值等于七余角的余弦值啊，或者一个锐角的余弦值等于七余角的正弦值， 那么对于两个角互余的话，这两个角的正切值互为倒数。再一个就是增减性的问题，当锐角 a 在 变大的时候，当然呢，锐角 a 它有个范围，既然是锐角的话， 这个角 a 呢，它肯定是大于零度，小于九十度。我们在这里呢，初中研究的就是这样一个范围啊， 到高中的时候研究范围更加的宽广了啊，那正弦正切呢，都是增函数，都会随着角移的增大而增大。余弦余切呢，都会随着角移的增大而减小，都是减函数。另外，你像正弦， 余弦啊，正余弦，他们的取值范围啊，正弦的取值范围呢？大于零小于一，余弦的取值范围也是大于零小于一的啊。至于正切呢，大于零 他可以超过一，他可以无限的大啊，正切呢，大于零的。总之呢，这些我们研究的这些锐角的三角函数值都是正数，没有负的。好了，这个专题就为大家讲解到这里，同学们再见。

我们来看这个，在直角三角形当中，角 c 是 九十度， bc 五 ac 十二，求贪心的 b 的 值，那做这种题的时候其实非常简单，你只需要画图就 ok 了。那比如说我们画一个直角三角形， 角 b， 角 c 是 九十度， a， c 是 十二，那 c 是 直角边， a c 是 十二， bc 是 五，那我们就能够求出来斜边是十三，五十二、十三，对吧？ 那这个时候 tangent 的 b 其实直接根据定义就可以了， tangent 呢，等于对边比邻边，那就是十二比五，也就是五分之十二，所以像这样的小题呢，没有什么难度，我们就直接画图就快速的去解决它，对吧？ 接下来呢，我们第二个想给大家说的就是解直角三角形，什么叫做解直角三角形呢？就是在这个直角三角形当中，我们会给一些元素，然后你把这个这个剩下的边和角都求出来，这叫解直角三角形。比如说 那么这个条件我们怎么去认识它？首先你得了解一下，就是这个条件叫做他们的角 dbc， dbc 是 这个角， 你要注意，当我们知道一个角的三角函数值的时候，我们默认是相当于知道这个角的度数好吗？已知这个角的三角函数值就相当于知道这个角的度数，也就代表着我知道这个角，还知道这条边， 我还知道这条边让我们求 cosine a 的 值。那做这种题的时候呢，我们的基本逻辑其实也简单， 就是你看看你能先求谁，你就都求出来呗。比如说这个角平方角 d、 b、 c 等于谁呢？等于对边比邻边， 好吧？对边比零点，那所以我们就知道了，它等于 dc 比 bc， 那 他又告诉我等于四比三，那也就代表着 dc 比 bc， bc 是 六，是不就是四比三？那么 dc 是 不是就被我们给取出来了， 对吧？八嘛？八比六，四比三嘛，是吧？这个是八。然后接下来我们再求 cosine a 的 值，是不就简单了， 求 cosine 叫做邻边比，斜边 cosine a 呢？其实就是 a c 比 ab 是 吧？ 那接下来这个是 bc， 这个是 a c， 那 ab 我 们用勾股定力是不就一下就能求出来，谁能看一眼就求出来结果，我不用说我把它放在什么六的平方加十二的平方，然后再开方看一眼就出来结果有没有？看一眼求出来结果有没有？ 这是我们在做三角函数体，或者叫做一比二比根号五， 也就是说一个直角三角形的两条直角边的比，如果是一比二的话，那么斜边就是直角边短直角边的根号五倍， 好吧，这个用的是非常非常多的，所以你会发现这里我们这个是六，这个是十二，是不是两条直角边的比刚好是一比二的关系，那么斜边 a b 根本就不需要算，它一定是 bc 的 根号五倍，那你就乘以根号五就好了， 好吧，那这样的话呢，那你看我们这个 ac 比 ab 就是 谁， ac 就是 十二， ab 就是 六倍的根号五，那结果是不是就被我们求出来了，对吧？这个直角三角形呢，实际上就是在直角三角形里边对三角函数的一个应用会解释。 那么刚来的小伙伴们呢，大家可以给萌萌老师点点关注，我们今天给大家串讲的是三角函数，三角函数的下一个，这个是我们在解三角形当中最经典的一类题目，叫做解斜三角形，我们一起来看，说角 a 是 七十五度， 角 c 是 四十五， ab 等于二，让我们求 ac 的 长。 那么在做这道题的时候呢，其实我们也不用去记什么原则，什么什么什么怎么样，对不对？当你见到四十五度的时候，你就去想这个四十五度得放在什么环境之下他才最有用？四十五度得放在什么环境之下呀？ 大家可以在讨论去瞧一瞧，得得放在什么环境之下呀？一定是 r t 三角形对不对？是吧？一定是直角三角形， 那么在直角三角形放的时候，那你看我这就有两种方法了，对不对？我把这个四十五度放在直角三角形里边，那我能不能这么放，对吧？我是不是也可以想着这样放？ 那我这两种放在直角三角形当中的方法，我用哪一种呢？这个时候同学们要把所有的情况都考虑到之后，你再去选择，比如说如果我这样放的话行不行呢？当然把它放在直角三角形里边了，但是你会发现，那我这个七十五度放在直角三角形里边，我不太好处理， 对不对？所以那我就知道了，我可以换一种思路哦，我可以这样去放， 对吧？那这样放进去之后，那这个是四十五度，那这个角呢？是不是也是四十五度？这个角是四十五度，七十五减四十五，这个角是不是就是三十度？那你看你这样放的话，是不是就相当于把这个 a b 二放在了一个含三十度的直角三角形里边，我们就舒服多了，对不对？ 是不是这种感觉我们就舒服多了？所以那么这个时候我们剩下的再去计算呢？其实就比较简单了，这个是一，这个是根号三，这个也是根号三，这个是根号三的两倍，也就是根号六，对吧？ 这个题就给大家说到这了，这就解斜三角形，那么在解解解斜三角形的过程当中呢，一般来讲他会给我们一些角，好吧，但是这里面有一个特殊的，就是我们刚才所提到的那么有一些角，他就像这道题一样，他给我们度数 也有一些角，他给我们三角函数值。所以在这各位要了解一个点，如果他给的是三角函数值，比如说他告诉你三 c 等于二分之根号二，那你也理解为给三角函数值就相当于知道角的度数， 好吧，有这样的一种感觉，那么这道题比较简单，接下来呢，我们再来看第四个，第四个这道题你看他首先最大的特点是什么呢？ 它有一个最大的特点是什么呢？没有图是吧？所以就要小心了，所以就要小心了。我们来看 ab 等于六倍根号三， ac 等于六， cos 等于二分之根号三，求 bc 的 长，来一起看看 ab 等于六倍的根号三。 a b cosine b 是 二分之根号三，那我这个 b 画的还不太好看， cosine b 是 二分之根号三。来告诉我角 b 等于多少度，有人知道吗？ 角 b 等于多少度？ cosine b 是 二分之根号三。看各位家长对初中数学还记得多少角 b 等于多少度？三十三十。没错，这个是我们特殊角的三角函数值，对吧？大家画一个三十度， 然后 ab 呢？我让它的长度是六六倍根号三，对吧？然后我再画一个 ac 等于六，那这个六肯定比 ab 要短一点，我就画成这个样子，这是我们的 ac， 我 这个图画的有毛病吗？ 我这个，我这个图画的有，有问题吗？是不是没啥问题，对吧？然后那我们就做了呗，那跟刚才一样，你刚才是四十五度，你得放在 r t 三角形当中，是不是这个理儿？ 那我现在见到了三十度是不一样的道理，我是不是得想办法把三十度放在 r t 三角形当中，对吧？那最容易想到的是什么呢？直接做垂吗？ 是吧？这样的话，你看这个是六倍根号三，那这个呢？就是他的一半三倍的根号三，那这个呢？就是他的根号三倍三倍的根号三，再乘以根号三啊，三三得九，对吧？然后我们还知道谁还知道 a c 等于六， 那当知道 a c 等于六的时候，这个是三倍根号三的时候，那这个我是不也能求出来，对吧？一比二比根号三吗？对吧？所以就能口算出来这个是三，那这样的话呢？ bc 不 就是九加三吗？ 等于十二来，这道题有问题吗？这道题有问题吗？这不是，这不挺简单吗？是吧？这不挺简单吗？这不是。画出图来，这不就解决了吗？这跟刚才那道题有什么区别吗？ 这不都是，你刚才上一道题是把四十五度放在了直角三角形里边，你这道题是把三十度放在了直角三角形里边，四十五度变成三十度的区别，那这道题有问题吗？那最后的结果我就求出来了， bc 的 长等于十二呗， 有问题吗？有问题吗？有问题。他的问题在哪呢？就是我们刚刚所说的，你要小心一点，为什么他没有图？这是这是一个表面上我们能看出来他要分类讨论的点。好吧，他没有图， 那没有图，那我自己画了一个图，那你能不能保证他只有一个答案呢？那你不能保证，所以你想想有没有可能存在其他的其他的情况呢？ 想想，那我这个这个 ab 的 长度是固定的，这个角是固定的，那么 ac 等于六，大家想一想，我能不能把 ac 这条，把 ac 这条边以 c 为顶点，这样转过来构造一个等腰， 能理解吗？或者是说你把 a c 这条边关于这条垂线去给它对称过来，那也就代表着在 a d 的 左侧，是不也有可能存在一条长度等于六的线段，存在不存在是不也存在， 对吧？也就代表着来，我们大致发一下，就是你右边有一个 a c 等于六，那么在这个图的左边是不是也有可能存在一个 a c 撇，让它的长度也等于六， 那也就代表着，如果我盖住这个部分，那你看 ab 六倍根号三， a c 等于六，这个角 b 等于三十度，也就是说你看我这个钝角三角形是不也符合我们这个条件呀？没问题吧？ 而那个时候，那我们的 bc 等于什么呢？其实就不需要去计算了，记住像这种分类讨论，他一般是一加一减，上边你是九加三，下边一定是九减三，好吧，一定是九减三，为什么是九减三？你看，那我们哪怕这个 a c 撇跑到这边来，这条线段长度还是九， 那 a c 跑到 a c 撇的位置，原来这边是三，那过来之后是不是就这边变成三，能看出来吗？所以这个时候你的 b c 撇是不就是九减三， 一定是一加一减的结果好不好？一定是一加一减的结果。好了，那么这个到这为止，这个是十二或者是六。有些同学呢，写到这其实就就就觉得自己已经这个满分了，就可以放过他了，但殊不知 就是因为你的放过，你的错过，导致我们在做这道题的时候，下次再遇到这种题的时候，你还会出错。那么为什么分类讨论？大家思考一个问题， 仅仅是因为它没有图吗？这道题为什么分类讨论？仅仅是因为它没有图吗？ 当然没有图，是给我们提个醒是吧？我们要小心。那真正他需要分类讨论的原因是什么呢？来我给大家说一下。也就是说那么分类讨论本质是什么？ 那我们通过这一道题目，那以后在做这类题目的时候，我只要记住了这个本质，就能够让你瞬间知道他需不需要分类讨论。 那么这个本质是什么呢？就是你给出来的三角形的边角条件是否符合全等三角形的判定定， 也就是说如果，哎给出来的这个边角条件符合全等三角形的判定定力，那你就能够找到唯一的跟他长得一模一样的三角形。 理解吧，只要符合全等三角形的判定定律，你就能找到一个跟他长得一模一样的唯一的三角形。那这个时候就不需要分类讨论，那就比如说这道题目，你看给了 a b 这条边，给了 a、 c 这条边， 那 ab 和 ac， 他 们的假角是谁？应该是角 a， 对 不对？所以两边一角要想符合全等的判定定律，他应该给哪个角？应该给角 a， 但实际上他给了哪个角？给了角 b， 也就代表着你看给了这条边，给了这条边，给了这个角，是不就是它符合什么呀？这道题， 这道题符合 s s a， 对 不对？ s s a， 能不能判断？判断全等不能，这才是它的本质。我为什么需要分类讨论？因为这道题给出来的三角形的条件是 s s a 型的， s s a 型的，你就需要分类讨论了，因为它不符合全等三角形的判定定律。理解吗？ 来再比如说像我们刚刚做的这道题，它为什么就不需要分类讨论呢？你看它给了两个角和一条边， 那么只要是两个角，你看他给了这个角，这个角和这条边，那他符合什么？他符合 aas， aas， 符合全等三角形的判定定律，那还分分类讨论什么呀？就不需要分类讨论了，是吧？所以大家听懂的可以在讨论区敲两个字，全等。 好吧，什么时候在这种问题当中需要分类讨论呢？只要你这个条件当中给出来的边角条件符合全等三角形的判定定律，那我们就不需要分类讨论。他就有一，他就是唯一的，那如果不符合全等三角形的判定定律，那最多的一种情况给的就是 ssa， 好吧，他就需要分类讨论。好吧，大家听明白的讨论区敲两个字，全等。好了，这个我们就到这了，这是我们今天给大家分享的第一个部分，就是三角函数的部分。三角函数呢？其实就是这些什么 三特殊角的三角函数值这些东西他一般考的会非常简单，他真正考考我们三角函数的时候呢，他可能在元中，甚至在这个待解综合，或者是解三角形几何综合当中来考我们。 所以在初中阶段我们去使用三角函数的话，大多数是用来什么？第一个是转化角，第二个呢就是用来这个，这个解三角形，解三角形。

哈喽，大家好，今天的话呢，我们来分享一下锐角三角函数这个知识点啊。最近呢给学生在讲这个三角函数这部分的时候，我发现很多学生认为说三角函数这个知识点太难了， 三角变换也好，解直角三角形也好啊，这个完全没有头绪去处理啊。然后呢，性质也很多啊，老是记不住啊，不知道怎么去用啊，甚至连特殊三角函数值也记不住啊，很容易混淆。那么今天呢，我就用三个图，然后还有一句话 来让大家掌握我们整个锐角三角函数部分的一个递增逻辑。好，那么首先第一个图就是我们现在屏幕上面画的，在坐标系当中，我们给他弄一个 呃，单位圆，单位圆就是半径为一的圆，然后我们在第一象限内的圆弧上找一个点，称之为 p 点，这个 p 点把它和 o 连到一起了，之后 p， o 和 x 轴之间的一个夹角，我们称之为 c， 它。 那么当我们的 p 点在我们的第一象限的时候， 如果它在第一项线，就意味着 c， 它是小于九十度，大于零度的，也就是说这个时候的 c， 它是我们的锐角。好，那接下来我们要怎么去分析我们的三角函数呢？首先先过 p 点做一个 x 轴的垂线，称之为 pa， 那 么因为在第一项线吗，那 o a 的 话就等于横坐标 x 了， pa 的 话就等于我们的纵坐标 y， 这个时候我们就会发现一个问题啊，那么 sine 的 sine 就 等于 pa 比上 o p， 也就是 y 比一等于 y 扩， sine 的 sine 就 等于我们的 o a 比上我们的 o p， 也就是 x 比一等于 x， 它就等于我们的 pa 比上我们的 o a， y 比上 x， ok， 好， 我们现在根据这个图，我们能够得到这几个式子，对吧？所以接下来我们的第一个结论就出来了， 我们会发现，我们的 time， 它的 c， 它，既然它是等于 y 比 x 的， 而 y 又等于我们的 c in c， 它 x 又等于我们的 cosine 的 theta。 所以 我们的第一个公式出来了，当我们的 theta 为锐角的时候， tan 减它的 theta 可以 变成 sine theta 和 cosine theta 的 比值。啊，这是我们的第一个结论，第二个结论我们再来看。 那么既然我们这里做的是垂线，我就会有勾股定律， o a 翻加上我们的 p， a 翻就得等于 o p 的 平方，也就是 x 翻加 y 翻要等于一的平方，也就是等于一。而我们这里又知道 x 和 cosine theta 相 等， y 和 sine theta 相等。所以第二个公式出来了， cosine theta 的 平方加 sine theta 的 平方等于一，也就是说同一个角的 sine 值的平方和 cosine 值的平方相加是等于一的。 好，第三个结论，什么结论呢？我们再来看，当我们的这个 theta 在 第一象限内，如果 theta 增加了，我们看会得到什么？ set 增加，说明 o p 会靠近 y 轴，那么我们的 p 点对应的横坐标就得减小， 纵坐标就得增大。所以我们就会发现，当你的 set 增加的时候啊，当你的 set 增加的时候，我们的 cosine theta 对 应的就要减小， sine 的 theta 对 应的就要增大。 然后的话，我们的 tangent 的 theta， 它就会等于我们的 sine theta 比上或 sine 的 theta 分 子增加了，分母减小了， 分的钱多了，分钱的人少了，那么每个人分到的钱就会更多，所以我们的 tangent 的 theta 也是增加的， 这个东西被我们称之为三角函数的增减性啊。那么你就记住，除了 cosine theta 是 减的， sine 和我们的探减的 theta 都是增的。 ok， 第三个结论我们就讲完了，接下来我们再来看我们的第四个结论。 第四个结论是什么？就是当我们的 theta 在 我们的九十度和零度之间的时候，也就是当它为锐角的时候，我们可以发现 我们的 cosine theta 一定是小于一大于零的，因为它不会和坐标轴重合，所以我们的横坐标 x 以及我们的纵坐标 y， 它都不会等于一，也不可能等于零，所以就在一到零之间， sine theta 也是一样的，这个就是它的 另外一个结论。 ok， 这个结论过了之后，还有第五个结论是什么呢？我们把这一边的这个角称之为 beta， 那 么很显然， beta 和 beta 相加，它是等于九十度的。 而我们这个时候我们会发现， siin 啊 siin 的 这个 siin 和阔 siin 的 beta 是 一样的，都等于 y， 而我们的 cosine 的 theta 和我们的 sine 的 beta 一 样，都等于 x。 贪减的的 theta 是 等于 y 比 x 的， 而贪减的的 beta 呢？它是等于 x 比 y， 所以 这个时候我们会发现，它们的贪减的 theta 会等于贪减的 beta 分 之一。这个是什么？ 这个就是我们的两个角，如果他们之间是属于互余的关系，那么其中一个角的正弦值 会等于另外一个角的余弦值返回来，其中一个的余弦就等于另外一个的正弦，那么他们的正切值是什么关系？是导数关系。好，这是我们的第五个结论。 那么这几个结论讲完，我们的三锐角三角函数这部分的结论就基本上就性质啊，包括说我们常见的三角变换里边的推论就讲完了啊，就这么去记，那你如果记不住，不要去死记硬背 怎么办呢？你自己永远的把这个单位员记在脑子里边，第一项键，找一个 p 点，所有的东西你都能推的出来，很简单的啊，你能多推个四五次吧，你就能够永远的记住了。好，接下来我们再来看，我们刚才不是讲了要有三个图吗？ ok， 第二个图特殊三角函数值，你们也不要去背课本上那个表，课本上那个表的话，你短期内你能记得住的，但是时间一久，三十度和六十度的 记忆力不好的，或者基础不是很好的同学，一定啊，这个东西一定会混淆的。好，那么我们现在就把两个图记住就行了，一个是等腰直角三角形，一个是三十度六十度的直角三角形。等腰直角三角形怎么来弄好，我们来看，假设这里的边长是 a， 好， 那这里的边长也是 a， 那 么接下来这里是不是刚好二 a 勾股定律吗？好，然后你会发现， sin 的 四十五度就是 a 比根号二 a， 那 是不是一比根号二，那就是二分之根号二。 cosine 的 四十五度，同样的道理算出来也是二分之根号二，而这个时候我们的贪婪的的四十五度，我们就等于什么？就等于 a 比上 a， 所以 等于一。 好，记住这个图你任何时候考都不会出错。三十度，六十度就更简单了啊，一，一比我们的更好，三比上我们的二吗？ 对吧？三十度，角所对直角边等于斜边的一半，那你这里设成一，这个斜边就是二，这里就是根号三，你也可以像刚才一样，这里是 a， 这里就是二 a， 这里是根号三。 a 啊，你直接带数字也没有问题的好吧。啊，那么这个时候的话， sin 的 三十度，我们就会发现，那它就是一比上我们的二， 然后刚好就是咱们的扩散引的六十度嘛，然后呢？扩散引的三十度就是我们的根号三比二嘛，那刚好就是我们的三引的六十度嘛。 然后摊减的三十度就等于一比根号三，刚好就是三分之根号三，而我们摊减的的六十度就是根号三比一，所以等于根号三， 也就是这两个角，你看他们是倒数，对吧？刚才我们那个性质又用了一遍， ok， 三个图讲完了，那我不是说了还有一句话吗？啊？这一句话是什么？这句话是这样去告诉大家的，任何时候，当我们要去求我们的 三角函数值，就是条件当中给你一个三角函数值，或者要让你去求某一个角的三角函数值。大家记住， 思路往往有两种，这个在我们的知识体系里面也有啊，哪两种思路呢？第一，要么你去找一个跟我们的目标角有关的直角三角形，以它为内角的直角三角形。好，要么你去找一个跟 c 塔相等的或者互余的角来做转换， 懂了吧？这就是他的两个思路去做，包括你在圆或者说四边形的那种综合大题当中，但凡求到这个东西，他就这样的做法。 好，这就是我们所讲的啊，你把这三个图记住，再把刚才我们讲的这个三角函数的分析记住， 基本上拿到题目我们都能够搞定。好，今天我们就分享到这个地方啊，那么希望大家能够点赞、关注、支持。好，下期视频我们再见。拜拜。

朋友们，今天我们一起来学一下关于锐角三角函数，对吧？前面我们有讲过正比例函数、反比例函数，他学过一元二次函数，对不对？那我们今天来学习一下关于 锐角三角函数，它到底是什么东西呢？那我们就告诉一下你，比如说我这样的有一个三角形，对吧？它是三十度， ok， 那 他现在是个直角三角形，就好像我们的三角板，我们的三角板一样，对不对？一个三，一个三十度角的三角形，那如果这条边是为一，那这条边为几呢？ 看，我从这里往这里做一条直线，让这个角为三十，为六十度，对不对？ 这角为六十度，那这个角为多少度？为三十度，对不对？这个角为多少度？当然也为六十度，对吧？哎，你看这个角为六十度，这个角为六十度，那这个角为多少度？当然也是六十度，对吧？ 哎，那他就是个等边三角形，对不对？假如他为一，对不对？那他也为一，他也为一，对不对？没错吧？也就是这一段也是为一的，对不对？ ok， 你 看它就是等边三角形，对不对？这三十度，三十度，对不对？那它为一到一周，那这个也肯定也为一，对不对？ 哎，那就这个总长度，我们就可以得出来，它为二，对吧？好，那锐角三角形它讲的是什么事情呢？讲的就是比如说我这个角，它 那对对面这个角，就对面这条线，它对着的这条线除以斜线，它们的长度就对，就是直角边对着对面直角边，对面直角边， 对吧？除以斜边， 是吧？它我们看等 n 减一，除以二，对不对？那我们就可以把它命名为正弦， 正弦，那我们可以把它表达为什么呢？相应 s i n s i n 上引，那比如它角 a， 对 不对？那我们就上引 a 就 会等于对面这条边除以它的斜边，就要上引它三十度的角，它的上引正好等于二分之一，对吧？哎，那如果是斜邻边 除以斜边呢？我们知道 这个就会等于根号三，对不对？那么它就会等于根号三，除以二对不对？它就等于二个是根号三，那我们把它命名为 cosine， 它叫它的余弦， 它叫余弦，他说对吧？那还有我们可以用它的对面这条边，对面的直角边， 对面的直角边除以零边，对吧？它可以等于多少？减二三，对不对？也就等于三分之二三，对不对？哎？它我们把它命名为正切， 我们用 tan 来表达，那我们就可以写成为 tan， a 等于三分之二三。哎，这个 就是我们所说的锐角三角形的三个函数，正弦与弦一切，对吧？哎，它不同的度数，然后它的值都是不同的，对吧？哎，那我们再看一下， 我们这是三十度，对不对？哎，假如我这个三角形，它是，它这个角 是四十五度的话，它会等于多少呢？ 对吧？一个四十五度角的三角形，它的它的正弦与弦正切会等于多少？四十五度角， 那我们知道四十五度角，那这个角肯定也是四十五度，对不对？它是直角对不对？那它为一的时候，它这条边肯定也为一，对不对？而且它用勾股定力，那它肯定会等于根号二，斜边会等于根号二，对不对？那我们就知道三， 四十五度角对不对？它会等于一除以加上二，也就是二分之，加上二对不对？ 那 c 方程四十五度角，它会等于多少呢？也是用这条零边除以它的斜边等于加上二，也会等于二分之，加上二对不对？那它的正切方程四十五度角，它又会等于多少呢？ 它是等于对面这条边对不对？除以它的零边就等于一，除以一就会等于一对吧？ ok， 那 我们知道这个之后，我们再来看一下，对于一个六十六十度的角， 那它会是多少呢？假如我现在这个角有点不像，是吧？再来画一下 六十度的，这个是六十度的角对不对？那我们知道这个六十度的角，这个是三十度的角。哎，根据我们刚刚在这里讲解了他，假如这条边为一的话，三十度，对面这边为一，那到这里就会等于二对不对？这条边就等于根号三对吧？ ok， 那 我们这个时候相应六十度它会等于多少呢？六十度也是用它的对面这条边除以斜边等于加三，除以二等于二分之加三对不对？好，那它的 cosine， 它的也余弦会等于多少？ cosine 六十度 就是用它的零边除以斜边等于二分之一，对不对？那它的长短 六十度呢？它会等于多少？反正呢，用它的对面这条边除以它的零边等根号三除以一就会等于根号三对吧？好，这个东西一定要记住哦，我们经常会用。好，那我们可以用个表来表达一下， 我们这里是正弦对不对？然后我们这里是正弦余弦， 还有正弦对不对？这三种对不对？正弦是什么？用的符号是 c i n s i n， 余弦余弦是 cosine， 所以 用 cos 来表示，正弦用 tanning 来表示，好吧， 好。当这个角度为三十度的时候，它的正弦三十度等于多少？ 二分之一，对不对？余弦三十度会等于多少？二分之减到三，是吧？那他的正弦呢？等于三分之减到三，对吧？当他为四十五度角的时候，他的正弦为多少？ 正弦为二分之二，对吧？它的余弦等于多少也会等于二分之二，那它正切呢？会等于一，对吧？当这个角度为六十度的时候，那它的正弦会等于多少？ 它的正弦会等于二分之？根号三，对吧？ 它的余弦呢？它就会等于二分之一，对吧？它的余切，它的正切正切就会等于 减号三，对吧？好，那我们看到这个之后， 我们发现个什么规律？正弦随着角度越大，对吧？它的值也越来越大，对不对？你看它的，嗯， 分子由一变成二，再变成二三，对不对？而余弦它正好相反，它随着角度越大，而它变得越来越小了，对吧？ 那这一切也是随着角度越大，它越来越大，对不对？所以这个要记住，而且你最好把这张表默念于胸，就是把它背下来，往后考试的时候经常用的哦。

好，我们继续来讲解专为无锡高中的小伙伴定制的三角函数系列讲解，这是第四道题型，我们一起来看一下已知函数 f x 等于这样的一个表达式， 那么要说明 f x 图像是由 y 等于三幺 x 经过怎样的变换得到的，那么要想知道它是通过 y 等于三幺 x 怎么样变换，你首先你得把这样的一个表达式重新把它表达出来， 那么相比于前面的视频，我们会发现在这个题目当中，它没有出现了二倍角，也没有出现 sin 平方等等，所以我们反而出现的是 sin x 加六分之 pi 这么一个值，所以我们需要对它进行展开。 好，我们来写一下 f x 就 等于四倍的 sine x， 那 么里面就变成了 sine x 乘以 cosine 六分之 pi， 我 们直接把 cosine 六分之 pi 呢变成二分之根号三，然后再加上 cosine x 去乘以 cosine 六分之 pi， 那 就是二分之一， 然后再减去根号三，接着我们继续沉进去，我们就会发现它等于二根号三 sin 平方 x， 然后再加上二倍的 sin x 乘以 cosine x， 再减去根号三。好，写到这步之后， 是不是很熟悉这个地方又出现了三亿平方，又出现了二倍的三亿 x 乘以口三 x， 所以 我们还是要回归到用二倍角公式来进行化简，经过化简之后，就变成了二倍的三亿二 x 减去三分之二， 那这个就是我们 f x 的 一个表达式，那接下来他说了这个表达式是由 sign 二 x 怎么样变换的呢？很显而易见呢，当我的二 x 变成二 x 减三分之派的时候，我是不是要左右平移？我们有平移的口诀，我们知道左加右减这个地方是减，很显然是左加右减，向右平移。那应该是 sign 二倍的 x 减去多少呢？乘以二之后变成三分之派，显然应该是减去六分之派， 这样就可以变成 sine 二 x 减去三分之派了。那我们知道左加右减，所以它首先第一步可以说向右 平移了六分之派个单位。那么平移完之后，得到这个式子之后，跟我们最后的这个式子发现外面还有个二，那么这个二影响的是谁呢？影响的是它的纵坐标，我们再次把所有的纵坐标 扩大为原来的两倍，于是就变成了二倍的 sine 二 x 减去三分之二。好，这个是我们的第一小问。接着第二小问里面出现了 g x 等于二分之一绝对值， x 加六分之二，加上后面的也是一个绝对值，要求 g x 的 值。显而易见，你要求 g x 的 值，你一定是要把 g x 的 表达式把它给表达出来。我们第一步一定是首先先去带一下我们的 f x 加上六分之 pi， 咱们直接带到这个式子里面去，它等于二倍的 si 二括号 x 加上六分之 pi， 再减去三分之 pi。 好， 我们继续等于二倍的 si 二 x 加上六分之二，也就是三分之一，加上三分之一，又减去三分之一，不就没了吗？ 那就直接变成二倍的 sine 二 x 了。好，同样的，我们也是 f x 减去十二分之派。我们一样的代下，等于二倍的 sine x 减去十二分之派，再减去个三分之派。然后就等于二倍的 sine 二 x 减去二分之派，那么这样我们再次化简一下，就变成了负二倍的 cosine 二 x， 好，那接下来我们就带入到 g x 的 表达式里面去，就变成了二分之一绝对值，我们第一个是二倍的 sine 二 x 的 绝对值， 再加上二分之一，再来绝对值是负二。 cosine 二 x 绝对值，好，因为绝对值，所以负号和正号没有任何区别，所以直接把负号拿掉，并且把这个二分之一乘进去，结果就等于 cosine 二 x 的 绝对值好了。到了这步之后，会有一些同学不知道该怎么去求它的值域，我们要求值域，实际上就相当是要求它的最大值和最小值，所以这个时候该怎么做呢？我们直接进行开根号，里面直接是平方， 平方完之后就变成了 sine 二 x 的 平方，加上 cosine 二 x 的 平方，再加上 二倍的 sine 二 x， 乘以 cosine 二 x， 再来个绝对值，好，这个时候我们就会发现左边这一长串它就是一，所以它就变成了 g x， 等于根号下一加上二倍的 sine 二 x， 乘以 cosine 二 x 的 绝对值。好，我们再次化简，就变成了一加上，这个地方不就是 sine 四 x 吗？所以是 sine 四 x 的 绝对值 好了，到这步之后就基本上可以做出来了。我发现最小值什么时候最小呢？很显然绝对值呢，不可能是小于零的，最小就是零，所以他最小值自然就是一了，而最大值不管是怎么样，他总归是一个撒硬的图像，这个的最大值一定是一， 所以里面就是根号下一加一等于二，所以是根号二，所以他的值域就变成了一到根号二。