长沙八上数学几何综合

今年长沙八上期末数学压轴题啊，就考三道，年年压年年中，考前两会一道直接拿高分，没有压轴题资料的打数学公益发给你。 一类是代数的新定义，会结合分式、方程、因式分解来考，一直都是高频考点。第二道是三角形的综合题，这是这学期的重点，核心考点是全等三角形的判定与性质等，要知道三角形的性质这些别混淆了。 第三类就是代数几何综合题，今年大概率上难度，但是计算细心一点也能拿满分。考前孩子们一定要多练这些题，对应的专题资料都整理好了，留下数学抓紧拿去做。

八上的宝子们，福利来了，一个视频帮你搞定一个八上代数与几何的综合题，今天来给大家分享等腰直角三角形与弦图的问题。 在平面直角坐标系中， a 点坐标为负四零， b 点的坐标为四零， c 点的坐标为零四三角形 e、 d、 c 是 以 d 点为直角顶点的 等腰直角三角形点 d。 在 x 轴上运动的时候，当 d 点的坐标为一零时，要求一点的坐标，因为三角形 c、 d 一 是一个等腰直角三角形 d、 c 等于 d 一 角 c、 d 一 等于九十度，同时还有角 c、 o、 d 等于九十度。 根据角度互余的关系，可以求得角 d、 c、 o 等于角 e、 d、 o 等于角一，又已知 d、 c 等于 d 一， 这样的话就出现了等一线异角的问题。如果我们过一点作 x 的 垂线的话， 垂直为 m 点，可以证明三角形 o、 c、 d 全等于三角形 md 一 有全等可以得到 o、 d 等于 e， m 等于一， o、 c 等于 md 等于四，所以 e 点的坐标为负三负一。 接下来我们来看第二问，如图二点 d 在 线段 o、 b 上运动的时候，连接 a、 c、 b、 c 连接 a 一 并延长与 y 轴交于 p 点， 要求 p 点的坐标为多少。三角形 c、 d、 e 是 一个等腰直角三角形。当 d 点在线段 o、 b 上运动的时候，那么 d 点会带着 e 点也一起运动。 如果我们能够找到一点的运动轨迹，就能够确定出 p 一 点的坐标，因为 d、 c 等于 d 一 角 c、 d 等于九十度，又一只角 c、 a、 d 等于四十五度，那么 a、 d 就 与等线段 d、 c、 d、 a 共顶点 d。 我们这就是一个等线段共顶点的模型，我们要旋转来构造手拉手的全等。这里我们就过 d 点作 d， a 的 垂线，交 a、 c 的 延长线于 m 点， 那么三角形 a、 d、 m 也是一个等腰直角三角形，两个等腰直角三角形共顶点 d。 有 手拉手的全等可以证明三角形 m， d、 c 全等于三角形 a， d、 e。 有权的可以求得角 m 等于角 d， a 一 等于四十五度，所以一点在经过 a 点与 x、 o 的 夹角等于四十五度的直线上运动，所以 p 点坐标为零负四。 接下来我们来看第三问，设 e、 d、 c 的 边， e、 d 与 y 轴交于 g 点， c， e 与 x 轴交于 f 点。当 d 点在线段 o、 b 上运动的时候，并且满足 eg 小 于二分之一倍的 e， d。 在 线段 d 上取一点 h 点， d， h 等于 e， g 连接 h， f 交 x 轴于 q 点。下面的结论 e， c， g 等于两倍的 f， h。 三角形 q， g， h 为等腰三角形，其中只有一个结论是正确的，要判断正确的结论，并且写出证明的过程，那我判断结论二是正确的。因为三角形 c、 d、 e 是 一个等腰直角三角形 d， c、 d、 e 等于九十度，角 c、 o， d 也等于九十度，那么通过角度互余的关系可以求得角 d， c、 g 等于角 e， d、 f 等于角一，又已知 d， c 等于 d， 这样的话就出现了等一线异角。如果我们再构造出第三个等量的条件的话，就能够证明三角形的垂线，它叫 x、 o 与 m 点。 所以可以证明三角形 g、 c、 d 全等于三角形 m， d。 有 全等可以得到 g， d 等于 m 一， 同时还有 dm 一 等于角 c， g， d。 因为 dh 等于 e g， 那 么 e h 就 等于 e g 加上 g h， 也即是等于 h d 加上 g h 等于 g d， 所以 em 等于 e h。 有 一只角 dm 等于九十度， 角 c d 等于四十五度，所以角 m e f 也等于四十五度。 em 等于 h e f 等于 e f， 那么它们的夹角还相等。所以三角形 e f m 全等于三角形 e f h。 可以 得到角 fa 一 等于角 f h 一， 这样的话就可以证明角，这样的话就可以证明角 fa 一 等于角 f h 一， 所以三角形 q g h 就是 一个等腰三角形。这道等腰三角形与弦图的压轴题我们就搞定了。

今天预测一下长沙初二期末数学必考的两道大题啊！年年必中的分别是代数新概念和代数几何综合。为什么敢这么准呢？因为往年各名校的升利卷啊，都是考这两种， 考前把它们练会了就能够多拿二十四分了。为此呢，我专门从一百道真题里面精选了二十道出来，都是这两种题型啊，参考价值很高！想让仔仔这次冲击班级前三的领取口令，初二我公益发给你！

好，各位同学，今天我们继续来讲解初中数学必考题型几何多结论问题。那么这道题目呢，是咱们八年级数学期末考试的压轴题，考察了角平分线的性质等，边三角形的性质等， 所以综合性非常的强啊，是咱们期末考试的重点与难点。好，我们一起来看这道题目。如图，在三角形 abc 中，角 abc 的 角平分线相交于点 o， 好。 看到这里，马上想到了是双内角角平分线模型， 好 i、 d 过点 o 与 b、 c 相交于点 d， 好， 同学们，我们一定要学会能够边读题边得出相应的结论啊， b、 o 和 c、 o 是 两条角平分线，那我们知道啊，三角形中三条角平分线是相交于一点的，而且呢，我们有两条角平分线，是不是就可以判断出它的角点了？而现在 a、 o 这条 a、 d 这条直线也过点 o， 说明什么？ 说明 a、 d 也是三角形 a、 b、 c 的 角平分线啊，也就是这三条角平分线是相交于点 o 的 好！以 i、 d 为边，向两侧做等边三角形 a、 d、 e 和等边三角形 a、 d、 f。 好 马！想到等边三角形的性质啊，三线合一，分别和 a、 b、 a、 c 相交于点 g、 h 好若角 b、 a、 c 是 六十度，好角 b、 a、 c 是 六十度，好，我们这里标个小角啊，那么角一就等于角二等于三十度好， ab 等于 a， b、 c 等于 b， a、 d 呢？等于 c 好！让我们判断下列正确的是哪个好。第一个，角 b、 a、 o 等于一百二十度，好。刚刚咱们说啊，是不是双内角角平分线模型，那么角 b、 o、 c 我 们可以直接利用结论，就等于九十度加二分之一角 b a、 c 好，等于一百二十度，它是不是非常的快？好，当然了，你还可以呃，直接去推导啊，推导的过程咱就不说了啊，这前面已经讲过了啊，非应该非常的熟练了啊。好，所以第一个正确的啊！ 第二，三角形 a gh 是 等边三角形。好，那现在我们已经知道了啊，在三角形 a gh 中好，已经有一个角是六十度了哎，角 gh 等于六十，那么等腰 加一个六十度，是不就是等边？所以现在咱们至少要再判断出来一个六十度，或者说再判断出来它是一个等腰。好， 题目中还说等三角形 a d， e 和三角形 a d， f 还有都是等边三角形啊，两个等边，那么我们可以得到 a 一 是不是等于 a d 啊？好， a g 也等于 af， 好， 再来， 那角一和角二都是三十度啊，角一 a d 是 六十度，六十度减角一，那么这个角三是不是也是三十度？好，同理，这边角四也是三十度。好，角一和角 f 是 不是也相等呀？都是六十度，所以你看啊，在这个两边的这两个三角形中， 是不是可以判断出来他们两个全等呀？利用 a s a 好， 正出全等，所以我们就可以等到啊， a g 等于，哎，是，好，那么等幺加六十，那是不是个等边呀？所以群二也是正确的啊？好，第三就更简单了， d g 等于二分之一 c， 好， 我们观察到啊， d g 是 在 r t 三角形 i g d 中 啊，不对，好，为什么它是 r t 三角形啊？因为角一等角三是不是三十度，它是 a g 是 个角平分线，而又因为它是等边三线合一啊，所以 a、 g 是 角平分线，也是高线，那么就是直角啊， 角一是三十度，好，我们说直角三角形中三角三十度的对边是斜边的一半啊，所以，那么 g、 d 就 等于二分之一 a、 d 好， a， d 等于 c， 所以 是二分之四，三 d 三，完全正确， 好，第四，三角形 abc 的 面积。好，由于我们得出来了啊， a、 g 和 a、 h 都是两个等边三角形的角平分线啊，所以，那么角 a， 那 么 d、 h 垂直 a、 c， d， g 呢？垂直 ab， 所以三角形 a、 b、 c 的 面积我们直接求，求不出来，可以间接去求啊，就等于我们把它分成两个小三角形啊，三角形 a、 d、 e、 b 和三角形 a、 d、 e 四，那么这两个小三角形的面积我们是不是可以巧出来了？ 好，三角形 a、 b、 e、 d。 左边这个小三角形，我们可以把 a、 b 是 不是看作底边，那么 g、 d 就是 它的高， 好，右边三角形 a、 d、 g 中啊， a、 c 就是 它的底边， d、 h 就是 它的高，好，那么 d、 h 和 d、 g 啊，都是相等的，等于二分之 c。 好， 我们再把 a、 b、 c 往里面代入啊，代入之后好写到上面。 等于二分之一 a 乘上二分之一 c， 好，整理一下，就等于四分之一 a， c 加四分之一倍 c， 也就是四分之一倍的 a 加 b 再乘 c。 好， 所以圈四不正确啊，好，正确的选项应该是一、二、三，也就是选 d。 好， 各位同学，你听明白了吗？可以给老师点个关注啊，我们下期再见！

长沙八上期末考数学最难的两个题就是二十四题的代数心力和二十五题的几何综合。根据往年命题人出题逻辑呢，这两类题一定是用来筛选尖子生的。但我把往年长沙各名著试卷都看了一下，发现一个很常见的规律， 就是每年虽然题考的不一样，但是题型啊，都是相同的。因此呢，我从五百道题里面精选了七十七道出来，对崽崽这次考试来说，都是一些具有代表性意义的题啊，含金量非常高。那这次期末考想要冲击班级前三的崽崽，你打八上，我公益分享给你。

啊，这是二十三题，好，咱们看看二十三题，二十三题呢，这个题呢？首先呢，在这个里面啊，它是一个几何图形， 说 a c 等于 b c， 我们说 a c 等于 b c， 看这里啊，所以这个三角形是个等于三角形，对不对啊？ a c 等于 b c， 然后 a 的，哎，这个是个直角啊， a 的垂直于什么 b 啊，垂直于底边，然后呢， cg 呢，又是个平衡线，我们知道等幺三角形，三线合一啊，所以它下面也是也是个高。然后还有 a d， b 等于 acb， 我们说 a d， b 是这个角 等于 acb 啊， acb 是这个顶角啊，是这两个角相的。好了，那我们知道这些角相的以后呢，我们就看一下，他说一点是 ac 的终点，一点是 ac 的终点，那然后求证 a 的等于 cf， 那一点四的终点，求证 a 的等于 cf， 我们一般来说呢，要正边相等就要正全的，是吧？那一点是个终点，我们就知道，在 第一问里面的证明里面啊，因为一四 s 的终点啊，所以我们知道就知道什么呢？ a 一等于十一，是吧，也知道一条边了，然后我们知道一个这个角，那么 a 的要等于四 f， 我们还要知道一个角，还要知道一个角，那么这里面有什么角相等呢？这里面的角呢，我们就知道有个对应角相等啊，是吧，要角 多一 a 要等于叫 cf， 因为我们要证明这两个变相等，实际上是要找全等啊，这里面最简单的全等就是两个左右，两个上行就是 a 的 一和，你看啊， a 的一和，这个四 f 一，那左边是 a 的一，右边是四 f 一啊，全部就全等了，所以呢，我们知道这个对应假相等，然后接下来我们思考一个问题，什么呢？这个是类，这个思维的估计是什么？就是我知道假相等了，这个 a 和是 ef， 他们相等，还有一个角，那么这个角应呢？在什么位置呢？ 在我们的这个对应的位置，你比方说因为角的 ae 加角 cag 等于九十度，对吧？这是一个直角吗？然后呢，角 cag 加角 acg 也等于九十度，是吧？这是根据题目条件的，所以我们就知道角的 ae 等于角，这个 acg 好，那么知道有角相等，有边相等了，所以我们就知道三角形全等了，所以三角形 a 得一，全等于三角形 cf 一，那么这个是用的是脚，脚脚边好，那么对应的脚和边向等呢？就有对应的这个边向等啊，对应的三角形全等，就有对应的脚和边向等，所以 就做完了第一问，那么第二问，我们看一下，他如果说 b 的等于二，那如果说 b 的等于二求 bf， 那这个怎么求呢？我们知道几点是个中 终点，是吧？因为什么呢？机为这个 ab 的终点，然后呢，角 cgb 等于角的 ab 啊，等于九十度，所以我们说 cg 平行于 a 的，然后呢， gf 为 b 的的终点，那么我们就知道啊，德 f 等于二分之一 b 的，它是个中文线吗？平行加终点是中文线啊。第三个，若司机等于呃是一等于五，求 a 的加 b 的，你说 cg 等于五求 a 的加 b 的啊，这里呢，我们就直接可以打个角啊，因为他要求 a 的加 b 的，我们前面已经知道了 fg 等于二分之一 a 的，对不对？其实我们可以猜想一下 啊，如果你要求逼得呢？那个逼得呢？应该是 cf， 我们只要只要证明 cf 等于二分之一逼得就可以了，就是证明这个打问号的地方啊，那现在我们怎么挣呢？我们只有一个角的关系没有用，所以我们就 用这个角的关系来正就可以了。前面呢，我们知道这个角，我们设这个一般是设角，这个 acb 等于二二法等于角多，对不对？所以这是二二法，那么这就是二法，这就是二法。 然后呢，我们知道什么呢？这个三角形啊，你看这对定角对左脚相等吗？那我们知道，从这个小的方法来看啊，我们前面知道什么，这个是二尔法，那么这个角是不是九十五角二法，所以呢，我们就知道什么呢？在这两个角里面，我们知道， 嗯，这个角是阿尔法，因为这个角是九十度角阿尔法，所以这个角也是阿尔法，也就是说我们知道角多 a 要等于角 acg， 这个前面正过的。 然后又因为三角形多 aecb 啊，就是多 aa 和三角形 acb 中，我们知道他有一个八字模型，所以我们就知道什么角得 a 一，又等于角 角 cb 一，所以那个角 acg 就等于角 cb， 那就是说角 acg 等于角 cb， 那么这个角就是 f， 所以我们就有什么呢？对应变相等，就是 bf 等于 cf， 那 bf 等于什么呢？又因为这个 bf 等于 b 的的一半，所以呢，所以这个 cf 就等于什么 b 的一半。在这个里面呢，我们这个地方啊，他可以直接可以写结果， 在这个里面呢，写出 a d 加 b， d 的值就应该等于，所以 a d 加 b、 d 的值要等于两倍的 f， g 加两倍的 cf 就等于二乘以五等于四，其实就是用一个终点来做。另外呢，第二个题呢？第二个部分啊，就是正这个逼得的关系的时候呢，我们是用的一个角，所以这个题还是有一定难度的。

好，各位同学，今天我们继续来讲解初中数学几何必考题型，截长补短。好，那么今天这道题目呢，是之前期中考试的一道真题，考察的就是截长补短这种辅助线的做法， 但是截长补短这种方法，很多孩子从开学开始学，到现在马上快期末了，仍然对这种方法存有疑问 啊，不知道他的整个的做题步骤是什么，怎么去分析的好，好，那么今天老师就以这道题为例啊，再具体的讲解一下截长补短的方法。好，好， 首先截长补短啊，他是包括两种不同的方法，一个是截，一个是补。好，那什么情况下会用到截长补短呢？好，一般就是在题目中会出现这样的式子啊啊，让我们 表达出来这三条线段之间的数量关系。好，有的呢，是已经给出来这个数量关系了啊，一，一条线段等于另外两条线段之合，那么你只要看到这种形式的啊，就要往截长补短上去靠拢了啊。 好，怎么去截呢？就是在一条长线段上截一条短线段，使它剩下的线线段与另外一条短线段相等。 而补的方法呢，就是延长一条短线段。延长到什么程度呢？延长到和长线段相等。 好，那么我们只需要去证明你延长的部分与另外一条短线段相等即可。好，我们来看这道题目啊，在三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 d、 e 中啊啊，它们两个都是等边三角形好，看到这里，两个等边共顶点，所以马上就想到了手拉手模型。 好，所以第一问是不是就解决掉了啊？ s a s， 老师就不再具体的讲解第一问了啊，非常简单。好，第二，连接 a e p。 好， 老师就用实线了啊，用等式来表达出来这三条线段之间的数量关系，我们先把这三条线段找出来啊，一个是刚刚我们连接的 ap， 还有一个是 pd， 好， 还有 e p， 那么这是一个非常典型的截长补短的方法啊，那么这道题目呢，既可以截，也可以补。好啊，那今天老师呢，就来讲解截的这种方法。好，课下你再去思考一下补，怎么去补啊？好，首先在长线段上去截取一条短线段。 好，那在截取之前，我们是不是要先找到哪一条是长线段呀？好，这个时候我们不一定找的非常非常准确，但是大致的能猜测出来这三条线段是不。我们观察到 e p 是 较长的线段呀，好，那么我们就是要去证 e p 等于 a p 加 p d。 好， 接下来就是在长线段，长线段就是 e p 啊，我们在 e p 上去截取啊，截取一条短线段 啊，截取 p h 等于 pd。 好， 那么接下来只需要证明剩下的这一条线段，剩下的线段也就是 e h。 好， 与另外一条短线段相等，另外一条短线段就是 ap。 好， 只需要证明这两条线段相等即可啊， 好，证明线段相等，我们还是老套路，是不是政权等。 好，那么我们观察到啊， e h 是 这一条线段呢，它不存在于任何三角形中。好，我们既然截取了这个 ph 等于 pd， 此时我们连接 d h 去看一看啊，好，连接之后就形成了一个三角形 e h d。 好， 我们来看一下 ap 存在于三角形 a p d 中。好，我们观察到这两个三角形呀，是不是非常的相似？ 好，那它们两个有没有可能全等呢？对不对？好，如果我们能证出来它们两个全等，那么 p a 是 就等于 p d 了。好，我们先来看已有的条件啊，其中有一条边是相等的啊， e d 等于 a d， 因为三角形 a、 e、 d 是 等边三角形好，接下来就没有别的条件了啊，没有别的条件没关系，咱们说，哎，往前面去看啊，往第一问上去看，我们每道题不是孤立存在的， 看每道题，看第一问的条件。好，三角形 b、 a、 d 和三角形 c a、 e， 我 们正出来了，全等，那么有全等就可以得到对应边相等好，角一角一就等角二好，到这里还不够。 我们说手拉手模型里面呀，最常出现的还有一个八字形，那么这里面有没有八字形呢？好，假如说这个焦点是 o， 我 们观察到三角形 a、 o、 e 和三角形 d o e 是 不是就是八字形好，角一等，角二 好，还有对顶角等，对零角好，那么这两个角是不就相等呀？好，假如这个角是角三，那么我们就得到了角 e、 a、 o 是 不是就等于角三好，而角 e、 a、 o 是 六十度，所以角三就是六十度，角三是六十度，而三角形 p c， p a 是 d， 等腰加六十度，是不就是等边好，它就是等边三角形好，接着我们就可以得到 一 h d 就 等于 p d 好， 那么就有两条边了啊，那它们的夹角如果再相等，是不是就可以用 s a s 了？看它们两个的夹角 好，由于它是等边，那么这个三角，这个角 p、 d、 h 是 六十度好，而这个角 a、 d、 e 是 不是也是六十度？好，那这样的话， 同时减去中间的公共的角好，外面两个小角是不是也相同了？刚好是这两个三角形的夹角啊，也就是角 e d h 等于角 a d p 好，所以咱们就证出来了啊，三角形 e h、 d 是 全等于三角形 a p d 的， 那么全等，所以对应边相等啊啊， e h 就 等于 a p 好，接下来我们只需要等量代换一下是不就可以了？好， e p 本身呢，它等于 e h 加 p h 好， 而 e h 呢，我们挣出来它等于 a p 了，而 p h 呢，我们是让它等于 p d 的 好，所以这道题目是不就做出来了，一 p 等于 a p 加 p d 好， 这个是结的方法啊。好，当然还可以去补啊，补的话就是在一条短线段上延长啊，延长，一条短线段延长到什么程度呢？延长到它和长线段相等， 好，补的方法，老师给你留个口，作业啊。好，今天这道题目我们就点个关注啊。好，我们下期。

一次函数与几何图形综合。今天我们接着学习第三位，上一期视频中已经带领大家分析过题目了，我们知道这一题共有四种图可画，分为两种圈的情况，左边为一种，右边为一种。不管哪一种，我们都需要取出公版本的长度，从而确定 p q 的 坐标。那么接下来我们就一起学习如何写出解答过程。 题目问在外一组上是否存在点 q， 使它们确 no。 那 么只要题目本是否存在的，我们首先应该回答它存在还是不存在。通过之前的分析，我们知道它是存在的，所以我们应该先写上存在满足条件的 p q。 那么接下来这是如何求解了？我们都知道我们第一遍要完成的是求出 o m 长度，那么 o m 长度怎么求呢？好，题目告诉我们和长度有关，那我们都知道 o a 它是四， o b 是 三，那这是一个直角三角形啊，因为左半角这一收直角，根据勾三五四选五，也就是我们的固定里，从而求出 ab 的 长度是五。 好， ab 的 长度是五了，那接着我们怎么求 o m 呢？我们知道题目还告诉每个条件说 o m 垂直 ab， 那 既然 o m 垂直 ab， 所以 o m a 这里它是一个 直角，也就是九十度。那么我们的面积除了用四乘三处呀，我们也可以用斜边，斜边也就 ab 看作是底，它的 o m 看作是高处呀，也能求，那所以我们的四乘三处呀，其实就是五乘 o m 处呀，那么从而得到 o m 长度是不分之十啊！ 好， o m 就 出来了。那么接下来该怎么做呢？我们前面说了，因为我们这里是有直角，所以说我们的三角形如果想全等的话，那另外一个三角形也得是一个直角三角形，从而确定我们的直角。好，来看一下之前的前面两种图，如果说三角形 o m， p 全等于三角形 p q o， 那我们就能得到什么呢？就能得到我们的 p q 就 等于我们的 o m， 也就是五分之十啊， o m 如果有五分之十啊， p q 就 五分之十啊，那么 o m 如果有五分之十啊， p q 就 五分之十啊。好，那一旦 p q 知道了，那就好办了，为什么呢？我们就能知道 p 点的横坐标是多少啊？ p 点的横坐标是负五分之十二或五分之十二。好，那 p 点横坐标知道，总求出 p 点的纵坐标呢？别忘了我们之前说了， p 在 哪一条线上？ p 在 直线 l 上，在直线 l 上，我们只需要把这个横坐标代入这个函数关系，就能取出来了。 所以说我们可以把负五分之十二代入这个函数关系，求出 y 的 值，或者说我们把五分之十二代入函数关系，求出这个 y 的 值， 所以 p 点坐标我们就能取出来了。好，这是我们的前面两种情况，那么还有就是我们的另外一种权重，就是三角形 omp omp 全等于三角形 oqp 的 这种情况，那这种情况我们又能得到什么呢？之前我们说了， om 长度是五分之十二，那么由于权重，我们就可以知道它等于 oq， 说明 oq 也等于五分之十二， 那 oq 等于五分之十二，所以那么 q 的 纵作表我们就知道了。所以我们可以知道 p 点的纵作表其实就是负五分之十二或五分之十二。 好，那接下来怎么求 p 点坐标呢？我们都已经知道 p 的 纵坐标了，那横坐标怎么求？和前面一样，我们的 p 在 哪一条线上？ p 在 直线 l 上，所以我们只需要把这个纵坐标，也就是 y 的 值带进去，从而求出 x 值就可以了。 注意了啊，此时的五分之十二和负五分之十二是 y 值，那么带进去可以求出对应的 x 的 值，所以 p 点的坐标我们就求出来了。那么综上所述，我们可以求出四个 p 点的坐标。

八上的宝子们，福利来了，一个视频帮你搞定一个八上代数与几何的综合题，今天来给大家分享手拉手构造与四十五度角应用的问题。 在平面直角坐标系中， a 点为 a 零， b 点为零 b 以 ab 满足， a 的 平方加 b 的 平方加八， a 加八， b 加三十二等于零。 那么根据这个 ab 的 关系式，我们可以求得 a 等于负四， b 等于负四，所以 a 点坐标为负四零， b 点坐标为零负四。接下来我们来看第二文。一点为线段 o b 上的一点连接 a 一 过 a 点作 a， f 垂直于 a 一， 并且 a、 f 等于 a 一， 那么三角形 a、 f 一 就是一个等腰直角三角形，连接 b f 交 x 轴于 d 点。若 d 点的坐标为负一零，要求正一点的坐标 等线段 a、 f， a 一 共顶点 a， 它的夹角角 fa 一 等于九十度，是一个定角， 同时 ab 与等弦的共顶点 a， 并且还有角 ab 一 等于四十五度，那么这样的话，我们就要构造手拉手全等，所以要过 a 点做 ab 的 垂线， 它将 y 轴与 m 点，然后连接 f m， 那 么三角形 b a、 m 就是 一个等腰直角三角形 三角形 e， a、 f 也是一个等腰直角三角形，两个等腰直角三角形共直角顶点 a 点，那么必有手拉手的全等。所以可以证明三角形 a、 f、 m 全等于三角形 a、 f、 e 有 全等可以得到角 a m， f 等于角 a b e 等于四十五度， f m 等于 b e o 点是 b m 的 中点，因为角 f m o 等于角 d o， b 等于九十度，所以 d o 平行于 f m， 又一只 o 点是 b m 的 中点，那么 f m 就 等于两倍的 d， o 等于二，等于 b 一， 所以一点的坐标为零负二。接下来我们来看第三问。 在二的条件下，如图二，过一点作 e h 垂直于 o b， m 点是射线 e h 上的一点连接 m o 角 m o， n 等于四十五度。 要探求 m n 与 o m 之间的数量关系，因为三角形 a、 o， b 是 一个等腰直角三角形， 角 m o， n 等于四十五度。同时 e、 h。 垂直于 o b， 因为角 m o， n 等于四十五度，角 bo 等于四十五度，角 bo 的 顶角也等于四十五度。这两个四十五度角共顶点 n， 所以可以根据这两个四十五度角来构造等腰直角三角形，那么这两个等腰直角三角形就必定共顶点 n 有 手拉手的相等。过 n 点作 n、 o 的 垂线， 它将 o m 的 延长线于 c 点。三角形 c， n、 o 就是 一个等腰直角三角形，然后过 n 点作 na 的 垂线， 它交 o a 的 延长线于低点，那么三角形 dna 也是一个等腰直角三角形。两个等腰直角三角形共直角，顶点 n 有 手拉手的全等 连接 d， c 可以 证明三角形 n， d， c 全等于三角形 n， a、 o。 可以 得到角 n， d， c 等于角 n， a， o 等于一百三十五度。同时还有 c， d 等于 a， o 还等于 b， o。 因为角 n， d， c 等于一百三十五度，角 n， d， a 等于四十五度，所以角 c， d， a 等于九十度。连接 b， c 可以 证明 d， c、 b、 o 是 一个矩形。 这样的话，角 m， e、 o 等于角 c， b、 o 就 等于九十度，那么 m， e 就 平行于 bc。 又一只 e 点是 o b 的 中点，那么 m 点就是 c o 的 中点，又一只三角形 n， c o 是 一个等腰直角三角形， m 点是斜边 c o 的 中点， 这样可以证明 m n 垂直平分 c o， 所以 m n 等于且垂直 om。 这样的话我们就找到了 m n 与 o m 之间的数量关系和位置关系这道题目，我们就是要通过这个四十五度角来构造等腰直角三角形。有两个等腰直角三角形，共直角顶点，那么必有手拉手的权能。

依然是一次函数应用啊，那这一期的应该是最后一次会出现一次函数应用了，以后就是全都是期末复习了啊，我们一起看一下。某同学用甲乙两种具有恒温功能的热水壶，同时加入相同质量的水，水是一样的，那么甲壶比乙壶烧的快， 当水加热到七十度之后啊，开始维持恒温，在一段时间内，水温 y 与加热时间 x 之间满足一次函数关系。 根据记录的数据画出如下图像，那么图像在这横坐标代表的是什么啊？秒时间对不对？说明他加热的时间 x 以及纵坐标代表的是什么？水的温度 y， 所以 这个地方你看得懂，横坐标，纵坐标。接下来这题就是送分了，那么加热前水的温度是多少？加热前时间为零的时候，水的温度十摄氏度。直接写 问乙，求乙壶中水温 y， 关于加热时间的函数关系式。那么谁是乙壶呢？你看甲壶比乙壶加热速度快，所以乙指的是这个啊，途中也标出来了，那么这条直线的表达是这个我们直接写了啊，这个都比较简单直接，从图中我们可以看出来， y 等于 八分之三， x 加十，好理解吧。当然我这个是怎么算的呢？我直接用这一段纵横笔，还记得之前给大家讲过纵横纵横笔吗？这段等于六十，这段等于什么？等于一百六十，所以六十比一百六不就八分之三吗？所以是八分之三 十是哪来的？是与 y 轴的交点对吧？当然你是解写过程怎么写啊？ y 设 y 等于 k， x 加 b， 然后把这个零十和一百六七十带进去， 解得 k 等于多少？当你实际在解得的时候，你压根不用去算，直接写 k 等于八分之三， b 等于十，然后直接写答案就可以了啊，这就是作弊法 啊，叫合理作弊法啊，考试你这么作弊是百分之百拿到分的啊。下面第三个，当假壶中水温刚好达到七十度时，求雨壶中的水温，那么水温如果假壶达到七十度，我们看此时此刻是多少时间。我们把时间先搞明白吧。 如果我把时间这个时间算出来之后，带到这个 x 带进去，那么此时的温度 y 不 就算出来了吗？那这个时间是多少呢？我们可以看一下哦。多长时间他达到七十度呢？我们可以看到他 八十秒的时候就已经达到五十度了，那么达到七十度是多少秒呢？对吧？你看八十秒他升高了多少度？升高了四十度，也就是说他每秒升高零点五度， 看得懂吗？哦，每秒升高零点五度，四十除以八十吗？那现在他要升高六十度哦，升高六十度，那么他需要多少秒哦？他每秒只升高零点五度，所以六十度是不是一百二十秒，所以他也就意味着他是一百二十秒，这个地方对应的是一百二十，可以理解吧？ 一百二十，当然你我们算这个点标一个 a o， 嗯，这个地方标一个 b， 可以设 ab 的 直线表达式，也把它求出来吧，对不对？也就假在前面加热 阶段，它的这个函数表达式，我们也可以设出来 y 等于 k， x 加 b， 然后很快能够解出来，这个把它带进去零十就是 b 等于十，然后把 k 算出来， k 也好算吧。啊，这个八十函数标是八十八十， k 加 b 是等于五十，所以我们很快能够算出来，这个 k 等于二分之一， k 等于二分之一， b 就 等于十，从而就能得到。 y 是 等于二分之一， x 加十，那此时此刻这个一百二怎么来的呢？另外等于七十 则，嗯， x 能够等于多少？嗯，另外等于七十，那我们就能够得到 x 是 等于一百二十，这个一百二十如果写过程就这么写， 看得懂吗？啊，这当然，你这个地方像，比如说我写完整一点怎么写啊？你像我这样标两个点，是为了方便给你们讲，但实际在写的时候你怎么写呢？哦，甲，在加热的这个 过程当中，这个过程叫保温过程，这个过程叫加热过程。加在加热过程中的函数表达式。加热过程中水温随着 x 的 函数表达式，你把它设出来，对不对？你设甲壶在加热过程中的 水温随时间的函数表达式为， y 等于 k， x 加 b， 看得懂吗？然后带进去，求求出来之后 x 等于一百二，那么接下来将 x 等于一百二十带入带入， y 等于八分之三， x 加十，那咱很快能够得到得， y 就 等于五十五度吧。哎，这个特别简单， 最后答一下就可以了。答，啊，这个地方我老喜欢写这个单位啊，就是我们比如说 x 等于什么， y 等于什么这样的一个式子，后面是不要加单位的啊，就是未知数等于什么东西的时候不要加单位啊。这个小细节要注意一下，有的时候写六了，就容易把这个单位加上啊。 最后打一下，此时一壶中的水温是五十五摄氏度，这个地方单位你是要加上的。好，这个题目就结束了。

长沙初二数学期末压轴题必考题型第一，新定义代数题核心考点是把新定义翻译成熟悉的代数结构，需要熟练使用完全平方、平方差因式分解和等变化等。第二，代数与几何结合的压轴题必须要会设元列式和用代数语言解释几何关系。 第三，几何中级压轴向动点问题结合的分类讨论，直角、三角形和特殊度数的综合常见三角形模型等。那给大家整理了近三年初二数学的压轴题整体和试卷领取口令，初二公益分享给你！

大家好，我是陈哥，跟着陈哥走，数学满分有，对于初二的期末考试同学来说，这种依次函数的几何这种问题会感觉到非常的难啊，很多同学啊，抓耳挠腮不知道该怎么做，这种题真的非常难吗？陈哥今天来帮大家来秒杀他。 好，各位，我们来看一下这一道题目。好，这一道题呢，它是告诉你三个点啊，这也是一次函数几个题中很常规的啊，告诉你这些点，负六多少零，零多少八，还有九多少零。好，那根据大家的这个线段程度，可以知道 a o 是 六， ob 是 八，那 ab 就是 十。 好，他说了一个非常关键点，说了 am 是 平分角 bc， 让你求点 n 坐标。好，所以这个题呢，记住啊，遇到这种类型题都是有两种方法好，第一种方法叫几何法， 几何法好，几何法利用的就是我们前面讲这个角平分线哎，有什么样的性质， 大家想想看。角平分线哎，我们前面遇到这几个题的时候，角平分线题都在想，他是不是有一些常规的辅助线，所以 am 是 角平分线，那他辅助线应该是往两边去做垂直，所以这个题有了一个 mo 是 不是垂直了？哎，那我要做的事情就是往 m 往这个地方去做个垂直， 叫 m h， 哎，垂直 ab。 好， 那 m h 垂直 ab 以后呢？那我现在要做的事，你就算一下，这边用勾股定律算一下，我会知道 a o 是 六，那 a h 也是六啊，因为它们俩相等嘛，那这边的 b h 就是 四。 好，然后我可以去用勾去设字母，就是设什么呢？设 o m 是 x， 那 h m 也是 x， 那 b m 呢？就是八减 x 啊，所以你最后你在 b h m 里面用勾股定律算一下就可以了。 好，所以最后在 r t 三角形 b h m 中，我们会有角四方加上 x 方，等于八减 x 方。 好，然后你自己算一下，我直接给大家报单了啊，算出来 x 应该等于三啊，因为你猜一下三四五嘛，所以 m 点坐标是零逗号三，那 a 点坐标是负六的零， m 点坐标零逗号三。那我可以算一下， l a m l a m 就是 直接报了啊， l a m 算出来是 y 等于二分之一， x 加三啊，再算一下， l b c l b c 是 y 等于负九分之八， x 再加八，最后把它们连接方程，最后解出 n 点坐标， n 点坐标就是，呃， x 等于五分之十八啊， y 应该等于五分之二十四。好，所以这个题呢，现在这个方法叫几何方法。 几何方法的特点就是非常简单，计算也很简单，但是你需要去找这种几何之间的这种辅助线，或者是这种几何之间的联系。所以像这个题，如果你没想到 m a 垂直，那这个题目就做不出来了。 好，当然呢，成哥选的这个题呢，不算特别难，很多同学能做出来，但你对一些啊，比如说这个题是最后到达题的。呃，这个第三问的某一种情况，那很多同学可能就惧怕了啊，所以就不太会做了。所以呢，这种题你是会做的啊，其实想想看，几何的这种辅助线应该怎么弄好？还有一种方法叫 函数方法。好，我们在初二下学期，你们可能会学到叫解析几何。 好，因为现在新教材改革了，所以不知道有的学校会不会讲啊，就如果学校没有讲的话，可能在初三才会学，就是构造函数去解决这种可能是这种几何题，所以这个题为例。那如果说各位同学，哎，你就想老师我这个 角平分线，我没想到这个辅助线，那这个题我该怎么做啊？告诉你两个字，死算。怎么死算呢？其实我只要还是要把 an 的 这个函数算出来，这个题是不是就结束了？好，那 an 这个函数怎么算呢？就是我有一个 a 点，那还我还需要一个点， 那需要的这个点怎么算？那就是你需要用那个结，这个需要用到它上面一些条件了。那 am 角平分线你想想看， b 点是零度号八， ab 是 不是十？哎，角平分线我是不是能想到等腰三角形，所以我可以发现我如果这边做个等腰，这样做个等腰， 哎，也就是 b 点的对称点叫 b 撇点，他们的 ab 撇和 ab 是 相等的， ab 等于 ab 撇长度是不是也是十啊？所以我可以知道 b 撇点坐标应该是 四的毫米。好，大家想想看，那这条蓝色的线和这条我要算的这个红色的线 a n 什么关系呢？哎，这是不是应该垂直的关系啊？哎，所以我可以算出什么呢？算出 b b 撇的这个 b b 撇的终点 啊，我可以算出 b b 的 终点啊， b b 的 终点其实在这个红色线上，然后用终点公式算一下， ok， 两种方式啊，来 b b 的 终点叫 q 吧， q 点是二分之一的横坐标啊，零加四和二分之一重坐标八加零，所以 q 点坐标算出来应该是二逗号四， 哎，所以你把负六逗号零和二逗号四连立一下，你还还是可以得到这个函数呢。是 y 等于二分之 x 加三啊。这个还有一种方法是什么呢？就是用我们讲的一个小球 k 公式啊，我可以把 k b b 撇的这个 k 算出来。 好， b b 的 k 算出来应该是他的两个重，这个纵坐标点啊，就是四零和零八纵坐标点应该八减零除以，对的横坐标点应该是零减四， 所以算出来应该等于负二。所以 b b 撇的 k 是 负二，那红色线跟它是什么关系？垂直，大家知道，两函数如果垂直，他们的 k 相乘等于负。哎，负一，所以 k 红色的线叫 k a n 和 kb 撇相乘应该等于负一。所以得到 k a n 的 这个函数应该是 y 等于二分之一啊，就 k a n 这个是二分之一 x 二分之一，所以这函数可以是 y 等于二分之一 x 再加 b 啊，你要做的事情就是二分之 x 加 b， 这个是 a n 啊， a n 的 函数啊，你要做的事情，把这个负六的话，你往里面一带就行了。最后还是能算出这个东西。 好，各位同学们，这个解，这个解析解的话能听懂吗？所以这种题，其实我就是在死算啊，我就是在死算。 好，所以这个呢，其实没有没有用到什么辅助线，其实想一下 b 的 对称点啊，所以这个呢，我觉得你看 b 撇点这个，其实画不画其实无所谓。 好，所以这个方法呢，解析几何的方法呢？各位同学可以再好好想一想。好，大家自己课后呢？哎，再去揣摩揣摩，再去回顾回顾。好， ok， 我是 陈哥，那我们下一个章节再见！拜拜。