一元二次方程应用题解题技巧亮亮

同学们，我们今天来看一下这道关于一元二次方程的实际应用题。我们先来提取一下关键信息，成本是一百元，售价为一百四，销量是一百，每降低一元，那么就能多卖十件， 总利润为六千，那么我们设降价为 x 元。根据刚刚提取的信息，我们做一个清晰的表格， 每降低一元，那么我们刚设的是 x 四元，也就是说每一百四减掉一个 x， 就是 它降价后的售价，那么对应的能多卖十件。意思就是在原本的销量上面能多卖一十个 x， 总利润为六千，成本不变还是一百。 那我们根据总利润等于售价减成本乘以销量来列式子，售价是一百四，减 x 减去成本一百，再乘以销量一百加十， x 等于六千。 那我们来解方程，这里把等式两边的十约掉，然后把它化成一般式， 使用因式分解法得 x 等于二十和十。因为要尽可能地给客户优惠，所以把十舍去。哇，你真棒，又学会了一道题。

一次同学聚会，每两人都相互握了一次手，小方统计，这次聚会上所有人一共握了二十一次手，则这次聚会的人数是多少？ 体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式，每两只球队之间都赛一场，计划安排二十八场比赛，则应邀请多少支球队参加比赛。 在人群密集的场所，信息传播很快， 某居民小区有三人同时得知一则喜讯。经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有八百六十四人的居民小区中的知晓率达百分之五十。那么，每轮传播中，平均一人传播了多少人？ 有一人患了流感？经过两轮传染后，共有一百四十四人患了流感。问，一，每轮传染中平均一人传染了几人？二，按照这样的速度，三轮传染后，有多少人患了流感？

初三数学期末满分计划今天我们讲英语题，原本计划讲概率的概率难度不大，我们讲整套试卷中的次难点叫一元二次方程应用题，然后模拟卷我们调整到一月二十三号来讲，在讲之前我们快速的过一下这个基础的知识点， 考运气基本上大概就是三类，第一个叫美美问题，第二个是竞争力，第三个是面积问题。美美问题注意事项，第一个要设降价或者升价，因为这样设完之后，这个方程的解相对来说比较小一点，那解的难度会变低。第二个等量关系的话，通常 是定好的，叫单品利用，乘以数量等于总利用。然后写这个单品利用的时候啊，如果孩子们清楚怎么去列，直接列，如果不知道的话，全部把第一个每后面的东西啊化成一份的量。比方说 他说每五啊，每降低五块钱，数量会增加，比如说十二还是多少，然后这个五我们的化成一之后，那我们假设降低 x 后面，这就是 x 乘后面对于一份量的东西。 第三个解法大概率得用十字相乘，当然用十字相乘的这个前提是让这个一元二字方程，它的系数是比较整的，是个整数，然后把首尾分解即可。 书写过程如果写一元次方程的话，那注意最后结果要做一个取舍，结果是个取舍，这个题干中会明里暗里告诉我哪个值会舍弃掉。如果最后啊孩子们列的是个二次函数的话，那二次函数的书写格式可能要求更高， 他得写清楚开口方向，对称轴的位置的值范围，以及当字面量取多少的时候，函数值取的最值，这个最值是最大还是最小 好？第二个是增长有问题，增长有问题，他的公式是固定的啊，永远是增长前的这个 a 乘以一加或者是一减百分之 x 括号的平方啊，等于增长后的，当然这个百分之 x 啊，完全可以设成 x 就 可以。 第二个解法大概里直接就是直接看平方解的易错点就是孩子们的。注意一下到底题目说的是总和还是增长或者降低之后的单一的一个量 面积问题。那思路五或者是等量关系也比较确定，就是整体减空白，或者是直接套用公式就行了。接下来我们看几道这个历年的真题。 第一道是个美美问题啊，前面都是些废话，我们直接跳到这个关键信息上，说经销商以每套十八元的价格一批这个冰箱贴，这个十八是成本价，是进价。结合销售记录发现每若每每套是三十元，是售价 三十元出售，然后每天可售出六十套，如果每降低一块钱售价，每降低一块钱，那平均每天的销售量会增加十套。为了减少库存，好了，这个关键信息要把它标注出来，减少库存，那很可能最后 的结果取舍的时候要考虑这个减少库存这个关键信息，然后经销商决定降价销售，通过计算判断 经销商每天销售冰箱贴利润能否达到八百一十元。如果能写出这个售价，如果不能说明理由， 那我写的时候先假设他是可以的，可以之后啊，他问的是售价，但是刚张老师也说了，要一般要设这个降价或是提高的那个价格，所以啊，我们简单给大家示范一下这个思路。如果是降降 x 元， 那接下来等量关系就是确定了，将单品利润乘以数量等于总利润降了 x 块钱，原来的售价是三十，所以三十先减去 x， 这是实际的售价，实际的售价减去成本，那就是单品的利润，单品的利润再乘以数量，数量本来是 每天可以售出六十套，本来是六十套，因为降价导致数量提升，所以我们是六十加，加谁呢？他说降一块钱增加十套，那现在降 x 块钱，那就增加十 x 套， 所以六十加十 x 是 实际的数量，单品利润乘以数量，结果等于八百一十， 这是等量关系。然后接下来我们这个一二三方程做一个处理，化解之后化成一般式，大概率用十字交叉法来解。那怎么去解呢？当然考试的时候解的过程是不需要呈现的，我们快速的相当于在操作门上给大家展示一下。 首先第一个括号是三十减十八等于十二，十二减 x 乘以第二括号是六十加十二 x 都有个十，所以先给等号左右两边同时除以十，变成六加 x， 那 么等号右边变成八十一， 然后左边我们做一个化解，负 x 和 x 就是 负 x 的 平方，然后十二和 x 是 正十二， x 负 x， 所以 是加六 x， 然后再加十二乘以六等于七十二，等于结果等于八十一，然后两边同时乘一个负一变成 x， 方减六， x 是 七十二减八十一等于负九，乘了个负一之后啊，所以加了个九，结果等于零，特别巧合，这个题啊，它算完之后，你会发现最终的这个一般式，它就是个完全平方，是 x 方减六， x 加九等于零，所以我们解得 x 一 等于 x， 二等于三。 然后接下来没有什么这个难点了，必要的文字说明，把它说清楚，然后答上即可。第二道是去年的这个考试题目，我们直接跳到这个核心内容上，说商场以八十元每件的价格购进这样一个卫衣，售价如果是一百二十元，每天能卖六十件。 这种卫衣如果每降低五元，好，关键性来了，每降低五元，平均每天可以售出 二十件。商场决定销售此位平均每天的利润是三千元，而且是尽可能让利于消费者。关键信息，让利的话，那就是对顾客来说，对于消费者来说，降的越多越好啊。他问的是降价，所以我们直接假设降价是 x， 本来售价是一百二十元，降了 x 一 百二十，减 x 是 实际的售价，再减去成本价，那就是单品利润，单品利润乘以数量，数量平均每天原本是能卖出六十件， 现在降了之后啊，这个数量会增加，所以六十加上。他说每降低五元，售出的是二十件，所以我用 x 除以五，代表有几个二十，所以再乘一个二十，结果让他等于三千， 道理一样，和第一体的这个做法一样啊。接下来就是化解的过程，能能够减变的就减变，不能减变，我们正常化，化解完之后化成一般式，然后用十字相乘码来记这句即可啊。来，赵老师给大家快速的演示一下。首先第一个括号化成四十，减 x 乘以第二括号 是这个五和二十一约变成四，所以我首先给两边同时除以一个四， 变成十五，加 x， 结果等于三千，除以个四就是七百五十。好，再把它展开就是负 x 方，四十乘 x 正的四十 x， 负 x 乘以 十五是负的十五 x， 所以 是加二十五 x， 然后再加了个六百等于七百五。我把七百五直接移到等号左边来，两边同乘一个负一 x 方减二十五 x， 六百减去七百五，等于负的一百五， 然后乘一个负一之后，所以加一百五十，结果等于零。接下来我们用十字相乘来解就行了， x 方前面系数一，所以直接把它拆成一和一。一百五 拆成十之后啊，中间要凑出一个二十五，所以这道题啊，其实难度也不大，就是一百五直接能看出来。一百五把它拆成十和十五， 因为交叉项是负的，所以加个符号，加个符号，哎，交叉一下，我们再验证一下，发现确实如此，是没问题的，所以解得 x 一 呢，等于十 x 二等于十五， 但是题目说了，他是让利于消费者，所以最终我们加入必要的文字说明，然后取这个十五即可，最后把这个过程完善就行了。以上是两道这个美美问题 的应用题。第二类叫竞争力问题，当然这道题目呢，是二二二零二二年的二零二三年的期末的这题，他第一问是个增长率问题，第二问还是个美美问题， 所以这道题啊，没有问题。前面已经讲了两道了，所以我们直接只做第一问即可，因为说某某种品牌的冰箱 进价是两千五，已知该商店去年十月份售出五十台，第四季度那就是十月份、十一月份、十二月份 总共售出的是一百八十二台，问的是商店十一月、十二月两个月的平均利率，这个就是刚说的啊，这个可能有一错的地方， 到底是问的是单个或者叫增长，增长后或者是降低后的量呢？还是总和呢？这个很明显它是个总和，所以我们劣势的话，假设竞争力是 x， 劣势的话就是十月份的加上十一月份就是五十倍的 e 加 x， 然后再加上 十二月份呢，就是五十倍的一加 x 的 平方，结果等于一百八十二。好，这个列方程问题好像不是很大，但这这个题吗，它解的时候好像稍稍有点难度，我给大家也快速的展示一下。首先等号左边有个五十，右边，然后把它移到右边去，变成， 呃，移移到右边，并且把这个五十提出了啊，五十倍的一加 x， 再加一加 x。 括号的平方中，括号等于一百八十二，减五十等于一百三十二， 等于一百三十二，然后把括号里面这个我们给他快速的展开，就五十倍了， 一加上 x， 再加一加二 x 加 x 方，结果等于一百三十二，我们把这个五十给它乘进来，就是五十倍的 x 方，五十倍的 x 方，一次项是有个 x， 有 个 二 x， 所以 总共三 x 乘以五十，就是一百五十 x 加乘数项是二，所以加一百加一百，结果等于一百三十二，然后再把一百三十移到等号的左边来，就是五十 x 方加一百五十 x， 然后减三十二，结果等于零。这个系数里面二次项系数，一次项系数，乘数啊，好像都是二的倍数，所以先给他再除一个二，之后变成二十五 x 方加七十五， x 减十六等于零。 好，写在这块说啊，他的这个一元次方程相对来说也没那么大啊，细实也不能说特别小啊，不是那么大，但是核心是整数的，所以我们依然采用十字相乘法。我们尝试一下啊，把二十五拆成五乘五，负十六， 负十六，我们拆成多少，然后交叉之后，中间是个正的七十五，所以我们设下十六和负一，十六和负一来交叉一下，五乘十六是八十五乘负一正好是负，所以啊，这就把它算出来了，也就说结果啊， x 一 应该等于负的 五分之十六，但这个明显的舍掉 x 二应该等于五分之一，也就是百分之二十。做这道题，第一问就可以把它搞定了， 竞争力问题啊，好。第三个问题就是面积问题，面积啊，相对来说他也是一个非常基础的题目啊，我们也也是了，一样看两道真题。 第四道题说一个长方形的这样一个区域，阴影部分是这个楼体，然后公式型的部分的宽度是相当的。像这些这些位置宽度，整个宽度可都是 x 是 定好了的。 长舍八十 a d 啊，这个宽舍两百，空地的面积是整个区域的百分之七十啊，这就是核心的一个关键的话啊，就是等量关系。 说，假设楼底的宽度是 x， 那 x 应该满足什么呢？这问题我们做的时候最好先猫眼这个选项啊，因为它不是让我们填空，让我们选呢，看一下这个选项之后，总是是八十减减十， a 乘一个两百减十 a 啊，等于多少多少，所以啊，他其实就是直接用了个面积公式来算算的，没有用这个整体减空白啊。所以面积公式的话，我们来看啊，叫八十减去 x 乘以四百啊，两百啊，两百减去，我们感受一下，这是一个 x， 两个，三个四个，所以减去四个 x， 两百等于四个 x， 这样算完之后，其实就是 这个空地的面积了，题目已经说了，空地的面积是整个的百分之七十，所以让它等于 八十乘以两百，再乘以百分之七十即可啊，我们看完选项之后，这道题选 a 选项好。第五道，首先是个长方形，这个长方形的长是二十，宽是十五， 中间保留了三块面积相同，并且都等于四十四的这个积雪活动区，来标注一下，这是四十四，四十四，四十四四啊，三个四十四。 然后这个通道的宽度都是 x， 根据题目的意思列个方程也是一样。我们快速的看一下这个选项，发现它总是啊长和宽来减去 x， 然后再沉起来，所以它也是用的是面积公式，没有一个整体结构嘛。所以我标注一下来，这是 x x， 这也是 x， 四个 x， 横着看是四个 x， 竖着看的话应该是两个 x， 所以 横着就是二十减去四个 x 乘以十五， 我们给它减掉十五，减去两个 x， 就是 整个积蓄区域的这个把它拼凑完之后的这个新的长方形的长和宽，它乘完之后，总面积是一一块是四十四乘以三。 好了，这道题我们列完之后，我们快速的看一下选项，应该是选 d 选项，应该是选 d 选项啊，好了，以上是今天的内容，明天我们继续更新易错题型总结。

这道题主要考核我们对一元二次方程的实际应用，那么此类题型根据近期教育局的对试题的这个改革的方向，那么会越来越加大探索题型以及实际用题型的考察，我们看这道题总结下如何对于实际用的题型分析和运用啊。 有两个人患流感，经过两轮传播后，共有二百八十八人患了这个流感，求第一小问，每轮传染中平均一个人传染几个人？ 第二个是如果不及时控制，经过三轮传染后，共有多少人会患流感啊？那么这个畸形我们就要看一下，那么他思路分析啊， 那么开始阶段啊，开始阶段是两人，两人这个患流感，那么我们是每轮传染中平均一个人传染 x 的 人啊，设为之数是 x， 那 么金龙， 金龙传播，那么两个人就传播了这二 x 的 人，也就是二 x， 那 么金龙结束一龙 结束后，那么总共是多少人？这个患流感呢？就是二加上二 x， 二加 x， 那 么第二种， 第二种就是二加上二 x 的 人进行穿这个 x 的 人，那么就是二加上二 x 乘以 x， 那 么此时二龙结束后， 就是接龙的数字，二加二 x 加上 x 乘以二加二 x， 也就是经过二轮结束后，那么总共换流感的人数，我们将二加上二 x 啊，加上 x 的 x， 二二加上二 x 等于 二百八十八。接一元次方程，那么我们可以提出这个二出来，二的 x 加一加上二 x 的 x 加一 等于二百八十八，那么继续，那么也就是 x 加一二倍的 x 加一的平方等于等于二百八十八，那么通过我们解这个方程就得到 x 等于十亿人啊，因为负十亿人是要舍去， x 等于负十亿人要舍去，因为二百八十八除以二等于一百四十四，一百四十四是十二的平方， 十二 x 加一等于十二，那么推到 x 等于这个十亿人啊，总共是十亿人，那么饥饿我们可以就得到 x 等于十亿人。那么假如如果不及时控制，经过三轮传染后，共有多少人会患流感？ 这是第一问的思路，那么第二问，第二问，我们还是按照之前啊，那么第三轮感染的时候， 他乘以 x 加上第二轮传染的这个人数，我们我们将 x 乘以十一带进去就可以求得，但是讲到这没有完啊，如果告诉你第四轮、第五轮，第七轮，第八轮传染，那怎么办呢？那我们就要分析一下啊，一开始是二啊， 那么接二一轮结束后是二的一加 x 啊，那么二轮结束以后是 二的一加 x 平方啊，那么这样的话，我们就找他出现的规律啊，那么可以设 a n 等于 二的一加 x 的 n 次方，也就是二是奇数的这个人 x 是 平均改的这个人数，一个人 n 就是 这个龙数，接龙接二龙接三龙啊，那么我们如果解 把这个带进去就很简单，那么这二一加十一的三次方啊，等于二的乘以十二的三次方，那么去解这个算术式比较简单就能解答出来。那么通过这个实际运用题型，看到了这个 一二次方程它的这个应用，希望我们在以后的这个学习当中多做实践的题型和数学的运用。

观众大白考满分！今天我们来讲一道期末常考题，工程问题。一条公路长三百六十米，甲乙两只施工队同时从公路的两端往中间铺柏油，甲队的施工速度是乙队的一点二五倍。四天后 这条公路全部铺完。问题是甲乙两对每天分别铺柏油路多少米？这道题是一个工程问题，这道题的难点在解，设 甲对的施工速度是乙对的一点二五倍，是以乙对为标准。我们在设的时候要设乙对 为 x， 假对是一对的一点二五倍，那假对就是一点二五 x。 然后可以根据等量关系列方程等量关系。第一是假对铺的路程，加上乙对铺的路程等于总路程， 根据这个等量关系，我们可以列方程解答。设乙对每天铺柏油 x 米，则甲对每天铺柏油一点二五 x 米。这道题设一个量表示另外一个量求出来乙对的， 再算出来假对的，这是一种方案。第二种方案，用假对每天铺的，加乙对每天铺的乘四等三百六十，也就是用功效和乘工作时间等工作总量， 功效和乘工作时间等工作总量结束结果算出来，乙对每天铺 四十米，假对每天铺五十米。除了这种方法之外，也可以带入字母式求值，用一点二五 x 等于一点二五乘四十，等五十，答的时候不要答错。假对 每天铺五十米，乙对每天铺四十米。这道题一题两解，你学会了吧？感谢收看，为你点赞！记得点赞关注哦！

一个视频带你搞定期上期末必考一元一次方程应用题十五大题型，一老师带你数学轻松上一百 来，加油！小生出孩子的家长们要注意了，咱们孩子是不是应用题，这从小学开始就读不明白题意，到了初中列方程解应用题又找不到等量关系，列不出方程，所以错的是一塌糊涂啊！ 这里也是我们开学分班考一个重难点，那今天我就带着大家把一元一次方程十五大应用题型当中最难的一类工程问题辨析清楚，带你啊，用两个核心公式秒出这类题目的答案，下面呢，咱们就来一起看一下。哎，这道题 说一项工作假单独完成要二十天完成，已单独做要十二天完成。这，这说的是什么事？这个叫做我们说的工作效率， 这一项工作我七天做完了，那我的效率是什么？其实我只需要用天数除以啊，这个天数分之一就是他的效率了， 也就是二十天做完，他的效率就是二十分之一，十二天做完，他的效率就是十二分之一，那是怎么来的呀？我带着大家推导一下。 由于我们所有的工程问题核心的解题关键就是研究工作总量、工作效率和工作时间三者的关系。由于我们完成一项作业，修桥修路，这个工作量具体是多少不知道，所以我们会用设一法把工作总量设为一， 你看看，一旦工作总量为一了，那这个工作效率是不是就是一一除以对应的时间呀？所以我们用二十分之一，十二分之一来表示对应它的效率。 如果明白了这个，那下面我们就可以继续做题了。说一项工作，甲先做若干天，那我画一个线段图来表示甲先做了哦，剩下的是谁做了？ 哎，已做完了，从开始到完工一共用了多少天啊？一共用了十四天，那现在求甲工作的天数那由于想求甲工作的天数，我就设甲工作了 x 天，那你说乙工作了多少天呀？ 是不是就是十四减 x 天了？两个人合伙把这个工程总量一给完成了。那我们让甲的工作效率乘时间，乙的工作效率乘时间，让它们相加等于一不就行了吗？ 所以我们来一起看一下啊。现在甲工作的效率是二十分之一，工作的时间是 x， 以工作的效率是十二分之一，工作的时间是十四减 x， 效率乘时间，效率乘时间加在一起等于工作总量一，叫做什么呀？完成了这项工作对不对？ 所以我们就有等量关系，有方程就可以出来了。二十分之 x， 再加上十二分之一乘十四减 x， 等于工程总量 一啊，等于工程总量一。所以在这里面咱们求出 x， 就 可以求出假的工作天数了。 那大家发现了吗？我做这道题的时候有什么小的技巧啊？帮我分析提议哦！第一个我们叫做画图的方式，我们可以通过画示意图，画线段图，明确题目当中的提议， 再通过什么方式哦。我通过列表的方式，把研究甲乙两件事，研究他们的效率时间写出来。那这样再利用我们核心的公式，总量等于效率乘时间，就可以找到等量关系，列出方程了。 一元一次方程的利润经济问题，一定是我我们期末考的一个大难点，那有关于利润经济问题，这里常见的答题技巧就是一个公式，掌握了这一个公式，这类题型你可以思路清晰的解出答案。接下来我就带着大家把对应的公式捋清楚， 下面呢，老师就带着大家去说一说有关于利润经济问题的解析公式是什么？你要知道啥是利润，利润就是我们赚的钱。举个例子，我想卖一头猪， 然后呢，我去进一头小猪，进一头小猪的价格呢，是五百元，所以这是我的，什么？是我的进价对不对？哎，我是五百块钱进的，接下来呢，我想售出，所以对应啊，我们就要有一个售价， 哎，这个售价是啥呢？比如说我卖一千块钱，有人花一千块钱买了，我们售价减进价就是利润。 但是如果我卖一千块钱，一千块钱标出去了，没有人买，那我是不是就要打折？我说我现在打八折去卖对应的小猪，那其实我真正的售价是不是得乘以这个打折之后的价格才是真正的售价？ 所以你要区分几个关键量啊？什么是标价？哎，我那吊牌的价格，但是我实际卖不一定卖这些钱，我可能打八折，打五折，打一折，打骨折，对不对？ 那什么是我们对应的利润？利润是用真正卖出去的钱数再减去对应的进价，才是我们对应的利润。如果你能明白这一点，那对应这道题就容易了，知道他的进价为多少？ 八十元，打七折，出售之后可获利百分之五。什么是打七折啊？哦，那就在原来的标价的基础上乘多少，乘以我们对应的零点七，也就是我们对应的售价就是零点七 x。 x 是 什么？就是我设出来的标价， 这百分之五是什么？这个叫做对应的利润。哎，啥是利润？利润率就等于我们对应的利润除以成本， 再乘以百分之百，也就是利润占成比的比，成本的比例。所以在这里你可以先把利润表示出来是啥呀？零点七 x 再减八十， 那我们用零点七 x 减八十，对应的利润再比上它的成本，进价八十块钱，再乘百分之百，是不是就利润？利润率是啥？百分之五？所以通过这样一个等量关系，咱们就求出标签上的标价了。 所以利润问题本质不难，但是你要搞清楚售价、进价、标价、利润这五个量之间的关系。哎，多带入生活实际场景，多去应用。 那接下来的步骤教给大家了，请你去自己算一算这个标签上的价格最终到底是多少吧，把答案留下来。 期上期末啊，一共会考到五大压轴题型，其中方程应用题这块必出一道解答题。 而一元一次方程应用题这里一共啊就有十五大类题型，每一类题型的方法、公式、等量关系，找的技巧都是固定的，把这些都学会，那肯定这类题目你是稳稳要拿满分的，下面咱们就来一起看看。这道题属于一元一次方程的行程问题，也属于比较难的一类题型， 它的运动过程比较复杂，那这类题目咱们遵循的准则就叫做先画图，再列表等量关系，把你找的原则，先用线段图梳理题目当中的关系， a b 两距两地啊，相距多少呢？三百六十千米。 甲车从 a 地开往 b 地，这是 a 地，这是 b 地，每小时行驶七十二千米啊，这有一个甲，哦，他每小时行驶七十二千米，说甲出发，二十五分钟后，乙出发了，也就是甲呀，先噔噔噔出发，走到这了，前面甲走了多长时间呢？ 二，这走了二十五分钟，但是需要注意的是，分钟看没看见，每小时七十二千米，他单位不统一，所以遇到单位不统一的情况，我们要先统一单位。他走了二十五分钟，就是走了六十五分之二十五小时， 而甲的速度呢，是每小时七十二千米，所以对应甲在前面这个二十五分钟就走了这些的路程，看见了吗？我先表示出来了。 然后乙车呢，从 b 地出发，开往 a 地，每小时行驶，哎，四十八千米哎，每小时，我们把它的速度啊，都给它标记出来。两车相遇后， 各按原来的速度继续行驶。那我现在就得看看，他从这出发往这边走，他从这出发往这边走，因为已车是假出发，二十五分钟后才出发的。相当于我这么画图，就把一个不同时出发的问题，转化成了一个同时出发的 相遇追击问题了。那这个时候何时相遇？好不好？算太好算了，应用我们形成问题解析的公式，叫做速度和哎，乘以时间 段的相遇路程。这段相遇路程是多少？不就是三百六十，再减去六十分之二十五乘以七十二吗？这个方程列出来求出来的 t 一 是啥？ 是相遇的时候，他们俩已出发到他俩相遇所用的时间，但是人又说了啊，相遇之后还得从这，哎，对应乙往这边走， 甲往这边走，还得让他们俩相距多少？相距一百二十千米，求这个时间对不对？那这个时候他俩共重走完这一百二十千米，是不是就是我们要求的那个时间啊？ 所以这个时候继续列第二个方程，速度由于不变，还是他俩一起走，乘以 t 二等于多少呢？等于对应的一百二十千米，这个就是他们两个在相距一百二十千米所用的时间。 那现在他问你什么假车？从出发到现在相遇一共用了多长时间？那假车我们来看看他用了多长时间啊？先自己走了多少？ 二十五分钟。然后呢，甲和乙相距又用了 t 一， 这么长时间，那甲和乙又相距一百二十千米，又用了 t 二，这么长时间，你说最后求的时间应该是啥呀？ 是不是应该是这三个时间加在一起呀？六十分之二十五，加这个 t 一， 再加这个 t 二， 求出最对应的答案，加在一起就是这道题了。所以这道题总的来说啊，思路清晰，并不难，但是很多同学做不明白，就是因为它运动的过程相对复杂，如果你不画图列表表示出提议的话，这种题就很难分析出来了。 那这种有关于一元一次方程行程问题分析的小技巧，你现在学会了吗？

这道题是二元一次方程应用题的必考题型，几何问题，但百分之九十的孩子呀，都没有思路，找不到突破口。其实这类问题的核心就是长对齐，宽相等、列等式，别着急，老师就用我刚才所说的三个步骤，带你轻松拿下这类题，考场遇到咱们直接拿分，好来看一下题目啊。 首先，大长方形中套有十个相同的小长方形，读题要认真，所以说呢，这里面我们要求的是什么？是不是阴影部分？那么求阴影部分的面积，想到什么割补法呀？是不是？那不规则图形的话，你最好是用规则图形来解决它，所以说 s 你 要求的阴影部分面积等于 大长方形，减去十个小长方形是不就可以了，对吧？这是我们核心的解析思路。那现在我们来看一下，有什么没有什么啊，大长方形的话，长是十七对不对？是不是有的宽是十一，再加上这样两个他没有？所以呢，我就要开始设未知数，设小长方形， 对吧？这个宽为小 a 是 不是也不知道，对吧？所以我们设它小长是小 b 啊，这个长为 小写的 b， ok， 那 接下来呢，我们要本着什么呀？长相等宽对齐的原则，我们来看一下啊，我要把这个 a 和 b 给它解出来，对不对？方程组应用题嘛，来观察，这里是十七，然后呢，从上往下看，这里是一个，两个，三个，四个，是四个 a， 对 吧？再加上一个 b， 好， 那么由题可得，是不是四 a 加 b 等于十七， ok， 好， 那跟这个十一相关的列我们的式子的这是 a a， 对吧？那就是二 a 加十一等于来中间去找啊，等于什么？是不是一个长？是，呃，我们的这个小 b 再加上一个 a， 两个 a， 三个 a， 是 不是好？等于我们的什么？来，我们的小 b 再加上三个 a。 好，我们来整理一下啊，把它挪过来，对， a 加 b 等于十一。好吧，我们来写一下啊，就是 a 加 b 等于十一。好，那因此呢，他俩方阵组解一下就行了，对吧？他减他啊，一式减二式，得到什么？三倍的 a 等于六，所以呢，得到小 a 等于二， 对不对？那小 b 等于几呢？小 b 是 不等于九，对吧？二加九等于十一。小 a 小 b 出来了以后，那所以来咱们来看一下大长房间的面积能不能表示，对吧？是不是十一加上我们的两个 a 就 可以了？所以说，大长方形 等于我们的十七乘以十一加上两个 a， 一个是二，那么两个就是四啊，所以说答案是十一加上四就是十七乘以十五。好，先不算啊，看有没有减变算法，然后紧接着呢，另外一边，我们的小长方形 是不也有了，对吧？ a 乘 b 嘛， a 乘 b 啊，就是我们的二乘九，二九一，十八，是不是？好，那所以说，我们来算一下，我们要求的一部分就等于什么？十七乘以十五减去一百八， 对不对？然后呢，你会发现啊，一百八和十五是能提取个公因数，对吧？就等于十五提出来，十七减去来一百八除以十五是一 啊，二十二啊，所以答案是十五乘以五，答案是七十五。各位，这个题是不就出来了？你看啊，其实解决我们方程组的几何问题就这么简单啊，分别是长相等宽对齐列方程，把未知数解出来。各位，这么简单，你学会了吗？

好，现在第七题，某企业的年产值在两年内从一千万元增加到 一千二百一十万元，平均每年来给我列示它属于我刚才教你的哪个公式，这个征率为， 对不对？增长率，哎，增长问题，对吧？那你怎么列式啊？它所它增长的话，应该是那个小数乘括号一加 x 的 n 次方等于大数，哎，好，那在这个题目中我哪个是小数啊？ 嗯，呃，小数是一千，哎，一千。那好了，我一加 x 该写几次方啊？二次方。二次方等于多少啊？一二一零。哎呀，真聪明，是不是特别好练，那姐好不好？姐呀， 打算怎么用？什么方法解呀？嗯，用那个保留整体的平平方看平方，哎，保留整体它应该等于多少啊？ 一千二百一二就是等于一点二一，哎，所以一加 x 等于什么？正负多少？正负的那个一点一。哎，好，一点一，那答案不就出来了吗？ x 等于什么？ x 等于一点一减一，或者是一减一。那是负的，肯定会减负的，我肯定不要，对不对？嗯，那我就是零点一，哎，零点一是百分之几啊，零点一是百分之， 哎。零点一乘百分之一百等于百分之多少？ 百分之十正确，会了吧。嗯，一学就一学就会，对不对？嗯嗯， 好了啊，这第七题，功劳归你，因为你会公式了，会会列式了，这多好啊。嗯啊，就这样学提纲法，你多练几次他就都出来了。提纲？提纲吗？啊， 好，现在我们再来看下面这个第十题，生日会，生日宴会，然后每名同学 与其他同学握一次手。这是什么问题？ 就叫握手问题啊，注意。嗯，我一会给你写个握手问题。握手问题和比赛，比如说我们两个进行一场比赛， 比赛问题或者是什么啊，我们编那个什么象棋比赛，还有什么啊，甲队队，乙队的这种篮球赛等等都用它啊。比赛问题，然后呢？这个时候是 参加的所有同学共握一百零五次手，问有多少个同学 有多少人，那他就归握手问题管。那就想，哎，我们两个握完手了，但是一会回来你再跟我握手吧， 我主动找你去握手了，一会你还回来再找我握一遍吗？ 这个问题你要拎清用不用再握？不用不用，哎，不用，还有打电话也是他， 你给我打电话了，我就不用再给你打电话了，我们两个刚才话聊了半小时，我们这回再打回来再保持四十分钟。那不可能的事，所以打电话问题，你给不给自己打？给啊， 我们不给自己打，哎，所以我们设共有 x 人，但是这个人 他不用给自己打电话，对不对？去掉一个人，由于我们双方打电话和握手都是你进行完了，我不必要再进行，就要除以二，懂了吗？嗯，所以这个是他的公式。 那我这个里头就直接套公式。那每个人握一次手， x 除以个 x 减二啊，减一 x 乘以 x 减一，除以二就等于他给我的数字一零，所以我 x 的 平方减 x 等于二百一十，不是标准的过来， x 平方减 x 减二百一十等于零啊，到这了对吧？ 嗯，那我下面要干什么了？十之相同法吧，我看看啊，对不对？我要记一下这个旁边那个公式，对，那个公式你一定要记着 二百一十啊，那我就给二百一十短除吧，我短除一个十的话，我还剩个二十一， 他俩之差不是他，我短出一个三，我还剩个七，那三七二十一。哎呀，这个不是，那我这个还给他分细点吧，我分成十五和十四，怎么样？ 哎。十五乘十四，四五二十一，四得四等于六，一五得五，一一等于二，二百一十。好，我这时候把它十字相成分成 x 减十五乘以的 x 加十四等于零，所以 x 就 等于十五元，我那个负的人就不要了， 明白了吗？嗯，好，那还有一个问题跟他近是，那这个问题就叫送礼物问题， 比如说老师给你送礼物了，你是不是要给老师回个礼啊，对吧？真的，但是我不给自己送，所以我是 x 乘以的 x 减一， 这个格式，明白了吗？对，哎，那你比如说我要是送礼物的话，就，哎，我们小主啊，共剩九十份礼物，那问我们这个小主有几个人， 那我就列式， x 乘以 x 减一等于九十，所以 x 平方减 x 减九十等于零，所以十之相乘 x 减十乘以个 x 加九等于零，所以我 x 等于十个人。明白了， 那你就要列上这个公式，那么比赛问题、握手问题，打电话问题，就要除以二，那我的送礼问题就不能除二。还有 啊，短信、贺礼，短信问候，那这个时候你也不能除以二，比如说我给你发了个短信，你就要回头给我发个短信，表示礼貌，明白了吗？ 会了啊。嗯，会了，现在最后一题吧，哎。第十二，某超市 是三月份销售额为八十万元，四月份由于内部装修 销售额下降了百分之二十，然后五月份由于装修一新，大家都愿意来看，对吧？愿意买东西一新，吸引顾客。 然后五六月份是上涨，上升到 一百万元，然后这个时候求五六月份的 增长率，哎，又到增长率问题了，可惜这个增长率问题不是给你的，就是小数， 三月份是一个基数，那我能计算出四月份是多少，所以说，呃，三月份八十万，四月份是降低， 那四月份应该怎么列式啊？所以四月份的列式应该是什么？ 你是不是降低了一减百分之二十？哎，用八十乘以这个一减百分之二十，对吧？好，完成了。那这个就是它的小数，所以我们这个时候设它的增长率为 x 的 话，我列式小数， 这个千万不要把那个降低率列下去，然后乘以个一加 x， 五月六月两个月数字二二次方等于个一百，明白了吗？ 嗯，哎，然后我们计算它八十乘一个零点八，是不得有六十四啊，所以就是一加 x 的 平方等于六十四分之一百，千万不要仔细做，一定要开放。 它等于一个八分之十，所以正负八分之十。所以 x 一 等于一个八分之十减一就等于一个 八分之十，减一就是四分之五，四分之五减一就是四分之一，对吧？ 四分之一就是零点二五，零点二五就是百分之多少，哎，自己考虑另一个 x 等于一个负的五五分之九。舍完事就这么就出来，简单不？

今年二零二零年期末必考应用题，今天的内容是九年级上册 一元二次方程关于数字问题的一个应用题。好，我们看一下这个题，已知两个数的差是八，即是二百零九， 求这个两个数，那么我们根据题，那么这一个数大，一个数小嘛，是吧？那么我把这个小的数设成 x， 那 么大的数，就说比它大八嘛，它们相差是八嘛，是吧？那就是大的数字，就是什么呢？ x 加八，还有题上还说了什么呢？ 好，咦，他们的级是二百零九，那么就是较小的数字乘较大的数字相乘就是二百零九，那就是 x 乘括号， x 加八就是什么二百零九。好，就这个完，我们就把这个方程列完了， 根据他的什么题，我把这个方程列完了，现在这不知什么解方程。看左边有什么取括号，先把这个取括号，括号取完以后就是左边就是 x 方加八， x 等于二百零九。 好，那么左边啊，右边，我看我用什么配方法来做的话啊，用，你用别的方法也可以做啊，你用公式法也可以做，是不是你的春节也可以做？我现在用什么配方法来可以做的话，我用把这个啊，左边的一次性的系数的一半， 两边的同时加，这样的话就等号就不会变吧，对吧？同时加了这个四个平方，左边也加了四个平方，右边也加了四个平方， 然后呢，我们有这样子得到了什么呢？ x 就是 x 一 是十一， x 二就是负五十九，那么 x 一 和 x 二满足这个方程啊，所以这就是这个方程的结了。好，这就完了， 到这还没完，因为呢，这个两个这个结，也就是，哎，十一和负十九啊，能不能符合这个提议呢？好，我带一下。 当 x 十一的时候，那就是啊，那么较数较小的数十一的话，大大的数字是多少了？十九了。好，这也是复合题了。然后呢， x 也就是较小的数字 啊，负十九的时候，那么较大数字多少了？负十一，这也符合题，所以这个两组我们必须要写，写答案的时候必须把这个两组都要，必须要写 十一和十九，负十一和负十九。好，今天内容讲完了，给老师点个赞，加油！

哈喽，大家好，我是小熊老师，我们来看关于一二次方程做应用题的时候，他出现的易错点，他说有一个长八十厘米，宽六十厘米的长方形钢片，那我们简单就画一个长方形 啊，那这是八十，这是六十，他说这四个角截去相同的小正方形，小正方形，那我们就画一下小正方形， 然后呢把这四个小正方形截掉，然后做成个底面积为一千五的，然后形成了一个长方体盒子，求截去小正方形的边长，是不是可以直接设 x， 那 这样我们求底，这个是这个是不是底啊？这是不是底，那个底是不就是八十减去两个边长，六十减去两个边长，最后得一千五， 然后我们把它打开括号整理，变成这个样子，就变成啊 x 平方，加上一个一次系数，对吧？加上一个常数项，然后进行计算，那计算的时候我们得出这两个数，这个过程就不做过多的解释。 但是在这里我们需要注意一个问题，需要把它带回去进行验证它符不符合这个提议啊？不能直接得出它等于等于五十五或者等于十五就行了 啊，一定要去验证。那么怎么验证呢？其实就是看他服务和条件，就把五十五带进去之后，发现八十减二， x 小 于零了，那你说 那可能吗？不可能，你比如说这结完了，这结个五十五，这结个五十五，很明显不行啊，这俩五十五的边长就已经超过八十了，所以 x 等于五十五是绝对不可能的， 所以等于十五的时候我们也要验证一下啊。其实等于十五的时候是八十减三十呗，八十减三十是五十，他减个三十 啊，还剩三十，最后到一千五答案就出来了，就是只能是 x 等于十五的时候，那么它的易错点就是我们可能直接算出一个方程的解之后，没有经过实际的验证符不符合题 啊。当我们其实看到这一步 x n 五十五的时候，立马反应，他就不可能，因为你是减了两个边长啊，这里这两个正方形边长已经大于这个盒子的长了，很显然是不行的，但是你这样的思考需要落到纸面上，就是把它带到边长这里面来验证边长是不是大于零的， 然后才能告诉出题的。其实你不写负三十也可以的啊，不符合题舍去 就可以啊，这样的话你不写你就写。当 x 等于五十五时，八十减二， x 小 于零，这负三是可以不算的啊，是可以不算的。