初二数学尺规作图做了三角形怎么做的

ok， 继续我们三角形往下说啊，上次学的三角形的全等判定，现在往下来看一下三角形的尺规图做图 来。首先了解一下这个尺规图在几何作图中，我们把没有刻度的直尺和圆规做图称为尺规做图。其实尺规做图里面我们用的最多的是我们的圆规。圆规啊， 矢图图，做一条线段等于已知线段。第一步怎么样呢？先做一个射线 a b， 哎，做一个射线 a、 b， 然后用圆规量出我们这个已知线段的长量出来啊， 这是我们的圆规开口是吧？量出来再往上面截取是不就可以了？所以说尺规作图整体的原理是，直尺画什么？画直线啊，画射线这这样的。然后我们的圆规负责截取长度啊，看一下后面的 已知三角，这个角 a o b， 求做角 a 撇， o 撇 b 撇，使得两个角相等。呃，让我们做两个相等的角，还是啊，先确定一个边嘛，对吧？先做一个射线， 做一个射线啊，画这块吧， 做一个设限。然后呢，以 o 为圆心，任意长为半径画弧，开始交于两个点，比方说我，我以它任意长为半径画弧是吧，交 a 于 d 点，交 o b 于 c 点，现在得到两个新的点，然后他说以 o 撇为圆心， o c 长。哎，我把这段卡住，是吧， 为半径画弧，交 o 撇， b 于 c 撇点。那我给它画出来就行了呗。就我们的 c 撇， 以 c 撇为圆心， d 非常为半径画弧，交前弧于 d 撇。哎，看我们 c d 看一下啊，以 c 撇为圆心， c、 d 长为半径画一个弧， 这是我们刚刚的弧，画长一点， c、 d 长一半，箭化弧，那这连上就行了是吧？这是我们的 d 撇啊，连接，这就是我们的这个相等的角啊，相等的角。 然后再看一下我们的教学活动，在三，已知三角形的三边，求做三角形了。 a， b， c 求做三角形。 a， b， c， 使得他们三个边啊，围出来一个三角形做线段， b， c 等于 a， 先任意做一个，对吧？ 等于 a， 然后以 c 为圆心， b 为半径进行画弧。哎，这，这是我们的半径了，开始画弧啊，可以，可以，画很多呢 啊，咱就做一面就得了。继续， 此时再以 b 为圆心， c 为半径画弧，这两个边相交于 a 点，那这就是我们的 a 点，然后连上即可。三角形，这就出来了， 主要利用的条件是什么？三 s， 你 看，咱用以，首先先确定一个具体线段，比如说我把 bc 等于 a 了， 然后呢，再让另一个边，比如你看啊，他刚刚是以 c 圆心 c， b 长为半径画弧，那这就是我们的弧嘛，对吧？弧上都相等， 所以说以 b 为半径画弧，那我们这段就应该等于 b， 那 再以 c 为半径画弧，这段就得 c。 所以 这个，这就是我们使回作图的一个基本原理，主要是为了构造全等的三角形或者全等图形啊。 来往后看，已知三角形的两边及其加角，求做三角形。 哎，这个题啊，跟别的不太一样了，他给了两个边和这个加角长度，所以我们先得怎么样呀？确定一下我们的角度。哎，这个角度很特殊，先把角度确定确定下来，先把我们这个角做出来， 跟刚刚那个做角相等的就一样了啊，咱就不再过多展开了啊，以这个为原先是吧，任意长半径画弧交于 d 两点，然后咱把这个等角给它做出来啊。 做出来等角以后干嘛？截上一段？截这个角它两边可以无限延伸的，对吧？截一段得 a， 截一段得 c， 然后就完事了啊， 脸上，脸上，这就是我们三角形啊，哎，已知三角形的两边继续加角，求做这个三角形。刚刚说了咱就不再展开了啊， 一样的啊，不说了啊，不说了，比较简单啊， 所以就了解一下我们这一块的一个基本原理，其实没有想象中那么麻烦，其实就是全等三角形的一个延伸。看，再来一个。已知三角形的两个角和加边，求三角形，那咱是不得先把两个等角做出来是吧？嗯， 做两个等角，然后截取即可啊，做两个相等角，然后截取就行了啊。 已知两角和一角对边能不能做啊，那不也一样的吗，是吧，两个角，先把两个等角做出来，然后截取一个边啊，先做角，再做边，最后再做角也可以啊。 这是一个详细的作图步骤啊，了解即可。我们中考河北省的考察的时候更加侧重于垂直平行线啊，或者角平行线的一个考点啊，这块还是考的比较少的。 顺序角，边角加边角，是吧，角 作图语言作图语言，注意一下啊各位，这个作图语言作哪个角和哪个角相等，在哪个线上去截取，使得谁等于谁。这个线是直线或者射线啊，然后以谁为顶点，以另一个为边，做一个角， 做两个等，巧做线段，谁等于谁，连接什么或者连接谁，谁交于点什么啊，这就是我们的实践题了啊。

一起学习用尺规做三角形的外接圆。 首先做边 a、 c 的 垂直平分线 连接弧与弧的交点。 注意垂直平分线是直线， 接着做线段 b、 c 的 垂直平分线 同样连接弧与弧的交点。 两条垂直平分线的焦点就是圆心， 然后以焦点为圆心，以圆心到三角形任意一个顶点的长为半径，作出一个圆，就是三角形 a、 b、 c 的 外接圆。

第一道，呃，已知线段 a b 啊，然后按要求去做这个三角形，然后第一个做角也得九十度，那所有的九十度都是很好做，对吧？你就做两条垂线，这种尺规很好做 好，做完了之后，这个角角 a 的 话， ab 等于 b， 那 么 ab 的 长度直接就能做出来， 然后是 bc 等于 a， 把这个线往上延长一点， bc 等于 a， 就 应该是以 b 为圆心，对吧？ c b 长度，而这 a 的 长度为半径去做弧， 是这么做吧。 好，第一个，第二个，做 d e f， 使得角 d 等于九十度， e f 等于 a， d e 减 d， f 等于 b， 我们可以先看一下，这是因为如果你一次性画不出来啊，你可以先看一下最后要画的那个三角形长啥样，对吧？我们说使规作图，你但凡不会，你的方法就应该是反推，对不对？你反过来想想，那这个图形，首先 我画个九十度，然后这是 e f 等于 a， 好， 那我把 e f 画长一点， 这个是 d， 这是 e， 这是 f， 反过来吧，因为是 d e 写 d f， 我 把这个当 f， 这个当 e， 这个长度是 a， 是这样吗？然后说 d e 减去 d f 等于 b， 那 么我们就应该在这个地方去做出一个长度，和 d f 相等，然后说明剩下来的一块长度是 b， 对 不对？就是从结果来说，是这样吧，就说这个边啊，比这个边就多这么一块 b 啊，这里和这里是一样的。好，那你看到这个图应该知道怎么画了吧？ 在这个图中，我觉得有一个关键的就是它呀，你没发现这个三角形是确定的吗？对吧？这个三角形，这个角是多少度？是不是一百三十五，然后这个是长度是 b， 这个长度是 a， 它严格说起来其实就是钝角三角形的，叫 s s a， 对 不对？但我们知道钝角三角形有 s s a 这个条件，足以 做出一个唯一的三角形了，对吧？所以其实你这个题只要想到这一点，那就简单了，你能不能先做一个一百三十五？当然可以啊，你看，我先做一个等腰直角三角形， 这可可以做到，对不对？可以做到之后这个地方延伸出来，这里就是一百三十五度的角，对吧？好，在这个一百三十五度的角旁边，我先做一个长度，令它等于 b。 接下来我想做这个三角形，是不是就是以这个点为圆心，以这个 a 长度为半径，和这条线去交弧啊？ 啊？所以我刚刚这条就左边那个等腰直角三角形，只是随便做了一个我可以延长的这个边，对吧？好，我延长完了之后，以这个点为圆心， a 长度为半径交弧 啊，那我认为在这个图上，这就是我刚要做的 e 点，这就是我要的 f 点。好，接下来我是不是只要再过 f 点做一个垂线下来， 把这个地方称为 d， 是 不是？妥了？ 听明白了吗？这个思路，嗯，就是我们先从结果来看啊，你最后想要的东西长这样的，对不对？既然又说了什么线段减什么线段，那我们就在这个线段里面 去拿掉一条线段和它相等，那这里就是个等腰直角，说明这里就是 b。 好， 当你看到这一点之后，我觉得最关键就是还是全等的意识。你要知道在这个图中什么样的三角形，它的条件已经能满足，它是唯一的， 对吧？ ok 了，那你就先做它，做完它再把它画出来啊，那我就是这么个思路，想参加我们 t u 训练营的家长可以在评论区留言哦。

这个视频我来给你讲讲如何用齿规做三角形。比如给你两条线段和一个角，你能做出一个以 ac 为两边长度，以阿尔法为这两边夹角的三角形吗？试试看吧，随便画一条射线，用圆规量一下这条线段， 在这条射线上做 bc 等于 a， 三角形的一条边就搞定了。那接下来是做另一条边还是夹角呢？ 有小伙伴说要画边，这显然不行呀，只知道边长，不知道角度，这边到底画在哪呢？还是先做角吧。 你已经学过如何做与之角相等的角，那咱就直接做出这个角度，使它等于角阿尔法。步骤我就不细说了，画好了角，再确定这条边就容易了。量一下这条线段的长度，移过来画个弧，这个 焦点就是 a 点了，最后连接 a c 三角形， a b c 搞定。画完图你发觉没，只要知道三角形的两边及其夹角，就可以用尺规做出这个三角形。这样看来，如果要你做出一个和已知三角形全等的三角形，也是一样的方法， 随便找两条边和一个角当做已知，用刚才的方法操作一遍，就可以画出全等的三角形了。 哎，有小伙伴在问，要做出全等的三角形，只能这样做吗？嘿嘿，很低质吗？当然不止喽，刚才讲的只是其中一种方法，也就是边角边。除此以外，你还学过边边、边角、边角和角角边， 用他们也能做出全等的三角形来，具体咋做你思考思考以后再说好了。用尺规做三角形就讲到这里， 如果给你边角边让你做全等的三角形，你就分三步来做，首先做一边等于已知边，接着做边上的一角等于已知角，最后做角上的另一边等于已知边。怎么样，明白了吗？明白的话就赶紧去画图吧！

上个视频，你学会了将军密码最短路径问题，那是不是说所有的将军密码问题你都能做对呢？还有一个拦路虎，关于尺规作图，它的本质是什么呢？ 如果这个题你不知道它尺规作图到底做出来的是一个什么意思，那这个题呢，你可能理解不了它怎么对称，怎么用了将军码？好，我们来看一道题，带大家读懂尺规作图，它本质是什么？其实它玩的是全等。 好在等腰三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a， c 等于十， b c 等于十二，暂时不知道啥意思，他说在 a、 b、 a、 c 上分别截取 a、 p 等于 a、 q， 使得 a、 p 等于 a q。 好， 我给大家换一下啊，它呢，其实就是 a p 呢，等于 a q， 蓝线等于蓝线。然后接下来呢，再以 p q 为圆心，以大于 p q 长为半径作弧，两弧交于点儿。那这是啥意思呢？哎，这呢，又得到一个叫什么叫 p r 等于 q r， p r 等于 q r， 然后呢，他说呢，这个 r 呢，交 b c 于点 d。 我 想问他，这个尺规作图做出来什么？蓝边等于蓝边，红边等于红边，中间这一个 a、 r 呢，是公共边，是不是？他尺规作图的本质就是做出来一个全等， 对吧？尺规作图呢，它其实就做出来了，叫三角形 a、 p、 r 全等于三角形 a、 q、 r 全等，依据是 s s s， 你 会发现，哎，尺规作图它玩的是全等， 那全等不是目的，目的是转移对应的边角关系。说白了，这个题呢，就能得到角 p a、 r 等于角 q a、 r， 或者你说其实 a、 d 呢，就平分 角 b a、 c， 或者你说 a、 d 呢，就是这个等腰三角形 b、 a、 c 的 三线合一的那条线对不对？好，然后接下来让你求的是 b m 加 m n 的 最小值， 那我们怎么整呀？那不就做对称吗？对吧？这个，这个，这个最短路径做对称过哪呀？过 a d 来做。 b 点的对称点是谁呀？ b 点的对称点不就 c 点吗？然后连接 n， c 连接 n， c n c 呢？哎，就是，哎，就是你 b m 加 m n 要表示的那个线，对吧？对吧？哎，你会发现，你的 b m 写一下啊，你的 b m 加上一个 m n 就 应该等于什么？ 哎，比如说这 b m 加 m n， 对 吧？哎，就等于 c m 加上一个 m n， 其实呢，就等于 c n。 好，现在呢，让你干嘛？让你求 b m 加 m n 的 最小值，也就是让你求 c n 的 最小值， n 呢是 ab 上的动点， c 点呢是一个定点， 那点线之间什么时候最短呀？是不是垂线段最短啊？所以 c n 的 最小值不就是由 c 点往 ab 去做垂线吗？那这个 c n 应该等于几呢？ 那我们就要用到三角形的面积公式啊，就要用到三角形的面积公式，那会发现呢，这个 a c 啊， a c 呢是等于十的， b c 呢是等于十二，那说明 c d 呢是等于六的，那 a d 呢？就是八，对吧？那我们会发现三角形 a b c 的 面积，哎，它等于二分之一， bc 乘以一个 a n， 对 吧？好，我们把它呢进行消掉，二分之一和二分之一消掉， 对吧？然后呢， bc 是 几啊？啊？ bc 等于十二呗，对吧？ ad 是 几呢？ ad 是 八，对吧？好，就等于来 ab 是 几啊？ ab 等于十 c n 啊， ab 乘以 c n 写成了 a n 啊， ab 乘以 c n， c n 是 几呢？ c n 呢？就是十分之九十六，也就等于九点六。 ok， 这道题 a 选项，这题比较复杂，你听懂了吗？点击关注老张数学后期，分享更多数学题型和方法！

啊，大家好，今天我给大家带来的是咱们三角形啊，此规作图里面的全等三角形的制作啊，很多同学都知道啊，我们这个巴萨一个此规作图很可能就经常考这个全等三角形，怎么去制作？属于我们的必考的一个题型，所以我们一定要学会他是怎么去做的。好， 我们要准备以下两个工具啊，第一个工具是这个圆规，第二个呢就是我们的这个没有刻度的直尺是没有刻度的啊，所以你不能去量他的，懂吗？那我这边又换了一个三角形 abc， 那我们要做出这个三角形 abc 的全等三角形啊，那怎么做呢？好，我先用这个直尺，先用这个直尺啊。啊，这边啊， 画一个任意的直线画一个任意直线，我这边画一个任意直线。画过来啊，任意的画过来之后呢，我们再来把这个 bc 啊，落到这个直线上 bc 落到这个直线上，把这个先不要用，我先移开啊，落到这个直线上，那怎么 去落到这指尖上呢？我们把这个移过来，把鼻息一个长度给截取出来啊。笔写长度给截取出来，那要结束他的长度的话，那以这个为圆心啊， 以这个 b 点为圆心，那谁为半径啊？那这个 b c 为半径。哎， b c 为半径， b 为圆心， b c 为半径。好，这么多，我们量一下，我们再来把它移过来啊，量了之后我们再来把它移过来，哎，差不多这么多，我们再做一个截取一个长度，对不对？截取一下，这样子 截取一下啊，这样截取一下之后，那这个点就是什么呢？这个点就是 b 撇点啊，这个点就是这个点，就是个 b 撇点， 这边就是个 b 撇点，那这个就是个什么 c 撇点啊？这个就是个 c 撇点。 好，因为我们 b 撇、 c 撇也都确定了， b 撇 c 撇都已经确定了， b 撇 c 撇都已经确定了，那此时我们唯一还没有确定的是什么呢？ a 点？ a 点，那怎么确定 a 点呢？我们同样的以 b 为圆形，以 b 为圆心，以 b 为圆心。 这个 b a 为半径啊， b a 为半径。那我就要量出 b a 的这个跨度，对不对？这边的跨度，那这个已经量好了，我们再把这个圆圈给移过来，哎，同样的在这边， 在这个，在这边啊，以 b 撇为圆心啊，这个跨度。我们没有改变，对，我没有改变，对不对？因为我只是可以得到的是什么？我可以得到的是这个 b c， 它会等于 b b 撇 c 撇的嘛？那我跨度没有改变的话，我这边做一个，这边也是做弧啊，也是做弧。 我先做个壶啊，做个壶，这个壶再移开啊，做了一个壶移开。同时呢，那我以西为圆心了，我以西为圆心啊，西为圆心。 a c a 为半径， c a 为半径。我要把 c a 的长度给量出来， c a 为半径。好，好，这个半径 连出来，这个时候连出来了，哎，这个时候把它给连出来，连出来之后呢？我同样的把它给拿过来。以西，为什么以西撇点为圆形啊？这个跨度啊，为半径。好，同样的做个弧，同样的做弧，同样的做个弧 啊，这边做个弧。那做好之后我们把它移开啊，那就有一个什么，这边就有一个，它的一个 焦点，它的焦点。那这个焦点啊，就是它的什么 a 撇点，这个焦点就是 a 撇点，那我们再来连接 这个 a 撇 b 撇这个，还有这个什么 a 撇 c 撇，只要你把它连起来就好了啊，再来我们把它连起来就可以了，只要我们用直尺把它给连起来就可以了，就已经做好了，那这个边 我们把连起来。好，那先， 哇，连上，哎，连上 啊，要连这个 连这个西撇点啊，也连西撇点，嘿，可以，这时候已经连好了啊，再连，再连接另外一个 a 撇 b 撇啊，再连接另外一个 a 撇 b 撇，那同样的 把这个 a 撇 b 撇给连上就好了， 直接这样连接 a 撇好， b 撇好，连接好，我们把它移开。这个呢，已经连好了， 这个呢，他就会是个什么？和他全等的一个三系啊，这个就是全等三系。为什么呀？啊？那我们这个时候就要说为什么了，因为我们刚刚一开始 b c， 我是这样觉得，我是不是直接用圆规去把它截去的 b c 啊？所以我能得到 b c 位，等于 b 撇 c 撇，同样的，我以这个为什么为一个半径啊？为一个半径换了个弧就做出了什么，这一个是不是啊？这个也是个半径，那我同时以这个圆形这个为半径的话，那我是不是也同样的做了这个 a 撇 c 撇，那这个也是个啊，对不对？所以他会什么呀？ 他的判定依据其实就是边边边啊，边边边，全等。哎，刚刚啊，同学们要是没有看清我的动作，反复看啊，反复看，在自己的本子上这样操练，所以我们全等上行，就这样制作。所以以后他全等的这个上行，他的判定依据是什么 啊？也是边边边。那不仅说全等上行这样做了，那如果题目中考试他会说，哎呀，做个面积一样的的，那一定要反应过来啊。做面积一样的上行，那不就是做这个全等一样的上行吗？对不对？哎，好好去体会一下啊。

同学们大家好，欢迎来到胡成云课堂，这节课我们要学习的是三角形的齿规作图。我们可以先回忆一下在我们七年级的时候学过的齿规作图有什么？ 有两个，一个是做一条线段等于已知线段，做一个角等于已知角。那么这一节课呢，我们来学习一下，利用齿规作图做一个三角形。 先看这节课的学习目标，学习目标有三个，一、了解指规作图的概念，会用指规作图法做线段和角。二、 熟悉指规作图的步骤，并能熟练运用作图语言。三、以三角形全等的判定方法为基础，利用指规做三角形，这也是这节课的重点内容。 我们先来看一个思考题，豆豆书上的三角形被墨迹污染了一部分， 你能帮他在作业本上画出一个与书上完全一样的三角形吗？如何做一个三角形与已有的三角形一样呢？ 带着这个问题进入我们今天的学习。用齿规作图，它的定 意识只用直尺，没有刻度的直尺和圆规也可以画出一些图形。这些画图方法被称为尺规作图， 由三角形全等判定。可以知道，每一种判定两个三角形全等的条件都只能做出唯一的三角形。 由此我们来回忆一下，判定两个三角形全等的条件有什么呢？ 有边边边、边角、边角、边角以及角角边。带着这四个判定三角形全等的条 进入我们今天真正的利用齿规做三角形。先了解一些齿规所图的知识点。 用直尺和圆规作图是一种具有特殊要求的作图方法，这种作图方法不必用具体数据，只是按给定图形进行作图，这也是他与画图的区别所在。 画图的时候，我们就是按照样子去画出来，而按照给定图形做图，就要求我们做出的图形与原图形和给定的这个图形是完全一样，完全重合， 也就是全等图形。画图一般不限定工具，既可以用直尺和圆规，也可以用其他的辅助工具，比如两角器、三角板、刻度尺等。 在尺规作图中，直尺的作用只能用来连接两点之间的线段，或过两点画直线和射线。 那么在平时的作图当中，这个直尺的作用还可以干嘛呀？它还可以测量，而在尺规作图里边，只能用来连线，不具有其他的一个功能。 下边我们来步入今天的学习，利用指规做一个三角形。 如图，已知线段 a、 b、 c。 求做三角形 a、 b、 c， 使 a、 b 等于 c， b、 c 等于 a， a、 c 等于 b。 在以前已经学习过利用齿规去做出一条线段等于已知线段，今天就是做三条已知的线段，并且把他们首尾顺次相接在一起，才能够 组成三角形。看看用齿规做三角形的步骤分别是怎样进行的。 先来做一个分析，由做一条线段等于已知线段能够做出边 a、 b， 即 a、 b 两点确定。 做出一条线段等于 a， 那么这个 a 这条线段的两个端点就是 a 和 b， 也就是三角形 a、 b、 c 的一条边 a、 b， 而 b、 c 等于 a， a、 c 等于 b， 故以点 a 为圆心， b 为半径画弧长。以点 b 为圆心， a 为半径画弧，这个时候这两条弧长可以有一个焦点，这个焦点就是点 c。 下边看一下具体的做法。 第一步，做线段 a、 b 等于 c， 做一条线段等于 c， 这条线段的两个端点分别是 a 和 b。 第二步，以点 a 为圆心，以 b 为半径画弧长，以 a 为圆心，以 b 为半径去画这个弧长， 做出了一个弧长。具体这个 b 这条线段在哪个位置呀？ 暂时还不能确定。第三步，以 b 为圆心，以 a 为半径画弧。这个时候 以 a 为圆心做出的弧长和以 b 为圆心做出的弧长会出现一个焦点，那么这个焦点就是点 c。 第四步，连接 a、 c、 b、 c 即三角形 a、 b、 c 即为所求 把 a、 c 和 b、 c 连接在一起，那么 a、 c 的长度就是线段 b 的长度， b、 c 的长度就是线段 a 的长度，得到了 了三角形 a、 b、 c。 这是知道三角形的三条边，已知三条线段的长度，去做出了三角形 a、 b、 c。 那么已知两边及其夹角，该怎样去做这个图呢？看这个。第一，如图，已知线段 a、 b， 其中 a 大于 b 以及角 alpha， 求做三角形 a、 b、 c， 使得角 a 等于角 a， 法 a、 b 等于 a， b、 c 等于 b。 由此我们可以发现角 a 等于角， 而法 ab 等于 abc 等于 b。 其实知道了什么呀？知道了一个三角形的两条边以及他的夹角， 根据在他的这个角的两边上去去截取 a、 b 和 b、 c 的长度，就可以得到三角形 a、 b、 c。 提示做出符合要求的三角形。关键是根据条件确定三角形三个顶点的位置。 解题时候要根据实际情况判断是否存在多个符合提设条件的三角形 a、 b、 c。 因为有的时候我们在画弧长的时候，他和另一条边可能不只是一个焦点。下边看一下这个题该怎样去做图呢？ 做法，第一步，做角 a 等于角 are 做出一个角 a， 使角 a 等于已知角 are 法 第二步，在角 a 的一边上截取 a、 b 这个 a、 b， 我们可以在 上面这条边上截取，也可以在下边这条边上截取。现在我们在上边边上去截取线段 a、 b， 使 a、 b 等于 a 找到了 b 点。 题目当中还告诉了一个 b、 c 的长度，既然是 b、 c 的长度，肯定是和 b 连接在一起，怎样去找 b、 c 的长度？根据刚才在第一种作图方法里边做的 一条边，利用尺规律，用圆规以点臂为圆心，线段臂为半径画弧， 这个时候弧与角 a 的另外一条边出现了两个交点，也就是图中的 c 点和 c 撇儿。点 分别连接 b、 c 和 b、 c 撇儿，此时就得 得到了两个三角形，分别是三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 b、 c 撇，它们都是所求做的三角形， 都是可求索索求出做的三角形。那么根据刚才的例一我们来想一下。例二，已知三角形的两角及其夹边怎样去做这个三角形？ 如图所示，已知角 alpha、 角 bata 和线段 c 求做三角形 a、 b、 c。 十角 a 等于角 alpha， 角 b 等于角 bata a、 b 的长度就是给出线段 c 的长度。 做法，一，做角 d、 a、 f 等于角 f， 做出一个角等于角 f。 在射线 a、 f 上截取线段 a、 b 等于 c， 以点 b 为顶点 b、 a 为一边做出角 a、 b、 e 等于角 bate d、 e 与 a、 d 交于点 c， 则三角形 a、 b、 c 就是所求做的三角形，同学们可以根据老师讲的这个做法，自己在纸上把这个图形画一下，看一下你们所做出的图形会 会不会完全一样，这是已知两角及其他们的夹边去做三角形。 我们来看一下这节课主要学习了哪些内容。一、做三角形的方法做一个三角形与已知三角形全等， 根据的就是三角形全等的条件，因此做三角形时所给的条件可以是 三条边或两条边及夹角，或两角及夹边或两角及一角的对边。利用的其实就是我们判定三角形全等的四个条件， 边边边边角边角边角角角边。利用这四个条件就可以去做出三角形。 二、做三角形的步骤在寻找做法的时候，一定要根据已知画出草图， 确定作图步骤。也就是说在作图的时候呢，不要直接往纸上去画，不要直接往试卷上去画， 先根据他的已知条件，自己在草稿纸上画出一个草图，确定了真正的一个做题步骤以后， 再把这个做法转移到我们的作业本或者是练习题上。三尺规，做图的基本要求，一、有 图形，画图形，把图形画出来。二、写做法。你这个图是怎样做出来的呀？把做法要写上。三、保留痕迹，尤其是在题目当中一些弧线，这个弧线是一定要保留的。 当然也有些做图题只要求保留痕迹，不用写做法，根据具体问题具体去分析， 如果写了必须有做法和痕迹，都要保留在卷面上。如果说可以不用写做法，那你只需要保留做题痕迹就可以了， 下边我们看一下这节课的一个课堂检测题目。一、指规作图的话， 图工具是什么？ 指规作图的画图工具是没有刻度的直尺和圆规，所以这个题选的是 d 选项。 刚才在咱们在介绍指规作图的定义的时候，一直在强调的是直尺括号，没有刻度，即没有刻度的直尺和圆规。 第二个题，利用指规作图，在下列条件中，不能做出唯一直角三角形的是 a， 因为已知两个锐角而边长不确定，所以这样的三角形可做很多，而不是唯一的 b。 符合全等三角形的判定。 aas 能做出唯一直角三角形，知道了一个直角边，一条直角边的长度确定和这一边的对角， 其实还知道谁呀？还知道一个直角，所以利用的判定条件是角角边，因此能够做出唯一的直角三角形。 c 符合全等三角形的判定。 sas 一至两条直角边， 织到两条直角边，织到了两条直角边， 知道这两条直角边了，以及这个角是直角，那么做出来的这个三角形肯定是怎么样的呀？肯定是唯一的 d， 已知一个锐角和斜边，知道其中的一个锐角大小 以及斜边的长度。我们还知道什么呀？还知道一个直角，所以也可以画出唯一的直角三角形，它的依据是 a a s， 所以这个题选的是 a 选项。只知道两个锐角的时候，我们只知道两个锐角， 那么我们画出的什么可以不一样呀？画出三角形边的长度可以是任意的，所以它的两个三角形不是全等的，并不唯一。 第三题，如图所示，三角形 a、 b、 c 是不等边。三角形 d、 e 等于 b、 c 以 d、 e 为两个顶点做位置不同的三角形， 使所做三角形与三角形 a、 b、 c 全等。那么这样的三角形最多可以做出几个呢？ 我们可以试着自己去做一下，看一下解析。可以做四个，分别是，以 d 为圆心， a、 b 长为半径做圆，以 e 为圆心， a、 c 长为半径做圆， 两圆相交于两点， d、 e 上下各一个，经过连接后可以得到两个。 然后以 d 为圆心， a、 c 长为半径，以 e 为圆心， a、 b 长为半径做圆，两圆相交于两点， d、 e 上下各一个，经过连接后 可得到两个。所以选的是 b 选项，选的是 b 选项。这个题同学们容易忽略什么呀？容易忽略的是他说了一句话， 他说的一句话是这样说的，以 d、 e 为两个顶点做什么？做位置不同的三角形， 也就是说，只要它的位置不是完全一样就可以了。可以在地点处以 a、 c 为半径去画弧度，那么上边一个弧度，下边一个弧度，也可以以 a、 b 为半径画弧度也是两个弧度，可以这样去画，也可以这样写， 斜着去画都是可以的，所以会出现四个。看一下第四个题，如图所示。已知线段 a， 用尺规做出三角形 a、 b、 c， 使 a、 b 等于 a， b、 c 等于 a， c 等于二 a。 做法一，先做一条线段，等于二， a， 再做一条线段， a、 b、 a、 b 等于几？ a、 b 等于 a， 分别以谁为圆心啊？分别以 a 和 b 为圆心，以 b、 c 和 a、 c 的长度，也就是二 a 为半径画弧 量，弧交于 c 点，连接 a、 c、 d、 c， 则 三角形 abc 就是所求的三角形。这个题和咱们刚才讲的第一个例题是一样的，已知三角形的三条边长去做出这个三角形，可以看一下他的解析， 可先做出长二 a 的线段，再做出底边，进而做出两腰的焦点，连接焦点和底边的端点，即刻也就是做出了这个三角形。 第五题，已知线段 b， 角 alpha。 如图所示，求做三角形 a、 b、 c。 使得 b、 c 等于 b， 角 b 等于角， c 等于角 alpha。 做 法，一、做线段 b、 c 等于 b， 标上两个端点 b 和 c。 二、以 b 为顶点，射线 b、 c 为一边做角 m、 b、 c 等于角 a 法 做出一个角来，这个角等于角啊，角 bat 是角 bat 三、以 c 为顶点，射线 c、 b 为一边，在 b、 c 同侧， 在 b、 c 同侧，也就是刚才角 bat 的这一侧做角 n、 c、 b 等于角 bat。 射线 b、 m、 c、 n。 交于点 a， 则 三角形 a、 b、 c。 就是所求做的三角形 a、 b、 c。 这个就是根据两角以及它们的夹边去做出了这个三角形。 这节课就到这里，谢谢大家的听课。

同学们好，今天是我们看初二数学高频考点题目讲解的第一天，内容是吃龟做图。 吃龟做图是我们八年级上册期末考试的必考题，它一般在十七题左右，分值是五分。那接下来我们就来看一下这一道二四年秋季高一中期末考试题。 在 r t 三角形 a、 b c 中，角 c 等于九十度，角 b 等于三十度。请用尺规作图法，在边 b、 c 上求作一点 p， 使得 p b 等于二倍的 p c。 那我们拿到这道题之后，刚开始不知道点屁怎么找，那我们就可以把点屁在我们这个图形上给它标出来，那我们刚刚也看到了 p b 等于二倍的 p c， 所以 点屁就是这条边 b c 的 三等分点， 那我们先把点屁给它标一下，假设这是点屁， 那我标好之后呢，就要来找一下隐藏的条件。那我们来看一下关于题干当中给的这些已知信息，我们还有哪些是没有用到的。对，就是这个角 c 等于九十度，角 b 等于三十度，所以我们可以看到角 a 它是等于六十度的。我们之前也有学习过三六九的直角三角形，它的三边比例是一比根号三比二。 那如果说我现在设 c p 这条边的长是 x， 得 b p 这条边，它的长就是二 k 四，那整个 c b， 整个 c b 这条边，它的长就是三二 k 四。那再根据这个三边比例关系，我就可以得出 a c 这条边是根号三 x。 那 接下来我们就会发现 a c 是 根号三 x， cp 是 x， 我 连接 ap 之后，这条线就是 二 x， 而三角形 a c p， 它又是一个直角三角形，在直角三角形当中，三十度所对直角边是斜边的一半。 来看一下 c p， 它等于二分之一的 a p， 所以 我们角的 c a p 就 等于三十度，那这个三十度它是不是也等于角的 p a、 b 啊？那我们就会发现， a、 p 这条线正好是我们三，正好是我们角的 c、 a、 b 的 一个角平分线， 而这个角平分线和我们 b、 c 边呢，有一个交点，就是这个点 p， 而这个点 p 呢，就可以满足我们这个条件， p b 等于二倍的一个 pc。 所以 我们拿到这道题之后，如果不知道点 p 怎么找，那我们就可以先在图形上把它标出来， 标出来之后再找一找它的隐藏条件，然后再倒推出我们辅助线的一个做法，那这道题就到这里结束了， 那我们再来看一下第二题，看第二题呢，在第一题的一个基础上，我们应该怎么样去处理它？它说如图，在三角形 abc 中， ab 等于 ac， 角 a 等于三十六度啊，这个角这个角呢是三十六度， 请用尺规作图法，在线段 a、 b 上求作一点 d， 也就说我们的点 d 呢，是在 a、 b 这条边上尺的角的 b、 d， c 啊， b d、 c 这个角是七十二度 啊，那么先来看一下，它说 a、 b 和 a、 c 相等，角 a 又等于三十六度，所以这个三角形它就是一个 等腰三角形啊，它是等腰三角形，并且两个底角呢都相等，角 b 等于角， c 等于七十二度， 那点 d 又在 a、 b 上。那同样的，用刚刚我们第一道题的一个方法，我们先把点 d 给它标上，不知道什么位置的时候，我们先随便给它标一个点啊，假设它就是点 d， 然后再把这个 d、 c 给它连起来， 连起来之后它要使得角的 b、 d、 c 等于七十二度，也就是说它要让这个角呢是七十二度，而我们刚刚啊，这个角 b 也是一个七十二度。好， 那现在呢，根据我们这个三角形的内角和是什么一百八十度，我们就是可以求出角的 d、 c、 b， 它等于什么呢？啊？等于一百八十度，减去一个 角 b、 d、 c 等于三十六度啊，这个角它就等于三十六度了，而刚刚角 c 呢，角 c 它也是等于七十二度的，所以我们角的 a、 c、 d 就 和角的 d、 c、 b 都等于多少了 三十六度了，也就是说 c、 d 这条线，它恰好就是我们角的 a、 c、 b 的 一个。什么角平分线 啊？同样的这些都是需要在草稿纸上去完成的，而图像呢，怎么画呢？我们就啊只需要做出角的 a、 c、 b 的 一个角平分线，然后再把这个点 d 给它标出来就可以了。 那同样的这两道题呢，都是用了一个倒推的过程，我们就先把这个点呢给他标上，标上之后呢看一看啊，我们去找一下有哪些隐藏条件，我们把它利用起来，再倒推出我们辅助线的一个做法就可以了。

这个视频我来讲讲。用齿规做角，比如已知一个角 a o b， 只有圆规和没有刻度的直尺，如何做出一个和它相等的角呢？ 嘿嘿，要做角，先得有条边，拿直尺画一条边，记做射线 o 一片 a 一片角，有两条边，那还得再来一条。不过这一条就不能这么随意了，咋画呢？ 步骤有点多，你可得听仔细喽。首先，在已知角上以 o 为圆心，以任意长为半径，画一段弧，交他于 c， 交他于 d。 接着把圆规挪过来，以 o 一撇为圆心，还是以刚才的长度为半径，再画弧交 o 一撇， a 一撇与 c 撇点，此时 c 一撇就对应这边的 c。 那我只要再找到对应这个地点的 d 撇点， 就能确定另一条边了。接下来，我就教你如何去找这个 d 撇点。用圆规量一下 cd 的距离，保持圆规不要动过来。在这边以 cd 撇为圆心，再画一段弧， 发觉没，第一撇点肯定记在这段弧上，也在这段弧上，那显然这个焦点就是第一撇。把 o 一撇，第一撇连起来做射线 o 一撇， b 一撇，那这个角就等于已知的角 a o b 啦。 好了，再回顾一下刚才的过程，做一个角等于已知角时，一共有三步，首先随便画出角的一条边，接着分别过角的顶点，做两段一样的弧。 最后用圆规亮出焦点距离，再做一段弧，有了这个焦点，就能做出角了。怎么样，明白了吗？明白的话就动手试试吧！

用尺规做三角形的内切圆。首先做角 a 的 角平分线，以 a 为圆心，以任意长为半径。这里以 l 的 长度为半径画弧。 然后分别以弧与 a、 c、 a、 b 的 交点为圆心，以 l 的 长度为半径画弧，过点 a 和两弧的交点做射线。 按照同样方法做角 b 的 角平分线， 过点 b 和两弧的交点做射线。两条射线的交点就是圆心。接下来确定内切圆的半径， 过圆心做线段。 a、 b 的 垂线，以交点为圆心，以 l 的 长度为半径画弧。 然后分别以两个弧与边、 a、 b 的 交点为圆心画弧，连接两个弧与弧的交点，并交 a、 b 于一点，然后以角平分为交点，以圆心到 a、 b、 d 的 距离为半径作圆，就是三角形 a、 b、 c 的 内切圆。

各位，吃亏作图啊，画四十五度角怎么画啊？这个方法和原理必须得学会啊，我们来看一下这道题啊，说在 ab 上找一点 d 啊， ab 上找一点 d， 是 a， d， c 等于四十五度。 a， d， c。 怎么听起来这么熟悉啊？ a， d， c 啊，就说找一点 d 啊，是 a， d， c 这个角度啊，等于四十五度，这个 d 在 哪啊？各位啊， 你不能蒙啊，啊，也不能用两角器啊。尺规作图，只能用尺子和圆规，怎么找四十五度？各位啊，你怎么找？你又不能蒙，又不能用两角器，那怎么办？各位注意了啊，看到四十五度，必须想到 等腰直角三角形，这个道理能不能明白？也就说你只要能做个垂线就好办了，也就说我通过 c 如果能做个垂线， 然后做个等腰直角三角形就就行了。好，那第一步，做他的垂线。做垂线怎么做 啊？做垂线也是有方法的啊，就是做垂直的方法。什么方法？给大家演示一下啊，这个方法必须得学会。第一步啊，你不要在这找垂点吗？垂垂线吗？第一步，把这个 ac 连起来啊，为什么要连接 ac？ 等会你就明白了， 我要找到 ac 的 终点，怎么找？ ac 的 终点，他的终点怎么找？很简单啊，在 a 点上随便画个圆，在 c 点上啊，随便画个圆。各位， 这有两个焦点，看见没有？这有两个焦点，这两个焦点连起来，各位，这个就是终点， 为什么？因为这是垂直平分线，所以这个点 e 啊，它就是 a、 c 的 终点。那找到终点有什么用呢？各位，那就很简单了，找到终点画圆，你看我通过这个终点画圆，你发现一个问题， 我是不是以 a、 c 为直径画了个圆，以 a、 c 为直径画了个圆，圆交于这一点，各位， 这一点连起来，它一定是垂直的，哎，有同学问，为什么？因为过直径的圆周角在圆里边啊，过直径的圆周角，它一定是直角，所以这个点 e、 f 就一定垂直， c， f 一定垂直，它好找到这个垂点了。下一步怎么办？等腰直角呀？构造等腰直角，那怎么办呢？各位，那就很简单了啊，以 f 为圆心啊，以它为半径， 然后你再画个圆，你会发现，哎，这交了一个点，这是不是也也会交一个点？这个交点如果连起来，各位，你有没有发现一个问题， 这个就是等腰直角，因为这个是半径 r， 这个也是半径 r， 所以 他就是四十五度，那这个 d 点不就找到了吗？在这吗？这边还有个焦点啊，这个焦点应该如果 a 足够长的话，这个焦点可能在这。 那 a， d， c， a， d， c 是 不是也是四十五度？你看如果 a 啊，如果啊，人家说在 a、 b 上找啊，可不能出去啊，这个方法必须得学会啊哥。

这节课我们来学习持规作图八年级上册做一个等腰三角形，使它的底边长为 a， 高为而去。那么第一步做射线 op 端点 o p， 在 op 上截取 o a 等于线段 a， 我们要保留这个作图的痕迹，这是 o a 等于这个 a， 这个 a 也可以不写出来。 接下来我们要做等腰三角形的话，顶点一定到他这两个端点的距离相等，那也就是说要做 oa 的垂直平分线。垂直平分线前面我们在前面的视频已经已经讲过，那在这一块就不再讲解。 弧线要保留完整。考试的时候，老师比较关心的是你的弧线有没有保留的清晰完整。 上下教育两个点，一个点是 m， 一个点是 n， 那么连接并延长这两条是这两个点 好。直线 mn 就是 oa 的垂直平分线，也就是说顶点要在 mn 上接取，那么垂足为点 c， 接取 cd 等于 h。 好，这个痕迹要保留下来， 这是点 d， 那 od 连接 od， 连接 ov 啊，连接 d a。 三角形 o d a 就是我们要做的等幺三角形，其中 o d 等于 a d， 所以三角形 o d a 即为所求。好，这节课就讲到这里了。