2025北京中考数学东城一模新定义

这是二零二五年北京中考压轴题。平面直角坐标系中点 a 和圆 c 给出如下的定义，如果圆 c 上存在不同的两个点 m n， 对 于圆 c 上，任意满足 ap 等于 a q 的 两个不同点 p q 都有角 p a q 小 于等于角 m a n， 我 们则称点 a 是 圆 c 的 关联点，称角 a n 的 大小为点 a 和圆 c 的 关联角度。 这种题最重要的就是理解题意，当点 a 在 圆上时， a p 等于 a q 的 p q 两点 会在靠近点 a 时，角 p a q 无限接近于一百八十度，但是在圆上找不到 m n 两点，使角 m a n 等于一百八十度，所以此时点 a 不是 圆 c 的 关联点。而当点 a 在 圆内时， 角 p a q 在 p q 垂直 a c 时，最大为一百八十度。所以任何过点 a 的 直线与圆 c 的 两个焦点都可以是 m n。 此时点 a 是 圆 c 的 关联点，且关联角都是一百八十度。而当点 a 在 圆外时， ap 和 a q 恰好与圆相切的时候， 角 p q 最大，此时也正是 am 和 an 的 位置， mn 是 两个切点，并且可通过角 mac 的 正弦值等于半径与 a c 的 比，值得出关联角 mac 的 范围。理解了这些来看，第一问， a 一， 在圆内，关联角横为一百八十度，肯定不是 a。 二在圆外，但是三角 o a m 等于四分之三，大于四十五度的正弦值二分之根二，所以角 o a m 大 于四十五度，关联角 m a n 大 于九十度也不满足。 同样的方式计算 a 三，三角 o a m 等于二分之一，刚好是三十度，所以关联角 m a n 等于六十度。满足条件再看第二小问，我们知道圆 o 上的点都不是圆 o 的 关联点， 所以线段 b d 一定是在圆外，也就是点 b 到点 o 的 距离大于等于二，从而求出 m 的 最小值为根三。最后看压轴问题， 已知 e、 f 两点的坐标点 t 的 坐标 t 零圆 t 经过圆点，线段 e、 f 上所有的点都是圆 t 的 关联点，并且这些点与圆 t 的 关联角度最大值为阿尔法。阿尔法在九十度到一百八十度之间，直接写出 t 的 取值范围。 根据原 t 的 变化规律固定，线段 e、 f 可全部进入原 t 内部，此时关联角都等于一百八十度。满足条件， 验证线段 e、 f 在 圆内需要 t， e 和 tf 都小于半径。实际计算中，我们只需要 t e 的 平方小于半径的平方即可，由此得到 t 减一的平方加三的平方小于 t 方解的 t 大 于五是一个解。下面就是考虑 e f 在 原 t 外。 很明显，当 t 等于三十，原 t 和 e f 相切，所以 t 小 于三十， e、 f 都在原 t 的 外面，那我们只需要满足关联角度的最大至阿尔法在九十度到一百八十度之间。根据第一问，我们知道 点到圆心的距离小于等于根二倍的半径时，关联角大于等于九十度，所以以点 t 为圆心根二倍的半径，再画一个圆。当线段 e、 f 上有一个点满足在大圆内，即满足。条件， 随着 t 变小， e、 f 最后和大圆相切于一点，此时根二倍的 t 等于三， 所以 t 大 于等于二分之三倍的根号小于三也是一个解。随着 t 继续变小，直到 t 小 于零后，圆开始变大，点 e 最先进入大圆内，又有满足条件的部分。 勾股定律表示出， t 减一的平方加三的平方小于等于二， t 方得到 t 方加二。 t 减十大于等于零。 一个开口向上的二次函数大于等于零的部分在两根的两侧解得 t 小 于等于负一，减根号下十一。或 t 大 于等于负一，加根号下十一。这个要舍去。 综上所述， t 大 于五，或 t 大 于等于二分之三倍的根号小于三，或 t 小 于等于负一，减根号下十一。

今天我们看二零二五年北京市中考数学的第二十题，如图，三角形 a、 b、 c 中， b、 e 为中点，中点呢？我们马上想到的是中位线，对吧？ 所以这有一个中位线的性质，平行且等于里边的一半， d f 垂直于 b、 c， 它告诉我们这里垂直，然后垂直为 f， g 呢，是 d、 e 的 延长线，使得 d g 等于 fc。 第一问，求四边形 d、 f、 c， g 是 矩形，那我们首先来看一下，它已经告诉我们一条边了，相等，所以呢，我们 d g 等于 f、 c， 那 么要么就证它 d g 平行于 f、 c， 或者另外一条边也相等，就是 d f 也等于 g c， 那么它相等平行，这不就是刚好中位线的性质吗？对不对？所以因为 d 一 为中点，所以 d 一 呢，会平行于 f、 c， 现在又等于，所以它就已经是平行四边形了，它是平行四边形，再加上一个直角， 所以它就是一个矩形。这就是这一题，同学们要对平行四边形的判定及其矩形的判定要比较熟悉，所以这里就可以秒掉它了。再来看第二问，他说角 b 等于四十五度， 这就是一个特殊的角，然后呢， d、 f 是 等于三，所以我们知道它等于三倍的根号。二的 d g 呢，等于五， d g 等于五，也就是 f c 也等于五， d g 也等于五。现在要求 bc 的 长，那你看，我们读完题之后， bc 呢，就是等于 b f 加上 f、 c， 对 不对？所以就等于三加五等于八。你看这题就可以做完一半了。然后再看 a、 c 的 长， a、 c， 我 们呢，肯定是在特殊三角形里面去做 特殊，这里有特殊三角形吗？有啊，有直角三角形，对不对？所以我们想想能不能在这个直角三角形里面做求出 ec 来，就可以求出 ac， 为啥呢？因为它是终点啊，对不对？所以呢，我们知道 ac 呢，是等于两倍的 ec， 我 们求出它来就行了。 ec， 那 我们看一下，它是矩形 df 把信息同步过来，它是三， 然后 bc 是 等于八了，它是中位线啊，所以它是四，然后这边呢，就是为一呗，总共为五，五减四等于一，所以我们知道 ec 呢，就会等于根号 g c 的 平方加上 e c 的 平方，那不就是等于根号 三的平方，加一的平方就等于根号十。好了，求出来就会等于二，乘以根号十，就等于两倍的根号十，所以这些答案呢，这里为八，这里为两倍的根号十，这个也好治。所以北京的二十题的第六、 六分题还是比较简单的，知道一些基本的图形性质就可以求出来，这就是这一题的相关思路，数学就是这么简单。

同学们，今天我们来看二零二五年北京市中考数学的第十五题题干如图，在正方形 a、 b、 c、 d 中点一，在 c、 d 的 边上做 c， f 垂直于 b， e 连接 af， 它告诉我们边长为一，这个角等于三十度，现在要求的是三角形 a、 b， f 的 面积，那么第一思路我们肯定是往它的这个底来想，对不对？二分之一乘以 ab， 再乘以它的高， h 也就乘以 f h， 那 么现在我们就要求 f h， 这里肯定是，这里告诉我们三十度，我们先用上它，它等于一 f， s， f， c 呢，就会等于二分之一。由勾股定律或者三角函数可以得到， b， f 呢，是等于二分之 根号三的，所以 f， h 呢，会等于 b， f 乘以三以六十度呗，对吧？所以就等于二分之 根号三，三引六十度，二分之根号三就等于四分之三，把它带过来，也就等于 二分之一， ab 等于一一， f， f， h 等于四分之三，所以答案呢，就等于八分之三。这题答案八分之三。好，这是我们的常规的一个思路，对不对？那我们再来看一下， 因为这有个三十度，所以我们在想着能不能把它的高转移到这个三角形里面来呢？ 我们坐这里 h r 吧，那我们来看一下，首先我们再连接它，我们能能不能理解得到 s 三角形 a， b， f 的 面积就等于 s， 三角形 a， b， r 的 面积 同底没问题，高呢，都等于 b i， 对 不对？所以它是相等的，它就等于二分之一， ab， 再乘以 b i 一 样的，我们还是要求 b、 r 的 长度， 那我们来看，它等于三十度，一样的，它等于二分之一，它等于一嘛？等于它一半二分之一。别忘了这里是六十度，这里又是三十度。所以呢， r c 呢，也等于二分之一的 f c， 所以 r c 等于四分之一。同理，我们就得到 b， r 呢，就等于 b c 减去 r， c 也就等于一，减去四分之一， 所以它就等于四分之三。跟这里是一样的，所以它就等于二分之一的。 乘以 abab 等于一，再乘以 b i 等于四分之三，也就等于八分之三。所以这题答案八分之三。你看，这就是特殊角，再加上这个边乘以它的高，从而得到这题答案八分之三。